ANKARA ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ YÜKSEK L

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
2. DERECE EĞRİLER VE ALTMANİFOLDLAR
Sevda AKGÜÇ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2007
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
2. DERECE EĞRİLER VE ALTMANİFOLDLAR
Sevda AKGÜÇ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd.Doç.Dr. Nejat EKMEKCİ
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, çalışmamız için gerekli olan tanım ve teoremler verilmiştir.
Üçüncü bölümde, Riemann manifoldlarında çemberler ve helisler incelenmiş ve bir
Riemann altmanifoldunun dış hiperküre olma şartları verilmiştir.
Dördüncü bölümde, Riemann manifoldlarında çemberlerin ikinci derece eğri olma
şartları incelenmiştir.
Beşinci bölümde, Kahler manifoldları üzerinde çemberler ve ikinci dereceden eğriler
incelenmiştir.
2007,
54 sayfa
Anahtar Kelimeler: Riemann manifoldu, Riemann altmanifoldu, Frenet çatısı,
çemberler, helisler, extrinsic hiperküreler, ikinci dereceden eğriler
i
ABSTRACT
Master Thesis
SUBMANIFOLDS AND CURVES OF ORDER 2
Sevda AKGUC
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Asst.Prof. Dr. Nejat EKMEKCI
This thesis consists of five chapters.
The first chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, the required definitions and theorems are given.
In the third chapter, helices and circirles of Riemann manifolds are examined and the
necessary conditions for a Riemann submanifold to be an extrinsic sphere are given.
In the fourth chapter, the necessary conditions for circles at Riemann manifolds to be
Curves of Order 2 are examined.
In the fifth chapter, circles and curves of order 2 on Kahler manifolds are examined.
2007,
54 pages
Key Words: Riemann manifold, Riemann submanifold, Frenet frame,
circles, helices, exrinsic spheres, curves of order 2
ii
TEŞEKKÜR
Bana çalışma olanağı sağlayan ve çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile
beni yönlendiren, akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin fikirleriyle
yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam sayın Yrd.Doç.Dr. Nejat
Ekmekci (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü)’ ye, tezin
düzenlenmesinde yardımcı olan kardeşim Serkan Akgüç (Vanderbilt University
Department of Economıc)’e teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmam sırasında ellerinden gelen her türlü desteği ve sabrı gösteren
anneme ve babama en derin duygularla teşekkür ederim.
Sevda AKGÜÇ
Ankara, Ekim 2007
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET....................................................................................................................................i
ABSTRACT .......................................................................................................................ii
TEŞEKKÜR ......................................................................................................................iii
SİMGELER DİZİNİ ......................................................................................................... v
1. GİRİŞ .............................................................................................................................. 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ............................................................................................... 2
3. RIEMANN MANİFOLDLARI İÇİN EXTRINSIC HİPERKÜRELER ............... 14
3.1 Riemann Manifoldlarında Çemberler...................................................................... 14
3.2 Riemann Manifoldlarında Extrinsic Hiperküreler................................................. 16
3.3 Riemann Manifoldlarında Helisler .......................................................................... 23
4. İKİNCİ DERECEDEN EĞRİLER VE ALT MANİFOLDLAR ............................ 29
4.1 İkinci Dereceden Eğri .............................................................................................. 29
4.2 Extrinsic Hiperküreler ............................................................................................. 36
5. HOLOMORFİK HELİSLER ..................................................................................... 43
5.1. Simplektik Vektör Uzayı .......................................................................................... 43
5.2 Vektör Uzaylarının Kompleks Yapıları .................................................................. 46
5.3 Kahler Manifoldları .................................................................................................. 48
5.4 Kompleks Uzaylarda Holomorfik Helisler .............................................................. 50
5.5 Kahler Manifoldlarında Çemberler, İkinci Derece Eğriler ................................... 53
KAYNAKLAR ................................................................................................................. 55
ÖZGEÇMİŞ...................................................................................................................... 56
iv
SİMGELER DİZİNİ
L
Simetrik bilineer form
(V,g)
Skaler çarpmalı vektör uzayı
M
m boyutlu Riemann alt manifoldu
%
M
n boyutlu Riemann manifoldu
∇
M Riemann manifoldunun koneksiyonu
%
∇
% Riemann manifoldunun koneksiyonu
M
δ
M nin ikinci temel formu
Aζ
Şekil operatörü
h
Ortalama eğrlik vektör alanı
γ
Yay parametreli regüler eğri
kj
γ eğrisinin eğrilikleri
Ω
*
Anti-simetrik bilineer dönüşüm
V
V vektör uzayının duali
(V, Ω )
Simplektik vektör uzayı
J
Ω simplektik formunun matrisi
v
1.
GİRİŞ
Diferensiyel geometride, eğriler teorisi çok önemli bir yere sahiptir. Bu teori Öklid ve
Öklid olmayan uzayların yanısıra, Öklid manifoldları ve Öklid olmayan manifoldlarda
da yoğun bir şekilde çalışılmış ve çalışılmaya devam edilmektedir.
Nomizu and Yano (1974) bir Riemann manifoldu üzerinde, bir eğrinin çember olma
özeliklerini incelemiştir. Bu çalışmada bir Riemann manifoldunun extrinsic hiperküre
olması durumunda, altmanifold üzerindeki her pozitif yarıçaplı çemberin Riemann
manifoldunda da bir çember olacağı vurgulanmıştır. Nomizu and Yano (1974) ’u takip
eden çalışmalarda Suizu (2001), Riemann manifoldunu ve alt manifoldunun boyutunu
artırmış, Riemann altmanifoldunun Riemann Manifoldunda bir hiperküre olmasına ek
olarak, alt manifold üzerindeki k pozitif sabit eğrilikli her çemberin Riemann
manifoldunda 2. dereceden eğri olduğunu göstermiştir.
Bu çalışmada, Nomizu and Yano (1974)’ de ispatladığı teorem kullanılarak ve Suizu
(2001)’nin çalışması, extrinsic hiperküreler üzerinde yoğunlaşılarak irdelenmiştir. Daha
sonra, Kahler manifoldları ve ikinci derece eğriler incelenmiştir.
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1
V, n- boyutlu bir reel vektör uzayı ve
L:VxV → R
dönüşümü ∀ a, b ∈ R ve ∀ u, v, w ∈ V için,
i ) L (u,v) = L (v,u)
ii) L(au+bv, w) = aL(u,v) + bL(v,w)
L(u, av+bw) = aL(u,v) + bL(u,w)
özeliklerine sahip ise L dönüşümüne V vektör uzayı üzerinde simetrik bilineer form
denir (O’Neill 1983).
Tanım 2.2
V, n boyutlu bir reel vektör uzayı üzerindeki simetrik bilineer form L olsun.
i) ∀ v ∈ V ve v ≠ 0 için L (v,v) > 0 ise L simetrik bilineer formuna pozitif
tanımlı ,
ii) ∀ v ∈ V ve v ≠ 0 için L (v,v) ≥ 0 ise L simetrik bilineer formuna pozitif yarı
tanımlı ,
iii) ∀ v∈V ve v ≠ 0 için L (v,v) < 0 ise L simetrik bilineer formuna negatif
tanımlı,
iv) ∀ v∈V ve v ≠ 0 için L (v,v) ≤ 0 ise L simetrik bilineer formuna negatif yarı
tanımlı ,
v) ∀ w∈V ve v ≠ 0 için L (v,w) = 0 olması v = 0 için sağlanıyor ise
non-dejenere, aksi halde dejeneredir denir (O’Neill 1983).
Tanım 2.3
V, n- boyutlu bir reel vektör uzayı ve
L:VxV → R
simetrik bilineer formu için
LW:Wx W → R
2
L’ye
negatif tanımlı olacak şekilde en büyük boyutlu W alt uzayının boyutuna L simetrik
bilineer formun indeksi denir ve α ile gösterilir. L’ ye α indeksinin iç çarpımı denir
(O’Neill 1983).
Buna göre
1 ≤ α ≤ boyV
dir.
α = 0 ⇔ L pozitif yarı-tanımlıdır (O Neill 1983).
Tanım 2.4
V, n boyutlu bir reel vektör uzayının bir bazı { e1, e2, …, en } olsun.
bij = L(ei, ej)
olarak tanımlanan [ bij ] matrisine, L simetrik bilineer formunun { e1, e2, …, en } bazına
göre matrisi denir.
L simetrik olduğundan [ bij ]mxn matrisi de simetriktir.
n
 n

L(u, v) = L  ∑ v i ei , ∑ w i ei 
j=1
 i =1

n
= ∑ b ij v i w i
i, j=1
olduğundan  b ij  matrisi L’ yi belirtir (O Neill 1983).
n× n
Teorem 2.1
Bir L simetrik bilineer formu non-dejeneredir ⇔ L’ nin herhangi bir baza göre
matrisinin tersi vardır (O’Neill 1983).
Tanım 2.5
V, n boyutlu bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde non-dejenere, simetrik bilineer
forma, n-boyutlu vektör uzayı üzerinde bir skalar iç çarpım denir. V üzerindeki bir
skalar çarpma g ise (V, g) ikilisine bir skalar çarpmalı vektör uzayı
(Hacısalihoğlu 1983).
3
denir
Buna örnek olarak, R n üzerinde
n
g (V,W) =
∑v w
i
i
i =1
şeklinde tanımlanan iç çarpmasını verebiliriz.
Tanım 2.6
n-boyutlu bir reel V vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpma g ve W’ da V’ nin bir alt
uzayı olsun. Eğer W üzerinde g non-dejenere ise W’ya non-dejenere alt uzay, nondejenere değilse W ‘ya dejenere alt uzay denir (O’Neill 1983).
Tanım 2.7
Bir n-boyutlu V reel vektör uzayı üzerindeki skalar çarpma g olsun.
v ∈V vektörünün normu,
1
v = g(v, v) 2
olarak tanımlanır. Normu 1 olan bir vektöre birim vektör, ortogonal birim vektörlerin
cümlesine ortonormal sistem denir (O’Neill 1983).
Teorem 2.2
V ≠ {0}skalar çarpmalı uzay bir ortonormal baza sahiptir (O’Neill 1983).
Teorem 2.3
n boyutlu bir reel V vektör uzayı için bir ortonormal baz { e1, e2, …, en } olsun.
εi = g(ei ,e j )
olmak üzere
∀ v ∈ V vektörü
n
v=
∑ ε g(v,e )e
i
i
i
i =1
olacak şekilde tek türlü yazılabilir (Hacısalihoğlu 1983).
4
Tanım 2.8 ( Riemann Metriği )
M diferensiyellenebilir manifoldu olsun. M nin her bir p noktasına TP(M) uzayı
üzerinde g P : TP (M) x TP (M) → IR iç çarpımına karşılık getiren bir g dönüşümüne M
üzerinde Riemann metriği denir (Millmann 1977) .
Tanım 2.9
M diferensiyellenebilir manifold olmak üzere M üzerinde g Riemann metriği
tanımlanabiliyor ise (M,g) ikilisine bir Riemann manifoldu denir. Eğer g Riemann
metriğinde pozitif tanımlılık aksiyomu yerine non dejenere aksiyomu alınırsa, (M,g)
ikilisine yarı Riemann manifoldu denir (Millmann 1977) .
Tanım 2.10 (Kovaryant türev ve Koneksiyon)
M bir C∞ manifold olsun. M üzerinde vektör alanlarının uzayı χ(M) olmak üzere,
∇ : χ(M) x χ(M) → χ(M)
(X,Y) → ∇(X, Y) = ∇ X Y
için,
1) ∇ fX + gY Z = f∇ X Z + g∇ Y Z,
∀X, Y, Z ∈ χ(M),
2) ∇ X (fY) = f∇ X Y + (Xf )Y,
∀X, Y ∈ χ(M),
∀f ,g ∈ C∞ (M, IR)
∀f ∈ C∞ (M, IR)
özelikleri sağlanıyorsa ∇ ye M manifoldu üzerinde tanımlı bir afin koneksiyon, ∇ X ’e de
X yönünde kovaryant türev denir (Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.11 (Riemann Koneksiyonu ve Eğrilik)
M bir yarı Riemann manifoldu ve ∇ , M üzerinde bir afin koneksiyon olsun.
1) ∇ , C∞ sınıfındandır.
2) M nin bir A bölgesi üzerinde C∞ olan ∀X, Y ∈ χ(M) için,
∇ XY - ∇ YX = [ X,Y ] dir.
3) M nin bir A bölgesi üzerinde C∞ olan ∀X, Y, Z ∈ χ(M) ve ∀P ∈ A için
X P Y, Z = ∇ X Y, Z
P
+ Y, ∇ X Z
P
dir.
özelikleri sağlanıyorsa, ∇ koneksiyonuna, M üstünde bir Riemann koneksiyonu ve
∇ X ’e de X yönünde Riemann anlamında kovaryant türev denir (Hacısalihoğlu 83).
5
Ayrıca M Riemann manifoldu üzerindeki koneksiyon aşağıdaki özelikleri sağlar.
M üzerinde bir Riemann koneksiyonu ∇ olsun. ∇ ’nın M’ye ait bir bölge üzerindeki
∀X, Y, Z ∈ χ(M) ve ∀f ∈ C∞ (M, IR) için,
1. ∇ X (Y+Z) = ∇ XY + ∇ XZ,
2. ∇ X + Z (Y) = ∇ XY + ∇ ZY,
3. ∇ fX (Y+Z) = ∇ XY + ∇ XZ,
4. ∇ XY - ∇ YX = [ X,Y ]
5. Z [<X,Y>]=< ∇ ZX,Y> + < X, ∇ ZY >
dir (Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.12 (Riemann Manifoldları Üzerinde Eğriler)
M Riemann manifoldu ve üzerindeki koneksiyonu ∇ olsun. M üzerindeki bir
α : I ⊂ IR → M
t → α (t)
eğrisinin teğet vektör alanı
∂
V = α* ( ) olsun.
∂t
V ye α nın hız vektör alanı denir. V’nin α boyunca sıfır olmadığını kabul edelim. O
zaman, α eğrisinin birim teğet vektör alanı
T=
1
V
V
olarak tanımlanabilir. Diğer taraftan, V ∈ C∞ (I, IR) fonksiyonuna, α eğrisinin (I, α )
koordinat komşuluğuna göre skalar hız fonksiyonu ve t∈I için V (t) = Vα (t )
reel
sayısına da α eğrisinin (I, α ) koordinat komşuluğuna göre α (t) noktasındaki skalar hızı
denir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.13 (Geodezik eğrilik vektör alanı ve Geodezik eğrilik fonksiyonu)
M bir Riemann manifoldu ve M üzerindeki Riemann koneksiyonu ∇ olsun. O zaman,
M üzerinde { (I, α ) }atlası ile verilen eğri boyunca geodezik eğrilik vektör alanı diye, bu
eğrinin birim teğet vektör alanı T olmak üzere,
6
∇ TT
vektör alanına denir.
kg : I → IR
t → kg(t) = ∇T T
olarak tanımlanan kg fonksiyonuna da α eğrisinin geodezik eğrilik fonksiyonu denir
( Hacısalihoğlu 83).
Teorem 2.4
M bir Riemann manifoldu ve M üzerinde bir eğri α olsun. O zaman
α eğrisi M ’de bir geodeziktir ⇔ geodezik eğrilik fonksiyonu sıfır fonksiyondur ve
α ’nın skalar hız fonksiyonu sabittir ( Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.14
M bir Riemann manifoldu ve M üzerinde { (I, α ) } atlası ile verilmiş bir eğri de α
olsun.
∂
α* ( ) = V
∂t
olmak üzere α ’nın hız vektörü V ’dir. M ’nin Riemann koneksiyonu ∇ ise
V, ∇ V V , ∇ V∇ V V ,…
vektör alanlarını
α′ = V, α′′ = ∇ V V, α′′′ = ∇ V ( ∇ V V ) , ..., α (n ) = ∇ V ( ∇ V∇ V ... ( ∇ V V ) ...)
ile gösterelim. Açıktır ki
{α′, α′′,..., α } ⊂ χ(M)
(n)
dir. Bu cümlenin lineer bağımsız bir alt cümlesini arayabiliriz.
{α′, α′′,..., α } ,
(r)
r≤n
cümlesi lineer bağımsız ve
α (r +1) ∈ Sp {α′, α′′,..., α (r ) }
olsun. Bir C∞ (M, IR) modül olan χ(M) de Riemann metriği anlamında
{α′, α′′,..., α }
(r )
7
sistemine Gramm-Schmidt ortonormalleştirme metodunu uygulayıp
{V1 , V2 ,..., Vr }
ortonormal sistemi elde edilir.Bu sisteme M üzerinde Frenet r ayaklı alanı ve ∀t ∈ I için
Vi α (t ) tanjant vektörüne de α(t) noktasındaki i-yinci Frenet vektörü denir (
Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.15 ( Riemann manifoldu üzerindeki bir eğrinin eğrilikleri)
M bir Riemann manifoldu, M nin Riemann koneksiyonu ∇ ve M üzerinde { (I, α ) }
atlası ile verilmiş bir eğrinin Frenet r ayaklı alanı da
{V1 , V2 ,..., Vr }
∂
olsun. Buna göre, VI α (t ) = α*   ise
 ∂t 
k i : I → IR, 1 ≤ i ≤ r
t → k i (t) = ∇ Vi Vi , Vi +1
α (t )
şeklinde tanımlı ki fonksiyonuna α eğrisinin i-yinci eğrilik fonksiyonu ve t ∈ I için de
ki(t) sayısına α eğrisinin α (t) noktasındaki i-yinci eğriliği denir ( Hacısalihoğlu 83).
Teorem 2.5
M bir Riemann manifoldu, M ‘nin Riemann koneksiyonu ∇ ve M üzerindeki { (I, α ) }
atlası ile verilen α eğrisinin Frenet r-ayaklı alanı
{V1 , V2 ,..., Vr }
olsun. O zaman, α ’nın i-yinci eğrilik fonksiyonu ki ise
∇ V1 V1 = k1V2
∇ V1 Vi = − k i −1Vi −1 + k i Vi +1 ,
1 ≤ i ≤ r,
∇ V1 Vr = − k r −1Vr −1
dir.
8
Matris gösterimi ise
∇ V1 V1   0

 
∇ V1 V2   − k1
∇ V   0
 V1 3  
 .
 .
 .
 = .

 
 .
 .

 
∇ V1 Vr − 2  0
∇ V   0
 V1 r −1  
∇ V1 Vr  0
k1
0
0 . . .
0
0
0
0
0
k2
0 . . .
0
0
0
0
0
0 . . .
0
0
0
0
-k 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
k r-2
0
0
0
0
0
0
-k r-2
0
k r-1
0
0
0
0
0
-k r-1 0
.
 V1 


  V2 
  V3 


 . 
 . 


 . 




  Vr − 2 


  Vr −1 
 V 
 r 
şeklindedir ( Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.16 (Genelleştirilmiş Gauss Denklemi)
n boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M ’nin m boyutlu ( m ≤ n ) bir altmanifoldu M
olsun. χ(M) ’nin χ(M) de ki ortogonal komplemanı χ(M)⊥ ve M ’nin Riemann
koneksiyonu ∇ olsun. χ(M) = χ(M) ⊕ χ(M)⊥ eşitliği gereğince, C∞ olan ∀ X, Y
∈ χ(M) için, yazılabilen
∇ X Y = ∇ X Y + δ(X, Y),
∇ X Y ∈ χ(M), δ(X, Y) ∈ χ(M) ⊥
eşitliğine genelleştirilmiş Gauss denklemi denir (Hacısalihoğlu 83).
Buradaki ∇ X Y ve δ(X, Y) bileşenlerine sırası ile, teğetsel ve normal bileşenleri denir.
Burada X ve Y vektör alanları sırasıyla, X
ve Y
nin M
üzerine birer
C∞ genişletilmişleridir.
Genel olarak, X ∈ χ(M) vektör alanı χ(M) = χ(M) ⊕ χ(M)⊥ eşitliği gereğince
X = X1 + X2 ,
şeklinde X1 ve
X1 ∈ χ(M) ,
X2 ∈ χ(M) ⊥
X2 gibi iki vektör alanının toplamı olarak yazılabilir. Bu vektör
alanlarından X1, X in teğetsel bileşeni ve X2 de X in normal bileşenidir.Yani ;
X1= teg (X), X2= nor (X)
dir.
9
Teorem 2.6
M bir Riemann manifoldu ve M ⊂ M m boyutlu altmanifold olsun. O zaman
∇ : χ(M) x χ(M) → χ(M)
(X,Y) → ∇ X Y = teg(∇ X Y)
şeklinde tanımlı ∇ fonksiyonu M’nin Riemann koneksiyonudur ( Hacısalihoğlu 83).
Teorem 2.7
M bir Riemann manifoldu ve M ⊂ M altmanifoldu verilsin. M ve M ’nin Riemann
koneksiyonları, sırasıyla ∇ ve ∇ olmak üzere,
δ : χ(M) x χ(M) → χ(M) ⊥
(X,Y) → δ(X, Y) = ∇ X Y − ∇ X Y
fonksiyonu χ(M)⊥ değerli, simetrik, 2 kovaryant tensördür ( Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.17
M bir Riemann manifoldu ve M’de m boyutlu altmanifoldu olsun. O zaman
δ : χ(M) x χ(M) → χ(M) ⊥
(X,Y) → δ(X, Y) = ∇ X Y − ∇ X Y
şeklinde tanımlı χ(M)⊥ değerli, simetrik, 2 kovaryant tensöre M’nin ikinci temel tensörü
veya genelleştirilmiş Weingarten dönüşümü denir (Hacısalihoğlu 83).
Teorem 2.8
n boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M ’nin m boyutlu bir altmanifoldu M olsun.
M’nin ikinci esas tensörü δ ve χ(M)⊥ in bir ortonormal bazı
{N1 , N 2 ,..., N n − k }
olmak üzere,
Bi : χ(M) × χ(M) → C∞ (M, IR)
Bi : (X, Y) = δ(X, Y), N i ,
1 ≤ i ≤ n − k,
n −k
δ(X, Y) = ∑ Bi (X, Y)N i
i =1
şeklinde tanımlı Bi fonksiyonları χ(M) üzerinde bilineer form olurlar ( Hacısalihoğlu
83).
10
Tanım 2.18 (İkinci Temel Formlar)
n boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M ’nin m boyutlu altmanifoldu M olsun. O
zaman χ(M)⊥ in
ψ = {N1 ,..., N n − k }
ortonormal bazı yardımıyla, ∀ X, Y ∈ χ(M) için,
Bi : (X, Y) = δ(X, Y), N i ;
1 ≤ i ≤ n − k,
şeklinde tanımlı Bi bilineer formlarına, M’ nin ψ ’ye göre ikinci temel formları
denir ( Hacısalihoğlu 83).
Tanım 2.19 ( i-yinci Weingarten dönüşümü)
n boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M ’ nin m boyutlu bir altmanifoldu M olsun.
χ(M)⊥ in bir ortonormal bazı
ψ = {N1 ,..., N n − k }
olmak üzere,
Si = χ(M) → χ(M)
Si (X) = teg∇ X N i ,
1 ≤ i ≤ n-k
şeklinde tanımlı Si fonksiyonuna M nin ψ ye göre i-yinci Weingarten dönüşümü denir
( Hacısalihoğlu 83).
i-yinci Weingarten dönüşümü ile ikinci temel formlar arasındaki ilgi aşağıdaki teorem
ile verilebilir.
Teorem 2.9
n boyutlu bir Riemann manifoldu M ve M ’nin bir m boyutlu altmanifoldu M’nin iyinci Weingarten dönüşümü Si ve ikinci temel formları B1,B2,…,Bn-k ise,
i) Bi (X, Y) = − Si (X), Y ;
n−k
ii) δ(X, Y) = −∑ Si (X), Y N i ,
∀X,Y ∈ χ(M),
∀X,Y ∈ χ(M)
i =1
dir ( Hacısalihoğlu 83).
11
Tanım 2.20
ζ ∈ N(M) olmak üzere
A ζ : χ(M) → χ(M)
A ζ (X) : −∇ X ζ
şeklinde tanımlı A ζ dönüşümüne M ’nın ζ ’ye göre şekil operatörü denir.
% ζ = −A X + ∇ ⊥ ζ
Ayrıca ∇
X
ζ
X
yazılabilir (O’Neill 1983, Ikawa 1985, Nakanishi 1988).
Sonuç 2.1
1) A ζ (X) ,X ve ζ ’ye göre lineerdir.
2) A ζ (X), Y = δ(X, Y), ζ
(O’Neill 1983, Ikawa 1985, Nakanishi 1988).
Tanım 2.21
δ , II. temel formu için χ(M)⊥ değerli (0,3) tipinde ∇*σ tensör alanı, ∇*σ , X,Y,Z ∈
T(M) olmak üzere
∇*Z δ(X, Y) = ∇ ⊥Z (δ(X, Y)) − δ(∇ Z X, Y) − δ(∇ Z Y, X)
şeklinde tanımlanır (Ogiue and Takagi 1981).
Tanım 2.22
% ’nın bir ortonormal bazı { e1, e2, …, en } olmak üzere
M
h=
1 n
∑ e j,e j δ(e j , e j )
n j=1
ifadesine ortalama eğrilik vektör alanı denir.
Eğer, ∇ ⊥X h = 0 ise h’ya paraleldir denir (Chen 1973).
Tanım 2.23
∀ X,Y ∈ M için,
δ(X, Y) = X, Y h
sağlanıyorsa M ’ye total umbilik altmanifold denir (Chen 1973).
12
Lemma 2.1
M total umbilik altmanifoldu için aşağıdaki şartlar denktir.
1) ∇ ⊥X h = 0
2) ∇*X δ(X, X) = 0
(Abe et al. 1989)
Tanım 2.24
Paralel ortalama eğrilik vektör alanına sahip total umbilik altmanifolda, extrinsic
hiperküre adı verilir (Nakanishi 1988).
13
3. RIEMANN MANİFOLDLARI İÇİN EXTRINSIC HİPERKÜRELER
3.1 Riemann Manifoldlarında Çemberler
M, m-boyutlu bir Riemann manifoldu ve M üzerindeki Riemann metriği, g=<,> olmak
üzere, M’de yay parametreli regüler eğri γ olsun.
M’deki Riemann koneksiyonu ∇, γ eğrisinin teğet vektör alanı γ (t) =X, γ boyunca
birim vektör alanı Y olmak üzere ; eğer γ eğrisi bir çember ise,
∇ X X = kY
(3.1.1)
∇ X Y = − kX
dir.
Burada
1
çemberin yarıçapıdır ve k sabittir.
k
Teorem 3.1.1
γ bir çemberdir ⇔ ∇ 2 X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0 (Nomizu veYano 1974).
(3.1.2)
Lemma 3.1.1
M bir Riemann manifoldu ve M ⊂ M alt manifoldu verilsin. M’de bir çember γ olsun.
Eğer γ , M ’de bir çember ise aşağıdaki şartlar sağlanır.
∇ γ ∇ γ γ + k 2 γ − A δ ( γ ,γ ) γ = 0
.
(3.1.3)
.
∇*γ& δ( γ& , γ& ) + 3δ(∇ . γ, γ ) = 0
γ
İspat :
γ , M ’de çember olsun. Bu durumda;
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
(3.1.4)
dır.
Burada ∇ , M ’nin koneksiyonu , δ II. temel formdur.
δ ’nın tanımından
14
∇ X X = δ(X, X) + ∇ X X
(3.1.5)
yazabiliriz.
Her iki tarafın türevi alınırsa
∇ X ∇ X X = ∇ X ( δ(X, X) + ∇ X X )
∇ X ∇ X X = ∇ X ( δ(X, X) ) + ∇ X ( ∇ X X )
(3.1.6)
dir.
∇ X ζ = − Aζ X + ∇ ⊥X ζ
eşitliğinde ζ = δ(X, X) alınırsa
∇ X δ(X, X) = − A δ (X,X) X + ∇ ⊥X δ(X, X)
(3.1.7)
dir.
∇* ikinci temel formun doğal koneksiyonu tanımından
∇* X δ(X, X) = ∇ X⊥ δ(X, X) − 2δ(∇ X X, X)
∇ ⊥X δ(X, X) = ∇* X δ(X, X) + 2δ(∇ X X, X)
(3.1.7)’de yerine yazılırsa
∇ X δ(X, X) = − A δ (X,X) X + ∇*X δ(X, X) + 2δ(∇ X X, X)
(3.1.8)
elde edilir.
(3.1.5)’ten
∇ X ( ∇ X X ) = δ(X, ∇ X X) + ∇ X ∇ X X
(3.1.9)
dir.
(3.1.8) ve (3.1.9) ifadeleri (3.1.6) eşitliğinde yerlerine yazılırsa
∇ X∇ X X = − A δ (X,X) X + ∇*X δ(X, X) + 2δ(∇ X X, X) + δ(X, ∇ X X) + ∇ X∇ X X
elde edilir.
δ , II. temel formu simetrik olduğundan
∇ X∇ X X = − A δ (X,X) X + ∇*X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) + ∇ X∇ X X
(3.1.10)
şeklinde yazabiliriz.
Ayrıca
γ , M ’de çember olduğundan
∇ X X = kY
(3.1.11)
dir.
15
(3.1.10) ve (3.1.11) ifadelerini (3.1.4) de yerine yazarsak;
∇ X ∇ X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
− A δ (X,X) X + ∇*X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) + ∇ X∇ X X + kY, kY X = 0
− A δ (X,X) X + ∇* X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) + ∇ X ∇ X X + k 2 Y, Y X = 0
− A δ (X,X) X + ∇*X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) + ∇ X∇ X X + k 2 X = 0
dir. Burada
∇ X∇ X X + k 2 X − A δ (X,X) X = 0
(Teğetsel kısım)
∇* X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) = 0
(Normal kısım)
X = γ olduğundan
∇ γ ∇ γ γ + k 2 γ − A δ ( γ ,γ ) γ = 0
.
.
∇*γ& δ( γ& , γ& ) + 3δ(∇ . γ, γ ) = 0
γ
dir.
3.2 Riemann Manifoldlarında Extrinsic Hiperküreler
Lemma 3.2.1
M ’ nin Riemann alt manifoldu M ve x ∈ M noktasında ortonormal vektörler {X,Y}
olmak üzere,
δ(X, Y) = 0
olsun. Bu durumda aşağıdaki şartlar sağlanır.
1) Herhangi X, Y ∈ TX(M) ortonormal çifti için
δ(X, X) = δ(Y, Y) = 0
2) h ortalama eğrilik vektörü ve X1 ∈ TX(M) keyfi birim vektör olmak üzere
h = δ(X1 , X1 )
3) M, x ∈ M noktasında umbiliktir. Yani ∀ X, Y ∈ TX(M) için,
δ(X, Y) = X, Y h
dır.
16
İspat:
1) X ve Y ortonormal olduğundan
X0 =
1
( X + Y) ,
2
Y0 =
1
( X − Y ) de ortonormaldir.
2
δ ( X 0 , Y0 ) = 0
dir.
Yani,
1
 1
δ
( X + Y ) , ( X − Y )  = 0
2
 2

1
δ (( X + Y) , ( X − Y)) = 0
2
δ ( X, X ) − δ ( X, Y ) + δ ( Y, X ) − δ ( Y, Y ) = 0
δ ( X, X ) = δ ( Y, Y )
2) {X1 , X 2 ,..., X n } , TX ( M ) nin bir ortonormal bazı olsun.
1) den
δ ( X1 , X1 ) = δ ( X 2 , X 2 ) = ... = δ ( X n , X n )
h=
1 n
∑ δ ( Xi , Xi )
n i =1
h=
1
.n.δ ( X1 , X1 )
n
h = δ ( X1 , X1 )
3) {X1 , X 2 ,..., X n } , TX ( M ) nin bir ortonormal bazı olsun. {X, Y} ∈ TX ( M ) olmak
üzere
n
n
i =1
j =1
X= ∑ a i x i ve Y= ∑ b jx j
n
 n

δ ( X, Y ) = δ  ∑ a i x i , ∑ b jx j 
j=1
 i =1

n
n
= ∑∑ a i b jδ ( x i , x j )
i =1 j=1
17
n
= ∑ a i ( b1δ ( x i , x1 ) + b 2 δ ( x i , x 2 ) + ... + b n δ ( x i , x n ) )
i =1
n
∑ a b δ(x , x ) = a b δ(x , x ) + a b δ(x
i 1
i
1
1 1
1
1
2 1
2
, x1 ) + ... + a n b1δ ( x n , x1 )
i =1
n
∑ a b δ ( x , x ) = a b δ ( x , x ) + a b δ ( x , x ) + ... + a b δ ( x
i
2
i
1
1 2
1
2
2
2
2
2
n
2
n
, x2 )
i =1
.
.
.
n
∑ a b δ ( x , x ) = a b δ ( x , x ) + a b δ ( x , x ) + ... + a b δ ( x
i
n
i
n
1 n
1
n
2
n
2
n
n
n
n
, xn )
i =1
bulunur.
Alt alta toplarsak
n
∑ a b δ(x , x ) =
i
i
i
i
X, Y δ ( X1 , X1 )
i =1
= X, Y h
⇒ δ ( X, Y ) = X, Y h
Teorem 3.2.1
n boyutlu Riemann manifoldu M , M’de M ’nin (m ≤ n) m boyutlu altmanifoldu olmak
üzere, M’ deki r > 0 yarıçaplı her çember M ’de çemberdir ⇔ M, M de extrinsic
hiperküredir
İspat:
(⇒)
γ , M’de çember olsun. X ∈ M için TXM ’de γ =X olacak şekilde ortonormal
vektör sistemi {X,Y} olmak üzere,
γ çember olduğundan
∇ X X = kY
∇ X Y = − kX
dir.
γ çember olduğundan teorem 3.1.1 gereğince
18
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
denklemine sahibiz.
γ , M ’de de çember olduğundan yine teorem 3.1.1 gereğince
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
yazabiliriz.
Ayrıca ,M altmanifold olduğundan 3.1.5 ifadesiyle
∇ X X = ∇ X X + δ(X, X)
dir.
Lemma 3.1.1’in ispatından
∇ 2X X = ∇ X ∇ X X = − A δ (X,X ) X + ∇* X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) + ∇ X ∇ X X
(3.2.1)
dır.
Şimdi
∇ X X, ∇ X X , ifadesini hesaplayalım.
∇ X X, ∇ X X = ∇ X X + δ(X, X), ∇ X X + δ(X, X), ∇ X X + δ(X, X)
= ∇ X X, ∇ X X + 2 ∇ X X, δ(X, X) + δ(X, X), δ(X, X)
∇ X X ∈ χ(M) ve δ(X, X) ∈ χ(M)⊥ olduğundan
∇ X X, δ(X, X) = 0 dır.
∇ X X, ∇ X X = ∇ X X, ∇ X X + δ(X, X), δ(X, X)
(3.2.2)
(3.2.1) ve (3.2.2) eşitliklerini
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
denkleminde yerine yazalım.
− A δ (X,X ) X + ∇* X δ(X, X) + 3δ(∇ X X, X) + ∇ X ∇ X X + ∇ X X, ∇ X X X + δ(X, X), δ(X, X) X = 0
teorem 3.1.1 ifadesi
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
olduğundan
19
3δ(X, ∇ X X) − A δ (X,X ) X + ∇* X δ(X, X) + δ(X, X), δ(X, X) = 0
dir.
Bu ifadenin
Teğetsel kısmı:
− A δ (X,X ) X + δ(X, X), δ(X, X) X = 0
ve
Normal kısmı:
3δ(X, ∇ X X) + ∇* X δ(X, X) = 0
(3.2.3)
Ayrıca ∇* , ikinci temel formun doğal koneksiyonu olmak üzere
∇* X δ(X, X) = ∇ X⊥ δ(X, X) − 2δ(∇ X X, X)
∇ ⊥X δ(X, X) = ∇* X δ(X, X) + 2δ(∇ X X, X)
normal kısmı
δ(X, ∇ X X) + ∇ X⊥ δ(X, X) = 0
(3.2.4)
şeklinde de yazabiliriz.
(3.2.3) ifadesi
3δ(∇ X X, X) = −∇*X δ(X, X)
(3.2.5)
dir.
γ çemberinin yarıçapını
O zaman r =
1
olarak almıştık.
k
1
1
⇒ k = olmak üzere
k
r
1
∇ X X = kY = Y
r
dir.
Bu ifadeyi (3.2.5) ifadesinde yerine yazarsak
1
3δ( Y, X) = −∇*X δ(X, X)
r
3
δ(Y, X) = −∇*X δ(X, X)
r
r
δ(Y, X) = − ∇*X δ(X, X)
3
(3.2.6)
20
olur.
Bu ifade bize δ(Y, X) ’in Y’ den bağımsız olduğunu gösterir.
δ(Y, X) ifadesi Y’ ye bağlı olmadığından Y yerine –Y alırsak
r
δ(− Y, X) = − ∇*X δ(X, X)
3
(3.2.7)
yazabiliriz. Buradan, (3.2.6) ve (3.2.7) ifadeleri taraf tarafa toplanırsa
2δ(X, Y) = 0
δ(X, Y) = 0
elde edilir.
Y=
1
∇X X
k
olduğundan
δ(X, ∇ X X) = 0
(3.2.8)
bulunur.
Normal kısım (3.2.4) de
δ(X, ∇ X X) + ∇ X⊥ δ(X, X) = 0
idi.
(3.2.8) gereğince
∇ ⊥X δ(X, X) = 0
olur.
h = δ(X, X) idi.
∇ ⊥X h = 0
Bu ise M ’nin h ortalama eğrilik vektörünün paralel olduğunu gösterir. Bundan dolayı
M paralel ortalama eğrilik vektör alanına sahip ve umbiliktir.
O halde M extrinsic hiperküredir.
( ⇐ ) M, M ’de extrinsic hiperküre olsun.
O zaman x∈M noktasında umbiliktir. Yani ∀ X,Y ∈ TX (M) için
δ(X, Y) = X, Y h
ve
∇ ⊥X h = 0 dır.
21
Hipotezden γ , M ’de çemberdir. γ ’ nın M ’de çember olduğunu göstereceğiz.
γ , M’de çember olduğundan
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
(3.2.9)
dır.
Ayrıca Gauss denkleminden
∇ X X = ∇ X X + δ(X, X)
∇ X X, ∇ X X = ∇ X X + δ(X, X), ∇ X X + δ(X, X)
= ∇ X X, ∇ X X + 2 ∇ X X, δ(X, X) + δ(X, X), δ(X, X)
∇ X X ∈ χ(M) ve δ(X, X) ∈ χ(M)⊥ olduğundan
∇ X X, δ(X, X) = 0 dır.
∇ X X, ∇ X X = ∇ X X, ∇ X X + δ(X, X), δ(X, X)
olur.
δ(X, X) = X, X h
2
δ(X, X), δ(X, X) = h, h = h = H 2
dır. O zaman
∇ X X, ∇ X X = ∇ X X, ∇ X X + H 2
∇ X X, ∇ X X = ∇ X X, ∇ X X − H 2
δ(X, ∇ X X) = X, ∇ X X h
=0
∇ ⊥X δ(X, X) = ∇ ⊥X h = 0
δ(X, ∇ X X) = X, ∇ X X h
δ(X, ∇ X X) − A δ (X,X ) X + ∇ ⊥ X δ(X, X) + δ(X, X), δ(X, X) = 0
∇ 2X X = ∇ 2X X + δ(X, ∇ X X) − A δ (X,X ) X + ∇ ⊥ X δ(X, X)
∇ 2X X = ∇ 2X X − H 2 X
∇ 2X X = ∇ 2X X + H 2 X
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
denkleminde bulduklarımızı yerine yazarsak;
22
∇ 2X X + H 2 X + ∇ X X, ∇ X X X − H 2 X = 0
∇ 2X X + ∇ X X, ∇ X X X = 0
elde edilir.
Böylece, γ , M ’de bir çemberdir.
3.3 Riemann Manifoldlarında Helisler
Teorem 3.3.1
M, m boyutlu Riemann manifoldu üzerinde regüler bir eğri γ olsun . γ ’nın teğet vektör
alanı X ve M üzerindeki koneksiyon ∇ olmak üzere
γ bir genel helistir (eğilim çizgisidir) ⇔ ∇ X ∇ X ∇ X X − K∇ X X = 3k1′∇ X Y
(K =
dir.
İspat :
⇒ γ eğrisi bir eğilim çizgisi olsun.
∇ X X = k1Y
∇ X Y = − k1X + k 2 Z
∇ X Z = −k 2 Y
∇ X ∇ X X = ∇ X (k1Y)
= k1′ Y + k1∇ X Y
= k1′ Y + k1 ( − k1X + k 2 Z)
= − k12 X + k1′ Y + k1k 2 Z
ve buradan da
∇ X ∇ X ∇ X X = ∇ X ( − k12 X + k1′ Y + k1k 2 Z)
= ∇ X ( − k12 X) + ∇ X (k1′ Y) + ∇ X (k1k 2 Z)
23
k1′′
− k12 − k 2 2 )
k1
= ( − k12 )′X − k12∇ X X + k1′′ Y + k1′∇ X Y + (k1k 2 )′Z + k1k 2∇ X Z
= −2kk1′ X − k12 ∇ X X + k1′′ Y + k1′ ( − k1X + k 2 Z) + (k1k 2 )′Z + k1k 2 ( − k 2 Y)
= −2kk1′ X − k12 ∇ X X + k1′′ Y − k1′ k1X + k1′ k 2 Z + k1′ k 2 Z + k1k 2′Z − k1k 2 2 Y
= −3kk1′ X + k1′′ Y − k1k 2 2 Y + 3k1′ k 2 Z − k12 ∇ X X
bulunur.
k1
= sbt ve k1′ k 2 = k1k 2′
k2
∇ X ∇ X ∇ X X = −3k1k1′ X + k1′′ Y − k1k 2 2 Y + 3k1′ k 2 Z − k12 ∇ X X
yazılabilir. Ayrıca
∇ X X = k1Y olduğunu biliyoruz.
Y=
1
∇X X
k1
ifadesini yazarsak
k ′′
∇ X ∇ X ∇ X X = −3k1k1′ X + 3k1′ k 2 Z + 1 ∇ X X − k 2 2∇ X X − k12 ∇ X X
k1
 k ′′

=  1 − k 2 2 − k12  ∇ X X + 3k1′ (− k1X + k 2 Z)
 k1



 k ′′

=  1 − k 2 2 − k12  ∇ X X + 3k1′∇ X Y
 k1



bulunur.
Buradan da
 k ′′

∇ X ∇ X ∇ X X −  1 − k 2 2 − k12  ∇ X X = 3k1′∇ X Y
 k1



veya
K=
k1′′
− k 2 2 − k12
k1
olmak üzere
∇ X ∇ X ∇ X X − K∇ X X = 3k1′∇ X Y
24
şeklinde ifade edilir.
⇐ ∇ X ∇ X ∇ X X − K∇ X X = 3k1′∇ X Y
sağlansın. Bu durumda
k1
= sabit olduğunu gösterelim.
k2
∇ X X = k1Y
olduğundan
Y=
1
∇X X
k1
(3.3.1)
veya burada bulunan
∇ X Y = − k1X + k 2 Z
(3.3.2)
(3.3.1) ifadesinin türeviyle bulunan
∇X Y = −
k1′
1
∇ X X + ∇ X∇ X X
2
k1
k1
(3.3.3)
( 3.3.3) ifadesinin tekrar türevi alınırsa,
 k ′ ′
k′
k′
1
∇ X ∇ X Y =  − 12  ∇ X X − 12 ∇ X ∇ X X − 12 ∇ X ∇ X X + ∇ X ∇ X ∇ X X
 k1 
k1
k1
k1


 k ′ ′
k′
1
=  − 12  ∇ X X − 2 12 ∇ X ∇ X X + ∇ X ∇ X ∇ X X
 k1 
k1
k1


(3.3.4)
olur.
(3.3.4) eşitliğinde,
∇ X ∇ X ∇ X X = K∇ X X + 3k1′∇ X Y
ifadesini yerine yazalım.
 k ′ ′
k′
K
k′
∇ X ∇ X Y =  − 12  ∇ X X − 2 12 ∇ X ∇ X X + ∇ X X + 3 1 ∇ X Y
 k1 
k1
k1
k1




′
k′
k′
 k1′  K 
=  − 2  +  ∇ X X − 2 12 ∇ X ∇ X X + 3 1 ∇ X Y


k1
k1
 k1  k1 


bulunur.
25
(3.3.5)
Ayrıca
∇ X Y = − k1X + k 2 Z
∇ X ∇ X X = k1′ Y + k1∇ X Y
= k1′ Y + k1 ( − k1X + k 2 Z)
= − k12 X + k1′ Y + k1k 2 Z
değerlerini (3.3.5)’ de yerine yazarsak;


′
k′
k′
 k1′  K 
∇ X ∇ X Y =  − 2  +  ∇ X X − 2 12 (− k12 X + k1′ Y + k1k 2 Z) + 3 1 (− k1X + k 2 Z)


k1
k1
 k1  k1 




′
2k ′ k ′
2k ′ k
3k ′ k
 k1′  K 
=  − 2  +  ∇ X X + 2k1′ X − 1 2 1 Y − 1 2 Z − 3k1′ X + 1 2 Z


k1
k1
k1
 k1  k1 




′
2k ′ k ′
k ′k
 k1′  K 
∇ X ∇ X Y =  − 2  +  ∇ X X − k1′ X − 1 2 1 Y + 1 2 Z


k1
k1
 k1  k1 


(3.3.6)
veya
∇ X Y = − k1X + k 2 Z
olduğundan
∇ X ∇ X Y = − k1′ X − k1∇ X X + k 2′Z + k 2∇ X Z
= − k1′ X − k1 (k1Y) + k 2′Z + k 2 ( − k 2 Y)
= − k1′ X − (k12 + k 2 2 )Y + k 2′Z
(3.3.7)
bulunur.
(3.3.6) ile (3.3.7) eşit olacağından (3.3.7) eşitliğinin her iki yanını Z ile çarparak
k1′ k 2
= k 2′
k1
bulunur ve buradan integral alınırsa
ln k1 + ln c1 = ln k2 + ln c2
k1
= sabit olur. Şu halde α eğrisi bir eğilim çizgisidir.
k2
26
Lemma 3.3.1
M deki bir birim hızlı eğri γ ;
.
.
γ bir dairesel helistir ⇔ ∇ . ∇ . ∇ . γ = λ∇ . γ
γ
γ
γ
γ
λ = − k12 − k 22 dır ( Nakanishi 1988 ).
Teorem 3.3.2
~
M, M Riemann manifoldunun altmanifoldu olsun. Aşağıdaki şartlar denktir.
a) M deki her geodezik
~
V1 ,V1 = 1 olmak üzere M da helistir.
b) ∇ *δ = 0
(Aksu D., 2004).
Teorem 3.3.3
~
M, M Riemann manifoldunun altmanifoldu olsun. k1 , k 2 pozitif sabiti için aşağıdaki
şartlar denktirler.
a) V1 ,V1 = 1 ,
.
.
∇ . γ ,∇ . γ = k 2 ,
γ
γ
.
.
∇ . ∇ . γ , ∇ . ∇ . γ = k 4 + k12 k 22 olmak üzere
γ
γ
γ
γ
~
M deki her helis M de bir helistir.
b) M bir total geodezik altmanifolddur (Nakanishi Y., 1988 ).
Teorem 3.3.4
~
M, M Riemann manifoldunun altmanifoldu olsun. k1 , k 2 pozitif sabiti için aşağıdaki
şartlar denktirler.
a)
V1 ,V1 = 1 ,
.
.
∇ . γ ,∇ . γ = k 2 ,
γ
γ
.
.
∇ . ∇ . γ , ∇ . ∇ . γ = k 4 olmak üzere
γ
~
M deki her helis M de bir helistir.
b) M bir extrinsic hiperküredir.
(Aksu 2004).
27
γ
γ
γ
Teorem 3.3.5
~
M, M Riemann manifoldunun altmanifoldu olsun. k1 , k 2 pozitif sabiti için aşağıdaki
şartlar denktirler.
a) V1 ,V1 = 1 ,
.
.
∇ . γ , ∇ . γ = k 2 olmak üzere
γ
γ
~
M deki her çember M de bir helistir.
b) M bir extrinsic hiperküredir.
(Nakanishi 1988 ).
28
4. İKİNCİ DERECEDEN EĞRİLER VE ALT MANİFOLDLAR
4.1
İkinci Dereceden Eğri
γ = γ (s) eğrisi yay uzunluğu ile verilmiş olsun. γ boyunca ortonormal baz alanları
.
{V1= γ , V2, …, Vd} ve k1(s), k2(s), …,kd-1(s)
pozitif sabitler olmak üzere
∇ . Vj (s) = − k j−1 (s)Vj−1 (s) + k j (s)Vj+1 (s)
γ
j = 1,2,…,d
denklemini sağlanıyor ise, γ ’ ya d.mertebeden Frenet eğrisi denir.
Burada ( V0 ≡ Vd+1 ≡ 0 ve ∇ , γ boyunca kovaryant türev )
kj, (j = 1,2,…,d-1) sabitlerine γ eğrisinin eğrilikleri denir.
d mertebeden bir Frenet eğrisi için eğer bütün eğrilikler sabit ise eğriye helis adı verilir.
j = 1 için ∇ . V1 (s) = − k 0 (s)V0 (s) + k1 (s)V2 (s)
γ
j = 2 için ∇ . V2 (s) = − k1 (s)V1 (s) + k 2 (s)V3 (s)
γ
2. dereceden Frenet eğrisi olduğu için V0 ≡ V3 ≡ 0 gereğince
∇ . V1 (s) = k1 (s)V2 (s)
γ
∇ . V2 (s) = − k1 (s)V1 (s)
γ
dir.
d = 2 için 2.mertebeden eğriler k eğrilikli çemberlerdir.
O zaman γ çember ise ∇ . V1 (s ) = k 1 (s ) V2 (s )
γ
∇ . V2 (s ) = − k 1 (s ) V1 (s )
γ
eşitliklerine sahibiz.
M bir Riemann manifold olsun. M üzerinde γ eğrisi s yay uzunluğu verilmiş olsun.
M nin Riemann koneksiyonu ∇ , γ nın teğet vektörü γ& olmak üzere
. 2
.
. 2 .
.
.
.
∇ . γ ∇ . ∇ . γ + ∇ . γ γ  = ∇ . γ , ∇ . ∇ . γ ∇ . γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
 γ γ

29
(4.1)
denklemi sağlanıyor ise γ ’ ya M üzerinde 2. dereceden eğri adı verilir.
2 dereceden eğriler ilginç özeliklere sahip olduklarından bunların özeliklerini aşağıdaki
gibi ifade edebiliriz.
Lemma 4.1.1
M bir Riemann manifoldu γ da M de yay parametresi ile verilmiş eğri olsun. Bu
durumda γ , M ’ de 2. dereceden Frenet eğrisi ise
. 2
.
. 2 .
.
.
.
∇ . γ ∇ . ∇ . γ + ∇ . γ γ  = ∇ . γ , ∇ . ∇ . γ ∇ . γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
 γ γ

denklemi sağlanır .
İspat:
γ , 2. dereceden Frenet eğrisi olsun. Bu durumda
.
∇ . γ = k1V2
γ
∇ . V2 = -k1V1
γ
.
V1 = γ
alalım.
.
∇ . γ = k1V2 ifadesinin türevi alınırsa
γ
.
∇ . ∇ . γ = ∇ . ( k1V2 )
γ
γ
γ
.
= k1 V2 + k1∇ . V2
γ
.
= k1 V2 - k12V1,
.
•
V1= γ
(4.1.1)
.
= k1 V2 - k12 γ
.
∇ . γ = k1V2 ⇒
γ
.
k1 = ∇ . γ, V2
γ
dir. Buradan
.
.
.
k1 = ∇ . ∇ . γ, V2 + ∇ . γ, ∇ . V2
γ
γ
γ
γ
30
.
.
.
k1 = ∇ . ∇ . γ, V2 + ∇ . γ, − k1V1
γ
γ
γ
.
.
.
k1 = ∇ . ∇ . γ, V2
γ
- k1 ∇ . γ, V1
γ
γ
( < V1 , V1 > = 1 )
.
∇ . γ, V1 = 0
γ
olduğu göz önüne alınırsa
.
.
k1 = ∇ . ∇ . γ, V2 dir.
γ
(4.1.2)
γ
.
(4.1) denkleminde k1 yerine (4.1.2) ifadesini yazarsak
.
.
γ
.
∇ . ∇ . γ, V2 V2 - k12 γ
∇.∇. γ =
γ
γ
γ
.
.
∇ . ∇ . γ,
=
γ
.
∇. γ ∇. γ
γ
γ
γ
k1
k1
.
- k12 γ
.
.
.
.
1
2
∇
. ∇ . γ , ∇ . γ ∇ . γ - k1 γ
γ γ
γ
γ
k12
=
.
.
.
∇ . ∇ . γ, ∇ . γ ∇ . γ - k14
γ
=
γ
k
γ
.
γ
γ
γ
. 2
∇. γ
γ
.
.
.
γ
.
γ
2
{∇ ∇ γ + k }
.
γ
.
γ
2
1
.
=
∇ . γ, ∇ . γ
=
k1V2 , k1V2
γ
γ
.
.
∇ . ∇ . γ , ∇ . γ ∇ . γ = k1
γ
elde edilir.
∇ . ∇ . γ , ∇ . γ ∇ . γ - k14 γ
γ
.
γ
2
1
.
.
k12 ∇ . ∇ . γ =
γ
γ
γ
= k12 V2 , V2
= k12
31
.
.
{∇ ∇ γ + k }
.
. 2
.
∇ . ∇ . γ, ∇ . γ ∇ . γ = ∇ . γ
γ
γ
γ
γ
.
γ
γ
2
1
.
γ
elde edilir ki bu da γ ’ nın 2. derece eğri olması demektir.
Lemma 4.1.2
M bir Riemann manifoldu γ ’da M de yay parametresi ile verilsin. Bu durumda
.
k ( s ) = ∇. γ
γ
.

∇. γ
.

γ
 V1 = γ, V2 =
.

∇. γ
γ


.

 , ∇ γ. γ


> 0 olmak üzere γ 2.dereceden bir eğri ise, γ 2.
dereceden Frenet eğrisidir.
İspat :
.
γ eğrisi 2. dereceden eğri ve ∇ . γ > 0 olsun. Bu durumda γ eğrisi
γ
. 2
.
. 2 .
.
.
.
∇ . γ ∇ . ∇ . γ + ∇ . γ γ  = ∇ . γ, ∇ . ∇ . γ ∇ . γ
γ
γ
γ
γ
γ
γ
 γ γ

denklemini sağlar.
.
∇. γ = k
γ
. 2
= k2
∇. γ
γ
.
.
∇ . γ , ∇ . γ = k2
γ
γ
Son ifadenin her iki tarafının türevini alalım.
.
.
∇ . ∇ . γ, ∇ . γ +
γ
γ
γ
.
.
.
.
.
∇ . γ, ∇ . ∇ . γ = 2k k
γ
γ
γ
simetri özeliğinden
.
.
∇ . ∇ . γ, ∇ . γ +
γ
γ
γ
.
.
.
∇ . ∇ . γ, ∇ . γ = 2k k
γ
γ
γ
.
2 ∇ . ∇ . γ, ∇ . γ = 2k k
γ
γ
γ
32
.
.
.
∇ . ∇ . γ, ∇ . γ = k k
γ
γ
γ
.
k = ∇. γ
γ
.
V2 =
∇. γ
γ
.
∇. γ
γ
.
V2 =
∇. γ
γ
k
.
∇ . V2 =
.
.
∇ . ∇ . γ .k- k ∇ . γ
γ
γ
γ
γ
k
2
pay ve paydayı k ile genişletirsek
.
.
.
∇ . ∇ . γ .k 2 - kk ∇ . γ
=
=
=
γ
γ
γ
k
3
.
.
1 2 .
[k (k V2 − k 2 γ ) − k k kV2 ]
3
k
.
.
1 2 .
[k k V2 − k 4 γ− k 2 k V2 ]
3
k
.
= - kγ
Böylece ispat tamamlanmış oldu.
M üzerinde 2. dereceden γ eğrisi için negatif olmayan ∇ γ& γ& fonksiyonunu, γ ’nın
eğriliği olarak adlandıracağız. Biliyoruz ki, tüm geodezikler ve çemberler (4.1) eşitliğini
sağlar ve 2. dereceden eğrilerin bir çok örneği vardır. Fakat genel olarak, 2. dereceden
bir eğri 2. dereceden bir Frenet eğrisi değildir. Gerçekten, 2. dereceden bir eğrinin γ (s 0 )
şeklinde bir inflection noktası (büküm noktası) olduğunu kabul ediyoruz ve bu nokta
(∇ γ& γ& )(s 0 ) = 0 şartını sağlar. Böylece söyleyebiliriz ki tüm düzlem eğriler bir 2.
dereceden eğridir. Eğer bir eğri, lokal olarak, herhangi bir reel 2 boyutlu tamamen
geodezik bir altmanifold içinde yer alıyorsa, bu eğriye düzlem eğri denir.
33
2. dereceden Frenet eğrilerinden daha geniş kapsamda bahsedebiliriz. Şayet γ& ye
ortogonal V boyunca bir V birim vektör alanı var ise ve
(∇ γ& γ& )(s) = k(s)V(s),
∇ γ& V(s) = -k(s) γ& (s)
(4.1.3)
şartlarını sağlayan k fonksiyonu var ise yay uzunluğu ile parametrize edilen bir γ eğrisi
geniş anlamda bir ikinci dereceden Frenet eğrisi olarak adlandırılır.Burada k nın pozitif
olması gerekmiyor. Bu k fonksiyonuna bundan sonra γ ’nın eğriliği diyeceğiz. γ , 2.
dereceden geniş anlamda bir Frenet eğrisi olduğunda (geodezik değil) (k,V) ya da (-k,V)
(4.1.3)
denklemlerini
sağlar.
Yay
uzunluğu
tarafından
ile
edilen
diferensiyellenebilir düzlem eğrisi, geniş anlamda 2. dereceden bir Frenet eğridir. Öklid
uzayında, geniş anlamdaki tüm 2. dereceden Frenet eğrileri düzlem eğrisidir. Lemma
4.1.1 ’in ispatı bize geniş anlamdaki 2 .dereceden tüm Frenet eğrilerinin 2. dereceden
bir eğri olduğunu gösterir ama tersi doğru değildir. Yani 2. dereceden tüm eğriler aynı
zamanda geniş anlamda 2. dereceden Frenet eğrisi değildir. Bunu basitçe aşağıdaki
örneklerle göstermek mümkündür.
Örnek 4.1.1
γ , IR3 Öklid uzayında bulunan ve aşağıdaki gibi tanımlanan bir diferensiyellenebilir
eğri olsun.
(t, e−1/ t2 ,0), t<0,

t = 0,
γ (t) = (0,0,0),
2

−1/ t
(t,0,e ), t >0.
t ’yi yay uzunluk parametresine göre tekrar parametrize ettiğimizde, γ (s) eğrisi eşitlik
(4.1) ’i sağlar. Yani 2. dereceden eğridir.
Örnek 4.1.2
p, IR3 Öklid uzayında aşağıdaki gibi tanımlanan bir diferensiyellenebilir eğri olsun.
(t,e −1/ t ,0), t <0,
p(t) = 
−1/ t 2
(t,0,e ), t ≥ 0.
2
t ’yi yay uzunluk parametresi s ’ye göre tekrar parametrize ettiğimizde, p(s) eğrisi de
(4.1)’i sağlar.
34
Eğer bunu örnek 4.1.1 deki γ (s) eğrisiyle kıyaslarsak, (4.1) in orjindeki çözüm
kümelerinden birini buluruz. Hatırlatmak gerekir ki, p eğrisi bir düzlem eğrisidir ve
şunu söyleyebiliriz ki p eğrisi geniş anlamda 2. dereceden bir Frenet eğrisidir.
Lemma 4.1.3
γ Frenet eğrisi olsun. γ bir çember veya geodeziktir. ⇔ ∇ γ& ∇ γ& γ& + k 2 γ& = 0
İspat:
⇒ γ bir Frenet eğrisi olsun. ∇ γ& ∇ γ& γ& = ∇ γ& (kV2 )
= k ∇ γ& V2
= - k2V1
∇ γ& ∇ γ& γ& + k2V1 = 0
⇐ Kabul edelim ki ∇ γ& ∇ γ& γ& + k2V1 = 0
∇ γ& ∇ γ& γ& + k2 γ = 0
& - k2 γ& + k2 γ& = 0
kV
2
& =0
kV
2
k& = 0
k= c, sabit olduğundan çemberdir.
Lemma 4.1.4
k = ∇ γ& γ& olmak üzere
& < ∇ γ& ∇ γ& γ& , ∇ γ& γ& > ∇ γ& γ& + k 4 γ& = 0 denklemini
γ eğrisi 2. dereceden eğrisi ise k 2∇ γ& ∇ γ& γ−
sağlar.
İspat:
( ⇒ ) γ 2. dereceden eğri olsun. O zaman (4.1) ifadesini sağlar.
.
. 2 .
.
.
.

∇ . γ ∇ . ∇ . γ + ∇ . γ γ  = ∇ . γ, ∇ . ∇ . γ ∇ . γ
γ
γ
γ
γ γ
γ
 γ γ

. 2
35
k = ∇ γ& γ& olmak üzere
& < ∇ γ& ∇ γ& γ& , ∇ γ& γ& > ∇ γ& γ& + k 4 γ& = 0
k 2∇ γ& ∇ γ& γ−
olur.
4.2 Exrinsik Hiperküreler
Lemma 4.2.1
M Riemann manifoldunun alt manifoldu M olmak üzere, f M den M ’ye izometrik
immersiyon olsun. M ’de k eğrilikli çember M ’de 2. derece eğri ise aşağıdaki şartlar
sağlanır :
i.
.
. .

κ 2  − A . . γ + δ ( γ, γ )
 δ ( γ ,γ )
{
.
.
.
.

γ = κ κ ∇ . γ
γ

2 .
.
}
.
.
(4.2.1)
.
ii. κ 2 3k δ ( γ, V2 ) + ∇*. (δ ( γ, γ ))) = κ κ δ ( γ, γ )
γ
(4.2.2)
% daki eğri olmak üzere nın κ , β nın eğriliğidir.
Burada, β = f o γ , M
.
κ=
.
k 2 + δ ( γ, γ )
2
dır.
% e göre kovaryant türevini ifade eder.
% . β boyunca, ∇
∇
γ
İspat:
γ eğrisi M ’de k eğrilikli bir çember olsun. Bu durumda
.
∇ . γ = kV2
γ
∇ . V2 = -kV1
γ
ve
.
.
∇ . ∇ . γ + k2 γ = 0
γ
γ
olduğunu biliyoruz. Ayrıca hipotezden γ , M 2. derece bir eğri olduğuna göre γ eğrisi
için
36
. 2
.
. 2 .
.
.
.
% . γ ∇
% .∇
% . γ+ ∇
% . γ γ  = ∇
% . γ, ∇
% .∇
%.γ ∇
%.γ
∇
γ
γ
γ
γ γ
γ
 γ γ

(4.2.4)
denklemini sağlar.
Burada ∇ , M ’nin koneksiyonu ve ∇ , M ’nin koneksiyonu olmak üzere,
.
.
.
.
∇ γ. γ = ∇ . γ + δ ( γ , γ )
(Gauss denklemi)
γ
.
.
.
= ∇ . γ + δ ( γ, γ )
(4.2.5)
γ
Eşitliğin her iki tarafın türevini alalım.
.
.
.
.
% .∇
%.γ =∇
% . ( ∇ . γ + δ ( γ, γ ) )
∇
γ
γ
γ
γ
.
.
.
% . (∇. γ ) + ∇
% . ( δ ( γ, γ ) )
= ∇
γ
γ
(4.2.6)
γ
(4.2.6) ifadesinde toplam ifadelerini ayrı ayrı bulup yerine yazalım.
4.2.5 ifadesinden
.
.
.
.
% . (∇ . γ ) = ∇ . ∇ . γ + δ (∇ . γ, γ )
∇
γ
γ
γ
γ
(4.2.7)
γ
bulunur.
Ayrıca
.
.
% . δ ( γ, γ ) = - A
∇
γ
.
. .
δ( γ ,γ )
.
.
γ + ∇ . ⊥δ ( γ, γ )
(4.2.8)
γ
Burada δ için 2. temel form
.
.
.
.
.
.
∇*. (δ ( γ, γ )) = ∇ . ⊥ δ ( γ , γ ) - 2 δ (∇ . γ, γ )
γ
γ
.
γ
.
.
.
.
.
∇ . ⊥ δ ( γ , γ ) = ∇*. (δ ( γ, γ )) + 2 δ (∇ . γ, γ )
γ
γ
γ
Bu ifadeyi (4.2.5) ’de yerine yazarsak
.
.
% . δ ( γ, γ ) = - A
∇
γ
.
.
. .
δ( γ ,γ )
.
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ )) + 2 δ (∇ . γ, γ )
γ
(4.2.9)
γ
bulunur.
(4.2.7)ve (4.2.9) ifadelerini (4.2.6) ’de yerine yazalım.
.
.
.
.
% .∇
% . γ = ∇ . ∇ . γ + δ (∇ . γ , γ ) - A
∇
γ
γ
γ
γ
γ
.
.
δ( γ ,γ )
γ
γ
.
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ )) + 2 δ (∇ . γ, γ )
.
= ∇ . ∇ . γ + 3 δ (∇ . γ , γ ) - A
γ
.
.
. .
γ
γ
.
.
. .
δ( γ ,γ )
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ ))
γ
37
.
= ∇ . (kV2 ) + 3 δ (kV2 , γ ) - A
γ
δ( γ ,γ )
.
= k ∇ . V2 + 3k δ (V2 , γ ) - A
γ
.
δ( γ ,γ )
. 2
.
.
.
γ
.
.
. .
δ( γ ,γ )
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ ))
γ
.
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ ))
. .
δ( γ ,γ )
(4.2.10)
γ
2
.
% . γ = k 2 + δ ( γ, γ )
Biz κ = ∇
2
γ
.
.
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ ))
γ + ∇*. (δ ( γ, γ ))
. .
= k ( − k γ ) + 3k δ (V2 , γ ) - A
= - k2 γ + 3k δ (V2 , γ ) - A
.
.
. .
olduğunu biliyoruz.
γ
(4.2.4) de eşitliğin sol tarafı (4.2.5) ve (4.2.10) ifadelerini yazarak
.
.
κ 2 {- k2 γ + 3k δ (V2 , γ ) - A
.
.
. .
δ( γ ,γ )
.
.
.
.
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ )) + κ 2 γ } = κκ′ { kV2 + δ ( γ , γ ) (4.2.8)
γ
bulunur.
Eşitliğin sağ tarafı şu şekilde açılabilir.
.
.
.
.
.
% . ( κV ) (kV + δ( γ, γ ))
% . γ, ∇
% .∇
%γ ∇
% . γ = κV , ∇
∇
2
2
2
γ
γ
γ
γ
n!
r!( n − r ) !
.
.
% . V (kV + δ( γ, γ ))
= κV2 , κ′V2 + κ∇
2
2
γ
. .

% . V  (kV + δ( γ, γ ))
=  κV2 , κ′V2 + κV2 , κ∇
2 
2
γ


. .

% . V  (kV + δ( γ, γ ))
=  κκ′ V2 , V2 + κκ V2 , ∇
2 
2
γ


% . V = 0 olduğundan
V2 , V2 = 1 ve V2 , ∇
2
γ
.
.
= κκ′ (kV2 + δ( γ , γ ))
.
.
κ 2 {- k2 γ + 3k δ (V2 , γ ) - A
.
.
. .
δ ( γ ,γ )
.
.
γ + ∇*. (δ ( γ, γ )) + κ 2 γ } = κκ′ { kV2 + δ ( γ , γ ) }
γ
Buna göre, teğetsel ve normal kısım şu şekilde yazılır.
.
.
δ ( γ , γ ) ∈ ψ ⊥ (M) ,
.
.
.
% . δ ( γ, γ ) ∈ ψ ⊥ (M) , kδ ( γ, V ) ∈ ψ ⊥ (M)
∇
2
γ
38
olduğundan
.
κ 2 { - k2 γ - A
κ2 { - A
.
.
γ + κ 2 γ } = k κκ′ V2
. .
δ ( γ ,γ )
.
. .
δ ( γ ,γ )
.
γ + ( κ 2 − k 2 ) γ } = k κκ′ V2
.
. .

κ  − A . . γ + δ ( γ, γ )
δ ( γ ,γ )


γ  = k κκ′ V2 Teğetsel kısım

2 .
2
{
.
.
}
.
.
.
κ 2 3k δ ( γ, V2 ) + ∇*. (δ ( γ, γ )) = κκ′ δ ( γ , γ ) Normal kısım
γ
(4.2.9)
(4.2.10)
% ’de 2.derece eğri ise yukarıdaki şartları sağlamış olduğunu
M ’de κ eğrilikli çember M
göstermiş olduk.
(4.2.9) denkleminin her iki yanını V2 ile, (4.2.10) denkleminin her iki yanını da
.
.
δ ( γ, γ ) ile çarpalım. k > 0 olduğu zaman κ > 0 olduğunu görebiliriz.
.
. .

κ2  − A . . γ + δ ( γ, γ )
δ ( γ ,γ )

κ2
−A
.
. .
δ ( γ ,γ )
γ, V2 + κ 2

γ  , V2

2 .
.
.
δ ( γ, γ )
= kκκ′V2 , V2
2 .
γ, V2 = kκκ′
.
γ, V2 = 0 olduğundan
κ2
−A
.
. .
δ ( γ ,γ )
γ, V2 = kκκ′
her iki tarafı κ ya bölersek,
κ −A
.
. .
δ ( γ ,γ )
γ, V2 = kκ′
dır. Bu ifade de − A
. .
δ ( γ ,γ )
şekil operatörünün yerine eşitini yazarsak
A ζ (X), Y = δ(X, Y), ζ
.
.
.
teoremine göre, X = γ , Y=V2, ζ = δ ( γ , γ ) alırsak
− A
.
. .
δ ( γ ,γ )
.
.
.
γ, V2 = − δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ )
39
bulunur.
Yerine yazarsak,
.
.
.
−κ δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) = kκ′
(4.2.11)
.
.
(4.2.10) denkleminin her iki tarafını δ ( γ, γ ) ile çarpalım.
{
.
.
.
}
.
.
.
.
.
.
κ 2 3k δ ( γ, V2 ) + ∇*. (δ ( γ, γ )) , δ ( γ, γ ) = κκ′δ ( γ, γ ), δ ( γ, γ )
γ
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
3κ 2 k δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + κ 2∇*. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) = κκ′ δ ( γ, γ )
γ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3κ 2 k δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + κ 2 ∇*. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) = κκ′ δ ( γ, γ )
γ
Her tarafı
k
ile çarpalım.
κ
.
.
.
3κk 2 δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + κk ∇*. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) = kκ′ δ ( γ, γ )
γ
kκ′ yerine (4.2.11) ifadesini yazalım.
.
.
.
3κk 2 δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + κk ∇*. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) = −κ δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ )
.
.
2
.
.
2
δ ( γ, γ )
γ
eşitliği bir tarafa taşıyalım.
.
.
.
3κk 2 δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + κk ∇*. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) + −κ δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ )
δ ( γ, γ )
γ
κ ’ya bölelim.
3k
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + k ∇ . (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) + δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ )
*
γ
.
δ ( γ, γ )
ortak paranteze alırsak
. .
 2
3k + δ ( γ, γ )

2
.
. .
. .
. .

*
 δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + k ∇ γ. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) = 0

40
.
2
=0
=0
Teorem 4.2.1
% n + p Riemann manifoldunun alt manifoldu olsun.
Mn , M
Bu durumda aşağıdaki şartlar denktir.
n+p
1) M n , M
de extrinsic bir hiperküredir.
% n + p de 2. dereceden
2) k pozitif sabiti için M n deki k eğrilikli her çember M
eğridir.
İspat:
Lemma 4.2.1’den
. .
 2
3k + δ ( γ, γ )

2
.
. .
. .
. .

*
 δ ( γ, V2 ), δ ( γ, γ ) + k ∇ γ. (δ ( γ, γ )), δ ( γ, γ ) = 0

(4.2.12)
yazılabilir. X, Y ∈ TM ortonormal vektörleri için X, -Y ortonormal vektörleri alırsak
{
- 3k 2 + δ (X, X)
2
}
.
.
δ (X, X), δ (X, Y) + k ∇*. (δ ( γ, γ )), δ (X, X) = 0
γ
(4.2.13)
(4.2.12) ve (4.2.13) ifadelerini taraf tarafa çıkarırsak ,
δ (X, X), δ (X, Y) = 0
X, Y ortonormal vektörleri için bu ifadeyi elde ederiz.
.
M üzerinde γ çemberi için, (4.2.1) denklemini ∇ . γ ile çarpalım.
γ
.
. .

κ2 − A . . γ + δ ( γ, γ )
 δ ( γ ,γ )
(
κ2 − A
.
.
. .
δ ( γ ,γ )
)
.
.
.

γ  , ∇ . γ = κκ′∇ . γ, ∇ . γ
γ
γ
 γ
2 .
.
.
γ ,∇ . γ
γ
.
δ ( γ, γ )
+
2 .
.
.
.
γ, ∇ . γ = κκ′ ∇ . γ, ∇ . γ
γ
γ
γ
.
γ ve ∇ . γ ortogonal olduğundan
γ
.
.
.
.
γ, ∇ . γ = 0 ve ∇ . γ, ∇ . γ = kV2 , kV2 = k2
γ
γ
γ
dir.
−κ 2 A
.
. .
δ ( γ ,γ )
.
γ ,∇ . γ
γ
= k2 κκ′
(4.2.14)
41
A ζ (X), Y = δ(X, Y), ζ
.
.
.
.
sonuç 2.1 e göre , X = γ , Y= ∇ . γ , ζ = δ ( γ , γ ) alırsak
γ
.
A
. .
δ ( γ ,γ )
.
.
.
.
γ, V2 = δ ( γ, ∇ . γ ), δ ( γ, γ )
γ
olur.
Bulduğumuz ifadeyi (4.2.14) de yerine yazarsak
k2 κκ′ = −κ 2
.
.
.
.
δ ( γ, ∇ . γ ), δ ( γ, γ ) = 0
γ
dir.
κ′ = 0 olduğundan 2. dereceden β eğrisinin κ eğriliği sabittir. Böylece β çemberdir.
42
5. KAHLER MANİFOLDLARI VE HOLOMORFİK HELİSLER
5.1 Simplektik Vektör Uzayı
Tanım 5.1.1
IR reel sayılar cismi üzerinde bir vektör uzayı V olsun. Ω :V x V → IR bilineer
dönüşümü her u,v ∈ V için Ω (u,v) = - Ω (u,v) ise Ω ya anti-simetrik bilineer dönüşüm
denir.(Hacısalihoğlu 1997)
Teorem 5.1.1
V reel vektör uzayı üzerinde anti-simetrik bilineer bir dönüşüm Ω olsun.Bu durumda
aşağıdaki şartları sağlayan V nin bir u1, …, uk, e1,…,en, f1,…,fn bazı vardır.
Ω (ui,v) = 0 ; ∀ v∈V
Ω (ei,ej) = Ω (fi,fj) = 0 ; 1 ≤ i,j ≤ n
Ω (ei,fj) = δij
(Cannas da Silva 2000)
Sonuç 5.1.1
1) Teorem 5.1.1 deki baz tek değildir. Ancak bu baza kanonik baz adı verilir.
2) Rank Ω = 2n, boy V = m = 2n + k dır.
3) Ω anti simetrik bilineer dönüşümü matris notasyonunda
0

Ω(u, v) = u . 0
0
t
0
0
-In
0 

-In 
0 
(2n + k )x(2n + k )
şeklinde yazılabilir.
U = {u ∈ V : Ω(u, v) = 0, ∀v ∈ V} cümlesi V nin bir alt uzayıdır.
Tanım 5.1.2
IR üzerinde m boyutlu bir vektör uzayı V ve Ω : V x V → IR anti simetrik bilineer
dönüşüm olsun.V nin duali V* olmak üzere
43
ˆ : V → V*
Ω
ˆ (v) : V → IR
v→ Ω
ˆ (v)) = Ω(u, v)
u → (Ω
şeklinde tanımlı Ω̂ dönüşümünün çekirdeği U dur. Gerçekten Ω bilineer bir dönüşüm
olur. Şimdi Ω̂ nın çekirdeğinin U olduğunu gösterelim. Çek Ω̂ ={u∈V: Ω̂ (u) = 0}
olduğunu biliyoruz.Her v∈V için
ˆ (u))(v) = 0(v) ⇒ Ω(u, v) = 0
(Ω
olur. U cümlesinin tanımından Çek Ω̂ =U elde ederiz.
Eğer Ω̂ bijektif yani U = {0} ise, Ω ya V üzerinde bir simplektik yapı (simplektik
form) ve (V, Ω ) ikilisine de simplektik vektör uzayı adı verilir (Canas da Silva 2000).
Sonuç 5.1.2
(V, Ω ) simplektik vektör uzayında,
1) Boy U = k = 0 olduğundan boyV = 2n çift bir sayıdır.
2) Teorem 1.1.2 den bir bir (V, Ω )simplektik uzayının aşağıdaki özelikleri sağlayan bir
e1,e2,…,en,en+1,…e2n bazı vardır:
Ω(ei ,e j ) = Ω(e n + i , e n + j ) = 0 ve Ω(ei ,e n + j ) = δij ,1 ≤ i, j ≤ n
Böyle bir baza (V, Ω ) nın “kanonik simplektik bazı”adı verilir.Bu baza karşılık gelen Ω
simplektik formunun matrisi
0
J= 
-In
In 
0 
şeklindedir.
3) Ω bilineer, anti –simetrik ve non dejenere özelliğine sahiptir(Canas da Silva 2000) .
Örnek 5.1.1
2n boyutlu V reel vektör uzayının kanonik simplektik bazı {e1,e2,…,en,en+1,…e2n} ve V
nin duali olan V* uzayının da bu baza dual bazı {e1*,e2*,…,en*,en+1*,…e2n*} olsun.Bu
durumda
n
Ω :V x V → IR, Ω = ∑ ei* ∧ e* n + i
i =1
44
şeklinde tanımlı dönüşüm V üzerinde bir simplektik formdur.
Örnek 5.1.2
V = IR2 alırsak, Ω :IR2 x IR2 → IR simplektik formu,
∀ v,v’∈IR için v = xe1 + ye2 ve v’ = x’e1 + y’e2 olmak üzere
Ω (v, v′ ) = x y′ - x′ y =
x
x′
y
y′
olur.
O halde Ω(v, v′) sayısı, aşağıdaki şekildeki gibi v ve v′ vektörleri üzerine kurulan
paralel kenarın alanını verir.
e2
v′ ’
Ω(v, v′)
e1
Tanım 5.1.3
(V, Ω ) simplektik uzay olsun.Her v,w ∈V için Ω (v,w) = 0 ise v ile w ya Ω ortogonal,
anti ortogonal veya kısaca ortogonaldir denir ve v ⊥ w biçiminde gösterilir (Berndt
2000).
Eğer (K,+,.) bir cisim olmak üzere V= K2n alınırsa (K2n, Ω ) ikilisine standart simplektik
uzay denir.
Örnek 5.1.3
k∈N için K cismi üzerinde (2n+k) boyutlu bir U vektör uzayı vardır öyle ki
ˆ : UxU → K
Ω
dönüşümü anti simetrik, bilineer ve rank Ω̂ =2n olsun. Ω̂ nın sıfırlayanı
U0={u∈U: Ω̂ (u,w)=0; ∀ w∈U}
45
ve rankU0=k dır. Ω̂ nın U/U0 üzerine kısıtlanması ile Ω simplektik formunu elde
ederiz. Böylece (V, Ω̂ ) uzayına, (U, Ω̂ ) uzayının indirgenmişi denir.
5.2 Vektör Uzaylarının Kompleks Yapıları
Tanım 5.2.1
V bir reel vektör uzayı olsun. Bir J:V → V lineer endomorfizmi için J 2= -I ise, J ye V
üzerinde bir kompleks yapı denir. Burada I:V → V özdeşlik dönüşümüdür (Yano and
Kon 1984).
Eğer özel olarak her x∈V için
J(x)= −1 x=ix
olarak tanırlarsak o zaman herhangi bir λ =a+ib ∈
.:
için
xV → V
( λ ,x) = (a+ib).x
= ax + ib
= ax + bJ(x)
yazabilir. Böylece V reel vektör uzayını bir kompleks vektör uzayı olarak görebiliriz.
Dolayısıyla V reel vektör uzayı çift boyutlu bir vektör uzayı olmak zorundadır.
(Bir kompleks vektör uzayı, reel sayılar cismi üzerinde çift boyutludur.)
V reel vektör uzayının kompleksleştirilmesini V ile gösterelim. Dolayısıyla
V ={x+iy : x,y∈V }
şeklindedir. Bu cümle, toplama ve skalarle çarpma işlemleriyle birlikte
üzerinde bir
vektör uzayı olur (Berndt 2000)
V üzerinde tanımlı J kompleks yapısını V uzayına şöyle genişletebiliriz.
J : V → V
x + iy → J (x+iy) = J(x)+iJ(y)
dönüşümü kompleks bir lineer endomorfizm olup (J ) 2 = -I olduğundan V üzerinde
bir kompleks yapı oluşturur.
46
Lemma 5.1.1
V, J kompleks yapısı ile birlikte 2n boyutlu reel vektör uzayı için
{ V1,…Vn, JV1,…,JVn}
bazı vardır ( Romeno and Suh 2004).
Örnek 2.4.1
Özel olarak V = IR2 alalım ve IR2 yi kompleksleştirelim. IR2 ’nin standart bazı {e1,e2}
olmak üzere
J : IR2 → IR2
e1 → J(e1)=e2
e2 → J(e2) =-e1
şeklinde bir lineer otomorfizm tanımlayalım.
J2(e1) = J ( J (e1) ) =J (e2) = -e1 ⇒ J2 = -I
J2(e2) = J ( J (e2) ) = J (-e1) = -e2 ⇒ J2 = -I
olduğundan J, IR2 üzerinde bir kompleks yapıdır. Böylece (IR2,J ) ikilisi bir kompleks
vektör uzayı olarak görülebilir.
Tanım 5.2.3
(V, Ω ) bir reel simplektik vektör uzayı ve J, V üzerinde bir kompleks yapı olsun. Eğer
her u,v ∈V için
Ω ( J(u), J(v) )= Ω (u,v)
ise, bu durumda J ile uyumludur denir (Bendt 2000 ).
Tanım 5.2.4
(V, Ω ) bir simplektik vektör uzayı olsun. Bu durumda
g : V x V → IR
(u,v) → g(u,v) = Ω (u, J(v))
simetrik, bilineer ve non dejenere dönüşümüne Ω ile uyumlu Pseudo Hermityen metrik
denir.
Eğer her u∈V için g(u,u) ≥ 0 ise, g ye Hermityen metrik ve bu durumda J ’ye pozitif
uyumlu kompleks yapı denir ( Bendt 2000 ).
47
Teorem 5.2.1
Her (V, Ω ) reel simplektik vektör uzayında pozitif uyumlu kompleks bir J yapısı ve g
Hermityen yapısı vardır ( Bendt 2000 ).
Örnek 5.2.2
V = IR2 için Örnek 4.2.1 de tanımlanan J kompleks yapısını ele alalım. Üstelik
g: IR2 x IR2 → IR
(u,v) → g(u,v) = Ω (u, J(v))
dönüşümünü tanımlayalım. Bu durumda g, simetrik bilineer ve pozitif tanımlı olur.
Yani g, IR2 üzerinde bir Öklid metriğidir.
Tanım 5.2.5
(V, Ω ) bir simplektik vektör uzayı olsun. J, V üzerinde bir pozitif uyumlu kompleks
yapı ise, (V, Ω , J ) üçlüsüne bir Kahler vektör uzayı denir. Bu durumda g ye de Kahler
metriği denir (Berndt 2000).
5.3 Kahler Manifoldları
Tanım 5.3.1
M bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. Her x ∈ M için
JX : TM(x) → TM(x) , J2 = -I
lineer endomorfizmine M üzerinde bir hemen hemen kompleks yapı denir (Yano and
Kon 1984).
Tanım 5.3.2
Üzerinde hemen hemen kompleks yapı bulunan bir reel diferensiyellenenebilir
manifolda hemen hemen kompleks manifold denir (Yano and Kon 1984).
Her hemen hemen kompleks manifold çift boyutludur ( Yano and Kon 1984).
48
Önerme 5.3.1
Her kompleks M manifoldu üzerinde bir hemen hemen kompleks yapı vardır (Yano and
Kon 1984).
Tanım 5.3.3
M bir kompleks manifold ve üzerindeki Riemann metrik g olsun.
g(JX,JY) = g(X,Y),
X,Y∈TM(P)
şartı sağlanıyor ise g ’ye Hermityen metrik, (M,g) ikilisine de Hermityen manifold
denir.
Tanım 5.3.4
(M,g) Hermityen manifold olsun.
Ω (X,Y) = g (JX,Y),
X,Y∈TpM
şeklinde tanımlı Ω dönüşümü antisimetrik, bilineer dönüşümdür. Ω ya Kahler formu
denir.
dΩ= 0
ise, (M,g) ye Kahler manifoldu veya kısaca M üzerinde Kahler metriği tanımlı olan
kompleks manifolda Kahler manifoldu denir.
M <,> Riemann metriği J kompleks yapısıyla birlikte n boyutlu Kahler manifoldu
olsun. M üzerinde {V1 , V2 ,..., Vd } Frenet çatısı ile bağlantılı d mertebeden bir γ helisi
için kompleks torsiyonlar tanımlanabilir. Kahler manifoldları üzerindeki helislerin
çalışılmasında helislerin kompleks torsiyonları önemli rol oynar. Örneğin γ helisi için
bütün kompleks torsiyonlar sabit ise γ eğrisine holomorfik helis adı verilir.
Kompleks uzay formunda diferensiyel geometri açısından holomorfik helislerle
çalışmak oldukça ilginçtir. Bizim amacımız holomorfik helisleri tanıtmak ve bundan
sonra onlarla ilgili bağıntıları vermek ve bundan sonraki çalışmalara zemin
hazırlamaktır.
49
5.4 Kompleks Uzay Formlarında Holomorfik Helisler
M Riemann manifoldu üzerinde birim hızlı d. mertebeden γ Frenet eğrisi için Frenet
formülü
∇ . VJ = − k J −1VJ −1 + k J VJ +1 ,
J=1,…,d
γ
V0 ≡ Vd+1 ≡ 0
şeklindeki k1,…,kd-1 eğriliklerinin hepsi sabit ise γ eğrisine helis adı verildiğini
belirtmiştik. Bundan sonra aksi belirtilmedikçe γ eğrisi helis olarak alınacaktır.
Tanım 5.4.1
M , J kompleks yapısı ile beraber bir Kahler manifoldu, γ M de birim hızlı eğri olsun.
τij = Vi , JVj ,
1≤ i < j ≤ d
τij ≤ 1 ,
τ kl = 0 ,
k = l,
-1 ≤ τij ≤ 1
k = 0, l > d
şeklinde tanımlanan fonksiyona M deki γ eğrisinin kompleks torsiyonu adı verilir.
Eğer ∀ i,j için τij ler sabit ise γ eğrisine M de holomorfik helis denir.
τij = Vi , JVj
ifadesinin türevini alırsak
d
τij =
ds
Vi′ , JVJ + Vi , JVJ′
= − k i −1Vi −1 + k i Vi +1 , JVJ + Vi , J(− k J −1VJ −1 + k J VJ +1 )
= − k i −1 Vi −1 , JVJ + k i Vi +1 , JVJ − k J −1 Vi , JVJ −1 + k J Vi , JVJ +1
d
τij = − k i −1τi −1,J + k i τi +1,J − k J −1τi,J −1 + k J τi,J +1
ds
elde edilir.
50
Önerme 5.4.1
Kahler manifoldu üzerindeki d tek mertebeden holomorfik helisin kompleks torsiyonlari
için aşağıdaki ilişkileri sağlanır.
τi,i + 2k = 0
i=1,2,…,d-2k,
k=1,2,…,d-1/2
k1τ2d = k d −1τ1,d −1
k1τ2 j + k jτ1, j+1 = k j−1τ1, j−1
j=3,5,…,d-2
k i −1τi −1,d + k d −1τi,d −1 = k i τi +1,d
j=2,4,…,d-2
k i −1τi −1, j + k j−1τi, j−1 = k i τi +1, j + k j τi, j+1
i=2,3,…,d-3
j=i+2,i+4,…d-1
İspat:
γ eğrisi holomorfik helis olduğundan
τij = sabit
d
τij = 0
dt
d
τij = − k i −1τi −1,J + k i τi +1,J − k J −1τi,J −1 + k J τi,J +1
dt
− k i −1τi −1,J + k i τi +1,J − k J −1τi,J −1 + k J τi,J +1 = 0
k i τi +1,J + k J τi,J +1 = k i−1τi −1,J + k J −1τi,J −1
i = 1, J = 0 alırsak
k1τ2d + k d τ1,d +1 = k 0 τ0,d + k d −1τ1,d −1 ,
= 0
(4.4.1)
=0
k1τ2d = k d −1τ1,d −1
(4.4.2)
i = 1, alınırsa (*) dan
k1τ2,J + k J τ1,J +1 = k 0 τ0,J + k J −1τ1,J −1
(4.4.3)
=0
k1τ2,J + k J τ1,J +1 = k J −1τ1,J −1
(4.4.4)
k i τi +1,d + k d τi,d +1 = k i −1τi −1,d + k d −1τi,d −1
=0
k i τi +1,d = k i−1τi −1,d + k d −1τi,d −1
(4.4.5)
51
Önerme 5.4.2
Kahler manifoldu üzerindeki d çift mertebeden holomorfik helisin kompleks
torsiyonları için aşağıdaki ilişkileri sağlanır.
τi,i + 2k = 0
i=1,2,…,d-2k,
k=1,2,…,d-1/2
k1τ2d = k d −1τ1,d −1
k1τ2 j + k jτ1, j+1 = k j−1τ1, j−1
j=3,5,…,d-2
k i −1τi −1,d + k d −1τi,d −1 = k i τi +1,d
j=2,4,…,d-2
k i −1τi −1, j + k j−1τi, j−1 = k i τi +1, j + k j τi, j+1
i=2,3,…,d-3
j=i+2,i+4,…d-1
İspat:
Çift mertebeden holomorfik helisler içinde aynı kurallar geçerlidir.
Teorem 5.4.1
boy M > 2, M Kahler manifoldu olsun. Bu durumda aşağıdaki şartlar sağlanır.
τ12 =
k1
k12 + k 2 2
τ13 = 0
τ23 =
k2
k + k 22
2
1
veya
τ12 =
− k1
k12 + k 2 2
τ13 = 0
τ23 =
−k 2
k12 + k 2 2
(Maeda and Adachı 1997).
52
Teorem 5.4.2
boy M > 2, M Kahler manifold olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanır.
1) 3. mertebeden her holomorfik helis
k1τ23 = k 2 τ12
τ13 = 0
τ12 ≤
k1
k + k 22
2
1
2) Tersine k1 , k 2 > 0 sabitler olmak üzere
τ12 ≤
k1
k + k 22
2
1
ise M üzerinde 3. mertebeden holomorfik helis vardır (Maeda and Adachı 1997).
Teorem 5.4.3
M, 2 boyutlu Kahler manifoldu olsun. Bu durumda aşağıdaki şartlar sağlanır.
1) M deki her 3. mertebeden her bir holomorfik helis için
τ12 = ±
k1
k12 + k 2 2
,
τ13 = 0 ,
τ23 = ±
k2
k + k 22
2
1
dir.
2) Tersine k1 ve k2 pozitif sabitleri için ( 1 sağlanırsa ) 3. mertebeden holomorfik
helis vardır (Maeda and Adachı 1997).
5.5 Kahler Manifoldlarında Çemberler, İkinci Derece Eğriler
M Kahler manifoldu üzerinde J kompleks yapısı ile tanımlanmış γ çemberi alalım. γ& ve
Y holomorfik düzlem üzerinde
Y= J γ& veya Y= - J γ&
alınırsa γ ya Kahler çemberi denir.
53
.
.
.
.
γ bir Kahler çemberi ise (4.4.1) den biliyoruz ki ∇ . γ = kJ γ veya ∇ . γ = − kJ γ dir
γ
γ
(Suizu 2002).
Teorem 5.5.1
γ , M Kahler manifoldunda bir çember ise ∇ γ& 2 γ& ± k 2 Jγ& = 0 dir.
İspat:
γ , M de çember olsun. Bu durumda
.
.
.
.
∇ . γ = kJ γ veya ∇ . γ = − kJ γ tir.
γ
γ
her iki tarafın türevini alırsak
( )
= ± k∇ ( J γ )
= ± k ( kJ γ )
.
∇ γ& 2 γ& = ∇ . ± kJ γ
γ
.
.
γ
.
.
= ±k 2J γ
⇒ ∇ γ& 2 γ& ± k 2 Jγ& = 0 elde edilir.
Kahler manifoldları için ikinci dereceden eğriler teorisi son zamanlarda çalışılmaya
başlanmıştır. Aşağıdaki teoremle ifade edilebilir.
Teorem 5.5.1
f , M Kahler manifoldundan
% Kahler manifolduna Kahler izometrik immersiyon
M
olsun. Bu durumda aşağıdaki şartlar denktir.
%
a) k > 0 vardır ki şu şartı sağlar. M üzerindeki k eğrilikli her Kahler çemberi M
üzerinde de çemberdir.
%
b) ) k > 0 vardır ki şu şartı sağlar. M üzerindeki k eğrilikli her Kahler çemberi M
üzerinde de ikinci dereceden bir Frenet eğrisidir (Suizu 2002).
54
KAYNAKLAR
Adachi, T. 1996. Circles on quaternionic space form, J. Math. Soc. Japon. Vol. 48; 205207
Adachi, T., Maeda, S. and Ogiue, K. 1997. Extrinsic shape of circles and standart
imbending of projective spaces, manuscripta math 93; 481-499.
Adachi, T. and Maeda, S. 1997. Holomorphıc helıces ın a complex space form,
Amerıcan Mathematıcal Socıety Vol.125; 1197-1202.
Aksu, D. 2003. Dış (extrinsic) hiperküreli alt manifoldlar, Yüksek Lisans Tezi, Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.
Berndt, R. 2000. An Introduction to symplectic geometry. American Mathematical
Society, Province, Rhode Island.
Canas da Silva, A. 2000. Lectures on Symplectic Geometry, Berkeley.
Hacısalihoğlu, H. H. 1983. Diferensiyel Geometri, Gazi Üniversitesi Basın-Yayın
Yüksekokulu Basımevi
Hacısalihoğlu, H. H. ve Ekmekci, N. 2003. Tensör Geometri, Ankara üniversitesi Fen
Fakültesi
Nomizu, K. and Yano, K. 1974. On circles and spheres in Riemannian geometry, Math
Ann 210; 163-170.
Ogıue, K. and Tagaki, R. 1981. A submanifold which contains many extinsic circles,
Tsukuba J. Math., Vol 8, No.1, 172-182.
Suizu, K.2002. Circles and totally geodesic Kahler submanifolds, Math.Sci 35; 23-28
Suizu, K., Adachi, T. and Maeda, S. 2002. Study of submanıfolds by curves of order 2,
Math.Sci 35; 1-21.
55
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Sevda AKGÜÇ
Doğum Yeri
: İzmit
Doğum Tarihi
: 1980
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu
Lise
: Şemsettin Mursaloğlu Lisesi, 1998
Lisans
: Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2003)
Tezsiz Yüksek Lisans : Başkent Üniversitesi Eğitim Fakültesi (2004)
Çalıştığı Kurumlar
Özel Cemal Şaşmaz Lisesi, Ankara
56