2 UZAYDA KARTEZYEN VEKTÖRLER Uzayda Kartezyen Vektörlerin Dik Bileşenleri Şimdide Fh ‘yi dik bileşenlerine ayıralım Vektör OBAC düzleminde yer almaktadır. Fx Fh cos F vektörünü düşey ve yatay bileşenlere ayırabiliriz. Fy F cos Fh F sin Fx F sin cos Fz Fh sin Fz F sin sin F vektörünün eksenlerle yaptığı açılarla, Fx F cos Fy F cos Fz F cos A Ax i Ay j Az k A A cos .i cos . j cos .k Ay A cos A Birim Vektör : Birim vektör, büyüklüğü 1 olan boyutsuz vektördür. A Ax A cos u u A A Az A cos A Au A A cos .i cos . j cos .k u cos .i cos . j cos .k Ax A cos cos Ax A Ay A cos cos Ay Az u Ax i j k A A A Ay A A Az A cos cos Az A Ax2 Ay2 Az2 Doğrultman Kosinüsleri cos Ax A cos cos 2 cos 2 cos 2 1 Ay A cos Az A Örnek 1: Şekilde gösterilen F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz.. cos 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos 2 60 o cos 2 45o 1 cos 0.5 Örnek 2: Şekilde gösterilen F kuvvetini kartezyen vektör olarak ifade ediniz.. Örnek 3: Şekildeki kancaya iki kuvvet etmektedir. F2 vektörünün doğrultu açılarını, bileşke kuvvetin FR doğrultusu pozitif y ekseni doğrultusunda ve şiddeti 800 N olacak şekilde belirleyiniz. Konum Vektörü A (4, 2, -6), B (0, 2, 0) ve C (6, -1, 4) Bir Doğru Boyunca Yönelen Kuvvet Vektörü : Üç boyutlu problemlerde bir kuvvetin doğrultusu çoğu zaman etki çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir. Bu durumda F kartezyen vektör olarak aşağıdaki gibi formüle edilebilir. F = F u = F (r/r) Örnek 4: Takviye kablosu AB’deki oluşan kuvvet 2500 N dur. a) A’daki cıvataya etki eden kuvvetin Fx, Fy, Fz bileşenlerini, b) Kuvvetin yönünü tanımlayan qx, qy, qz açılarını belirleyin. ÇÖZÜM: A’dan B’ye yönelen birim vektör belirlenir. AB 40 m i 80 m j 30 m k AB 40 m 2 80 m 2 30 m 2 94.3 m 40 80 30 u i j k 94.3 94.3 94.3 0.424i 0.848 j 0.318k • Kuvvetin bileşenleri belirlenir. F Fu 2500 N 0.424i 0.848 j 0.318k 1060 N i 2120 N j 795 N k u cosq x i cosq y j cosq z k 0.424i 0.848 j 0.318k q x 115.1 q y 32.0 q z 71.5 Örnek 5: Pencere AB zinciri ile açık tutulmaktadır. Zincirin uzunluğunu belirleyiniz ve zincir boyunca A’dan etkiyen 200 N’luk kuvveti kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz. Kuvvetin koordinat doğrultu açılarını belirleyiniz. Birim vektör: A noktasının koordinatları; A 1.25 cos 40 o , 2, 1.25 sin 40 o m A0.958, 2, 0.8035 m rAB 0 0.958i 1.25 2 j 3 0.8035k m 0.958i 0.75 j 2.1965k m rAB 0.9582 0.752 2.19652 2.511 m 0.958i 0.75 j 2.1965k 2.511 0.3815i 0.2987 j 0.8748k u AB u AB Kuvvet vektörü F Fu AB 200 0.3815i 0.2987 j 0.8748k 76.3i 59.74 j 174.96k N Birim vektörden koordinat doğrultu açıları; cos 0.3814 112o cos 0.2987 107o cos 0.8748 29o