p , p Fa olan bir asal sayı olsun. Bu durumd

BÖLÜM IV
(KÜÇÜK) FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ
Teorem 4.1 (Fermat Teoremi) p , p F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda
a p −1 ≡ 1(mod p )
dir.
İspat: a sayısının,
a, 2a, 3 a, K , ( p − 1)a
gibi ilk ( p − 1) katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım. Bu sayılar (mod p ) ye göre
birbirleri ile kongrü değildir, aksi halde 1 ≤ r < s ≤ p − 1 olmak üzere ra ≡ sa (mod p ) olsa
r ≡ s (mod p ) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir
sayı p tarafından bölünmez. Böylece a, 2a, 3 a, K , ( p − 1)a sayı takımı, belirli bir sırada
alındığında, (mod p ) ye göre 1, 2, 3 , K , ( p − 1) sayı takımına kongrü olur, yani
a.2a.3 a K ( p − 1)a ≡ 1.2.3K ( p − 1) (mod p ) ,
böylece a p −1 ( p − 1)!≡ ( p − 1)!(mod p ) , p F ( p − 1)! olduğundan a p −1 ≡ 1(mod p ) elde edilir.
Sonuç 4.2 Eğer p bir asal sayı ise herhangi bir a sayısı için
a p ≡ a (mod p )
dir.
İspat: p a ise a p ≡ 0 ≡ a (mod p ) . Eğer p F a ise Fermat teoreminden
a p −1 ≡ 1(mod p ) elde edilir. Bu kongrüansın her iki tarafı a ile çarpılırsa a p ≡ a (mod p ) elde
edilir.
Fermat Teoreminin Uygulama Alanları
1.
Fermat Teoremi, verilen bir modüle göre yapılan hesaplamalardaki işlemleri
kolaylaştırmada kullanılabilir.
Örnek 1. 40 266 yı (mod 89) ’a göre hesaplayalım: p = 89 asal, 89F40 olduğundan
Fermat Teoremine göre 40 88 ≡ 1(mod 89) , buna göre
40 266 ≡ (40 88 ) 3 .40 2 ≡ 1.1600 ≡ 87(mod 89)
olarak hesaplanır.
2.
Verilen bir n sayısının asal olup olmadığını belirlemede kullanılır.
Örnek 2.
a ∈ Z olmak üzere, a n ≡ a (mod n) kongrüansı, a nın bazı değerleri
için sağlanmıyorsa n asal olamaz. Bu yöntemi n = 247 için a = 2 seçerek deneyelim:
2 247 ≡ (2 8 ) 30 .2 7 ≡ 9 30.2 7 ≡ (35 )12 .2 7 ≡ (−4)12 .2 7 ≡ (2 8 ) 3 .2 7 ≡ (9) 3 .2 7 ≡ 3(35 ).2 7
≡ 3(−4).2 7 ≡ −3.2 8.2 ≡ −3.9.2 ≡ 193 ≡/ 2(mod 247)
Buna göre 247 asal değildir. Gerçekten de 247=13.19 dir.
33
Fermat Teoreminin karşıtı doğru değildir. Yani n F a ve a n−1 ≡ 1(mod n) olması n
nin asal olmasını gerektirmez.
Lemma 4.3 Eğer p ve q , a p ≡ a (mod q ) ve a q ≡ a (mod p ) koşulunu sağlayan asal
sayılar ise
a pq ≡ a (mod pq )
dir.
İspat: Sonuç 4.2 ye göre (a q ) p ≡ a q (mod p ) dir. Öte yandan hipoteze göre
a q ≡ a (mod p ) olduğundan (a q ) p ≡ a (mod p ) ve böylece p (a pq − a ) elde edilir. Benzer
q (a pq − a ) olduğu
şekilde
gösterilir.
( p, q ) = 1
olduğundan
pq (a pq − a ) ,
yani
a pq ≡ a (mod pq ) dir.
Örnek 3. Lemma 4.3’ü kullanarak 390 ≡ 1(mod 91) olduğunu gösterelim: 91=7.13,
3 7 ≡ 3.(3 2 ) 3 ≡ 3.(−4) 3 ≡ 3.(−2 6 ) ≡ 3(mod 13) , 313 ≡ 3.(3 2 ) 6 ≡ 3.2 6 ≡ 3.(2 3 ) 2 ≡ 3(mod 7)
den Lemma 4.3’e göre 391 ≡ 3(mod 91) , (3,91) = 1 ⇒ 390 ≡ 1(mod 91) bulunur. O halde
Fermat teoreminin karşıtı doğru değildir.
Tanım 4.4 n bileşik bir tamsayı olmak üzere, eğer (a, n) = 1 olan bir a tam sayısı
n −1
için a ≡ 1(mod n) oluyorsa n sayısına a tabanına göre sahte-asal sayı denir. Eğer n
sayısı (a, n) = 1 olan her a tam sayısı için bir sahte asal sayı ise bu sayıya mutlak sahte-asal
veya Carmichael sayısı denir.
Örnek 4.
341 sayısının 2 tabanına göre sahte-asal sayı olduğunu gösterelim:
Gerçekten 341=11.31 ve
211 = 2.(2 5 ) 2 ≡ 2(mod 31) ve 2 31 = 2.(210 ) 3 ≡ 2(mod 11)
olduğundan Lemma 4.3’e göre 2 341 ≡ 2(mod 341) ⇒ 2 340 ≡ 1(mod 341) bulunur.
2 tabanına göre en küçük sahte asal sayı 341, 3 tabanına göre en küçük sahte asal sayı
ise 91 dir.
Örnek 5. n = 561 = 3.11.17 olsun. Eğer 3F a ,11F a ,17F a ise Fermat Teoremine göre
a 2 ≡ 1(mod 3) , a 10 ≡ 1(mod 11) , a 16 ≡ 1(mod 17)
dir. Buna göre
a 560 = (a 2 ) 280 ≡ 1(mod 3) , a 560 = (a10 ) 56 ≡ 1(mod 11) , a 560 = (a16 ) 35 ≡ 1(mod 17)
ve böylece a 560 ≡ 1(mod 561) bulunur. Ohalde 561 sayısı bir mutlak sahte asal sayıdır. Bu
sayı aynı zamanda bu şekildeki sayıların en küçüğüdür.
Teorem 4.5 Her a > 1 tam sayısı için sonsuz sayıda sahte-asal sayı vardır.
İspat: p > 2 , p F a (a 2 − 1) olan bir asal sayı olsun.
34
a2 p −1  a p −1 a p + 1
 = (a p −1 + a p − 2 + L + 1)(a p −1 − a p −2 + a p −3 − L + 1) ∈ Z
= 
⋅
2

a
−
1
a
+
1
a −1 

ve çarpanlardan her biri 1 den büyük bir tam sayıdır. O halde n sayısı bir bileşik sayıdır.
(a 2 − 1)(n − 1) = a 2 p − a 2 = a (a p −1 − 1)(a p + a )
n=
Öte yandan p − 1 çift olduğu için a 2 − 1 a p −1 − 1 , Fermat Teoemine göre p a p −1 − 1 ve
böylece p F a 2 − 1 olduğundan p (a 2 − 1) a p −1 − 1 elde edilir. Öte yandan a ve a p nin ikisi
birden tek veya ikisi birden çifttir, ohalde 2 a p + a dir. Sonuç olarak
2 p (a 2 − 1) (a 2 − 1)(n − 1) ve buradanda 2 p (n − 1) bulunur. O halde n = 1 + 2 pu , u ∈ Z .
a 2 p = (a 2 − 1)n + 1 ≡ 1(mod n) , yani a n −1 = a 2 pu ≡ 1(mod n) olur.
Wilson Teoremi
Lemma 4.6 Eğer p > 2 olan bir asal sayı ise
a 2 ≡ 1(mod p )
koşulunu sağlayan a tam sayıları, mod p ye göre, sadece a = 1 veya a = p − 1 dir.
İspat:
kongrüansının
a =1
başka
bu kongrüansın bir çözümüdür.
bir
çözümü
ise
a ≡/ 1(mod p ) ,
a 2 ≡ 1(mod p )
a 2 − 1 ≡ 0(mod p ) ⇒ (a − 1)(a + 1) ≡ 0(mod p ) ,
yani p (a − 1)(a + 1) dir. p asal olduğundan ya
p (a − 1) veya p (a + 1) dir. a ≡/ 1(mod p )
olduğundan p a + 1 , yani a ≡ −1 ≡ p − 1(mod p ) bulunur.
Teorem 4.7 Eğer p bir asal sayı ise ( p − 1)!≡ −1(mod p ) dir.
İspat: p = 2 için 1!= 1 ≡ −1(mod 2) , p = 3 için 2!= 2 ≡ −1(mod 3) . p > 3 ve a sayısı
1 ≤ a ≤ p − 1 olan herhangi bir tamsayı olak üzere,
ax ≡ 1(mod p )
kongrüansını gözönüne alalım. (a, p ) = 1 olduğundan bu kongrüansın mod p ye göre tek
çözümü vardır. O halde aa ′ ≡ 1(mod p ) olacak şekilde 1 ≤ a ′ ≤ p − 1 olan bir a ′ ∈ Z vardır.
Lemma 4.6 ya göre a = a ′ ⇔ a = 1 veya a = p − 1 dır. Eğer a ≠ 1 ve a ≠ p − 1 ise
ax ≡ 1(mod p ) kongrüansının çözümü olan a ′ , a sayısından farklıdır. Şimdi
2,3, K , p − 2 sayılarını a ≠ a ′ ve aa ′ ≡ 1(mod p ) olan çiftlere ayıralım. Bu şekildeki
( p − 3) / 2 tane kongrüans taraf tarafa çarpılır ve çarpanlar uygun bir şekilde düzenlenirse
2.3K ( p − 2) ≡ 1(mod p ) , yani ( p − 2)!≡ 1(mod p ) bulunur. Bu kongrüansın her iki tarafı
( p − 1) ile çarpılırsa
( p − 1)!≡ −1(mod p )
elde edilir.
Wilson Tereminin karşıtı da doğrudur.
Teorem 4.8 Eğer (n − 1)!≡ −1(mod n) ise n asal olmak zorundadır.
35
İspat: (n − 1)!≡ −1(mod n) olsun. Eğer n asal değilse 1 < d < n olan d gibi bir
böleni vardır. Bundan başka d ≤ n − 1 olduğundan d (n − 1)! dir. Öte yandan
(n − 1)!≡ −1(mod n) den n (n − 1)!+1 ⇒ d (n − 1)!+1 . Bunun sonucu olarak d 1 bulunur. Bu
ise d > 1 olması ile çelişir. O halde n asal olmak zorundadır.
Teorem 4.9 Eğer p > 2 olan bir asal sayı ise
x 2 ≡ −1(mod p )
kongrüansının çözümlü olması ancak ve yalnız p ≡ 1(mod 4) olması ile mümkündür.
İspat: 1. a , x 2 ≡ −1(mod p ) kongrüansının bir çözümü olsun. a 2 ≡ −1(mod p ) ,
( p −1) / 2
p F a olduğundan Fermat Teoremine göre 1 ≡ a p −1 ≡ (a 2 ) ( p −1) / 2 ≡ (−1)
(mod p ) dir.
Eğer p = 4k + 3, k ∈ Z olsa 1 ≡ −1(mod p ) bulunur bu ise p > 2 olması ile çelişir. O halde
p ≡ 1(mod 4) olmak zorundadır.
2. Tersine p ≡ 1(mod 4) olsun. ( p − 1) / 2 = çift buna göre
p −1 p +1
( p − 1)!= 1 ⋅ 2 L
⋅
L ( p − 2)( p − 1)
2
2
şeklinde yazılabilir.
p − 1 ≡ −1, p − 2 ≡ −2, K , ( p + 1) / 2 ≡ −( p − 1) / 2(mod p )
olduğu gözönüne alınır ve çarpanların sırası yeniden düzenlenirse
( p − 1)!≡ (−1) ( p −1) / 2 (1.2 K ( p − 1) / 2) 2 ≡ (1.2 K ( p − 1) / 2) 2 (mod p )
bulunur. Öte yandan Wilson Teoremine göre ( p − 1)!≡ −1(mod p ) , sonuç olarak
[(( p − 1) / 2)!]2 ≡ −1(mod p)
yani (( p − 1) / 2)! sayısı x 2 ≡ −1(mod p ) kongrüansının bir çözümüdür.
Teorem 4.10 Eğer p > 2 olan bir asal sayı ise
12.3 2.5 2 K ( p − 2) 2 ≡ (−1) ( p+1) / 2 (mod p )
dir.
İspat: a ≡ −( p − a )(mod p ) yazılabilir. Buna göre
2.4.6 K ( p − 1) ≡ (−1) ( p −1) / 2 ( p − 2)( p − 4) L 5 ⋅ 3 ⋅ 1(mod p )
1 .2 .3 K ( p − 1) ≡ (1 .3 .5 K ( p − 2 ))( 2 .4 .6 K ( p − 1)) ≡ ( − 1) ( p −1) / 2 1 2 .3 2 .5 2 K ( p − 2 ) 2 (mod p )
Wilson Teoremine göre ( p − 1)!≡ −1(mod p ) , sonuç olarak
− 1 ≡ (−1) ( p −1) / 2 12.3 2.5 2 K ( p − 2) 2 (mod p ) ⇒ 12.3 2.5 2 K ( p − 2) 2 ≡ (−1) ( p+1) / 2 (mod p )
bulunur.
Wilson Teoremi n!+1 şeklinde sonsuz sayıda bileşik sayının var olduğunu söyler.
n!+1 in asal olduğu n değerlerinin sonsuz sayıda olup olmadığı henüz bilinmemektedir.
1 ≤ n ≤ 100 için n!+1 in asal olduğu n değerleri 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73 ve 77 dir.
36
Ödev Problemler
1-) Eğer (a,133) = (b,133) = 1 ise 133 (a18 − b18 ) olduğunu gösteriniz.
2-) Fermat Teoremini kullanarak n ≥ 0 tamsayısı için 13 (1112 n+6 + 1) olduğunu gösteriniz.
3-) Her a ∈ Z için a 13 ≡ a (mod 273) olduğunu gösteriniz.
4-) Herhangi bir a tamsayısı için a ile a 5 in birler basamağındaki rakamın aynı olduğunu
gösteriniz.
5-) 18351889 + 1889 2080 ≡ 0(mod 17) olduğunu gösteriniz.
6-) Fermat Teoremini kullanarak aşağıdakileri ispatlayınız. Eğer p bir tek asal sayı ise
(i)
1 p −1 + 2 p −1 + 3 p −1 + L + ( p − 1) p −1 ≡ −1(mod p ) ,
(ii)
1 p + 2 p + 3 p + L + ( p − 1) p ≡ 0(mod p ).
7-) Eğer p ve q birbirinden farklı asal sayılar ise
p q −1 + q p −1 ≡ 1(mod pq )
olduğunu gösteriniz.
8-)
(i)
2,3,...,15 sayılarını ab ≡ 1(mod 17) olacak şekilde çiftlere ayırınız.
(ii)
Wilson Teoremini kullanarak 17 nin asal olduğunu gösteriniz.
(iii) 15!, 17 ile bölündüğünde kaç kalanı bırakır?
9-) 18!≡ −1(mod 437) olduğunu gösteriniz.
10-) Eğer p bir asal sayı ise, herhangi bir a tam sayısı için
p a p + a ( p − 1)! ve p a + a p ( p − 1)!
olduğunu gösteriniz.
11-) Eğer p ve q birbirinden farklı asal sayılar ise
pq a pq − a p − a q + a
olduğunu gösteriniz.
12-) n ≥ 2 olmak üzere, n ve n + 2 sayılarının ikisi de asal ise
4((n − 1) !+1) + n ≡ 0(mod n(n + 2))
olduğunu gösteriniz.
37