Temel İstatistik

Ölçmeyle İlgili Temel
İstatistikler
Bir eğitimci olarak niçin belli
düzeyde istatistik bilmeliyiz?
• Günlük hayatta çevremizde olup
anlayabilmek ve yorumlayabilmek için
bitenleri
izleyebilmek,
• Borsa düşünce dolara ne oluyor?
• Seçimleri kim kazanacak?
• Şampiyon kim olacak?
• Sınıftaki en başarılı öğrenci kim?
• Sınavda ilk yüzde elliye kimler giriyor?
• Elde ettiğimiz verilerle ilişkiler kurar, sonuçlar çıkarmaya çalışırız!
23.7.2017
2
İstatistik Nedir?
• İstatistik, belli amaçlar için veri toplama, toplanan verileri
düzenleme, çözümlemenin yanı sıra yorumlama teknik
ve yöntemleri olarak tanımlanabilir.
• Nitel ve nicel değerlerle ilgilenir.
• Nicel verilerin ve bilgilerin düzenlenmesi, özetlenmesi ve
açıklanması betimsel (descriptive) istatistiğin uğraştığı
alandır.
• Nitel verilerin yorumlanması ve betimsel istatistik
sonuçları kullanılarak bir olay veya olgu hakkında
varsayımda bulunmak, genellemeler yapmak sonuç
çıkarıcı (inferential) istatistiktir.
23.7.2017
3
•
•
Bir çalışma sonunda toplanan veriler ham
verilerdir.
Verileri anlamlı hâle getirmek için toplanan veriler;
1.
2.
3.
4.
5.
Sözel ifadelerle açıklanır.
Tablolar oluşturularak sunulur.
Grafiklerle ifade edilir.
Veriler üzerinde bazı istatistiksel hesaplamalar yapılır.
Bu sayılan yöntemlerden birkaçı birden kullanılır.
Yukarıda sayılan yöntemlerden hangisinin
kullanılacağı; ne tür ölçek kullanıldığına ve ne tür
veri elde edildiğine bağlıdır.
23.7.2017
4
• Evren-Genel Uzay
• Araştırmanın yapıldığı, verilerin toplanıldığı,
gözlemlerin yapıldığı alandaki tüm nesneler veya
bireyler evreni oluşturur.
• Örneklem
• Evrenin içinden ayrıntılı olarak üzerinde çalışmak
amacıyla seçilen bir grup nesne veya birey,
çalışmanın örneklemini oluşturur. Örneklem evrenin
bütün özelliklerini yansıtmalıdır.
• Örneklem seçimi çeşitli tekniklerle yapılır. Bütün bu
teknikler araştırmanın türüne ve amacına bağlıdır.
• Ölçmede kesinlik
• Kullanılan ölçeklerin hassasiyetine bağlı olarak
yapılan ölçümlerin kesinlik dereceleri de
değişmektedir.
23.7.2017
5
Verilerin Özetlenmesi ve Grafikle Gösterilmesi
• Frekans Dağılımları
– Basit Frekans Dağılımı
– Gruplandırılmış Frekans Dağılımı
• Verilerin Grafikle Gösterilmesi
– Bar Grafik
– Histogram
– Frekans Poligonu
– Çizgi Grafiği
– Pasta ya da Daire Grafiği
23.7.2017
6
Frekans Dağılımları
• Gözlem ya da kayıt yoluyla elde edilen ve işlenmemiş,
anlamlı hale getirilmemiş sayılar yığını “ham veri” olarak
kabul edilir.
• Ham verilerin düzenlenmesinde, özetlenmesinde, anlamlı
ve anlaşılır hale getirilmesinde en sık kullanılan
yöntemlerden biri, bu verilerin frekans dağılımlarının
verilmesidir.
• Frekans dağılımlarının verilmesi ile karışık halde bulunan
puanlamalar derlenir, puanlar yüksekten düşüğe ya da
tersi biçimde sıralanabilir ve puanlar hakkında yorumlar
yapılabilir.
23.7.2017
7
Frekans Dağılımları
• Ham Puanlar
• Sıralanmış Puanlar
23.7.2017
8
Basit Frekans Dağılımı
• Basit frekans dağılımı, her puan
değerinin kaç sefer tekrarlandığını
gösterir. Frekans “f” harfi ile
gösterilir.
• Frekans tablosu hazırlanırken; tüm
puanlar gösterilir. İstenirse
öğrencilerin almadıkları diğer
puanlar da verilebilir.
• Toplamalı frekans, frekans
değerlerinin ard arda toplanması ile
elde edilir.
23.7.2017
9
23.7.2017
10
Gruplandırılmış Frekans Dağılımı
• Gruplandırılmış
frekans dağılımında,
belirli puan
kategorilerinin
oluşturulması için
puanlar arasındaki
ranjlar ya da aralıklar
dikkate alınır.
• Burada grup ya da
kategorilerin aralığını
gösteren “aralık
katsayısı”nın
bulunması önemlidir.
23.7.2017
11
Gruplandırılmış Frekans Dağılımı
• Gruplandırılmış frekans dağılımını belirlemede “aralık
katsayısı”nı bulmak için en yüksek ve en düşük
puanlar arasındaki fark (RANJ) belirlenir. Bu değer
tahmini grup sayısına bölünür. Grup ya da kategori
sayısı 5, 8, 10, 12 ya da 15 olarak alınabilir.
• Az sayıda kategori oluşturma veri kaybına, çok sayıda
kategori oluşturma ise işlemlerin güçleşmesine yol
açabilir.
23.7.2017
12
23.7.2017
13
23.7.2017
14
23.7.2017
15
Temel Kavramlar
23.7.2017
16
Temel Kavramlar
23.7.2017
17
Bar Grafik
İstatistiksel verileri
açıklamak için en
çok kullanılan
grafik türüdür.
Bar diyagram,
birbirini izleyen
barların bir serisini
gösterir. Barlar
küçükten büyüğe
ya da tersi biçimde
sıralanır.
23.7.2017
18
Histogram
Histogram bar grafiğe benzer. Ancak, bar grafik kategorik ya da kesikli grup
aralıklarıyla çizildiği halde, histogram sürekli grup aralıklarıyla çizilir.
Histogramda dikey eksen her zaman sıfır değeriyle başlarken, yatay eksen
sıfır ya da büyük bir değerden başlayabilir.
23.7.2017
19
Frekans Poligonu
Histogramda verilen puan aralıklarının orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşur.
Puan aralıkları ve orta noktalar
23.7.2017
20
Çizgi Grafiği
Frekans poligonunun iki ucu yatay eksene değmediği
zaman çizgi grafiği oluşur. Çizgi grafiği sürekli verilere
uygulanabilir. Puanlar ya da puan aralıkları yatay
eksende, bunlara ait frekanslar dikey eksende yer alır.
23.7.2017
22
Pasta ya da Daire Grafiği
Özellikle değişkenlerin yüzdelik değerlerini göstermede
sıklıkla kullanılan bir grafik türüdür.
23.7.2017
23
Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri
• Aritmetik Ortalama
• Mod (Tepe Değer)
• Medyan (Ortanca)
23.7.2017
24
Aritmetik Ortalama
Puan toplamlarının veri sayısına bölümüdür.
X 
X
1

X
2

X
3
n
Örnek: 95,88,73,67,59,46,35,26,23
Ortalama: 56.88
23.7.2017
25
Mod (Tepe Değer)
• Mod ya da tepe değer, bir puan dağılımında en çok
tekrar eden, yani frekansı en fazla olan puan ya da
ölçümdür.
Örnek: 60,72,82,72,61,81,72 ise Mod=72’dir.
• Güvenirliğinin düşük olması nedeniyle nadiren kullanılır.
Çünkü bazı durumlarda dağılımın çarpık olması
nedeniyle birden fazla mod bulunabilir.
23.7.2017
30
23.7.2017
31
Tepe Değer (Mod) ile ilgili bazı önemli noktalar
1) Bir puan dağılımında puanların frekansı aynı ise dağılımın
modu hesaplanamaz (mod yoktur). Örneğin; 1,1,1,5,5,5,7,7,7
puan dağılımının modu yoktur.
2) Bir dizi puan dağılımında ardı ardına gelen iki puanın frekansı
birbirine eşitse bu durumda mod frekansı eşit olan puanların
ortalamasıdır. Örneğin; 2,2,3,3,3,5,5,5,9,9 puan dağılımında 3
ve 5 puanlarının frekansları birbirine eşittir. Bu durumda mod
(3+5)/2=4 olarak bulunur. Dizinin modu 4’tür.
3) Bir dizi puan dağılımında frekansı eşit fakat ardı ardına
gelmeyen puanlar varsa, bu durumda dizinin iki modu olur.
Örneğin; 2,3,3,3,4,5,6,6,6,7 puan dağılımının 3 ve 6 olmak
üzere iki modu (bimodal) bulunmaktadır.
32
23.7.2017
32
Medyan (Ortanca)
Büyüklük sırasına göre dizilmiş puanlar
dizisinin tam ortasına düşen puandır.
n 1
' inci puan
2
Örnek: 95,88,73,67,59,46,35,26,23
Medyan: 59
Puanların sayısı çift ise:
n
n
ile  1 ‘inci değerin ortalaması alınır
2
2
Örnek: 95,88,73,67,59,46,35,26,23,12
Medyan: 52.5
23.7.2017
33
Medyan (Ortanca)
• Örnek: 4, 7, 8, 11, 12, 15, 19 ise
Medyan=(n+1)/2=(7+1)/2=8/2=4. sıradaki 11’dir.
• Örnek: 3, 5, 7, 9 ise
Medyan=n/2=4/2=2. sıradaki (5+7)/2=6’dır.
23.7.2017
34
Medyan (Ortanca)
• Medyan sıralamalı
ölçeklerle elde edilen
veriler için uygun bir
merkezi eğilim
ölçüsüdür.
• Medyanda ölçümlerin
her birinin puan
değerinden çok
dağılım içindeki sırası
önemlidir.
23.7.2017
35
23.7.2017
39
23.7.2017
40
Dağılım (Değişim, Yayılma) Ölçüleri
Yayılma Ölçüleri: Verilerin yığılma gösterdikleri
noktadan ne kadar uzakta olduklarını, yani: merkeze
yığılma ölçüsüne göre ne kadar dağıldıklarını belirler
Ranj (dizi genişliği)
Çeyrek Sapma
Standart Sapma
23.7.2017
41
Ranj (Dizi Genişliği)
Bir veri grubunda en yüksek puan ile, en
düşük puan arasındaki farktır.
Puanların sıralanmış olması gerekmez
Grubun homojen ya da heterojen bir
dağılım gösterdiği hakkında bilgi verir.
Örnek: 78,89,56,36,48,92,59,60
Ranj: 92-36=56
23.7.2017
42
Ranj (Dizi Genişliği)
• Örnek
Birinci Dağılım: 59, 59, 59, 60, 61, 61, 61 ise Ranj=?
61-59=2
İkinci Dağılım: 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 ise Ranj=?
90-30=60
Bu iki dağılımda aritmetik ortalama ve medyanlar eşit
olmasına karşın ranjları farklıdır.
Dağılımın ranjı azaldıkça dağılımdaki puanlar birbirine
yaklaşır ya da benzeşir, ranj arttıkça puanlar birbirinden
uzaklaşır ya da puanlar arası fark artar.
23.7.2017
43
Çeyrek Sapma
Çeyrek sapma, bir dağılımdaki üçüncü çeyrek (75.yüzdelik)
ile birinci çeyrek (25.yüzdelik) arasındaki farkın yarısına
eşittir. Aritmetik ortalama yerine medyanın kullanıldığı
durumlarda kullanılması uygundur.
23.7.2017
44
Aşağıda 20 öğrencinin İngilizce sınavından aldığı notlar
küçükten büyüğe doğru sıralanarak verilmiştir. Çeyrek
sapmayı hesaplayalım:
15,17,20,21,25,30,33,40,43,47,50,55,57,60,65,70,73,77,80,84
25. yüzdelik için (Y25)= 20(25/100) = 5. puan (25)
75. yüzdelik için (Y75)= 20(75/100) = 15. puan (65)
Bu durumda çeyrek sapma  (65-25)/2=20 olur.
23.7.2017
45
Baştan % 25. not 25 ve sondan % 75. not 65
olduğuna göre bu notların aritmetik ortalamadan
ne kadar saptığını çeyrek sapma yaklaşık olarak
vermektedir.
46,05  25  21 ve 65 - 46,05  19
23.7.2017
46
Örnek: Çeyrek Sapma
23.7.2017
Puan Aralığı
f
Toplamalı
Frekans
Aralığın Gerçek
Sınırı
21,00-25,00
1
1
20,50-25,50
26,00-30,00
1
2
25,50-30,50
31,00-35,00
2
4
30,50-35,50
36,00-40,00
6
10
35,50-40,50
41,00-45,00
6
16
40,50-45,50
46,00-50,00
7
23
45,50-50,50
51,00-55,00
1
24
50,50-55,50
47
48
23.7.2017
48
49
23.7.2017
49
Standart Sapma (SS)
Bir veri grubunda verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar
uzaklaştığının ölçüsüdür.
Puanların ortalamadan olan farklarının, kareleri toplamının
ortalamasının (Varyans), kareköküne eşittir.
Varyans standart sapmanın karesine eşittir.
S
(X  X )
2
n 1
Örnek: 78,89,56,36,48,92,59,60
S=19.8
23.7.2017
50
Standart sapma
• Bir veri dizisinde standart sapmayı hesaplamak için
önce aritmetik ortalama bulunur ve her veriyle aritmetik
ortalamanın farkının karesi şeklinde hesaplanarak
aşağıdaki formülle dizinin standart sapması hesaplanır.
N
Sx 
 (X
i 1
i
 X)
N
2
 21,9
 ÇEYREK SAPMA değişim hakkında kaba bir sonuç
verir.
 SS verilerin oluşturduğu dizinin homojenliğiyle ilgili
bilgi verir.
23.7.2017
51
• Gruplandırılmış Frekans tablosuyla
verilen dizinin standart sapması,
aşağıdaki formül ile hesaplanır:
N
Sx 
23.7.2017

i 1
f i ( X i  X) 2
N -1
52
Standart Sapmanın Özellikleri
• SS, bir veri grubunun ortalaması etrafındaki
dağılımını belirlemek amacıyla kullanılır.
• Negatif değerler almaz.
• Veri grubundaki tüm değerler aynı ise SS
sıfırdır.
• SS veri grubundaki uç değerlere karşı duyarlı
olup tek bir uç değer dahi değerini artırabilir.
Yani, dağılımı çarpık hale getirir.
23.7.2017
55
Standart Sapma ve Aritmetik Ortalama
Arasındaki İlişki
Aritmetik ortalama ile standart Heterojen yapı oluşur ve grup
sapmanın arası büyürse,
başarısı düşer.
Aritmetik ortalama ile standart Homojen yapı oluşur ve grup
sapmanın arası küçülürse,
başarısı artar.
Bir puan dağılımında puanlar
arası fark (ranj) büyüdükçe,
Standart sapmada büyür.
Bir testten elde edilen
puanların standart sapması
büyüdükçe,
Testin güvenirliği artar.
23.7.2017
56
Standart Hata
• Standart sapmayla ilgili bir kavram da
ortalamanın standart hatasıdır. Bir dağılımda
standart hata, standart sapmanın örneklem
sayısının kareköküne bölünmesiyle hesaplanır.
SH 
23.7.2017
Sx
N
57
Standart Puanlar
Standart puan, gözlenen puanların ortalamadan farklarının standart
sapmaya bölünmesiyle standart sapma birimi cinsinden elde edilen
bir puandır. “Z” ve “T” puanları olmak üzere iki türlüdür. Aritmetik
ortalaması 0,00 ve standart sapması 1,00 olan dağılıma birim normal
dağılım ya da standart normal dağılım denir. Uygulanan bir testten
elde edilen sonuçların standart normal dağılıma dönüştürülmesi ile
elde edilen puanlara Z puanları adı verilir
• Z puanı, farklı test sonuçlarının karşılaştırılmasında ve matematiksel
işlemlerde kolaylık sağlar. Farklı test sonuçlarının karşılaştırılmasına yönelik
olarak aşağıdaki soruyu inceleyelim.
• Soru 2: Tabloya göre Ali hangi testte daha başarılıdır? Hangi iki testteki
başarısı birbirine eşittir?
• 1. test için Z puanı = -1
•
2. test için Z puanı = 0
•
3. test için Z puanı = +1
•
4. test için Z puanı = +1
•
5. test için Z puanı = +2 olarak bulunur.
• Buna göre Ali, 5. testte daha başarılıdır ve 3. ve 4. testlerdeki
başarıları birbirine eşittir
T puanı
• T puanı, aritmetik ortalaması 50 ve standart
sapması 10 olan diğer bir standart dağılımdır.
Normal Dağılım Eğrisi
%34,13 %34,13
(Simetrik Dağılım)
%13,59
%13,59
%2,14
Sx
-3
-2
%2,14
-1
0
+1
+2
+3
+1
+2
+3
60
70
80
%68
Z
-3
-2
-1
0
%95
T
23.7.2017
20
30
40
50
%99
61
Normal Dağılım
• Birçok değişkene ait ölçümlerin frekans dağılımı, çan
eğrisi şeklinde simetrik bir frekans eğrisiyse bu eğri,
normal dağılım eğrisi olarak adlandırılır.
• İstatistikte çok önemli bir yeri olan normal dağılım eğrisi
aslında bir matematiksel eğridir. Eğrinin tepe noktası
aritmetik ortalamaya karşılık gelir.
• Normal dağılımda standart sapma, eğrinin genişliğini
belirler. Standart sapma büyüdükçe değişkenin alacağı
en küçük değer ile en büyük değer arasındaki açıklık
büyür.
• Ortalamanın üstünde ve altında eşit sayıda puan
(%50’si) bulunmaktadır.
• Hiçbir puan dağılımı, normal dağılımı tam olarak
karşılamaz. Bu nedenle, normal dağılım eğrisinin
yüzdelik karşılıkları tahmini olarak belirtilir.
Soru:
• Aritmetik Ort:60, SS=8 olan bir testten 70 puan alan bir
öğrencinin başarısı hakkında yorum yapılacak olursa;
• AO ve SS dikkate alınarak grubun genel dağılımının
bulunması gerekir.
• -3S
-2S -1S AO
+1S +2S +3S
• 36
44
52
60
68
76
84
• Öğrenci puanları 36 ile 84 arasında değiştiği
söylenebilir
• 70 puan +2S puan diliminde yer alır.Yani öğrencinin
sınıfın % 84’ünden daha fazla puan aldığı söylenebilir.
KPSS Soru
Örneği
Aritmetik
Ortalama
Mod
(Tepe
Değer)
Medyan
Standart Leyla’nın
(Ortanca) Sapma
notu
Türkçe
68
75
70
5
55
Matematik
70
65
60
10
60
Tarih
80
80
80
7
73
Fizik
65
75
70
4
72
Coğrafya
60
70
65
3
69
• Hangi derste dağılım normaldir?
Normal Dağılım: Aritmetik ortalama, mod ve medyanın eşit
olduğu dağılımdır.
23.7.2017
64
Aritmetik
Ortalama
Mod
Medyan
Standart
Sapma
Leyla’nın
notu
Türkçe
68
75
70
5
55
Matematik
70
65
60
10
60
Tarih
80
80
80
7
73
Fizik
65
75
70
4
72
Coğrafya
60
70
65
3
69
•
Hangi derste grup homojendir ya da farklılaşma en
düşük ya da öğrencilerin öğrenme düzeyi birbirine
en yakındır?
•
Hangi derste grup heterojendir ya da farklılaşma
en yüksek ya da öğrencilerin öğrenme düzeyi
birbirine en uzaktır?
23.7.2017
65
Aritmetik
Ortalama
Mod
Medyan
Standart
Sapma
Leyla’nın
notu
Türkçe
68
75
70
5
55
Matematik
70
65
60
10
60
Tarih
80
80
80
7
73
Fizik
65
75
70
4
72
Coğrafya
60
70
65
3
69
•
•
•
•
23.7.2017
Grup olarak en başarılı ve en başarısız olunan ders
hangisidir?
Ortalama öğrenme düzeyi ya da grup başarı düzeyi en
yüksek ve en düşük olan ders hangisidir?
Coğrafya (SS-min)ve Matematik(SS-max) dersi;
Tarih (AO-max) ve Coğrafya (AO-min)
66
Leyla’nın en başarılı ve
en başarısız olduğu
dersler hangisidir ?
-2
-1
X
53 55 58
63
Matematik
40
50
Tarih
60
Fizik
Coğrafya
Sx
Türkçe
+1
+2
68
73
78
83
60
70
80
90
100
67
73
80
87
94
100
53
57
61
65
69 72 73
77
51
54
57
60
63
69
-3
66
+3
67
KPSS Soru
Örneği
X
SS
Z-Puanı
90
75
13
(90-75)/13=
+1,15
50+(10.1,15)=
61,5
FenTeknoloji
55
65
16
(55-65)/16=
-0,63
50+(10.-0,63)=
43,7
Sosyal
Bilgiler
45
40
12
(45-40)/12=
+0,42
50+(10.0,42)=
54,2
85
60
14
(85-60)/14=
+1,79
50+(10.1,79)=
67,9
Ders
Türkçe
Matematik
Ham
Puan
T-Puanı
1.Matematik, 2.Türkçe, 3.Sosyal Bilgiler, 4.Fen-Teknoloji.
68
23.7.2017
69
Dağılımda Çarpıklık: Negatif Çarpık Dağılım
Puanların çoğu dağılımın sağ tarafına yığılmıştır.
Sola çarpık: Sınıf başarısı yüksek.
Ortalama<Medyan<Mod. Sorular ve test kolaydır.
23.7.2017
70
Dağılımda Çarpıklık: Pozitif Çarpık Dağılım
Puanların çoğu dağılımın sol tarafına yığılmıştır.
Sağa çarpık: Sınıf başarısı düşük.
Mod<Medyan<Ortalama. Sorular ve test zordur.
23.7.2017
71
Mod < Medyan < Ortalama
Ortalama < Medyan < Mod
Mod
Medyan
Ortalama
0
Sağa çarpık dağılım
100
0
Sola çarpık dağılım
100
Çarpıklık Katsayısı
• Çarpıklık katsayısının sıfırdan küçük olması çarpıklığın negatif (sola),
sıfırdan büyük olması ise pozitif (sağa) olduğunu gösterir.
• Çarpıklık katsayısının sıfıra eşit olması, dağılımın simetrik olduğunu
gösterir.
23.7.2017
73
Dağılımın Basıklığı
Korelâsyon
• Korelasyon, X ve Y gibi iki değişken arasında
bir ilişki olup olmadığı eğer ilişkili ise bu ilişkinin
derecesini belirlemeye yarayan istatistiksel bir
tekniktir. Değişkenler arasındaki ilişkinin
derecesini veren katsayıya ise korelasyon
katsayısı denilmektedir. Korelasyon katsayısı
“r” ile gösterilir ve +1 ile -1 arasında değerler
alır
Pearson Momentler Çarpımı Korelasyon Katsayısı
• Bu korelasyon katsayısı, aralıklı ya da oranlı ölçek düzeyinde
elde edilen veriler arasındaki ilişkilerin belirlenmesinde
kullanılan bir tekniktir. Pearson korelasyon katsayısı “r” ile
gösterilmektedir ve değeri -1 ile +1 arasında değişmektedir.
Pearson momentler çarpımı korelâsyon katsayısı aşağıdaki
formüller kullanılarak hesaplanabilir
Sperman Sıra Farkları
Korelasyonu (Spearman Rho)
• Bu korelasyon katsayısı, sıralama ölçeğinde elde edilen
veriler arasındaki ilişkilerin belirlenmesinde kullanılan bir
tekniktir (Baykul, 2000). Sperman Rho, Pearson
korelasyon katsayısı ile aynı şekilde yorumlanmaktadır.
Bunun yanı sıra, değişkenlerden biri sıralama diğeri ise
aralıklı ya da oranlı ölçek düzeyinde ise, bu korelasyon
katsayısının kullanılabilmesi için, aralıklı ya da oranlı
ölçek düzeyindeki değişkenin sıralama ölçeğine
dönüştürülmesi gerekir.
• 5A sınıfındaki öğrencilerin 25 soruluk matematik testinden aldıkları puanlar
gruplanarak aşağıdaki frekans grafiğinde gösterilmiştir. (KPSS-2007)
•
•
•
•
•
•
3. 5A sınıfının mevcudu kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 20
E) 25
4. 5A sınıfının matematik testi puanlarının aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 5,7 B) 7,4 C) 14,5
D) 18,6
E) 20
5. 5A sınıfının matematik testi puanlarının tepe değeri (mod) kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 18
E) 25
• 7. Mehmet Öğretmen, öğrencilerine uyguladığı
bir test sonucunda elde ettiği puanlardan bazı
istatistikleri hesaplamıştır. Daha sonra,
öğrencilerden birinin puanını yanlış yazdığını
fark etmiş ve gerekli düzeltmeyi yaparak
istatistikleri tekrar hesaplamıştır.
• Buna göre, Mehmet Öğretmen’in düzeltmesi
sonucunda aşağıdaki istatistiklerden hangisi
kesin olarak değişmiştir? (KPSS-2008)
• A) Ortalama
B) Ortanca
C) Mod
• D) Ranj
E) Yığmalı frekans