PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİSLİK BİLİMLERİ DERGİSİ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 2002 :8 :2 : 219-226 SINIR ŞARTLARININ BİRİNDE ÖZDEĞER PARAMETRESİ BULUNDURAN SÜREKSİZ STURM-LİOUVİLLE PROBLEMİNİN ÖZFONKSİYONLARI Oktay MUHTAROV*, Mahir KADAKAL** ve Fahrettin Ş. MUHTAROV*** *Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat **Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 55139-Kurupelit/Samsun ***Azerbaycan Bilimler Akademisi, Matematik ve Mekanik Enstitüsü, Bakü-Azerbeycan Geliş Tarihi : 05.10.2001 ÖZET Bu çalışmada, sınır şartlarının birinin katsayıları özdeğer parametresini lineer olarak içeren süreksiz katsayılı ve ağırlıklı Sturm-Liouville probleminin rezolvent operatörü ve özfonksiyonlar sisteminin tamlık özellikleri yeni bir yaklaşımla incelenmiştir. İncelenen problemin operatör-teorik yazılımı için L 2 [a , b] ⊕ C/ Hilbert uzayında yeni eşdeğer iç çarpım ve uygun kendine eşlenik lineer operatör tanımlanmıştır. Ayrıca, φ( x, λ) ve χ( x , λ) temel çözümleri özel bir yöntemle tanımlanmıştır. Anahtar Kelimeler : Süreksiz Sturm-Liouville problemi, Özdeğer, Özfonksiyon, Rezolvent operatör EIGENFUNCTIONS OF DISCONTINUOUS STURM-LIOUVILLE PROBLEM CONTAINING EIGENVALUE PARAMETER IN THE ONE OF BOUNDARY CONDITIONS ABSTRACT In this paper by using a new approach we investigate the resolvent operator and completeness of the system of eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem with discontinuous coefficients and weight, one of the boundary conditions of which contained linear eigenparameter. For operator-theoretic formulation of the considered problem we define a new equvalent inner product in the Hilbert space L 2 [a , b] ⊕ C/ and suitable selfadjoint linear operator in it. Further, the basic solutions φ( x, λ) and χ( x , λ) are defined by the special procedure. Key Words : Discontinuous Sturm-Liouville problem, Eigenvalue, Eigenfunctions, Resolvent operator 1. GİRİŞ Bu çalışmada katsayıları sonlu [a , b] aralığının bir a < b < c iç noktasında genel olarak süreksiz olan { diferensiyel 219 } 1 − (p( x )u ′)′ + q( x )u = r(x ) λu , x ∈ [a , c) ∪ (c, b] Tu := denkleminden, uç (1) noktalardaki, Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov u (a ) = 0 (2) (λα1 + β1 )u (b) = (λα 2 + β2 )u′(b) (3) 2. SINIR DEĞER GEÇİŞ PROBLEMİNİN UYGUN HİLBERT UZAYINDA ÖZDEĞER PROBLEMİ BİÇİMİNDE İFADESİ sınır şartlarından ve x = c süreksizlik noktasındaki γ1u (c − 0) = δ1u (c + 0) (4) Eğer, γ 2 u ′(c − 0) = δ 2 u ′(c + 0) (5) (u ) b := β1u (b) − β 2 u ′(b) (u )′b := α1u (b) − α 2 u ′(b) geçiş şartlarından oluşan bir sınır değer problemini inceleyeceğiz. Burada; λ kompleks α i , β i , γ i , δ i (i = 1, 2) reel (6) gösterimlerinden yararlanırsak, 1 u, v ∈ C [a , b] için, parametredir; sayılardır ve kolayca ρ[u (b) v′(b) − u ′(b) v(b)] = (u ) b ( v)′b − (u )′b ( v) b β12 + β 22 > 0, γ12 + δ12 > 0, γ 22 + δ 22 > 0 doğal şartlarını sağlıyorlar; r, p, p′, q ise [a , c) ve (c, b] aralıklarının her birinde sürekli olan ve x = c noktasında sonlu sağ ve sol limit değerleri mevcut olan reel değerli fonksiyonlardır. Ayrıca her x ∈ [a , c) ∪ (c, b] için r ( x ) > 0, p( x ) > 0 olduğunu kabul edeceğiz. Bu problemin (Walter, 1973) anlamında kendine eşlenik olması için, ρ : = α1β 2 − α 2β1 > 0 şartının sağlandığını da kabul edeceğiz Walter (1973)’in makalesinde olduğu gibi, eğer (1)-(5) problemi herhangi bir Hilbert uzayında kendine eşlenik bir operatör için özdeğer problemine indirgenebilirse, o halde bu probleme kendine eşlenik problem diyeceğiz. (1)-(5) probleminin bazı özel halleri (Walter, 1973; Fulton, 1977) kaynaklarında farklı yöntemlerle incelenmiştir. her (7) olduğunu gösterebiliriz. Şimdi F (x) F := 1 , F1 ( x ) ∈ L 2 [a , b], F2 ∈ C/ F2 iki bileşenli elemanlarının L 2 [a , b] ⊕ C/ lineer uzayında iki F, G ∈ L 2 [a , b] ⊕ C/ elemanın iç çarpımını, b ∫ < F, G > p,r ,ρ := F1 ( x )G1 ( x )r ( x )dx + (8) a p( b) F2 G 2 ρ b formülü ile tanımlayalım (Burada Matematik fiziğin bazı problemlerinde zaman değişkenine göre kısmi türev sadece diferansiyel denklemde değil aynı zamanda ‘sınır şartlarında’ da ortaya çıkmaktadır. Böyle problemlere uygun olan spektral problemlerde özdeğer parametresi sadece diferansiyel denklemde değil sınır şartlarında da bulunmaktadır (Langer, 1932; Tikhonov and Samarskii, 1963). (4)-(5) biçimindeki ‘geçiş şartları’ ise farklı fiziksel ve mekanik özellikleri bulunan cisimler arasındaki ısı ve madde iletimi veya başka geçiş süreçlerinde ortaya çıkmaktadır (Rasulov, 1967; Titeux and Yakubov, 1997; Mukhtarov ve Demir, 1999). c b ∫ ∫ ∫ := + a a kabul c ediyoruz). O halde, ( H p, r ,ρ := L 2 [a , b] ⊕ C/ ,< •,• > p, r ,ρ ) iç çarpım uzayının bir Hilbert uzayı olacağı açıktır. Bu uzayda tanım bölgesi D(A) = F ∈ H p, r ,ρ F1 ,F1′ { fonksiyonlarının her biri [a , c) ve (c, b] aralıklarının her birinde mutlak süreklidirler; F1 (c ± o), F1′(c ± 0) sonlu limit değerleri mevcuttur. F1 (a ) = 0,γ1F1 (c − 0) = δ1F1 (c + 0), γ 2 F1′(c − 0) = δ 2 F1′(c + 0);F2 = (F1 )′b } (9) Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 220 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226 Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov İspat. F, G ∈ D(A ) iki tane keyfi eleman olmak üzere Lagrange formülünü (Naimark, 1967) uygularsak, olan A : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ operatörünü, F ( x ) TF1 A 1 := (F1 )′b − (F1 ) b (10) b < AF, G > p,r ,ρ = ∫ (TF )(x)G (x)r(x)dx + 1 1 a c eşitliği ile tanımlayalım. O halde (1)-(5) sınır değer geçiş problemi, b = F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx + F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx + ∫ ∫ a c + p(c − 0) W (F1 , G1; c − 0 ) − p(a ) W (F1 , G1; a ) + u (x) ∈ D(A) AU = λU U := (u )′b (11) + p( b) W (F1 , G1 ; b ) − p(c + 0) W (F1 , G1; c + 0) − ′ p( b) G1 b F1 b + = < F, G > p, r ,ρ − ρ + {p(c − 0) W (F1 , G1; c − 0) − p(c + 0) W (F1 , G1; c + 0)} − 2. 1. Lemma − Eğer, δ1δ 2 p(c − 0) = γ1γ 2 p(c + 0) şartı sağlanıyorsa A operatörü simetriktir. { p( b) (F1 )b (G1 )′b − (F1 )′b (G1 )b ρ b c p( b) (F1 )′b ((− G1 )b ) − = F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx + F1 ( x )(TG1 )( x )r ( x )dx + ρ a c ∫ ( ){ ( ′ 1 + p(b)W (F , G ; b ) − (F ) (G ) ρ ) − (F )′ (G ) ( ) ′ p ( b) (F1 )b G1 b ρ ( )( ) operatör-denklem biçiminde yazılabilir. Böylece (1)-(5) problemini bir Hilbert uzayında tanımlı olan bir lineer operatör için özdeğer problemine indirgemiş olduk. ∫ p( b) (− (F1 ) b )(G1 )′ b ρ ( )} } (12) − p(a ) W F1 , G1; a + p(c − a ) W F1 , G1; c − 0 − p(c + 0) W F1 , G1; c + 0 + 1 1 1 b 1 b 1 b 1 b eşitliğini buluruz. ( W(F1 , G1 ; x ) := F1 ( x )G1′ ( x ) − F1′( x )G1 ( x ) ile ) W F1 , G 1 ; a = 0 Burada; F1 , G1 fonksiyonlarının (13) (14) eşitliği sağlanır. F1 , G1 fonksiyonlarının (4) ve (5) geçiş şartlarını sağladığını ve lemmanın şartını dikkate alırsak, Wronskiyeni gösterilmiştir. F1 ( x ) ve G1 ( x ) fonksiyonları (2) sınır şartını sağladıkları için, ( ) ′ p(c − 0) W F1 , G1; c − 0 = p(c − 0) F1 (c − 0)G1 (c − 0) − F1′(c − 0)G1 (c − 0) ′ δ γγ δ = 1 2 p(c + 0) 1 F1 (c + 0) 2 G1 (c + 0) − δ1δ 2 γ1 γ2 ′ δ δ − 1 F1′(c + 0) 2 G1 (c + 0) γ1 γ2 ( = p(c + 0) W F1 , G1; c + 0 (15) ) Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 221 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226 Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov bulmuş oluruz. O halde (14) ve (15) eşitliklerini (12) de yerine yazarak (7) eşitliğini de dikkate alırsak, talep olunan < AF; G > p, r , ρ =< F, AG > p, r , ρ { (16) eşitliğini, yani A operatörünün simetrik olduğunu elde ederiz.■ } 1 − (p( x ) U1 )′ + q ( x ) U1 − λU1 = r(x ) F1 ( x ),x ∈ [a , c) ∪ (c, b] (19) U1 (a ) = 0 (20) (β1U1 (b) − β2 U1′ (b) ) + λ(α1U1 (b) − α 2 U1′ (b)) = F2 (21) 2. 1. Sonuç γ1U1 (c − 0) = δ1U1 (c + 0) (22) γ 2 U1′ (c − 0) = δ 2 U1′ (c + 0) (23) (1)-(5) probleminin bütün özdeğerleri reeldir. Not : p( x ),q( x ) ver ( x ) reel değerli fonksiyonlar, (2)-(5) şartlarının katsayıları reel sayılar ve bütün özdeğerler reel olduğu için (1)-(5) probleminin bütün özfonksiyonlarını reel değerli fonksiyonlar olarak kabul edebiliriz. sınır-değer-geçiş problemi şeklinde yazalım. İlk önce aşağıdaki önemli lemmayı verelim. 3. 1. Lemma 2. 2. Sonuç Herhangi [a1 , a 2 ] aralığında tanımlı ve reel değerli r ( x ) ≠ 0,p( x ) ≠ 0 ve q( x ) fonksiyonları verilsin. Eğer r ( x ) ve q( x ) fonksiyonları bu aralıkta sürekli, p( x ) ise sürekli diferensiyellenebilir iseler, o halde her tam f (λ) ve g(λ ) fonksiyonları için λ 1 ve λ 2 (1.1)-(1.5) probleminin herhangi iki farklı özdeğeri, u1 ( x ) özfonksiyonları ise b ∫ u ( x )u 1 2 ( x ) r ( x )dx =− a ve u 2 (x) ise uygun p( b) (u1 )′b (u 2 )′b ρ { } 1 − (p( x )u ′)′ + q ( x )u = λu, x ∈ [a1 , a 2 ] r(x) (17) eşitliği sağlanır. diferensiyel denkleminin İspat. A operatörü simetrik olduğu için, λ 1 ve λ 2 u (a i ) = f (λ ) , u′(a i ) = g (λ) farklı özdeğerlerine uygun u1 ( x ) U1 = ′ (u1 ) b ve (25) ( i = 1veya i = 2 ) başlangıç şartlarını sağlayan u ( x , λ) çözümü bulunur ve bu çözüm fonksiyonu u 2 (x) U 2 = ′ özelementleri H p, r , ρ uzayında (u 2 ) b ortogonal olacak, yani (17) eşitliği sağlanacaktır.■ her x ∈ [a1 , a 2 ] değeri için λ değişkeninin tam fonksiyonudur. Bu lemma (Titchmarsh, 1962) ın kitabındaki Teorem1.5 in ispatındaki yöntemle tam benzer şekilde ispat edilir. 3. A OPERATÖRÜNÜN REZOLVENTİ Şimdi bu lemmadan yararlanarak (1) diferensiyel denkleminin iki tane φ( x, λ) ve χ( x , λ) çözümlerini tanımlayacağız. [a , c] aralığında (1) diferansiyel denkleminin / sayısının Bu kesimde özdeğer olmayan her λ ∈ C A operatörünün regüler değeri olduğunu göstereceğiz ve ayrıca, R (λ, A ) := (A − λI )−1 rezolvent operatörünü inceleyeceğiz. F ∈ H p, r , ρ u (a ) = 0,u′(a ) = 1 (26) başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü φ1 ( x , λ) ile gösterelim. φ1 ( x , λ) fonksiyonu tanımlandıktan sonra [c, b] aralığında (1) diferensiyel denklemini keyfi elemanı için (A − λI)U = F (24) (18) operatör denklemini onunla eşdeğer, homojen olmayan Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 222 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226 Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov u ( c) = γ1 γ φ1 (0, λ) , u′(c) = 2 φ1′ (0, λ ) δ1 δ2 Aksini kabul edelim. O halde özdeğer olmayan en az / ve en az bir x 0 ∈ [a, c] için bir λ 0 ∈ C ω( x 0 , λ 0 ) = 0 olur. Bu halde ω1 ( x 0 , λ 0 ) = 0 olur. Wronskiyenin iyi bilinen özelliğinden dolayı (Naimark, 1967) bu durumda her x ∈ [a , c] için ω( x , λ 0 ) = Wλ (φ1 , χ1; x ) = 0 olacaktır. O halde φ1 ( x, λ 0 ) ve χ1 ( x , λ 0 ) lineer bağımlı olacak, yani (27) başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü tanımlayabiliriz. Bu çözümü φ 2 ( x , λ ) ile gösterelim. Benzer şekilde, [c, b] aralığında (1) diferansiyel denkleminin u (b) = α 2λ + β2 ,u′(b) = α1λ + β1 şekilde χ1 ( x, λ 0 ) = k1φ1 ( x, λ 0 ) , x ∈ [a , c) olacak k1 ≠ 0 sayısı mevcuttur. Buradan, χ1 (a , λ 0 ) = k1φ1 (a , λ 0 ) = 0 elde edilir. Dolayısıyla, χ(a , λ 0 ) = 0 olur. Böylece χ( x, λ 0 ) fonksiyonu (2) sınır şartını da sağlamış olur. χ( x, λ 0 ) fonksiyonu λ = λ 0 değeri için (1) denkleminin, (3) sınır şartını ve (4), (5) geçiş şartlarını da sağladığından χ( x, λ 0 ) fonksiyonu λ = λ 0 için (1)-(5) probleminin çözümü olur. Diğer taraftan χ( x , λ) fonksiyonunun tanımı gereği χ(b, λ 0 ) = α 2 λ 0 + β 2 , χ′(b, λ 0 ) = α1λ 0 + β1 eşitlikleri sağlanır. (28) başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü χ 2 ( x, λ ) ile göstererek, bu çözümü tanımladıktan sonra [a , c] aralığında (1) diferensiyel denkleminin u (c ) = δ1 δ χ 2 (0, λ ) , u ′(c) = 2 χ′2 (0, λ) γ1 γ2 (29) başlangıç şartlarını sağlayan çözümünü χ1 ( x , λ) ile gösterelim. 3. 1. Lemma gereği φi ( x, λ),χ i ( x, λ)(i = 1,2) fonksiyonları λ -nın tam fonksiyonlarıdırlar. Bu fonksiyonların tanımları gereği φ ( x , λ),x ∈ [a , c] φ( x , λ ) := 1 ,χ( x, λ) := φ 2 ( x, λ),x ∈ [c, b] ρ = α1β 2 − α 2β1 ≠ 0 olduğu için sonuncu iki eşitlikten χ(b, λ 0 ) ve χ′(b, λ 0 ) sayılarının en az birinin sıfırdan farklı olduğu elde edilir. Yani χ( x , λ 0 ) ≠ 0 dır. O halde χ( x, λ 0 ) fonksiyonu λ = λ 0 için (1)-(5) probleminin çözümüdür, yani (30) χ1 ( x , λ),x ∈ [a , c] χ 2 ( x, λ),x ∈ [c, b] özfonksiyondur. Bu ise λ = λ 0 sayısının özdeğer olmadığı varsayımı ile çelişkidir. Böylece özdeğer olmayan her λ ∈ C/ ve her x ∈ [a , c) için ω( x , λ) ≠ 0 olduğu ispat olunur. x ∈ (c, b] durumu için de ispat tam benzer şekilde yapılabilir.■ φveχ fonksiyonları eşitlikleri ile tanımlı [a , c) ∪ (c, b] de (1) denklemini ve (4), (5) geçiş şartlarını sağlayacaklardır. Ayrıca φ( x, λ) çözümü (2) sınır şartını, χ( x , λ) ise (3) sınır şartını sağlayacaktır. Aşağıdaki; Bu teoremden ve Wronskiyenin özelliklerinden aşağıdaki sonuç elde edilir. 3. 1. Sonuç Özdeğer olmayan her λ ∈ C/ için φ1 ( x , λ) , χ1 ( x , λ) fonksiyonları [a , c] aralığında, φ 2 ( x , λ) , χ 2 ( x, λ ) fonksiyonları ise [c, b] aralığında lineer bağımsızdırlar. ωi := Wλ (φi , χi ; x ), i = 1,2 ω ( x , λ ) , x ∈ [ a , c) ω( x , λ ) := Wλ (φ, χ; x ) = 1 ω2 ( x, λ ), x ∈ (c, b] 3. 1. Sonuç gereği özdeğer olmayan her λ ∈ C/ için (1) diferensiyel denkleminin genel çözümünü gösterimlerinden de yararlanacağız. 3. 2. Lemma Özdeğer olmayan her λ ∈ C/ x ∈ [a , c) ∪ (c, b] için ω( x , λ) ≠ 0 dır. ve C φ ( x , λ ) + D1χ1 ( x , λ) , x ∈ [a , c) u ( x, λ) = 1 1 C 2φ2 ( x , λ) + D 2χ 2 ( x , λ) , x ∈ (c, b] her İspat. Önce özdeğer olmayan her λ ve her x ∈ [a , c) için ω( x , λ) ≠ 0 olduğunu ispat edelim. Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 (31) biçiminde ifade edebiliriz; burada C1 ,D1 ,C 2 ,D 2 keyfi sabitlerdirler. O halde sabitin değişimi yöntemini (Naimark, 1967) uygulayarak (19) 223 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226 Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov homojen olmayan denkleminin genel çözümünü x ∈ [a , c) için c D2 = φ1 ( y, λ) ∫ ω ( y, λ) F ( y)dy 1 1 a x U1 ( x , λ) = χ1 ( x, λ) a c + φ1 ( x , λ) φ1 ( y, λ ) ∫ ω ( y, λ) F ( y)dy + elde edilir. Ci ,Di sabitleri için bulduğumuz değerleri (32) ve (33) ifadelerinde yerine yazarak gerekli düzenlemeleri yaparsak, (19)-(23) probleminin çözümü için bütün [a , c) ∪ (c, b] delinmiş aralığında 1 1 χ1 ( y, λ ) ∫ ω ( y, λ) F ( y)dy +C φ (x, λ) + D χ (x, λ) (32) 1 x 1 1 1 1 1 biçiminde, x ∈ (c, b] için ise x U1 = χ ( x , λ ) x φ ( y, λ) U1 ( x , λ) = χ 2 ( x , λ) 2 F1 ( y)dy + ω2 ( y, λ ) ∫ b ∫ x 1 a x φ( x , λ ) c + φ2 (x, λ) φ( y, λ ) ∫ ω( y, λ) F ( y)dy + χ 2 ( y, λ ) F1 ( y)dy +C 2 φ 2 ( x , λ ) + D 2 χ 2 ( x , λ ) (33) ω 2 ( y, λ ) χ( y, λ ) F2 ∫ ω( y, λ) F ( y)dy + ω (b, λ) φ(x, λ) 1 2 a formülünü elde ederiz. biçiminde ifade edebiliriz. (19) diferensiyel denkleminin (32) ve (33) eşitlikleri ile verilmiş genel çözümünü (20)-(23) şartlarında yerine yazarak Ci ,Di sabitlerini bulabiliriz. (32) ifadesini (20) sınır şartında yerine yazarsak D1χ(a , λ) = 0 eşitliğini elde 3. 1. Teorem Özdeğer olmayan her λ ∈ C/ sayısı (9), (10) eşitlikleri ile tanımlı olan A operatörünün regüler R (λ, A ) : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ değeridir ve ayrıca ederiz. λ özdeğer olmadığı için χ(a , λ ) ≠ 0 dır. Dolayısıyla D1 = 0 dır. (33) ifadesini (21) sınır F2 şartında yerine yazarsak, C 2 = eşitliğini ω2 (b, λ) rezolvent operatörü kompakt operatördür. İspat. χ( x, λ)φ( y, λ) a ≤ y ≤ x ≤ b, x , y ≠ c ω( y, λ) G1 ( x , y; λ) := φ( x , λ)χ( y, λ) a ≤ x ≤ y ≤ b, x , y ≠ c ω( y, λ) elde ederiz. D1 ve C 2 için bulduğumuz değerleri de dikkate alarak (32) ve (33) ifadelerini (22) ve (23) geçiş şartlarında yazarsak, C1 ve D 2 değerlerini bulmak için aşağıdaki lineer denklem sistemini elde ederiz. gösteriminden yararlanarak sonuncu b φ ( y, λ ) γ1φ1 (c, λ)C1 − δ1χ 2 (c, λ)D1 = − γ1χ1 (c, λ) 1 F1 ( y)dy + ω1 ( y, λ) a b F2 χ 2 ( y, λ ) ( c , ) F1 ( y)dy +δ1 + δ φ λ φ 2 (c, λ) 1 2 ω 2 ( y, λ ) ω 2 ( b, λ ) c c φ1 ( y, λ) ( c , ) C ( c , ) D ( c , ) F1 ( y)dy + γ φ′ λ − δ χ′ λ = − γ χ′ λ 2 1 1 2 2 2 2 1 ω1 ( y, λ) a b F2 χ ( y, λ ) F1 ( y)dy +δ 2 + δ 2φ′2 (c, λ) 2 φ′2 (c, λ) ω2 ( y, λ) ω2 (b, λ) c c ∫ ∫ U1 ( x , λ) = G1 ( x , y; λ)F1 ( y)dy + a ∫ biçiminde ifade edebiliriz. rezolvent operatörü için ∫ formülü F2 φ( x , λ) ω(b, λ ) Buradan R (λ, A ) b F2 φ( x, λ) G1 ( x, y; λ)F1 ( y)dy + ω(b, λ) R ( λ, A ) F = b a F2 ′ ′ (φ(•, λ) ) b (G1 (•, y; λ) ) b F1 ( y)dy + ω(b, λ) a ∫ ∫ ∫ Bu sistemin determinantı −δ1δ 2ω2 (c, λ) ≠ 0 olduğu için bir tek çözümü bulunur. φi ( x, λ ),χi ( x, λ ) fonksiyonlarının tanımlarından yararlanarak sonuncu denklem sisteminden formülü elde edilir. ~ Şimdi Bλ : L 2 [a , b] → L 2 [a , b] , Bλ : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ b F2 χ 2 ( y, λ) , C1 = F1 ( y)dy + ω2 ( y, λ) ω2 ( y, λ) ∫ ve C λ : H p,r ,ρ → H p,r ,ρ operatörlerini c Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 224 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226 Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov (bak örneğin (Lang, 1983) A operatörü kendine eşlenik olacaktır. ■ b ∫ Bλ F1 := G1 ( x , y; λ )F1 ( y)dy a Sonuç olarak, 3. 1. Teorem, 4. 1. Teorem ve İntegral Denklemler teorisinden iyi bilinen Hilbert-Schmidt Teoremi (Taylor, 1958) gereği aşağıdaki teorem elde edilir (Glazman, 1965). Bλ F1 ~ Bλ F := ′ (Bλ F1 ) b F2 φ( x , λ) ω(b, λ ) C λ F := F2 ′ ω(b, λ ) (φ(•, λ) ) b 4. 2. Teorem H p ,r ,ρ Hilbert uzayında (9), (10) eşitlikleri ile Bλ operatörü L 2 [a , b] Hilbert uzayında kompakt ~ olduğu için (Titchmarsh, 1962), Bλ operatörü Hilbert uzayında kompaktdır. Cλ H p, r ,ρ tanımlı A operatörünün sayılabilir sayıda reel özdeğeri mevcuttur, her özdeğerin cebirsel katı sonludur, özdeğerler dizisi alttan sınırlıdır ve sonlu yığılma noktası yoktur. Her özdeğer cebirsel katı sayıda yazılmak kaydı ile, λ 1 ≤ λ 2 ≤... biçiminde özdeğerler dizisini sıralayarak, uygun normlandırılmış öz elementler ϕ n (x ) φ n := ′ , φ n H p , r ,ρ = 1 n = 1, 2,... biçiminde ( ) ϕ b n Hilbert uzayında kompakt gösterilmek üzere, her F ∈ H p, r , ρ elemanı için eşitlikleri ile operatörünü edebiliriz. tanımlarsak, R (λ, A ) rezolvent ~ R (λ, A ) = B λ + C λ biçiminde ifade operatörünün H p, r , ρ ∞ olduğu açıktır. Dolayısıyla özdeğer olmayan her λ ∈ C/ için R (λ, A ) operatörü de H p, r , ρ uzayında ∑c φ n n ,cn n =1 kompakt olacaktır.■ =< F, φ n > H p ,r ,ρ Fourier serisi H p ,r ,ρ Hilbert uzayında F elemanına yakınsak olacaktır; ∞ 4. ÖZFONKSİYONLAR SİSTEMİNİN SERİSİNE AÇILIM F= ∑ < F, φ n n =1 > H p , r ,ρ φ n (34) Bu teoremden aşağıdaki önemli sonuçlar elde edilir. Önce aşağıdaki teoremi ispat edelim. 4. 1.Sonuç her f ∈ L 2 [a , b] fonksiyonu L 2 ([a , b], r ) Hilbert uzayında (1)-(5) sınır-değer- geçiş {ϕn },n = 1,2,... öz fonksiyonlar probleminin 4. 1. Teorem (9) ve (10) eşitlikleri ile tanımlı A operatörü H p, r , ρ sisteminin İspat. A operatörünün (9) eşitliği ile verilmiş D(A) tanım bölgesinin H p, r , ρ Hilbert uzayında her yerde serisine açılır. F ∈ H p,r ,ρ ( A − λ I) D( A ) = H p , r , ρ f (x) 0 elemanını özel olarak F almak yeterlidir. (Burada L 2 ([a , b], r ) ve L 2 [a , b] Hilbert uzaylarının lineer uzaylar olarak aynı olduğuna dikkat etmek gerekir.)■ A − λI ve A + λI operatörlerinin her birinin değer bölgeleri bütün uzayı ile H p, r , ρ Hilbert yani ∑∫ İspat. Bu sonucun ispatı için (34) formülünde yoğun olduğu açıktır. Ayrıca, 3.1.Teorem gereği A operatörün en az bir regüler değeri mevcut olduğu için, kapalı operatördür. Yine 3.1.Teorem gereği Im λ ≠ 0 olacak şekilde her λ ∈ C/ sayısı için çakışmaktadır, b f ( y)ϕ ( y)r ( y)dy ϕ ( x ) n n n =1 a ∞ f (x) = Hilbert uzayında kendine eşleniktir. ve 4.2. Sonuç her f ∈ L 2 [a , b] fonksiyonu için, (A − λI)D(A) = H p, r , ρ eşitlikleri sağlanır. Ayrıca 2. 1. Lemma gereği A operatörü simetriktir. O halde simetrik operatörlerin genişlemesi hakkında Fonksiyonel Analizden iyi bilinen teorem gereği ∞ 2 (ϕ )′b = ρ n p( b) n =1 ∑ (35) Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 225 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226 Sınır Şartlarının Birinde Özdeğer Parametresi Bulunduran Süreksiz Sturm-Liouville ..., O. Muhtarov, M. Kadakal, F. Ş. Muhtarov ∞ ∑ 6. KAYNAKLAR (ϕn )′b ϕn (x ) = 0 (36) n =1 Fulton, C. T. 1977. Two-point Boundary Value Problems With Eigenvalue Parameter Contained in the Boundary Conditions, England. Proc. Roy. Soc. Edin. 77A, 293-308. eşitlikleri sağlanır. İspat. (34) formülünü < F, φ n > H p ,r ,ρ .ϕ n ( x ) F1 ( x ) n = 0 = ∞ F2 ′ < F, φ n > H p ,r ,ρ .(ϕ n ) b n =0 Glazman, J. M. 1965. Direct Methods of Qualitative Spectral Analysis. Jerusalem, Israel Program for Scientific Translations. ∞ ∑ (37) Lang, S. 1983. Real Analysis. Addison-Wesley, Reading, Mass. 0 biçiminde yazalım. Bu formülde özel olarak F = 1 ∞ p( b ) (ϕn )′b .ϕn ( x ) ρ 0 alırsak, = n = 0∞ eşitliği, yani 2 p( b) 1 ′ (ϕ ) n b ρ n =0 (35) ve (36) eşitliklerini elde ederiz.■ Langer, R. E. 1932. A Problem in Diffusion or in the Flow of Heat For A Solid in Contact With A Fluid, Japan. Tohoku Math. J. 35 , 360-375. ∑ ∑ Mukhtarov, O, Sh and Demir, H. 1999. Coerciveness of the Discontinuous Initial-Boundary Value Problem For Parabolic Equations, Israel. İsrael Journal of Mathematics 114 , 239-252. ∑ 4.3. Sonuç her f ∈ L 2 [a , b] Naimark, M. N. 1967. Linear Differential Operators. Ungar, New York,USA. için Rasulov, M. L. 1967. Methods of Contour Integration. North-Holland Pub. Comp. Amsterdam. f ( y)ϕ ( y)dy .(ϕ )′b = 0 eşitliği sağlanır. n n n =0 a ∞ b ∑∫ Taylor, A. E. 1958. Introduction to Functional Analysis. John Wiley. İspat. Bu sonucun ispatı için (37) formülünü f (x) elemanı için yazmak yeterlidir.■ F = 0 Tikhonov, A. N and Samarskii, A. A. 1963. Equations of Mathematical Physics. Oxford and New York, Pergamon, USA. Titchmarsh, E. C. 1962. Eigenfunctions Expansion Associated With Second Order Differential Equations I 2 nd edn, Oxford Univ. Press, London. 5. SONUÇ (Walter, 1973) makalesinde, sınır şartlarında özdeğer parametresi bulunduran Sturm-Liouville problemlerinin operatör-teorik yorumunu vererek, özfonksiyonlar sisteminin serisine açılım teoremini ispatlamıştır. Bu çalışmada uygun sonuçlar süreksiz katsayılı ve geçiş şartları bulunduran problemler için genelleştirilmiştir. Bunun için hem literatürde bilinen (Fulton, 1977; Titchmarsh, 1962; Walter, 1973 kaynaklarına bak) yöntemlerden yararlanılmış, hem de yeni yaklaşımlar geliştirilmiştir. İncelediğimiz (1)-(5) problemi orjinaldir, bulunan sonuçlar ise yenidir. Mühendislik Bilimleri Dergisi 2002 8 (2) 219-226 Titeux, I and Yakubov, Y. 1997. Completeness of Root Functions For Thermal Conduction in a Strip With Piecewise Continuous Coefficients. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. Vol. 7, (7), 1035-1050. Walter, J. 1973. Regular Eigenvalue Problems With Eigenvalue Parameter in the Boundary Conditions. Verlag. Math. Z. 133, 301-312. 226 Journal of Engineering Sciences 2002 8 (2) 219-226