ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
TENSÖR ÇARPIM YÜZEYLERİ VE LİE GRUPLARI
Sıddıka ÖZKALDI
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2010
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
TENSÖR ÇARPIM YÜZEYLERI· VE LI·E GRUPLARI
S¬dd¬ka ÖZKALDI
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Prof.Dr. Yusuf YAYLI
Bu tez dört bölümden oluşmaktad¬r.
I·lk bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
I·kinci bölümde, tezde kullan¬lacak baz¬temel tan¬m ve teoremlerden bahsedilmiştir.
Üçüncü bölümde, Öklidyen düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeyleri ele al¬nm¬şt¬r.
Bikompleks say¬lar kullan¬larak, Öklidyen düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeylerinin baz¬Lie gruplar¬elde edilmiştir.
Dördüncü bölümde, bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin
tensör çarp¬m yüzeyleri ele al¬nm¬şt¬r. Son olarak, bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile
bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör çarp¬m yüzeylerinin baz¬özel Lie altgruplar¬
bikompleks say¬lar kullan¬larak elde edilmiştir.
Temmuz 2010, 62 sayfa
Anahtar Kelimeler : Tensör çarp¬m yüzeyleri, Lie Grubu, Bikompleks say¬, Öklidyen e¼
gri, Lorentzian e¼
gri.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
TENSOR PRODUCT SURFACES AND LIE GROUPS
S¬dd¬ka ÖZKALDI
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof.Dr. Yusuf YAYLI
This thesis consists of four chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
The second chapter, concepts and de…nitions which are needed in the further chapters
are given.
In the third chapter, tensor product surfaces of Euclidean plane curve are discussed.
Tensor product surfaces of Euclidean plane curve obtained some speci…c subgroups
by using bicomplex number.
In the fourth section, the tensor product surfaces of a Lorentzian plane curve and a
Euclidean plane curve are discussed. By using bicomplex number, some speci…c Lie
subgroups obtained of the tensor product surfaces of a Lorentzian plane curve and
a Euclidean plane curve.
July 2010, 62 pages
Key Words: Tensor product surfaces, Lie Group, Bicomplex number, Euclidean
curve, Lorentzian curve.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şma konusunu bana veren ve araşt¬rmalar¬m¬n her aşamas¬nda en yak¬n ilgi
ve önerileriyle beni yönlendiren dan¬şman hocam, Say¬n Prof. Dr. Yusuf YAYLI
(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya, çal¬şmalar¬m esnas¬nda yard¬mlar¬n¬gördü¼
güm
¼
Say¬n Prof. Dr. H.Hilmi HACISALI·HOGLU
(Bilecik Üniversitesi Fen-Edebiyat
¼ (Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat
Fakültesi)’na, Say¬n Prof. Dr. Baki KARLIGA
Fakültesi)’ya ve bana her zaman destek olan aileme en içten sayg¬ve teşekkürlerimi
sunar¬m.
S¬dd¬ka ÖZKALDI
Ankara, Temmuz 2010
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. TANIMLAR VE TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Lie Grubu ve Lie Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Bikompleks Say¬lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
¼ I·LERI·N
3. ÖKLI·DYEN DÜZLEMSEL EGR
TENSÖR ÇARPIM YÜZEYLERI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1 E 4 de Lie Gruplar¬ve Baz¬Özel Altgruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2 M Lie Grubunun Lie Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3 E 4 de M Hiperyüzeyi Üzerinde Tensör Çarp¬m Yüzeyleri
ve Lie Gruplar¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
¼ I· I·LE BI·R ÖKLI·DYEN
4. BI·R LORENTZIAN DÜZLEMSEL EGR
¼ I·NI·N TENSÖR ÇARPIM YÜZEYI· . . . . . . . . .
DÜZLEMSEL EGR
36
4.1. E24 de Lie Gruplar¬ve Baz¬Özel Altgruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2 M Lie Grubunun Lie Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.3 E24 de M Hiperyüzeyi Üzerinde Tensör Çarp¬m Yüzeyleri
ve Lie Gruplar¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
iv
SI·MGELER DI·ZI·NI·
En
n
boyutlu Öklid uzay¬
E21
2
boyutlu Lorentz uzay¬
"
I·şaret matrisi
H
Ortalama E¼
grilik
C2
Bikompleks say¬lar¬n cümlesi
M
Hiperyüzey
Bikompleks say¬lar¬n toplam¬
Bikompleks say¬lar¬n çarp¬m¬
k
ij
Christo¤el sembolleri
g
Riemann metri¼
gi
gij
Riemann metri¼
ginin katsay¬lar¬
h
I·kinci temel form
Laplacian
Tensör çarp¬m¬
v
1. GI·RI·Ş
Tensör çarp¬m immersiyonlar¬n¬n en basit örneklerinden biri tensör çarp¬m yüzeyleridir. Mihai çal¬şmas¬nda, Öklidyen düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeylerini
tan¬mlam¬ş ve bu yüzeyleri, C2 = R4 deki kompleks yap¬lar yard¬m¬yla s¬n¬‡and¬rm¬şt¬r. Daha sonra bu çal¬şmay¬Lorentz düzlemine taş¬m¬ş Lorentzian düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeylerini incelemiştir. K. Arslan ve Mihai, bir Öklidyen düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen uzay e¼
grisinin tensör çarp¬m yüzeylerini elde etmişler ve
bu yüzeyleri C3 = R6 daki kompleks yap¬lar yard¬m¬yla s¬n¬‡and¬rm¬şlard¬r.
K. I·larslan ve E. Nesoviç, bir Lorentz uzay e¼
grisi ile bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin
tensör çarp¬m yüzeylerini ve bir Lorentz düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen uzay e¼
grisinin
tensör çarp¬m yüzeylerini elde etmişlerdir.
Yüzeyler üzerine grup yap¬s¬ koymak, yüzeylerin Lie grubu olmas¬ için önemlidir.
Fakat yüzeyler üzerine grup yap¬s¬koymak oldukça zordur. Örne¼
gin küresel yüzeyler
aras¬nda grup yap¬s¬na sahip olan sadece S 1 ve S 3 dür.
Tensör çarp¬m yüzeylerini Lie grup yap¬s¬ile ele almak konuya zenginlik katacakt¬r.
Bilindi¼
gi gibi, Lie gruplar¬n¬n paralelleştirilebilir olmas¬, yani yüzeyin her noktas¬nda
bir baz olacak şekilde lineer ba¼
g¬ms¬z vektör alanlar¬n¬n bulunabilir olmas¬, Lie grup
yap¬s¬n¬n önemli bir uygulamas¬d¬r.
Bu tezde, bikompleks say¬lar¬n çarp¬m¬n¬kullan¬larak R4 deki baz¬özel hiperyüzeylerin Lie grup yap¬lar¬ elde edilmiştir. Öklidyen düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m
yüzeylerinin Lie grubu olmalar¬ için baz¬ teoremler verilmiş, bu Lie grubunun 1parametreli Lie altgruplar¬elde edilmiştir. Daha sonra, tensör çarp¬m yüzeylerinden
elde edilen Lie grup yap¬lar¬n¬n, s¬ras¬yla, total reel, kompleks veya slant olmalar¬
için gerekli şartlar verilmiştir.
Son olarak, bikompleks say¬lar¬n çarp¬m¬n¬kullan¬larak E42 deki baz¬özel hiperyüzeylerin Lie grup yap¬lar¬ elde edilmiştir. Bunun için Chen’in E42 de vermiş oldu¼
gu
1
Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör çarp¬m kural¬de¼
giştirilerek yeni bir tensör çarp¬m¬ kural¬ tan¬mlanm¬şt¬r. Bu yeni tensör çarp¬m kullan¬larak bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör
çarp¬m yüzeyinin minimal ve total reel olmas¬için gerekli şartlar elde edilmiştir.
2
2. TANIMLAR ve TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde tezde ihtiyaç duyaca¼
g¬m¬z Lie gruplar¬ve buna ilişkin baz¬özeliklerinden
bahsedece¼
giz. Daha sonra bikompleks say¬lar ve bikompleks say¬lara ait baz¬bilgiler
verece¼
giz.
2.1 Lie Grubu ve Lie Cebiri
Tan¬m 2.1 (Lie grubu) Bir M diferensiyellenebilir manifoldu ve bir G grubu
verilmiş olsun. E¼
ger aşa¼
g¬daki aksiyomlar sa¼
glan¬rsa (M; G) ikilisine bir Lie Grubu
denir.
L1 : M nin noktalar¬G nin elemanlar¬ile çak¬ş¬r.
L2 :
M ! M
M
(a; b) ! ab
1
işlemi her yerde diferensiyellenebilirdir.
M ye Lie Grubunun temel manifoldu ve G ye de temel grubu denir (Hac¬saliho¼
glu,
2006).
Tan¬m 2.2 (Lie Cebiri) V bir vektör uzay¬olmak üzere
[
]:
V !V
V
(X; Y ) ! [X; Y ]
işlemi,
1) Bilineer
3
2) Antisimetrik
3) [[X; Y ] ; Z] + [[Y; Z] ; X] + [[Z; X] ; Y ] = 0
özeliklerine sahip ise (X; [; ]) ikilisine bir Lie Cebiri denir (Hac¬saliho¼
glu, 2006).
Tan¬m 2.3 G bir Lie grubu olsun. Belli bir g0 2 G noktas¬nda
lg0 : G ! G
dönüşümü 8g 2 G için
lg0 (g) = g0 g
şeklinde tan¬mlan¬r ve G üzerinde bir sol paralelizm(öteleme) ad¬n¬al¬r.
(Hac¬saliho¼
glu, 2006)
Tan¬m 2.4 (Matris Lie Grubu) [aij ]n
n
: aij 2 R matris uzay¬n¬n bir altmani-
foldu, matrislerin çarpma işlemine göre bir grup ise bu gruba matris Lie grubu denir.
(Hac¬saliho¼
glu, 2006)
Tan¬m 2.5 (Sol I·nvaryant Vektör Alan¬) G bir matris Lie grubu ve G üzerinde
bir vektör alan¬da X olsun. E¼
ger 8g0 ; g1 2 G için
l(g0 ) X(g1 ) = X (g0 g1 )
yani 8g 2 G için
l(g)
X=X
l(g)
ise X vektör alan¬na bir sol invaryant vektör alan¬denir.
l
= X: X2 ;
l(g)
X=X
l(g)
cümlesi X vektör alanlar¬uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r. Bu altuzaya sol invaryant vektör
alanlar¬n¬n uzay¬denir (Hac¬saliho¼
glu, 2006).
4
Teorem 2.1 G bir matris Lie grubu ve G nin sol invaryant vektör alanlar¬n¬n vektör
uzay¬
l
olsun. Bu durumda
l
= TG (e)
dir. Burada e; G nin birim eleman¬d¬r (Hac¬saliho¼
glu, 2006).
Tan¬m 2.6 (Lie Cebiri) G Lie grubunun Lie cebiri, G üzerindeki sol invaryant
vektör alanlar¬n¬n Lie cebiri olarak tan¬mlan¬r. Bunun yan¬nda G Lie grubunun Lie
cebiri olarak, G nin e birim noktas¬ndaki TG (e) tanjant uzay¬n¬Lie cebir yap¬s¬ile
birlikte alabiliriz (Hac¬saliho¼
glu, 2006).
Tan¬m 2.7 G bir Lie grubu ve R reel say¬lar da toplamaya göre bir grup olsun.
E¼
ger
f :R!G
grup homomor…zmi ise f (R) cümlesine G Lie grubunun 1 parametreli alt grubu
denir (O’Neill, 1983).
Önerme2.1 G Lie grubunun 1 parametreli alt gruplar¬ G nin maksimal integral
e¼
grileridir (O’Neill, 1983).
Tan¬m 2.8 (Paralelleştirme) M bir n boyutlu diferensiyellenebilir manifold ve
U
M aç¬k olsun. U üzerindeki ba¼
g¬ms¬z fX1 ; X2 ; :::; Xn g s¬ral¬vektör alanlar¬n¬n
n lisine U üzerinde bir paralizasyon veya paralelleştirme denir (Clark, 1970).
5
2.2 Bikompleks Say¬lar
Bikompleks say¬, s¬ral¬dört say¬n¬n 1; i; j; ij gibi dört birime eşlik etmesiyle tan¬mlanabilir. Burada, i; j; ij birimleri
i2 =
1
j2 =
1
ij = ji
özeliklerine sahiptirler. Böylece, bikompleks say¬x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij olarak
ifade edilebilir. Buradaki x1 ; x2 ; x3 ; x4 reel say¬lar¬na x bikompleks say¬s¬n¬n bileşenleri denir. Bikompleks say¬lar cümlesi C2 ile gösterilir. C2 de bikompleks say¬lar¬n
toplam¬, x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij ve y = y1 1 + y2 i + y3 j + y4 ij olmak üzere
x + y = (x1 + y1 ) 1 + (x2 + y2 ) i + (x3 + y3 ) j + (x4 + y4 ) ij
olarak tan¬mlan¬r.
Bir bikompleks say¬n¬n bir reel skalarla çarp¬m¬, x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij ve
2R
olmak üzere,
x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij
biçiminde tan¬mlan¬r (Price, 1990).
C2 bikompleks say¬lar cümlesi üzerinde çarpma işlemi
ile gösterilir ve aşa¼
g¬daki
gibi tan¬mlan¬r:
1
i
j
ij
1
1
i
j
ij
i
i
1
ij
j
j
j
ij
1
i
ij
ij
j
i
1
(Price, 1990).
C2 ; bikompleks say¬larda toplama ve skalarla çarpma işlemleriyle birlikte 4 boyutlu
bir reel vektör uzay¬d¬r. Ayr¬ca C2 ;
işlemiyle birlikte bir reel cebirdir.
6
Şimdi bikompleks say¬lar¬n matris gösterimini elde edelim. C2 vektör uzay¬n¬n bir
baz¬f1; i; j; ijg dir.
T : C2 ! Hom (C2 ; C2 )
!
x
T (x) = Tx
dönüşümü 8y 2 C2 için,
Tx : C2 !
C2
! Tx (y) = x
y
y
olarak tan¬mlayal¬m. 8x; y; z 2 C2 ; 8 2 R için
Tx (y + z) = Tx (y) + Tx (z);
Tx ( y) =
Tx (y)
oldu¼
gundan Tx dönüşümü lineerdir. Bu lineer dönüşüme karş¬l¬k gelen matrisi elde
edelim.
Tx (1) = x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij
Tx (i) = xi =
x2 1 + x1 i
Tx (j) = xj =
x3 1
Tx (ij) = xij = x4 1
oldu¼
gundan
olarak elde edilir.
2
x1
6
6
6 x2
Tx = 6
6
6 x3
4
x4
x2
x1
x4
x3
7
x4 j + x3 ij
x4 i + x1 j + x2 ij
x3 i
x3
x4
x1
x2
x2 j + x1 ij
x4
3
7
7
x3 7
7
7
x2 7
5
x1
Buna göre, bu cins matrislerin cümlesini Q ile gösterirsek,
82
>
>
x
>
>
6 1
>
>6
<
6 x2
Q= 6
6
>
>
6 x3
>
>
4
>
>
: x
4
dir.
x2
x1
x3
x4
x4
x3
x1
x2
x4
3
7
7
x3 7
7 : xi 2 R; 1
7
x2 7
5
x1
i
9
>
>
>
>
>
>
=
4
>
>
>
>
>
>
;
Q cümlesi, matrislerde toplama ve skalarla çarpma işlemleriyle birlikte bir reel vektör
uzay¬d¬r. Bu vektör uzay¬matrislerdeki çarpma işlemiyle birlikte bir cebirdir. Bu
cebiri (Q; ; ; (R; +; :) ; :) ile gösterelim. Buna göre, x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij
olmak üzere
h : C2 !
x
Q
2
x1
6
6
6 x2
! h (x) = h(x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij) = 6
6
6 x3
4
x4
x2
x1
x4
x3
x3
x4
x1
x2
x4
3
7
7
x3 7
7
7
x2 7
5
x1
ile tan¬mlanan h dönüşümü 1-1 ve örtendir.
Üstelik 8x; y 2 C2 ve 8 2 R için
h (x + y) = h (x)
h ( x) =
h (x
h (y)
h (x)
y) = h (x) :h (y)
dir. Böylece C2 ve Q cebirleri izomorfturlar.
Ayr¬ca bir x1 + ix2 + jx3 + ijx4 bikompleks say¬s¬w; z kompleks say¬lar ve j 2 =
olmak üzere
(x1 + ix2 ) + j(x3 + ix4 ) = w + jz
8
1
şeklinde yaz¬labilir. Buna göre, x bikompleks say¬s¬n¬n i; j; ij bileşenlerine göre
eşlenikleri, s¬ras¬ile, x (i); x (j); x (ij) olmak üzere,
1: x (i) = w + jz = w + j z
= x1
xx
ix2 + jx3
= x21 + x22
x23
2. x (j) = w + jz = w
= x1 + ix2
xx
= x21
jx3
x22 + x23
xx
ix2
x24 + 2j(x1 x3 + x2 x4 )
jz
3. x (ij) = w + jz = w
= x1
ijx4
ijx4
x24 + 2i(x1 x2 + x3 x4 )
jz
jx3 + ijx4
= x21 + x22 + x23 + x24 + 2ij(x1 x4
olarak tan¬mlan¬r (Price, 1990).
9
x2 x3 )
¼ I·LERI·N
3. ÖKLI·DYEN DÜZLEMSEL EGR
TENSÖR ÇARPIM YÜZEYLERI·
En n boyutlu Öklid uzay¬nda, verilen bir Riemann manifoldu için iki immersiyonun
tensör çarp¬m immersiyonu ilk kez Chen taraf¬ndan tan¬mlanm¬şt¬r. Özelikle iki
immersiyonun direkt toplam ve tensör çarp¬m dönüşümleri Decruyenaere taraf¬ndan
aşa¼
g¬daki gibi tan¬mlanm¬şt¬r:
M ve N iki diferensiyellenebilir manifold ve f : M ! Em ve g : N ! En iki
immersiyon olsun. S¬ras¬yla, direkt toplam ve tensör çarp¬m dönüşümleri
f
(f
g:M
g) (p; q) = (f1 (p); :::; fm (p); g1 (q); :::; gn (q)) ;
f
(f
N ! Em+n
N ! Emn
g:M
g) (p; q) = (f1 (p)g1 (q); :::; f1 (p)gn (q); :::; fm (p)g1 (q); :::; fm (p)gn (q))
olarak tan¬mlan¬r (Chen, 1990), (Decruyenaere, 1993).
f
g tensör çarp¬m dönüşümünün de Emn uzay¬nda bir immersiyon oldu¼
gu Decruye-
naere taraf¬ndan elde edilmiştir.
: R ! E2 ; (t) = (
1 (t);
2 (t))
ve
: R ! E2 , (s) = (
1 (s);
2 (s))
iki Öklidyen
düzlemsel e¼
gri olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬
f=
f (t; s) = (
1 (t) 1 (s);
: R2 ! E4
1 (t) 2 (s);
2 (t) 1 (s);
2 (t) 2 (s))
olarak tan¬mlan¬r. Bu tensör çarp¬m yüzeyine ait baz¬özelikleri araşt¬ral¬m.
f (t; s) yüzeyinin tanjant vektörleri,
@f
=(
@t
0
1 (t) 1 (s);
0
1 (t) 2 (s);
10
0
2 (t) 1 (s);
0
2 (t) 2 (s)) ;
@f
=(
@s
0
olarak kolayca hesaplan¬r. Burada
,
0
2 (t) 2 (s))
0
2 (t) 1 (s);
0
1 (t) 2 (s);
0
1 (t) 1 (s);
n¬n t ye göre türevini göstermektedir.
Böylece f (t; s) üzerine indirgenmiş g Riemann metri¼
ginin katsay¬lar¬R4 ün Öklidyen
metri¼
giyle,
@f @f
;
@t @t
2
02
1+ 1
g11 = g
=
02
1
=
2
02
1( 1
02
1
=
+
02 2
2 1
+
02 2
2 2
2
02
2( 1
+
2
2)
+
2
2)
+
(
2
1
02
2
+
2
2
2
2)
+
2
= k 0 k k k2 ;
=
0
1
@f @f
;
@t @s
0
1 1 1+
=
1
0
1
g12 = g
= (
0
1
1
0
1 1
(
+
= < ;
0
=
2
1
=
2
1
0
2
1
+
0
2
2
(
0
2 1
0
1 1
0
2 2
+
0
2 2
0
2 2)
+
0
2 2)
+
>;
@f @f
;
@s @s
02
2
1 + 1
02
1
0
2 1
+
+
0
0
2) ( 1 1
>< ;
g22 = g
=
0
2 2)
+
2
0
1 2
0
1 2
02
2
02
2
+
+
2 02
2 1
+
+
2
2
02
1
02
1
2
2
+
+
2 02
2 2
02
2
02
2
2
= k k2 k 0 k
dir.
Bundan sonra,
ile
e¼
grilerini orijinden geçmeyen birer regüler e¼
gri olarak alaca¼
g¬z.
Bu durumda g11 6= 0 6= g22 d¬r. Ayr¬ca f (t; s) tensör çarp¬m yüzeyini bir regüler
yüzey, yani g11 g22
2
g12
6= 0 olarak alaca¼
g¬z.
11
f (t; s) yüzeyinin tanjant uzay¬için bir ortonormal baz Gram-Schmidt metoduyla
@f
;
@t
@f
=
@s
f1 =
f2
<
<
@f
;
@t
@f
;
@t
@f
@s
@f
@t
> @f
> @t
olmak üzere
f1
1 @f
=p
;
kf1 k
g11 @t
1
f2
=p
= =
kf2 k
g11 j(g11 g22
e1 =
e2
2
)j
g12
g11
@f
@s
g12
@f
@t
olarak elde edilir.
f (t; s) yüzeyinin normal uzay¬n¬n bir baz¬aşa¼
g¬daki gibi hesaplanabilir:
Ji : E2 ! E2 1
2; dönüşümlerini
i
J1 (x; y) = ( y; x);
J2 (x; y) = (y; x)
olarak tan¬mlayal¬m.
Dikkat edilirse, 8X 2 E2 için hX; Ji (X)i = 0 (i = 1; 2) d¬r. Bu durumda normal
uzay¬n bir baz¬fn1 ; n2 g olmak üzere
n1 (t; s) = J1 ( (t))
J2 ( (s))
= (
2 (t);
= (
2 (t) 2 (s);
n2 (t; s) = J1 ( 0 (t))
1 (t))
(
2 (s);
2 (t) 1 (s);
1 (s))
1 (t) 2 (s);
1 (t) 1 (s)) ;
J2 ( 0 (s))
= (
0
2 (t);
0
1 (t))
= (
0
0
2 (t) 2 (s);
(
0
2 (s);
0
0
2 (t) 1 (s);
dir.
12
0
1 (s))
0
0
1 (t) 2 (s);
0
0
1 (t) 1 (s))
Bir f (t; s) yüzeyinin ortalama e¼
grilik vektör alan¬H,
H=
1
(h(e1 ; e1 ) + h(e2 ; e2 ))
2
olarak tan¬mlan¬r. Burada h, f (t; s) yüzeyinin ikinci temel formudur. özelikle Beltrami formülü ile
1
f
2
H=
dir.
Teorem 3.1 I·ki Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör çarp¬m¬olan
de bir minimal yüzey olabilmesi için gerek ve yeter şart
bir çember ve
yüzeyinin E4
e¼
grisinin orijin merkezli
e¼
grisinin orijin merkezli bir hiperbol olmas¬d¬r (Mihai, 1993).
I·spat E4 de bir yüzeyin minimal olabilmesi için yüzeyin ortalama e¼
grili¼
gi H
0
olmal¬d¬r. Bu ifadeye denk olarak f (t; s) tensör çarp¬m yüzeyinin minimal olabilmesi
için gerek ve yeter şart
hH; ni i = 0;
i = 1; 2
olmas¬d¬r. Di¼
ger taraftan, Beltrami formülünü kullanarak, f (t; s) yüzeyinin minimal
olabilmesi için gerek ve yeter şart
h f; ni i = 0;
i = 1; 2
olmas¬d¬r.
f (t; s) yüzeyinin Laplacian’i
f = g ij
@2f
@xi xj
13
k
ij
@f
@xk
olarak tan¬mlan¬r. Burada
k
ij
Christo¤el sembolleri, g ij = [gij ]
@2f
@xi xj
g ij
@f
; ni
@xk
2
ij @ f
; ni
g
@xi xj
k
ij
1
dir.
= 0;
i = 1; 2
= 0;
i = 1; 2
2
dir. g ij @x@ i fxj de¼
gerini hesaplayal¬m:
2
g ij = 4
g 11 g 12
g
21
= [gij ]
=
g
22
1
2
3
5
g
1
4 22
det (gij )
g21
g12
g11
3
5
oldu¼
gunu kullan¬rsak,
g ij
@2f
@xi xj
2
2
@2f
12 @ f
22 @ f
+
2g
+
g
@t2
@t@s
@s2
@2f
@2f
@2f
1
g22 2 2g12
+ g11 2
=
jgj
@t
@t@s
@s
= g 11
olarak elde ederiz. Burada jgj = det (gij ) dir. Buna göre f (t; s) yüzeyinin minimal
olabilmesi için gerek ve yeter şart
g22
olmas¬d¬r.
@2f @2f
;
@t2 @s2
@2f
@t2
ve
2g12
@2f
@t@s
@2f
@2f
+ g11 2 ; ni
@t@s
@s
= 0;
i = 1; 2
de¼
gerlerini hesaplayal¬m.
@2f
=(
@t2
00
1 (t) 1 (s);
00
1 (t) 2 (s);
00
2 (t) 1 (s);
00
2 (t) 2 (s)) ;
@2f
=(
@s2
00
1 (t) 1 (s);
00
1 (t) 2 (s);
00
2 (t) 1 (s);
00
2 (t) 2 (s)) ;
0
0
2 (t) 1 (s);
0
0
2 (t) 2 (s)) ;
@2f
=(
@t@s
0
0
1 (t) 1 (s);
0
0
1 (t) 2 (s);
14
(3.1)
dir. (3.1) denkleminde i = 1 yazarsak
@2f
; n1
@t2
=
00
1 1
2 2
+
00
1 2
2 1
+
00
2 1
1 2
00
2 2
1 1
00
1 1
2 2
+
00
1 2
2 1
+
00
2 1
1 2
00
2 2
1 1
0 0
2 1
1 2
0 0
2 2
1 1
= 0
@2f
; n1
@s2
=
= 0
@2f
; n1
@t@s
0 0
1 1
=
=
0
2
1
= (
(
2 2
0
1 2
0
2
1
0
1
+
0 0
1 2
2 1
0
1 2)
+
0
1
0
2) ( 1 2
2
(
0
1 2)
0
1 2
0
1 2)
oldu¼
gundan
g22
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n1
@t@s
@s
=0
eşitli¼
gi
@2f
; n1
@t@s
g12
0
h ;
0
ih ;
i(
1
0
2
0
1
= 0;
0
2) ( 1 2
0
1 2)
=0
haline dönüşür.
0
I.Durum h ;
i = 0 ise
e¼
grisi, orijin merkezli bir çemberdir.
II. Durum h ;
0
i = 0 ise
III. Durum
0
2
0
1
g11 g22
1
2
e¼
grisi, orijin merkezli bir çemberdir.
= 0 ise
e¼
grisi, orijinden geçen bir do¼
grudur. Bu durumda
2
g12
= 0 olur ki bu f (t; s) yüzeyinin regüler olmad¬g¼¬n¬ söyler. Yani bir
çelişkidir.
IV. Durum
g11 g22
0
1 2
0
1 2
= 0 ise
e¼
grisi, orijinden geçen bir do¼
grudur. Bu durumda
2
g12
= 0 olur ki bu f (t; s) yüzeyinin regüler olmad¬g¼¬n¬ söyler. Yani bir
çelişkidir.
Şimdi I. durumu inceleyelim.
e¼
grisi orijin merkezli bir çember iken
nas¬l bir e¼
gri oldu¼
gunu elde edelim. E¼
ger
15
e¼
grisinin
e¼
grisi, orijin merkezli bir çember ise
(t) = r cos rt ; sin rt olarak yaz¬labilir. (3.1) denkleminde i = 2 için
g22
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n2
@t@s
@s
=0
d¬r. Bu eşitlikte
@2f
; n2
@t@s
0 0
1 1
=
0 0
2 2
0 0
1 2
+
0 0
2 1
+
0 0
1 2
0 0
2 1
0 0
2 2
0 0
1 1
= 0
oldu¼
gundan
g22
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n2
@t@s
@s
=0
denklemi
g22
haline dönüşür.
@2f
; n2
@t2
@2f
; n2
@s2
@2f
@2f
+
g
; n2
11
@t2
@s2
=0
e¼
grisinin orijin merkezli bir çember oldu¼
gu göz önüne al¬n¬rsa
1
(
r
= (
00
1
0
2
0
1
0
00
2) ( 1 2
0
1 2)
=
= (
1
0
2
0
1
0 00
2) ( 1 2
00 0
1 2)
= r(
0
1 2
0 00
1 2
0
1 2) ;
00 0
1 2)
elde edilir. Bu de¼
gerler
g22
@2f
@2f
+
g
; n2
11
@t2
@s2
=0
denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa,
2
k 0k (
elde edilir.
0
1 2
0
1 2)
+ k k2 (
0 00
1 2
00 0
1 2)
=0
2
e¼
grisi k 0 k = k k2 olacak şekilde parametrelendirilirse,
0
1 2
0
1
(
0
1 2
00
2
2)
+
0 00
1 2
0
2
(
16
00
1
00 0
1 2
= 0
1)
= 0
(3.2)
elde edilir. Ayr¬ca h 0 ;
0
i = h ; i eşitli¼
ginin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa,
0
2
bulunur. (3.2) ve (3.3) den
(
00
1
00
2
2)
=
1
0
1
+
00
2
ve
00
1
(
=
2
1)
(3.3)
=0
elde edilir.
=(
oldu¼
gundan (s) = (cosh s; sinh s) olarak elde edilir. Bu da
1;
2)
=(
00
1;
00
2)
e¼
grisinin orijin mer
kezli bir hiperbol oldu¼
gunu söyler.
: R ! E2 ; (t) = (
1 (t);
2 (t))
: R ! E2 , (s) = (
ile
düzlemsel e¼
gri ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬f =
1 (s);
2 (s))
iki Öklidyen
olsun. E4 ’ü, u; v; z; w 2 R
olmak üzere
J1 (u; v; z; w) = ( v; u; w; z)
kompleks yap¬s¬yla C2 ye özdeşleştirelim.
Tan¬m 3.1 E4 ’ün J1 kompleks yap¬s¬, f (t; s) yüzeyinin tanjant uzay¬ndaki her bir
vektörünü, normal uzay içine dönüştürüyorsa f (t; s) yüzeyine J1 kompleks yap¬s¬na
göre total reeldir denir (Chen, 1990).
yüzeyinin (C2 ; J1 ) içinde total reel olmas¬ için gerek ve
Teorem 3.2 f =
yeter şart
e¼
grisinin orijin merkezli bir çember parças¬olmas¬d¬r (Mihai, 1993).
I·spat f (t; s) =
J1
@f
@t
,
@f
@s
(s) yüzeyinin total reel olmas¬ için gerek ve yeter şart
(t)
ye ortogonal ve J1
J1
J1
@f
@t
@f
@s
@f
@s
,
@f
@t
ye ortogonal olmas¬d¬r.
= (
0
1 2;
0
1 1;
0
2 2;
0
2 1) ;
= (
0
1 2;
0
1 1;
0
2 2;
0
2 1)
17
oldu¼
gundan
J1
J1
@f
@t
@f
@s
@f
@s
@f
;
@t
;
=
0
1 2
0
1 1
+
0
1 1
0
1 2
0
2 2
0
2 1
+
0
2 1
0
2 2
=
0
1 2
0
1 1
+
0
1 1
0
1 2
0
2 2
0
2 1
+
0
2 1
0
2 2
J1
@f
@s
dir. Buna göre
@f
@t
J1
@f
@s
;
=
;
@f
@t
dir.
@f
@t
J1
@f
@s
;
=0
olmas¬için gerek ve yeter şart
0
1 1
0
1 2
0
1
1
+
(
0
1 2
0
1 1
0
1 2
0
1 2)
(
0
1 2
olmas¬d¬r. E¼
ger
1
çember parças¬veya
0
1
+
0
1 2
oldu¼
gunu buluruz. E¼
ger
g11 g22
0
1 2
2
0
2
0
2 2
+
0
1 2
0
2 1
+
0
2
0
1 2
2
(
0
1 2) ( 1
= 0 veya
1
0
1
+
= 0 ise bu durumda
0
1 2
= 0 ise
0
2 2
= 0
0
1 2)
= 0
0
2)
= 0
0
2 1
0
1
+
2
0
2
2
=0
e¼
grisinin orijin merkezli bir
e¼
grisinin orijini içeren bir do¼
gru parças¬
e¼
grisi orijini içeren bir do¼
gru parças¬ ise bu durumda
2
g12
= 0 olur ki bu f (t; s) yüzeyinin regüler olmas¬yla çelişir. Bu durumda
e¼
grisinin orijin merkezli bir çember parças¬d¬r. Bu da ispat¬tamamlar.
E¼
ger C2 üzerindeki kompleks yap¬y¬u; v; z; w 2 R olmak üzere
J (u; v; z; w) = ( z; w; u; v)
ile ele al¬rsak benzer bir sonucu elde ederiz.
Teorem 3.3 f =
şart
yüzeyinin (C2 ; J) içinde total reel olmas¬için gerek ve yeter
e¼
grisinin orijin merkezli bir çember parças¬olmas¬d¬r.
18
I·spat I·spat Teorem 3.2’ye benzer şekilde yap¬labilir.
Şimdi (C2 ; J) de bir slant yüzeyin tan¬m¬n¬verelim.
Tan¬m 3.2 M , (C2 ; J) içinde bir yüzey olsun. Tp M (p 2 M ) nin verilen bir fe1 ; e2 g
ortonormal baz¬için
(Tp M ) = arccos hJ (e1 ) ; e2 i
yaz¬labilir. Bu yaz¬l¬ş fe1 ; e2 g ortonormal baz¬n¬n seçilişinden ba¼
g¬ms¬zd¬r. E¼
ger
(Tp M ), M boyunca sabit ise M yüzeyine slant yüzeydir denir. Total reel ve kompleks yüzeyler, s¬ras¬yla
=
2
ve
= 0 slant aç¬lar¬yla birlikte birer slant yüzeylerdir.
Bu yüzeylere improper slant yüzeyler denir (Chen, 1990).
yüzeyinin bir slant yüzey olabilmesi için gerek ve yeter şart
Teorem 3.4 f =
e¼
grisinin ya orijin merkezli bir çember ya da bir di¼
ger spiral ve
e¼
grisinin de bir
spiral olmas¬d¬r (Mihai, 1993).
I·spat
: R ! E2 ve
: R ! E2 birer Öklidyen düzlemsel e¼
gri olsun.
kutupsal koordinatlarda
(t) =
1
(t) (cos t; sin t) ;
(s) =
2
(s) (cos s; sin s)
olarak ele alal¬m. Buna göre,
1 @f
e1 = p
g11 @t
1
= p ( 01
g11
1
J (e1 ) = p (
g11
1;
0
2 1;
19
0
1 2;
0
2 1;
0
2 2;
0
2 2) :
0
1 1;
0
1 2) :
ve
e¼
grisini
@f
1
g11
@s
g11 det g
1
= p
(g11 ( 1
g11 det g
e2 = p
g12
0
g11
B
B
B +g12
@
1
p
hJ (e1 ) ; e2 i =
g11 det g
1
(
det g
1
= p
(
det g
0
2 2)
0
2 1;
0
1 2;
0
1;
= p
@f
@t
0
1 1
0
2 1
0
1 2
0
2 2
0
1 1
(
0
1 1
+
0
2 2) ( 2
2
0
1
+ g12
0
2 1
+ g11
0
2 1
0
1 1
0
2)
1
0
1 2;
0
1 1
0
2 2
+g11
0
1 1;
g12 (
0
1 2
0
2 2
+
0
1
g12
(
2
g11
0
2 2
g12
0
2 1
0
1 1
0
1 2
1
0
2 ))
0
2)
1
dir.
0
(t) = (
0
1
cos t
1
sin t;
0
1
sin t +
1
cos t)
(s) = (
0
2
cos s
2
sin s;
0
2
sin s +
2
cos s)
ve
0
oldu¼
gundan
0
1 1
+
0
1
2
0
2 2
1
0
2 2;
=
0
2
2
1
=
olarak hesaplan¬r.
2
g12
det g = g11 g22
2
2
= k 0 k k k2 k k2 k 0 k
02
1
=
2
1
+
2 2
2 1
02
2
+
0
< ;
2
2
>2 < ;
0
>2
2 02 2 02
1 1 2 2
oldu¼
gundan
hJ (e1 ) ; e2 i =
=
1
p
(
p
(
02
1
+
02
1
+
2
1)
2 2
02
2 1( 2 +
0
1 2
2
02
2
1) ( 2 + 2)
20
2
2)
02 02
1 2
0
2 2 )) :
0
1 2
0
2 2
0
1
0
2 1;
0 2
2 02 2 02 2 2 1
1 1 2 2
1
C
C
C
A
olarak elde edilir.
E¼
ger özel olarak
2
=sabit ise bu durumda
hJ (e1 ) ; e2 i = 0
olaca¼
g¬ndan f (t; s) yüzeyi bir improper slant yüzey olur.
E¼
ger özel olarak
1
=sabit ise bu durumda
p
hJ (e1 ) ; e2 i =
p
=
p
=
olur. hJ (e1 ) ; e2 i =
02
1
(
+
2
1) (
0
1 2
02
2
1( 2 +
0
2
02
2
2 + 2
0
2
02
2
2
2
+
02
2
02
2
(1
02 02
1 2
2
2)
+
2
)
2
2
02
2
02
2
2
2
=
;
=
2
=
2 2
2;
=
elde edilir. Bu diferensiyel denklemi çözümü
;
2
1
2
1;
2
2 R olmak üzere
e¼
grisi
(t) = c1 (cos t; sin t) ;
bir çember ve
2
2)
=sabit olaca¼
g¬ndan
p
Bu durumda
0
1 2
02
2 +
e¼
grisi
(s) =
1e
2t
(cos s; sin s)
bir spiraldir.
21
2
=
1e
2t
dir.
1
6=sabit ve
2
6=sabit ise
p
hJ (e1 ) ; e2 i =
k
0
k
2
1) (
+
02 02
1 2
2
2)
1
0
1
s
=
d¬r.
02
1
(
0
1 2
02
2 +
2
2
+1
1
0
1
+1
2
0
2
1
= ck ; k = 1; 2 denirse bu durumda
hJ (e1 ) ; e2 i =
bulunur. Böylece f =
c1
p
(c21
+
1) (c22
+ 1)
=
1
1
;
2R
yüzeyinin bir slant yüzey olabilmesi için gerek ve yeter
şart
c21
(c21 + 1) (c22 + 1)
1
=
1
2
= sabit
veya denk olarak
c22 + 1 (s) =
2 2
c1 + 1
2
c1 + 1
oldu¼
gundan c1 = sabit ve c2 = sabit olmal¬d¬r. c1 =
1
= a1 eb1 t
2
= a2 eb2 t
(t)
1
b1
elde edilir. Benzer şekilde
olarak elde edilir. Bu durumda
e¼
grisi
(t) = a1 eb1 t (cos t; sin t)
bir spiral ve
f0g
e¼
grisi de
(s) =
2
(s) (cos s; sin s)
spiraldir.
22
denirse
3.1 E 4 de M Hiperyüzeyi Üzerinde Lie Gruplar¬ve Baz¬Özel Altgruplar
Bu bölümde x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij bikompleks say¬s¬n¬n eşleni¼
gini
x = x1
ix2
jx3 + ijx4
olarak alaca¼
g¬z. Buna göre x bikompleks say¬s¬n¬n normu kxk olmak üzere
kxk2 = x x = x21 + x22 + x23 + x24 + 2ij(x1 x4
x2 x3 )
dir. Dolay¬s¬yla
M = fX = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 6= 0 : x1 x4 = x2 x3 g
hiperyüzeyi ile ilgilenece¼
giz. M cümlesini bikompleks say¬lar cümlesi içinde
M = fx = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij 2 C2 : x1 x4 = x2 x3 ; x 6= 0g
olarak ele alal¬m. M nin noktalar¬, bikompleks say¬çarp¬m¬n¬n matris formundaki
temsilcisiyle aşa¼
g¬daki gibi de ifade edilebilir.
8
2
>
>
>
>
6
>
>
6
<
6
f= x=6
M
6
>
>
6
>
>
4
>
>
:
x1
x2
x3
x4
x2
x1
x4
x3
x3
x4
x1
x2
9
>
>
>
>
7
>
>
7
=
x3 7
7 : x1 x4 = x2 x3 ; x 6= 0 :
7
>
>
x2 7
>
>
5
>
>
;
x1
x4
3
f cümlesi bikompleks say¬çarp¬m¬ile birlikte bir Lie grubudur.
Teorem 3.1.1 M
f; ayn¬
I·spat M bir hiperyüzey oldu¼
gundan bir diferensiyellenebilir manifolddur. M
23
zamanda grup işlemi matris çarp¬m¬olmak üzere bir gruptur. Gerçekten,
f
: M
f !
M
f
M
! x
(x; y)
y = x:y
i)Kapal¬l¬k Özeli¼
gi:
f için
8x; y 2 M
2
x1
6
6
6 x2
x=6
6
6 x3
4
x4
x2
x1
x4
x4
x3
x3
x1
x2
x4
3
2
y1
7
6
7
6
7
6 y
x3
7; y = 6 2
7
6
6 y3
x2 7
5
4
x1
y4
2
z
6 1
6
6 z2
xy = z = 6
6
6 z3
4
z4
z1 = x1 y1
z2
z1
z4
z3
x2 y2
z2 = x2 y1 + x1 y2
z3 = x3 y1
z3
z4
z1
z2
y2
y1
y4
y4
y3
z4
y3
y1
y2
3
y4
3
7
7
y3 7
7;
7
y2 7
5
y1
7
7
z3 7
7
7
z2 7
5
z1
x3 y3 + x4 y4 ;
x4 y3
x3 y4 ;
x4 y2 + x1 y3
x2 y4 ;
z4 = x4 y1 + x3 y2 + x2 y3 + x1 y4
dür.
det z = det (xy) = det x det y 6= 0
f dir.
oldu¼
gundan (z1 ; z2 ; z3 ; z4 ) 6= 0: Ayr¬ca z1 z4 = z2 z3 dir. Bu durumda z 2 M
ii)Birleşme Özeli¼
gi:
f için x; y; z 2 E4 oldu¼
8x; y; z 2 M
gundan
4
x (yz) = (xy) z
dir.
24
iii)Birim Eleman Özeli¼
gi:
I4 = [
ij ] ;
1
f ve 8x 2 M
f için
4 olmak üzere I4 2 M
i; j
I4 x = xI4 = x
dir.
iv)I·nvers Eleman Özeli¼
gi:
f için
8x 2 M
x
1
=
xT
x21 + x22 + x23 + x24
2
6
6
6
1
6
= 2
2
2
2 6
x1 + x2 + x3 + x4 6
4
oldu¼
gundan x
1
f dir. Dolay¬s¬yla M
f;
2M
f
: M
f !
M
(x; y)
! x
x1
x2
x2
x3
x1
x3
x4
x4
x4
x1
x3
x2
x4
3
7
7
x3 7
7
7
x2 7
5
x1
bir gruptur. Üstelik
f
M
y = xy
1
işlemi her yerde diferensiyellenebilirdir. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 3.1.2 M cümlesi bikompleks say¬çarp¬m¬ile birlikte bir Lie grubudur.
I·spat I·spat¬Teorem 4.1 e benzer şekilde yap¬labilir.
25
Sonuç 3.1.1
h : C2 !
x
Q
2
x1
6
6
6 x2
! h (x) = 6
6
6 x3
4
x4
x2
x1
x4
x3
x3
x4
x1
x2
izomor…zimi bir Lie grubu izomor…zimidir.
x4
3
7
7
x3 7
7
7
x2 7
5
x1
M üzerindeki bütün birim bikompleks say¬lar¬n cümlesini M1 ile gösterelim. M1
üzerindeki grup işlemi bikompleks say¬lardaki çarpma işlemi olmak üzere M1 bir
gruptur. Buna göre x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij olmak üzere
M1 = f x 2 M : kxk = 1g
dir.
Sonuç 3.1.2 M üzerindeki bütün birim bikompleks say¬lar¬n grubu olan M1 ; S 3 ve
M cümlesinin arakesitidir.
Sonuç 3.1.3 M1 ; M nin 2 boyutlu bir Lie altgrubudur.
26
3.2 M Lie Grubunun Lie Cebiri
M nin 3-boyutlu bir Lie grubu oldu¼
gunu biliyoruz. Şimdi, M nin Lie cebirini bulal¬m:
M üzerinde
olsun.
1
(t)
(0) = 1 yani
1
(0) = 1;
(t) =
1
(t) 1 +
(t)
3
(t) eşitli¼
ginin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa
(t) +
1
(t)
4
(t) =
1
(t)
4
2
elde edilir. E¼
ger t = 0 yaz¬l¬rsa
=
4
4
m
2
(t) i +
(t)
2
(t)
3
(t) j +
3
(t)
4
2
(t) ij
(t)
3
(t) = 0
(0) = 0 bulunur. Böylece Lie cebiri,
@
m
(0) = 0, m = 2; 3; 4 olan bir e¼
gri
@
formundaki vektörlerle oluşturulur.
=
j
m
=1 ;
m = 1; 2; 3
vektörü bikompleks say¬olarak
1
+
2i
+
3j
şeklinde yaz¬labilir.
Xj
=1 =
için M üzerindeki X sol invaryant vektör alanlar¬n¬bulal¬m:
(0) = 1;
e¼
grisi
(0) =
şart¬n¬ sa¼
glayan bir e¼
gri olsun. Bu durumda x bikompleks say¬ olmak üzere
e¼
grisinin sol ötelemesi
Lx ( (t)) = x (t)
dir. Bunun te¼
get vektörü x (0) = x dir. Özel olarak, M üzerindeki sol invaryant
27
vektör alanlar¬Xm ile gösterilirse,
Xm j
=1 =
@
@
j
m
=1 ;
m = 1; 2; 3
dir. Bu vektör alanlar¬x = x1 1+x2 i+x3 j+x4 ij olmak üzere (X1 )x = x1; (X2 )x = xi;
(X3 )x = xj oldu¼
gundan
X1 = x1
= x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij
= (x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
X2 = xi
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij) i
= x1 i
x2 + x3 ij
x4 j
= ( x 2 ; x 1 ; x 4 ; x3 )
X3 = xj
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij) j
= x1 j + x2 ij
x3
x4 i
= ( x 3 ; x 4 ; x 1 ; x2 )
olarak elde edilir.
Teorem 3.2.1 M paralelleştirilebilirdir.
n
o
·
Ispat Tp M (p 2 M ) nin bir baz¬ (X1 )p ; (X2 )p ; (X3 )p olacak şekilde üç tane vektör
alanlar¬X1 ; X2 ; X3 bulunabildi¼
ginden M paralelleştirilebilirdir.
Sonuç 3.2.1 X2 ve X3 vektör alanlar¬M1 Lie grubunun sol invaryant vektör alan-
28
lar¬d¬r.
I·spat Sonuç 4.1 den M1 = M \ S 3 dir. X2 ve X3 ; M ile S 3 Lie gruplar¬n¬n sol
invaryant vektör alan¬oldu¼
gundan sonuç aç¬kt¬r.
3.3 E4 de Tensör Çarp¬m Yüzeyleri ve Lie Gruplar¬
Bu bölümde Öklidyen düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeylerini kullanarak M
Lie grubunun baz¬özel altgruplar¬elde edilmiştir. Böylece Öklidyen düzlemsel e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeylerinin Lie grup yap¬lar¬ elde edilmiştir. Üstelik bu Lie
gruplar¬n¬n sol invaryant vektör alanlar¬elde edilmiştir.
Teorem 3.3.1
: R ! E2 ; (t) = eat (cos t; sin t) ve
: R ! E2 ;
(s) = ebs (cos s; sin s) (a; b 2 R) iki spiral olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör
çarp¬mlar¬, M Lie grubunun bir altgrubudur.
I·spat
f (t; s) =
(t)
(s) = eat+bs (cos t cos s; cos t sin s; sin t cos s; sin t sin s)
dir. f (t; s); M üzerinde bir yüzeydir. f (t; s) yüzeyi hem bir altgrup hem de M nin
altmanifoldu oldu¼
gundan ispat aç¬kt¬r.
Teorem 3.3.2
: R ! E2 ; (t) = (cos t; sin t) ve
: R ! E2 ; (s) = (cos s; sin s)
birer çember olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬, M1 Lie grubunun
bir altgrubudur.
I·spat Teorem 5.1 de a = b = 0 al¬n¬rsa,
ve
orijin merkezli bir çember olur.
Üstelik kf (t; s)k = k (t)k k (s)k = 1 oldu¼
gundan f (t; s)
tamamlar.
29
M1 dir. Bu da ispat¬
Teorem 3.3.3
: R ! E2 ;
: R ! E2 ; (s) = (cos s; sin s)
(t) = (cos t; sin t),
birer çember ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m yüzeyleri f (t; s) =
(t)
(s) olsun.
f (t; s) üzerindeki sol invartant vektör alanlar¬,
X2 = ( x2 ; x1 ; x4 ; x3 ) ;
X3 = ( x3 ; x4 ; x1 ; x2 )
dir.
I·spat 2 boyutlu Lie altgrubunun birim eleman¬e = (0; 0) d¬r.
u1 =
@
@
je ; u2 =
je
@t
@s
vektörleri için f (t; s) yüzeyi üzerindeki sol invaryant vektör alanlar¬n¬bulal¬m:
f (t; s) = (cos t cos s; cos t sin s; sin t cos s; sin t sin s)
dir.
u1 için sol invaryant vektör alanlar¬n¬elde edelim:
@
f (t; s) = ( cos s sin t;
@t
sin s sin t; cos s cos t; cos t sin s)
oldu¼
gundan te¼
get vektörü u1 olan e¼
gri
1
(t) = (1; 0; t; 0) olarak al¬nabilir. Bu
e¼
grinin Lg alt¬ndaki görüntüsü
Lg (
1
(t)) = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
(1; 0; t; 0)
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij)
= (x1
x3 t) + i (x2
(1 + tj)
x4 t) + j (x3 + x1 t) + ij (x4 + x2 t)
30
dir. Elde edilen bu e¼
grinin te¼
get vektörü
Lg (
1
(t)) (t) =
x3
x4 i + x1 j + x2 ij
= ( x 3 ; x 4 ; x1 ; x2 )
= X3
dür. Benzer şekilde u2 için sol invaryant vektör alanlar¬n¬elde edelim:
@
f (t; s) = ( cos t sin s; cos s cos t;
@s
oldu¼
gundan te¼
get vektörü u2 olan e¼
gri
2
sin s sin t; cos s sin t)
(t) = (1; t; 0; 0) olarak al¬nabilir. Bu e¼
grinin
Lg alt¬ndaki görüntüsü
Lg (
2
(t)) = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 )
(1; t; 0; 0)
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij)
= (x1
(1 + ti)
x2 t) + i (x2 + x1 t) + j (x3
x4 t) + ij (x4 + x3 t)
dir. Elde edilen bu e¼
grinin te¼
get vektörü
Lg (
2
(t)) (t) =
x2 + x1 i
x4 j + x3 ij
= ( x 2 ; x1 ; x 4 ; x3 )
= X2
dir.
Teorem 3.3.4.
: R ! E2 ; (t) = eat (cos t; sin t) ve
: R ! E2 ;
(t) = ebt (cos t; sin t) (a; b 2 R) ayn¬parametreli iki spiral olsun. Bu durumda bu
e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬, M Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
31
I·spat
(t) =
(t)
(t)
= e(a+b)t cos2 t; cos t sin t; sin t cos t; sin2 t
1
1
= e(a+b)t cos2 t; sin 2t; sin 2t; sin2 t
2
2
şeklindeki ; M üzerinde bir e¼
gridir. Ayr¬ca 8t1 ; t2 2 R için
(t1 )
1
1
sin 2t1 ; sin 2t1 ; sin2 t1
2
2
1
1
e(a+b)t2 cos2 t2 ; sin 2t2 ; sin 2t2 ; sin2 t2
2
2
0
1
2
2
1
2
2
cos t1 cos t2 2 sin 2t1 sin 2t2 + sin t1 sin t2 ;
B
C
0
1
B
C
1
1
2
2
B
C
cos
t
sin
2t
+
sin
2t
cos
t
1
2
1
2
2
2
B
C
@
A;
B
C
2
2
1
1
C
B
sin 2t1 sin t2 2 sin t1 sin 2t2
2
(a+b)(t1 +t2 ) B
C
1
0
= e
B
C
2
1
1
2
B
C
cos t2 sin 2t2 2 sin 2t1 sin t2
2
B
C
A;
@
B
C
2
1
1
2
B
C
+ 2 sin 2t1 cos t2 2 sin t1 sin 2t2
@
A
2
2
1
2
2
cos t1 sin t2 + 2 sin 2t1 sin 2t2 + sin t1 cos t2
1
0
(cos t1 cos t2 sin t1 sin t2 )2 ;
B
C
B 1
C
1
B
sin 2t2 cos 2t1 + 2 sin 2t1 cos 2t2 ; C
(a+b)(t1 +t2 ) B 2
C
= e
B 1
C
1
B 2 sin 2t2 cos 2t1 + 2 sin 2t1 cos 2t2 ; C
@
A
2
(sin t1 cos t2 + cos t1 sin t2 )
0
1
1
2
cos (t1 + t2 ) ; 2 sin 2 (t1 + t2 ) ;
A
= e(a+b)(t1 +t2 ) @
2
1
sin
2
(t
+
t
)
;
sin
(t
+
t
)
1
2
1
2
2
(t2 ) = e(a+b)t1 cos2 t1 ;
=
(t1 + t2 )
oldu¼
gundan ( (t) ; ) ; (M; ) Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
Sonuç 3.3.1
: R ! E2 ; (t) = eat (cos t; sin t) bir spiral ve
: R ! E2 ;
(t) = (cos t; sin t) orijin merkezli bir çember olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör
çarp¬mlar¬, M Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
32
I·spat Teorem 5.4 de b = 0 al¬n¬rsa,
orijin merkezli bir çember olur. Bu da ispat¬
tamamlar.
Sonuç 3.3.2
: R ! E2 ;
(t) = (cos t; sin t) ve
: R ! E2 ; (t) = (cos t; sin t)
ayn¬parametreli orijin merkezli iki çember olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör
çarp¬mlar¬, M1 Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
I·spat. k (t)
(t)k = 1 oldu¼
gundan
a = b = 0 al¬n¬rsa,
ve
(t)
(t)
M1 dir. Teorem 5.4 de
orijin merkezli birer çember olur. Bu durumda bu
e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬, M1 Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
Teorem 3.3.5
: R ! E2 ; (t) = (cos t; sin t) ve
: R ! E2 ; (t) = (cos t; sin t)
ayn¬ parametreli orijin merkezli iki çember ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬ da
(t) =
(t)
(t) olsun. Bu durumda
(t) üzerindeki sol invaryant vektör alan¬
X = X2 + X3 dür. Burada X2 ve X3 ; M1 üzerindeki sol invaryant vektör alanlar¬d¬r.
I·spat
(t) üzerindeki sol invaryant vektör alan¬n¬bulal¬m:
Te¼
get vektörü
u=
d
je=0
dt
olan e¼
gri
(t) = 1; t; t; t2
olsun. Bu e¼
grinin Lg alt¬ndaki görüntüsü
Lg ( (t)) = g (t)
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij)
=
x1
x2 t
+j x1 t
1 + ti + tj + t2 ij
x3 t + x4 t2 + i x1 t + x2
x2 t2 + x3
x3 t2
x4 t
x4 t + ij x41 t2 + x2 t + x3 t + x4
33
dir. Bu e¼
grinin te¼
get vektörü
Lg ( (t))(t) = ( x2
x3 ) + i (x1
x4 ) + j (x1
x4 ) + ij (x2 + x3 )
dür. Buna göre X sol invaryant vektör alan¬
@
@
@
@
+ (x1 x4 )
+ (x1 x4 )
+ (x2 + x3 )
@x1
@x2
@x3
@x4
@
@
@
@
=
x2
+ x1
x4
+ x3
@x1
@x2
@x3
@x4
@
@
@
@
x4
+ x1
+ x2
+
x3
@x1
@x2
@x3
@x4
= X2 + X3
X = ( x2
x3 )
olarak elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Sonuç 3.3.3
: R ! E2 ;
(t) = (cos t; sin t) ve
: R ! E2 ; (t) = (cos t; sin t)
ayn¬parametreli orijin merkezli iki çember olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör
çarp¬mlar¬bir maksimal integral e¼
grisidir.
I·spat Önerme 2.1 den aç¬kt¬r.
Şimdi, elde edilen bu Lie gruplar¬n¬ total reel, kompleks veya slant olmas¬na göre
s¬n¬‡and¬ral¬m. Bunun için R4 = C2 özdeşleştirelim ve C2 deki kompleks yap¬y¬
J = X2
veya
olarak alal¬m. Burada X2 ve X3 ;
Je = X3
M1 = fX = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 6= 0 : x1 x4 = x2 x3 ; kXk = 1g hiperyüzeyi üzerindeki sol
invaryant vektör alanlar¬d¬r.
Teorem 3.3.6
: R ! E2 orijin merkezli bir çember,
34
: R ! E2 ya bir spiral ya
da orijin merkezli bir çember ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬f =
olsun. Bu
durumda f (t; s) Lie grubu (C2 ; J) içinde bir total reel yüzeydir.
I·spat Teorem 3.2 den aç¬kt¬r.
Teorem 3.3.7
: R ! E2 ya bir spiral ya da orijin merkezli bir çember,
orijin merkezli bir çember ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬ f =
: R ! E2
olsun. Bu
durumda f (t; s) Lie grubu C2 ; Je içinde bir total reel yüzeydir.
I·spat Teorem 3.3 den aç¬kt¬r.
Teorem 3.3.8
: R ! E2 ya bir spiral ya da orijin merkezli bir çember,
bir spiral ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬f =
: R ! E2
olsun. Bu durumda f (t; s) Lie
grubu (C2 ; J) nin bir slant yüzeyidir.
I·spat Teorem 3.4 den aç¬kt¬r.
Teorem 3.3.9
: R ! E2 ya bir spiral ya da orijin merkezli bir çember
orijin merkezli bir çember ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬ f =
durumda f (t; s) Lie grubu (C2 ; J) içinde bir improper slant yüzeyidir.
I·spat Sonuç 3.1 den aç¬kt¬r.
35
: R ! E2
olsun. Bu
¼ I· I·LE BI·R ÖKLI·DYEN
4. BI·R LORENTZIAN DÜZLEMSEL EGR
¼ I·NI·N TENSÖR ÇARPIM YÜZEYI·
DÜZLEMSEL EGR
Bu bölümde bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör
çarp¬m yüzeyini ele alaca¼
g¬z. Bikompleks say¬ çarp¬m¬ kullan¬larak E42 deki baz¬
özel hiperyüzeylerin Lie grup yap¬lar¬n¬ elde edece¼
giz. Bunun için Chen’in E42 de
vermiş oldu¼
gu Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör çarp¬m
kural¬n¬aşa¼
g¬daki gibi de¼
giştirelim:
: R ! E21 (+ ) ; (t) = (
(s) = (
1 (s);
2 (s))
1 (t);
bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ve
2 (t))
: R ! E2 ,
bir Öklidyen düzlemsel e¼
gri olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin
tensör çarp¬m¬n¬
: R2 ! E42 (+ +
f=
f (t; s) = (
1 (t) 1 (s);
1 (t) 2 (s);
)
2 (t) 2 (s);
2 (t) 1 (s))
ile tan¬mlayal¬m. Bu tensör çarp¬m yüzeyine ait baz¬özelikleri araşt¬ral¬m.
f (t; s) yüzeyinin tanjant vektörleri
@f
=(
@t
0
1 (t) 1 (s);
0
1 (t) 2 (s);
0
2 (t) 2 (s);
0
2 (t) 1 (s)) ;
@f
=(
@s
0
1 (t) 1 (s);
0
1 (t) 2 (s);
0
2 (t) 2 (s);
0
2 (t) 1 (s)) ;
olarak kolayca hesaplan¬r. Burada
0
,
n¬n t ye göre türevini göstermektedir.
Böylece f (t; s) üzerine indirgenmiş g yar¬-Riemann metri¼
ginin katsay¬lar¬ E42 nin
Öklidyen metri¼
giyle, g1 = dx21
dx22 ve g2 = dx21 + dx22 olmak üzere
g11 = g
@f @f
;
@t @t
2
02
1+ 1
=
02
1
=
2
02
1( 1
=
02
1
= g1 ( 0 ;
02 2
2 2
2
2)
+
02
2
0
2
2
(
2
02
2( 1
2
1
+
2
2)
) g2 ( ; ) ;
36
02 2
2 1
+
2
2)
=
0
1
@f @f
;
@t @s
0
1 1 1+
=
1
0
1
g12 = g
= (
1
0
1 1
(
0
1
=
2
1
=
02
1
2
1
0
2
(
0
1 1
0
2 1
0
2 1
0
2 2)
+
0
2 2)
+
);
@f @f
;
@s @s
02
2
1 + 1
g22 = g
2
1
0
0
2 2
0
2 2
2
0
0
2) ( 1 1
) g2 ( ;
=
0
1 2
0
2 2)
+
2
0
= g1 ( ;
0
1 2
+
02
2
2
2
02
1
2
2
2 02
2 1
2 02
2 2
02
2
0
+
02
2
02
2
+
= g1 ( ; ) g2 ( 0 ;
02
1
)
dir.
Bundan sonra
e¼
grisini spacelike veya timelike,
e¼
grisini de orijinden geçmeyen
birer regüler e¼
gri olarak ele alaca¼
g¬z.
Sonuç olarak, f (t; s) yüzeyinin tanjant uzay¬için bir ortonormal baz Gram Schmidt
metoduyla
@f
;
@t
@f
=
@s
f1 =
f2
g
g
@f
;
@t
@f
;
@t
@f
@s
@f
@t
@f
@t
olmak üzere
e1 = p
e2 = p
olarak elde edilir.
f1
g (f1 ; f1 )
f2
g (f2 ; f2 )
=p
=p
1
@f
;
jg11 j @t
1
jg11 (g11 g22
2
g12
)j
g11
@f
@s
g12
@f
@t
f (t; s) yüzeyinin normal uzay¬n¬n bir baz¬aşa¼
g¬daki gibi hesaplanabilir:
37
Bunun için,
J1 : E21 ! E21 ; J1 (x; y) = (y; x)
J2 : E2 ! E2 ; J2 (x; y) = ( y; x)
dönüşümlerini tan¬mlayal¬m. Bu durumda normal uzay¬n bir baz¬ fn1 ; n2 g olmak
üzere
n1 (t; s) = J1 ( (t))
= (
= (
2 (t);
J2 ( (s))
1 (t))
2 (t) 2 (s);
n2 (t; s) = J1 ( 0 (t))
= (
= (
0
2 (t);
(
2 (s);
1 (s))
2 (t) 1 (s);
1 (t) 1 (s);
1 (t) 2 (s)) ;
J2 ( 0 (s))
0
1 (t))
0
0
2 (t) 2 (s);
(
0
2 (s);
0
1 (s))
0
0
2 (t) 1 (s);
0
0
1 (t) 1 (s);
0
0
1 (t) 2 (s))
dir.
Teorem 4.1 Bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör
çarp¬m¬olan
yüzeyinin E42 de bir minimal yüzey olabilmesi için gerek ve yeter
şart ya
(i)
e¼
grisinin orijin merkezli bir Lorentz çember ve
e¼
grisinin orijin merkezli bir
hiperbol olmas¬d¬r;
ya da
(ii)
e¼
grisinin orijin merkezli bir çember ve
e¼
grisinin (t) =
p a0
cosh 2t
(cosh t; sinh t)
biçiminde bir e¼
gri olmas¬d¬r.
I·spat E42 de bir yüzeyin minimal olabilmesi için yüzeyin ortalama e¼
grili¼
gi H
0
olmal¬d¬r. Buna göre f (t; s) tensör çarp¬m yüzeyinin minimal olabilmesi için gerek
ve yeter şart
g (H; ni ) = 0;
38
i = 1; 2
olmas¬d¬r. Di¼
ger taraftan, Beltrami formülünü kullanarak, f (t; s) yüzeyinin minimal
olabilmesi için gerek ve yeter şart
g ( f; ni ) = 0;
i = 1; 2
olmas¬d¬r.
@2f
@xi xj
g g ij
@f
; ni
@xk
@2f
g g ij
; ni
@xi xj
k
ij
= 0;
i = 1; 2
= 0;
i = 1; 2
2
dir. g ij @x@ i fxj de¼
gerini hesaplarsak
g ij
@2f
@xi xj
2
2
@2f
12 @ f
22 @ f
+
2g
+
g
@t2
@t@s
@s2
1
@2f
@2f
@2f
=
+ g11 2
g22 2 2g12
jgj
@t
@t@s
@s
= g 11
elde ederiz. Burada jgj = det (gij ) dir. Bu durumda f (t; s) yüzeyinin minimal
olabilmesi için gerek ve yeter şart
g g22
olmas¬d¬r.
@2f @2f
;
@t2 @s2
@2f
@t2
ve
2g12
@2f
@t@s
@2f
@2f
+ g11 2 ; ni
@t@s
@s
= 0;
de¼
gerlerini hesaplarsak,
@2f
=(
@t2
00
1 (t) 1 (s);
00
1 (t) 2 (s);
00
2 (t) 2 (s);
00
2 (t) 1 (s)) ;
@2f
=(
@s2
00
1 (t) 1 (s);
00
1 (t) 2 (s);
00
2 (t) 2 (s);
00
2 (t) 1 (s)) ;
@2f
=(
@t@s
(4.1)
i = 1; 2
0
0
1 (t) 1 (s);
0
0
1 (t) 2 (s);
0
0
2 (t) 2 (s);
0
0
2 (t) 1 (s))
olarak elde ederiz. (4.1) denkleminde i = 1 yaz¬l¬rsa,
g
@2f
; n1
@t2
=
00
1 1
2 2
+
00
1 2
= 0
39
2 1
00
2 2
1 1
+
00
2 1
1 2
@2f
; n1
@s2
g
00
1 1
=
2 2
00
1 2
+
00
2 2
2 1
1 1
00
2 1
+
1 2
= 0
oldu¼
gundan (4.1) denklemi
@2f
; n1
@t@s
g12 g
=0
haline dönüşür. Bu durumda,
@2f
; n1
@t@s
g
0 0
1 1
=
0
1
=
= (
0 0
1 2
+
0
1 2
(
2
0
1
2 2
2
0
1 2)
0
0
2) ( 1 2
1
0 0
2 2
2 1
0
2
1
(
1 1
0
1 2
+
0 0
2 1
1 2
0
1 2)
0
1 2)
oldu¼
gundan
@2f
; n1
@t@s
g12 g
0
g1 ( ;
0
) g2 ( ;
)(
0
1
2
1
=0
0
0
2) ( 1 2
0
1 2)
=0
elde edilir. Buna göre
0
I.Durum g1 ( ;
II. Durum g2 ( ;
III. Durum
g11 g22
0
1
2
) = 0 ise
0
) = 0 ise
1
0
2
orijin merkezli bir Lorentz çemberidir.
orijin merkezli bir çemberdir.
= 0 ise
e¼
grisi, orijinden geçen bir do¼
grudur. Bu durumda
2
g12
= 0 olur ki bu f (t; s) yüzeyinin regüler olmad¬g¼¬n¬ söyler. Yani bir
çelişkidir.
IV. Durum
g11 g22
0
1 2
0
1 2
= 0 ise
e¼
grisi, orijinden geçer. Bu durumda
2
g12
= 0 olur ki bu f (t; s) yüzeyinin regüler olmad¬g¼¬n¬söyler.
Şimdi bu durumlar¬inceleyelim.
I.Durum
e¼
grisi orijin merkezli bir Lorentz çember oldu¼
gu durumda
nas¬l bir e¼
gri oldu¼
gunu elde edelim. E¼
ger
e¼
grisinin
e¼
grisi, orijin merkezli bir Lorentz çemberi
40
ise
(t) = a (cosh t; sinh t) ; a > 0 yaz¬labilir. (4.1) denkleminde i = 2 yaz¬l¬rsa,
g g22
elde edilir.
0
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n2
@t@s
@s
00
(t) = a (sinh t; cosh t) ve
=0
(t) = a (cosh t; sinh t) oldu¼
gu gözönüne
al¬n¬rsa,
g
@2f
; n2
@t2
00
1 1
=
0 0
2 1
00
1 2
0
1 2
00
1
0
2
+
0
1
00
2)
= (
00
1
0
2
+
0
1
0
00
2) ( 1 2
a2 sinh2 t
a2 (
=
@2f
; n2
@t@s
+
= (
=
g
0 0
2 2
0 0
1 1
+
00
2 1
0
2
0
1
00
2)
0
1 2
00
1
0 0
1 2
0
1 2)
a2 cosh2 t (
0
1 2
0 0
1 1
=
+(
00
2 2
0
1 2)
0
1 2
0
1 2)
0 0
2 2
+
0 0
1 2
0 0
2 1
0 0
2 2
0 0
1 1
+
0 0
2 1
0 0
1 2
00
2 2
0 0
1 1
+
00
2 1
0 0
1 2
= 0
g
@2f
; n2
@s2
00
1 1
=
0 0
2 2
00
1 2
+
0 00
1 2
0 0
2 1
= (
1
0
2
0
1
2)
= (
1
0
2
0
1
0 00
2) ( 1 2
=
a2 cosh2 t
= a2 (
0 00
1 2
0
1
+(
2
1
0
2)
00 0
1 2
00 0
1 2)
a2 sinh2 t (
0 00
1 2
00 0
1 2)
00 0
1 2)
olarak elde edilir. Bu durumda
g g22
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n2
@t@s
@s
=0
denklemi
g22 g
g1 ( ; ) g2 ( 0 ;
0
)
a2 (
@2f
; n2
@t2
0
1 2
+ g11 g
0
1 2)
@2f
; n2
@s2
+ g1 ( 0 ;
41
0
= 0;
) g2 ( ; ) a2 (
0 00
1 2
00 0
1 2)
= 0;
a4 g2 ( 0 ;
g2 ( 0 ;
haline dönüşür.
0
0
)(
0
1 2)
0
1 2
)(
0
1 2)
0
1 2
a4 g2 ( ; ) (
+ g2 ( ; ) (
00 0
1 2)
0 00
1 2
0 00
1 2
00 0
1 2)
= 0;
=0
(4.2)
e¼
grisi
(s) = r(s) (cos s; sin s)
biçiminde kutupsal koordinatlarda ele al¬n¬rsa
0
(s) = (r0 cos s
r sin s; r0 sin s + r cos s) ;
00
(s) = (r00 cos s
2r0 sin s
r cos s; r00 sin s + 2r0 cos s
r sin s)
elde edilir.
g2 ( ; ) = r2
g2 ( 0 ;
0
1 2
0
1 2
0
) = r2 + r02
= r cos s (r0 sin s + r cos s)
(r0 cos s
r sin s) r sin s
= r2
0 00
1 2
00 0
1 2
= (r0 cos s
r sin s) (r00 sin s + 2r0 cos s
(r00 cos s
=
2r0 sin s
r sin s)
r cos s) (r0 sin s + r cos s)
rr00 + 2r02 + r2
de¼
gerlerini (4.2) denkleminde yerlerine yazarsak
r2 + r02 r2 + r2
rr00
rr00 + 2r02 + r2 = 0;
3r02
2r2 = 0
diferensiyel denklemini elde ederiz. Bu diferensiyel denklem çözülürse c1 ; c2 2 R;
c1 > 0 olmak üzere
c1
r=p
jcos (2s + c2 )j
42
elde edilir. Bu durumda
e¼
grisi
c1
(s) = p
(cos s; sin s)
jcos (2s + c2 )j
orijin merkezli bir hiperbol olarak elde edilir.
e¼
grisi orijin merkezli bir çember oldu¼
gu durumda
II.Durum
e¼
gri oldu¼
guna bakal¬m. E¼
ger
e¼
grisinin nas¬l bir
e¼
grisi, orijin merkezli bir çember ise
(s) = r (cos s; sin s) şeklinde yaz¬labilir. Bu durumda (4.1) denkleminde i = 2
yaz¬l¬rsa,
g g22
elde edilir.
0
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n2
@t@s
@s
00
(s) = r ( sin s; cos s; ) ve
=0
r (cos s; sin s) oldu¼
gu gözönüne
(s) =
al¬n¬rsa,
g
@2f
; n2
@t2
00
1 1
=
@2f
; n2
@t@s
+
0 0
2 1
00
1 2
0
1 2
= (
00
1
0
2
+
0
1
00
2)
= (
00
1
0
2
+
0
1
0
00
2) ( 1 2
00
1
0
2
+
= r2 (
g
0 0
2 2
0 0
1 1
=
0 0
2 2
0
1
+
+(
00
2 2
0 0
1 1
+
00
2 1
0
2
0
1
00
2)
0
1 2
00
1
0 0
1 2
0
1 2)
00
2)
0 0
1 2
0 0
2 1
0 0
2 2
0 0
1 1
+
0 0
2 1
0 0
1 2
00
2 2
0 0
1 1
+
00
2 1
0 0
1 2
= 0
g
@2f
; n2
@s2
00
1 1
=
0 0
2 2
00
1 2
+
0 00
1 2
0 0
2 1
= (
1
0
2
0
1
2)
= (
1
0
2
0
1
0 00
2) ( 1 2
= r2 (
1
0
2
0
1
+(
0
1
2
1
0
2)
00 0
1 2)
2)
olarak elde edilir. Bu durumda
g g22
@2f
@t2
2g12
@2f
@2f
+ g11 2 ; n2
@t@s
@s
43
=0
00 0
1 2
denklemi
@2f
; n2
@t2
g22 g
g1 ( ; ) g2 ( 0 ;
0
) r2 (
0
2
00
1
0
1
+
+ g11 g
00
2)
@2f
; n2
@s2
+ g1 ( 0 ;
0
r3 g1 ( ; ) (
00
1
0
2
+
0
1
00
2)
+ r3 g1 ( 0 ;
g1 ( ; ) (
00
1
0
2
+
0
1
00
2)
+ g1 ( 0 ;
g1 ( ; ) (
00
1
0
2
0
1
00
2)
g1 ( 0 ;
0
0
= 0;
) g2 ( ; ) r2 (
0
)(
)(
)(
1
1
1
0
2
0
2
0
2
0
1
0
1
1
0
2
0
1
2)
2)
= 0;
2)
0
1
2)
= 0;
= 0;
=0
haline dönüşür.
e¼
grisi,
(t) = r(t) (cosh t; sinh t)
biçiminde kutupsal koordinatlarda ele al¬n¬rsa
0
(t) = (r0 cosh t + r sinh t; r0 sinh t + r cosh t) ;
00
(t) = (r00 cosh t + 2r0 sinh t + r cosh t; r00 sinh t + 2r0 cosh t + r sinh t)
elde edilir.
g1 ( ; ) = r2
00
1
0
2
0
1
00
2
= (r00 cosh t + 2r0 sinh t + r cosh t) (r0 sinh t + r cosh t)
(r0 cosh t + r sinh t) (r00 sinh t + 2r0 cosh t + r sinh t)
=
2r02 + rr00 + r2
g1 ( 0 ;
1
0
2
0
1
2
0
) = r02
= r cosh t (r0 sinh t + r cosh t)
= r2
44
r2
(r0 cosh t + r sinh t) r sinh t
(4.3)
de¼
gerleri (4.3) denkleminde yerlerine yaz¬l¬rsa
rr00
3r02 + 2r2 = 0
diferensiyel denklemi elde edilir. Bu diferensiyel denklem çözülürse a0 2 R olmak
üzere
r(t) = p
bulunur. Bu durumda
a0
cosh 2t
e¼
grisi
(t) = p
a0
(cosh t; sinh t)
cosh 2t
olarak elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
: R ! E21 (+ ) ; (t) = (
(s) = (
1 (s);
2 (s))
1 (t);
2 (t))
bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri,
: R ! E2 ,
bir Öklidyen düzlemsel e¼
gri ve bu e¼
grilerin tensör çarp¬m¬
olsun. E42 yi u; v; z; w 2 R olmak üzere
f=
J (u; v; z; w) = ( v; u; w; z)
pseudo-Hermityen yap¬s¬yla özdeşleştirelim.
Tan¬m 4.1 E¼
ger E42 ’ün J pseudo-Hermityen yap¬s¬, f (t; s) yüzeyinin tanjant uzay¬nda bulunan her bir vektörünü, normal uzay içine dönüştürüyorsa f (t; s) yüzeyine
J pseudo-Hermityen yap¬s¬na göre total reeldir denir.
Teorem 4.2
: R ! E21 (+ ) ;
: R ! E2 , (s) = (
e¼
gri,
tensör çarp¬m¬f =
1 (s);
(t) = (
2 (s))
1 (t);
2 (t))
bir Lorentzian düzlemsel
bir Öklidyen düzlemsel e¼
gri ve bu e¼
grilerin
olsun. f =
yüzeyinin J pseudo-Hermityen yap¬s¬na
göre total reel olmas¬için gerek ve yeter şart
e¼
grisinin orijin merkezli bir Lorentz
çemberi olmas¬d¬r.
I·spat f (t; s) =
J
@f
@t
,
@f
@s
(t)
(s) yüzeyinin total reel olmas¬ için gerek ve yeter şart
ye ortogonal ve J
@f
@s
,
@f
@t
ye ortogonal olmas¬d¬r.
45
@f
@t
@f
@s
J
J
= (
0
1 2;
0
1 1;
0
2 1;
0
2 2) ;
= (
0
1 2;
0
1 1;
0
2 1;
0
2 2)
dir.
g J
g J
@f
@t
@f
@s
@f
@s
@f
;
@t
;
=
0
1 2
0
1 1
+
0
1 1
0
1 2
0
2 1
0
2 2
+
0
2 2
0
2 1
=
0
1 2
0
1 1
+
0
1 1
0
1 2
0
2 1
0
2 2
+
0
2 2
0
2 1
@f
@s
=
g J
@f
@s
dir. Buna göre
@f
@t
g J
;
;
@f
@t
0
2 2
0
2 1
= 0;
dir.
@f
@t
g J
@f
@s
;
=0
olmas¬için gerek ve yeter şart
0
1 2
0
1 1
1
0
1
+
(
0
1 2
0
1 1
0
1 2
0
1 2)
(
(
olmas¬d¬r.
1
0
1
1
2
0
1
0
2
2
0
2)
1
0
2 2
+
0
2
0
1 2
0
1 2)
= 0;
0
0
2) ( 1 2
0
1 2)
= 0;
0
2 1
+
0
1
2
2
= 0 ya da (
(
0
1 2
= 0 denklemini çözersek,
0
1 2
Lorentz çemberi oldu¼
gunu elde ederiz.
0
1 2
0
1 2)
=0
e¼
grisinin orijin merkezli bir
= 0 denklemini çözersek
e¼
grisinin orijini içeren bir do¼
gru parças¬ oldu¼
gunu buluruz. E¼
ger
içeren bir do¼
gru parças¬ise bu durumda g11 g22
e¼
grisi orijini
2
g12
= 0 olur ki bu f (t; s) yüzeyinin
regüler olmad¬g¼¬n¬söyler. Yani bir çelişkidir. Bu da ispat¬tamamlar.
Tan¬m 4.2 E42 ; J pseudo-Hermityen yap¬s¬na göre ele al¬nmak üzere M , E42 ’de bir
46
yüzey olsun. E¼
ger Tp M (p 2 M ) nin verilen bir fe1 ; e2 g ortonormal baz¬için
g (J (e1 ) ; e2 ) = sabit
ise M yüzeyine slant yüzeydir denir. Bu yaz¬l¬ş fe1 ; e2 g ortonormal baz¬n¬n seçilişinden ba¼
g¬ms¬zd¬r.
Teorem 4.3 E42 de J pseudo-Hermityen yap¬s¬na göre, f =
slant yüzey olabilmesi için gerek ve yeter şart
yüzeyinin bir
e¼
grisinin bir hiperbolik spiral ve
e¼
grisinin ya orijin merkezli bir çember ya da bir spiral olmas¬d¬r.
I·spat
: R ! E21 (+ ) ; (t) = (
: R ! E2 , (s) = (
1 (s);
2 (s))
1 (t);
2 (t))
bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri,
bir Öklidyen düzlemsel e¼
gri olsun.
ve
e¼
grisini
kutupsal koordinatlarda
(t) =
1
(t) (cosh t; sinh t) ;
(s) =
2
(s) (cos s; sin s)
olarak ele alal¬m.
1 @f
e1 = p
g11 @t
1
= p ( 01
g11
1
J (e1 ) = p (
g11
1
@f
g11
@s
g11 det g
1
= p
(g11 ( 1
g11 det g
e2 = p
g12
0
1;
1;
0
1 2;
0
1 2;
0
1 1;
0
2 2;
0
2 1;
0
2 1)
0
2 2)
@f
@t
0
1 2;
0
2 2;
47
0
2 1)
g12 (
0
1 1;
0
1 2;
0
2 2;
0
2 1 ))
oldu¼
gundan
0
B
1
B
p
B
g11 jdet gj @
g (J (e1 ) ; e2 ) =
1
= p
(
jdet gj
1
= p
(
jdet gj
dir.
0
0
1
(t) = (
g11
0
1 1
0
1 2
g12
0
1 2
0
1 1
(
0
1
1
0
1 2
cosh t +
0
2)
2
0
1 1
0
1 2
g11
0
2 2
0
2 1
0
2 1
+g11
0
1 2
+ g12
+
0
2 2
0
1 2
0
1 2) ( 1
0
1
sinh t;
0
1
sinh t +
sin s;
0
2
sin s +
1
g12
(
1
+ g11
0
1 2
0
1 1
+ g12
0
2 2
0
2 1
0
2 1
0
2 2
0
1
2
+
0
2 ))
0
2)
2
1
cosh t)
ve
0
(s) = (
0
2
cos s
2
2
cos s)
oldu¼
gundan
0
1 2
2
0
1 2
0
1
1
0
2
=
2
2;
0
1 1
=
olarak hesaplan¬r.
2
g12
det g = g11 g22
= g1 ( 0 ;
=
02
1
0
) g2 ( ; ) g1 ( ; ) g2 ( 0 ;
2
1
2 2
2 1
02
2
+
2
2
0
)
(g1 ( ;
0
2
)) (g2 ( ;
2 02 2 02
1 1 2 2
oldu¼
gundan
g (J (e1 ) ; e2 ) = p
bulunur.
= p
1
j(
02
1
j(
02
1
2
1)
2 2
02
2 1( 2 +
0
1 2
2
02
2
1) ( 2 + 2)
48
2
2)
02 02
1 2j
0 2
2 02 2 02 1 1 2
1 1 2 2j
0
2
))
1
C
C
C
A
E¼
ger özel olarak
2
= c sabit ise bu durumda
g (J (e1 ) ; e2 ) = p
= p
dir. Böylece g (J (e1 ) ; e2 ) =
p
c
c2 j(
0
1
02
1
0
1
02
1
j(
2
1 )j
2
1 )j
=sabit olaca¼
g¬ndan
0
1
j(
2
1 )j
02
1
(
02
1
02
1
2
1)
2 2
1
02
1
2
1
0
1
=
=
2
=
02
1
2
1
2
=
2
s
=
1
1
2
2
1
denkleminin çözümünden a1 2 R; b1 2 R olmak üzere
durumda
1
= a1 eb1 t elde edilir. Bu
e¼
grisi
(t) = a1 eb1 t (cosh t; sinh t)
bir hiperbolik spiral,
e¼
grisi de
(s) = c (cos s; sin s)
orijin merkezli bir çember olarak elde edilir.
g (J (e1 ) ; e2 ) = p
j(
= s
02
1
2
1) (
0
1 2
02
2 +
2
2)
02 02
1 2j
2
0
2
2
1
1
0
1
49
2
2
0
2
+1
1
yaz¬labilir. E¼
ger
2
6=sabit ise ve
olur. Buna göre f =
k
0
k
= ck ; k = 1; 2 denirse
g (J (e1 ) ; e2 ) = p
c2
c21 ) (c22
j(1
+ 1)
1j
yüzeyinin bir slant yüzey olabilmesi için gerek ve yeter
şart
c22
(c22 + 1) (1 c21 )
1
=
2
= sabit
olmas¬d¬r. Bu denklem düzenlenirse
c22 + 2
(s) =
c22 + 1
2
1
c21 (t)
elde edilir. Bu eşitli¼
gin sa¼
glanabilmesi için c1 =sabit ve c2 =sabit olmal¬d¬r. c1 =
denirse
1
elde edilir. Benzer şekilde c2 =
1
b2
denirse
2
olarak elde edilir. Bu durumda
= a1 eb1 t
= a2 eb2 s
e¼
grisi
(t) = a1 eb1 t (cosh t; sinh t)
bir hiperbolik spiral ve
e¼
grisi de
(s) = a2 eb2 s (cos s; sin s)
bir spiraldir.
50
1
b1
4.1 E24 de M Hiperyüzeyi Üzerinde Lie Gruplar¬ve Baz¬Özel Altgruplar
Bu bölümde x = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij bikompleks say¬s¬n¬n eşleni¼
gini
x = x1
ix2 + jx3
ijx4
olarak alaca¼
g¬z. Buna göre x bikompleks say¬s¬n¬n normu kxk olmak üzere
kxk2 = x x = x21 + x22
x23
x24 + 2j(x1 x3 + x2 x4 )
dir. Dolay¬s¬yla
M = fx = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) : x1 x3 + x2 x4 = 0; g (x; x) 6= 0g ;
M =
x = (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) : x1 x3 + x2 x4 = 0; x21 + x22
x23
x24 6= 0
hiperyüzeyi ile ilgilenece¼
giz. M cümlesini bikompleks say¬lar cümlesi içinde
M = fx = x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij 2 C2 : x1 x3 + x2 x4 = 0;
g (x; x) 6= 0g
olarak ele alal¬m. M nin noktalar¬, bikompleks say¬çarp¬m¬n¬n matris formundaki
temsilcisiyle aşa¼
g¬daki gibi de ifade edilebilir.
8
2
>
>
>
6
>
>
6
>
<
6
f= x=6
M
6
>
6
>
>
>
4
>
>
:
x1
x2
x3
x4
x2
x1
x4
x3
x3
x4
x1
x2
x4
3
7
7
x3 7
7 : x1 x3 + x2 x4 = 0;
7
x2 7
5
x1
9
>
>
>
>
>
>
=
g (x; x) 6= 0 :
>
>
>
>
>
>
;
f cümlesi bikompleks say¬çarp¬m¬ile birlikte bir Lie grubudur.
Teorem 4.1.1 M
f; ayn¬
I·spat M bir hiperyüzey oldu¼
gundan bir diferensiyellenebilir manifolddur. M
zamanda grup işlemi matris çarp¬m¬olmak üzere bir gruptur. Gerçekten,
51
f
: M
f !
M
f
M
! x
(x; y)
y = x:y
i)Kapal¬l¬k Özeli¼
gi:
f için
8x; y 2 M
2
x
6 1
6
6 x2
x=6
6
6 x3
4
x4
x2
x1
x3
x4
x4
x3
x1
x2
x4
3
2
y
7
6 1
7
6
6 y
x3 7
7; y = 6 2
7
6
6 y3
x2 7
5
4
x1
y4
2
z1
z2
6
6
6 z2
xy = z = 6
6
6 z3
4
z4
z1 = x1 y1
z1
z4
z3
x2 y2
z2 = x2 y1 + x1 y2
z3 = x3 y1
z3
z4
z1
z2
y2
y1
y4
y4
y3
z4
y3
y1
y2
3
y4
3
7
7
y3 7
7;
7
y2 7
5
y1
7
7
z3 7
7
7
z2 7
5
z1
x3 y3 + x4 y4 ;
x4 y3
x3 y4 ;
x4 y2 + x1 y3
x2 y4 ;
z4 = x4 y1 + x3 y2 + x2 y3 + x1 y4
dür.
det z = det (xy) = det x det y 6= 0
f dir.
oldu¼
gundan (z1 ; z2 ; z3 ; z4 ) 6= 0: Ayr¬ca z1 z3 + z2 z4 = 0 d¬r. Dolay¬s¬yla z 2 M
ii)Birleşme Özeli¼
gi:
f için x; y; z 2 E4 oldu¼
8x; y; z 2 M
gundan
4
x (yz) = (xy) z
dir.
iii)Birim Eleman Özeli¼
gi:
52
I4 = [
ij ] ;
1
f ve 8x 2 M
f için
4 olmak üzere I4 2 M
i; j
I4 x = xI4 = x
dir.
iv)I·nvers Eleman 2Özeli¼
gi:
1
6
6
6 0
f
8x 2 M için " = 6
6
6 0
4
0
x
1
=
=
oldu¼
gundan x
1
0 0 0
3
7
7
1 0 0 7
7 olmak üzere
7
0 1 0 7
5
0 0 1
"xT "
x21 + x22 x23
1
x21 + x22
x23
x24
2
6
6
6
6
x24 6
6
4
f dir. Dolay¬s¬yla M
f;
2M
f
: M
f !
M
(x; y)
! x
x1
x2
x2
x3
x1
x3
x4
x4
x4
x1
x3
x2
x4
3
7
7
x3 7
7
7
x2 7
5
x1
bir gruptur.Üstelik
f
M
y = xy
f;
işlemi her yerde diferensiyellenebilirdir. Böylece M
1
bir Lie grubudur.
Teorem 4.1.2 M cümlesi bikompleks say¬çarp¬m¬ile birlikte bir Lie grubudur.
I·spatI·spat¬Teorem 4.1.1 e benzer şekilde yap¬labilir.
53
4.2 M Lie Grubunun Lie Cebiri
M nin 3-boyutlu bir Lie grubu oldu¼
gunu biliyoruz. Şimdi, M nin Lie cebirini bulal¬m:
M üzerinde
olsun.
1
(t)
(0) = 1 yani
1
(0) = 1;
(t) =
1
(t) 1 +
(t)
4
(t) = 0 eşitli¼
ginin her iki taraf¬n¬n türevi al¬n¬rsa
(t) +
1
(t)
3
(t) +
1
(t)
3
2
elde edilir. E¼
ger t = 0 yaz¬l¬rsa
=
3
m
2
(t) i +
(t) +
2
(t)
3
(t) j +
4
(t) +
4
2
(t) ij
(t)
4
(t) = 0
(0) = 0 bulunur. Böylece Lie cebiri,
3
@
m
(0) = 0, m = 2; 3; 4 olan bir e¼
gri
@
j
m
formundaki vektörlerle oluşturulur.
=1 ;
m = 1; 2; 4
vektörü bikompleks say¬olarak
=
1
+
2i
+
4 ij
yaz¬labilir.
Xj
=1 =
için M üzerindeki X sol invaryant vektör alanlar¬n¬bulal¬m:
(0) = 1;
e¼
grisi
(0) =
şart¬n¬ sa¼
glayan bir e¼
gri olsun. Bu durumda x bikompleks say¬ olmak üzere
e¼
grisinin sol ötelemesi
Lx ( (t)) = x (t)
dir. Bunun tanjant vektörü x (0) = x dir. Özel olarak, M üzerindeki sol invaryant
vektör alanlar¬Xm ile gösterilirse,
Xm j
=1 =
@
@
m
j
=1 ;
54
m = 1; 2; 4
dir. Bu vektör alanlar¬x = x1 1+x2 i+x3 j+x4 ij olmak üzere (X1 )x = x1; (X2 )x = xi;
(X4 )x = xij oldu¼
gundan
X1 = x1
= x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij
= (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) ;
X2 = xi
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij) i
= x1 i
x2 + x3 ij
x4 j
= ( x 2 ; x 1 ; x 4 ; x3 ) ;
X4 = xij
= (x1 1 + x2 i + x3 j + x4 ij) ij
= x1 ij
x2 j
x3 i + x4
= (x4 ; x3 ; x2 ; x1 )
olarak elde edilir.
Teorem 4.2.1 M paralelleştirilebilirdir.
n
o
·
Ispat Tp M (p 2 M ) nin bir baz¬ (X1 )p ; (X2 )p ; (X4 )p olacak şekilde üç tane vektör
alanlar¬X1 ; X2 ; X4 bulunabildi¼
ginden M paralelleştirilebilirdir.
55
4.3 E42 de M Hiperyüzeyi Üzerinde Tensör Çarp¬m Yüzeyleri ve
Lie Gruplar¬
Bu bölümde bir Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile bir Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör
çarp¬m yüzeylerini kullanarak, M Lie grubunun baz¬özel altgruplar¬elde edilmiştir.
Böylece Lorentzian düzlemsel e¼
gri ile Öklidyen düzlemsel e¼
grinin tensör çarp¬m
yüzeylerinin Lie grup yap¬lar¬ elde edilmiştir. Üstelik bu Lie gruplar¬n¬n sol invaryant vektör alanlar¬elde edilmiştir.
Teorem 4.3.1 Ayn¬parametreye sahip iki e¼
griden birisi
: R ! E21 ;
(t) = eat (cosh t; sinh t) bir hiperbolik spiral ve di¼
geri ise
: R ! E2 ;
(t) =
ebt (cos t; sin t) (a; b 2 R) bir spiral olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬,
M Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
I·spat
(t) =
(t)
(t) = e(a+b)t (cosh t cos t; cosh t sin t;
56
sinh t sin t; sinh t cos t)
şeklindeki ; M üzerinde bir e¼
gridir. Ayr¬ca 8t1 ; t2 2 R için
(t1 )
(t2 ) = e(a+b)t1 (cosh t1 cos t1 ; cosh t1 sin t1 ;
sinh t1 sin t1 ; sinh t1 cos t1 )
e(a+b)t2 (cosh t2 cos t2 ; cosh t2 sin t2 ; sinh t2 sin t2 ; sinh t2 cos t2 )
1 1
0 0
cosh t1 cos t1 cosh t2 cos t2
C C
B B
C C
B B
B B cosh t1 sin t1 cosh t2 sin t2 C C
C; C
B B
C C
B B
B B sinh t1 sin t1 sinh t2 sin t2 C C
A C
B @
C
B
C
B
+ sinh t1 cos t1 sinh t2 cos t2
B 0
1 C
C
B
C
B
cosh t1 cos t1 cosh t2 sin t2
C C
B B
C C
B B
B B + cosh t1 sin t1 cosh t2 cos t2 C C
C; C
B B
C C
B B
B B + sinh t1 sin t1 sinh t2 cos t2 C C
B @
A C
C
B
C
B
+ sinh t1 cost1 sinh t2 sin t2
(a+b)(t1 +t2 ) B 0
C
1
= e
C
B
C
B
cosh t1 cos t1 sinh t2 sin t2
B B
C C
B B
C C
B B cosh t1 sin t1 sinh t2 cos t2 C C
B B
C; C
B B
C C
B B sinh t1 sin t1 cosh t2 cos t2 C C
B @
A C
C
B
C
B
sinh
t
1 cost1 cosh t2 sin t2
B 0
1 C
C
B
C
B
cosh
t
cos
t
sinh
t
cos
t
1
1
2
2
B B
C C
B B
C C
B B cosh t1 sin t1 sinh t2 sin t2 C C
B B
C C
B B
C C
B B sinh t1 sin t1 cosh t2 sin t2 C C
@ @
A A
+ sinh t1 cost1 cosh t2 cos t2
0
1
cosh t1 cosh t2 cos (t1 + t2 )
B
C
C
B
B + sinh t1 sinh t2 cos (t1 + t2 ) ; C
B
C
B
C
B cosh t1 cosh t2 sin (t1 + t2 ) C
B
C
B
C
B
+ sinh t1 sinh t2 sin (t1 + t2 ) ; C
(a+b)(t1 +t2 ) B
C
= e
B
C
B
cos t1 sin t2 sinh (t1 + t2 ) C
C
B
B
C
B
sin t1 cos t2 sinh (t1 + t2 ) ; C
B
C
B
C
B cos t1 cos t2 sinh (t1 + t2 ) C
@
A
sin t1 sin t2 sinh (t1 + t2 )
0
1
cosh (t1 + t2 ) cos (t1 + t2 ) ;
B
C
B
C
B cosh (t1 + t2 ) sin (t1 + t2 ) ; C
(a+b)(t1 +t2 ) B
C
= e
B
C
B
sinh (t1 + t2 ) (t1 + t2 ) ; C
@
A
sinh (t1 + t2 ) cos (t1 + t2 )
57
=
(t1 + t2 )
oldu¼
gundan ( (t) ; ) ; (M; ) Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
Sonuç 4.3.1 Ayn¬parametreye sahip iki e¼
griden birisi
: R ! E21 ;
(t) = eat (cosh t; sinh t) bir hiperbolik spiral e¼
gri vedi¼
geri ise
: R ! E2 ; (t) =
(cos t; sin t) (a 2 R) bir orijin merkezli çember olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör
çarp¬mlar¬, M Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
I·spat Teorem 4.3.1 de b = 0 al¬n¬rsa,
orijin merkezli bir çember olur. Bu da ispat¬
tamamlar.
Sonuç 4.3.2. Ayn¬parametreye sahip iki e¼
griden birisi
(t) = (cosh t; sinh t) bir Lorentz çemberi ve di¼
geri ise
: R ! E21 ;
: R ! E2 ;
(t) = (cos t; sin t) (a 2 R) bir orijin merkezli çember olsun. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬, M Lie grubunun bir parametreli bir altgrubudur.
I·spat Teorem 4.3.1 de a = b = 0 al¬n¬rsa,
bir Lorentz çemberi,
orijin merkezli
bir çember olur. Bu durumda bu e¼
grilerin tensör çarp¬mlar¬, M Lie grubunun bir
parametreli bir altgrubudur.
58
KAYNAKLAR
Arslan, K., Ezentas, R., Mihai, I., Murathan, C. and Özgür, C. 2001."Tensor pro
duct surfaces of a Euclidean space curve and a Euclidean plane curve"
BeiträgeAlgebra Geom. 42 , no. 2, 523–530 :
Brickell, F. and Clark, R.S. 1970. "Di¤erentiable Manifolds", Van Nostrand Rein
hold Company London.
Chen, B.1990. "Geometry of Slant Submanifolds" Katholieke Universiteit Leuven.
Decruyenaere, F., Dillen F., Verstraelen L. and Vrancken, L. 1993. "The semiring
of immersions of manifolds", Beitrage Algebra Geom. 34, 209-215.
Hac¬saliho¼
glu H.H. 2006. "Yüksek Diferensiyel Geometri’ye Giriş", F¬rat Üniver
sitesi Fen Fak.Yay¬nlar¬.
I·larslan, K., Nesovic, E. 2007. "Tensor product surfaces of a Lorentzian space curve
and a Euclidean plane curve", Kuwait J. Sci. Engrg. 34 no. 2A, 41–55.
I·larslan, K. and Nesovic, E. 2007. "Tensor product surfaces of a Euclidean space
curve and a Lorentzian plane curve", Di¤erential Geometry-Dynamical
Systems,Vol.9, 47-57.
Karger A. and Novak J. 1985. "Space Kinematics and Lie Groups", Gordan and
Breach Publishers.
Mihai, I.,Rosca, R., Verstraelen, L, and Vrancken, L. 1993. "Tensor product sur
faces of Euclidean planar curves. Rendiconti del Seminario Matematico di
Messina Serie II. 18(3): 173-185":
59
Mihai, I., Van De Woestyne I., Verstraelen, L. and Walrave J. 1995. "Tensor product
surfaces of a Lorentzian planar curves", Bull.Inst.Math. Acad. Sinica 23
357-363.
O’Neill, B. 1983. "Semi-Riemannian Geometry with Applicaions to Relativity",
AcademicPress, New York.
Özkaldi S. and Yayl¬Y. 2010 "Tensor product surfaces in R4 and Lie groups" Bull.
Malays.Math. Sci. Soc. (2) 33(1), 69–77.
Price, G. B. 1990 " An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions", Marcel
Dekker Inc.
60
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: S¬dd¬ka ÖZKALDI
Do¼
gum Yeri
: Çorum
Do¼
gum Tarihi : 04.04.1980
Medeni Hali
: Bekar
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Sincan Yabanc¬Dil A¼
g¬rl¬kl¬Lisesi (1998)
Lisans
:
Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü (2002)
Yüksek Lisans :
K¬r¬kkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬Haziran (2006)
Doktora
:
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬Temmuz (2010)
Çal¬şt¬g
¼¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l
K¬r¬kkale Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü Araşt¬rma Görevlisi (2003
2007)
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü Araşt¬rma Görevlisi (2007
:::)
Yay¬nlar¬(SCI ve di¼
ger)
1) H.Gündo¼
gan and S.Özkald¬, Cli¤ord Product and Lorentzian Plane Displace61
ments In 3-Dimensional Lorentzian Space, Adv.Appl.Cli¤ord Alg.19,43-50,(2009).(SCIExpanded)
2) S. Özkald¬, K.I·larslan, Y.Yayli, On Mannheim Partner Curves In Dual Space,
Analele Stiinti…ce ale Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica, vol XVII,
fasc. 2., (2009), 131-142 (SCI-Expanded)
3) S. Özkald¬and Y.Yayl¬, Tensor Product Surfaces and Lie Groups, Bulletin of
the Malaysian Mathematical Sciences Society(2) 33(1) 2010, 69–77(SCI-Expanded)
4) S. Özkald¬and H. Gündo¼
gan, Cayley Formula, Euler Parameters and Rotations
in 3-Dimensional Lorentzian Space, Adv. appl. Cli¤ord alg., Volume: 20, Number
2, 367-377, 2010 (SCI-Expanded)
5) Gok, I., Ozkaldi, S., Yayli, Y. and Hac¬salihoglu, H. H., LC slant helix on
hypersurfaces in Euclidean n-space E n , Reports of the Third Congress of the World
Mathematical Society of Turkic countries, vol: 1, pp. 81-87 (2009)
6) Ozkaldi, S., Gok, I., Yayli, Y. and Hac¬salihoglu, H. H., LC-slant helix on hypersurfaces in Minkowski space, TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics,
(accepted).
7) S. Özkald¬ and H. Gündo¼
gan, Dual Split Quaternions and Screw Motion in
3-Dimensional Lorentzian Space, DOI: 10.1007/s00006-010-0236-6, Adv. appl. Clifford alg.(SCI-Expanded)
62