Faktöryel - Soruhane.com

Sayılar
Mustafa Yağcı, yagcimustafa@yahoo.com
Faktöryel
Tanım: n, 1’den büyük bir doğal sayı olmak
üzere; 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n’nin faktöryeli veya kısaca n faktöryel denir.
(n!) biçiminde gösterilir. Çok kullanılmamakla beraber faktöryele çarpansal dendiği de olur.
1.2.3.4…(n – 2).(n – 1).n = n!
1’den (n – 1)’e kadar olan doğal sayıların çarpımına da bu tanıma göre (n – 1)! deneceğinden n! =
n.(n – 1)! olur. Bu durum benzer şekilde uzatılabilir:
n! = n.(n – 1)!
= n.(n – 1).(n – 2)!
= n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)!
Aşağıda buna ait örnekleri bulacaksınız:
100! 100 .99 .98!
=
= 100 .99 = 9900
i)
98!
98!
6! 6.5.4.3!
= 6.5.4 = 120
ii) =
3!
3!
iii) (n + 1)! = (n + 1).n.(n − 1)! = (n + 1).n
(n − 1)!
(n − 1)!
n!
n!
1
=
=
(n + 1)! (n + 1).n! n + 1
v) 23! + 22! = 23.22! + 22!
= 22!.(23 + 1) = 22!.24
vi) 8! + 7! – 6! = 8.7.6! + 7.6! – 6!
= 6!.(56 + 7 – 1)
= 6!.62
iv)
Doğal sayıların faktöryelleri kendilerinden kat be
kat hızlı arttığından ilk birkaç sayının faktöryelini
hesaplama olanağımız vardır. Biz de bu yüzden
10’a kadar olan doğal sayıların faktöryellerini vereceğiz, daha büyük sayıların faktöryellerini gerek
olmadığı gibi, gerek duyulursa da bulunması kolay
olduğundan vermeyeceğiz.
0!‘in 1 diye tanımlanır. Bunu
böyle biliniz.
Yandaki tabloda 10’a kadar
olan doğal sayıların faktöryelleri yazılmıştır. En azından ilk 6
tanesini ezbere bilmenizde fayda vardır.
Konunun bundan sonraki kısmını soru-cevap şeklinde anlatacağız.
Herkese kolay gelsin!!!
Soru 1. 17! tek midir, çift midir?
Çözüm: 17! sayısı 17.16.15.14.…..4.3.2.1 çarpımına eşit olduğundan ve çarpılan bu terimlerin
arasında çift sayılar olduğundan 17! çifttir.
O halde 1’den büyük tüm n doğal sayıları için n!
sayıları çifttir. Çünkü hepsi eni sonu gelip 2 ile
çarpılmak zorundadırlar.
Soru 2. 17! hesaplanırsa son rakamı kaç olur?
Çözüm: 17! sayısının 17.16....10.9..3.2.1 çarpımına eşit olduğunu unutmayalım. 10 dışındaki sayıların çarpımı kaç olursa olsun 10 ile çarpılacağından bu sayının sonuna sıfır geleceğini anlarız.
Aslında bir sayının sonuna sıfır gelmesi için illa
da 10 ile çarpılmasına gerek yoktur. Çift olan bir
sayı 5 ile çarpılırsa da sonunun sıfır olacağını
unutmayın. Ayrıca son rakamı 5 olan bir sayı düşünüp onu 2 ile çarpın bakalım. Yine sonu sıfır oldu değil mi? Bu tabii ki bir rastlantı değil. İçinde 5
ve 2 çarpanı olan her sayı aslında 10 ile çarpılmış
gibi davranmaz mı?
O halde şöyle bir genelleme yapalım:
n > 4 olmak üzere n! sayısının son rakamı daima
sıfırdır.
Çünkü içinde mutlaka 2 ve 5 çarpanı vardır.
4!’in sonunda sıfır olmaması da bir tesadüf değil
yani.
Faktöryel
Mustafa Yağcı
Soru 3. 17! hesaplanırsa sondan kaç basamağı
sıfır olur?
Çözüm: Nasıl ki bir tamsayıyı 10 ile çarptığımızda sonuna bir sıfır geliyor, 3 kere 10 ile çarparsak da 3 tane sıfır gelir. O halde şu an bulmamız gereken; 1’den 17’ye varana kadar kaç tane
10 çarpanı elde ederiz? Dikkat edin, 10’a bölünen
sayı demiyoruz, 10 çarpanı diyoruz. Zira 10’dan
başka 10’a bölünen sayı yok ama 5 ve 2 çarpımından bir 10 çarpanı geldiği gibi 15 ve 4 çarpımından da bir 10 çarpanı geliyor. Sonuç olarak bu sayının sonunda 3 tane sıfır olduğunu söyleyebiliriz.
Doğrudur da!
0!, 1!, 2!, 3!, 4! sonunda sıfır yoktur,
5!, 6!, 7!, 8!, 9! sonunda 1 sıfır vardır,
10!,11!,12!,13!,14! sonunda 2 sıfır vardır,
15!,16!,17!,18!,19! sonunda 3 sıfır vardır,
20!,21!,22!,23!,24! sonunda 4 sıfır vardır,
25!,26!,27!,28!,29! sonunda 6 sıfır vardır.
Buradan da anladığınız üzere sonunda 5 sıfır bulunan faktöryel yoktur. Benzer şekilde sonunda 11
sıfır olan faktöryel de yoktur. Bunun da sebebini
siz düşünüp, açıklayınız.
Peki iki farklı sayının faktöryeli arasındaki dört
işlemler nasıl yapılır? Yani iki farklı sayının faktöryelleri çarpılınca, bölününce, toplanınca, çıkarılınca, hatta bir faktöryelin üssü alınırsa neler olacağına, bizim bunlara karşılık neler yapmamamız
gerektiğine bir göz atacağız.
Demek ki bizim aslında bu çarpanlar arasında
kaç tane 10’a bölünen sayı olduğunu değil kaç tane 10 çarpanı olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun da direkt 5 çarpanı ile ilgili olduğunu anlattık.
Peki, hiç mi 2 çarpanı ile ilgisi yok? Elinde 2 olmadan 5 olsa neye yarar? Öyle ya! Doğru, doğru
ama zaten 2 çarpanı her iki sayıda bir geldiğinden
elimizde yeterince var. Ama 5 çarpanı her 5 sayıda
bir gelir. Yani daha azdır. Yani; elimizdeki her 5’e
bir 2 bulabiliriz ama her 2’ye yetecek kadar 5 yok.
Her yerde olduğu gibi burada da az olan kıymetli.
Bunun için faktöryeli verilen sayıyı hemencecik
5’e böleriz. Bulduğumuz bölüm bizim o sayıya
gelene kadar kaç tane 5 ile bölünen sayı olduğunu
verir. Ama bazı 5 ile bölünen sayıların içinde
1’den çok 5 olamaz mı? Gözden bazı 5’ler kaçmaz
mı? Haklısınız. Bunu da şöyle gidereceğiz: Eğer
bölüm 5 veya 5’ten büyük çıkarsa (ki bu sadece
sayının 25 veya 25’ten daha büyük olması halinde
olur) o bölümü de tekrar 5’e böleceğiz. Böylelikle
iki kere 5’e böldüğümüzden 25 ile bölmüş oluruz,
dolayısıyla 25’in katlarında gözden kaçan 5’leri de
kayıt altına almış oluruz. Eğer ikinci bölüm de 5
veya 5’ten büyük çıkarsa onu da 5’e böleriz ki 125
veya katlarında saymadığımız üçüncü 5’leri de
saymış oluruz. Ve bu böyle devam eder, etmelidir
de!
Sözün özü: n! sayısının sonunda kaç sıfır
olduğu; n sayısı 5’e bölünerek değil, devamlı 5’e
bölünüp her bir bölüm toplanarak bulunur. Ta ki,
bölünemeyene kadar!
Soru 5. 23!.24! çarpımının sonunda kaç tane
sıfır vardır?
Çözüm: 23 ve 24 sayılarını ayrı ayrı 5’e böldüğümüzde 4 elde ederiz ki bu da bu sayıların sonlarında 4’er tane sıfır olduğunu söyler. O halde x ve
y tamsayı olmak üzere; 23! = x.104 ve 24! = y.104
şeklinde birer sayıdır.
23!.24! = x.104. y.104 = x.y.108
olduğundan çarpımın sonunda 8 sıfır vardır.
Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin çarpımının sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, her iki
faktöryelin sonundaki sıfır adetlerini toplayacağız.
Soru 6. 33! sonunda kaç tane sıfır vardır?
24!
Çözüm: 33 ve 24 sayılarını ayrı ayrı devamlı
5’e böldüğümüzde sırasıyla 7 ve 4 elde ederiz ki
bu da 33!’in sonunda 7, 24!’in sonunda 4 tane sıfır
olduğunu söyler. O halde x, y ve z birer tamsayı
olmak üzere; 33! = x.107 ve 24! = y.104 şeklinde
birer sayıdır.
33! x.10 7 x 3
=
= .10 = z.103
4
24! y.10
y
olduğundan çarpımın sonunda 3 sıfır vardır.
Bundan sonra iki sayının faktöryellerinin bölümünün sonunda kaç sıfır olduğu sorulursa, paydaki faktöryelin sonundaki sıfır adedinden paydadaki faktöryelin sonundaki sıfır adedini çıkaracağız.
Soru 4. Kaç doğal sayının faktöryelinin sonunda
3 tane sıfır vardır?
Çözüm: 5 ile bölündüğünde bölüm olarak 3’ü
vermesi lazım. O halde 15, 16, 17, 18, 19 olmak
üzere 5 sayının sonunda 3 sıfır vardır.
Şimdi de faktöryellerin toplamına farkına ilişkin örnekler vereceğiz. Bu toplamların ya da fark2
Mustafa Yağcı
Faktöryel
ların sonlarındaki ardışık sıfır adetlerini ya da herhangi bir çarpandan kaç tane olduğunu ve bunun
gibi sorulara cevap arayacağız. Bu tip problemlerde sık olarak kullanacağımız bir özelik var ki;
onu burada öğrenip sorular üzerinde uygulamalar
yapalım. Unutmamamız gereken gerçek şu:
m<n olduğu sürece m!, daima n! içinde yer alır.
Bunu bildiğimizden verilen faktöryellerden büyük olanını daima küçük olan cinsinden yazabileceğiz.
tek bir örnek yetmez, hatta 1000 tane bile yetmez,
ama bunu kanıtlamak da size kalsın.
Soru 9. n ve p birer sayma sayısı olmak üzere;
23!
= p ise n en fazla kaç olabilir?
5n
Çözüm: p’nin bir sayma sayısı olması bize
paydadaki 5’lerin paydakilerden çok olmadığını
anlatmalı. Çünkü paydada 1 tane bile fazla 5 olsaydı, sadeleşenler sadeleşir ve paydada 5 artardı.
Pay artık içinde 5 ihtiva etmediğinden 5’in katı olmayan bir sayı olurdu, dolayısıyla 5’e bölündüğünde sonuç yani p sayma sayısı olmazdı. O halde
n en çok, 23!’in içinde kaç tane 5 çarpanı varsa o
kadar olmalı, yani 4.
Kısacası,
n!
‘’a, b, c, n∈N+ iken b = c ise max(b) =?’’ sorua
su; ‘’n!’in içinde kaç tane a çarpanı vardır?’’ sorusu ile aynıdır.
Uyarı. (2n)! ≠ 2n!
(2n)! ≠ 2!.n!
(2n)! = 2n.(2n – 1).(2n – 2)!
Soru 7. 23! + 24! toplamının sonunda kaç sıfır
bulunur?
Çözüm: Yine bu sayının içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu bulmamız lazım.
23! + 24! = 23! + 24.23!
= 23!.(1 + 24) = 23!.25
olduğundan hem 23!’in hem de 25’in içinde kaçar
tane 5 olduğunu bulup toplamamız gerekiyor.
23!’de 4, 25’te 2 tane 5 çarpanı olduğundan cevap
6’dır.
Soru 10. n ve p sayma sayıları için 23! = 6n.p
ise n en fazla kaç olur?
Çözüm: Nasıl ki bize 10 çarpanı sorulduğunda
bile biz sayıyı devamlı 10’a değil, 5’e bölüyorduk,
şimdi de 6 çarpanı soruluyor diye hemen 6’ya bölmeyeceğiz. Çünkü her 2 ve 3’ten bir 6 elde edildiğinden ve her 3 ile eşleştirebileceğimiz bir 2 bulunup, her 2 ile eşleştirebileceğimiz bir 3 bulunmadığından 23’ü devamlı 3’e bölüp, çıkan bölümleri
toplamalıyız. 23’ü 3 ‘e bölersek bölüm 7, 7’yi de
3’e bölersek bölüm 2 çıkar ki cevap 7 + 2 = 9 olur.
Soru 8. 23! + 72! toplamının sonunda kaç sıfır
vardır?
Çözüm: Bir önceki benzer soruda ifadeyi çarpanlarına ayırmıştık. Burada da öyle yapacağız.
Sayıların büyüklüğü gözünüzü korkutmasın.
23! + 72! = 23!.(1 + 24.25.26…70.71.72)
Parantez içinde 1 ile toplanan sayının 5’in katı
olduğuna dikkat ediniz. Çünkü içinde 25 var,
yeter. O halde bu sayıya 1 eklendiği için bu sayı
5’in katı olamaz, yani son rakamı sıfır değildir, o
halde sadece 23! sayısının sonundaki sıfır sayısı
cevaptır, yani cevabımız 4 olmalıdır.
Yani; ‘’a!’in içinde kaç tane b çarpanı var?’’
diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce bir durup
b’ye bakacağız. Eğer b asalsa a’yı devamlı b’ye
böleceğiz, fakat b bileşikse (yani asal değilse) a’yı
devamlı b’nin en büyük asal çarpanına böleceğiz.
Acaba bu durumu genelleyebilir miyiz? Neden
olmasın? Eğer toplanan faktöryellerin sonlarındaki sıfır adedi sayısı aynı değilse sadece küçük olan
sayının faktöryelini almak yeter. Eğer sıfır adedi
aynıysa böyle yapamayacağımıza aslında bir önceki sorumuz örnekti. Bunun sebebini şöyle düşünebilirsiniz: Örneğin, 40 ile 60’ın sonunda birer
sıfır var diye toplamlarının sonunda 1 tane sıfır
olacak diye bir kaide yok. İnanmıyorsan topla,
bak! Fakat sonundaki sıfır adetleri farklı olan
sayılar daima toplanınca küçük olanınki kadar
sıfır verirler. Örneğin; 3900 + 40 =3940. Tabii ki
Soru 11. n ve p sayma sayıları için 23! = 4n.p
ise n en fazla kaç olur?
Çözüm: Ne kadar da üstteki soruya benziyor değil mi? Evet ama çözümleri hiç de öyle değil. 4 asal olmadığından 23’ü devamlı 4’ün en büyük asal
çarpanı olan 2’ye bölmeliyiz. Bölelim. Bölümleri
toplayalım. 19 çıkıyor. Fakat cevap 19 değil.
Çünkü 2’leri 4 yapmak için eşleştireceğimiz diğer
2’ler başka yerde yok. Alınacaksa bu 19 tanenin
içinden alınacak. O halde yeni bir soru çıktı
karşımıza: ‘’19 tane 2’den kaç tane 4 çıkar?’’. Her
2 tane 2’den 1 tane 4 çıkacağından 19’u 2’ye
3
Faktöryel
Mustafa Yağcı
bölersek 9 tane 4 yapabileceğimizi anlarız. Peki
artan 1 tane 2 var, o nolacak? Başka 2 kalmadı ne
yapa-lım? O da öylece kalır.
Soru 15. 1! + 2! + 3! + 4! + … + 2005!
toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm: Şimdi de 9’dan büyük doğal sayıların
faktöryellerinin önemi yoktur, çünkü onların daima son iki basamakları ‘’00’’ dır. Bu yüzden son
iki rakama etki etmezler. Bu sebeple biz sadece ilk
9 sayının faktöryellerinin son iki rakamlarını
toplayalım: 01 + 02 + 06 + 24 + 20 + 20 + 40 + 20
+ 80 = 213. O halde bu toplamın son iki rakamı 13
tür, dolayısıyla onlar basamağındaki rakam 1 dir.
Yani; ‘’a!’in içinde kaç tane b çarpanı var?’’
diye bir soru ile karşılaştığımızda, önce yine bir
durup b’ye bakacağız. Tüm işlemlerimizi daha önce yaptığımız gibi yapacağız. Fakat b bir tamkare
ise bulduğumuz cevabı 2’ye böleceğiz, bir tamküp
ise 3’e böleceğiz, bir tam dördüncü kuvvet ise 4’e
böleceğiz ve bu böyle devam edecek…
Böyle toplamların 100 ile bölümünden kalan sorulduğunda da aynı çözümü yaparız. Çünkü bir sayının 100 ile bölümünden kalan şey o sayının son
iki basamağıdır. 4, 20, 25, 50, 75 gibi sayılara bölümlerinden kalanlar da son iki rakamla alakalıdır
ama daha kolay çözümleri olduğundan onları burada değil, ilerde başka örneklerde başka metotlarla anlatacağız.
Soru 12. 17n! sayısı tek ise n kaçtır?
2
Çözüm: 17! sayısının çift olduğunu kanıtladık.
Neden çiftti? İçinde bir sürü 2 çarpanı olduğu için.
Peki, bir sayı niye tek olur? İçinde hiç 2 çarpanı
olmadığı için. Demek ki 2n ifadesi 17!’in içinde ne
kadar 2 varsa almış götürmüş gibi düşünebiliriz.
17!’in içinde kaç tane 2 çarpanı var peki? Onu da
17’yi devamlı 2’ye bölerek buluruz. Ben böldüm,
15 çıktı. O halde n = 15.
Soru 16. 1! + 2! + 3! + 4! + … + 2005! toplamının 3, 6, 7, 15, 20, 40 ile bölümlerinden kalanları
hesaplayınız.
Çözüm: 3 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri hem 3 ile hem de 6 ile tam olarak bölündüğünden kalan vermezler. 1! + 2! = 1 + 2 = 3 olduğundan bu toplam 3 ile tam bölünür ama 6 ile bölümünden kalan 3 tür. Diğer yandan 5 ve daha büyük
doğal sayıların faktöryelleri hem 15 hem 20, hem
40 ile tam bölünürler. Bunlar kalan vermediğinden,
incelenmelerine gerek yoktur. 1! + 2! + 3! + 4! = 1
+ 2 + 6 + 24 = 33 olduğundan toplamın 15, 20, 40
ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3, 13, 33 olur. 7
ile ilk bölünen faktöryel ise 7! olduğundan bundan
önceki faktöryelleri toplamak gerekir. 1 + 2 + 6 +
24 + 120 + 720 = 873 olduğundan, 873 de 7 ile
bölümünde 5 kalanını verdiğinden cevap 5’tir.
Soru 13. 17n! sayısı çift ise n en fazla kaç
2
olabilir?
Çözüm: n = 15 olunca bu sayının tek olduğunu
kanıtladık. Çünkü kesrin payında da 15 tane 2 çarpanı vardı. Bunlar sadeleşince sayı tek oluyordu.
Burada da durum şöyle: Aşağıda yukarıdaki 2’lerin tamamını götürecek kadar 2 yokmuş ki bu sayı
çift kalmış. Yani n en fazla 14 olabilir.
n’nin alabileceği değerler toplamını sorar bazen.
O zaman 1’den 14’e kadar olan sayma sayılarını
toplayacağız. 1 + 2 + … + 14 = 14.15/2 = 105.
Soru 14. 1! + 2! + 3! + 4! + … + 2005! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm: 4’ten büyük olan doğal sayıların faktöryellerinin sıfır ile sonlandığını kanıtlamıştık. O
halde sadece 1! + 2! + 3! + 4! toplamının son rakamına bakmak yeterli olacaktır. 1 + 2 + 6 + 24 =
33 olduğundan sorunun cevabı 3 ‘tür.
Soru 17. 20! + 21! sayısı 12!, 121, 69, 94, 86, 55
sayılarından kaç tanesine tam olarak bölünür?
Çözüm: 20! + 21! = 20! + 21.20! = 20!.(1 + 21)
= 20!.22 olduğunu önce bir not edelim. 20!’in
içinde 12! olduğundan ilkine tam bölünür. 121 ile
tam bölünebilmesi için içinde 2 tane 11 çarpanı
olması lazım. 22’nin içinde 1 tane var ayrıca
20!’in içinde de 1 tane var, o zaman bu da tamam.
20!’in içinde 8 tane 3 çarpanı olduğundan ancak 8
tane 6 çarpanı olabilir. Bundan dolayı bu sayı 69
ile kalansız bölünemez. 94 için de durum aynı, zira
94 = 38 tür. Şimdi 20!’in içinde kaç tane 2 çarpanı
var ona bakalım. Ben baktım, 18 tane çıktı. 6 tane
Buradan şu anlaşılmaktadır: Yeterince büyük
olduktan ve 1’den başlayıp ardışık olarak arttıktan
sonra nerede bittiğinin önemi yoktur. Aynı soru
2005! değil de 2006! ya da 74658!’de bitseydi de
cevap 3 olacaktı. Bazen bu toplamın 5 ile bölümünden kalan sorulur, bu yüzden ona da 3 diyeceğiz.
4
Mustafa Yağcı
Faktöryel
8 zaten 18 tane 2 yaptığından 20!’in içindekiler
buna yeter. Son olarak 55’i inceleyeceğiz. 20!
sayısında sadece 4 tane 5 çarpanı var, 22’de ise
hiç yok dolayısıyla 55 ile bölünmesine imkan yok.
Yani, sadece 3’üne bölünür.
Soru 21. x = 22.19! olduğuna göre 20! + 21!
toplamının x türünden ifadesi nedir?
Çözüm: 20! + 21! = 20.19! + 21.20.19!
= 19!.[20 + 21.20]
= 19!.[20.(1 + 21)]
= 19!.20.22
= 20.x
Şu an itibariyle faktöryelin ne olup ne olmadığına ilişkin bir altyapınızın çoktan oluşmuş olması
gerekiyor. Yanılıyor muyuz yoksa? Eğer tereddütleriniz varsa yukarıdaki örnekleri tekrar tekrar
incelemenizi ve anlamadığınız her yeri tamamıyla
idrak edene kadar sormanızı öneririz. Zira bundan
sonra, özellikle permutasyon kombinasyon derslerinde faktöryellerle epey bir işimiz olacak.
Soru 22. n tane 120’nin toplamı, n! olduğuna
göre n değeri kaçtır?
Çözüm: n.120 = n!
n.5! = n.(n – 1)!
5=n–1
n=6
Soru 23. 60! – 50! işleminde elde edilen sayının
sonunda kaç tane ardışık sıfır vardır?
Çözüm: 60! – 50! sonundaki sıfır
50 5
adedi, her ikisinin sonundaki sıfır
10 5
2
adetleri farklı olduğundan küçük
olanın yani 50!’in sonundaki sıfır
adedi kadardır. O halde sıfır adedi 12 tanedir.
Çıkarma işlemini de aynı toplama gibi yapıyoruz
yani.
Soru 18. Aşağıdaki eşitliklerde n sayısını bulunuz.
i) n! = (2n+4).(n – 2)!
ii) (n + 7)! = 720.(n + 4)!
Çözüm: Büyüğü küçük cinsinden yazıyoruz.
i) n(n – 1)(n – 2)! = (2n + 4)(n – 2)!
⇒ n2 – 3n – 4 = 0
⇒n=4
ii) (n + 7)(n + 6)(n + 5)(n + 4)!
= 10.9.8.(n + 4)!
⇒n=3
Soru 24. 100! – 1 sayısının sonunda kaç tane
ardışık 9 vardır?
Çözüm: 100! – 1 sonundaki 9 a100 5
5
20
dedi, 100! sonundaki sıfır adedi
4
kadardır. O halde 100! – 1 sonundaki 9 rakamının adedi 24 tanedir.
Bazen de 100! + 1 toplamının sonundaki 1 adedini
sorar. Buna da hemen 24 demeyin sakın! Neden
diye bir düşünün bakalım.
Soru 19. f: »+→» , f(n) = n.f(n – 1) ve f(0) = 1
ise ∀n∈» için f fonksiyonunun faktöryel fonksiyonu olduğunu gösteriniz.
Çözüm: n = 1 ⇒ f(1) = 1.f(0)
n = 2 ⇒ f(2) = 2.f(1)
n = 3 ⇒ f(3) = 3.f(2)
………
n = k ⇒ f(k) = k.f(k – 1)
Bulunan tüm bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa;
f(1).f(2).f(3)…f(k) =
1.2.3..k.f(0).f(1).f(2)...f(k–1)
f(k) = 1.2.3....k
f(k) = k!
Soru 25. m, n ve t pozitif tamsayı olmak üzere
40! = 6m.10n.t eşitliğinde (m + n) toplamı en fazla
kaç olabilir?
Çözüm: 6 ve 10 asal olmadığından hemen bu
ifadeleri asal çarpanlarına ayıralım.
40! = 6m.10n.t = 2m.3m.2n.5n.t = 2m+n.3m.5n.t olur.
40! içinde 38 tane 2, 18 tane 3, 9 tane 5 asal
çarpanı olduğu bulunur. Bu yüzden max(n) = 9 ve
max(m) = 18 olduğundan max (m + n) = 27 dir.
Soru 20. x = 20.22.24....50 ve y = 19.21. 23....49
olduğuna göre xy çarpımının faktöryel olarak eşiti
nedir?
Çözüm:
18! 50!
=
x.y = 19.20.21.22.....49.50.
18! 18!
Soru 26. (1!+2!+3!+...+33!)123 işlemi sonucunda
birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözüm: 5! + 6! + 7! + ... + 33! ≡ 0 (mod 10)
olduğunu biliyoruz. 1!+2!+3!+4! ≡ 1+2+6+24 ≡ 3
(mod 10) olduğundan 3123 ≡ 33 ≡ 7 (mod 10) olur.
5
Faktöryel
Mustafa Yağcı
Soru 27. (1+13!, 17+13!) açık aralığında asal
sayı olmadığını gösteriniz.
Çözüm: (1+13!, 17+13!) açık aralığında bir x
asal sayısı olsun;
1 + 13! < x < 17 + 13!

x = 2 + 13! = 2 1 +


x = 3 + 13! = 3 1 +


x = 4 + 13! = 4 1 +

13 ! 

2 
= 2k
13 ! 

3 
= 3k
13 ! 

4 
= 4k
Çözüm: x = 1 için tamkare olduğu, x = 2 için de
olmadığı aşikar. x = 3 olursa bu toplam 1! + 2! +
3! = 1 + 2 + 6 = 9 olduğundan yine tamkare olur. x
> 3 için bu toplamın son rakamının daima 3
olduğunu biliyoruz. O halde bir tamkare olması
imkansızdır. Çünkü hiçbir tamkarenin son rakamı
3 olamaz. Neler olabilir, onu da siz bulunuz…
Soru 32. a! = b! + c! + d! eşitliğinde a, b, c, d
birer pozitif tamsayı ise a kaçtır?
Çözüm: b ≤ c ≤ d olsun. a > d olduğundan a ≥
d+1 yazabiliriz. (d + 1).d! = (d + 1)! ≤ a! = b! + c!
+ d! ≤ 3.d! olduğundan d + 1 ≤ 3 olur. O halde d ≤
2 dir. d = 1 için dener ve sağlayan değerler
bulamayız. d =2 için ise b = c = d = 2 ve buradan
da a = 3 bulunur. Aynı soruyu bir de doğal sayılar
kümesinde çözünüz.
..........................................

x = 16 + 13! = 16 1 +

13 ! 

16 
= 16k
olduğundan verilen aralıkta bir asal sayı yoktur.
Daha genel olarak; p bir asal sayı ve n bir doğal
sayı ise; n! + 1 ile n! + n arasında hiçbir asal sayı
yoktur. Bunun kanıtını ise sizlere bırakıyoruz.
Soru 33. OBEB(n!+1, (n+1)!+1) =?
Çözüm: n!+1 ile (n+1)!+1 sayıları daima birbirine asal olduğundan OBEB’leri 1’dir.
Soru 28. 15! sayısının pozitif tam bölenleri
sayısı kaç tanedir?
Çözüm: 15! = 211.36.53.72111.131 olduğundan,
15! ’in pozitif bölen sayısı 12.7.4.3.2.2 = 4032
tanedir.
Soru 34. 1.1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n! = (n + 1)!
–1 eşitliğini doğrulayınız.
Çözüm: Verilen bu toplama A diyelim.
A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n!
Eşitliğin her iki yanına 1! + 2! + 3! + … + n!
ekleyelim.
A + 1! + 2! + … + n! = 2.1! + 3.2!+ …+ (n+1).n!
A + 1! + 2! + … + n! = 2! + 3! + …+ n! + (n+1)!
A +1! = (n+1)!
A = (n+1)! – 1
Soru 29. 121! sayısının pozitif bölen sayısı,
120! sayısının pozitif bölen sayısının kaç katıdır?
Çözüm: 121! = 121.120! = 112.120! olduğundan
121! içinde 120!’den farklı olarak 11 çarpanı 2
tane fazladır. 120! içindeki 11 çarpan sayısı 10 ve
121! içindeki 11 çarpan sayısı da 12 tanedir.
120!’in 11 dışındaki çarpanlarının üslerinin 1’er
fazlalarının çarpımı k olsun. 120!’in pozitif bölen
sayısı k.(10+1) ise 121! sayısının pozitif bölen
sayısı k.(12+1) olur. O halde buradan 13/11 katı
olduğunu anlarız.
Soru 30.
olabilir?
Soru 35. 1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ 36.36! toplamı
hesaplandığında sondan kaç basamağında 9 olur?
Çözüm: Bir önceki soruda bulduğumuz formüle
göre bu toplam 37! – 1 dir. O halde 37!’in sonunda kaç tane sıfır varsa 37! – 1 sayısının sonunda
da o kadar 9 vardır. O halde yandaki bölme işleminden de gördüğünüz üzere cevabımız 8.
(n!)! sayısı 3 basamaklı ise n kaç
Çözüm: 3 basamaklı sayılardan
sadece 2 tanesi bir sayının faktörye5
line eşit olabilir. Bunlar 120 ve 720.
1
120 = 5! ve 720 = 6! olduğundan n
= 3’tür. n’nin hiçbir değeri için n! = 5
olamayacağına dayandık.
37
Soru 36.
5
7
a!
= 5! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b)
b!
ikilisi vardır?
Çözüm: İlk önce a = 5 olduğunu düşünelim.
Paydayı 1 yapmalıyız. Bu da 2 şekilde mümkün: b
= 0 veya b = 1 ile. Ayrıca 5! = 120 olduğundan a
= 120 ve b = 119 olursa da eşitlik sağlanır. Diğer
yandan 5! = 120 = (1.2.3).4.5 = 4.5.6 olduğundan
a = 6 ve b = 3 de çözümdür. Sonuç olarak (a,b) =
Soru 31. 1! + 2! + 3! +… + x! toplamı kaç kere
ve hangi x değerleri için tamkare olur?
6
Mustafa Yağcı
Faktöryel
{(5,0), (5,1), (120,119), (6,3)} olmak üzere 4
farklı şekildedir.
8. 29! + 30! toplamının sonunda kaç sıfır vardır?
Soru 37. 27! sayısı 7 tabanında yazılırsa sonunda kaç tane sıfır olur?
Çözüm: 27! sayısı sadece 3 kere 7’ye kalansız
bölünür, diğer bölümlerde kalanlar sıfırdan farklı
olur. Zaten 7 tabanında yazmak istediğimizde de
ilk başta sıfırdan farklıları yazarız, en sona 3 sıfır
kalır.
9. 29! sayısını 12! sayısına böldüğümüzde
bölümün sonunda kaç sıfır olur?
10. 30! – 29! farkının sonunda kaç sıfır vardır?
KONU TARAMA TESTİ
1. n bir doğal sayı ise n!, (n+1)!, (n+2)!, n!+1 ve
n!+2 sayılarından kaç tanesi daima çifttir?
11. 30! – 12! farkının sonunda kaç sıfır vardır?
2. n! iki basamaklı ise (n+2)! kaç basamaklıdır?
12. n>100 iken n!, 2.n!, (2n)!, nn, (n!)2 ve 2n!
sayılarını küçükten büyüğe sıraya diziniz.
3. 0! + 4! + 8! toplamının birler basamağı kaçtır?
13. 23! sayısının içinde 10 çarpanı mı 15 çarpanı
mı daha fazladır? Neden?
4. 26! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
14. 23! = 6n.p eşitliğinde n ve p sayma sayısı ise n
en çok kaç olabilir?
5. 26! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9’dur?
15. 23! = 6n.p eşitliğinde n ve p sayma sayıları
için n’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
6. n! hesaplandığında sondan 7 basamağı sıfır ise
n kaç farklı değer alır?
16. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n! =?
7. 29!.30! çarpımının sonunda kaç sıfır vardır?
7
Faktöryel
Mustafa Yağcı
17. m, n, p ardışık çift sayılar olmak üzere; m! +
n! + p! toplamı bir tek sayı ise m – n + p =?
26. 19! sayısı hesaplanırsa birler basamağındaki
rakam kaç olur?
27. 19! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
n
18. 23!/2 sayısı tek ise n sayma sayısı kaçtır?
28. 19! – 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur?
19. 23!/2n sayısı çift ise n sayma sayısı en çok kaç
olabilir?
29. 19! + 1 sayısının sondan kaç basamağı 1 dir?
30. 19! sayısının içinde kaç tane 10 çarpanı
vardır?
20. 23!/2n sayısı çift ise n sayma sayısının
alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
31. 19! sayısının içinde kaç tane 5 çarpanı vardır?
21. n! sayısı tek bir doğal sayı ise n2 – 3n + 3
sayısı en çok kaç olabilir?
32. 19! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı vardır?
33. 51! sayısının içine kaç tane 7 çarpanı vardır?
22. n! sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre n en az
kaçtır?
34. 19! sayısının içindeki 14 çarpanı mı 21
çarpanı mı daha çoktur? Yoksa eşit midir?
23. n! sayısı 12 ile tam bölünüyorsa n en az
kaçtır?
35. 51! sayısının içindeki 4 çarpanının adedini
bulunuz.
24. n! sayısının son rakamı sıfır ise 2n + 3 en az
kaç olabilir?
36. 90! sayısının içinde kaç tane 27 çarpanı
vardır?
25. 19! sayısı tek midir çift midir?
37. 25! + 26! sayısının içinde kaç tane 3 çarpanı
vardır?
8
Mustafa Yağcı
Faktöryel
38. 4! + 5! + 6! toplamının içinde kaç tane 4
çarpanı vardır?
47. 23! + 24! + 25! + … + 33! toplamının 17 ile
bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
39. 24!.25! çarpımının sonunda kaç tane sıfır
bulunur?
48. a! = b!.4! ise a + b en az ve en çok kaç
olabilir?
40. 27!.10x sayısının sonunda 27 tane sıfır olduğu
bilindiğine göre x kaçtır?
49. (a!)! sayısının sonunda 1 tane sıfır varsa a
kaçtır?
41. 34!/17! bölümünün sonunda kaç tane sıfır
bulunur?
50. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 30! =
5a.b ise a’nın en büyük değeri kaçtır?
42. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda
2 tane sıfır bulunur?
51. a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere; 82! =
8a.b ise a’nın en büyük değeri kaçtır?
43. Kaç tane doğal sayının faktöryelinin sonunda
5 tane sıfır bulunur?Neden?
52. a, b ve c pozitif tamsayılar olmak üzere; 40! =
2a.3b.c ise a + b toplamının alabileceği en
büyük değer kaçtır?
44. 1! + 2! + 3! + 4!+ … + 2004! toplamının
birler basamağındaki rakam kaçtır?
53.
45. 0! + 2! + 4! + … + 2004! toplamının birler
basamağındaki rakam kaçtır?
54. (n + 5)! . (2n)! çarpımını sadeleştiriniz.
46. 1! + 2! + 3! + … + 2004! toplamının 3 ile
bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
55. a bir tamsayıdır.
x
13 x − 1 eşitliğinde x kaçtır?
− =
( x − 1)! x!
x!
(2n + 1)! (n + 4)!
sonucu kaçtır?
9
(a − 5)!+ (a − 4)!
işleminin
(a − 3)!+ (5 − a )!
Faktöryel
Mustafa Yağcı
56. OBEB(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) =?
66. 11! sayısının kaç tane negatif böleni vardır?
57. OKEK(4! + 5! + 6!, 5! + 6! + 7!) =?
67. 12! sayısının asal olmayan pozitif böleni kaç
tanedir?
58. 65! içinde kaç tane 12 çarpanı vardır?
68. C(n,r): n’nin r’li kombinasyonu, P(n,r) : n’nin
r’li permutasyonu ise C(n,r) mi daha büyüktür
P(n,r) mi? Neden?
59. x ve y pozitif tamsayılar olmak üzere;
1!.2!.3!.4!...39! = x.13y olduğuna göre y en
fazla kaç olabilir?
60. x!+ ( y + 1)! ifadesi bir tamsayı olduğuna göre, x
69. 10! – 8! + 6! sayısının en büyük asal çarpanı
kaçtır?
x!
+ y toplamı en az kaç olabilir?
70. 6! sayısı 9 tabanında yazılırsa kaç basamaklı
bir sayı elde edilir?
61. 1.1! + 2.2! + 3.3! +…+ 360.360! toplamının
son rakamı kaçtır?
62. 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! +…+ 26.26!
toplamının sonunda kaç tane 9 vardır?
71. 36! sayısı 9 tabanında yazılırsa sonunda kaç
tane sıfır bulunur?
63. n>1 iken 1.1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n!
toplamının hiçbir zaman bir tamkare
olamayacağını kanıtlayınız.
72. 19!’den 19!+22 sayısına kadar kaç tane asal
sayı vardır?
64. x ve y sayma sayıları için 29!/(3x.5y) işleminin
sonucunun bir sayma sayısı olduğu bilindiğine
göre 2x – 5y ifadesinin en büyük değeri kaç
olabilir?
73. 8! sayısı en küçük hangi sayma sayısı ile
çarpılırsa bir tamkare olur?
65. 6! + 7! = m.2x.3y eşitliğinde m, x, y sayıları
birer sayma sayısı x + y toplamı en fazla kaç
olabilir?
74. 6! = 2a-2.(b – 3) eşitliğinde a ve b birer sayma
sayısı ise a + b toplamı en az kaç olabilir?
10
Mustafa Yağcı
Faktöryel
MERAKLISINA KONU TARAMA TESTİ
1.
2.
9.
( a + b)! (b − 2)!
= 7 eşitliğini sağlayan a ve
+
a!
(b − 3)!
b sayma sayıları için (a + b – 3)! =?
a!
= x2 – x eşitliğini sağlayan a, b, x sayma
b!
sayıları için b’nin alabileceği değerleri toplamı
97 ise x kaçtır?
11. 70! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen
kalan kaçtır?
12. 61! sayısının 71 ile bölümünden elde edilen
kalan kaçtır?
13. a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere 2a + 2b =
c! eşitliğini sağlayan kaç farklı (a, b, c) üçlüsü
vardır?
4. 2!.3!.4!.5!...80! çarpımından hangisi atılırsa
geriye kalan ifade bir tamkare olur?
14. x, y, z doğal sayılar olmak üzere
30!−17 x .20!
= z eşitliğinde z’nin en küçük
2y
değeri için y en çok kaç olabilir?
5. x, y, z pozitif tamsayılar olmak üzere;
2!.4!.6!.8!...32! = x3.y2.z ise x’in en büyük
değeri için z en az kaç olabilir?
15. 23! sayısı ardışık doğal sayıların çarpımı
şeklinde kaç farklı şekilde yazılabilir?
11!.12!.13!...20!
çarpımının bir tamkare olması
1!.2!.3!...10!
için çarpılması gereken en küçük sayma sayısı
kaç olmalıdır?
16.
7.
n! sayısı n cinsinden en fazla kaç olabilir?
10. x ve y tamsayılar olmak üzere 20 < x < y < 40
veriliyor. [x! + (x+1)! + (x+2)!] .[y! + (y+1)! +
(y+2)!] çarpımının bir tamka-re olması için
y’nin alabileceği değerleri bulunuz.
3. n bir çift sayma sayısı olmak üzere;
1!.2!.3!....(2n)!
kesrinin daima bir tamkare
n!
olduğunu kanıtlayınız.
6.
n
2 4 6 8
2n
2
+ + + + ... +
= x ise
=?
2− x
2! 3! 4! 5!
(n + 1)!
0!
1!
2!
+
+
+ ... toplamının n
( n + 1)! ( n + 2)! (n + 3)!
cinsinden eşitini bulunuz.
6 7 8 9 10 11
29 30
17. ( − ).( − ).( − )...( − )
7 8 9 10 11 12
30 31
çarpımının sonucu kaçtır?
8. 1!.2!.3!....23!
çarpımının
bir
tamküp
olabilmesi için bu çarpanlardan en az kaç tane
iki basamaklı faktöryel atılmalıdır?
1
18. C ( ,2) =?
2
11