1 GİRİŞ

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DÜZGÜN MANYETİK ALANDA YÜKLÜ KERR
KARA DELİĞİNİN ELEKTROMANYETİK ENERJİSİ
Fizikçi Yasemin SERDAR
F.B.E. Fizik Anabilim Dalı Fizik Programında
Hazırlanan
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Reyhan KAYA (YTÜ)
İSTANBUL, 2007
İÇİNDEKİLER
Sayfa
SİMGE LİSTESİ ....................................................................................................................... iv
KISALTMA LİSTESİ ................................................................................................................ v
ŞEKİL LİSTESİ ........................................................................................................................ vi
ÖNSÖZ.....................................................................................................................................vii
ÖZET .......................................................................................................................................viii
ABSTRACT .............................................................................................................................. ix
1.
GİRİŞ....................................................................................................................... 1
2.
GENEL GÖRELİLİK.............................................................................................. 3
2.1
2.2
Einstein Alan Denklemleri ...................................................................................... 3
Kerr Kara Deliği ...................................................................................................... 6
3.
DÜZGÜN MANYETİK ALANDA KARA DELİK............................................... 9
3.1
3.2
3.3
Killing Vektörleri ve Elektromanyetik Alan ........................................................... 9
Elektromanyetik Alan Tansörü.............................................................................. 12
Kara Deliğin Kazandığı Yük ................................................................................. 14
4.
DÜZGÜN MANYETİK ALANDA YÜKLÜ KERR KARA DELİĞİNİN
ELEKTROMANYETİK ENERJİSİ...................................................................... 16
4.1
4.2
4.3
Kerr Kara Deliğinin Elektromanyetik Alan Tansörü ............................................ 17
Enerji-Gerilim Tansörü.......................................................................................... 21
Kerr Kara Deliğinin Elektromanyetik Enerjisi ...................................................... 22
5.
SONUÇLAR.......................................................................................................... 29
KAYNAKLAR......................................................................................................................... 30
EKLER ..................................................................................................................................... 31
Ek 1 Killing Vektörleri ............................................................................................................. 32
Ek 2 Boşluktaki Maxwell Denklemleri .................................................................................... 33
Ek 3 Kerr Metriğinin Christoffel Sembolleri ve Kerr Metriğinin Determinantı ...................... 35
Ek 4 Boşlukta Maxwell Alan Denklemlerinin Çözümü-Kerr Metriğinin Alan Tansörü ......... 37
Ek 5 Enerji-Gerilim Tansörünün İzi......................................................................................... 41
ii
ÖZGEÇMİŞ.............................................................................................................................. 45
iii
SİMGE LİSTESİ
B0
Fμν
Manyetik alan
Elektromanyetik alan tansörü
G
G μν
Kütleçekim sabiti
Einstein alan tansörü
g μν
Metrik katsayıları
JH
Κ
κ
Lξ
m
Q
Pμ
Kara deliğin açısal momentumu
Einstein sabiti
Kara deliğin yüzey kütleçekimi
Lie türevi
rH
R μν
s
Tμν
ξ( t )
ξ(φ)
ζ
ΩH
Kara deliğin olay ufku
Eğrilik tansörü
Kara deliğin kütlesi
Yük
4-momentum
Spin parametresi
Enerji-momentum tansörü
Zamansal Killing vektörü
Eksenel Killing vektörü
Kara deliğin spin parametresine bağlı bir katsayı
Kara deliğin açısal hızı
iv
KISALTMA LİSTESİ
EAD
Einstein Alan Denklemleri
v
ŞEKİL LİSTESİ
Şekil 1.1 Genel Görelilikte Uzay-Zaman ................................................................................... 5
Şekil 1.2 Kerr Kara Deliği.......................................................................................................... 7
Şekil 4.1 ζ katsayısının s spin parametresine bağlı değişimi .................................................. 27
vi
ÖNSÖZ
Tezim süresince bana yardımcı olan danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Reyhan KAYA’ya
teşekkür ederim.
Beni her zaman destekleyen ve yanımda olan anneme, babama ve kardeşim Kemal’e
biliyorum ki ne kadar teşekkür etsem az...
Ayrıca, bana sabırla destek olduğu için Arş. Gör. Çağdaş ALLAHVERDİ’ye, yanımda olduğu
için dostum Arş. Gör. Dr. Çiğdem YUMUŞAK’a, paylaşımlarıyla bana yardımcı olan Utkan
GÜNGÖRDÜ’ye, Yeter ÇALYAY’a ve tüm arkadaşlarıma teşekkürü borç bilirim.
vii
ÖZET
Bu tez üç ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde kısaca, genel görelilik teorisi, Einstein
alan denklemleri ve Kerr kara deliği anlatılmıştır.
İkinci bölümde, simetri ekseni boyunca düzgün manyetik alanda bulunan durağan, eksenel
simetrik kara deliğin elektromanyetik alanı için çözüm hesaplanmıştır. Elektromanyetik alan,
kara delik uzay-zamanının Killing vektörlerinin o uzay-zamanın vektör potansiyelleri
olmasından yararlanılarak elde edilmiştir. Kara deliğin, “enjeksiyon enerjisi” sıfır olana kadar
seçici olarak yükleneceği gerçeği kullanılarak elektromanyetik enerjisini en küçük yapan yük
değeri bulunmuştur.
Üçüncü bölümde, Komar kütle formülüyle düzgün manyetik alandaki yüklü Kerr kara
deliğinin elektromanyetik enerjisi hesaplanmıştır. Hesaplanan enerjinin ekstremize
edilmesiyle, kara deliğin en küçük elektromanyetik enerjiye sahip olması için gereken yük
değeri elde edilmiştir. Bu yükle elde edilen enerji, Wald durumu enerjisi ile karşılaştırılarak
Wald durumunun enerjisinin en küçük enerjili duruma karşılık gelmediği gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Genel görelilik teorisi, Kerr kara deliği, manyetik alan, elektromanyetik
enerji
viii
ABSTRACT
This thesis includes three main parts. In the first part, the general theory of relativity, Einstein
field equations and Kerr black hole is briefly mentioned.
In the second part, the solution for the electromagnetic field occurring when a stationary,
axisymmetric black hole is placed in a uniform magnetic field aligned along the symmetry
axis of the black hole is calculated. The electromagnetic field is obtained by using the Killing
vectors of space-time as the vector potentials of space-time. The charge value that makes the
electromagnetic energy minimum is obtained by using the fact that a black hole will
selectively accrete charge until the “injection energy” is reduced to zero.
In the third part, the electromagnetic energy of the charged Kerr black hole in a uniform
magnetic field is calculated with Komar mass formula. The value of charge that is needed for
the minimum electromagnetic energy of black hole is obtained by extremizing the calculated
energy. The fact that the Wald state isn’t the state with minimum electromagnetic energy is
shown by comparing the energy that is obtained with this charge and the energy of Wald state.
Keywords: General theory of relativity, Kerr black hole, magnetic field, electromagnetic
energy
ix
1
1.
GİRİŞ
Kara deliğin elektromanyetik enerjisi hesaplanırken kara deliğin net bir elektrik yüküne sahip
olup olmaması büyük önem taşır. Manyetik alan içerisinde bulunmayan, yalıtılmış kara
deliğin net bir yüke sahip olamayacağı iyi bilinmektedir (Wald, 1974). Ancak kara delik
manyetik alan içerisindeyken denge durumu yük değerinin ne olacağı sorusunun cevabı açık
değildir.
Ruffini ve Treves, düz uzay zamanda, düzgün bir manyetik alan içerisinde bulunan dönen
küre problemini inceleyerek dönen kürenin elektromanyetik enerjisinin en küçük değerini
alabilmesi için net bir yüke sahip olması gerektiğini bulmuşlardır (Ruffini ve Treves, 1973).
Wald, düzgün manyetik alan içindeki, yük kazanan, durağan, eksenel simetrik kara deliğin
denge durumunun yükünü Q = 2B 0 J H olarak hesaplamıştır. Wald, bu sonuca ulaşmak için
kara deliğin simetri eksenindeki “enjeksiyon enerjisi”nin sıfır olması koşulunu kullanmıştır.
Ancak kullanılan yöntemde eklenen parçacıkların yüklerinin işaretlerinin bilinmesi önem
taşıdığı ve eksendeki ek yüklerin etkisi açık olamadığı için elde edilen sonuç genel bir sonuç
olmaktan uzak kalmıştır (Wald, 1974).
Düzgün manyetik alandaki yüklü Kerr kara deliğinin elektromanyetik enerjisi Li-Xin Li
tarafından Komar kütle formülü yardımıyla bulunmuştur. Bulunan manyetik enerjiyi en küçük
yapan yük değeri kara deliğin enerjisi minimize edilerek hesaplanarak Q = 2ζB 0 J H olarak
bulunmuştur. Buradaki ζ katsayısı kara deliğin spin parametresine bağlı bir katsayıdır (LiXin-Li, 2000).
Bu tezde amaçlanan simetri ekseni boyunca düzgün bir manyetik alanda bulunan yüklü Kerr
kara deliğinin elektromanyetik enerjisini en küçük yapan yük değerinin belirlenmesidir. Üç
bölümden oluşan tezin ilk bölümünde genel görelilikle ilgili temel bilgilere yer verilmiştir.
İkinci bölümde, simetri ekseni boyunca düzgün B 0 manyetik alanında bulunan durağan,
eksenel simetrik kara deliğin dışarısında oluşan elektromanyetik alan hesaplanmıştır.
Elektromanyetik alan hesaplanırken boş uzay-zamanın Killing vektörlerinin o uzay zamanın
vektör potansiyelleri olmasından yararlanılmıştır. Durağan, eksenel simetrik kara deliğin
denge durumunda net bir yükle yüklenmesi gerektiği gösterilerek, bu yük değeri enjeksiyon
enerjisi yöntemiyle bulunmuştur. Tezin üçüncü bölümünde ise simetri ekseni boyunca düzgün
bir manyetik alan içerisinde bulunan yüklü Kerr kara deliğinin elektromanyetik enerjisi
Komar kütle formülü yardımıyla hesaplanmıştır. Komar kütle formülünde kullanılmak üzere
2
Kerr metriğinin elektromanyetik alan tansörü hesaplanarak, bu tansörün boşluktaki Maxwell
denklemlerinin çözümü olduğu gösterilmiştir. Yine Komar kütle formülü hesabında
kullanılmak üzere enerji-momentum tansörünün bileşenleri bulunmuş ve izinin sıfır olduğu
gösterilmiştir. Komar kütle formülü yardımıyla elde ettiğimiz Kerr kara deliğinin
elektromanyetik enerjisi minimize edilerek kara deliğin minimum enerjiye ulaşması için
gereken yük hesaplanmıştır. Bulunan yük değeri Wald’un bulduğu yük değeri ile
karşılaştırılarak Wald değerinin Kerr kara deliğinin minimum enerjisine karşılık gelen yük
değeri olmadığı belirlenmiştir.
3
2.
GENEL GÖRELİLİK
Genel görelilik kuramı, özel göreliliğin ifade ettiği gibi yalnız eylemsiz referans sistemleri
için değil eylemsiz veya eylemli tüm referans sistemleri için fizik yasalarının aynı olması
gerekliliğinden doğmuş bir kuramdır. Amaç, eylemsiz referans sistemleri için elde edilen özel
görelilik kuramının sonuçlarını tüm referans sistemleri için, ivmeli hareket eden sistemler için
de elde ederek genişletmektir. Einstein, ivmenin kütleçekim sonucu oluştuğunu kullanarak
çekim kütlesinin eylemsizlik kütlesine eşit olduğunu söylemiştir. Böylelikle ivme zamanla
değişen bir çekim alanı olarak da yorumlanabilir. Bu durumda incelememiz gereken
kütleçekim alanı altındaki hareket olmalıdır (Einstein,1976).
Çıkarımın çekim alanının kendisinin sağladığı yasaların incelenmesiyle ilgili olduğuna inanan
Einstein, kütleçekimi açıklamak için şu devrimsel yaklaşımı yapmıştır: “Uzay-zaman
içerisindeki kütle etrafındaki uzay-zamanı eğer. Böylelikle kütle çekim söz konusu olduğunda
uzay-zaman artık düz değil eğri uzay-zamandır. Kütlesel çekim, uzay-zaman içindeki kütlenin
uzay-zamanı eğmesinden dolayı oluşur.” Bu yaklaşımla Einstein kütleyle uzay-zamanın
geometrisi arasında bir ilişki kurmuştur. Einstein’ın kütleçekim yasasının temelini bu
varsayım oluşturur (Einstein, 1976; Dirac, 1996; Taylor ve Wheler, 2000).
2.1
Einstein Alan Denklemleri
Kütle çekim alanı ile uzayın geometrik yapısı arasındaki ilişkiyi yansıtan, kuramın temel
denklemlerine “Einstein Alan Denklemleri” denir. Alan denklemleri aşağıdaki özelliklere
sahip olmalıdır:
1. Alan denklemleri, referans sistemi seçiminden bağımsız olarak ifade edilebilmelidir.
2. Alan denklemleri, kütlenin uzay-zamana etkisini içermelidir.
3. Alan denklemleri, Newton mekaniği limitinde, yani kütleçekim alanının zayıf olduğu,
zamanla değişmediği ve parçacıkların hızının ışık hızına kıyasla çok küçük olduğu
durumda,
klasik
alan
denklemi
olan
∇ 2φ = 4πGρ
Poisson
denklemine
indirgenebilmelidir.
Birinci özellik dolayısıyla alan denklemleri lineer geometrik büyüklükler olan ve
oluşturdukları eşitlikler her sistemde aynı kalan tansörlerle ifade edilmelidir. İkinci özellik
teorinin temelini oluşturan varsayımdan hareketle alan denklemlerinin bir tarafının uzayzamandaki madde dağılımıyla ilişkili, diğer tarafınınsa uzay-zamanın yapısıyla ilişkili olması
4
gerektiğine işaret eder. Üçüncü özellik ise alan denkleminin Poisson denklemine
indirgenebilmesi için denklemin, koordinatların en fazla ikinci türevini içeriyor olması
gerekliliğini gösterir (Özemre, 1982; Soyuçok, 2004; d’Inverno, 2005).
Eşitliğinin bir tarafını uzay-zamanın yapısını tanımlayan metrik katsayılarını içeren tansörün
oluşturduğu EAD’nin madde dağılımını içermesi gereken tarafını özel görelilikteki kütle
enerji eşitliğinden ötürü uzay-zamanın enerji-momentum tansörü Tμν oluşturur. Enerjimomentum tansörü 2. mertebeden simetrik bir tansördür. Enerji-momentum tansörü
korunumludur, dolayısıyla kovaryant türevi sıfıra eşittir;
∇μ Tμν = 0
(1.1)
Alan denklemlerinin uzay-zamanın yapısıyla ilgili kısmı da denklemlerin Poisson denklemine
indirgenebilmesi için metrik katsayıların en fazla ikinci basamaktan türevini içeren, kovaryant
türevi sıfır olan 2. mertebeden simetrik tansör olmalıdır. Einstein tansörü bu özelikleri taşır;
∇μGμν = 0
(1.2)
Böylelikle Einstein alan denklemleri:
G μν = KT μν
şeklindedir.
(1.3)
Newton
mekaniği
limitinde
alan
denklemlerinin
Poisson
denklemine
indirgenmesi koşulu kullanılarak Einstein sabiti adı verilen K sabiti aşağıdaki şekilde bulunur.
Κ=
8πG
c4
(1.4)
Aslında Einstein alan denklemleri kozmolojik sabit adı verilen değeri sıfır kabul edilebilecek
kadar küçük Λ sabitini içerir. Λ ≠ 0 varsayımı altında alan denklemlerinin çözümünün Güneş
sistemine hiçbir etkisinin olmadığı gösterilmiştir. Ancak tüm evren söz konusu olduğunda,
bazı evren modellerinde Λ ≠ 0 varsayımı önemli rol oynar (Özemre, 1982).
5
Şekil 1.1 Genel Görelilikte Uzay-Zaman. Kütle ( T μν ) uzay-zamanın geometrisini ( G μν )
tanımlar. Kütle, uzay-zamanı eğer, uzay- zamanın geometrisi de kütlelerin nasıl hareket
edeceğini belirler (http://en.wikipedia.org).
EAD (1.3), on tanesi T μν bileşenleri on tanesi g μν bileşenleri olmak üzere yirmi bileşen
içeren on denklemden oluşmaktadır. EAD soldan sağa okunduğunda verilen metrik bileşenleri
g μν ’lere karşılık gelen enerji-momentum tansörünün bileşenlerinin bulunacağı denklem
sistemini ifade edecektir. EAD sağdan sola okunduğunda, yani enerji-momentum tansörü
T μν lerin verilmesi durumunda, enerji-momentum tansöründen hareketle metrik tansörün
bileşenleri g μν ’lerin bulunacağı diferansiyel denklem sistemini ifade edecektir. Özel
görelilikteki kütle enerji eşitliğinden hareketle tüm enerji formları kütleçekimsel alan
kaynaklarıdır. Bu yüzden T μν alan denklemlerinin kaynağı olarak adlandırılır. En önemli
durum T μν = 0 olduğu duruma karşılık gelen boşluk çözümleridir. Einstein denklemlerinin
kütleçekimsel kökenli çökmeyi tanımlayan genel çözümlerinin bulunması zor bir problem
olup, yaklaşım yapılmaksızın tam olarak çözülememektedir ( Tμν ≠ 0 ). Bununla beraber,
enerji-momentum tansörünün Tμν = 0 olduğu durumda, yani maddesel kütlenin etrafındaki
uzay-zaman yapısını anlayacağımız “boşluk alan denklemleri”nin çözümleri (boşluk
çözümleri) değişik yaklaşıklarla hesaplanmıştır (d’Inverno, 2005). Tμν = 0 olduğu durumda
alan denklemleri,
G μν = R μν −
1 μν
Rg = 0
2
(1.4)
şeklinde ifade edilir. Kovaryant metrik bileşenlerini içeren R μν , uzay-zamanın eğriliğini
tanımlayan eğrilik tansörüdür.
Boş uzay-zaman için EAD lineer değildir ve bu yüzden yaklaşım yapılmaksızın çözümlerinin
bulunması zordur. Einstein alan denklemlerinin durgun, küresel simetrik kütle etrafındaki
uzay-zamanı veren boşluk çözümü Schwarzschild tarafından, denklemlerin elde edilmesinden
yalnızca bir yıl sonra 1916’da çözülmüştür. Denklemlerin eksenel simetrik, durağan kütle
etrafındaki uzay-zamanı veren boşluk çözümü 1963’te Yeni Zelandalı matematikçi Roy Kerr
tarafından bulunmuştur.
6
2.2
Kerr Karadeliği
Kütleçekim etkisinde çöken kütlenin kara deliğe dönüşeceği ve bu kara deliğin durağan
durumda kalacağı iyi bilinmektedir. Durağanlık tanımı, kara deliğin sabit olmadığını fakat
her zaman aynı şekilde döndüğünü ifade eder. Eğer kara delik dönüyorsa durağan durum
eksenel simetrik olmalıdır (Hawking, 1972). Bu durum Einstein alan denklemlerinin durağan,
eksenel simetrik kütle etrafındaki uzay-zamanı tanımlayan Kerr çözümü ile tanımlandığından
durağan, eksenel simetrik kara deliklere Kerr kara deliği denir. Boyer-Lindquist
koordinatlarında ( t , r , θ, φ) Kerr metriği,
ds 2 = −
Δ
sin 2 θ 2
Σ
( dt − a sin 2 θdφ ) 2 +
(( r + a 2 )dφ − adt ) 2 + dr 2 + Σdθ 2
Δ
Σ
Σ
(1.5)
şeklinde verilir. Burada Δ ve Σ ifadeleri aşağıdaki gibidir,
Δ = r 2 − 2 mr + a 2 ,
Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ .
(1.6)
Çözüm m ve a parametrelerine bağlıdır; m, kara deliğin kütlesi, a kara deliğin birim kütlesinin
açısal momentumudur ( a =
JH
). Metrik katsayıları t ve φ ’den bağımsız olduğu için uzaym
zaman eksenel ve zamansal Killing vektörlerine sahiptir (Ek1). Kara deliğin olay ufku g 11
metrik bileşeninin tanımsız olduğu yerdedir. Δ = 0 olduğu r değeri g 11 metrik bileşenini
tanımsız yapar;
Δ = r 2 − 2mr + a 2 = 0 .
(1.7)
Çözümü incelerken fiziksel olarak önemli olan açısal momentumun kütleye kıyasla küçük
olduğu durumu ( a 2 ⟨ m 2 ) göz önüne alırsak (1.6) eşitliğinin çözümü,
r± = m ± m 2 − a 2
şeklinde olur. Yani Kerr kara deliğinin Şekil 1.2’de gösterildiği gibi iki olay ufku vardır.
(1.8)
7
z
İç Olay Ufku
r = r−
Halka tekilliği
Dış Olay Ufku
r = r+
Durağan
Limit Yüzeyi
y
x
Şekil 1.2 Kerr kara deliğinin geometrisini ifade eder. Kerr kara deliğinin iki olay ufku vardır.
Bunlar durağan değildirler. Dış olay ufkunun dışarısında durağan limit yüzeyi vardır. Dış olay
ufkuyla durağan limit yüzeyinin arasındaki bölge ergosfer ismini alır.
g 00 metrik bileşenini sıfır yapan değerler ise durağan yüzey yarıçaplarını verir.
g 00
(r 2 − 2mr + a 2 cos 2 θ)
=−
=0
Σ2
(1.9)
eşitliği elde edilir. Çözüm
r = rs ± = m ± m 2 − a 2 cos 2 θ
(1.10)
şeklindedir. Durağan limit yüzeyleri eksenel simetriktir. rs − yarıçapındaki durağan limit
yüzeyi, rs + yarıçapındaki durağan limit yüzeyinin içerisindedir. rs + , ekvatorda 2m, kutuplarda
m + m 2 − a 2 değerlerindedir.
rs + durağan limit yüzeyiyle r+ dış olay ufku arasında kalan bölge ergosfer ismini alır.
Ergosferin içindeki parçacık kara deliğin döndüğü doğrultuda hareket etmek zorundadır ama
olay ufkuna doğru veya ondan uzaklaşacak şekilde hareket edebilir, parçacık ergosferden
çıkabilir.
Kerr kara deliğinin tekil noktası r=0’da değildir. Tekillik, R μνρσ R μνρσ eğrilik değişmezinin
ıraksadığı
Σ = r 2 + a 2 cos 2 θ = 0
noktasındadır.
Toplanan
terimler
negatif
değer
8
almayacağından eşitlik ancak iki terimin ayrı ayrı sıfır olmasıyla, yani r = 0, θ =
noktalarında sıfıra eşit olur. r = 0, θ =
π
2
π
noktalarının seti bir diskin etrafında bir halka
2
tanımlayacaktır (Carroll, 2005; d’Inverno, 2005; O’Neill, 1995).
9
3.
DÜZGÜN MANYETİK ALANDA KARA DELİK
Wald, simetri ekseni boyunca düzgün B 0 manyetik alanında bulunan durağan, eksenel
simetrik kara deliğin elektromanyetik alanı için çözüm üretmiştir. Wald çözümünü
oluştururken boş uzay-zamandaki Killing vektörünün (Ek 1), Maxwell test alanı için vektör
potansiyeli gibi işlem görmesinden yararlanmıştır.
Yalıtılmış kara delik net bir yüke sahip olmadıkça elektromanyetik alana sahip olamaz. Bu
yüzden yalıtılmış kara delik ancak onu yükleyecek bir mekanizmaya sahipse elektromanyetik
etkiler olabilir. Fakat kara delik yalıtılmış değilse dış kaynakların etkisiyle bir manyetik alana
sahip olabilir. Çöken bir cismin elektromanyetik alana çok şiddetli etkileri olacağından kara
delik dış bir elektromanyetik alana yerleştirildiğinde oluşan etkiler incelenecektir.
Bu bölümde ilk olarak boş uzay-zamanda Killing vektörünün boşlukta Maxwell
denklemlerinin çözümü olmasından hareketle asimptotik olarak düz olan uzay-zamanda
zamansal ve eksenel Killing vektörlerinden meydana gelen çözümün özellikleri
incelenecektir. Bölümün ikinci kısmında düzgün manyetik alandaki Kerr kara deliği için
elektromanyetik alan tansörü hesaplanacaktır. Bölümün son kısmında ise düzgün manyetik
alandaki durağan, eksenel simetrik kara deliğin tercihli olarak bir işarette yükü,
Q = 2B 0 J H (Geometrik birimler G=c=1 olarak alınmıştır) olana kadar yükleneceği
gösterilecektir. Burada B 0 düzgün manyetik alanın büyüklüğü, J H kara deliğin açısal
momentumudur ( J H = ma ).
3.1
Killing Vektörleri ve Elektromanyetik Alan
Killing vektörü izometrinin sonsuz küçük işlemcisidir ve aşağıdaki eşitliği sağlar,
0 = L ξ g μν = ξ μ;ν + ξ ν ;μ .
Boş uzay-zamandaki Killing vektörü aynı uzay-zamandaki Maxwell denklemlerinin
çözümünü oluşturur. Killing vektörleri boş uzay-zamanın vektör potansiyelleri olduğundan
elektromanyetik alan aşağıdaki şekilde ifade edilebilir (Frolov ve Novikov, 1998):
Fμν = ξ ν ;μ − ξ μ ;ν = −2ξ μ ;ν .
Böylelikle Fμν boşluk Maxwell denklemlerini sağlar:
(3.1)
10
μ ;ν
F;μν
;ν = 0 .
ν = −2ξ
(3.2)
Düz uzay-zamanda on tane bağımsız Killing vektörü vardır. Dört öteleme Killing vektörünün
oluşturduğu elektromanyetik alan sıfırlanır. Üç dönme Killing vektörü, düzgün manyetik
alanı, üç “boost” Killing vektörü de düzgün elektrik alanı oluşturur (Wald, 1974).
Burada asimptotik olarak düz olan uzay-zamanın zaman öteleme ve eksenel Killing
vektörlerinden oluşan, bu iki simetriye de sahip elektromanyetik alanın özellikleri
⎛∂⎞
incelenecektir. Zamansal Killing vektörü ⎜ ⎟ , ημ ile ve eksenel Killing vektörü
⎝ ∂t ⎠
⎛ ∂ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ , ψ μ
⎝ ∂φ ⎠
ile gösterilir. Dual 1-formda sırasıyla η = ημ dx μ , ψ = ψ μ dx μ eşitlikleri ile ifade edilebilir.
Elektromanyetik alanın diferansiyel formu
F=
1
Fμν dx μ dx ν
2
(3.3)
şeklindedir. Eksenel Killing vektörü tarafından oluşturulan Fψ test alanını ele alalım,
Fψ = dψ .
(3.4)
Fψ durağan, eksenel simetrik çözümdür. Yani,
L ψ Fψ = L η Fψ = 0 .
(3.5)
Çok büyük uzaklıklarda uzay-zaman düz olduğundan dψ düz uzay-zamandaki değerine
yaklaşacaktır. Bu yüzden Fψ asimptotik olarak düzgün manyetik alan olur. Manyetik tekkutup momenti Fψ ’nin büyük uzaklıklarda düzgün hale gelmesiyle ilişkili olarak sıfırlanır;
4πPψ = ∫ Fψ = ∫ dψ = 0 .
(3.6)
Burada integral 2-küre yüzeyi üzerinden alınmıştır. Fψ test alanının yükü aşağıdaki gibi
verilir;
4πq ψ = ∫ * Fψ = ∫ * dψ
(3.7)
burada (*) dual formu gösterir. Fakat ifadenin sağ tarafı uzay-zamanın açısal momentumunun
bir ifadesidir (Wald, 1984):
11
∫ * dψ =16πJ .
(3.8)
Böylelikle eksenel Killing vektörü, asimptotik olarak düzgün manyetik alana yaklaşan
durağan, eksenel simetrik elektromanyetik test alanını oluşturur. Bu test alanı q = 4J yüküne
sahiptir ve manyetik tek-kutup momentine sahip değildir.
Benzer şekilde zamansal Killing vektörü tarafından oluşturulan elektromanyetik alanı ele
alalım,
Fη = dη .
(3.9)
Fη çok büyük uzaklıklarda uzay-zaman düz olmaya başlayınca asimptotik olarak yok olur.
Fη ’nin manyetik tek-kutup momenti yok olur ve yükü aşağıdaki şekilde verilir,
4 πq η = ∫ * Fη = ∫ * dη .
(3.10)
İfadenin sağ tarafı boş uzay-zamanın kütlesini veren bir ifadedir (Misner vd., 1973):
∫ * dη = −8πm .
(3.11)
Böylelikle zamansal Killing vektörü asimptotik olarak yok olan, durağan, eksenel simetrik
elektromanyetik test alanını oluşturur. Bu test alanı q = −2m yüküne sahiptir ve manyetik
tek-kutup momentine sahip değildir.
Kerr kara deliğinin elektromanyetik tedirgemesi üzerine birbirlerinden bağımsız olarak Wald
ve Ipser (1971) tarafından ispat edilen ve Carter (1973) tarafından herhangi bir durağan,
eksenel simetrik kara delik için genelleştirilen teorem şu şekildedir:
F durağan, eksenel simetrik kara delik uzay-zamanının Maxwell test alanıysa aşağıdaki
özellikleri gerçekler:
1. F durağan ve eksenel simetriktir.
2. F kara deliğin dış bölgesinde ve kara deliğin olay ufkunda tekil değildir.
3. F kara delikten büyük uzaklıklarda asimptotik olarak sıfırlanır.
4. F yüke ve manyetik tek-kutup momentine sahip değildir. Yani F = 0 (Wald, 1974).
Bu teorem durağan, eksenel simetrik kara deliğin, Q yükü ilavesine karşılık gelen, ancak tek
bir tedirgemesinin olabileceğini gösterir. Yani asimptotik olarak sıfırlanan kara delik
etrafındaki elektromanyetik test alanının bütün yüksek çok kutuplu momentleri sadece Q
12
tarafından belirlenir (Bu sonuç kara delik etrafında, Q yüklü herhangi iki test alanı arasındaki
farkın teoremin hipotezini sağlayacağı ve böylelikle sıfırlanacağı gerçeğinden çıkarılabilir).
Daha önceki tartışmamız durağan herhangi bir kara delik için daima iyi davranışlı bir
tedirgemenin olduğunu, yani
−Q
−Q
Fη çözümünün olduğunu gösterir. Böylelikle
Fη
2m
2m
çözümü kara deliğe Q yükünü ekleyen tek çözümdür. Bu Kerr metriğinden kolaylıkla
doğrulanır.
−Q
Fη çözümü tam olarak Kerr-Newman (yüklü Kerr) test alanını vermektedir
2m
(Wald, 1974).
3.2
Elektromanyetik Alan Tansörü
Bu bölümde simetri ekseni boyunca düzgün bir B0 manyetik alanına yerleştirilen, durağan,
eksenel simetrik kara deliğin dışında oluşan F elektromanyetik test alanı bulunacaktır. Bu test
alanının aşağıdaki özellikleri sağlaması gerektiği daha önceki tartışmamızdan bilinmektedir:
1. F, durağan ve eksenel simetrik olmalıdır.
2. F, kara deliğin dış bölgesinde ve kara delik olay ufkunda tekil olmamalıdır.
3. Kara delikten büyük uzaklıklarda F’nin değeri asimptotik olarak düzgün manyetik
alan değeri B0 değerine yaklaşmalıdır.
4. F’nin manyetik momenti ve yükü sıfır olmalıdır.
1- 4 özelikleri tek bir elektromanyetik alan F elektromanyetik alanını belirler.1–4 özelliklerini
~
sağlayan iki test alanı F ve F′ ’nü ele alalım. Bu iki test alanının farkı F = F − F ' bir önceki
~
bölümde verilen teoremin hipotezlerini sağlamalıdır, yani F = 0 olmalıdır. Böylelikle
görülmektedir ki F = F' ’dür ve 1–4 özellikleri tek bir F’yi belirler.
Böylelikle önceki tartışmamızın sonucuyla birlikte düzgün manyetik alan içindeki kara
deliğin çözümünü elde etmek için sadece 1–4 özelliklerini sağlayan bir alan tansörü F
yazılmalıdır. Aşağıdaki alan tansörünün bu özelikleri sağladığı kolayca doğrulanabilir (Wald,
1974):
F=
2J
1 ⎛
⎞
B 0 ⎜ dψ + H dη ⎟ .
2 ⎝
m
⎠
(3.12)
Burada J H açısal momentum, m kara delik uzay-zamanının kütlesi, ψ eksenel Killing
vektör, η zamansal Killing vektördür. Böylece (3.12) eşitliği düzgün manyetik alandaki kara
13
deliğin çözümünü verir.
Elektromanyetik alan tansörünün diferansiyel formu olan (3.3) eşitliği, Fμν = −Fνμ ve
dx μ ^ dx ν = −dx ν ^ dx μ antisimetri özelikleri dikkate alınarak yazılırsa elektromanyetik alan
tansörü aşağıdaki şekilde ifade edilir:
F = F10 dx 1 ^ dx 0 + F20 dx 2 ^ dx 0 + F13 dx 1 ^ dx 3 + F23 dx 2 ^ dx 3 .
(3.13)
Boyer-Lindquist formundaki Kerr metriği (1.5) kullanılarak Kerr kara deliği için
elektromanyetik test alanı F’nin tam ifadesi aşağıdaki şekilde elde edilir:
(
)
ma (3 + cos 2θ) a 2 − 2r 2 + a 2 cos 2θ B 0 1
ma (a − r )r (a + r ) sin 2θB 0 2
F=
dx ^ dx 0 +
dx ^ dx 0
2
2
2
2
2
2
2
a + 2r + a cos 2θ
r + a cos θ
(
+
)
(
(
)
)
(
(
)
)
sin 2 θB 0 [(cos 2 θ 2a 2 (r 3 + a 2 (r − m) + a 4 (m − r ) sin 2 θ) + r − a 4 + 2a 2 mr + r 4 + a 2 a 2 − mr sin 2 θ ]
(r
2
+ a 2 cos 2 θ
)
2
⎡
4mr(r 4 − a 4 ) sin 2θ ⎤
dx 1 ^ dx 3 + ⎢ a 2 + r (r − 2m ) cos θ sin θ +
B dx 2 ^ dx 3 .
2 ⎥ 0
2
2
2
a + 2r + a cos 2θ ⎦⎥
⎣⎢
(
B2 − E 2 =
)
(
(3.14)
)
1
Fμν F μν
2
(3.15)
alan değişmezi ile ölçülen alan büyüklüğü değerinin kara delik yakınında artmadığı görülür.
Bununla birlikte eğer kara delik dönüyorsa ( a ≠ 0 ) aşağıdaki alan değişmezi sıfırdan farklı
olacaktır.
E⋅B =
1
* Fμν F μν .
4
Böylelikle
dönen
gözlemleyeceklerdir.
(3.16)
kara
delik
çevresindeki
bütün
gözlemciler
bir
elektrik
alan
14
3.3
Kara Deliğin Kazandığı Yük
Kerr kara deliğinin simetri ekseni üzerindeki pozitif yüklü bir parçacık kara deliğin içine
doğru çekilir, negatif yüklü bir parçacık ise dışarı doğru itilir (Wald, 1974).Bu yüzden
manyetik alan içerisinde, etkileşimsiz iyonize parçacıklarla çevrili kara delik pozitif net bir
yükle yükleninceye kadar yükünü arttıracaktır.Bu net yükün büyüklüğü enjeksiyon enerjisinin
sıfır olması koşulundan elde edilir (Wald, 1974).
Enjeksiyon enerjisi, dönen kara deliğin ergosfer adını verdiğimiz bölgesine yüklü parçacıklar
eklendiğinde parçacığın enerjisinde meydana gelen değişikliktir. Durağan uzay-zaman içinde,
düzgün elektromanyetik alana sahip bir parçacığın elektromanyetik enerjisi;
E = −Pμ ημ
(3.17)
ile verilir (Carroll, 2004; Wald,1974). ημ zamansal Killing vektörü, Pμ 4-momentumdur ve
aşağıdaki şekilde ifade edilir:
Pμ = mu μ − eA μ .
(3.18)
Burada u μ 4-hız, A μ elektromanyetik alanın vektör potansiyelidir. Kolaylık için parçacık
enjeksiyonunun simetri ekseni boyunca gerçekleştiğini varsayalım. Böylelikle, enjeksiyon
enerjisi parçacığın kara deliğin ufkuna geldiği noktadaki enerjisi ile başlangıçtaki enerjisinin
farkı olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir;
∈= E son − Eilk ,
∈= eA μ ημ
ufuk
− eA μ ημ
∞
.
(3.19)
A μ enjeksiyon enerjisi ∈ ’yi sıfır yapacak şekilde değişecektir. A μ vektör potansiyeli basitçe,
yüksüz durumdaki vektör potansiyeli ile Q yükünün eklenmesine karşılık gelen tedirgeme
durumu için yazdığımız
Aμ =
−Q
ημ vektör potansiyelinin toplamı olarak yazılabilir:
2m
2J
1 ⎛
⎞ Q
B o ⎜ ψ μ + H ημ ⎟ −
ημ .
2 ⎝
m
⎠ 2m
(3.20)
Simetri ekseninde ψ μ ημ = 0 , sonsuzda ημ ημ → −1 ve simetri eksenindeki olay ufkunda
ημ ημ = 0 ifadeleri kullanılarak (3.19) eşitliğinden enjeksiyon enerjisi ∈ ,
15
⎛ Q B0 J H ⎞
∈= e⎜
−
⎟
m ⎠
⎝ 2m
(3.21)
şeklinde bulunur. Kara delik enjeksiyon enerjisini sıfır yapana kadar, yani yükü
Q W = 2B 0 J H
(3.22)
değerine ulaşıncaya kadar yüklenecektir. Bu durum kara deliğin son durumu, denge durumu
yani en küçük enerjiye sahip olduğu durumdur. Denge durumu için simetri ekseni boyunca
enjeksiyon enerjisi sıfır olmalıdır. Enjeksiyon enerjisi kara deliğin her yerinde sabit
olduğundan (3.21) bağıntısı parçacıkların enjeksiyonu için genel bir bağıntıdır(Carter, 1973;
Wald, 1974). Ayrıca bu sonuç elde edilirken kara deliğin Kerr kara deliği olmasından
yararlanılmadığı için, (3.22) sonucu herhangi bir durağan, eksenel simetrik kara delik için
geçerlidir. Böylelikle durağan, eksenel simetrik kara deliğin Q = 2B 0 J H
yükü ile
yüklendiğinde elektromanyetik enerjisinin en küçük değerini aldığı belirlenmiş olur.
Kerr kara deliğinin J ≤ m 2 eşitliğini sağlamalıdır. Bu eşitlikten hareketle düzgün manyetik
alandaki Kerr kara deliğinin yük-kütle oranı
⎛ m ⎞
Q
⎟⎟B 0 (Gauss)
≤ 2B 0 m = 1,7 × 10 − 20 ⎜⎜
m
m
⎝ 0⎠
(3.23)
şeklindedir. m ve B 0 güneş kütlesi birimlerine ve Gauss’a çevrilmiştir. Galaksi manyetik
alanı B 0 ≈ 10 −4 − 10 −5 mertebesinde olduğu için yük-kütle oranı ≈ 10 −24 mertebesinde olacak
yani her zaman birden oldukça küçük olacaktır. Eğer kara delik manyetize plazma ile
çevrilmişse B 0 ve dolayısıyla yük-kütle oranı daha büyük olabilir fakat astrofiziksel kara
deliklerin kütleleri ve elektromanyetik alanları için yük-kütle oranı daima birden küçüktür
(Wald,1974).
16
4.
DÜZGÜN
MANYETİK
ALANDA
YÜKLÜ
KERR
KARA
DELİĞİNİN
ELEKTROMANYETİK ENERJİSİ
Astrofiziksel kara deliğin net bir elektrik yüküne sahip olup olamayacağı önemli bir sorudur.
Manyetik alan içinde bulunmayan kara delik genellikle net bir elektrik yüküne sahip olamaz
çünkü kara delik, etrafında serbestçe dolaşan parçacıklardan zıt yüklü olanları çekecek ve
hemen kendini nötrleyecektir (Misner vd., 1973; Wald, 1984). Fakat kara delik bir manyetik
alan içindeyse (Birçok astrofiziksel sistemin böyle olduğuna inanılmaktadır) durum farklıdır.
Bir Kerr kara deliği, dönme ekseni boyunca düzgün bir manyetik alan içine yerleştirilirse net
bir elektrik yüküne sahip olur (Wald, 1974). Wald bu sonucu simetri ekseni boyunca
enjeksiyon enerjisinin sıfır olması koşulunu kullanarak elde etmiştir. Fakat düzgün manyetik
alan içindeki Kerr kara deliğinin denge durumunun ne olduğu ve denge durumunda kara
deliğin net yük kazanıp kazanmayacağı sorularının yanıtı belli değildir.
Toplam enerjinin ekstremize edilmesi metodu, enjeksiyon enerjisini bulma metodundan daha
iyidir. Çünkü daha genel bir yaklaşım olan bu metot enjeksiyonun yörüngesine ve yük artırma
işlemine bağlı değildir.
Bu bölümde düzgün manyetik alandaki yüklü Kerr kara deliğinin elektromanyetik enerjisi
hesaplanacaktır. Enerji (kütle) asimptotik olarak düz olan ve asimptotik zamansal Killing
vektörlerine sahip, durağan sistem için iyi belirlenebilirdir (Wald, 1984). Bununla birlikte
düzgün manyetik alan uzayda sonsuza uzandığında toplam elektromanyetik enerji ıraksar. Bu
yüzden uygun bir yaklaşım yapılmalıdır. Bu yaklaşım, elektromanyetik alanı, yarıçapı kara
delik ufkunun yarıçapından çok büyük olacak şekilde küresel bir yüzey gibi küçültmek
olacaktır. Böylelikle içerisinde manyetik alanın düzgün olduğu, dışarısında manyetik alanın
artan yarıçapla hızla azalan değerler aldığı bir küre elde edilir. Kerr kara deliğinin bu hayali
kürenin merkezinde olduğu varsayılacaktır. Bu küre içindeki elektromanyetik enerji Komar
kütle formülü (Komar, 1959; Bardeen ve Carter ve Hawking, 1973) yardımıyla hesaplanarak
kara delik Q = 2ζ (s )B 0 J H yükünü kazandığında elektromanyetik enerjisinin en küçük
değerini aldığı gösterilecektir. Burada ζ ,
ve 0 ≤
a
⎤
⎡3
≤ 1 için 0 ≤ ζ ≤ ⎢ (2 + π )⎥
m
⎣2
⎦
a
’nin fonksiyonu olan boyutsuz bir parametredir
m
−1
≈ 0.13 ’tür (Küçültülmüş kürenin yarıçapı kara delik
ufkunun yarıçapından çok büyük olduğunda ζ parametresi küçültülmüş kürenin yarıçapından
17
bağımsızdır). B 0
düzgün manyetik alanın büyüklüğü ve
JH
kara deliğin açısal
momentumudur.
4.1
Kerr Kara Deliğinin Elektromanyetik Alan Tansörü
Q2
Elektromanyetik alanı yeterince zayıf olan ( 2 ⟨⟨1 ve B 02 m 2 ⟨⟨1 ) düzgün bir manyetik alana
m
yerleştirilmiş yüklü, dönen kara deliğin uzay-zamanı Kerr metriği ile tanımlanabilir. Kerr
metriği durağan, eksenel simetrik kara deliğin dışarısındaki uzay-zamanı, boş uzay-zamanı
tanımlar (Ricci tansörü R μν = 0 ) ve Kerr uzay-zamanı durağan ve eksenel simetrik
μ
⎛∂⎞
olduğundan ⎜ ⎟ zamansal ve
⎝ ∂t ⎠
μ
⎛ ∂ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ eksenel Killing vektörlerine sahiptir. Bu yüzden Kerr
⎝ ∂φ ⎠
kara deliğinin uzay-zamanına ait elektromanyetik alan tansörü , ∇ μ F μν = 0 boşluktaki
Maxwell denklemlerinin çözümüdür.
(1.5) eşitliği ile tanımlanan Boyer-Lindquist formundaki Kerr metriği, metrik bileşenlerinin
bulunması için düzenlenirse
C sin 2 θ 2
2mr 2 2mar
2mar
Σ 2
2
2
2
dφ (4.1)
ds = −(1 −
)dt −
sin θdtdφ −
sin θdφdt + dr + Σdθ +
Σ
Σ
Σ
Σ
Δ
2
şeklinde ifade edilir. Burada Σ ve Δ (1.6) eşitliklerinde tanımlandığı gibidir,
C = ( r 2 + a 2 ) 2 − Δa 2 sin 2 θ
(4.2)
olarak tanımlanır.
(4.1) metriğinin kovaryant tansör bileşenleri şunlardır:
g 00 = −(1 −
g11 =
2mr
),
r + a 2 cos 2 θ
2
r 2 + a 2 cos 2 θ
,
r 2 − 2mr + a 2
g 22 = r 2 + a 2 cos 2 θ ,
g33 =
[
]
− sin 2 θ (r 2 − 2mr + a 2 )a 2 sin 2 θ − (r 2 + a 2 ) 2
,
r 2 + a 2 cos 2 θ
18
g 03 = g 30 = −
2mar sin 2 θ
.
r 2 + a 2 cos 2 θ
g μν g μν = I
(4.3)
(4.4)
eşitliği yardımıyla metriğin kontravaryant bileşenleri
g 00 =
− 4(r 2 + a 2 cos 2 θ)((a 2 + r 2 ) 2 − a 2 (a 2 + r (−2m + r )) sin 2 θ
,
(a 2 + r (−2m + r ))(a 2 + 2r 2 + a 2 cos 2θ) 2
g11 =
(r 2 − 2mr + a 2 )
,
(r 2 + a 2 cos 2 θ)
g 22 =
1
,
(r + a cos 2 θ )
g 33 =
(a 2 + 2r (−2m + r ) + a 2 cos 2θ ) csc2 θ
,
(a 2 + r (−2m + r ))(a 2 + 2r 2 + a 2 cos 2θ )
2
2
g 03 = g 30 =
− 4mar
(a + r (−2m + r ))(a 2 + 2r 2 + a 2 cos 2θ )
2
(4.5)
şeklinde elde edilir.
(3.20) eşitliğinden elektromanyetik vektör potansiyelin kontravaryant formu
B
A = 0
2
μ
μ
μ
⎡⎛ ∂ ⎞ μ
⎛∂⎞ ⎤ Q ⎛∂⎞
⎢⎜⎜ ⎟⎟ + 2a ⎜ ⎟ ⎥ −
⎜ ⎟
⎝ ∂t ⎠ ⎥⎦ 2m ⎝ ∂t ⎠
⎢⎣⎝ ∂φ ⎠
(4.6)
şeklinde ifade edilir. Burada B 0 dış manyetik alanın büyüklüğü ve Q kara deliğin elektrik
yüküdür. Maxwell elektromanyetik alan tansörü Fμν aşağıdaki gibi verilir (Ek 2):
Fμν = ∇ μ A ν − ∇ ν A μ .
(4.7)
Kovaryant türevin tanımı olan ∇ μ A ν = ∂ μ A ν − Γνμ σ eşitliği ve Christoffel sembollerinin
σ
= Γνμσ ) (4.7) ifadesi
simetri özelliği kullanılarak ( Γμν
Fμν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ
şeklinde yazılabilir.
19
(4.6) eşitliğinden elektromanyetik potansiyelin sıfır olmayan bileşenleri aşağıdaki şekilde
bulunur:
A 0 = B0a −
A3 =
Q
,
2m
B0
.
2
(4.8)
Elektromanyetik vektör potansiyelin sıfır olmayan kovaryant bileşenleri
A ν = g νμ A μ
(4.9)
bağıntısı yardımıyla aşağıdaki şekilde elde edilir:
A 0 = g 0μ A μ = g 00 A 0 + g 03 A 3 ,
A 3 = g 3μ A μ = g 30 A 0 + g 33 A 3 .
(4.10)
Elektromanyetik vektör potansiyelin sıfır olmayan kovaryant bileşenlerinin açık ifadeleri
aşağıdaki şekildedir:
mar sin 2 θB 0 ⎛
2mr
⎞⎛ Q
⎞
− ⎜1 − 2
+ aB 0 ⎟ ,
A0 = − 2
⎟⎜ −
2
2
2
2
r + a cos θ ⎝ r + a cos θ ⎠⎝ 2m
⎠
sin 2 θ(4aQr + (a 4 + 2r 4 + 3a 2 r (−2m + r ) + a 2 (a 2 + r (−2m + r )) cos 2θ)B 0 )
A3 =
.
4(r 2 + a 2 cos 2 θ)
(4.11)
Alan tansörünün sıfır olmayan bileşenleri:
F10 = −F01 = ∂ 1 A 0 ,
F20 = − F02 = ∂ 2 A 0 ,
F13 = −F31 = ∂ 1 A 3 ,
F23 = −F32 = ∂ 2 A 3
(4.12)
şeklindedir. Bu ifadelere (4.11) bağıntıları yerleştirilirse bu eşitliklerin açık ifadeleri aşağıdaki
gibidir:
20
(a 2 − 2r 2 + a 2 cos 2θ)(−2Q + am(3 + cos 2θ)B 0 )
,
(a 2 + 2r 2 + a 2 cos 2θ) 2
F10 = − F01 =
F20 = − F02 = −
2ar cos θ sin θ(aQ + m(−a 2 + r 2 )B 0 )
,
(r 2 + a 2 cos 2 θ) 2
F13 = − F31 = −
1
[sin 2 θ(8aQ(r 2 − a 2 cos 2 θ) + (a 4 (7 m − 3r ) − 8r 5
8(r + a cos 2 θ) 2
2
2
− 4a 2 r 2 (3m + 2r ) 4a 2 (a 2 ( 2m − r ) − r 2 ( m + 2r )) cos 2θ + a 4 ( m − r ) cos 4θ) B 0 )] ,
F23 = − F32 = (a + r ( −2m + r )) cos θ sin θB 0 +
2
4r (a 2 + r 2 ) sin 2θ(aQ + m(−a 2 + r 2 )B 0 )
. (4.13)
(a 2 + 2r 2 + a 2 cos 2θ) 2
Elektromanyetik alan tansörünün sıfır olmayan kontravaryant bileşenleri,
F μν = g μa g νb Fab
(4.14)
bağıntısı yardımıyla
F10 = − F 01 = g 1a g 0 b Fab = g 11 g 00 F10 + g 11 g 03 F13 ,
F 20 = − F 02 = g 2 a g 0 b Fab = g 22 g 00 F20 + g 22 g 03 F23 ,
F13 = − F 31 = g 1a g 3b Fab = g 11 g 33 F13 + g 11 g 30 F10 ,
F 23 = − F 32 = g 2 a g 3b Fab = g 22 g 33 F23 + g 22 g 30 F20 .
(4.15)
olarak ifade edilir. (4.5) ve (4.13) ifadeleri kullanılarak alan tansörünün kontravaryant
bileşenlerinin açık ifadeleri aşağıdaki gibidir:
F10 = −F 01 =
(a
1
2
+ 2r 2 + a 2 cos 2θ
)
3
2
2
[4Q(a 2 + r 2 )(a 2 − 2r 2 + a 2 cos 2θ) − am(a − r )
(7a 2 + 4r 2 + 4( 2a 2 + 3r 2 ) cos 2θ + a 2 cos 4θ) B 0 ] ,
F
20
= −F
02
=
F13 = −F 31 =
4a 2 r sin 2θ(2Q − am(3 + cos 2θ)B 0 )
(a
(a
2
2
+ 2r 2 + a 2 cos 2θ
)
1
(
+ 2r + a cos 2θ
2
2
)
3
3
,
)
[4aQ a 2 − 2r 2 + a 2 cos 2θ − (a 4 (7 m − 3r ) + 8(2m − r )r 4
21
− 4a 2 r 2 ( m + 2r ) + 4a 2 (a 2 ( 2m − r )( m − 2r ) r 2 ) cos 2θ + a 4 ( m − r ) cos 4θ) B 0 ] ,
F 23 = −F 32 =
(a
cot θ
2
+ 2r 2 + a 2 cos 2θ
)
3
4
2
2 2
4
2
[16aQr (3a − 24a mr + 8a r + 8r + 4a cos 2θ
(a 2 + 2r ( − m + r )) + a 4 cos 4θ) B 0 ] .(4.16)
Böylelikle Kerr metriğine ait elektromanyetik alan tansörü bileşenleri elde edilmiştir. Bulunan
ifadeler yardımıyla Kerr metriğinin Fμν elektromanyetik alan tansörünün boşluk Maxwell
denklemlerinin çözümü olduğu görülür (Ek 4).
4.2
Enerji-Momentum Tansörü
Burada
elektromanyetik
alanın
enerji-momentum
tansörünün
bileşenleri
ve
izi
hesaplanacaktır. Enerji-momentum tansörü
Tab =
1 ⎛ cf
1
de ⎞
⎜ g Fac Fbf − g ab Fde F ⎟
4
4π ⎝
⎠
(4.17)
şeklinde verilir. Enerji-momentum tansörünün sıfır olmayan kovaryant bileşenleri
T00 =
(
)
1 ⎛ 11
1
22
10
20
13
23 ⎞
⎜ g F10 F10 + g F20 F20 − g 00 F10 F + F20 F + F13 F + F23 F ⎟ ,
4π ⎝
2
⎠
T03 = T30 =
1 ⎛ 11
1
22
10
20
13
23 ⎞
⎜ g F10 F13 + g F20 F23 − g 03 (F10 F + F20 F + F13 F + F23 F )⎟ ,
4π ⎝
2
⎠
(
)
T11 =
1 ⎛ 00
1
33
03
10
20
13
23 ⎞
⎜ g F10 F10 + g F13 F13 + 2g F10 F13 − g 11 F10 F + F20 F + F13 F + F23 F ⎟ ,
4π ⎝
2
⎠
T22 =
1 ⎛ 00
1
33
03
10
20
13
23 ⎞
⎜ g F20 F20 + g F23 F23 + 2g F20 F23 − g 22 (F10 F + F20 F + F13 F + F23 F )⎟ ,
4π ⎝
2
⎠
T12 = T21 =
T33 =
(
1 00
g F10 F20 + g 33 F13 F23 + g 03 F10 F23 + g 03 F13 F20
4π
)
,
1 ⎛ 11
1
22
10
20
13
23 ⎞
⎜ g F13 F13 + g F23 F23 − g 33 (F10 F + F20 F + F13 F + F23 F )⎟
4π ⎝
2
⎠
(4.18)
şeklinde elde edilir. Enerji-momentum tansörünün sıfır olmayan kontravaryant bileşenleri
22
T ab = g aμ g bν Tμν
(4.19)
bağıntısı yardımıyla hesaplanırsa aşağıdaki ifadeler elde edilir;
T 00 = g 0μ g 0ν Tμν = g 00g 00T00 + g 03g 03T33 + 2g 00g 03T03 ,
T 03 = g 0μ g 3ν Tμν = g 00g 03T00 + g 00g 33T03 + g 03g 03T03 + g 03g 33T33 ,
T11 = g1μ g1ν Tμν = g11g11T11 ,
T 22 = g 2μ g 2ν Tμν = g 22g 22T22 ,
T 33 = g 3μ g 3ν Tμν = g 03g 03T00 + g 33g 33T33 + 2g 03g 33T03 .
(4.20)
Enerji-gerilim tansörünün izi T
T = g ab T ab
(4.21)
bağıntısından,
T = g 00 (g 00 g 00 T00 + g 03g 03T33 + 2g 00 g 03T03 ) + 2g 03 (g 00 g 03T00 + g 00 g 33T03 + g 03g 03T03 + g 03g 33T33 )
+ g11g11g11T11 + g 22 g 22 g 22 T22 + g 33 (g 03g 03T00 + g 33g 33T33 + 2g 03g 33T03 ) ,
T=0
(4.22)
olarak bulunur (Ek 5).
4.3
Kerr Kara Deliğinin Elektromanyetik Enerjisi
Kerr kara deliğinin toplam kütlesini (enerjisini) Komar kütle formülü ile ifade edebiliriz:
b
1
1
⎛
⎞ ⎛∂⎞
M = 2 ∫ ⎜ Tab − Tg ab ⎟n a ⎜ ⎟ dV +
κA + 2Ω H J H .
Σ⎝
2
4π
⎠ ⎝ ∂t ⎠
1
(4.23)
⎛ ΔΣ ⎞ 2
a
Burada α ≡ ⎜
⎟ olmak üzere n Σ hiperyüzeyinin birim gelecek-yer normalidir(t=sabit)
⎝ C ⎠
ve aşağıdaki şekilde ifade edilir:
23
1 ⎡⎛ ∂ ⎞
2amr ⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
n = ⎢⎜ ⎟ +
C ⎜⎝ ∂φ ⎟⎠
α ⎢⎣⎝ ∂t ⎠
a
⎤
⎥.
⎥⎦
a
a
(4.24)
(
2
)
(4.23) eşitliğindeki dV, Σ hiperyüzeyi üzerindeki hacim elemanı, A = 4π rH + a 2 kara delik
ufkunun alanı, rH = m + m 2 − a 2 kara delik ufkunun yarıçapı, κ =
yüzey kütle çekimi ve Ω H =
a
2mrH
(rH − m)
kara deliğin
2mrH
kara deliğin açısal hızıdır.
Küçültülmüş küre içindeki elektromanyetik alanın toplam enerjisi
R
π
2π
rH
0
0
Ε EM = ∫ dr ∫ dθ ∫ dφε h ,
1
⎛
⎞ ⎛∂⎞
ε ≡ 2⎜ Tab − Tg ab ⎟n a ⎜ ⎟
2
⎠ ⎝ ∂t ⎠
⎝
b
(4.25)
şeklinde ifade edilir. Burada h , Σ üzerindeki hacmi ölçer ve
1
⎛ ΣC ⎞ 2
h =⎜
⎟ sin θ
⎝ Δ ⎠
(4.26)
olarak tanımlanır. Daha önce sözü edildiği gibi küçültülmüş küre yaklaşımı yapılması
sayesinde elektromanyetik enerjinin ıraksaması engellenmiştir (4.3) ve (4.18) eşitlikleri ε
ifadesinde yerlerine yazılarak
1
2
1
⎛
⎞ C
ε ≡ 2⎜ Tab − Tg ab ⎟
1
2
⎝
⎠
(ΔΣ) 2
⎡⎛ ∂ ⎞ a 2amr ⎛ ∂ ⎞ a ⎤ ⎛ ∂ ⎞ b
⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟
⎢⎜ ⎟ +
C ⎜⎝ ∂φ ⎟⎠ ⎦⎥ ⎝ ∂t ⎠
⎣⎢⎝ ∂t ⎠
(4.27)
ifadesi elde edilir. Buradan ε ,
ε≡
1
2
(C 2 T00 +
(2amr )
T30 )
(4.28)
α
f 0 B 02 + f 1Q 2 + f 2 B 0 Q
3
4πΣ
(4.29)
(ΔΣ )
1
2
C
1
2
olarak bulunur. Bu ifade
ε≡
(
)
24
şeklinde yazılarak B 02 , Q 2 , B 0 Q büyüklüklerinin katsayıları olan f 0 , f 1 , f 2 katsayıları elde
edilebilir. (4.28) ve (4.29) ifadelerinden
(f B
0
2
0
)
+ f1Q 2 + f 2 B0 Q ≡
8πΣ 2
(CT00 + 2amrT30 )
Δ
(4.31)
özdeşliği elde edilir.
Buradan (f 0 B 02 + f 1Q 2 + f 2 B 0 Q ) ifadesi aşağıdaki şekilde bulunur:
(f B
0
2
0
+ f 1Q 2 + f 2 B 0 Q ) ≡ −
1
{16Q 2 (− 3a 2 − 2 r 2 + a 2 cos 2θ ) + 8aQ( a 2 [17m − 9 r ) + 4( m − r )r 2
32
− 4 r( 2a 2 + 3r( r − m )) cos 2θ + a 2 ( r − m ) cos 4 θ ]B 0 +
[ −2( 5a 6 + 16 r 5 ( r − m ) − 2a 2 r 2 ( m 2 + 18 mr − 12 r 2 ) + 3a 4
(17m 2 − 20 mr + 6 r 2 )) − (15a 6 + 16a 2 ( 7m − 3r )( m − r )r 2
32 mr 5 + a 4 ( 33m 2 − 128mr + 48 r 2 )) cos 2θ + 2a 2 ( −3a 4
+ 2 mr 5 ( −5m + 6 r ) + a 2 ( 3m 2 + 4 mr − 6 r 2 )) cos 4 θ
+ a 4 ( m 2 − a 2 ) cos 6θ ]B 02 }
(4.32)
Burada cos 2θ , cos 4θ , cos 6θ trigonometrik büyüklükleri yerine
cos 2θ = 2 cos 2 θ − 1 ,
cos 4θ = 8 cos 4 θ − 8 cos 2 θ + 1 ,
cos 6θ = 32 cos 6 θ − 48 cos 4 θ + 18 cos 2 θ − 1 .
(4.33)
ifadeleri yerleştirilip ifade düzenlenirse f 0 , f1 , f 2 katsayıları aşağıdaki şekilde bulunur:
f 0 = r 5 ( r − 2 m sin 2 θ ) + a 2 r 2 [ 3r 2 cos 2 θ + 2 mr(1 + cos 2 θ )( 1 − 3 cos 2 θ ) − m 2 (1 + cos 2 θ )( 3 − 5 cos 2 θ )]
a 4 [ 3r 2 cos 4 θ − 2 mr cos 2 θ( 3 + cos 2 θ ) + m 2 (1 + cos 2 θ ) 2 ( 2 − cos 2 θ )] + a 6 cos 6 θ ,
f 1 = r 2 + a 2 ( 2 − cos 2 θ ) ,
f 2 = −2a[ r 2 ( r − m )(1 − 3 cos 2 θ ) − a 2 [ r cos 2 θ( 3 − cos 2 θ ) + m(1 + cos 2 θ )( 2 − cos 2 θ )]] .
(4.34)
25
Böylelikle Kerr kara deliğinin elektromanyetik enerjisi
R
Ε EM
π
2π
1
α
⎛ ΣC ⎞ 2
2
2
= ∫ dr ∫ dθ ∫ dφ
f
B
+
f
Q
+
f
B
Q
⎜
⎟ sin θ
0
0
1
2
0
3
Δ
4
π
Σ
⎝
⎠
rH
0
0
(
)
(4.35)
şeklinde yazılır. Yukarıdaki ifade düzenlenirse
R π
Ε EM =
sin θ
∫ ∫ 2Σ (f
2
0
)
B 02 + f 1Q 2 + f 2 B 0 Q dθdr
(4.36)
rH 0
şeklinde olacaktır. Bu integral alındığında
B 02
Ε EM = [ 3 2 {3ma (5m − 4r )r 5 + a 5 (−3m 2 r + 2r 3 ) + a 3 (−8m 2 r 3 + 2r 5 ) + 3m[(− ma 6 − 4a 4 r 3 + ma 2 r 4
6a r
1
a
⎛r⎞
⎛a⎞ 1
⎛r⎞
⎛a⎞
+ r 6 ( −5m + 4r )) arctan⎜ ⎟ − 5ma 4 r 2 arctan ⎜ ⎟]} + { + 2 arctan ⎜ ⎟ − arctan⎜ ⎟}Q 2
2r 2r
⎝a⎠
⎝ r ⎠ 2a
⎝a⎠
⎝r⎠
R
2
⎛a⎞
(4.37)
{ 2 3 [ar (ma 2 + 3r 2 (r − m)) + (ma 4 − a 2 r 3 + 3(m − r )r 4 ) arctan⎜ ⎟]}B o Q ]
rH
a r
⎝r⎠
ifadesi bulunur. R⟩⟩ rH limitinde Kerr kara deliğinin elektromanyetik enerjisi;
⎛ Q2 ⎞
⎛B J Q⎞
Ε EM = Ε0 + ⎜⎜ ⎟⎟F1 + ⎜ 0 H ⎟F2
⎝ m ⎠
⎝m⎠
(4.38)
olarak elde eldir. Burada Ε 0, F1 , F2 katsayıları aşağıdaki gibidir;
E0 =
1 2 3
B 0 R + Ο(R 2 ) ,
3
F1 = F1 (s ) =
⎡
⎛
1
s
2
⎜
(
1
−
1
−
s
)
s
+
2
arctan
⎢
3
⎜
2
2s
⎝1+ 1−s
⎣⎢
F2 = F2 (s ) =
2
3s 3
Burada s (
(
)
⎞⎤
1
⎟⎥ + Ο⎛⎜ ⎞⎟ ,
⎟
⎝R⎠
⎠⎦⎥
⎡
⎛
s
2
2
2
⎢s 3 1 − s − s − 6(1 − s )arctan⎜⎜
2
⎢⎣
⎝1+ 1−s
⎞⎤
1
⎟⎥ + Ο⎛⎜ 2 ⎞⎟ .
⎟
⎝R ⎠
⎠⎥⎦
(4.39)
a
) kara deliğin spin parametresidir, 0 ≤ s ≤ 1 olduğundan her zaman F1 ⟩ 0 ve
m
F2 ≤ 0 olacaktır. Toplam elektromanyetik alan B 0 ve Q yükü tarafından oluşturulan
elektromanyetik alanların lineer birleşimi olduğundan toplam elektromanyetik enerji üç
bileşenden oluşmaktadır:
26
•
Ε 0 ile gösterilen bileşen, dış manyetik alanın karesiyle ( B 02 ) orantılı olan “yalın”
elektromanyetik enerjiyi ifade eder.
•
Q 2 ile orantılı olan bileşen, Q yükü tarafından oluşturulan elektromanyetik alanın
enerjisini ifade eder (Cohen ve Felice,1984 makalesinde bulunan Kerr-Newman kara
deliğinin elektromanyetik enerjisine benzer şekilde).
•
B 0 Q ile orantılı olan bileşen, Q yükünün etrafındaki elektromanyetik alanın dış
manyetik alan B 0 ile etkileşmesinden kaynaklanan elektromanyetik enerjiyi ifade
eder.
F1 ve F2 katsayıları küçültülmüş küre yaklaşımından bağımsızdırlar, çünkü R →∝
alındığında yakınsaktırlar. Ancak yüksüz duruma karşılık gelen “yalın” enerji Ε 0 , R →∝
için ıraksaktır. Bu yüzden küçültülmüş küre yaklaşımından bağımsız olarak iyi belirlenebilir
olan elektromanyetik enerji, Kerr kara deliğinin düzgün manyetik alandaki yüklü durum
enerjisi ile yüksüz durum enerjisi arasındaki fark olan ΔΕ = Ε EM − Ε 0 enerjisidir.
Yüklü Kerr kara deliğinin düzgün manyetik alandaki elektromanyetik enerjisi E EM ifadesinin
Q’ya göre türevinin sıfır olduğu nokta elektromanyetik enerjinin değerini en küçük yapan
yükün büyüklüğünü verir ( 0 ≤ s ≤ 1 aralığında F1 (s)⟩ 0 olduğundan E EM bir minimuma
sahiptir).
∂Ε EM
=0
∂Q
(4.41)
bağıntısından
Q=−
F2
B0 J H
4F1
(4.42)
elde edilir. Eğer ζ(s ) ;
⎛
s
s 3 − 3s 1 − s 2 + 6 1 − s 2 arctan⎜⎜
2
F
⎝1+ 1− s
ζ (s ) = − 2 =
4F1
⎡
⎞⎤
⎛
s
⎟⎥
3 1 − 1 − s 2 ⎢s 2 + 2 arctan⎜⎜
2 ⎟
⎢⎣
⎝ 1 + 1 − s ⎠⎥⎦
(
(
)
)
⎞
⎟
⎟
⎠
olarak tanımlanırsa Q yükünü aşağıdaki şekilde ifade edilir:
(4.43)
27
Q = 2ζ (s )B 0 J H .
(4.44)
Spin parametresi s, [0,1] aralığında değerler aldığından ζ , [0,0.13] aralığında değerlere sahip
olur. ζ katsayısının spin parametresi s’ye bağlı değişimini gösteren grafik Şekil 4.1’de
verilmiştir.
s’nin
azalmasıyla
ζ
azalır.
Örneğin;
ζ(0) = 0 ,
ζ (0,1) ≈ 3.4 × 10 −4 ,
ζ(0,5) ≈ 9.9 × 10 −3 , ζ(0.99) ≈ 0.10 ve ζ(1) ≈ 0.13 . Böylelikle düzgün manyetik alan içine
yerleştirilmiş Kerr kara deliği minimum elektromanyetik enerjiye ulaşmak için (4.44)
eşitliğindeki yüküne sahip olacaktır.
0
10
-1
Q/(2B0JH)
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
a/m
0.6
0.7
0.8
0.9
1
⎛ Q ⎞
a
⎟⎟ katsayısının s ⎛⎜ ⎞⎟ spin parametresine bağlı değişimini ifade eder.
Şekil 4.1 ζ⎜⎜
⎝m⎠
⎝ 2B 0 J H ⎠
Düzgün manyetik alan içinde bulunan Kerr kara deliği Q = 2ζ (s )B 0 J H yükünü kazandığında
a
elektromanyetik enerjisi en küçük değeri alır. Boyutsuz ζ parametresi, s = ’nin bir
m
fonksiyonudur. Wald’un referansındaki yük ( ζ = 1 ) kesik çizgiyle gösterilmiştir. Bu yük
elektromanyetik alanın en küçük enerjisine denk gelmez.
Yüklü durum ile yüksüz durum arasındaki enerji farkı olan
⎛ Q2
ΔE = ⎜⎜
⎝ m
⎞
⎛B J Q⎞
⎟⎟F1 + ⎜ 0 H ⎟F2
⎝ m ⎠
⎠
(4.45)
ifadesine, bulduğumuz Q değerini yerleştirirsek elektromanyetik enerjinin en küçük değeri
28
ΔΕ min
⎛ F22 ⎞ B 02 J 2H
⎟⎟
= −⎜⎜
⎝ 4F1 ⎠ m
şeklinde bulunur. Kara deliğin spin parametresi s =
ΔΕ min ≈ −0.045
(4.46)
a
= 0.99 alınırsa Q ≈ 0.20B 0 J H ve
m
B 02 J 2H
olarak elde edilir.
m
Wald’un sonucu Q W = 2B 0 J H kullanılırsa bu enerji farkı aşağıdaki şekilde olacaktır:
ΔE Wald = 2(2F1 + F2 )
B 02 J 2H
m
(4.47)
bu fark 0 ≤ s ≤ 1 için her zaman pozitif değer alacaktır. Dolayısıyla açıkça görülmektedir ki
Wald durumu en küçük enerjili duruma karşılık gelmez, hatta yüksüz durum enerjisinden
daha büyük değerdedir. Karşılaştırma için s = 0.99 alındığında Wald durumunda bulduğumuz
enerji değerinin burada bulduğumuz enerji değerinden daha büyük olduğu da görülmektedir
( ΔΕ Wald = 3.4
B 02 J 2H
).
m
29
5.
SONUÇLAR
İlk olarak uzay-zamanın Killing vektörlerinin Maxwell alanının vektör potansiyelleri
olmasından hareketle B 0 düzgün elektromanyetik alanındaki durağan, eksenel simetrik kara
deliğin elektromanyetik alan tansörü hesaplanmıştır. Durağan uzay-zamanda, düzgün
manyetik alana sahip parçacığın enerjisinin vektör potansiyele bağlı ifadesinden
yararlanılarak enjeksiyon enerjisi ifade edilmiştir. Simetri ekseni boyunca enjeksiyon
enerjisinin sıfırlanmasıyla kara deliğin kararlı durum enerjisine yani en küçük enerjili
durumuna karşılık gelen yük miktarı Q = 2B 0 J H olarak bulunmuştur.
İkinci olarak düzgün manyetik alandaki yüklü Kerr kara deliğinin elektromanyetik enerjisi
Komar kütle formülü yardımıyla elde edilmiştir. Bulunan enerjinin minimize edilmesiyle
enerji değerini en küçük yapan yük değeri Q = 2ζ (s )B0 J H olarak belirlenmiştir. Bu yük
değerine sahip kara deliğin elektromanyetik enerjisinin Wald durumu enerjisinden daha düşük
olduğu gösterilmiştir. Yüksüz durum enerjisinin bile Wald durumu enerjisinden küçük olduğu
gösterilerek Wald’un bulduğu sonucun en küçük enerjili duruma karşılık gelmediği
belirlenmiştir.
30
KAYNAKLAR
Bardeen J. M., Carter B., Hawking S. W., (1973), “The Four Laws of Black Hole
Mechanics”, Commun. Math. Phys., 31:161.
Carroll S.M., (2004), Spacetime and Geometry, An Introduction to General Reletivity,
Princeton University Press, New Jersey.
Carter B., (1973), In Black Holes, Gordon and Breach, New York.
Cohen J. M. ve Felice F., (1984), “The Total Effective Mass of the Kerr-Newman Metric”,
Journal of Mathematical Physics”, 25:992.
Dirac P. A. M., (1996), General Theory of Relativity, Princeton University Press, New Jersey.
Einstein A., (1976), İzafiyet Teorisi, Özgün Yayınları, İstanbul, (Çeviren, Fındıklı N.)
Frolov V. P. ve Novikov I. D., (1998), Black Hole Physics,Basic Concepts and New
Developments, Kluwer, Dordrecht.
Hawking S. W., (1972), “Black Holes in General Relativity”, Commun. Math. Phys., 25:152.
d’Inverno R., (2005), Introducing Einstein’s Relativity, Clarendon Press, Oxford.
Ipser J., (1971), “Electromagnetic Test Fields Around a Kerr-Metric Black Hole”, Phys. Rev.
Lett., 27: 529.
Komar A., (1959), “Covariant Conservation Laws in General Relativity”, Phys. Rev.
,113:934.
Misner C. W. ve Thorne K. S. ve Wheeler J. A., (1973), Gravitation, Freeman, San Francisco.
O’Neill B., (1995), The Geometry of Kerr Black Holes, AK Peters.
Özemre A.Y., (1982), Gravitasyonun Rölativist Teorileri, İ. Ü. Yayınları, İstanbul.
Ruffini R., Treves A., (1973), Astrphys. Lett., 13:109.
Soyuçok Z.,Soyuçok A., (2004), Tansör Analizi ve Uygulamaları, Y.T.Ü. Basım-Yayın
Merkezi, İstanbul.
Taylor E. F., Wheeler J. A., (2000), Exploring Black Holes, Introduction
Relativity, Addison Wesley Longman, U.S.A.
to General
Wald R. M., (1984), General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago.
Wald R. M., (1974), “Black Hole in a Uniform Magnetic Field”, Phys.Rev. D, 10:1680.
İnternet Kaynakları
[1]http://en.wikipedia.org
31
EKLER
Ek 1
Ek 2
Ek 3
Ek 4
Ek 5
Killing Vektörleri
Boşluk Maxwell Denklemleri
Kerr Metriğinin Christoffel Sembolleri ve Kerr Metriğinin Determinantı
Boşlukta Maxwell Alan Denklemlerinin Çözümü Kerr Metriğinin Alan Tansörü
Enerji-Momentum Tansörünün İzi
32
Ek 1 Killing Vektörleri
Uzay-zamanın fiziksel durumunu daha basit bir şekilde tanımlamak için uzay-zamanın belirli
simetrilerde olduğu varsayılır. EAD lineer olmadığı için simetri yaklaşıklıkları çözümlerin
bulunmasında önemli rol oynar. Eğer belirli bir dönüşümde tansör alanı aynı kalıyorsa bu
tansör alanı o dönüşüm için simetriktir. Metriğin simetrilerine “izometri” denir. Basitçe,
metrik katsayılarının bağlı olmadığı koordinatların dönüşümü altında metrik aynı kalır.
x σ koordinatı metrik katsayılarının bağlı olmadığı bir koordinat olmak üzere:
⎛ ∂ ⎞
ξ (x ) = ⎜ σ ⎟
⎝ ∂x ⎠
μ
μ
σ
vektörünün
izometriyi
(1)
oluşturduğu
söylenir.
Uzay-zamanın
geometrisi
ξμ (x σ )
doğrultusundaki sonsuz küçük harekette değişmez. Bu vektörlere Killing vektörleri denir.
Killing vektörleri aşağıdaki denklemi sağlar;
L ξ g μν = ∇ ν ξ μ + ∇ μ ξ ν = 0
Bu denlemler Killing denklemleri olarak adlandırılır. L ξ Lie türevidir.
(2)
33
Ek 2 Boşluktaki Maxwell Denklemleri
Minkowski uzay-zamanında, Heavyside-Lorentz biriminde (c=1) boşluktaki Maxwell
denklemleri aşağıdaki gibidir:
∇.E = ρ ,
∇×B−
∂E
= j,
∂t
∇.B = 0 ,
∇×E +
∂B
= 0.
∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
(1) denkleminin zamana göre türevi, (2) denkleminin diverjansı alınırsa aşağıdaki eşitlikler
elde edilir:
∇.
∂ E ∂ρ
=
,
∂t
∂t
− ∇.
∂E
= ∇. j .
∂t
(5)
(6)
Buradan ρ ve j ’nin süreklilik denklemini sağladığı görülür.
∇. j +
∂ρ
= 0.
∂t
(7)
Bu denklem (4) denklemi ile birlikte akışkan dinamiğinin süreklilik denklemlerini
oluştururlar.
∇. j +
∂ρ
= 0,
∂t
∇×E +
∂B
= 0.
∂t
(8)
(9)
Bu eşitlikler tansörel formda ifade edildiğinde elektromanyetik alan tansörü veya Maxwell
tansörü olarak adlandırılan antisimetrik F μν tansörü elde edilir:
34
F μν
⎡ 0
⎢− E
x
=⎢
⎢− E y
⎢
⎢⎣ − E z
Ex
0
− Bz
By
Ey
Bz
0
− Bx
Ez ⎤
− B y ⎥⎥
Bx ⎥
⎥
0 ⎥⎦
(10)
Akım yoğunluğu veya kaynak 4-vektör
( )
jμ = ρ, j
(11)
olmak üzere Maxwell denklemleri aşağıdaki şekilde ifade edilir:
∇ ν F μν = jμ ,
(12)
∇ [μ Fμσ ] = ∇ μ Fνσ + ∇ σ Fμν + ∇ ν Fσμ = 0 .
(13)
Maxwell alan tansörü potansiyeller cinsinden ifade edilebilir:
E = −∇φ −
∂A
∂t
,
B = ∇×A .
(14)
(15)
4-potansiyel
( )
φ μ = φ, A
(16)
şeklinde tanımlanmak üzere Maxwell alan tensörü potansiyeller cinsinden aşağıdaki şekilde
ifade edilir:
Fμν = ∇ ν φμ − ∇ μ φν .
(17)
35
Ek 3 Kerr Metriğinin Christoffel Sembolleri ve Kerr Metriğinin Determinantı
Γbca =
1 ad
g (∂ b g dc + ∂ c g db − ∂ d g bc )
2
[
]
Γ010 = Γ100 =
1 00
g (∂ 1g 00 ) + g 03 (∂ 1g 30 )
2
Γ020 = Γ200 =
1 00
g (∂ 2 g 00 ) + g 03 (∂ 2 g 30 )
2
Γ130 = Γ310 =
1 00
g (∂ 1g 03 ) + g 03 (∂ 1g 33 )
2
Γ230 = Γ320 =
1 00
g (∂ 2 g 03 ) + g 03 (∂ 2 g 33 )
2
1
Γ00
=
[
[
1 11
g (− ∂ 1g 00 )
2
1
1
Γ03
= Γ30
=
Γ111 =
[
1 11
g (− ∂ 1g 03 )
2
1 11
g (∂ 1g 11 )
2
1
Γ121 = Γ21
=
1 11
g (∂ 2 g 11 )
2
1
Γ22
=
1 11
g (− ∂ 1g 22 )
2
1
Γ33
=
1 11
g (− ∂ 1g 33 )
2
Γ002 =
1 22
g (− ∂ 2 g 00 )
2
Γ032 =
1 22
g (− ∂ 2 g 03 )
2
Γ112 =
1 22
g (− ∂ 2 g 11 )
2
]
]
]
36
Γ122 = Γ212 =
1 22
g (∂ 1g 22 )
2
Γ222 =
1 22
g (∂ 2 g 22 )
2
Γ332 =
1 22
g (− ∂ 2 g 33 )
2
Γ013 = Γ103 = g 30 (∂ 1g 00 ) + g 33 (∂ 1g 30 )
Γ023 = Γ203 = g 30 (∂ 2 g 00 ) + g 33 (∂ 2 g 30 )
Γ133 = Γ313 = g 30 (∂ 1g 03 ) + g 33 (∂ 1g 33 )
Γ233 = Γ323 = g 30 (∂ 2 g 03 ) + g 33 (∂ 2 g 33 )
(1)
Metrik katsayıların oluşturduğu determinantının negatifinin karekökü olan ve sayısal ağırlık
yoğunluğu olarak adlandırılan ifade aşağıdaki şekildedir:
(
)
− g = r 2 + a 2 cos 2 θ sin θ .
(2)
37
Ek 4 Boşlukta Maxwell Alan Denklemlerinin Çözümü Kerr Metriğinin Alan Tansörü
Kerr metriğinin elektromanyetik alan tansörünün kontravaryant bileşenlerinin açık ifadeleri
aşağıdaki şekildedir:
10
F=
I−4 Q Ia2 + r2M Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
a m Ia2 − r2M I7 a2 + 4 r2 + 4 I2 a2 + 3 r2M Cos@2 θD + a2 Cos@4 θDM B0M ë Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM3
20
F=
13
F=
4 a2 r Sin@2 θD H−2 Q + a m H3 + Cos@2 θDL B0L
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
1
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
I−4 a Q Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
I7 a4 m − 3 a4 r − 4 a2 m r2 − 8 a2 r3 + 16 m r4 − 8 r5 + 4 a2 Ia2 H2 m − rL + Hm − 2 rL r2M Cos@2 θD +
a4 H m − rL Cos@4 θDM B0M
23
F=
−ICot@θD
I16 a Q r + I3 a4 − 24 a2 m r + 8 a2 r2 + 8 r4 + 4 a2 Ia2 + 2 r H−m + rLM Cos@2 θD + a4 Cos@4 θDM B0MM ë
Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM
3
Bu hesapta kullanılacak Christoffel sembollerinin açık ifadeleri aşağıdaki gibidir:
0
2 m Ha2 + r2L Ha2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDL
Ha2 + r H−2 m + rLL Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL2
0
4 a2 m r Sin@2 θD
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL2
Γ01 = −
Γ02 = −
1
Γ11 =
r Ha2 − m rL + a2 H m − rL Cos@θD2
Ha2 + r H−2 m + rLL Hr2 + a2 Cos@θD2L
1
Γ12 = −
2
Γ12 =
2
a2 Cos@θD Sin@θD
r2 + a2 Cos@θD2
r
r2 + a2 Cos@θD2
Γ22 = −
a2 Cos@θD Sin@θD
r2 + a2 Cos@θD2
3
Γ13 =
Ia4 m + 3 a4 r − 12 a2 m r2 + 8 a2 r3 − 16 m r4 + 8 r5 + 4 a2 r Ia2 + r H− m + 2 rLM Cos@2 θD −
a4 H m − rL Cos@4 θDM ë I2 Ia2 + r H−2 m + rLM Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM2M
Γ23 = II3 a4 + 8 a2 m r + 8 a2 r2 + 8 r4 + 4 a2 Ia2 + 2 r H−m + rLM Cos@2 θD + a4 Cos@4 θDM Cot@θDM ë
3
I2 Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM M
2
38
Kerr metriğinin elektromanyetik alan tansörü bileşenleri ∇ μ F μν = 0 boşluk Maxwell
denklemlerini sağlamalıdır.
∇ μ F μν = ∇0 F 0ν + ∇1F 1ν + ∇ 2 F 2ν + ∇3 F 3ν
∇ μ F μν = ∇0 F 00 + ∇0 F 01 + ∇ 0 F 02 + ∇ 0 F 03 + ∇1F 10 + ∇1F 11 + ∇1F 12 + ∇1F 13
+ ∇ 2 F 20 + ∇ 2 F 21 + ∇ 2 F 22 + ∇ 2 F 23 + ∇ 3 F 30 + ∇ 3 F 31 + ∇ 3 F 32 + ∇ 3 F 33
(1)
F μν tansörünün kovaryant türevi:
μ
ν
∇ μ F μν = ∂ μ F μν + F σν Γσμ
+ F μσ Γσμ
Böylelikle ∇ μ F μν ifadesi:
∇ μ F μν = F σ 3Γσ00 + F 0σ Γσ30 + ∂1F 10 + F σ 0Γσ11 + F 1σ Γσ01 + ∂1F 13 + F σ 3Γσ11 + F 1σ Γσ31 + ∂ 2 F 20
+ F σ 0 Γσ22 + F 2σ Γσ0 2 + ∂ 2 F 23 + F σ 3 Γσ22 + F 2σ Γσ3 2 + F σ 0 Γσ33 + F 3σ Γσ03
1
∇ μ F μν = F 13Γ100 + F 23Γ200 + F 01Γ103 + F 02Γ203 + ∂1F 10 + F 10Γ111 + F 20Γ21
+ F 10Γ010 + F 13Γ310
+ F σ 0Γσ2 2 + F 2σ Γσ0 2 + ∂ 2 F 23 + F σ 3Γσ22 + F 2σ Γσ3 2 + F σ 0Γσ33 + F 3σ Γσ03
1
+ F 13Γ111 + F 23Γ21
+ F 10Γ013 + F 13Γ313 + ∂ 2 F 20 + F 10Γ122 + F 20Γ222 + F 20Γ020 + F 23Γ320
+ ∂ 2 F 23 + F 13Γ122 + F 23Γ222 + F 20 Γ023 + F 23Γ323 + F 10Γ133 + F 20Γ233 + F 31Γ130 + F 32 Γ230
∇ μ F μν = F 13 (Γ010 + Γ111 + Γ122 + Γ133 ) + F 23 (Γ020 + Γ121 + Γ222 + Γ233 ) + F 10 (Γ010 + Γ111 + Γ122 + Γ133 )
+ F 20 (Γ020 + Γ121 + Γ222 + Γ233 ) + ∂1F 10 + ∂1F 13 + ∂ 2 F 20 + ∂ 2 F 23
∇ μ F μν = ( F 10 + F 13 )(Γ010 + Γ111 + Γ122 + Γ133 ) + ( F 20 + F 23 )(Γ020 + Γ121 + Γ222 + Γ233 ) + ∂1F 10
+ ∂1F 13 + ∂ 2 F 20 + ∂ 2 F 23
(2)
39
8 a3 m r Sin@2 θD2 B0
Cot@θD H−8 a2 Ha2 + 2 r H− m + rLL Sin@2 θD − 4 a4 Sin@4 θDL B0
−
+
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
8 a2 r Cos@2 θD H−2 Q + a m H3 + Cos@2 θDL B0L 24 a4 r Sin@2 θD2 H−2 Q + a m H3 + Cos@2 θDL B0L
+
+
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL4
I16 Q r Ia2 + r2M − 8 Q r Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM + a m Ia2 − r2M H8 r + 24 r Cos@2 θDL B0 −
=−
2 a m r I7 a2 + 4 r2 + 4 I2 a2 + 3 r2M Cos@2 θD + a2 Cos@4 θDM B0M ë Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM3 −
I12 r I−4 Q Ia2 + r2M Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
a m Ia2 − r2M I7 a2 + 4 r2 + 4 I2 a2 + 3 r2M Cos@2 θD + a2 Cos@4 θDM B0MM ë
Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
4
I16 a Q r +
I−3 a4 − 8 a2 m r − 24 a2 r2 + 64 m r3 − 40 r4 + 4 a2 I−a2 + 2 H m − 2 rL r − 2 r2M Cos@2 θD −
a4 Cos@4 θDM B0M ë Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM3 +
ICsc@θD2
I16 a Q r + I3 a4 − 24 a2 m r + 8 a2 r2 + 8 r4 + 4 a2 Ia2 + 2 r H−m + rLM Cos@2 θD + a4 Cos@4 θDM
B0MM ë Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM3 −
I6 a Cot@θD Sin@2 θD
I16 a Q r + I3 a4 − 24 a2 m r + 8 a2 r2 + 8 r4 + 4 a2 Ia2 + 2 r H−m + rLM Cos@2 θD + a4 Cos@4 θDM
2
B0MM ë Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM4 −
I12 r I−4 a Q Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
I7 a4 m − 3 a4 r − 4 a2 m r2 − 8 a2 r3 + 16 m r4 − 8 r5 +
4 a2 Ia2 H2 m − rL + Hm − 2 rL r2M Cos@2 θD + a4 Hm − rL Cos@4 θDM B0MM ë
Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
4
i
j
jII3 a4 + 8 a2 m r + 8 a2 r2 + 8 r4 + 4 a2 Ia2 + 2 r H− m + rLM Cos@2 θD + a4 Cos@4 θDM Cot@θDM ë
k
2 a2 Cos@θD Sin@θD
4 a2 m r Sin@2 θD
y
2
z
z
I2 Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM M −
−
2
2
2
2
r + a Cos@θD
Ha + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL2 {
i 4 a2 r Sin@2 θD H−2 Q + a m H3 + Cos@2 θDL B0L
j
j
−
Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
k
ICot@θD
I16 a Q r + I3 a4 − 24 a2 m r + 8 a2 r2 + 8 r4 + 4 a2 Ia2 + 2 r H−m + rLM Cos@2 θD + a4 Cos@4 θDM
y
z+
B0MM ë Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM3z
{
2 − m rL + a2 H m − rL Cos@θD2
r
r
H
a
i
j
j
+
−
k r2 + a2 Cos@θD2 Ha2 + r H−2 m + rLL Hr2 + a2 Cos@θD2L
2 m Ha2 + r2L Ha2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDL
+
Ha2 + r H−2 m + rLL Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL2
Ia4 m + 3 a4 r − 12 a2 m r2 + 8 a2 r3 − 16 m r4 + 8 r5 + 4 a2 r Ia2 + r H− m + 2 rLM Cos@2 θD −
y
z
a4 H m − rL Cos@4 θDM ë I2 Ia2 + r H−2 m + rLM Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM2Mz
II−4 Q Ia2 + r2M Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
{
a m Ia2 − r2M I7 a2 + 4 r2 + 4 I2 a2 + 3 r2M Cos@2 θD + a2 Cos@4 θDM B0M ë
Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
3
I−4 a Q Ia2 − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
I7 a4 m − 3 a4 r − 4 a2 m r2 − 8 a2 r3 + 16 m r4 − 8 r5 +
4 a2 Ia2 H2 m − rL + Hm − 2 rL r2M Cos@2 θD + a4 Hm − rL Cos@4 θDM B0M ë
Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM M
3
40
∇ μ F μν = 0
Böylelikle Kerr metriğinin
(3)
F μν
elektromanyetik alan tansörünün boşluk Maxwell
denklemlerinin çözümü olduğu görülür.
41
Ek 5 Enerji-Gerilim Tansörünün İzi
Enerji-gerilim tansörünün kovaryant bileşenleri aşağıdaki gibidir:
T00 =
T03 =
T11 =
T22 =
T33 =
10
20
13
23 y
1 j
1
11
22
i
j
z
g00 i
j g F10 F10 + g F20 F20 −
j F10 F + F20 F + F13 F + F23 Fy
zz
z
k
{{
4π k
2
10
20
13
23 y
1 i
1
11
22
j
j
z
j g F10 F13 + g F20 F23 −
j F10 F + F20 F + F13 F + F23 Fy
zz
z
g03 i
k
{{
4π k
2
10
20
13
23 y
1 j
1
00
33
03
i
j
z
j g F10 F10 + g F13 F13 + 2 g F10 F13 −
j F10 F + F20 F + F13 F + F23 Fy
zz
z
g11 i
k
{{
4π k
2
10
20
13
23 y
1 i
1
00
33
03
j
j
z
j g F20 F20 + g F23 F23 + 2 g F20 F23 −
j F10 F + F20 F + F13 F + F23 Fy
zz
z
g22 i
k
{{
4π k
2
10
20
13
23 y
1 j
1
11
22
i
j
z
j g F13 F13 + g F23 F23 −
j F10 F + F20 F + F13 F + F23 Fy
zz
z
g33 i
k
{{
4π k
2
(1)
Bu bileşenlerin açık ifadeleri aşağıdaki gibidir:
T 00 =
− I − 16 Q 2 I − 3 a 2 + 4 m r − 2 r 2 + a 2 Cos @ 2 θ D M +
8 a Q I − 17 a2 m + 9 a 2 r + 24 m 2 r − 20 m r2 + 4 r3 +
4 r I 2 a 2 + 2 m 2 − 7 m r + 3 r2 M Cos@ 2 θ D + a2 H m − r L Cos@ 4 θ D M B0 +
I 10 a 6 + 102 a 4 m 2 − 144 a 4 m r − 152 a 2 m 3 r + 36 a 4 r 2 + 236 a 2 m 2 r 2 −
136 a2 m r 3 + 48 a2 r 4 + 64 m 2 r4 − 96 m r5 + 32 r 6 +
I 15 a 6 + 32 m r 4 H − 2 m + r L + a 4 I 33 m 2 − 160 m r + 48 r 2 M +
16 a 2 r I − 6 m 3 + 23 m 2 r − 14 m r 2 + 3 r 3 M M Cos@ 2 θ D +
2 a2 I 3 a4 − 2 m r I 2 m 2 − 9 m r + 6 r 2M + a2 I − 3 m 2 − 8 m r + 6 r2M M Cos @ 4 θ D +
a 6 Cos@ 6 θ D − a4 m 2 Cos @ 6 θ D M B 20M ë I 32 π I a 2 + 2 r 2 + a2 Cos @ 2 θ D M 3 M
1
H a2
4 π
+ 2
+ a 2 Cos @ 2 θ D L 3
2
I Sin @ θ D
I 8 a Q2 I a2 + r H − m + rL M −
4 Q I a 4 H 6 m − 3 r L + 2 r 4 H − 2 m + r L − a 2 r I 6 m 2 − 6 m r + r 2M +
a 2 I a 2 H 2 m − 3 r L + r I − 2 m 2 + 6 m r − 3 r 2 M M Cos @ 2 θ D M B 0 +
a m I 19 a 4 m − 18 a 4 r − 19 a 2 m 2 r + 25 a 2 m r 2 − 3 a 2 r 3 − 16 m r 4 +
12 r 5 + 4 I a 4 H 3 m − 5 r L + r 4 H − 4 m + 3 r L − 3 a 2 r I m 2 − 3 m r + r 2 M M
Cos @ 2 θ D + a 2 I a 2 H m − 2 r L − r I m 2 − 3 m r + r 2 M M Cos @ 4 θ D M B 20 M M
T 03 =
r2
H a2
32 π
+ 2
+ a2 Cos@ 2 θ D L
I 8 Q − 8 a Q H m − rL H 3 + Cos@ 2 θ D L B0 +
I 3 a4 + 19 a2 m 2 − 36 a2 m r + 6 a2 r2 + 8 m r3 +
4 I a4 + 2 r3 H − m + rL + a2 I 3 m 2 − 6 m r + 2 r2M M Cos@ 2 θ D +
a 2 I a 2 + m 2 − 4 m r + 2 r 2 M C o s @ 4 θ D M B 20 M
T 22 = −
2
1
r2
42
T33 =
− I Sin@ θ D 2 I − 16 Q2 I − 3 a4 + a2 H 2 m − 5 rL r − 2 r4 + a2 I a2 + r H − 2 m + rLM Cos@ 2 θ DM +
8 a Q I − 17 a4 m + 9 a4 r + 10 a2 m 2 r − 23 a2 m r2 + 13 a2 r3 + 4 m r4 +
4 r5 + 4 r I 2 a4 + r3 H − 5 m + 3 rL + a2 I − 2 m 2 − 3 m r + 5 r2 MM Cos@ 2 θ D +
a2 H m − rL I a2 − 2 m r + r2 M Cos@ 4 θ DM B0 +
I 10 a8 + 102 a6 m 2 − 116 a6 m r − 52 a4 m 3 r + 46 a6 r2 + 130 a4 m 2 r2 −
176 a4 m r3 + 84 a4 r4 − 36 a2 m 2 r4 − 72 a2 m r5 + 80 a2 r6 − 32 m r7 +
32 r8 + I 15 a8 + 32 m r7 + 16 a2 r4 I 7 m 2 − 10 m r + 3 r2M +
3 a6 I 11 m 2 − 42 m r + 21 r2M + a4 r I 30 m 3 + 145 m 2 r − 288 m r2 + 96 r3MM
Cos@ 2 θ D +
2 a2 I 3 a6 + 2 m H 13 m − 6 rL r4 − 3 a4 I m 2 + 2 m r − 3 r2 M +
a2 r I 10 m 3 − 9 m 2 r − 24 m r2 + 6 r3 MM Cos@ 4 θ D + a8 Cos@ 6 θ D −
a6 m 2 Cos@ 6 θ D − 2 a6 m r Cos@ 6 θ D + 2 a4 m 3 r Cos@ 6 θ D +
a6 r2 Cos@ 6 θ D − a4 m 2 r2 Cos@ 6 θ DM B20MM ë I 32 π I a2 + 2 r2 + a2 Cos@ 2 θ DM 3 M
(2)
Enerji-gerilim tansörünün kontravaryant bileşenleri aşağıdaki gibidir:
00
00 00
03 03
03
00 03
00 33
11
11 11
22
22 22
33
03 03
00 03
T = g g T00 + g g T33 + 2 g g T03
03 03
03 33
T = g g T00 + g g T03 + g g T03 + g g T33
T = g g T11
T = g g T22
33 33
03 33
T = g g T00 + g g T33 + 2 g g T03
Bu bileşenlerin açık ifadeleri aşağıdaki gibidir:
00
T =
− I − 16 Q2 I − 3 a4 + a2 H 2 m − 5 rL r − 2 r4 + a2 I a2 + r H − 2 m + rLM Cos@ 2 θ DM +
8 a Q I − 17 a4 m + 9 a4 r + 10 a2 m 2 r − 23 a2 m r2 + 13 a2 r3 + 4 m r4 +
4 r5 + 4 r I 2 a4 + r3 H − 5 m + 3 rL + a2 I − 2 m 2 − 3 m r + 5 r2 MM Cos@ 2 θ D +
a2 H m − rL I a2 − 2 m r + r2 M Cos@ 4 θ DM B0 +
I 10 a8 + 102 a6 m 2 − 116 a6 m r − 52 a4 m 3 r + 46 a6 r2 + 130 a4 m 2 r2 −
176 a4 m r3 + 84 a4 r4 − 36 a2 m 2 r4 − 72 a2 m r5 + 80 a2 r6 − 32 m r7 +
32 r8 + I 15 a8 + 32 m r7 + 16 a2 r4 I 7 m 2 − 10 m r + 3 r2M +
3 a6 I 11 m 2 − 42 m r + 21 r2M + a4 r I 30 m 3 + 145 m 2 r − 288 m r2 + 96 r3MM
Cos@ 2 θ D +
2 a2 I 3 a6 + 2 m H 13 m − 6 rL r4 − 3 a4 I m 2 + 2 m r − 3 r2 M +
a2 r I 10 m 3 − 9 m 2 r − 24 m r2 + 6 r3 MM Cos@ 4 θ D + a8 Cos@ 6 θ D −
6 2
a m Cos@ 6 θ D − 2 a6 m r Cos@ 6 θ D + 2 a4 m 3 r Cos@ 6 θ D + a6 r2 Cos@ 6 θ D −
a4 m 2 r2 Cos@ 6 θ DM B20 M ë I 32 π I a2 + r H − 2 m + rLM I a2 + 2 r2 + a2 Cos@ 2 θ DM 3M
(3)
43
03
T =
− I 8 a Q2 I a2 + r H − m + rL M −
4 Q I a4 H 6 m − 3 rL + 2 r4 H − 2
a2 I a2 H 2 m − 3 rL + r I − 2
a m I 19 a 4 m − 18 a 4 r − 19 a 2
4 I a4 H 3 m − 5 rL + r4 H − 4
a2 I a2 H m − 2 rL − r I m 2 −
m + r L − a 2 r I 6 m 2 − 6 m r + r 2M +
m 2 + 6 m r − 3 r 2 M M Cos @ 2 θ D M B 0 +
m 2 r + 25 a 2 m r 2 − 3 a 2 r 3 − 16 m r 4 + 12 r 5 +
m + 3 r L − 3 a 2 r I m 2 − 3 m r + r 2M M Cos @ 2 θ D +
3 m r + r 2M M Cos @ 4 θ D M B 20 M ë
I 4 π I a 2 + r H − 2 m + r L M I a 2 + 2 r 2 + a 2 Cos @ 2 θ D M M
3
11
H a2
22
1
8 π
+ 2
+ a2 Cos@ 2 θ D L 3
2
I I a + r H − 2 m + rL M
I 8 Q2 − 8 a Q H m − rL H 3 + Cos@ 2 θ D L B0 +
I 3 a4 + 19 a2 m 2 − 36 a2 m r + 6 a2 r2 + 8 m r3 +
4 I a4 + 2 r3 H − m + rL + a2 I 3 m 2 − 6 m r + 2 r2 M M Cos@ 2 θ D +
a 2 I a 2 + m 2 − 4 m r + 2 r 2 M C o s @ 4 θ D M B 20 M M
T =
r2
1
8 π H a2 + 2 r2 + a2 Cos@ 2 θ D L 3
I 8 Q2 − 8 a Q H m − rL H 3 + Cos@ 2 θ D L B0 +
I 3 a4 + 19 a2 m 2 − 36 a2 m r + 6 a2 r2 + 8 m r3 +
4 I a4 + 2 r3 H − m + rL + a2 I 3 m 2 − 6 m r + 2 r2M M Cos@ 2 θ D +
a 2 I a 2 + m 2 − 4 m r + 2 r 2 M C o s @ 4 θ D M B 20 M
T = −
33
T =
− I Csc@ θ D 2 I − 16 Q2 I − 3 a2 + 4 m r − 2 r2 + a2 Cos@ 2 θ DM +
8 a Q I − 17 a2 m + 9 a2 r + 24 m 2 r − 20 m r2 + 4 r3 +
4 r I 2 a2 + 2 m 2 − 7 m r + 3 r2 M Cos@ 2 θ D + a2 H m − rL Cos@ 4 θ DM B0 +
I 10 a6 + 102 a4 m 2 − 144 a4 m r − 152 a2 m 3 r + 36 a4 r2 + 236 a2 m 2 r2 −
136 a2 m r3 + 48 a2 r4 + 64 m 2 r4 − 96 m r5 + 32 r6 +
I 15 a6 + 32 m r4 H − 2 m + rL + a4 I 33 m 2 − 160 m r + 48 r2 M +
16 a2 r I − 6 m 3 + 23 m 2 r − 14 m r2 + 3 r3 MM Cos@ 2 θ D +
2 a2 I 3 a4 − 2 m r I 2 m 2 − 9 m r + 6 r2M + a2 I − 3 m 2 − 8 m r + 6 r2MM Cos@ 4 θ D +
a6 Cos@ 6 θ D − a4 m 2 Cos@ 6 θ DM B20MM ë
3
I 32 π I a2 + r H − 2 m + rLM I a2 + 2 r2 + a2 Cos@ 2 θ DM M
(4) ifadeleri yardımıyla enerji-gerilim tansörünün izi aşağıdaki şekilde sıfıra eşit bulunur:
00
03
11
22
33
T = g00 T + 2 g03 T + g11 T + g22 T + g33 T
(4)
44
T=
1
8 π Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
II−r2 − a2 Cos@θD2M
I8 Q2 − 8 a Q H m − rL H3 + Cos@2 θDL B0 +
I3 a4 + 19 a2 m2 − 36 a2 m r + 6 a2 r2 + 8 m r3 + 4 Ia4 + 2 r3 H−m + rL + a2 I3 m2 − 6 m r + 2 r2MM
Cos@2 θD + a2 Ia2 + m2 − 4 m r + 2 r2M Cos@4 θDM B20MM −
1
8 π Ha2 − 2 m r + r2L Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
IIa2 + r H−2 m + rLM Ir2 + a2 Cos@θD2M
I8 Q2 − 8 a Q H m − rL H3 + Cos@2 θDL B0 +
I3 a4 + 19 a2 m2 − 36 a2 m r + 6 a2 r2 + 8 m r3 + 4 Ia4 + 2 r3 H−m + rL + a2 I3 m2 − 6 m r + 2 r2MM
Cos@2 θD + a2 Ia2 + m2 − 4 m r + 2 r2M Cos@4 θDM B20MM +
Ia m r Sin@θD2
I−8 a Q2 Ia2 + r H− m + rLM +
4 Q Ia4 H6 m − 3 rL + 2 r4 H−2 m + rL − a2 r I6 m2 − 6 m r + r2M +
a2 Ia2 H2 m − 3 rL + r I−2 m2 + 6 m r − 3 r2MM Cos@2 θDM B0 −
a m I19 a4 m − 18 a4 r − 19 a2 m2 r + 25 a2 m r2 − 3 a2 r3 − 16 m r4 + 12 r5 +
4 Ia4 H3 m − 5 rL + r4 H−4 m + 3 rL − 3 a2 r I m2 − 3 m r + r2MM Cos@2 θD +
a2 Ia2 Hm − 2 rL − r Im2 − 3 m r + r2MM Cos@4 θDM B20MM ë
−
I π Ia2 + r H−2 m + rLM Ir2 + a2 Cos@θD2M Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM M −
3
II−Ia2 + r2M + a2 Ia2 − 2 m r + r2M Sin@θD2M
2
I−16 Q2 I−3 a2 + 4 m r − 2 r2 + a2 Cos@2 θDM +
8 a Q I−17 a2 m + 9 a2 r + 24 m2 r − 20 m r2 + 4 r3 + 4 r I2 a2 + 2 m2 − 7 m r + 3 r2M Cos@2 θD +
a2 Hm − rL Cos@4 θDM B0 +
I10 a6 + 102 a4 m2 − 144 a4 m r − 152 a2 m3 r + 36 a4 r2 + 236 a2 m2 r2 − 136 a2 m r3 +
48 a2 r4 + 64 m2 r4 − 96 m r5 + 32 r6 +
I15 a6 + 32 m r4 H−2 m + rL + a4 I33 m2 − 160 m r + 48 r2M +
16 a2 r I−6 m3 + 23 m2 r − 14 m r2 + 3 r3MM Cos@2 θD +
2
2 a I3 a4 − 2 m r I2 m2 − 9 m r + 6 r2M + a2 I−3 m2 − 8 m r + 6 r2MM Cos@4 θD + a6 Cos@6 θD −
a4 m2 Cos@6 θDM B20MM ë I32 π Ia2 + r H−2 m + rLM Ir2 + a2 Cos@θD2M Ia2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDM3M +
1
32 π Ha2 + r H−2 m + rLL Ha2 + 2 r2 + a2 Cos@2 θDL3
2mr
ij
y
i
j
z
jj1 −
z
2
r + a2 Cos@θD2 {
kk
I16 Q2 I−3 a4 + a2 H2 m − 5 rL r − 2 r4 + a2 Ia2 + r H−2 m + rLM Cos@2 θDM −
8 a Q I−17 a4 m + 9 a4 r + 10 a2 m2 r − 23 a2 m r2 + 13 a2 r3 + 4 m r4 + 4 r5 +
4 r I2 a4 + r3 H−5 m + 3 rL + a2 I−2 m2 − 3 m r + 5 r2MM Cos@2 θD +
a2 Hm − rL Ia2 − 2 m r + r2M Cos@4 θDM B0 −
I10 a8 + 102 a6 m2 − 116 a6 m r − 52 a4 m3 r + 46 a6 r2 + 130 a4 m2 r2 − 176 a4 m r3 + 84 a4 r4 −
36 a2 m2 r4 − 72 a2 m r5 + 80 a2 r6 − 32 m r7 + 32 r8 +
I15 a8 + 32 m r7 + 16 a2 r4 I7 m2 − 10 m r + 3 r2M + 3 a6 I11 m2 − 42 m r + 21 r2M +
a4 r I30 m3 + 145 m2 r − 288 m r2 + 96 r3MM Cos@2 θD +
2 a2 I3 a6 + 2 m H13 m − 6 rL r4 − 3 a4 Im2 + 2 m r − 3 r2M + a2 r I10 m3 − 9 m2 r − 24 m r2 + 6 r3MM
Cos@4 θD + a8 Cos@6 θD − a6 m2 Cos@6 θD − 2 a6 m r Cos@6 θD + 2 a4 m3 r Cos@6 θD +
z
a6 r2 Cos@6 θD − a4 m2 r2 Cos@6 θDM B20My
z
{
T=0
(5)
45
ÖZGEÇMİŞ
Doğum tarihi
08.01.1980
Doğum yeri
İstanbul
Lise
1993–1997
Yunus Emre Lisesi (YDA)
Lisans
1998–2003
İstanbul Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi Fizik
Yüksek Lisans
2003–2004
İstanbul Üniversitesi Fen Bilimleri Enst.
Orta Öğretim Alan Öğretmenliği(Tezsiz)
2004–Devam Ediyor
Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri
Enst. Fizik
Çalıştığı Kurumlar
2005-Devam Ediyor
Yıldız Teknik Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi Fizik Bölümü