Topoloji

TOPOLOJİ
Tanım 1 (Topoloji): X bir cümle ve τ da P(x) in bir alt cümlesi olsun. Eğer aşağıdaki
aksiyomlar sağlanırsa τ ya X üzerinde bir topoloji denir.
1. X,Φ∈τ
2. τ da alınan her sayıda elemanların birleşimi τ ya aittir.
3. τ da alınan her sonlu sayıdaki elemanın kesişimi τ ya aittir.
Tanım 2 (Topolojik uzay): τ topolojisi ile donatılmış X cümlesine veya (X, τ) ikilisine
topolojik uzay denir.
Tanım 3 (Kaba topoloji-indiskret topoloji): X herhangi bir cümle olsun. τ ={X, Φ} sınıfı X
üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye X üzerinde indiskret topoloji denir.
Tanım 4 (Relatif topoloji): A üzerinde τ tarafından türetilen τA topolojisine X uzayının
indirgenen yada relatif topolojisi denir.
Tanım 5 (Kalıtsal özellik): (X, τ) topolojik uzayının gerçeklediği bir özellik bu uzayın tüm
alt uzaylarında da varsa bu özelliğe kalıtsal özellik denir.
Tanım 6 (Baz): (X, τ) bir topolojik uzay ve X in bazı açık alt cümlelerinin sınıfı B olsun. X
in her açık alt cümlesi B nın elemanlarının herhangi bir bileşimi olarak yazılabiliyorsa B ye X
uzayının bir bazı denir.
Tanım 7 (Alt baz): (X, τ) bir topolojik uzay ve S⊂ τ olsun. S nin elemanlarının her sonlu
kesişimlerinin oluşturduğu cümleler sınıfı bu uzayın bir bazını oluşturuyorsa S cümle sınıfına
X topolojik uzayının bir alt bazı denir.
Tanım 8 (A nın doğurduğu topoloji): A⊂ P(x) i alt baz kabul eden tek topolojiye A nın
doğurduğu topoloji denir.
Tanım 9 (Denk metrik): X cümlesi üzerindeki d ve d’ gibi iki metrik X üzerinde aynı
topolojiyi doğuruyorlarsa bu iki metriğe denk metrik denir.
Tanım 10 (Metrize edilebilir topolojik uzay): Verilmiş bir (X, τ) topolojik uzayı için bu
uzayı doğuran bir d metriği varsa bu X topolojik uzayına metrize edilebilir denir.
Tanım 11 (İzole nokta): X bir topolojik uzay A ⊂X ve x∈A olsun. x noktasının N ∩A={x}
olacak şekilde bir N komşuluğu varsa x noktasına A cümlesinin bir ayrık yada izole noktası
denir.
Tanım 12 (Kapanış): X topolojik uzay ve A ⊂X olsun. A nın tüm kapalı üst cümlelerinin

arakesitine A nın kapanışı denir ve A ile gösterilir.
Tanım 13 (İç): X topolojik uzay ve A ⊂X olsun. A cümlesinin tüm açık alt cümlelerinin
0
birleşimine A cümlesinin içi denir ve A ile gösterilir.
Tanım 14 (Yığılma noktası): X topolojik uzay A ⊂X ve x∈X olsun. x noktasının her
komşuluğu A cümlesinin x noktasından farklı olan bir noktasını içerirse x noktasına A
cümlesinin yığılma noktası denir. Her yığılma noktası bir değme noktasıdır.
1
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 15 (Değme noktası): X topolojik uzay A ⊂X ve x∈X olsun. x noktasının her
komşuluğunda A cümlesinin en az bir elemanı varsa x noktasına A nın değme noktası denir.
Tanım 16 (Komşuluk): X topolojik uzayının bir noktası x olsun. x noktasını içeren bir U
açık alt cümlesinin her N üst cümlesine x noktasının komşuluğu denir.
Tanım 17 (Komşuluklar sınıfı): Herhangi bir x∈X için x noktasının tüm komşuluklarının
sınıfını N(x) ile gösterelim. N(x) ={N∈ P(x)│N , x in komşuluğu} sınıfına x noktasının X
topolojik uzayına göre komşuluklar sınıfı denir.
Tanım 18 (Komşuluklar tabanı): X topolojik uzayının ∀x ∈X noktasının komşuluklar
sınıfı N(x) ve bu sınıfın bir ailesi E(x) olsun. N(x) in ∀ N elemanına E⊂ N olacak şekilde
E(x) in bir E elemanı karşılık gelirse E(x) ailesine X cümlesi üzerinde tanımlanan topoloji için
x noktasının bir komşuluklar tabanı denir.
Tanım 19 (Metrik topoloji): (X,d) metrik uzayındaki açık yuvarların oluşturduğu B bazı
tarafından üretilen topolojiye başka bir ifadeyle d metriğinin doğurduğu topolojiye metrik
topoloji denir.
Tanım 20 (Cauchy dizisi): (x,d) bir metrik uzay ve (xn) de X de bir dizi olsun. her ε>0 için
en az bir n0= n0(ε) Є IN vardır öyle ki her n,m > n0 için d(xn,xm)< ε ise xn dizisine cauch dizisi
denir.
Tanım 21 (Sürekli dönüşüm): X=(X,d) , Y=(Y,d0) iki metrik uzay olsun. T:X→ Y
dönüşümü x0 Є X noktasında süreklidir gerek ve yeter şart her ε > 0 için d(x, x0 )< δ
iken d0 (Tx,T x0) < ε olacak şekilde bir δ > 0 vardır.
¬
Tanım 22 ( Yoğun cümle ) : X bir metrik uzay , M X in alt cümlesi olsun. M =X ise M ye X
de yoğundur denir.
Tanım 23 ( Ayrılabilir cümle): Eğer X cümlesi X de yoğun sayılabilir bir alt cümleye
sahipse ayrılabilirdir denir. Örneğin IR reel eksen ayrılabilirdir , l∞ uzayı ayrılabilir değildir.
Tanım 24 (İzometrik dönüşüm) : (X,d) ve (Y,d) iki metrik uzay olsun. bir T:X→Y
dönüşümü her x,y Є X için d(x,y) = d(Tx,Ty) özelliğini sağlıyorsa T ye bir izometrik
dönüşüm denir. X ve Y arasında birebir , örten ve izometrik bir dönüşüm varsa X ve Y ye
izometrik uzaylar denir.
Tanım 25 (Tam uzay) Bir metrik uzaydaki her cauchy dizisi yakınsak ise bu metrik uzaya
tam uzay denir. IR , l∞ ,C ve lp uzayları tam uzaydır.
Tanım 26 (Metrik): X ≠ Ø olmak üzere ; d:XxX→IR Şeklinde tanımlanan d fonksiyonu
aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa d ye bir metrik ve (X,d) ikilisine bir metrik uzay denir. Her
x,y,z Є X için;
1) d (x,y) ≥ 0
2) d (x,y) = 0 <=> x=y
3) d (x,y) = d (y,x)
4) d (x,y)≤d (x,z) + d(z,y)
2
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 27 (Açık yuvar): (X,d) bir metrik uzay a∈X
ve ρ ∈ IR+ olsun.
B(a, ρ ) ={x∈X │ d(x,a)< ρ } cümlesine merkezi a yarıçapı ρ olan açık yuvar denir.
Tanım 28 (Kapalı yuvar-küre): (X,d) metrik uzay olsun.
B[a, ρ ] ={x∈X │ d(x,a) ≤ ρ } , S(a, ρ ) ={x∈X │ d(x,a)= ρ }
Cümlelerine sırasıyla a merkezli ρ yarıçaplı kapalı yuvar ve a merkezli ρ yarıçaplı küre
denir.
3
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/