İç ve Dış Soddy Çemberleri

Analiz – Cebir
06/02/11
1. P( x)  x2007  2 x2006  3x2005  ...  2006 x2  2007 x  2008 polinomunun x( x  1)2 ile bölümünden
elde edilen kalanı bulunuz.
2. P( x)  1  x  x 2 
1004
 a0  a1 x  ...  a2008 x 2008 olduğuna göre a0  a2  a4  ...  a2008 sayısının tek
olduğunu gösteriniz.
3. P( x)  x15  2004 x14  2004 x13  2004 x12  ...  2004 x 2  2004 x ise P(2003) kaçtır?
4. a, b, c, d reel sayılar olmak üzere p( x)  x4  ax3  bx2  cx  d polinomu verilsin. P(1) = 827, p(2)
p(9)  p(5)
= 1654 ve p(3) 2481 ise
kaçtır?
4
5. Hangi a tamsayıları için x13 + x + 90’ın bir çarpanı x2 – x + a’dır?
6. P( x)  x4  2ax2  4bx  a 2 ve Q( x)  x3  ax  b polinomlarının farklı iki reel kökleri ortak ise a, b
reel sayıların alabileceği değerler kümesini bulunuz.
7. p, q  Z+ için f ( x)   x  1
p
 x  3
q
 x n  a1 x n1  a2 x n2  ...  an1 x  an dir.
a) a1 = a2 ise 3n’nin tam kare olduğunu gösteriniz.
b) Verilen f(x) polinomu için a1 = a2 şartını sağlayan sonsuz sayıda (p, q) pozitif tamsayı ikililerin olduğunu gösteriniz.
8. ax2  (c  b) x  (e  d )  0 denkleminin reel kökleri 1’den büyük ise ax4  bx3  cx2  dx  e  0
denkleminin en az bir reel kökü olduğunu gösteriniz.
9. p(x) 5. dereceden bir polinom olup p(x) + 1 polinomu (x – 1)3 ile tam bölünmekte, p(x) – 1 polinomu
(x + 1)3 ile tam bölünmektedir. Bu şartları sağlayan bir p(x) polinomu bulunuz.
10. a, b, c tamsayılar olmak üzerine aşağıda verilen şartları saylayan tamsayı katsayılı f(x) polinomlarını bulunuz.
i) ac  bc
ii) f(a) = a, f(b) = b, c2 + f2(c) + f2(0) = 2cf(0)
11. a1 , a2 ,..., an  ve a1  a2  ...  an olsun. Q( x)  ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an ) ve i = 1,2,…,n için
Q( x)
Pi ( x) 
olmak üzere, P( x)  P1 ( x)  P2 ( x)  ...  Pn ( x) polinomunun bütün köklerinin gerçel olx  ai
duğunu gösteriniz.
1
12. x  y  xy  19 , y  z  yz  11, z  x  xz  14 denklem sisteminin tüm reel çözüm üçlülerini bulunuz.
13. x(y + 1) = y(z + 1) = z(x + 1) denkleminin çözümü olan tüm (x, y, z) reel sayı üçlülerini bulunuz.
14. x3  3x2  5x  17  0 ve y3  3 y 2  5 y  11  0 ise x + y kaçtır?
15. x 2  y 2 
2 xy
 1 ve
x y
x  y  x 2  y denklem sisteminin tüm reel çözümlerini bulunuz.
16. a, b, c reel sayılar olmak üzere
1
1
1
 
 1 ve a  b  c  1 ise
ab bc ca
1
1
1


 1 olduğunu gösteriniz.
1  a  ab 1  b  bc 1  c  ca
17. a, b, c, p reel sayılar olup a, b, c birbirinden farklıdır. a 
1
1
1
 b   c   p ise p’nin alabileceb
c
a
ği tüm değerleri bulup abc + p = 0 olduğunu gösteriniz.
18.  x  y   z ,  y  z   x ,  z  x   y denklem sisteminin tüm reel çözümlerini bulunuz.
3
3
3
19. . 3 3  x  x  2  1 denkleminin kaç tane reel kökü vardır?
20. x4 + 4x3 – 8x – 21 = 0 denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?
1
1
3
45
21.  x  1  x    x    x   
denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?

4
2
4
32
22. 17  8x  2x2  4  12x  3x2  x2  4x  13 denkleminin reel köklerini bulunuz.
23.  x2  3x  1  3  x 2  3x  1  1  x denkleminin reel köklerini bulunuz.
2
24. 2 x2  3x  2 x x2  3x  1 denkleminin reel köklerini bulunuz.
25. 3 2  x  1  x 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
26.

2 3
   2  3
x
x
4
denkleminin reel köklerini bulunuz.
27. x3  x  1  0 denkleminin kökleri  ,  ,  ise
28.
3
1  1  1 


1 1  1 
kaçtır?
x  1  3 3x  1  3 x  1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
29. x68 + x2 + x + 68 = 0 denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?
2
3