xx x x x xp

POLİİNOMLAR VE Wİ
POL
WİLSON TEOREMİ
TEOREMİ
9.1 Polinomlar
P l
l kongüranslar.
k
l Polinomları ve onların
soyut
cebir ile ilgili özelliklerini 24. bölümde geniș ele alacağız.
Bu kısımda ise sayılar teorisi açısından bazı özelliklerine
değinerek x değișkeni tam sayı olmak üzere katsayıları tam
sayı
olan p(x)=anxn+an-1xn-1+….a0 ve q(x)= bmxm+bm-1xm1+…..+b
0
Polinomlarının
p ( x ) ≡ q ( x )(mod m)
k ü
kongüransını
i l
inceleyeceğiz.
ği
Bilindiği
Bili
diği gibi
ibi polinomlar
li
l arasında
d kullanılan
k ll l ““=”” eșitlik
i lik
ișaretinin iki anlamı vardır. Mesela ;
x2-3=0
3=0
eșitliğinde “=” ișareti x in karesinin 3 olduğunu ifade
eder. Bu tip eșitlikler bazı x ler için doğru bazı x ler için
yanlıș olabilir. Bu manadaki eșitliklere nümerik (sayısal)
eșitlik denir. Halbuki
(x+a)2=x2+2ax+a2
Eșitliğinde ise “=” ișareti ile sağ ve sol tarafın aynı olduğu
ș ifade ile bu tip
p eșitliklerde
ș
eșitliğin
ș ğ sağında
ğ
kastedilir. Bir bașka
ve solunda bulunan aynı dereceli terimlerin katsayıları eșittir.
Bunlara cebirsel eșitlik (veya özdeșlik) denir.
Tarif 9.1. x bilinmiyeni tam sayı olmak üzere p(x) ve q(x),
katsayıları tam sayı olan iki polinom olsun,
olsun x 0 ∈ Z
oluyorsa
y
p ( x0 ) ≡ q ( x 0 )(mod m )
p ( x ) ≡ q ( x )(mod m )
Yazılır ve p(x) ve q(x) polinomları (m modülüne göre)
nümerik olarak “kongrüanttır” denir ve bu p ≈ q ise
(9.2) ye nümerik polinom kongrüans ve X0 da nümerik
(polinom) kongrüansın çözümü denir.
( ) = x 3 ve q(x)
( )
Misall 9.1.
Mi
9 1 p(x)
yani her x0єZ için
= x ise
i her
h x ∈ Z için
i i modülüne
dülü göre
ö x3 ≈ x
x03 ≡ x0 (mod 2 )
dir. o halde x3 ≡ x(mod2) nin çözüm cümlesi tam sayılar
cümlesidir. ((9.2)) de özel olarak q(
q(x)=0
) olması halinde
p ( x ) ≡ 0(mod m )
nin çözümlerine ise bazen bu kongrüansın kökleri denir.
ar‫ء‬0(modm) olmak üzere en büyük dereceli x in katsayısı ar
ise (9.4) ün derecesi r dir. denir. (9.4) ün farklı kökleri
modülünün kalan sınıfındaki kökler olarak tarif edilir. Bir
bașka deyimle m modülüne göre denk çözümler tek çözüm
olarak alınır.
alınır
Polinomlarla nümerik polinom kongrüanslar arasındaki
bağıntı șu basit hususa dayanır: p(x), katsayıları tam sayı
olan bir p(x), katsayıları tam sayı olan bir polinom ve
p(x)=0
sağlayan tam sayı varsa (yani p(x) in Z de kökü varsa) m
nin her değeri için
p ( x ) ≡ 0(mod m )
Kongrüansının
g
çözümü vardır. m modülünün kalan sınıfı
sonlu ise deneme yoluyla (9.6) nın çözülebirliğine karar
verilebileceğinden,(9.5)in tam sayılarda çözülebilirliği için
gerekli șartları elde ederiz.
Fakat bu șartların yeterli olduğu tespit etmek çok daha
zordur “Bir
zordur.
Bir eșitliğin çözülebilir olması için gerek ve yeter
șart herhangi bir m için onun bir nümerik kongrüans olarak
ççözüme sahip
p olmasıdır.” ȘȘeklindeki bir iddia ggenelde
yanlıștır. Mesela x 2 + 1 ≡ 0(mod 2) fakat Z de x 2 + 1 ≠ 0 dır.
( d4) ün
Misall 9.2.
Mi
9 2 x2 − x ≡ 0(mod
ü kökl
köklerini
i i bulunuz.
b l
p(x)= x2-x ve farklı kökler 4 modülünün kalan sınıfındaki
kökler olarak tarif edildiğinden x in 00,1,2
1 2 ve 3 olması
halinde p(x) polinomun değerlerine bakmalıyız.
p(0)=0,
p(
) , p(
p(1)=0,
) , p(
p(2)=2
) ve p(
p(3)=6
)
olduğundan x1 ≡ 0(mod4) ve x2 ≡ 1(mod4) olmak üzere iki kök
vadır.(bu kökler bazen x ≡ 0,1(mod 4) olarak ta ifade edilir.)
Verilen nümerik kongrüans derecesinin 2 olduğu açıktır.
Tarif 9.22
p(x)=anxn+an-1xn-1+….a0 ve q(x)= bmxm+bm-1xm1+…..+b0
katsayıları tam sayı olan iki polinom olsun.
olsun Bu iki polinomun
aynı dereceli terimlerinin katsayıları m modülüne göre denk
ise yani ai ≡ bi (mod m ) ise
p ( x ) ≡ q ( x )(mod m )
y
yazılır.
ve p(x)
p( ) ve q(
q(x)) ((m modülüne ggöre)) cebirsel olarak
“kongrüans” denir.
2
2
2
Misal 9.3. ( x + a) ≡ x + a (mod2) ve x( x − 1) ≡ ( x − 3)(x + 2)(mod2)
iki cebirsel kongrüanstır.
kongrüanstır
Tarif 9.1 ve Tarif 9.2 den anlașılır ki eșitliklerde olduğu gibi (9.2) ve
(9.7)
deki “=” kongrüans ișaretinin de iki anlamı vardır.
vardır (9
(9.2)
2) deki manası
Șudur: X0 bir tam sayı ve p(x0) ve q(x0) nümerik değerleri m modülüne
denktir. (9.7) deki anlamı ise x ne bir çözüm ne de bir köktür.Yani x in
nümerik değer olarak bir fonksiyonu yoktur.
yoktur Sadece p(x) ve q(x)
polinomlarının aynı dereceli terimlerinin katsayıları m modülüne göre
denktir.
Cebirsel ve nümerik eșitlik arasındaki irtibat cebirsel ve nümerik
polinom kongrüanslara genișletilemez. Mesela her xєZ
x 3 ≡ x (mod 3 )
Bir nümerik kongrüans iken X3 ve x polinomları 3 modülüne göre
cebirsel olarak kongrüant değildir. Fakat bunun tersinin doğru olduğunu
ğ
așağıdaki
ș ğ
teoremde ispat
p edeceğiz.
ğ
Yani p ≡q⇒p ≈q olduğunu
TEOREM 9.1. p(x) ve q(x) polinomları m modülüne göre
cebirsel olarak kongrüant ise bu iki polinom m modülüne
göre nümerik olarak kongrüanttır.
İspat: p(x)-q(x)
p(x) q(x) =(an-bbn)xn+(an-1 – bn-1)xn-1+…..
+
(a0-bb0)
yazılabilir. Hipotezden dolayı ai ≡ bi (mod m ) olduğundan
ai-bbi= mqi elde edilir
edilir.(i
(i=0
0,1,2….n)
1 2 n) bu taktirde
p(x)-q(x) =(qnxn+qn-1xn-1+….q0 )m
olur. ((9.8)) eșitliği
ș ğ x in herhangi
g bir x0 tam sayısı
y olması
halinde nümerik olarak p(x) ≡ q(x)(modm) olduğunu gösterir.///
polinom kongrüansların polinom eșitliklerinden farklı bir
tarafıda nümerik polinom kongrüansların köklerinin
polinomderecesi ile bir ilgisinin olmamayıșıdır.
Mesela
x2 − x ≡ 0(mod6)
nümerik kongrüansının
x1 ≡ 0 (mod 6 ), x 2 ≡ 1(mod 6 ), x 3 ≡ 3 (mod 6 ), x 4 = 4 (mod 6 )
olmak üzere dört tane kökü varken x + 1 ≡ 0 (mod m ) de
m=5 ise 2(mod 5), x2 ≡ −2(mod 5) olmak üzere iki kökü; m=7
olması
l
halinde
h li d ise
i hiçbir
hi bi kökü yoktur.
k
Și di polinom
Șimdi
li
kongrüanslar kökleri ile ilgili birkaç teorem verelim.
Teorem 9
9.2.
2 (çarpan teoremi): p( x) ≡ 0(mod m)
kongrüansının bir x0 kökünün olması için gerek ve yeter
șșart p( x) ≡ ( x − x0 )q( x)(
q(x))
)(mod m) olacak șșekilde bir q(
polinomunun olmasıdır.
2
İspat : ilk olarak farzedelim ki x0 , p( x) ≡ 0(modm) nin bir
köküdü Polinomlarla
köküdür.
P li
l l ilgili
il ili böl
bölme algoritmasından
l it
d dolayı
d l
(bak teorem 25.1) r bir sabit olmak üzere
p ( x ) ≡ ( x − x0 ) q ( x ) + r
yazılabilir. Burada x-x0 da x in katsayısı 1 olduğundan q(x) in
katsayıları
y
tam sayılardır.(9.9)
y
( ) eșitliğinin
ș ğ
sağında
ğ
ve solunda
bulunan polinomlar Cebirsel olarak eșit olduklarından onlar
m modülüne cebirsel olarak Kongrüanttır. Teorem 9.1 dan
dolayı onlar aynı zamanda nümerik olarakta kongrüanttır. o
halde
p( x) ≡ ( x − x0 )q( x) + r (mod
( dm)
yazılabilir. x=x0 alarak
p( x0 ) ≡ 0(mod m) ⇒ 0 ≡ ( x0 − x0 )q( x0 ) + r (mod m)
r ≡ 0(modm)
V böylece
Ve
bö l
ld edilir.
dili Dolayısıyla
D l
l
r ≡ 0(mod
( dm) elde
p( x) ≡ ( x − x0 )q( x)(modm)
dir.
dir
Tersine olarak p ( x ) ≡ ( x − x0 ) q ( x )(mod m ) ise açıkça dir. ///
Teorem9.3(langrange
( g
g teoremi)) : ȘȘayet
y p asal bir
sayıveya an ‫ء‬0(modp)ise
p(x) = a n x n + a n-1x n-1 + ….a0 ≡ 0(mod p)
kongrüansının köklerinin sayısı en fazla n tanedir.
Misal 9.4. x3+3x+1 polinomu 5 modülüne göre çarpanlara
ayırınız p ( x = x 3 + 3 x + 1 ≡ 0 (mod
ayırınız.
( d 5 ) in kökleri 5 modülünün
kalan sınıfındaki tam sayılar olarak tarif edildiği için kökleri
p(0)=1,
) p(
p(1)=5,
) p(
p(2)=15,
)
0,1,2,3,4 tamları arasında aramalı p(
p(3)=37 ve p(4)=79 olduğundan kökler dir.
O halde netice 9.1 den dolayı önce
p ( x ) = x 3 + 3 x + 1 ≡ ( x − 1)( x 2 + x + 4 )(mod 5 )
≡ ( x − 1)( x − 2 )( x + 3 )(mod 4 )
(9.12)
Yazılabilir Diğer taraftan 2 ≡ − 3 (mod 5 ) olduğundan,
Yazılabilir.
olduğundan -33.2
2
den farklı bir kök değildir(kök tarifinden). Böylece
x + 3 ≡ ( x − 2)(mod5) dir. Netice olarak
p( x) ≡ ( x − 1)( x − 2)5 (mod5)
elde edilir.
Teorem9.4 (Wilson). Șayet p asal ise ( p − 1 )! ≡
0 (mod
p)
Misal 9.5. n asal değilse (n-1)!+1 , n nin kuvveti değildir.
k
k ppozitif bir tam olmak üzere kabul edelim ki ((n-1)!+1=n
)
dır. n k ≡ 0(mod n) olduğundan (n − 1)!+1 ≡ 0(mod n) yazılabilir.
Bu taktirde teorem 9.5 den dolayı n asaldır. O halde n asal
değilse (n-1)!+1 ,n nin kuvveti değildir.
Misal 9.6
9 6 p(x) = x +19x − x + 23 ≡ 0(mod42) kongrüansının köklerini
bulunuz. (9.13) sistem bu misale göre
3
2
p( x) = x3 + 19 x 2 − x + 23 ≡ 0((mod 2)
p( x) = x3 + 19 x 2 − x + 23 ≡ 0(mod 3)
p( x) = x3 + 19 x 2 − x + 23 ≡ 0(mod 7)
olur. Birinci kongrüansın kökü a1=1, ikinci kongrüansın kökleri
a2=1,2 ve üçüncü kongrüansın kökleri ise a3=-1,1,2 dir. o
halde S2=11, S3=22 ve S7=33 olduğundan verilen kongrüansın 6 tane
çözümü vardır. Bunları bulmak için her bir satırı diğerlerinden
farklı olan șu tabloya düșünelim.
a1
1
1
1
1
1
1
a2
a3
1
1
1
-1
1
2
-1
1
-11
-11
-1
2
tablo 9.1
Çin kalan teoremine göre
x=M1x1a1+ M2 x2 a2 + M3 x3 a3 (mod m1. m2. m3)
dür. m1=2, m2=3, m3=7 olduğundan m=42 ve M1=21, M2=14,
M3=6 dır.
x1=1
x2 =2 veya -1
x3 =6 veya -1
21 x 1 ≡ 1 (mod 2 )
14 x 2 ≡ 1 (mod 3 )
6 x 3 ≡ 1 (mod 7 )
bulunur
bulunur.
x ≡ 21a1 − 14 a2 − 6 a3 (mod 42 )
olduğu için buradaki a1, a2 ve a3 yerine her defasında
tablo9.1 deki
satırların birindeki değerler alınırsa
x 1 ≡ 21 − 14 − 6 (mod
≡ 1 (mod
42 )
x 2 ≡ 21 − 14 + 6 (mod
≡ 13 (mod 42 )
x 3 ≡ 21 − 14 − 12 (mod
≡ 37 (mod
42 )
42 )
42 )
42 )
x4 ≡ 21+ 14 − 6(mod42)
≡ 29(mod42)
x5 ≡ 21+ 14 + 6(mod42)
≡ 41(mod42)
x6 ≡ 21+ 14 − 12(mod42) ≡ 23(mod42)
Teorem 9.7. p asal ve a pozitif bir tam sayı ise
p ( x ) ≡ 0 (mod p α )
nın her kökü
p ( x ) ≡ 0 (mod
p
α −1
p ( x ) ≡ 0 (mod
( d
p
α − 2
p ( x ) ≡ 0 (mod
p )
)
)
.
.
.
Sistemindeki herbir kongrüansın
g
bir ççözümüdür.
İspat: b, p(x) ≡ 0(modpα ) nın bir kökü olsun. Bu taktirde
p(b)=
(b) kp
k α
elde edilir. Buradan
p(b)= kpα-1
p(b)= kpα-2
.
.
.
p(b)= k(pα-1) p
eșitlikleri yazılabilir. Bu eșitliklerden anlașılır ki;
p ( b ) ≡ 0 (mod
p α −1 )
p ( b ) ≡ 0 (mod
( d
p α −2 )
p ( b ) ≡ 0 (mod
p)
.
.
.
dir. Demek ki (9,16) nın her kökü (9,17) sisteminin de
köküdür.///
2
p
(
x
)
=
x
− x ≡ 0(mod8)in köklerini bulunuz. Bu kökler
Misal 9.7.
x 2 − x ≡ 0(mod 4) ve x2 − x ≡ 0(mod2) nin de kökü olabilir mi?
x2 − x ≡ 0(mod8) in kökleri 0,1,2,3,4,5,6,7 arasında olacağı için
x1 ≡ 2(mod8), x2 ≡ 7(mod8) kökleri bulunur. Diğer
y
ğ
Deniyerek
taraftan 8=23 olduğundan teorem 9.7 ye göre x1=2 ve x2= 7
kökleri x2 − x − x ≡ 0(mod22 ), x2 − x − 2 ≡ 0(mod2) nin de kökü olur.
9.1x3+2x+1 polinomunu 3 modülüne göre çarpanlarına
ayırınız?
Çözüm: x3 + 2 x + 1 ≡ 0(mod3) ün kökleri 3 modülünün kalan
sınıfındaki tam sayılar olarak tarif edildiği için kökleri 0,1,2
tamları arasında aramalıyız.
aramalıyız
p(0)= 1 p(1)=4 p(2)=13
1,4 ve 13 ün hiçbiri 3 e kalansız bölünmez. Modül 3 e göre
g
bu polinomun hiçbir kökü yoktur.
9.2 3x − 6x + 5x − 3 ≡ 0(mod7) kongrüansının çözümlerini
b l
bulunuz.
Çözüm: 3x2 − 6x2 + 5x − 3 ≡ 0(mod7) köklerini 0,1,2,3,4,5,6
Tamları arasında ararız.
ararız
p(0)=-3
x ≡ 2(mod7)
p(1)=-1
p(
)
p(2)=-7 p(x)=(x-2)(3x2+5) 3x3-6x2+5x-3 x-2
3x2+5
p(3)=-39
-3x3+6x2
p(4)=-113
5x-3
p(5)=-247
-5x+10
p(6)=-459
7
2
2
Modül 7 ‘ ye göre bu polinomun Z+ da çözümü yoktur.
yoktur
9.6 p=5 için wilson teoremini doğrulayınız.
Çözüm : wilson teoremi: șayet p asal ise ( p − 1)! ≡ 0 (mod
5 asal bir sayıdır.
( 5 − 1)! + 1 ≡ 0 (mod 5 )
4!+ 1 ≡ 0 (mod 5 )
4 . 3 . 2 . 1 + 1 ≡ 0 (mod 5 )
24 + 1 ≡ 0 (mod 5 )
25 ≡ 0 (mod 5 )
p)