11.1 Tanım 343 11.2 Akışkanların Statiği (Hidrostatik) 343 • Örnekler
advertisement
11.1 11.2 Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri 11.7 Örnekler PROBLEMLER 343 343 348 352 354 355 356 357 359 359 363 Fransız matematikçi katı cisimlerde ısı iletiminin bugün Fourier serileri olarak bilinen sonsuz serilerle çözülmesi yöntemini geliştirmiştir. Bunlar daha sonra akustik, optik, elektromagnetizma, elektrikli iletim, istatistiksel analiz, her çeşit titreşim problemi gibi fiziğin hemen her alanında yaygın olarak kullanılmıştır. Güneş lekeleri, gelgit ve hava koşulları gibi pek çok doğa olayını sınır değeri problemlerine indirgeyerek çözmüş ve bu yolla fiziksel matematiğe çok değerli katkılarda bulunmuştur. Fourier integrali olarak bilinen integrali de buldu. Mısır uzmanı olarak ta önemli çalışmaları olmuş ve eski mısır kültürü üstüne yoğun araştırmalarda bulunmuştur. Joseph FOURIER (1768-1830) 11.1 TANIM Gerçek anlamda tek bir noktaya etkiyen bir tekil kuvveti pratikte bulmak çok zor olduğundan genel yükleme durumu yayılı kuvvet biçimindedir. Bileşke kuvvetin hesabı da, yayılı yükün etkidiği alan üzerindeki dağılımına bağlıdır. Bunlara örnek olarak cismin ağırlığı ya da akışkanın temas içinde olduğu bir cisme uyguladığı etkileşim kuvveti gösterilebilir. Tabii şimdi akla ilk gelecek soru “Akışkan ile cisim arasındaki bu yayılı kuvvet cisme nasıl ve ne şekilde etkir?” olmalıdır. Akışkan, temas ettiği cismin yüzeyine dik olacak biçimde yayılı kuvvet uygular. Aşağıda bu ve benzeri sorulara gerekli yanıtlar verilecek. Yalnız önce yayılı kuvvetlerin hesabında çok önemli bir kavram olan gerilmeyi açıklığa kavuşturalım. Gerilme: Yayılı kuvvetin birim alandaki şiddetine verilen addır. Eğer gerilme, üzerine etkidiği yüzeye (alana) doğru yönelmişse buna basınç gerilmesi denir ve birimi de [kuvvet/Alan] dır. O nedenle belli bir alandaki gerilmelerin toplamları da o alan üstünde bir basınç kuvveti üretir. 11.2 AKIŞKANLARIN STATİĞİ (HİDROSTATİK) Bir yüzey üzerindeki yayılı kuvvet etkisi, cismin kendi ağırlığı nedeniyle meydana gelebileceği gibi, çeşitli dış etkilerle de oluşabilir. Buna örnek olarak, şiddetli esen rüzgâr etkisindeki bir yüksek yapı ya da akışkan basıncı altındaki bir su tankı ya da bir baraj kapağı gösterilebilir. Kitapta incelenecek olan konu hidrostatik, yani sıkıştırılamayan sıvıların statiğidir. Sıvı ya da gaz halinde bir sürekli ortam oluşturan akışkan statik halde etkileşim içinde olduğu cismin yüzeyine, ona dik olacak biçimde bir basınç kuvveti uygular. Hareketsiz duran akışkanda, basınç, düşey doğrultuda ölçülen akışkan yüksekliğinin bir fonksiyonudur. 344 STATİK YATAY YÜZEYDE BASINÇ: Şekil (11.1) deki akışkan ortamında sonsuz küçük diferansiyel hacim elemanı d V = d z d A yı inceleyelim. Sütun elemanının üst yüzeyi dA ya etkiyen basınç kuvvetine dP( z ) dersek, tanım gereği basınç gerilmesi, p( z ) = dP ( z ) dA (11.1) biçiminde hesaplanır. Bu yüzeyden dz kadar aşağıdaki dA yüzeyindeki basınç ise, p + dp (11.2) olur. (11.2) deki dp = dp k , derinlikteki dz kadarlık artıştan doğan akışkan basıncındaki değişimdir. Yer çekimi ivmesi g ve akışkanda yoğunluk ise, özgül ağırlık = g olacağından, Şekil (11.2) deki diferansiyel hacim elemanının ağırlığı, dW = ( g ) dV k = ( g dz dA) k (11.3) olur. Şekil (11.1) deki akışkan ortamından çıkartılan diferansiyel hacim elemanı Şekil (11.2) de görüldüğü gibi çizilip, düşey denge denklemi yazılırsa, pdA + dW - (p + dp) dA = 0 dp dA = dW (11.4) bulunur ve (11.4) de (11.3) yerleştirildikten sonra, ifade integre edilirse, p z ò d p = ò ( g ) dz p0 p = p0 + ( g ) z (11.5) 0 sonucuna ulaşılır. (11.5) de p0 sıvı yüzeyindeki atmosferik basınç olup, p ye de mutlak basınç denir. Görüldüğü gibi basınçtaki değişim, yüksekliğin doğrusal bir fonksiyonudur. Eğer atmosferik basınç göz önüne alınmadan hesap yapılırsa, o zaman (11.5) den akışkan basıncı, ► p = ( g )z (11.6) olur. (11.6) daki p ye bağıl basınç denir ve bu bölümde tüm hesaplar hep bağıl basınca göre yapılacak. Basınç, birim alana etkiyen kuvvettir ve SI birim sisteminde birimi kuvvet/Alan olur. Eğer kuvvet birimi Newton [N] , uzunluk birimi metre [m] seçilirse, o zaman basınç birimi [N/m 2 ] ya da kısaca Pascal [Pa] olur. 352 STATİK elde edilir. P kuvvetinin etki noktası, y P = ò y dP 5 337 y = 20 3 ò (5 y + 3 y 2 - 54 y 3 ) dy y = 2.14 m 0 bulunur. Düşey doğrultuda = 0.8y ilişkisinden = 1.71m olur. 11.3 KALDIRMA KUVVETİ Akışkan, içindeki cisme her zaman bir kaldırma kuvveti uygular. Aşağıda açıklanacak olan bu kuramın tarihçesi Arkhimedes (MÖ 280211) e kadar uzanır. Şimdi Şekil (11.7a) daki akışkan ortamında V hacminde bir kapalı bölge seçelim. Sonra bu bölgeyi Şekil (11.7b) de görüldüğü gibi akışkan içinden dışarıya çıkartalım, ama bölge çevresindeki akışkanda dengeyi korumak için parçadan akışkana gelecek etkileri akışkan yüzeyine yayılı f basıncıyla gözetelim. Böylece dışarıya çıkartılmış olan akışkan parçasında denge Şekil (11.7c) de görüldüğü gibi olur. Akışkanın yoğunluğu ise, dışarıya çıkartılmış akışkan parçasının ağırlığı ile üzerine etkiyen bileşke kuvvet, sırasıyla, Wa = -( g )V k F = - f üï ïý ïï þ (11.18) dir. Böylece, denge koşulu gereği, F + Wa = 0 F = ( g )V k (11.19) bulunur. Şimdi Şekil (11.7d) de görüldüğü gibi dışarı çıkartılan akışkan parçasının yerine eş boyutlarda ve W ağırlığında bir başka cisim yerleştirelim. Bu durumda cisme etkiyen bileşke kuvvet F ile, akışkan parçasına etkiyen F = gV k özdeş olarak aynıdır. Şu halde (11.19) e göre; kaldırma kuvveti, cisme akışkan kaynaklı etkiyen bir bileşke kuvvet olup, şiddeti cisimle yer değiştirilecek akışkanın ağırlığına eşit ve zıt yöndedir. O halde artık incelenmesi gereken problem kaldırma kuvvetiyle W ağırlığı arasındaki denge ilişkisinin nasıl oluşacağıdır. Bu kuvvet, akışkan içindeki cisimle yer değiştirilen akışkanın ağırlık merkezinden geçer ve yoğunluğu sabit olan sıvılarda yer değiştiren sıvının ağırlık merkezi ile yer değiştiren hacmin ağırlık merkezi çakışır. Eğer sıvı içindeki cismin yoğunluğu, akışkanın yoğunluğundan daha azsa, düşeyde dengelenmemiş bir kuvvetle karşılaşılır, 358 STATİK yazılır. Yalnız kesitin ağırlık merkezindeki ( x, y ) takımında eksenlere göre alan statik momentleri S y = ò x dA = 0 ve S x = ò y dA = 0 olduA A ğundan, yukarıdaki bağıntılardan, üï ïï ï 2 I = I y + a A ïý ïï I = I xy + abA ïï ïþ I = I x + b 2 A (11.30) bulunur. (11.30) aynı zamanda Steiner bağıntıları olarak da bilinirler. Yalnız bir kere daha hatırlatalım ki, (11.30) de kullanılan paralel eksen takımlarından bir tanesi geometrinin ağırlık merkezinden geçmektedir. Bazı durumlarda bu iki eksenden hiç biri ağırlık merkezine yerleştirilmemiş olabilir (Bakınız Şekil 11.19). Bu durumda (11.30) yardımıyla, I1 = I x + b12 A ïüï ïý 2 I2 = I x + b2 A ïïï þ (11.31) yazılır. Bunların farkından, I1 = I2 + (b12 - b22 ) A (11.32) bulunur. (11.32) un elde edilişinde kullanılan düşünceden yararlanılarak diğer eksen için, I1 = I2 + ( a12 - a22 ) A (11.33) yazılır. a1 > a2 olduğuna göre, (11.31) den I1 > I2 olacağı hemen görülür. Buna göre, birbirlerine paralel eksenlere göre hesaplanan eylemsizlik momentleri içinde en küçük olanı, ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre hesaplanandır. EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ: Şekil (11.20) de görüldüğü gibi, birbirleriyle gibi bir açı yapan ki ( x, y ) ve ( , ) dik eksen takımlarının koordinatları arasında dönüşüm bağıntıları, = x cos + y sin = - x sin + y cos ïüï ý ïïþ (11.34) dır. (11.34) den yararlanılarak ( , ) takımında eylemsizlik momentleri hesaplanırsa,
