modüler aritmetik-lise-konu anlatımı

MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
MODÜLER ARĐTMETĐK
Z de 3 modülüne göre kalan sınıflarının kümesi
Z={..,-2,-1,0,1,2…} kümesinde tanımlanan
Z/3 ={ 0,1, 2 }
β ={(x,y): mI(x-y) , m ∈ Z + − {1}} bağıntısı denklik
bağıntısıdır.
KURAL:
β denklik bağıntısı olduğuna göre,
Z/m de x,y,u,v ∈ Z olmak üzere,
x ≡ y ( mod m )
∀( x, y ) ∈ β için x ≡ y (mod m)
u≡v
ÖRNEK: Z ‘ de β ={(x,y) : 3I(x-y) } bağıntısını
inceleyelim.
1.x+u ≡ y + v (mod m)
β ,bileşenlerinin farkı 3’e bölünen ikililerden
oluşmaktadır.Mesala;
(0,0),(1,1)(2,2),(-1,-1)(-2,-2)…
(0,3),(0,6),(1,82),(10,40),(-10,-40),…
(1,4)(4,13)(1,13)(3,0),(6,0)….
Đkilileri β nın elemanları arasında yer alır.
β ‘nın elemanlarının göz önüne alınmasıyla da
görüleceği gibi β denklik bağıntısıdır.Buna göre ,
( mod m )
ise
2.x-u ≡ y-v (mod m)
3.x.u ≡ y.v (mod m)
4.k.x ≡ k.y (mod m), k ∈ Z
5.x n ≡ y n
(mod m) n ∈ N
KURAL: Herhangi bir tamsayının 9 ile bölümünden
kalan rakamları toplamına denktir.
ÖRNEK: 234012 ≡ x( mod 9) denkleminin çözümü
kaçtır?
ÇÖZÜM: 23412 ≡ (2+3+4+1+2) ≡ 3 (mod 9)
∀ ( x, y ) ∈ β olduğu için x ≡ y ( mod 3) tür.
KURAL:Herhangi
bir tamsayının birler
basamağındaki rakam sorulduğunda 10 modülüne
göre işlem yapılır.
(12,0) ∈ β olduğu için 12 ≡ 0(mod 3)
18 ≡ 8 (mod10)
(37,1) ∈ β olduğu için 37 ≡ 1 (mod 3)
KURAL: Birler basamağındaki rakam 0,1,5,6 olan
tüm
sayıların
tüm
kuvvetlerinin
birler
basamağındaki rakam yine sırasıyla 0,1,5,6
olur.(Birler basamağındaki rakamdan bahsedilince
10 modülüne göre işlem yapılmalıdır.)
(44,2) ∈ β olduğu için 44 ≡ 2 (mod 3)
NOT: mod 3 e göre 0 a denk olan (3’e bölümünden
kalan 0 olan) pek ok sayı vardır.Bu sayıların
oluşturduğu kümeye 0’ın denklik(kalan) sınıfı
diyeceğiz. Ve 0 sembolüyle göstereceğiz.
23 ≡ 3 (mod10)
ÖRNEK: 120540 sayısının birler basamağındaki
rakam kaçtır?
O={,,-6,-3,0,3,6,….} dır.
120 ≡ 0 (mod10) iki tarafın 540.kuvveti alınırsa
Bu şekilde 1 ve 2 kümelerini de yazalım.
120540 ≡ 0 (mod 10)
1 = {.... − 5, −2,1, 4, 7,...}
2 = {... − 4, −1, 2,5,8,....}
www.vahitsoyturk.com
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 1
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
ÖRNEK: 7 75 sayısının 5 ‘ e bölümünden kalan
kaçtır?
A)2
B)3
C)4
D)5
E)6
ÖRNEK − 2 : 6777 ≡ 3 (mod 8)
olduğuna göre x kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)4 E)6
ÇÖZÜM-2: 61 ≡ 6 (mod 8)
ÇÖZÜM:
62 ≡ 4 (mod 8)
7 75 in 5 e bölümünden kalan x ise,
63 ≡ 0 ( mod 8 )
olduğuna göre 6 nın 3'e eşit ve 3 ten büyük
7 75 ≡ x ( mod 5 ) tir.Buna göre,
bütün kuvvetleri için 8 ile bölümünden kalan 0 dır.
71 ≡ 2 (mod5)
6777 ≡ 0 (mod 8) ⇒ x=0 dır.
7 2 ≡ 4 (mod5)
KURAL: x, m nin katı olmayan pozitif bir tam sayı
ve m asal sayı ise x m −1 ≡ 1 (mod m)
7 ≡ 3 (mod 5)
3
7 4 = 1 ( mod 5 )
7 ≡ (7
75
)
4 18
≡ 1 .3
≡ 1.3
x=3 tür.
18
34 ≡ 1 (mod 5)
3
.7 (mod 5)
36 ≡ 1 (mod 7)
710 ≡ 1 ( mod 11)
(mod 5)
(mod 5)
ÖRNEK-3: 1564 m +1 ≡ x (mod 17) m ∈ Z + olduğuna
ÖRNEK: 19941996 ün birler basamağındaki rakam
kaçtır?
göre x kaçtır?
A)0
ÇÖZÜM-3:
B)2
C)4
D)6
E)8
ÇÖZÜM: 19941996 ün birler basamağındaki rakam x
olsun,
A)1
B)5
C)8
D)11
E)15
1516 ≡ 1 (mod 17) dir.Buna göre,
1564 m +1 ≡ 1564 m.151 (mod 17)
≡ (1516 ) .15(mod17)
4m
19941996 ≡ 41996 ≡ x (mod 10)
41 ≡ 4 (mod 10)
≡ 14 m.15
≡ 15
x=15
4 ≡ 6 (mod 10)
2
43 ≡ 4 ( mod 10 )
4 4 ≡ 6 (mod 10)
Görüldüğü gibi 4 ‘ün tek kuvvetleri için kalan 4,
4’ün çift kuvvetleri için kalan 6 olmaktadır.Buna
göre 1996 çift olduğu için
(mod 17)
(mod 17)
NOT: x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere,
m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi
m=ak.br.cp ve
4 1996 ≡ 6 (mod 10)
Demek ki ; x=6 dır.
www.vahitsoyturk.com
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 2
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
 1  1  1
1 −  . 1 −  . 1 −  ise,
 a  b  c
T=m x T ≡ 1 (mod m) dir.
m asal sayı ise,
(m-1)!+1 ≡ 0 (mod n) dir.
ÖRNEK: Bugün günlerden pazardır.2005 gün
sonraki gün aşağıdakilerden hangisidir?
A)Salı
D)Pazartesi
B)Çarşamba
E)Cumartesi
C)Perşembe
ÇÖZÜM: Bir haftada 7 gün olduğuna göre,işlemleri
(mod7) ye göre yapmalıyız.
2005 ≡ 3 (mod7)
Bugün Pazar olduğuna göre7 gün sonra da
pazardır.Bunun için kalanı 0 olan günler
pazara,kalanı 1 olan günler pazartesi..
Pazar Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma ..
0
1
2
3
4
5
Olduğuna göre 2005 gün sonra çarşambadır.
ÖRNEK : 5−20 ≡ m (mod 7) olduğuna göre,
m kaçtır?
1
 1 + 7.2 
20
ÇÖZÜM: 5−20 =   = 
 =3
5
 5 
20
3 ≡ m (mod 7)
20
20
31 ≡ 3 (mod 7)
32 ≡ 2 (mod 7)
33 ≡ 6 ≡ −1 (mod 7)
320 ≡ ( 33 ) .32 ≡ m (mod 7)
6
( −1)
6
.9 ≡ m (mod 7)
2 ≡ m (mod 7)
m=2
www.vahitsoyturk.com
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 3
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
5.Tam 9 u gösteriyorken çalıştırılan bir saatin
akrebi 2005 saatlik süre olduğu anda kaçı gösterir?
A)7
( mod 7 )
C)9
D)10
E)11
6.Bir elektronik saat şu anda 13.30 u gösterdiğine
göre,104 saat sonra kaçı gösterir?
MODÜLER ARĐTMETĐK PT-A
1. 41995 ≡ x
B)8
olduğuna göre,
A)14:00
B)15:30 C)16:30
D)21:30 E)22:00
x kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D)4 E)5
2. (1993) ≡ 2 ( mod 5 )
x
olduğuna
göre,x’in
en
küçük değeri kaçtır?
A)0
B)1
C)3
A)102
olduğuna
göre,x’in
alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı
kaçtır?
B)12
B)103
C)104
D)105
E)106
D)7 E)10
3. 4-3.x ≡ 2 (mod 5)
A)13
7.365 günlük bir yıldaki Cuma ve cumartesi günleri
sayısının toplamı en çok kaçtır?
C)11
D)10
8. Bir asker 9 günde bir nöbet tutmaktadır.Đlk
nöbetini pazartesi günü tuttuğuna göre,12.nöbeti
hangi gün tutar?
E)9
9.23 Aralık 2003 günü salıdır.Buna göre 01 Ocak
2004 günü hangi güne gelir?
4. a −1 =
1
olmak üzere,
a
−1
A)Salı
B)Çarşamba
D)Cuma
E)Cumartesi
C)Perşembe
4
Z/7 de   kaçtır?
5
A)0 B)1 C)2 D)3 E)5
www.vahitsoyturk.com
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 4
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
10.HALĐMHALĐMHALĐM…..HALĐM
ifadesi HALĐM kelimesinin yan yana 100 defa
yazılmasıyla elde edilmiştir.Buna göre,baştan
319.harf hangisidir?
15.m = (1!) + ( 3!) + ( 5!) + ...... + ((2n + 1)!)55!
A)H B)A
A)0
C)L
D)Đ
E)M
11. 12200 − 450 sayısının birler basamağındaki
rakam kaçtır?
A)0
B)4 C)6 D)8 E)9
12. ababab
.....abab
sayısının 9 ile bölümünden
40 basamaklı
kalan 2 ise
( ab )
2000
sayısının 9 ile bölümünden
kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A)1
B)2
C)4
D)7
x2 − x − 3
2
2
x −x−2
D)
4
B)3x 2 + 2 x + 4
E)
3!
5!
n = 27 için, m sayısının birler basamağındaki
rakam kaçtır?
B)1
C)5
D)7
E)9
16. 4243 + 43!
rakam kaçtır?
sayısının birler basamağındaki
A)5
C)7
B)6
D)8
sayısının
17.0,12653
E)9
virgülden
sonraki
1226.basamağında hangi rakam vardır.
A)1
B)2
C)6
D)5
E)3
E)8
 3x + 4   2 x − 3 
13.Z/5’te 
 .
 çarpımının sonucu
 3  4 
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1!
C)2x 2 + x − 1
18.Üç günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini
Çarşamba günü tuttuğuna göre10.nöbetini hangi
gün tutar?
A)Pazar
B)Pazartesi
D)Cuma
E)Perşembe
C)Salı
3x 2 + 4 x + 3
2
19.
(1
2
+ 32 + 52 + 7 2 + 9 2 + 112 )
17!
sayısının 9 ile
bölümünden kalan kaçtır?
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
14. m=0!+2!+4!+….+n! n=66 için, m66 nın 5 ile
bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?
www.vahitsoyturk.com
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 5
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Olduğuna göre 2005 saatlik süre dolduğunda saat
9+1=10 ‘u gösterir.
6.Elektronik
göstereceğine
yapmalıyız.
saat 24 saatte bir aynı vakti
göre,işlemleri (mod24) e göre
104 ≡ 8 (mod24)
13:30+8:00=21:30
Olduğu için saat 21:30 ‘u gösterir.
MODÜLER ARĐTMETĐK PT-A ÇÖZÜMLERĐ
7. Bir hafta 7 gündür.
1.7 asal sayı olduğu için kural gereği,
365=52.7+1
46 ≡ 1 (mod 7) dir.Buna göre,
Olduğu için 52 tane Cuma ve cumartesi sayılır.
Sayma işlemine Cuma günü başlanırsa,artan gün
Cuma olur.Böylece 53 Cuma e 52 cumartesi günü
olur.
1995
4
≡4
.4 ( mod 7 )
1992
≡ ( 46 )
3
332
.43 (mod 7)
≡ 1332 .43
(mod 7)
Toplam , 53+52=105
olur.
≡ 1 (mod 7)
2.19931 ≡ 3
( mod 5 )
1993 ≡ 4 (mod 5)
2
19933 ≡ 2 (mod 5)
görüldüğü gibi x'in en küçük değeri 3 tür.
3.
4 − 3.x ≡ 2 (mod 5)
4-2
≡ 3x (mod 5)
8.Bir haftada 7 gün olduğuna göre,işlemleri (mod7)
ye göre yapmalıyız. Đlk nöbet pazartesi günü
tutulduğuna göre 7.gün sonra da pazartesidir.Bunun
için kalanı 0 olan günler pazartesiye,kalanı 1 olan
günler salıya,…rastgelir.
1.Nöbet
2
≡ 3x (mod 5)
2.2
≡ 3.2x (mod 5)
4
≡ x (mod 5)
x ≡ 4,9,13,.....Buradan x'in en küçük
iki pozitif tamsayı değerlerin toplamı
4+9=13 tür.
Cuma ve cumartesi günü
2.Nöbet
9.gün
3.Nöbet
9.gün
4.Nöbet….
9.gün
12.nöbetini tutulması için , 11.9 gün geçmelidir.
11.9 ≡ 4.2 (mod 7)
≡ 1 (mod7)
Pazartesi Salı Çarşamba
−1
5 5 + 0 5 + 7 12
4
4.Z / 7 de   = =
=
=
=3
4
4
4
4
5
0
5.2005 ≡ 1 (mod 12)
Pazartesi günü 0 kalanına karşılık gelirse,1 kalanı
da salıya karşılık gelir.
www.vahitsoyturk.com
1
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
2
Sayfa 6
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
9.23Aralık 2003 günü Salı ise, 01 Ocak 2004 günü
kadar geçecek gün sayısını bulalım.
31-23=8 gün aralık ayından 1 gün de ocak ayından
olmak üzere,
8+1=9 gün vardır.
Kalan 0 olan günler salıya kalanı 1 olan günler
çarşambayı …rastegeledir.
Salı Çarşamba Perşembe…….
1
12200 ≡ x (mod 10)
450 ≡ y (mod 10) ise x-y isteniyor.
12 ≡ 2 (mod 10) 4.kuvvetini alalım.
124 ≡ 16 ≡ 6 (mod 10) 50.kuvvetini alalım.
9 ≡ 2 (mod 7) dir.
0
11.Birler basamağından bahsedildiğine göre
10 modülüne göre işlem yapmalıyız.
2
12200 ≡ 650 ≡ 6 (mod 10) x=6
4 ≡ 4 (mod 10) 2.kuvvetini alalım.
42 ≡ 6 (mod 10) 25.kuvvetine alalım.
450 ≡ 6 (mod 10) y=6
12200 ≡ 6 (mod 10)
- 450 ≡ 6
(mod 10)
olduğuna göre 01 Ocak 2004 günü perşembedir.
12200 − 450 ≡ 0 (mod 10)
birler basamağı 0 dır.
10.HALĐMHALĐM…HALĐM
12.Sayının rakamları toplamına bakılmalıdır.
20(a+b)=9k+2
1
2
Đfadesi 5 harfli olan HALĐM kelimesinin
tekrarlanmasıyla oluşturulduğuna göre,herhangi bir
harfin 5 harf sonrası yine aynı harftir.
10
19
22
42
1.harf H
(Çarpanlar 20 ve 9 olduğuna göre eşitliği sağlayan
ilk a+b ve k sayılarını bulduktan sonra artmalar
çarpanlarla orantılı olur.)
2.harf A
3.harf L
Her sayı 9 modülüne göre rakamları toplamına
denktir özelliğine göre
4.harf Đ
5.harf M
ab ≡ a+b (mod 9 ) (a+b) = 1, 10,19,…
319 ≡ 4 (mod 5)
(ab) ≡ 1 (mod 9) 2000.kuvvet alınır.
Olduğuna göre baştan 319 harf Đ dir.
(ab)2000 ≡ 1 (mod 9) veya a+b=10 yada a+b=19 ise
aynı sonuçlar bulunur.
13.Normal çarpmayı yapıp daha sonra Z/5'e
6 x 2 − x − 12 x 2 + 4 x + 3
=
pay ve
12
2
payda 2'nin çarpmaya göre tersi ile çarpılır.
çevirelim.
3 ( x 2 + 4 x + 3)
3.2
www.vahitsoyturk.com
= 3x 2 + 2 x + 4
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 7
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
14.0! = 1
2!=2
4!=24
5!=720
4! den sonraki terimler 5 in katıdır.Yani 5 ile
bölümünden kalan 0 dır.
O halde m nin 5 ile bölümünden kalan
0!+2!+4! 'in 5 ile bölümünden kalandır.Bu da 2 dir.
Demek ki istenen 266 nın 5 ile bölümünden kalandır.
21 ≡ 2
(mod 5)
22 ≡ 4
(mod 5)
23 ≡ 3
(mod 5)
2 ≡1
(mod 5)
4
(2 )
4 16
422 ≡ 4 (mod 10)
423 ≡ 8 (mod 10)
424 ≡ 6 (mod 10)
425 ≡ 2 (mod 10)
Kalanlar tekrar etmeye başladığı için işlemi
durduruyoruz.Bu işlemin periyodu 4 tür.
4243 = ( 424 ) .43 ≡ 6.8 (mod 10)
10
4243 ≡ 8 (mod 10)
43! ≡ 0 (mod 10)
Buna göre 4243 + 43! sayısının birler basamağındaki
rakam 8+0=8 dir.
≡ 1 (mod 5)
264 ≡ 1
(mod 5)
17.0,126532653....
2 .2 ≡ 1.4 (mod 5)
64
16.42 ≡ 2 (mod 10)
2
266 ≡ 4
1225 4
- 1224 306
1
(mod 5)
4'lü döngü grubunun
ilk rakamı olacak yani 2
15.5!, 10 ile tam olarak bölünür.Bu sebeple (5!)5!
de 10 ile bölünür. (5!)5! den büyük olan diğer
terimler de 10 ile bölünür.O halde m nin 10 ile
bölümünden kalan(birler basamağındaki rakam)
(1!)1! + (3!)3! in 10 ile bölümünden kalandır.
(1!)1! + (3!)3! ≡ ? (mod 10)
61 ≡ 6 (mod 10)
18.Đlk nöbeti tutulduğu için,geriye 9 nöbet
kalmıştır.10.nöbet 3.9=27 gün sonra tutulacaktır.
27 7
- 21 3
6
62 ≡ 6 (mod 10)
Çarşamba Perşembe …..Pazartesi Salı
.......................................
0
66 ≡ 6
Salıdır.
(mod 10)
(1!)1! + (3!)3! = 1 + 66 ≡ 1 + 6 = 7 (mod 10)
www.vahitsoyturk.com
1
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
5
6
Sayfa 8
MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
19.
(1
2
+ 32 + 52 + 7 2 + 92 + 112 )
17!
≡ x(mod 9)
(1+0+7+0+4)17! ≡ x(mod 9)
717! ≡ x
(mod 9)
7 ≡ 7 (mod 9)
1
7 2 ≡ 4 (mod 9)
73 ≡ 1 (mod 9)
717! ≡ 7 0 ≡ 1 (mod 9)
x=1 dir.
www.vahitsoyturk.com
MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI
Sayfa 9