İKİ DEĞİŞKENLİ q-MEYER

K DE
KENL q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER N N
KOROVK N T P YAKLA IM ÖZELL KLER
Esma YILDIZ
YÜKSEK L SANS TEZ
MATEMAT K
GAZ ÜN VERS TES
FEN B L MLER ENST TÜSÜ
Mayıs 2009
ANKARA
Esma YILDIZ tarafından hazırlanan K DE
ZELLER
OPERATÖRLER N N
KENL q-MEYER-KÖN G VE
KOROVK N
TP
YAKLA IM
ÖZELL KLER adlı bu tezin Yüksek Lisans olarak uygun oldu unu onaylarım.
Yrd. Doç. Dr. H. Gül NCE LARSLAN
……………………………….
Tez Danı manı, Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Bu çalı ma, jürimiz tarafından oy birli i ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmi tir.
Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Yrd. Doç. Dr. H. Gül NCE LARSLAN
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Doç. Dr. Gülen TUNCA
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Tarih : 22/05/2009
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamı tır.
Prof. Dr. Nail ÜNSAL
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
Hata! Düzenleme alan kodlarından nesneler olu turulamaz.
iv
K DE
KENL q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER N N
KOROVK N T P YAKLA IM ÖZELL KLER
(Yüksek Lisans Tezi)
Esma YILDIZ
GAZ ÜN VERS TES
FEN B L MLER ENST TÜSÜ
Mayıs 2009
ÖZET
Bu çalı mada iki de i kenli q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin Korovkin tipi
yakla ım özellikleri incelenmi tir. Bu tez altı bölümden olu maktadır. Birinci bölüm
giri kısmına ayrılmı tır. kinci bölümde, lineer pozitif operatörlerle ilgili genel bilgiler
verilmi tir. Üçüncü bölümde, q-Meyer-König ve Zeller (q-MKZ) operatörlerinin bir
genelle tirmesi tanıtılmı
ve Heping tipli Korovkin teoremi yardımıyla düzgün
yakınsaklı ı incelenmi tir. Ayrıca bu operatörlerin yakla ım hızları süreklilik modülü
ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla elde edilmi tir. Dördüncü bölümde, iki
de i kenli q-Meyer-König ve Zeller operatörleri tanıtılmı tır. Bu operatörlerin düzgün
yakınsaklı ı hem Heping tipli Korovkin teoremi hem de Volkov teoremi yardımıyla
incelenmi tir. Daha sonra, iki de i kenli fonksiyonlar için süreklilik modülü ve Lipschitz
sınıfından fonksiyonlar yardımıyla bu operatörlerin yakla ım hızları elde edilmi tir.
Be inci bölümde, q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin, üçüncü bölümde verilen
operatörleri de kapsayan, genel bir ailesi olan Ω n operatörleri tanıtılmı
ve bu
operatörlerin düzgün yakınsaklı ı Heping tipli Korovkin teoremi yardımıyla
incelenmi tir. Bu operatörlerin yakla ım hızları süreklilik modülü ve Lipschitz
sınıfından fonksiyonlar yardımıyla elde edilmi tir. Ayrıca Ω n operatörlerinin r yinci
basamaktan genelle tirmesi incelenmi tir. Son bölümde, Ω n
operatörlerinin iki
de i kenli genelle tirmesi olan Ω n1 , n2 operatörleri olu turularak, bu operatörlerin
düzgün yakınsaklı ı hem Heping tipli Korovkin teoremi hem de Volkov teoremi
v
yardımıyla incelenmi tir. Bu operatörlerin yakla ım hızları iki de i kenli fonksiyonlar
için süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla elde edilmi tir.
Ayrıca bu operatörlerin r yinci basamaktan genelle tirmesi de verilmi tir.
Bilim kodu
: 204.1.095
Anahtar Kelimeler : Lineer Pozitif operatörler, Korovkin Teoremi, Heping
Teoremi, Volkov Teoremi
Sayfa Adedi
: 82
Tez Yöneticisi
: Yrd. Doç. Dr. H. Gül NCE LARSLAN
vi
KOROVK N-TYPE APPROXIMATION PROPERTIES OF BIVARIATE
q-MEYER-KÖN G AND ZELLER OPERATORS
(M.Sc.Thesis)
Esma YILDIZ
GAZ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
May 2009
ABSTRACT
In this study, Korovkin-type approximation properties of bivariate q-Meyer-König and
Zeller operators are investigated. This thesis consists of six chapters. The first chapter is
devoted to introduction. In the second chapter, general informations about the linear
positive operators are given. In the third chapter, a generalization of the Meyer-König
and Zeller (MKZ) operators based on q-integers are introduced and uniform
convergence of these operators is investigated with the help of Heping-type Korovkin
theorem. In addition, the rates of approximation of these operators are obtained with
the help of the modulus of continuity and the elements of Lipschitz class functionals. In
the fourth chapter, a bivariate generalization of the Meyer-König and Zeller operators
based on q-integers is introduced and uniform convergence of these operators is
examined with the help of either Heping-type Korovkin theorem
and or Volkov
theorem. Moreover the rates of convergence these operators are given by means of the
modulus of continuity and the elements of Lipschitz class functionals for bivariate
functions. In the fifth chapter, the operators Ω n which is the general family of MeyerKönig and Zeller operators based on q-integers that include the operators given in the
third chapter are introduced. At first, uniform convergence of these operators is
investigated with the help of Heping-type Korovkin theorem. Later, the rates of
convergence of these operator are given by means of modulus of continuity and the
elements of Lipschitz class functionals. Also, an r-th order generalization of these
vii
operators are given. In the last chapter, Ω n1 , n2 operators being a bivariate generalization
of a general sequence of Ω n are constructed. Uniform convergence of these operators is
investigated with the help of either Heping-type Korovkin theorem or Volkov theorem.
In addition, the rate of convergence of these operators are obtained by means of
modulus of continuity and the elements of Lipschitz class functionals for bivariate
functions. Finally, the r-th order generalization of these operators are given.
Science Code
: 204.1.095
Key Words
: Linear Positive Operators, Korovkin Theorem, Heping
Theorem, Volkov Theorem
Page Number
: 82
Adviser
: Asst. Prof. H. Gül NCE LARSLAN
viii
TE EKKÜR
Çalı malarım boyunca beni yönlendiren danı manım Yrd. Doç. Dr. H.Gül NCE LARSLAN
a, beni attı ım her adımda destekleyen ve yalnız bırakmayan aileme ve verdi i burs ile beni
destekleyen TÜB TAK a en içten saygı ve te ekkürlerimi sunarım.
ix
Ç NDEK LER
Sayfa
ÖZET
iv
ABSTRACT
vi
TE EKKÜR
viii
Ç NDEK LER
S MGELER D Z N
ix
xi
1. G R
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
3
3. q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER
11
3.1. q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Olu turulması
11
3.2. q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
12
3.3. Korovkin Yakla ımında Temel Bir Sonuç
17
3.4. q- Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakınsama Hızı
28
4. K DE
KENL q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER
35
4.1. ki De i kenli q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Olu turulması
35
4.2. ki De i kenli q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin
Yakla ım Özellikleri
37
4.3. ki De i kenli q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakınsama
Hızı
46
5. q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER N N
GENEL B R A LES
57
5.1. Ω n Operatörlerinin Olu turulması
57
5.2. Ω n Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
58
x
Sayfa
5.3. Ω n Operatörleri çin Korovkin Yakla ımında Temel Bir Sonuç
60
5.4. Ω n Operatörlerinin Yakınsama Hızı
61
5.5. Ω n Operatörlerinin r-yinci Basamaktan Genelle tirilmesi
63
6. K DE
KENL q- MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER N N
GENEL B R A LES
68
6.1. Ω n1 , n2 Operatörlerinin Olu turulması
68
6.2. Ω n1 , n2 Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
70
6.3. Ω n1 , n2 Operatörlerinin Yakınsama Hızı
72
6.4. Ω n1 , n2 Operatörlerinin r-yinci Basamaktan Genelle tirilmesi
74
KAYNAKLAR
80
ÖZGEÇM
82
xi
S MGELER VE KISALTMALAR
Bu çalı mada kullanılmı bazı simgeler açıklamaları ile birlikte a a ıda sunulmu tur.
Simgeler
Açıklama
Ln ( f ; x )
n∈
Bn ( f ; x )
Bernstein polinom dizisi
M n ( f ; x)
Meyer-König ve Zeller operatörler dizisi
M n ( f ; q, x )
Meyer-König ve Zeller operatörler dizisinin q-analo u
M n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y )
olmak üzere bir operatörler dizisi
ki de i kenli Meyer-König ve Zeller operatörler dizisinin qanalo u
Ω n ( f ; q, x )
q-Meyer-König ve Zeller operatörler dizisinin genelle tirilmi
bir ailesi
Ωn1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y )
ki de i kenli q-Meyer-König ve Zeller operatörler dizisinin
genelle tirilmi bir ailesi
C [ a, b ]
[ a, b] kapalı aralı
ında tanımlı ve sürekli tüm reel de erli
fonksiyonların uzayı
C 2 [ a, b ]
g , g ', g '' ∈ C [ a, b ] olan fonksiyon uzayı
( fn )
n∈
fn ( x )
f ( x)
ω ( f ;δ )
ω ( f ; δ1 , δ 2 )
f
g
C [ a ,b ]
C 2 [ a ,b ]
K ( f ,δ )
( fn )
olmak üzere bir fonksiyon dizisi
fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması
f fonksiyonunun süreklilik modülü
ki de i kenli f fonksiyonunun süreklilik modülü
x ∈ [ a, b ] için f
g
C 2 [ a ,b ]
= g
C [ a ,b ]
C [ a ,b ]
= max f ( x ) ile tanımlanan norm
a≤ x≤b
+ g ' C[a ,b] + g '' C[a ,b] ile tanımlanan norm
f fonksiyonunun Peetre K-fonksiyoneli
xii
LipM (α )
LipM ( f , α )
B (α , r )
f fonksiyonunun Lipschitz Sınıfı
ki de i kenli f fonksiyonunun Lipschitz Sınıfı
Beta fonksiyonu
1
1. G R
1960 yılında Meyer-König ve Zeller tarafından
∞
M n ( f ; x) =
f
k =0
n+k
k
n + k +1
k
x k (1 − x )
n +1
, e er 0 ≤ x < 1 ise
f (1) ,
e er
(1.1)
x = 1 ise
eklinde tanımlanan M n : C [ 0,1] → C [ 0,1] operatörleri Meyer-König ve Zeller (MKZ)
operatörleri olarak bilinir [Meyer-König, 1960].
E 1.1 de
k
k
yerine
alınırsa, operatörler Cheney ve Sharma tarafından
n + k +1
n+k
∞
M n ( f ; x) =
f
k =0
k
n+k
n+k
k
x k (1 − x )
n +1
, e er 0 ≤ x < 1 ise
f (1) ,
e er
(1.2)
x = 1 ise
eklinde tanımlanan Bernstein kuvvet serisi ne indirgenir. Bu operatörlerin monotonluk
özellikleri Cheney ve Sharma tarafından incelenmi tir [Cheney ve Sharma, 1964]. Di er
taraftan iki ve çok de i kenli lineer pozitif operatörler ilk kez Stancu tarafından
tanımlanmı tır [Stancu, 1972].
Klasik
Bernstein
tanımlanmı tır
polinomlarının
[Phillips,
1996].
genelle tirilmi
Phillips,
q-analo u
Bernstein
ise
Phillips
operatörlerinin
tarafından
q-analo u
için
Voronovskaja tipli bir asimtotik formül ve yakınsaklık hızını elde ederken, Goodman, Oruç
ve Phillips Bernstein operatörlerinin q-analo u için detaylı çalı malar yapmı lardır [Goodman
ve ark, 2006].
2
Barbosu,
iki
de i kenli
Bernstein
genelle tirmesini tanımlamı
operatörlerinin
q-analo unun
Stancu
tipli
bir
ve bunu iki de i kenli q-Bernstein operatörleri olarak
adlandırmı tır [Barbosu, 2000].
Meyer-König ve Zeller operatörlerinin q-analo u ise Trif tarafından tanımlanmı tır. Ancak
Trif’in tanımladı ı operatörlerde ikinci moment için kapalı formül vermek mümkün
olmamı tır [Trif, 2000]. Daha sonra Do ru ve Duman, q- Meyer-König ve Zeller
operatörlerinin yeni bir genelle tirmesini tanımlamı lardır ve bu operatörler için yakla ım
özelliklerini çalı mı lardır. Bu operatörlerde ikinci moment için kapalı formül elde edilmi tir
[Do ru ve Duman, 2006]. Do ru ve Gupta ise Do ru ve Duman tarafından verilen q-MeyerKönig ve Zeller operatörlerinin iki de i kenli bir genelle tirmesini tanımlayarak, bu
operatörlerin yakla ım özelliklerini hem Volkov tarafından verilen iki de i kenli fonksiyonlar
için Korovkin teoremi [Volkov, 1957] hem de Heping tipli Korovkin teoremi [Heping, 2005]
yardımıyla incelemi lerdir [Do ru ve Gupta, 2006].
Son olarak, Özarslan ve Duman tarafından q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin genel bir
ailesi verilmi tir ve bu operatörlerin yakla ım özellikleri incelenmi tir [Özarslan ve Duman,
2008].
Korovkin tipli yakla ım teoremi, lineer pozitif operatörler dizisinin bir f fonksiyonuna
yakla ım problemiyle ilgilenen iyi kurulmu bir çalı ma alanıdır. Son zamanlarda bu teorinin
sadece klasik yakla ım teorisinde de il, ayrıca fonksiyonel analiz, harmonik analiz, ölçü
teorisi ve olasılık teorisi alanlarındaki faydalı ba lantıları Altomare ve Campiti tarafından
verilmi tir [Altomare ve Campiti, 1994].
2. TEMEL KAVRAMLAR
3
Tanım 2.1:
X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun. E er X den alınan herhangi bir f fonksiyonuna Y de bir g
fonksiyonu kar ılık getiren bir L kuralı varsa buna X uzayında bir operatördür denir ve
L ( f ; x ) = g ( x ) biçiminde gösterilir.
Burada L ( f ; x ) = L ( f ( t ) ; x ) olmak üzere L operatörü f fonksiyonunun ba lı oldu u t
de i kenine göre uygulanmaktadır. Sonuç ise x de i kenine ba lı bir fonksiyondur. Bundan
dolayı x de i keni L i leminde sabit gibidir ve L ( f ( x ) ; x ) = f ( x ) L (1; x ) yazılabilir.
Tanım 2.2:
X ve Y lineer fonksiyon uzayları olmak üzere, L : X → Y eklinde tanımlı L operatörünü göz
önüne alalım. E er her f , g ∈ X ve α , β ∈
için
L (α f + β g ; x ) = α L ( f ; x ) + β L ( g ; x )
ko ulu sa lanıyorsa, bu durumda L operatörüne lineer operatör denir.
E er bir L operatörü pozitif de erli fonksiyonu yine pozitif de erli bir fonksiyona
dönü türüyor ise; yani f bir fonksiyon ve L bir operatör olmak üzere
f ≥ 0 için L ( f ; x ) ≥ 0
oluyor ise, L operatörüne pozitif operatör denir.
Hem lineerlik hem de pozitiflik artını sa layan operatöre lineer pozitif operatör denir
[Hacısaliho lu ve Haciyev, 1995].
4
Lemma 2.1:
Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani;
f ≤g
L( f ) ≤ L(g)
e itsizli i sa lanır.
Lemma 2.2:
L bir lineer pozitif operatör ise bu durumda
L( f ) ≤ L( f
)
e itsizli i sa lanır.
Tanım 2.3:
n∈
olmak üzere f n ( x ) e bir fonksiyon dizisi denir ve ( f n ) ile gösterilir.
Tanım 2.4:
n∈
olmak üzere Ln ( f ; x ) e bir operatör dizisi denir ve ( Ln ) ile gösterilir.
Tanım 2.5:
5
[ a, b ]
kapalı aralı ı üzerinde sürekli ve reel de erli fonksiyonlardan olu an kümeye C [ a, b ]
fonksiyon uzayı denir. Bu uzay
f
C [ a ,b ]
= max f ( x )
a ≤ x ≤b
eklinde tanımlanan . C[ a ,b] normu ile normlu bir uzaydır.
Tanım 2.6:
( fn ) , C [ a, b] içinde bir fonksiyon dizisi olsun. E
lim f n − f
n →∞
C [ a ,b ]
= lim max f n ( x ) − f ( x ) = 0
n →∞ a ≤ x ≤b
( fn )
sa lanıyorsa
er her x ∈ [ a, b ] için
fonksiyon dizisi [ a, b ] kapalı aralı ı üzerinde f fonksiyonuna düzgün
yakınsaktır denir ve f n
f
eklinde gösterilir.
Ça da fonksiyonel analiz ve fonksiyonlar teorisinde yer alan lineer pozitif operatörlerle
yakla ım konusu son elli yıl içinde ortaya çıkan bir ara tırma alanıdır.
Alman Matematikçi Weierstrass 1895 yılında sonlu aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu
aralıkta yakınsayan bir polinomun varlı ını ispatlamı tır. 1912 yılında ise Rus Matematikçi
S.N. Bernstein bu polinomu x ∈ [ 0,1] için
Bn ( f ; x ) =
n
k =0
f
k
n
n
k
x k (1 − x )
n−k
eklinde oldu unu ispatlamı tır [Lorentz, 1953].
6
1953 yılında P. P. Korovkin bu teoremi lineer pozitif operatörler için daha da geli tirerek,
yakla ım teorisinde kendi adıyla bilinen ve önemli bir yere sahip olan a a ıdaki teoremi
vermi tir.
Teorem 2.1 (P. P. Korovkin Teoremi):
f ∈ C [ a, b ] olsun. E er Ln ( f ; x ) lineer pozitif operatörler dizisi ve her x ∈ [ a, b ] için
(i) Ln (1, x )
1
(ii) Ln ( t ; x )
x
(iii) Ln ( t 2 ; x )
x2
ko ullarını sa lıyorsa bu durumda [ a, b ] kapalı aralı ında Ln ( f )
f dir.
Tanım 2.7:
f ∈ C [ a, b ] olsun. Herhangi bir δ > 0 için
ω ( f ; δ ) = sup f ( t ) − f ( x )
x ,t∈[ a ,b ]
t − x ≤δ
ile tanımlanan ω ( f ; δ ) ifadesine f fonksiyonunun süreklilik modülü denir
Lemma 2.3:
Süreklilik modülü a a ıdaki özellikleri sa lar.
(i) ω ( f ; δ ) ≥ 0 ,
(ii) δ1 ≤ δ 2 ise ω ( f ; δ1 ) ≤ ω ( f ; δ 2 ) ,
(2.1)
7
için ω ( f ; mδ ) ≤ mω ( f ; δ ) ,
(iii) m ∈
(iv) λ ∈
+
için ω ( f ; λδ ) ≤ ( λ + 1) ω ( f ; δ ) ,
(v) lim+ ω ( f ; δ ) = 0 ,
δ →0
(vi) f ( t ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; t − x ) ,
(vii) f ( t ) − f ( x ) ≤ 1+
t−x
δ
ω ( f ;δ ) .
Tanım 2.8:
[ a, b] kapalı aralı
ı üzerinde tanımlı reel de erli sürekli, birinci ve ikinci mertebeden türevleri
de bu aralıkta sürekli fonksiyonların uzayı C 2 [ a, b ] ile gösterilir; yani
C 2 [ a, b ] := { f ∈ C [ a, b ] : f ', f '' ∈ C [ a, b ]}
(2.2)
dir. C 2 [ a, b ] uzayı her f ∈ C 2 [ a, b ] için
f
C 2 [ a ,b ]
= f
C [ a ,b ]
+ f ' C[a ,b] + f '' C[ a ,b]
.
(2.3)
normu ile lineer normlu uzaydır [Bleimann ve ark, 1980].
Tanım 2.9:
0 < α ≤ 1 olmak üzere;
f (t ) − f ( x ) ≤ M t − x
α
(2.4)
ko ulunu sa layan fonksiyonlara Lipschitz sınıfından fonksiyonlar, M ye de Lipschitz sabiti
denir ve f ∈ LipM (α ) ile gösterilir.
8
Tanım 2.10:
( xn )
ve
( yn )
olsun. E er
∞
n =1
∞
n =1
xn yn ≤
∞
n =1
herhangi iki dizi, 1 < p , q < ∞ ve
xn
p
xn
p
ve
∞
n =1
1
p
∞
n =1
yn
q
yn
q
1 1
+ = 1 olacak ekilde p ve q iki sayı
p q
serileri yakınsaksa,
1
q
(2.5)
e itsizli ine Hölder e itsizli i denir. Burada p=q=2 alınırsa, bu e itsizlik Cauchy-Schwarz
e itsizli i olarak bilinir [Bayraktar, 2006].
Tanım 2.11: Her x1 , x2 ∈ [ a, b ] ve λ ∈ [ 0,1] için
f λ x1 + (1 − λ ) x2 ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 )
oluyorsa f fonksiyonuna [ a, b ] kapalı aralı ı üzerinde konvekstir denir
Teorem 2.2 (Banach-Steinhaus Teoremi):
9
X ve Y Banach uzayları, L ( X , Y ) X den Y ye sürekli lineer operatörlerin kümesi ve ( Ln ) de
L ( X , Y ) uzayında bir dizi olsun. X uzayındaki her x için ( Ln ( x ) ) dizisi Y uzayında sınırlıysa
ve X uzayında yo un olan bir A kümesindeki her y noktası için ( Ln ( y ) ) dizisi Y uzayında
yakınsaksa, bu durumda lim Ln = L olacak
n →∞
ekilde bir L ∈ L ( X , Y ) dönü ümü vardır
[Terzio lu, 1998].
Tanım 2.12:
q pozitif bir reel sayı olsun. Herhangi bir negatif olmayan r tamsayısı için r sayısının qanalo u
1 − qr
, e er q ≠ 1 ise
= 1− q
r,
e er q = 1 ise
[ r ]q
(2.6)
olarak tanımlanır.
Ayrıca q-faktöriyel ve q-binom katsayısı sırasıyla [ r ]q ! ve
[ r ]q ! =
n
r
=
q
[1]q [ 2]q ...[ r ]q ,
e er r = 1, 2,... ise
1,
e er r = 0 ise
[ n ]q !
[ r ]q ![ n − r ]q !
n
r
ile gösterilir ve de
q
(2.7)
(2.8)
dir.
E 2.8 de q = 1 alındı ında ifadenin binom katsayılarına indirgendi i E 2.6 dan açıktır.
Ayrıca
10
∞
k =0
n+k k
x =
k q
1
n
∏ (1 − q x )
,
x <1
s
s =0
dir [Andrews ve ark, 1999].
3. q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER
3.1. q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Olu turulması
(2.9)
11
Tanım 3.1.2:
n∈
, A∈ ( 0,1) , q ∈ ( 0,1] , x ∈ [ 0, A] ve f ∈ C [ 0, A] olsun.
M n ( f ; q , x ) = u n ,q ( x )
∞
f
k =0
q n [ k ]q
[ n + k ]q
n+k
k
xk
(3.1)
q
eklinde tanımlanan operatörlere q-Meyer-König ve Zeller operatörleri (q-MKZ) denir.
n
Burada un ,q ( x ) = ∏ (1 − xq s ) dır [Do ru ve Duman, 2006].
s =0
q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin lineer ve pozitif oldu u gösterilebilir:
Lineerlik: f , g ∈ C [ 0, A] ve b, c ∈
M n ( bf + cg ; q, x ) = un ,q ( x )
= un , q ( x )
∞
k =0
×
( bf + cg )
∞
bf
k =0
= bun ,q ( x )
n+k
k
olsun.
∞
f
k =0
q n [ k ]q
[ n + k ]q
q n [ k ]q
[ n + k ]q
+ cg
q n [ k ]q
n+k
k
[ n + k ]q
xk
q
= bM n ( f ; q, x ) + cM n ( g ; q, x )
n+k
k
xk
q
q n [ k ]q
[ n + k ]q
n+k
k
x + cun ,q ( x )
k
q
xk
q
∞
k =0
g
q n [ k ]q
[ n + k ]q
12
Pozitiflik: f ∈ C [ 0, A] ve f ≥ 0 olsun. q ∈ ( 0,1] , x ∈ [ 0, A] için un ,q ( x ) ≥ 0 olup, Tanım 2.12
den
n+k
k
≥ 0 oldu undan M n ( f ; q, x ) ≥ 0 dır.
q
q = 1 için q-Meyer-König ve Zeller operatörleri E 1.1 de tanımlı Meyer-König ve Zeller
operatörlerine indirgenir. E
3.1 de
f
[ k ]q
[ n + k ]q
alınarak, q-Meyer-König ve Zeller
operatörlerinin Trif tarafından elde edilen genelle tirmesi elde edilir [Trif, 2000].
3.2. q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
lk olarak, q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin yakla ım özellikleri incelenirken
kullanılacak olan bir Lemma verilecektir.
Lemma 3.2.1:
n∈
, q ∈ ( 0,1] , x ∈ [ 0, A] ve ei ( t ) = t i , i = 0,1, 2 olsun. E 3.1 de verilen q-Meyer-König ve
Zeller operatörleri için a a ıdaki ifadeler gerçeklenir [Do ru ve Duman, 2006].
i) M n ( e0 ( t ) ; q, x ) = 1
ii) M n ( e1 ( t ) ; q, x ) = q n x
iii) q 2 n x 2 ≤ M n ( e2 ( t ) ; q, x ) ≤ q 2 n +1 x 2 +
q 2n x
[ n]q
spat:
i) M n ( e0 ( t ) ; q, x ) = un ,q ( x )
∞
k =0
n+k k
x
k q
olup, E 2.9 dan M n ( e0 ( t ) ; q, x ) = 1 bulunur.
13
ii) M n ( e1 ( t ) ; q, x ) = un ,q ( x )
= un , q ( x )
∞
k =0
q n [ k ]q n + k
[ n + k ]q
k
xk
q
[ n + k ]q ! k
x
k =1 [ n + k ]q [ k ]q ![ n ]q !
∞
q n [ k ]q
q n [ n + k − 1]q ! k −1
= un , q ( x )
x x
k =1 [ k − 1]q ![ n ]q !
∞
= q n xun ,q ( x )
= q n xun ,q ( x )
= q n xun ,q ( x )
∞
k =1
∞
k =0
n + k − 1 k −1
x
k −1 q
n+k k
x
k q
1
un , q ( x )
olup, M n ( e1 ( t ) ; q, x ) = q n x bulunur.
iii) Burada ispata geçmeden önce negatif olmayan bir k ∈
tam sayısı, bir n ∈
sayısı ve q ∈ ( 0,1] için
[ k ]q − 1 = q [ k − 1]q
(3.2)
e itli i ve
[ n + k − 1]q ≤ [ n + k ]q
(3.3)
[ n ]q ≤ [ n + k ]q
(3.4)
e itsizliklerinin do rulu u gösterilecektir.
do al
14
k −1
1 − qk
1 − q k − 1 + q q (1 − q )
−1 =
=
= q [ k − 1]q
[ k ]q − 1 =
1− q
1− q
1− q
dir. q ∈ ( 0,1] için
q n+ k ≤ q n+k −1
− q n+k −1 ≤ −q n+ k
olup, buradan
[ n + k − 1]q =
1 − q n + k −1 1 − q n + k
≤
= [ n + k ]q
1− q
1− q
bulunur. Di er yandan [ n ]q ≤ [ n + k ]q oldu u da benzer ekilde elde edilir.
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) = un ,q ( x )
∞
k =0
q 2 n [ k ]q
[ n + k ]q
2
n+k
2
q
= q un , q ( x )
[ n + k ]q ! k
x
[ k ]q ![ n]q !
k =1 [ n + k ]
q
= q 2 n un , q ( x )
[ k ]q [ n + k − 1]q ! k
x
k =1 [ n + k ]q [ k − 1]q ![ n ]q !
= q 2 nu n , q ( x )
[ k ]q − 1 + 1 [ n + k − 1]q ! k
x
k =1 [ n + k ]q [ k − 1]q ![ n ]q !
= q 2 n un , q ( x )
[ k ]q − 1 [ k + n − 1]q ! k ∞ 1
x +
k = 2 [ k + n ]q [ k − 1]q ![ n ]q !
k =1 [ n + k ]q
2n
×
[ k ]q
k
xk
∞
2
∞
∞
∞
[ n + k − 1]q ! k
x
[ k − 1]q ![ n]q !
E 3.2, E 3.5 te kullanılırsa
2
(3.5)
15
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) = q 2 nun,q ( x ) q
[ k − 1]q [ n + k − 1]q ! k ∞ 1 [ n + k − 1]q ! k
x +
x
k = 2 [ n + k ]q [ k − 1]q ![ n ]q !
k =1 [ n + k ]q [ k − 1]q ![ n ]q !
= q 2 n un , q ( x ) q
×
∞
[ n + k − 1]q [ n + k − 2]q ! k −2 2 ∞ 1
x x +
[ k − 2]q ![ n ]q !
k = 2 [ n + k ]q
k =1 [ n + k ]q
∞
[ n + k − 1]q ! k
x
[ k − 1]q ![ n]!
(3.6)
elde edilir. E 3.3 ve E 3.4 ten
[ n + k − 1]q
1
1
≤ 1 ve
≤
[ n + k ]q
[ n + k ] q [ n ]q
(3.7)
e itsizlikleri elde edilir. E 3.7, E 3.6 da kullanılırsa
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) ≤ q 2 nun ,q ( x ) qx 2
= q 2 nun ,q ( x ) qx 2
∞
k =2
∞
k =0
n + k − 2 k −2
x
x +
k −2 q
[ n ]q
n+k k
x
x +
k q
[ n ]q
∞
k =0
∞
k =1
n + k − 1 k −1
x
k −1 q
n+k k
x
k q
bulunur. E 2.9 dan
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) ≤ q 2 n+1 x 2 +
q 2n x
[ n]q
(3.8)
elde edilir.
Di er taraftan E 3.6 düzenlenilirse
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) = un ,q ( x ) q 2 n +1 x 2
[ n + k + 1]q
k = 0 [ n + k + 2 ]q
∞
n+k k
x
k q
16
+q2n x
n+k k
1
x
k q
k = 0 [ n + k + 1]q
∞
(3.9)
olup, E 3.9 da
[ n + k + 1]q =
[ n + k + 2 ]q − 1
q
e itli i kullanılırsa
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) = un ,q ( x ) q 2 n+1 x 2
1 ∞ [ n + k + 2]q − 1 2 n ∞
1
+q x
q k = 0 [ n + k + 2 ]q
k =0 [ n + k + 1]q
n+k
k
xk
q
(3.10)
bulunur. 0 ≤ x ≤ A < 1 için x ≥ x 2 , [ n + k + 1]q ≤ [ n + k + 2]q oldu undan, E 3.10
dan
M n ( e2 ( t ) ; q, x ) ≥ q 2 n x 2un ,q ( x )
= q 2 n x 2un ,q ( x )
∞
k =0
∞
k =0
1−
∞
1
1
+
[ n + k + 2]q k =0 [ n + k + 2]q
q
(3.11)
elde edilir. Bu durumda E 3.8 ve E 3.11 den
olup, istenilen elde edilir.
xk
n+k k
x
k q
= q 2n x 2
q 2 n x 2 ≤ M n ( e2 ( t ) ; q, x ) ≤ q 2 n +1 x 2 +
n+k
k
q 2n x
[ n]q
17
Uyarı 3.2.1:
E 3.1 de q ∈ ( 0,1] yerine 0 < qn ≤ 1 olacak ekilde ( qn ) dizisi
lim qnn = 1 ve lim
n →∞
n →∞
1
=0
[ n]q
(3.12)
n
artlarını sa layacak ekilde seçilsin. Bu durumda E 3.12 ve Lemma 3.2.1 (i), (ii) ve (iii)
kullanılarak
lim M n ( ei ; qn ,.) − ei
n →∞
C [ 0, A]
= 0,
i = 0,1, 2
(3.13)
sonucu elde edilir. O zaman E 3.13 ve iyi bilinen Korovkin teoremi yardımıyla her
f ∈ C [ 0, A] için ( M n ( f ; qn ,.) ) operatörler dizisi [ 0, A] aralı ında f ye düzgün yakınsaktır.
Örne in, ( qn ) = e
1
n
1−
1
n
seçilirse E 3.12 sa lanır [Do ru ve Duman, 2006].
3.3. Korovkin Yakla ımında Temel Bir Sonuç
Bu kısımda, E 3.1 de verilen operatörlerde q yerine 0 < qn ≤ 1 için
lim qnn = b < 1 ve lim qn = 1
n →∞
(3.14)
n →∞
artını sa layan bir ( qn ) dizisi alındı ında ( M n ) operatörler dizisinin yakla ım özelliklerinin
hala elde edilip edilemeyece i sorusuna yanıt aramaya çalı ılacaktır.
( qn ) =
1−
1
n
alınması durumunda lim qnn = e−1 ve lim qn = 1 olup, E 3.14 gerçeklenir.
n →∞
n →∞
18
Heping, herhangi bir lineer pozitif operatörler dizisi için a a ıdaki teoremi ispatlamı tır.
Teorem 3.3.1:
C [ 0,1] üzerinde tanımlı bir
( Ln )
lineer pozitif operatörler dizisi a a ıdaki ko ulları
gerçeklesin:
(i) ( Ln ( e2 ) ) dizisi bir L∞ ( e2 ) fonksiyonuna C [ 0,1] içinde yakınsaktır;
(ii) x ∈ [ 0,1] ve konveks bir f fonksiyonu için ( Ln ( f ; x ) ) artmayandır.
Bu durumda her f ∈ C [ 0,1] için lim Ln ( f ) − L∞ ( f )
n →∞
C [ 0,1]
= 0 olacak ekilde C [ 0,1] üzerinde
tanımlı bir L∞ operatörü vardır [Heping, 2005].
Burada ∀i = 0,1, 2 için ( Ln ( ei ) ) dizisi C [ 0,1] içinde yakınsak ise (fakat bu yakınsaklık ei ye
olmak zorunda de il), bu durumda Teorem 3.3.1 ( Ln ( f ) ) operatörler dizisinin yakınsaklı ını
garantiler.
Böylece Heping, (i) ve (ii) zayıf varsayımı altında bir ( Ln ( f ; x ) ) lineer pozitif operatörler
dizisinin bir L∞ ( f ; x ) operatörüne yakınsadı ını göstermi tir.
imdi, Do ru ve Gupta tarafından verilen a a ıdaki Heping tipli Korovkin teoremi verilebilir:
Teorem 3.3.2:
C [ 0, A] üzerinde tanımlı bir ( Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi a a ıdaki ko ulları sa lasın:
(i) ∀i = 1, 2 için ( L n ( e i ) ) dizisi bir L∞ ( ei ) fonksiyonuna C [ 0, A] içinde yakınsaktır;
19
(ii) x ∈ [ 0, A] , konveks ve artan bir f fonksiyonu için ( Ln ( f ; x ) ) artmayandır.
Bu durumda her f ∈ C [ 0, A] için lim Ln ( f ) − L∞ ( f )
n →∞
C [ 0, A]
= 0 olacak ekilde C [ 0, A]
üzerinde tanımlı bir L∞ operatörü vardır [Do ru ve Gupta, 2006].
spat:
Herhangi bir
( Ln )
lineer pozitif operatörler dizisi (i) ve (ii) yi gerçeklesin. Bu durumda
herhangi bir l lineer fonksiyonu için
Ln ( l ) = Lm ( l )
(3.15)
ve ( Ln ) operatörler dizisinin düzgün normu sup Ln için
n ≥1
sup Ln ≤ sup Ln ( e0 ) C 0, A = L1 ( e0 )
n ≥1
[
n ≥1
]
C 2 [ 0, A] uzayı,
gerçeklenir.
C [0, A]
C [ 0, A]
< +∞
içinde
yo un
oldu undan
Banach-Steinhaus
teoreminden, herhangi bir f ∈ C 2 [ 0, A] için ( Ln ( f ) ) operatörler dizisinin C [ 0, A] içinde
yakınsak oldu unu göstermek yeterlidir.
Herhangi bir f ∈ C 2 [ 0, A] için
g1 ( x ) =
g2 ( x ) =
f
C 2 [ 0, A]
2
f
C 2 [ 0, A]
2
(x
2
(x
2
+ 2x ) − f ( x )
(3.16)
+ 2x) + f ( x)
(3.17)
fonksiyonları alınsın. g1 ve g 2 artan, konveks ve lineerdir. Gerçekten
20
g1 ' ( x ) = f
C 2 [0, A]
( x + 1) − f ' ( x )
f ' ( x ) ≤ f ' C[0, A] ≤ f
C 2 [ 0, A]
olup, buradan
f
C 2 [0, A]
x f
( x + 1) −
C 2 [ 0, A]
f
C 2 [ 0, A]
≤ f
C 2 [ 0, A]
( x + 1) − f ' ( x ) = g1 ' ( x )
≤ g1 ' ( x )
bulunur. x ∈ [ 0, A] oldu undan ve normun tanımından g1 ' ( x ) ≥ 0 dır. O halde g1 artandır.
g1 '' ( x ) = f
C 2 [ 0, A]
− f '' ( x )
olup,
f '' ( x ) ≤ f '' C[0, A] ≤ f
− f
f
C 2 [ 0, A]
C 2 [0, A]
C 2 [ 0, A]
≤ − f '' ( x )
− f
C 2 [ 0, A]
≤ f
C 2 [ 0, A]
− f '' ( x ) = g1 '' ( x )
g1 '' ( x ) ≥ 0
bulunur. Buradan g1 konvekstir.
Benzer ekilde
g2 ' ( x ) = f
C 2 [0, A]
( x + 1) + f ' ( x )
21
olup, f artan oldu undan ve normun tanımından g 2 ' ( x ) ≥ 0 dır. O halde g 2 artandır. Ayrıca
g 2 '' ( x ) = f
C 2 [ 0, A]
+ f '' ( x )
olup, f konveks oldu undan ve normun tanımından g 2 '' ( x ) ≥ 0 dır.O halde g 2 konvekstir. E
3.16 dan
f ( x) =
f
C 2 [0, A]
2
(x
2
+ 2 x ) − g1 ( x )
yazılabilir. (ii) den her n, p > 0 için
Ln ( g i ; x ) − Ln + p ( g i ; x ) ≥ 0,
i = 1, 2
oldu u bilinmektedir. Ayrıca
Ln ( f ; x ) =
Ln + p ( f ; x ) =
f
C 2 [0, A]
f
{L ( e ; x ) + 2 L ( e ; x )} − L ( g ; x )
n
2
C 2 [0, A]
2
2
n
1
n
1
{L ( e ; x ) + 2L ( e ; x )} − L ( g ; x )
n+ p
n+ p
2
n+ p
1
1
oldu undan
f
Ln ( f ; x ) − Ln + p ( f ; x ) =
{L ( e ; x ) − L ( e ; x ) + 2 ( L ( e ; x )
( e ; x ) )} − L ( g ; x ) + L ( g ; x )
C 2 [ 0, A]
2
− Ln + p
n
1
n+ p
2
n
1
2
n
n+ p
1
1
(3.18)
22
bulunur. E 3.18 de üçgen e itsizli i kullanılır ve x ∈ [ 0, A] için her iki tarafın maksimumu
alınırsa
Ln ( f ) − Ln + p ( f )
f
≤
C [ 0, A ]
2
{ L (e ) − L
+2
( L (e ) − L
C 2 [ 0, A]
n
n
2
1
n+ p
( e2 ) C[0, A]
n+ p
( e1 ) )
+ Ln ( g1 ) − Ln + p ( g1 ) C 0, A
[
C [0 , A ]
}
]
(3.19)
E 3.19 un sa tarafındaki ifadeler E 3.15 ve (i) den sıfıra yakınsar. Bu durumda sıkı tırma
teoreminden ( Ln ( f ) ) operatörler dizisi C [ 0, A] içinde bir Cauchy dizisidir ve dolayısıyla
C [ 0, A]
içinde
lim Ln ( f ) − L∞ ( f )
n →∞
yakınsaktır.
C [ 0, A]
Böylece
herhangi
bir
f ∈ C [ 0, A]
için
= 0 olacak ekilde C [ 0, A] üzerinde tanımlı bir L∞ operatörü
vardır.
Benzer ekilde E 3.17 den
f ( x) = −
f
C 2 [ 0, A]
2
(x
2
+ 2 x ) + g2 ( x )
yazılabilir. Bu durumda da yukarıda verilen ispat geçerlidir.
imdi daha sonra verilecek teoremin ispatında kullanılacak olan bir Lemma a a ıda
verilecektir.
Lemma 3.3.1:
23
α :=
[ n + 1]q
[ n + k + 1]q
ve β :=
q n+1 [ k ]q
(3.20)
[ n + k + 1]q
olsun. Bu durumda
α + β = 1 ve
[ k ]q
[ n + k + 1]q
=α
[ k ]q
[ n + k ]q
+β
[ k − 1]q
[ n + k ]q
e itlikleri sa lanır [Do ru ve Gupta, 2006].
spat:
Negatif olmayan bir tamsayının q-analo undan
[ n + 1]q + q n+1 [ k ]q =
1 − q n+1
1 − qk
+ q n+1
1− q
1− q
=
1 − q n +1 + q n +1 − q n + k +1
1− q
=
1 − q n+k +1
= [ n + k + 1]q
1− q
yazılabilir. Buradan
[ n + 1]q + q n+1 [ k ]q = [ n + k + 1]q
(3.21)
bulunur. E 3.21 de k yerine k-1 yazılırsa
[ n + 1]q + q n+1 [ k − 1]q = [ n + k ]q
(3.22)
24
elde edilir. E 3.22 nin her iki tarafı
[ k ]q
[ n + k ]q [ n + k + 1]q
ile çarpılırsa
q n +1 [ k − 1]q [ k ]q
[ n + 1]q [ k ]q
[ n + k ]q [ k ]q
+
=
[ n + k ]q [ n + k + 1]q [ n + k ]q [ n + k + 1]q [ n + k ]q [ n + k + 1]q
olup, burada E 3.20 kullanılırsa
[ k ]q
[ n + k + 1]q
=α
[ k ]q
[ n + k ]q
+β
[ k − 1]q
[ n + k ]q
e itli i gerçeklenir.
Teorem 3.3.3:
f : [ 0, A] →
+
konveks ve artan bir fonksiyon olsun. Bu durumda q ∈ ( 0,1] ve x ∈ [ 0, A]
için ( M n ( f ; q, x ) ) dizisi n ye göre artmayandır [Do ru ve Gupta, 2006].
spat:
n
M n ( f , q; x ) − M n +1 ( f , q; x ) = ∏ (1 − q x )
s
s =0
n +1
∞
s=0
f
[ n + k ]q
k =0
−∏ (1 − q x )
s
q n [ k ]q
∞
k =0
f
q n +1 [ k ]q
n+k
k
[ n + k + 1]q
xk
q
n + k +1 k
x
k
q
(3.23)
25
ve
n +1
n
n
n
∏ (1 − q x ) = ∏ (1 − q x )(1 − q x ) = ∏ (1 − q x ) − q x∏ (1 − q x )
s =0
s
n +1
s
s =0
n +1
s
s =0
s
(3.24)
s =0
yazılabilir. E 3.24, E 3.23 te yerine yazılırsa
n
M n ( f , q; x ) − M n +1 ( f , q; x ) = ∏ (1 − q x )
s
s =0
n
∞
−∏ (1 − q x )
s=0
+q
f
∞
f
∏ (1 − q x )
= ∏ (1 − q x )
∞
s
s=0
k =0
q n [ k ]q
f
−∏ (1 − q x )
s
s=0
∞
[ n + k + 1]q
q
n + k + 1 k +1
x
k
q
n
q
s =0
n + k +1 k
x
k
q
[ n + k + 1]q
k =1
xk
x k + ∏ (1 − q s x ) f ( 0 )
q n +1 [ k ]q
f
q
q n+1 [ k ]q
n+k
k
[ n + k ]q
k =1
n
f
xk
n + k +1
k
[ n + k + 1]q
∞
s
s=0
n
q n +1 [ k ]q
k =0
n
n+k
k
[ n + k ]q
k =0
s
n +1
q n [ k ]q
n
−∏ (1 − q s x ) f ( 0 )
s=0
n
+ q n +1 ∏ (1 − q s x )
s=0
n
= ∏ (1 − q x )
s
s=0
−f
∞
f
k =1
∞
k =1
q n [ k ]q
[ n + k ]q
q n+1 [ k ]q
[ n + k + 1]q
+ q n +1 f
f
[n + k ]
n+k
k −1
xk
q
n+k
k
n + k +1
k
q n+1 [ k − 1]q
[ n + k ]q
q n+1 [ k − 1]
q
q
n+k
k −1
xk
q
(3.25)
26
elde edilir. q-kombinasyon tanımından
n+k
k
=
q
n+k
k −1
=
q
[ n + 1]q
n + k +1
[ n + k + 1]q
[ k ]q
n + k +1
k
n + k + 1]q
q [
k
q
(3.26)
sa lanır. E 3.26, E 3.25 te kullanılırsa
n
M n ( f , q; x ) − M n +1 ( f , q; x ) = ∏ (1 − q x )
s
s=0
+q
−f
n +1
[ n + 1]q
∞
k =1
[ n + k + 1]q
[ k ]q
[ n + k + 1]q
f
q n +1 [ k ]q
f
[ n + k ]q
q n+1 [ k − 1]q
[ n + k ]q
n + k +1
k
[ n + k + 1]q
q n [ k ]q
xk
(3.27)
q
elde edilir. f artan oldu undan herhangi bir q ∈ ( 0,1] için
f
q n +1 [ k ]q
[ n + k ]q
≤ f
q n [ k ]q
(3.28)
[ n + k ]q
sa lanır. E 3.28, E 3.27 de kullanılırsa
n
M n ( f , q; x ) − M n+1 ( f , q; x ) ≥ ∏ (1 − q x )
s =0
+ q n +1
s
∞
k =1
[ k ]q
[ n + 1]q
[ n + k + 1]q
[ n + k + 1]q
f
f
q n +1 [ k ]q
[ n + k ]q
q n+1 [ k − 1]q
[ n + k ]q
27
−f
yazılabilir. E 3.29 da x1 =
q n+1 [ k ]q
[ n + k ]q
q n +1 [ k ]q
[ n + k + 1]q
, x2 =
n + k +1
k
q n+1 [ k − 1]q
[ n + k ]q
xk
(3.29)
q
, α :=
[ n + 1]q
[ n + k + 1]q
ve β :=
q n+1 [ k ]q
[ n + k + 1]q
alınırsa Lemma 3.3.1 den
n
∞
s =0
k =1
M n ( f , q; x ) − M n +1 ( f , q; x ) ≥ ∏ (1 − q s x )
×
{α f ( x ) + β f ( x ) − f (α x + β x )}
1
2
1
2
n + k +1 k
x
k
q
elde edilir. Seçilen α , β , x1 ve x2 için Lemma 3.3.1 gerçeklenir ve f konveks oldu undan
α f ( x1 ) + β f ( x2 ) − f (α x1 + β x2 ) ≥ 0
(3.30)
sa lanır. E 3.30 dan
M n ( f , q; x ) − M n+1 ( f , q; x ) ≥ 0
olup, buradan ( M n ( f ; q, x ) ) dizisi n ye göre artmayandır.
Teorem 3.3.4:
0 < qn ≤ 1 olmak üzere ( qn ) dizisi E 3.14 ü sa lasın. Bu durumda her f ∈ C [ 0, A] için
lim M n ( f ) − M ∞ ( f )
n →∞
C [0, A]
=0
dır [Do ru ve Gupta, 2006].
28
spat:
Lemma 3.2.1 (i), (ii) ve (iii) den
( M ( e ; q , x ))
n
2
n
( M ( e ; q , x ))
n
1
n
dizisinin M ∞ ( e1 ;1, x ) = xb ye ve
dizisinin M ∞ ( e2 ;1, x ) = x 2b 2 ye C [ 0, A] içinde yakınsaklı ı elde edilir.
Buradan Teorem 3.3.2 (i) gerçeklenir. Buna ek olarak Teorem 3.3.3 ten Teorem 3.3.2 (ii)
gerçeklenir. Böylece Teorem 3.3.2 den ispat tamamlanır.
3.4. q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakınsama Hızı
Bu kısımda E 3.1 de verilen q-Meyer-König ve Zeller tipli operatörlerin yakla ım hızları
süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla incelenecektir.
Teorem 3.4.1:
Her n ∈
için 0 < qn ≤ 1 olacak ekilde ( qn ) E 3.12 yi gerçekleyen bir dizi olsun. Bu
durumda her f ∈ C [ 0, A] için
M n ( f ; qn ) − f
C [0, A]
≤ 2ω ( f , δ n )
gerçeklenir. Burada
1
δ n = (1 − q
)
n 2
n
q2n A
A2 + n
[ n ]q
2
n
dır [Do ru ve Duman, 2006].
(3.31)
29
spat:
f ∈ C [ 0, A] olsun. Her n ∈
ve x ∈ [ 0, A] için Lemma 3.2.1 (i) den
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) = M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) M n (1; qn , x )
= M n ( f ( t ) − f ( x ) ; qn , x )
= un, qn ( x )
∞
qnn [ k ]q
f
n
[ n + k ]q
k =0
− f ( x)
n
n+k
xk
k
qn
olup, üçgen e itsizli inden
∞
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ un ,qn ( x )
k =0
f
qnn [ k ]q
− f ( x)
n
[ n + k ]q
n
n+k
k
xk
(3.32)
qn
elde edilir ve E 3.32 den
(
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ M n f ( t ) − f ( x ) ; qn , x
)
bulunur. Bu durumda Lemma 2.1 (vii) den
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ M n
t−x
δ
+ 1 ω ( f , δ ) ; qn , x
(3.33)
dir. E 3.33 te q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin lineerli i kullanılırsa
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ ω ( f , δ )
1
δ
M n ( t − x ; qn , x ) + M n (1; qn , x )
yazılır. E 3.34 te Lemma 3.2.1 (i) kullanılırsa
(3.34)
30
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ ω ( f , δ )
1
M n ( t − x ; qn , x ) + 1
δ
(3.35)
elde edilir. Di er yandan
M n ( t − x ; qn , x ) = un,qn ( x )
=
qnn [ k ]q
∞
k =0
[ n + k ]q
n
qnn [ k ]q
∞
n+k
k
−x
n
n
xk
qn
2
x k un,qn ( x )
qn
1
n+k
×
n+k
k
1
2
[ n + k ]q
k =0
−x
n
x un ,qn ( x )
2
k
k
(3.36)
qn
dir. E 3.36 da Cauchy-Schwarz e itsizli i kullanılırsa
M n ( t − x ; qn , x ) ≤
q [ k ]q
n
n
∞
n
[ n + k ]q
k =0
1
2
n+k
k
−x
n
×
∞
k
k =0
x un, qn ( x )
qn
1
n+k
2
k
x un, qn ( x )
2
k
qn
elde edilir ve buradan Lemma 3.2.1 (i) den
{ (
M n ( t − x ; qn , x ) ≤ M n ( t − x ) ; qn , x
{ (
2
= M n ( t − x ) ; qn , x
2
)}
1
)}
1
bulunur. E 3.37, E 3.35 te kullanılırsa
2
{M (1; q , x )}
n
2
n
1
2
(3.37)
31
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ ω ( f , δ )
{ (
δ
1
M n ( t − x ) ; qn , x
2
)}
1
2
+1
(3.38)
olup, E 3.38 de q- Meyer-König ve Zeller operatörünün lineerli i ve Lemma 3.2.1 (i), (ii) ve
(iii) kullanılırsa
1
M n ( f ( t ) ; qn , x ) − f ( x ) ≤ ω ( f , δ )
qn2 n x
2 n +1
2
n
−
2
+
1
+
q
q
x
(n
) [ n]
n
δ
q
1
2
+1
(3.39)
n
bulunur. E 3.39 da x ∈ [ 0, A] için maksimum alınırsa
1
M n ( f ; qn ,.) − f
C [ 0, A]
≤ ω ( f ,δ )
1
δ
(q
2 n +1
n
2n
n
q A
− 2qn + 1) A +
[ n]q
n
2
2
+1
n
(3.40)
elde edilir. 0 < qn ≤ 1 oldu undan
qn2 n +1 − 2qnn + 1 < ( qnn − 1)
2
sa lanır. Bu e itsizlik E 3.40 da kullanılıp δ = δ n seçilirse
1
M n ( f ; qn , x ) − f
C [ 0, A]
≤ ω ( f ,δn )
qn2 n A
1
n
2
q
−
1
A
+
(n )
δn
[ n ]q
2
n
elde edilir. Burada E 3.31 kullanılırsa
M n ( f ; qn ,.) − f
C [0, A]
≤ 2ω ( f , δ )
2
+1
32
sonucu elde edilir.
Teorem 3.4.2:
Her n ∈
için 0 ≤ qn < 1 olmak üzere, ( qn ) dizisi E 3.12 yi gerçeklesin ve f ∈ LipM (α )
olsun. Bu durumda
M n ( f , qn ,.) − f
C [ 0, A]
≤ M δ nα
gerçeklenir. Burada δ n , E 3.31 de verildi i gibidir [Do ru ve Duman, 2006].
spat:
Lemma 3.2.1 (i) den
M n ( f , qn , x ) − f ( x ) = un ,qn ( x )
≤ un ,qn ( x )
∞
f
k =0
∞
q n [ k ]q
− f ( x)
n
[ n + k ]q
n+k
k
n
f
k =0
q n [ k ]q
− f ( x)
n
[ n + k ]q
n
n+k
k
xk
qn
xk
(3.41)
qn
bulunur. E 3.41 de f ∈ LipM (α ) oldu u kullanılırsa
M n ( f , qn , x ) − f ( x ) ≤ Mun ,qn ( x )
∞
α
qn n [ k ]q
n
k =0 [ n + k ]q
n
elde edilir.
Pn ,k ,qn ( x ) := un ,qn ( x )
n+k
k
xk
−x
n+k
k
xk
qn
(3.42)
33
olsun.
α
qn n [ k ]q
n
[ n + k ]q
− x Pn ,k ,qn ( x ) =
n
qn n [ k ]q
α
2
n
[ n + k ]q
Pn ,k ,qn ( x )
−x
2
2 −α
{P ( x )}
2
n , k , qn
n
e itli i göz önüne alınıp E 3.42 de p =
2
α
ve q =
2
olacak ekilde Hölder e itsizli i ve
2 −α
Lemma 3.2.1 (i), (ii) ve (iii) kullanılırsa,
M n ( f , qn , x ) − f ( x ) ≤ M
=M
∞
qn n [ k ]q
n
k =0
∞
[ n + k ]q
Pn , k ,qn ( x )
−x
qn n [ k ]q
[ n + k ]q
∞
k =0
α
2
2 −α
Pn ,k ,qn ( x )
2
2
Pn ,k ,qn ( x )
−x
n
α
≤M
2
n
n
k =0
α
2
(1 − q )
n 2
n
q 2n x
x2 + n
[ n]q
2
(3.43)
n
bulunur. E 3.43 te E 3.31 deki δ n göz önüne alınıp, x ∈ [ 0, A] için maksimum alınırsa
M n ( f , qn ,.) − f
bulunur.
C [ 0, A]
≤ M δ nα
34
4. K DE
KENL q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER
Bu bölümde E 3.1 de verilen q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin iki de i kenli bir
genelle tirmesi verilerek, bu operatörlerin Korovkin tipli yakla ım özellikleri incelenecektir.
4.1. ki De i kenli q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Olu turulması
Bu kısımda E 3.1 ile verilen operatörlerin iki de i kenli bir genelle tirmesi Barbosu nun
tekni inden yararlanılarak a a ıdaki ekilde in a edilecektir [Barbosu, 2000].
Tanım 4.1.1:
I 2 = [ 0, A] × [ 0, A] = [ 0, A]
2
olsun.
f ∈ C ( I 2 ) ve 0 < q1 , q2 ≤ 1 için E
3.1 ile verilen
operatörlerin iki de i kenli ifadesi
M n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = un1 ,q1 ( x ) un2 ,q2 ( y )
∞
∞
k1 = 0 k2 = 0
f
q1n1 [ k1 ]q
1
,
q2n2 [ k2 ]q
2
[ n1 + k1 ]q [ n2 + k2 ]q
1
2
n1 + k1
k1
q1
35
n2 + k2
×
k2
x k1 y k2
(4.1)
q2
n1
n2
s1 = 0
s2 = 0
eklinde tanımlanır. Burada un1 ,q1 ( x ) = ∏ (1 − q1s1 x ) ve un2 ,q2 ( y ) = ∏ (1 − q2s2 y ) dir [Do ru ve
Gupta, 2006].
E 4.1 de verilen operatörlerin lineer ve pozitif oldu u açıktır.
q1 = q2 = 1 alınırsa klasik Meyer-König ve Zeller operatörlerinin Stancu tipli genelle tirmesi
[Stancu, 1972] elde edilir.
imdi, daha sonra verilecek teoremlerin ispatında kullanılacak olan a a ıdaki Lemma verilsin.
Lemma 4.1.1:
(
)
( f ; q , x, y ) )
(i) M n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = M n1 x M n2 y ( f ; q2 , x, y ) ,
(
(ii) M n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = M n2 y M n1 x
1
dir. Burada
M n1
x
( f ; q1 , x, y ) = un ,q ( x )
1
1
∞
f
k1 = 0
q1n1 [ k1 ]q
1
[ n1 + k1 ]q
n1 + k1
k1
,y
1
x k1
(4.2)
q1
ve
M n2 y ( f ; q2 , x, y ) = un2 ,q2 ( y )
∞
k2 = 0
f x,
q2n2 [ k2 ]q
2
[ n2 + k2 ]q
2
n2 + k2
k2
y k2
q2
(4.3)
36
eklinde tanımlıdır [Do ru ve Gupta, 2006].
spat:
(i) M n1
x
( M ( f ; q , x, y ) ) = M
y
n2
2
un2 ,q2 ( y )
x
n1
∞
f x,
k2 = 0
q2n2 [ k2 ]q
n2 + k2
k2
2
[ n2 + k2 ]q
2
y k2
q2
olup, burada M n1 x in lineerli i kullanılırsa
M n1
x
( M ( f ; q , x, y ) ) = u ( y )
y
2
n2
n2 , q2
∞
k2 = 0
M n1
x
f x,
q2n2 [ k2 ]q
; q1 , x, y
2
[ n2 + k2 ]q
2
n2 + k2
k2
y k2
q2
(4.4)
elde edilir. E 4.4 ve E 4.2 birlikte dü ünülürse
M n1
x
( M ( f ; q , x, y ) ) = u ( y )
y
n2
2
n2 , q2
×
∞
k2 = 0
un1 ,q1 ( x )
n1 + k1
k1
f
k1 = 0
∞
n2 + k2
k1
k2
(ii), (i) deki ispata benzer ekilde verilir.
2
[ n1 + k1 ]q [ n2 + k2 ]q
2
y k2
q2
q1n1 [ k1 ]q
f
1
,
q2n2 [ k2 ]q
2
[ n1 + k1 ]q [ n2 + k2 ]q
k1 = 0 k2 = 0
n1 + k1
sonucu elde edilir.
q2n2 [ k2 ]q
1
∞
= M n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y )
,
1
k2
q1
q1
q1n1 [ k1 ]q
n2 + k2
x k1
= un1 ,q1 ( x ) un2 ,q2 ( y )
×
∞
1
x k1 y k2
q2
2
37
4.2. ki De i kenli q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
Bu kısımda, E 4.1 ile verilen iki de i kenli q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin
yakla ımı hem Do ru ve Gupta tarafından verilen Heping tipli bir Korovkin teoremi [Do ru
ve Gupta, 2006] hem de Volkov [Volkov, 1957] tarafından verilen iki de i kenli fonksiyonlar
için Korovkin teoremi yardımıyla incelenecektir.
Öncelikle, iki de i kenli q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin yakla ım özellikleri
incelenirken, gerekli olan Tanım ve Lemmalar verilecektir.
Tanım 4.2.1:
I 2 = [ 0, A] × [ 0, A] = [ 0, A] olmak üzere C ( I 2 ) , I 2 üzerinde tanımlı reel de erli sürekli
2
fonksiyonlar uzayı olsun. C ( I 2 )
f C ( I 2 ) = max2 f ( x, y )
( x , y )∈I
normu ile bir Banach uzayıdır.
Tanım 4.2.2:
( f ) , C ( I ) üzerinde bir fonksiyon dizisi olmak üzere
2
n,m
lim f n,m − f
n , m →∞
( )
C I2
= lim max2 f n ,m ( x, y ) − f ( x, y ) = 0
n , m →∞ ( x , y )∈I
38
ko ulu sa lanıyorsa, ( f n,m ) fonksiyon dizisi I 2 üzerinde f ye düzgün yakınsaktır denir ve bu
durum f n ,m
f ile gösterilir.
Lemma 4.2.1:
eij : I 2 → I , eij ( t , s ) = t i s j iki boyutlu test fonksiyonları olmak üzere E 4.1 de tanımlanan
operatör için a a ıdaki sonuçlar gerçeklenir [Do ru ve Gupta, 2006].
(i) M n1 ,n2 ( e00 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) = 1
(ii) M n1 ,n2 ( e10 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) = q1n1 x
(iii) M n1 ,n2 ( e01 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) = q2n2 y
q12 n1 x
x +
[ n1 ]q
(iv) q x ≤ M n1 ,n2 ( e20 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) ≤ q
2 n1
1
2 n1 +1 2
1
2
1
(v) q22 n2 y 2 ≤ M n1 ,n2 ( e02 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) ≤ q22 n2 +1 y 2 +
q22 n2 y
[ n2 ]q
2
spat:
(i) e00 = t 0 s 0 = 1 için Lemma 4.1.1 (i) den
(
M n1 ,n2 (1; q1 , q2 , x, y ) = M n1 x M n2 y (1; q2 , x, y )
= M n1 x un2 ,q2 ( y )
∞
k2 = 0
)
n2 + k2
k2
y k2
q2
yazılabilir. M n1 x in lineerli inden
M n1 ,n2 (1; q1 , q2 , x, y ) = un2 ,q2 ( y )
∞
k2 = 0
M n1 x (1; q1 , x, y )
n2 + k2
k2
y k2
q2
39
= M n1 x (1; q1 , x, y ) un2 ,q2 ( y )
= un1 ,q1 ( x )
∞
n1 + k1
k1 = 0
k1
∞
n2 + k2
k2 = 0
k2
x k1 un2 , q2 ( y )
q1
y k2
q2
∞
n2 + k2
k2 = 0
k2
y k2
q2
ve Lemma 3.2.1 (i) den
M n1 ,n2 (1; q1 , q2 , x, y ) = 1
sonucu elde edilir.
(ii) e10 = t1 s 0 = t için Lemma 4.1.1 (ii) den
(
M n1 ,n2 ( e10 ; q1 , q2 , x, y ) = M n2 y M n1 x ( e10 ; q1 , x, y )
= M n2
y
un1 ,q1 ( x )
∞
)
q1n1 [ k1 ]q
n1 + k1
k1
1
k1 = 0
[ n1 + k1 ]q
1
x k1
q1
yazılabilir. M n2 y in lineerli inden
M n1 ,n2 ( e10 ; q1 , q2 , x, y ) = un1 ,q1 ( x )
∞
k1 = 0
M n2 (1; q2 , x, y )
y
= M n2 (1; q2 , x, y ) un1 ,q1 ( x )
= un2 ,q2 ( y )
ve Lemma 3.2.1 (i) ve (ii) den
k2 = 0
n1 + k1
1
[ n1 + k1 ]q
k1
1
n2 + k2
k2
[ n1 + k1 ]q
k1 = 0
k2
q1n1 [ k1 ]q
1
k = 0 [ n1 + k1 ]q
1
q1
k1
1
∞
x k1
n1 + k1
1
y
q2
q1n1 [ k1 ]q
∞
y
∞
q1n1 [ k1 ]q
1
x k1
q1
n1 + k1
k1
x k1
q1
40
M n1 ,n2 ( e10 ; q1 , q2 , x, y ) = q1n1 x
sonucu elde edilir.
(iii) e01 = t 0 s1 = s için Lemma 4.1.1 (i) den
(
M n1 ,n2 ( e01 ; q1 , q2 , x, y ) = M n1 x M n2 y ( e01 ; q2 , x, y )
= M n1
un2 ,q2 ( y )
x
∞
)
q2n2 [ k2 ]q
2
k2 = 0
[ n2 + k2 ]q
2
n2 + k2
k2
y k2
q2
yazılabilir. M n1 x in lineerli inden
M n1 ,n2 ( e01 ; q1 , q2 , x, y ) = un2 , q2 ( y )
∞
k2 = 0
M n1 (1; q1 , x, y )
x
q2n2 [ k2 ]q
n2 + k2
2
[ n2 + k2 ]q
k2
2
= M n1 (1; q1 , x, y ) un2 ,q2 ( y )
x
∞
q2n2 [ k2 ]q
2
= un1 ,q1 ( x )
∞
k1 = 0
n1 + k1
k1
x un2 ,q2 ( y )
k1
q1
ve Lemma 3.2.1 (i) ve (ii) den
M n1 ,n2 ( e01 ; q1 , q2 , x, y ) = q2n2 y
sonucu elde edilir.
(iv) e20 = t 2 s 0 = t 2 için Lemma 4.1.1 (ii) den
(
M n1 ,n2 ( e20 ; q1 , q2 , x, y ) = M n2 y M n1 x ( e20 ; q1 , x, y )
)
∞
q2
n2 + k2
2
k2 = 0 [ n2 + k2 ]q
y k2
k2
q2
q2n2 [ k2 ]q
2
k2 = 0
y k2
[ n2 + k2 ]q
2
n2 + k2
k2
y k2
q2
41
= M n2
un1 ,q1 ( x )
y
∞
q12 n1 [ k1 ]q
2
[ n1 + k1 ]q
2
n1 + k1
1
k1 = 0
x k1
k1
1
q1
yazılabilir. M n2 y in lineerli inden
M n1 ,n2 ( e20 ; q1 , q2 , x, y ) = un1 ,q1 ( x )
∞
k1 = 0
M n2 (1; q2 , x, y )
y
= M n2 (1; q2 , x, y ) un1 ,q1 ( x )
= un2 , q2 ( y )
k2 = 0
2
[ n1 + k1 ]q
2
q12 n1 [ k1 ]q
2
[ n1 + k1 ]q
2
1
1
∞
y
∞
q12 n1 [ k1 ]q
n2 + k2
k2
1
k1 = 0
1
y un1 ,q1 ( x )
k2
q2
∞
n1 + k1
k1
2
[ n1 + k1 ]q
2
k1 = 0
1
sonucu elde edilir.
(v) e02 = t 0 s 2 = s 2 için Lemma 4.1.1 (i) den
= M n1
x
un2 ,q2 ( y )
yazılabilir. M n1 x in lineerli inden
∞
)
q22 n2 [ k2 ]q
2
[ n2 + k2 ]q
2
2
k2 = 0
2
q1
1
1
(
x k1
q12 n1 [ k1 ]q
q12 n1 x
[ n1 ]q
M n1 ,n2 ( e02 ; q1 , q2 , x, y ) = M n1 x M n2 y ( e02 ; q2 , x, y )
q1
n1 + k1
k1
ve Lemma 3.2.1 (i) ve (iii) den
q12 n1 x 2 ≤ M n1 , n2 ( e20 ; q1 , q2 , x, y ) ≤ q12 n1 +1 x 2 +
x k1
n2 + k2
k2
y k2
q2
n1 + k1
k1
x k1
q1
42
= un2 ,q2 ( y )
∞
k2 = 0
M n1 (1; q1 , x, y )
x
= M n1 (1; q1 , x, y ) un2 , q2 ( y )
= un1 ,q1 ( x )
k1 = 0
2
n2 + k2
k2
2
[ kn2 + k2 ]q
2
2
∞
x
∞
q22 n2 [ k2 ]q
n1 + k1
k1
q22 n2 [ k2 ]q
2
[ n2 + k2 ]q
2
2
k2 = 0
2
x un2 , q2 ( y )
k1
q1
∞
n2 + k2
k2
q22 n2 [ k2 ]q
2
[ n2 + k2 ]q
2
2
k2 = 0
2
y k2
q2
y k2
q2
n2 + k2
k2
y k2
q2
ve Lemma 3.2.1 (i) ve (iii) den
q22 n2 y 2 ≤ M n1 ,n2 ( e02 ; q1 , q2 , x, y ) ≤ q22 n2 +1 y 2 +
q22 n2 y
[ n2 ]q
2
sonucu elde edilir.
imdi Volkov [Volkov, 1957] tarafından verilen iki de i kenli fonksiyonlar için Korovkin
teoremi verilecektir.
Teorem 4.2.1(Volkov Teoremi):
D,
2
de kapalı ve sınırlı bir bölge, C ( D ) , bu D bölgesinde tanımlı sürekli ve reel de erli f
fonksiyonların kümesi ve Ln,m ( f ( t , s ) ; x, y ) , C ( D ) üzerinde tanımlı bir lineer pozitif
operatörler
dizisi
olsun.
f 0 = e00 ( t , s ) = 1 ,
f1 = e10 ( t , s ) = t ,
f 2 = e01 ( t , s ) = s
f 3 = e20 ( t , s ) + e02 ( t , s ) = t 2 + s 2 olmak üzere ( Ln,m ) lineer pozitif operatörler dizisi
Ln,m ( fi )
fi ,
i = 0,1, 2,3
( n, m → ∞ )
ko ullarını sa lıyorsa bu durumda her f ∈ C ( D ) için D üzerinde
ve
43
Ln,m ( f )
( n, m → ∞ )
f,
gerçeklenir [Volkov, 1957].
Teorem 4.2.1 den yararlanarak a a ıdaki sonuç verilebilir.
Teorem 4.2.2:
( )
(
)
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 olmak üzere q1,n1 ve q2,n2 dizileri,
lim q1,n1n1 = 1
n1 →∞
,
lim
n1 →∞
1
=0
[ n1 ]q
1,n1
n2
2, n2
lim q
n2 →∞
=1
,
lim
n2 →∞
1
[ n2 ]q
(4.5)
=0
1,n2
(
(
ko ullarını gerçekliyorsa, her f ∈ C ( I 2 ) için M n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2, n2 , x, y
)) operatörler dizisi I
üzerinde f ( x, y ) ye düzgün yakınsaktır [Do ru ve Gupta, 2006].
spat:
E 4.1 de verilen operatörlerin lineerli i ve Lemma 4.2.1 deki (iv) ve (v) den
(
)
(
q1,2nn11 x 2 + q2,2 nn22 y 2 ≤ M n1 ,n2 e20 ; q1,n1 , q2, n2 , x, y + M n1 ,n2 e02 ; q1,n1 , q2,n2 , x, y
)
2
44
2 n1 +1 2
1, n1
≤q
x +q
2 n2 +1
2, n2
y +
2
q1,2 nn11 x
[ n1 ]q
1,n1
+
q2,2 nn22 y
[ n2 ]q
2,n2
bulunur. n1 → ∞ ve n2 → ∞ için limit alınır ve E 4.5 kullanılırsa, sıkı tırma teoreminden
(
M n1 ,n2 e20 + e02 ; q1,n1 , q2,n2 , x, y
)
x2 + y2
elde edilir.
Lemma 4.2.1 (i), (ii) ve (iii) den n1 → ∞ ve n2 → ∞ için limit alınır ve E 4.5 kullanılırsa
M n1 ,n2 ( e00 ; q1 , q2 , x, y )
1
M n1 , n2 ( e10 ; q1 , q 2 , x , y )
M n1 ,n2 ( e01 ; q1 , q2 , x, y )
x
y
elde edilir. Böylece Teorem 4.2.1 in hipotezleri gerçeklenir. Bu da ispatı tamamlar.
Teorem 3.3.2, Teorem 3.3.4 ve Teorem 4.2.2 yardımıyla a a ıdaki yakla ım sonucu
verilebilir.
Sonuç 4.2.1:
( )
(
)
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 olmak üzere q1,n1 ve q2,n2 dizileri,
lim q1,n1n1 = c1 < 1,
n1 →∞
lim q2,n2n2 = c2 < 1,
n2 →∞
lim q1,n1 = 1
n1 →∞
lim q2,n2 = 1
n2 →∞
ko ullarını sa lasın. Bu durumda her f ∈ C ( I 2 ) için
45
lim M n1 ,n2 ( f ) − M ∞ ,∞ ( f )
n →∞
( )
C I2
= 0,
( n1 , n2 → ∞ )
dır [Do ru ve Gupta, 2006].
4.3. ki De i kenli q-Meyer-König ve Zeller Operatörlerinin Yakınsama Hızı
Bu kısım da E 4.1 ile verilen operatörlerin yakla ım hızları iki de i kenli fonksiyonlar için
verilen süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla incelenecektir.
Tanım 4.3.1:
δ1 > 0 , δ 2 > 0 ve f ∈ C ( I 2 ) olmak üzere, iki de i kenli fonksiyonlar için süreklilik modülü
ω ( f ; δ1 , δ 2 ) = sup { f ( t , s ) − f ( x, y ) : ( t , s ) , ( x, y ) ∈ I 2 , t − x ≤ δ1 , s − y ≤ δ 2 }
eklinde tanımlanır.
E er f ∈ C ( I 2 ) ise, bu durumda
δ1 → 0 ve δ 2 → 0 için ω ( f , δ1 , δ 2 ) → 0
oldu u açıktır. Ayrıca ω ( f ; δ1 , δ 2 ) nin monotonlu undan
f ( t , s ) − f ( x, y ) ≤ ω ( f ; t − x , s − y )
46
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
t−x
δ1
s− y
+1
δ2
+1
(4.6)
yazılabilir [Stancu, 1972], [Barbosu, 2000].
Teorem 4.3.1:
( )
(
)
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 olmak üzere q1,n1 ve q2,n2 dizileri E 4.5 i gerçeklesin. Bu durumda
(
)
M n1 ,n2 f ; q1, n1 , q2,n2 ,. − f
( )
C I2
(
≤ 4ω f ; δ1,n1 , δ 2, n2
)
gerçeklenir. Burada
δ1,n = (1 − q
n1
1, n1
1
)
2
A +
2
2 n1
1, n1
Aq
[ n1 ]q
1
2
(1 − q )
ve δ 2,n2 =
n2
2, n2
2
1,n1
A +
2
Aq
2 n2
2, n2
1
2
(4.7)
[ n2 ]q
2,n2
dir [Do ru ve Gupta, 2006].
spat:
( x, y ) ∈ I 2
(
için M n1 ,n2 nin lineerli inden
)
(
M n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y ) = M n1 ,n2 f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q1,n1 , q2,n2 , x, y
)
(4.8)
yazılabilir. E 4.8 de Lemma 4.1.1 (i) kullanılırsa
(
)
(
(
M n1 ,n2 f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q1,n1 , q2,n2 , x, y = M n1 x M n2 y f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q2, n2 , x, y
))
47
= M n1
x
( y)
un2 ,q2 ,n
2
∞
f x,
k2 = 0
q2,n2n2 [ k2 ]q
− f ( x, y )
2 ,n2
[ n2 + k2 ]q
n2 + k2
2 ,n2
k2
y k2
q2,n2
(4.9)
elde edilir. E 4.9 da M n1 x in lineerli i, Lemma 4.1.1 (ii) ve üçgen e itsizli i kullanılırsa
(
M n1 , n2 f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q1, n1 , q2, n2 , x, y
= un2 ,q2,n
2
= un2 ,q2,n
2
×
( y)
( y)
∞
k2 = 0
∞
k2 = 0
n2 + k2
k2
×
= M n1 ,n2
q2,n2n2 [ k2 ]q
− f ( x, y ) ; q1,n1 , x, y
2,n2
[ n2 + k2 ]q
2,n2
1
∞
q1,n1n1 [ k1 ]q
f
1,n1
[ n1 + k1 ]q
k1 = 0
,
1,n1
q2,n2n2 [ k2 ]q
[ n2 + k2 ]q
2,n2
− f ( x, y )
2,n2
n2 + k2
y k2
k2
q2,n2
n1 + k1
k1
x k1
q1,n1
y k2
q2 ,n2
2
n2 + k2
k2
f x,
un1 ,q1,n ( x )
≤ un1 , q1,n ( x ) un2 , q2 ,n
1
M n1
x
)
( y)
∞
∞
q1,n1n1 [ k1 ]q
f
1,n1
[ n1 + k1 ]q
k1 = 0 k2 = 0
1,n1
,
q2,n2n2 [ k2 ]q
− f ( x, y )
2 ,n2
[ n2 + k2 ]q
2 ,n2
n1 + k1
k1
q1,n1
x k1 y k2
q2,n2
( f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q
1, n1
, q2,n2 , x, y
)
(4.10)
elde edilir. E 4.10 da E 4.6, M n1 ,n2 nin monotonlu u ve lineerli i, Lemma 4.1.1 (i), (ii), E
4.2 ve E 4.3.kullanılırsa
M n1 ,n2
( f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q
1, n1
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
1
δ1δ 2
, q2,n2 , x, y
(
)
M n1 ,n2 t − x s − y ; q1,n1 , q2,n2 , x, y
)
48
+
1
δ1
(
= ω ( f ; δ1 , δ 2 )
+
1
δ1
+
+
δ1
1
δ2
1
δ1δ 2
(
1
(
))
(
M n2
M n1
δ1δ 2
y
M n1
x
un2 ,q2,n
2
un1 ,q1,n ( x )
1
x
)
M n1 x M n2 y t − x s − y ; q2,n2 , x, y
(
1
(
M n1 , n2 s − y ; q1,n1 q2,n2 , x, y + 1
δ2
un2 ,q2,n
2
q2,n2n2 [ k2 ]q
t−x
[ n2 + k2 ]q
n1 + k1
−x
k1
1,n1
q2,n2n2 [ k2 ]q
−y
2 ,n2
k2 = 0
n2 + k2
k2
2,n2
[ n1 + k1 ]q
∞
−y
2,n2
k2 = 0
1,n1
k1 = 0
))
(
M n1 x M n2 y s − y ; q2,n2 , x, y + 1
δ2
q1,n1n1 [ k1 ]q
∞
( y)
( y)
∞
))
(
1
M n2 y M n1 x t − x ; q1, n1 , x, y +
= ω ( f ; δ1 , δ 2 )
1
)
M n1 ,n2 t − x ; q1,n1 , q2,n2 , x, y +
[ n2 + k2 ]q
q2,n2
x k1
q1,n1
n2 + k2
y k2 + 1
k2
2 ,n2
y k2
q2,n2
bulunur. Burada M n1 x ve M n2 y nin lineerli i ve E 4.2 den
M n1 ,n2
( f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q
1, n1
, q2,n2 , x, y
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
×un2 ,q2,n
2
+
+
1
δ1
1
δ2
( y)
1
δ1δ 2
1
un2 ,q2,n
2
un1 ,q1,n ( x )
1
q2,n2n2 [ k2 ]q
∞
2,n2
k2 = 0
un1 ,q1,n ( x )
)
[ n2 + k2 ]q
1,n1
k1 = 0
[ n1 + k1 ]q
n2 + k2
−y
q1,n1n1 [ k1 ]q
k2
−x
1,n1
k1 = 0
[ n1 + k1 ]q
∞
k2 = 0
2,n2
[ n2 + k2 ]q
2,n2
−y
n1 + k1
k1
x k1
q1,n1
y k2
q2 ,n2
n1 + k1
1,n1
q2,n2n2 [ k2 ]q
−x
1,n1
2,n2
∞
( y)
q1,n1n1 [ k1 ]q
∞
k1
(
x k1 M n2 y 1; q2,n2 , x, y
q1,n1
n2 + k2
k2
y k2
q2,n2
)
49
(
)
×M n1 x 1; q1, n1 , x, y + 1
(4.11)
elde edilir.
E 4.11 de
Pn1 ,k1 , q1,n ( x ) := un1 ,q1,n ( x )
1
n1 + k1
k1
1
Pn2 , k2 ,q2,n
2
( y ) := un ,q ( y )
2
(
x k1
q1,n1
(4.12)
n2 + k2
y
k2
2,n2
k2
q2,n2
)
(
)
alınıp, M n1 x 1; q1,n1 , x, y = 1 , M n2 y 1; q2, n2 , x, y = 1 , E
4.2, E 4.3 ve Lemma 3.2.1 (i)
kullanılırsa
M n1 ,n2
( f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q
1, n1
, q2,n2 , x, y
)
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
∞
×
k2 = 0
+
1
bulunur.
δ1δ 2
q2,n2n2 [ k2 ]q
δ2
q1,n1n1 [ k1 ]
k1 = 0
[ n1 + k1 ]
2
− x Pn1 , k1 ,q1,n ( x )
q1,n
1
1
q1,n
1
( y)
2,n2
∞
q1,n1n1 [ k1 ]q
1,n1
δ1 k =0 [ n1 + k1 ]q
1
∞
− y Pn2 ,k2 ,q2,n
2,n2
[ n2 + k2 ]q
1
+
1
− x Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
1
1,n1
∞
k2 = 0
q2,n2n2 [ k2 ]q
2,n2
[ n2 + k2 ]q
2,n2
− y Pn2 ,k2 ,q2,n
2
( y ) +1
(4.13)
50
q1,n1n1 [ k1 ]
[ n1 + k1 ]
q1,n
1
q1,n1n1 [ k1 ]
− x Pn1 ,k1 ,q1,n ( x ) =
[ n1 + k1 ]
1
q1,n
1
q2,n2n2 [ k2 ]q
2 ,n2
[ n2 + k2 ]q
− y Pn2 ,k2 ,q2,n
2
{P
1
( x )} 2
1
n1 , k1 , q1,n1
q1,n
1
1
2
−y
2 ,n2
[ n2 + k2 ]q
2 ,n2
2
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
−x
q1,n
1
q2,n2n2 [ k2 ]q
( y) =
1
2
Pn2 ,k2 ,q2,n
2
( y)
2
{P
n2 , k2 , q2,n2
( y )}
1
2
2 ,n2
oldu u göz önüne alınıp E 4.13 te Cauchy-Schwarz e itsizli i kullanılırsa
M n1 ,n2
( f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q
1, n1
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
+
δ1
1
δ2
2
Pn2 , k2 ,q2,n
2
∞
k1 = 0
∞
k2 = 0
( y)
−x
[ n1 + k1 ]q
[ k2 ]q
[ n2 + k2 ]q
q
∞
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
1
n2
2, n2
2,n2
−y
Pn2 ,k2 ,q2,n
2
2
( y)
2,n2
1
2
1,n1
−x
2
q2,n2n2 [ k2 ]q
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
1
k1 = 0
2,n2
1
2
−y
2,n2
Pn2 ,k2 ,q2 ,n
2
( y)
1
∞
1,n1
[ n2 + k2 ]q
1
2
2
q1,n1n1 [ k1 ]q
[ n1 + k1 ]q
2
1,n1
k2 = 0
1
k2 = 0
+
k1 = 0
1
2
1,n1
1
∞
1
δ1δ 2
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
k1 = 0
×
1
)
q1,n1n1 [ k1 ]q
∞
1
∞
×
, q2,n2 , x, y
2
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
2
1
∞
k2 = 0
1
Pn2 ,k2 ,q2 ,n
2
( y)
2
+1]
(4.14)
elde edilir. E 4.14 te Lemma 3.2.1 (i) ve
51
ϕn ,2 ( x ) = M n
1
1
(
) (
( t − x ) ; q1,n1 , x ≤ 1 − q1,n1
2
)
2
x2 +
xq1,2 nn11
[ n1 ]q
1,n1
ϕn ,2 ( y ) = M n
2
2
(( s − y ) ; q
2
2, n2
) (
)
, y ≤ 1 − q2,n2
2
(4.15)
yq2,2 nn22
y +
2
[ n2 ]q
2,n2
kullanılırsa
M n1 ,n2
( f ( t , s ) − f ( x, y ) ; q
1, n1
, q2,n2 , x, y
M ( ( t − x ) ; q , x )} {M ( ( s − y ) ; q
δδ {
1
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
2
n1
= ω ( f ; δ1 , δ 2 )
≤ ω ( f ; δ1 , δ 2 )
1
δ1
1
1, n1
1
δ1δ 2
1
2
+
(1 − q )
1, n1
x +
2
xq1,2 nn11
1
n2
2
+
1
{ϕ ( x )}
δ
1
1
2
[ n1 ]q
1
2
n1 ,2
(1 − q )
2
2, n2
+
y +
2
1,n1
(1 − q )
2
1, n1
x +
2
xq1,2 nn11
[ n1 ]q
1
2
+
1,n1
,y
2
2
n2 ,2
2
2, n2
{M ( ( s − y ) ; q
δ
1
2
n1 ,2
δ1δ 2
2
n2
{ϕ ( x )} {ϕ ( y )}
1
2
1, n1
{M ((t − x ) ; q , x )}
δ
1
1
+
1
2
n1
1 2
+
)
1
δ2
(1 − q )
2, n2
2
2, n2
1
δ2
1
,y
2
)}
1
2
+1
{ϕ ( y )}
1
2
n2 ,2
1
yq2,2 nn22
[ n2 ]q
y +
2
)}
+1
2
2,n2
yq2,2 nn22
[ n2 ]q
1
2
+1
2,n2
(4.16)
bulunur. E 4.8, E 4.16 ifadeleri birlikte dü ünülüp,
( x, y ) ∈ I 2
δ1 = δ1,n ve δ 2 = δ 2,n olacak ekilde E 4.7 deki gibi seçilirse
1
(
2
)
M n1 ,n2 f ( t , s ) ; q1, n1 , q2,n2 − f
( )
C I2
≤ 4ω ( f ; δ1 , δ 2 )
sonucu elde edilir ki, bu da ispatı tamamlar.
Tanım 4.3.2:
için maksimum alınır ve
52
0 < α ≤ 1 olmak üzere iki de i kenli fonksiyonlar için Lipschitz sınıfı
LipM ( f ; α ) = f : f ( t , s ) − f ( x, y ) ≤ M
(t − x ) + ( s − y )
2
α
2
2
, ( t , s ) , ( x, y ) ∈ I 2
eklinde tanımlanır.
Teorem 4.3.2:
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1
olmak
üzere
(q )
( q ) dizileri,
ve
1,n1
2,n2
E
4.5
i
gerçeklesin.
E er f ∈ LipM ( f ; α ) ise, bu durumda
dır. Burada δ1,n1 ve δ 2,n2 , E 4.7 de tanımlandı ı gibidir.
spat:
E 4.10 ve E 4.2 den
(
)
M n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y ) ≤
∞
∞
f
k1 = 0 k2 = 0
q1,n1n1 [ k1 ]q
1,n1
[ n1 + k1 ]q
1,n1
,
q2,n2n2 [ k2 ]q
2,n2
[ n2 + k2 ]q
2,n2
×Pn1 ,k1 ,q1,n ( x ) Pn2 ,k2 ,q2 ,n
1
yazılabilir. E
f
q1,n1n1 [ k1 ]q
1,n1
[ n1 + k1 ]q
4.17 deki e itsizli in sa
,y
− f ( x, y )
2
( y)
(4.17)
tarafındaki mutlak de erli ifadenin içine
terimi eklenip çıkartılıp, elde edilen mutlak de erli ifadede üçgen
1,n1
e itsizli i kullanılırsa
53
(
)
M n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y ) ≤
∞
∞
q1,n1n1 [ k1 ]q
f
,
1,n1
[ n1 + k1 ]q
k1 = 0 k2 = 0
1,n1
q2,n2n2 [ k2 ]q
2,n2
[ n2 + k2 ]q
1
+
∞
k1 = 0 k2 = 0
f
−f
1,n1
[ n1 + k1 ]q
2,n2
×Pn1 ,k1 ,q1,n ( x ) Pn2 ,k2 ,q2,n
∞
q1,n1n1 [ k1 ]q
2
q1,n1n1 [ k1 ]q
,y
1,n1
( y)
, y − f ( x, y ) Pn1 , k1 ,q1,n ( x ) Pn2 ,k2 ,q2,n
1,n1
[ n1 + k1 ]q
1
2
( y)
1,n1
(4.18)
elde edilir. f ∈ LipM ( f , α ) oldu undan E 4.18 den
(
)
M n1 ,n2 f ( t , s ) ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y ) ≤ M
∞
q2,n2n2 [ k2 ]q
∞
2
2,n2
[ n2 + k2 ]q
k1 = 0 k2 = 0
1
+M
2
2
1,n1
[ n1 + k1 ]q
1
(
)
M n1 ,n2 f ( t , s ) ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y )
α
2
−x
1, n1
× Pn1 ,k1 ,q1,n ( x ) Pn2 ,k2 ,q2,n
E 4.19 düzenlenirse
−y
( y)
q1,n1n1 [ k1 ]q
∞
k1 = 0 k2 = 0
bulunur.
2
2,n2
× Pn1 ,k1 ,q1,n ( x ) Pn2 ,k2 ,q2,n
∞
α
2
( y)
(4.19)
54
≤M
∞
k1 = 0
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
1
∞
+M
k2 = 0
Pn2 ,k2 ,q2 ,n
2
q2,n2n2 [ k2 ]q
∞
( y)
2
−y
2,n2
[ n2 + k2 ]q
k2 = 0
α
2
( y)
Pn2 ,k2 ,q2,n
2
2,n2
[ k1 ]q
[ n1 + k1 ]q
n1
1, n1
q
∞
k1 = 0
α
2
1,n1
2
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
−x
1
1, n1
(4.20)
bulunur. E
q=
4.20 de Lemma 3.2.1 (i) kullanılıp
1 1
+ = 1 olacak
p q
ekilde p =
2
seçilirse Hölder e itsizli inden
2 −α
(
)
M n1 ,n2 f ( t , s ) ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y ) ≤
≤M
2 −α
∞
k1 = 0
+M
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
2
1
∞
k2 = 0
2
1,n1
( y)
2
α
2
[ n1 + k1 ]q
k1 = 0
2 −α
Pn2 ,k2 ,q2,n
q1,n1n1 [ k1 ]q
∞
2
Pn1 ,k1 ,q1,n ( x )
−x
1
1,n1
q2,n2n2 [ k2 ]q
∞
2, n2
[ n2 + k2 ]q
k2 =0
α
2
−y
Pn2 ,k2 , q2 ,n
2
2
( y)
2, n2
(4.21)
elde edilir.
E 4.21 de E 4.12, E 4.15 ve Lemma 3.2.1 (i) göz önüne alınırsa
(
)
M n1 ,n2 f ( t , s ) ; q1,n1 , q2,n2 , x, y − f ( x, y )
( ((t − x) ; q , x ))
≤ M M n1
( (
+ M n2
α
2
2
1, n1
( s − y ) ; q2,n2 , y
2
∞
k1 = 0
))
α
2 −α
Pn1 , k1 , q1,n ( x )
2
1
2
∞
k2 = 0
2 −α
Pn2 ,k2 , q2 ,n
2
( y)
2
2
α
ve
55
≤M
(1 − q )
2
1, n1
x +
2
xq1,2 nn11
α
2
+M
[ n1 ]q
1,n1
(1 − q )
2, n2
2
y +
2
yq2,2 nn22
α
2
[ n2 ]q
2,n2
elde edilir. Bu son e itsizlikte ( x, y ) ∈ I 2 için e itsizli in her iki tarafının maksimumu alınır
ve δ1,n1 ve δ 2,n2 E 4.7 de verildi i gibi alınırsa
(
)
M n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
( )
C I2
(
≤ M δ1,n1 α + δ 2,n2 α
)
bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
Uyarı 4.3.1:
( )
(
)
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 olmak üzere q1,n1 ve q2,n2 dizileri, E 4.5 i gerçekledi inden
lim δ1,n1 = 0 ve lim δ 2,n2 = 0 dır. Böylece Teorem 4.3.1 ve Teorem 4.3.2 den f ∈ C ( I 2 ) için
n1 →∞
n2 →∞
(
)
lim M n1 , n2 f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
n1 , n2 →∞
dır.
( )
C I2
=0
56
5. q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER N N GENEL B R A LES
Bu bölümde E 3.1 de verilen operatörlerin genel bir ailesi verilerek, bu operatörlerin
yakla ım özellikleri incelenecektir.
5.1. Ω n Operatörlerinin Olu turulması
Tanım 5.1.1:
n∈
( a (t ))
, t ∈ [ 0,1] ve 0 < an ( t ) ≤ 1 olmak üzere bir
n
fonksiyon dizisi verilsin. Her
n ∈ , q ∈ ( 0,1] ve f ∈ C [ 0,1] için
n
Ωn
(1 − q x )
( f ; q, x ) = ∏
s
s=0
eklinde tanımlanan Ω n
∞
k =0
f
an ( q ) [ k ]q
[ n + k ]q
f (1) ,
operatörleri E
n+k
k
x k , x ∈ [ 0,1) ise
q
(5.1)
x = 1 ise
3.1 de verilen q-Meyer-König ve Zeller
operatörlerinin bir genelle tirmesidir [Özarslan ve Duman, 2008]. Burada an ( q ) = 1 alınırsa
Trif in tanımladı ı q-Meyer-König ve Zeller operatörü elde edilir [Trif, 2000]. an ( q ) = q n
alınması durumunda ise, q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin farklı bir çe idi olan Do ru
ve Duman tarafından tanımlanan E 3.1 de verilen operatörler elde edilir [Do ru ve Duman,
2006]. q = 1 alındı ında ise, bu operatörler E 1.2 de verilen Bernstein operatörlerine
indirgenir [Cheney-Sharma,1964].
57
5.2. Ω n Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
lk olarak, Ω n operatörlerinin yakla ım özellikleri incelenirken kullanılacak olan a a ıdaki
Lemma verilecektir.
Lemma 5.2.1:
i = 0,1, 2 için ei ( x ) = xi test fonksiyonu olmak üzere her x ∈ [ 0,1) ve n ∈
(i) Ωn ( e0 ( t ) ; q, x ) = 1
(ii) Ωn ( e1 ( t ) ; q, x ) = an ( q ) x
(iii) a ( q ) x ≤ Ω n ( e2 ( t ) ; q, x ) ≤ qa ( q ) x +
2
n
2
2
n
2
an2 ( q ) x
[ n]q
dir [Özarslan ve Duman, 2008].
spat:
n
∞
s =0
k =0
(i) Ω n ( e0 ( t ) ; q, x ) = ∏ (1 − q s x )
n+k k
x
k q
olup E 2.9 dan ispat açıktır.
n
∞
s =0
k =0
ii) Ω n ( e1 ( t ) ; q, x ) = ∏ (1 − q s x )
an ( q ) [ k ]q n + k
[ n + k ]q
k
xk
q
için
58
n
∞
s=0
k =1
= ∏ (1 − q s x )
n
= ∏ (1 − q s x )
s=0
an ( q ) [ k ]q
[ n + k ]q ! k
x
[ n + k ]q [ k ]q ![ n ]q !
an ( q ) [ n + k − 1]q ! k −1
x x
[ k − 1]q ![ n ]q !
k =1
∞
n
∞
s=0
k =1
n
∞
s =0
k =0
= an ( q ) x∏ (1 − q s x )
= an ( q ) x∏ (1 − q s x )
n
= an ( q ) x∏ (1 − q s x )
s=0
n + k − 1 k −1
x
k −1 q
n+k k
x
k q
1
n
∏ (1 − xq )
s
s =0
= an ( q ) x
iii) E 3.2 ve E 3.3 ten Lemma 3.2.1 (iii) dekine benzer i lemlerle ispat elde edilir.
imdi Ω n operatörünün tanımında q ∈ ( 0,1] yerine 0 < qn ≤ 1 olmak üzere
lim an ( qn ) = lim qn = 1 ve lim [ n ]q = ∞
(5.2)
olacak ekilde bir ( qn ) dizisi seçilebilir. Gerçekten her t ∈ [ 0,1] ve n ∈
için an ( t ) = t
n →∞
ve qn := 1 −
n →∞
n →∞
n
1
alınırsa, qn ∈ ( 0,1] için an ( qn ) = qn olur.
2n
( qn )
dizisi E 5.2 yi gerçekler.
Böylece q yerine ( qn ) dizisi alınarak ve Lemma 5.2.1 den
lim Ω n ( ei ; qn ,.) − ei
n →∞
C [0,1]
= 0,
i = 0,1, 2
(5.3)
sonucu elde edilir. Bu durumda E 5.3 ve Korovkin teoreminden Ω n operatörleri için
a a ıdaki yakla ım teoremi verilebilir [Özarslan ve Duman, 2008].
59
Teorem 5.2.1:
Her n ∈
için 0 < qn ≤ 1 olmak üzere ( qn ) dizisi E 5.2 yi gerçeklesin. Bu durumda her
f ∈ C [ 0,1] için ( Ω n ( f ; qn ,.) ) dizisi [ 0,1] aralı ında f ye düzgün yakınsaktır [Özarslan ve
Duman, 2008] .
5.3. Ω n Operatörleri çin Korovkin Yakla ımında Temel Bir Sonuç
x ∈ [ 0, A] için Ω n operatöründe q yerine 0 < qn ≤ 1 ve
lim an ( qn ) = d < 1,
n →∞
lim qn = 1
n →∞
olacak ekilde bir ( qn ) dizisi seçilsin.
Bu durumda x ∈ [ 0, A] için Ω n operatörler dizisinin düzgün yakınsaklı ı Teorem 3.3.2 de
Do ru ve Gupta tarafından verilen Heping tipli bir teorem yardımıyla bu kısımda
incelenecektir.
Teorem 5.3.1:
q ∈ ( 0,1] olmak üzere ( an ( q ) ) , ( 0,1] aralı ında azalan bir dizi olsun. E er f : [ 0, A] →
+
konveks ve artan bir fonksiyon ise, bu durumda x ∈ [ 0, A] için ( Ω n ( f ; q, x ) ) dizisi n ye göre
artmayandır.
spat:
60
Teorem 3.3.3 ün ispatında q n yerine an ( q ) alınırsa benzer i lemlerle ispat elde edilir.
imdi Ω n operatörünün yakla ımı Do ru ve Gupta [Do ru ve Gupta, 2006] tarafından
verilen Heping tipli bir teorem yardımıyla verilebilir.
Teorem 5.3.2:
Her n ∈
için qn , an ( qn ) ∈ ( 0,1] olmak üzere ( qn ) ve ( an ( qn ) ) dizileri için
(i) ( an ( qn ) ) azalan bir dizi,
(ii) lim an ( qn ) = d < 1 ve lim qn = 1
n →∞
n →∞
gerçeklensin. Bu durumda her f ∈ C [ 0, A] için
lim Ω n ( f ) − Ω ∞ ( f ) C 0, A = 0
n →∞
[
]
dır.
spat:
Lemma 5.2.1 (i), (ii) ve (iii) den ( Ωn ( e1 ; qn , x ) ) dizisinin Ω∞ ( e1 ;1, x ) = dx e ve ( Ωn ( e2 ; qn , x ) )
dizisinin Ω∞ ( e2 ;1, x ) = d 2 x 2 ye C [ 0, A] içinde yakınsaklı ı elde edilir. Buradan Teorem 3.3.2
(i) sa lanır. Buna ek olarak Teorem 5.3.1 den Teorem 3.3.2 (ii) sa lanır. Böylece Teorem
3.3.2 den ispat tamamlanır.
5.4. Ω n Operatörlerinin Yakınsama Hızı
61
Bu kısımda süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla Ω n
operatörlerinin yakınsama hızını veren teoremler verilecektir. Bu teoremlerin ispatları, Bölüm
3.4 deki teoremlerin ispatlarına benzer oldu undan verilmeyecektir.
Teorem 5.4.1:
x ∈ [ 0,1] olsun. Her n ∈
ve f ∈ C [ 0,1] için,
Ω n ( f ; q, x ) − f ( x ) ≤ 2ω ( f ; δ n ( x, q ) )
sa lanır. Burada
δ n ( x, q ) =
3 − 2an ( q ) − qa ( q ) x +
2
n
2
an2 ( q ) x
1
2
(5.4)
[ n ]q
dır [Özarslan ve Duman, 2008].
Teorem 5.4.2:
x ∈ [ 0,1] olsun. Her n ∈
ve f ∈ LipM (α ) için
Ω n ( f ; q, x ) − f ( x ) ≤ M δ nα ( x, q )
gerçeklenir. Burada δ n ( x, q ) E 5.4 te tanımlandı ı gibidir [Özarslan ve Duman, 2008].
Uyarı 5.4.1:
E 5.2 yi sa layan bir ( qn ) dizisi verilsin. E er Teorem 5.4.1 ve Teorem 5.4.2 de q = qn
alınırsa, bu durumda lim δ n ( x, qn ) = 0 olur. Bu da lim Ω n ( f ; qn , x ) = f ( x ) olmasını garanti
n →∞
n →∞
62
eder. Böylece Teorem 5.4.1 ve Teorem 5.4.2, ( Ωn ( f ; qn , x ) ) operatörler dizisinin f ( x ) e
yakınsama hızını verir [Özarslan ve Duman, 2008].
5.5. Ω n Operatörlerinin r-yinci Basamaktan Genelle tirilmesi
∪ {0} ve f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) olmak üzere C ( r ) [ 0,1] ile r-yinci mertebeden
Bu bölümde, r ∈
türevleri,
[ 0,1]
f ( ),
r
aralı ında sürekli olan reel de erli tüm fonksiyonların uzayı
gösterilecektir.
Tanım 5.5.1:
Kirov ve Popava [Kirov ve Popava, 1993] ya benzer metot ile Ωn ( f ; q, x ) lineer pozitif
operatörlerinin r-yinci basamaktan genelle tirmesi
n
Ω n ,r ( f ; q, x ) = ∏ (1 − q x )
s
s=0
∞
r
f
(i)
k =0 i =0
(ξ ( q ) )
eklinde tanımlanır. Burada ξ n ,k ( q ) :=
n ,k
n+k
k
an ( q ) [ k ]q
[ n + k ]q
( x − ξ ( q )) x
i
n ,k
q
, f ∈ C(
k
i!
r)
[ 0,1] ve
(5.5)
x ∈ [ 0,1) dır.
E er x = 1 ise,
Ωn ,r ( f ; q,1) := f (1)
olarak tanımlanır. q ∈ ( 0,1] ve n ∈
r = 0 alınırsa,
Ωn ,0 ( f ; q, x ) = Ω n ( f ; q, x )
olmak üzere her f ∈ C [ 0,1] ve x ∈ [ 0,1] için E 5.5 te
63
elde edilir.
imdi de Ωn , r ( f ; q, x ) operatörleri için a a ıdaki yakla ım teoremi verilebilir.
Teorem 5.5.1:
n∈
∪ {0} ve x ∈ [ 0,1] olsun. Bu durumda f ( r ) ∈ LipM (α ) olacak ekildeki her
, r∈
f ∈ C ( r ) [ 0,1] için
Ω n , r ( f ; q, x ) − f ( x ) ≤
M α B (α , r )
Ω ( H ; q, x )
( r − 1)!(α + r ) n
dır. Burada her x, t ∈ [ 0,1] için H ( t ) = x − t
α +r
ve B (α , r ) , Beta fonksiyonudur [Özarslan ve
Duman, 2008].
spat:
x = 1 için açıktır. x ∈ [ 0,1) oldu u kabul edilsin. E 5.5 ten
n
f ( x ) − Ω n ,r ( f ; q, x ) = ∏ (1 − q x )
∞
s
s =0
n+k
k
×
f ( x) −
k =0
r
f
(i )
i =0
(ξ ( q ) )
n,k
( x − ξ ( q ))
i
n,k
i!
xk
(5.6)
q
yazılabilir. Taylor integral formülünden
f ( x) =
r
k =0
f(
k)
(β )
k!
( x − β ) 1 1 − t r −1
(x − β ) +
( )
( r − 1)! 0
r
k
f(
r)
( β ) + t ( x − β ) − f (r) ( β )
dt
64
dir. Burada β := ξ n ,k ( q ) dir.
r
f ( x) −
f
(i )
i =0
( x − ξ ( q )) = ( x − ξ ( q ))
i
(ξ n , k ( q ) )
n,k
r
n ,k
( r − 1)!
i!
f(
r)
(ξ
n,k
1
(1 − t )
r −1
×
0
( q ) + t ( x − ξ n , k ( q ) ) ) − f ( r ) (ξ n , k ( q ) )
dt
(5.7)
r
bulunur. f ( ) ∈ LipM (α ) oldu undan
f(
r)
(ξ
n,k
( q ) + t ( x − ξ n ,k ( q ) ) ) − f ( r ) (ξ n ,k ( q ) ) ≤ Μ ξ n ,k ( q ) + t ( x − ξ n ,k ( q ) ) − ξ n , k ( q )
= Mt α x − ξ n ,k ( q )
α
α
(5.8)
yazılabilir. E 5.8, E 5.7 de kullanılıp, Beta fonksiyonun
1
(1 − t )
t dt = B (1 + α , r ) =
r −1 α
0
α
α +r
B (α , r )
tanımı kullanılırsa
f ( x) −
r
i =0
f
(i )
(ξ ( q ) )
n,k
( x − ξ ( q ))
i
n,k
i!
≤
M α B (α , r )
( r − 1)!(α + r )
x − ξ n ,k ( q )
r +α
(5.9)
elde edilir. E 5.6 ve E 5.9 birlikte dü ünüldü ünde
n
f ( x ) − Ω n ,r ( f ; q, x ) ≤ ∏ (1 − q s x )
s =0
=
∞
k =0
M α B (α , r )
r +α
x − ξn,k ( q )
( r − 1)!(α + r )
M α B (α , r )
Ω ( H ; q, x )
( r − 1)!(α + r ) n
n+k
k
xk
q
65
elde edilir ki, bu da istenilendir.
Teorem 5.5.2 deki H fonksiyonu C [ 0,1] e aittir. H ( x ) = 0 dır. Di er taraftan her x, t ∈ [ 0,1]
r∈
∪ {0} ve α ∈ ( 0,1] için
H (t ) − H ( x ) = t − x t − x ≤ t − x
r
α
α
oldu undan H ∈ Lip1 (α ) dır. Böylece Teorem 5.4.1, Teorem 5.4.2 ve Teorem 5.5.1 den
a a ıdaki sonuçlar elde edilir.
Sonuç 5.5.1:
x ∈ [ 0,1] , r ∈
∪ {0} olsun. Bu durumda f ( r ) ∈ LipM (α ) olacak ekildeki her f ∈ C ( r ) [ 0,1]
için
Ω n , r ( f ; q, x ) − f ( x ) ≤
2 M α B (α , r )
ω ( H , δ n ( x, q ) )
( r − 1)!(α + r )
dır. Burada δ n ( x, q ) , E 5.4 ile verilir [Özarslan ve Duman, 2008].
Sonuç 5.5.2:
x ∈ [ 0,1] ve r ∈
∪ {0} olsun. Bu durumda f ( r ) ∈ LipM (α ) olacak ekilde her f ∈ C ( r ) [ 0,1]
için
Ω n , r ( f ; q, x ) − f ( x ) ≤
M α B (α , r ) α
δ ( x, q )
( r − 1)!(α + r ) n
dır [Özarslan ve Duman, 2008].
66
Sonuç olarak, n ∈
ve 0 < qn ≤ 1 için ( qn ) dizisi E 5.2 yi sa lasın. Burada E 5.5 de verilen
Ωn , r ( f ; q, x ) operatörlerinin tanımında q ∈ ( 0,1] yerine ( qn ) dizisi alınarak Sonuç 5.5.1 den
(ya da Sonuç 5.5.2 den) ( Ω n , r ( f ; qn , x ) ) operatörler dizisinin [ 0,1] kapalı aralı ında f’ ye
düzgün yakınsaklı ı elde edilir..
67
KENL q-MEYER-KÖN G VE ZELLER OPERATÖRLER N N GENEL
6. K DE
B R A LES
Bu bölümde E 5.1 de verilen q-Meyer-König ve Zeller operatörlerinin genel bir ailesinin iki
de i kenli bir genelle tirmesi olan Ωn1 ,n2 operatörleri tanımlanarak, bu operatörlerin yakla ım
özellikleri incelenecektir.
6.1. Ωn1 ,n2 Operatörlerinin Olu turulması
Bu kısımda E 5.1 de verilen operatörlerin iki de i kenli bir genelle tirmesi Barbosu nun
tekni inden yararlanılarak in a edilecektir [Barbosu, 2000].
Tanım 6.1.1:
0 < A < 1 için I 2 = [ 0, A] × [ 0, A] = [ 0, A] olsun. f ∈ C ( I 2 ) ve 0 < q1 , q2 ≤ 1 için E 5.1 de
2
verilen operatörlerin iki de i kenli ifadesi
n1
n2
Ω n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = ∏ (1 − q1 x ) ∏ (1 − q2 s2 y )
s1 = 0
×
n1 + k1
k1
n2 + k2
q1
k2
s1
s2 = 0
∞
f
k1 = 0 k2 = 0
x k1 y k2
an1 ( q1 ) [ k1 ]q an2 ( q2 ) [ k2 ]q
1
2
,
[ n1 + k1 ]q
[ n2 + k2 ]q
1
2
(6.1)
q2
eklinde tanımlanır. Burada t ∈ [ 0,1] ve n ∈
E
∞
için 0 < an ( t ) ≤ 1 dir.
6.1 de verilen operatörlerin lineer ve pozitif oldu u açıktır.
q1 = q2 = 1
ve
an1 ( q1 ) = an2 ( q2 ) = 1 alınırsa klasik Meyer-König ve Zeller operatörlerinin Stancu tipli
genellemesi elde edilir [Stancu, 1972]. an1 ( q1 ) = q1n1 ve an2 ( q2 ) = q2 n2 alınması durumunda
ise Do ru ve Gupta tarafından tanımlanan ve E 4.1 de verilen iki de i kenli q-Meyer-König
ve Zeller operatörleri elde edilir [Do ru ve Gupta, 2006].
68
imdi E 6.1 de verilen operatörlerin yakla ım özellikleri incelenirken kullanılacak olan bir
Lemma verilebilir.
Lemma 6.1.1:
(
)
( f ; q , x, y ) )
(i) Ω n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = Ω n1 x Ω n2 y ( f ; q2 , x, y )
(
(ii) Ω n1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = Ω n2 y Ω n1 x
1
e itlikleri sa lanır. Burada
Ω n1
x
n1
( f ; q1 , x, y ) = ∏ (1 − q1s x )
∞
f
1
s1 = 0
k1 = 0
n2
∞
an1 ( q1 ) [ k1 ]q
[ n1 + k1 ]q
1
n1 + k1
k1
,y
1
x k1
q1
ve
Ω n2 y ( f ; q2 , x, y ) = ∏ (1 − q2 s2 y )
s2 = 0
k2 = 0
f x,
an2 ( q2 ) [ k2 ]q
[ n2 + k2 ]q
2
2
n2 + k2
k2
eklinde tanımlanır.
spat:
Lemma 4.1.1 in ispatına benzer ekilde kolayca yapılabilir.
y k2
q2
69
6.2. Ωn1 ,n2 Operatörlerinin Yakla ım Özellikleri
Lemma 6.2.1:
eij : I 2 → I , eij ( t , s ) = t i s j iki boyutlu test fonksiyonu olmak üzere, E 6.1 de verilen
operatörler için a a ıdaki sonuçlar sa lanır.
(i) Ωn1 ,n2 ( e00 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) = 1
(ii) Ωn1 ,n2 ( e10 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) = an1 ( q1 ) x
(iii) Ωn1 ,n2 ( e01 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) = an2 ( q2 ) y
(iv) an1 2 ( q1 ) x 2 ≤ Ω n1 ,n2 ( e20 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) ≤ q1an1 2 ( q1 ) x 2 +
an1 2 ( q1 ) x
[ n1 ]q
1
(v) an2
2
( q2 ) y
2
≤ Ω n1 ,n2 ( e02 ( t , s ) ; q1 , q2 , x, y ) ≤ q2 an2
2
( q2 ) y
2
+
an2 2 ( q2 ) y
[ n2 ]q
2
spat:
Lemma 4.2.1 in ispatındaki yöntemle kolayca elde edilir.
Teorem 6.2.1:
( )
(
( ) ( q ) , ( a ( q ))
)
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 ve 0 < an1 q1,n1 , an2 q2, n2 ≤ 1 olacak ekildeki q1,n1 ,
( ( ))
ve an2 q2,n2
lim q2,n2
n2 →∞
( )
= lim a ( q ) = 1,
n1 →∞
n2 →∞
n1
dizileri için
lim q1, n1 = lim an1 q1,n1 = 1,
n1 →∞
2, n2
n2
2, n2
lim [ n1 ]q
n1 →∞
=∞
1,n1
lim [ n2 ]q
n2 →∞
2, n2
=∞
(6.2)
1, n1
70
(
(
ko ulları gerçeklenirse, bu durumda f ∈ C ( I 2 ) için Ω n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2, n2 , x, y
))
operatörler
dizisi I 2 üzerinde f ( x, y ) ye düzgün yakınsaktır.
spat:
Lemma 6.2.1 (iv) ve (v) den
an1 2 ( q1 ) x 2 + an2 2 ( q2 ) y 2 ≤ Ω n1 ,n2 ( e20 ; q1 , q2 , x, y ) + Ω n1 ,n2 ( e02 ; q1 , q2 , x, y )
≤ q1an1 ( q1 ) x +
2
2
an1 2 ( q1 ) x
[ n1 ]q
+ q2 an2
1
2
( q2 ) y
2
+
an2 2 ( q2 ) y
[ n2 ]q
2
elde edilir. n1 → ∞ ve n2 → ∞ için limit alınır ve E 6.2 kullanılırsa, sıkı tırma teoreminden
(
Ω n1 , n2 e20 + e02 ; q1,n1 , q2, n2 , x, y
)
x2 + y 2
bulunur.
Lemma 6.2.1 de (i), (ii) ve (iii) ifadelerinde n1 → ∞ ve n2 → ∞ için limit alınır ve E 6.2
kullanılırsa
(
(e
(e
)
, x, y )
, x, y )
Ω n1 ,n2 e00 ; q1,n1 , q2,n2 , x, y
1
Ω n1 ,n2
x
Ω n1 ,n2
10
; q1,n1 , q2,n2
01
; q1,n1 , q2,n2
y
elde edilir. Böylece Teorem 4.2.1 den ispat tamamlanır.
Teorem 5.3.2 ve Teorem 6.2.1 yardımıyla a a ıdaki Heping tipli yakla ım sonucu verilebilir.
71
Sonuç 6.2.1:
( )
(
)
( ) ( q ) , ( a ( q ))
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 ve 0 < an1 q1,n1 , an2 q2, n2 ≤ 1 olacak ekildeki q1,n1 ,
( ( ))
ve an2 q2,n2
lim an2
n2 →∞
( )
(q ) = e
2, n2
n1
1, n1
dizileri için
lim an1 q1,n1 = e1 < 1,
n1 →∞
2, n2
2
lim q1,n1 = 1
n1 →∞
< 1,
lim q2,n2 = 1
n2 →∞
ko ulları sa lansın. Bu durumda her f ∈ C ( I 2 ) için
lim Ω n1 ,n2 ( f ) − Ω∞ ,∞ ( f )
n1 , n2 →∞
( )
C I2
=0
dır.
6.3. Ωn1 ,n2 Operatörlerinin Yakınsama Hızı
Bu kısımda E 6.1 de verilen operatörün yakla ım hızları, iki de i kenli fonksiyonlar için
tanımlanan süreklilik modülü ve Lipschitz sınıfından fonksiyonlar yardımıyla verilecektir. Bu
kısımdaki teoremlerin ispatları Bölüm 4 de verilen ispatlara benzer oldu undan, teoremler
ispatsız olarak verilecektir.
Teorem 6.3.1:
72
( )
(
( ) ( q ) , ( a ( q ))
)
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 ve 0 < an1 q1,n1 , an2 q2, n2 ≤ 1 olacak ekildeki q1, n1 ,
( ( ))
ve an2 q2,n2
(
n1
2, n2
1, n1
dizileri için E 6.2 gerçeklensin. Bu durumda her f ∈ C ( I 2 ) için
)
Ω n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
( )
C I2
(
( )
))
(
≤ 4ω f , δ1,n1 q1,n1 , δ 2,n2 q2,n2
dir. Burada
δ1,n ( q1,n ) =
1
( )
( )
3 − 2an1 q1, n1 − q1,n1 an1 q1,n1
1
2
A +
2
( )
an1 2 q1,n1 A
1
2
[ n1 ]q
1,n1
δ 2,n ( q2, n ) =
2
(
)
(
3 − 2an2 q2,n2 − q2,n2 an2 2 q2,n2
2
)
A2 +
an2
2
(q ) A
1
(6.3)
2
2, n2
[ n2 ]q
2 ,n2
dir.
Teorem 6.3.2:
( )
(
)
( ) (
) ( ( ) ) ve
0 < q1,n1 , q2, n2 ≤ 1 ve 0 < an1 q1,n1 , an2 q2,n2 ≤ 1 olacak ekildeki q1,n1 , q2,n2 , an1 q1,n1
( a ( q ))
n2
2, n2
(
dizileri için E 6.2 gerçeklensin. E er f ∈ LipM ( f ; α ) ise, bu durumda
)
Ωn1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
( )
C I2
(
≤ M δ1,n1 α + δ 2,n2 α
)
gerçeklenir. Burada δ1,n1 ve δ 2,n2 E 6.3 te verildi i gibidir.
Uyarı 6.3.1:
Teorem 6.3.1 ve Teorem 6.3.2 deki δ1,n1 ve δ 2,n2 için
73
( )
(
)
lim δ1,n1 q1,n1 = 0 ve lim δ 2,n2 q2, n2 = 0
n1 →∞
n2 →∞
oldu undan
(
)
lim Ω n1 ,n2 f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
n1 , n2 →∞
( )
C I2
=0
dır.
6.4. Ω n1 , n2 Operatörlerinin r-yinci Basamaktan Bir Genelle tirilmesi
Bu bölümde r ∈
∪ {0} olmak üzere, C ( r ) ( I 2 ) ile I 2 de r-yinci mertebeden sürekli kısmi
türevlenebilir f fonksiyonlarının uzayı gösterilecektir.
Tanım 6.4.1:
f ∈ C ( r ) ( I 2 ) olmak üzere Ω n1 , n2 operatörlerinin r-inci basamaktan genelle tirmesi a a ıdaki
ekilde tanımlanır:
n1
n2
Ω n1 ,n2 ,r ( f ; q1 , q2 , x, y ) = ∏ (1 − q1s1 x )∏ (1 − q2s2 y )
s1 = 0
s2 = 0
∞
∞
n1 + k1
n2 + k2
k1
k2
k1 = 0 k2 = 0
q1
(
× K r , ξ ( q ),ξ ( q ) x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
( n1 ,k1 1 n2 ,k2 2 )
Burada ξ n1 ,k1 ( q1 ) =
an1 ( q1 ) [ k1 ]q
[ n1 + k1 ]q
1
, ξ n2 ,k2 ( q2 ) =
1
an2 ( q2 ) [ k2 ]q
[ n2 + k2 ]q
2
x k1 y k2
q2
)
(6.4)
,
2
r
1 h
K r , ξ ( q ),ξ ( q ) x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , y − ξ n2 ,k2 ( q2 ) =
f xi y j ξ n1 ,k1 ( q1 ) , ξ n2 ,k2 ( q2 )
( n1 ,k1 1 n2 ,k2 2 )
h=0 i + j =h h ! j
(
)
× x − ξ n1 ,k1 ( q1 )
(
i
y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
j
(6.5)
)
74
ve f xi y j ile f nin kısmi türevleri gösterilir, yani f xi y j :=
∂r
f ( x, y ) dir. r = 0 için
∂x i ∂y j
Ωn1 ,n2 ,0 ( f ; q1 , q2 , x, y ) = Ωn1 ,n2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) dir.
imdi de ( u1 , u2 ) bir birim vektör ve v > 0 olmak üzere
( x − ξ ( q ) , y − ξ ( q )) = v (u , u )
n1 , k1
1
n2 , k2
2
1
(6.6)
2
ve
(
F ( v ) = f ξ n1 ,k1 ( q1 ) + vu1 , ξ n2 ,k2 ( q2 ) + vu2
(
(
)
)
(
= f ξ n1 ,k1 ( q1 ) + x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , ξ n2 ,k2 ( q2 ) + y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
= f ( x, y )
))
(6.7)
olsun.
6.6 dan F ( v ) fonksiyonunun v = 0 daki Taylor formülü f ( x, y ) fonksiyonunun
E
( x, y ) = (ξ n ,k ( q1 ) , ξ n ,k ( q2 ) )
1
r∈
F(
r)
1
2
2
noktasındaki Taylor formülüne kar ılık gelir. Buna ek olarak
∪ {0} için F ( v ) nin r-yinci mertebeden türevi
(v) =
r
i + j =r
j
(
)
f xi y j ξ n1 ,k1 ( q1 ) + vu1 , ξ n2 ,k2 ( q2 ) + vu2 u1i u2j
eklinde yazılabilir [Halilov ve ark, 2006].
E 6.5, E 6.6 ve E 6.7 den a a ıdaki sonuç elde edilir.
Teorem 6.4.1:
(6.8)
75
r∈
∪ {0} , 0 < α ≤ 1 , M > 0 , f ∈ C ( r ) ( I 2 ) ve F ( r ) ( v ) ∈ LipM (α ) olsun. Bu durumda
Ω n1 , n2 ,r ( f ; q1 , q2 ,.) − f
( )
C I2
≤
M α B (α , r )
Ω ( K ( t , s ) ; q1 , q2 ,.) − f 2
C( I )
(α + r )( r − 1)! n1 ,n2
(6.9)
gerçeklenir. Burada F (
r)
(v) ,
E 6.8 de verilmi tir ve B (α , r ) Beta fonksiyonudur. Ayrıca
( t , s ) ∈ I 2 için
K ( t , s ) = ( t − x, s − y )
α +r
(6.10)
olup, K ∈ C ( I 2 ) dir.
spat:
E 6.4 ve E 6.5 ten
n1
(
f ( x, y ) − Ω n1 ,n2 ,r ( f ; q1 , q2 , x, y ) = ∏ 1 − q1s1 x
s1 = 0
n2
)∏ (1 − q y )
s2 = 0
s2
2
∞
n1 + k1
∞
k1 = 0 k2 = 0
k1
n2 + k2
q1
k2
q2
× x k1 y k2
× f ( x, y ) −
h
1
f xi y j ξ n1 ,k1 ( q1 ) , ξ n2 ,k2 ( q2 )
h =0 h ! i + j = h j
r
× x − ξ n1 ,k1 ( q1 )
(
i
y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
j
)
(6.11)
yazılabilir.
imdi, iki de i kenli fonksiyonlar için Taylor kalan formülü göz önüne alınırsa
76
(
f ( x, y ) − K r , ξ ( q ),ξ ( q ) x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
( n1 ,k1 1 n2 ,k2 2 )
=
1
h
1
( r − 1)! 0 i + j =h j
(
x − ξ n1 ,k1 ( q1 )
i
(
)
)
j
y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
(
× f xi y j ξ n1 ,k1 ( q1 ) + t x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , ξ n2 ,k2 ( q2 ) + t y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
) ) (1 − t )
r −1
dt
(6.12)
elde edilir.
E 6.5, E 6.6 ve E 6.7 hesaba katılarak E 6.12 a a ıdaki gibi yeniden düzenlenebilir:
F (v) −
1
1 (h)
vr
r −1
F ( 0) vh =
F ( r ) ( tv ) − F ( r ) ( 0 ) (1 − t ) dt
( r − 1)! 0
h=0 h !
r
E 6.5, E 6.12 ve E 6.13 ten ve F (
r)
( v ) ∈ LipM (α )
(6.13)
olmasından
r
1 ( h)
f ( x, y ) − K r , ξ ( q ),ξ ( q ) x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , y − ξ n2 ,k2 ( q2 ) = F ( v ) −
F ( 0) vh
( n1 ,k1 1 n2 ,k2 2 )
h =0 h !
(
≤
v
1
( r − 1)! 0
≤M
elde edilir.
r
v
F(
α +r
( r − 1)!
)
r)
( tv ) − F ( r ) ( 0 ) (1 − t )
r −1
dt
B (α + 1, r )
=
Mα
α +r
B (α , r ) v
( r − 1)!(α + r )
=
Mα
B (α , r ) x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , y − ξ n2 , k2 ( q2 )
( r − 1)!(α + r )
(
)
α +r
(6.14)
77
E 6.14 ve E 6.11 birlikte dü ünülürse
f ( x, y ) − Ω n1 ,n2 ,r ( f ; q1 , q2 , x, y )
n1
(
≤ ∏ 1 − q1s1 x
s1 = 0
×
=
n2
)∏ (1 − q y )
s2
2
s2 = 0
∞
∞
k1 = 0 k2 = 0
n1 + k1
n2 + k2
k1
k2
q1
M α B (α , r )
x − ξ n1 ,k1 ( q1 ) , y − ξ n2 ,k2 ( q2 )
( r − 1)!(α + r )
(
)
x k1 y k2
q2
α +r
M α B (α , r )
Ω ( K ( t , s ) ; q1 , q2 ,.)
( r − 1)!(α + r ) n1 ,n2
(6.15)
yazılabilir. E 6.15 te her iki tarafın mutlak de erini alıp, ( x, y ) ∈ I 2 için maksimum alınırsa
E 6.9 elde edilir ve ispat tamamlanır.
Uyarı 6.4.1:
E 6.10 daki K ∈ C ( I 2 ) fonksiyonu için K ( x, y ) = 0 dır. Volkov teoreminden
lim Ω n1 ,n2 ( K ( t , s ) ; q1 , q2 ,.)
n1 , n2 →∞
( )
C I2
=0
oldu undan
lim Ω n1 ,n2 ,r ( f ; q1 , q2 ,.) − f
n1 , n2 →∞
( )
C I2
=0
elde edilir.
Sonuç 6.4.1:
f ∈ C ( I 2 ) ve F (
r)
( v ) ∈ LipM (α )
olsun. Bu durumda
78
(
)
Ω n1 ,n2 ,r f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
( )
C I
2
≤
4 M α B (α , r )
ω K ; δ1,n1 , δ 2,n2
(α + r )( r − 1)!
(
)
r
e itsizli i gerçeklenir. Burada F ( ) ( v ) , E 6.7 de; K ( t , s ) , E 6.9 da; δ1,n1 ve δ 2,n2 , E 6.3 te
verilmi tir.
Sonuç 6.4.2:
f ∈ C ( I 2 ) ve F ( r ) ( v ) ∈ LipM (α ) olsun. E
K ( t , s ) ∈ Lip
{2 A }
(
2
r
2
( f ;α )
olması durumunda
)
{2 A }
≤
Ω n1 , n2 ,r f ; q1,n1 , q2,n2 ,. − f
2
( )
C I2
r
2
6.4.6 da verilen K ( t , s ) fonksiyonu için
M α B (α , r )
(α + r )( r − 1)!
{δ
α
1, n1
+ δ 2,α n2
e itsizli i gerçeklenir. Burada δ1,n1 ve δ 2,n2 , E 6.3 te verilmi tir.
}
79
KAYNAKLAR
Altomare, F., Campiti, M., “Korovkin-type approximation theory and its applications”,
Walter de Gruyter, Berlin, 448,487-491(1994).
Andrews, G.E., Askey, R., Roy, R., “Special functions”, Cambridge Univ Press, Cambridge,
245(1999).
Barbosu, D.,” Some generalized bivariate Bernstein operators”, Math. Notes (Miskolc), 1:310, (2000).
Bayraktar, M.,” Fonksiyonel Analiz”, Gazi Kitabevi, Ankara, 85-86 (2006).
Bleimann, G., Butzer, P.L., Hahn, L.,” A Bernstein-type operator approximatin continuous
functions on the semi-axis”, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math, 19:255-262(1980).
Cheney, E.W., Sharma, ”A. Bernstein power series”, Canad. J. Math., 16:241-252(1964).
Do ru, O., Duman, O., “Statistical approximation of Meyer-König and Zeller operators based
on the q-integers”, Publ.Math. Debrecen, 68:199-214(2006).
Do ru, O., Gupta, V., “Korovkin Type approximation properties of bivariate q-Meyer-König
and Zeller operators”, Calcolo, 43:51-63(2006).
Goodman, T.N.T., Oruç, H.,Phillips, G.M., “Convexcity and generalized Bernstein
polynomials”, Proc. Edinburgh Math. Soc., 42(2):179-190(2006).
Halilov, H., Hasano lu, A., Can, M., “Yüksek Matematik 2. Basım”, Literatür Yayıncılık,
stanbul, 760-763(2006).
Heping, W., “Korovkin-type theorem and application”, J.Approx.Theory, 132:258264(2005).
Hacısaliho lu, H., Haciyev, A.,”Lineer Pozitif Operatör Dizisinin Yakınsaklı ı”, A.Ü.F.F.
Döner Sermaye letmesi Yayınları No:31, Ankara, 10-11, 18-19(1995).
Kirov, G., Popova, L., “A generalization of the linear positive operators”, Math Balkanica,
7:62-149(1993).
Lorentz, G.G., “Bernstein Polynomials”, Univ. of Toronto Press, Toronto, 5-6(1953).
Meyer König, W.K., “Bernsteinsche Potenzreihen”, Studia. Math, 19:89-94(1960).
Özarslan, M.A., Duman, O., “Approximation theorems by Meyer-König and Zeller type
operators”, Chaos Solition and Fractals(article in press,accepted 11February 2008), 16(2008).
80
Phillips, G.M., “On generalized Bernstein polynomials”, Numerical analysis. River Edge,NJ:
World Sci. Publ., 263-269(1996).
Stancu, D.D., “A new class of uniform approximatin polynomial operators in two and several
variables”, Proceedings of the conferece on constructive theory of functions.,
Budapest:Akademiai Kiado, 443-445(1972).
Terzio lu, T., “Fonksiyonel Analizin Yöntemleri”, Matematik Vakfı Yayın No:9, Ankara, 9799(1998).
Trif, T., “Meyer-König and Zeller operators based on the q-integers”, Numer. Theor.
Approx., 29:221-229(2000).
Volkov, V.I., “On the convergence of sequence of linear positive operators in the space of
continuous functions of two variables”, (Russian) Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 115:1719(1957).
81
ÖZGEÇM
Ki isel Bilgiler
Soyadı, adı
: YILDIZ, Esma
Uyru u
: T.C.
Do um Tarihi ve Yeri
: 1981 Ni de
e-mail
: esmayildiz@gazi.edu.tr
E itim
Derece
E itim Birimi
Lisans
Ankara Hacettepe Üniversitesi
Mezuniyet Tarihi
2005
E itim Fakültesi
Ortaö retim Fen ve Matematik AlanlarıMatematik E itimi (Tezsiz Yüksek Lisans)
Lise
Ni de Anadolu Ö retmen Lisesi
(Yabancı Dil A ırlıklı)
Ara tırma Görevlisi
Gazi Üniversitesi
Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
Yabancı Dil
Almanca, ngilizce
Burs
1999
82
TÜB TAK Yurt çi Yüksek Lisans Bursu