LOGARİTMA ÜSTEL FONKSİYON f:R " R +, f(x) = a x (a ! 1, a ! R) bire - bir (1 - 1) v e örten fonksiyonuna ÖRNEK: x f: R " R, f(x) = c1 m , 3 fonksiyonunun değişimini inceleyelim. üstel fonksiyon denir. Örneğin; f:R " R+, f(x) = 2 x, x + f:R " R , f(x) = c 1 m 3 fonksiyonları üstel fonksiyonlardır. ÖRNEK: f:R " R+, f(x) = 2 x, fonksiyonunun değişimini inceleyelim. Örneklerde gördüğümüz durumları şu şekilde genelleyebiliriz. a21 olmak üzere, f (x) = ax fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. 1/a 1 a -1 1 0 1 a 1 1 olmak üzere, f (x) = ax fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. a -1 1/a 1 1 ÖRNEK: ÖRNEK: x f: R " R + , f (x) = 3 - 2 + f: R " R , f (x) = 4 x +2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK: NOTLAR: f: R " R +, f (x) = a 1 k + 2 2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. LOGARİTMA f(x) = a x fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve f - 1 (x) = log a x şeklinde gösterilir. a ! R + - " 1 , olmak üzere, f:R " R +, f(x) = a x , f - 1:R + " R, f - 1 (x) = log a x dir. Tanıma göre, y = a x , x = log a y ÖRNEK: Aşağıdaki soruları cev aplayınız. a) log a 16 = 2 & a = ? b) log n 125 = 3 & n = ? olur. ÖRNEK: Aşağıdaki soruları cev aplayınız. a) 5 x = 4 & x = ? c) log 3 27 + 2 = x & x = ? d) log 2 27 & x = ? 3 8 b) 3 - x = 7 & x = ? ÖRNEK: c) 2 x + 2 = 5 & x = ? d) 6 - x - 1 = 3 & x = ? ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların tersini bulunuz. a) f(x) = 5 x b) f(x) = 3 c) f(x) = a 2 k 3 Aşağıdaki soruları cev aplayınız. a) log 3 x = 2 & x = ? ÖRNEK: b) log 2 (x + 1) = 3 & x = ? c) log 2 x + 1 = 3 & x = ? d) log 1 ^ 2x - 1h = 2 & x = ? 3 x -2 x+1 ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz. x a) f(x) = 3 + 5 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TANIM ARALIĞI f(x) = log h (x) (g(x)) fonksiyonunun b) f(x) = 7 x -3 tanımlı olması için ; h(x) 2 0, h(x) ! 1 ve g(x) 2 0 -4 olmalıdır. 1 -x c) f(x) = a 2 k -3 5 ÖRNEK: f(x) = log 3 (x + 3) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz. ÖRNEK: Aşağıdaki fonksiyonların terslerini bulunuz. a) f(x) = 1 + log 3 ^ x + 1 h b) f(x) = 2 - log 4 ^ x - 1h ÖRNEK: f(x) = log 3 (3x - 4) c) f(x) = 3 + log 3 ^ 2x - 1 h fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz. 5 ÖRNEK: log 3 ^ log 2 x + 1 h = 2 & x = ? ÖRNEK: f(x) = log x (x + 2) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU ÖRNEK: 2 f(x) = log^ 2 -xh (x - x - 20) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz. f (x) = lo g a x fonksiyonunda a = e alınırsa f (x) fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir ve log e x = lnx şeklinde gösterilir. ÖRNEK: lnx = 3 olduğuna göre x kaçtır? ÖRNEK: ln6log^ lnx h @ = 0 olduğuna göre x kaçtır? ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU f (x) = lo g a x fonksiyonunda a = 10 alınırsa f (x) e onluk logaritma fonksiyonu denir ve logx şeklinde gösterilir. ÖRNEK: ÖRNEK: logx = 3 olduğuna göre x kaçtır? f(x) = 2 + ln^ 3x - 1 h olduğuna göre f -1 ^ x h fonksiyonunu bulunuz. ÖRNEK: f(x) = 4 + log^ 2x - 2 h f -1 ^ x h olduğuna göre, fonksiyonunu bulunuz. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1: 1 den farklı her pozitif reel sayının aynı tabandaki logaritması 1 dir. 6 a ! R + - " 1 , olmak üzere, log a a = 1 ÖRNEK: x = log 3 3 + lne - log10 olduğuna göre x kaçtır? ÖZELLİK 2: 1 in herhangi bir tabandaki logaritması 0 dır. 6 a ! R + - " 1 , olmak üzere, log a 1 = 0 ÖRNEK: x = log 3 1 + (ln1). (log10) olduğuna göre x kaçtır? ÖZELLİK 4: 6 a ! R + - " 1 ,, x ! R + ve n ! 0 olmak üzere, log an x = 1 .log a x n ÖRNEK: log 0, 04 5 + log 27 3 + log 7 7 =? ÖZELLİK 5: ÖRNEK: x24 olmak üzere, log^ x -3h ^ x - 3 h + (lne). (log^ x -2h 1) ifadesinin değeri kaçtır? 6 a ! R + - " 1 ,, x ! R + v e n ! 0 olmak üzere, log an x m = m .log a x n ÖRNEK: log 0, 09 81 + log 4 32 + log 5 25 = ? ÖZELLİK 3: 6 a ! R + - "1 , v e x ! R + olmak üzere, n log a x = n.log a x ÖRNEK: ÖZELLİK 6: İki pozitif sayının çarpımınıın logaritması, bu iki sayının logaritmalarının toplamına eşittir. a) log 3 8 = 3.t & t = ? 6 a ! R + - " 1 ,, x ! R + olmak üzere, log a ^ x.yh = log a x + log a y b) log 5 125 = ? ÖRNEK: c) log100 - lne 3 = ? log7 = a olmak üzere, log70 ifadesinin a türünden değeri kaçtır? ÖRNEK: ÖRNEK: log8 = x log 6 4 + log 6 9 = ? olduğuna göre, log125 in x türünden ifadesini bulunuz. ÖRNEK: log2 = a olmak üzere, log5 ifadesinin a türünden değeri kaçtır? ÖZELLİK 8: TABAN DEĞİŞTİRME 6 a, c ! R + - " 1 ,, b ! R + olmak üzere, b log a b = log c log c a ÖRNEK: log 2 ^ cot 1 c h + log 2 ^ cot 5 c h + log 2 ^ cot 9 c h + ...log 2 ^ cot 8 9 c h = ? ÖRNEK: log7 = a 4 olduğuna göre, log5 = b log 5 7 nin, a ve b türünden değerini bulunuz. ÖZELLİK 7: İki pozitif sayının bölümünün logaritması, bu iki sayının logaritmalarının farkına eşittir. 6 a ! R - " 1 ,, x, y ! R olmak üzere, x log a a k = log a x - log a y y + + ÖRNEK: x.y k =? z a) loga b) log 2 a 5 k = ? 16 SONUÇ 1: 6 a, b ! R + - " 1 ,, a, b ! R + olmak üzere, log a b = 1 log b a SONUÇ 2: 6 a, b, c ! R + - " 1 ,, a, b, c, d ! R + olmak üzere, log a b.log b c.log c d = log a d ÖRNEK: ÖRNEK: log 2 3.log 3 5.log 5 64 = ? x log3 5 .5 log3 x = 25 olduğuna göre x kaçtır? ÖRNEK: ÖRNEK: 1 1 1 1 + + + =? log 2 120 log 3 120 log 4 120 log 5 120 ÖRNEK: 3 2 + =? log 2 72 log 3 120 ÖZELLİK 9: a ! R+ - "1 ,, b ! R+ a loga b b = SONUÇ: a logb c = c logb a olmak üzere, dir. 3 k log3 4 .5 2k log5 8 = 32 olduğuna göre k kaçtır?