ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
KÜRESEL KONİKLER VE UYGULAMALARI
Bülent ALTUNKAYA
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2012
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
KÜRESEL KONİKLER VE UYGULAMALARI
Bülent ALTUNKAYA
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde, koniklerle ve küresel koniklerle ilgili temel tanımlar ve özellikler
verilmiştir.
Üçüncü ve dördüncü bölümlerde, literatürde daha önceden bulunan küresel konik
denklemleri incelenmiştir.
Beşinci bölümde, bir parametreli küresel konik denklemleri bulunmuş ve bu formüller
yardımıyla bazı özel durumlar incelenmiştir.
Altıncı bölümde, dual sayılar ve D-Modül ile ilgili temel tanımlar verilmiştir.
Yedinci bölümde, bazı özel durumlarda küresel koniklerin E-study dönüşümleri
incelenmiştir.
Şubat 2012, 94 sayfa
Anahtar Kelimeler: Elips, Hiperbol, Parabol, Konik, Küresel elips, Küresel Hiperbol,
Küresel parabol, Dual sayılar, D-Modül, E-study dönüşümü
i
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
APPLICATIONS OF THE SPHERICAL CONICS
Bülent ALTUNKAYA
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI
This thesis consists of seven chapters.
First chapter is devoted to the introduction.
Second chapter consist of, basic definitions and properties about the conics and the
spherical conics.
Third and fourth chapters related to previously known spherical conic equations.
Fifth chapter, one parameter spherical conic equations have been obtained and some
special cases have been examined with the help of these equations.
Sixth chapter involes, some basic definitions of the dual numbers and D-modul.
Last chapter, E-study transformations of spherical conics have been obtained in some
special cases.
February 2012, 94 pages
Key Words:
Ellipse, Hyperbola, Parabola, Conic, Spherical ellipse, Spherical
hyperbola, Spherical parabola, Spherical conics, Dual Numbers, D-Modul, E-study Map
ii
TEŞEKKÜR
Bu çalışma konusunu bana destek veren ve çalışmalarımın her aşamasında yakın ilgi ve
önerileriyle beni yönlendiren Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı Öğretim
üyelerinden saygıdeğer hocalarım, Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI ve Sayın Prof. Dr.
H.Hilmi HACISALİHOĞLU’na en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca çalışmalarım süresince her zaman yanımda olan, bana manevi destek veren
aileme de teşekkürlerimi bir borç bilirim.
Bülent ALTUNKAYA
Ankara, Şubat 2012
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET................................................................................................................................. i
ABSTRACT ..................................................................................................................... ii TEŞEKKÜR ................................................................................................................... iv SİMGELER DİZİNİ ....................................................................................................... v ŞEKİLLER DİZİNİ ....................................................................................................... vi
1. GİRİŞ ........................................................................................................................... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR ............................................................................................ 2
2.1 Konikler (Koni kestirimleri)…………………………………………………...…..2
2.1 Küresel Konikler…………………………………………………………….……...5
3. KÜRESEL KONİK DENKLEMLERİ ..................................................................... 9 4. KÜRESEL KONİK DENKLEMLERİNE FARKLI BİR YAKLAŞIM .............. 30
4.1 Küresel Konik Denklemlerinin Eliptik Koni Yardımıyla Bulunması ................ 30 4.2 Küresel Konikler için Dördüncü Parametre ........................................................ 37
4.3 Parametreler Arası İlişkiler ................................................................................... 39 5. BİR PARAMETRELİ KÜRESEL KONİK DENKLEMLERİ ............................ 41
5.1 Küresel Elips ............................................................................................................ 41 5.2 Küresel Hiperbol ..................................................................................................... 52
5.3 Küresel Parabol ....................................................................................................... 61 6. E.STUDY DÖNÜŞÜMÜ ........................................................................................... 69
6.1 E.Study Dönüşümünün Temel Kavramları .......................................................... 69 7. KÜRESEL KONİKLERİN E.STUDY DÖNÜŞÜMLERİ .................................... 82
KAYNAKLAR .............................................................................................................. 93 ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................... 94 iv
SİMGELER DİZİNİ
Թ
Reel sayılar kümesi
ܵଶ
Birim küre
॰
Dual sayılar kümesi
ߝ
Dual birim
॰ଷ
D-Modül
‫ܭ‬
Birim dual küre
ሬሬሬԦ
‫ܧ‬ప
Dual baz vektörleri
v
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 Elips ................................................................................................................... 2 Şekil 2.2 Hiperbol ............................................................................................................. 3 Şekil 2.3 Parabol ............................................................................................................... 3
Şekil 2.4 Konik tanımı ...................................................................................................... 4 Şekil 2.5 Geodezik uzunluk .............................................................................................. 5 Şekil 3.1 Küresel elips .................................................................................................... 11
Şekil 3.2 Küresel elips .................................................................................................... 11 Şekil 3.3 Küresel hiperbol ............................................................................................... 11 Şekil 3.4 Küresel hiperbol ............................................................................................... 12
Şekil 3.5 Alt durum 1.1.2.2.2.2 ....................................................................................... 22 Şekil 3.6 Alt durum 1.1.2.3.2.2 ....................................................................................... 26 Şekil 4.1 Küresel elips .................................................................................................... 30
Şekil 4.2 Küresel üçgen .................................................................................................. 30 Şekil 4.3 Eliptik koni ...................................................................................................... 35 Şekil 4.4 Koni ile birim kürenin kesişimi ....................................................................... 35
Şekil 4.5 xy, xz ve yz düzlemlerine izdüşümler............................................................. 36 Şekil 4.6 xy, xz ve yz düzlemlerine asimptotik eğriyle beraber izdüşümler.................. 37 Şekil 5.1 Küresel elips .................................................................................................... 41
Şekil 5.2 Küresel elips .................................................................................................... 44
Şekil 5.3 Küresel elips .................................................................................................... 45
Şekil 5.4 Küresel elips (Küre olmadan) .......................................................................... 45
Şekil 5.5 Küresel elips .................................................................................................... 46
Şekil 5.6 Küresel elips (Küre olmadan) .......................................................................... 46
Şekil 5.7 Küresel elips (Küre olmadan) .......................................................................... 47
Şekil 5.8 Küresel elips .................................................................................................... 49
Şekil 5.9 Küresel elips (Küre olmadan) .......................................................................... 49
Şekil 5.10 Küresel elips .................................................................................................. 50
Şekil 5.11 Küresel elips (Küre olmadan) ........................................................................ 50
Şekil 5.12 Küresel hiperbol ............................................................................................. 52
Şekil 5.13 Küresel hiperbol ............................................................................................. 56 Şekil 5.13 Küresel hiperbol (Küre olmadan) .................................................................. 56 vi
Şekil 5.14 Küresel hiperbol ............................................................................................. 58
Şekil 5.15 Küresel hiperbol (Küre olmadan) .................................................................. 59 Şekil 5.16 Küresel parabol .............................................................................................. 62
Şekil 5.17 Küresel parabol .............................................................................................. 64 Şekil 5.18 Küresel parabol .............................................................................................. 65 Şekil 5.19 Küresel parabol (Küre olmadan).................................................................... 66
Şekil 5.20 Küresel parabol .............................................................................................. 66 Şekil 5.21 Küresel parabol (Küre olmadan).................................................................... 67 Şekil 6.1 Dual açı ............................................................................................................ 77
Şekil 6.2 Dual çatı ........................................................................................................... 80
Şekil 7.1 Küresel elips .................................................................................................... 84
Şekil 7.2 Küresel hiperbol ............................................................................................... 87
Şekil 7.1 Küresel parabol ................................................................................................ 88
Şekil 7.2 Dual çember ..................................................................................................... 89 vii
1. GİRİŞ
Denizcilikteki ana problemlerden birisi seyir halindeki bir geminin yerini belirlemektir.
Bunun için çeşitli yöntemler kullanılır. Kullanılan yöntemlerden bir tanesi sabit iki
istasyondan gönderilen sinyallerin gemiye ulaşma zamanları arasındaki fark yardımıyla
geminin yerini tespit etmektir. Bu yöntem akla düzlemdeki Elips tanımını getirmektedir.
Bildiğimiz gibi Elipsin tanımlarından bir tanesi aşağıdaki gibidir.
“F ve F düzlemde iki nokta olsun, bu iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan
noktaların geometrik yerine Elips. F ve F noktalarına da Elipsin odakları denir.”
Bu tanımı küre yüzeyine uyguladığımızda karşımıza Küresel Elips kavramı
çıkmaktadır. Bu problemi incelemeye başladıktan sonra fark ettik ki Küresel Elips için
çok parametreli denklemler ve çeşitli kuadratik denklemler bulunmasına rağmen
denklemler çok değişkenli olduğundan kullanışlı değil. Daha basit bir denklem bulmak
için çalışmalara başladık. Zaman içinde bunun için birçok bilim adamının uğraştığını
ama henüz gerçekten bizim istediğimiz ölçüde kullanışlı bir denklem bulunamadığını
gördük.
Prof. Dr. H. Hilmi Hacısalihoğlu’nun problem için yeni bir çatı oluşturmak gerektiğini
ve bu çatıda 3. bileşenin vektörel çarpımla bulunmasının daha faydalı olacağı
konusunda yaptığı uyarıyla çalışmalarımız yeni bir yön kazandı ve çalışmada
göreceğiniz tek parametreli denklemleri elde ettik. Bu da aklımıza küresel konikler
konusunda başka neler yapılabileceği sorusunu getirdi.
Bu tezdeki grafikler MATLAB ve GEOGEBRA programları kullanılarak çizilmiştir.
1 2.TEMEL KAVRAMLAR
2.1 Konikler (Koni kesitleri)
Konikler en önemli geometrik nesnelerdendir. Analitik geometrinin ortaya çıkışıyla
özellikle koni kesitlerinin incelenmesi çok kolaylaşmıştır. Bir koni kesiti denildiğinde
şu nesneler anlaşılır: Elips, parabol ve hiperbol.
Elipsin özel bir hali olan çember de bazı kaynaklar da ayrı bir konik türü olarak alınır.
Konik kesitlerin isimlerine gelecek olursak; matematik tarihine baktığımızda,
kavramların, kullanılan terimlerden çok daha önemli olması gerekir ancak Apollonius
ile beraber gelen bu konik kesitlerin isim değişikliğinin bizim için normalden fazla
önemi var. Apollonius’un Konika kitabından önce, 100-150 yıl kadar eğrileri
birbirinden ayıran sıradan bir isimlendirme dışında bir isimlendirme söz konusu değildi
bulunan eğriler için. Dar açılı konik kesiti için oxytome, dik açılı konik kesiti için
orthonome ve geniş açılı konik kesiti için de amblytome kullanılmaktaydı.
Archimedes de bu isimlerle çalışmıştı, ancak; çalışmalarında dik açılı konik kesiti için
parabol adını da kullandığını biliyoruz. Elips ve hiperbol isimleri Apollonius sayesinde
kullanılmaya başlanmıştır.
Elips: azlık, yetersizlik; hiperbol: uzağa koymak; parabol: yanında durmak anlamına
geliyordu. Konik kesitleri çalışırken benzettiklerinden yola çıkan Apollonius şimdi
kullandığımız, bu isimleri kullanmaya başladı, (Şekil 2.1- Şekil 2.3).
Şekil 2.1 Elips
2 Şekil 2.2 Hiperbol
Şekil 2.3 Parabol
Daha sonraki yıllarda konikler için birçok yeni tanım bulunmuştur. Örneğin;
Tanım 2.1.1
Düzlemde sabit bir A noktası ve d doğrusu alındığında, A noktasına uzaklığının d
doğrusuna uzaklığına oranı sabit bir e
sayısına eşit olan noktaların kümesine konik
denir.
3 Şekil 2.4 Konik tanımı
FP
PH
e
olmak üzere,
e
1
,
e
1 ise, konik parabol
e
1 ise, konik hiperbol
dür.
Elips ve Hiperbol için aşağıdaki tanımlar da kullanılabilir.
Tanım 2.1.2
Düzlemde F
ve F
noktalarına uzaklıkları toplamı 2a
sayısına eşit olan
noktaların geometrik yerine elips denir. F ve F noktaları elipsin odaklarıdır.
4 Tanım 2.1.3
Düzlemde F
ve F
noktalarına uzaklıkları farkının mutlak değeri 2a
sayısına eşit olan noktaların geometrik yerine hiperbol denir. F ve F
0
noktaları
hiperbolün odaklarıdır.
Tanım 2.2.1 de ki parabol tanımını tek olarak yazarsak,
Tanım 2.1.4
Düzlemde bir F noktasına ve bir d doğrusuna aynı uzaklıkta olan noktaların geometrik
yerine parabol denir. F noktası parabolün odağıdır.
Biz bu çalışmada yukarıdaki üç tanımı kullanacağız.
2.2 Küresel Konikler
Düzlemde yapılan bu tanımları birim küre üzerine taşırsak karşımıza küresel konikler
çıkar.
S
birim küresi üzerinde P ve Q noktalarını alalım. θ
ve Q noktaları arasındaki geodezik uzunluğu gösterelim.
Şekil 2.5 Geodezik uzunluk
5 m POQ) ve d P, Q ile P
Kosinüs teoreminden
P
Q
1
2 cos θ
2
cos θ
d P, Q
1
P
Q
P
1
θ
2.1.1 cos θ
Q
2
P
Arccos 1
Q
2
2.1
P ve Q noktalarına karşılık gelen P ve Q vektörleri için
P·Q
P
Q cos θ
cos θ
olduğundan (2.1) denklemini
d P, Q
θ
Arccos P · Q
2.2
biçiminde yazabiliriz.
Tanım 2.2.1
Birim küre üzerinde F ve F noktalarına geodezik uzaklıkları toplamı 2a
sayısına
eşit olan noktaların geometrik yerine küresel elips denir. F ve F noktaları elipsin
odaklarıdır.
Tanım 2.2.2
Birim küre üzerinde alınan F noktasına ve S büyük çemberine geodezik uzaklıkları eşit
olan noktaların geometrik yerine küresel parabol denir. F noktası parabolün odağıdır.
6 Tanım 2.2.3
Birim küre üzerinde F ve F noktalarına geodezik uzaklıkları farkının mutlak değeri
2a
0 sayısına eşit olan noktaların geometrik yerine küresel hiperbol denir. F
ve F noktaları hiperbolün odaklarıdır.
Şimdi küresel elips için önemli bir noktayı açıklayalım:
F ve F , S üzerinde iki nokta ve olsun. 2a
d F ,F
2c o.ü.
2c
π,c
olacak şekilde
S
X| d X, F
d X, F
2a , a
,X
S
noktalarının kümesini alalım. Bu küme küresel elips belirtir.
Düzlemde elipsin parametreleri arasında yalnızca 2a
biliyoruz. S
2c
kısıtlaması olduğunu
üzerinde iki nokta arasındaki en kısa uzaklık π den daha büyük
olamayacağı için
2c
π
olur. Dolayısıyla küresel elips için en kısa uzaklıkları alırsak,
2π
kısıtlaması vardır. 2a
2c
2a
2c
π aldığımızda karşımıza büyük çember çıkar. Bunun ispatını
daha sonraki bölümlerde yapacağız.
S üzerinde
d X, F
eşitliği vardır. Dolayısıyla 2a
ve 2π
2a
π
aldığımızda oluşan elipsler, odak noktaları
aldığımızda ortaya çıkan küresel elipslerdir. Çünkü
π
2a
d X, F
7 d X, F
d X, F
F ,
F
π
d X, F
2π
d X, F
π
d X, F
d X, F
d X, F
d X, F
2π
2a
elde ederiz. Bu F , F odaklarına sahip, F ve F noktalarına uzaklıkları toplamı
2π
2a olan küresel elipstir.
Benzer şekilde X
S olmak üzere,
X| d X, F
d X, F
2a , a
X| d X, F
,X
d X, F
S
2a
π ,a
,X
S
olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla küresel elips ve küresel hiperbol arasında bir ayrım
yapmaya gerek yoktur.
8 3. KÜRESEL KONİK DENKLEMLERİ
Bu bölümde literatür de kullanılan küresel konik denklemlerini açıklayacağız. Küresel
koniklerle ilgili kaynaklarda küresel elips ve küresel hiperbol incelenmiştir. Küresel
parabolü 5. bölümde inceleyeceğiz.
Tanım 3.1.1
Birim küre üzerinde F ve F noktalarına geodezik uzaklıkları toplamı (farkının mutlak
değeri) 2a
sayısına eşit olan noktaların geometrik yerine küresel elips (hiperbol)
denir. F ve F noktaları elipsin (hiperbolün) odaklarıdır.
Şekil 2.5’deki geodezik uzunluğu kullanırsak, bu durumda küresel elips denklemi
X
S olmak üzere,
d X, F
d X, F
2a
d X, F |
2a
küresel hiperbol denklemi
|d X, F
(3.1)
olur. İki denklemi birleştirirsek
Arccos 1
X. X
F ·F
F ·F
X
F
2
Arccos 1
X
F
2
2a
1 olduğu için (2.2) den
Arccos X · F
Arccos X · F
2a
yazabiliriz. Küresel hiperbol için aşağıdaki iki denklemi buluruz.
Arccos X · F
Arccos X · F
Arccos X · F
2a
π
(3.2)
Arccos X · F
2a
π
(3.3)
9 Bu durumda, (3.2) ve (3.3) sırasıyla odak noktaları F , F
toplamı 2a
F ,F
ve
uzaklıkları
π olan küresel elipslerdir. (3.2) denkleminde X yerine – X alırsak (3.3)
denklemini elde ederiz. Yani (3.2) ve (3.3) birbirlerinin antipodal görüntüleridir.
cos α
β
Arccos X · F
Arccos X · F
2a
cos Arccos X · F
Arccos X · F
cos 2a
cos α cos β
X·F
sin α sin β olduğundan
X·F
1
X·F
1
X·F
cos 2a
bulunur. Devam edersek
X·F
X·F
X·F
cos 2a
X·F
1
X·F
2 cos 2a X · F
1
X·F
X·F
X·F
1
X·F
cos 2a
X·F
X·F
olduğundan küresel elips ve hiperbol için
X·F
X·F
2 cos 2a X · F
X·F
cos 2a
1
0
3.4
genel denklemini buluruz.
cos 2a
biçiminde yazalım,
C
de her vektöre bir nokta karşılık geldiğinden 3.4 denklemini
düzenlersek 3.4
X·F
X·F
2C X · F
haline gelir
10 X·F
C
1
0
3.5
Şekil 3.1 Küresel elips (Jianfei 2004)
Şekil 3.2 Küresel elips (Jianfei 2004)
Şekil 3.3 Küresel hiperbol (Jianfei 2004)
11 Şekil 3.4 Küresel hiperbol (Jianfei 2004)
Küresel konikler genel olarak düzlemsel eğriler değillerdir. Eğer düzlemsel ise
çemberdir. Küresel koniklerin ne zaman çember olduğuyla ilgili bir teorem verelim.
Teorem 3.1.1 (Jianfei 2004)
X s :I
S tanımlı, odakları F ve F olan, 3.5 denklemini sağlayan birim hızlı bir
küresel konik olsun. Bu durumda 3.5 denklemi çember belirtir
C
F
1.
İspat: "
" F
F olduğunda X in çember belirttiği açıktır. F
F ve C
3.5
X·F
X·F
2 X·F
X·F
0
biçimine gelir. Bu denklemi düzenlersek
X·F
X·F
X·F
eşitliğini buluruz. Görüldüğü gibi X , F
F
F ve C
X·F
0
0
X F
F
0
F ye dik olan büyük çemberdir.
1 ise
X·F
X·F
2 X·F
12 F veya
X·F
0
1 ise
X·F
X·F
X·F
0
eşitliğini buluruz. Görüldüğü gibi X , F
"
0
X·F
X F
F
0
F ye dik olan büyük çemberdir.
" T,N,B Frenet çatısı olsun. X çember ise eğriliği sabittir. 3.5 in türevini alırsak.
2 X·F
F ·T
2 X·F
F ·T
X·F
2C F · T X · F
F · T =0 3.6
Aşağıdaki durumları incelememiz gerekir.
Durum 1: s
I için
F ·T X·F
X·F
X·F
F ·T
1
X·F
F ·T
X·F
s
0 alırsak,
F ·T
1
X·F
s
0
olduğundan aşağıdaki alt durumları incelemeliyiz.
Alt durum 1.1: s
I için
F ·T
1
X·F
F ·T
1
X·F
s
0
Bu alt durumun ispatı teoremin sonunda verilecektir.
Alt durum 1.2: s
I için
X·F
X·F
s
0. Dolayısıyla C
1
olmalıdır.
Alt durum 1.3: s
Durum 2: s
I için
I için
X·F
X·F
s
F ·T X·F
X·F
F ·T
0. Dolayısıyla C
s
1 olur.
0 olarak alırsak.
Yani
F ·T X·F
X·F
F ·T
s
0
X·F
X·F
F ·T
s
0
F ·T
olduğundan aşağıdaki alt durumları incelemeliyiz.
Alt durum 2.1: Eğer X · F
s
0 ise
13 3.7
F ·T
X·F
X·F
X·F
X·F
X·F
s
0
3.8
3.7 ve 3.8 den aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
Alt durum 2.1.1: X · F
olur. X · F
s
1
X·F
olur. X · F
F ·T
X·F
0 ise
s
3.7
0
den
F ·T s
X·F
1
s
X·F
0 ise
s
3.7
0
den
F ·T s
0 olduğundan
1
Alt durum 2.2: X · F
s
F ·T
X·F
s
1
0 olduğundan
X·F
Alt durum 2.1.3:
F ·T
X·F
s
1
olur. X · F
F ·T
X·F
Alt durum 2.1.2:
F ·T s
0
0 olduğundan
F ·T
F ·T s
0 olması durumunda 3.7 den F · T s
s
X·F
s
F ·T
1
X·F
X·F
F ·T
s
0
0 ise
F ·T X·F
s
0 ve
s
0
olmalıdır. 3.7 ve 3.8 den aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
Alt durum 2.2.1:
X·F
s
0 ise
F ·T s
F ·T
1
0 ve
F ·T s
0
olduğundan
F ·T
1
X·F
Alt durum 2.2.2: X · F
C
s
X·F
0 ise 3.5 ve X · F
1 dir.
Durum 2 incelenirse
F ·T X·F
X·F
14 F ·T
s
0
s
0
s
0 olduğundan
biçiminde alındığında
F ·T
1
X·F
F ·T
1
X·F
s
0 veya C
1
olmak zorundadır.
Dolayısıyla yalnızca alt durum 1.1 ispatlanırsa, ispat bitmiş olur. Bunun için X in
periyodu 2π olan bir fonksiyon olduğunu kabul edelim. X bir çember denklemi
olduğundan
T s
T s
T s
N s , N s
π
3π
2
T s ,
T s
N s
N s , N s
π
N s
3π
2
T s
eşitlikleri vardır.
X, S üzerinde bir çember olduğundan R, X çemberinin yarıçapı ve H
alırsak, X
RN
HB eşitliğini yazabiliriz.
F ·T
F ·T
1
F ·T
1
3.9 da s yerine s
X·F
R F ·N
F ·T
2RH F · N
2RH F · N
R F ·T
1
R F ·T
2RH F · T
2RH F · T
π yazarsak,
15 1
X·F
F ·B
F ·B
s
0
H F ·B
H F ·B
3.9
yazarsak,
1
F ·N
1
R F ·N
3.9 da s yerine s
F ·N
X·B·R
F ·B
F ·B
H F ·B
H F ·B
3.10
F ·T
1
F ·T
R F ·N
1
3.9 da s yerine s
F ·N
3.9
3.10
3.9
R F ·N
F ·B
2RH F · N
H F ·B
F ·B
H F ·B
3.11
yazarsak,
1
F ·N
2RH F · N
R F ·T
1
2RH F · T
R F ·T
2RH F · T
F ·B
H F ·B
F ·B
H F ·B
3.12
3.11
F ·T
F ·N F ·B
F ·T
F ·N F ·B
3.13
F ·N
F ·T F ·B
F ·N
F ·T F ·B
3.14
3.12
3.11
F ·T
1
F ·T
R F ·N
1
R F ·N
H F ·B
H F ·B
3.15
3.10
3.12
F ·N
F ·N
R F ·T
1
1
R F ·T
H F ·B
H F ·B
3.16
3.15
3.16
F ·T
F ·N
H
F ·T
F ·N
F ·B
F ·T
F ·N
H
F ·T
F ·N
F ·B
16 F ·T
F ·N
F ·B
1
F ·T
ve
F ·N
F ·B
1
olduğundan
1
F ·B
H 1
F ·B
1
F ·B
F ·B
H 1
H F ·B
1
F ·B
H
F ·B
F ·B
F ·B
F ·B
H F ·B
F ·B
0
Dolayısıyla aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
Alt durum 1.1.1: H
d X, F
1
R
0
X
B. Bu yalnızca F
F
ve
0 veya π olur.
Alt durum 1.1.2: 1
0 ve F · B
H
Alt durum 1.1.2.1: F · B
F ·B
F ·B
0
0. F ve F , B ye dik X e paralel bir büyük
çember üzerindedir. Bu durumda yalnız iki nokta koşulu sağlar. X küresel hiperbol
olamaz. Ayrıca X üzerinde
d X, F
d X, F
d X, F
d X, F
olacak şekilde X ve X noktaları bulabileceğimizden X küresel elips olamaz.
Alt durum 1.1.2.2: F · B
F ·B
0. s
I için
3.13
F ·T
F ·N
F ·T
F ·N
3.17
F ·N
F ·T
F ·N
F ·T
3.18
3.14
olur.
17 Alt durum 1.1.2.2.1: s
I için
F ·T
F ·N
F ·T F ·T F ·N F ·N
F ·N
F ·T
F ·T
F ·N
F ·T F ·N
F ·T
s yerine s
F ·T
F ·T
F ·T
F ·N
1
F ·T
Dolayısıyla F
m, m
F ·B
m
F ·T
F ·N
1
3.18
den
F ·T
F ·T
F ·B
2m
2m
0
ve F · N
F · T ve F · N
F dir.
18 0
F ·N
m
ve
0
yazarsak,
F ·N
3.17
0 ise
F ·N
F ·T
F ·T F ·N
1 d
F ·T
2κ ds
s
F ·N
F · N olduğunu biliyoruz.
Alt durum 1.1.2.2.2: s
F ·T F ·N
s
I için F · T s
0 ise 3.17 veya 3.18 den
0 dır. Aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
Alt durum 1.1.2.2.2.1: F · N s
0 ise
B
F
ve
3.15
F ·T
1
H
s
0
3.16
F ·N
1
H
s
0
Dolayısıyla
1
olur. Yani F
H
0
F ·T s
B dir. Buradan F
F bulunur.
Alt durum 1.1.2.2.2.2: F · T s
F ·N
3.16
1
F ·N
Bu durumda 1
F ·B
1
1
Eğer F · N s
F ·N s
Eğer
F ·T s
Şekil 3.5 de F
F ·N
H
F ·B
F ·N s
ve F · B
F ·N s
H F ·B
1
0 olduğundan
H
0 ise
F ·N
s
H F ·B
F ·N
s
F ·N
0 ve F · N s
ise F · T s
F · B olacağından F
F ·N s
0 ve F · B
F ·N s
s
0
s
0 dır. H
F ·N s
0, F · T s
1 ve
olur.
0, F · N s
F bulunur.
F
ise
H F ·B
1
F
·N s
0,
F ·T s
0,
F · B bulunur.
F , X çemberine paraleldir çünkü F · B
F · B dir. A ve A, X ile F
ve F noktalarından geçen büyük çemberin kesişim noktalarıdır. D noktası da X çemberi
üzerinde A ve A noktalarının orta noktası olsun.
19 F
olduğundan F
F
·N s
0, F · T s
0, F · T s
F , X çemberine diktir. Dolayısıyla F
0
F , X çemberinin
merkezinden geçer.
F ·T s
0, F · T s
0
olmasından dolayı
A
HB
RN s
A
HB
RN s
D
HB
RT s
ve
alabiliriz.
Eğer X bir küresel hiperbol ise,
|d A, F
d A, F |
d F ,F
ve
d D, F
olmalıdır. Yani F
d D, F
0
F dir.
Eğer X bir küresel elips ise,
d A, A
d A, F
d A, F
d D, F
olur. Dolayısıyla
D, F
H F ·B
D, F
H F ·B
ve
20 d D, F
2d D, F
A·A
R
H
ise
2 cos Arccos
H F ·B
2H F · B
H
R
1
1
H
H
R
R
1 olduğundan
H
F ·B
1
0
olur.
Eğer F · B
Eğer H
1
0 ise F
0 ise, X
F
RN ve
F
F
·N s
0
F
F
·X s
0
cos d F , X s
2cos
B dir.
d F ,X s
d F ,X s
2
cos d F , X s
cos
0
d F ,X s
d F ,X s
2
Yani
cos
d F ,X s
d F ,X s
2
21 0
0
d F ,X s
d F ,X s
C
cos
π
1
d F ,X s
d F ,X s
0
2
d F ,X s
d F ,X s
d F ,X s
F
π
π, d F , X s
X s ,F
F
X s
F
bulunur.
Şekil 3.5 Alt durum 1.1.2.2.2.2
22 0
s
Alt durum 1.1.2.2.3:
I için
F ·T s
0. İspat Alt durum
1.1.2.2.2.2 ile aynıdır.
Alt durum 1.1.2.2.4: s
I için F · N s
3.17 veya 3.18
0
F ·T F ·N
s
0
ise aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
Alt durum 1.1.2.2.4.1: F · T s
0 ise F
B dir.
3.15
F ·T
1
H
s
0
3.16
F ·N
1
H
s
0
Dolayısıyla
1
H
0
F ·T s
F ·N s
F
B
F
F
B
bulunur.
Alt durum 1.1.2.2.4.2: F · N s
3.9
F ·T
1
H F ·B
F ·T
1
H F ·B
Eğer F · T s
Eğer F · T s
s
F ·T
0 olduğundan
F ·T s
0 ise
1
F ·T
H F ·B
F ·T
ise F
F ·T
s
s
H F ·B
0
0 dır.
F dir.
F ·T s
F ·N s
0, F · N s
0, F · B
ve
F
F
·T s
olur. Buradan
23 1
0
F ·B
s
π
0
2
π
F ·T s
0
2
F ·B F ·B
π
F
F ·N s
2
F ·T
s
0
olduğundan ispat alt durum 1.1.2.2.2.2 gibidir.
Alt durum 1.1.2.3: F · B
F · B ama F · B
0
3.13
F ·T
F ·N
F ·T
F ·N
3.19
F ·N
F ·T
3.20
3.14
F ·N
F ·T
Alt durum 1.1.2.3.1:
s
I için
F ·T F ·T F ·N F ·N s
olduğunda
F ·T
F ·N
F ·N
F ·T
F ·T F ·N
F ·T
F ·N
F ·N
F ·T
F ·T F ·N
0
Bu durumda alt durum 1.1.2.2.1 ispatı geçerlidir.
Alt durum 1.1.2.3.2: s
I için F · T s
3.19 veya 3.20
0 ise
F ·T F ·N
yazabiliriz. Bu durumda aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
Alt durum 1.1.2.3.2.1: F · N s
24 0. Yani
s
0
0
F
B
ve
3.15
F ·T
1
H
s
0
3.16
F ·N
1
H
s
0
Dolayısıyla
1
H
F ·T s
0
F ·N s
F
0
B
olur.
F ·B
F
F ·B
F
B
bulunur.
Alt durum 1.1.2.3.2.2: F · T s
3.10
F ·N
F ·N
F ·B
F · B ve 1
1
H F ·B
F ·N
H F ·B
F ·N
s
1
F ·N
1
H F ·B
s
0 olduğundan
F ·N
25 0 ise
s
0
H F ·B
0
s
dır.
Eğer F · N s
F ·N s
F ·T s
ise
0, F · T s
0, F · B
ve
F
F
·N s
0
olur.
Eğer X küresel elips ise,
d A, F
d A, F
d A, F
d F ,F
2π
d F ,F
π
d A, F
d F ,F
F
F
Şekil 3.6 Alt durum 1.1.2.3.2.2
26 F ·B
Eğer X küresel hiperbol ise,
X
HB
RN
F ·X
H F ·B
F ·X
H F ·B
R F ·N
R F ·N
H F ·B
R F ·N
3.5 den
H F ·B
2C
C
H F ·B
cos d A, F
R F ·N
R F ·N
d A, F
2H F · B
H F ·B
H F ·B
R F ·N
R F ·N
C
1
√1
H
R olarak alıp devam edersek,
R
H
2R R
1
1 F ·N
0
0
3.21
3.21 ifadesinin türevini alırsak,
4R R
1 F ·N F ·T
0
eşitliğini buluruz.
Eğer F , X çemberine dikse, F
B olur. Dolayısıyla F
F dir.
Eğer F , X çemberine dik değilse,
F ·N F ·T
olacak şekilde bir s
I bulabiliriz. Dolayısıyla R
Alt durum 1.1.2.3.3: s
s
0
1
C
1 dir.
I için F · T s
0 ise ispat alt durum 1.1.2.3.2
I için F · N s
0 ise
deki gibidir.
Alt durum 1.1.2.3.4: s
3.19 veya 3.20
F ·N F ·T
yazabiliriz. Bu durumda aşağıdaki alt durumları elde ederiz.
27 s
0
Alt durum 1.1.2.3.4.1: F · T s
0. Yani
F
B
ve
3.15
F ·T
1
H
s
0
3.16
F ·N
1
H
s
0
Dolayısıyla
1
0
H
F ·T s
F ·N s
0
B
F
olur.
F ·B
F
F ·B
F
B
bulunur.
Alt durum 1.1.2.3.4.2: F · N s
3.10
F ·T
F ·T
1
H F ·B
F ·T
s
1
F ·T
H F ·B
28 0 ise
1
s
H F ·B
0
s
F ·T
F · T ve 1
H F ·B
0 olduğundan
F ·T
F ·T
s
0
dır.
Eğer F · T s
Eğer F · T s
F ·T s
F ·T s
ise F
F olur.
ise
F ·N s
F
F
F ·N s
·T s
0,
0 ve F · B
F ·B
olur. Buradan
π
0
2
π
F ·T s
0
2
F ·B
F ·B
π
F
F ·N s
2
F ·T
s
0
olduğundan ispat alt durum 1.1.2.3.2.2 gibidir.
Alt durum 1.1.2.3.5:
s
I için
1.1.2.3.4 deki gibidir.
29 F ·N s
0 ise ispat alt durum
4. KÜRESEL KONİK DENKLEMLERİNE BAŞKA BİR YAKLAŞIM
4.1 Küresel Konik Denklemlerinin Eliptik Koni Yardımıyla Bulunması
Odaklarından biri F sin c , 0, cos c ve merkezi N 0,0,1 noktası olan küresel elipsin
asal eksen uzunluğu 2a olsun. Bu durumda küresel elipsin köşe noktalarından iki tanesi
A sin a, 0, cos a ve B 0, sin b , cos b olur. 0
b
Şekil 4.1 Küresel elips
∆BNF üçgenini alıp Küresel Kosinüs denklemi uygularsak,
Şekil 4.2 Küresel üçgen
30 , 0
c
cos a
cos b cos c
cos a
sin b sin c cos
π
2
cos b cos c
(4.1)
bulunur. Bunu daha sonra aşağıdaki çok iyi bilinen teoreminin ispatında kullanacağız.
Teorem 4.1.1
Küresel elips x
y
z
1 küresi ile tepe noktası orijinde olan
x
tan a
y
tan b
z
,z
0
4.2
eliptik konisinin kesişimi ile ifade edilir.
İspat:
X(x,y,z) noktası küresel elips üzerinde bir nokta olsun. Şekil 4.1’deki elips için diğer
odak noktası F
sin c , 0, cos c olur.
X, F
x sin c
sin F OX
z cos c
1
cos F OX
x sin c
z cos c
ve
X, F
x sin c
sin F OX
z cos c
1
x sin c
olarak bulunur.
cos 2a
cos F OX
F OX
31 cos F OX
z cos c
cos F OX cos F OX
x sin c
z cos c
1
x sin c
sin F OX sin F OX
x sin c
z cos c
z cos c
1
x sin c
z cos c
gerekli işlemleri yaparsak
z cos c
x sin c
cos 2a
1
x sin c
1
z cos c
x sin c
z cos c
olur. Her iki tarafın karesini alırsak,
1
2 x sin c
z cos c
z cos c
z cos c
x sin c
cos 2a
2z cos c x sin c
1
2 x sin c
z cos c
z cos c
2 x sin c
2 cos 2a z cos c
z cos c
x sin c
cos 2a
2 cos 2a z cos c
2 cos 2a x sin c
1
x sin c
x sin c
z cos c
2x sin c cos 2a
2z cos c cos 2a
2x sin c cos 2a
2 cos 2a z cos c
1
x sin c
cos 2a
2z cos c cos 2a
x sin c
2x sin c
1
cos2a
2cos a
32 1
1
2z cos c
cos 2a
ifadesinde
2sin a
cos 2a
1
0
1
0
eşitliklerini kullanırsak,
4x sin c cos a
4x sin c cos a
4z cos c sin a
4z cos c sin a
sin 2a
4sin a cos a
0
0
haline gelir. Eşitliğin her iki tarafını
4 sin a cos a
ifadesine bölersek,
x
sin a⁄sin c
denklemini elde ederiz. x
y
z
x
sin a⁄sin c
z
cos a⁄cos c
1 ve (4.1) eşitliklerini uygularsak,
z
cos b
x
x
sin a⁄sin c
x
sin a sin c
sin a
x
eşitliğini buluruz. Şimdi
33 y
z
cos b
y
x
sin a sin c
sin a
tan b
1
y
z
z
z tan b
y
tan b
z
sin a sin c
tan b
ifadesini açalım,
sin a sin c
tan b
1
cos a
1 cos c
sin b⁄cos b
cos2c cos2a cos2b
1 cos2b
cos2c cos2b cos2 a cos2b
1 cos2b
cos2 a cos2 a cos2b
1 cos2b
cos a 1 cos b
1 cos b
cos a
olduğundan,
z
x
sin a sin c
sin a
tan b
y
tan b
x
cos a
sin a
x
tan a
y
tan b
bulunur. Böylece ispatı tamamlamış oluruz.
(4.2) denkleminde
a
π
3
b
π
3
34 y
tan b
alırsak, aşağıdaki grafikleri elde ederiz.
Şekil 4.3 Eliptik koni
Şekil 4.4 Koni ile birim kürenin kesişimi
35 Sonuç 4.1.1
Küresel elips birim küre x
y
z
1 ile aşağıda ki üç silindirin herhangi biriyle
kesişiminden elde edilebilir.
x
sin a
y
sin b
x
sin a⁄sin c
1
z
cos b
4.3
1
z
cos a
y
cos a tan b⁄sin c
4.4
1
4.5
İspat:
Bu denklemler x , y ve z terimlerinin (4.1), (4.2) ve x
y
z
1 eşitliklerini
kullanarak yok edilmesiyle kolayca elde edilir. Denklem (4.3) ; küresel elipsin xydüzlemine dik izdüşümünün, birim çember içine düşen bir elips, denklem (4.4) ; xzdüzlemine izdüşümünün birim çemberle kesişen bir elips, denklem (4.5) ise yzdüzlemine izdüşümünün hiperbol parçası olduğunu gösterir.
Şekil 4.5 xy, xz ve yz düzlemlerine izdüşümler
36 4.2 Küresel Konikler için Dördüncü Parametre
d parametresini, (4.5) denkleminin asimptotu ile z-ekseni arasındaki açı olarak
tanımlayalım.
y
cos a tan b⁄sin c
z
cos a
1
z
0 ,
denklemi bir hiperbol denklemi olduğundan, asimptot denklemleri
y
z
tan b
sin c
biçimindedir.
Asimptotik açıyı
tan d
tan b
sin c
4.6
şeklinde tanımlarsak. Bu durumda denklem (4.5)
y
cos a tan d
z
cos a
1
z
0 ,
biçimine indirgenir. D, birim küre üzerinde D 0, sin d , cos d koordinatlarına sahip bir
nokta olsun.
Şekil 4.6 xy, xz ve yz düzlemlerine asimptotik eğriyle beraber izdüşümler
37 Şimdi birim küre ile asimptotun kesişimlerinden oluşan asimptotik eğriye odaklanalım.
Bu eğrinin xy ve xz düzlemlerine izdüşümleri
x
y
sin d
1,
x
z
cos d
1
elipsleridir. Daha da ilginç olanı bu elipslerin, küresel elipsin izdüşümleriyle benzer
olmasıdır.
Sonuç 4.2.1.
Asimptotik eğrinin xy ve xz-düzlemlerine izdüşüm eğrileri, küresel elipsin aynı
düzlemlere izdüşüm eğrilerine benzerdir (Maeda 2005).
İspat:
Aşağıdaki eşitliklerin doğru olduğunu göstermek yeterlidir.
1
sin d
sin a
1
ve
sin b
cos d
sin a
sin c
cos b
Bu eşitlikleri göstermek için (4.1) ve (4.6) denklemlerini kullanacağız.
sin b
sin a
sin b
√1
cos bcos c
pay ve paydayı cos b ile bölersek,
sin b
sin a
tan b
1
cos b
cos c
tan b
1
cos b
(4.6) eşitliğini kullanırsak,
38 1
tan b
sin c
√tan b
sin c
sin b
sin a
sin c tan d
√sin c tan d
sin b
sin a
tan d
sin c
tan d
1
cos d
√1
tan d
sin d
1
olduğu görülür. Diğer eşitlik için,
cos d
1
cos d tan d
tan d
sin d
tan d
sin b
sin a
tan b
sin c
cos b
sin a
sin c
olduğu kolayca görülür.
4.3 Parametreler Arası İlişkiler
Bu bölümde a,b,c ve d parametreleri arasındaki ilişkileri inceleyeceğiz. Bunlardan
bazılarını önceki bölümlerde göstermiştik. Toplamda yedi eşitlik göstermiş olacağız.
Teorem 4.3.1. (Maeda 2005)
Üç parametreyi barındıran dört adet eşitlik vardır:
cos a
cos b cos c
4.7
tan b
sin c tan d
4.8
tan c
cos d tan a
4.9
sin b
sin d sin a
4.10
Ek olarak dört parametreyi barındıran üç adet eşitlik vardır.
cos b sin c
cos d sin a
4.11
tan b
cos c sin d tan a
4.12
sin b
cos a tan c tan d
4.13
39 İspat:
(4.7) numaralı eşitlik zaten (4.1) numaralı eşitliktir. (4.8) numaralı eşitlik de (4.6)
numaralı eşitliktir. Bunların ispatını önceki bölümlerde yapmıştık. (4.10) numaralı
eşitliği de sonuç 4.1.1 de gösterdik. (4.9) numaralı eşitlik için:
tan c
tan b⁄tan d
cos a⁄cos b
sin c
cos c
sin b
tan d cos a
sin d sin a
tan d cos a
cos d tan a .
(4.11) numaralı eşitlik de sonuç 4.1.1 de gösterilmişti. (4.12) ve (4.13) numaralı
eşitlikleri
sin b
cos b
sin d sin a
cos a⁄cos c
tan b cos b
sin c tan d
tan b
sin b
biçiminde gösterebiliriz.
40 cos c sin d tan a
cos a
cos c
cos a tan c tan d
5. BİR PARAMETRELİ KÜRESEL KONİK DENKLEMLERİ
5.1 Küresel Elips
F ve F birim küre yüzeyinde iki nokta, d F , F
d F ,F
2c, 0
c
ve
2c , c
olmak üzere
S
X| d X, F
d X, F
2a , a
,X
S
noktalarının kümesini alalım. F vektörünü
F
F
F
F
F
biçiminde tanımlarsak, F , F ve F lineer bağımsız olur.
Şekil 5.1 Küresel elips
Bu durumda şekle göre
d X, F
= α , d X, F = β , d X, F
ve
α
β
41 2a
θ
dır. S üzerindeki herhangi bir X noktasını
X
λ F
λ F
λ F ,λ
R ,i
1,2,3
biçiminde yazabiliriz. Gerekli işlemleri yaparsak,
X·F
λ
X·F
λ F ·F
λ F ·F
X·F
λ
cos α
λ
cos β
cos θ
eşitliklerini buluruz. Buradan elde edeceğimiz
λ
λ cos 2c
λ cos 2c
λ
cos α
λ
cos β
cos θ
denklem sistemini çözersek, λ , λ ve λ sayılarını kolaylıkla bulabiliriz.
λ
cos α cos 2c
cos β
1
1
cos 2c
cos 2c
1
λ
1
cos α
cos 2c cos β
1
cos 2c
cos 2c
1
λ
cos α
cos 2a α cos 2c
sin 2c
cos 2a
α
cos α cos 2c
sin 2c
cos θ
S üzerindeki herhangi bir X noktasını
X
cos α
cos 2a α cos 2c
F
sin 2c
biçiminde yazabiliriz. X
cos 2a
S² ise
42 α
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
5.1
X
x ,x ,x
1
, X
5.2
olduğunu biliyoruz. 5.1 ve 5.2 eşitliklerini birleştirdiğimizde denklemimizi bir
parametreye indirgemiş oluruz. Şimdi bunu bir örnekle gösterelim.
Örnek 5.1.1
Özel olarak F
X
1,0,0 , F
cosα
0,1,0 alırsak F
0,0,1 bulunur. Dolayısıyla
cos 2a α cos2c cos 2a
,
Sin 2c
α
cosαcos2c
, cos
Sin 2c
eşitliğini buluruz.
π
2
2c
X
x ,x ,x , X
1
olduğu için
cosα
1
cos 2a
cos 2a α cos2c
Sin 2c
cosα
cos 2a
1
1
α .0
X
cos 2a
cos α
cos
cos α , cos 2a
α
cosαcos2c
Sin 2c
cos 2a
1
cos α
α ,
1
α
cos α
cos α
43 cosα. 0
cos
cos
cos 2a
olarak bulunur. Buradan da
x
α
1
cos
α
cos 2a
α
1
x
x
1
cos 2a
α
cos α
cos 2a
α
parametrik denklemi elde edilir.
2π
3
2a
alırsak, 5.3 aşağıdaki biçime gelir.
x
x
α
cos α
2π
3
x
cos
1
cos α
α
cos
2π
3
0, 2π için
Şekil 5.2 Küresel elips
44 α
5.3
Şekil 5.3 Küresel elips
Şekil 5.4 Küresel elips (Küre olmadan)
45 α
,
için
Şekil 5.5 Küresel elips
Şekil 5.6 Küresel elips (Küre olmadan)
46 Şekil 5.7 Küresel elips (Küre olmadan)
grafiklerini elde ederiz.
Örnek 5.1.2
Özel
olarak
F
0, ,
√
,F
0,
,
√
alırsak
F
1,0,0
alabiliriz.
Dolayısıyla
X
cos α
cos 2a α cos 2c
F
sin 2c
X
cos θ , cos α
cos 2a
cos 2a
α ,
√3
cos α
3
eşitliğini buluruz.
2c
47 α
cos α cos 2c
F
sin 2c
π
3
cos 2a
α
cos θ F
X
x ,x ,x , X
1
olduğu için
cos
cos α
1
cos α
X
1
cos 2a
4
cos α
3
1
4
cos α
3
cos 2a
√3
cos α
3
α
cos 2a
cos 2a
√3
cos α
3
α
α
α
cos 2a
cos α cos 2a
cos α cos 2a
α
cos 2a
, cos α
α
1
α
α
sin α ,
cos
cos
√3
cos α
3
cos 2a
olarak bulunur. Buradan da
x
1
cos α
cos 2a
x
cos α
x
√3
cos α
3
α
cos α cos 2a
cos 2a
α
sin α
parametrik denklemi elde edilir.
2a
π
2
alırsak, denklem aşağıdaki biçime gelir.
1
sin 2α
3
x
x
cos α
48 1
sin α
α
α
x
α
√3
cos α
3
sin α
0, 2π için
Şekil 5.8 Küresel elips
Şekil 5.9 Küresel elips (Küre olmadan)
49 α
,
için
Şekil 5.10 Küresel elips
Şekil 5.11 Küresel elips (Küre olmadan)
50 Teorem 5.1.1:
X s :I
S tanımlı, odakları F ve F olan, 5.1 denklemini sağlayan bir küresel elips
F veya 2a
olsun. F
π
5.1 denklemi çember belirtir
İspat:
F olduğunda X in çember belirttiği açıktır. F
F
cos α
X
cos 2a α cos 2c
F
sin 2c
cos α
X
X
cos α 1 cos 2c
F
sin 2c
cos α 1
X
cos α cos 2c
F
sin 2c
X
2 cos c
sin 2c
F
2 cos α cos c
F
4 sin c cos c
X
X ile F
1
cos α
F
2 sin c
cos 2a
cos α
F ve 2a
α
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos α 1 cos 2c
F
sin 2c
cos α 1
2 cos c
sin 2c
2 cos α cos c
F
4 sin c cos c
cos θ F
cos θ F
cos θ F
1
F
cos θ F
cos θ F
cos α
F
2 sin c
cos θ F
cos α
F
2 sin c
cos θ F
F vektörlerinin iç çarpımı
X· F
cos α
F
2 sin c
F
2 cos α
F ·F
2 sin c
2 cos α
F ·F
2 sin c
2 cos α
F ·F
2 sin c
S
kümesi, normali F
X| d X, F
d X, F
π ,X
S
F vektörü olan bir büyük çember belirtir.
51 F
F
2 cos α
F ·F
2 sin c
olduğundan
π ise
0
5.2 Küresel Hiperbol
F ve F birim küre yüzeyinde iki nokta, d F , F
d F ,F
2c , 0
a
ve
2c , c
olmak üzere
S
X |d X, F
d X, F |
2a, X
S²
noktalarının kümesini alalım. F vektörünü
F
F
F
F
F
biçiminde tanımlarsak, F , F ve F lineer bağımsız olur.
Bu durumda şekil (5.12) ye göre
d X, F
= α , d X, F = β , d X, F
ve
|α
β|
2a
dır.
Şekil 5.12 Küresel hiperbol
52 θ
S üzerindeki herhangi bir X noktasını
X
λ F
λ F
λ F ,λ
,i
1,2,3
biçiminde yazabiliriz. Gerekli işlemleri yaparsak,
X·F
λ
X·F
λ F ·F
λ F ·F
X·F
cos α
λ
λ
cos β
cos θ
eşitliklerini buluruz. Buradan elde edeceğimiz
λ
λ cos 2c
λ cos 2c
λ
λ
cos α
cos β
cos θ
denklem sistemini çözersek, λ , λ ve λ sayılarını kolaylıkla bulabiliriz.
λ
cos α cos 2c
cos β
1
1
cos 2c
cos 2c
1
λ
1
cos α
cos 2c cos β
1
cos 2c
cos 2c
1
λ
Hiperbol için |α
β|
cos β cos 2c
sin 2c
cos β
cos α cos 2c
sin 2c
cos θ
2a olduğundan ifadeyi iki ayrı durum için incelemeliyiz. S
üzerindeki herhangi bir X noktasını
53 cos α
:
X
cos α
cos α 2a cos 2c
F
sin 2c
cos α
2a
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
5.4
cos α 2a cos 2c
F
sin 2c
cos α
2a
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
5.5
:
X
cos α
biçimlerinde yazabiliriz. X
S² ise
x ,x ,x
X
olduğunu biliyoruz.
5.4 ,
5.2
, X
5.5 ,
ve
1
5.2
eşitliklerini birleştirdiğimizde
denklemimizi bir parametreye indirgemiş oluruz. Şimdi bunu örneklerle gösterelim.
Kolaylık olması için F
1,0,0 ve F
0,1,0 alacağız.
Örnek 5.2.1
Özel olarak F
1,0,0 , F
0,1,0 alırsak F
0,0,1 bulunur. Dolayısıyla X
vektörünü
X
cos α
cos α 2a cos 2c cos α
,
sin 2c
2a
cos α cos 2c
, cos θ
sin 2c
biçiminde yazabiliriz.
2c
X
x ,x ,x , X
olduğu için
54 π
2
1
cos α
cos α 2a cos 2c
sin 2c
cos α
cos α
1
2a
cos α cos 2c
sin 2c
cos α
2a
1
cos α. 0
cos α
2a
cos θ
2a . 0
1
X
cos α
cos α
cos α , cos α
2a ,
1
cos α
cos α
cos θ
cos θ
1
2a
olarak bulunur. Kosinüs fonksiyonu için
cos α
2a
cos 2a
α
olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla aşağıdaki parametrik denklemleri elde ederiz.
x
x
x
1
cos α
cos 2a
cos α
α
cos 2a
α
Dikkat edilirse 5.3 deki denklemin aynısını bulduk. Bunun sebebi
X| d X, F
d X, F
2a , a
X| d X, F
,X
S
d X, F
2a
olmasıdır.
Dolayısıyla 5.3 aşağıdaki biçime gelir.
cos α
x
x
cos
2π
3
55 α
π ,a
,X
S
1
x
α
1
cos α
cos
2π
3
α
0, 2π için
Şekil 5.13 Küresel hiperbol
Şekil 5.13 Küresel hiperbol (Küre olmadan)
56 Örnek 5.2.2
Özel olarak F
X
1,0,0 , F
cos α
0,1,0 alırsak F
0,0,1 bulunur. Dolayısıyla
cos α 2a cos 2c cos α
,
sin 2c
2a
cos α cos 2c
, cos θ
sin 2c
eşitliğini buluruz.
π
2
2c
X
x ,x ,x , X
1
olduğu için
cos α
cos α 2a cos 2c
sin 2c
cos α
cos α
1
2a
cos α cos 2c
sin 2c
cos α
2a
1
cos α. 0
cos α
2a
cos θ
2a .0
1
cos α
cos θ
X
cos α
cos α , cos α
1
cos α
cos α
2a ,
1
cos α
olarak bulunur.
Dolayısıyla aşağıdaki parametrik denklemleri elde ederiz.
x
x
cos α
cos α
57 2a
cos θ
cos θ
2a
cos α
2a
1
1
x
1
cos α
cos α
2a
Bu denklemde
π
3
2a
alırsak,
x
x
cos α
π
3
x
cos
1
cos α
α
cos
π
3
denklemini buluruz.
Şekil 5.14 Küresel hiperbol
58 α
Şekil 5.15 Küresel hiperbol (Küre olmadan)
Teorem 5.2.1:
X s :I
S tanımlı, odakları F ve F olan, 5.4 denklemini sağlayan bir küresel
hiperbol olsun. F
F veya 2a
0
5.4 denklemi çember belirtir
İspat:
F
F olduğunda X in çember belirttiği açıktır. F
X
cos α
cos α
X
X
X
cos 2a α cos 2c
F
sin 2c
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos α 1 cos 2c
F
sin 2c
cos α 1
1 2sin c
F
sin 2c
cos 2a
cos α
0 ise
α
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos α 1 cos 2c
F
sin 2c
cos α 1
59 F ve 2a
cos θ F
cos θ F
cos θ F
1 2sin c
F
sin 2c
cos θ F
2 cos α sin c
F
4 sin c cos c
X
X
X ile F
cos α
F
2 cos c
2 cos α sin c
F
4 sin c cos c
cos θ F
cos α
F
2 cos c
cos θ F
cos α
F
2 sin c
cos θ F
F vektörlerinin iç çarpımı
X· F
cos α
F
2 sin c
F
2 cos α
F ·F
2 cos c
2 cos α
F ·F
2 cos c
2 cos α
F ·F
2 cos c
F
F
2 cos α
F ·F
2 cos c
0
olduğundan
S
kümesi, normali F
X| |d X, F
d X, F |
0 ,X
S
F vektörü olan bir büyük çember belirtir.
Teorem 5.2.2:
X s :I
S tanımlı, odakları F ve F olan, 5.5 denklemini sağlayan bir küresel
hiperbol olsun. F
F veya 2a
0
5.5 denklemi çember belirtir
İspat:
F olduğunda X in çember belirttiği açıktır. F
F
X
cos α
cos α 2a cos 2c
F
sin 2c
cos α
cos α
cos α
F ve 2a
0 ise
2a
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
denklemi
X
X
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos α 1 cos 2c
F
sin 2c
cos α 1 cos 2c
F
sin 2c
60 cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
cos θ F
cos α 1
X
X
1 2sin c
F
sin 2c
2 cos α sin c
F
4 sin c cos c
X
X ile F
cos α
F
2 cos c
cos α 1
1 2sin c
F
sin 2c
2 cos α sin c
F
4 sin c cos c
cos θ F
cos θ F
cos α
F
2 cos c
cos θ F
cos α
F
2 sin c
cos θ F
F vektörlerinin iç çarpımı
X· F
cos α
F
2 sin c
F
2 cos α
F ·F
2 cos c
2 cos α
F ·F
2 cos c
2 cos α
F ·F
2 cos c
F
F
2 cos α
F ·F
2 cos c
0
olduğundan
S
kümesi, normali F
X| |d X, F
d X, F |
0 ,X
S
F vektörü olan bir büyük çember belirtir.
5.3 Küresel Parabol
F ve F birim küre yüzeyinde iki nokta olsun. F vektörünü normal kabul eden büyük
çember S ve
d F ,F
2c , c
olacak şekilde
S
X d X, F
π
2
d X, F
F
F
F
F
noktalarının kümesini alalım. F vektörünü
F
61 ,X
S²
biçiminde tanımlarsak, F , F ve F lineer bağımsız olur.
Bu durumda şekil (5.16) ya göre
d X, F
π
2
α , d X, F
α , d X, F
θ
olur.
Şekil 5.16 Küresel parabol
S üzerindeki herhangi bir X noktasını
X
λ F
λ F
λ F ,λ
,i
1,2,3
biçiminde yazabiliriz. Gerekli işlemleri yaparsak,
X·F
X·F
λ
λ F ·F
λ F ·F
λ
X·F
cos
λ
cos α
π
2
α
cos θ
eşitliklerini buluruz. Buradan elde edeceğimiz
λ
λ cos 2c
λ cos 2c
λ
62 cos α
sin α
sin α
λ
cos θ
denklem sistemini çözersek, λ , λ ve λ sayılarını kolaylıkla bulabiliriz.
cos α cos 2c
sin α
1
1
cos 2c
cos 2c
1
λ
1
cos 2c
1
cos 2c
λ
cos α
cos α
sin α
cos 2c
1
λ
sin α
sin α cos 2c
sin 2c
cos α cos 2c
sin 2c
cos θ
S üzerindeki herhangi bir X noktasını
X
cos α
sin α cos 2c
F
sin 2c
biçiminde yazabiliriz. X
sin α
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
5.6
S² ise
X
x ,x ,x
, X
1
olduğunu biliyoruz. 5.2 ve 5.6 eşitliklerini birleştirdiğimizde denklemimizi bir
parametreye indirgemiş oluruz. Şimdi bunu bir örnekle gösterelim. Kolaylık olması için
F
1,0,0 ve F
0,1,0 alacağız.
Örnek 5.3.1
Özel olarak F
1,0,0 , F
X
cos α
0,1,0 alırsak F
sin α cos 2c
,
sin 2c
sin α
0,0,1 bulunur. Dolayısıyla
cos α cos 2c
, cos θ
sin 2c
eşitliğini buluruz.
2c
, X
x ,x ,x , X
63 1
olduğu için
cos α
sin α
sin α cos 2c
sin 2c
cos α
cos α cos 2c
sin 2c
sin α. 0
1
sin α
1
sin α
cos α. 0
cos θ
1
cos α
X
cos α ,
cos θ
cos θ
1
1
0
sin α , 0
olarak bulunur. Bunun bir çember denklemi olduğu açıktır.
Şekil 5.17 Küresel parabol
Örnek 5.3.2
Özel
olarak
F
0, ,
√
,F
0,
,
√
alırsak
F
1,0,0
Dolayısıyla
X
cos α
sin α cos 2c
F
sin 2c
sin α
64 cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
alabiliriz.
2c
π
3
olduğundan,
X
cos θ , cos α
X
X
1
1
3
sin α ,
√3
cos α
3
x ,x ,x , X
sin 2α , cos α
sin α ,
1
√3
cos α
3
eşitliğini buluruz.
α
0, 2π için
Şekil 5.18 Küresel parabol
65 sin α
sin α
Şekil 5.19 Küresel parabol (Küre olmadan)
α
,
için
Şekil 5.20 Küresel parabol
66 Şekil 5.21 Küresel parabol (Küre olmadan)
Teorem 5.3.1:
F ve F birim küre yüzeyinde iki nokta olsun. F vektörünü normal kabul eden büyük
çember S ve
d F ,F
π
2
olacak şekilde
S
X d X, F
π
2
d X, F
,X
S²
noktalarının kümesinden oluşan küresel parabol ise 5.6 denklemi çember belirtir
67 İspat:
cos α
X
denkleminde 2c
sin α cos 2c
F
sin 2c
sin α
cos α cos 2c
F
sin 2c
alırsak denklem,
X
cos α
sin α 0
F
1
sin α
1
cos α F
X
cos α0
sin α F
F
cos θ F
cos θ F
X ile F vektörlerinin iç çarpımı
X·F
cos α
F
2 sin c
0
cos α
F
2 sin c
0
cos θ
cos θ F
·F
cos θ
olur.
F vektörünü normal kabul eden büyük çember S ve
π
2
d F ,F
olduğundan, S büyük çemberi F den geçer. Bu durumda θ
X·F
cos θ
dır.
0
olduğundan
S
X d X, F
π
2
d X, F
noktalarının kümesi normali F olan büyük çemberdir
68 ,X
S²
cos θ F
6. E.STUDY DÖNÜŞÜMÜ
6.1 E.Study Dönüşümünün Temel Kavramları
Tanım 6.1.1 (Dual Sayı)
reel sayılar kümesi olmak üzere
kümesi üzerinde toplama, çarpma ve eşitlik işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmış ise
kümesine dual sayılar sistemi ve
i)
a, a
ve B
b, b
A B
şeklinde tanımlanır ve
ii)
olmak üzere
a, a
b, b
a
a, a
şeklinde tanımlanır ve
iii)
b, b
B
olmak üzere
a, a
b, b
ab , ab
deki çarpma olarak adlandırılır.
Eşitlik:
ve B
b, b
için a
b ve a
b ise
A ile B eşittir denir ve A
ile gösterilir.
Teorem 6.1.1
,
üçlüsü birimli ve değişimli bir halkadır.
İspat:
H1)
69 b
deki toplama olarak adlandırılır.
ve B
A
,
b ,a
Çarpma:
iç işlemi A
a, a
elemanına da bir dual sayı denir.
Toplama:
iç işlemi A
A
a, a
B
ab
şeklinde tanımlandığından
kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
H2)
A
işleminin birleşme özelliği vardır. Gerçekten
a, a , B
b, b , C
c, c
için
A
B
C
a
b
c, a
a
0
H3)
0,0
elmanı
eşitliğini sağladığından 0,
A
H4)
A
b
c
b
c ,a
A
B
C
A
a, a
b
c
için A
0
0
A
A
işlemi için etkisiz elemandır.
a, a
0 eşitliği sağlandığından
A
için A
a, a
a, a
için bir A
alırsak , A
a, a
A
A
ters elemanı
olduğu görülür.
A
H5)
a, a , B
b, b
olduğu
işleminin tanımından
açıktır.
Dolayısıyla
,
bir abel grubudur.
H6)
şeklinde tanımlandığından
a, a , B
A
H7)
kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
A
B
C
b, b
ve C
ab , ab
c, c
ab
için
c, c
ab c , ab c
ab
bc
a bc , a bc
A
olduğundan,
B C
A
a, a , B
b, b
ve C
c, c
için toplama, çarpma
işlemlerinin tanımlarını yukarıdaki gibi uygularsak
A
B
C
A
C
B
C
C
A
C
B
ve
C
olduğundan,
işleminin
,
,
A
B
işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
üçlüsü bir halkadır. Ayrıca
70 a bc
işleminin birleşme özelliği vardır.
H8)
Dolayısıyla
abc
A
H9)
a, a , B
b, b
A
B
için
B
A
ve
A
H10)
için E
a, a
A E
1,0 dual sayısı
E A
olduğundan,
işleminin değişme özelliği vardır.
Dolayısıyla
,
,
A
üçlüsü değişimli ve birimli bir halkadır. Bu halkayı
ile
göstereceğiz.
Teorem 6.1.2
dual sayılar halkası,
reel sayılar kümesine izomorf bir alt kümeyi alt cisim olarak
kapsar.
İspat:
f
fonksiyonunu
f
a, 0
a
olarak tanımlayalım. f bir izomorfizmdir.
i)
f lineerdir: A
a, 0 , B
f A
b, 0
B
olmak üzere
f a
a
b ,0
b
f A
f B
ayrıca
f A
B
f ab , 0
ab
f A .f B
dır.
ii)
f birebirdir: A
a, 0 , B
A
iii)
f örtendir:
a
B
b, 0
a
b
f A
f B
için bir tek a , 0 sayısı vardır.
71 olmak üzere
Bu teoremin sonucu olarak a , 0 dual sayısı izomorfu olduğu a ile gösterilebilir. Yani
a ,0
a
yazılabilir.
Tanım 6.1.2.
0,1
ε
sayısına dual birim denir. ε
0,0 olduğu açıktır.
Teorem 6.1.3
A
a, a
dual sayısı A
a
ε a şeklinde yazılabilir.
İspat:
işleminin tanımından
A
a ,0
0 ,a
a ,0
= a
0 ,1
0 ,a
ε a
dır.
Bu teoremin bir sonucu olarak
de tanımlanan “+” ve “.” işlemlerine ait kurallar
de aynen kullanılabilir. Bundan sonra
ve
yerine “+” ve “.” kullanacağız.
Teorem 6.1.4
a, a
olmak üzere
a
0
formundaki matrislerin kümesi
ise
a
a
ile
İspat:
Teorem 6.1.2 ye benzer şekilde yapılabilir.
72 izomorftur.
de
Tanım 6.1.3 (MODÜL)
Birimi 1 olan değişimli bir halka H olsun. H üzerinde bir modül diye bir S abel grubu
ile aşağıdaki özelliklere sahip olan S üzerindeki bir
H
S
S
a ,β
dış işlemine denir. a, b
H ve β, θ
i)
a β
θ
aβ
aθ
ii)
a
b β
aβ
bβ
iii)
ab β
iv)
Şimdi
1. β
ün
aβ
S olmak üzere
a bβ
β.
üzerinde bir modül olduğunu gösterelim A , A , A
biçiminde gösterilirse A
A ,A ,A
tür. Bu sayı A
A ,i
de yazılabilir. Bunun için aşağıdaki tanımlara ihtiyacımız olacak.
Tanım 6.1.4
A
A ,B
B
olmak üzere
A
B
A
B ,i
1,2,3
Tanım 6.1.5
A
A ,B
B
,i
1,2,3 olmak üzere,
:
iç işlemi A ile B ye
A
üçlüsünü karşılık tutsun. A
B ye
B
A
de A ile B nin toplamı denir.
73 B
olmak üzere
1,2,3 biçiminde
Tanım 6.1.6
λ
ve A
A
,i
1,2,3 için ,
:
dış işlemi
λA
λA , i
1,2,3
üçlüsünü karşılık tutsun. λA sayısına A nın λ skaları ile çarpımı denir.
Teorem 6.1.5.(D-MODÜL)
, yukarıda tanımlanan toplama ve çarpma işlemleri ile
üzerinde bir modüldür.
İspat:
G1)
şeklinde tanımlandığından
kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
G2)
A, B, C
işleminin birleşme özelliği vardır. Gerçekten
için toplama tanımı ve (H2)
den
A
B
C
A
B
C
olduğu görülür.
0
G3)
0,0,0
eşitliğini sağladığından 0,
A
için A
0 eşitliği sağlandığından
A, B
G5)
Dolayısıyla
α, β
M1)
ve
,
A
A ,i
için A
olduğu
işleminin tanımından açıktır.
için
α A
0
A
A
B
α A
B ,A
A
A
ters elemanı olduğu görülür.
bir abel grubudur.
A, B
0
1,2,3 alırsak , A
için bir A
74 A
işlemi için etkisiz elemandır.
A
G4)
elmanı
B , A
B
= α A
B
,α A
B
= α A ,α A , α A
= αA
α
M2)
β A
α
= αA
αβ A
α B ,α B , α B
β A ,A , A
β A
,
α
= α A ,A , A
M3)
B
αB
α
=
, α A
β A
,
α
β A
β A ,A , A
βA
α βA
olduğu tanım 1.1.5 den (M2) deki gibi görülür.
1,0
M4)
elemanını
1A
deki izomorfu 1 için
A
dır.
Dual sayılar halkası üzerinde tanımlanan bu modül
-Modül biçiminde adlandırılır.
Tanım 6.1.7
–Modül’ün elemanları olan sıralı üçlülere dual vektörler denir. Yukarıdaki
tanımlardan faydalanılarak aşağıdaki üç teorem kolayca ispatlanabilir.
Teorem 6.1.6
a ,a
olmak üzere
–Modül’de her bir A dual vektörü
A
a
εa
şeklinde yazılabilir.
Teorem 6.1.7
A
a
εa
a, a
dual vektörünün λ
λA
skaları ile çarpımı
λa, λa
dır.
75 Teorem 6.1.8
A
a, a
ve B
b, b
–Modül için
A
B
a
b ve a
b
Tanım 6.1.8
A
a
εa ,B
b
εb
–Modül dual vektörlerinin iç çarpımı
f:
şeklinde bir dönüşümdür ve
f A ,B
A ,B
a
ε a ,b
εb
a, b
ε a ,b
a, b
olarak tanımlanır.
Tanım 6.1.9
Bir A
a
ε a dual vektörünün normu diye
A
A, A
a ,ε
a, a
a
,a
0
dual sayısına denir.
Tanım 6.1.10
Normu reel birime karşılık gelen 1,0 dual sayısı olan dual vektöre birim dual vektör
denir. Yani A
a
ε a birim dual vektör ise
a
1 ve a, a
dır.
76 0
Tanım 6.1.11
X
kümesine
x
εx
X
1,0 ; x, x
–Modül de birim dual küre denir.
Teorem 6.1.9(E.Study dönüşümü)
A
0, a
-Modül olmak üzere
–Modül de denklemi
A
olan birim dual kürenin dual noktaları,
1,0
deki yönlü doğrulara birebir karşılık gelir.
A ve B iki birim dual vektör olsunlar. Yukarıdaki teoremden de anlaşılacağı üzere A ve
B vektörlerine
de iki yönlü doğru karşılık gelir. Bu doğrular d ve d olsunlar.
Şekil 6.1 Dual açı
A ,B
a, b
ε a ,b
dersek, iç çarpımının reel kısmı olan
77 a, b
a, b
cos θ ,
0
θ
π ,
θ
olur, dual kısmı olan
a ,b
a, b
θ sin θ
ifadesine eşittir. Burada θ iki doğru arasında ki en kısa uzaklıktır. Dolayısıyla
cos θ
A ,B
θ sin θ
bulunur. Eğer dual açıyı
α
θ
εθ
εθ
θ
biçiminde alırsak Taylor serisinden
cos α
1
1
α
2!
1
α
4!
1
θ
2!
1
θ
4!
cos θ
θ sin θ
1
θ
3!
1
θ
5!
(6.1)
olur. Dolayısıyla
A ,B
cos α
cos θ
εθ
cos θ
θ sin θ
olur. Benzer olarak aşağıdaki bağıntı da bulunabilir.
sin α
sin θ
εθ
sin θ
A ve B noktalarını birim dual küre üzerinde alırsak, A , B
θ cos θ
cos θ
(6.2)
θ sin θ eşitliğinin
4 önemli sonucu vardır.
i)
A ,B
0
θ
ve θ
0 olur. Bu durumda A ve B doğruları dik
olarak kesişirler.
78 ii)
A ,B
θ
saf dual
ve θ
0 olur. Bu durumda A ve B doğruları dik
durumlu aykırı doğrulardır.
iii)
A ,B
θ
saf reel
ve θ
0 olur. Bu durumda A ve B doğruları
kesişirler.
iv)
A ,B
1
θ
0 ve θ
0 olur. Bu durumda A ve B doğruları
çakışıktır.
K, O ve O; E , E , E
birim dual küreyi göstersin. Bu durumda
E
e
εe
;1
i
3.
olur.
1,2,3 kümesinin tüm permutasyonlarını S ile gösterelim. Bu durumda
E
sgn σ E
σ
Burada
E
1
σ 1
2
σ 2
, sgn σ
3
σ 3
1
ile dış çarpım gösterilmektedir. Dolayısıyla
O; e , e , e
çizgiler uzayının çatısıdır. Yani e moment vektörleri de
ortonormal sistemi
elemanları olduklarından,
MO
e
e
,1
i
3
biçiminde yazılabilirler. Biz bu vektörleri
e
λ e
,
λ
şeklinde yazabiliriz.
Şekil 6.2’ den anlaşılabileceği gibi
79 , 1
i
3
’ün
λ
olur. Yani λ
0 ,
λ
λ
, 1
i
3
λ yazabiliriz. Bu eşitliği matris çarpımı biçiminde yazarsak
e
e
e
0
λ
λ
λ
0
λ
λ
λ
0
e
e
e
ifadesini elde ederiz.
Şekil 6.2 Dual Çatı
Study dönüşümü K
’e bir dönüşüm olduğundan bu dönüşümü ortogonal bir matris
kullanarak yazabiliriz.
E
E
E
1
ελ
ελ
ελ
1
ελ
80 ελ
ελ
1
e
e
e
(6.3)
Teorem 6.1.10
E.Study dönüşümü bir lineer izomorfizmdir.
Teorem 6.1.11
deki Öklid hareketleri dual ortogonal matrislere birebir karşılık gelir.
Birim dual küre K üzerinde diferensiyellenebilir
t
eğrisi
X t
de diferensiyellenebilir yönlü doğruların ailesidir. Bu aileye regle yüzey denir.
81 K
7. KÜRESEL KONİKLERİN E.STUDY DÖNÜŞÜMLERİ
Bu bölümde küresel koniklerin E.Study dönüşümlerini bazı özel durumlarda
inceleyeceğiz. Bunun için (6.3) deki eşitliği; g, E üzerinde bir doğru olacak şekilde
seçip M noktasını g üzerinde alırsak,
λ
λ
0
olacağından (6.3) eşitliği
E
E
E
1
ελ
0
ελ
1
0
0 e
0 e
1 e
ελ
1
0
0 E
0 E
1 E
haline gelir. Bu ifadenin ters dönüşümü
e
e
e
1
ελ
0
olur. Küresel koniklerin E.Study dönüşümlerini bulurken yukarıdaki eşitliği
kullanacağız.
Durum 1:
Örnek 5.1.2 den
F
1 √3
0, ,
,F
2 2
0,
1 √3
,
2 2
alırsak
F
1,0,0
Dolayısıyla
X
cos α
cos 2a α cos 2c
F
sin 2c
cos 2a
82 α
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
π
3
2c
X
cos θ , cos α
cos 2a
α ,
√3
cos α
3
cos 2a
parametrik denklemi olduğunu biliyoruz.
2a
π
alırsak denklem
X
cos θ , 2cos α , 0
X
x ,x ,x , X
1
olduğu için
x
√1
4cos α
x
2cos α
x
0
buluruz.
Teorem 5.1.1 den
S
kümesi, normali F
X| d X, F
d X, F
π ,X
S
F vektörü olan bir çember belirtir.
X ,F
F
X ,e
0
olduğundan
S
X| d X, F
d X, F
83 π ,X
S
α
kümesi, normali e olan büyük çemberdir.
Şekil 7.1 Küresel elips
Durum 2:
Küresel hiperbol için (5.4) denklemini kullanalım.
F
0,
√3 1
,
,F
2 2
0,
√3 1
,
2 2
alırsak
F
1,0,0
olur. Dolayısıyla
X
cos α
cos α 2a cos 2c
F
sin 2c
cos α
için
2c
84 π
3
2a
cos α cos 2c
F
sin 2c
cos θ F
olduğundan
X
cos θ ,
√3
cos α
3
cos α
2a ,
1
cos α
2
cos α
parametrik denklemini buluruz.
2a
0
alırsak deklem,
2√3
cos α , 0
3
X
cos θ ,
X
x ,x ,x , X
1
olduğu için
x
1
cos α
x
2√3
cos α
3
x
0
buluruz.
Teorem 5.2.1 den
S
kümesi, normali F
d X, F |
X| |d X, F
S
F vektörü olan bir büyük çember belirtir.
X ,F
S
F
X| d X, F
X ,e
d X, F
kümesi, normali e olan büyük çemberdir.
85 0 ,X
0
π ,X
S
2a
Durum 3:
Küresel hiperbol için (5.5) denklemini kullanalım.
F
0,
√3 1
,
,F
2 2
0,
√3 1
,
2 2
alırsak
F
1,0,0
olur. Dolayısıyla
X
cos α
cos α 2a cos 2c
F
sin 2c
cos α
2a
cos α cos 2c
F
sin 2c
için
π
3
2c
olduğundan
X
cos θ ,
√3
cos α
3
cos α
2a ,
1
cos α
2
parametrik denklemini buluruz.
2a
0
2√3
cos α , 0
3
X
cos θ ,
X
x ,x ,x , X
olduğu için
x
1
86 cos α
1
cos α
2a
cos θ F
x
2√3
cos α
3
x
0
buluruz. Teorem 5.2.2 den
S
kümesi, normali F
X| |d X, F
d X, F |
0 ,X
F vektörü olan bir büyük çember belirtir.
X ,F
S
F
X| d X, F
X ,e
d X, F
0
π ,X
kümesi, normali e olan büyük çemberdir.
Şekil 7.2 Küresel hiperbol
87 S
S
Durum 4:
Örnek 5.3.1 de
F
1,0,0 , F
0,1,0
alırsak,
F
0,0,1
π
2
2c
olduğunu gördük.
Teorem 5.3.1 den
S
X d X, F
π
2
d X, F
,X
S²
noktalarının kümesi F vektörünü normal kabul eden büyük çemberdir
Şekil 7.3 Küresel parabol
88 Bu örnekte
F
olduğundan bu çemberi X , e
e , F
e ve F
e
0 biçiminde ifade edebiliriz.
Sonuç 7.1:
Durum 1, Durum 2, Durum 3 ve Durum 4 de gördüğümüz gibi küresel elips, hiperbol ve
küresel parabol denklemleri
X ,e
0
büyük çemberi çıkabiliyor. Bu çemberin E. Study dönüşümünü bulursak,
S
X X,E
cos Φ sabit , X
K
birim dual küre K üzerinde bir çemberdir. X dual vektörünü Φ
εφ ve Ψ
ψ
εψ olarak alırsak
X
sin Φ cos ΨE
sin Φ sin ΨE
biçiminde ifade edebiliriz.
Şekil 7.4 Dual çember
89 cos ΦE
(7.1)
X bir dual vektör olduğu için
X
x
εx
olduğunu biliyoruz. (6.1) ve (6.2) den
sin Φ
cos Φ
1
,
sin Ψ
εφ
,
sin ψ
cos Ψ
cos ψ
εψ cos ψ
εψ sin ψ
(7.1) de bu eşitlikleri kullanırsak x ve x aşağıdaki gibi elde edilir.
x
e
e
cos ψ
sin ψ
0
e
(7.2)
ve
x
e
e
ψ
ψ
e
λ sin ψ
λ cos ψ
φ
(7.3)
Diğer taraftan
X,E
cos Φ
φ
ve φ
εφ
olduğundan
c
olur. (7.2) ve (7.3) dan aşağıdaki eşitlikleri buluruz.
x, e
Bu eşitlikler yalnızca ψ
x, x
1
x, x
0
x, e
0
x ,e
φ
ve ψ
0
parametrelerine bağlıdır, dolayısıyla
de doğru
kongrüansı belirtir. Şimdi bu kongrüansın Plücker koordinatlarındaki karşılığını
bulalım. y bu kongrüansın bir noktası olmak üzere
90 y
x
x
vx
,v
biçimindedir. y noktasının koordinatları y , y , y
y
y
olmak üzere
φ sin ψ v cos ψ
φ cos ψ v sin ψ
y
ψ
λ
olarak bulunur.
y
y
y
c
ψ
v
7.4
λ
denklemi elde edilir. Görüldüğü gibi bu denklem ψ ve λ parametrelerine bağlı 2.
dereceden bir doğru kongrüansı belirtir. Bu kongüransın doğruları aşağıdaki özellikleri
sağlarlar.
1. Bu doğrular ve g doğrusu arasındaki en kısa uzaklık φ
c dir.
2. Bu doğrular ve g doğrusu arasındaki açı her zaman φ
dir.
Tanım 7.1
Bir doğru kongrüansının bütün doğruları ile belirli doğru arasındaki açı sabitse bu
kongrüansa, eğim kongrüansı denir.
Bu tanıma göre, 7.4 bir eğim kongrüansı belirtir.
Teorem 7.1
S birim dual küre K üzerinde iki parametreli bir çember olsun. Bu çemberin Study
dönüşümü ikinci dereceden bir doğru kongrüansıdır.
Teoremin ispatı için (Hacısalihoğlu 1975) bakınız.
Dolayısıyla şunu söyleyebiliriz. 7.4 kongrüansının doğruları yarıçapı φ ve ana
doğrusu g olan silindirin yüzeyini açısı altında keserler.
91 alırsak
7.4 denklemi
y
y
y
v
λ
halini alır.
Dolayısıyla eğim kongrüansı lineer doğru demeti olur.
92 KAYNAKLAR
Hacısalihoğlu, H.H. 1983. Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi, Gazi Üni.
Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları.
Hacısalihoğlu, H.H. 2000. Lineer cebir I, Hacısalihoğlu Yayınları.
Hacısalihoğlu, H.H. 2000. Lineer cebir II, Hacısalihoğlu Yayınları.
Hacısalihoğlu, H.H. 1975. Study map of a circle, J.Fac. Sci. of K.T.Ü. Vol. 1/6 pp.53-58
Maeda, Y. 2005. Spherical conic and the fourth parameter, KMITL Sci. J. Vol. 5/1.
Ryan, P.J. 1983. Euclidean and non-euclidean geometry, Cambridge University Press.
Süer, B. 1993. Küresel geometri, Gazi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları
Xiong, J. 2004. Geometry and singularities of spatial and spherical curves, Doktora tezi,
Hawai.
93 ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı: Bülent ALTUNKAYA
Doğum Yeri: ANKARA
Doğum Tarihi: 30 / 09/ 1974
Medeni Hali: Evli
Yabancı Dili: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Aydın Lisesi/1992
Lisans
: Hacettepe Üniversitesi/1997
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi/2007
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Mucur Lisesi
1997-2000
Prof. Dr. İ. K. Fen Lisesi
2000-…
Yayınları (SCI ve diğer)
1) Equations of the spherical conics, The Electronic Journal of Mathematics and
Technology, Volume 5, Number 3, ISSN 1933-2823
94