ab - Google Groups
advertisement
KARTEZYEN ÇARPIM mD İÇİNDEKİLER 2 1. SIRALI İKİLİ a ve b gibi elemanı, aralarında bir sıra gözeterek (a, b) şeklinde yazmakla elde edilen elemana sıralı ikili denir. ( a , b) 1.Bileşen 2.Bİleşen Sıralı ikilide sıra önemli olduğundan farklı a ve b elemanları için (a, b) (b, a) dır. Sıralı ikililerin eşitliği, (a, b) (c, d ) a c b d biçiminde ifade edilir. Örnek-1 Örnek-1 ( x Örnek-1 2,8) (6, 2 y ) olduğuna göer x y kaçtır? Çözüm x 4 ve y 3 bulunur. x y 1 Örnek-2 Örnek-2 a 1 1 ( , ) ( , 2) 6 b 3 ise ab kaçtır? Çözüm ab 5 2 Örnek-3 Örnek-3 (2n ,125) (16,5m1 ) ise m n kaçtır? Çözüm mn 8 3 2. KARTEZYEN ÇARPIM A ve B boş olmayan iki farklı küme olsun. Birinci bileşeni A 'dan, ikinci bileşeni B 'den olan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen B kümesi denir. Yaptığımız işleme de A ile B nin kartezyen çarpımı denir. A B şeklinde gösterilir. A B ( x, y) x A y B s ( A) m Örnek-3 Örnek-4 A 1, 2 ve dir. ve s ( B) n iken s ( A B) m . n dir. B x, y, z ise A B ve B A kümelerini yazınız. Çözüm A B (1, x),(1, y),(1, z),(2, x),(2, y),(2, z) B A ( x,1),( x,2),( y,1),( y,2),( z,1),( z,2) s ( A B) 2.3 6 s ( B A) 3.2 6 Örnek-4 Örnek-4 A x 2 x 3, x Z ve B B x 1 x 1, x Z ise s ( A B) kaçtır? Çözüm s ( A B) 4.3 12 Örnek-5 Örnek-5 s ( A) s ( B) 6 s ( A A) s ( B A) 18 olduğuna göre s ( A) kaçtır? Çözüm s ( A) 3 Örnek-6 Örnek-6 A B (2,3),(3,3),(4,3) B C (3, p),(3, q),(3, r ) olduğuna göre ( A C) Çözüm s ( A) 3 ve s (C ) 3 s ( A C ) 3.3 9 4 kaçtır? 2.1 Kartezyen Çarpımın Özellikleri A , B ve C boş kümeden farklı olmak üzere; A A A2 A A A A3 A A A A A4 .................. .................. A B B A A A A ( B C ) ( A B) ( A C) A ( B C ) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) A B A veya B dir. Örnek-7 Örnek-7 s ( A) 3 ve s ( B C ) 7 olduğuna göre s (( A B) ( A C )) kaçtır? Çözüm s ( A ( B C )) 3.7 21 Örnek-8 Örnek-8 A ve B eşit iki kümedir. s (( A C ) ( A B)) 48 s ( A B C) kaçtır? Çözüm s ( A). s ( B). s (C) 12.12.4 576 5 s ( A) 3.s (C ) olduğuna göre Örnek-9 Örnek-9 A ve B a, b kümeleri veriliyor. Buna göre A B yi ve B A yı bulunuz. Çözüm A B a, b B A a, b 2.2 Kartezyen Çarpımın Grafikleri A B gibi iki kümenin elemanları ( x, y) gibi sıralı ikililer olup, sıralı ikililerin görüntüleri de analitik düzlemde birer nokta olduğundan, A B olan sıralı ikililerin görüntülerini işaretlediğimizde grafik belirir. kümesinin elemanları Örnek-10 Örnek-10 A x 2 x 5, x N ve B y 1 y 4, y N olduğuna göre A B bulunuz. Çözüm Örnek-11 Örnek-11 A 1,2 ve B 1,2,3 ise A B yi yazıp analitik düzlemde gösteriniz. Çözüm 6 yi Örnek-12 Örnek-12 A 1,3 ve B 1,4 ise A B yi ve B A yı çiziniz. Çözüm Örnek-13 Örnek-13 Şekilde Çözüm kümesinin A B A B yi bulunuz. verilen grafiğine göre A 2,4 ve B 1,3 olduğundan A B ... Örnek-14 Örnek-14 A 2,3 ve B 1,5 ise A B nin oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanını bulunuz. Çözüm 7 Örnek-15 Örnek-15 A 1, 2,3 olmak üzere A A kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çaplı dairenin çapı kaç birimdir? Çözüm AC AB BC 2 2 2 AC 22 22 2 AC 8 2 AC 2 2 birimdir 2 3. A B BAĞINTI kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B ye bağıntı denir. bağıntısı A dan B ye bir bağıntı ise ( A B) olarak ifade edilir. ( x, y) x A ve x B Örnek-15 Örnek-16 A 1,2 ve B 3,4 olsun. O halde A B (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) göre bu 4 elemanlı A B kümesinin olur. Tanıma her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı denir. Dört elemanlı bir kümenin 16 tane alt kümesi olduğundan A dan B ye 16 tane bağıntı yazılabilir. 1 5 (2,4) 2 (1,3) 5 (1,3),(1,4) 3 (1,4) 5 (1,3),(2,3) 4 (2,3) ......... 16 (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) 8 Boş küme her kümenin alt kümesi olduğundan A B kümesinin de bir alt kümesidir. Dolayısıyla , A dan B ye bir bağıntıdır. A dan B ye bağıntı sayısı A A 2 s ( AB ) 2 s ( A). s ( B ) kümesinin alt kümelerine de A dan A ya bir bağıntı denir. s ( A) a ise A dan A ya 2 s ( A A) 2a 2 tane bağıntı yazılabilir. Örnek-16 Örnek-16 A 1,2,3,4 ve B 3,4,5 olmak üzere, aşağıdakilerden hangileri A dan B ye bir bağıntıdır? 1 (1,3),(4,5) 2 (1,1),(2,3),(3, 4) 3 (3, 4),(4,5),(5,1) 4 (3,3),(4, 4),(3, 4),(1,5) 5 Örnek-17 Örnek-17 A 1,2,3,4 ve B 1,2,3,4,5,6 , ( A B) x 2 ve ( x, y) xtek ise y 2 x , x çift ise y , x A , y B veriliyor. a) b) c) bağıntısını liste biçiminde yazınız. bağıntısını venn şemasında göster. bağıntısının grafiğini çiziniz. Çözüm a) (1,2),(2,1),(3,6),(4,2) 9 bağıntısı b) c) Örnek-18 Örnek-18 Yandaki şekle göre A , B kümelerini ve yı liste biçiminde yazınız. Çözüm A 1,2,4,5 B a, b, c, ç (1, a),(2, c),(4, b),(4, ç),(5, a) olur. Örnek-19 Örnek-19 Yanda verilen bağıntısını liste biçiminde yazınız. Çözüm (1, a),(2, b),(3, b) olur. Örnek-20 Örnek-20 A 1,2,3,4 kümesinde tanımlı, ( x, y) x y 4 bağıntısının eleman sayısı kaçtır? Çözüm 6 10 Örnek-21 Örnek-21 s A 4 ve s B C 5 olduğuna göre, s ( A B) ( A C ) kaçtır? Çözüm 20 Örnek-22 Örnek-22 A 1,2,3 ve B 1,2 ise A dan tanesinde (1,2) eleman olarak bulunur. B ye tanımlanan bağıntılardan kaç Çözüm 25 32 Örnek-23 Örnek-23 A a, b, c, d ve B a, b ise A dan B ye tanımlı; a) Kaç bağıntı vardır? b) 3 elemanlı kaç bağıntı vardır? Çözüm a) b) 3.1 24.2 28 256 8 8.7.6 56 3 3.2.1 Bir Bağıntının Tersi Bir bağıntının elemanları olan sıralı ikililerin yer değiştirmesiyle elde edilen yeni bağıntıya eski bağıntının tersi denir. ( x, y) x A ve x B 1 ( y, x) ( x, y) Örnek-24 Örnek-24 (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5) bağıntısının tersini bulunuz. 11 Örnek-25 Örnek-25 A x :1 x 12, x N kümesinde tanımlı ( x, y): x 2 y 16 bağıntısını ve bu bağıntının tersini liste yöntemi ile yazınız. Çözüm 1 (7,2),(6,4),(5,6),(4,8),(3,10) Örnek-26 Örnek-26 ( x, y)R2 : 2 x y 6 ise 1 nedir? Çözüm (6,6) Örnek-27 Örnek-27 A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 1 ( x, y): x 3 y ve x , y A , ise 1 i bulup in grafiğini çiziniz. Çözüm Görüldüğü gibi ve 1 bağıntıları Bir bağıntının tersinin tersi kendisidir. 12 yx doğrusuna göre simetriktir. ( 1 )1 dır. ve Örnek-28 Örnek-28 Yandaki grafikte 3.2 1 bağıntısının grafiği verilmiştir. in grafiğini çiziniz. Bağıntının Özellikleri Yansıma Özelliği , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. x A s ( A) n için ( x, x) ise bağıntısı yansıyandır denir. ise A kümesindeki yansıyan bağıntı sayısı 2n 2 n ile bulunur. Örnek-29 Örnek-28 A 1,2,3 kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıyandır? (1,1),(2,2),(1,3) (1,1),(2,3),(3,3) (1,2),(2,2),(3,3) (1,1),(2,2),(3,2) (1,1),(2,2),(3,3),(2,3) Çözüm E 13 Örnek-30 Örnek-30 A 0,1,2 kümesinde tanımlı ( x, y): x y bağıntısının yansıma özelliğinin olup olmadığını gösteriniz. Çözüm (0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) Örnek-31 Örnek-30 A 1,2,3 olduğuna göre A dan A ya kaç farklı yansıyan bağıntı yazılabilir? Çözüm 23 3 26 64 2 Simetri Özelliği , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. ( x, y) s ( A) n iken ( y , x) oluyorsa bağıntısına simetrik bağıntı denir. ise A kümesindeki yansıyan bağıntı sayısı 2 n2 n 2 dir. Örnek-32 Örnek-32 A 1,2,3 kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri simetirktir? 1 (1,1),(2, 2),(1, 2),(2,1) 2 (1,1),(1, 2),(1,3),(2,1) 3 (1,1),(2, 2),(3,3) 4 (2,1),(1, 2),(3, 2),(2,3),(3,1) Örnek-33 Örnek-33 Sayma sayıları kümesinde tanımlanmış ( x, y): 2 böler ( x y) bağıntısı simetrik midir? Neden? Çözüm Simetriktir 14 Ters Simetri Özelliği , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. ( x, y) iken ( y , x) oluyorsa bağıntısına ters simetrik bağıntı denir. Örnek-34 Örnek-34 A a, b, c kümesi üzerinde tanımlı (a, b),(b, c),(c, c) bağıntısı ters simetrik midir? Çözüm Örnek-35 Örnek-35 A a, b, c kümesi üzerinde tanımlı (a, a),(a, b),(b, a),(a, c) bağıntısının simetri ve ters simetri özelliklerini inceleyiniz. Çözüm Geçişme Özelliği , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. ( x, y) ve ( y, z ) iken ( x, z) oluyorsa, bağıntısına geçişken bağıntı denir. Örnek-36 Örnek-36 A 1,2,3 kümesinde tanımlı (1,3),(2,2),(3,2) bağıntısı geçişken midir? Neden? Çözüm Örnek-37 Örnek-37 A 1,2,3 kümesinde tanımlı (1,2),(1,3),(2,2),(3,2) bağıntısı geçişken midir? Neden? Çözüm 15 Örnek-38 Örnek-38 A 1,2,3,4 kümesinde tanımlı (4,4),(2,4),(3,1),(4,2) bağıntısının yansıma, simetri, ter simetri ve geçişme özelliklerini inceleyiniz. Çözüm Yansıyan değildir. Simetrik değildir. Ters simetriktir. Geçişken değildir. Örnek-39 Örnek-38 s ( A) 3 olmak üzere A kümesinde tanımlı bağıntılardan; a) Kaç tanesi yansıyandır? b) Kaç tanesi yansıyan değildir? c) Kaç tanesi simetriktir? Çözüm a) 64 b) 448 c) 64 Örnek-40 Örnek-40 A a, b, c kümesi üzerinde yansıyan ve ters simetrik olan en az elemanlı bir bağıntısı yazınız. Çözüm (a, a),(b, b),(c, c) olabilir. Örnek-41 Örnek-41 A 1,3,6,9 kümesinde tanımlı ( x, y) x böler y ve x, y A bağıntısının yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerini inceleyiniz. Çözüm (1,1),(3,3),(6,6),(9,9),(1,3),(1,6),(1,9),(3,6),(3,9) Yansınadır, simetrik değildir, ters simetriktir, geçişkendir. 16 Örnek-42 Örnek-42 A 1,2,3 kümesinde tanımlı, (1,1),(2,2),(2,3),(3,1) bağıntısına hangi elemanlar eklenirse bağıntı yansıyan ve geçişken olur? Çözüm Örnek-43 Örnek-43 A 1,2,3 kümesinde tanımlı (1, x),(2,2),(3,3),(2,3),(3, y) göre, x y bağıntısını yansıyan ve simetrik olduğuna kaçtır? Çözüm x 1 y2 ve , x y 2 1 3 Örnek-44 Örnek-44 A a, b, c, d , e ( a, a ) ve (b, c) olmak üzere A dan A ya tanımlı bağıntılardan kaç tanesinde eleman olarak bulunur. Çözüm 223 Örnek-45 Örnek-45 A a, b, c, d , e olmak üzere A dan A ya 8 elemanlı kaç tane yansıyan bağıntı vardır? Çözüm 20 3 Örnek-46 Örnek-46 A 1, 2,3, 4,5 olmak üzere simetrik değildir. Buna göre, A da tanımlı bağıntısı yansıyan fakat bağıntısı en az ve en çok kaç elemanlı olabilir? Çözüm 6 ve 24 17
