φ+ φ φ ϕ

Hatırlatma
Sinüsoidal x(t ) = Am cos( wt + ϕ )
= Am cos(ϕ ) cos( wt ) +
(− Am ) sin (ϕ) sin (wt)
Fazör jϕ
A = Ame
= Am cosϕ + jAm sin ϕ
Am cos( wt + ϕ ) = Re( A) cos wt − Im( A) sin wt
Lemma 1:
(Teklik) Tanıt: Re[ Ae
jwt
A= B
Ae
Re[ Ae
jwt
jwt
] = Re[ Be
jwt
], ∀t
A= B
= Be
jwt
,
] = Re[ Be
∀t
jwt
],
∀t
Re[ Ae jwt ] = Re[ Be jwt ],
∀t
t1 = 0 : Re[ A] = Re[B]
jwt 2
π
Re[
Ae
]
=
Re[
jA
]
=
−
Im
A
j
π
t2 =
: e jwt2 = e 2 = j
2w
Re[ Be jwt 2 ] = Re[ jB] = − Im B
Im[ A] = Im[ B]
A = Re[ A] + j Im[ A] = Re[ A] + j Im[ B] = B
jwt
x1 (t ) = Re[ A1e ], x2 (t ) = Re[ A2e
x1 (t ) → A1
x2 (t ) → A2
a1, a2 ∈ R, a1x1(t ) + a2 x2(t) → a1A1 + a2 A2
Lemma 2:
(Lineerlik) Tanıt: jwt
jwt
]
jwt
a1x1 (t ) + a2 x2(t) = a1 Re[ A1e ] + a2 Re[ A2e ]
= Re[ a1 A1e jwt ] + Re[ a2 A2e jwt ]
= Re[ a1 A1e jwt + a2 A2e jwt ]
= Re[( a1 A1 + a2 A2 )e jwt ]
a1x1(t ) + a2 x2(t) → a1 A1 + a2 A2
Lemma 3:
(Türev) Tanıt: Am cos( wt + ϕ A ) → A
A = Ame jϕ
d
[ Am cos( wt + ϕ A )] → jωA
dt
d
d
jwt
{Re[ Ae ]} = {Re[ Am e j ( wt+ϕ A ) ]}
dt
dt
d
= { Am cos( wt + ϕ A )}
dt
= − Amω sin( wt + ϕ A )
= Re[ jωAme j ( wt+ϕ A ) ]
= Re[ jωAe jwt ]
Durum denklemlerini çözmede fazör kavramı
Diferansiyel Denklem
Fazör
Kavramı
Cebrik Denklem
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
jωX = AX + BU
Cebrik Denklem
çözümü
X = [ jω I − A]−1 BU
Özel Çözümün
bulunması
Zaman Bölgesine
geçiş
Çözüme ilişkin
fazörlerin elde
edilmesi
Örnek:
! x (t) $ !
$! x1 (t) $ ! 2 $
−3
2
1
#
&=#
&+#
&#
& cos(3t)

x
(t)
0
−3
x
(t)
1
#" 2
&% "
&% "
%
%#" 2
diferansiyel denkleminin özel çözümünü belirleyiniz! Cevap:
! 5
o
#
cos(3t
−
53
)
! x (t) $
# 1
&=# 9
#" x2 (t) &% # 1
o
cos(3t
−
45
)
#
" 3 2
$
&
&
&
&
%
Sürekli Sinüsoidal Hal’de devre denklemleri
Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş hepsi w frekanslı
kaynaklarla sürülen devre
1. Düğüm i (t ) + i (t ) − i (t ) = 0, ∀t
2
3
için KAY 1
Ai(t ) = 0, ∀t
Re{I1e jωt } + Re{I 2e jωt } − Re{I3e jωt } = 0, ∀t
Teklik ve lineerlik özelliğinden
Tüm düğümler için genelleştirirsek
I1 + I 2 − I 3 = 0
AI = 0
Reel katsayılı
matris
Kompleks elemanlı
sütun vektör
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York 1-2-3-1 Kapalı düğüm dizisi için KGY:
AT vd (t ) = v(t ), ∀t
Re{V1e jωt } − Re{V2e jωt } − Re{V4e jωt } = 0, ∀t
Teklik ve lineerlik özelliğinden
V1 − V2 − V4 = 0
v1 (t ) − v2 (t ) − v4 (t ) = 0, ∀t
Genelleştirirsek
ATVd = V
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Lineer zamanla değişmeyen devre elemanları
Direnç
Endüktans
Kapasite
Gerilim kontrollü gerilim kaynağı
Gerilim kontrollü akım kaynağı
Akım kontrollü gerilim kaynağı
Akım kontrollü akım kaynağı
Jiratör
İdeal Transformatör
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Empedans-Admitans Kavramı
Amaç: Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş N devresinin
iki uçlu olarak tanımlanması
is
+
v
_
N
1-kapılısı
Z ( w) = R( w) + jX ( w)
resistans reaktans
is (t ) = Re[ I s e jwt ] = I s cos(wt + ϕs )
v(t ) = Re[Ve jwt ] = V cos(wt + ϕv )
N 1-kapılısına ilişkin giriş empedansı
V ( w)
Z ( w) =ˆ
I s ( w)
V (w) = Z (w) I s (w)
V ( w) = V ( w) e jϕv
V (w) = Z (w) I S
ϕv = ϕ Z + ϕ S
v(t ) = Z (w) I S cos(wt + ϕZ + ϕS )
i
+
+
v
_
vS (t ) = Re[VS e jwt ] = VS cos(wt + ϕS )
N
1-kapılısı
Y ( w) = G( w) + jB( w)
kondüktans suseptans
i(t ) = Re[ Ie jwt ] = I cos(wt + ϕ I )
N 1-kapılısına ilişkin giriş admitansı
I ( w)
Y ( w) =ˆ
Vs ( w)
I ( w) = Y ( w)Vs ( w)
I ( w) = I ( w) e jϕ I
I (w) = Y (w) VS
ϕI = ϕY + ϕS
i(t ) = Y (w) VS cos(wt + ϕY + ϕS )
vC (t ) = cos 2t ve devre SSH’de çalışmaktadır. a) Devrede gösterilen akım
ve gerilimlerin fazör diyagramını çiziniz. b) e1 (t )‘ye ait fazörü ve e1 (t )‘yi
belirleyiniz.
Empedans-Admitans Kavramını kullanarak neler yapabiliriz?
V ( w)
Z ( w) =
I ( w)
V1 ( w) + V2 ( w)
=
I ( w)
= Z1(w) + Z2 (w)
I ( w)
Y ( w) =
V ( w)
I1 ( w) + I 2 ( w)
=
V ( w)
= Y1(w) + Y2 (w)
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York Devre Denklemleri
⎡ 0
⎢ AT
⎢
⎢⎣ 0
KAY:
AI = 0
KGY:
ATVd = V
ETB:
M (w)V + N (w) I = U s
0
A ⎤ ⎡Vd ⎤ ⎡ 0 ⎤
−I
0 ⎥⎥ ⎢⎢ V ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥
M ( w) N ( w)⎥⎦ ⎢⎣ I ⎥⎦ ⎢⎣U s ⎥⎦
T (w)
T (w) =ˆ T 0+ jwT1
4 1 v 2 ⎡0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢1
⎢
⎢1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢⎣0
3 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
−1
0
1
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
−1 0 0
1 −1 0
0
0
−1 0
0 −1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1 0 0
0 −1 0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
G1
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
G2
0
0
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
jωC1
0
0
jω C 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−1 0 0
0 −1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0
−1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0⎤ ⎡Vd 1 ⎤ ⎡0⎤
⎢
⎥
0⎥⎥ ⎢Vd 2 ⎥ ⎢⎢0⎥⎥
0⎥ ⎢Vd 3 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
1⎥ ⎢Vd 4 ⎥ ⎢0⎥
0⎥ ⎢ V1 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢VR1 ⎥ ⎢0⎥
0⎥ ⎢VR 2 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢VC1 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢VC 2 ⎥ ⎢0⎥
0⎥ ⎢ V p ⎥ ⎢0⎥
⎥ = ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢ Vn ⎥ ⎢0⎥
0⎥ ⎢ Vo ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢ I1 ⎥ ⎢1⎥
0⎥ ⎢⎢ I R1 ⎥⎥ ⎢0⎥
⎥
⎢ ⎥
0⎥ ⎢ I R 2 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢ I C1 ⎥ ⎢0⎥
0⎥ ⎢ I C 2 ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥ ⎢ I p ⎥ ⎢0⎥
0⎥ ⎢ I n ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
0⎥⎦ ⎢⎣ I o ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦