Akışkan Kinematiği

Akışkan Kinematiği
1
Akışkan Kinematiği
Kinematik, akışkan hareketini matematiksel
olarak
tanımlarken
harekete
sebep
olan
kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan;
Yerdeğiştirmeler
Hızlar ve
İvmeler cinsinden ifade eder.
2
Akışkanın yoğunluğu akış boyunca her yerde yaklaşık
olarak sabit kalıyorsa, böyle akışa sıkıştırılamaz akış
denir.
Akış sıkıştırılamaz kabul ediliyorsa akışkanın hacmi,
hareketi boyunca değişmez.
3
Bir noktadaki akış ve akışkan özelliklerinin zaman
içerisinde hiçbir değişime uğramadığı akışa kararlı akış
denir.
Kararlı akışın karşıtı kararlı olmayan veya kararsız akış dır.
4
Akışkan hareketinin matematiksel
tanımlanmasında iki farklı yol vardır.
olarak
Birincisi, akışkan parçacıklarının tek tek yörüngelerini
takip etmektir.
Bu yöntemin akan bir akışkana uygulanmasına akışın
Lagrange tanımlaması denir.
5
Akışkanın makroskopik açıdan bir sürekli ortam olması
Akışkan parçacıklarının akış içerisinde hareket sırasında
sürekli olarak şekil değiştirmesi
Lagrange tanımlama yönteminin akış tanımlama
yöntemi olarak tercih edilmemesine sebep olmuştur.
6
Akan bir akışkan için daha uygun bir akış
tanımlama yöntemi Euler tanımlaması dır.
Akışkan
hareketinin
tanımlanmasında
Euler yöntemi daha fazla tercih edilen bir
tanımlama biçimidir.
7
Bu yöntemde, akışkanın içerisinden girip çıktığı
sonlu
bir
akış
bölgesi
(kontrol
hacmi)
tanımlanarak akışkan parçacıklarının konum ve
hızlarının izlenmesine gerek kalmaz.
8
Bunun yerine kontrol hacmi içerisinde konumun ve
zamanın fonksiyonu olan hız alanı, ivme alanı, basınç
alanı gibi alan değişkenleri tanımlanır.
Kartezyen koordinatlardaki genel, kararlı olmayan, üçboyutlu akış için;
Hız alanı:
V  V ( x, y , z , t )
İvme alanı:
a  a ( x, y , z , t )
Basınç alanı:
P  P ( x, y , z , t )
9
Alan değişkenleri arasında en önemlisi hız alanıdır.
Diğer alan değişkenleri hız alanından bulunduğu
için, genellikle hız alanının belirlenmesi akış
probleminin çözülmesi ile aynı anlama gelir.
Hız alanı kartezyen koordinatlarda aşağıdaki şekilde
açılabilir.
10
Akışkanın İvme Alanı: Sonsuz küçük akışkan sistemi
için Newton’un ikinci kanununu yazarken akışın ivme
vektör alanını belirlemek gerekir.
Hız vektöründeki u, v, w skaler bileşenleri x, y, z, t
değişkenlerinin fonksiyonu olduğundan ivme vektör alanı
dV V
V
V
V
a

u
v
w
dt
t
x
y
z
şeklindedir.
11
dV V
V
V
V
a

u
v
w
dt
t
x
y
z
Yukarıdaki denklemin sağ tarafındaki ilk
terime yerel ivme denir.
Yerel ivme sadece kararlı olmayan akışlar
için sıfırdan farklıdır.
Denkleminin sağ tarafındaki diğer terimlerin
toplamına konvektif ivme denir.
12
Konvektif ivme, akışkan parçacığının akış
içerisinde hız alanının farklı olduğu bir
konuma hareket etmesi durumunu hesaba
kattığı için, kararlı akışlar için bile sıfırdan
farklı olabilir.
13
 Bu durumda ivme vektörünün Kartezyen koordinatlardaki
bileşenleri
du
u
u
u u
ax 
u v w 
dt
x
y
z t
dv
v
v
v v
ay 
u v w 
dt
x
y
z t
dw
w
w
w w
az 
u
v
w

dt
x
y
z t
Bileşke ivme vektörel olarak
a  ax i  a y j  az k
14
Örnek 4.1. Bir hız alanı bileşenleri u = x-y, v = x2y-27 ile
verilmektedir.
a . Akış alanı içerisinde hızın sıfır olduğu bir noktanın olup
olmadığını belirleyiniz.
b. (x,y)=(0,0) noktasında hızı hesaplayınız.
c. (x,y)=(0,0) noktasında ivmeyi hesaplayınız.
15
a.
x  y  0 x  y
x 2 y  27  0  x 2 x  27  0  x3  27  x  3  y
b.
V  u.i  v. j
V  ( x  y ).i  ( x 2 y  27). j
x=0, y=0için V  (0).i  (0  27). j  27. j
V  u 2  v2  V  02  (27)2  27 m/s
16
Örnek 4.1. Bir hız alanı bileşenleri u = x-y, v = x2y-27 ile
verilmektedir.
c. (x,y)=(0,0) noktasında ivmeyi hesaplayınız.
dV
V
V
V V
a
u
v
w

dt
x
y
z t
V  ( x  y ).i  ( x 2 y  27). j
a  ( x  y )(i  2 xyj )  ( x 2 y  27)(i  x 2 j )
x=0,y=0için
a  (0)(i  2(0)(0) j )  (0  27)(i  (0) 2 j )
a  27i
a  u 2  v2  a  (27)2  0  27 m/s2
17
Örnek 4.2. Şekilde x ekseni boyunca hız artışı doğrusaldır. Buna
göre A, B ve C noktalarındaki ivmeleri hesaplayınız.
du
u
u
u u
ax 
u v w 
dt
x
y
z t
u
ax  u
x
u  ax  b
x  0 u  6
x  0,1 u  18
ax  (120 x  6)*120
a=120, b=6
u  120x  6
axA  (120.(0)  6)*120  720m/s2
axB  (120.(0,1)  6)*120  2160m/s2
axC  (120.(0,05)  6)*120  1440m/s2
18
Zamana göre toplam türev kavramı diğer skaler ve
vektörel akışkan özelliklerine de uygulanabilir.
örneğin sıcaklığa uygulanacak olursa
dT
T
T
T T
u
v
w

dt
x
y
z t
denklemi elde edilir.
19
Örnek 4.3. İki boyutlu bir akım alanında T = 4x3 – 2y2 sıcaklık
2
alanını V  ( x  x).i  (2 xy  y). j hız alanı ile birlikte göz önüne
alarak x=2 ve y=1 noktasında sıcaklığın birim zamandaki değişimini
hesaplayınız.
dT
T
T
T T
u
v
w

dt
x
y
z t
T  4 x3  2 y 2
dT
 ( x 2  x).(12 x 2 )  ( y  2 xy ).(4 y )
dt
dT
 (22  2).(12.22 )  (1  2.2.1).(4.1)  288  12  300
dt
20
Bazı Akım Özellikleri
 Akım Yolu (Yörünge)
 Akım alanı içinde bir akışkan parçacığının belirli bir zaman
aralığında takip ettiği yoldur. Yani, şekilde görüldüğü gibi
akışkanın bir A noktasından B’ye giderken üzerinden geçtiği
yörüngedir.
 Kartezyen koordinat sisteminde yörüngelerin denklemi aşağıdaki
gibidir:
ds
 V ( x, y , z , t )
dt
veya
dx
u
dt
dy
v
dt
dz
w
dt
21
 Akım İzi
 Şekilde görüldüğü gibi sabit bir noktadan geçen akışkan
parçacıklarını birleştiren, yani akıma bir noktadan akıtılan
boyanın izlendiği çizgidir.
22
Akım alanı içerisindeki hız vektörlerine teğet olarak
çizilen eğrilere akım çizgileri denir.
23
Bir akım alanındaki akım çizgileri bir yüzey teşkil ederler.
Bu yüzeyin çevrelediği hacim adeta bir boru gibidir.
Bu nedenle buna akım tüpü (akım borusu) denir.
24
xy düzleminde akım çizgilerinin denklemi :
dy v
tan  

dx u
veya
dx dy

u
v
şeklindedir. Buna göre xyz uzayında akım çizgilerinin denklemi:
dx dy dz


u
v
w
25
Örnek 4.4. Bir hız alanı V  xi  x( x  1)( y  1) j ile verilmektedir.
(x,y)=(0,0) noktasından geçen akım çizgisinin denklemini bulunuz.
dx dy dz


u
v
w
dx
dy

x x( x  1)( y  1)
dy
( x  1)dx 
( y  1)
x2
 x  In( y  1)  C
2
x=0 ve y=0 için 0  0  In(1)  C  C  0
( y  1) 
x2  2 x
e 2
y
x2  2 x
e 2
1
26
Akımın Boyutu ve Doğrultusu
 Akımın Boyutu: Akımda hız vb. değişkenlerin ifade edilebilmesi
için ihtiyaç duyulan bağımsız yer koordinatları sayısıdır. Yer
koordinatları bakımından akım parametreleri, bir, iki veya en
genel halde üç boyutta değişebilir. Buna göre akım, örneğin hız
vektörünün Kartezyen sisteme göre değişim gösterdiği koordinat
sayısına bağlı olarak aşağıdaki gibi bir boyutlu, iki boyutlu ve üç
boyutlu olabilir:
V  V ( x)
V  V ( x, y)
V  V ( x, y, z)
 Akımın Doğrultusu: Akımda sıfırdan farklı olan bileşen sayısı ile
temsil edilir. Örneğin Kartezyen koordinatlarındaki hız vektörüne
göre akım, aşağıdaki gibi bir doğrultulu, iki doğrultulu ve üç
doğrultulu olabilir:
V  ui
V  ui  vj
V  ui  vj  wk
27
Akımda boyut doğrultu sayısı arttıkça çözümdeki güçlükler de artar.
Şekilde hız vektörü esas alınarak, akımın boyut ve doğrultu sayıları
ile ilgili bazı örnekler görülmektedir.
28
29
Akışkan Elemanlarının Hareket veya
Deformasyon Şekilleri
Akışkanlar mekaniğinde bir akışkan elemanı;
ötelenme
dönme
30
doğrusal şekil değiştirme
kayma şekil değiştirmesi
olmak üzere dört tip
deformasyona uğrayabilir.
harekete
veya
31
Bu dört tip hareket veya deformasyon çoğunlukla
aynı anda meydana gelir.
Dönme hareketinin açısal hızı çevrinti (rotasyon)
olarak adlandırılır.
32
Bir akım ortamında akışkan elemanları sadece
öteleme
hareketi
yaparsa
akım
potansiyel
(çevrintisiz),
öteleme hareketine ilave olarak dönme hareketi de
yaparsa akım potansiyel olmayan (çevrintili) dır.
33
X, Y düzleminde oluşan iki boyutlu akım için
çevrinti;
1  v u 
 z    
2  x y 
z  0 
z  0 
akım çevrintisiz
akım çevrintili
34
Potansiyel akımlarda;

u
x

ve v 
y
şartlarını sağlayacak şekilde bir
  x, y
potansiyel fonksiyonu tanımlanabilir. Yani, hız
potansiyel fonksiyonu yer ve zamana bağlı öyle bir
fonksiyondur ki herhangi bir doğrultuda türevi
alındığında o doğrultudaki hız bileşenini verir.φ nin
var olduğu akıma potansiyel akım denir.
35
xy-düzlemindeki
iki
boyutlu,
sıkıştırılamaz akışkan akımında
kararlı
ve
u v

0
x y
denklemini iki bağımlı değişken (u, v) yerine tek
bir bağımlı değişken 
cinsinden ifade etmek mümkündür.
36

u
y

ve v  
x
şartlarını sağlayacak şekilde bir
  x, y
akım fonksiyonu tanımlanabilir.
Bir akım çizgisi boyunca
  sabit
ve bir potansiyel çizgisi boyunca da
  sabit
37
Potansiyel akımlarda akım çizgileri ve potansiyel
çizgileri
çizildiğinde
birbirine
dik
(ortogonal)
çizgilerden oluşan bir ağ elde edilir. Buna akım ağı
adı verilir.
38
 Sıkışmayan,
çevrintisiz akımlarda ψ ve φ
fonksiyonlarının her ikisi de vardır ve bunlar
arasındaki ilişki, her ikisinin de hız alanı ile olan
bağlantıları yardımıyla kurulabilir. Örneğin
kartezyen koordinatlarda:
 
u

y x
 
v

x y
 Denklemlerine Cauchy-Riemann denklemleri denir.
39
Örnek 4.5. V  (2 x 2  xy  z 2 )i  ( x 2  4 xy  y 2 ) j  ( y 2  2 xy  yz )k
ile verilen hız vektörünün sıkışmayan bir akımı temsil ettiğini gösteriniz.
40
u v w
 
0
Verilen hız vektörü x y z
denklemi ile verilen süreklilik
denklemini sağlıyorsa akım sıkışmayandır.
u v w
 
 0  4 x  y  4 x  2 y  y  0  Sağlanıyor
x y z
41
2
2
Örnek 4.6. Bir akımda hız alanı V  ( x  y )i  2 xyj şeklindedir.
Akım fonksiyonunu bulunuz.
42

u
 x 2  y 2   
y

3
y
2
2
2


x
y
 f ( x)
x  y .dy  f ( x) 
3


  2
y3

 f ( x)   2 xy 
v
 2 xy 
x y
x 
3
x

2 xy  f '( x)  2 xy 
f '( x)  0  f ( x)  C bulunur.
3
y
  x2 y   C
3
43
Örnek 4.7. Bir akım alanındaki potansiyel fonksiyonu   6xy ile
verilmektedir. Bu akıma ait akım fonksiyonunu bulunuz.
44
 
 
v

u

x y
y x


u
 6y
v
 6x
x
y
2



3
y
 f ( x)


6
y
.
dy

f
(
x
)

u
 6y 

y

2


3
y
 f ( x)  6 x   f '( x)  6 x 
v
 6x 
x
x

f ( x)  3x  C bulunur.
2

  3 y 2  3x 2  C
45
46
 
v

x y

v
 (8 y  4)
x
 
u

y x

u
 8x  2
y

u
 8 x  2     (8 x  2).dx  g ( y )    4 x 2  2 x  g ( y )
x


v
 (8 y  4) 
4 x 2  2 x  g ( y)  (8 y  4) 
y
y


2
g
(
y
)


4
y
 4 y  C bulunur.
g '( y )  8 y  4 
  4 x2  2 x  4 y 2  4 y  C
47
3.5. Akımların Sınıflandırılması
a. Düzenli Akım, Değişen Akım
Akımın türünü belirlemede en önemli ölçüt, akım özelliklerinin
zamana göre değişip değişmediğinin ifade edilmesidir.
Düzenli Akım
Hızın, zamandan bağımsız, yere bağlı olarak değiştiği akımlardır.
Düzenli akım iki tür olabilir: Düzenli Üniform Akım, Düzenli Üniform
Olmayan Akım.

Düzenli Üniform Akım
0
t
Hızın her yerde sabit olduğu akımlardır.


Düzenli Üniform Olmayan Akım
Hızın yere bağlı olarak değiştiği akımlardır.
 Değişen Akım
 Hızın zamana bağlı olarak değiştiği akımlardır. Değişen akım iki
tür olabilir: Değişen Üniform Akım, Değişen Üniform Olmayan
Akım.

0
t
 Değişen Üniform Akım

Hızın sadece zamana bağlı olarak değiştiği akımlardır.
V  V (t )
 Şekildeki boru akımında, kesit alanı sabit olduğundan, debinin
değiştirilmesiyle boru içerisinde herhangi noktadaki hız sadece
zaman ile değişir.



Değişen Üniform Olmayan Akım
Hızın yere ve zamana bağlı olarak değiştiği akımlardır.
V  V ( x, y , z , t )
 Şekildeki boru akımın kesit alanı değiştiğinden, debinin
değiştirilmesiyle boru içerisindeki hız yere ve zamana bağlı
olarak değişir.

 b. İdeal Akışkan Akımı, Gerçek Akışkan Akımı
 Akışkan viskozitesinin ihmal edildiği akımlar ideal akışkan akımı
(sürtünmesiz akım), viskozitenin göz önüne alındığı akımlar gerçek
akışkan akımı (sürtünmeli akım) olarak kabul edilirler.
 c. Laminer Akım (Tabakalı Akım), Türbülanslı Akım (Çalkantılı
Akım)
 Laminer akımda, viskozitenin tutucu etkisi ile yanal parçacık
hareketi oluşamadığından, akışkan, üst üste yığılmış ve birbirinden
bağımsız hareket eden tabakalar şeklinde akıyormuş gibi davranır.
Laminer akım, akışkan viskozitesinin yüksek ve/veya hızın düşük
olduğu durumlarda görülür.
 Türbülanslı akımda ise, akışkan parçacıkları akıma dik doğrultuda
hareket edebilir ve gelişigüzel biçimde yörüngeler izleyebilirler.
Türbülanslı akım, akışkan viskozitesinin düşük ve/veya hızın yüksek
olduğu durumlarda söz konusudur.
d. Sıkışmayan Akım, Sıkışan Akım
Aslında tüm akışkanlar basınç sıkışabilir olmalarına karşın;
sıkışmayan akımlar, özgül kütlesi basınç ile pratik olarak değişmez
kabul edilebilen akışkanların akımıdır. Normal koşullarda genel bir
kural olarak sıvı akımları sıkışmayan, gaz akımları sıkışan akımlar
olarak kabul edilirler.
e. Dahili Akım, Harici Akım
Katı sınırlar ile çevrelenmiş akımlara dahili akım, katı sınırların
etrafından dolanan akımlara harici akım denir.
f. Çevrintisiz Akım, Çevrintili Akım
Akışkan parçacıklarının, hareketleri sırasında açısal dönmeye
maruz kalmadığı akımlara çevrintisiz, aksi halde çevrintili akım
olarak adlandırılır.
 g. Kririk-Altı, Kritik, Kritik-Üstü Akım

 Açık kanal akımlarında yapılan bu sınıflandırma, akım hızının
kritik hız ile karşılaştırılmasına göre yapılır. Akım, hızı kritik
hızdan küçük ise kritik-altı, eşit ise kritik, büyük ise kritik-üstü
akım olarak adlandırılır.