ankara ün vers tes fen bl mler enst tüsü yüksek l sans tez balasz

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BALASZ OPERATÖRLERİ VE BAZI GENELLEŞMELERİ İÇİN
KOROVKİN TİPLİ HATA TAHMİNLERİ
Bahar DEMİRTÜRK
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2005
Her hakkı saklıdır.
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................. i
ABSTRACT ..................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR.. ................................................................................................................. iii
SİMGELER DİZİNİ. ...................................................................................................... v
1. TEMEL KAVRAMLAR ........................................................................................... 1
1.1. Giriş ....................................................................................................................... 1
1.2. Lineer Pozitif Operatörler ..................................................................................... 1
1.2.1. Lineer pozitif operatörlerin bazı önemli özellikleri. .......................................... 1
1.3. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yakınsaklığı. .................................................. 5
1.3.1. Weierstrass Teoremi. .......................................................................................... 5
1.3.2. Korovkin Teoremi. ............................................................................................. 5
2. BALASZ OPERATÖRLERİ ve BAZI GENELLEŞMELERİNİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ. ............................................................................... 8
2.1 Balasz Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı ....................................................... 8
2.1.1.Teorem.. ............................................................................................................ 8
2.2.Teorem ................................................................................................................ 11
2.3.Teorem ................................................................................................................ 13
3.LİNEER POZİTİF OPERATÖR DİZİLERİNİN
YAKLAŞIM HIZI… ............................................................................................... 17
3.1. Süreklilik Modülü ............................................................................................... 17
3.1.1.Süreklilik modülünün özellikleri ....................................................................... 18
3.2.An Operatörlerinin Yaklaşım Hızı ...................................................................... 20
3.2.1.Teorem ............................................................................................................. 21
3.3.An Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar Yardımıyla
Yaklaşım Hızı.......................................................................................................... 22
3.3.1.Teorem .............................................................................................................. 23
3.4.Balasz Operatörlerinin Peetre-K Fonksiyoneli Yardımıyla
Yaklaşım Hızı. ..................................................................................................... 24
3.4.1.Teorem. ............................................................................................................. 24
4.BALASZ OPERATÖRLERİNİN TÜREV ÖZELLİKLERİ ................................ 27
4.1.Bölünmüş Farklar ............................................................................................... 27
4.2.Rn Polinomu İçin Monotonluk ve Konvekslik ..................................................... 28
4.2.1.Teorem ............................................................................................................... 30
4.3.Balasz Operatörlerinin Sınırlı Salınımlılığı ....................................................... 31
4.3.1.Teorem ............................................................................................................. 31
KAYNAKLAR ............................................................................................................ 33
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................ 34
iv
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BALASZ OPERATÖRLERİ VE BAZI GENELLEŞMELERİ İÇİN KOROVKİN
TİPLİ HATA TAHMİNLERİ
Bahar DEMİRTÜRK
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Bu çalışmada Balasz operatörlerinin yaklaşım özellikleri ve Korovkin tipli hata
tahminleri incelenmiştir.
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde lineer pozitif operatörler tanıtılıp
temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca lineer pozitif operatör dizilerinin yakınsaklığı ve
Korovkin Teoremi ifade ve ispat edilmiştir.
İkinci bölümde Balasz operatörleri ve Bleimann-Butzer-Hahn tipli genelleşmesi
tanıtılarak Korovkin tipli hata tahminleri yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
Üçüncü bölümde süreklilik modülü ve f nin Lipschitz sınıfından olması durumlarında
Balasz operatörlerinin Bleiman-Butzer-Hahn tipli genelleşmesinin yaklaşım hızı
hesaplamıştır. Ayrıca bu hesaplama Peetre-K foksiyoneli yardımıyla Balasz operatörleri
için de yapılmıştır.
Son olarak dördüncü bölümde Balasz operatörlerinin bazı türev özellikleri, bölünmüş
farklar ve fark operatörleri yardımıyla incelenmiştir.
2005, 34 sayfa
ANAHTAR KELİMELER: Lineer pozitif operatör dizileri, Balasz operatörleri,
Korovkin Teoremi, süreklilik modülü, Lipschitz sınıfı, bölünmüş farklar.
i
ABSTRACT
Master Thesis
KOROVKIN TYPE ERROR ESTIMATES OF BALASZ OPERATORS AND THEIR
SOME GENERALIZATIONS
Bahar DEMİRTÜRK
Ankara University
Graduate School of Natural
and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
In this study, the approximation properties and Krovkin type error estimates of the
Balasz operators and their some generalizations are investigated.
This thesis consists of four chapters. In the first chapter linear positive operators are
introduced and their basic properties are obtained. Furthermore convergence of linear
positive operator sequences and the Korovkin Theorem are expressed and proved.
In the second chapter, the Balasz operators and Bleiman-Butzer-Hahn type
generalization are introduced and their approximation properties are obtained in terms
of the Korovkin type error estimates.
In the third chapter, rate of convergence of the Bleiman-Butzer-Hahn type
generalization of the Balasz operators are estimated by the modulus of continuity and
on the condition of f being in the Lipschitz class. Furthermore this estimation is also
made for the Balasz operators with the help of the Peetre-K functional.
Finally in the fourth chapter, some derivate properties of the Balasz operators are
investigated with the help of divided differences and difference operators.
2005, 34 page
Key Words: Linear positive operator sequences, Balasz operators, The Korovkin
Theorem, modulus of continuity, Lipschitz class, divided differences.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın her aşamasında beni yönlendiren değerli hocam, danışmanım Doç. Dr.
Ogün DOĞRU ’ya ve beni her zaman destekleyen sevgili aileme teşekkürlerimi
sunarım.
Bahar DEMİRTÜRK
Ankara, Mayıs 2005
iii
iv
SİMGELER DİZİNİ
C [a, b]
: [a, b] kapalı aralığında sürekli olan fonksiyonların uzayı.
C B [0, ∞ )
: [0, ∞ ) aralığında sınırlı, sürekli fonksiyonların uzayı.
C 2 [a, b]
: f , f ′, f ′′ ∈ C [a, b] olan fonksiyon uzayı.
f n ( x )→ f ( x )
→
: { f n }fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması.
L( f ; x )
: L operatörünün f fonksiyonuna uygulanması.
LipM (α )
: Lipschitz sınıfı fonksiyonlar.
ω ( f ;δ )
: f fonksiyonunun süreklilik modülü.
ϕ n, k
: k- yıncı merkezi moment.
.
: C [D ]uzayındaki alışılmış supremum normu.
C [D ]
[x , x ,..., x
0
1
p
;f
]
: f fonksiyonunun x0 , x1 ,..., x p noktalarındaki p- yinci bölünmüş farkı
v
vi
1. TEMEL KAVRAMLAR
1. 1. Giriş
Bu bölümde lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve temel özellikleri incelenecektir.
Ayrıca lineer pozitif operatör dizilerinin yakınsaklığı ve Korovkin Teoremi ifade ve
ispat edilecektir.
1.2. Lineer Pozitif Operatörler
Operatörün lineerliği: X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun. X den alınan f fonksiyonuna
Y de bir g fonksiyonunu karşılık getiren kurala “operatör” denir.
L: X → Y şeklindeki operatörü ele alalım.
∀f , g ∈ X ve a, b ∈ R için
L (af + bg ) = aL( f ) + bL( g )
koşulu sağlanıyorsa L operatörüne “ lineer operatör ” denir.
Operatörün pozitifliği: Eğer X uzayında tanımlanmış L lineer operatörü bu uzayda
tanımlı herhangi bir pozitif f fonksiyonunu pozitif fonksiyona dönüştürüyorsa L
operatörüne “ Lineer Pozitif Operatör ” denir. Yani;
f ( x ) ≥ 0 olduğunda L( f ; x ) ≥ 0 olur.
Benzer şekilde,
∀x ∈ R için f ( x ) < 0 olduğunda − f ( x ) > 0 olur.
L lineer pozitif operatör olduğunda,
f ( x) < 0 için 0 < L(− f ; x ) = − L( f ; x ) sağlanır.
Dolayısıyla f ( x) < 0 için L( f ; x ) < 0 elde edilir.
1.2.1. Lineer pozitif operatörlerin bazı önemli özellikleri
Önerme 1.2.1. Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani;
f ≥ g için L( f ; x ) ≥ L( g ; x )
1
eşitsizliği sağlanır.
İspat: Kabul edelim ki f ≥ g olsun. Bu durumda f − g ≥ 0 olur. L operatörünün
pozitifliğinden;
L( f − g ; x ) ≥ 0
yazılabilir. Diğer taraftan L operatörünün lineerliğinden;
L ( f ; x ) − L( g ; x ) ≥ 0
olur. Yani f ≥ g için
L ( f ; x ) ≥ L( g ; x )
olduğu görülür ki bu da L operatörünün monoton artan olması demektir.
Önerme 1.2.2. L lineer pozitif operatör olmak üzere
L ( f ; x ) ≤ L( f ; x )
eşitsizliği sağlanır.
İspat: Herhangi bir f fonksiyonu için
- f ≤ f ≤ f
(1.1)
dir. Önerme 1.2.1. den dolayı L operatörünün monotonluğundan ve (1.1) den
yararlanarak,
L(− f ; x ) ≤ L( f ; x ) ≤ L( f ; x )
eşitsizliği yazılabilir. L operatörü lineer olduğundan;
− L ( f ; x ) ≤ L( f ; x ) ≤ L ( f ; x )
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Tanım 1.2.2. (Operatörün sınırlılığı): X ve Y iki fonksiyon uzayı olmak üzere
L: X → Y
ile tanımlanmış L operatörünü göz önüne alalım.
Eğer ∀f ∈ X için
Lf
Y
≤M f
X
2
eşitsizliğini sağlayan M > 0 sabitleri varsa L operatörüne “ sınırlı operatör ” denir. Bu
şartı sağlayan M sabitleri içinde en küçüğüne de “ operatörün normu ” diyoruz.
Bu norm;
{
L = inf M : Lf
Y
≤M f
X
}
ile gösterilir.
Lf
f ≠ 0 olduğunda
≤ M olur.
Y
f
X
Yani;

Lf
L = inf M :
f

Lf
L = sup
f
X
f
≠0
Y
Y
≤ M; f
X
X
Lf
= sup
f
X
X

≠ 0

Y
=1
dır.
A= { f : f ≠ 0}, B= { f : f = 1} ise B ⊂ A olduğu açıktır.
Lf
sup
f
X
f
≠0
≥ sup L
Y
f
X
X
=1
Y
yazılabilir.
Diğer taraftan,
sup
f
X
X
X
X
f
f
 f
= sup L
 f
f X ≠0

≠0
Lf
f
x

; x

Y
= g seçelim.
X
f
olup g =
sup
f
Y
f
≠0
eşitliğinde
f ≤ f
Lf
Y
X
f
≤ 1 olacağından,
X
≤ sup Lg = sup Lf
g
X
=1
f
X
=1
elde edilir.
3
Tanım 1.2.3. (Operatörün sürekliliği):
{f n }
fonksiyonlar dizisi normlu bir X
uzayında f fonksiyonuna yakınsasın.
Yani;
(n → ∞ )
fn − f
için
X
→0
ya da
lim f n − f = 0
n →∞
olsun. Bu şartı sağlayan tüm f n fonksiyonları (n → ∞ ) için
Lf n − Lf
Y
→0
oluyorsa L operatörüne “ sürekli operatör ” denir.
Tanım 1.2.4. C [a, b] ; [a, b] sonlu aralığı üzerinde tanımlı bütün sürekli f : [a, b] → R
fonksiyonlarının uzayını göstermek üzere, bu uzaydaki norm
f = max f ( x )
x∈[a ,b ]
şeklinde gösterilir.
Tanım 1.2.5. Bir ( f n ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna C [a, b] normunda düzgün
yakınsak olması için ∀x ∈ [a, b] için
lim f n − f
n →∞
C [a ,b ]
=0
ya da daha açık olarak
lim maks f n ( x ) − f ( x ) = 0
n → ∞ a ≤ x ≤b
olması gerekmektedir.
Düzgün yakınsama,
f n ( x )→ f ( x ) ile gösterilir.
→
Bu kısımda yapılan tanımlar ve gösterilen özellikler ile ilgili detaylı bilgiler için bakınız
(Hacısalihoğlu ve Hacıyev 1995).
4
1. 3. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yakınsaklığı
1885 yılında Alman Matematikçi Weierstrass, sonlu aralıkta sürekli her fonksiyona bu
aralıkta yakınsayan en az bir polinomun varlığını ispat etmiştir.
Teorem 1.3.1. f ( x ) fonksiyonu sonlu bir [a, b] aralığında tanımlanmış sürekli bir
fonksiyon ise bu durumda ∀ε > 0 için en az bir p( x ) polinomu bulabiliriz ki
maks f ( x ) − p ( x ) < ε
a ≤ x ≤b
olur. (Weierstrass 1885)
Bernstein, Weierstrass’ın bu teoremini kullanarak, [0,1] aralığında sürekli olan keyfi f
fonksiyonu için [0,1] aralığındaki p( x ) polinomunu
n
Bn ( f ; x ) = ∑
k =0
k
f 
n
( ) x (1 − x )
n
k
n−k
k
şeklinde göstermiştir. Bu polinomlara “Bernstein Polinomları” denir. Bn Bernstein
polinomları lineer pozitif operatörlerdir. Bernstein polinomlarına ait çalışmalar,
yaklaşım problemlerinde lineer pozitif operatörler teorisinin oluşmasına katkı
sağlamıştır.
Öncelikle lineer pozitif operatörler teorisinin temeli sayılan Korovkin teoreminin ifade
ve ispatını verelim.
Teorem 1.3.2. Korovkin Teoremi: (Ln ) lineer pozitif operatör dizisi olsun. Tüm reel
eksende sınırlı ve sonlu bir [a, b] aralığında sürekli herhangi bir f fonksiyonu için eğer
[a, b] üzerinde;
(i ) L n (1; x )→→ 1
(ii ) L n (t; x )→→ x
(iii )Ln (t 2 ; x )→→ x 2
düzgün yakınsıyorsa, bu durumda
5
L n ( f ; x )→ f ( x ) e düzgün yakınsar. ( P. P. Korovkin 1953 )
→
İspat: f ∈ C [a, b] ise süreklilikten ∀ε > 0 için ∃δ vardır öyle ki;
t − x < δ olduğunda f (t ) − f ( x ) < ε sağlanır.
t − x ≥ δ olduğunda ise üçgen eşitsizliği ve f nin sınırlılık özelliğinden
f (t ) − f ( x ) ≤ f (t ) + f ( x ) ≤ 2 M f
yazılabilir. Diğer taraftan;
t − x ≥ δ ise
(t − x )2
t−x
δ
≥ 1 olacağından;
≥ 1 sağlanır. Bu durumda 2 M f ≤ 2 M f
δ2
(t − x )2
δ2
olur.
O halde;
t − x < δ için f (t ) − f ( x ) < ε
t − x ≥ δ için f (t ) − f ( x ) < 2 M f
(t − x )2
δ2
elde ettik. Yani;
∀t ∈ R ve ∀x ∈ [a, b] için
f (t ) − f ( x ) < ε + 2 M f
(t − x )2
(1.2)
δ2
dir. Şimdi ( i ) ,( ii ) , ( iii ) koşullarını sağlayan (Ln ) operatör dizisinin,
lim maks Ln ( f (t ); x ) − f (x ) = 0
n → ∞ a ≤ x ≤b
eşitliğini sağladığını gösterelim.
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) = Ln ( f (t ) − f ( x ) + f ( x ); x ) − f (x )
= Ln ( f (t ) − f ( x ); x ) + Ln ( f (x ); x ) − f ( x )
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) = Ln ( f (t ) − f (x ); x ) + f ( x )Ln (1; x ) − f ( x )
≤ Ln ( f (t ) − f ( x ); x ) + f ( x ) Ln (1; x ) − 1
≤ Ln ( f (t ) − f ( x ) ; x ) + f (x ) Ln (1; x ) − 1
6
( Önerme 2 den ve f nin sınırlılığından )
2M f


2
≤ Ln  ε + 2 (t − x ) ; x  + M f Ln (1; x ) − 1
δ


( ( 1.2 ) ve monotonluktan )
2M f
ε
L
(
1
;
x
)
+
Ln t 2 − 2tx + x 2 ; x + M f Ln (1; x )
n
2
=
δ
(
)
( lineerlikten )
= ε Ln (1 : x ) +
2M f
δ
[L (t ; x ) − x
2
n
2
2
+ 2 x 2 − 2 xLn (t ; x ) + x 2 Ln (1; x ) − x 2
]
+ M f Ln (1; x ) − 1
≤ ε Ln (1 : x ) +
2M f
δ
{[L (t ; x ) − x ] − 2 x[L (t; x ) − x] + x [L (1; x ) − 1] }
2
2
2
n
2
n
n
+ M f Ln (1; x ) − 1
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ ε Ln (1; x ) +
2M f
δ
2
{ L (t ; x ) − x
2
n
2
+ 2 x Ln (t ; x ) − x + x 2 Ln (1; x ) − 1
}
+ M f Ln (1; x ) − 1
(i ), (ii ), (iii ) koşullarının son eşitsizlikte
kullanılmasıyla;
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) < ε n bulunur.
O halde ;
lim maks Ln ( f (t ); x ) − f (x ) = 0
n → ∞ a ≤ x ≤b
sağlanır ve ispat tamamlanır.
Yaklaşımlar teorisinde Korovkin tipli yaklaşım özelliklerine ilişkin detaylı bilgi için
bakınız (Altomare- Campiti 1994).
7
2.
BALASZ OPERATÖRLERİ ve BAZI GENELLEŞMELERİNİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde Balasz Operatörleri ve Bleimann-Butzer-Hahn tipli genelleşmesi tanıtılarak
Korovkin tipli hata tahminleri yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenecektir.
2.1. Balasz Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı
Tanım 2.1.1. x ∈ [0, b] ⊂ [0, ∞), b ∈ R + ve n ∈ N için (a n ) , (bn ) pozitif sayı dizileri ve f
ler sürekli fonksiyonlar olmak üzere;
Rn ( f ; x ) =
1
(1 + a n
k 
f  ( )(a x )
∑
x)
b 
n
n
n
k
k =0
k
n
n
şeklinde tanımlanan lineer pozitif operatörlere Balasz Operatörleri denir.
Balasz operatörlerinde ;
(n → ∞ ) için
n
a n → 1 , a n → 0 ve bn → ∞
bn
(2.1)
koşulları sağlanmalıdır. (Balasz 1975)
Teorem 2.1.1. f ∈ C [0, b] ise Rn ( f ; x )→ f ( x ) e düzgün yakınsar.
→
İspat: Öncelikle Rn ( f ; x ) in lineer ve pozitif bir operatör olduğunu gösterelim.
Lineerlik;
∀α , β ∈ R ve f , g ∈ C [0, b] için
Rn ( [αf + βg ]; x ) =
=
=
n
1
(1 + a n x )
α
(1 + a n
1
(1 + a n



 bn 
(αf ) k
n ∑
k =0
n
∑
x)
n
k =0
k
f 
 bn



n
k 
k
 + β g 
n 
 bn
k =0
( )(a x )
n
k
k
n
( )(a x )
n
k

n
∑ αf  b
x)
 
n
k
+
+
(1 + a n
(1 + a n
( )(a x )
n
k
k
n
 
(βg ) k ( )(a x )
∑
x)
b 
n
1
β



n
n
k
k =0
n
k 
g  ( )(a x )
∑
x)
b 
n
n
n
k
k =0
= αR n ( f ; x ) + β R n ( g ; x )
8
n
n
n
k
k
olduğundan R n ( f ; x ) lineer bir operatördür.
Pozitiflik;
k= 0, 1,…,n ∈ N , x ∈ [0, b] , (a n ) ve (bn ) ler pozitif sayı dizileri olmak üzere
( )(a x )
1
(1 + a n x )
n
k
n
n
k
≥ 0 dır.
Dolayısıyla f ≥ 0 ise R n ( f ; x ) ≥ 0 olacaktır.
Şimdi R n ( f ; x ) in f ( x ) e düzgün yakınsaklığını gösterelim.
i.
Rn (1; x ) =
1
(1 + a n
∑ ( )(a x )
x)
n
n
k
n
k
=1
n
k =0
Binom açılımından Rn (1; x ) = 1 dir.
ii.
Rn (t ; x ) =
=
=
1
(1 + a n
k
( )(a x )
∑
b
x)
n
n
k
n
an x
(1 + a n x )
n
k =1
n
bn
(k → k + 1)
k
n
n
n −1
∑ ( )(a x )
n −1
k
k
n
k =0
x
n
a
(1 + a n x ) bn n
→
(2.1) den Rn (t ; x )→
x olduğu görülür.
iii.
=
(
)
Rn t ; x =
2
(an x )2
(1 + a n x )
(1 + a n
n(n − 1) n − 2
n
bn
2
2
k

 bn
n
1
∑
x)
n
k =1
∑ ( )(a x )
n− 2
k
k
n
k =0
n2  a x 
n
= 2  n  − 2
bn  1 + a n x  bn



+
2
( )(a x )
n
k
k
n
an x
n
(1 + a n x )
n
2
bn
 an x 
a x n

 + n
2
 1 + a n x  1 + a n x bn
→ 2
(2.1) den Rn (t 2 ; x )→
x olduğu görülür.
9
2
n −1
∑ ( )(a x )
k =0
n −1
k
n
k
Tanım 2.1.2. ∀n ∈ N , 0 < β < 1 için a n = n β −1 ve b n = n β seçimiyle (C. Balasz,
J. Szabados 1982) ve (V. Totik 1984);
Rn[β ] şeklindeki lineer pozitif operatörleri incelemişlerdir.
Gerçekten de ;
0 < β < 1 ise β − 1 < 0 olduğundan (n → ∞ ) için a n → 0 ve
n
n
a n = β n β −1 = 1 ,
bn
n
bn → ∞ olup (2.1) koşulları sağlanmaktadır.
Ağırlıklı uzaylarda Balasz operatörlerinin yaklaşım özelliklerine ilişkin sonuçlar için
bakınız (İspir ve Atakut 2001).
Tanım 2.1.3. (G. Bleimann, P. L. Butzer ve L. Hahn 1982)
f ∈ C B [0, ∞ ) olmak üzere
Ln ( f ; x ) =
1
(1 + x )n
k


∑ f  n − k + 1 ( ) x
n
n
k
k
k =0
şeklindeki Bleimann - Butzer - Hahn operatörlerini tanımlanmıştır. Bu operatörlerin
bazı yaklaşım özellikleri (T. Herman 1990) da incelenmistir.
Şimdi x ∈ [0, b] ⊂ [0, ∞) olmak üzere
An ( f ; x ) =
n
1
 k  n k
( k ) x

n ,k 
f
(1 + x ) ∑  b
n
k =0
(2.2)
şeklinde Balasz Operatörlerinin Bleimann- Butzer- Hahn tipli bir genelleşmesini ele
alalım.
Dikkat edilirse bu genelleşmede ;
bn , k = n − k + 1
seçimiyle bu operatörün Bleimann- Butzer- Hahn operatörüne dönüştüğü görülmektedir.
Burada;
k + bn,k = c n ve
n
→ 1 (n → ∞ )
cn
(2.3)
koşulları sağlanmalıdır.
10
(2.3) koşulları yerine a n k + bn, k = c n ve
n
→1
cn
(n → ∞ ) alındığında elde edilen
operatörlerin yaklaşım özellikleri ( O. Doğru 2002) de incelenmiştir.
Tanım 2.1.4. (Lipschitz Sınıfı Fonksiyonlar): 0 < α ≤ 1 olmak üzere ;
f (t ) − f ( x ) ≤ M t − x
α
koşulunu sağlayan fonksiyonlara “Lipschitz Sınıfı Fonksiyonlar” , M ye de "Lipschitz
Sabiti” denir ve f ∈ Lip M (α ) ile gösterilir.
Bu tezde, 0 < α ≤ 1 olmak üzere;
t
x
f (t ) − f ( x ) ≤ M
−
1+ t 1+ x
α
şeklindeki Lipschitz sınıfı fonksiyonları kullanacağız ve bu fonksiyonların oluşturduğu
uzayı ω α ile göstereceğiz. Yani;


ωα =  f : f (t ) − f (x ) ≤ M
t
x
−
1+ t 1+ x
α

.

Teorem 2. 2. x ∈ [0, b] için f ∈ ω α ve tüm R de f sınırlı olsun. Eğer (Ln ) lineer pozitif
operatör dizisi için
i.
Ln (1; x )→
→1
ii.
→
x
 t

Ln 
; x
1 + t → 1 + x
iii.
  t  2 →  x  2
Ln  
; x 

 1 + t 
→  1 + x 


koşulları sağlanıyorsa (n → ∞ ) için
Ln ( f ; x) − f ( x) C[0,b] → 0 (n → ∞)
olur. (A. D. Gadjiev- Ö. Çakar 1999)
İspat: f ∈ ω α olsun. Bu durumda ∀ε > 0 için ∃δ vardır öyleki
11
t
x
−
< δ olduğunda
1+ t 1+ x
f (t ) − f ( x ) < ε
kalır.
Aynı zamanda f sınırlı olduğundan f ≤ M f olacak şekilde pozitif M f sabiti vardır.
Diğer taraftan,
2
x 
 t
−


t
x
1+ t 1+ x 

−
≥ δ ise
≥ 1 olur.
1+ t 1+ x
δ2
Dolayısıyla;
2M f  t
x 
t
x
−
≥ δ ise f (t ) − f ( x ) <
−
2 
1+ t 1+ x
δ  (1 + t ) (1 + x ) 
2
olur. Bu durumda ∀x ∈ [0, b] ve t ∈ R için
f (t ) − f ( x ) < ε +
2
2M f  t
x 
−


δ 2  (1 + t ) (1 + x ) 
eşitsizliği yazılabilir.
Eğer,
lim sup Ln ( f (t ); x) − f ( x) = 0
n→∞ x∈[ 0,b ]
olduğunu gösterirsek ispat tamamlanmış olur.
Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) = Ln ( f (t ) − f ( x ); x ) + Ln ( f ( x ); x ) − f ( x ) ( operatörün lineerliğinden)
≤ Ln ( f (t ) − f ( x ); x ) + Ln ( f ( x ); x ) − f ( x ) ( üçgen eşitsizliğinden )
≤ Ln ( f (t ) − f ( x ) ; x ) + f ( x ) Ln (1; x ) − 1
( Önerme 1.2.1 den )
yazılabilir.
f sınırlı olduğundan
f (t ) < M f dir. Ayrıca ( i ) den Ln (1; x ) − 1 → 0 dır. O halde
operatörün monotonluğu ve lineerliğinden
2 

2M f  t
x 
Ln ( f (t ) − f ( x ) ; x ) ≤ Ln  ε +
−
; x


2  (1 + t ) (1 + x ) 
δ 



= ε Ln (1; x ) +
2M f
δ2
2
 t
x  

Ln 
−
;x
  1 + t 1 + x  


12
= ε Ln (1; x ) +
2 M f     t  2   x  2  2 x   t
x 

Ln 
; x − 
; x −
 Ln  
−



2 
δ     1 + t    1 + x   1 + x   1 + t  1 + x 

2

 x 
+
 [Ln (1; x ) − 1]

1+ x 
olup ( i ) , ( ii ) ve ( iii ) den
Ln ( f (t ) − f ( x ) ; x ) ≤ ε olur.
(n → ∞ ) için
Dolayısıyla Ln ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ ε olur ki buradan (n → ∞ ) için
lim sup Ln ( f (t ); x) − f ( x) = 0
n→∞ x∈[ 0,b ]
elde edilir ve ispat tamamlanır.
Teorem 2.3. x ∈ [0, b] için f ∈ ω α ve tüm R de f sınırlı olsun. Bu durumda (2.2) ile
verilen An operatörü için lim sup An ( f (t ); x) − f ( x) = 0 sağlanır.
n →∞ x∈[ 0 ,b ]
İspat: İspat için Teorem 2.2. nin şartlarının sağlandığının gösterilmesi yeterlidir.
i.
Binom açılımından,
An (1; x ) =
n
1
(1 + x )n ∑
k =0
( )x
n
k
=1
k
(2.4)
dir.
k
ii.
t=
bn,k
k
k
için
=
olduğundan
k
cn
bn,k
1+
bn,k
1
 t

An 
; x =
n
 1 + t  (1 + x )
k
∑ c ( )x
n
n
k
k =0
k
n
=
1 n
n!
xk
∑
n c
(
)
(
)
k
−
1
!
n
−
k
!
(1 + x ) n k =1
=
x
n
n
(1 + x ) cn
1
n −1
∑ ( )x
n −1
k
k
k =0
13
( k → k + 1)
x
n
 t

An 
; x =
 1 + t  (1 + x ) c n
bulunur. Dolayısıyla,
(n → ∞ ) için (2.3) ün de kullanılmasıyla
iii.
x
 t

; x →
olduğu görülür.
An 
→
1 + t  1+ x
Diğer yandan
 t 2 
n  k
1

An  
; x =
∑

 1 + t 
 (1 + x )n k =0  c n






2
(kn )x k
2
=
 1

∑
(1 + x )n k =1 cn
=
 1

(1 + x )n  c n
 n
n!
 ∑
xk
(
)
(
)
k
−
2
!
n
−
k
!
 k =2
 1

+
n c
(1 + x )  n
 n
n!
 ∑
xk
(
)
(
)
k
−
1
!
n
−
k
!
 k =1
1
n
1
1

n!
 (k − 1 + 1)
xk
(k − 1)!(n − k )!

2
2
olur.
Burada sırasıyla ( k → k + 2) ve ( k → k + 1) yazarsak,
  t  2   x  2 n(n − 1)  x  n
An  
; x =
+
 2
  1 + t    1 + x  c 2
 1 + x  cn
n


buluruz.
Yani (n → ∞ ) için (2.3) ün kullanılmasıyla
  t  2  → x  2
An  
; x
  1 + t   → 1 + x 


elde ederiz.
Dolayısıyla ( i ) , ( ii ) , ( iii ) koşulları sağlandığından
lim sup An ( f (t ); x) − f ( x) = 0
n→∞ x∈[0,b ]
bulunur ki bu da istenilendir.
14

k 
t
x 
−
; x  , ( k= 0, 1, 2, . . .) ile tanımlanan ifadelere

1 + t 1 + x 




Tanım 2. 4. ϕ n,k (x ) = An  

(An ) operatör dizisinin k-yıncı merkezi momentleri denir.
Bu tanımdan hareketle (2.1.3) de tanımladığımız An operatörlerinin merkezi
momentlerini bulalım.
0-ıncı merkezi momenti;
0 
 t
x 
ϕ n,o ( x ) = An  
−
; x  = An (1; x ) = 1
 1 + t 1 + x 



1-inci merkezi momenti;
1
 t
x  

−
ϕ n,1 ( x ) = An 
;x
 1 + t 1 + x  


(1 + x )
 k

∑
k =0  c n
n
1
=
n



( )x
n
k
k
−
x
1
(1 + x ) (1 + x )n
∑ ( )x
n
n
k
k
k =0
 x  n  x 
−


 1 + x  cn  1 + x 
=
2-inci merkezi momenti;
2 
 t
x 
ϕ n, 2 ( x ) = An  
−
; x
 1 + t 1 + x 



=
(1 + x )
k

∑
k =0  c n
n
1
n
2



1
 x 
+

n
 1 + x  (1 + x )
2
( ) x − (12+xx ) 1 ∑  ck ( ) x
(1 + x )  
n
n
k
k
n
∑ ( )x
n
k
k =0
k
n
n
n
k
k
k =0
2
2
2x  x
n  x 
 x  n(n − 1)  x  n
=
+
−




+
1 + x 
 1 + x  c n 2 (1 + x )  (1 + x ) c n   1 + x 
cn 2
2
2
2x n   x 
 x  n(n − 1)  x   n
+
−

+



1 + x 
 1 + x   c n 2 (1 + x ) c n   1 + x 
cn 2
=
bulunur.
15
Şimdi de (2.1.1) de tanımladığımız Rn operatörlerinin merkezi momentlerini bulalım.
(Rn) operatör dizisinin k-yıncı merkezi momentleri;
(
)
ϕ n ,k ( x ) = Rn (t − x )k ; x , ( k= 0, 1, 2, . . . )
ile ifade edilir.
0-ıncı merkezi momenti;
(
)
ϕ n ,o ( x ) = Rn (t − x )0 ; x = Rn (1; x ) = 1
1-inci merkezi momenti;
(
ϕ n ,1 ( x ) = Rn (t + x )1 ; x
)
= Rn (t; x ) − xRn (1; x )
 a x  n
=  n  − x
 1 + a n x  bn
2-inci merkezi momenti;
(
)
ϕ n , 2 ( x ) = Rn (t − x )2 ; x = Rn (t 2 ; x ) − 2 xRn (t ; x ) − x 2 Rn (1; x )
n(n − 1)  a n x   n 2n  a n x 
 +
 − x 2

x 
=
−
2
2

bn  1 + a n x 
bn
 1 + a n x   bn
2
olarak bulunur.
16
3. LİNEER POZİTİF OPERATÖR DİZİLERİNİN YAKLAŞIM HIZI
Yaklaşım hızı yaklaşımlar teorisinin önemli bir problemidir. Eğer { f n ( x )} herhangi bir
fonksiyon dizisi ve lim f n ( x ) = 0 ise, bu durumda
n →∞
{ f n (x )}
lere sonsuz küçülen
fonksiyon dizisi denir.
{ f n (x )}
ve
{g n (x )}
sonsuz
küçülen
iki
fonksiyon
dizisi
olmak
üzere
0 ≤ {f n ( x )} ≤ {g n ( x )} ise { f n ( x )} in {g n (x )} e göre sıfıra daha hızlı yaklaştığını söyleriz.
Ln ( f ; x ) keyfi bir lineer pozitif operatör dizisi olmak üzere
Ln ( f ; x ) − f ( x )
C [a ,b ]
→ 0 (n → ∞ )
olması Ln ( f ; x ) in f ( x ) e düzgün yaklaştığını gösterir.
Yaklaşım hızı ise α n → 0 , (n → ∞ ) olmak üzere;
Ln ( f ; x ) − f ( x ) ≤ cα n
olacak şekilde α n lerin belirlenmesi ile hesaplanır. Açıktır ki, α n ler Ln operatörü ve f
fonksiyonuna bağlı olarak değişirler.
Yaklaşımlar teorisinde yaklaşım hızı problemi olarak adlandırılan bu hesaplamayı
yapmak için süreklilik modülü ve f nin Lipschitz sınıfından olması durumlarını
inceleyeceğiz. Bu nedenle öncelikle süreklilik modülünün tanımını vereceğiz ve
özelliklerini ispatlayacağız.
3. 1. Süreklilik Modülü
f ∈ C (a, b ) olsun. δ ≥ 0 için
ω ( f ; δ ) = sup f (t ) − f ( x )
x ,t∈[a ,b ]
t − x ≤δ
ile tanımlanan ω ( f ; δ ) ifadesine f fonksiyonunun “Süreklilik Modülü” denir.
17
3. 1. 1. Süreklilik modülünün özellikleri
i.
ω ( f ;δ ) ≥ 0
ii.
δ 1 ≤ δ 2 ise ω ( f ; δ 1 ) ≤ ω ( f ; δ 2 )
iii.
n ∈ N için ω ( f ; nδ ) ≤ nω ( f ; δ )
iv.
λ ∈ R + için ω ( f ; λδ ) ≤ (1 + λ )ω ( f ; δ )
v.
lim ω ( f ; δ ) = 0
vi.
ω ( f ; t − x ) ≥ f (t ) − f (x )
vii.
δ →0
 t−x

f (t ) − f ( x ) ≤ 
+ 1 ω ( f ; δ )
 δ

İspat:
i.
Süreklilik modülü tanımından ve mutlak değerin supremumu pozitif
olacağından
ispat açıktır.
ii.
Bölge
büyüdükçe
alınan
supremum
ω ( f ;δ 1 ) ≤ ω ( f ;δ 2 )
olur.
iii.
Süreklilik modülünün tanımından
ω ( f ; nδ ) = sup f (t ) − f ( x )
x ,t∈[a ,b ]
t − x ≤ nδ
yazabiliriz.
t − x ≤ nδ ⇒ x − nδ ≤ t ≤ x + nδ olup,
t = x + nh seçerek
− nδ ≤ nh ≤ nδ ⇒ h ≤ δ buluruz.
ω ( f ; nδ ) = sup f ( x + nh ) − f ( x )
x∈[a ,b ]
h ≤δ
18
büyüyeceğinden
δ 1 ≤ δ 2 için
n −1
= sup
∑ [ f (x + (k + 1)h) − f (x + kh )]
x ,t∈[a ,b ] k = 0
h ≤δ
olup üçgen eşitsizliği uygularsak
n −1
ω ( f ; nδ ) ≤ ∑ sup f ( x + (k + 1)h ) − f ( x + kh )
k = o x∈[a ,b ]
h ≤δ
≤ ω ( f ; δ ) + ω ( f ; δ ) + ... + ω ( f ; δ )
= nω ( f ; δ )
elde edilir.
iv.
λ ∈ R + sayısının tam kısmını [ λ ] ile gösterirsek
[λ ] ≤ λ < [λ ] + 1
eşitsizliğini yazabiliriz. Şimdi bu eşitsizliklerden ve ( ii ) özelliğinden
ω ( f ; λδ ) ≤ ω ( f ;1 + [ λ ]δ )
olup, burada [ λ ] pozitif bir tamsayı olduğu için ( iii ) özelliğinin kullanılmasıyla,
ω ( f ;1 + [ λ ]δ ) ≤ ( [ λ ] + 1)ω ( f ; δ )
eşitsizliğini elde ederiz. Ayrıca her λ ∈ R + için
[λ ] + 1 ≤ λ + 1
olduğunu gözönüne alırsak;
ω ( f ; ( [ λ ] + 1)δ ) ≤ (λ + 1)ω ( f ; δ )
eşitsizliği geçerli olur. Buradan
ω ( f ; λδ ) ≤ (1 + λ )ω ( f ; δ )
yazılır ki bu da ispatı tamamlar.
19
v.
Süreklilikten
∀ε > 0
için
t − x < δ olduğunda
f (t ) − f ( x ) < ε
olur.
t − x < δ eşitsizliğindeki δ nın sıfıra yaklaşması t → x olması anlamına gelir. f sürekli
olduğundan t → x için f (t ) − f (x ) → 0 olduğundan ispatı açıktır.
vi.
ω ( f ; δ ) ifadesinde δ = t − x seçersek,
ω ( f ; t − x ) = sup f (t ) − f ( x )
x ,t∈[a ,b ]
≥ f (t ) − f ( x )
olacağından ispat tamamlanır.
viii.
( vi ) den
 t−x 
f (t ) − f ( x ) ≤ ω  f ;
δ 
δ


olup ( iv ) özelliğini kullanırsak;
t−x

f (t ) − f ( x ) ≤ 
+ 1ω ( f ; δ )
 δ

bulunur ki bu da ispatı tamamlar.
3.2. An Operatörlerinin Yaklaşım Hızı
Tanım 3.2.1. f ∈ ωα olmak üzere,
ω~1 ( f ; δ n ) = sup
x ,t ≥ 0
f (t ) − f ( x )
t
x
−
≤δ n
1+ t 1+ x
şeklinde bir süreklilik modülü tanımlayalım.
Bu durumda süreklilik modülünün özelliklerinden faydalanarak;
 t

x

−

1+ t 1+ x

~ ( f ;δ )
f (t ) − f ( x ) ≤
+ 1 ω
1
n


δn




20
(3.1)
olduğunu söyleyebiliriz.
Şimdi, An operatörlerinin yaklaşım hızını (3.1) de tanımlanan süreklilik modülü
yardımıyla hesaplayalım.
Teorem 3.2.1. Eğer f ∈ ω α ise (2.2) ile tanımlanan An operatörlerinin süreklilik
modülü ile yaklaşım hızı;
~ ( f ;δ )
An ( f ; x) − f ( x) C[0,b] ≤ 2 ω
1
n
olarak hesaplanır.
İspat: Bu ispatta T. Popovicu’ nun tekniği kullanılmıştır. Bakınız (G. G. Lorentz 1953).
n
An ( f (t ); x ) − f ( x ) =
 k 


 n,k 
∑ f  b
k =0
( ) x (1 + x )
n
k
k
−n
n
− ∑ f (x )
( ) x (1 + x )
n
k
k
k =0
( üçgen eşitsizliğinden )
An ( f (t ); x ) − f (x ) ≤
 k
f

k = 0  bn ,k
n
∑
()

 − f (x ) n x k (1 + x )− n
k


(kn )x k (1 + x)−n = Pn,k (x) dersek ve (3.1) ifadesinde t = bk
alırsak,
n,k
~ ( f ; δ ) 1
An ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ ω
1
n 
 δ n
 n k
 
x
−
Pn,k (x ) + 1
∑
 k =0 c n 1 + x
 
olacaktır.
n
T =∑
k =0
1
1
k
x
[Pn,k (x )]2 [Pn,k (x )]2
−
cn 1 + x
seçer ve Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanırsak,
1
 n

T ≤ ∑
k =0
 k
x 


 c − 1+ x 
 n

2
1
2  n
 2
 
Pn,k ( x )  ∑ Pn,k ( x )

 k =0
1
2
  t 2 
2
2x



 t
  x 

≤  An 
An 
; x + 
 ; x −
 An (1; x )
 1 + x  1 + t   1 + x 
  1 + t 

buluruz. O halde;
21
−n


~ ( f ;δ )  1
An ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ ω
1
n 
δn




2 2
 x   n − n − 2n + 1 +

2
 1 + x   2
cn

c
c

n
 n

1
2
n  x 


c n2  1 + x 




+ 1



olur. (3.2)
Burada
1
 x  2  n 2

n
2n
n
x  2
δ n, x (x ) = 
+ 1 +
  2 − 2 −
 c 2 1 + x 
cn
cn
 1 + x   c n
n


seçimiyle,
 n(n − 1) 2n
n
−
+1+ 2
2
cn
cn
 c n
δ n = sup δ n, x = 
x≥0
=



1
2
n
−1
cn
olur ve δ n i (3.2) de kullanarak,
~ ( f ; δ ) → 0 olduğunu söyleyebiliriz.
lim δ n → 0 olduğundan, (3.1.1) v. özelliğinden ω
1
n
n →∞
Yani;
 1

δ n + 1
δn

~ ( f ;δ )
An ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ ω
1
n 
~ ( f ;δ )
An ( f (t ); x ) − f ( x ) ≤ 2ω
1
n
olarak bulunur.
3.3. An Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar Yardımıyla Yaklaşım
Hızı
Bu kısımda, f ∈ ω α , 0 < α ≤ 1 için An operatörlerinin f fonksiyonuna yaklaşım hızını
elde edeceğiz.
22
Teorem 3. 3. 1. f ∈ ω α ve 0 < α ≤ 1 olmak üzere
α
 n

An ( f ; x) − f ( x) C[0,b] = O
− 1 
 cn



olur.
İspat: An ( f ; x ) − f ( x ) =
n
1
(1 + x )n ∑
k =0
n
 k
≤∑ f
b
k =0
 n ,k

 − f (x )


 k
f
b
 n ,k




( )x
n
k
( ) x (1 + x )
n
k
k
k
−
n
1
(1 + x )n ∑
k =0
f (x )
( )x
n
k
k
−n
yazılabilir.
 k
k
t=
seçimiyle f 
b
bn,k
 n,k
n
An ( f ; x ) − f ( x ) ≤ M ∑
k =0
eşitsizliğinde
k
x
−
cn 1 + x
( ) x (1 + x )
n
k
k

 − f (x ) ≤ M k − x

cn 1 + x

α
( ) x (1 + x )
n
k
k
α
olur.
−n
(3.3)
α
n
k
x
−
Pn,k (x )
k =0 c n 1 + x
−n
= Pn, k ( x) ve A = ∑
dersek,
n
A=∑
k =0
p=
2
k
x
−
cn 1 + x
ve q =
α
α
α
[P (x )] [P (x )]
n ,k
2
n ,k
2 −α
α
olup,
2
seçerek Hölder eşitsizliğini uygularsak;
2 −α
α
 k
2
2 −α
x 
 Pn ,k ( x ) [Pn ,k ( x )] 2
A ≤ ∑  −
 k =0  c n 1 + x 

2
n
 n  k
= ∑ 
 k = 0  c n
α



2
 2
 x  k
 x 
Pn ,k ( x ) − 2 
∑ Pn ,k ( x ) + 
 ∑ Pn,k ( x )
 1 + x  k =0 cn
 1 + x  k =0

2 n
n
23
α
2
  t 2 
 2


 x   t
  x 
; x + 
=  An 
 ; x − 2 
 An 
 An (1; x )
1 + x  1 + t  1 + x 

  1 + t 

 x  n(n − 1)  x  n
 x  n  x 
= 
+
+

 2 − 2


2
1
1
+
x
+
x


 cn
 1 + x  cn  1 + x 
cn

2
2
α
22



α
2
 n(n − 1) n
n

2
1
≤
+
−
+

2
2
cn
cn
 c n

=
n
−1
cn
α
olup, bu eşitsizliği (3.3) de kullanırsak;
n
An ( f ; x ) − f ( x ) ≤ M
−1
cn
α
olur ve ispat tamamlanır.
3.4. Balasz Operatörlerinin Peetre-K Fonksiyoneli ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda Balasz operatörlerinin Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla yaklaşım hızı
incelenecektir. Bu nedenle öncelikle Peetre-K fonksiyonelinin tanımını verelim.
Tanım 3.4.1. f ∈ C [a, b] ve δ ≥ 0 olmak üzere ;
K ( f ; δ n ) = inf
2
{ f −g
g∈C [a ,b ]
C [a ,b ]
+ δn g
C 2 [a ,b ]
}
ifadesine Peetre-K fonksiyoneli denir.
Teorem 3.4.1. Eğer f ∈ C [0, b] ise
Rn ( f ; x ) − f ( x )
C [0 ,b ]
≤ 2K ( f ;δ n )
dir.
Öncelikle bu teoremde kullanılmak üzere aşağıdaki lemmayı verelim.
24
Lemma 3.4.2. ( İntegral Bağıntısı ): g ( x ) fonksiyonu [0, b] ⊂ [0, ∞ ) aralığında ikinci
basamaktan sürekli türevlenebilir bir
foksiyon ise ;
t
g (t ) − g (x ) = g ′( x )( x − t ) + ∫ g ′′(s )(t − s )ds
(3.4)
x
eşitliği sağlanır.
İspat: İspatta kısmi integrasyon kullanacağız.
t − s = u ⇒ − ds = du
g ′′(s )ds = dv ⇒ g ′(s ) = v
t
t
t
x
x
x
∫ g ′′(s )(t − s )ds = (t − s )g ′(s ) + ∫ g ′(s )ds
= − (t − x )g ′( x ) + g (s )
t
x
olur. Buradan
t
g (t ) − g ( x ) = g ′( x )( x − t ) + ∫ g ′′(s )(t − s )ds
x
yazılabilir .
Şimdi teoremin ispatına geçelim.
İspat: (Teorem 3.4.1.) Rn operatörü (3.4) integral eşitliğine uygulanırsa;
Rn ( g ; x ) − g ( x ) ≤ ϕ n ,1 ( x ) g ′ +
g
C 2 [0 ,b ]
= g
C [0 ,b ]
+ g′
C [0 ,b ]
1
ϕ n , 2 ( x ) g ′′
2
+ g ′′
(3.5)
C [0 ,b ]
olup bu eşitliğin (3.5) de kullanılmasıyla
1


Rn ( g ; x ) − g ( x ) ≤  ϕ n,1 ( x ) + ϕ n , 2 ( x )  g
2


C 2B
elde edilir. Diğer taraftan;
Rn ( f ; x ) − f ( x ) = Rn ( f ; x ) − f ( x ) + Rn ( g ; x ) − Rn ( g ; x ) + g ( x ) − g ( x )
25
(3.6)
( üçgen eşitsizliğinden )
≤ Rn ( f ; x ) − Rn ( g ; x ) + f ( x ) − g ( x ) + Rn ( g ; x ) − g ( x )
( operatörün lineerliğinden )
≤ f −g
C [0 , b ]
Rn (1; x ) + f − g
C [0 ,b ]
+ Rn ( g ; x ) − g ( x )
( 3. 7 )
olur.
(3.7) de (3.6) nın kullanılmasıyla ;
Rn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2 f − g
C [0 ,b ]
1


+  ϕ n ,1 ( x ) + ϕ n , 2 (x )  g
2


C2
(3.8)
olur.

x∈[0 ,b ] 
δ n = sup δ n ( x ) = sup  ϕ n ,1 ( x ) +
x∈[0 ,b ]
1

ϕ n, 2 (x ) 
2

seçersek, Tanım 2.4 den n → ∞ için δ n → 0 olduğunu söyleyebiliriz.
Bu durumda eşitsizliğimiz;
Rn ( f ; x ) − f ( x ) ≤ 2 f − g
C [0 ,b ]
+δ n g
C[20 , b ]
şeklini alır.
(3.8) ın her iki tarafının g ∈ C [0, b] üzerinden infimumu alınırsa, sol taraf
g den bağımsız olduğundan,
Rn ( f (t ); x ) − f (x )
C 2 [0 ,b ]
≤ 2K ( f ;δ n )
yazılabilir ki bu da ispatı tamamlar.
26
(3.9)
4. BALASZ OPERATÖRLERİNİN TÜREV ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde Balasz operatörlerinin bazı türev özelliklerini, bölünmüş farklar ve fark
operatörleri yardımıyla inceleyeceğiz. Öncelikle bölünmüş farkların tanımını verelim.
4.1. Bölünmüş Farklar
Tanım 4.1.1.
f ( x ) sonlu
[a, b]
kapalı aralığında tanımlanmış bir fonksiyon
ve x0 , x1 , x 2 ,... ler de x0 < x1 < x 2 < ... olacak şekilde bu aralığın keyfi noktaları
olsunlar.
f fonksiyonunun keyfi bir x k ; k = 0,1,2,... noktasındaki değerini [x k ; f ] ile gösterelim.
Yani f ( x ) = [x k ; f ] olsun. Buna f fonksiyonunun sıfırıncı bölünmüş farkı denir.
[x0 , x1 ; f ] = [x0 ; f ] − [x1 ; f ] = f (x0 ) − f (x1 )
x0 − x1
x0 − x1
ifadesine f fonksiyonunun birinci bölünmüş farkı,
[x0 , x1 , x2 ; f ] = [x0 , x1 ; f ] − [x1 , x2 ; f ]
x0 − x 2
=
f (x0 )
f ( x1 )
f (x2 )
+
+
(x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )
ifadesine f fonksiyonunun ikinci bölünmüş farkı,
bu şekilde devam edilirse
[x0 , x1 , x2 ,..., x n ; f ] = [x0 , x1 ,..., xn−1 ; f ] − [x1 , x2 ,..., xn ; f ]
x0 − x n
ifadesine f fonksiyonunun n-yinci bölünmüş farkı denir.
Bölünmüş farklar çoğu problemde türevin yerini tutmaktadır. Gerçekten de ortalama
değer teoremini hatırlayacak olursak;
x0 ≤ ξ 1 ≤ x1 olmak üzere,
f ′(ξ1 ) =
f ( x0 ) − f ( x1 )
x0 − x1
dir. Dolayısıyla [x 0 , x1 ; f ] = f ′(ξ 1 ) dir. Yani birinci bölünmüş fark türevin yerini alır.
27
Benzer şekilde x1 ≤ ξ 2 ≤ x 2 için
[x1 , x2 ; f ] = f ′(ξ 2 )
olup bunları ikinci bölünmüş fark ifadesinde kullanırsak,ortalama değer teoreminden
dolayı x0 ≤ ξ ≤ x 2 olmak üzere
′
′
′
′
[x0 , x1 , x2 ; f ] = f (ξ1 ) − f (ξ 2 ) = f (ξ1 ) − f (ξ 2 ) ξ1 − ξ 2
ξ1 − ξ 2
x0 − x 2
= f ′′(ξ )
x0 − x 2
ξ1 − ξ 2
x0 − x 2
olacaktır. Bu da ikinci bölünmüş fark ile ikinci türevin aynı işaretli olduğunu söyler.
Biliyoruz ki bir fonksiyonun birinci türevinin işareti o fonksiyonun artan ya da azalan
olmasını, ikinci türevinin işareti ise fonksiyonun konveks ya da konkav olmasını
belirler. Dolayısıyla bölünmüş farklar yardımıyla türevi çok zor hesaplanan
fonksiyonların konveks, konkav ya da doğrusal olup olmadıkları hakkına bilgi sahibi
olabiliriz.
4.2. Rn Polinomu İçin Monotonluk ve Konvekslik
f ( x ) , 0 < x < 1 aralığında k- yıncı basamaktan sürekli türevlere sahipse bu durumda
k-yıncı fark formülü
 v  k
k −i
∆k f   = ∑ (− 1)
 bn  i =0
( ) f  vb+ i 
k
i

n

ile ifade edilir.
 v 
∆k f   =
 bn 
 v + k  k  v + k −1
 − (1 ) f 
 + ... + (− 1)k
f 
 bn 
 bn 
 v
f 
 bn



0<x<1 olmak üzere
m ≤ f (k ) ( x ) ≤ M biçiminde olması Rn polinomu için de
m ≤ Rn
(k )
(x ) ≤ M
olmasını gerektirir. Eşitlik yalnızca k=1 için mümkündür.
Özel durumda f (k ) ( x ) ≥ 0 olması Rn
(k )
(x ) ≥ 0 olmasını gerektirir.
28
Şimdi burada k=1,2 için bakalım
d
Rn ( f ; x ) =
dx
k
f  
∑
k =0  bn 
( )ka (a x) (1 + a x) − ∑ f  bk ( )(a x) na (1 + a x)
n
k −1
n
k
n
n
n
k 
∑ f  b ( )(a x ) (1 + a x )
k =0

n
n
k 
= ∑ f  
k = 0  bn 
k
n
k

n
( )(a x ) (1 + a x )
k
n
k
n
−n
n
( )(a x ) (1 + a x )
−n
n −1
k 
+ ∑ f  
k = 0  bn 
( )(a x ) (1 + a x )
−n
k
n
k
n
n
k
n
k
n
n −1
 k + 1

= na n ∑ f 
k = 0  bn 
−n
n
n
k 
= ∑ f  
k =1  bn 
n
n −1
k
k
a n x(1 + a n x )
(n − k )
an
n −1
k
k =0

n

n −1
k
k
n
k
n
−n−1
n
( k=0 için ilk terim 0 olur. )
n −1
k 
− na n ∑ f  
k = 0  bn 
( )(a x ) (1 + a x )
k 
∑ ∆f  b ( )(a x ) (1 + a x )
n −1
− n −1
n



n
( k=n için son terim 0 olur. )
(1 + an x )
k
k
f 
 bn

k
n
 k − (n − k )a n x 
an 

 a n x(1 + a n x ) 
an
n
n
n
k
 k
n 
an 
−

 an x 1 + an x 
( )(a x ) (1 + a x )
n −1 
 k +1
 −
= na n ∑  f 
k = 0   bn 
= na n

k =0
n
=
n
−n
n
− n −1
( )(a x ) (1 + a x )
n −1
k
k
n
− n −1
n
(4.1)
− n −1
n
olup,
d
Rn ( f ; x ) = na n
dx
k 
∑ ∆f  b ( )(a x ) (1 + a x )
n −1
k =0

n

n −1
k
k
n
n
29
− n −1
(4.2)
′
eşitliğinden görülmektedir ki f(x) monoton azalmayan ise Rn ( x ) ≥ 0 olur. Bu ifade f nin
artan olması durumunda Rn polinomunun da artan olduğunu söyler.
Eğer f(x) konveks ise ikinci fark pozitif yani;
 v 
∆2 f   =
 bn 
v+ 2
 v +1
 − 2 f 
 +
f 
b
b
 n 
 n 
 v
f 
 bn

 ≥ 0

olup,
n−2
 v
″
Rn ( x ) = n(n − 1)a n ∑ ∆2 f 
v=0
 bn



( )(a x ) (1 − a x )
n−2
v
v
n
−n
n
″
Rn ( x ) ≥ 0 dır.
Aynı şekilde devam edilirse
n−k
dk
k
−n−k
(
)
(
)
(
)
(
R
f
)(
x
)
=
n
n
−
1
...
n
−
k
+
1
a
1
+
a
x
∆k
∑
n
n
n
dx k
v =0
 v
f 
 bn



( )(a x )
n−k
v
v
n
olarak bulunur.
Teorem 4.2.1. f ∈ C [0, b] ise Rn operatörleri monotonluk şartlarını sağlar.
 k k + 1
İspat: f ∈ C [0, b] ise f ∈ C  ,
 dir.
 bn bn 
(4 .1) den
k +1
n −1
d
Rn ( f ; x ) = na n ∑ ∫ kbn f ′(ξ )dξ
dx
k = 0 bn
( )(a x ) (1 + a x )
n −1
k
k
n
− n −1
n
yazabiliriz.
f ′( x ) ≥ 0 için
k +1
bn
k
bn
∫
f ′(ξ )dξ ≥ 0 olduğundan, f ′( x ) ≥ 0 için
d
Rn ( f ; x ) ≥ 0
dx
f ′(ξ )dξ ≤ 0 olduğundan, f ′( x ) ≤ 0 için
d
Rn ( f ; x ) ≤ 0
dx
olur. Aynı şekilde ,
f ′( x ) ≤ 0 için
k +1
bn
k
bn
∫
olur ki bu da Rn operatörünün monoton olduğunu gösterir.
30
4.3. Balasz Operatörlerinin Sınırlı Salınımlılığı
Teorem 4.3.1. Eğer f sınırlı salınımlı ise bu taktirde Balasz operatörleri için
∞
Vn (Rn ( f ; x )) = ∫
0
d
(Rn f )(x ) dx < ∞
dx
olur.
: f sınırlı
İspat
∞
Vn (Rn ( f ; x )) = ∫
0
salınımlı
n −1
k
V ( f ) = ∑ ∆f 
k =0
 bn
ise

 < ∞

d
(Rn f )(x ) dx ≤ V ( f )
dx
dur.
Dolayısıyla
(4.3)
olduğunu göstermemiz yeterli olacaktır.
Şimdi (4.2) yi (4.3) de yerine yazalım.
∞
n −1
k
Vn (Rn ( f ; x )) = ∫ na n ∑ ∆f 
k =0
 bn
0
n −1
k
≤ ∑ ∆f 
k =0
 bn
∞
∫ (a x ) (1 + a x )
k
n
− n −1
n
dx

 na n




( )(a x ) (1 + a x )
n −1
k
k
n
∞
( )∫ (a x ) (1 + a x )
n −1
k
− n −1
n
k
n
n
− n −1
dx
dx
0
integralini I olarak adlandırıp ,
0
∞
β (α , δ ) = ∫
0
β (α , δ ) =
u α −1
(1 + u )α +δ
Γ(α )Γ(δ )
Γ(α + δ )
du
fonksiyonu cinsinden yazıp ,
eşitliğinden de faydalanarak,
31
(4.4)
I= β (1 + k , n − k ) =
1 Γ(1 + k )Γ(n − k ) 1 k!(n − k − 1)!
=
an
an
n!
Γ(n + 1)
buluruz. Şimdi I yı (4.4) de kullanırsak ;
n −1
k
Vn (Rn ( f ; x )) ≤ ∑ ∆f 
k =0
 bn

 = V ( f )

bulunur ki bu da istenendir.
32
KAYNAKLAR
Agratini, O. 2002. On approximation properties of Balasz-Szabados operators and
their Kantorovich extensions. Korean J. Comput. Appl. Math, 9 ; 361-372.
Altomare, F. and Campiti, M. 1994. “ Korovkin-Type Approximation Theory and Its
Applications”. de Gruyter Series Studies in Mathematics, Vol. 17,Walter de
Gruyter, Berlin-New York.
Balasz, C.1975. Approximation by Bernstein type rational functions. Acta Math.
Acad. Sci. Hungar,26; 123-134.
Balasz, C. and Szabados, J. 1982. Approximation By Bernstein type rational functions
II. Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 40; 331-337.
Bleimann, G. Butzer, P. L. and Hahn, L. 1982. A Bernstein-type operator
approximating continous on semi-axis. Math. Proc, 83; 255-262.
Doğru, O. 2002. On Bleimann, Butzer and Hahn type generalization of Balasz
operators. Studia Math , 4; 37-45.
Gadjiev, A. D. and Çakar, Ö. 1999. On uniform approximations by Bleimann,Butzer
and Hahn operators on all positive semi-axis. Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser.
Phys. Tech. Math. Sci, 19 ;21-26.
Hacısalihoğlu, H. H. ve Hacıyev, A. 1995. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin
Yakınsaklığı, Ankara.
Hermann, T. 1990. On the operator of Bleimann, Butzer and Hahn. Colloq. Math. Soc.
Janos Bolyai, 58. Approx. Th, Kecskemét (Hungary); 355-360.
İspir, N. and Atakut, Ç. 2001. Approximation by Balasz type rational functions in
weighted spaces. Hadjonic J, 24 ;301-315.
Korovkin,P. P. 1960. Linear Operators and Approximation Theory, Delhi.
Lorentz, G.G. 1953. Bernstein Polynomials, Toronto.
Totik, V. 1984. Saturation for Bernstein type rational functions, Acta Math Acad Sci
Hungar, 43; 219-250.
33
ÖZGEÇMİŞ
1979 yılında İskenderun’da doğdu. İlk,orta ve lise öğrenimini İskenderun’da
tamamladı. 1998 yılında Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümünde
lisans öğrenimine başladı. 2002 yılında bölümden mezun oldu. Şubat 2003 de Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında başladığı yüksek
lisans öğrenimine devam etmektedir.
34