T.C. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FİZİK BÖLÜMÜ MADDE İÇİNDE ELEKTRİK ALANLAR HÜMEYRA KAYIN G090202031 Yrd. Doç. Dr. Zemine ZENGİNERLER 1 İÇİNDEKİLER 1.1. ELEKTRİK YER DEĞİŞTİRME 1.1.1 Diaelektriklerin Varlığında Gauss Yasası 1.1.2 Yanıltıcı Bir Paralellik 1.1.3 Sınır Koşulları 2.1 DOĞRUSAL DAVRANIŞLI DİAELEKTRİKLER 2.1.1 Alınganlık, Geçirgenlik ve Diaelektrik Sabiti 2.1.2 Doğrusal Diaelektriklerle Sınır Değer Problemleri 2.1.3 Diaelektrik Sistemlerde Enerji 2.1.4 Diaelektriklerde Kuvvetler 2 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil 1.1 Kutuplanmış bir dielektrik ile vakum arasındaki ara yüzey Şekil 2.1 Ortamın kutuplanması Şekil 2.3 Serbest yükün durgun elektrik enerjisi 3 TABLO LİSTESİ Tablo 2.1. Dielektrik sabitleri 4 1.1 Elektrik Yer Değiştirme 1.1.1 Dielektriklerin Varlığında Gauss Yasası Bir önceki konuda kutuplanmanın etkisini, dielektrik içinde bağlı yük b .E ve yüzeyde b P.nˆ yığılmalarını oluşturmak olduğunu bulmuştuk. Ortamın kutuplanmasından kaynaklanan alan tam bu bağlı yükün alanıdır. Şimdi her şeyi bir araya getirmeye hazırız: bağlı yüke atfedebilen alan artı geri kalan her şeyden ( daha iyi bir terim kullanırsak, biz ona serbest yük diyoruz) dolayı alan. Serbest yük bir iletkenin üzerindeki elektronlardan veya bir dielektirik malzemeye gömülü durumdaki iyonlardan ya da başkalarından oluşabilir. Yani başka değimle kutuplanmanın bir sonucu olmayan her yük olabilir. O zaman dielektriğin içindeki toplam yük: b f (1.1) olarak yazılabilir ve Gauss Yasası: 0.E b f .P f şeklini alır, burada E yalnızca kutuplanma ile üretilen kısım değil, şimdi toplam alandır. İki diverjans teoremini birleştirmek mümkündür: . 0 E P f Parantez içindeki, D harfi ile gösterilen ifade D 0E P (1.2) elektrik yer değiştirme olarak bilinir. D cinsinde Gauss Yasası .D f (1.3) haline gelir ve integral şeklinde yazarsak D.da Q (1.4) fiç 5 olur. Burada Q fiç hacim içinde kapsanan toplam serbest yükü gösterir. Dielektrikler bağlamında bu Gauss Yasasını ifade etmenin özellikle faydalı bir şekilde çünkü o yalnızca serbest yüklere atıf yapar ve serbest yük bizim kontrol ettiğimiz şeydir. Bağlı yük sonradan oyuna katılır: Serbest yükleri yerine koyduğumuzda, kısım 1.1’ in mekanizmaları vasıtası ile otomatik olarak belirli bir kutuplanma meydana gelir. Ve bu kutuplanma bağlı yükü oluşturur. Bu yüzden tipik bir problemde f ’yi biliyoruz. Fakat b ’ yi bilmiyoruz; Denklem 1.3’ bize eldeki bilgi ile çalışma olanağı verir. Özellikle, gereken simetrinin bulunduğu her durumda derhal D standart Gauss Yöntemi ile hesaplayabiliriz. Size, denklem 1.2’yi türetirken b yüzey bağlı yükünü unuttum gibi gelebilir ve bir anlamda bu doğrudur. Bir Dielektriğin yüzeyinde Gauss yasasını doğru olarak uygulayamayız, çünkü burada b , E’ nin diverjansını alarak patlar. Fakat başka her yerde mantık sağlamdır ve aslında bir dielektriğin kenarını, içinde kutuplanmanın yavaş yavaş sıfıra düştüğü sonlu bir kalınlığa sahipmiş gibi düşünürsek bu takdirde bağlı bir yüzey yükü yoktur: b bu “deri” içinde hızla fakat düzgün olarak değişir ve her yerde bir gauss yasası düzenle uygulanabilir. 2.1 Doğrusal Davranışlı Dielektirikler 2.1.1 Alınganlık Geçirgenlik ve Dielektrik Sabiti Daha önceki kısımlarda kendimizi P’nin sebebine yönlendirmeyip; yalnızca kutuplanmanın etkileri ile ilgilendik. Ama kutuplanma konusunda nitel tartışmasından bir dielektiriğin kutuplanmasının bir elektrik alandan kaynaklandığını ve bu alanın atomik ve moleküler dipolleri düzene soktuğunu biliyoruz. Birçok madde için E çok kuvvetli olmamak koşulu ile gerçekte, kutuplanma alanla orantılıdır: P 0 e E (2.1) Orantılılık kat sayısı e ortamın elektrik alınganlığı adını alır. e ’nin değeri ele alınan maddenin mikroskobik yapısına bağlıdır. Denklem 2.1’a uyan maddeleri doğrusal dielektrikler diye adlandıracağım. 6 Denklem 2.1’deki E nin toplam alan olduğuna dikkat ediniz; o kısmen serbest yüklerden dolayı ve kısmende kutuplanmanın kendisinden dolayı da olabilir. Örneğin bir parça dielektriği bir E 0 dış alanı içine koyarsak, P ‘yi doğrudan koyarsak denklem 2.1’den hesaplayamayız; dış alan malzemeyi kutuplayacak ve bu kutuplama kendi alanını doğuracaktır. Bu alanda toplam alana katkıda bulunacaktır, sonuçta bu kutuplamayı değiştirecekti, böylece gidecektir. Bu sonsuz geri döngüyü kırmak her zaman kolay değildir. Bazı örnekleri 1 sn sonra göreceksiniz. En kolay yaklaşım, en azından D’ nin doğrudan serbest yüklerden elde edildiği hallerde yer değiştirme ile başlamaktır. Doğrudan ortamlarda, D 0 E P 0 E 0 e E 0 1 e E geçerlidir, böylece aynı zamanda D ile E orantılıdır. D E (2.3) 0 1 e (2.4) buradan da ile verilir. Yani serbest malzemenin geçirgenliği olarak adlandırılır. 0 Çarpanını kaldırırsanız, geriye kalan boyutsuz nicelik malzemenin bağıl geçirgenliği veya dielektrik sabiti adını alır r 1 e 0 (2.5) Tablo 2.1’ de Dielektrik sabitleri (verilen değerler 1 atm 20o C içindir). Malzeme Vakum Helyum Neon Hidrojen Argon Hava Azot Su buharı Dielektrik sabiti 1 1000065 1,00013 1,00025 1,00052 1,00054 1,00055 1,00587 Malzeme Benzen Elmas Tuz Silikon Mentan Su Buz KTaNb03 7 Dielektrik sabiti 2,28 5,7 5,9 11,8 33,0 80,1 99 34,000 Doğrusal dielektriklerin E ile D arasındaki benzerlikte görülen kusurdan arınmış. Olduğunu düşünebilirsiniz. Şimdi P ile D nin E ile orantılı olması aynı E deki gibi onlarında rotasyonelinin 0 olması sonucunu doğurmaz mı ne yazık ki doğurmaz. Kutuplanmış bir dielektrik ile vakum arasındaki ara yüzeyde P bir tarafta 0 iken diğer tarafta değildir. Bu ilmek etrafında Pdl 0 ve buradan, stokes teoremi ile, ilmek içindeki her noktada P nin rotasyoneli yok olamaz. P=0 Vakum Dielektrik P≠0 Şekil 2.1 Kutuplanmış bir dielektrik ile vakum arasındaki ara yüzey Elbette, uzay tamamen türdeş doğrusal bir dielektrikle doldurulmuşsa o takdirde bu itiraz Geçersizdir; bu çok özel halde .D f ve D 0 dır, Böylece D sanki orada dielektrik hiç yokmuş gibi serbest yüklerden bulunabilir: D 0 Evak Burada Evak , aynı serbest yük dağılımının bir dielektriğin yokluğunda oluşturacağı alandır. Bu sebeple, Denklem 2.3 ve 2.4’e göre E 1 1 D Evak r (2.6) Büyük bir dielektriğin içine bir q yükü gömülür ise oluşturduğu alan E 1 q rˆ 4 r 2 (2.7) dır. Ve yakındaki yükler üzerine uyguladığı kuvvetle benzer bir şekilde azaltılır. Fakat bu coulomb yasasında bir yanlışlık var anlamına gelmez; daha çok, ortamın kutuplanması zıt işaretteki bağlı yüklerle q yükünü sararak (Şekil 1.2)onu kısmen “perdeler”. 8 Şekil 2. 2 Ortamın kutuplanması 2.1.2 Doğrusal Dielektriklerle Sınır Değer Problemleri Türdeş doğrusal bir dielektrikte bağlı yük yoğunluğu b serbest yük yoğunluğu f ile orantılıdır. b .P . 0 e D e f 1 e (2.7) Özellikle malzeme içinde gerçekten gömülü durumda serbest yük bulunmadığı sürece b 0 ’dırve herhangi birnet yükün yüzeyde bulunması zorubludr. O zaman, böyle bir dielektrik içinde, potansiyel Laplace denklemine uyar ve bölüm 3’deki yöntemler burada da yürürlüktedir. Yinede sınır koşullarını yalnızca serbest yüklere atıf yapacak biçimde yeniden yazmak uygundur. üst E üst alt E alt f (2.8) Potansiyel cinsinden, üst Vüst Valt alt f n n 9 (2.9) Vüst Valt (2.10) olduğu görülür. 2.1.4 Dielektrik Sistemlerde Enerji Bir kapasitörü yüklemek için gereken iş 1 W CV 2 2 kapasitör doğrusal bir dielektrik ile doldurulmuş ise, sığası vakum halindeki değerine, dielektrik sabitine eşit bir çarpan kadar aşar. C r Cvak Besbelli, dielektrikle dolu bir kapasitörü yüklemek için gerekli iş de aynı çarpan kadar artar. Nedeni: alanın bir kısmı bağlı bir kısmı bağlı yükler tarafından yok edildiğinden dolayı verilen bir potansiyeli gerçekleştirmek için fazla yük pompalamalısınız. Bölüm 2’ de durgun elektrik sisteminde depolanan enerji için genel bir formül çıkarmıştık: W 0 E 2 d 2 (2.11) Dielektrik dolu kapasitör hali bunun doğrusal dielektriklerin varlığına W 0 1 r E 2 d D.Ed 2 2 bunu ispatlamak için, dielektrik malzemenin yerinde sabitlendiğini ve serbest yüklerin her defasında azar azar getirildiğini varsayınız. f ve f miktarı kadar arttırıldığında kutuplanma değişecek ve onunla birlikte bağlı yük dağılımı da değişecektir; fakat biz yalnızca artımlı serbest yük üzerine yapılmış olan işle ilgileniyoruz: W ( f )Vd (2.12) D sonuçta D’de oluşan değişme olmak üzere, 10 .D f , f .(D) olduğundan W . D Vd elde edilir. Şimdi ise (D)V . D V D.(V ) olduğundan ve buradan W . D V d D Ed diverjans teoremi birinci terimi bir yüzey integraline çevirir ve bu bütün uzay boyunca integral aldığımızda kaybolur. Bu sebeple yapılan iş şuna eşittir. W D Ed (2.13) Şimdiye kadarkiler her malzemeye uygulanabilir. Şimdi, ortam dielektrikse, o zaman D E ’dır, (böylece sonsuz küçük artımlar için) 1 1 D.E E 2 (E ).E D .E 2 2 geçerlidir. Buradan 1 W D.E d 2 serbest yükü sıfırdan şekillerin son değerine yükselttiğimiz sırada toplam yapılan iş W 1 D.Ed 2 (2.14) bir sistemin enerjisi ile neyi kastediyoruz? Yanıt: sistemi kurmak için gerekli iştir. Bu işlemi yorumlamak için farklı iki yolu vardır: 1) Bütün yükleri birer birer cımbızla getiririz her birini uygun son konumuna yapıştırırız. Denklem 2.14 depolanan enerjinin denklemidir. 11 2) Kutuplanmamış dielektirik yerindeyken serbet yükleri bir yere getiriyoruz ve dielektriğin de uygun şekilde tepki vermesine izin veriyoruz.” sistemi kurmaktan”kastettiğimiz buysa zaman denklem 2.14 bizim istediğimiz formüldür. Bu durumda dolaylı yoldan da olsa”yay”enerjisi katılmıştır çünkü serbest yükle uygulamamız gereken kuvvet bağlı yükün düzenine bağlıdır; serbest yükleri hareket ettirirken siz otomatik olarak bu “yayları” da uzatıyorsunuz demektir. Yöntem (2)’de sistemin toplam enerjisi üç kısımdan oluşmuştur: serbest yükün durgun elektrik enerjisi, bağlı yükün durgun elektrik enerjisi ve “yay” enerjisi: y x w l Şekil 2.3 serbest yükün durgun elektrik enerjisi Wtoplam Wserbest Wbağlı Wyay Son ikisi eşit ve zıttır; böylece Wserbest hesaplanırken yöntem (2)gerçekte Wtoplam işini verir, öte yandan yöntem (1)ise Wserbest Wbağlı Toplamını hesaplar ve W yay terimini bırakır. 2.1.4 Dielektriklerde Kuvvetler Bir iletkenin elektrik alanın içine çekilmesi gibi bir dielektrikte çekilir ve esas olarak aynı nedenle bağlı yükler zıt işaretteki serbest yüklerin yakınında birikme eğilimindedir. Fakat dielektrikler üzerindeki kuvvetlerin hesabı hayret edilecek kadar kurnazca olabilir. Örneğin 12 bir paralel plakalı kapasitörün plakaları arasına sokulmuş doğrusal dielektrik bir malzeme dilimi halini göz önüne alalım. Her yerde alan plakalara dik olduğu için kuvvet sıfırdır. Gerçekten bir kapasitörün kenarında alan ani olarak sıfırlanmaz. Çünkü öyle olsaydı Şekil 4.4’de gösterilen bir kapalı ilmeğin etrafında E’nin çizgi integrali sıfır olmazdı. Kenarlarının yakınındaki bu bölgeye adı verilebilir. ∮ Saçaklanma Bölgesi 𝐸. 𝑑𝐼 = 0 Şekil 2.4 Saçaklandırılmış alan Burada Fben benim dielektrik üzerindeki F kuvvetine karşı koymak üzere uygulamak zorunda kaldığım kuvvettir: Fben =-F. Böylece dilim üzerindeki elektriksel kuvvet F dW dx (2.15) kapasitörde depolanan enerji 1 W CV 2 2 (2.16) sığa C 0w d rl e x plakaların üzerindeki yükün sabit tutulduğunu Q=CV kabul edelim.Q cinsinden 13 (2.17) W 1 Q2 2 C F (2.18) dW 1 Q 2 dC 1 2 dC V dx 2 C 2 dx 2 dx (2.19) w dC 0 e dx d F 0 e w 2 V 2d (2.20) Bir bataryaya bağlayarak elbette kapasitörü sabit bir potansiyelde tutmak mümkündür. Fakat bu durumda dielektrik hareket ettiği sırada aynı zamanda bataryada iş yapar dW Fben dx VdQ (2.21) buluruz. Burada VdQ batarya tarafından yapılan iştir. Sonuç olarak: 0F dW dQ 1 dC dC 1 2 dC V V2 V 2 V dx dx 2 dx dx 2 dx 2.22) bulunur. Örnek: Türdeş dielektrik bir küre, önceden E0 elektrik alanın yerleştiriliyor küre elektrik alnı doğrusal malzemeden düzgün olan içine içindeki bulunuz. E 14 i. Viç Vdış , ii. iii. Vdış E0 r cos dViç dr 0 r=R’de, dVdış r=R ‘de, dr (1.27) r>>R için Viç (r , ) Al r l Pl (cos ) (1.28) l 0 Vdış (r , ) E0 r cos l 0 Bl Pl (cos ) r l 1 (1.29) Sınır koşulu ise l 0 Al r l Pl (cos ) E0 r cos l 0 Bl Pl (cos ) r l 1 olması gerekir böylece; Al R l Bl R l 1 l 1 Al R l E0 r r l 0 (1.30) Bl R2 lAl R l 1 Pl (cos ) E0 r cos r lAl R l 1 l 0 (l 1) Bl Rl 2 15 l 1 (l 1) Bl Pl (cos ) Rl 2 (1.31) Al R l E0 R r l 0 Bl R2 lAl R l 1 Pl (cos ) E0 r cos l 0 (l 1) Bl Pl (cos ) Rl 2 sonucunu verir bu sebeple r lAl R l 1 (l 1) Bl Rl 2 r Al E0 2 Bl . R3 l 1 (1.32) sonuç olarak l 1 Al Bl 0 Al (1.33) 1 3 3 E0 Bl r R E0 r 2 r 2 açıkça Viç (r , ) 3E0 3 r cos z r 2 r 2 yazabiliriz ve buradan küre içindeki alan düzgündür: E 3 E0 r 2 (1.34) 16 Problem a yarı çaplı küresel bir iletken Q yükü taşımaktadır(Şekil 4.6) iletken b yarı çapına kadar e alınganlığı doğrusal bir dielektrik malzeme ile sarılmıştır. Bu şekillerimin enerjisini bulunuz ( W 1 D.Ed ) 2 b a Q Çözüm: 0, r a 0, r a Q D Q rˆ, a r b , E 2 rˆ, r a 4 r 4 r 2 Q 4 r 2 rˆ, r b 0 1 b 1 1 2 1 1 Q2 1 1 Q2 W D.Ed 4 2 2 r dr 2 dr 2 2 4 2 0 b r a r r 8 1 1 b 1 1 |a |b 0 r r Q2 Q2 1 1 1 1 1 e 8 0 1 e a b b 8 0 1 e b b Problem İki uzun eş eksenli silindirik metal boru (iç yarıçapı a , dış yarıçapı b ) bir tank dolusu dielektrik yığın ( alınganlığı e , kütle yoğunluğu ) içinde düşey olarak durmaktadır. İçteki V potansiyelinde tutulmakta ve dıştaki ise topraklanmış durumdadır (Şekil. 4.7). Yağ iki boru arasında hangi ( h ) yüksekliğine kadar yükselir. b 17 Kapasite bulmak için bir fonsiyon ele alalım 2 ln b a , 4 0 s 4 0 ; r 2 2 2 0 0 D E V ln b a , 4 s 4 s 4 0 E 2 V Q h l h r h h l r 1 h l e h l toplam yükseklik h olduğu C h l . Q e h l 4 0 2 0 e V 2 ln b a ln b a 1 dC 1 2 2 0 e Net kuvvet tarafından yukarı doğru erilir, F V 2 V 2 dh 2 ln b a Aşağı çekim kuvvetinin olduğunu F mg b 2 a 2 gh ,bu iki denklemin sonucu olarak h 0 eV 2 b2 a 2 g ln b a Bulunur. 18 Problem a yarı çaplı iletken bir küre b yarı çapına kadar kalın bir yalıtkan dielektrikle kaplanmıştır. Bu cisim şimdi ilk baştan düzgün olan E0 elektrik alanı içine yerleştiriliyor. Yalıtkan içindeki elektrik alanı bulunuz. Çözüm: Potansiyel Vout r , E0 r cos r b ; Bl Pl cos , r l 1 B Vmed r , Al r l l l1 Pl cos , r arb ; Vin r, 0 , r a ; sınır şartları i Vout Vmed , ii r b ; Vmed V 0 out r r r b ; r a ; Vmed 0 i E0b cos Bl B P cos Al bl l l1 Pl cos ; l 1 l r b ii 1 lAl bl 1 l 1 iii lAal Bl B P cos E0 cos l 1 l l1 Pl cos ; l 2 l b b Bl 0 Bl a 2l 1 Al . l 1 a İse l 1: i Bl l a 2l 1 Al Ab l 2 l bl 1 b 2l 1 2l 1 Bl Al b a ; 19 a 2l 1 Al B l 2l 1 2l 1 l 1 l 1 l 2 l 1 l l2 Bl r Al ii r lAb l b a Al Bl 0 ; b b l 1 İse l 1: i E0b B1 a3 A1 A b B1 E0b3 A1 2 b3 a 3 ; 1 b2 b2 a3 A1 B r A1 2 3 E0 2 31 2 B1 E0b3 r A1 b3 2a3 . b b yani 3E0b3 A1 2 b3 a3 r b3 2a3 ; A1 Vmed r. 3E0 . 3 2 1 a b r 1 2 a b 3 3E0 a3 r cos 3 3 r2 2 1 a b r 1 2 a b E r , Vmed 2a 3 a3 ˆ r cos r r sin ˆ 3 3 3 3 r r 2 1 a b r 1 2 a b 3E0 Problem Şekilde xy düzleminin yukarısındaki bölgenin de doğrusal dielektirkle doldurulduğunu fakat alınganlığının e olduğunu var sayınız. Her yerdeki potansiyeli bulunuz. 20 Çözüm: edilen Sözü ii dört çevreleyen yüzeyin yüzey Denklem polarizasyon yük, iii d bir yüzey yük düşük i alt denklem vardır; i q , z dielektrik yüzey b . yükü b dieletrik dir. r ( r x b .P . 0 q p q e 1 e e D e f 1 e ) bağlıdır. böylece toplam 0,0,b ise q q q t p ii bağlı q 1 e q r dir. (a) b b qd r 1 (burada b P.nˆ Pz 0 e Ez ); b 0 e 3 4 0 2 2 2 2 0 2 0 r d (b) b b qd r 1 (burada b Pz 0 e Ez ). b 0 e 3 4 0 2 2 2 2 2 0 0 r d 21 denklem Çözüm için b , b ; ilk bölüm e ve e (sırasıyla) ve çıkarma b b qd r qd r 1 1 e b 3 3 e 2 2 2 2 e e 2 r 2 d 2 2 r d Çözmek için (a) denkleminde b ,yazılırsa r 1 e b e 1 qd r 1 qd ; e 1 e b e e , b 3 3 4 r 2 d 2 2 2 4 r 2 d 2 2 1 e e 2 qd r qd 1 1 1 b e 3 3 4 r 2 d 2 2 1 e e 2 2 r 2 d 2 2 , r e 1 qd . 3 4 r 2 d 2 2 1 e e 2 Toplama bağlı yüzey denklemi , t b b e e 1 qd 4 r 2 d 2 3 2 r 1 e e 2 ( ki, ne zaman olması gerektiği gibi kaybolur e e ) e Toplama bağlı yüküde ( b q )yapılır. e 2 t q e e q r r , ve dolayısıyla 2 r 1 e e 2 r r r qt q r 1 V r , ise ( z 0 ). 2 2 2 4 0 x 2 y 2 z d 2 x y z d Bununla birlikte q q 2q 1 qt 1 r r ,V r r r r r r r 4 0 ise ( z 0 ) 22 2q r r x2 y 2 z d 2