Olasılık

Dr. Mehmet AKSARAYLI
OLASILIK
Ders 3 / 1
1
0
Kesin
İmkansız
OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının
sayısal değeridir.
N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da
başarının nisbi frekansı lim
(s/n) belli bir değere
n 
ulaşıyorsa, bu değer o denemenin başarı olasılığını
verir. Olasılık daima 0 ile 1 arasındadır. Tüm olay
olasılıklarının toplamı 1’dir.
Örnek uzayı : Tüm alternatif durumların içinde bulunduğu küme.
•1 madeni paranın atımında üst yüz : S={Y,T}
•Madeni bir çift paranın atımında üst yüzlerdeki yazı sayısı : S={0.1.2}
•Bir çift zar atışında üst yüzlerin toplamı: S={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
OLAY: Bir deneyin ya da daha çok sonucun kümesidir.
Ders 3 / 2
Örnek Uzayının Görselleştirilmesi

1. Listeleme

S = {Yazı, Tura}

2. Venn Şeması

3. Kontenjans
tablosu

4. Ağaç Diagramı
Ders 3 / 3
Listeleme:
S = {Bay,Bayan}
Venn Şeması
Olay: Bayan
Bay
Çıktı
Bayan
S
Ders 3 / 4
Kontenjans Tablosu
Kesişen olay: Bayan, 20 yaşın altında
S = {Bayan,<20; Bayan,>20;Bay,<20; Bay,>20}
>20
Toplam
47
16
63
Bay
45
22
67
Toplam
92
38
130
<20
Bayan
Basit olay
Örnek
uzayı
Ders 3 / 5
Ağaç Diagramı
S = {Bayan,<20; Bayan,>20;Bay,<20; Bay,>20}
Olay alternatifleri:
<20
E
>20
<20
K
>20
Ders 3 / 6
OLASILIK YAKLAŞIMI;
•Klasik Olasılık Kuralı
•Göreli Sıklık Kavramı (Basit Olay Olasılığı)

P(Olay) =


X
T
İncelenen 100
birimden 2’si
arızalı
X = İstenen olayın oluşma
sayısı
T = Mümkün tüm olayların
sayısı
Arızalı olma olasılığı = 2/100
Ders 3 / 7
Olasılık Kavramları…



Büyük Sayılar Yasası
Özel Olasılık Kavramı
(Keyfi değer)
Sayma Kuralı
Ders 3 / 8
OLAY TİPLERİ
Basit Olay (Elementer Olay) :
Tek bir karakteristikle belirlenen olaylar
A: Bayan
B: 20 yaşın altında
C: Bir deste karttan kırmızı
kart çekilmesi
D: Bir deste karttan bir as çekilmesi
Kesişen Olay: Aynı anda gerçekleşen olaylar
A ve B, (AB): Bayan, 20 yaşın altında
C ve D, (CD): Kart destesinden kırmızı
bir as çekilmesi
Ders 3 / 9
Bağımlı-Bağımsız Olaylar:
Eğer bir olayın ortaya çıkması öteki olayın ortaya çıkma olasılığını
etkilemiyorsa, olaylar bağımsız olaylardır.
Eğer A ve B olayları bağımsız ise;
P(A).P(B)=P(A B) (Çarpma Kuralı)
*
Bir deste karttan kırmızı ve as çekme (iadeli çekim) olayları bağımsız
mıdır?
P(A): Kırmızı çekme olasılığı = 26/52
P(B): As çekme olasılığı = 4/52
P(A B):Kırmızı as çekme olasılığı = 2/52
26/52 x 4/52 =2/52 --- Bağımsız olaylardır.
Ders 3 / 10
Tamamen Ayrık Olaylar:

İki olay kesinlikle aynı anda olamaz.
 Para atımında aynı anda hem yazı
hem de tura gelemez.
Tamamlayıcı (Bütünleyici) Olaylar:
A -
A
Ders 3 / 11
Bileşik olay (Katışık Olay)
(Birbirini Engelleyen Olay): Olaylardan biri
yada diğeri gerçekleşir, birden çok sonuçtan oluşur.
C yada D, (CD): Bir deste karttan kırmızı veya as çekme
Ders 3 / 12
Olayların Bileşimi ve Toplama Kuralı
Bileşik olaylar (Birbirini engelleyen olaylar) için:
P(A yada B) = P(A  B)= P(A) + P(B) - P(A  B)
Tamamen ayrık olaylar için: [(A  B)=Ø]
P(A yada B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
Ders 3 / 13
Koşullu Olasılık
Bir olayın gerçekleştiği bilindiği durumlarda
diğer bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.
P(A | B) = P(A ve B)
P(B)
B olayının gerçekleştiği
bilindiğine göre A olayının
gerçekleşme olasılığı
P(A | B) = P(A) ise, A ve B birbirinden bağımsız
olaylardır.
Ders3 - 14
Koşullu Olasılık
Bir olayın gerçekleştiği bilindiği durumlarda
diğer bir olayın gerçekleşme olasılığıdır.
P(A | B) = P(A ve B)
P(B)
B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre A olayının
gerçekleşme olasılığı
P(A | B) = P(A) ise, A ve B birbirinden bağımsız
olaylardır.
Ders 3 / 15
Kontenjans Tablosu yardımıyla koşullu olasılık hesabı:
Bir desteden çekilen bir kartın siyah olduğu bilindiğine göre as
olma olasılığı nedir?
Renk
Kırmızı
Siyah
Top.
As
2
2
4
As değil
24
24
48
Toplam
26
26
52
Tip
P(As VE Siyah)
2 / 52
2
P(As | Siyah) =


P(Siyah)
26 / 52 26
Ders3 - 16
Kontenjans Tablosu yardımıyla koşullu olasılık
hesabı:
Bir desteden çekilen bir kartın siyah olduğu bilindiğine göre as
olma olasılığı nedir?
Renk
Kırmızı
Siyah
Top.
As
2
2
4
As değil
24
24
48
Toplam
26
26
52
Tip
P(As VE Siyah)
2 / 52
2
P(As | Siyah) =


P(Siyah)
26 / 52 26
Ders 3 / 17
Bayes Teoremi
1. Eski olasılıkların yeni
bilgiler ışığında
güncellenmesi için kullanılır.
2. Koşullu olasılığın bir
çeşididir.
3. Tamamen ayrık olaylar için
uygulanır.
İlk Olasılık
Yeni Bilgi
Bayes
Teoremi
Yenilenmiş
Olasılık
Ders3 - 18
Bayes Teoreminin Formülü
P(A | Bi )  P(Bi )
P(Bi | A) =
P(A | B1)  P(B1) +  + P(A | Bk )  P(Bk )
P(Bi  A)

P(A)
Tüm Bi’ler aynı
olaydır.
(örn. B2)!
Aynı
olay
Ders3 - 19
TEMEL OLASILIK PROBLEMLERİ
1. 52’lik bir desteden bir kart seçiliyor.
a) P(Karo)=? b) P(Karo kızı)=?
b)P(Resimli bir kart)=?
2. Bir çantada bulunan 10 tanesi beyaz, 5 tanesi siyah 15 tane top
arasından ardarda ve yerine koyulmaksızın 2 top seçiliyor. 2 topun
da siyah olma olasılığı nedir?
3. Yine bu torbadan ardarda ve yerine koyulmaksızın 3 top
seçiliyor. Bu üç topun da aynı renk olma olasılığı nedir?
4. Bir torbada 1’den 90’a kadar numaralandırılmış 90 tane top var.
a) Yerine koyulmadan ardarda 2 top seçildiğinde her iki topun da
numarasının 5’in katı olması olasılığı nedir?
b) Yerine koyularak ardarda 2 top seçildiğinde her iki topun da
numarasının 5’in katı olması olasılığı nedir?
Ders3 - 20
5. Bir üniversitenin iktisat bölümüne kayıtlı 250 kız ve 200 erkek öğrenci
dosyaları arasından 2 tane, işletme bölümüne kayıtlı 230 kız ve 220
erkek öğrencilerin dosyaları arasından da 2 tane örnek dosya seçilmiştir.
Her dört dosyanın da kız öğrencilere ait olma olasılığı nedir?
6. İki tavla zarı birlikte atıldığında
A: Üst yüze gelen sayıların toplamının 10 olması
B: Üst yüze gelen sayıların aynı olması
ise; P(A veya B)=?
Ders3 - 21
ÖRNEK OLASILIK SORULARI
SORU: 52’lik bir desteden bir kart seçiliyor.
a) P(Karo)=?
b) P(Karo kızı)=?
c) P(Resimli bir kart)=?
Ders 3 / 22
SORU: Bir çantada bulunan 10 tanesi beyaz, 5
tanesi siyah 15 tane top arasından ardarda ve
yerine koyulmaksızın 2 top seçiliyor. 2 topun da
siyah olma olasılığı nedir?
Ders 3 / 23
SORU: Yine bu torbadan ardarda ve yerine
koyulmaksızın 3 top seçiliyor. Bu üç topun
da aynı renk olma olasılığı nedir?
Ders 3 / 24
SORU: Bir torbada 1’den 90’a kadar
numaralandırılmış 90 tane top var.
a) Yerine koyulmadan ardarda 2 top
seçildiğinde her iki topun da numarasının
5’in katı olması olasılığı nedir?
b) Yerine koyularak ardarda 2 top
seçildiğinde her iki topun da numarasının
5’in katı olması olasılığı nedir?
Ders 3 / 25
SORU: Bir üniversitenin iktisat bölümüne kayıtlı 250 kız ve 200
erkek öğrenci dosyaları arasından 2 tane, işletme bölümüne kayıtlı
230 kız ve 220 erkek öğrencilerin dosyaları arasından da 2 tane
örnek dosya seçilmiştir. Her dört dosyanın da kız öğrencilere ait
olma olasılığı nedir?
Ders 3 / 26
SORU: İki tavla zarı birlikte atıldığında
A: Üst yüze gelen sayıların toplamının 10
olması
B: Üst yüze gelen sayıların aynı olması
ise; P(A veya B)=?
Ders 3 / 27
SORU: Bir tavla zarı atıldığında herhangi
bir yüzünün üstte kalması olasılığı
nedir?
Ders 3 / 28
SORU: Bir tavla zarı atıldığında 3 veya 5’in
gelmesi olasılığı nedir?
Ders 3 / 29
SORU: Bir sınıfta bulunan öğrencilerin 0,25’inin
sadece İktisat dersinde, 0,15’inin ise hem İktisat
hem de Matematik dersinde üstün başarı
gösterdikleri biliniyor. Rassal olarak seçilen bir
öğrencinin İktisat dersinde üstün başarılı ise; bu
öğrencinin Matematik dersinde de başarılı olması
olasılığı nedir?
Ders 3 / 30
SORU: Bir sınıftaki 100 öğrenciye “Bugün kendinizi
nasıl hissediyorsunuz?” sorusu soruluyor.
Alınan yanıtların dağılımı cinsiyet itibariyle
aşağıda verilmiştir.
İyi hissediyor
Kötü hissediyor
Toplam
Erkek
30
40
70
Kız
20
10
30
Toplam
50
50
100
Cinsiyet
P (Erkek) = ?
P (İyi hissediyor) = ?
Ders 3 / 31
SORU: Bir piyangoda 8 boş ve 2 ikramiyeli bilet
vardır. Bir kimse bu piyangodan iki bilet satın
almıştır. Her iki biletin de ikramiye kazanması
olasılığını hesaplayınız?
Ders 3 / 32
SORU: Bir işyerinde görev almak üzere, aynı
nitelikleri taşıyan 10 kişi başvurmuştur.
Adayların 6’sı erkek 4’ü kadın olup, bunlar
arasından kur’a tekniği ve iadesiz seçimle 2
memur
alınacaktır.
Görev
verilecek
memurların,
a)
Her ikisinin de kadın,
b)
Her ikisinin de erkek,
c)
Birincisinin erkek ikincisinin kadın,
d)
Birincisinin kadın ikincisinin erkek olması
olasılıklarını hesaplayınız.
Ders 3 / 33
SORU: Aynı anda atılan hilesiz iki tavla
zarının da 2 gelmesi olasılığını
hesaplayınız.
Ders 3 / 34
SORU: A’nın 20 yıl daha yaşaması
olasılığının 0,65 ve kardeşi B’nin 20 yıl
daha yaşaması olasılığının 0,80
olduğunu varsayarsak, bu iki kardeşten
birinin veya diğerinin 20 yıl daha
yaşaması olasılığını hesaplayınız.
Ders 3 / 35
SORU: Hilesiz bir tavla zarının bir
defa atılması halinde 2 veya 6
gelmesi olasılığını hesaplayınız.
Ders 3 / 36
Örnek Problemler:
1. Bir madeni para 3 kez atılarak bir deney yapılmış ve
aşağıdaki olaylar tanımlanmıştır:
A: İlk atışın sonucunun tura olması
B: İkinci atışın sonucunun tura olması
C: Sadece ardarda ilk iki atışın sonucunun tura olması
a) A ve B nasıl olaylardır?
b) A ve C nasıl olaylardır?
c) İlk atışın tura olduğu bilindiğine göre ardarda iki atışın tura
olması olasılığı nedir?
Ders 3 / 37
2. Ayşe’nin cebinde 3 tane 50000’lik 2 tane de 100000’lik para var.
Mine’nin cebinde ise 2 tane 50000’lik, 4 tane 100000’lik para var.
Yolda yürürlerken birinden 50000’lik paranın yere düştüğü
görülüyor.Paranın Mine’den düşmüş olma olasılığı nedir?
Ders 3 / 38
3. Sarılık virüsünün teşhisi için geliştirilen bir
test 0.05 olasılıkla yanlış sonuç
vermektedir. 0.004 oranında sarılık virüsü
taşıyan bir grup kişiye test uygulanmıştır.
Testin virüs taşıdığını söylediği bir kişinin
gerçekten virüs taşıyor olma olasılığı
nedir?
Ders 3 / 39
4. f(x)=ax+0.7 Dx=(0.1, 0.2, 0.3) şeklinde
bir fonksiyon verilmiştir.
a)Bu fonksiyonun olasılık fonksiyonu
olabilmesi için a ne olmalıdır?
b)Beklenen değeri ve varyansı bulunuz.
Ders 3 / 40