GENELLEŞTİRİLMİŞ MEYER

GENELLEŞTİRİLMİŞ MEYER-KÖNIG VE ZELLER
OPERATÖRLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIMI
Nursel ÇETİN
YÜKSEK LİSANS
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
OCAK 2009
ANKARA
Nursel ÇETİN tarafından hazırlanan GENELLEŞTİRİLMİŞ MEYER-KÖNIG VE
ZELLER OPERATÖRLERİNİN İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIMI adlı bu tezin
Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Yrd. Doç. Dr. Hatice GÜL İNCE İLARSLAN
……………………………….
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL
……………………………….
Matematik A.B.D., Gazi Üniversitesi
Yrd. Doç. Dr. Hatice GÜL İNCE İLARSLAN
……………………………….
Matematik A.B.D., Gazi Üniversitesi
Doç. Dr. Gülen TUNCA
……………………………….
Matematik A.B.D., Ankara Üniversitesi
Tarih : 19 / 01 / 2009
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Nail ÜNSAL
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Nursel ÇETİN
iv
GENELLEŞTİRİLMİŞ MEYER-KÖNIG VE ZELLER OPERATÖRLERİNİN
İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIMI
(Yüksek Lisans Tezi)
Nursel ÇETİN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Ocak 2009
ÖZET
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci
bölümde,
pozitif
lineer
operatörler,
süreklilik
modülü,
Peetre
K-fonksiyoneli, Lipschitz sınıfı, istatistiksel yakınsaklık ve A-istatistiksel
yakınsaklık kavramları tanıtılıp bunlara ilişkin bazı bilinen sonuçlara yer
verilmiştir. Üçüncü bölümde, pozitif lineer operatör dizileri için reel sayıların
keyfi bir aralığı üzerinde A-istatistiksel yakınsaklık kullanılarak genel bir
Korovkin tipi yaklaşım teoremi verilmiştir. Dördüncü bölümde, Agratini
operatörleri incelendikten sonra, A-istatistiksel yakınsaklık kullanılarak bu
operatörlerin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Beşinci bölümde, Agratini
operatörlerinin
Kantorovich
tipli
integral
genellemesi
verilerek
bu
operatörlerin istatistiksel yakınsaklığı ve A-istatistiksel yakınsama hızları
hesaplanmıştır.
v
Altıncı bölümde, bilinen operatörlerin integral tipli genellemelerini içeren
pozitif lineer operatörler dizisinin genel hali ifade edilip, A-istatistiksel
yakınsaklık kullanılarak bu operatörlerin istatistiksel yakınsaklığı, istatistiksel
yakınsama hızları ve r-inci basamaktan genelleştirilmesi verilmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.095
Anahtar Kelimeler : A-istatistiksel yakınsaklık, lineer pozitif operatörler,
Korovkin teoremi, Meyer-König ve Zeller operatörü,
Süreklilik modülü, Lipschitz sınıfı, Peetre K-fonksiyoneli
Sayfa Adedi
: 72
Tez Yöneticisi
: Yrd. Doç. Dr. Hatice GÜL İNCE İLARSLAN
vi
STATISTICAL APPROXIMATION BY GENERALIZED MEYER-KÖNIG
AND ZELLER TYPE OPERATORS
(M.Sc. Thesis)
Nursel ÇETİN
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
January 2009
ABSTRACT
This thesis consists of six chapters. The first chapter has been devoted to the
introduction. In the second chapter, the concepts of positive linear operators,
modulus of continuity, Peetre’s K-functional, Lipschitz class, statistical
convergence and A-statistical convergence have been recalled and some known
results concerning them have also been considered. In the third chapter, using
A-statistical convergence, Korovkin type approximation theorem for positive
linear operators have been given on an arbitrary interval I of IR. In the fourth
chapter, A Kantorovich type generalization of Agratini’s operators have been
introduced and using A-statistical convergence, the approximation properties of
Agratini’s operators have been studied. In the fifth chapter, A Kantorovich
integral type generalization of Agratini’s operators and a statistical
approximation result for these operators have been given. Also, the rates of Astatistical approximation for the operators have been investigated. In the sixth
chapter, Korovkin type theorems for a general sequence of positive linear
operators including many integral type generalizations of well known operators
via the concept of statistical convergence.
vii
After that, the rates of statistical convergence and the approximation properties
of the r-th order generalization of these operators have been dealt with.
Science Code : 204.1.095
Key Words : A-statsitical convergence, Positive linear operators, Korovkin
theorem, the Meyer-König and Zeller operators, Modulus of
continuity, Lipschitz class, Peetre’s K-functional.
Page Number : 72
Adviser
: Assoc. Prof. Dr. Hatice GÜL İNCE İLARSLAN
viii
TEŞEKKÜR
Bu çalışmayı bana vererek çalışmalarımın her safhasında yakın ilgi ve yardımlarını
esirgemeyen değerli hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Hatice GÜL İNCE İLARSLAN’a
saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca çalışmalarım boyunca bana anlayış gösteren
sevgili aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim.
ix
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................ vi
TEŞEKKÜR.............................................................................................................. viii
İÇİNDEKİLER ........................................................................................................... ix
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. GENEL BİLGİLER ................................................................................................. 3
2.1. Pozitif Lineer Operatörler ................................................................................. 3
2.2. İstatistiksel Yakınsaklık .................................................................................... 8
2.3. A-İstatistiksel Yakınsaklık .............................................................................. 12
3. POZİTİF LİNEER OPERATÖRLERİN A-İSTATİSTİKSEL
YAKINSAKLIĞI................................................................................................... 15
4. GENELLEŞTİRİLMİŞ MEYER-KÖNIG VE ZELLER OPERATÖRLERİN
İSTATİSTİKSEL YAKLAŞIMI............................................................................ 22
4.1. Giriş................................................................................................................. 22
4.2. Agratini Operatörleri....................................................................................... 22
4.3. Agratini Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsaklığı..................................... 25
5. AGRATINI OPERATÖRLERİNİN KANTOROVICH TİPLİ
GENELLEMESİ .................................................................................................... 35
5.1. D *n Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsaklığı............................................ 36
5.2. D *n Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsama Hızı ...................................... 44
6. POZİTİF LİNEER OPERATÖRLERİNİN İNTEGRAL TİPLİ
GENELLEŞTİRİLMESİ........................................................................................ 55
x
Sayfa
6.1. Giriş................................................................................................................ 55
6.2. Tn Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsaklığı............................................. 58
6.3. Tn Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsama Hızı ....................................... 62
6.4. Tn Operatörlerinin r-inci Basamaktan Genelleştirilmesi............................... 66
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 70
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 72
1
1. GİRİŞ
Yaklaşım Teorisi, polinomların yaklaşımında, Fonksiyonel Analizin çeşitli
alanlarında, diferensiyel ve integral denklemlerin nümerik çözümlerinde önemli
uygulamalara sahiptir. Korovkin tipi teoremler de yaklaşım teorisinde temel
oluşturmaktadır [Korovkin 1960, Devore 1992, Altomare ve Campiti 1994]. Gadjiev
ve Orhan tarafından 2002 yılında reel sayıların kapalı ve sınırlı aralıkları üzerinde
sürekli olan fonksiyonların uzayı üzerinde tanımlanan pozitif lineer operatörler için
istatistiksel yakınsaklık yardımıyla bir Korovkin tipi yaklaşım teoremi verilmiştir.
Klasik yaklaşım operatörlerinin çoğu yaklaşılan fonksiyon değerine yakınsar.
Bununla birlikte, süreksizlik noktalarında bu operatörlerin genellikle fonksiyonun
sağ ve sol limitlerinin aritmetik ortalamasına yakınsadığı görülür. Fakat Hermit-Fejer
yaklaşım operatörleri gibi bazı istisnai durumlar da vardır [Bojanic ve Cheng 1983,
Bojanic ve Khan 1992]. Bu operatörler basit süreksizlik noktalarında yakınsak
değildir. Bu durumlarda bu yakınsaklık kaybını gidermek için Cesáro tipi
toplanabilme metotlarını kullanmak bizi daha güçlü sonuçlara götürür. Son yıllarda
matris gösterimine sahip olmayan bir başka regüler toplanabilme yönteminin sınırsız
alt dizilere sahip yakınsak olmayan bazı dizileri toplamada ne kadar etkili olduğu
gösterilmiştir [Freedman ve Sember 1981, Fridy 1985]. Bu yöntem A-istatistiksel
yakınsaklık yöntemi olup hazırlanan bu tez çalışmasında bu yöntemi yaklaşım teorisi
içinde incelemek amaçlanmaktadır. Bu sebeple, öncelikle lineer pozitif operatörler
tanıtılıp, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım ve özellikler
ifade edilmiştir. Ayrıca yoğunluk, istatistiksel yakınsaklık kavramları tanıtılarak bu
kavramların A-istatistiksel benzerleri verilmiştir.
Daha sonra A-istatistiksel yakınsaklığı kullanarak pozitif lineer operatör dizileri için
reel sayıların keyfi bir I aralığı üzerinde daha genel Korovkin tipi sonuçlar elde
edilmiştir. Ayrıca Agratini operatörleri ile Agratini operatörlerinin Kantorovich tipli
genellemesi verilerek bu operatörlerin yaklaşım özellikleri ve A-istatistiksel
yakınsama hızları incelenmiştir.
2
Son olarak bilinen pozitif lineer operatörlerin integral tipli genellemelerini içeren
operatörler dizisinin genel hali ifade edilip A-istatistiksel yakınsaklığı kullanarak
Korovkin tipi sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra, pozitif lineer operatör dizileri için
bulduğumuz bu yaklaşımın A-istatistiksel hızları hesaplanmıştır. Son olarak, bu
operatörlerin r-inci basamaktan genelleştirilmesi verilmiştir.
3
2. GENEL BİLGİLER
Bu bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanım, lemma, teorem
ve notasyonlar verilecektir.
2.1. Pozitif Lineer Operatörler
2.1. Tanım
X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun. X den alınan herhangi bir f fonksiyonuna Y
üzerinde bir ve yalnız bir g fonksiyonu karşılık getiren bir L kuralına X uzayında
bir “operatör” adı verilir ve L operatörünün x noktasındaki değeri L(f ; x ) = g ( x )
şeklinde gösterilir.
Burada L(f ; x ) = L(f ( t ); x ) olmak üzere L operatörü f fonksiyonunun bağlı olduğu
t
değişkenine göre uygulanmaktadır. Sonuç ise x değişkenine bağlı bir
fonksiyondur.
2.2. Tanım
X lineer bir uzay ve L : X → Y bir operatör olsun. Eğer ∀ f , g ∈ X ve ∀α, β ∈ IR
için
L(αf + βg; x ) = α L(f ; x ) + β L(g; x )
koşulu sağlanıyorsa, bu durumda L operatörüne “lineer operatör” denir.
2.3. Tanım
L bir lineer operatör olsun. Eğer X tanım uzayından alınan her f ≥ 0 fonksiyonu
için L(f ; x ) ≥ 0 gerçekleniyorsa L operatörüne “pozitif lineer operatör” denir.
4
2.1. Lemma
Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani;
f ≤ g ⇒ L( f ) ≤ L ( g )
eşitsizliği sağlanır.
2.2. Lemma
L bir lineer pozitif operatör ise bu takdirde
L( f
)
≤ L( f
)
eşitsizliği sağlanır.
2.4. Tanım
IN doğal sayılar kümesini göstermek üzere, n ∈ IN için L n (f ; x ) e bir “operatör
dizisi” denir ve (L n ) ile gösterilir.
2.5. Tanım
X ⊂ IR olsun. X üzerinde tanımlı, sürekli ve reel değerli fonksiyonların oluşturduğu
küme C(X ) ile gösterilir. Özel olarak a , b ∈ IR için X=[a,b] alınırsa C[a,b] uzayı
f (x)
C[ a , b ]
= max f ( x )
x∈[ a , b ]
normu ile bir normlu uzaydır.
5
2.6. Tanım
(f n ) , C[a,b] üzerinde tanımlı fonksiyonların bir dizisi olsun. Eğer
lim f n − f
n →∞
C[ a , b ]
=0
ise (f n ) dizisi f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır denir ve f n →f şeklinde gösterilir.
2.7. Tanım
D ⊂ IR olsun. p ≥ 1 olmak üzere
⎧
⎫
p
L p (D ) : = ⎨f : ∫ f (x ) dx < ∞ ⎬
⎩ D
⎭
şeklinde tanımlanan L p (D ) uzayı üzerindeki norm f ∈ L p (D ) için
1
f
Lp (D )
⎧
⎫p
p
= ⎨∫ f (x ) dx ⎬
⎩D
⎭
şeklinde tanımlanır.
2.8. Tanım
D ⊂ IR olsun. p ≥ 1 olmak üzere
L2p (D ) : = {f : f , f ı , f ıı ∈ L p (D ) }
dir. L2p (D ) uzayı üzerinde tanımlı norm f ∈ L2p (D ) için
6
f
L2p ( D )
= f
Lp (D )
+ fı
Lp (D )
+ f ıı
Lp (D )
şeklindedir.
2.9. Tanım (Süreklilik Modülü)
f ∈ C(I ) olsun. ∀δ > 0 için
w (f ; δ) = sup f ( t ) − f ( x )
(2.1)
x , t∈I
t −x ≤δ
ile tanımlanan w (f ; δ) ifadesine f
fonksiyonunun “süreklilik modülü” denir
[Korovkin 1960 ve Devore 1972].
2.3. Lemma
Süreklilik modülü aşağıdaki özellikleri sağlar.
(i) w (f ; δ) ≥ 0
(ii) δ1 ≤ δ 2 ise w (f ; δ1 ) ≤ w (f ; δ 2 )
(iii) m ∈ IN için w (f ; mδ) ≤ mw (f ; δ)
(iv) λ ∈ IR + için w (f ; λδ) ≤ (1 + λ ) w (f ; δ)
(v) f ∈ C [a , b] için lim
w ( f ; δ) = 0
δ→0
(vi) f ( t ) − f ( x ) ≤ w ( f ; t − x )
t−x ⎞
⎛
(vii) f ( t ) − f ( x ) ≤ ⎜1 +
⎟ w ( f ; δ)
δ ⎠
⎝
7
2.10. Tanım (Peetre K-Fonksiyoneli)
K P (f ; δ) = inf
{ f −g
2
Lp (D)
g∈L p ( D )
+δ g
L2p ( D )
(2.2)
}
ile tanımlanan K P (f ; δ) ifadesine f ∈ L p (D ) fonksiyonunun Peetre K-fonksiyoneli
denir [ Bleimann, Butzer ve Hahn,1980 ].
2.11. Tanım (Lipschitz Sınıfı)
M > 0 , α ∈ (0,1] ve f ∈ C(I) olsun. ∀x, y ∈ I için
α
f ( y) − f ( x ) ≤ M y − x
(2.3)
koşulunu sağlayan f fonksiyonuna Lipschitz sınıfındandır denir. Burada Lipschitz
sınıfı Lip M (α) ile gösterilir [Altomare ve Campiti, 1994].
2.1. Teorem (P.P. Korovkin Teoremi)
L n : C [a , b] → C [a , b] lineer pozitif operatör olmak üzere (L n ) bir lineer pozitif
operatörler dizisi olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir:
i) Her f ∈ C [a , b] için lim L n (f ) − f
n
C [ a ,b ]
=0
ii) f i (y ) = y i , i = 0,1,2 olmak üzere lim L n (f i ) − f i
n
[Korovkin, 1960].
C [ a ,b ]
=0
8
2.2. İstatistiksel Yakınsaklık
2.12. Tanım
K ⊆ IN olmak üzere K kümesinin eleman sayısı (kardinali) K ile gösterilsin ve
K n := { k ≤ n : k ∈ K } olsun. Buna göre
Kn
δ(K ) = lim
n →∞
n
(2.4)
limiti mevcut ise bu limit değerine K kümesinin yoğunluğu (veya doğal yoğunluğu)
denir ve δ(K ) ile gösterilir [ Niven ve Zuckerman 1980].
(a ) pozitif
k
tamsayıların bir dizisi ve K = { a k : k ∈ IN } olmak üzere δ(K ) mevcut
ise
δ(K ) = lim
n →∞
n
an
dir.
Örneğin, δ (IN) = 1 , δ { k 2 : k ∈ IN } = 0 , δ { 2k + 1: k ∈ IN } = 1 olduğu yoğunluk
2
tanımından kolayca görülebilir. δ (K) ve δ (IN \ K) yoğunluklarından herhangi biri
mevcut ise δ (K) = 1 − δ (IN \ K) dır. Eğer K kümesi sonlu elemanlı bir küme ise
δ (K) = 0 olduğu açıktır [ Niven ve Zuckerman 1980, Freedman ve Sember 1981].
2.1. Uyarı
K ⊆ IN olmak üzere K kümesinin karakteristik dizisi,
9
(χ )
K
j
⎧0 , j ∉ K ise
=⎨
⎩1 , j ∈ K ise
ve C1 = (c nk ) Cesáro matrisi
⎧1
⎪ , k ≤ n ise
c nk = ⎨ n
⎪⎩0 , k > n ise
olmak üzere Eş. 2.4 ifadesi
δ(K ) = lim
n →∞
Kn
n
1
1 = lim (C1χ K )n
n →∞
j∈K n
= lim ∑
n →∞
ile verilebilir.
Şimdi yoğunluk kavramından esinlenerek istatistiksel yakınsaklık tanımı verilebilir.
2.13. Tanım
∀ ε > 0 sayısı için K : = K (ε ) : = { k ∈ IN : x k − L ≥ ε } kümesinin yoğunluğu sıfır
yani,
lim
n →∞
1
n
{k ≤ n :
xk − L ≥ ε } = 0
ise x = (x k ) dizisi L sayısına istatistiksel yakınsaktır denir ve st-limx = L ile
gösterilir [ Steinhaus 1951, Fast 1951, Fridy 1985].
Burada istatistiksel yakınsaklık ile Cauchy anlamında yakınsaklık arasında nasıl bir
ilişki olabileceği sorusu akla gelebilir. Bilindiği gibi, x reel sayı dizisi L ye yakınsak
10
ise L nin her bir ε komşuluğunun dışında dizinin ancak sonlu sayıda elemanı
kalabilir. L noktasının ε komşuluğu dışında kalan elemanların sonlu sayıda olması,
böyle elemanların yoğunluğunun sıfır olması demektir. Bu da Cauchy anlamında
yakınsak olan her dizinin istatistiksel yakınsak olduğunu gösterir. Fakat tersi doğru
değildir. Ayrıca yakınsak dizi sınırlı olmasına rağmen, istatistiksel yakınsak dizi
sınırlı olmayabilir. Aşağıdaki örneklerden görülebileceği gibi sınırlı ıraksak ya da
sınırsız ıraksak bazı diziler de istatistiksel yakınsak olabilir.
2.1. Örnek
m ∈ IN için
⎧1 , k = m 2
xk = ⎨
2
⎩0 , k ≠ m
şeklinde tanımlanan x = (x k ) dizisini göz önüne alalım. ∀ ε > 0 için
{k ≤ n :
xk ≥ ε } ≤
{k ≤ n : x
k
≠ 0} ≤ n
olduğundan
lim
n →∞
1
n
{k ≤ n : x
k
≠ 0 } ≤ lim
n →∞
n
=0
n
elde edilir. Böylece st-limx = 0 bulunur.
2.2. Örnek
m ∈ IN için
⎧⎪ k , k = m 2
xk = ⎨
⎪⎩3 , k ≠ m 2
11
şeklinde tanımlanan x = (x k ) dizisi için st-limx = 3 tür.
Şimdi de toplanabilme hakkında biraz bilgi vereceğiz.
A = (a nk ) kompleks terimli sonsuz bir matris ve x = (x n ) bir dizi olsun. Eğer her
∞
n ∈ IN için (Ax )n : = ∑ a nk x k mevcut ise, Ax : = ((Ax )n ) dizisine, (x n ) dizisinin A
k =1
matrisi ile elde edilen dönüşüm dizisi denir. X ve Y reel ya da kompleks terimli
dizilerden oluşan iki dizi uzayı ve A = (a nk ) sonsuz matris olsun. Eğer ∀ x ∈ X için
(Ax )
n
dönüşüm dizisi mevcut ve (Ax )n ∈ Y ise A = (a nk ) matrisi X den Y içine bir
matris dönüşümü tanımlar denir ve X den Y içine tanımlı bütün matrislerin sınıfı
(X,Y) ile gösterilir. Eğer A, X den Y içine bir matris dönüşümü ise, A ∈ (X, Y)
şeklinde yazılır. (X,Y;p) ile toplam ya da limiti koruyan matrislerin sınıfı gösterilir.
Örneğin, A ∈ (c, c; p) olması x n → L olduğunda (Ax )n → L olması demektir. Bu tip
matrislere regüler matrisler denir. A ∈ (c, c; p) olması için gerek ve yeter koşulları
Silverman-Toeplitz teoremi vermektedir. Bu teorem ispatsız olarak aşağıda
verilecektir.
2.2. Teorem
A = (a nk ) sonsuz matrisinin regüler olması için gerek ve yeter koşul
a nk = 0 ,
i) Her k ∈ IN için lim
n →∞
ii) lim
n →∞
iii) sup
n
∞
∑a
nk
=1 ,
k =1
∞
∑
a nk < ∞ ,
k =1
olmasıdır [ Maddox, 1970].
12
2.3. Örnek
⎡1
⎢1
⎢2
⎢1
C1 = ⎢
⎢3
⎢1
⎢4
⎢⎣ M
0
1
2
1
3
1
4
M
0
0
1
3
1
4
M
0 K⎤
⎥
0 K⎥
⎥
0 K⎥
⎥
1
K⎥
⎥
4
M O⎥⎦
ve
⎡1
⎢0
⎢
I = ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ M
0
1
0
0
M
0
0
1
0
M
0
0
0
1
M
K⎤
K⎥⎥
K⎥
⎥
K⎥
O⎥⎦
ile verilen C1 Cesáro matrisi ve I birim matrisi Teorem 2.1 in koşullarını sağladığı
için her ikisi de regülerdir.
2.3. A-İstatistiksel Yakınsaklık
Yoğunluk kavramı, C 1 Cesáro matrisi yerine keyfi negatif olmayan regüler
A = (a nk ) matrisi alınarak Freedman ve Sember (1981) tarafından genelleştirildi.
Burada “negatif olmayan” ifadesi ile kastedilen her n ve her k için a nk ≥ 0 olmasıdır.
2.14. Tanım
A = (a nk ) negatif olmayan regüler bir matris ve K ⊆ IN olsun.
(Aχ K )n = lim
δ A (K ) : = lim
n →∞
n →∞
∑a
nk
k∈K
limiti mevcut ise δ A (K ) sayısına K kümesinin A-yoğunluğu denir [ Freedman ve
Sember, 1981].
δ A (K )
veya
δ A (IN \ K )
δ A (K ) = 1 − δ A (IN \ K ) dır.
yoğunluklarından
herhangi
biri
mevcut
ise
13
Eğer K kümesi sonlu elemanlı bir küme ise her A negatif olmayan regüler matris için
K kümesinin A-yoğunluğu sıfırdır. Burada K sonlu bir küme ise onun karakteristik
(χ K )n = 0 ve A regüler olduğundan
dizisi χ K sonlu 1’ lere sahiptir. Böylece lim
n →∞
(Aχ K )n = 0 dır.
lim
n →∞
2.4. Örnek
n ∈ IN için
a nk
⎧1 , k = n 2
=⎨
2
⎩0 , k ≠ n
şeklinde tanımlanan A = (a nk ) matrisini göz önüne alalım. Bu durumda
K 1 = { k = n 2 : n ∈ IN } kümesi için δ A ( K 1 ) = 1
ve
K 2 = { k ≠ n 2 : n ∈ IN } kümesi için δ A ( K 2 ) = 0
dır.
2.15. Tanım
A = (a nk )
{k ∈ IN :
negatif
olmayan
regüler
bir
matris
x k − L ≥ ε } kümesinin A-yoğunluğu sıfır yani,
δ A ( { k ∈ IN : x k − L ≥ ε } ) = 0
olsun.
∀ε >0
için
14
ise x = (x k ) dizisi L sayısına A-istatistiksel yakınsaktır denir [ Connor 1989, Kolk
1991].
2.5. Örnek
n ∈ IN için
⎧1 , k = n 2
a nk = ⎨
2
⎩0 , k ≠ n
şeklinde tanımlanan A = (a nk ) negatif olmayan regüler matrisini göz önüne alalım.
x = (x k ) dizisi
⎧1
2
⎪ , k=n
x k = ⎨5
⎪1 , k ≠ n 2
⎩
⎧
⎫
1
şeklinde tanımlansın. ∀ ε > 0 için K = ⎨ k ∈ IN : x k −
≥ ε ⎬ olmak üzere
5
⎩
⎭
(Aχ K )n = 0
δ A (K ) = lim
n →∞
olduğundan st A − lim x =
1
dir.
5
Tanım 2.15 de eğer A matrisi yerine I birim matrisi alınırsa, bu durumda klasik
anlamındaki yakınsaklık elde edilir, hatta A yerine C 1 Cesáro matrisi alınırsa, Aistatistiksel yakınsaklık istatistiksel yakınsaklığa indirgenir.
15
3. POZİTİF LİNEER OPERATÖRLERİN A-İSTATİSTİKSEL
YAKINSAKLIĞI
Bu bölümde A-istatistiksel yakınsaklık kullanılarak pozitif lineer operatör dizileri
için reel sayıların keyfi bir aralığı üzerinde genel bir Korovkin tipi yaklaşım teoremi
verilecektir.
3.1. Tanım
I, IR nin keyfi bir aralığı ve g, [0, ∞) üzerinde negatif olmayan artan ve g(0) = 1
koşulunu sağlayan bir fonksiyon olsun. Bu durumda C g ( I ) kümesi
⎧⎪
⎫⎪
f (x )
=
C g ( I ) = ⎨ f ∈ C( I ) : herhangi bir c > 0 için lim
0
c
x →∞
[ g ( x )] ⎬⎪⎭
⎪⎩
x∈I
şeklinde tanımlanır. I= [a, b] alındığında, ∀x ∈ I için g(x ) = 1 olmak üzere C g ( I )
notasyonu yerine C[a,b] kullanılır. C g ( I ) bir lineer uzaydır [ Duman, Khan ve
Orhan, 2003].
Bu kısımda yararlanacağımız “ Borel ölçüsü ” hakkında bazı bilgiler verelim.
X reel sayıların bir altkümesi ve ß, X üzerindeki tüm Borel kümelerinin bir sınıfı
olsun. ß üzerinde tanımlanan ve kompakt kümeler için sonlu değer alan bir μ
ölçüsüne “ Borel ölçüsü ” adı verilir [Royden 1968].
3.1. Teorem
I, IR nin keyfi bir aralığı ve ß, I aralığının Borel ölçülebilir altkümelerinin sigma
cebiri olmak üzere, bir x ∈ I için, {μ n , x : n ≥ 1 }, (I, ß) üzerinde tanımlı ölçülerin bir
kolleksiyonu olsun. f 2 (y ) = y 2 , C g ( I ) uzayında olacak şekilde bir g fonksiyonu
16
seçelim
sup
n∈IN
∫ g(
ve
herhangi
δ>0
bir
için
I δ : = [x − δ, x + δ] ∩ I
olmak
üzere
y )dμ n ,k (y ) < ∞ koşulu gerçeklensin. Ayrıca
I \ Iδ
L n ( f ; x ) = ∫ f ( y ) dμ n , k (y )
,
n ∈ IN ve f ∈ C g ( I )
I
şeklinde tanımlı
{L }
n
operatörler dizisini göz önüne alalım ve A = (a nk ) negatif
olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda aşağıdakiler denktir:
L n ( f ; x ) − f ( x ) = 0 dır.
a) Her f ∈ C g ( I ) için st A − lim
n
L n ( f i ; x ) − f i ( x ) = 0 dır [ Duman,
b) f i (y ) = y i , i=0,1,2 olmak üzere st A − lim
n
Khan ve Orhan, 2003].
İspat
Gereklilik: Hipotez uyarınca her i=0,1,2 için f i ∈ C g ( I ) olduğundan ( i ) ⇒ ( ii )
önermesi gerçeklenir.
Yeterlilik: f ∈ C g ( I ) ve sabit bir x ∈ I noktası alalım. f, I üzerinde sürekli
olduğundan,
ε>0
için
x−y ≤δ
koşulunu sağlayan y elemanları için
f (x) − f (y) < ε olacak şekilde bir δ > 0 sayısı vardır. Diğer yandan
f ( y ) − f (x ) = f ( y ) − f (x ) χ I δ ( y ) + f ( y ) − f (x ) χ I \ I δ ( y )
şeklinde yazılabilir. Ayrıca operatörlerin lineerliği ve pozitifliği kullanılırsa
L n (f ; x ) − f (x ) = L n (f − f (x ) f 0 + f (x ) f 0 ; x ) − f (x )
= L n (f − f (x ) f 0 ; x ) − f (x ) (L n (f 0 ; x ) − f 0 (x ))
17
≤ L n (f − f (x ) f 0 ; x ) + f (x ) L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
= ∫ f (y ) − f (x ) dμ n , x (y ) +
Iδ
∫ f (y) − f (x ) dμ (y)
n ,x
I \ Iδ
+ f (x ) L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
≤ ε ∫ dμ n , x (y ) +
∫ f (y) − f (x ) dμ (y)
n ,x
Iδ
I\ Iδ
+ f (x ) L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
≤ ε ∫ dμ n , x (y ) +
I
∫ f (y) − f (x ) dμ (y)
n ,x
I\ Iδ
+ f (x ) L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
= ε L n (f 0 ; x ) − ε f 0 (x ) + ε f 0 (x ) + f (x ) L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
+
∫ f (y) − f (x ) dμ (y)
n ,x
I\ Iδ
elde edilir. Böylece
L n (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + (ε + f (x )
) L (f ; x ) − f (x ) + ∫ f (y ) − f (x ) dμ (y)
n
0
0
n ,x
I \ Iδ
eşitsizliği bulunur. p >1 ve 1 + 1 = 1 olmak üzere
p q
f .g
1
≤ f
p
g
q
olarak tanımlanan Cauchy-Bunyakowsky-Schwarz eşitsizliği kullanılırsa
∫ f (y) − f (x ) dμ (y) = ∫ χ (y) f (y) − f (x ) dμ (y)
n ,x
I\ Iδ
I \ Iδ
n ,x
I \ Iδ
1
⎡
⎤p
≤ ⎢ ∫ χ I \ I δ (y ) dμ n , x (y ) ⎥
⎣I
⎦
1
⎡
⎤q
q
(
)
(
)
(
)
−
μ
f
y
f
x
d
y
⎢∫
⎥
n ,x
⎢⎣ I \ I δ
⎥⎦
(3.1)
18
olacağından, hipotezler uyarınca f ∈ C g ( I ) olması f q ∈ C g ( I ) olmasını gerektirir
ve bu nedenle
1
⎡
⎤q
q
⎢ ∫ f (y ) − f (x ) dμ n , x (y ) ⎥ ≤ K
⎣⎢ I \ I δ
⎦⎥
(3.2)
olacak şekilde bir K sayısı vardır. Şimdi bir
(y − x )
ϕ( y ) =
ϕ : I → IR
fonksiyonunu
2
ile tanımlayalım. Burada
δ2
y ∈ I \ I δ için y − x > δ ⇒
(y − x )
δ2
2
>1
bulunur. Bu durumda
μ n , x (I \ I δ ) = ∫ χ I \ I δ (y ) dμ n , x (y )
I
≤ ∫ ϕ(y ) dμ n , x (y )
I
=∫
(y
I
2
− 2xy + x 2 )
dμ n , x (y )
δ2
=
1
{ L n (f 2 ; x ) − 2xL n (f 1 ; x ) + x 2 L n (f 0 ; x ) + x 2 − x 2 + x 2 − x 2
2
δ
=
1
δ2
{ ( L (f
n
2
; x ) − f 2 (x ) ) − 2x ( L n (f 1 ; x ) − f 1 (x ) ) + x 2 ( L n (f 0 ; x ) − f 0 (x ) ) }
olup her bir a ∈ (0,1] için
x+y
a
≤ x
a
+ y
}
a
eşitsizliği de kullanılırsa,
19
[ μ (I \ I ) ]
n,x
δ
1
p
≤
2
1 ⎧ p
x
L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
2 ⎨
p ⎩
δ
+ L n ( f 2 ; x ) − f 2 (x )
1
p
1
p
1
1
p
+ 2p x
L n (f 1 ; x ) − f 1 (x )
1
p
⎫
⎬
⎭
(3.3)
elde edilir. Eş. 3.2 ve Eş. 3.3 eşitsizlikleri Eş. 3.1 de uygulanırsa
L n (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + ( ε + f (x )
1
K⎧ p
+ 2 ⎨2 x
δ ⎩
)
1
p
2
K⎧ p
L n (f 0 ; x ) − f 0 (x ) + 2 ⎨ x L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
δ ⎩
L n (f 1 ; x ) − f 1 (x )
⎧
K ⎛ x
⎪
bulunur. Şimdi B(x ) : = max ⎨ ε + f (x ) , 2 , K⎜⎜
δ
⎪
δp ⎝
⎩
1
p
+ L n (f 2 ; x ) − f 2 (x )
1
p
1
p
⎫
⎬
⎭
⎫
⎬
⎭
1
⎫
⎞p ⎪
⎟ ⎬ alınırsa, her bir
⎟
⎠ ⎪
⎭
2
⎞p ⎛ 2 x
⎟ , K⎜ 2
⎟
⎜ δ
⎠
⎝
n ∈ IN için
L n (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + B(x ) ⎧⎨ L n (f 0 ; x ) − f 0 (x ) + L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
⎩
+ L n (f 1 ; x ) − f 1 (x )
1
p
+ L n (f 2 ; x ) − f 2 (x )
1
p
1
p
⎫
⎬
⎭
(3.4)
gerçeklenir. Verilen r > 0 için ε < r olacak şekilde bir ε > 0 sayısı seçelim. Ayrıca
D : = ⎧⎨ n : L n (f 0 ; x ) − f 0 (x ) + L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
⎩
+ L n (f 2 ; x ) − f 2 (x )
1
p
≥
r−ε ⎫
⎬
B(x ) ⎭
⎧
r−ε ⎫
D1 : = ⎨ n : L n (f 0 ; x ) − f 0 (x ) ≥
⎬
4B(x ) ⎭
⎩
1
p
+ L n (f 1 ; x ) − f 1 (x )
1
p
20
⎧
D 2 : = ⎨ n : L n (f 0 ; x ) − f 0 (x )
⎩
⎧
D 3 : = ⎨ n : L n (f 1 ; x ) − f 1 (x )
⎩
⎧
D 4 : = ⎨ n : L n (f 2 ; x ) − f 2 (x )
⎩
≥
r−ε ⎫
⎬
4B(x ) ⎭
≥
r−ε ⎫
⎬
4B(x ) ⎭
≥
r−ε ⎫
⎬
4B(x ) ⎭
1
p
1
p
1
p
kümelerini tanımlayalım. D ⊂ D 1 ∪ D 2 ∪ D 3 ∪ D 4 olduğunu görmek kolaydır.
Dolayısıyla Eş. 3.4 eşitliğinden her bir n ∈ IN için
∑
k: L k ( f ; x )− f ( x ) ≥ r
a nk ≤ ∑ a nk ≤
k∈D
∑a
nk
+
k∈D1
∑a
k∈D 2
nk
+
∑a
nk
+
k∈D 3
∑a
nk
k∈D 4
sağlanacağından burada n → ∞ için limit alınırsa
lim
n
∑
k: L k ( f ; x )− f ( x ) ≥ r
a nk = 0
bulunur. Böylece ispat tamamlanır.
I keyfi bir aralık olduğundan Teorem 3.1 deki A-istatistiksel yakınsaklık noktasal
anlamdadır. Fakat I kapalı ve sınırlı bir aralık ise bu durumda yukarıdaki ispattan
aşağıdaki sonuç elde edilir.
3.1. Sonuç
Eğer a , b ∈ IR için I = [a , b] ,
{L ( f ; x )}
n
Teorem 3.1 deki koşulları gerçekleyen
pozitif lineer operatör dizisi ve de A = (a nk ) negatif olmayan regüler bir matris ise,
bu durumda aşağıdakiler denktir:
a) Her f ∈ C[a , b] için st A − lim
L n (f ; x ) − f (x )
n
C [a , b ]
= 0 dır.
21
b) f i (y ) = y i , i = 0,1,2 olmak üzere st A − lim
L n (f i ; x ) − f i (x )
n
C [a , b ]
= 0 dır.
Bu sonuçta A yerine birim matris alınırsa klasik Korovkin teoremi elde edilir.
22
4. GENELLEŞTİRİLMİŞ MEYER-KÖNIG VE ZELLER TİPLİ
OPERATÖRLERİN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI
Bu bölümde A-istatistiksel yakınsaklık kullanılarak, Agratini operatörlerinin
yaklaşım özellikleri Korovkin tipli bir teorem yardımıyla verilecektir.
4.1. Giriş
x ∈ [0,1) ve f ∈ C [0,1) için
M n (f ; x ) = (1 − x )
n +1
∞
⎛ k ⎞⎛n + k⎞ k
⎟⎟ x ,
⎝ k ⎠
∑ f ⎜⎝ k + n ⎟⎠ ⎜⎜
k =0
x ∈ [0,1)
(4.1)
M n ( f ;1 ) = f (1) şeklinde tanımlanan M n ( f ; x ) operatörüne Meyer-König ve Zeller
operatörü denir [Meyer-König ve Zeller, 1960]. Cheney ve Sharma (1964), Müller
(1978), Totik (1983), Khan (1989), Jihua ve Luoqing (1991) tarafından bu
operatörlerle ilgili bir çok çalışma yapılmıştır.
M n ( f ; x ) operatörünün bir genellemesi ilk kez 1998 yılında Doğru tarafından
verilmiştir. Bu operatörlerin bir Stancu genellemesi ise Agratini (2001) tarafından
çalışılmıştır. Son olarak Doğru, Duman ve Orhan (2003) tarafından Agratini (2001)
operatörlerinin
Kantorovich
tipli
bir
genellemesinin
yaklaşım
özellikleri
A-istatistiksel yakınsaklık kullanılarak incelenmiştir.
4.2. Agratini Operatörleri
4.1. Tanım
n , k ∈ IN için (α n ) , (β k ) ve (γ n , k ) sırasıyla, aşağıdaki üç şartı sağlayan reel sayı
dizileri ve A = (a nk ) negatif olmayan regüler bir matris olsun.
23
1) α n ≥ 1 ve st A − lim
αn = 1,
n
2) 0 ≤ β k ≤ 1 + β k +1 ,
(4.2)
3) Bir c > 0 için 0 ≤ γ n , k ≤
Ayrıca a ∈ (0,1) için { ϕ n
c
.
n
} fonksiyon dizisi aşağıdaki dört koşulu sağlasın;
a) Her ϕ n fonksiyonu D = { z ∈ C : z ≤ a} diskini kapsayan Ω bölgesi üzerinde
analitiktir.
b) ϕ n
(0 )
c) ϕ n
(k )
(0) = ϕ (0) > 0
(0) =
(∀n ∈ IN)
,
n
dk
ϕ n (x )
dx k
(4.3)
(∀k, n ∈ IN)
≥0 ,
x =0
d) Eş. 4.2 de verilen şartlar altında
ϕn
(k )
( x ) = α ( k + n + β ) (1 + γ )ϕ
n
k
n ,k
( k −1)
n
(x )
,
(∀k, n ∈ IN )
dir.
Bu koşullar altında f ∈ C [0, a] için
Dn
( f;x )=
1
ϕn
∞
ϕ
(x ) ∑
k =0
(k )
n
⎛
k
f ⎜⎜
k! ⎝ k + n + β k
(0) x
k
⎞
⎟⎟
⎠
(4.4)
şeklinde tanımlanan operatör dizisine Agratini operatörü denir. D n (f ; x ) pozitif ve
lineerdir.
Burada 1 e istatistiksel yakınsak olan fakat alışılmış anlamda yakınsak olmayan bir
(α )
n
dizisi tanımlanabilir. Bunu görmek için (α n ) dizisini n = m 2 (m ∈ IN ) ise
α n = n ve diğer durumlarda α n = 1 olarak tanımlamak yeterlidir. Dolayısıyla
24
⎛1⎞
Eş. 4.2’in 1) koşulu Agratini (2001) tarafından tanımlanan “ 1 ≤ α n = 1 + O⎜ ⎟ ”
⎝n⎠
koşulundan daha zayıftır.
Eş. 4.4 te
β k = 0 (k ∈ IN ),
ϕ n (x ) = (1 − x )
− n −1
seçilir ve Eş. 4.3’ün c) ve d) koşulu dikkate alınırsa
D n (f ; x ) =
1
(1 − x )−n −1
x ⎛ k ⎞
( )
∑ α (k + n )(1 + γ )ϕ (0) k! f ⎜⎝ k + n ⎟⎠
∞
k −1
n
n ,k
k
n
k =0
elde edilir. Burada α n = 1, γ n , k = 0 seçilirse
∞
D n (f ; x ) = ∑ ϕ n
( k −1)
(0) (k + n ) x (1 − x )
k =0
k
k!
n +1
⎛ k ⎞
f⎜
⎟
⎝k+n⎠
bulunur. Diğer taraftan son eşitlikte
ϕn
( k −1 )
(0) = (n + k − 1)!
n!
yazılırsa
∞
⎛n + k⎞ k
k ⎞
n +1 ⎛
⎟⎟ x (1 − x ) f ⎜
D n (f ; x ) = ∑ ⎜⎜
⎟
k ⎠
k =0 ⎝
⎝k+n⎠
elde edilir. Böylece D n ( f ; x ) Eş. 4.1 ile tanımlanan Meyer-König ve Zeller
operatörüne dönüşür.
25
4.1. Örnek
β k = 0 ve t ≤ 0 için ϕ n (x ) = (1 − x )
− n −1
⎛ tx ⎞
n
exp ⎜
⎟ ( L k (t ) Laguerre polinomudur)
⎝ x −1⎠
seçilirse, D n ( f ; x ) operatörü Cheney ve Sharma (1964) tarafından verilen
Pn ( f ; x ) = (1 − x )
n +1
k ⎞
⎛ tx ⎞ ∞ n
k ⎛
exp ⎜
⎟ ∑ L k (t ) x f ⎜
⎟
⎝ x − 1 ⎠ k =0
⎝k+n⎠
operatörüne dönüşür. Burada k. mertebeden Laguerre polinomu
k
Lnk (t ) = ∑ (− 1)
r =0
r
Γ (k + n + 1)
tr
(k − r )! Γ (n + r + 1) r!
dir.
4.3. Agratini Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsaklığı
Bu kısımda Korovkin teoreminin A-istatistiksel yakınsaklık analoğu, Sonuç 3.1
kullanılarak ( D n ) operatör dizisinin A-istatistiksel yakınsaklığı incelenecektir.
4.1. Lemma
A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda
st A − lim D n (1; x ) − 1 C[0,a ] = 0
n →∞
dır.
26
İspat
Eş. 4.3’ün a) koşulundan
D n ( 1; x ) = 1
(4.5)
dir.
4.2. Lemma
A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda
st A − lim
D n (t ; x ) − x
n →∞
C [0 , a ]
=0
dır.
İspat
Eş. 4.4 de f (t ) yerine t alınır ve Eş. 4.3’ün d) özelliği kullanılırsa
D n (t ; x ) =
=
=
1
∞
∑ ϕn
ϕ n (x ) k =1
1
ϕn
(k )
(0) x
k
k
k! k + n + β k
k
1
( )
(0) x
α (k + n + β ) (1 + γ )ϕ
∑
(k − 1)! k + n + β
(x )
1
∞
k −1
n
k
n ,k
n
k =1
∞
∑ α n (1 + γ n ,k )ϕ n
ϕ n (x ) k =1
( k −1)
(0)
xα n ∞
xk
(k )
=
∑ (1 + γ n ,k )ϕ n (0) k!
ϕ n (x ) k = 0
bulunur. Eş. 4.2’nin 3) özelliğinden
xk
(k − 1)!
k
27
D n ( t ; x ) ≤ xα n
c ⎞ (k ) x
⎛
⎜1 + ⎟ϕ n (0 )
∑
k!
ϕ n (x ) k = 0 ⎝ n ⎠
1
k
∞
xk
c⎞ 1 ∞
⎛
(k )
(
)
ϕ
0
≤ xα n ⎜ 1 + ⎟
∑ n
k!
⎝ n ⎠ ϕ n (x ) k = 0
c⎞
⎛
= xα n ⎜1 + ⎟ D n (1; x )
⎝ n⎠
c⎞
⎛
= xα n ⎜1 + ⎟
⎝ n⎠
dir. Dolayısıyla
c⎞
⎛
D n (t; x ) − x ≤ xα n ⎜1 + ⎟ − x
⎝ n⎠
c
n
D n (t; x ) − x ≤ x (α n − 1) + xα n
(4.6)
bulunur. Diğer taraftan
D n (t ; x ) = α n x
= αn x
1
∞
∑ (1 + γ
k
ϕ n (x ) k = 0
1
∞
∑ ϕn
ϕ n (x ) k = 0
(k )
)ϕ ( ) (0) x
n , k +1
n
(0) x
= α n x D n (1; x ) + α n x
k
k!
1
k
k!
+ αnx
∞
1
∑ γ n ,k +1 ϕ n
ϕ n (x ) k = 0
∑ γ n ,k +1 ϕ n
ϕ n (x ) k = 0
∞
(k )
(0) x
(k )
(0) x
k
k!
k
k!
elde edilir. O halde
D n (t; x ) − x = (α n − 1) x + α n x
1
∞
∑ γ n ,k +1 ϕ n
ϕ n (x ) k = 0
(k )
(0) x
k
k!
bulunur. Eş. 4.2, Eş. 4.3’ün b) ve c) koşullarından son eşitliğin sağ tarafındaki
terimlerin her birisi pozitif olduğundan
28
D n (t ; x ) − x ≥ 0
(4.7)
yazılabilir. Eş. 4.6 ve Eş. 4.7 nin birleştirilmesiyle
0 ≤ D n (t; x ) − x ≤ x (α n − 1) + xα n
c
n
elde edilir. x ∈ [0, a ] için maksimum alınırsa
D n (t; x ) − x
C [0 , a ]
≤ a (α n − 1) + a α n
c
n
sonucuna ulaşılır. B1 : = max{a , ac} alınırsa, her bir n ∈ IN için
D n (t; x ) − x
C [0 , a ]
α ⎤
⎡
≤ B1 ⎢ α n − 1 + n ⎥
n ⎦
⎣
gerçeklenir.Ayrıca Eş. 4.2’nin 1) koşulundan st A − lim
n
(4.8)
αn
= 0 dır.
n
Şimdi verilen bir ε > 0 sayısı için
⎧
α
ε ⎫
U : = ⎨n : α n − 1 + n ≥ ⎬
n
B1 ⎭
⎩
⎧
ε ⎫
U 1 : = ⎨n : α n − 1 ≥
⎬
2 B1 ⎭
⎩
⎧ α
ε ⎫
U 2 : = ⎨n : n ≥
⎬
n
2 B1 ⎭
⎩
kümelerini tanımlayalım. U ⊆ U 1 ∪ U 2 olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla
Eş. 4.8 uyarınca her bir j∈ IN için
29
∑
a jn ≤ ∑ a jn ≤
n : D n ( t ; x )− x ≥ ε
n∈U
∑a
jn
+
n∈U1
∑a
jn
n∈U 2
sağlanır. Burada j → ∞ için limit alınırsa
lim
j
∑
a jn = 0
n: D n ( t ; x )− x ≥ ε
bulunur. Bu ise ispatı tamamlar.
4.3. Lemma
A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda
st A − lim
D n (t 2 ; x ) − x 2
n →∞
C [0 , a ]
=0
dır.
İspat
D n operatörünün Eş. 4.4 ile verilen ifadesinde f (t ) = t 2 alınır ve Eş. 4.3’ün d)
özelliği göz önünde tutulursa
D n (t ; x ) =
2
=
=
1
∞
∑ϕ
ϕ n (x ) k =1
1
n
k
⎛
(0) x ⎜⎜ k
k! ⎝ k + n + β k
∞
∑ α (k + n + β
ϕ n (x ) k =1
1
(k )
∞
n
2
) (1 + γ )ϕ ( ) (0)
k −1
k
∑ α n (1 + γ n ,k )ϕ n
ϕ n (x ) k =1
⎞
⎟⎟
⎠
n ,k
( k −1 )
(0)
n
xk
k
(k − 1)! (k + n + β k )2
xk
k −1+1
(k − 1)! k + n + β k
30
=
1
∑ α n (1 + γ n ,k )ϕ n
ϕ n (x ) k = 2
+
=
∞
1
∞
∑ α n (1 + γ n ,k )ϕ n
ϕ n (x ) k =1
1
( k −1 )
xk
k −1
(k − 1)! k + n + β k
(0)
xk
1
(k − 1)! k + n + β k
∞
{α (1 + γ )α (k − 1 + n + β )
(x ) ∑
ϕn
n
n ,k
k −1
n
k =2
. (1 + γ
+
(0)
( k −1 )
1
)ϕ ( ) (0)
k −2
n , k −1
∞
n
∑ α n (1 + γ n ,k )ϕ n
ϕ n (x ) k =1
( k −1 )
⎫
xk
1
(k − 2)! k + n + β k ⎬⎭
(0)
xk
1
(k − 1)! k + n + β k
(
k − 1 + n + β k −1 ) ( k − 2 )
x k −2
x2 ∞
2
=
∑ α n (1 + γ n ,k )(1 + γ n ,k −1 ) k + n + β ϕ n (0) (k − 2)!
ϕ n (x ) k = 2
k
+
x
∞
∑ α n (1 + γ n ,k )ϕ n
ϕ n (x ) k =1
( k −1 )
(0)
x k −1
1
(k − 1)! k + n + β k
(k + 1 + n + β k +1 ) ϕ (k ) (0) x k
x 2α n ∞
(
)
(
)
=
+
γ
+
γ
1
1
∑ n ,k + 2
n , k +1
n
ϕ n (x ) k = 0
k + 2 + n + β k+2
k!
2
+
xα n ∞
1
xk
(k )
(
)
(
)
1
+
γ
ϕ
0
∑ n ,k +1 n k + 1 + n + β k!
ϕ n (x ) k = 0
k +1
elde edilir. Eş. 4.2’nin 3) özelliğinden
x 2α n ∞ ⎛
c ⎞ (k + 1 + n + β k +1 ) ( k ) x k
1
ϕ n (0 )
D n (t ; x ) ≤
+
⎟
⎜
∑
k!
ϕ n (x ) k = 0 ⎝ n ⎠ k + 2 + n + β k + 2
2
2
2
+
xα n ∞ ⎛
c ⎞ (k )
1
xk
(
)
ϕ
1
0
+
∑ ⎜ ⎟ n k + 1 + n + β k!
ϕ n (x ) k = 0 ⎝ n ⎠
k +1
bulunur. Ayrıca Eş. 4.2’nin 2) özelliği göz önünde tutulursa
k + 1 + n + β k +1 ≤ k + 2 + n + β k + 2 ve n ≤ k + 1 + n + β k +1
yazılabilir. Buradan
31
k + 1 + n + β k +1
1
1
≤ 1 ve
≤
k + 2 + n + β k+2
k + 1 + n + β k +1 n
olduğundan son eşitsizlik
2
c⎞
1 ∞
xk
(k )
2⎛
(
)
ϕ
D n (t 2 ; x ) ≤ x 2 α n ⎜1 + ⎟
0
∑ n
k!
⎝ n ⎠ ϕ n (x ) k = 0
+
xα n ⎛
c⎞ 1 ∞
xk
(k )
(
)
0
ϕ
⎜1 + ⎟
∑ n
n ⎝ n ⎠ ϕ n (x ) k = 0
k!
şeklinde yazılabilir. O halde
2
xα n
c⎞
2⎛
D n (t 2 ; x ) ≤ x 2 α n ⎜1 + ⎟ D n (1; x ) +
n
⎝ n⎠
⎛ c⎞
⎜1 + ⎟ D n (1; x )
⎝ n⎠
olup
2
α ⎛
c⎞
c⎞
⎛
D n (t ; x ) ≤ α n ⎜1 + ⎟ x 2 + n ⎜1 + ⎟ x
n ⎝ n⎠
⎝ n⎠
2
2
elde edilir. Gerekli düzenlemeler yapılırsa
⎛ 2cα n x + 1 c(α n cx + 1) ⎞
2
+
D n (t 2 ; x ) ≤ α n x 2 + α n x⎜
⎟
n
n2
⎝
⎠
ifadesi elde edilir. Buradan
⎛ 2cα n x + 1 c(α n cx + 1) ⎞
2
+
D n (t 2 ; x ) − x 2 ≤ α n − 1 x 2 + α n x⎜
⎟
n
n2
⎝
⎠
(
dır.
)
(4.9)
32
Diğer taraftan
t 2 = (t − x ) + 2xt − x 2
2
olup D n operatörünün lineerlik özelliğinden
(
)
( (t − x ) ; x ) + 2 x D ( t − x ; x )
D n (t 2 ; x ) − x 2 = D n (t − x ) + 2xt − x 2 ; x
2
= Dn
2
n
yazılabilir. Eş. 4.7 ve D n operatörünün pozitif olmasından
Dn ( t 2 ; x )− x 2 ≥ 0
(4.10)
bulunur. Eş. 4.9 ile Eş. 4.10 eşitsizliklerinin birleştirilmesiyle
⎛ 2cα n x + 1 c (α n cx + 1) ⎞
2
+
0 ≤ D n (t 2 ; x ) − x 2 ≤ α n − 1 x 2 + α n x ⎜
⎟
n
n2
⎝
⎠
(
)
elde edilir. x ∈ [0, a ] için maksimum alınırsa
D n (t 2 ; x ) − x 2
C [0 , a ]
⎛ 2cα n a + 1 c (α n ca + 1) ⎞
2
≤ αn −1 a 2 + αna ⎜
+
⎟
n
n2
⎝
⎠
(
)
sonucuna ulaşırız. B 2 : = { a , 2a 2 c, ac 2 , c } alınırsa, her bir n ∈ IN için
D n (t 2 ; x ) − x 2
C [0 , a ]
2
⎡ 2
α
α
1 ⎤
≤ B2 ⎢ α n − 1 + n + n + 2 ⎥
n
n n ⎦
⎣
gerçeklenir. Ayrıca Eş. 4.2’nin 1) özelliğinden
(4.11)
33
st A − lim α n = 1
2
n →∞
αn
st A − lim
=0
n →∞
n
2
ve
αn
=0
n →∞
n
st A − lim
yazılabilir. Şimdi verilen bir ε > 0 sayısı için
2
⎧
αn
α
ε ⎫
1
2
+ n + 2 ≥
U := ⎨ n : α n − 1 +
⎬
n
n n
B2 ⎭
⎩
⎧
ε ⎫
2
U1 : = ⎨ n : α n − 1 ≥
⎬
4B 2 ⎭
⎩
⎧ α 2
ε ⎫
U 2 := ⎨ n : n ≥
⎬
n
4B 2 ⎭
⎩
⎧ α
ε ⎫
U3 := ⎨ n : n ≥
⎬
n
4B 2 ⎭
⎩
⎧
1
ε ⎫
U 4 := ⎨ n : 2 ≥
⎬
4B 2 ⎭
⎩ n
kümelerini tanımlayalım. U ⊆ U 1 ∪ U 2 ∪ U 3 ∪ U 4 tür. Eş. 4.11 uyarınca her bir
j∈ IN için
∑
( )
n: D n t 2 ; x − x 2 ≥ ε
a jn ≤ ∑ a jn ≤
n∈U
∑a
jn
+
n∈U1
sağlanır. j → ∞ için limit alınırsa
lim
j
(
∑
)
n: D n t 2 ; x − x 2 ≥ ε
a jn = 0
∑a
n∈U 2
jn
+
∑a
n∈U 3
jn
+
∑a
n∈U 4
jn
34
bulunur. Bu ise istenilendir.
4.1. Teorem
A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda ∀f ∈ C [0, a ] için
st A − lim
D n (f ; x ) − f (x )
n
C [0 , a ]
=0
dır.
İspat
Lemma 4.1, Lemma 4.2 ve Lemma 4.3 den
st A − lim
D n (t i ; x ) − x i
n
C [0 , a ]
=0 ,
i = 0,1,2
dir. Böylece Sonuç 3.1 den ispat tamamlanır.
35
5. AGRATINI OPERATÖRLERİNİN KANTOROVICH TİPLİ
GENELLEMESİ
Bu bölümde Agratini operatörlerinin Kantorovich tipli bir genellemesi verilerek bu
operatörlerin A-istatistiksel yakınsaklığı incelenecektir. Ayrıca bu operatörlerin Aistatistiksel yakınsama hızı L P metrik uzaylarında Peetre K-fonksiyoneli yardımıyla
hesaplanacaktır. Bu operatörler ilk kez Doğru, Duman ve Orhan (2003) tarafından
incelenmiştir.
5.1. Tanım
k , n ∈ IN olmak üzere kabul edelim ki
(α ), (β )
koşullarını sağlayan diziler olsun. Ayrıca ( ϕ n
n
k
ve
(γ )
n ,k
sırasıyla Eş. 4.2
) fonksiyon dizisi de Eş. 4.3’ün a), b),
c) ve d) özelliklerini sağlasın. Burada f fonksiyonu (0,1) aralığında integrallenebilen
bir fonksiyon ve (c n , k ) dizisi
(∀n, k ∈ IN )
0 ≤ c n ,k ≤ 1
(5.1)
olmak üzere
ϕ n (0 ) x k
D (f ; x ) =
∑
ϕ n (x ) k = 0 k! c n , k
*
n
1
∞
(k )
k +cn ,k
∫
k
⎛
ξ
f ⎜⎜
⎝ k + n + βk
⎞
⎟⎟dξ ,
⎠
n ∈ IN
(5.2)
şeklinde tanımlanan D *n operatörüne Agratini operatörlerinin Kantorovich tipli
integral genellemesi denir.
5.1. Uyarı
Eş. 5.2 ile tanımlanan D *n operatörü aşağıdaki bazı özel seçimler altında MeyerKönig ve Zeller operatörlerinin Kantorovich tipli genellemelerine dönüşmektedir.
36
Eş. 5.2 de β k = 0 seçilirse, Doğru ve Özalp (2001) tarafından verilen Meyer-König
ve Zeller operatörlerinin bir Kantorovich tipli genellemesi olan
M (f ; x ) =
*
n
1
ϕn
∞
(x ) ∑ c
k =0
1
ϕn
(k )
n ,k
xk
(0)
k!
k +cn ,k
∫
k
⎞
⎟⎟ dξ
⎠
⎛
ξ
f ⎜⎜
⎝ k + n + βk
operatörü elde edilir. Eş. 5.2 de β k = 0 , ϕ n (x ) = (1 − x )
− n −1
ve c n ,k =
n
k + n +1
seçilirse, α n = 1 ve γ n , k = 0 (∀n , k ∈ IN ) alınırsa D *n (f ; x ) operatörü Totik (1983)
tarafından verilen
⎛n + k⎞ k
n +1 ⎛ (n + k )(n + k + 1)
⎟⎟ x (1 − x ) ⎜
M (f ; x ) = ∑ ⎜⎜
⎜
k ⎠
n
k =0 ⎝
⎝
*
n
∞
( k +1 ) ( k + n +1)
∫
k (n + k )
⎞
f (u ) du ⎟⎟
⎠
operatörüne dönüşür.
Şimdi D *n (f ; x ) operatörlerinin A-istatistiksel yakınsaklık kullanılarak verilen
Korovkin teoremini, Sonuç 3.1’i gerçeklediği gösterilsin.
5.1. D *n Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsaklığı
5.1. Teorem
A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda ∀f ∈ C [0, a ] için
st A − lim
D *n (f ; x ) − f (x )
n
dır.
C [0 , a ]
=0
37
İspat
Eş. 5.2 de f (t ) = 1 alınır ve Eş. 4.3’ün a) özelliği göz önünde tutulursa
D (1; x ) =
*
n
1
∞
ϕ n (x )
∑
k =0
ϕ n (0 ) x k
k! c n , k
(k )
k +cn ,k
∫
ϕ n (0) x k
ξ
=
∑
ϕ n (x ) k = 0 k! c n ,k
1
=
(k )
∞
dξ
k
k +cn ,k
k
ϕ n (0) x k
(k + c n ,k − k )
∑
ϕ n (x ) k = 0 k! c n ,k
=
1
∞
1
∞
ϕ n (x )
(k )
ϕn
∑
(k )
(0) x
k
k!
k =0
=1
olup
D *n (1; x ) = 1
(5.3)
bulunur. Şimdi de Eş. 5.2 de f (t ) = t alalım.
ϕ n (0 ) x k
D (f ; x ) =
∑
ϕ n (x ) k = 0 k! c n , k
1
*
n
=
1
ϕ n (x )
(k )
∞
∞
∑
ϕn
k =0
(k )
(0) x
k! c n ,k
k
k +cn ,k
∫
k
ξ
dξ
k + n + βk
ξ2
2(k + n + β k )
k +cn ,k
k
(k )
2
ϕ n (0 ) x k (k + c n , k ) − k
=
∑
ϕ n (x ) k = 0 k! c n , k
2(k + n + β k )
1
=
=
2
∞
(k )
ϕ n (0) x k c n ,k (2k + c n ,k )
∑
ϕ n (x ) k = 0 k! c n , k
2(k + n + β k )
1
1
ϕn
∞
∞
(x ) ∑
k =0
ϕn
(k )
(0) x
k!
k
(2k + c )
n ,k
2(k + n + β k )
38
=
1
ϕn
+
ϕn
∞
(x ) ∑
(k )
ϕn
k
k
(k + n + β k )
k!
k =0
1
(0) x
∞
(x ) ∑
ϕn
(k )
(0) x
k!
k =0
c n ,k
k
2(k + n + β k )
elde edilir. Eş. 4.4 den
D n (t ; x ) =
1
ϕn
∞
(x ) ∑
ϕn
(k )
(0) x
k
k!
k =0
k
k + n + βk
olup
D n (t ; x ) = D n (t ; x ) +
1
*
2ϕ n
∞
(x ) ∑
ϕn
(k )
(0) x
k + n + βk
k!
k =0
c n ,k
k
bulunur. Ayrıca Eş. 5.1 ve Eş. 4.2’nin 2) özelliği göz önünde tutulursa
c n ,k
k + n + βk
≤
1
1
≤
k + n + βk n
yazılabilir. Buradan son eşitlik
1
1
D (t ; x ) ≤ D n (t ; x ) +
2n ϕ n (x )
*
n
= D n (t ; x ) +
∑
k =0
1
D n (1; x )
2n
bulunur. Eş. 4.5 den
D *n (t; x ) ≤ D n (t; x ) +
∞
1
2n
ϕn
(k )
(0)
k!
xk
39
elde edilir. O halde
D *n (t; x ) − x ≤ D n (t; x ) − x +
1
2n
(5.4)
dir. Diğer yandan
D *n (t; x ) − x = D n (t; x ) − x +
1
2ϕ n
∞
(x ) ∑
ϕn
(k )
(0)
k!
k =0
xk
c n ,k
k + n + βk
olup Eş. 4.2, Eş. 4.3’ün d), Eş. 4.7 ve Eş. 5.1 den eşitliğin sağ tarafı pozitif olur.
Böylece
D *n (t; x ) − x ≥ 0
(5.5)
dır. Eş. 5.4 ve Eş. 5.5 eşitsizliklerinin birleştirilmesiyle
0 ≤ D *n (t; x ) − x ≤ D n (t; x ) − x +
1
2n
elde edilir. x ∈ [0, a ] için maksimum alınırsa
D *n (t; x ) − x
C [0 , a ]
≤ D n (t; x ) − x
C [0 , a ]
+
1
2n
bulunur. Şimdi verilen bir ε > 0 sayısı için
⎧
U : = ⎨ n : D n (t ; x ) − x
⎩
⎧
U 1 : = ⎨ n : D n (t ; x ) − x
⎩
C [0 , a ]
+
C [0 , a ]
1
⎫
≥ε⎬
2n
⎭
≥
ε⎫
⎬
2⎭
(5.6)
40
⎧ 1 ε⎫
U 2 := ⎨ n : ≥ ⎬
⎩ n 2⎭
kümelerini tanımlayalım. Burada U ⊆ U 1 ∪ U 2 dir. Dolayısıyla Eş. 5.6 dan her bir
j∈ IN için
∑
n : D n * ( t ; x )− x
C [0 , a ]
≥ε
a jn ≤ ∑ a jn ≤
n∈U
∑a
jn
+
n∈U1
∑a
jn
n∈U 2
sağlanır. Buradan j → ∞ için limit alınır ve Lemma 4.2 göz önünde tutulursa
lim
j→ ∞
∑
n : D n * ( t ; x )− x
a jn = 0
C [0 , a ]
≥ε
bulunur. Bu ise
st A − lim
D *n (t; x ) − x
n →∞
C [0 , a ]
=0
(5.7)
olduğunu gösterir. Şimdi de Eş. 5.2 de f (t ) = t 2 alınırsa
D (t ; x ) =
*
n
2
=
=
=
=
1
ϕ n (x )
1
ϕ n (x )
∑
ϕn
∑
ϕn
(k )
k k +cn ,k
∫
k
(0) x
k
k! c n ,k
k =0
∞
ϕn
(k )
⎛
ξ
⎜⎜
⎝ k + n + βk
k +cn ,k
ξ3
3(k + n + β k )
k
(x ) ∑
1
ϕn
ϕ n (x )
∑
k =0
(k )
(0) x
k
k
(k )
(0) x
k!
(3k
2
+ 3kc n ,k + c n ,k
3(k + n + β k )
k!
k =0
∞
3
2
n ,k
ϕn
∞
3
k
2
⎞
⎟⎟ dξ
⎠
n ,k
k =0
1
ϕn
(0) x
k! c n , k
k =0
∞
(k )
(0) x (k + c ) − k
∑
(x )
k! c
3(k + n + β )
1
ϕn
∞
k
2
)
2
(k )
kc n ,k
k2
1 ∞ ϕ n (0) x k
+
∑
2
k!
(k + n + β k ) ϕ n (x ) k =0
(k + n + β k )2
41
1
+
ϕn
∞
ϕ n (x )
∑
(k )
ϕn
(k )
(0) x
2
k c n ,k
k
(k + n + β )
k!
(0) x
2
k
c n ,k
k
k!
k =0
2
(k + n + β )
k =0
ϕn
∑
∞
(x ) ∑
ϕn
∞
ϕ n (x )
c n ,k
k
k
1
= D n (t ; x ) +
1
(0) x
k!
k =0
2
+
(k )
2
(k + n + β )
2
k
dir. Eş. 4.2’nin 2) özelliği ve Eş. 5.1 koşulları dikkate alınırsa
D (t ; x ) ≤
*
n
2
1
ϕn
∞
(x ) ∑
ϕn
(k )
(0) x
k
k!
k =0
1
1
+ 2
3n ϕ n (x )
∞
∑
ϕn
(k )
⎛
k
⎜⎜
⎝ k + n + βk
(0) x
2
⎞
1 1
⎟⎟ +
n ϕ n (x )
⎠
∞
∑
k =0
c n ,k
k + n + βk
ϕn
(k )
(0) x
k!
k
≤
1
olup
n
k
k + n + βk
k
k!
k =0
yazılabilir. Böylece
D *n (t 2 ; x ) ≤ D n (t 2 ; x ) +
= D n (t 2 ; x ) +
1
1
D n (t; x ) + 2 D n (1; x )
n
3n
1
1
D n (t; x ) + 2
n
3n
elde edilir. O halde
D *n (t 2 ; x ) − x 2 ≤ D n (t 2 ; x ) − x 2 +
1
1
D n (t ; x ) + 2
n
3n
bulunur. Diğer taraftan
(
)
D *n (t 2 ; x ) − x 2 = D *n (t − x ) ; x + 2x D *n ((t − x ); x )
2
(5.8)
42
yazılabilir. D *n operatörünün pozitifliğinden ve Eş. 5.5 den
D *n (t 2 ; x ) − x 2 ≥ 0
(5.9)
dır. Eş. 5.8 ve Eş. 5.9 un birleştirilmesiyle Eş. 4.10 dan
0 ≤ D *n (t 2 ; x ) − x 2 ≤ D n (t 2 ; x ) − x 2 +
1
1
D n (t ; x ) + 2
n
3n
elde edilir. Her iki tarafın x ∈ [0, a ] üzerinden maksimumu alınırsa
D *n (t 2 ; x ) − x 2
C [0 , a ]
≤ D n (t 2 ; x ) − x 2
C [0 , a ]
+
bulunur. Burada Lemma 4.2 den ve st A − lim
n
st A − lim
n →∞
1
D n (t ; x )
n
C [0 , a ]
1
D n (t ; x )
n
C [0 , a ]
1
= 0 olduğundan
n
=0
dır. Şimdi verilen bir ε > 0 sayısı için
⎧
K : = ⎨n : D n (t 2 ; x ) − x 2
⎩
C [0 , a ]
⎧
K 1 : = ⎨n : D n (t 2 ; x ) − x 2
⎩
⎧ 1
K 2 : = ⎨ n : D n (t ; x )
⎩ n
1
⎧
⎫
K 3 : = ⎨n : 2 ≥ ε ⎬
⎩ n
⎭
C [0 , a ]
+
C [0 , a ]
1
D n (t ; x )
n
ε⎫
≥ ⎬
3⎭
ε⎫
≥ ⎬
3⎭
+
C [0 , a ]
+
1
⎫
≥ ε⎬
2
3n
⎭
1
3n 2
(5.10)
43
kümelerini tanımlayalım. Burada K ⊆ K 1 ∪ K 2 ∪ K 3 tür. Eş. 5.10 dan her bir j∈ IN
için
∑
( )
n: D n * t 2 ; x − x 2
C [0 , a ]
≥ε
a jn ≤ ∑ a jn ≤
n∈K
∑a
jn
n∈K1
+
∑a
n∈K 2
jn
+
∑a
jn
n∈K 3
sağlanır. O halde j → ∞ için limit alınır, Lemma 4.2 ve Lemma 4.3 dikkate alınırsa
lim
j→ ∞
∑
( )
n: D n * t 2 ; x − x 2
a jn = 0
C [0 , a ]
≥ε
bulunur. Bu ise
st A − lim
D *n (t 2 ; x ) − x 2
n →∞
C [0 , a ]
=0
(5.11)
olduğunu gösterir.
Böylece Eş. 5.3, Eş. 5.7 ve Eş. 5.11 den Sonuç 3.1’in şartları sağlandığından
∀f ∈ C [0, a ] için
st A − lim
D *n (f ; x ) − f (x )
n →∞
C [0 , a ]
=0
gerçeklenir.
5.2. Uyarı
A = I birim matrisi alınırsa aşağıdaki sonuç elde edilir.
44
5.1. Sonuç
∀f ∈ C [0, a ] için
{D (f ) }
*
n
dizisi f fonksiyonuna [0, a ]
aralığında düzgün
yakınsaktır, yani
lim D *n (f ; x ) − f (x )
n
C [0 , a ]
=0
dır.
5.2. D *n Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsama Hızı
Bu bölümde D *n (f ) operatörünün f ye yakınsama hızı, L p -metrik uzaylarında Peetre
K-fonksiyoneli yardımıyla hesaplanacaktır.
5.1. Lemma
D *n (f ; x ) operatörü için
1
d n ,k : = ∫
0
ϕ n (0) x k
dx
ϕ n (x ) k!
(k )
olarak tanımlansın. ∀n ∈ IN için
∞
∑d
k =0
n ,k
k + n + βk
<m
c n ,k
(5.12)
olacak şekilde pozitif bir m sabiti varsa, ∀n ∈ IN için
D *n (f ; x ) − D *n (g; x )
L P ( 0 ,1)
≤ m f −g
L P ( 0 ,1)
45
dir.
İspat
⎧
⎨∫
⎩0
1
1
p
⎧⎪ 1
P
⎫
*
D n (f ; x ) dx ⎬ = ⎨ ∫
⎭
⎪⎩ 0
Burada
∞
ϕn
k =0
n
(k )
(0) x
∑ ϕ (x ) k! c
1
k +cn ,k
k
∫
k
n ,k
⎛
f ⎜⎜
⎝
⎫⎪ p
⎞
u
⎟⎟ du dx ⎬
k + n + βk ⎠
⎪⎭
p
du
u
= ξ denirse
= dξ olur.
k + n + βk
k + n + βk
k + c n ,k
k
= ξ , u = k + c n ,k için
= ξ olacağından
k + n + βk
k + n + βk
u = k için
⎧
1
p
⎪⎪ 1
P
⎫
⎧1
*
(
)
D
f
;
x
dx
=
⎬
⎨∫
⎨∫
n
⎭
⎩0
⎪0
⎩⎪
⎧
1
⎪⎪
≤⎨∫
⎪0
⎪⎩
ϕ n (0) k k + n + β k
x
∑
c n ,k
k = 0 ϕ n (x ) k!
(k )
∞
⎫
⎪⎪
(
)
f
d
dx
ξ
ξ
⎬
∫k
⎪
k + n +β k
⎭⎪
k +cn ,k
p
1
p
k + n +β k
1
⎛
⎜ ∞ ϕ ( k ) (0) k k + n + β
k
x
⎜∑ n
c n ,k
⎜ k = 0 ϕ n (x ) k!
⎝
k +cn ,k
k + n +β k
∫
k
k + n +β k
⎞
⎟
f (ξ ) dξ ⎟
⎟
⎠
p
⎫p
⎪⎪
dx ⎬
⎪
⎪⎭
1
⎧1
⎫p
p
= ⎨∫ (D *n ( f ; x )) dx ⎬
⎩0
⎭
(5.13)
bulunur.
Pk , n (x ) : =
ϕ n (0) x k
ϕ n (x ) k!
ifadesine
∑
(k )
uygulanırsa
olsun. p >1 için
a k bk ≤
1 1
+ = 1 olmak üzere
p q
(∑ a ) (∑ b )
1
p p
k
1
q q
k
(D ( f
*
n
; x) )
p
olarak tanımlanan Hölder eşitsizliği
46
(D (
*
n
f ; x) )
p
⎧
1
1
⎪ ∞
= ⎨ ∑ (Pk ,n (x ))q (Pk ,n (x ))p
⎪ k =0
⎩
k +cn ,k
k + n +β k
∫
k
k + n +β k
k + n + βk
c n ,k
⎫
⎪
f (ξ ) dξ ⎬
⎪
⎭
p
⎞
⎛ kk++nc+nβ, kk
∞
∞
⎟
⎜
k + n + βk
⎧
⎫
f (ξ ) dξ ⎟
≤ ⎨∑ Pk ,n (x )⎬ ∑ Pk , n (x )⎜ ∫
c n ,k
⎩ k =0
⎭ k =0
⎟
⎜ k
k
n
+
+
β
k
⎠
⎝
p
p
q
= ( D n (1; x )) q
p
⎛ kk++nc+nβ, kk
⎞
∞
⎜
⎟
k + n + βk
Pk ,n (x ) ⎜ ∫
f (ξ ) dξ ⎟
∑
c n ,k
k =0
⎜ k
⎟
⎝ k + n +β k
⎠
p
dir. Böylece Eş. 4.5 den
(D (
*
n
f ; x) )
p
⎛ k +cn ,k
⎞
k ⎜ k + n +β k
∞
⎟
k + n + βk
ϕ n (0 ) x
f (ξ ) dξ ⎟
≤∑
⎜ ∫
c n ,k
ϕ n (x ) k! ⎜ k
k =0
⎟
+
+
β
k
n
k
⎝
⎠
p
(k )
bulunur.
(Ω, A, μ )
ölçülebilir uzay ve μ(Ω ) = 1 olmak üzere g, μ -integrallenebilir bir
fonksiyon ve ϕ , reel eksen üzerinde ölçülebilir bir fonksiyon ise
⎛
⎞
ϕ ⎜⎜ ∫ g dμ ⎟⎟ ≤ ∫ ϕ o g dμ
⎝Ω
⎠ Ω
olarak tanımlanan Jensen eşitsizliği
⎛ kk++nc+nβ, kk
⎞
⎜
⎟
k + n + βk
f (ξ ) dξ ⎟
⎜ ∫
c n ,k
⎜ k
⎟
⎝ k + n +β k
⎠
p
47
ifadesinde kullanılırsa
(D (
*
n
f ; x) ) ≤ ∑
p
∞
k =0
k +cn ,k
ϕ n (0) x
ϕ n (x ) k!
(k )
k + n +β k
k + n + βk
c n ,k
k
∫
f (ξ ) dξ
p
(5.14)
k
k + n +β k
elde edilir. Eş. 5.14, Eş. 5.13 de yerine yazılırsa
⎧
P
⎪1
⎧1 *
⎫
⎨∫ D n (f ; x ) dx ⎬ ≤ ⎨ ∫
⎩0
⎭
⎪0
⎩
1
p
1
⎛ kk++nc+nβ, kk
⎞ ⎫p
(k )
k
∞
⎜
⎟ ⎪
ϕ n (0) x k + n + β k
p
(
)
ξ
ξ
f
d
⎜
⎟ dx ⎬
∑
∫
ϕ n (x ) k!
c n ,k
k =0
⎜ k
⎟ ⎪
⎝ k + n +β k
⎠ ⎭
bulunur. Böylece Eş. 5.12 den
⎛
⎜
P
⎫
⎧1 *
⎨∫ D n (f ; x ) dx ⎬ ≤ ⎜ m
⎜
⎭
⎩0
⎝
1
p
=m f
k +cn ,k
k + n +β k
∫
k
k + n +β k
1
⎞p
⎟
p
f (ξ ) dξ ⎟
⎟
⎠
L p ( 0 ,1 )
yazılabilir. Burada f yerine f-g alınırsa, istenilen elde edilir.
5.1. Teorem
∀n ∈ IN ve f ∈ L p (0,1) için
D *n (f ; x ) − f (x )
L p ( 0 ,1)
⎛ ⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
≤ (m + 1) K p ⎜ f ; ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟
⎜ ⎝
⎟
n ⎠
⎝
⎠
(5.15)
48
eşitsizliği gerçeklenir. Burada m, Eş. 5.12 de verilen sabit, { K p (f ; δ n ) } Eş. 2.2 de
tanımlanan K-fonksiyonlarının bir dizisi ve Eş. 4.2’nin 1) koşulunu sağlayan { α n
}
dizisi için
1
⎛ α (n + c ) ⎞ 2
hn = ⎜ n
− 1⎟
n
⎝
⎠
dır.
İspat
g ∈ L2P (0,1) olsun. Bu durumda g fonksiyonunun t = x noktasındaki Taylor
açılımından
1
2
g(t ) − g(x ) = g ı (x )(t − x ) + g ıı (x )(t − x )
2
dir. Her iki yana D *n operatörü uygulanır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
(
1
2
D *n (g; x ) − g(x ) = g ı (x ) D *n (t − x; x ) + g ıı (x ) D *n (t − x ) ; x
2
≤ D *n (t − x; x ) g ı (x ) +
≤ D *n (t − x; x )
(
1 *
2
D n (t − x ) ; x
2
(
)
1
p
⎧1
⎫
⎧
*
⎨ ∫ D n (g; x ) − g (x ) dx ⎬ ≤ ⎨ ∫
⎩0
⎭
⎩0
p
g ıı (x )
g ı (x ) + D *n (t − x ) ; x
C ( 0 ,1 )
2
elde edilir. Buradan
1
)
( D (t − x; x )
*
n
C ( 0 ,1 )
g ı (x )
)
C ( 0 ,1 )
g ıı (x )
49
(
+ D *n (t − x ) ; x
2
)
C ( 0 ,1 )
g ıı (x )
) dx }
1
p
p
bulunur. p ≥ 1, f , g ∈ L p ise f + g ∈ L p olup
f +g
p
≤ f
p
+ g
p
şeklinde tanımlanan Minkowsky eşitsizliğinden
1
p
⎧1
⎫p
*
*
⎨ ∫ D n (g; x ) − g (x ) dx ⎬ ≤ D n (t − x; x )
⎩0
⎭
(
⎛
⎜
C ( 0 ,1 ) ⎜
⎝
1
1
∫
g (x )
= D *n (t − x; x )
)
(
C ( 0 ,1 )
+ D *n (t − x ) ; x
2
)
p
0
⎛
⎜
+ D *n (t − x ) ; x
C ( 0 ,1 ) ⎜
⎝
2
ı
1
1
∫
g ıı (x )
0
g ı (x )
C ( 0 ,1 )
⎞p
dx ⎟⎟
⎠
p
⎞p
dx ⎟⎟
⎠
L p ( 0 ,1 )
g ıı (x )
L p ( 0 ,1 )
elde edilir. Diğer taraftan Eş. 4.6 ve Eş. 5.4 eşitsizlikleri dikkate alınırsa
D *n (t − x; x ) ≤ D n (t; x ) − x +
1
2n
≤ x (α n − 1) + x α n
c 1
+
n 2n
yazılabilir. Her iki yanın x ∈ (0,1) için maksimumu alınırsa
D *n (t − x; x )
C ( 0 ,1)
≤ αn −1+ αn
= αn
c 1
+
n 2n
(n + c) − 1 +
n
1
2n
(5.16)
50
=hn +
2
1
n
(5.17)
bulunur. Ayrıca
(
)
D *n (t − x ) ; x = D *n (t 2 − 2xt + x 2 − 2x 2 + 2x 2 ; x )
2
= D *n (t 2 ; x ) − x 2 + 2x (x − D n (t; x ))
dır. Eş. 5.5 eşitsizliğinden
x − D *n (t; x ) ≤ 0
olup Eş. 5.9 dan
(
)
D *n (t − x ) ; x ≤ D *n (t 2 ; x ) − x 2
2
elde edilir. Burada Eş. 4.6 ve Eş. 5.8 eşitsizlikleri kullanılırsa
(
)
D *n (t − x ) ; x ≤ D n (t 2 ; x ) − x 2 +
2
1
1
D n (t ; x ) + 2
n
3n
⎛ 2 ⎛ n + c ⎞2 ⎞ 2
(n + c ) + 1
≤ ⎜αn ⎜
⎟ − 1⎟⎟ x + 2 xα n
⎜
n2
3n 2
⎝ n ⎠
⎝
⎠
sonucu gerçeklenir. Buradan
⎛ 2 ⎛ n + c ⎞2 ⎞ 2
(n + c) + 1
D (t − x ) ; x ≤ ⎜⎜ α n ⎜
⎟ − 1⎟⎟ x + 2xα n
n2
3n 2
⎝ n ⎠
⎝
⎠
*
n
(
olup
2
)
51
(
D *n (t − x ) ; x
2
(n + c ) + 1
2⎛ n + c⎞
≤ αn ⎜
⎟ − 1 + 2α n
n2
3n 2
⎝ n ⎠
2
)
C ( 0 ,1 )
(n + c ) + 1
⎛n +c⎞
≤ αn ⎜
⎟ − 1 + 2α n
n2
n2
⎝ n ⎠
2
2
2
⎛ 2 1 ⎞
= ⎜ h n + + 1⎟ − 1
n ⎠
⎝
(5.18)
bulunur. Diğer yandan Tanım 2.8 den
g
L p 2 ( 0 ,1 )
= g
L p ( 0 ,1 )
+ gı
L p ( 0 ,1 )
+ g ıı
L p ( 0 ,1 )
olduğundan
gı
L p ( 0 ,1 )
+ g ıı
L p ( 0 ,1 )
≤ g
(5.19)
L p 2 ( 0 ,1 )
dir. ∀n ∈ IN için
2
hn
2
1 ⎛ 2 1 ⎞
+ ≤ ⎜ h n + + 1⎟ − 1
n ⎝
n ⎠
olup, Eş. 5.17 den
D *n (t − x; x )
2
C ( 0 ,1)
⎛ 2 1 ⎞
≤ ⎜ h n + + 1⎟ − 1
n ⎠
⎝
(5.20)
bulunur. Böylece Eş. 5.18, Eş. 5.19 ve Eş. 5.20, Eş. 5.16 da yerine yazılırsa
D (g; x ) − g(x )
*
n
L p ( 0 ,1 )
(
⎛ ⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
≤ ⎜ ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟ g ı
⎜⎝
⎟
n ⎠
⎝
⎠
L p ( 0 ,1)
+ g ıı
L p ( 0 ,1)
)
52
⎛⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
≤ ⎜⎜ ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟⎟ g
n ⎠
⎝⎝
⎠
(5.21)
L p 2 ( 0 ,1)
elde edilir. Diğer taraftan, D *n lineer operatör olduğundan
D *n (f ; x ) − f (x ) = D *n (f ; x ) − D n (g; x ) + D *n (g; x ) − g(x ) + g(x ) − f (x )
*
≤ D *n (f ; x ) − D *n (g; x ) + D *n (g; x ) − g (x ) + g(x ) − f (x )
bulunur. O halde
1
p
⎧1
⎫p ⎧ 1
*
⎨ ∫ D n (f ; x ) − f (x ) dx ⎬ ≤ ⎨ ∫
⎩0
⎭
⎩0
( D (f ; x ) − D
*
(g; x )
*
n
n
+ g (x ) − f (x )
) dx }
+ D *n (g; x ) − g(x )
1
p
p
bulunur. Minkowsky eşitsizliğinden
1
p
⎧1
⎫p ⎛
*
(
)
(
)
D
f
;
x
−
f
x
dx
⎨∫ n
⎬ ≤ ⎜⎜
⎩0
⎭
⎝
1
1
∫
D *n (f ; x ) − D *n (g; x )
p
0
⎛
+ ⎜⎜
⎝
⎛
+ ⎜⎜
⎝
1
∫
0
⎞p
dx ⎟⎟
⎠
⎞
D *n (g; x ) − g (x ) dx ⎟⎟
⎠
p
1
p
1
1
∫ g (x ) − f (x )
0
p
⎞p
dx ⎟⎟
⎠
yazılabilir. Böylece
D *n (f ; x ) − f (x )
L p ( 0 ,1 )
≤ D *n (f ; x ) − D *n (g; x )
+ f −g
L p ( 0 ,1 )
L p ( 0 ,1 )
+ D *n (g; x ) − g (x )
L p ( 0 ,1 )
53
olup Lemma 5.1 den
D *n (f ; x ) − f (x )
L p ( 0 ,1 )
≤ m f −g
L p ( 0 ,1 )
= (m + 1) f − g
+ D *n (g; x ) − g (x )
L p ( 0 ,1 )
L p ( 0 ,1 )
+ D *n (g; x ) − g(x )
+ f −g
L p ( 0 ,1 )
L p ( 0 ,1 )
olur. Eş. 5.21 eşitsizliği kullanılırsa, ∀n ∈ IN için
D *n (f ; x ) − f (x )
L p ( 0 ,1 )
≤ (m + 1) f − g
L p ( 0 ,1)
⎧⎪
≤ (m + 1) ⎨ f − g
⎪⎩
⎛⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
+ ⎜ ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟ g
⎜⎝
⎟
n ⎠
⎝
⎠
L p ( 0 ,1)
L p 2 ( 0 ,1)
⎛⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
+ ⎜ ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟ g
⎜⎝
⎟
n ⎠
⎝
⎠
Lp
2
( 0 ,1)
⎫⎪
⎬
⎪⎭
yazılabilir. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki yanının g ∈ L2p (0,1) üzerinden infimumu
alınırsa
D (f ; x ) − f (x )
*
n
L p ( 0 ,1 )
⎧⎪
≤ (m + 1) inf
⎨ f −g
g∈L2p ( 0 ,1 )
⎪⎩
L p ( 0 ,1)
⎛⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
+ ⎜ ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟ g
⎜⎝
⎟
n ⎠
⎝
⎠
L2p ( 0 ,1)
⎫⎪
⎬
⎪⎭
⎛ ⎛ 2 1 ⎞2 ⎞
= (m + 1) K p ⎜⎜ f ; ⎜ h n + + 1⎟ − 1⎟⎟
n ⎠
⎝ ⎝
⎠
elde edilir.
st A − lim
K p (f ; δ n ) = 0 olduğunda, Teorem 5.1 L p -metrik uzaylarında D *n (f ; x )
n →∞
operatör dizisinin f (x ) ’e A-istatistiksel yakınsaklığını verir.
Burada Eş. 4.2’in 1) koşulundan st A − lim
h n = 0 olup, Eş. 5.15 eşitsizliği L p -metrik
n →∞
uzaylarında D *n (f ; x ) operatörlerinin A-istatistiksel yakınsaklık oranını verecektir.
54
Ayrıca, A = I birim matrisi alınırsa, bu operatörlerin klasik anlamdaki yakınsaklık
hızı elde edilir.
55
6. POZİTİF LİNEER OPERATÖRLERİN İNTEGRAL TİPLİ
GENELLEŞTİRİLMESİ
Bu bölümde bilinen operatörlerin integral tipli genellemelerini içeren pozitif lineer
operatörler dizisinin genel bir hali verilecek ve istatistiksel yakınsaklık kullanılarak,
bu operatörler için Korovkin tipli bazı teoremler elde edilecektir. Daha sonra bu
operatörlerin istatistiksel yakınsama hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından
olan fonksiyonlar yardımıyla hesaplanacaktır. Son olarak da bu operatörlerin r-inci
basamaktan genelleştirilmesi verilecektir.
6.1. Giriş
Her bir sonlu Borel ölçüsü
F(x ) = μ(− ∞, x ]
ile tanımlanan ve “ μ nün kümülatif fonksiyonu ” olarak bilinen bir F fonksiyonu ile
eşlenebilir. Burada F, monoton artan, reel değerli ve sağdan sürekli olup
lim F(x ) = 0 koşulunu gerçekler. Aynı zamanda monoton artan ve sağdan sürekli bir
x → −∞
F fonksiyonuna karşılık bir tek μ Borel ölçüsü vardır ve tüm a ve b sayıları için
μ(a , b] = F(b ) − F(a ) gerçeklenir [Royden 1968].
ß,
{μ
I
n ,k
aralığının
Borel
ölçülebilir
altkümelerinin
σ -cebiri
olmak
üzere,
: n ∈ IN ve k ∈ IN 0 }, (I, ß) üzerinde tanımlı ölçülerin bir kolleksiyonu olsun.
Kabul edelim ki
∫ dμ (y) = 1
n ,k
I
ve herhangi bir δ > 0 için I δ : = [x − δ, x + δ] ∩ I olmak üzere
(6.1)
56
sup
n∈IN , k∈IN 0
∫ g(
y )dμ n , k (y ) < ∞
(6.2)
I\ Iδ
koşulu gerçeklensin.
Şimdi x ∈ I, n ∈ IN ve f ∈ C g (I ) olmak üzere
∞
Tn (f ; x ) = ∑ rn ,k ∫ f (y ) dμ n ,k (y )
k =0
(6.3)
I
şeklinde tanımlanan Tn (f ) operatörünü göz önüne alalım. Burada rn ,k (x ) aşağıdaki
özellikleri sağlasın;
i) rn , k (x ) ≥ 0
ii)
∞
∑ r (x ) = 1
n ,k
x ∈ I, n ∈ IN, k ∈ IN 0
(6.4)
x ∈ I, n ∈ IN
(6.5)
k =0
Tn operatörleri pozitif ve lineerdir. Eş. 6.2 koşulu, f ∈ C g (I ) olduğunda f nin I
üzerinde integrallenebilir olduğunu garanti eder. Dolayısıyla Eş. 6.3 de tanımlanan
Tn (f ; x ) operatörleri iyi tanımlıdır. Ayrıca Eş. 6.1 ve Eş. 6.5 koşullarından
Tn (1; x ) = 1 dir.
6.1. Uyarı
Eş. 6.3 ile tanımlı Tn operatörü bazı özel seçimler altında aşağıdaki operatörlere
dönüşmektedir.
⎡ k k + 1⎤
1) I = [0,1] olmak üzere n ∈ IN ve k = 0,1,2,…,n için I n ,k : = ⎢
,
olsun.
⎣ n + 1 n + 1⎥⎦
57
Fn ,k (y ) = (n + 1)
y
⎛
k ⎞
∫ dt = (n + 1)⎜⎝ y − n + 1 ⎟⎠ ,
( )
k n +1
k
k +1
<y≤
n +1
n +1
⎛n⎞
n −k
kümülatif fonksiyonunu seçelim ve rn , k (x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x ) , x ∈ [0,1] olsun. μ n , k ,
⎝k⎠
Fn ,k ya karşılık gelen Borel ölçüsü olmak üzere, Lebesgue-Stieltjes integralinin
tanımından
∫ f (y )dF (y) = ∫ f (y)dμ (y)
n ,k
n ,k
In ,k
In ,k
yazılabilir. Basit hesaplamalardan sonra Tn operatörü Kantorovich (1938) tarafından
verilen
∞
U n (f ; x ) = (n + 1) ∑ rn ,k (x ) ∫ f (y ) dy ,
k =0
x ∈ [0,1]
In ,k
şeklinde tanımlanan Bernstein-Kantorovich operatörüne dönüşür.
⎡ k k + 1⎤
olsun.
2) I = [0, ∞ ) olmak üzere n ∈ IN ve k = 0,1,2,…,n için I n ,k : = ⎢ ,
⎣ n n ⎥⎦
y
k⎞
⎛
Fn ,k (y ) = (n + 1) ∫ dt = (n + 1)⎜ y − ⎟ ,
n⎠
⎝
k n
k
k +1
<y≤
n
n
⎛n⎞
−n
kümülatif fonksiyonunu tanımlayalım. rn , k (x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 + x ) , x ∈ [0, ∞ ) alınırsa
⎝k⎠
Tn operatörüne Agratini (2001) tarafından verilen
58
n
⎛
K n (f ; x ) = n ∑ rn , k (x )⎜
⎜
k =0
⎝
⎞
⎟ ,
(
)
f
y
dy
∫I
⎟
n ,k
⎠
x ∈ [0, ∞ )
Balász-Kantorovich operatörlerine dönüşür.
6.2. Tn Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsaklığı
Bu bölümde Eş. 6.1 de tanımlanan Tn operatörü için A-istatistiksel yakınsaklık
teoremi verilecektir.
6.1. Teorem
I, IR nin keyfi bir aralığı olsun. A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olmak
üzere x ∈ I noktası seçelim. f 2 (y ) = y 2 , C g (I ) uzayında olacak şekilde bir g
fonksiyonu seçelim ve Eş. 6.2 koşulu gerçeklensin. Bu durumda her f ∈ C g (I ) için,
i) st A − lim
Tn (f ; x ) − f (x ) = 0
n
Tn (f i ; x ) − f i (x ) = 0
ii) f i (y ) = y i , i = 1,2 olmak üzere st A − lim
n
dır.
İspat
Gereklilik: Hipotez uyarınca açıktır.
Yeterlilik: f ∈ C g (I ) ve x ∈ I noktası seçelim. f, I üzerinde sürekli olduğundan, her
ε > 0 ve y ∈ I δ için f (y ) − f (x ) < ε olacak şekilde bir ε > 0 sayısı vardır. Buradan
f ( y ) − f (x ) = f ( y ) − f (x ) χ I δ ( y ) + f ( y ) − f (x ) χ I \ I δ ( y )
59
yazılabilir. Ayrıca Tn operatörünün lineerliği ve pozitifliği kullanılırsa
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ Tn ( f − f (x ) ; x )
= Tn ( f (y ) − f (x ) χ Iδ (y ) + f (y ) − f (x ) χ I \ Iδ (y ); x )
∞
= ∑ rn , k (x )∫ f (y ) − f (x ) χ I δ (y ) dμ n , k (y )
k =0
I
∞
+ ∑ rn , k (x )∫ f (y ) − f (x ) χ I \ I δ (y ) dμ n ,k (y )
k =0
I
∞
= ∑ rn , k (x )∫ f (y ) − f (x ) dμ n , k (y )
k =0
Iδ
∞
+ ∑ rn , k (x ) ∫ f (y ) − f (x ) dμ n , k (y )
k =0
I\ Iδ
∞
≤ ε∑ rn , k (x )∫ dμ n , k (y ) +
k =0
Iδ
∞
≤ ε∑ rn ,k (x )∫ dμ n , k (y ) +
k =0
I
∞
∑ r ( x ) ∫ f ( y ) − f ( x ) dμ ( y )
n ,k
k =0
n ,k
I\ Iδ
∞
∑ r ( x ) ∫ f ( y ) − f ( x ) dμ ( y )
n ,k
k =0
n ,k
I\ Iδ
elde edilir. Eş. 6.1 ve Eş. 6.5 eşitlikleri dikkate alınırsa
∞
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + ∑ rn , k (x ) ∫ f (y ) − f (x ) dμ n , k (y )
k =0
bulunur. Hölder eşitsizliği uyarınca, p > 1 ve
1
∫
I\ Iδ
(6.6)
I\ Iδ
1 1
+ = 1 olmak üzere,
p q
1
⎡
⎤p ⎡
⎤q
q
f (y ) − f (x ) dμ n ,k (y ) ≤ ⎢ ∫ dμ n ,k (y )⎥ .⎢ ∫ f (y ) − f (x ) dμ n ,k (y ) ⎥
⎣⎢ I \ Iδ
⎦⎥ ⎣⎢ I \ I δ
⎦⎥
(6.7)
dir. Hipotez ve g nin tanımından f ∈ C g (I ) olması f q ∈ C g (I ) olmasını gerektirir. Bu
nedenle ∀ n ∈ IN ve k ∈ IN 0 için
60
1
⎡
⎤q
q
.⎢ ∫ f (y ) − f (x ) dμ n , k (y ) ⎥ < K
⎣⎢I \ I δ
⎦⎥
(6.8)
olacak şekilde pozitif bir K sayısı vardır. Eş. 6.7 ve Eş. 6.8 eşitsizlikleri Eş. 6.6 ile
birleştirilirse
1
⎡
⎤p
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + K ∑ rn , k (x ) ⎢ ∫ dμ n , k (y )⎥
k =0
⎣⎢ I \ I δ
⎦⎥
∞
elde edilir ve böylece
1
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + K
∞
∑r
n ,k
k =0
1
q
⎡
⎤p
(x ) ⎢ ∫ rn ,k (x ) dμ n ,k (y )⎥
⎣⎢ I \ I δ
⎦⎥
(6.9)
bulunur. Eş. 6.9 de Hölder eşitsizliği tekrar uygulanırsa
1
1
q
⎤p
⎡
⎤ ⎡∞
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + K ⎢∑ rn , k (x )⎥ ⎢∑ rn ,k (x ) ∫ dμ n ,k (y )⎥
⎣ k =0
⎦ ⎢⎣ k = 0
⎥⎦
I \ Iδ
∞
gerçeklenir. Eğer y ∈ I \ I δ ise, bu durumda y − x ≥ δ olacağından
sağlanır. Eş. 6.5 eşitliği de göz önüne alınırsa son eşitsizlik
1
⎤p
K ⎡ ∞
2
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + 2 ⎢ ∑ rn , k (x ) ∫ (y − x ) dμ n ,k (y ) ⎥
⎢ k =0
⎥⎦
I \ Iδ
δp ⎣
1
⎤p
K ⎡ ∞
2
≤ ε + 2 ⎢ ∑ rn , k (x ) ∫ (y − x ) dμ n , k (y ) ⎥
k =0
I
⎦
δp ⎣
(6.10)
(y − x )
δ2
2
≥1
61
=ε +
K
δ
≤ε+
2
p
K
2
[T (( y − x ) ; x )]
1
p
2
n
{ T (f ; x ) − f (x ) + 2 x
n
2
2
Tn (f 1 ; x ) − f 1 (x )
}
1
p
δp
olur. Her bir α ∈ (0,1] için x + y
α
≤ x
α
α
+ y
K⎧
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + 2 ⎨ Tn (f 2 ; x ) − f 2 (x )
δp ⎩
1
p
eşitsizliği kullanılırsa
+2
⎧
⎪K ⎛2 x
sonucu elde edilir. M (x ) : = max ⎨ 2 , K⎜⎜ 2
⎪δ p ⎝ δ
⎩
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ ε + M (x ) ⎧⎨ Tn (f 2 ; x ) − f 2 (x )
⎩
1
p
x
1
p
Tn (f 1 ; x ) − f 1 (x )
1
p
⎫
⎬
⎭
1
⎫
⎞p ⎪
⎟ ⎬ alınırsa, her bir n ∈ IN için
⎟
⎠ ⎪
⎭
1
p
+ Tn (f 1 ; x ) − f 1 (x )
1
p
⎫
⎬
⎭
(6.11)
bulunur. Hipotez göz önüne alınırsa
st A − lim
Tn (f i ; x ) − f i (x )
n
1
p
=0
(i = 1,2)
(6.12)
yazılabilir. Şimdi verilen bir r > 0 için ε < r olacak şekilde bir ε > 0 sayısı seçelim
ve
U : = { n : Tn (f ; x ) − f (x ) ≥ r }
⎧
U 1 : = ⎨ n : Tn (f 1 ; x ) − f 1 (x )
⎩
⎧
U 2 : = ⎨ n : Tn (f 2 ; x ) − f 2 (x )
⎩
1
p
1
p
≥
r−ε ⎫
⎬
2M (x ) ⎭
≥
r−ε ⎫
⎬
2 M (x ) ⎭
62
kümelerini tanımlayalım. U ⊆ U 1 ∪ U 2 olduğu açıktır. Böylece Eş. 6.11 eşitsizliği
her j ∈ IN için
∑a
jn
n∈U
≤
∑a
n∈U1
jn
+
∑a
jn
n∈U 2
dır. Burada j → ∞ için limit alınır ve Eş. 6.12 eşitliği kullanılırsa istenilen elde
edilir.
I keyfi bir aralık olduğundan, Teorem 6.1 deki A-istatistiksel yakınsaklık noktasal
anlamdadır. Fakat I kapalı ve sınırlı bir aralık (örneğin I = [a , b] ) ise, bu durumda
yukarıdaki ispattan aşağıdaki sonucu elde ederiz.
6.1. Sonuç
A = (a jn ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Bu durumda her f ∈ C [a , b] için
aşağıdakiler denktir:
i) st A − lim
Tn (f ; x ) − f (x )
n
C [a , b ]
=0
ii) f i (y ) = y i , i = 0,1,2 olmak üzere st A − lim
Tn (f i ; x ) − f i (x )
n
C [a , b ]
= 0.
Eğer Sonuç 6.1 de A = (a jn ) matrisi yerine birim matris alınırsa klasik Korovkin
teoremi elde edilir.
6.3. Tn Operatörlerinin A-İstatistiksel Yakınsama Hızı
Bu bölümde Teorem 6.1 deki A-istatistiksel yakınsama hızı, süreklilik modülü ve
Lipschitz sınıfından elemanlar yardımıyla hesaplanacaktır.
63
6.2. Teorem
I ve g, Teorem 6.1 de tanımlandığı gibi olsun. Ayrıca Eş. 6.1 koşulu gerçeklensin ve
bir x ∈ I seçelim. Bu durumda her f ∈ C g (I ) için,
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ 2 w (f ; δ n ) ,
n ∈ IN
dır. Burada
[ (
δ n : = Tn (y − x ) ; x
2
)]
1
2
ve w (f ; δ n ) , Eş. 2.1 ile verilen f nin süreklilik modülüdür.
İspat
f ∈ C g (I ) ve x ∈ I noktası seçelim. Tn nin lineerlik ve monotonluk özelliklerinden
Tn (f ; x ) − f (x ) = Tn ( f (y ) − f (x ); x )
≤ Tn ( f (y ) − f (x ) ; x )
elde edilir. Lemma 2.3 ün (iv) ve (vi) özellikleri kullanılırsa
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ Tn ( w ( f , y − x ); x )
⎛⎛
y−x
≤ Tn ⎜ ⎜⎜1 +
⎜
δ
⎝⎝
⎞
⎞
⎟ w (f ; δ ); x ⎟
⎟
⎟
⎠
⎠
⎡ 1
⎤
= w (f ; δ ) ⎢1 + Tn ( y − x ; x ) ⎥
⎣ δ
⎦
⎧ 1⎛ ∞
⎞⎫
= w (f ; δ ) ⎨1 + ⎜⎜ ∑ rn , k (x ) ∫ y − x dμ n , k (y ) ⎟⎟⎬
I
⎠⎭
⎩ δ ⎝ k =0
64
bulunur.
∑ a kbk ≤
( ∑ (a ) ) ( ∑ (b ) )
2
k
1
2
2
k
1
2
olarak tanımlanan Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden ve Eş. 6.5 den
1
1
⎧ 1⎛ ∞
⎞⎫
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ w (f ; δ ) ⎨1 + ⎜⎜ ∑ rn , k 2 (x ) rn , k 2 (x ) ∫ y − x dμ n , k (y ) ⎟⎟⎬
I
⎠⎭
⎩ δ ⎝ k =0
1
1
⎧
⎫
2
2⎛ ∞
⎞
⎪ 1⎛ ∞
⎪
⎞
≤ w (f ; δ ) ⎨1 + ⎜ ∑ rn , k (x )⎟ ⎜⎜ ∑ rn , k (x )∫ y − x dμ n , k (y )⎟⎟ ⎬
⎠ ⎝ k =0
I
⎠ ⎪
⎪⎩ δ ⎝ k = 0
⎭
1
⎧
⎫
∞
2
⎛
⎞
1
⎪
⎪
= w (f ; δ ) ⎨1 + ⎜⎜ ∑ rn , k (x ) ∫ y − x dμ n , k (y )⎟⎟ ⎬
I
⎠ ⎪
⎪⎩ δ ⎝ k = 0
⎭
[ (
⎧ 1
2
= w (f ; δ ) ⎨1 + Tn y − x ; x
⎩ δ
sonucu gerçeklenir. Burada
[ (
2
δ : = δ n = Tn y − x ; x
)]
1
2
alınırsa
⎧ 1 ⎫
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ w (f ; δ ) ⎨1 + δ⎬
⎩ δ ⎭
= 2 w (f ; δ )
bulunur. Bu ise istenilendir.
) ] ⎫⎬
1
2
⎭
65
Şimdi ise Tn (f ) in f ye yaklaşma hızı Lipschitz sınıfından olan fonksiyonlar
yardımıyla incelenecektir.
6.3. Teorem
x ∈ I seçelim. α ∈ (0,1] olmak üzere her f ∈ C g (I ) ∩ Lip M (α ) için
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ M δ n
α
dır. Burada
[ (
δ n : = Tn (y − x ) ; x
2
)]
1
2
ve Lip M (α ) , Eş. 2.3 de verilen Lipschitz sınıfıdır.
İspat
α ∈ (0,1] olmak üzere f ∈ C g (I ) ∩ Lip M (α ) ve x ∈ I seçelim. Tn nin lineerlik ve
monotonluk özelliklerinden dolayı
Tn (f ; x ) − f (x ) = Tn ( f (y ) − f (x ); x )
≤ Tn ( f (y ) − f (x ) ; x )
∞
= ∑ rn , k (x )∫ f (y ) − f (x ) dμ n ,k (y )
k =0
I
∞
≤ M ∑ rn ,k (x ) ∫ y − x
k =0
elde edilir. p =
α
dμ n ,k (y )
I
2
2
ve q =
olmak üzere
α
2−α
66
Hölder eşitsizliğinden
∞
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ M ∑ (rn , k (x ))
2−α
2
k =0
⎛ ∞
⎞
≤ M ⎜ ∑ rn ,k (x )⎟
⎠
⎝ k =0
(r (x )) ∫
α
2
n ,k
y−x
α
dμ n , k (y )
I
α
2−α
2
⎛ ∞
⎞2
2
⎜⎜ ∑ rn ,k (x )∫ y − x dμ n , k (y )⎟⎟
I
⎝ k =0
⎠
bulunur. Eş. 6.5 ten dolayı
α
⎛ ∞
⎞2
2
Tn (f ; x ) − f (x ) ≤ M ⎜⎜ ∑ rn ,k (x )∫ y − x dμ n ,k (y )⎟⎟
I
⎝ k =0
⎠
[ (( y − x ) ; x )]
α
2
2
= M Tn
[ (( y − x ) ; x )]
yazılabilir. δ n : = Tn
2
1
2
alınırsa ispat tamamlanır.
6.4. Tn Operatörlerinin r-inci Basamaktan Genelleştirilmesi
Cg
(r )
(I ) = {f : f ( ) ∈ C (I )}
(r = 0,1,2,...)
r
g
dır. r = 0 ise bu durumda C g
f ∈ Cg
(r )
(I ) , (r = 0,1,2,...) ,
(0 )
(I ) = C (I ) dır.
g
n ∈ IN ve rn , k (x ) Eş. 6.4 ve Eş. 6.5 koşullarını sağlamak
üzere Tn operatörünün r – inci basamaktan genelleştirilmesi
Tn
[r ]
∞
r
(f ; x ) = ∑∑ r (x )∫ f
n ,k
k =0 i =0
şeklinde tanımlanır.
I
(i )
( y ) (x − y )
i
i!
dμ n , k ( y )
(6.13)
67
Eğer Eş. 6.13 de r = 0 alınırsa bu operatör Eş. 6.3 ile tanımlanan operatöre dönüşür.
Şimdi Eş. 6.13 ile tanımlanan Tn
[r ]
operatörü için aşağıdaki yaklaşım teoremini ifade
edelim.
6.4. Teorem
I reel eksenin keyfi bir aralığı olsun. Bu durumda f ( r ) ∈ Lip M (α ) , 0 < α ≤ 1 olacak
şekilde her f ∈ C g
Tn
[r ]
(f ; x ) − f (x )
(r )
(I ) ve her bir
(
≤ C Tn y − x
x ∈ I için
α+r
;x
)
dir. Burada
C=
Mα B(α, r )
α + r (r − 1)!
ve B(α, r ) , Beta fonksiyonudur.
İspat
Eş. 6.1 ve Eş. 6.13 ten
f (x ) − Tn
[r ]
(f ; x ) = ∑ r (x )∫ ⎜⎜ f (x ) − ∑ f ( ) (y ) (x − y )
i!
∞
n ,k
k =0
I
⎛
r
⎝
i=0
i
i
⎞
⎟⎟dμ n , k (y )
⎠
(6.14)
yazılabilir. Taylor integral formülünden
r
f (x ) − ∑ f
i=0
(i )
(y ) (x − y )
i
i!
(x − y ) (1 − t ) [f ( ) (y + t (x − y )) − f ( ) (y )]dt
=
(r − 1)! ∫
r 1
0
r −1
r
r
(6.15)
68
dır. f ( r ) ∈ Lip M (α ) olduğundan
f ( r ) ( y + t (x − y ) ) − f ( r ) (y ) ≤ Mt α x − y
α
(6.16)
yazılabilir. Eş. 6.16 eşitsizliği Eş. 6.15 de yerine konursa ve Beta fonksiyonunun
1
∫ (1 − t )
r −1
t α dt = B(1 + α, r )
0
=
α
B(α, r )
α+r
tanımı kullanılırsa
r
f (x ) − ∑ f
(i )
(y ) (x − y )
i
i!
i =0
≤ x−y
α+r
Mα B(α, r )
α + r (r − 1)!
(6.17)
bulunur. Eş. 6.17 eşitsizliği Eş. 6.14 de yazılırsa
f (x ) − Tn
[r ]
(f ; x )
≤
=
Mα B(α, r )
α + r (r − 1)!
∞
∑ r (x ) ∫
n ,k
k =0
x−y
α+r
dμ n ,k (y )
I
Mα B(α, r )
Tn x − y
α + r (r − 1)!
(
α+r
;x
)
elde edilir. Bu ise istenilendir.
Teorem 6.4 ten aşağıdaki sonuçlar elde edilir.
6.2. Sonuç
Eğer Teorem 6.1 deki ii) koşulu sağlanırsa, bu takdirde f ( r ) ∈ Lip M (α ) , 0 < α ≤ 1
olacak şekilde her f ∈ C g
(r )
(I ) için
69
st A − lim
Tn[r ] (f ; x ) − f (x ) = 0
n
dir.
6.3. Sonuç
α ∈ (0,1] olmak üzere f ( r ) ∈ Lip M (α ) olacak şekilde her f ∈ C g
Tn
[r ]
(f ; x ) − f (x )
(
≤ Mı w y − x
α+r
, δn
)
dır. Burada
Mı =
2Mα B(α, r )
α + r (r − 1)!
ve δ n , Teorem 6.2 de tanımlandığı gibidir.
6.4. Sonuç
α ∈ (0,1] olmak üzere f ( r ) ∈ Lip M (α ) daki her f ∈ C g
Tn
[r ]
(f ; x ) − f (x )
≤ M ıı δ n
dir. Burada
M ıı =
M 2 α B(α, r )
α + r (r − 1)!
ve δ n , Teorem 6.2 de tanımlandığı gibidir.
(r )
(I ) için
(r )
(I ) için
70
KAYNAKLAR
Agratini, O., “Korovkin type error estimates for Meyer-König and Zeller operators”,
Math. Ineq. Appl., 4(1):119-126 (2001).
Altomare, F. and Campiti, M., “Korovkin type approximation theory and its
applications”, De Gruyter Stud. Math., 17 (1994).
Bleimann, G., Butzer, P.L. and Hahn, L., “A Bernstein-type operator approximating
continuous functions on the semi axis”, Proc. Netherl. Acad. Sci. A 83, Indag.
Math., 42:255-262 (1980).
Bojanic, R. and Cheng, F., “Estimates for the rate of approximation of functions of
bounded variation by Hermite-Fejér polynomials”, Proc. Conference of Canadian
Math. Soc., 3:5-17 (1983).
Bojanic, R. and Khan, M.K., “Summability of Hermite-Fejér interpolation for
functions of bounded variation, J. Nat. Sci. Math., 32:5-10 (1992).
Cheney, E.W. and Sharma, A., “Bernstein power series”, Canad. J. Math., 16:241253 (1964).
Connor, J.S., “On strong matrix summability with respect to a modulus and
statiatical convergence”, Canad. Math. Bull., 32:194-198 (1989).
DeVore, R.A., “The approximation of continuous functions by positive linear
operators”, Lecture Notes in Math., Springer, Berlin, 293 (1972).
Doğru, O., “Approximation order and asymptotic approximation for generalized
Meyer-König and Zeller operators”, Math. Balkanica, 12:359-368 (1998).
Doğru, O. and Özalp, N., “Approximation by Kantorovich type generalization of
Meyer-König and Zeller operators”, Glasnik Math., 36(56):311-318 (2001).
Doğru, O., Duman, O. and Orhan, C., “Statistical approximation by generalized
Meyer-König and Zeller type operators”, Studia Math., 40:359-371 (2003).
Duman, O., Khan, M.K. and Orhan, C., “A-Statistical convergence of approximating
operators”, Math. Ineg. Appl., 6:689-699 (2003).
Fast, H., “Sur la convergence statistique”, Collog. Math., 2:241-244 (1951).
Freedman, A.R. and Sember, J.J., “Densities and summability”, Pacific J. Math.,
95:293-305 (1981).
Fridy, J.A., “On statistical convergence”, Analysis, 5:301-313 (1985).
71
Gadjiev, A.D. and Orhan, C., “Some approximation theorems via statistical
convergence”, Rocky Mountain J. Math., 32:129-138 (2002).
Jihua, X. and Luoqing, L., “Converse theorems on approximation by integral type
Meyer-König and Zeller operators”, Academic Pres, Boston, 899-911 (1991).
Kantorovich, L.V., “Une remarque sur les polynômes de M.S. Bernstein”, Studia
Math., 7:49-51 (1938).
Khan, M.K., “On the rate of convergence of Bernstein power series for functions of
bounded variation”, J. Approx. Theory, 57(1):90-103 (1989).
Kolk, E., “The statistical convergence in Banach spaces”, Acta Comm. Univ.
Tartuensis, 928:41-52 (1991).
Korovkin, P.P., “Linear operators and theory of approximation”, Hindustan Publ.
Co., 38-45 (1960).
Maddox, I.J., “Elements of functional analysis”, Cambridge Univ. Pres., 46-67
(1970).
Meyer-König, W. and Zeller, K., “Bernsteinsche potenzreihen”, Studia Math.,
19:77-83 (1960).
Müller, M.W., “ L p approximation by the method of integral type Meyer-König and
Zeller operators”, Studia Math., 63:81-88 (1978).
Niven, I. and Zuckerman, H.S., “An introduction to the theory of numbers”, Fourth
Ed. John Willey, New York, 57-87 (1980).
Royden, H.L., “Real Analysis”, 2nd ed., Macmillan, New York, 56-75 (1968).
Steinhaus, H., “Sur la convergence ordinaire et la convergence asymptotique”,
Collog. Math., 2:73-74 (1951).
Totik, V., “Approximation by Meyer-König and Zeller type operators”, Math. Z.,
182:425-446 (1983).
72
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ÇETİN, Nursel
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 1983 / Antalya
Medeni hali
: Bekar
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü
2009
Lisans
Gazi Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2005
Lise
Manavgat Lisesi (Y.D.A.)
2001
Yabancı Dil
İngilizce