05.11.2012 1 Poisson Dağılımı EME 3105 Sistem Simülasyonu Pek çok deney sürekli bir zaman aralığında, bir alanda ya da hacimde bir olayın sayılması sonucunda 0,1,2,… değerlerinin verilmesiyle oluşur. Simulasyonda İstatistiksel Modeller-III Ders 6 Birim zaman: dakika, saat, gün, hafta Birim uzay: uzunluk, alan, hacim olabilir. Poisson dağılımı sürekli uzayda kesikli veriler veren deneylere uygulanır. Poisson Rassal Değişkeni Poisson Rassal Değişkeni Tanım: Verilmiş bir zaman aralığında bir alanda yada hacimde başarıların sayısı X rassal değişkeni olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan X’e Poisson Rassal Değişkeni denir. 1) Deney, verilmiş bir birim zaman, alanda ya da hacimde bir 4) Çok küçük bir zaman aralığı, alan yada hacimde iki ya da daha çok başarının olması hemen hemen olanaksızdır. Yani bu durumda birden çok başarının olması olasılığı sıfıra yaklaşır. olayın (başarının) elde ediliş sayılarının sayılmasıyla oluşur. 2) İki ayrık birim zamanda, alanda ya da hacimde elde edilecek başarıların sayıları birbirinden bağımsızdır. 5) Bir birim zaman, alan ya da hacimde bir sonucun ortalama elde ediliş sayısı λ’dır. 3) Bir birim zaman, alan veya hacimdeki başarı olasılığı tüm birimler için aynıdır. 1 05.11.2012 Poisson Rassal Değişkeni Örnek: a) Büyük bir şehirde trafiğin yoğun olduğu bir kavşakta aylık otomobil kazalarının sayısı Poisson Dağılımı Tanım: X; 0,1,2,… değerlerini alabilen bir Poisson rassal değişkeni olsun. X’in olasılık fonksiyonu: b) Bir üretim malındaki kusurların sayısı c) Bir telefon santralında her bir dakika için gerçekleşen telefon f ( x) = P( X = x ) = konuşmalarının sayısı d) Yeni bir otomobilde kalite kontrolörleri tarafından saptanan yüzey hatalarının sayısı e− λ .λ x , x=0,1,2,... λ >0 x! e=2,71828 λ: dağılımın ortalaması e) Bir hava alanına her saat inen uçakların sayısı Poisson Dağılımının Beklenen Değeri ve Varyansı Poisson Dağılımı Teorem: X rassal değişkeni Poisson dağılımına sahip Distribution Plot Poisson 0 Mean=1 5 10 Mean=2 15 olsun: 20 0,4 µ = E( X ) = λ 0,3 Probability 0,2 0,1 Mean=4 0,4 Mean=8 σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = λ 0,0 0,3 0,2 0,1 0,0 0 5 10 15 20 X 2 05.11.2012 Düzgün (Uniform) Dağılım Tanım: X rasgele değişkeni tümü eşit olasılıklı N sonuca sahipse, X’e kesikli düzgün rassal değişken denir. Düzgün (Uniform) Dağılım Tanım: X rasgele değişkeninin alabileceği değerler x1,x2,…,xN olsun. X’in olasılık fonksiyonu:, Örnek : Muayene için kuyrukta bekleyen 10 parçanın numaralandığını kabul edelim. Her bir parça kuyruktaki sıra numarasıyla gösterilsin. Bu durumda muayene için bir parça rassal olarak (1,10) aralığında kesikli düzgün daılım kullanılarak çekilebilir. Düzgün (Uniform) Dağılım f ( x) = P( X = x) = 1 , x = x1 , x2 ,..., xN N Bu dağılıma kesikli düzgün dağılım denir. Düzgün (Uniform) Dağılım Teorem : X rassal değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olsun. µ = E( X ) = N +1 2 σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = Olasılık Grafiği Dağılım Grafiği 3 N 2 −1 12 05.11.2012 İspat İspat N 1 2 (1 + 22 + ... + N 2 ) N N.(N+1)(2N+1) ve 12 +22 +3 +...+N 2 = eşitliğini kullanarak 6 1.N .( N + 1).(2 N + 1) ( N + 1).(2 N + 1) E( X 2 ) = = N .6 6 E ( X 2 ) = ∑ x 2 . f ( x) = İspat: i =1 N 1 (1 + 2 + ... + N ) N i =1 N.(N+1) ve 1+2+3+...+N= eşitliğini kullanarak 2 1.N .( N + 1) N + 1 E( X ) = = 2.N 2 E ( X ) = ∑ x. f ( x) = σ X2 = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = Yaygın Kesikli Dağılımlar (1) Yaygın Kesikli Dağılımlar (2) 15 Dağılım, X rassal Degişkeni Bernoulli (p) Tek denemedeki basarı sayısı 16 Olasılık Fonksiyonu f(x) f (x) = p .(1− p) , x = 0,1 x 1−x Binom (n,p) n tane Bernoulli denemesindeki basari sayisi Geometrik (p) Sıralı bernoulli denemelerinde ilk basarıya kadarki deneme sayısı Negatif Binom (k,p) Sirali Bernoulli denemelerinde k’ninci basariya kadarki deneme sayisi ( N + 1).(2 N + 1) ( N + 1) 2 N 2 − 1 − = 6 4 12 ⎛ n ⎞ x n−x f (x) = ⎜ ⎟ .p .q ,x=0,1,2,...,n ⎝ x ⎠ f (x) = q x−1.p, x = 1,2,... ⎛ x −1 ⎞ k x−k f (x) = ⎜ ⎟ .p .(1− p) ⎝ k −1 ⎠ x=k, k+1,... E[X] ve V[X] µ = E( X ) = p σ 2 = p.q = p.(1− p) µ = E( X ) = np σ 2 = npq E( X ) = 1 q ,σ2 = 2 p p Dağılım, X rassal Degişkeni Olasılık Fonksiyonu f(x) Poisson (λ) Belli bir zaman süresince gerçekleşen olayların sayısı Kesikli Düzgün (a,b) f (x) = e− λ .λ x , x=0,1,2,... λ >0 x! 1 b− a +1 x = a,a + 1,...,b ; a ≤ b f (x) = Kesikli Düzgün µ = E( X ) = k / p f (x) = σ 2 = kq / p 2 4 1 , x = x1 , x2 ,..., x N N E[X] ve V[X] µ = E( X ) = λ σ2 =λ (b + a) 2 (b − a + 1)2 − 1 σ2 = 12 µ = E( X ) = µ = E( X ) = σ2 = N −1 12 2 N +1 2 05.11.2012 Birim Talebin Modellenmesi (1) Birim Talebin Modellenmesi (2) 17 18 Histogram of Binom; geometrik; negativebinom; poisson 15000 7500 10000 5000 5000 2500 0 0 2 4 6 8 10 12 negativebinom 14 16 0,12 Distribution p Geometric 0,1 Distribution Negativ e Binomial 0,10 0 13 26 39 52 65 poisson 78 91 12000 10000 0,08 0,06 0,04 9000 7500 0,02 6000 5000 3000 2500 0 Distribution Plot geometrik 10000 Probability Frequency Binom 20000 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0,00 0 4 8 12 16 20 0 10 X = total number of trials. μ=10 Birim Talebin Modellenmesi (3) 19 Distribution Plot 0,14 Distribution Negative Binomial 0,12 p NEvents 0,4 4 Distribution Mean Poisson 10 Probability 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 0 5 10 15 X 20 25 20 30 X 24 30 X = total number of trials. 5 40 50 p NEv ents 0,4 4