(Microsoft PowerPoint - B\326L\334M 3

BÖLÜM 3
• AKIŞKANLARIN KİNEMATİĞİ
Kinematik akışkanın hareketini, kuvvetleri göz önüne almadan yer
değiştirmeler, hızlar, ve ivmeler cinsinden ifade eder.
Her bir zerre herhangi bir zamanda kendine özel hıza sahip olabilir.
En genel halde bu hızlar hareket sırasında noktadan noktaya
değişebilir, sabit bir noktada birbirini takip eden noktaların hızları
zamanla değişebilir. Böylece genel halde hız vektörü;
r
r r r
(3.1)
V = i u + j v + kw
r r
V = V ( x, y, z, t ) ise skaler bileşenler u, v, w matematiksel olarak
yer ve zamanın fonksiyonudurlar.
u = u ( x , y, z , t )
v = v ( x , y, z , t )
w = w ( x , y, z, t )
1
AKIŞKAN HAREKETİNİ İNCELEME YÖNTEMLERİ
Bir akışkan hareketi iki yöntem kullanılarak tariflenebilir.
Lagrange Yöntemi: Belirli bir anda belirli bir konumda olan akışkan
partiküllerinin zamanla olan hareketlerini inceler. Akışkan partikülü
akım alanı içinde değişik konumlarda bulunurlar, t1 anında (x1, y1, z1)
noktasında V1 hızına, t2 anında (x2, y2, z2) noktasında V2 hızına
sahiptirler. Matematiksel olarak Lagrange hızı:
y
V2 t2 anında akışkan partikülünün hızı
V= V[x(t), y(t), z(t), t]
(x2, y2, z2)
V1 t1 anında akışkan partikülünün hızı
(x1, y1, z1)
x
Şekil 3.1
z
Euler Yöntemi: Herhangi bir akışkan partikülünün hareketini
incelemek yerine belirli bir noktadaki hızın ve basıncın zamanla
değişimi araştırılır. Yani tek bir (x1, y1, z1 ) noktası göz önüne alınır
ve bu noktadan geçen akışkan partikülleri t1 anında V1, t2 anında V2
hızına sahiptirler Matematiksel olarak Euler hızı:
y
V = (x, y, z, t )
V2 t2 anında akışkan partikülünün hızı
V1 t1 anında akışkan partikülünün hızı
(x, y, z)
x
z
Şekil 3.2
2
TEMEL KAVRAMLAR
Akışkan Tipleri:
a- İdeal Akışkan: Viskozitesi yani içsel sürtünmesi sıfır olan
akışkanlara denir. İdeal bir akışkanda akış yolu içerisindeki hareketli
bir eleman her durumda aynı hıza sahiptir ve akışkan elemanlarının
izlediği yol birbirine paraleldir.
b- Gerçek Akışkan: Sahip oldukları içsel sürtünmeleri, viskoziteleri
dikkate alınan akışkana denir.
A
A
B
B
(a)
(b)
Şekil 3.3
Akış Tipleri
Akışkan akımı içindeki bir noktada akışkan özellikleri,bulunduğu
noktanın konumunun ve zamanın fonksiyonudur. Bu özellik;
E = E (x, y, z, t )
ile tariflenebilir. Burada E, yoğunluk, hız, sıcaklık, basınç ve benzeri
akışkanın yada akımın herhangi bir özelliğidir. Buna göre Akış tipleri
Kararlı ve Kararsız akım
Bir akışkan akımı içinde dikkate alınan herhangi bir noktadaki
akıma ve akışkana ait tüm özelliklerin zamanla değişmeden (µ, ρ, h,
v, ..... gibi) sabit kalması halindeki akıma kararlı (permenant) akım
denir.
∂E
= 0 veya
∂t
E = E (x, y, z)
3
Gerçekte bütün akışkan akımlarının özelliği herhangi bir noktada
küçükte olsa salınımlar gösterir.Ancak bu özelliklerin zamana göre
ortalaması değişmiyor, sabit kalıyorsa akım yine kararlı olarak
tariflenebilir.
E
Kararlı
Kararsız
t
Şekil 3.4
Hareket halindeki bir akışkan içinde dikkate alınan, konumu sabit
herhangi bir noktadaki akıma ve akışkana ait tüm özellikler zaman
içinde değişiklik gösteriyorsa bu tip akımlara da kararsız akım denir.
∂E
≠ 0
∂t
Üniform ve Üniform Olmayan Akım
Akım bu halde konumuna göre sınıflandırılır. Hareket halindeki bir
akışkan akımının içinde her konumda yani akım boyunca akım ve
akışkana ait özellikler değişmiyor, sabit kalıyorsa bu haldeki akıma
üniform akım denir.
Eğer hareket halindeki bir akışkan akımının içinde her konumda yani
akım boyunca akım ve akışkana ait özellikler değişiyorsa bu haldeki
akıma da üniform olmayan akım denir.
h1
h
(a) Üniform Akım
∂E
=0
∂x
h2
(b) Üniform olmayan akım
Şekil 3.5
∂E
≠0
∂x
4
Akım Çizgisi
Belirli bir t anında akışkan akımı içinde çeşitli konumlardaki akışkan
partiküllerinin hız vektörlerine teğet olarak çizilen çizgilere akım
çizgisi adı verilir. Akım çizgisinin herhangi bir noktasındaki teğeti o
noktadaki hızın doğrultusunu verir. Akım çizgileri hiçbir zaman
birbirini kesmezler.
Kararlı akımlarda akım çizgilerinin şekilleri her an aynı kalır.
Kararsız akımda hızın şiddeti ve yönü veya her ikisi zamanla
değiştiği için akım çizgilerinin şekli zamanla değişecektir. Akım
çizgilerinin birbirlerine yaklaşmaları durumunda hız vektörünün
şiddeti artar, birbirinden uzaklaşmaları durumunda ise şiddeti azalır.
Şekil deki iki boyutlu akım alanında herhangi bir P noktasında akım
çizgisine çizilen teğet bu noktada V hızının doğrultusunu verecektir.
Bu hızın kartezyen koordinatlarda bileşenleri:
r r
r
V = u i + vj
Aynı zamanda P noktasında bu
akışkan
partikülünün
δs
deplasmanı :
r
r
r
δs = δ x i + δ y j
y
V
v
p
u
δy
δx
x
5
Burada δx , δy sırasıyla kartezyen koordinatlarda x ve y
doğrultusundaki bileşenlerdir. δs ve V aynı doğrultuda olduğundan
δy
δx
=
u
v
yazılabilir veya bu ifade diferansiyel formda
dx dy
=
u
v
şeklinde yazılabilir ve
vdx − udy = 0
(3.2)
elde edilir. Bu ifade iki boyutlu akım ortamında bir akım çizgisinin
denklemidir
Üç boyutlu akım için
dx dy dz
=
=
u
v w
(3.3)
Yörünge
Akışkan moleküllerinin akışkan akımı içinde izledikleri yola denir.
Kararlı akımda hız vektörlerinin doğrultuları zamanla değişmeyip
sabit kaldığından akım çizgileriyle yörünge üst üste çakışır.
1
t1 anında akım çizgisi
2
3
t2 anında akım çizgisi
yörünge
t2 anında akım çizgisi
6
Akım Tüpü (Borusu)
Akış içinde akım yönüne dik çok küçük bir dA alanı dikkate alınırsa
bunun çevresindeki bütün noktalarda belirli bir t anında geçen akım
çizgilerinin oluşturduğu geçide akım tüpü veya borusu denir.
Akım çizgileri
dA
Akım Boyutu
Genellikle akışkan hareketi üç boyutludur. Yani akım içindeki hız,
basınç vs. parametreler üç koordinat doğrultusunda değişmeler
gösterebilir. Bu değişmeler bazen iki hatta bir doğrultusunda daha
hakim olabilir. Dolayısıyla akımı daha az boyutlarda düşünmek
işleri kolaylaştırabilir.
Bir boyutlu akım:
Akım parametrelerinin tek bir
koordinatın fonksiyonu olarak
değiştiği
kabul
edilir.
Genellikle merkezi akım
çizgisi
üzerindeki
bir
noktadaki özelliklerin tüm
akım kesitini temsil ettiği
düşünülür.
Tek boyutlu akımda hız profili
Gerçek hız profili
7
İki boyutlu akım
Eğer akım çizgileri bir doğrultuya dik düzlemler üzerinde aynı
geometrik biçimi koruyarak düzlemler üzerindeki iki dik koordinat
eksenine göre değişmeler gösteriyorsa akım iki boyutludur.
Üç boyutlu akım
Akışkan ve akıma ait büyüklüklerin x,y,z, koordinat doğrultularında
bileşenleri var ise bu tip akımlara üç boyutlu akım adı verilir. Akım
çizgileri uzayda üç dik eksen boyunca değişmeler gösterir. Akımın
en genel hali olan bu tip akımların incelenmesi esnasında karşımıza
çözümleri oldukça zor karmaşık ifadeler çıkar.
Laminer Akım, Türbülanslı Akım
(Tabakalı akım, çalkantılı akım)
Laminer akımda akışkan, birbirleri üzerinde bağımsız hareket eden
tabakaların akışı biçiminde, yani akışkan parçacıkları belirli ve takip
edilebilir yörüngeler veya akım çizgileri üzerinde hareket ediyormuş
gibi görünür Laminer akım yüksek viskoziteli akışkanların düşük
hızlı akımlarında görülür.
(a) Laminer akım
8
Türbülanslı akımda bazı akışkan parçacıkları gelişigüzel biçimde
yörüngeler izleyebilirler). Türbülanslı akımlar düşük viskoziteli
akışkanların yüksek hızlı akımlarında söz konusudur.
Bir akışkan parçacığının
muhtemel yörüngesi
(b) Türbülanslı akım
Sıkışmayan Akım, Sıkışan Akım
Sıkışmayan akımlar özgül kütlesi basınç ile pratik olarak değişmez
kabul edilebilen akışkanların akımıdır. Bu konuda genel bir kural
olarak sıvı akımları sıkışmayan, gaz akımları sıkışan akımlar olarak
kabul edilirler.
Dahili Akım, Harici Akım
Katı sınırlar ile çevrelenmiş akımlara dahili akım, katı
sınırların etrafında oluşan akımlara harici akım denir
(a) Dahili akım
(b) Harici akım
9
Çevrintisiz Akım, Çevrintili Akım
Akışkan parçacıklarının hareket sırasında açısal dönmeye maruz
kalmadığı akımlar çevrintisiz aksi halde çevrintili akım olarak
adlandırılır.
(a) Çevrintisiz akım
(b) Çevrintili akım
Kritik-Altı , Kritik, Kritik-Üstü Akım
Açık kanal akımlarında yapılan bu sınıflandırma, akım hızının
kritik hız ile karşılaştırılmasına göre yapılır. Akım hızı kritik
hızdan küçük ise kritik-altı, eşit ise kritik, büyük ise kritik-üstü
akım olarak adlandırılır.
Sabsonik, Sonik, Süpersonik, Hipersonik Akım
Gaz akımlarında yapılan bu sınıflandırma akım hızının aynı akışkan
ortamındaki ses hızı ile karşılaştırılmasına göre yapılır. Akım hızı ses
hızına göre küçük, eşit, büyük ve çok büyük ise sırasıyla sabsonik,
sonik, süpersonik ve hipersonik akım olarak adlandırılır.
10
3.3. AKIMDA HIZ ve İVME KAVRAMI
3.3.1. Kartezyen Koordinatlarda Gösteriliş
Üç boyutlu bir akımda en genel halde hızın şiddet ve yönü yere ve
zamana bağlı olarak değişir. Yani;
r r
V = V( x, y, z, t )
V hızının x,y,z, doğrultusundaki u,v,w, bileşenleri de aynı şekilde
yer ve zamanın fonksiyonudurlar. Bir dt zamanı içindeki hız
değişimi yani hızın total diferansiyeli;
r
r
r
r
r ∂V
∂V
∂V
∂V
(3.6)
dV =
dx +
dy +
dz +
dt
∂x
∂y
∂z
∂t
Buna göre ivme hızın total türevi alınarak
r
r
r
r
r
r dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V dt
a=
=
+
+
+
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t dt
dx
dy
dz
= u, = v, = w
dt
dt
dt
olarak hızın skaler bileşenleridir. O halde ivme
r
r
r
r
r
∂V
∂V
∂V ∂V
a=u
+v
+w
+
∂x
∂y
∂z ∂t
(3.7)
11
vektörel olarak;
r
r r r r ∂V
a = (V.∇) V +
∂t
r r ∂ r ∂ r ∂
∇= i
+ j +k
∂x
∂y
∂z
(3.8)
r
r r
r
r
∂ r ∂ r ∂ r r ∂V
a = ( u i + v j + wk ) . (
i+
j+
k) V +
∂x
∂y
∂z
∂t
ivme vektörünün skaler bileşenleri;
du
∂u
∂u
∂u ∂u
=ax =u
+v
+w
+
dt
∂x
∂y
∂z ∂t
dv
∂v
∂v
∂v ∂v
=ay =u
+v
+w
+
dt
∂x
∂y
∂z ∂t
dw
∂w
∂w
∂w ∂w
=az =u
+v
+w
+
dt
∂x
∂y
∂z ∂t
(3.9)
İlk üç terim yere göre türevler olduğundan bunlara yersel ivme son
terim de zamana göre türev olduğundan zamansal ivme olarak
anılır.O halde bir akım alanındaki akışkan zerrelerinin ivmesi iki tür
ivmenin toplamından oluşmaktadır.
1-Yersel ivme: Herhangi bir t anında noktadan noktaya değişen
ivmedir.
2-Zamansal ivme: Akım alanındaki bir noktada zamana bağlı olarak
değişen ivmedir.
r
Düzenli Akımda: ∂V = 0 dır.
r
r ∂t
r
r
∂V
∂V
∂V
a= u
+v
+w
∂x
∂y
∂z
(3.10)
Düzenli üniform akımda ise yersel ivmede sıfırdır.
r
r ∂V
a=
=0
∂t
r
⇒ V = Sabit
(3.11)
12
Akım Çizgisi Koordinatlarında
Üç boyutlu bir akım alanında (s,n,m) koordinat sisteminin s ekseni
akım çizgisine teğet, n ekseni akım çizgisinin eğrilik düzleminde, ve
m ekseni de bu ikisine dik olsun. Bu şekilde yerleştirilmiş koordinat
takımına özel olarak akım çizgisi koordinatları denir.
Seçilen koordinat sistemine
göre hız alanı
r
r
r
r
V = Vs i s + V n i n + V m i m
r r
Burada hız V = V (s, n , m, t )
olmakla birlikte O orijinine yakın noktalarda akım hızı sadece s ve t
nin fonksiyonu olarak yazılabilir:
r r
V = V(s, t )
Hızın bir dt süresindeki total diferansiyeli:
r
r
r ∂V
∂V
dV =
ds +
dt
∂s
∂t
ve total türevi
r
r
r
r dV ∂ V ds ∂ V
a=
=
+
dt ∂ s dt ∂ t
13
ds/dt≈Vs≈V yazılabilir ve buna göre bir akışkan parçacığının ivmesi
aşağıdaki gibi bulunur:
r
r
r
r dV
∂V ∂V
a=
= V
+
∂s ∂ t
dt
Yersel Zamansal
ivme ivme
ivmenin skaler bileşenleri :
as =
dVs = V ∂ Vs + ∂ Vs
dt
∂s
∂t
an =
dVn = V ∂ Vn + ∂ Vn
dt
∂s
∂t
am =
∂ V m ∂ Vm
dVm
=V
+
dt
∂s
∂t
Bu koordinat sisteminde (3.11)-(3.13) denklemleri üzerinde
aşağıdaki sadeleştirmeler yapılabilir:
(a) Vs≈V varsayımı ile
α
∂ Vs ∂  V 
=
 
∂s ∂s  2 
2
V
(b) Şekil 3.17 deki OAB ve BCD
üçgenlerinin benzerliğinden
dVn = V
ds
r
α
2
∂
V Vn = V
∂s
r
ki bu ifade eğrilik yarıçapı r olan eğri bir yörünge üzerinde hareketli
kütlenin merkezcil ivmesini vermektedir.
14
(c) Akım çizgilerinin eğriliği sadece s,n düzleminde
olduğuna göre m doğrultusundaki yerel ivme sıfırdır:
∂
V Vm = 0
∂s
Bu yaklaşıklıklar (3.11)-(3.13) denklemlerine uygulanırsa
ivme bileşenleri aşağıdaki gibi elde edilir:
2
dVs = ∂  V  + ∂ Vs
=


as
dt ∂ s  2  ∂ t
an =
2
dVn = V + ∂ Vn
dt
r
∂t
am =
Teğetsel bileşen
Normal bileşen
dVm = ∂ Vm
dt
∂t
r
r
Düzenli Akım için : V = V(s)
d  V2 
as =   ,
ds  2 
olduğundan ivme bileşenleri:
V
an =
r
2
15