ELEKTROMANYETİK ALANLARA GİRİŞ Ders Notları

1
ELEKTROMANYETİK ALANLARA GİRİŞ
Ders Notları
Bölüm 2: Manyetik Alan
Yararlanılan Kaynaklar:
1) Elektromagnetik Alan Teorisi, H. Ergun Bayrakçı, Birsen Yayınevi, 2000.
2) Theory and Problems of Electromagnetics, J. A. Edminister, McGraw-Hill, 1993.
3) Elektrik Alanlarına Giriş II, Ahmet Akhunlar, İTÜ Yayınları, 1971.
2
1. STASYONER MANYETİK ALANLAR
Doğada manyetik alanların varlığı demir filizinin tanecikleri çekme özelliği ile ortaya
çıkar. Manyetik özellikler gösteren demir filizi doğal mıknatıs olarak adlandırılır. Bu
mıknatısın kuzey ve güney kutupları N ve S harfleri ile gösterilir.
Bir I doğru akımı taşıyan bir akım elemanı da stasyoner manyetik alan üretir. Sağ el
kuralına göre sağ elin baş parmağı akım yönüne işaret ederken ve akım elemanı avuç
içinde iken dört parmak manyetik alan yönüne işaret eder.
Stasyoner zamanla değişmeyen demektir. Elektrostatik alan statik yükler tarafından
üretilirken, stasyoner manyetik alan hareket eden yüklü parçacıklar tarafından üretilir. Bu
yüklü parçacıklar bir elektrik akımına neden olur ve elektrik akımı bir stasyoner manyetik
alana yol açar.
1.1 Tanımlar
Tanım 1-Manyetik endüksiyon

Düzgün manyetik alan içinde alanla  açısı yapan v hızında bir q yükü konduğunu
düşünelim.

F
N
S
X
q

v


 
O zaman F  q (v  B ) . Sol el kuralına göre: Alan sol el avuç içine girecek (alan yönü;
alana sokulan mıknatıs ibresinin kuzey kutbunun baktığı yön, dolayısı ile yukarıdaki

şekilde N ’den S ' ye), dört parmak v hızını gösterecek. Baş parmak kuvvet yönünü
gösterir.

|F|
(Wb / m 2 ) ifadesi manyetik endüksiyonu
| qv sin  |
verir. (Yön ise yukarıda tanımlanan alan yönü ile aynı)



 
| F || q (v  B) || Bqv sin  |  | B |
Tanım 2 – Manyetik alan şiddeti

 B
H
( A / m)

3
Tanım 3 – Yüzeysel elektrik akımı yoğunluğu
 I
| J |
A
(A / m2 )
Tanım 4 – Manyetik akı
 
   B  n dS
(Wb)
S
Tanım 5 – Manyetomotor kuvvet


   H  dl
( A)
Tanım 6 – Manyetik Direnç (Relüktans)
Rm 


( Henry ) 1

Tanım 7 – Vektör potansiyel ( A)



B  0  B   A
Tanım 8 – Manyetik skaler potansiyel ( )

İçinde elektrik akım yoğunluğu bulunmayan ( J  0 ) bir bölgede

H  0

 H   
1.2 Manyetik ortamların tanımı ve özellikleri


B   H ortamların manyetik olarak doğrusallık, homojenlik ve izotropluk özelliklerini
belirleyen bağıntıdır.

 
Bir çok maddede B   0 ( H  M ) bağıntısı mevcuttur. Burada

H : toplam manyetik alan şiddeti ve


M : manyetik kutuplanmadır. M nin boyutu ( A / m ) dir. İzotrop ortamlarda deneysel


olarak M   m H bağıntısı bulunmuştur. Burada  m manyetik alınganlıktır. Eğer



yukarıdaki B ifadesinde yerine konursa B   0 (1   m ) H bulunur. Manyetik geçirgenlik
katsayısı    0 (1   m ) dir. Bağıl geçirgenlik  r  1   m dir.



B  0 r H   H .
Manyetik ortamlar üç sınıfa ayrılır.
4
1. Diyamanyetik ortamlar:  m  0 (   r  1 ) . Örneğin bizmut ve bakır için
 r  0.99983 ve  r  0.999991
2. Paramanyetik ortamlar:  m  0 (   r 1 ) . Örneğin aluminyum için  r  1.00002 .
3. Ferromanyetik ortamlar:  r nin 1 den çok büyük değerler aldığı ortamlardır.  r
manyetik alanın değerine bağlı olarak değişir (doğrusal olmayan ortam). Örnek demir,
nikel, kobalt ve bunların alaşımları.
1.3 Stasyoner manyetik alanların aksiyomları
 
 H  J,

B  0
1.4 Stasyoner manyetik alanlarda sınır koşulları teoremi
a) Manyetik olarak basit iki ortamın ara yüzündeki koşullar
i- Stasyoner manyetik alanların birinci aksiyom denklemi: (Yüzeysel akım yoğunluğu yalnız

mükemmel iletkenlerle mümkün olduğu için)   H  0 . Stokes teoremi ile
 
 
(


H
)

n
dS

H

  dl  0 bulunur.
S
C
l

H 1t
S
h
1. manyetik ortam
2. manyetik ortam
C
H 2t

m (birim vektör )


H 1t  H 1t m


H 2t  H 2t m


l1   l m


l 2  l m
h  l olduğundan h boyunca integrale katkı olmadığı varsayılabilir.
 




H
  dl  ( H 1t m)  (l m)  ( H 2t m)  (l m)  0  H 1t  H 2t .
C
5

ii- Stasyoner manyetik alanların ikinci aksiyom denklemi:   B  0 olarak yazılır.

 
Diverjans teoremi ile    BdV   B  n dS  0 bulunur.
V

B1n
S

n1
1. manyetik ortam
h
2. manyetik ortam
S

n2

B2n
S


n1   n 2 , h 2  S alınırsa,
 
 
 
 
 
B

n
dS

B

n

S

B

n

S

0

B

n

B
1n
1
2n
2
1n
1
2 n  n1

S
ve nihayet B1n  B2 n bulunur.
b) İkinci ortam mükemmel geçirgen bir ortamsa (  2   ).




H 2  0 . Bu durumda B  H olduğu için B 2  0 olması gerekmez.




 H 1t  H 2t  0, B1n  B2 n .
1.5 Ampere Teoremi
 
H  J 
 
(


H
)  n dS 

S
 
J
  n dS . Stokes teoremi ile
S
 
H
  dl   I
C
1.5.1 Ampere teoreminin uygulamaları ve örnek problemler
1. Çok ince ve sonsuz uzun akım elemanının ürettiği manyetik alan
I
r

H
6
 

H
  dl   I . Ayrıca dairesel simetriden ötürü ve alanın yalnız e bileşenine sahip
C
2



olduğu varsayımı ile H  H  (r ) e olup H  (r )  r d  I , H 
0
I
2 r

e bulunur.
2. Yarıçapı a olan ve içinden I akımı akan bir iletkenin içinde ve dışındaki manyetik alan
a
r
r
C2
C1
a) İletkenin içinde I kıısmi 
 H 
I
r
 r 2  I ( )2
2
a
a
r
  H  r d  2  r H   I ( ) 2
a
C1
I r
( ) ( A / m)
2 a 2
b) İletkenin dışında
I I,
 H  r d  2  r H 
C2
 I ,  H 
I
2 r
( A / m)
3. I akımını taşıyan sonsuz uzun içi boş akım elemanının üç bölgesindeki manyetik alan
r
C3
b
a
r
r
C2
C1

a) r  a ; I  0 ,  H   0,  H  0
7
b) a  r  b; S toplam   (b 2  a 2 ),  J 
I

S toplam
I
 (b  a 2 )
2
I
 (r 2  a 2 )
2
 (b  a )
S kıısmi   ( r 2  a 2 )
I kıısmi  J  S kıısmi 
 H  r d H  2  r 
I
I (r 2  a 2 )
2
2
(
r

a
)

H

( A / m)

(b 2  a 2 )
2 r (b 2  a 2 )
C2
c) b  r ; I  I ,
 H  r d  2  r H 
2
 I ,  H 
C3
I
2 r
( A / m)
4. Dağılımının kesiti verilen çok ince ve sonsuz uzun dört akım elemanının O
noktasında oluşturacağı manyetik alan

H1 




 

2I
2I
I
(  j ), H 2 
(  j ), H 3 
( i ), H 4 
(i )
2 a
2 a
2 a
4 a
I
y
3 X
2I
a
1
X
a
a
O
I
.
2I
2
x
2a
4
.I





H  H1  H 2  H 3  H 4 


 1

I 5
( j  2 j  2 i  i )  
( i  3 j)
2 a
2
2 a 2
I
5. Problem: Sonsuz uzun akım elemanının manyetik alanı içindeki bir
dikdörtgensel çerçeve şekildeki gibidir. Çerçeveden geçen manyetik akıyı bulun.
y
I

X B
h
x
a
b
8
Çözüm:
 
 I
 

   B  n dS  n  k , B  k (
)
2 x
S
h

b
I
I
b
  ( 2  x ) dx dy   2  h ln ( a )
(Weber )
y 0 x  a
6. Problem:    / 4 düzleminin 0.01  r  0.05 m ve 0  z  2 m ile tanımlanan
bölümünden geçen akıyı bulun. 2.5 A akım taşıyan bir akım elemanı Oz ekseni
boyuncadır.    0  4   10 7 ( H / m )
Çözüm:
z
2 .5 A
2m
y
   / 4 0.01 m
0.05 m
x


BH 
2 r

e ,
 
dS  dr dz ,    B  n dS    0
S
S
I  
e  e dr dz ,
2 r
dr dz
4    10  2.5
dr dz  5  10 7  
 5  10 7 ln (5)  2  1.61 Wb
2 r
r
z  0 r  0.01
z  0 r  0.01
2

I
0.05
 
7
2
0.05
7. Problem: Küresel koordinatlarda bir vektör alanı


verilmişse P (2, , 0) noktasında   A yı bulun. Not:
2


A  10 sin  e olarak
9

 A 
A  1 1 Ar 

1

[ ( A sin  )   ] er  [
 (rA )] e
r sin  

r sin   r
.
Ar 
1 
 [ (r A ) 
] e
r r


 1 

1

Çözüm:   A 
[
(10 sin  )] er  [ ( r  10 sin  )] e
r sin  
r r


1
 
  A | P  10 sin( ) e  5 e
2
2
8. Problem: Yarıçapı r0  1 cm olan bir dairesel iletken şu iç alana sahiptir:
 10 4 1

r
H
[ 2 sin(ar )  cos(ar )] e ( A / m) .
r a
a

Burada a 
. İletkendeki toplam akımı bulun.
2 r0
Çözüm:
2
 




10 4 1
r
I   H  dl   H  (dr er  r d e  dz e z )  
r[ 2 sin(ar )  cos(ar )] d
r a
a
0
2r0 2
r02
1
(10 2 ) 2 8
4
4
4
 10  2   2  10  2   ( )  10  8 
 10  8 

( A) .




a
 2.39  10 6

9. Problem: Serbest uzayda H 
cos  er ( A / m) olarak verilen bir alan
r


mevcuttur.     , 0  z  1 m ile tanımlanan yüzeyden geçen manyetik akıyı
4
4
bulun.
Çözüm:
4
z
1m
 / 4
y
 /4
x

 3

B   0 H  cos  e r (Wb / m 2 ) ,
r
1
 /4
 
 3

   B  n dS    r ddz er ( cos  ) er  4.24 (Wb)
r
z  0    / 4
 2
10. Silindirik koordinatlarda B  e (Wb / m 2 ) verilmektedir. 0.5  r  2.5 m ve
r
10
0  z  2 m ile tanımlanan düzlemsel yüzeyden geçen manyetik akıyı bulun.
2 2.5
 

2
   B  n dS    e  (dr dz e )  6.44
r
0 0.5
(Weber)

11. Yarıçapı a olan uzun doğrusal bir iletken içerisinde ( r  a ) H 

verilen bir manyetik alan şiddetine sahiptir. Dışında ise ( r  a ) H 

Her iki bölgede J yi bulun. Not:
Ir 
e ile
2 a 2
I
2 r

e dir.
 1 Az A 
A A  1 
A 
 A  (

) er  ( r  z ) e  [ (r A )  r ] e z dir.
r 
z
z
r
r r

Çözüm:


I r  1  I r2 

I 
a) r  a için: J    H   (
) er 
(
) ez 
ez
2
2
z 2 a
r r 2  a
 a2

Böylece J kesit alanı olan  a 2 üzerine düzgün olarak dağılmış Oz yönünde bir
akıma karşı düşer.


I


I  1 
b) a  r için: J    H   (
) er 
(r
) ez  0 .
z 2 r
r r 2  r
11
1.6 Bir iletkene etkiyen manyetik kuvvetler
Aynı bir noktasal yük için olduğu gibi, içinden akım geçen bir iletken üzerine de bir kuvvet
etkir. Gerçekte bu kuvvet akım oluşturan serbest elektronlar üzerine etkiyen manyetik
kuvvetlerin bir sonucudur. Örneğin elektrik motorlarının rotor diye adlandırılan dönen
kısımlarını veya ölçü aletlerinin sargılarını döndüren kuvvetler bu manyetik kuvvettir.

B
I
S
l

Şekilde B düzgündür ve iletken endüksiyon çizgilerine diktir. İletkenden geçen akım yönü
sağa doğru olduğu için serbest elektronlar sola doğru hareket eder. Eğer elektronların hızı v
yükü e ise ( e  1.6  10 19 C ) her bir elektrona etkiyen kuvvet
f  B e v sin   B e v (  90 o )
olacaktır. Öte yandan eğer birim hacım içindeki serbest elektron sayısı n ile gösterilirse,
telden geçen I akımı için şunu yazabiliriz:
I
q nel S
l

 n e v S . Çünkü
 v.
t
t
t
Bu iki bağıntıdan bir elektrona etkiyen kuvvet olarak
f 
BI
nS
yazılabilir. Uzunluğu l olan bir teldeki serbest elektronların sayısı N  l S n olduğundan bizim
tel parçamıza etkiyen kuvvet
F nf N
BI lSnBI

lBI
nS
nS

 
olarak bulunur. Elektronlara etkiyen kuvveti bulmak için q   e diyerek f  e v  B

yazabiliriz. Elektronların hızı v sola doğru olduğundan bu ifadeye göre kuvvetin yönü şekil
düzlemine dolayısıyla iletkene diktir ve öne doğrudur. Bu yön sol el kuralı ile saptanabilir:
alan sol el avuç içine, dört parmak akım (  q hareket) yönünü gösterirken baş parmak kuvveti
gösterir.
12
Yukarıdaki son denklem yalnız iletken alana dikse geçerlidir. Eğer iletken yönü
manyetik alan yönü ile  açısını yaparsa bu denklem şu biçimi alır:
F  B l I sin  .


Eğer akım yönü yani  e v ile aynı yöne sahip uzunluk vektörü l ile gösterilirse,
 

F  Il B
olur.

F
l
I

B
I
cıva
cıva
Elde edilen bu bağıntıyı yukarıdaki deney düzeneği ile gerçeklemek mümkündür.
Eğer manyetik alan düzgün değil veya iletken parçası bir doğrusal çizgi değilse
yukarıdaki bağıntıları kullanamayız. Aynı şey alan düzgün değil ve iletken parçası bir
doğrusal çizgi değilse de doğrudur.
Böyle bir durumda akım yönündeki uzunluk elemanı (diferansiyel uzunluk vektörü)


ds ve manyetik endüksiyonun B olduğu bir noktada bu uzunluk elemanına etkiyen kuvvet

 
dF  I ( ds  B )





olur. | dF | dF  I ds B sin  olup, burada  , B ve ds arasındaki açıdır. dF nin yönü hem ds

ve hem de B ye diktir. Bu nedenle bu iki vektörün tanımladığı düzleme diktir. İletkenin
tamamına etkiyen kuvvet ancak entegrasyon ile bulunabilir.

ds
I

B

dF
13
1.7 Akım taşıyan çerçeveye etkiyen kuvvetler
Aşağıdaki şekilde düzgün manyetik alan içindeki dikdörtgensel tel sargı gösterilmektedir.
Sargı düzlemi normali ve manyetik alan yönü arasındaki açı  dır.

F1
1

n
.I


u
O
a/2

u


B

X
u
a
sin 
2
2
a/2

F2
1 no.lu kenarda ( b uzunluklu) akım öne doğru:
Alan avuç içine
Akım kağıt düzlemine dik (öne doğru)
Kuvvet kağıt düzleminde, yukarı doğru
2 no.lu kenarda ( b uzunluklu) akım arkaya doğru: Alan avuç içine
Akım kağıt düzlemine dik (arkaya doğru)
Kuvvet kağıt düzleminde, aşağı doğru
Yukarıda belirtildiği gibi sol el kuralı ile 1 ve 2 no.lu kenarlara etkiyen kuvvetlerin eşit
genlikli ve zıt yönlü olduğu görülebilir. Fakat uygulama doğrultuları farklıdır. F1  F2  B b I
olduğu için bu kuvvetler  dan bağımsızdır. (  '   / 2,  B l I sin  '  B b I ) . Diğer iki
kenara etkiyen kuvvetler eşit genlikli aynı doğrultulu fakat zıt yönlüdür. Bu nedenle
bileşkeleri sıfırdır.
Aynı uygulama doğrultularına sahip olmayan F1 ve F2 kuvvetlerinin O noktasına göre
momentleri:
a
a
M  F1 sin   F2 sin   F1 a sin 
2
2
M  F1 a sin   B a b I sin   B S I sin 
1.8 Örnek Problemler
a) B  0.5 (Tesla ) olan düzgün manyetik alan içinde bulunan ve içinden I  20 ( A) geçen
telin her metresine etkiyen kuvvet  90 0 , 60 0 , 30 0 için hesaplanacaktır.
Çözüm:
F90o  B l I sin   0.5  1  20 sin 900  10 ( N ) ,
F60o  B l I sin   0.5  1  20 sin 60 0  8.66 ( N ) ,
14
F30o  B l I sin   0.5  1  20 sin 300  5 ( N ) .
b) Kinetik enerjisi K  2.5 MeV olan bir proton B  0.8 (Tesla ) olan düzgün manyetik alan
içinde endüksiyon çizgilerine dik olarak hareket ettiğine göre parçacığa etkiyen kuvveti
bulun.
Not: Protonun kütlesi m p  1.7  10 27 (kg ), 1eV  1.6  10 19 ( Joule), q p  1.6  10 19 (Coul.)
Çözüm:
1
2K
K  4  10 13 ( Joule)  m p v 2 , v 
 2.17  10 7 (m / s )
2
mp
F  q p v B  1.6  10 19  2.17  10 7  0.8  2.76  10 12 ( N )  2.82  10 11 (kg )
( 1 N  0.102 kg )
c) Yukarıdaki şekildeki çerçeveye etkiyen moment, düzgün manyetik alanın çerçeveden
geçirdiği
manyetik
akı
bulunacaktır.
B  0.2 (Tesla ), I  5 ( A), W  10 ( sarı m ) ,
a  b  10 (cm ) . Manyetik alan çerçeve düzlemi ile   60 0 açısını yapmaktadır.
Çözüm:
Şekildeki işaretlemelere bakarak:
(   90 0    30 0 )
a
M  2 ( F1 sin  )  B b I a sin   B S I sin 
2
M  10  (0.2  100  10 4 )  5 sin 30 0  0.05 ( Nm)
  B S cos   0.2  100  10 4 cos 30 0  1.732  10 3 (Weber )

d) z  0, x  4 ( m ) ye yerleştirilmiş 2.5 ( m) uzunluklu bir iletken  j yönünde 12.0 Ampere
 
i k
değerinde bir akım taşımaktadır. Eğer iletkene etkiyen kuvvet
yönünde 1.2  10 2 ( N )
2

şiddetinde ise, bölgedeki düzgün alan B yi bulun.
Çözüm:
 
 







2  i  k
F  I l  B  1.20  10 (
)  12(2.5 j )  ( B x i  B y j  B z k )  30 ( B x k  B z i ) 
2
4

4  10
Bx  Bz 
(T ) ve B nin B y bileşeni herhangi bir değeri alabilir.
2
e) Şekildeki iletkeni bir tam tur hareket ettirmek için yapılması gereken işi bulun. Silindirik


koordinatlarda B  2.5  10 3 e r (T ) ve I  45 .0 ( A) dir. r  0.03 ( m ) dir.
z
0.10 m
I
r
x
y
15
 



F  I l  B  45(0.1) e z  ( 2.5  10 3 e r ) ( Newton ) ,
2
2
 

3 
3
W    F  dl    11.25  10 e  (r d e )  11.25  10  r d  11.25  10 3  0.03  2
 0
 0
W  2.12 ( mJoule )
1.9 Biot-Savart Teoremi
X P ( x, y , z )
z

r

r'

R
I
X
P' ( x' , y ' , z ' )
y
O
x
 

  
I dl '  R
Biot- Savart teoremi R  r  r ' olmak üzere, H  
dir.
4 R 3
1.Biot-Savart Teoremi Uygulamaları
a) Sonsuz ince, sonsuz uzun, akım taşıyan filamanın manyetik alanı
z

dl '
I 
r'

O
r

H
a


dl '  dz ' e z ,
  


R  r  r '  a er  z ' e z
 






adz ' e
Ia

I dl '  R
I dz ' e z  (a er  z ' e z ) I
dz '
H 



e
3
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2 



4 R
4
4 [a  ( z ' ) ]
4 [a  ( z ' ) ]
[a  ( z ' ) ]
 Ia

I

I
I 
I 
z'
z'
H
| e 
| e  (

) e 
e ( A / m)
2
2
2
2
2
4 a z '  a
4 a z '  a
4 a 4 a
2 a
16
b) Sonsuz ince, sonlu uzunluklu, akım taşıyan filamanın manyetik alanı
P
1 
2
a

r

R

1

r'
O
A
2
z
K
B
I
 


I dz 'R
I dz
dH 

dH

sin 
4 R 3
4 R 2


  


R  r  r '  OP  OK  a er  z ' e z




 
dz '  R  dz ' e z  (a er  z ' e z )  a dz ' e

 
a dz ' e
dz '  R
a dz '
dz '
dz '
|
||
|
 sin(   ) 2  sin  2
3
2
2
RR
R
RR
R
R
H 
I
dz '
sin  2 ,

4
R
a  R sin(   )  R sin 
z '  a cot 
dz '  a
1
d
sin 2 
 (B)
H
H 
I
a
1
I 2
sin

d


sin  d (çünkü a  R sin  )
4 
4 a 1( A)
sin 2  R 2
I
4a
(cos  1  cos  2 )
    90 0  sin   cos  ve d  d dır.
dH 
I
4 a

cos  d  H 
I
4 a

(sin  2  sin  1 ) e
17
c) Sonsuz ince, yarı sonsuz, akım taşıyan filamanın manyetik alanı
Yukarıdaki problemde z  a tan  olduğu için  2 , pozitif z yönünde olduğundan (+)
alınmalı ve  1 , negatif z yönünde olduğundan (-) alınmalıdır. Buna göre:


I
H 
(sin  2  sin  1 ) e ,
4 a
I
1   / 2 (  z tarafında),  2  0 ,
a
O
P

I
 
I 
H 
[0  sin(  )] e  
e .
4 a
2
4 a
z
1   / 2 (  z tarafında),
2   / 6
I
90 0
P
O
(  z tarafında),

I
 
3I 
H 
[0.5  sin(  )] e  
e .
4 a
2
8 a
30 0
z
1   / 2 (  z tarafında),
1   / 6 (  z tarafında),
I

I

 
I 
H 
[sin(  )  sin(  )] e  
e
4 a
6
2
8 a
1
2
O
z
P
18
d) Problem: Şekildeki dikdörtgen sarımda I akımı akmaktadır. Merkezde manyetik
endüksiyon vektörü nedir?    0
C
B
2a
I
M
A
D
2b
Çözüm:
2
1
b
2
1
z
O
I
B AB  BCD 
0 I
 I
 I
a
a
a2
(sin  2  sin  1 )  0 (

) 0
4 b
4 b a 2  b 2
2 ab a 2  b 2
a2  b2
B BC  B AD 
0 I
 I
 I
b
b
b2
(sin  2  sin  1 )  0 (

) 0
4 a
4 a a 2  b 2
2 ab a 2  b 2
a2  b2
B M  2 B AB  2 B BC
 I
 0
b
 I
 0
2
2
a
a b
a
0 I a 2  b2
 I

 0
a2  b2
2
2
2
2
 ab a  b
 ab
a b
b
e) Problem: Şekildeki P noktasındaki manyetik endüksiyon vektörünü bulun.

B3

B

B13
P
a  50 cm , I  15 A

B1
  0
a
IX
1
a
.
2
2I
a
X
3
I
19
Çözüm:


| B1 || B3 |  0

| B2 |  0
I
2 a
I
2 r1


4  10 7  15
2  50  2  10  2
 4.25
( Tesla )
4  10 7  30
 12 ( Tesla )
2  0.5


2
| B13 | B1 | cos 45 0  2  4.25 
2  6
2
( Tesla )



| B || B2 |  | B13 | 12  6  6 ( Tesla)
f) Tek bir spirin manyetik alanı


dl ' u
1
a

R


u2
.

H


dH z

dH r
 
  



R  a1u1  a 2 u 2 , olup dl '  u1 (yarıçap ışını ve teğet) ve dl '  u 2 ( u 2 spir
 
düzlemine diktir). O halde dl '  R .

B- dH r , Oz ye dik olan spir düzlemine paraleldir. Biot-Savart teoremine göre aynı



zamanda dl ' ne diktir. O halde spir düzleminde bulunan ve dl ' ne dik olan u1 e



paraleldir. u 2 hem dH r hem de u1 e diktir. Dolayısı ile kendilerini birleştiren Oz

 
ekseni ve bu nedenle dH z ile birlikte u1 , dH r hep aynı düzlemin içindedir.
A-
    , sin  
a
R
 
 

I | dl ' R |
I dl '
,
olup
| dH |

|
sin

|
d
l
'  R  0 den ötürü,    / 2 .
4
4 R 2
R3


a d
I dl '
I
2
2
2
,
,
dl
'

a
d

,
R

a

z
| dH |
|
d
H
|
2
2
4 R
4 ( a  z 2 )

a d a
I a 2 d
I
dH z | dH | sin  

4 (a 2  z 2 ) R 4 (a 2  z 2 ) 3 / 2
20
2
I a 2 d
I a 2 2
I a2
Hz  


2
2 3/ 2
4 (a 2  z 2 ) 3 / 2 2(a 2  z 2 ) 3 / 2
0 4 ( a  z )
dH r in hiçbir katkısı yoktur.
g- Problem :
N, I

N  100 , I  4 A ise , a) | H O | =? ( z  0 )
X

HO
a  0 .5 m

HP
O

b) | H P | ? ( z  2 m )
P
2m
.
Çözüm:

a) | H O |
I a2
I
N
N  400 ( A / m)
2 3/ 2
2a
2(a )

4  100  0.25
b) | H P |
 5.706 ( A / m)
2( 4  0.25) 3 / 2
h- Solenoid sargının alanı
l
XXX X XX
a

z
1
P
d
.....
2
z
NI
a2
dH z 
z
l
2[a 2  (d  z ) 2 ]3 / 2
a
a
1
 tan  , d  z 
  dz  a (  2 ) d
dz
tan 
sin 
21
Nz I
dH z 
l
 dH z 
2
Nz I 1
a2

2
1
2l a
a
2[a 2 
]3 / 2
2
sin 3 
tan 
NI
 2l sin  d 
1
NI
(cos  1  cos  2 )
l
h- Problem:
l
XXX X XX
a
2
1
A
O
M
.....
a  4 cm , l  35 cm , N  500 sarim , I  1.5 A için a) ortadaki ve b) uçlardaki manyetik
alan şiddeti bulunacaktır.
Çözüm:
a) H z 
NI
(cos  1  cos  2 ), cos  1 
2l
 2  180 0  1 ,
HM 
b)
a  (l / 2 ) 2
 0.9749
cos  2   cos 1  0.9749
500  1.5
 2 (0.9749 )  2089 ( A / m)
2  0.35
Hz 
l
NI
(cos  1  cos  2 ),  1  90 0 , cos  2  
2l
a2  l 2
(Not:  2  180 0   1 )
HO 
l/2
2
NI
2l
l
a  l2
2
 1065 ( A / m) .