Untitled

q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN BİR GENELLEŞMESİNİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Pelin KARATAŞLI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2015
Pelin KARATAŞLI tarafından hazırlanan “ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN
BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri
tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS
TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Prof. Dr. Ogün DOĞRU
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
...…………………
Başkan : Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
…………………...
Üye : Prof. Dr. Oktay DUMAN
Matematik Anabilim Dalı, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
Tez Savunma Tarihi:
…………………...
05/02/2015
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine
getirdiğini onaylıyorum.
…………………….…….
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak
hazırladığım bu tez çalışmasında;

Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar
çerçevesinde elde ettiğimi,

Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,

Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak
gösterdiğimi,

Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan
ederim.
Pelin KARATAŞLI
05/02/2015
iv
q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN BİR GENELLEŞMESİNİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Pelin KARATAŞLI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Şubat 2015
ÖZET
q-Balazs-Szabados operatörlerinin bir genelleşmesinin yaklaşım özelliklerinin incelendiği
bu tezde ilk olarak Korovkin teoremi ispatlanmış; Balazs ve Balazs-Szabados
operatörlerinin tanımı verilmiş; bazı özellikleri incelenerek Balazs-Szabados
operatörlerinin q analoğu ve ilgili bazı kavramlar tanıtılmıştır. Daha sonra ise Korovkin
teoremi yardımıyla q-Balazs-Szabados operatörlerinin Korovkin tip yaklaşım özellikleri
incelenmiş; süreklilik modülünün tanımı ve özellikleri verilerek süreklilik modülü yardımı
ile q-Balazs-Szabados operatörünün yaklaşım hızı elde edilmiştir. Ayrıca Volkov
teoreminin yardımıyla iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörleri tanıtılarak q-BalazsSzabados operatörlerinin özellikleri incelenmiştir. Son olarak ise iki değişkenli süreklilik
modülü yardımıyla iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörlerinin yaklaşım özellikleri
incelenmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler : Lineer pozitif operatörler, Korovkin tipli teoremler, süreklilik
modülü, q-serileri, q-Balazs-Szabados operatörleri
Sayfa Adedi
: 33
Danışman
: Prof. Dr. Ogün DOĞRU
v
APPROXIMATION PROPERTIES OF A GENERALIZATION OF
q-BALAZS SZABADOS OPERATORS
(M. Sc. Thesis)
Pelin KARATAŞLI
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
February 2015
ABSTRACT
This thesis in which a generalization of q-Balazs-Szabados operators is introduced and the
approximation properties of these operators are investigated, first of all, Korovkin theorem
is proved; definitions of Balazs and Balazs-Szabados operators are given, some properties
of these operators are investigated and q-analogue of Balazs Szabados operators and some
related concepts are introduced. After that, Korovkin type approximation properties of qBalazs-Szabados operators are investigated via Korovkin theorem; the definition of
modulus of continuity and some features of it are given and rate of convergence of qBalazs-Szabados operators are obtained via modulus of continuity. Moreover, twovariable q-Balazs-Szabados operators are defined and some properties of them are
investigated via Volkov theorem. Finally, approximation properties of bivariate q-BalazsSzabados operators are investigated via modulus of continuity.
Science Code
Key Words
Page Number
Supervisor
: 204.1.138
: Linear positive operators, Korovkin type theorems, modulus of
continuity, q-serials, q-Balazsa-Szabados operators
: 33
: Prof. Dr. Ogün DOĞRU
vi
TEŞEKKÜR
Bu tezi hazırlama sürecinde beni her aşamasında yönlendiren, sabırla ilgilenen,saygıdeğer
hocam , Sayın Prof. Dr. Ogün DOĞRU ‘ ya en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ..............................................................................................................................
iv
ABSTRACT ....................................................................................................................
v
TEŞEKKÜR ....................................................................................................................
vi
İÇİNDEKİLER ..............................................................................................................
vii
SİMGELER VE KISALTMALAR................................................................................. viii
1. GİRİŞ........................................................................................................................
1
2. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ………………………………
9
3. KOROVKİN TİP YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ .......................................... 11
4. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRÜNÜN SÜREKLİLİK
MODÜLÜ İLE YAKLAŞIM HIZI ...................................................................
15
5. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ...........
21
6. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNIN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ..............................................................................
25
KAYNAKLAR…………………………………………………………………………
31
ÖZGEÇMİŞ………………………………..………………………………………
33
viii
SİMGELER KISALTMALAR
Aşağıda bu çalışmada kullanılmış simgeler açıklamalarıyla sunulmuştur.
Simgeler
Açıklamalar
[a,b] aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı
‖ ‖
C[a,b] uzayındaki norm
( f n ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması
Balazs Operatörü
Balazs-Szabados Operatörü
q-Balazs-Szabados Operatörü
f nin süreklilik modülü
iki değişkenli q-Balazs-Szabados Operatörü
1
1. GİRİŞ
Bu bölümde lineer pozitif operatör tanımı yapılarak temel bazı teoremler ispat edilecektir.
Ayrıca sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanım ve teoremler verilecektir.
Temel Kavramlar
Tanım
X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun.
T : X  Y şeklinde tanımlanan dönüşümlere operatör adı verilir.
Tanım
X ve Y iki fonksiyon uzayı olmak üzere T : X  Y operatörü
α,β
ve
f,g
X için
T ( f   g )  T ( f )  T ( g )
eşitliğini sağlıyorsa T operatörüne lineer operatör denir.
Tanım
f bir fonksiyon
ve T bir operatör olmak üzere
f  0 iken T ( f )  0
sağlanıyorsa T operatörüne pozitif operatör denir.
Tanım
Bir [a,b] kapalı aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli fonksiyonlardan oluşan
kümeye [a,b] aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı denir ve C[a,b] ile gösterilir. Bu
uzaydaki norm
f
C a ,b
 max f ( x)
a xb
biçiminde tanımlanır.
2
Tanım
Her x [a,b] için
lim f n ()  f ()  lim max f n ( x)  f ( x)  0
n
n  a  x b
koşulu sağlanıyorsa ( f n ) fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna C[a,b] normunda düzgün
yakınsaktır denir ve f n
f ile gösterilir.
Tanım
T : X  Y şeklinde tanımlı T operatörü verilsin. Eğer
T( f ) Y  M f
f  X için
X
olacak şekilde bir M>0 sayısı varsa T ye sınırlı operatör adı verilir.
Teorem(Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)
de herhangi x  ( x1, x2 ,..., xn ), y  ( y1, y2 ,..., yn ) iki nokta verilmiş olsun. Bu durumda
n

i 1
xi yi 
n

i 1
xi
2
n
.
y
i 1
2
i
eşitsizliği vadır.
Teorem(Korovkin Teoremi)[1]
C[a,b] ve tüm reel eksende
f ( x)  M f
(1.1)
olsun.
Eğer (
i.
ii.
iii.
) lineer pozitif operatör dizisi her x [a,b] için
(1,x) 1
(t,x) x
( ,x)
3
şartları sağlanıyorsa bu durumda her f
(f;x)
C[a,b] için [a,b] de
f(x) dir.
İspat
C[a,b] olsun. Sürekli fonksiyonların tanımı gereği her pozitif
Kabul edelim ki, f
sayısına karşılık öyle bir  ( ) sayısı bulunabilir ki t  x   iken f (t )  f ( x)   olur.
(1.1) ve üçgen eşitsizliğinden
f (t )  f ( x)  f (t )  f ( x)  2M f
(1.2)
yazabiliriz.
Eğer
t  x   ise
(t  x)2
tx

 1 olacağından
1
2
(1.3)
sağlanır.
(1.2) ve (1.3) den ise
f (t )  f ( x)  2M f
(t  x)2
2
yazabiliriz.
O halde
|t-x|≤
|t-x|>
için |f(t)-f(x)|<
için f (t )  f ( x)  2M f
(t  x)2
2
dir.
Dolayısıyla her x,t [a,b] için
f (t )  f ( x)    2M f
(t  x)2
2
(1.4)
sağlanır.
Eğer (i), (ii), (iii) koşulanlını sağlayan ( Ln ) operatör dizisinin lim Ln ( f )  f Ca ,b  0
n
4
eşitliğini sağladığını gösterirsek ispat tamamlanmış olur. Şimdi bunu gösterelim.
Lineerlikten;
Ln ( f (t ); x)  f ( x)  Ln ( f (t ); x)  f ( x)  Ln ( f ( x); x)  Ln ( f ( x); x)
= Ln ( f (t ); x)  Ln ( f ( x); x)  Ln ( f ( x); x)  f ( x)
= Ln ( f (t )  f ( x); x)  f ( x)( Ln (1; x) 1)
yazabiliriz.
Üçgen eşitsizliğinden;
Ln ( f (t ); x)  f ( x)  Ln ( f (t )  f ( x); x)  f ( x) Ln (1; x) 1
(1.5)
elde edilir.
Diğer taraftan lineer pozitif operatörler monoton artan ve
f (t )  f ( x)  f (t )  f ( x) olduğundan
Ln ( f (t )  f ( x); x)  Ln ( f (t )  f ( x) ; x) dir. O halde (1.1) yardımıyla (1.5) eşitsizliği
Ln ( f (t )  f ( x); x)  Ln ( f (t )  f ( x) ; x)  M f Ln (1; x) 1 olur.
( Ln ) monoton artan olduğundan (1.4) den dolayı
Ln ( f (t ); x)  f ( x)  Ln (  2
Mf
2
(t  x) 2 ; x)  M f Ln (1; x)  1
(1.6)
olur.
Diğer taraftan ( Ln ) lineer ve pozitif olduğundan
Ln (  2
Mf

2
(t  x) 2 ; x) = Ln ( ; x)  Ln (2
Mf

=  Ln (1; x)  2
Mf
=  Ln (1; x)  2
Mf
=  Ln (1; x)  2
Mf
=  Ln (1; x)  2
Mf
2
2


2
2
2
(t  x) 2 ; x)
Ln (t 2  2tx  x 2 ; x)
L (t ; x)  x
2
 x 2  2 x 2  2 xLn (t; x)  x 2 Ln (1; x)
L (t ; x)  x
2
 2 x 2  2 xLn (t; x)  x 2 Ln (1; x)  x 2 
2
n
2
n
{( Ln (t 2 ; x)  x 2 )
5
2 x( x  Ln (t; x))  x2 ( Ln (1; x) 1)}
yazılabilir. Bu ifade (1.7) de kullanılacak olursa
Ln ( f (t ); x)  f ( x)   Ln (1, x)  2
Mf
2
{( Ln (t 2 ; x)  x 2 )  2 x( x  Ln (t; x))  x 2 ( Ln (1; x)  1)}
 M f Ln (1; x)  1
(1.8)
elde edilir.
(i), (ii), (iii) koşulları (1.8) de kullanılırsa


Ln ( f (t ); x)  f ( x)   sağlanır. O halde Ln ( f )  f  lim max Ln ( f ; x)  f ( x)  0
n
olur ve böylece ispat tamamlanır.
Tanım
ve
pozitif sayılar, x≥0, n
1
 Rn f  x  
(1  an x)n
n
olmak üzere
k n
 f ( b )  k (a x)
k 0
n
 
k
n
operatörüne Balazs Operatörü denir. [4]
Teorem[4]
(x)=
, i=0, 1, 2 olmak üzere
i) ( Rn e0 )( x)  1
ii) ( Rn e1 )( x) 
n an x
bn 1  an x
2
n(n  1)  an x 
n an x
iii) ( Rn e2 )( x) 

  2
2
bn  1  an x  bn 1  an x
sağlanır.
İspat
a xb
6
=
n
n
1
i)  Rn e0  x  
(1  an x)n
  k (a x)
k 0
k
n
 
1
(1  an x)n
n
(1  an x)
=1
k n
k
 (an x)
k
n  
n
ii)  Rn e1  x  =
1
(1  an x)n
b
=
1
(1  an x)n
b
=
1
(1  an x)n

k 1  n 
k 1

 (an x)
k  0 bn  k  1
=
an x
(1  an x)n
k 1
n!
.
(an x)k
(k  1)! n  k  1!
k  0 bn
=
an x
n
.
bn (1  an x)n
k 0
k n
k
  (an x)
n k 
n
k 1
n 1
n 1

(n  1)!
n 1
 k ! n  k  1!(a x)
k 0
=
an x
n
.
.(1  an x)n 1
bn (1  an x) n
=
n an x
.
bn 1  an x
1
iii)  Rn e2  x  =
(1  an x)n

1
(1  an x)n
k
n
k2  n
(an x)k

2  
k  0 bn  k 
n
n
k
b
k 1
n
2
n!
(an x)k
(k  1)! n  k !
=
n
 n

1
n!
n!
(an x)k  
(an x) k 
n 
bn (1  an x)  k 2 (k  2)! n  k !
k 1 ( k  1)! n  k !

=
n 1
 n2 n.(n  1).(n  2)!

1
n.(n  1)!
k 2
(
a
x
)

(an x)k 1 



n
2
n
bn (1  an x)  k 0 k !.  n  2  k !
k  0 k ! n  1  k  !

=
1
2
bn (1  an x)n
2
n2 n  2
n 1 n  1


2
k
n
.(
n

1).(
a
x
)
(
)(
a
x
)

n
.(
a
x
).
(
)(an x) k 


n
n
n

k
k
k 0
k 0


2
n(n  1)  an x 
n an x
=

  2
2
bn  1  an x  bn 1  an x
7
Şimdi
an k  bn,k  cn ve n   için
n
1
cn
(1.9)
olmak üzere [3] de O. Doğru tarafından tanımlanan
 An f  x  
1
(1  an x)n
n
k n
)   (an x)k , x  0 ,
n,k  k 
 f (b
k 0
(1.10)
lineer pozitif operatörünü göz önüne alalım. Eğer her n ve k için an  1 , bn,k  n  k  1
seçersek cn  n  1 olur. Bu seçimler (1.9) şartını sağlar. Bu seçimle (1.10) operatörü
Bleimann, Butzer ve Hahn operatörüne dönüşür. Böylelikle bu operatöre Balazs
operatörünün Bleimann, Butzer ve Hahn operatör tipli bir genelleşmesi denir.
[5] de K. Balazs ve J. Szabados aşağıdaki lineer pozitif operatörü tanımlamıştır.
Rn  ( f ; x) 

Burada
0 
1
(1  n  1 x)n
n
k n
 f ( n  )  k  (n 
k 0
1
 
an  n 1 , bn  n , n  1, 2,3,...,
x) k , x  0
olup ve yakınsaklığın sağlanması için
2
olmalıdır. Bu operatöre Balazs-Szabados operatörü denir.
3
8
9
2. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ
Bu bölümde Balazs-Szabados operatörlerinin q analoğu
tanıtılacaktır. Öncelikle bu
kısımda kullanılacak kavramları hatırlatalım.
2.1 Tanım
q>0 için
 r q
1  q r
; q 1

(1  q)


r
; q=1
 r   r  1q ...1q
 r q !   q


1
,
; r  1, 2,...
;r0
,
 nq !
n
 r   r ! n  r ! , r  0,1, 2...n
q
  q  q 
dir.
[2] de O. Doğru tarafından q-Balazs-Szabados operatörü
Rn

 f ; q; x  
 k q k ( k21)  n 
 1
k
)q

 k  ( n q x)
 1

x) k 0  nq
 q
n , q ( n q
n
1
f(
şeklinde tanımlanmıştır. Bu tezde q  (qn ) dizisi alarak bu operatörü
0 
1
,
2
lim qn  1 , lim[n]qn  0 koşulları altındaki yakınsaklık özelliklerini inceleyeceğiz.
n 
n 
Burada x  0 ve
n 1
s
n , q ( x)   (1  q x) dir.
s 0
Bu operatör lineer pozitif operatördür ve q=1 alındığına klasik Balazs-Szabados
operatörüne dönüşür.
10
11
3. KOROVKİN TİP YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Şimdi O. Doğru tarafından [2] de ispatlanan lemmaları hatırlatalım.
3.1 Lemma[2]
q-Balazs-Szabados operatörleri için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.
i) Rn

 e0 ; q; x   1
ii) Rn    e1 ; q; x  
x
1   nq x
 1
 n  1q
x2q2
 nq (1   nq 1 x)(1   nq 1 qx)
iii) Rn    e2 ; q; x  
İspat
i) Rn

n
1
 e0 ; q; x  =
( nq x) k 0
 1
n,q
n 1
n
( x)   (1  q x)   q
k
n,q
q
k ( k 1)
2
k 0
k 0
k ( k 1)
2
n
 1
k
 k  ( nq x)
 q
n k
k  x
 q
olup [7,syf 293] x yerine  n q x alınmasıyla
 1
Rn

 e0 ; q; x   1 bulunur.
ii) Rn    e1 ; q; x  
=
 k q k ( k21)  n 
 1
k
q

 k  ( nq x)
 1

x) k 1  nq
 q
n , q ( n q
1
n
 k  1q k ( k21)  n 
 1
k 1
q

 k  1 ( nq x)
 1

x) k 0  nq

q
n , q ( n q
1
n 1
12
=
 k  1q k ( k21)
 nq !
 1
 1
q
 nq x( nq x)k

 1

 k  1q ! n  k  1q !
x) k 0  nq
n , q ( n q
=
( nq x) k 0
n 1
( nq
q
x)
 n  1q !
 1
x( n q x)k
 k q ! n  k  1q !
k 2  k k  k
2
k 0
n 1
q
( nq x) k 0
 1
n,q
k ( k 1)
2
q
x
=
iii) Rn
n 1
 1
n,q
 
1
x
=
=
n 1
 1
n,q
=
1
k ( k 1)
2
 n  1
 1
k
 k  ( nq qx)

q
n 1
x
(1   nq x)(
 n  1
 1
k
 k  ( nq x)

q
 1
( nq
 1
n 1, q
q
qx))
k 0
k ( k 1)
2
 n  1
 1
k
 k  ( nq qx)

q
x
1   nq x
 1
 e2 ; q; x  
 k q k ( k21)  n   1 k
q

 k  ( nq x)
 1
2
(
n
x
)
n
k

1
 q




n,q
q
q
2
n
1
=
 k q k ( k21)  nq !
 1
q
( nq x)k

 1
2
 k q ! n  k q !
x) k 1  nq
n , q ( n q
=
 k q k ( k21)
 nq !
 1
q
( nq x)k

 1
2
 k  1q ! n  k q !
x) k 1  nq
n , q ( n q
n
1
=
1
n
1
n

( nq x) k 2
 1
n,q
2
q  k  1q
 nq
2
q
k ( k 1)
2
 nq !
 1
( nq x)k
 k  1q ! n  k q !
13
n
1

n,q
( nq
( nq
 1
n,q
k 1
n2
1
=


x)
 1

x)
k 0
1
q
 nq
2
q
 nq
2
q
k ( k 1)
2
 nq !
 1
( nq x)k
 k  1q ! n  k q !
( k  2)( k 1)
2
 nq !
 k q ! n  k  2q !
( nq x)k  2
 1
 k q k ( k21)  n 
 1
k
q

 k  ( nq x)
 1


x) k 1  nq  n q
 q
n , q ( n q
n
1
 nq  n  1q q ( nq x)2 n2 ( k 2)(2 k 1) n  2
 1
k
=
q

 k  ( nq x)
2
 1
x) k 0

q
 nq
n , q ( n q
 1
x
+
1
 nq 1   nq

 1
x
 nq  n  1q q  nq x 2 n2 2k 1 k ( k21) n  2
 1
k
=
. q q
 k  ( nq x)
2
 1
x) k 0


 nq
n , q ( n q
2  2

1
 nq 1   nq

 1
 nq  n  1q
2
 nq
=

=
x
x
x
x2q2
( nq x)
 1
n,q
n2
. q
k 0
k ( k 1)
2
n  2
 1 2
k
 k  ( nq q x)


1
 nq 1   nq

 1
x
 nq  n  1q
x2q2
.
2
 1
 1
 nq (1   nq x)(1  q  nq x)
n2
 q
k 0
k ( k 1)
2
1
( n q q 2 x)
 1
n  2, q
n  2
 1 2
x
1
k
 k  ( nq q x)  
 1


 nq 1   nq x
14

 n  1q
x2q2
 nq (1   nq 1 x)(1   nq 1 qx)
elde edilir ve ispat tamamlanır.
15
4. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRÜNÜN SÜREKLİLİK
MODÜLÜ İLE YAKLAŞIM HIZI
f [0,∞) da düzgün sürekli ve sınırlı fonksiyon olmak üzere f nin süreklilik modülü
 ( f ;  ) : sup f (t )  f ( x) dir.
x ,t  0
t  x 
Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i)  ( f ;  )  0
ii) 1   2 ise  ( f ; 1 )   ( f ;  2 )
iii)
için ( f ; m )  m( f ;  )
iv)
için ( f ;  )  (  1)( f ;  )
v) lim  ( f ;  )  0
 0
vi) f (t )  f ( x)  ( f ; t  x )
 tx

 1  ( f ;  )
vii) f (t )  f ( x)  
 

İspat
i)Tanım gereğince mutlak değerin supremumu 0 a eşit ya da daha büyüktür.
ii) 1   2 için t  x   2 kümesinin t  x  1 kümesini kapsadığı aşikardır. Bölge
büyüdükçe alınan supremum artacağından ispat açıktır.
16
iii)Süreklilik modülünün tanımı gereğince
 ( f ; m )  sup f (t )  f ( x)
x ,t  0
t  x  m
yazabiliriz.
t  x  m  x  m  t  x  m olup,
t  x  mh seçimiyle h   ve  ( f ; m )  sup f ( x  mh)  f ( x)
şeklinde yazabiliriz.
x ,t  0
h 
Diğer taraftan
m 1
sup f ( x  mh)  f ( x)  sup  f ( x  (k  1)h)  f ( x  kh)
x ,t  0
h 
x ,t  0 k  0
h 
olup sağ tarafa üçgen eşitsizliği uygulanırsa
m 1
sup f ( x  mh)  f ( x)   sup | f ( x  (k  1)h)  f ( x  kh) |
x ,t  0
h 
k  0 x ,t  0
h 
 ( f ;  )  ...  ( f ;  )
bulunur. Buradan
( f ; m )  m( f ;  )
elde edilir.
iv)⟦ ⟧ ile
⟦ ⟧
sayısının tam değerini gösterirsek
⟦ ⟧ +1
ifadesinin doğruluğu aşikardır. Bu eşitsizlik ve (ii) özelliği kullanılırsa
⟦ ⟧
eşitsizliği yazılabilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafına (iii) özelliği
uygulanırsa
⟦ ⟧
⟦ ⟧
⟦ ⟧
elde edilir. Ayrıca her
için
eşitsizliğinden dolayı
⟦ ⟧
eşitsizliği geçerli olur.
v) t  x   eşitsizliğinde   0 olması t  x olması anlamına gelir. f fonksiyonu düzgün
sürekli olduğundan t  x için
f (t )  f ( x)  0 olması ispatı bitirir.
17
vi)  ( f ;  ) ifadesinde   t  x seçilirse
 ( f ; t  x )  sup f (t )  f ( x) elde edilir. O halde
x ,t  0
f (t )  f ( x)  sup f (t )  f ( x) olduğu göz önüne alınırsa ispat biter.
x ,t  0
vii) (vi) özelliğinden dolayı
f (t )  f ( x)   ( f ;
f (t )  f ( x)  (
|t  x|

|t  x|

 ) yazılabilir. Bu eşitsizlikte (iv) özelliği kullanılırsa
 1) ( f ;  ) olur.
4.1 Lemma[2]
, x≥0 için
Her n
Rn
 (e  x ) ; q ; x  

1
2
1
(1   nq x)(1   nq qn x)
n
 1
 1
n
n
(qn  1) x 2
+  nq x  (1  qn )  nq x3   nq

 1
n
n
2  2
n
qn x 4 

sağlanır.
İspat
Rn
=

 (e  x) ; q ; x   R    e ; q ; x   2xR    e ; q ; x   x R    e ; q ; x 

2
1
 n  1q
 nq
n
n
n
n
 nq  n  1q
n
x 2 qn 2
2
n
(1   nq x)(1   nq qn x)
 1
 1
=

n
n
 1
n

1
1
n
x
 nq

n

2
n
n
0
2 x2

1   nq x 1   n q x
 1
 1
n
n
x 2 qn 2  x  x 2  n q qn  2 x 2  n q  2 x3  n q  n q qn
 1
 nq

n
n

n
(1   nq x)(1   nq qn x)
 1
 1
n
n

n
 1
n
n
 x2
18
( x 2  nq  x3  nq


 nq

n
x 4  nq
3 2

n
qn  x3 (  nq
2  1
n
2  1
n
2  2

n
)(1   nq qn x)
 1
n
(1   nq x)(1   n q qn x)
 1
 1
n
qn   nq
2  1
n
 nq
n
)  x 2 ( n q
 1
n
 1
n
 1
n
qn2   n q qn   n q )  x
 1

n
n
n
qn  x3 (  nq qn   nq )  x 2 ( n q  n  1q qn2   n q qn  1)  x  n q
 1
 1
1
n
n
n
(1   nq x)(1   nq qn x)
 1
 1
n

 n  1q
(1   nq x)(1   nq qn x)

n
x 4  nq
n
1
n
(1   nq x)(1   n q qn x)
 1
n
n

n
n
n
(qn  1) x 2   nq x  (1  qn )  n q x3   n q
n
n
n

 1
1
 1
2  2
qn x 4 

olur ki bu da ispatı tamamlar.
4.2 Teorem[2]
0 

1
1
olmak üzere (qn ) ; lim qn  1 , lim  nq  0 ve  qn  1 şartlarını sağlayan bir
n
n
n
2
2
dizi olsun. Eğer f  0,   da sürekli bir fonksiyon ise
 
Rn ( f ; qn ; x)  f ( x)  2 ( f ;
x
 nq

)((1  x ) x
1
2(1  )
)
n
sağlanır.
İspat
Bir önceki özelliklerden (vii), Lemma 3.1 ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılırsa
n
1
Rn  ( f ; qn ; x)  f ( x) 

( nq x) k 0
 1
n,q
 | f ( x)  f (
n
 k q

 nq
n
n
) | qn
k ( k 1)
2
n
 1
k
 k  ( n qn x)
  qn
19
x
x
n
n

)qn
n
1
  ( f ;  )(1 
 (1 
( n q x) k 0
 1
n , qn

n
1
 ( f ; )
 k q

 nq

k ( k 1)
2
n
 1
k
 k  ( n qn x)
  qn
Rn ((e1  x)2 ; qn ; x))
seçersek ve Lemma4.1 i kullanırsak
 nq

n
 
Rn ( f ; qn ; x)  f ( x)   ( f ;

2  1
3 2

nq x(qn  1)  1   nq x 2 (1  qn )   n q x3qn 1 

n
n
n
) 1  (
)2 
 1
 1


(1   nq x)(1   n q qn x)
n
n


x
 nq

n
olur.
1
 qn  1 olduğu kullanılırsa
2
 
Rn ( f ; qn ; x)  f ( x)   ( f ;
2  1
3 2

1   nq x 2 (1  qn )   nq x3qn 1 
n
n
) 1  (
)2 
 1
 1


(1   nq x)(1   n q qn x)
n
n


x
 nq

n
2  1
3 2 3 

2
1  qn  n q x
qn  n q 2 x 2 
x 
n
n
 ( f ;
)
2





 1
 1
(1   nq x)
(1   nq qn x) 
 nqn 
n
n


2  1


2 x (1 
q
n
x)


n
x 
qn
 ( f ;
) 2

 1

1   nq qn x
 nqn 

n

 ( f ;
x
 nq

n
1 2 


1
2(1  )
2  1
x


2(1


)
)  2  qn  n q 2 (1  x ) x
 1
n
1   nq qn x 

n

(4.1)
bulunur.
[
Şimdi bir
g ( x) 
x
1 2 
2(1  )
1   n q qn x
 1
n
için Rn  ( f ; qn ; x0 )  f ( x0 ) noktasal yakınsaklığını gösterelim.

alınırsa x0 
1  2 1 
 nqn için g ( x) ’in maximum değerine ulaşırız.
qn
20
Böylelikle
1 2 
2(1  )
(1  2 )
g ( x0 ) 
2(1   )
qn
2  1
2(1  )
1 2 
 nq 2
(4.2)
n
elde edilir.
0 
1 2 
2(1  )
1
2
için
(1  2 )
2(1   )
1
(4.3) olur.
(4.3)’ü (4.2)’de kullanırsak
2  1
1 2 
g ( x0 )  qn2(1  )  nq 2
(4.4)
n
elde edilir.
(4.4)’ü (4.1)’de kullanırsak
 
| Rn ( f ; qn ; x0 )  f ( x0 ) |  ( f ;
x0
 nq

n
 ( f ;
x0
 nq

n
1
2  1
2  1
1 2  

2(1


)
2(1
) 2  qn  n q 2 (1  x0 ) x0
qn   )  n q 2 
n
n


1



2(1 2  ) 2(1  )
)  2  (1  x0 ) x0
qn



(4.5)

2(1  )
n
olur. (4.5)’de q
 1 eşitsizliği göz önüne alındığında ispat tamamlanmış olur.
Sonuç:Bu teorem bize x0 noktasında Rn  ( f ; qn ; x0 ) operatörünün f ( x0 ) fonksiyonuna
noktasal yaklaşım hızını vermektedir.
21
5. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ
Şimdi de q-Balazs-Szabados operatörünün iki değişkenli genelleşmesini tanıtıp, yaklaşım
özelliklerini inceleyelim.
Öncelikle [6] da Volkov tarafından ispatlanan aşağıdaki teoremi verelim.
5.1 Teorem[6]
f ( x, y)  C  a, b; c, d  ve tüm reel eksenlerde f ( x, y)  M f olsun. Ln ( f (t , r ); x, y) lineer
pozitif operatör dizisi için düzgün olarak
i. Ln (1; x, y)
1
ii. Ln (t; x, y)
x
iii. Ln (r; x, y)
y
2
2
iv. Ln (t 2  r 2 ; x, y)
x  y
koşulları
sağlanıyorsa
her
f ( x, y)  C  a, b; c, d 
için
x   a, b  ,
y  c, d 
de
Ln ( f (t , r ); x, y)
 f ( x, y ) olur.
İspat
f ( x, y)  C  a, b; c, d  olduğundan
ε>0 için ∃δ vardır ki
( x, y)  (t , r )  
yani
( x  t )2  ( y  r )2   olduğunda f (t , r )  f ( x, y)   sağlanır.
( x  t )  ( y  r )   olduğunda ise
2
2
f ( x, y)  M f olduğunun
( x  t )2  ( y  r )2
kullanılmasıyla
yazılabilir. O halde her durumda
2
 1 olup,
 ( x  t )2  ( y  r )2 
f (t , r )  f ( x, y)  2M f 

2


22
 ( x  t )2  ( y  r )2 
f (t , r )  f ( x, y)    2M f 

2


 
2M f

 x 2  y 2  2( xt  yr )  t 2  r 2 
2
(5.1)
yazılabilir.
Diğer yandan Ln operatörünün lineerliğinden ve üçgen eşitsizliğinden dolayı
Ln ( f (t , r ); x, y)  f ( x, y)  Ln ( f (t , r )  f ( x, y); x, y)  f ( x, y) Ln (1; x, y) 1
 Ln ( f (t , r )  f ( x, y); x, y)  M f Ln (1; x, y) 1
(5.2)
elde edilir. Ln operatörünün monotonluğundan(lineer ve pozitif olduğundan)
Ln ( f (t , r )  f ( x, y); x, y)  Ln (| f (t , r )  f ( x, y) |; x, y)
(5.3)
yazılabilir. (5.1) in (5.3) de kullanılmasıyla ve lineerlikten
| Ln ( f (t , r )  f ( x, y); x, y) |    ( Ln (1; x, y) 1)  2
Mf
2
[( x 2  y 2 )( Ln (1; x, y) 1)
2 x( Ln (t; x, y)  x)  2 y( Ln (r; x, y)  y)
( Ln (t 2  r 2 ; x, y)  ( x 2  y 2 ))]
(5.4)
yazılabilir. (5.4) ün (5.2) de kullanılmasıyla ve i, ii, iii ve iv koşullarının kullanılmasıyla
| Ln ( f (t , r )  f ( x, y); x, y) |  elde edilir. Bu da ispatı tamamlar.
Öncelikle O. Doğru tarafından [2] de tanımlanan iki değişkenli q-Balazs-Szabados
operatörünü hatırlatalım.
I 2  0, a   0, a  , f  C ( I 2 )
olmak üzere
1
Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) 

1
( n1 q x)
 1
n1 , q1
1
 k1 q  k2 q
  f (
,


k 0 k 0
 n1 q  n2 q
n1
1
( n2 q
 1
n2 , q2
n2
2
1
2
1
2
y)
2
)q1
k1 ( k1 1)
2
q2
k2 ( k2 1)
2
23
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2
1
2
 k1  q1  k2  q2
operatörüne iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörü denir.
5.2.Lemma[2]
i. Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y)  Rn1  ( Rn 2  ( f ; q2 , x, y ))

 x
 y
ii. Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y)  Rn 2  (Rn1  ( f ; q1 , x, y ))

 y
 x
dir.
Burada
Rn1
 x
 f ; q1 , x, y  
 k1 q
f
(

 1

x) k 0  n1 q
n , q ( n1 q
1
Rn2
  y
 f ; q2 , x, y  
n1
1
1
1
1
1
, y)q1
1
 k2 q
f
(
x
,

 1

y ) k 0
 n2 q
n , q ( n2 q
n2
1
2
k1 ( k1 1)
2
2
2
2
2
)q2
 n1 
 1
k1
 k  ( n1 q1 x)
 1  q1
k2 ( k2 1)
2
2
 n2 
 1
k2
 k  ( n2 q2 y)
 2  q2
dir.
İspat
İspatta Barbosu’ nun [8] tekniği kullanılacaktır.
 x
 y
 x
 Rn1  ( f ( x,
2
1

( n1 q x)
k1 ( k1 1)
2
1

2

y)
k2 ( k2 1)
2
f ( x,
k2  0
); q1 , x, y)q2
 q2
( n2 q y ) k2 0
 n1 
 1
k1
 k  ( n1 q1 x)
 1  q1
 Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y)
2
n2
 1
n2 , q2
 k2 q

 n2 q
2
2
1
 1
n1 , q1
 x
( n2 q y) k2 0
 1
n2 , q2
q1
n2
1
( n2 q
 1
n2 , q2

n2
1
i. Rn1  ( Rn 2  ( f ; q2 , x, y ))  Rn1  (
k2 ( k2 1)
2
 k2 q

 n2 q
2
2
)q2
k2 ( k2 1)
2
 n2 
 1
k2
 k  ( n2 q2 y ) )
 2  q2
 n2 
 1
k2
 k  ( n2 q2 y )
 2  q2
n1
 k1 q1  k2 q2
 n2 
 1
k2
(
n
y
)
f
(
 n ,n )
 k   2 q2
k1  0
 1 q1  2 q2
 2  q2
24
  y
 x
 k1 q
f
(

 1

x) k 0  n1 q
n , q ( n1 q
ii. Rn2 ( Rn1 ( f ; q2 , x, y ))  Rn2 (
1

( n1 q
 1
n1 , q1
R
x)
1
k1  0
1

( n1 q x)
k2 ( k2 1)
2
1
n2
 k1 q
(f(

 n1 q
1
1
1
, y ); q2 , x, y)q1
n1
 q1
( n2 q y ) k1 0
2
 n2 
 1
k2
 k  ( n2 q2 y )
 2  q2
1
1
1
 1
n2 , q2
 Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y)

  y
1
 1
n1 , q1
q2
n1
1
n1
1
  y
k1 ( k1 1)
2
k1 ( k1 1)
2
1
, y)q1
k1 ( k1 1)
2
 n1 
 1
k1
 k  ( n1 q1 x) )
 1  q1
 n1 
 1
k1
 k  ( n1 q1 x)
 1  q1
n2
 k1 q1  k2 q2
 n1 
 1
k1
(
n
x
)
f
(


 n ,n )
1 q1
k 
k2  0
 1 q1  2 q2
 1  q1
25
6. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Eğer
lim f n,m  f
C(I 2 )
n , m
f
C(I 2 )
 0 ise { f n,m } dizisi f fonksiyonuna düzgün yakınsar deriz. Burada
 max2 f ( x, y) dir.
( x , y )I
6.1.Lemma[2]
olmak üzere aşağıdakiler sağlanır.
,
i. Rn1 ,n 2 (e00 ; q1 , q2 , x, y)  1

ii. Rn1,n 2 (e10 ; q1 , q2 , x, y ) 
x
1   n1 q x
 1
1
iii. Rn1,n 2 (e01 ; q1 , q2 , x, y ) 
y
1   n2 q
 1
y
2
iv. Rn1 ,n 2 (e20 ; q1 , q2 , x, y) 

 n1  1q
 n1 q
1
(1   n1 q x)(1   n1 q q1 x)
 1
1
 n2  1q
v. Rn ,n (e02 ; q1 , q2 , x, y) 
 n2 q
 
1
2
2
2
x 2 q12
1
 1

1
y 2 q22
2
 1
x
 n1 q
1   n1 q x

 1
1
(1   n2 q y )(1   n2 q q2 y)
 1
1

2
1
1
y
 n2 q

2
1   n2 q y
 1
2
İspat
1
i. Rn1,n 2 (e00 ; q1 , q2 , x, y) 
( n1 q x)
 1
n1 , q1
n1
1
1

( n2 q y) k1 0 k2 0
 1
n2 , q2
n2
2
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2
1
2
 k1  q1  k2  q2
q1
k1 ( k1 1)
2
q2
k2 ( k2 1)
2
26
=1
(Lemma3.1 den)
 k1 q k ( k2 1) k ( k2 1)
0 k0 n  q1 q2
 1
(
n
y
)
k


 1 q
n ,q
2 q
1
ii. Rn1 ,n 2 (e10 ; q1 , q2 , x, y ) 

( n1 q x)
 1
n1 , q1
n1
1
2
1
2
n2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2
1
2
 k1  q1  k2  q2

x
(Lemma3.1 ve Lemma3.2 den)
1   n1 q x
 1
1
1
iii. Rn1 ,n 2 (e01; q1 , q2 , x, y ) 

( n1 q x)
 1
n1 , q1
 k2 q k ( k2 1) k ( k2 1)
0 k0 n  q1 q2
 1
(
n
y
)
k


 2 q
n ,q
2 q
n1
1
1
2
n2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2
1
2
k
k
 1  q1  2  q2

y
1   n2 q
 1
(Lemma3.1 ve Lemma3.2 den)
y
2
1
 
iv. Rn1 ,n2 (e20 ; q1 , q2 , x, y) 
( n1 q x)
 1
n1 , q1
 k1 q k ( k2 1) k ( k2 1)
  2 q1 q2
 1
y ) k 0 k 0  n1 q
n , q ( n2 q
n1
1
1
2
2
n2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2
1
2
 k1  q1  k2  q2

 n1  1q
 n1 q
1
1
x 2 q12
(1   n1 q x)(1   n1 q q1 x)
 1
 1
1
1

1
x
 n1 q

1
1   n1 q x
 1
1
(Lemma3.1 ve Lemma3.3 den)
1
 
v. Rn1 ,n2 (e02 ; q1 , q2 , x, y) 
( n1 q x)
 1
n1 , q1
 k2 q k ( k2 1) k ( k2 1)
  2 q1 q2
 1
y ) k 0 k 0  n2 q
n , q ( n2 q
n1
1
1
2
2
n2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
27
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2
1
2
 k1  q1  k2  q2

 n2  1q
 n2 q
2
2
y 2 q22
(1   n2 q y)(1   n2 q q2 y )
 1
 1
2
2

1
y
 n2 q

2
1   n2 q y
 1
2
Lemma3.1 ve Lemma3.3 den elde edilir.
Şimdi iki değişkenli süreklilik modülünü ve teoremde kullanacağımız özelliğini
hatırlayalım;
f  R I , f : I 2  R ve (1 ,  2 )  R2 için  (1 ,  2 ) süreklilik modülü
2
 (1 ,  2 )  sup{ f ( x, y)  f ( x' , y ' ) ( x, y)  I 2 ,( x ' , y ' )  I 2 , | x  x' | 1 ,| y  y ' |  2 }
şeklindedir. Burada süreklilik modülü monoton artan fonksiyondur. Yani
(1 ,  2 )  R2 , (1' ,  2' )  R2 , 1  1' ve  2   2' ise  (1 ,  2 )   (1' ,  2' ) dir.
6.2.Teorem
Her
f : I2  R
fonksiyonu için
 ( f , 1 ,  2 )
iki değişkenli q-Balazs-Szabados
operatörünün süreklilik modülü olmak üzere
1
2



| Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y )  f ( x, y ) |  Rn1  ((e1  x) 2 ; q1 , x) Rn 2  ((e1  y) 2 ; q2 , y)  ( f ,
1
 n1 q

1
,
1
 n2 q
dir.
İspat
| Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y)  f ( x, y) |

1
|
( n1 q x)
 1
n1 , q1
n1
1
1
 (f (
( n2 q y) k1 0 k2 0
 1
n2 , q2
n2
2
n  n 
 1
 1
  1   2  ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 |
1
2
 k1  q1  k2  q2
sağlanır.
Süreklilik modülünün monotonluğundan
 k1 q  k2 q
,


 n1 q  n2 q
1
2
1
2
)  f ( x, y))q1
k1 ( k1 1)
2
q2
k2 ( k2 1)
2
(6.1)

2
)
28
| f(
 k1 q  k2 q
,


 n1 q  n2 q
)  f ( x, y) |  ( f ,|
 k1 q

 n1 q
 n1 q
 (|
1
2
1
2
1
x|
 k1 q

 n1 q
 k2 q

 n2 q
 x |,|
1
2
1

 1)(|
1
1
 k2 q

 n2 q
2
2
 n2 q

 y|
 y |)
1
 1) ( f ,
 n1 q
,

2
2
1
1
 n2 q

)
(6.2)
2
olup, (6.2), (6.1) de yerine yazılırsa
1
| Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y)  f ( x, y) |  (

1
,
 n1 q

 n2 q

1
n1
n2
  (|
k1  0 k2  0
q1
1
q2
 1)(|
1
 n1 q

,
1
 n2 q

 x |q1
1
 n2 q

 1)
2
n2
2
2
2
1
( n1 q x)
 1
n1 , q1
k1 ( k1 1)
2
1
 k2 
 n2 q  | q
k  0  n2 
q

 y|
1
)
2
 k1 
 n1 q  | q
k  0  n1 
q
1
2
2
 n1   n2 
 1
 1
k1
k2
 k   k  ( n1 q1 x) ( n2 q2 y )
 1  q1  2  q2
n1

 k2 q

 n2 q
( n2 q y )
 1
n2 , q2
2
1
(

1
1
k2 ( k2 1)
2
1
(
 n1 q
x|
( n1 q x)
n1 , q1
2
 k1 q

 n1 q
1
 1
1
k1 ( k1 1)
2
 ( f ,
1
)
 y |q2
1
y)
2
 n1 
 1
k1
 k  ( n1 q1 x)  1)
 1  q1
k2 ( k2 1)
2
2
( n2 q
 1
n2 , q2
 n2 
 1
k2
 k  ( n2 q2 y )  1)
 2  q2
elde edilir.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden faydalanırsak;





 k1 q
1
|

 1

x) k 0  n1 q
n , q ( n1 q
n1
1
1
1
1
1
 x |q1
1
 k1 q
(

 1

x)2 k 0  n1 q
n , q ( n1 q
n1
1
1
1
1
1
1
 Rn1  ((e1  x)2 ; q1; x)

elde edilir.
Benzer şekilde
k1 ( k1 1)
2
1
 x) q1
2

 n1 
 1
k1
 k  ( n1 q1 x) 

 1  q1

k1 ( k1 1)
2
2
k1 ( k1 1)
n1
 n1 
 n1 
 1
 1
k1
k1
2
(
n
x
)
q



1
1
k 
 k  ( n1 q1 x)
q1
k1  0
 1  q1
 1  q1
(6.3)
29




 k2 q
|
 
 1
y ) k 0  n2 q
n , q ( n2 q
n2
1
2
2
2
2
2
( n2 q y )2
 1
n2 , q2
2
n2
1

2
 y |q2
k2 ( k2 1)
2
(
k2  0
 k2 q

 n2 q
2
2
 y)2 q2

 n2 
 1
k2

(
n
y
)


2 q2
k 

 2  q2

k2 ( k2 1)
2
2
k2 ( k2 1)
n2
 n2 
 n2 
 1
 1
k2
k2
2
(
n
y
)
q

2
 k   2 q2
 k  ( n2 q2 y)
k2  0
 2  q2
 2  q2
 Rn 2  ((e1  y)2 ; q2 ; y)

olur.
O halde
1
2



| Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y )  f ( x, y ) |  Rn1  ((e1  x) 2 ; q1 , x) Rn 2  ((e1  y) 2 ; q2 , y)  ( f ,
1
 n1 q

1
dir.
,
1
 n2 q

2
)
30
31
KAYNAKLAR
1. Korovkin, P. P . (1953). On convergence of linear positive operators in the space
of continuous functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR. Vol. 90. No. 953.
2. Dogru, O. (2006). On statistical approximation properties of Stancu type bivariate
generalization of q-Balazs-Szabados operators. In Proceedings Of The
International Conference On Numerical Analysis And Approximation Theory.
3. Dogru, O. (2002). On Bleimann, Butzer and Hahn type generalization of Balázs
operators. Studia Universitatis Babes-Bolyai. Mathematica 47.4 : 37-45.
4. Balázs, K. (1975). "Approximation by Bernstein type rational functions. Acta
Mathematica Hungarica 26.1: 123-134.
5. Balázs, K. and Szabados, J. (1982). "Approximation by Bernstein type rational
functions. II. Acta Mathematica Hungarica 40.3 : 331-337.
6. Volkov, V. I. (1957). The Convergence Of Sequences Of Linear Positive
Operators In The Space Of Continuous Functions Of 2 Variables. Doklady
Akademii Nauk SSSR 115.1 : 17-19.
7. Phillips G. M. (2003). Interpolation and Approximation by Polynomials.New
York : Springer Verlag, 293.
8. Barbosu D.(2000), Some Generalized bivariate Bernstein Operators, Math.Notes
(Miskolc), 1, 3-10.
32
33
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: Pelin, KARATAŞLI
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 26.10.1988, Altındağ
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (506) 6638071
Faks
:-
E-Posta
: plinyilmaz@gmail.com
Eğitim
Derece
Okul/Program
Mezuniyet tarihi
Yüksek Lisans
Gazi Üniversitesi/Matematik
2015
Lisans
Gazi Üniversitesi/Matematik
2010
Lise
Mehmetçik Y.D.A.L
2006
Yıl
Çalıştığı Yer
Görev
2013-2014
Şanlıurfa Kız A.İ.H.L
Öğretmen
2014-
Ayaş Naime-Ali Karataş Ç.P.A.L.
Öğretmen
İş Deneyimi
Yabancı Dil
İngilizce
Yayınlar
-
Hobiler
Kitap Okuma, Sinema, Ebru
34
GAZİ GELECEKTİR...