Düzgün olmayan dairesel hareket Dairesel harekette cisim üzerine etki eden net kuvvet merkeze doğru yönelmişse cismin hızı sabit kalır. Eğer net kuvvet merkeze doğru yönelmemişse, kuvvet teğetsel ve radyal bileşenlere ayrılır. 𝐹𝑟 vektör bileşeni, dairenin merkezine yönelmiştir ve merkezcil ivmenin meydana gelişinden sorumludur. 𝐹𝑡 vektör bileşeni, yörüngeye teğettir ve teğetsel ivmenin meydana gelişinden sorumludur ve parçacığın hızının zamanla değişmesine sebep olur. 𝑎𝑡 = ∆𝑣 ∆𝑡 𝑎𝑟 = 𝑎 = 𝑎𝑡 + 𝑎𝑟 𝑣2 𝑟 İvmeli sistemlerde hareket Bir parçacık, eylemsiz koordinat sisteminde ki bir gözlemciye göre 𝒂 ivmesiyle hareket ediyorsa, eylemsiz gözlemci Newton’un II. yasasını kullanarak (𝐹 = 𝑚𝑎) parçacığın hareketini açıklayabilir Eğer gözlemci, ivmeli referans sistemi içinde ise parçacığın hareketine Newton’un II. yasasını uygulamak isterse, yalancı (hayali) kuvvetlerle (eylemsizlik kuvvetleri) karşılaşır. Bu kuvvetler, ivmeli sistem içinde gerçek kuvvetler olarak görüldüğü açıklanmıştır. Ancak bu yalancı kuvvetlerin, hareket, eylemsiz koordinat sisteminden gözlendiği zaman mevcut olmadıkları belirtilmelidir. 𝑚 kütleli küçük bir top, ivme ölçme kutusunun tavanına asılmıştır. Eylemsiz koordinat sisteminde, durgun olan bir gözlemciye göre, topa etki eden kuvvetler 𝑇 gerilmesi ve 𝑚𝑔 çekim kuvvetidir. Eylemsiz sistemdeki gözlemciye göre, 𝑚 kütleli top ile kutunun ivmesi aynıdır ve bu ivme ipteki 𝑇 gerilmesinin düşey bileşeni tarafından meydana getirilir. Buna göre eylemsiz sistemde ki gözlemci Newton’un II. yasasını; 𝐹 = 𝑇 + 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎 𝐹𝑥 = 𝑇𝑠𝑖𝑛Ɵ = 𝑚𝑎 𝑎 = 𝑔𝑡𝑎𝑛Ɵ 𝐹𝑦 = 𝑇𝑐𝑜𝑠Ɵ − 𝑚𝑔 = 0 Eylemli gözlemciye göre; 𝐹𝑥 = 𝑇𝑠𝑖𝑛Ɵ − 𝑓ℎ𝑎𝑦𝑎𝑙𝑖 =0 𝐹𝑦 = 𝑇𝑐𝑜𝑠Ɵ − 𝑚𝑔 = 0 𝑓ℎ𝑎𝑦𝑎𝑙𝑖 = 𝑚𝑎ℎ𝑎𝑦𝑎𝑙𝑖 Şekilde görüldüğü gibi yatay düzlemde döner masa üzerinde sürtünmesiz olarak duran 𝑚 kütleli bir bloğu ele alalım. Blok bir iple masanın merkezine bağlanmıştır. Eylemsiz gözlemciye göre; blok düzgün 2 olarak dönerse 𝑣 𝑟 değerinde bir merkezcil ivme etkisinde kalır. Merkezcil ivmenin ipteki T gerilmesi tarafından meydana getirildiği sonucuna 2 varılır ve 𝑇 = 𝑚𝑣 𝑟 yazılabilir. Eylemli gözlemciye göre; blok durgundur ve ivmesi sıfırdır. Bu eylemli gözlemci ipin cisme uyguladığı merkeze yönelmiş kuvveti dengeleyen dışarı doğru yönelmiş bir hayali 2 kuvvet ile tanışır, bu kuvvetin değeri 𝑚𝑣 𝑟 dir. 2 𝑇 − 𝑚𝑣 𝑟 = 0 Alıştırma 𝑚 kütleli küçük bir küre şekilde görüldüğü gibi, r uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanarak düşey düzlemde bir O noktası etrafında dairesel yörüngede döndürülüyor. Cismin hızının 𝑣 olduğu ve ipin düşeyle Ɵ açısı yaptığı bir anda, ipteki gerilmeyi hesaplayınız. 𝐹𝑡 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛Ɵ = 𝑚𝑎𝑡 ⇒ 𝑎𝑡 = 𝑔𝑠𝑖𝑛Ɵ 𝐹𝑟 = 𝑇 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠Ɵ = 𝑣2 𝑚𝑅 ⇒𝑇= 𝑣2 𝑚( 𝑅 𝑇ü𝑠𝑡 = 𝑚 𝑣2 𝑅 −𝑔 (cos 1800 = −1) 𝑇𝑎𝑙𝑡 = 𝑚 𝑣2 𝑅 +𝑔 (cos 00 = +1) + 𝑔𝑐𝑜𝑠Ɵ ) Alıştırma.. Alıştırma… Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji Kuvvetin bir cismi hareket ettirmede ne ölçüde etkili olduğu ile ilgileniyorsak, yalnızca kuvvetin büyüklüğü ile değil aynı zamanda yönünüde göz önüne almanız gerekir Buna göre harekete neden olan gerekli işi belirlemek istediğimizde , cismin ne kadar hareket ettiğinide bilmemiz gerekir. Cisim üzerine sabit bir kuvvet uygulayan bir etkenin cisim üzerinde yaptığı iş (W); 𝑊 = 𝐹𝑐𝑜𝑠θ∆𝑟 İş skaler bir niceliktir ve birimi newton-metre (N.m) veya joule (J) dur. İki vektörün skaler çarpımı.. Kuvvet ve yer değiştirm vektörünün (𝐹. ∆𝑟) şeklinde yazılımı, skaler çarpım olarak adlandırılır. Genel olarak A ve B gibi herhangi iki vektörün skaler çarpımı, iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir; A. 𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠θ 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 𝐴. 𝐵 + 𝐶 = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶 A, B’ye dikse (θ = 900 ) ⇒ 𝐴. 𝐵 = 0 olur. A vektörü B vektörüne paralel ve aynı yönlüyse 𝐴. 𝐵 = 𝐴𝐵 A vektörü B vektörüne paralel fakat ters yönlüyse 𝐴. 𝐵 = −𝐴𝐵 İ, j ve k birim vektörlerinin skaler çarpımları; 𝑖. 𝑖 = 𝑗. 𝑗 = 𝑘. 𝑘 = 1 𝑖. 𝑗 = 𝑖. 𝑘 = 𝑗. 𝑘 = 0 A ve B vektörlerinin bileşenleri cinsinden; 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 B= 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘 𝐴. 𝐵 = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧 Alıştırma... SORU: A ve B vektörleri, 𝐴 = 2𝑖 + 3𝑗 ve B= −𝑖 + 2𝑗 olarak veriliyor. a) 𝐴. 𝐵 skaler çarpımını bulunuz. b) A ile B arasındaki θ açısını bulunuz. CEVAP: a) 𝐴. 𝐵 = (2𝑖 + 3𝑗). (−𝑖 + 2𝑗) = −2i. i + 3j2j = −2 + 6 = 4 b)𝐴 = B= 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 = 22 + 32 = 13 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 = 𝑐𝑜𝑠θ = 𝐴.𝐵 𝐴𝐵 = 4 13 5 (−1)2 +22 = 5 = 4 65 4 ⇒ θ = 𝑐𝑜𝑠 −1 8.06 = 60.20 Alıştırma... SORU: xy-düzleminde hareket eden bir parçacık, 𝐹 = 5𝑖 + 2𝑗 N luk sabit bir kuvvetin etkisi ile 𝑑 = 2𝑖 + 3𝑗 lik yerdeğiştirme yapıyor a) Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız b) F tarafından yapılan işi bulunuz. CEVAP: d = 𝐹𝑥 = 𝑥 2 + 𝑦 2 = 22 + 32 = 3.6 𝑚 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 = 52 + 22 = 5.4 𝑁 𝑊 = 𝐹. 𝑑 = 5𝑖 + 2𝑗 . 2𝑖 + 3𝑗 = 16 J Alıştırma... SORU: Bir fabrika işçisi 30.0 kg’lık bir sandığı düz bir zeminde, bir sabit hızla, üzerinde yatay bir kuvvet kullanarak 4.5 m itiyor. Sandık ile zemin arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0,25 ‘e eşittir. A) işçinin uygulaması gereken kuvvetin büyüklüğünü bulunuz B) Bu kuvvet sandık üzerinde ne kadar iş yapar? C) Sandık üzerinde sürtünme ne kadar iş yapar? D) Normal kuvveti sandık üzerinde ne kadar iş yapar? E) Sandık üzerinde yapılan toplam iş ne kadardır? Değişken bir kuvvetin yaptığı iş Bir parçacık, değişken bir 𝐹 kuvveti etkisinde, x ekseni üzerinde 𝑥𝑖 → 𝑥𝑓 yerdeğiştirmesi yapsın, Kuvvetin yaptığı işi hesaplarken, ∆𝑥 yerdeğiştirmesinde, kuvvetin 𝐹𝑥 bileşeni yaklaşık olarak sabit olur. Bu küçük yerdeğiştirme için kuvvetin yaptığı iş; ∆𝑊 = 𝐹𝑥 ∆𝑥 Toplam iş yaklaşık olarak; 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝐹𝑥 𝑊~ lim ∆𝑥→0 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝐹𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑥𝑓 𝐹 𝑥𝑖 𝑥 𝑑𝑥 Bu belirli integral, sayısal olarak 𝑥𝑖 𝑖𝑙𝑒 𝑥𝑓 arasındaki 𝐹𝑥 in x e göre değişim eğrisinin altındaki alana eşittir; 𝑊= 𝑥𝑓 𝐹 𝑥𝑖 𝑥 𝑑𝑥 Parçacık üzerine birden fazla kuvvet etkirse, toplam iş; 𝑊= 𝑥𝑓 𝑥𝑖 𝐹𝑥 𝑑𝑥 Alıştırma.. SORU: Bir cisim üzerine etkiyen kuvvetin cisminkonumuna bağlılığı şekildeki gibidir; a) 𝑥 = 0 − 8 𝑚 b) 𝑥 = 8 − 12 𝑚 c) 𝑥 = 0 − 12 𝑚 CEVAP: a) 𝑊0−8 = b) 𝑊8−12 = 𝑥𝑓 𝐹 𝑥𝑖 𝑥𝑓 𝐹 𝑥𝑖 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 8 𝐹 0 𝑥 𝑑𝑥 = 12 𝐹 8 8∗6 2 𝑥 𝑑𝑥 = = 24𝐽 −3∗4 2 c) 𝑊0−12 = 𝑊0−8 + 𝑊8−12 = 24𝐽 − 6𝐽 = 18𝑗 = −6𝐽 Alıştırma.. SORU: 𝐹 = (4𝑥𝑖 + 3𝑦𝑗) N’luk kuvvetin etkisindeki bir cisim orijinden başlayarak 𝑥 = 5 𝑚 noktasına hareket etmektedir. Kuvvetin yaptığı işi bulunuz. CEVAP: 𝑊= 𝑟𝑓 𝐹 𝑑𝑟 𝑟𝑖 𝑊= 𝑟𝑓 (4𝑥𝑖 𝑟𝑖 𝑊= 𝑊= (𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) + 3𝑦𝑗) (𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗) 𝑟𝑓 (4𝑥𝑑𝑥 𝑟𝑖 𝑥2 5 4| 2 | 0 + 3𝑦𝑑𝑦) = = 50 𝐽 5 4𝑥𝑑𝑥 0 + 0 3𝑦 𝑑𝑦 0 Yayın yaptığı iş.. Yay, denge konumundan gerilir veya sıkıştırılırsa, cisim üzerine; 𝐹𝑠 = −𝑘𝑥 (Hooke yasası) ( eksi işareti, yayın etkidiği kuvvetin daima yerdeğiştirme ile zıt yönlü olduğunu ifade eder ) Yay sabiti 𝑘 olan bir yayın boyunu, kuvvet uygulayarak 𝑥𝑖 → 𝑥𝑠 getirilsin, yayın elimize uyguladığı kuvvetin yaptığı iş; W= 𝑥𝑓 𝐹 𝑥𝑖 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑓 −𝑘𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑖 = −𝑘 𝑥2 2 =−𝑘 𝑥𝑓 𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑖 𝑥𝑠 1 2 − 1 𝑘𝑥 2 = 𝑘𝑥 𝑖 𝑠 𝑥𝑖 2 2 Yay başlangıçta uzamasız durumdaysa (𝑥𝑖 = 0) ve yayı x kadar germiş veya sıkıştırılmışsa (± x), yay kuvvetinin yaptığı iş; 1 2 W = − 𝑘𝑥 2 ÖDEV... Yarıçapları r = 0.5 m olan ve w=16 rad/s sabit açısal hızı ile dönen iki tekerlek arasına geçirilen ve eğim açısı θ=370 olan bir taşıyıcı bant üzerinde kütlesi m= 4 kg olan bir cisim bulunmaktadır. Cisim ile bant arasındaki sürtünme katsayısı f=1.25 dir. Cisim yay sabiti k=50 N/m olan bir yay sayesinde yere göre sabit durnaktadır. Cisim yaydan kurtulursa banda göre kaymaya başlar. Cismin banda göre kayması bittiğinde açığa çıkan enerji kaç J dür? (𝑣 = 𝑤𝑟)