ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ YÜKSEK L

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
GRAFENDE KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI GAZI
Aybey MOĞULKOÇ
FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
ANKARA
2008
Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI
Aybey MOĞULKOÇ tarafından hazırlanan “Grafende Kütlesiz Dirac Fermiyonları
Gazı” adlı tez çalışması 03/07/2008 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı’nda
YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Jüri Üyeleri:
Başkan: Prof. Dr. Basri ÜNAL
Ankara Üniversitesi Fizik Mühendisliği A.B.D.
Üye
: Prof. Dr. Hamit YURTSEVEN
Ortadoğu Teknik Üniversitesi Fizik A.B.D.
Üye
: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Ankara Üniversitesi Fizik A.B.D
Yukarıdaki sonucu onaylarım
Prof. Dr. Orhan ATAKOL
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
GRAFENDE KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI GAZI
Aybey MOĞULKOÇ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Son zamanlarda yoğun madde fizikçilerinin ilgisinin odaklandığı iki boyutlu yapı olan
grafen, karbon atomlarının petek yapısında dizilişinden oluşur. Gösterdiği elektronik
özellikler bakımından, günümüzdeki silikon tabanlı teknolojiye alternatif olabilecek
grafen bu çalışmaya konu olmuştur. Çalışmanın ilk kısmında, grafenin deneysel olarak
gözlenmiş ve teorik olarak öngörülen bir takım elektronik özellikleri incelenmiştir.
Grafenin, bandın uçlarında lineer dağınım bağıntısına sahip olduğunun gözlenmesi, bu
sistemi tasvir etmesi bakımından Dirac denklemini ön plana çıkarmıştır. Bu nedenle
grafendeki yük taşıyıcıları da kütlesiz Dirac fermiyonları olarak isimlendirilmişlerdir.
Bu parçacıksıların, göreli kuantum mekaniğinin doğurduğu bazı özellikleri de
gösterebileceği öngörülmüştür. Çalışmanın son kısmında ise periyodik magnetik ve
elektrik modülasyonların etkisi altında kütlesiz Dirac fermiyonlarının davranışları
incelenmiştir. Böyle bir sistemin grafenin elektronik özelliklerini anlamak bakımından
önemli olduğu düşünülmektedir.
Temmuz 2008, 54 sayfa
Anahtar Kelimeler: Grafen, Kütlesiz Dirac fermiyonları, karbon nanotüpler
i
ABSTRACT
Master Thesis
GAS OF MASSLESS DIRAC FERMIONS IN GRAPHENE
Aybey MOĞULKOÇ
Ankara University
Graduate School of Nature and Applied Sciences
Department of Engineering Physics
Supervisor: Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR
Recently, two dimensional graphite, called Graphene which has honeycomb structure of
carbon atoms is of interest to condensed matter physicists. From the point of view of its
common electronic properties, graphene may be an alternative technology to silicon
based devices, and is the subject of this thesis. In the first part of the thesis, some
electronic properties of graphene, both observed experimentally and predicted
theoretically, are summerized. Due to the fact that the graphene has a linear dispersion
relation at the bottom of band, the Dirac equation is the best candidate for the
description of this system. Because of this, charge carriers in graphene are called
massless Dirac fermions. As a result, it was foreseen that these quasi-particles might
show some properties that are consequences of the relativistic quantum mechanics. In
the last part of the thesis, massless Dirac fermions’ behaviors are investestigated in the
presence of both periodic magnetic and electric modulations. Such a system is thought
to be important to realize the electronic properties of graphene.
July 2008, 54 pages
Key Words: Graphene, massless Dirac fermions, carbon nanotubes
ii
TEŞEKKÜR
Çalışmalarımı yönlendiren, hayata ve bilime derinlemesine bakış açısıyla bende yeni
açılımlar yaratan danışman hocam sayın Prof. Dr. Bekir Sıtkı KANDEMİR’e,
çalışmalarım süresince her konuda benden desteğini esirgemeyen nişanlım Yeşim
CENGER’e ve birçok fedakârlık gösteren aileme en derin duygularımla teşekkür
ederim.
Aybey MOĞULKOÇ
Ankara, Temmuz 2008
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TEŞEKKÜR
iii
SİMGELER DİZİNİ
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
vii
1. GİRİŞ
1
2. GRAFEN
3
2.1 İki Boyutlu Karbon Yapılar
3
2.2 Grafenin Elde Edilişi
4
2.3 Grafenin Elektronik Özellikleri
7
2.4 Grafende Klein Paradoksu
16
2.5 Grafende Zitterbewegung, Kiralite ve Minimal İletkenlik
20
2.6 Grafende Kuantum Hall Etkisi
24
2.7 Kalem İzindeki Kuantumelektrodinamiği
25
3. DIRAC DENKLEMİ
26
3.1 Dirac Denkleminin Kökeni
26
3.2 Weyl Denklemi
31
4. PERİYODİK MAGNETİK VE ELEKTRİKSEL MODÜLASYONLARIN
VARLIĞINDA KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI
33
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
50
KAYNAKLAR
52
ÖZGEÇMİŞ
54
iv
SİMGELER DİZİNİ
r
R
r
q
Simetri Vektörleri
E
Toplam enerji
c
Işık Hızı
ħ
Planck Sabiti
ψ
Dalga Fonksiyonu
σˆ
Pauli Spin Matrisleri
I
Birim matris
H
Hamiltonyen
m*
Siklotron Kütlesi
vF
Fermi hızı
V
Potansiyel enerji
T
r
j
Geçme olasılığı
Akım operatörü
ĥ
Helisite
B
Magnetik alan
B0
Modüle magnetik alan
e
Elektron yükü
ρ
r
A
Yük yoğunluğu
Ters Örgü Vektörleri
Vektör potansiyel
Magnetik modülasyonun periyodu
a0
r
p
Momentum
ωc
Siklotron frekansı
ω0
Modülasyon frekansı
Hn
Hermite polinomları
Ln
Laguerre polinomları
γ
Varyasyon parametresi
c′
Elektrik modülasyonun periyodu
v
ℓ
Magnetik uzunluk
E
Boyutsuz Fermi momentumu
p
r
D
Periyotlar oranı
Del Operatörü
KED
Kuantum elektrodinamiği
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 Farklı karbon allotroplarının kristal yapıları
3
Şekil 2.2 Bant yöntemiyle grafenin elde edilişi
6
Şekil 2.3 Tek tabakalı kristallerde elektrik alan etkisi
6
Şekil 2.4 İki üçgen alt örgünün üst üste binmesiyle oluşan bal peteği örgüsü
7
Şekil 2.5 Brillouin Bölgesi
8
Şekil 2.6 Grafenin kristal yapısı
13
Şekil 2.7 Grafenin band yapısı
14
Şekil 2.8 Grafendeki yük taşıyıcılarının siklotron kütlesi
15
Şekil 2.9 Grafende potansiyel bariyerine tünelleme
17
Şekil 2.10 Grafende Klein Paradoksu
20
Şekil 2.11 Grafenin minimum iletkenliği
22
Şekil 2.12 Kütlesiz Dirac Fermiyonlarında Kuantum Hall etkisi platoları
24
Şekil 2.13 Farklı türde Landau kuantizasyonu
25
Şekil 3.1 Paul Dirac
26
Şekil 4.1.a Pertürbasyon, b. Varyasyon teknikleri ile hesaplanmış farklı enerji
seviyelerindeki özdeğerler, c. İki teknik arasındaki fark.
44
Şekil 4.2 Magnetik modülasyonda enerji seviyeleri
45
Şekil 4.3 Elektrik modülasyonda enerji seviyeleri
46
Şekil 4.4 Modülasyonların periyotlarının oranlarına göre enerji seviyeleri
47
Şekil 4.5 Magnetik modülasyonda Göreli ve Göreli olmayan
boyutsuz enerji ifadesi
48
vii
1. GİRİŞ
Simgesi C, atom sayısı 6, atom ağırlığı 12,011 olan karbon, periyodik çizelgenin IVA
grubunda silisyum, germanyum, kalay ve kurşun elementleriyle birlikte yer alır. Bu
elementlerin en hafifi ve en az metalik olanıdır. Periyodik çizelgedeki diğer birçok
grubun tersine, IVA grubu elementleri, kimyasal bakımdan birbirilerinden çok
farklıdırlar; grubu temsil edici davranışı en az gösteren de karbondur.
Karbon ağırlıkça yerkabuğunda altıncı sırada bulunan elementtir. Farklı karbon-karbon
bağlarının oluşumu sonucu, karbonun değişik allotropları da mevcuttur. Bunlara örnek
olarak grafit ve elmas verilebilir. Elmas bilinen en sert maddedir. Karbonlar sadece
kendi aralarında yaptığı bağlarla değil, ayrıca diğer elementlerle de oluşturdukları
bağlarla yaklaşık on milyona yakın bileşik oluştururlar. Karbon tüm yaşam için temel
bir element olup, tarih öncesi çağlarda keşfedilmiştir. Organik maddelerin yeterli
oksijenle tepkimesi sonucunda açığa çıkmasıyla öğrenilmiştir. Bunun yanı sıra gök
taşları üzerinde karbon yapıda mikroskobik elmaslar da gözlenmiştir. Karbon ismi
Latincede ‘carbo’ kökünden gelmektedir, anlamı ise odun kömürüdür.
Karbonun önemli allotroplarından biri de grafittir. Grafit adı 1789’da Abraham Gottlob
Werner
tarafından
Grekçedeki
‘graphein’
kelimesinden
türetilmiştir
(http://en.wikipedia.org/wiki/Graphite 2007). Grafit pratik olarak çok kullanılan kurşun
kalemlerin içeriğini oluşturur. Elmasın tersine, grafit elektriği iletir. Bu bakımdan
elektrotlarda ve ark lambalarında kullanılır. Karbonun diğer bir yapay allotropuda
fullerendir. Fullerenler 1985’ de Sussex ve Rice üniversitelerinden Robert Kurl, Harold
Kroto ve Richard Smalley tarafından keşfedilmişlerdir. Fulleren ismi ise daha sonraları
Richard
Buckminister
Fuller
tarafından
verilmiştir
(http://en.wikipedia.org/wiki/Fullerene 2007). Fullerenler bazen buckyballs diye de
adlandırılırlar. Fullerenlerin değişik türleri mevcuttur, bunların en önemlilerinden biri
nanotüplerdir. Nanotüpler silindirik fullerenlerdir. Bu karbon tüpleri sadece birkaç
nanometre genişliğindedirler, fakat uzunluk olarak, birkaç milimetre uzunluktan,
mikrometreden daha az uzunluğa sahip olacak şekilde değişim gösterirler. Uçları açık
olanları da mevcut olduğu gibi, çoğunlukla uçları kapalı yapıdadırlar. Nanotüplerin özel
1
moleküler yapıları sıra dışı makroskobik özellikler gösterirler. Bunlar sırası ile: yüksek
gerilim şiddeti, yüksek elektriksel iletkenlik ve ısıya karşı yüksek direnç gibi
özelliklerdir.
Bir diğer önemli karbon yapı ise son zamanlarda oldukça ilgi uyandıran Grafendir.
Grafenler sp2 bağ yapısına sahip olan tek tabakalı düzlemsel karbon yapılardır.
Grafenler
üç
boyutlu
grafitlerin
(http://en.wikipedia.org/wiki/Graphene
2007).
2
boyutlu
Mükemmel
kopyalarıdır
yapıdaki
grafenler,
hekzagonal hücrelerden oluşur. Tek duvarlı karbon nanotüpler grafenin silindire
yuvarlanmış
hali
olarak
düşünülebilirler.
Grafene
duyulan
ilgi,
Manchester
Üniversitesinden Konstantin Novoselov ve Andre Geim’ın çalışmaları sonucu artmıştır.
Bu konuya çalışmanın ilerideki aşamalarında daha da ayrıntılı değinilecektir. Grafenin
gösterdiği önemli özelliklerden biri sıcaklıktan bağımsız 104 cm²V−1s−1 değerine ulaşan
mobilitesi olup, diğer önemli bir özelliği de Kesirli Kuantum Hall etkisidir. Grafende
diğer bir çarpıcı nokta elektron taşınımıdır. Yoğun madde fiziğinde elektron taşınımı,
göreli olmayan doğasından dolayı Schrödinger Denklemine uyum gösterir. Ancak,
grafende bu taşınım Schrödinger denklemince sağlanmaz. Etkin olarak, elektronlar ışık
hızının 1/300’lük kesrinde (~106 m/s, fermi hızına kıyasla) kütlesiz Dirac denklemine
uyum gösterirler. Grafenin bu doğası oldukça ilginç fiziksel özelliklere gebedir. Bu
bakımdan Dirac Denklemi bu çalışmada önemli bir yer teşkil etmiştir.
2
2. GRAFEN
2.1 İki Boyutlu Karbon Yapılar
Karbon, doğada büyük bir öneme sahiptir. Karbon atomlarının karmaşık yapılar
oluşturma yeteneği organik kimyanın temel bir gerçeği olup, yaşamın varlığı için de
büyük önem teşkil eder. Çok sayıda farklı yapının oluşumuyla karbon atomları çok
farklı, karmaşık davranışlar gösterirler. Eski zamanlardan beri bilinen grafitten ve
elmastan farklı olarak, henüz keşfedilmiş olan fullerenler ve nanotüpler fizikçilerin ve
kimyacıların oldukça dikkatlerini çekmiştirler. Sonuç olarak; karbonun, sadece üç
boyutlu (elmas, grafit), bir boyutlu (nanotüpler) ve sıfır boyutlu (fullerenler) allotropları
günümüze kadar bilinen örnekleridir. İki boyutlu yapılar dikkat çekici olarak literatürde
çok fazla yer almamış ve deneysel olarak gözlenmesi de pek mümkün olmamıştır. Şekil
2.1’deki karbon yapıları, soldan sağa: üç boyutlu elmas ve grafit, iki boyutlu grafen, bir
boyutlu nanotüp ve sıfır boyutlu buckyball şeklinde sıralanır.
Şekil 2.1 Farklı karbon allotroplarının kristal yapıları (Katsnelson 2007)
Bu bulunması zor iki boyutlu yapı Grafen olarak adlandırılmıştır. İronik olan şudur,
muhtemelen teorik olarak en çok çalışılmış karbon allotropudur. Grafende karbon
atomlarının diziliminin düzlemsel, hekzagonal yapıda olması; grafit, karbon nanotüpler
ve fullerenler için yapılan tüm hesaplamalarda başlangıç noktasını oluşturmuştur.
(Katsnelson 2007).
Boyut, materyali tanımlayan en önemli parametrelerden biridir. 70 yıl önce, Landau ve
Peierls tam olarak iki boyutlu kristallerin termodinamik olarak kararlı olmadığını ve
dolayısıyla var olamayacağını kanıtlamaya çalışmışlardır. Bu teori, düşük boyutlardaki
kristal örgülerdeki termal dalgalanmaların ıraksayan katkılarının, sonlu bir sıcaklıkta
3
atomların yer değiştirmelerinin atomlar arası mesafelerle karşılaştırılabilir olduğunu
göstermiştir. Bu tartışma daha sonraları Mermin tarafından genişletilmiş ve birçok
deneysel gözlem ile desteklenmiştir. Gerçekten, ince filmlerin donma noktası, azalan
kalınlıkla hızla düşmektedir ve düzinelerce atomik tabaka kalınlığında kararsız hale
gelirler. Bu nedenden dolayı, atomik tek tabakalar daha büyük üç boyutlu yapıların
temel parçaları olarak bilinirler. 3D yapılar olmaksızın, iki boyutlu yapıların varlığı
2004 yılına kadar öngörülmemiştir, bu inanış deneysel olarak grafenin keşfedilmesiyle
ve diğer serbest durumdaki iki boyutlu kristallerin (tek tabakalı boron nitrit ve yarı
tabakalı BSCCO) gözlenmesiyle değişmiştir.
Bulunan iki boyutlu kristaller sadece süreklilik göstermesiyle değil, aynı zamanda
yüksek kristal kalite göstermesiyle büyük önem teşkil etmiştir. Diğer önemli nokta ise
grafendeki yük taşıyıcılarıdır. Bu taşıyıcılar binlerce atomlar arası mesafelerde
saçılmadan hareket edebilirler. İki boyutlu kararlılığın sonradan anlaşılmasının yararı
ise böyle tek atomik kalınlıklı kristallerin teoriyle uzlaşı içinde olabileceğidir.
Tamamlayıcı bir bakış açısı da şudur; elde edilmiş iki boyutlu kristaller, yanal skalası
≈10nm olan üç boyutta, hafifçe buruşturularak gerçekten kararlı hale getirilmişlerdir.
Deneysel olarak gözlenen böyle bir 3D kıvrılma, elastik enerjide kazanca fakat belirli
bir sıcaklığın üzerindeki toplam serbest enerjiyi minimize eden termal titreşimde
sönmeye sebebiyet verir (Geim and Novoselov 2007).
2.2 Grafenin Elde Edilişi
Güçlü düzlemsel bağa, zayıf düzlemsel bağa ve tabakalar arasında van der Waals
benzeri çiftlenime sahip çok tabakalı materyaller mevcuttur. Prensip olarak serbest
halde atomik tabakalı yapıların olup olmayacağı belirsiz olmasına rağmen, tabakalı
yapıdan dolayı materyalleri atomik tabakalar şeklinde ayırma üzerine çalışılmıştır.
Böylece tüm çabalar çok tabakalı materyalleri kimyasal soyma işlemine tabi tutma
üzerine yoğunlaşmıştır. Bu soyulma işlemi özellikle grafit için ilgi uyandırmıştır.
Soyulma işlemi esnasında bazı momentlerdeki tek tabakalar birbirlerinden ayrılmaları
düşünülmektedir. Bununla birlikte, son karışım içerisinden herhangi bir 2D kristal izole
olamamıştır. Bunun olası sebebi tek tabakaların, ancak kısa süreli durumlarda ortaya
4
çıkacağıdır ve mikroskobik bölgenin üzerinde bir ayrışımın gerçekleşmiş olma
olasılığıdır. Gerçekten de, grafitin kimyasal soyulumuyla ilgili son çalışmalar, soyulum
sonucunda kalan tortu için tek tabaka değil, kıvrımlı ve yığın halinde çok tabaka
içerdiğini göstermektedir. Alternatif bir yaklaşım da mekanik bölme işlemidir. İlk
gözlemler mekanik olarak bölünmüş tabakaların yüzlerce katmandan oluştuğudur,
ancak son zamanlarda artan ilgi sonucu yapılan gözlemlerde grafit filmlerden birkaç
grafen katmanlı tabakalar elde etmenin mümkün olduğudur. Şu an gelinen noktada,
artık tek kristal düzlemlerin çok tabakalı materyallerden izole etmenin mümkün olduğu
yönündedir. Bu durum; sonuç itibariyle elde edilen iki boyutlu kristaller, yüksek kristal
kalitesi ve makroskopik süreklilik sergilediğini göstermiştir.
İki boyutlu kristalleri elde etmek için, basit ancak etkili bir yöntem kullanılır. Çok
tabakalı bir kristalin yüzeyi başka bir yüzeye sürtülerek orada bırakacağı katmanlar ele
alınır. Bu tıpkı tebeşirin tahtaya sürtüldüğünde bıraktığı tebeşir katmanları gibidir.
Beklenmedik olan, yüzey üzerinde kalan katmanlarda her zaman için tek tabaka
kristaller gözlemlemenin mümkün olduğudur. Bu tabakaları direkt olarak değil fakat
çeşitli tekniklerle örneğin, optik mikroskoplar ve atomik kuvvet mikroskopları
sayesinde gözlemlemek de mümkündür. Basit bir teknik olmasına karşın mekanik
bölme süreci iki boyutlu kristallerin daha önce neden keşfedilemediğini açıklayan
öğretici birkaç özelliğe sahiptir. İlk olarak; tek tabakalar, kalın tabakalar arasında
oldukça büyük bir azınlığa sahiptirler. İkinci olarak; nanotüplerin tersine, iki boyutlu
kristaller elektron mikroskoplarında açık bir sinyal oluşturmamaktadırlar. Üçüncü
olarak; tek tabakalar görünür ışığa karşı geçirgendir ve cam veya metal bir yüzey
üzerinde optik mikroskoplarla gözlenemezler. Dördüncü olarak ise; sadece atomik
kuvvet mikroskobu tek tabakalı kristalleri belirlemek için kullanılabilir, fakat bu da
düşük verime sahiptir ve pratikte soyulmuş 2D kristali rastgele yüzey taraması yaparak
gözlemlemek mümkün değildir. Son olarak, daha öncede açıklandığı gibi, izole olmuş
atomik
düzlemler,
bu
düzlemlere ait
kristaller olmadan
varlığını
sürdürüp
sürdüremeyeceğinin aşikar olmadığıdır.
2D boyutlu grafitin de içinde bulunduğu birçok 2D materyal yukarıda bahsedilen
yöntem (taramalı tünelleme ile, elektronların taranmasıyla ve yüksek transmisyonlu
5
elektron mikroskopları) ile elde edilmiştir. Bu yöntemin yanı sıra grafitin tabaka tabaka
soyulduğu diğer bir yöntem de bant yöntemidir. Bu yöntem aşağıdaki Şekil 2.2’de
gösterilmiştir.
Şekil 2.2 Bant yöntemiyle grafenin elde edilişi (Moskowitz et al. 2007)
Sonuç olarak, elde edilen 2D materyallerden grafen, özellik bakımından metalik olarak
tespit edilmiştir ve dikkate değer bir elektrik alan etkisi sergiler (Şekil 2.3). Bu
bakımdan grafen derin olmayan gap aralıklı yarıiletkene veya düşük olarak overlap
olmuş yarı metale benzerlik gösterir.
Şekil 2.3 Tek tabakalı kristallerde elektrik alan etkisi (Novoselov et al. 2005)
6
Sonuç olarak, 2D atomik kristallerin dolayısıyla grafenin varlığı, çok tabakalı
kristallerden mekanik olarak bölme süreci ile elde edilmesi suretiyle gösterilmiş oldu.
Sezgisel olarak doğruysa, korunan mikroskobik süreklilik ve yüksek kalite suretiyle
taşıyıcıların mobilitesinin etkilenmemesi, izole 2D kristallerde oda sıcaklığında ve
havada kararlılık sağlayacaktır. (Novoselov et al. 2005a). Bu bakımdan grafenin yeni
nesil teknolojilerin oluşturulmasında büyük önem teşkil edeceği düşünülmektedir.
2.3 Grafenin Elektronik Özellikleri
İki boyutlu grafitin elektronik özellikleri ile ilgili çıkmış ilk yayın Semenoff’ un 1984
yılındaki yayınıdır. Bu yayında iki boyuttaki anormallikerin sonuçlarını tartışmak
amaçlanmıştır. Diğer bir deyişle, o tarihlerdeki adıyla iki boyuttaki grafitin yani şu anki
ismiyle grafenin elektromagnetik özelliklerini incelemek amaçlanmıştır.
Şekil 2.4 İki üçgen alt örgünün üst üste binmesiyle oluşan bal peteği örgüsü
(Semenoff 1984)
Şekil 2.4 ile verilen grafenin temel örgü vektörleri
r
1
a1 = ( 3 / 2, − )a
2
r
a2 = (0,1)a
(2.1)
Olup yine şekil üzerinde gösterilen rastgele bir A atomunun yakın komşuluğundaki üç
adet B atomunun bunlar cinsinden yer vektörleri
7
r
b1 = (1/ 2 3,1/ 2)a
r
b2 = (1/ 2 3, −1/ 2)a
r
b3 = (−1/ 3, 0)a
(2.2)
ile verilir. Bunlara karşılık gelen ters örgü vektörleri
r
R1 = (4π / 3a )(1, 0)
r
R2 = (4π / 3a ) × (1/ 2, 3 / 2)
(2.3)
olup, Brillouin bölgesindeki q simetri vektörleri ise
R R2 y
r
q1 = ( 1x ,
) = (4π / 3a ) × (1 / 2,1/ 2 3)
2 3
r
r
q2 = − q1
(2.4)
ile verilir. Denklem 2.3 kullanılarak grafenin Brillouin bölgesi Şekil 2.5 ile verilmiştir.
Şekil 2.5 Brillouin Bölgesi (Semenoff 1984)
A ve B atomlarının farklı türde atomlar olduğunu varsayarak genel iki atomlu bir sistem
ele alınır. A ve B de bulunan elektronların enerji farkı β ile parametrize edilir. Bu
sisteme örnek olarak ise Boron nitrit verilebilir. İki boyutlu grafit (grafen) modeli ise
β’nın sıfır alınması suretiyle elde edilir. Sıkı bağ yaklaşımı kullanarak ve en yakın
komşulukları dikkate alarak, sistemin toplam Hamiltonyeni
8
r
r r
r r
r
 a †A ( A)bB ( A + bi ) + bB† ( A + bi )a A ( A)  +
H =α∑

r 
A ,i
r
r
r
r
r
r
 a † ( A)a A ( A) − bB† ( A + b1 )bB ( A + b1 ) 
β∑

r  A
(2.5)
A
şeklinde yazılır. İlk iki terim B’de yok olup A’da ve A’da yok olup B’de elektron
yaratılmasını ifade eder. Son iki terim ise A’da yok olup A’da ve B’de yok olup B’de
yaratılmayı ifade eder. Denklem 2.3’deki yaratıcı ve yok edici operatörler için Fourier
dönüşümleri yazılıp.
r
d 2 k ikr⋅ Ar r
a ( A) = ∫
e a(k )
Ω ( 2π ) 2
r
d 2 k ikr⋅B r
b( B ) = ∫
e b( k )
Ω ( 2π ) 2
(2.6)
şeklinde k uzayına geçilirse Denklem 2.5
r † r
r
r r † r
d 2k
*

Γ
(
k
)
a
(
k
)
⋅
b
(
k
)
+
Γ
(
k
)a (k ) ⋅ b (k )  +
(2π ) 2 
r r
r r
d 2k
†
†

β∫
a
(
k
)
a
(
k
)
+
b
(
k
)b(k ) 
(2π ) 2 
H =∫
(2.7)
şeklini alır. Burada Γ,
r
r r
Γ(k ) = α ∑ exp(ik ⋅ bi )
(2.8)
i
ile verilir. Bu durumda Denklem 2.7 hamiltonyeni daha da kompakt olarak
d 2k
a†
H =∫
2 
(2π )
Ω
β
b†  ⋅  *
Γ
Γ  a 
⋅
− β  b 
(2.9)
şeklinde yazmak mümkündür. Bilindiği üzere Denklem 2.8’in özdeğerleri
9
β −E
Γ
*
Γ
−β − E
=0
(2.10)
karakteristik determinantı ile bulunur. Determinant hesaplanır ise enerji özdeğerleri
1
2
E = ± β 2 + Γ  2


(2.11)
olduğu kolaylıkla bulunur. Burada,
r r
Γ = ∑ exp(ik ⋅ bi )
(2.12)
i
ile verilir. Γ ifadesinde çeşitli trigonometrik formüller yardımıyla hesaplamalar
yapılırsa, sonuç olarak Denklem 2.11’deki enerji ifadesi
{
}
E = β 2 + α 2 1 + 4 cos 2 (k y a / 2) + 4 cos(k y a / 2) ⋅ cos(3k x a / 2 3 
1/ 2
(2.13)
şeklini alır. Denklem 2.13, P. R. Wallace’ ın 1946 yılındaki yayınındaki enerji
ifadesiyle uyum gösterir. Bu yayında grafitin band teorisiyle de ilgilenilmiştir. Aynı
zamanda, bu yayın grafitin enerji ifadesinin hesap edildiği ilk yayın olma özelliğini taşır
(Wallace 1946). Burada α hopping terimi olmak üzere, (komşuluklar arasındaki elektron
r
r
r
transferi için) olasılık genliğiyle ilintilidir. q1 ve q1 = −q 2 gibi iki farklı simetri noktası
olduğu dikkate alınarak, Denklem 2.9’daki Hamiltonyen
r r
r r
r
r



β
α
⋅
Γ
(
k
+
q
)
/
2
a
(
k
+ qi ) 
d 2k
r
r
i
 a † (k + qi ) b† ( k + qi )  
H =∫
r
r


r
r 
2 

*
(2π )
0
α ⋅ Γ (k + qi ) / 2
  b(k + qi ) 
Ω
(2.14)
r r
r r
2
r
r




α
0
⋅
Γ
(
k
+
q
)
/
2
a
(
k
+
q
)
r
r
d k
i
i
 a † (k + qi ) b† (k + qi )  
+∫
r r
 r r 
2 

*
(2π )
−β
Ω
α ⋅ Γ (k + qi ) / 2
  b(k + qi ) 
r
r
şeklinde yazılabilir. q1 = −q 2 özdeşliğinden yararlanılarak Denklem 2.14
10
r r
r r
r



β
/
α
Γ
(
k
+
q
)
a
(
k
− q1 )  
d 2 k α  † r r
r
1
†


H =∫
a
(
k
q
)
b
(
k
q
)
−
−
r
r




1
1 
r
r 
*
(2π )2 2  
Γ (k + q1 ) − β / α   b(k − q1 )  
Ω
r r
r r
r



β
/
α
Γ
(
k
+
q
)
a
(
k
+ q1 )  
d 2 k α  † r r
r
1
†


+∫
a
(
k
+
q
)
b
(
k
+
q
)
r
r




1
1 
r
r 
*
(2π ) 2 2  
Γ (k + q1 ) − β / α   b(k + q1 )  
Ω
(2.15)
şeklinde de ifade edilebilir. Burada
r r
r r r r
r r
r r
r r
r r
Γ(k m q1 ) = exp(ik ⋅ b1 m iq1 ⋅ b1 ) + exp(ik ⋅ b2 m iq1 ⋅ b2 ) + exp(ik ⋅ b3 m iq1 ⋅ b3 )
(2.16)
ile verilir. Denklem 2.11’deki Γ ifadesi bu noktalar çevresinde
r r
i 3
Γ(k m q1 ) =
(1 m i 3) ⋅ (k x a m ik y a )
4
r r
i 3
(1 ± i 3) ⋅ (k x a ± ik y a )
Γ∗ (k m q1 ) = −
4
(2.17)
şeklinde seriye açılır ise Denklem 2.15, Hamiltonyen bandın dibine yakın noktalarda
incelendiğinde
H =∫
Ω
d 2k
( 2π )
α
2
r r
r r
3a
{ a † (k − q1 ) b† ( k − q1 )  ×
4
r r

r r
r r
2 β / 3aα
i (1 − i 3)( k x − ik y ) / 2   a (k − q1 ) 

  r r  +  a † (k + q1 ) b† (k + q1 )  ×
−2 β / 3aα
 −i (1 − i 3)(k x + ik y ) / 2
  b(k − q1 ) 
r r

2 β / 3a ⋅ α
i (1 − i 3)( k x + ik y ) / 2   a (k + q1 ) 
(2.18)

  r r }
−2β / 3a ⋅ α
 −i (1 − i 3)(k x − ik y ) / 2
  b(k + q1 ) 
şeklinde yazılabilir. Burada, m=2β/√3·a·α olmak kaydıyla, Denklem 2.18
11
m
i (k x − ik y ) 

b−†  ⋅ exp(iπσ 3 / 3) 
×
−
i
(
k
−
ik
)
−
m
x
y


m
i (k x − ik y ) 

a 
3a †
 a+ b+†  σ 1 exp(iπσ 3 / 3) 
exp(−iπσ 3 / 3)  −  + α
 × (2.19)
−m 
4
 b− 
 −i (k x − ik y )
a 
σ 1 exp(−iπσ 3 / 3)  + }
 b+ 
H =∫
d 2k
3a †
 a−
{α
2
(2π )
4 
olacak şekilde yeniden ifade edilebilir. Sonuçta, öz fonksiyonlar
r
1
a 
ψ 1 (k ) = α a 3 exp(−iπσ 3 / 3)  − 
b
2


r 1
a 
ψ 2 (k ) = α a 3 exp(−iπσ 3 / 3)σ 1  + 
2
 b+ 
−
(2.20)
olmak kaydıyla Denklem 2.19
H =∫
r r r
r
r r r
r
d 2k

ψ
(
k
)(
γ
⋅
k
+
m
)
ψ
(
k
)
+
ψ
(
k
)(
γ
⋅
k
−
m
)
ψ
(
k
) 
1
1
2
2
(2π )2 
(2.21)
şeklinde yazılır. Burada γ ifadesi γµ =(σ 3 ,iσ1 ,iσ 2 ) şeklinde tanımlanmıştır. Burada
0 1

1 0
 0 −i 
σ2 =

i 0 
1 0 
σ3 =

 0 −1 
σ1 = 
(2.22)
bilinen Pauli spin matrisleridir. Denklem 2.21 denklemini uzaysal koordinatlarda
yazılırsa aşağıdaki ifade elde edilir.
12
H =∫
r r
r r
d 2k

ψ
(
x
)(
i
γ
⋅
D
+
m
)
ψ
(
x
)
+
ψ
(
x
)(
i
γ
⋅ D − m)ψ 2 ( x) 
1
1
2
(2π )2 
(2.23)
Burada D del operatörüdür ( Dµ =∂ µ -ieA µ ). Kütlesiz limitte yani β→0 veya m→0
durumunda, sistem grafen sistemine karşılık gelir (Semenoff 1984).
Denklem 2.8’deki enerji ifadesinden ve Denklem 2.15’deki Hamiltonyenden
anlaşılacağı üzere 2 boyutlu grafit yapı, yani grafen, Dirac denklemi ile tasvir edilir. Bu
sonuç çığır açıcı niteliktedir. Çünkü, daha önce yoğun madde fiziğindeki sistemler
Schrödinger denklemince tasvir edilen sistemler olup, parabolik enerji spektrumu
sergilemişlerdir. Ancak grafende böyle bir durum söz konusu değildir. Bu durum, A ve
B (Şekil 2.5) olmak üzere iki karbon alt örgüsünden oluşan grafenin kristal yapısıyla
çok yakından ilintilidir. Dirac denklemi, fizik alanında daha çok yüksek enerji
fizikçilerinin ilgilendiği bir denklemdir ve dolayısıyla genellikle günümüze değin
saçılma durumları incelenmiştir. Yoğun madde fiziğinde incelenmeye başlandığında
Dirac denkleminin bağlı durumları büyük önem kazanır. Bu bağlamda Dirac
denkleminin bağlı durumlarına örnekler ilerideki bölümlerde incelenecektir.
Şekil 2.6’da kristal yapısı gösterilen grafenin Denklem 2.13’deki enerji ifadesi
çizdirildiğinde, Şekil 2.7’deki gibi bir grafik elde edilir. Bu grafik grafenin band yapısı
ile ilişkilidir. İletim bandı değerlik bandına K ve K’ noktalarında temas eder.
Şekil 2.6 Grafenin kristal yapısı (Katsnelson 2007)
13
Şekil 2.7 Grafenin band yapısı (Katsnelson 2007)
Enerji ifadesi ile ilintili olarak tam değme noktalarında konik bir band yapısı oluşur.
Ancak Denklem 2.17’deki izlenen yöntemden de anlaşılacağı gibi, bu ifade ancak ve
ancak banda yakın dip noktalarda bu şekildedir. Bu yaklaşıklık üstel terimlerin seri
açılımında, ilk terimlerinin hesaba katılmasıyla elde edilmiştir.
Karbon atomları etrafındaki elektronların hareketi göreli olmamasına rağmen, grafenin
bal peteği örgüsünün periyodik potansiyeli ile etkileşimi düşük enerjilerdeki yeni
parçacıksıların oluşumuna sebebiyet verir. Bunlar yaklaşık υF≈106 m/s etkin hıza sahip
(2+1) boyutlu Dirac denklemiyle tasvir edilir. Bu parçacıksılara da kütlesiz Dirac
fermiyonları adı verilir. Kütlesiz Dirac fermiyonları kütlesini kaybetmiş elektronlar ya
da elektron yüküne sahip nötrinolar olarak tasvir edilebilirler.
Kütlesiz Dirac benzeri dağılım, kendisinin kara kökü olan elektronik yoğunluğa bağlı
olan bir siklotron kütlesidir (Novoselov et al. 2007). Siklotron kütlesi, yarı klasik
yaklaşımı da içerecek şekilde aşağıdaki gibi tanımlanır.
m* =
1 ∂A( E )
2π ∂E
(2.24)
14
A(E), k uzayında yörünge tarafından sınırlanan alan olarak tanımlanır ve
A( E ) = π q 2 = π
E2
vF 2
(2.25)
ile verilir. Denklem 2.25 kullanılarak, Denklem 2.24
m* =
E
q
=
2
vF
vF
(2.26)
şeklinde yazılabilir. Elektronik yoğunluk n, Fermi momentumu kF ile kF2/π=n olarak
ilişkilendirilir (K ve K’ noktalarından ve spinden gelen katkıyı da içermek suretiyle).
Sonuç olarak siklotron kütlesi için
m* =
π
vF
n
(2.27)
ifadesine ulaşılır. Denklem 2.27’nin deneysel verilerle fit edilmesi Fermi hızı ve
hoplama terimi hakkında bir fikir oluşmasına imkan verir (Sırasıyla, vF≈106 m/s ve t≈3
eV). Bununla birlikte, deneysel gözlemlerle belirlenen siklotron kütlesinin √n
bağımlılığı, grafendeki kütlesiz Dirac parçacıksılarının varlığına kanıt niteliğindedir.
Bilinen parabolik dağınım ise (Schrödinger denklemi) sabit bir siklotron kütlesini
gösterir (Novoselov et al. 2005b).
Şekil 2.8 Grafendeki yük taşıyıcılarının siklotron kütlesi (Novoselov et al. 2005b).
15
2.4 Grafende Klein Paradoksu
Klein paradoksu olarak bilinen kavram, göreli parçacığın yüksek ve geniş potansiyel
bariyerine engelsiz nüfuz etmesidir. Klein paradoksu kuantum elektrodinamiğinin
oldukça ilginç sonuçlarından biridir. Bu fenomen parçacık fiziği, nükleer fizik ve
astrofizik alanlarında oldukça tartışılmış ancak temel parçacıklarla test edilemeyeceği
kanıtlanmıştır. Bu kısımda açıklanacağı gibi, bu etki yoğun madde fiziğinde tek tabaklı
grafenler kullanılarak ve elektrostatik engeller oluşturularak kavramsal olarak test
edilecektir. Grafendeki parçacıksılar kuantum elektrodinamiğindeki Dirac fermiyonları
gibi davranmasından dolayı, bu yoğun madde sistemi Klein tarafından analiz edilen
tünelleme deneyini mümkün hale getirir. Böyle bir deneyin genel akış şeması Şekil
2.8’de tasvir edilmiştir. Şekil dikkatli incelenirse dikdörtgen şeklindeki potansiyel
engeli ve y doğrultusu boyunca sonsuz olan eksen mevcuttur.
V0
V ( x) = 
 0
0< x< D
(2.28)
Diğer Durumlarda
şeklindedir. D genişliğindeki bu yerel potansiyel yük taşıyıcılarını dönüştürür, yani
deşik yaratılmasında pozitronun rol oynamaktadır veya tam tersi durum söz konusudur.
Denklem 2.28’de, bilinen KED’de dikkate alınan durumla direkt olarak bağlantı
kurulmasına imkan sağlayan, sonsuz keskinlikte köşeler olduğu varsayılmıştır.
16
Şekil 2.9 Grafende potansiyel bariyerine tünelleme (Katsnelson et al. 2006)
Parçacıksıların Fermi dalga boyu λ, köşelerin karakteristik genişliğinden (ki bu genişlik
örgü sabitinden büyük olmalıdır) daha büyükse keskin köşe varsayımı doğrulanır. Böyle
bir bariyer ince bir yalıtkan ya da yerel kimyasal katkıları kullanılarak elektrik alan
etkisiyle yaratılabilir. Önemli olarak, grafendeki Dirac fermiyonları kütlesizdir ve bu
nedenle bariyer altındaki pozitron benzeri durumları oluşturmak amacıyla minimal
elektrik alan ε için herhangi bir biçimsel teorik gereklilik söz konusu değildir. Gerçek
grafen numunelerinde düzensizlik içeren iyi belirlenmiş bir engel oluşturmak için,
deneylerde ε≈105 V cm-1 olarak kullanılması önemlidir. Bu büyüklük temel parçacıklar
için Klein paradoksunun gözlenmesi için gerekli alanın on bir mertebe küçüğüdür.
Tünelleme problemini Şekil 2.8.b olarak gösterilen durum için çözmek mümkündür. k
dalga vektörlü gelen elektronun x ekseniyle yaptığı açı ϕ olarak seçilirse, H=H0+V(x)
Hamiltonyeni için
17
ψ 
ψ = 1
ψ 2 
(2.29)
Dirac spinörü olmak üzere Ψ1 ve Ψ2 sırası ile
ik y y
 ik x x
− ik x x
 (e + re )e

ik y
ψ 1 ( x, y ) = (aeiqx x + be− iqx x )e y

ik x + ik y

te x y
,
x<0
,0 < x < D
,
x>D
(2.30)
ik y

ik x x + iφ
− re −ikx x −iϕ )e y
 s (e

ik y
ψ 2 ( x, y ) =  s ' (aeiqx x +iθ − be− iqx x −iθ )e y

ik x + ik y + iφ

te x y
,
x<0
,0 < x < D
,
x>D
şeklinde yazılabilirler. Burada k F =2π/λ , k x =k Fcosφ ve k y =k Fsinφ olmak üzere
qx = ( E − V0 ) 2 / h 2 vF 2 − k y 2
(2.31)
ile verilir. θ = arctan(k y /q x ) , s ve s’ ise sırasıyla s=sgnE ve s ' = sgn( E − V0 ) ile
tanımlanır. Denklem 2.30’daki a, b, t, r katsayıları dalga fonksiyonunun süreklilik
koşulundan belirlenebilir. Süreklilik koşulu dikkate alındığında ise sırasıyla
1+ r = a + b
aeiqx D + be− iqx D = teikx D
(2.32)
s (eiφ − re− iφ ) = s ' (aeiθ − be− iθ )
s ' (aeiqx D +iθ − be − iqx D −iθ ) = steik x D +iφ
Denklemlerine ulaşılabilir. Bu son dört denklem yardımıyla bilinmeyen dört katsayıyı
bulmak mümkündür. Bu katsayılardan yansıma katsayısı r ve geçirme katsayısı t büyük
öneme sahiptir. Yansıma katsayısı hesaplanırsa.
18
eiφ (−1 + e 2iDqx )(ei (θ +φ ) s + s ' )(eiφ s − eiθ s ' )
( ss ' + e 2i (θ +φ ) ss ' − e2 i (θ + Dqx ) ss ' + e 2i (φ + Dqx ) ss ' )
r=
(2.33)
ifadesine ulaşmak mümkündür (Katsnelson et al. 2006). Benzer şekilde çeşitli
trigonometrik özdeşlikler kullanılarak Denklem 2.33 ve geçirme olasılığı.
r = 2ieiφ sin(qx D) ×
sin φ − ss ' sin θ
ss ' e −iqx D cos(θ + φ ) + eiqx D cos(φ − θ )  − 2i sin(qx D)
T (φ ) =
cos 2 θ cos 2 φ
[cos( Dqx ) cos φ cos θ ]2 + sin 2 ( Dqx )(1 − ss′ sin φ sin θ ) 2
(2.34)
(2.35)
şeklinde ifade etmek de mümkündür. Geçme olasılığı T=|t|2=1-|r|2 olarak da yazılabilir.
Yüksek engel limitinde, |V0|≫|E| iken, θ açısı yaklaşık sıfıra eşit olur ve θ’dan bağımsız
T ifadesi
T=
cos 2 φ
1 − cos 2 (qx D)sin 2 φ
(2.36)
şeklinde yazılabilir. Denklem 2.34 ve Denklem 2.35’den anlaşılacağı üzere rezonans
koşulunda (qxD=πN, N=0, ±1, …; olmak üzere) engel geçirgen hale (T=1) gelir.
(Katsnelson et al. 2006)
Engel normale yakın açılarda ϕ=0 mükemmel derecede geçirgendir. Bu özellik kütlesiz
Dirac fermiyonlarına özgüdür ve direkt olarak KED’deki Klein paradoksuyla ilintilidir.
Mükemmel bir tünelleme psedöspin korunumu ile anlaşılabilir. Gerçekten psedöspin
yön değişiminin olmadığı durumlarda (böylesi bir süreç kısa erimli potansiyele ihtiyaç
duymasından dolayı sık olmasa da, grafen örgüsünün A ve B sitelerinde farklı davranır )
sağa doğru hareket eden bir elektron ancak sağa doğru hareket eden bir elektrondan ya
da sola doğru hareket eden deşik durumundan saçılır. Bu durum Şekil 2.8’de
gösterilmiştir. Şekil 2.10’da üstteki grafikte D=110 nm ve λ=50 nm, alttaki grafikte ise
19
D=50 nm ve λ=50 nm parametreleri kullanılmıştır. Her iki grafikte de E=80 meV
kadardır. İncelenen potansiyel değerleri ise grafik üzerinde verilmiştir. Band
diyagramının kırmızı bölümündeki yük taşıyıcıları sadece aynı renkteki durumlardan
saçılabilir ama bu durumlar yeşil bölüme dönüşemez. Bu saçılmanın olabilmesi için
psedöspin
yönelimini
değiştirmesi
gerekir.
Bariyerin
dışındaki
ve
içindeki
parçacıksıların psedöspinleri arasındaki bu eşleşme mükemmel tünellemeyle sonuçlanır.
Şekil 2.10 Grafende Klein Paradoksu
2.5 Grafende Zitterbewegung, Kiralite ve Minimal İletkenlik
Grafenin diğer şaşırtıcı özelliklerinden birisi sonlu minimal iletkenliktir. Bu noktada
önemle vurgulanması gereken nokta, iletimden ziyade iletkenliğin kuantizasyonudur.
Bu fenomen aynı zamanda göreli kuantum mekaniksel bir kavram olan zitterbewegung
ile yakından ilişkilidir. İkinci kuantumlamada Dirac Hamiltonyeni ve buna karşılık
gelen akım operatörü
20
r
H = vF ∑ψ pr †σ pψ pr
r
p
(2.37)
r
j = evF ∑ψ pr †σψ pr
r
p
olarak ifade edilir. Psedöspinör ise
ψ pr † = (ψ pr1† ,ψ pr 2† )
(2.38)
olmak üzere zaman bağımlı ψ pr (t)
r
r
1
pσ
pσ
ψ (t ) = [exp[−iω p t ](1 +
) + exp[iω p t ](1 −
)]ψ pr
2
p
p
r
p
(2.39)
ile verilir. Parçacık frekansı ωp=vF·p/ħ olmak kaydıyla akım operatörü
r
r
r
r
j (t ) = j0 (t ) + j1 (t ) + j1† (t )
(2.40)
r
r
şeklinde ifade edilir. Burada j0 (t) ve j1 (t)
r r
r
† p ( pσ )
j0 (t ) = evF ∑ψ pr
ψ pr
r
p2
p
r r
r
evF
p( pσ ) i
r
†
r
j1 (t ) =
ψ p [σ −
+ σ × p]ψ pr ⋅ exp[2iω p t ]
∑
2
2 pr
p
p
(2.41)
Denklem 2.32’deki son terim “ Zitterbewegung ” karşılık gelmektedir. Diğer bir değişle
bu kavram göreli kuantum parçacığının pozisyonundaki belirsizliktir ve pozisyon
ölçümündeki parçacık anti – parçacık yaratılmasının kaçınılmaz olmasından
kaynaklanmaktadır. Bu rastgele gibi görünen hareketler balistik cihazların sonlu
iletkenliğinden ≈ e2/h sorumlu olabileceği düşünülmektedir (Katsnelson 2007).
21
Grafende diğer ilginç bir özellik de sıfır – alan (zero-field) iletkenliği σ’nın, n kuantum
sayısının sıfır olduğu limitte ortadan kaybolmaması, fakat bunun yerine, taşıyıcı tipi
başına e2/h değerine yakın bir iletkenlik göstermesidir. Şekil 2.11’de en düşük iletkenlik
σmin, 50 tek tabaka cihaz için nötrallik noktası (n≤1011cm-2) etrafında gösterilmiştir.
Diğer iyi bilinen materyallerde, böyle bir düşük iletkenlik kaçınılmaz olarak düşük
sıcaklıkta metal-yalıtkan geçişine sebebiyet verir ki bu geçiş grafende sıvı helyum
sıcaklığına kadar gözlenememiştir. Vurgulanmak istenen nokta, diğer taşınım
fenomenlerinde iletkenin kuantumlanması söz konusu iken grafende iletkenlik
kuantumlanmıştır. Minimum kuantum iletkenliği hakkında, Dirac fermiyonları için
birçok teori öngörülmüştür. Bunlardan bazıları lineer 2D spektrum için sıfır E’de durum
yoğunluğunun sıfır olmasına dayandırılmaktadır. Kütlesiz Dirac fermiyonları ile kütleli
Dirac fermiyonları arasında deneysel davranışları bakımından bazı farklılıklar
mevcuttur. Bu farklılıklar kiralite ve kütlesizlik arasındaki ayrımla ilişkilidir. Çift
tabaka grafen e2/h mertebesinde minimum bir iletkenlik gösterir. Birçok teori
σmin=4e2/hπ’ lik bir minimum iletkenlik önerir. Bu değer deneysel olarak gözlenen
değerden π kat küçüktür. Bu durum Şekil 2.11‘de gözlenmektedir. Deneysel veriler
teorik değerlere yaklaşamamaktadır ve daha çok σmin=4e2/hπ etrafında kümelenmiştir.
Bu farklılık, teorik ve deneysel verilerin yeterli olmamasından kaynaklanır. Tam olarak
bu farklılıkların grafenin elektron saçılımındaki teorik yaklaşımların yetersizliğinden
veya
muhtemel
örnek
parametrelerin
deneysel
olarak
sınırlı
aralıklarda
incelenebilmesinden kaynaklandığı düşünülmektedir (Geim and Novoselov 2007).
Şekil 2.11 Grafenin minimum iletkenliği (Geim and Novoselov 2007)
22
Daha önce Denklem 2.17’de elde edilen Hamiltonyene ait dalga fonksiyonu momentum
uzayında, K noktası civarında
ψ
r
1  e− iθk / 2 
(k ) =


2  ± eiθk / 2 
r
±K
(2.42)
şeklinde ifade edilir. ± işareti E=±vFk enerji durumlarına karşılık gelmektedir. Bunlar
sırasıyla π ve π* bandlarına karşılık gelir. θk=arctan(kx/ky) ise momentum uzayındaki
açıdır. K’ civarındaki dalga fonksiyonu aşağıdaki şekilde ifade olunur.
r
ψ ± Kr (k ) =
'
1  eiθk / 2 


2  ± e− iθk / 2 
(2.43)
şeklinde ifade edilir. Dikkat edilecek olursa, K ve K’ dalga fonksiyonları zaman
tersinmesi simetrisi (k→-k) ile birbirleriyle ilişkilidir. Eğer θ fazı 2π kadar
döndürülürse, dalga fonksiyonu π kadarlık bir faz göstererek işaretini değiştirir. Dalga
fonksiyonu iki bileşenli bir spinördür, aslında dönmeler altında π kadarlık bu faz
değişimi spinörün karakteristik özelliğidir. Literatürde bu durum sıklıkla Berry Fazı
olarak bilinir.
Özfonksiyonu karakterize etmek için kullanılan bir diğer nicelik ise, (psedö) spin
doğrultusu boyunca momentum operatörünün projeksiyonu olarak tanımlanan
helisitedir. Helisite, kuantum mekaniksel olarak
r
1 p
hˆ = σ
2 p
(2.44)
şeklinde betimlenir. Helisitenin tanımından dolayı, ψK(r) ve ψK’(r) durumlarına ait
özdeğerler rahatlıkla
1
r
r
hˆψ Kr (r ) = ± ψ Kr (r )
2
(2.45)
23
şeklinde yazılabilir. Benzer eşitlik ψK’(r) için yazılabilir. Bu nedenle, parçacıklar
(deşikler) pozitif (negatif) helisiteye sahiptirler denilir. Denklem 2.45, momentuma (↑)
yönünde, ya da (↓) yönünde olmak üzere σ’ya ait iki özdeğer olduğunu ifade eder. Bu
özellik, sistemin Dirac noktalarına yakın durumlarında kiralite veya helisite ile
açıklanabileceğini ifade eder. Kiralite elektronun gerçek spini ile ilgili olarak
tanımlanmamıştır, dalga fonksiyonunun ikili bileşeni ile ilgili olan psedö-spin
değişkenleri ile tanımlanmıştır (Neto et al. 2007).
2.6 Grafende Kuantum Hall Etkisi
Temel deneysel girişimler grafenin elektronik özelliklerini incelemeye odaklanmıştır.
Özellikle KED benzeri spektrumun getirisi anlaşılmaya çalışılmaktadır. Grafenin
Kuantum Hall etkisi davranışı Şekil 2.10’daki gibi gözlenmiştir. Bu şekilde tam sayı
kuantum Hall etkinsinin göreli benzeri ve tek tabaka grafenin karakteristiği
gösterilmiştir. Şekilde eşit basamaklı Hall iletkenlikleri σxy gözlenmektedir. Nötrallik
(Dirac) noktaları civarında oluşan bu durumda, yük taşıyıcıları elektronlardan deşiklere
dönüşür. Standart Kuantum Hall etkisine göre düzenlenim ½ faktörlük kaymaya uğrar.
Şekil 2.12 Kütlesiz Dirac Fermiyonlarında Kuantum Hall etkisi platoları
(Geim and Novoselov 2007)
Dolayısıyla, iletkenlik N Landau seviyesi indeksi olmak kaydıyla σxy=±4e2/h (N+1/2)
şeklindedir. 4 çarpanı çift seviye ve çift spin dejenereliğinden gelen katkıdır. Bu
24
Kuantum Hall etkisi, kaymayı ve yeni bir kesirli Kuantum Hall etkisi olmaması ve
standart bir tamsayı Kuantum Hall etkisi de olmaması gerçeğini yansıtmak için yarımtamsayı Kuantum Hall etkisi olarak isimlendirilmiştir. Olağan dışı düzenlenim, grafenin
magnetik alan altındaki elektronik spektrumunun KED benzeri kuantumlanmasıyla
anlaşılabilir. ± işaretleri elektronlara ve deşiklere karşılık gelmek üzere, enerji ifadesi
EN=±√(2eħBN) şeklindedir. Şekil 2.13’de gösterilen, elektronlar ve deşikler tarafından
paylaşılan sıfır E’deki kuantize olmuş seviyelerin varlığı Kuantum Hall etkisi
düzenlenimlerindeki anormallikleri açıklayacak tüm bilgiye sahiptir.
Şekil 2.13 Farklı türde Landau kuantizasyonu (Geim and Novoselov 2007)
Yarım-tamsayı Kuantum Hall etkisi için alternatif bir açıklama, siklotron yörüngeleri
boyunca π kadarlık (Berry fazı olarak bilinen) geometrik faz kazandıran psedöspin ve
yörüngesel hareket arasındaki çiftlenimin olması ile mümkündür. Ek olarak, gelen faz
kuantum salınımlarında π kadarlık kaymaya sebebiyet verir. Bu durum Kuantum Hall
etkisi limitinde yarım basamak kayma ile sonuçlanır (Geim and Novoselov 2007).
2.7 Kalem İzindeki Kuantum Elektrodinamiği
Grafen için teorik olarak öngörülen ilginç fenomenler henüz deneysel olarak
gözlenememiştir. Bununla birlikte, mevcut teoriler için iki önemli noktadan bahsetmek
gerekir. Bunlardan bir tanesi, zayıf perdelenmeden dolayı etkileşmelerin etkilerinin
güçlü bir şekilde artış gösterdiği, durum yoğunluklarının kaybolduğu ve grafenin
çiftlenim sabitinin e2/ħvF≈1 (etkin ince yapı sabiti) olduğu Dirac noktası civarındaki çok
parçacıklı fiziktir. Bu öngörüler, kesirli Kuantumlu Hall etkisi, Kuantum Hall
ferromagnetizması ve egzitonik aralıklar için çeşitli opsiyonlar içerir. İkinci önemli
nokta ise; Klein paradoksu, zitterbewegung gibi, etkileri parçacık fiziğinde
gözlenemeyen KED etkilerini test etme bakımından grafenin iyi bir model olduğunun
düşünülmesidir (Geim and Novoselov 2007).
25
3. DIRAC DENKLEMİ
Schrödinger teorisi göreli olmayan kuantum mekaniğinin geçerli olduğu bir teoridir.
Kuantum
mekaniğindeki
Schrödinger teorisinin
göreli
genellemelerinden
biri
E= p 2 c2 +m 2 c4 olmak üzere,
r
∂ψ (r , t )
r
ih
= (− h 2 c 2∇ 2 + m 2 c 4 )1/2ψ (r , t )
∂t
(3.1)
ile verilen Klein-Gordon denklemidir. Ancak, hem Schrödinger denklemi hem de Klein
– Gordon denklemi spin bilgisi içermez. Gerçekten, Klein – Gordon denklemi spin sıfır
parçacıkları için uygun bir denklemdir. Bununla birlikte, bilinen birçok parçacığın
spinleri sıfır değildir. Bunlardan en çok bilinenleri spinleri ½ olan: nötron, proton ve
elektrondur. Bu bakımdan, Dirac denklemi gibi bir denklemin gerekliliği büyük önem
taşır.
3.1 Dirac Denkleminin Kökeni
Dirac denkleminin kökenine ilişkin iki önemli argüman mevcuttur. Bunlardan bir tanesi
simetri argümanıdır, diğeri ise enerji konsantrasyonudur.
Şekil 3.1 Paul Dirac (www.daviddarling.info/images/Dirac.jpg 2008)
26
Lorentz dönüşümleri zamanı ve uzayı dört boyutlu tek bir niceliğe birleştiren
dönüşümlerdir. Göreli kuantum teorisinin altında yatan temel denklem bu birleşmeyi
barındırmalıdır. Bunun anlamı, denklemin uzaysal ve zamansal kısımları arasında tam
bir simetri olması gerekliliğidir. Birinci dereceden zaman türevi ve ikinci dereceden
uzaysal türev içermesi sebebiyle Schrödinger denklemi bu simetriyi içermez. Bu
nedenle uzaysal türevler lineer olmalıdır. Serbest parçacığın enerjisinin klasik
görelilikte
E 2 = p 2c 2 + m2c 4
(3.2)
biçimine sahip olduğu iyi bilinmektedir. Akla yatkın görünen ve yukarıda bahsedilen
simetrileri içeren, Dirac’ın da ifade ettiği denklem
r
N
∂ψ n imc N
1 ∂ψ i (r , t )
r
= − ∑ ∑ α i ,n k
−
βi ,nψ n (r , t )
∑
c
∂t
∂k
h n =1
k = x , y , z n =1
(3.3)
şeklinde olmalıdır. Denklemin sol tarafı ψ(r,t)’nin zaman türevini içerir iken, sağ
taraftaki ilk terim, dalga fonksiyonunun tüm bileşenlerinin olası tüm türevleri üzerinden
toplam içerir. Sağ taraftaki ikinci terim ise ψ(r,t)’nin tüm bileşenlerinin lineer
kombinasyonunu içerir. Bu denklem yukarıda bahsedilen tüm simetrilere cevap
vermiştir. Denklem 3.3 N×N’lik bir matris için yazılan genel bir ifadedir. Bu denklem,
vektörel olarak
r
1 ∂ψ (r , t )
r
imc ˆ r
= −αˆ ⋅∇ψ (r , t ) −
βψ (r , t )
h
c
∂t
r
∂ψ (r , t ) ˆ r
r
r
ih
= Hψ (r , t ) = (cαˆ ⋅ p + βˆ mc 2 )ψ (r , t )
∂t
(3.4)
biçiminde yazılabilir. α ve β henüz tanımlanmamış ancak aşağıdaki yöntemler ile
belirlenecek matrislerdir. Denklem 3.2 göz önünde bulundurulduğunda E için
27
r
p 2 c 2 + m2 c 4 = αˆ ⋅ pc + βˆ mc 2
r
r
E 2 = (αˆ ⋅ pc + βˆ mc 2 )(αˆ ⋅ pc + βˆ mc 2 )
E=
(3.5)
ifadelerini yazmak mümkündür. Bu son iki denklem göz önünde bulundurulduğunda
α x2 = α y2 = α z2 = 1
ˆ ˆ =0
ˆ ˆ + βα
αβ
α xα y + α yα x = α yα z + α zα y = α xα z + α zα x = 0
(3.6)
bağıntıları yazmak mümkündür. Bu koşulların sağlanması kaydıyla, enerji için geçerli
bir ifade yazmak mümkün hale gelir. Göreli teoride zaman ve uzay değişkenleri
birbirleriyle bağlantılıdır. Sezgisel olarak zaman ve uzayın birliği çok açık değildir.
Ancak, bu öğreti doğrudur. Denklem 3.4’deki Dirac denklemi dikkate alındığında ve α
ve β matrislerinin 4×4 matrisler olduğu göz önünde bulundurulduğunda durağan
durumlar
r
r
ψ (r , t ) = ψ (r )e − iEt / h
r
 ψ 1 (r ) 
r

ψ 2 (r )  − iEt / h

=
r e
ψ 3 (r ) 

r 
ψ 4 (r ) 
(3.7)
ile ifade edilirler. Bu durumlar için zaman türevi alındığında, denklem özdeğer
denklemi
r
r
r
r
Hˆ ψ (r ) = (cαˆ ⋅ p + βˆ mc 2 )ψ (r ) = Eψ (r )
(3.8)
şeklini alır. Denklem 3.8 serbest bir parçacığın Hamiltonyenini tanımlar. E ise enerji
özdeğeridir. Eğer Denklem 3.7’de çözüm ψ(r,t)= ψ(r)eiE/ħ olarak seçilmiş olsaydı,
Denklem 3.8’e benzer bir denklem elde edilirdi. Ancak denklemin sağ tarafındaki E
ifadesi –E ile değiştirilmesi gerekirdi. Böyle bir dalga fonksiyonu, hem zamanda ters
yönde hareket eden bir parçacığı hem de negatif enerji durumuna sahip olan bir
28
parçacığı temsil eder. α ve β matrisleri konvansiyonel temsilde Pauli spin matrisleri
cinsinden, sırasıyla
0

0
αx = 
0

1
0

0
αy = 
0

i
0

0
αz = 
1

0
0 0 1

0 1 0  0 σ x 
=

1 0 0  σ x 0 

0 0 0
0 0 −i 

0 i 0   0 σy 
=

−i 0 0   σ y 0 

0 0 0
0 1 0

0 0 −1  0 σ z 
=

0 0 0  σ z 0 

−1 0 0 
(3.9)
ve
1

0
β =
0

0
0
0
0

1 0 0  I 0 
=

0 −1 0   0 − I 

0 0 −1 
(3.10)
ile betimlenir. α ve β matrislerinin çeşitli temsilleri olduğu gibi, σ Pauli matrislerinin de
çeşitli temsilleri mevcuttur. Sonuç olarak, bu temsillerin tümünün varlığı ve biçimi,
temsillerdeki matrislerin Denklem 3.6’daki koşulları sağlamalarıyla alakalıdır.
Elektromagnetik alan altındaki Dirac denklemi ve bunun eşleniğini
r
r r
∂ψ (r , t )
r
r
r
ih
= [cαˆ ( p − eA(r )) + V (r ) + βˆ mc 2 ]ψ (r , t )
∂t
r
r r
∂ψ † (r , t )
r
r
r
r
−i h
= [c(− p − eA(r )) ⋅ψ † (r , t )αˆ + ψ † (r , t )(V (r ) + βˆ mc 2 )]
∂t
29
(3.11)
şeklinde yazmak mümkündür. Denklem 3.11’deki işlemde p momentum operatörünün
kompleks olduğu ve Dirac matrislerinin α†=α ve β†=β olduğu bilgisi kullanılmıştır. Bir
sonraki adım ise, Denklem 3.11’deki ilk denklemi Ψ†(r,t) ile ikinci denklemi ise Ψ(r,t)
ile çarpıp, birbirilerinin farkını almaktır. Sonuç olarak,
 ∂ψ ∂ψ †  hc †
ˆ 
ih ψ †
+
ψ  = ψ αˆ ⋅∇ψ + ( ∇ψ † ) ⋅ αψ

t
t
∂
∂

 i
(3.12)
denklemi elde edilir. Türevin çarpım kuralından yararlanarak, bu denklem
∂ †
ˆ )
(ψ ψ ) = −∇ ⋅ (ψ †cαψ
∂t
(3.13)
biçiminde yazılır. Bu denklem aslında süreklilik denklemidir. Denklem 3.13’de, olasılık
ρ= Ψ†Ψ şeklinde ve akım yoğunluğu j=c· Ψ†αΨ şeklinde tanımlanacak olursa
r
∂ρ
= −∇ ⋅ j
∂t
(3.14)
şeklinde yazılabilir. Bu durumda olasılık yoğunluğu için bir denklem mevcuttur. Tüm
uzay üzerinden integralin sıfır olması beklenen bir olgudur. Bu durum dört bileşenli
dalga fonksiyonunun nasıl normalize edileceği hakkında bilgi verir. Denklem 3.7’deki
notasyon kullanılırsa:
∞
r
†
∫ ψ ψ dr =
−∞
∞
∫ (ψ ψ
*
1
1
r
+ψ 2*ψ 2 + ψ 3*ψ 3 + ψ 4*ψ 4 )dr = 1
(3.15)
−∞
Dikkat edilirse, Denklem 3.14’deki süreklilik denklemi yorumu, spin sıfır durumu için
farklı olacaktır. Burada, tanımdan dolayı her zaman pozitif tanımlı olan Ψ*Ψ ifadesi ρ
olasılık yoğunluğu olarak tanımlanabilir (Klein – Gordon denkleminde ρ pozitif tanımlı
değildir.). Bu nedenle, Denklem 3.14, uzaydaki küçük bir hacimde olasılık
yoğunluğunun değişim oranı, o hacmi terk eden olasılığın oranına eşit olduğunu söyler.
30
Klein – Gordon durumunda ρ sadece yük yoğunluğu olarak yorumlanabilir. Bu tanıma
göre, göreli olmayan duruma benzer olarak beklenen değer de
Aˆ = ∫ψ † Aˆψ dV
(3.16)
şeklinde tanımlanır. Dolayısıyla, biçimsel olarak Dirac kuantum mekaniği, göreli
olmayan teoriye oldukça benzerlik gösterir (Strange 1998).
3.2 Weyl Denklemi
β bozunumu deneylerindeki ihlalin görünmesi ile 1930 yılında W. Pauli, zayıf
etkileşmelerdeki enerji momentum korunumunun gerçekleştiğinden emin olarak,
nötrinonun varlığını postüle etmiştir. Parçacık nötrino olarak isimlendirilmiştir ve
simgesi “υ” olarak belirlenmiştir. Göreli kütle enerji bağıntısına göre durgun kütlesi sıfır
olan bir parçacık ışık hızıyla hareket eder. Deneysel veriler ışığında belirlenen
elektronik nötrinonun durgun kütlesi sadece birkaç eV civarındadır ve elektronun
durgun kütlesinin binde birinden daha küçüktür. Bu bakımdan mν=0 doğru bir
varsayımdır. Nötrino ve foton yük, kütle, magnetik moment ve enerji bakımından
dikkate alındığında benzer gözükmektedir. Ancak temel fark, parçacıkların sırasıyla,
yarım tamsayılı ve tamsayılı spinlere sahip olmalarından gelir. Nötrinonun tarihsel
varlığının kanıtı β bozunumu deneyleriyle gerçekleşmiştir (Greiner 2000):
n → p + e− +ν
(3.17)
Helisitelerine (Kiralitelerine) göre sağ elli ve sol elli olmak üzere iki çeşit nötrinonun
varlığından bahsedilebilir. 1929 yılında Hermann Weyl, kütlesiz, spin ½ parçacıklarını
açıklayan iki bileşenli bir denklem önermiştir. Ancak Weyl denklemi parite altında
değişmezliği ihlal etmesi nedeniyle kabul edilmemiştir. Zayıf etkileşmelerdeki parite
ihlali 1957 yılında Landau, Salam, Lee ve Yang tarafından kanıtlanınca, Weyl denklemi
nötrinonun davranışını açıklayan denklem olarak kabul edilmiştir. Dirac denklemini
kütlesi sıfır olan bir parçacık için düşünürsek, Weyl denklemi
31
r
∂ψ (r )
r r
ih
= cαˆ ⋅ pψ (r )
∂t
(3.18)
şeklinde yazılır. Bu durumda Dirac denklemi artık β matrisini içermez (Greiner 2000).
32
4. PERİYODİK MAGNETİK VE ELEKTRİKSEL MODÜLASYONLARIN
VARLIĞINDA KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI
Bu bölümde; grafende, tek bir elektronun hareketini tasvir ettiği düşünülen Weyl
denkleminin enerji spektrumunu, üniform bir magnetik alana ek olarak, periyodik
magnetik ve elektrostatik potansiyellerin varlığında incelenmiştir. Grafen düzlemine dik
modüle periyodik magnetik alan B=(B+B0cosKx)z Dirac denklemine ayar ile gelmiştir.
Elektrik modülasyonu ise elektrik alan bileşeni V(r)=V0cosβ(2πx/c’) olarak denkleme
dahil edilir. Hesaplama tekniği açısından bu terimlerin katkısı varyasyon yolu ile
hesaplanmıştır. Problem Landau ayarı kullanarak çözülmüştür.
Ayar A=(0,Bx+(B0/K)sinKx,0) olmak üzere, Dirac denklemi
r e r
vFαˆ ⋅ ( p + A)ψ = Eψ
c
(4.1)
biçiminde yazılır. Burada Ψ
φ 
ψ = 
χ
(4.2)
%
ile verilir. Çiftlenimli bu denklem ϕ ve χ için E=E/v
F olmak üzere
r
r e
(σˆ ⋅ p + σˆ ⋅ A) χ − E%φ = 0
c
r
r e
(σˆ ⋅ p + σˆ ⋅ A)φ − E% χ = 0
c
(4.3)
şekline dönüşür. Bu iki denklem arasındaki çiftlenim kaldırılırsa, ϕ dalga fonksiyonuna
ait çözüm
33
2
2
 2 
2eB0
eB  
eB   eB0 

x  φ +[
sinKx  p y +
x+
sin 2 Kx
 px +  p y +

c  
cK
c   cK 



(4.4)
eh
+ ( B + σ 3 B0 cos Kx )]φ − E% 2φ = 0
c
şekline girer. vF parametresi elektronun hızını karakterize etmekle birlikte, ışık hızından
yaklaşık olarak 300 kat daha küçüktür. Burada, K=2π/a0 olup, a0 modülasyon
periyodudur. Dikkat edilecek olursa, Denklem 4.3 sadece ayardan gelen terimleri
içermektedir. Öncelikle, Deneme dalga fonksiyonunun biçimini doğru kestirebilmek
için
Landau
ayarındaki
A=(0,Bx,0)
çözümlere
bakılacaktır.
Landau
ayarı
uygulandığında Denklem 4.3
2
  2 

eB   ehB
p
+
p
+
x
σ 3 − E% 2  φ = H 0φ
 x  y
 +
c  
c

 

(4.5)
şeklini alır. Siklotron frekansı ωc=eB/M·c şeklinde tanımlanır. Parçacığa y
doğrultusunda bir hapis söz konusu değildir. Komütasyon bağıntısı [H0,py]=0
olduğundan, Denklem 4.5’e çözüm olarak
r
φ (r ) =
1 ik y y
e ϕ ( x)
Ly
(4.6)
y bağımlılığı açıkça ifade edilmiş çözüm önerisi yani Denklem 4.6, Denklem 4.5’de
yerine koyulursa; x′=
chk y
Mωc
eB
(x+x 0 )=
(x+x 0 ), x 0 =
, σ3φ=sφ olmak üzere
hc
h
eB
2
2
hc  E%  eB  
 d
2
  −
s  ϕ = 0
 2 − x′ +
eB  h  hc  
 dx′


(4.7)
ifadesine ulaşılır. Bu denklemden enerji özdeğerlerinin
34

E% = ± 2 M

1/ 2

1
s

ν + 2  hωc + 2 hωc  



= ± {2 M ( nhωc )}
1/ 2
(4.8)
= ± {2nheB / c}
1/2
s +1
, n =ν +
2
Şeklinde olduğunu görmek mümkündür. Burada M siklotron hareketi yapan parçacığın
kütlesi olarak bilinir. Denklem 4.8 ifadesi göreli Landau enerji seviyelerini verir. Spin
yönelimlerine göre; s=1 (↑) iken ν=n-1, s=-1 (↓) iken ise ν=n değerini alır. Çözüm, hem
pozitif hem de negatif enerjileri içerir. Pozitif enerjiler için spin yönelimlerine göre
çözümleri
 I n −1 ( x′) 
,
 0 
0 

 I n ( x′) 

ϕ + ( x) = 
şeklinde
yazmak
ϕ− ( x) = 
mümkündür.
(4.9)
Denklem
4.2’deki
χ’yi
tespit
ederek,
dalga
fonksiyonunun geri kalan alt iki bileşeni bulunarak, toplam dalga fonksiyonu
 I n −1 ( x′) 


e  0 
ψ+ =
,
Ly  0 


 iI n ( x′) 
ik y y
0


 I ( x′) 
e  n

ψ− =
Ly  −iI n −1 ( x′) 


0


ik y y
(4.10)
şeklinde ifade edilebilir. Benzer süreç negatif enerjili çözümler için de işletilirse,
çözümler
 0 
 iI ( x%′) 
e
 n
,
%
ψ+ =
Ly  I n −1 ( x% ′) 


 0 
− ik y y
 −iI n −1 ( x% ′) 


0
e


%
ψ− =

0
Ly 


 I n ( x% ′) 
− ik y y
35
(4.11)
olarak
x′=
kolayca
bulunur.
eB
( x+x 0 ) ,
hc
x0 =
1/ 4
chk y
eB
Bu
ifadedeki
, x% ′=
In’ler
eB
( x+x% 0 ) ,
hc
Hn,
x% 0 =-
chk y
eB
Hermite
ve
olmak kaydı ile
 eB

( x + x0 ) 
⋅ exp  −eB( x + x0 )2 / 2hc  ⋅ H n 
2n n !
 hc

1
 eB 
I n ( x′) = 

 π hc 
polinomları
(4.12)
ile verilir. Bu çözümlere ait normalizasyon katsayısı ise
∫d
2
r
r ⋅ψ +*ψ + = ∫ dx ⋅ N 2 [ I n −1
 I n −1 
 0 
0 0 −iI n ]   = 1
 0 
 
 iI n 
(4.13)
şartından N 2 =1/2 olarak bulunur. Bu durumda periyodik magnetik ve elektrostatik
modülasyonların varlığında, γ, enerji minimize edilerek bulunacak bir varyasyon
parametresi olmak üzere,
1/ 4
γ2 
I n (γ ) =  
π 
1
2 n!
n
⋅ exp  −γ 2 ( x + x0 ) 2 / 2  ⋅ H n [γ ( x + x0 )]
(4.14)
Pozitif enerjiler için
 I n −1 (γ ) 
 0 
e

,
ψ+ =
2 Ly  0 


 iI n (γ ) 
ik y y
0


 I (γ ) 
e
 n

ψ− =
2 Ly  −iI n −1 (γ ) 


0


ik y y
(4.15)
Şeklinde seçmek akla gelen ilk düşüncedir. γ parametresinin Landau ayarına
A=(0,Bx,0) ait tam çözümü karşılayıp karşılamayacağı,
36

0

r
2
*
E% ( γ ) = ∫ d r ⋅ψ + (γ ) 
 r e
 σˆ ⋅  p +
c
 
e r 
r

σˆ ⋅  p + A  
c
r
A

0

ψ
⋅ (γ )
 +


(4.16)
ifadesinden test edilebilir. Vektör potansiyel için, Landau ayarı kullanılırsa Denklem
4.16
)
(
1
2eB

E% (γ ) =  h ∫ dx I n′ I n −1 − I n −1′ I n + 2hk y ∫ dxI n I n −1 +
dx ⋅ xI n I n −1 
∫
2
c

1
eB
1
=  h 2n ⋅ γ +
2n ⋅ 
2
c
γ
(4.17)
şekline sokulabilir. Enerji ifadesini minimize eden γ parametresi
∂E%
eB
1
= h 2n −
2n 2 = 0
∂γ
γ
c
eB
γ2 =
hc
(4.18)
γ parametresinin pozitif kökü kullanılırsa; enerji için
1/ 2
E% = 2neBh / c =  2 M ( nhωc ) 
(4.19)
ifadesi elde edilir. Dikkat edilirse bu ifade Denklem 4.8 ile uyumludur. Benzer işlemleri
Denklem 4.14’deki spin aşağı durumu için tekrarlamak mümkündür. Bu işlemlerin
sonucunda da Denklem 4.18 ifadesine ulaşılır.
Negatif enerjiler için, benzer şekilde deneme dalga fonksiyonları
1/ 4
2
%I (γ ) =  γ 
 
n
π 
1
2 n!
n
⋅ exp  −γ 2 ( x + x%0 ) 2 / 2  ⋅ H n [γ ( x + x%0 )]
37
(4.20)
olmak üzere
 0 

− ik y y  %
e
 iI n (γ )  ,
ψ% + =
2 Ly  I%n −1 (γ ) 


 0 
 −iI%n −1 (γ ) 

− ik y 
0
e y 

ψ% − =


0
2 Ly
 %

 I n (γ ) 
(4.21)
şeklinde seçilebilir. Bu durumda, benzer şekilde, enerji bağıntısı
r *  r e r
E% (γ ) = ∫ d 2 r ψ
⋅ % + (γ )  p + A ψ + (γ )
c 

1
2eB

=  h ∫ dx I%n′ I%n −1 − I%n′ −1 I%n − 2hk y ∫ dxI%n I%n −1 +
dx ⋅ xI%n I%n −1 
∫
2
c

1
eB
= h 2n ⋅ γ +
2n ⋅
c
γ
(
)
(4.22)
olacak şekilde bulunur. Benzer şekilde enerji ifadesi γ’ ya göre minimize edilirse,
Denklem 4.18’deki aynı γ ifadesine ulaşılır. Ancak, γ’nın negatif kökü kullanılırsa,
negatif enerjilere ait Denklem 4.8
1/ 2
E% = − 2neBh / c = −  2 M ( nhωc ) 
(4.23)
şeklinde elde edilir. Negatif enerjide de spin aşağı durumu için benzer işlemler
tekrarlandığında yine yukarıdaki enerji ifadesi elde edilir.
Grafen düzlemine dik bir magnetik alanda, B=(B+B0cosKx)·z ve V(r)=V0cosβ(2πx/c’)
elektrik modülasyonundaki katkıları bulabilmek için yukarıda betimlenen deneme dalga
fonksiyonu
kullanılacaktır.
Bu
magnetik
alana
karşılık
gelen
ayar
ifadesi
A=(0,Bx+(B0/K)sinKx,0) olmak ve elektrik modülasyonda Dirac denklemine zamansal
terim olarak dahil olmak kaydıyla toplam Hamiltonyen aşağıdaki gibi yazılır.
38
r e r
r
H = αˆ ( p + A) + V (r )
c
(4.24)
şeklinde yazılır. Bu Hamiltonyenden spin yukarı durumu için enerji hesap edilmek
istediğinde, dalga fonksiyonu olarak Denklem 4.15 ifadesi kullanılır.
#1 sembolü
e
r


V
r
⋅
Ι
σ
p
+
σ
p
+
σ y Ay 
(
)
x
x
y
y

c
#1 = 

r
σ p + σ p + e σ A

V (r )⋅Ι
y y
y y
 x x

c
(4.25)
matrisini göstermek üzere Denklem 4.24’ün beklenen değeri
E% +± = ψ ±* #1 ψ ±
Ly
Ly
+∞
+∞
1
2π x  2

2
=
{ ∫ dy ∫ dx  cos β
 ( I n −1 + I n ) + ∫ dy ∫ dx ⋅ h ( I n′ I n −1 − I n′ −1 I n )
c′ 
2 Ly 0 −∞ 
0
−∞
Ly
+∞
Ly
0
−∞
0
Ly
+∞
+∞
+ ∫ dy ∫ dx ⋅ 2hk y I n I n −1 + ∫ dy ∫ dx ⋅
+ ∫ dy ∫ dx ⋅
0
−∞
−∞
(4.26)
2eBx
I n I n −1
c
2eB0
sin Kx ⋅ I n I n −1}
cK
şeklinde yazılabilir. Negatif enerji için spin yukarı ve spin aşağı durumunun enerji
ifadesi de aşağıdaki gibidir.
E% −± = ψ% ±* #1 ψ% ±
Ly
+∞
Ly
+∞
1
2π x  % 2

%2
% %
% %
=
{ ∫ dy ∫ dx  cos β
 I n −1 + I n + ∫ dy ∫ dx ⋅ h I n′ I n −1 − I n′−1 I n
′
2 Ly 0 −∞ 
c 
0
−∞
Ly
+∞
Ly
+∞
(
Ly
)
+∞
2eBx % %
− ∫ dy ∫ dx ⋅ 2hk y I%n I%n −1 + ∫ dy ∫ dx ⋅
I n I n −1
c
0
−∞
0
−∞
+ ∫ dy ∫ dx ⋅
0
−∞
2eB0
sin Kx ⋅ I%n I%n −1}
cK
39
(
)
(4.27)
Analitik olarak Denklem 4.26 ve Denklem 4.27’deki integralleri (Gradshteyn and
Ryzhik 1965) almak mümkündür. Bu yapılacak olursa,
1
eB
1
E% ± (γ ) = [h 2n ⋅ γ +
2n ]
2
c
γ
1  eB
+  0
2 c
 c hk y 
 K 2   V0
21
⋅ exp  − K 2 / 4γ 2  ⋅ cos  K
 ⋅ Ln′ −1  2   + ⋅ Ξ β
nγ
eB 

 2γ   2
(4.28)
Bu enerji ifadesinde γ’ nın pozitif değerleri pozitif enerjilere karşılık gelirken, negatif
değerleri negatif enerjilere karşılık gelir. Modülasyon frekansı ωo =eB0/ħc şeklindedir.
Ξβ ifadesi ise, β’ nın çift yada tek olmasına göre,
Ξ Çift
β =

1   2β  β −1  2β 
+ 2∑   exp  −4π 2 ( β − k ) 2 / c′2γ 2  

2β  
2   β  k =0  k 

×  Ln −1 8π 2 ( β − k ) 2 / c′2γ 2  + Ln 8π 2 ( β − k ) 2 / c′2γ 2  
× cos ( ( 4π x0 / c′ ) ( β − k ) ) ,
ΞTek
β
1  β −1  2β − 1
2
2
2 2 
= 2 β − 2  2∑ 
 exp  −π (2β − 2k − 1) / c′ γ  
2
 k =0  k 

×  Ln −1  2π 2 (2β − 2k − 1) 2 / c′2γ 2  + Ln  2π 2 (2β − 2k − 1) 2 / c′2γ 2  
× cos ( ( 2π x0 / c′ ) (2β − 2k − 1) )
şeklinde verilir. β’ nın çeşitli değerleri için Ξβ ifadesi
40
(4.29)
Ξ0 = 1
Ξ1 = exp[−π 2 / c′2γ 2 ]cos(2π x0 / c′) ⋅  Ln −1  2π 2 / γ 2 c′2  + Ln  2π 2 / γ 2 c′2   ,
1
1 + exp[−4π 2 / c′2γ 2 ]cos(4π x0 / c′) ) ⋅  Ln −1 8π 2 / γ 2 c′2  + Ln 8π 2 / γ 2 c′2   ,
(
2
1
Ξ3 = exp[−9π 2 / c′2γ 2 ]cos(6π x0 / c′) ⋅  Ln −1 18π 2 / γ 2 c′2  + Ln 18π 2 / γ 2 c′2  
4
(4.30)
3
+ exp[−π 2 / c′2γ 2 ]cos(2π x0 / c′) ⋅  Ln −1  2π 2 / γ 2 c′2  + Ln  2π 2 / γ 2 c′2   ,
4
1
Ξ 4 = ( 3 + exp[−16π 2 / c′2γ 2 ]cos(8π x0 / c′) )
2
1
×  Ln −1 32π 2 / γ 2 c′2  + Ln 32π 2 / γ 2 c′2  
2
Ξ2 =
+ 2 exp[−4π 2 / c′2γ 2 ]cos(4π x0 / c′) ⋅  Ln −1 8π 2 / γ 2 c′2  + Ln 8π 2 / γ 2 c′2  
şeklini alırlar. β=0 durumu periyodik bir elektrik modülasyonunun olmadığı bir durumu
tasvir etmektedir. K’=2π/c’, c’ elektrik modülasyonunun periyodu olmak kaydıyla,
magnetik modülasyonun periyodunun elektrik modülasyonun periyoduna oranı p=a0/c’
şeklinde ifade edilebilir. β=1 durumu dikkate alınırsa Denklem 4.28
1
h
1
E% ± (γ ) = [h 2n ⋅ γ + 2 2n ]
γ
2
l
 2π 2 
 2π 2  
1 h 2 1
l k y  ⋅ Ln′ −1  2 2  
+  2
⋅ exp ( −π 2 / a02γ 2 ) ⋅ cos 
2 l0 n γ
 a0

 a0 γ  
V
2π ⋅ p 2
+ 0 ⋅ exp[− p 2π 2 / a02γ 2 ]cos(
l ky )
2
a0
(4.31)



2π 2 
2π 2  
×  Ln −1  p 2 2 2  + Ln  p 2 2 2  
 a0 γ 
 a0 γ  

biçimini alır. Bu ifadede ℓ, ℓ2=cħ/eB şeklinde ifade edilen magnetik uzunluktur. Benzer
şekilde diğer bir uzunluk ifadesini de ℓ02= cħ/eB0 olarak vermek mümkündür. E% ’nın
paydasını ħ ile, payı ise a0 ile çarpıldığı takdirde yeni ifadeyi boyutsuz Fermi
momentumu
olarak
isimlendirmek
mümkündür.
41
Buna
ek
olarak,
l =l /a 0 ,
l0 =l 0 /a 0 ,
,γ=γ ⋅ a 0 ,
k y =k y ⋅ a 0 boyutsuz değişkenleri de tanımlanarak,
Denklem 4.31,
1
1
1
E ± (γ ) = [ 2n ⋅ γ + 2 2n ]
γ
2
l
 2π 2  
1 1 2 1
+  2
⋅ exp ( −π 2 / γ 2 ) ⋅ cos ( 2π l 2 k y ) ⋅ Ln′ −1  2  
2  l0 n γ
 γ 
V ⋅a
+ 0 0 ⋅ exp[− p 2π 2 / γ 2 ]cos(2π ⋅ p ⋅ l 2 k y )
2 hv F
(4.32)

 2π 2 
 2π 2  
×  Ln −1  p 2 2  + Ln  p 2 2  
γ 
γ 



Bu suretle Denklem 4.32 tamamıyla boyutsuz hale gelir. Burada grafen için tipik olarak,
a0=350 nm, vF=106 m/s değeri için V0·0.53 [meV]-1 değerleri kullanılır.
%
Grafen için karakteristik magnetik alan ise, B=0.0054
T olmak üzere
l2 =
hc
B%
=
2
eBa0 B
(4.33)
ile verilir. Denklem 4.32’deki Laguerre polinomunun türevini içeren kısım, bu
polinomlar için üretici fonksiyonlar kullanılarak sadeleştirildiğinde, boyutsuz enerji
ifadesi
42
1
1
1
E ± (γ ) = [ 2n ⋅ γ + 2 2n ]
2
l
γ

1 γ
+  2 2 2n ⋅ exp ( −π 2 / γ 2 ) ⋅ cos ( 2π l 2 k y ) 
2  l0 ⋅ π

 2π 2 
 2π 2  
1
×  Ln −1  2  − Ln  2  
2
 γ 
 γ 
V ⋅a
+ 0 0 ⋅ exp[− p 2π 2 / γ 2 ]cos(2π ⋅ p ⋅ l 2 k y )
2 hv F
(4.34)

 2 2π 2 
 2 2π 2  
×  Ln −1  p
+ L  p

γ 2  n
γ 2 


şeklini alır. Bu denklemin sadece magnetik modülasyonu içeren kısmı dikkate
alındığında, γ=±(eB/ħc)1/2 değer için Tahir and Sabeeh’in (2008) çalışmasındaki
pertürbasyon sonuçlarını elde edilir.
Denklemin sadece elektrik modülasyonu içeren kısmı dikkate alındığında ise,
γ=±(eB/ħc)1/2 değeri için Matulis and Peeters’ın (2007) çalışmasındaki pertürbasyon
sonuçları elde edilir. (Matulis and Peeters 2007).
Bu çalışmada izlenen yöntem, pertürbe terimleri varyasyon tekniği yardımıyla
hesaplamaya dayanmaktadır. Bu tekniğin pertürbasyon tekniğine göre üstünlüğü,
yukarıdaki durumlarda pertürbasyon hesabı ile elde edilen sonuçların, γ parametresinin
sadece (γ=±(eB/ħc)1/2) değerindeki sonuçlara karşılık gelmesidir. Ancak varyasyon
tekniği kullanılarak elde edilen Denklem 4.34’e dikkat edildiği taktirde, bu denklemi
minimize eden her γ değeri için daha iyi sonuçlar elde etmek mümkündür. Bu vesileyle
tam çözüme oldukça yakın çözümler hesap edilebilir.
“MATHEMATICA 8.0” adlı programın altında çalışan “NMinimize” adlı komut
kullanılarak Denklem 4.34’ün global minimumları bulunmuştur ve bunlar Şekil 4.1’de
sunulmuştur. Bu iki tekniğin verdiği sonuçları karşılaştırmak bakımından bu grafik
oldukça önemlidir.
43
Şekil 4.1.a. Pertürbasyon, b. Varyasyon teknikleri ile hesaplanmış farklı enerji
seviyelerindeki özdeğerler, c. İki teknik arasındaki fark
Sadece periyodik magnetik modülasyon olduğu durumda n-1 ile orantılı olarak
dejenereliğin tekrar oluştuğu noktaların mevcut olduğu Şekil 4.2’den anlaşılabilir. Şekil
4.2’ye dikkat edildiği takdirde, magnetik modülasyondan dolayı oluşan yarılmaları
görmek mümkündür. Landau düzeylerindeki bu yarılmalar n kuantum sayısının
fonksiyonu olarak salınırlar, çünkü Laguerre polinomlarındaki Ln(u) “n” kuantum
sayısının salınımsal fonksiyonudur. Bu yarılmalarının oluşmasıyla Weiss salınımlarını
da görmek mümkün hale gelir. Weiss salınımları kosinüslü terimlerin katkısıyla görünür
hale gelir. yatay eksen magnetik alanın tersinin karesiyle orantılıdır. Dolayısıyla
başlangıç noktası, magnetik alanın sonsuz değerine karşılık gelir. Yüksek magnetik
alanda yarılmalarla oluşan salınımlar baskınken magnetik alan etkisi azaldıkça
dejenereliğin tekrar oluştuğu noktaları gözlemlemek mümkün hale gelir. Eğriler ky·a0
parametresinin 0 ve a02/2ℓ2 değerleri için çizilmiştir. Bu eğriler yardımıyla, n=1
seviyesinde yüksek magnetik alanda salınımlar baskınken, a0/ℓ≅0.7 noktasında
yarılmalar ortadan kalkar, n=2 seviyesinde keza yüksek magnetik alanda salınımlar
44
baskınken, dejenereliğin tekrar oluştuğu a0/ℓ≅0.3 noktası mevcuttur. Benzer şekilde
n=3 seviyesinde a0/ℓ≅0.25 ve a0/ℓ≅0.5, n=4 seviyesinde ise a0/ℓ≅0.21, a0/ℓ≅0.41 ve
a0/ℓ≅0.62 noktaları dejenereliğin tekrar oluştuğu noktalar olarak göze çarpmaktadır.
Şekil 4.2 Magnetik modülasyonda enerji seviyeleri
Sadece elektrik modülasyonun olduğu durumlar dikkate alındığında, yine benzer bir
durum söz konusudur. Şekil 4.3’deki eğriler ky·a0 parametresinin 0 ve a02/2ℓ2 değerleri
için çizilmiştir. Şekil 4.3’e dikkat edildiği takdirde, magnetik modülasyondan farklı bir
davranış dikkat çeker. Magnetik modülasyonda dejenereliğin tekrar oluştuğu noktalar
“n-1” ile orantılıyken, elektrik modülasyonun olduğu durumda bu noktalar n ile
orantılıdır. Birinci enerji seviyesinde ki bu durum taban durumudur, dejenereliğin tekrar
oluştuğu tek nokta vardır. Bu nokta a0/ℓ≅0.33 tür. Yine elektrik modülasyonun olduğu
durumlarda da yüksek magnetik alanlarda yarılmalarla oluşan salınımlar baskındır.
Weiss salınımlarını da gözlemlemek yine mümkündür. İkinci enerji seviyesinde
dejenereliğin tekrar oluştuğu iki nokta mevcuttur. Bu noktalar a0/ℓ≅0.2 ve a0/ℓ≅0.55 tir.
Üçüncü enerji seviyesinde dejenereliğin tekrar oluştuğu noktalar a0/ℓ≅0.18, a0/ℓ≅0.29
45
ve a0/ℓ≅0.66 noktaları iken dördüncü enerji seviyesinde a0/ℓ≅0.12, a0/ℓ≅0.33,
a0/ℓ≅0.54 ve a0/ℓ≅0.83 noktalarıdır.
Şekil 4.3 Elektrik modülasyonda enerji seviyeleri
Magnetik modülasyonun ve elektrik modülasyonun olduğu durumda, her iki
modülasyonun periyotlarının oranı p= a0/c’ şeklinde karşılaştırmak, parçacığın
davranışını anlamak açısından oldukça önemlidir. Şekil 4.4’e dikkat edildiğinde p=0.5
iken yani elektrik modülasyonun periyodunun magnetik modülasyonun periyodundan
büyük olduğu durumda, yüksek magnetik alanda yarılmalar gözlenmektedir. Ancak
magnetik alan azaldıkça, hatta sıfıra yaklaşırken bile bu yarılmalar ile oluşan salınımlar
kendini göstermeye devam eder. Bu durum, magnetik alan sıfır olsa dahi, elektrik
modülasyonun etkisiyle oluşan yarılmaların devam edeceği şeklinde yorumlanabilir.
p=1 durumu dikkate alındığında, ki bu durum magnetik modülasyonun periyodu ile
elektrik modülasyonun periyodunun eşit olduğu rezonans durumudur, parçacık tıpkı
sadece elektrik modülasyonun olduğu durumdaki gibi davranır. Bu durumu, her iki
modülasyondan gelen pertürbe katkıların birbirlerini yok edeceği şeklinde yorumlamak
46
mümkündür. p=2 durumu dikkate alındığında ise, yani magnetik modülasyonun
periyodunun elektrik modülasyonun periyodundan büyük olduğu durumda, parçacık
tıpkı sadece magnetik modülasyonun olduğu durum gibi davranır (Şekil 4.4).
Şekil 4.4 Modülasyonların periyotlarının oranlarına göre enerji seviyeleri
Kütlesiz Dirac fermiyonları ile parabolik enerji spektrumuna sahip elektronların enerji
spektrumu
karşılaştırılmak
istediğinde,
dikkat
çekici
farkların
ortaya
çıktığı
gözlenmiştir. Şekil 4.5 sadece magnetik modülasyonun bulunduğu durumda, farklı n
değerleri için göreli ve göreli olmayan boyutsuz enerji spektrumunu gösterir. Her iki
eğride ky·a0 parametresinin 0 ve a02/2ℓ2 değerleri için çizilmiştir. Grafik çizilirken
ℓ0/ℓ=2 durumu dikkate alınmıştır. Göreli olmayan durumda enerji spektrumunun n
bağımlılığı bulunmasına karşılık, göreli durumda bu bağımlılık √n ile orantılıdır. Bu
bakımdan göreli olmayan durumda n=0, 1, 2… gibi tamsayı değerleri alırken, göreli
durumda n kuantum sayısı 1’ den başlamak kaydıyla n=1, 2, 3… tamsayı değerleri alır.
Dolayısıyla n=0 durumunda göreli enerjiye ait eğri bulunmamaktadır. Her iki durum
arasında diğer dikkat çekici fark dejenereliğin tekrar oluştuğu noktalardır. Göreli
olmayan durumda dejenereliğin tekrar oluştuğu nokta sayısı “n” ile orantılıyken, göreli
47
durumda “n-1” ile orantılıdır. Göreli olmayan durumda küçük magnetik alan
aralıklarında yüksek genlikli salınımlar mevcutken, göreli durumda büyük magnetik
alan aralıklarında düşük genlikli salınımlar mevcuttur. Düşük magnetik alanlarda,
kütlesiz Dirac fermiyonlarının yaptığı Weiss salınımlarının, parabolik spektruma sahip
elektronların yaptığı Weiss salınımlarından daha baskın olduğunu söylemek
mümkündür (Şekil 4.5).
Şekil 4.5 Magnetik modülasyonda Göreli ve Göreli olmayan boyutsuz enerji ifadesi
Sadece magnetik modülasyonun olduğu durumda göreli enerji ifadesi Ê=Ea 0 / hvF
boyutunda olmak üzere
48
1
1
1
Eˆ = [ 2n ⋅ γ + 2 2n ]
γ
2
l

1 γ
+  2 2 2n ⋅ exp ( −π 2 / γ 2 ) ⋅ cos ( 2π l 2 k y ) 
2  l0 ⋅ π

 2π 2 
 2π 2   1
1
×  Ln −1  2  − Ln  2   − ⋅ 2n
2
 γ 
 γ  l
(4.36)
şeklindedir. Aynı boyutta olmak kaydıyla, sadece magnetik modülasyonun bulunduğu
durumda göreli olmayan boyutsuz enerji ifadesi benzer hesaplar sonucu,
1 
1 1 1 
1
1 1
Eˆ = γ 2  n +  +
n+ +
4 2 
2 
2 2 l γ 
2  16π 2 l04
× 1 − cos ( 4π k y l 2 ) exp ( −4π 2 / γ 2 ) Ln ( 8π 2 / γ 2 ) 
π

1 1
+
exp[−π 2 / γ 2 ]  2 cos[2π k y l 2 ]
2 2
2π l l0
γ

(4.35)
1 1

×  Ln ( 2π 2 / γ 2 ) + 2 Ln′ −1 ( 2π 2 / γ 2 )  −  n +  2
2 l

olarak bulunabilir, burada Ê=
a 0 E/h
şeklindedir
h /m*a 0
Sonuç itibariyle çalışmanın bu kısmında tek tabaka grafen için tasvir edilen sistemdeki
Weiss salınımları incelenmiştir. Gerek magnetik modülasyonda gerekse elektrik
modülasyonda kütlesiz Dirac parçacığının davranışı analiz edilmiştir. Pertürbe
terimlerin katkıları varyasyon tekniği ile hesap edildiği takdirde, pertürbasyon tekniği
ile hesap edilen katkılardan daha doğru sonuç verdiğine kanaat getirilmiştir. Tek tabaka
grafen için tasvir edilen bu sistem, grafenin elektronik özelliklerini anlamak bakımından
oldukça önemlidir.
49
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
Çok sayıda farklı yapıya bürünerek alışılmadık karmaşık davranışlar sergileyen karbon,
doğada eşsiz bir öneme sahiptir. Bu yapılardan hem fizikçilerin hem de kimyacıların
ilgisinin odaklandığı iki boyutlu grafen, oldukça ilgi çekici fiziksel özelliklere sahip
olduğu keşfedilmiştir. Bu özelliklerin tespitinde, iki boyutlu kristallerin kararlı
olamayacağı düşüncesiyle birçok zorluklarla karşılaşılmıştır. Ancak deneysel analizlerin
çeşitlilik göstermesiyle bu tip zorluklar bertaraf edilmiş ve grafenin konvansiyonel
olarak bilinen birçok özelliği gözlenmiştir. Grafenin elektronik özellikleri bu çalışmanın
odak noktasını oluşturmuştur. Değme noktalarında konik band yapısına sahip olan
grafenin bu özelliği, lineer bir enerji spektrumunu gerektirir. Bu spektrumu veren
denklem ise Dirac denklemidir. Bu gerekliliğe çalışmanın ilk kısmında değinilmiştir.
Dirac denklemi doğası itibariyle birçok ilginç fiziksel olguları içinde barındırır. Bu
bakımdan literatürde çoğunlukla yüksek enerji fizikçilerin kullandığı göreli bir denklem
olan Dirac denklemi, bu bağlamda yoğun madde fizikçilerinin de ilgisini çekmeye
başlamıştır. Dirac denkleminin göreli doğası Klein Paradoksu, Zitterbewegung gibi
ilginç olguları da beraberinde getirir. Bu çalışmada da değinilen Klein Paradoksu,
potansiyel engele gelen bir parçacığın mükemmel tünellemesiyle alakalıdır.
Çalışmadaki analizler sonucu bazı açı değerlerinde mükemmel tünelleme gözlenmiştir.
Grafende diğer dikkat çekici bir özellik ise kuantum Hall etkisindeki anormalliklerdir.
Landau platolarının yarım tamsayılı kuantum düzeylerinde gözlenmesiyle bu anormallik
söz konusu olmuştur. Yarım tamsayılı kuantum Hall etkisi ile ilgili teorik ve deneysel
verilerin uyuşmamasından dolayı, bu etki günümüz fiziğinin ufkunda incelenmesi
gereken bir problem olarak literatürde yerini almıştır. Diğer bir dikkat çekici özellik ise,
grafende gözlenen minimal iletkenliktir. Bu olguya çalışmada az da olsa değinilmiştir.
Grafendeki minimal iletkenlikte incelenecek diğer problemlerden biri olarak literatürde
yerini almıştır. Grefendeki fizik hakikaten oldukça ilginç fiziksel kavramlara yeni
açılımlar getirmesi öngörülmektedir. Bunlardan bir tanesi ince yapı sabitidir, evrensel
bir sabit olan ince yapı sabitinin evrenselliği, grafendeki çiftlenim sabitinin değişkenlik
göstermesiyle tartışılır konuma gelmiştir.
50
Çalışmanın üçüncü bölümünde Dirac denklemi incelenmiştir. Göreli bir denklemin
Lorentz dönüşümleri altında değişmez kalması gerekliliği, Dirac denkleminin kökenine
ışık tutmuştur. Dirac denklemininde kütle teriminin düşürülmesi ile, kütlesiz
parçacıkları açıklayan Weyl denklemi ortaya çıkar. Bu bakımdan nötrino için kullanılan
Weyl denklemi, grafendeki yük taşıyıcıları olan kütlesiz Dirac fermiyonları için de
uygun bir denklem olduğu düşünülmüştür.
Çalışmanın son kısmında ise periyodik magnetik ve elektrik modülasyonda kütlesiz
Dirac fermiyonları incelenmiştir. Dirac Hamiltonyenine, magnetik modülasyon ayar ile
dahil olurken, elektrik modülasyon elektrik alan bileşeni, yani zamansal terim olarak
dahil olmuştur. Hesaplama tekniği bakımından varyasyon tekniği kullanılmıştır. Landau
ayarında sadece üniform magnetik alan durumundaki problemin dalga fonksiyonları
deneme dalga fonksiyonu olarak kabul edilerek pertürbe terimlerin katkısı
hesaplanmıştır. Böyle bir sistemin grafeni tasvir ettiği düşünülürse, hesaplamalar
sonucu elde edilen enerji spektrumu, grafenin elektronik özelliklerini anlamak
bakımından oldukça önemlidir. Ancak tam bir tasvir muhtemel elekton – fonon ve
elektron – elektron etkileşmelerini de içermek kaydıyla daha anlamlı olacaktır. Yapılan
analizler, hem magnetik modülasyon için hem de elektrik modülasyon için literatürde
bulunan, pertürbasyon tekniği ile yapılmış, hesaplardan daha iyi sonuçlar elde
edilebileceğini göstermişlerdir. Ayrıca, bu analizler sonucu Weiss salınımları ve
dejenereliğin tekrar oluştuğu noktalar gözlenmiştir. Göreli olmayan eşdeğeri ile
karşılaştırma imkanı da elde edilmiştir.
Grafen yeni nesil teknolojiler için silikon tabanlı cihazların alternatifi olarak
düşünülmektedir. Gösterdiği elektronik ve optik özellikler bakımından grafene olan ilgi
artmıştır. Bu tezde gerçekleştirilen çalışmanın, literatürdeki grafene ait temel bilgileri
vermek ve grafenin elektronik özelliklerini incelemek adına, yeni bir bakış açısı
oluşturmak bakımından önemli olduğu düşünülebilir.
51
KAYNAKLAR
Anonymous. 2000. Web sitesi. http://en.wikipedia.org. Erişim Tarihi: 19.04.2008.
Gradshteyn, I.S. and Ryzhik, I.H. 1994. Table of Integrals, Series, and Products.
Academic Press. 1204p.. New York.
Greiner, W. 2000. Relativistic Quantum Mechanics Wave Equations. Springer. 424 p.,
Newyork.
Katsnelson, M.I., Novoselov, K.S. and Geim, A.K. 2006. Chiral tunelling and Klein
paradox in graphene. Nature, 2, 620-625.
Katsnelson, M.I. 2006. Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in
graphene. The European Physical Journal B, 51,157.
Katsnelson, M.I. 2007. Graphene: carbon in two dimensions. Materialstoday, 10, 20-27.
Matulis, A. and Peeters, F.M. 2007. Appearance of enhanced Weiss oscillations in
graphene:Theory. Physical Review B, 75(125429), 1-5.
Moskowitz, J., Ho, P. and Kuncik, D. 2006. Research experience for undergraduates
presentations. www.princeton.edu/~pccm/outreach/REU2006/. Erişim Tarihi:
14.03.2007.
Neto, A.H.C., Guinea, F., Peres, N.M.R, Novoselov, K.S. and Geim, A.K. 2007. The
electronic properties of graphene, http://arxiv.org/abs/0709.1163v1. Erişim
Tarihi: 15.01.2008.
Novoselov, K.S., Jiang, D., Schedin, F., Booth, T.J., Khotkevich, V.V., Morozov, S.V.
and Geim, A.K. 2005a. Two-dimensional atomic crystals. Proseedings of the
National Academy of Science of the United States of America, 102 (30),
10451-10453.
Novoselov, K.S., Geim, A.K., Morozov, S.V., Jiang, D., Katsnelson, M.I., Grigorieva,
I.V., Dubonos, A.V. and Firsov, A.A. 2005b. Two-dimensional gas of
massless Dirac fermions in graphene. Nature, 438,197-200.
Novoselov, K.S. and Geim, A.K. 2007. The rise of graphene. Nature, 6, 183-191.
Semenoff, W.G. 1984. Condensed-Matter Simulation of a Three-Dimensional Anomaly.
Physical Review Letters, 53(26), 2449-2452.
Strange, P. 1998. Relativistic Quantum Mechanics with applications in condensed
matter and atomic physics. Cambridge University Press. 594 p., New York.
52
Tahir, M. and Sabeeh, K. 2008. Quantum transport electrons in graphene in the
presence of a spatially modulated magnetic field. Physical Review B,
77(195421), 1-5.
Wallece, P.R. 1946. The Band Theory of Graphite. Physical Review Letters. 71(9), 622634.
53
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Aybey MOĞULKOÇ
Doğum Yeri : Ankara
Doğum Tarihi: 11.09.1983
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Ankara Atatürk Anadolu Lisesi (2000)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Fizik Mühendisliği
Bölümü (Şubat 2005)
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği
Anabilim Dalı (Şubat 2005-Temmuz 2008)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümünde Araştırma Görevlisi 2007
54