X - SABİS

1.4. T2 –Uzayları
(X,  ) bir topolojik uzay olsun. X in farklı her x,y elemanlarının ayrık komşulukları
varsa, yani her x,y  X (x  y) için U  N ( x) ve V  N ( x)  U  V   ise
(X,
 ) uzayına T2 –uzayı veya Hausdorff uzayı denir.
Uyarı 1.4.1. i. (X,  ) bir T2 -uzayıdır.   x,y  X (x  y) için U   x U  ve
V  ( y V )  U  V   olur.
ii. Her T2 –uzayı bir T1 –uzayıdır. Tersi genelde doğru değildir.
iii. Her ayrık uzay T2 –uzayıdır.
iv. T2 –uzayından daha ince olan uzayda T1 –uzayıdır.
Gerçekten sonlu tümleyen uzayı T1 –uzayıdır. Fakat T2 –uzayı değildir. Çünkü bu
topolojiye göre ayrık iki açık kümeden biri daima  olur.
Örnek 1.4.1. (R,C) sonlu tümleyen uzayı T1 –uzayıdır, fakat T2 –uzayı değildir.
Çözüm. C sonlu tümleyen topolojisine göre R nin tek elemanlı her alt kümesinin
tümleyeni bir açık küme olduğundan her x,y  X (x  y) için R   y  C  x  R   y ,
y  R   y ve R  x  C  x  R  x , y  R  x olur. O halde (R,C) bir T1 –
uzayıdır. Fakat T2 –uzayı değildir. Varsayalım ki T2 -uzayıdır. Bu durumda her x,y X
(x  y) için U  C  x U  ve V  C  y V   U V   olur. Buradan R-U ve RV kümeleri sonlu olur.
(R-U)  (
R-V)=R-(U  V)=R-  =R
yazılır.
Sonlu
kümelerin
birleşimi
sonlu
olduğundan R sonlu olur. Bu çelişkidir. O halde (R,C) T2 –uzayı değildir.
Örnek 1.4.2. (R,U) uzayı T2 –uzayıdır.
Çözüm.
x,y  R
(x  y)
alalım.
  0
için
U   x   , x     N ( x)
V   y   , y    N ( y)  U V   olduğundan (R,U) uzayı bir T2 –uzayıdır.
Örnek 1.4.3. (R,D) ayrık uzayı bir T2 –uzayıdır.
ve
Çözüm. x,y  R (x  y) olsun. x  D ve  y  D  x   y   olur. O halde
(R,D) uzayı T2 –uzayıdır.
Örnek 1.4.4. Her metrik uzay T2 –uzayıdır.
Çözüm. (X,d) metrik uzay her x,y  X (x  y) için M1 den d(x,y)>0 olur. d(x,y)=  >0
 
 
diyelim. Bu durumda B  x,   N ( x) ve B  y,   N ( y ) açık komşulukları vardır
 3
 3
öyle ki
 
 
B  x,   B  y ,    olur.
 3
 3
 
 
B  x,   B  y,    olsaydı yani bir
 3
 3
   
z  B  x,  , B  y,  var olsaydı (M4) aksiyomundan
 3  3
d(x,y)  d(x,z)+d(z,y)<
  2
2
+ 
den  
3 3
3
3
 
 
olurdu ki bu bir çelişkidir. O halde B  x,   B  y ,    olur ve (X,d) bir T2  3
 3
uzayıdır.
Örnek 1.4.5.  R üzerinde  a, b aralıkları ile doğal alışılmış topoloji olsun (R, ) bir
T2 –uzayıdır.
Çözüm. a  b ile a,b  R olsun a<b diyelim. U=  a  1, a  ve V=  a, b alalım. Bu
durumda U,V   olur. a U ve b  V olur. U  V=  olur. O halde (R,  ) hausdorff
uzaydır.
Teorem 1.4.1. i. T2 –uzayı olma özelliği kalıcı özelliktir.
ii. T2 –uzayı olma özelliği topolojik özelliktir.
İspat. i. (X,  ) bir T2 –uzayı ve  A, A  , (X, ) uzayının bir alt uzayı olsun. a  b ile a,b
 A  X alalım. (X,  ) T2 –uzayı olduğundan U ,V   a U , b V ,U V   olur.
Alt uzay tanımından A U ve A  V  A olur.
a  A, a U  a  A U
b  A ,b V  b  A  V olur. Buradan;
U V    A U    A V   A  U  V   A    olur.
O halde  A, A  ,bir T2 –uzayıdır.
ii. (X,  1 ), (Y, 2 ) iki topolojik uzayı (X,  1 ) bir T2 –uzayı ve f:X  Y bir homeomorfizm
olsun. y1  y2 ile y1 , y2  Y alalım. f birebir olduğundan x1 , x2  X  f 1  y1   x1 ve
f 1  y2   x2 olur. (X,  ) T2 -uzayı olduğundan
U ,V 1  x1 U , x2 V ,U  V   olur. f açık olduğundan f U   2 , f V   2
vardır.
y1  f  x1   f U  , y2  f  x2   f V  , f U V   
olur.
f
birebir
olduğundan f U V   f U   f V    olur. Böylece (Y, 2 ) bir T2 –uzayıdır.
Teorem 1.4.2. i. T2 –uzayında her yakınsak dizinin bir tek limiti vardır. Bu teoremin
tersi ek şartlar ilave edilmedikçe doğru olmaz.
ii. (X,  ) birinci sayılabilir olsun. (X,  ) T2 –uzayı olması için gerek ve yeter şart X deki
her yakınsak dizinin bir tek limitinin var olmasıdır.
İspat. i. (X,  ) bir topolojik uzay
 an    a1,..., an 
dizisi a ve b gibi iki noktaya
yakınsasın ve a  b (a,b  X) olsun. (X,  ) T2 –uzayı olduğundan
U ,V   a U , b V ,U V   olur. an  a olduğundan
n0  N  n  n0  an U olur. Yani U, ( an ) dizisinin sonlu sayıda terimi hariç bütün
terimlerini içerir. U ve V ayrık olduğundan V, ( an ) dizisinin U ya ait olmayan sonlu
sayıda terimini içerir. Buna göre ( an ) b sayısına yakınsamaz. Bu hipotezle çelişir. O
halde a=b olur. Yani limit tektir.
ii.  : i. şıkkından açıktır.
 : ( an ) dizisi bir tek a  X limiti olsun. Varsayalım ki (X,  ) bir T2 –uzayı değildir. Bu
durumda a  b ile a,b X elemanları vardır öyle ki a yı ihtiva eden her açık kümenin b
yi ihtiva eden her açık küme ile arakesiti boş değildir. Şimdi U n ve Vn a ve b
noktalarının iç içe komşuluk tabanı olsun. Bu durumda her n  N için
U n  Vn   olur ve böylece  an    a1 , a2 ,...  a1 U1  V1 , a2 U 2  V2 ,... olur.
Buna göre ( an ) hem a ya hem de b ye yakınsar. Bu hipotez ile çelişir. O halde (X, )
bir T2 –uzayıdır.
Teorem 1.4.3. (X,  ) uzayının bir T2 –uzayı olması için gerek ve yeter şart her
yakınsak ağın X içinde bir tek limitinin var olmasıdır.
İspat.  : (X,  ) bir T2 –uzayı olsun ve bu uzayda bir  x  ağı verilsin.  x  aynı x
ve y gibi farklı iki noktaya yakınsadığını farz edelim. X bir T2 -uzayı olduğundan
U  N  x  ve V  N  x   U V   olur. x  x olduğundan her U  N  x  için
0      0 için x  U olur. x  y olduğundan her V  N  y  için
0      0 için x  V olur.  yönlenmiş bir küme olduğundan , 0 , 0  
için V0    0  V0 ve 0  V0 olur. Buradan V  V0 için X V U  V olur. Bu ise
(X,  ) uzayının T2 –uzayı olması ile çelişir. O halde x=y olur.
 : (X,  ) uzayındaki herhangi bir
 x 
ağı, tek bir x X noktasına yakınsasın.
Varsayalım ki (X,  ) T2 –uzayı değildir. Bu durumda y  X ( x  y)  U  N  x  ve
V  N  y  için U V   olur. N(x) ve N(y) yönlenmiş küme olduğundan “Her
(U,V)
ve U1,V1   N  x  xN  y  için U ,V   U1,V1   U1  U ,V1  V ’’bağıntısına
göre N  x  xN  y  kümesi yönlenmiş bir kümedir. U V   olduğundan bir
f : N ( x) xN ( y)  X fonksiyonu X içinde X (U ,V ) ağı belirler. Bu ağ hem x hem de y ye
yakınsaktır. Bu hipotez ile çelişir. O halde (X,  ) T2 –uzayıdır.
Uyarı 1.4.2. Bir topolojik uzayda yakınsak bir dizi varsa bu topolojik uzayın T2 -uzayı
olması gerekmez.
Örnek 1.4.6. (R,C) sonlu tümleyen topolojik uzaydaki her dizi yakınsaktır fakat (R,C)
bir T2 -uzayı değildir.
Teorem 1.4.4. (X,  ) T2 –uzayında bir  xn  dizisi verilsin. Eğer  xn  dizisi bir x X
noktasına yakınsıyorsa, bu X noktası  xn  dizisinin tek kapanış noktasıdır.
İspat. Önce X in bir kapanış noktası olduğunu gösterelim. Her n  N için
An  xn , xn1 ,... olduğuna göre x  An olduğunu göstermeliyiz. xn  x olduğundan
her V  N(x) için xn  V olacak şekilde bir n0  N sayısı içerir. Yani her n  n0 için


V  An0  An0  xn0 , xn0 1 ,...   Böylece her n  n0 için bu geçerli olduğundan
V  An  An   xn , xn1 ,...   olur. Eğer n< n0 ise An0  An olduğundan yine
V  An   olur. Böylece x  An
olur. Şimdi x in tek olduğunu gösterelim.
Varsayalım ki y  X (y  x)  xn  dizisinin bir kapanış noktası olsun.
(X,  ) T2 -uzayı olduğundan U x  N ( x) ve Vy  N ( y )  U x  Vy   olur.
xn  x olduğundan her U  N ( x) ve her n  n0 için xn  U olacak şekilde bir n0  N
vardır. O halde An0 U x olur. Diğer taraftan y,
 xn 
nin bir kapanış noktası
olduğundan her n  N için y  An olur. O halde n= n0 için y  An0 olur. Buradan
Vy  An0   olur. An0 U x olduğundan Vy  U x   olur. Bu ise (X, ) uzayının T2 uzayı olması ile çelişir. O halde x=y olur.
Örnek 1.4.7.
 xn   
1
 dizisi
n
 R,U 
uzayında 0  R noktasına yakınsar ve
0,dizinin tek kapanış noktasıdır.
Uyarı 1.4.3. Yukarıdaki teoremin tersi doğru değildir. Gerçekten
 xn   
1 1
1

, 2, ,3,..., , n,... 
n
2 3

dizinin tek kapanış noktası 0  R noktasıdır. Fakat bu dizi yakınsak değildir.
Teorem 1.4.5. (X,  ) uzayının bir T2 –uzayı olması için gerek ve yeter şart herhangi bir
noktanın bütün kapalı komşuluklarının arakesiti sadece bu noktadan ibaret olmasıdır.
İspat.  : (X,  ) bir T2 –uzayı ve bir x  X sabit noktası verilsin. Eğer y  X (y  x) ise,
(X,  ) bir T2 –uzayı olduğundan U ,V   x  U , y  V ,U  V   olur. Buradan
x U  X  V ve dolayısıyla X  V  N  x  kapalı bir komşuluktur. Öyle ki
y  X  V olur. Yani y noktası x in kapalı komşuluklarının kesişimine eşit eşit olamaz.
Her y  x (y  x) için aynı şey söylenebileceğine göre
noktasından farklı hiçbir noktayı içermez. O halde
:
 fi i
yx
yx
X V
arakesiti, x
 X  V : V  N  y   x olur.
ailesi bir x  X noktasının bütün kapalı komşuluklarının ailesi olsun. y  x
(y  x) alalım.
i
f
i
: fi  N  x  kapalı   x olduğundan y  fi0 olacak şekilde bir
fi0  N  x  kapalı komşuluğu vardır. Buradan X  fi0  N  y  bir açık komşuluktur


öyle ki x  X  fi0 olur. Böylece fi0  X  f i0   olur. O halde (X,  ) bir T2 uzayıdır.
Sonuç. 1.4.1. (X,  ) uzayının bir T2 –uzayı olması için gerek ve yeter şart x X bir
nokta olmak üzere her y X (y  x) noktası için U  N  x   y  U olmasıdır.
İspat. (X,  ) T2 –uzayı olsun. Tanımdan Her x,y  X (y  x) için
U ,V   x U , y V ,U V    y U
olur.
Sonuç.1.4.2. (X,  ) bir T2 –uzayıdır.  Her x  X için
İspat.
(X,  )
bir
T2 -uzayı
olsun.
 Her
U ,V   x U , y V ,U V  0  y U  Her
y
U : U  N  x   x olur.
x,y X
y X
(y  x)
(x  y)
için
için
U : U  N  x  olur. O halde U : U  N  x   x olur.
Sonuç.1.4.3. (X,  ) uzayının bir T2 -uzayı olması için gerek ve yeter şart X in tek
(dolayısıyla sonlu) elemanlı her alt kümesinin kapalı olmasıdır.
İspat. Yukarıdaki teoremden açıktır.
Teorem 1.4.6. (X,  ) uzayının bir T2 -uzayı olması için gerek ve yeter şart
   x, x  : x  X  kümesi X  X de kapalı olmasıdır.
İspat.  : (X,  ) T2 -uzayı olsun.
U ,V   x  U , y  V ,U  V  
 x, y   
alalım. Burada x  y dir. Bu durumda
olur.
Dolayısıyla
U V     
dır.
Varsayalım ki U V      dir. Bu durumda bir z   z1, z2   U V    elemanı
vardır. Buradan z1 U , z2 V ve
(X,  )
nun
T2 -oluşuyla
 z1, z2   
çelişir.
O
olur. Böylece z1  z2 U  V olur. Bu
halde
U V     
olur.
Böylece
U V   X  X    olur. Dolayısıyla XxX uzayında kapalıdır.
:  , X  X
de kapalı olsun x,y X (x  y) alalım. 
U ,V   ( x, y) U V  ( X  X  )
olur.
Dolayısıyla
kapalı olduğundan
(U V )    
dir.
Buradan U V   olur. Varsayalım ki U V   dır. Bu durumda bir z U V
elemanı vardır. Buradan
 z, z  
olur. Böylece U V      olur. Bu  nın
kapalı olması ile çelişir. O halde U V   dir. Yani (X,  ) bir T2 -uzayıdır.
Teorem 1.4.7. (X,  ) bir topolojik uzay olsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğerdir.
i. X, bir T2 -uzayıdır.
ii. X üzerinde yakınsak bir süzgecin tek kapanış noktası, süzgecin yakınsadığı noktadır.
iii. X üzerindeki bir süzgecin limit noktası tektir.
İspat. i  ii: X bir T2 -uzayı olsun. Bir x  X ve S  X olacak şekilde X üzerinde bir S
verilsin. S nin tek kapanış noktasının x olduğunu göstermeliyiz. Varsayalım ki S nin x
den farklı bir y  X kapanış noktası olsun. X T2 -uzayı olduğundan herhangi bir
noktanın bütün kapalı komşuluklarının arakesiti yalnız bu noktadan ibaret olduğundan
yF olacak şekilde bir F  N ( x) kapalı komşuluğu vardır. Ayrıca S  X
olduğundan S  F olacak şekilde bir s  S vardır. Buradan s   X  F    olur.
X  F  N ( y) olduğundan y noktası, S nin bir kapanış noktası olamaz. O halde x=y
dir.
ii  iii: X üzerinde yakınsak bir S süzgecinin tek bir x  X kapanış noktası S süzgecinin
yakınsadığı nokta olsun. Bir süzgecin her limit noktası bir kapanış noktası olduğundan
sonuç açıktır.
iii  i: X üzerinde bir S süzgecinin tek bir x  X limiti olsun. Varsayalım ki (X, ) bir T2
-uzayı değildir. Bu durumda y  X ( x  y)  U  N ( x) ve her V  N ( y) için
U  V   dir. Buradan ’’ U V
: U  N ( x) ve V  N ( y) içinU  V   ailesi
hem x hem de y noktasına yakınsayan bir süzgeç tabanı oluşturmaktır. ’’Bu ise S nin
limitinin tek oluşuyla çelişir. O halde (X,  ) bir T2 -uzayıdır.
Sonuç 1.4.4. f : ( X ,1 )  (Y , 2 ) bir fonksiyon Y bir T2 -uzayı olsun. X üzerindeki bir
S süzgecine göre f nin en çok bir limiti olabilir. Eğer böyle bir limit varsa bu f nin S ye
göre tek kapanış noktasıdır.
Teorem 1.4.8. f : ( X ,1 )  (Y , 2 ) fonksiyonu birebir ve sürekli olsun. Eğer (Y , 2 )
bir T2 -uzayı ise (X,  ) da bir T2 -uzayıdır.
İspat. x1  x2 ile x1 , x2  X olsun. f birebir olduğundan f  x1   f  x2  olur. Y, T2 uzayı olduğundan
U V  2  f ( x1 ) U , f ( x2 ) V ,U  V   olur. f sürekli
olduğundan
f 1 (U ), f 1 (V ) 1 , x1  f 1 (U ), x2  f 1 (V ) f 1 (U )  f 1 (V )  
olur. O halde (X,  ) bir T2 -uzayıdır.
Teorem 1.4.9. T2 -uzayı olma özelliği bir topolojik özelliktir.
İspat. f : ( X ,1 )  (Y , 2 ) bir homeomorfizm ve (X,  1 ) bir T2 -uzayı olsun. Y , 2  nin
T2 -uzayı olduğunu göstereceğiz. y1  y2 de y1 , y2  Y alalım. f birebir ve örten
olduğundan x1, x2  X  f 1 ( y1 )  x1 f 1 ( y2 )  x2 olur. (X,  1 ) T2 -uzayı olduğundan
U ,V 1  x1 U , x2 V ve U V   olur. f açık olduğundan
f (U ), f (V )  2 f ( x1 )  y1  f (U ), f ( x2 )  y2  f (V ) ve f (U V )   olur. f birebir
olduğundan f (U V )  f (U )  f (V )   olur. Böylece Y , 2  bir T2 -uzayıdır.
Sonuç 1.4.5. Bir Hausdorff topolojiden daha ince olan her topolojide Hausdorfftur.
İspat. (X,  ) bir T2 -uzayı    1 ise f : ( X ,1 )  ( X , ) birim fonksiyonu süreklidir.
1.4.8. Teoremden ( X , 1 ) bir T2 -uzayıdır.
Teorem 1.4.10. Bir T2 -uzayının her alt uzayı da T2 -uzayıdır.
İspat. (X,  ) bir T2 -uzayı ve A  X alt küme olsun. ( A, A ) nın T2 -uzayı olduğunu
göstereceğiz. x  y ile x,y A alalım. (X,  ) T2 -uzayı olduğundan U ,V  öyleki
x  U , y  V ve U V   olur. Buradan U  A  A ,V  A  A olur.
x U ve x  A olduğundan x U  A
y V ve y  A olduğundan y  V  A
A  (U V )  ( A U )  ( A V )   olur. O halde ( A, A ) bir T2 -uzayıdır.
Sonuç 1.4.6. (X,  ) bir topolojik uzay ve bir x  X noktası verilsin. Eğer x noktası X
uzayının hausdorff alt uzayı olan bir kapalı komşuluğa sahip ise (X,  ) bir T2 -uzayıdır.
İspat. x  X alalım. A  N ( x) bir kapalı komşuluk ve ( A, A ) T2 -uzayı olsun. x
noktasının  A ya göre kapalı ( fi )i komşuluklarının arakesiti
x
kümesinden
bulunur. Diğer taraftan bu ( fi )i komşulukları  ya göre de x noktasının kapalı
komşuluklarıdır. O halde (X,  ) bir T2 -uzayıdır.