bilişim teknolojileri için işletme istatistiği - SABİS

SAKARYAÜNİVERSİTESİ
BİLİŞİMTEKNOLOJİLERİ
İÇİNİŞLETME
İSTATİSTİĞİ
Hafta5
Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi’ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak
hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri
mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz.
Her hakkı saklıdır © 2013 Sakarya Üniversitesi
0
BÖLÜM 4 OLASILIK KAVRAMI BÖLÜMÜN AMACI Bu bölümün amacı, istatistik biliminin temel kullanım amacı olan veri analizi süreçleri için kilit öneme sahip olasılık kavramı ve olasılık dağılımları hakkında öğrenciye temel yeterliliklerin kazandırılmasıdır. Bu bölüme kadar istatistik biliminin açıklayıcı veya tanımalayıcı olarak (bir deyişle özetleyici) olarak kullanımı ile ilgili yöntem ve yaklaşımları inceledik. İstatistik biliminin bir diğer, belki de en önemli, kullanım amacı veri analizi süreçleri yani istatistiksel çıkarsama (çıkarımsal istatistik) alanıdır. Bu alandaki testlerin ve kavramların daha iyi kavranabilmesi adına olasılık kavramı ve olasılık dağılımları ile ilgili temel bilgilerin bilinmesi gereklidir. 4.1. Olasılık Kavramı İstatistiksel çıkarsama konusunun temelini olasılık kavramı oluşturur. Çünkü olasılık örneklem ile ana kütle arasındaki bağlantıyı kurar. 1.
2.
3.
4.
Satış fiyatının artırıldığında, talep edilen miktarın artması ihtimali nedir? Yeni kurulan montaj hattının üretimin verimliliğine etkisi nedir? Hâlihazırda sürdürülen projenin zamanında bitme ihtimali nedir? Yeni yapılan yatırım aracından fayda sağlama ihtimalimiz nedir? Yukarıdaki temel işletmecilik sorularının cevabını ancak ve ancak olasılık yaklaşımları ile verebiliriz. Eğer olasılıları biliyorsak, o olayın ortaya çıkma ihtimali ile ilgili yorum yapabiliriz. DİKKAT Olasılık Örneklem ile Ana kütle arasındaki bağlantıyı kurar. Rassal Deney Olası rassal sonuçları üreten süreçlere rassal deney denir. Rassal Deney Yazı Tura Atışı İmalat alanında parça muayenesi Satış Zar Atışı Futbol Oynamak Deneylerin Olası Sonuçları Yazı, Tura Kusursuz, Fire Başarılı, Başarısız 1, 2, 3, 4, 5, 6 Galibiyet, Mağlubiyet ve Beraberlik 1
Örnek Uzay Rassal deneylerin olası bütün sonuçlarını kapsayan değerler kümesidir. İki temel özelliği vardır. 1. Bir rassal olayın olası bütün sonuçlarını eksiksiz bir biçimde içermelidir. 2. İki sonuç aynı anda olmamalı, yani bütün değerler eşsiz olmalı, ortak değer olmamalıdır. 4.1.2. Olaylara Olasılık Atamak ,
Bir örnek uzayının gereksinimi sağlanmalıdır. ,…,
şeklinde oluşturulduğu durumlarda iki temel olasılık 1. Bütün olasılık değerleri 0 ile 1 aralığında değer almalıdır. 1
:ö
.
0
2. Bir örnek uzayda yer alan bütün sonuçlarının toplamı 1 olmalıdır. ğ DİKKAT Hiçbir zaman bir olayın olma olasılığı 1 değerinin üzerine çıkmaz. Yani hiçbir olay %100 den daha fazla bir ihtimalle olmaz. Örnek uzaydaki her bir sonuç istatistik biliminde olay olarak adlandırılır. Örneğin yazı‐tura deneyindeki iki farklı olay yazı ve turadır. Bir olayın olma olasılığı alt olaylayların olma olasılıkları toplamıdır. ÖRNEK Bir sınıfta öğrencilerin matematik dersinde aldıkları harfli notların görülme olasılılarının aşağıdaki gibi olduğu düşünülmektedir. 0.2,
0.3,
0.25,
0.15,
0,1
Herhangi bir öğrencinin dersten geçme (D ve üzeri not alma) olasılığı nedir? ÇÖZÜM Bir öğrencinin dersten geçme olasılığı A, B, C ve D alma olasılıklarının toplamıdır.
ç
0.90 2
4.1.2. Olasılıkları Yorumlamak Şimdiye kadar olasılıkların direk olarak verildiği, sezgisel olarak belirlendiği durumları dikkate aldık. Fakat olasılık hesaplarının temelinde sayma kuralı olarak adlandırdığımız bir durum yatar. Sayma kuralı bir rassal deneyin sonuç ürettiği her durumu gözleyerek kayıt altına almakla gerçekleştirilir. Daha sonra yeterli miktarda sayım yapıldığına kanaat getirilirse deney sonuçlarının göreceli frekansları (Bkz. Bölüm 3) hesaplanarak olasılıklar oluşturulur. Örneğin bir para 500 defa havaya atıldığında 248 defa yazı 252 defa tura gelsin. Bu durumda göreceli frekanslar sırasıyla 0,496 ve 0,504 çıkar. Bu durumda yaklaşık olarak 0,5 ihtimalle yazı ve 0,5 ihtimalle tura geldiğini gözlemleyebiliriz. Eğer deney sayısını 500 değilde 5000 hatta 50000 olarak alırsak deney sonuçları %50 ye iyice yakınsıyacaktır. Matematiksel çıkarımla bu deney sonsuz sayıda gerçekleştirilebilirse, göreceli frekans değerleri olasılıkları verir ki para atma deneyi için 0,5 ve 0,5 dir. DİKKAT Olasılıklar toplamının 1 e eşit olduğunda dikkat edin. (0,496 + 0,504 = 1 veya 0,5 + 0,5 =1) KENDİNİ SINA Herhangi bir konuda bir rassal olay belirle. Bu olayın olası sonuçlarını yazarak örnek uzayı oluşturmaya çalış. Daha sonra sayma kuralı yardımıyla bu örnek uzaydaki her bir olay için olasılık değerlerini atamaya çalış. (Örneğin karşıdaki markete gelen müşterilerin bayan veya erkek olma ihtimalleri) 4.1.3. Birleşik Olasılık İki olayın birlikte olma olasılıklarına veya başka bir deyişle iki olayın kesişimine birleşik olasılık (Joint Probability) adı verilir. Notasyonda veya ∩
şeklinde gösterilir. A Olayı B Olayı
∩
Örnek Uzayı
3
DİKKAT Olasılıkların birleşimi (toplanması) ile birleşik olasılık farklıdır. Birleşik olasılık iki olayın aynı anda olduğu “ve” durumlarını, olasılıkların birleşimi ise iki olaydan birinin olduğu “veya” durumlarını betimler. ÖRNEK Bir analizci bir yatırım fonunun başatıyla yönetilmesi ile fon yöneticisinin MBA derecesi olması arasındaki ilişkiyi sorgulamaktadır. Aşağıdaki verilen olasılıkları dikkate alarak bu durumu analiz edin.
ÇÖZÜM Olaylara ait notasyon aşağıda sunulmuştur. ö
ş
ş
ö
Birleşik olasılıklar aşağıdaki gibidir. 0,11 0,29 0,06 0,54 Bu durumda MBA derecesi ile fonun başarılı olması arasında bir ilişkinin varlığı ortaya çıkmaktadır. Örneğin MBA’li yöneticiler, MBA sizlere göre yaklaşık iki kat daha fazla başarı oranına sahiptir. (0,11 0,06) Bir başka bakış açısı ile başarız fonların büyük bir kısmında MBA derecesi olmayan yöneticilerin imzası vardır. 0,54 0,29 Yukarıdaki örnekte yer alan durumda tek başına birleşik olasılıkla yorum yapmak yeterli olmayabilir. Bu durumda marjinal olasılık kavramını da öğrenmemiz gerekmektedir. 4
4.1.4. Marjinal Olasılık Tek bir olayın olma olasılığının toplamı olarak ifade edilir. ÖRNEK Aşağıdaki tabloyu dikkate alarak bir yöneticinin MBA derecesine sahip olma olasılığı ile yatırım fonunun başarılı olma olasılıklarını belirleyiniz. ÇÖZÜM Soruda sorulan bir olayın olma olasılıklarının toplamı yani marjinal olasılıklardır. Bu durumda soru için marjinal olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplanabilir. 4.1.4. Şartlı Olasılık Şartlı olasılık iki olayın birbiri ile ne kadar ilgili olmasıyla alakalıdır. Bir olayın olma olasılığı biliniyorken, ikinci olayın olma olasılığı şeklinde ifade edilir. olayının olma olasılığı biliniyorken olayının olma olasılığı (Şartlı olasılık) edilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır. |
şeklinde ifade 5
ÖRNEK Sakarya Üniversitesi İşletme Fakültesi mezun olan öğrencilerin çalışma alanları ile ilgili bilgi toplamaktadır. Rastgele karşılaşılan bir mezun öğrencinin bayan olduğu biliniyorsa, o öğrencinin muhasebe alanında çalışması ihtimali nedir? ÇÖZÜM Öncelikle olayların tanımlanması gerekmektedir. :
:
öğ
ç
ş
Öğrencinin bayan olduğu bilindiği durumda, muhasebe alanında çalışma ihtimali P B biliniyorken P A olasılığı hesabıyla aşağıdaki gibi gösterilir. |
110
400
1000
1000
110
400
0,275 %27,5 ihtimalle bu bayan işletme mezunu muhasebe alanında çalışmaktadır. Şartlı olasılık hesaplanırken dikkat edilmesi gerek iki olayın ilişkili (bağımlı) olmasıdır. İki farklı olay birbiri ile ilgili değilse, yani birbirinden bağımsız ise o zaman şartlı olasılıklar olayın marjinal olasılığına eşit olur. Eğer iki olay bağımsız ise; |
|
şeklinde ifade edilir. 6
ÖRNEK Rastgele konuşulan bir fon yöneticisinin, yatırım fonunu başarı ile yönettiği anlaşılmaktadır. Bu durumda konuşulan yöneticinin MBA derecesi olması olasılığı nedir. Acaba MBA yöneticisi olmak ve yatırım fonlarının başarılı olması bağımsız iki olay mıdır? Yorumlayınız. ÇÖZÜM Öncelikle olayların tanımlanması gerekmektedir. |
0,11
0,17
0,647 Fon yöneticisinin MBA derecesi olmasının marjinal olasılığı 0,40 olduğundan ve bu |
0,647 değerinden farklı olduğu görüldüğünden, iki olayın bağımsız olay olasılığın olmadığı ortaya çıkmaktadır. Eğer bağımsız olasalardı her iki olasılığın eşit olması gerektiğine dikkat ediniz. 4.1.5. Birleşim Diğer olayların bir kombinasyonu şeklinde yazılan yeni bir olaya birleşim adı verilir. A ve B olaylarının birleşimi, A veya B olayının olması ihtimaline eşittir. ) veya ∩ ) şeklinde gösterilir. A Olayı B Olayı
∪
Örnek Uzayı
7
ÖRNEK Rastgele konuşulan bir fon yöneticisinin, yatırım fonunu başarı ile yönetmesi veya MBA derecesi olması olasığı nedir? ÇÖZÜM Soruda sorulan olasılıkların birleşimi aşağıdaki gibi hesaplanır. 0,11
0,06
0,29
0,46 Tek tek olasılıkları toplamak yerine soruda sorulan durumu kapsamayan tek olasılık olan MBA derecesi olmayan yöneticiler ve yatırım fonu başarısız olması durumları olasılığı 1 den çıkarılarak sonuca daha kolay ulaşılabilir. 1
1
0,54
0,46 4.1.6. Olasılık Kuralları ve Olasılık Ağacı Olasılık konusunun iyi anlaşılabilmesi adına, 3 temel olasılık kuralınında bilinmesi gerekmektedir. 1. Tümleme Kuralı 2. Çarpım Kuralı 3. Toplama Kuralı Bir olayın meydana gelmemesi olasılığı, o olayın tümleyeni olarak ifade edilir ve P A olarak gösterilir. ̅
A Olayını
tümleyeni
( ̅
1
A Olayı Örnek Uzayı
8
Çarpım kuralı olayların birleşik olasılıkları ile ilgilidir. Şartlı olasılık formülüne dayanır. |
|
∗
|
∗
Eğer iki olay bağımsız ise; ∗
A veya B olayının birlikte olma olasılığı (A ve B olaylarının olasılıklarının toplamı) aşağıdaki şekilde hesaplanır. – Eğer olaylar bağımsız (ayrık) ise o zaman formül aşağıdaki gibi olur. Olasılık Ağaçları: Bir deneydeki olayların çizgiler halinde ifade edildiği olasılık ağacı efektif ve basit bir metottur. Bu metotta olaylar ve bu olayların alt olayları sıralı bir yapıda ve çizgilerle ifade edilir. Görsel bir metot olmasının yanı sıra hesaplama kolaylığı da sunmaktadır. ÖRNEK Hukuk fakültesinden mezun olmak isteyen öğrenciler BAR sınavını geçmek zorundadır. İlk defa bu sınava girenlerin %72 si başarılı olmaktadır. İlk defa kalanlara ikinci bir şans tanınmaktadır. İkinci defa teste girenler ise %88 lik bir oranda başarılı olmaktadır. Rastgele seçilin bir hukuk fakültesi öğrencisinin avukat olma olasılığı nedir? ÇÖZÜM Bu soruyu olasılık ağaçları yardımyla çözelim. % 96,64 olasılıkla (0,72 + 0,2464) seçilen öğrenci ileride avukat olacaktır. 9
4.1.7. Bayes Teoremi Bazı durumlarda örnek uzaylar net bir şekilde bölünmüşlerdir. Örneğin bir firma tedarik ettiği ürünlerin muayeneden geçecek kadar kaliteli olmasını istemektedir. Eğer bu firma 2 farklı tedarikçi ile çalışıyorsa ve tedarik ettiği kaliteli hammadde oranını belirlemek istiyorsa, o zaman her bir tedarikçi için bu olasılıkları hesaplamalıdır. Bu olasılıklar aşağıdaki formülle hesaplanmaktadır. Verdiğimiz örnekle bağlantılı olarak formülü yorumlarsak; örneğimizde örnek uzay ikiye bölünmüştü. (Tedarikçi 1 ve Tedarikçi 2) Bu durumda hammaddelerin geldiği tedarikçileri ve olasılıkları ise hammaddenin sırasıyla Tedarikçi 1 ve tedarikçi 2 den gelme olasılıklarını göstermektedir. ise kaliteli hammadde olasılığını vermektedir. O zaman formülü şu şekilde okumalıyız. Rastgele alınan bir parçanın kaliteli olduğu biliniyorsa, bu parçanın Tedarikçi birden tedarik edilme olasılığı bayes teoreminin yukarıdaki formülü ile bulunur. ÖRNEK Pepsi Cola son zamanlarda şişelerinin tam dolmadığı ile ilgili şikâyetler almaktadır. Firma yöneticisi ise bu şikâyetlerin hangi dolum tesisi (A veya B) ile alakalı olduğunu bilmek istemektedir. Yaptığı incelemeler sonrasında aşağıdaki tablodaki değerleri ele etmiştir. Rastgele seçilen bir şişenin tam dolu olmadığı anlaşılıyorsa, bu şişenin A fabrikasından gelme olasılığı nedir? Üretim Tesisi A Üretim Tesisi B Üretim yüzdesi 55 45 Tam dolu Olmayan Şişe (%) 3 4 ÇÖZÜM Soruya yine olayları belirlemekle başlayalım. : ü ü ü ü
: ü ü ü ü
Ü ü ü ş ş
Bu durumda soruda istenen olasılık aşağıdaki şekilde bulunur. P( A) P(Y / A)
P( A) P(Y / A)  P( B) P(Y / B )
.55(.03)

 .4783
.55(.03)  .45(.04)
P( A / Y ) 
10
KENDİNİ SINA Koşullu olasılık ve Bayes Teormeni karşılaştırarak yorumlayınız ve farklılığını tartışınız. ÖZET İstatistik biliminin en temel kullanım amacı, örneklemler üzerinden analizler gerçekleştirip, bu analizlerin sonuçları ile ana kütle ile ilgili çıkarımlar yapmaktadır. Bu hesaplar genelde olasılık ve olasılık dağılımlarına dayanır. Sonuç üreten proseslere rassal deney, deneylerin olası sonuçlarına olay ve bir deneyin olası sonuçlarının tamamını kapsayan kümeye ise örnek uzayı denir. Örnek uzayında her bir değer eşsiz olmalı ve bir deneye ait bütün olaylar listelenmelidir. Örnek uzay içerisindeki olayların toplam olasılığı 1 e eşittir. Bu tanımdan yola çıkarak hiçbir olasılık sıfırdan küçük ve birden büyük olamaz. İki olayın birlikte olması olasılığına ( A ve B) birleşik olasılık, İki olaydan en az birinin olmasının olasılığına da (A veya B) birleşim veya olasılıkların toplanması denir. Tek bir olayın olması olasılıklarının toplamına da Marjinal olasılık denir. İki farklı olay bağımsız değilse (kesişimleri mevcut ise), bir olayın bilinmesi durumunda diğer olayın olma olasılığının hesaplanması önemli bir yaklaşımdır ve şartlı olasılık olarak adlandırılır. Şartlı olasılığın tersen bakışı olarak da adlandırılabilecek bayes teoreminde ise örnek uzay birden fazla alt bölüme ayrılmıştır. Bu alt bölümlerde bir olayın olma olasılıkları farklılık gösteriyorsa, o olayın olasılığının bilindiği durumda hangi bölümden geldiği sorusu bayes teoremi ile cevaplanabilir. SON NOT  Bir rassal deneyin olası sonuçlarının olasılıkları toplamı 1 i geçemez. Eğer hesaplamalarda böyle bir durumla karşılaşırsanız hemen geriye dönüp düzeltin. Böyle bir sonuca ulaşmaktansa hiç sonuca ulaşmamayı tercih edin.  Bir olayın olma olasılığı 1 den büyük olamaz. Böyle bir yanılgıya düşmeyin.  Eğer iki olayın kesişimi varsa bu olasılıkları direkt toplayamazsınız.  Eğer olaylar bağımsız değilse, direkt olasılıkları çarparak birlikte olma olasılığına ulaşamazsınız.  İki olayı kesişimi olmaması bağımsız oldukları anlamına gelmez. (bir iş yerinde promosyon alma ve almama olaylarının kesişimi yoktur ama bu olayların bağımsız olduklarını söyleyemezsiniz? 11
ÇALIŞMA SORULARI S1 – Bir imalat firması iş saatlerinin olası değişimi ile ilgili işçi tepkilerini ölçmek için bir anket düzenlemiştir. Cevapların oranı aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Rastgele seçilen bir çalışan için aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır: :Ü
ç ş şç
:İş
ğş
şç
Aşağıdaki olasılıkları açıklayın ve değerlerini hesaplayınız. ̅ S2 – Bir imalat firması iş saatlerinin olası değişimi ile ilgili işçi tepkilerini ölçmek için bir anket düzenlemiştir. Cevapların oranı aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Rastgele seçilen bir çalışan için aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır: :
şç
:İ ü
ç ş şç
Aşağıdaki olasılıkları açıklayın ve değerlerini hesaplayınız ̅
S3 – Bir muhasebe firması on zamanlarda yapılan vergi miktarları değişimi ile ilgili bir rapor hazırladığını reklamla duyurmuştur. 3 farklı yoldan firmaya ulaşan 200 müşteri raporun hangi kısmını edinmek istediğini firmaya bildirmiştir. Belirlenen iki rassal olay aşağıdadır: :
ö
üş
:
ğ öğ
üş
.
Aşağıdaki olasılıkları açıklayın ve değerlerini hesaplayınız: |
|
̅|
̅|
S4 – Bir firma yeni açıkladığı diş ve sağlık sigortası planı üzerinde işçilerinin düşündüklerini öğrenmek istemektedir. Sonuçlara göre sağlık sigortasını beğenen işçiler % 81 iken, diş planını beğen işçiler ise %35 olarak görülmektedir. Ayrıca Sigorta planını beğenenlerin %30 u ayrıca diş planını da beğenmektedir. a. İki planı da beğenen toplam işçi oranı nedir? b. En az bir planı beğenen işçilerin oranı nedir? 12
S5 – A ve B olayları olduğunu düşünün, 0.2,
0.6,
0.68 ise a.
olasılığını bulunuz. b. A ve B bağımsız olaylar mıdır? c. A ve B ayrık olaylar mıdır? S6 – Bir elektrik firması yapılan işlerin ücretlerinin %90 nının ilk 30 gün içerisinde ödendiğini belirlemiştir. Geri kalan müşterilerin ise %40 sonraki 30 günde ödeme yapmaktadır. Rastgele seçilen bir müşterinin 60 gün içerisinde ödeme yapma olasılığı nedir? S7 – Bir otomobil tamircisi bir araçtan çıkardığı 6 bujinin ikisinin arızalı olduğunu görmüştür. Bu 6 buji arasından rastgele seçilen 2 tanesinin tam olarak birinin arızalı olması olasılığı nedir? KAYNAKLAR 1. Keller, Gerald; Statistics for Management and Economics, 9e, 2012 2. McClave, J.T, Benson, P.G, Sincich, T.; Statistics for Business and Economics, 11e, 2011 3. Sharpe N.R., De Veaux R.D., Velleman P.F.; Business Statistics 2e, 2012 13