Limit ve Süreklilik

Bölüm
1
Limit
1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan
yaklaşım denir ve x → a − biçiminde gösterilir.
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma sağdan
yaklaşım denir ve a → a + biçiminde gösterilir.
1.2 Fonksiyonun Limiti
Limit kavramını Şekil 1.1 üzerinde açıklayalım:
Soldan Limit
Grafiği verilen y = f (x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan
ve giderek a ya yaklaşan A(a, y 1 ), B (b, y 2 ),C (c, y 3 ), D(d , y 4 ), · · · noktalarını göz
önüne alalım:
Bu noktaların apsisleri olan a, b, c, d , · · · giderek a ya yaklaşıyor. Bu sırada,
f (a) = y 1 , f (b) = y 2 , f (c) = y 3 , f (d ) = y 4 , . . . ordinatları da giderek K ye yaklaşır.
Bu eylem, simgesel olarak,
lim f (x) = K
(1.1)
x→a −
1
BÖLÜM 1. LİMİT
2
Şekil 1.1: Yaklaşım
biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f (x) fonksiyonunun x = a daki soldan limitinin b olduğudur.
Sağdan Limit
Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a
ya yaklaşan
E (e, y 8 ), F ( f , y 7 ),G(g , y 6 ), H (h, y 5 ), . . . noktalarını göz önüne alalım.
e, f , g , h, · · · apsisleri sağdan a ya yaklaşırken, f (e) = y 5 , f ( f ) = y 6 , f (g ) = y 7 , f (h) =
y 8 , . . . ordinatları giderek M ye yaklaşır.
Bu durum simgesel olarak,
lim f (x) = M
x→a +
(1.2)
biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f (x) fonksiyonunun x = a daki sağdan limitinin M olduğudur.
1.3. UÇ NOKTALARDA LİMİT
3
Limit
Tanım 1.1. f (x) fonksiyonunun x = a noktasında soldan ve sağdan limitleri var
ve birbirlerine eşit iseler, fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x = a noktasındaki limiti M = K ortak değeridir.
Bu durum simgesel olarak,
lim f (x) = L
(1.3)
x→a
biçiminde gösterilir.
Bunun anlamı şudur: x = a daki sağ limit ve sol limit değerleri birbirlerine eşittir
ve onların ortak değeri fonksiyonun x = a noktasındaki limitidir.
f (x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değilse fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur. Tabii, sol ve sağ limitlerden birisi yoksa,
eşitlik olamayacağı için, fonksiyonun o naktada limiti zaten olamaz.
1.3 Uç Noktalarda Limit
Şekil 1.2: Uç Noktalarda Limit
Genel olarak, fonksiyonun soldan (1.1) ve sağdan (1.2) limitleri var ve birbirlerine eşitseler, fonksiyonun x = a noktasında limiti vardır, denilir. Sol ve sağ
limitlerin ortak değeri fonksiyonun limitidir.
Varsa, fonksiyonun limitini (1.2)rlimit) biçiminde göstereceğiz.
Bazen incelenecek fonksiyon bütün mat hbbR yerine sınırlı bir aralıkta tanımlı
olabilir. Böyle durumlarda fonksiyonun uç noktalarına ancak tek yönden yaklaşılabilir. O nedenle, uç noktalarda limit ve sürekliliği ancak tek yönlü yaklaşımla
tanımlayabiliriz.
BÖLÜM 1. LİMİT
4
f fonksiyonu [a, b) aralığında tanımlı ve değerleri [c, d ) aralığında olsun. Bu
fonksiyon için (a, f (a)) noktası bir uç noktadır. x değişkeni a noktasına ancak
sağdan yaklaşabilir. Dolayısıyla, f fonksiyonunun x = a noktasında sağdan limiti varsa, bu limit değerini f fonksiyonunun x = a noktasındaki limit değeri
olarak kabul edeceğiz.
Örneğimizde, x = b noktasında fonksiyon tanımlı değildir, ama soldan limiti
olabilir. varsa soldan limit, f nin limiti olarak kabul edilir. Tabii, fonksiyon x = b
noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada fonksiyon sürekli olamaz. Bazı
hallerde, kaldırılabilir süreksizliği var olabilir.
Özetle, uç noktalardaki limit ve süreklilik araştırılırken, yalnızca fonksiyonun
tanımlı olduğu aralığın var olan tarafından tek yönlü limit alınır.
Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Bu durumda, varsa soldan (1.1) ve sağdan (1.2) limitlerinin varlığından söz edilebilir. Sol ya da sağ limitlerden birisi yoksa ya da var oldukları
halde eşit değilseler, fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur.
1.4 Karl Weierstrass’ın Tanımı
λ > 0 ve u gerçel sayılar olmak üzere (u − λ, u + λ) aralığına u’nun λ komşuluğu
(u − λ) ∪ (u + λ) kümesine de u’nun λ delik komşuluğu denilir. Burada delik
komşuluk terimi, aralığın ortasındaki u noktasının kümeye ait olmadığı anlamına gelir.
x değişkeni a’ya yaklaşırken f (x) değerleri L’ye yaklaşıyorsa, f fonksiyonunun
x = a noktasında limiti vardır ve bu limit L’dir denir. Bu tanım fiziksel bir algı
yaratır, ama matematiğin istediği kesinliği vermez. Çünkü "yaklaşım" eylemi
iyi tanımlı değildir. Onu herkesin aynı şekilde anlayacağı kesinliğe eriştirmek
gerekiyor.
Karl Weierstrass limiti şöyle tanımladı:
Tanım 1.2. f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin olması için gerekli ve
yeterli koşul, ∀ϵ > 0 sayısına karşılık, x değişkeni a’nın delik δ komşuluğunda
iken f (x) değeri L’nin ϵ komşuluğunda olacak biçimde bir δ > 0 sayısının varlığıdır.
Buna bazen limitin (ϵ, δ) ile ifadesi denilir. Bu tanımın koşullarını şöyle açıklayabiliriz:
L’nin her (L−ϵ, L+ϵ) komşuluğuna karşılık, x ∈ (a−δ)∪(a+δ) olduğunda f (x) ∈
(L − ϵ, L + ϵ) olacak biçimde a’nın bir (a − δ) ∪ (a + δ) delik komşuluğu vardır:
|x − a| < δ ⇒ | f (x) − L|, (x ̸= a)
1.4. KARL WEİERSTRASS’IN TANIMI
5
Limit tanımını, çoğunlukla, söylediklerimizi özetleyen şu simgesel biçemiyle
kullanırız:
Tanım 1.3.
lim f (x) = L
x→a
(
)
⇔ (∀ϵ > 0)(∃δ > 0) 0 < |x − a| < δ) ⇒ | f (x) − L| < ϵ
Bu tanımda f fonksiyonunun x = a noktasında tanımlı olup olmaması önemli
değildir. f (a) hiç tanımlı olmayabilir, f (a) ̸= L ya da f (a) = L olabilir.
Örnekler:
1.
lim λx = λa
(1.4)
p(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0
(1.5)
x→a
dır.
2.
polinomonun limiti her a noktasında vardır ve
lim p(x) = p(a)
x→a
(1.6)
dır.
3. p(x) ve q(x) iki polinom ise q(a) ̸= 0 olduğunda
lim
x→a
p(x) p(a)
=
q(x) q(a)
dır.
4.
f (x) =
2x
x +1
(1.7)
BÖLÜM 1. LİMİT
6
fonksiyonunun x ssonsuza giderken limitini yaklaşık değerlerle gösterelim:
f (100) = 1.9802
f (1000) = 1.9980
f (10000) = 1.9998
Buradan görüldüğü gibi, x → +∞ iken fonksiyon değerleri 2 ye sınırsız
yaklaşıyor.
Şekil 1.3: Limit var; fonksiyon değeri var
5.
f (x) =



−x,
x < −1
2,


x + 2,
x > −1
x = −1
Şekil 1.3’den sezilebileceği gibi,
lim x → −1 f (x) = 1 = L
olur. f fonksiyonu x = −1 noktasında tanımlıdır ve f (−1) = 2 dir. Bu değer
fonksiyonun L = 1 limit değerine eşit değildir.
1.5. LİMİT KURALLARI
7
1.5 Limit Kuralları
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M
x→c
olsun.
Teorem 1.1.
λ bir sabit sayı ise
lim λ = λ
(1.8)
x→c
dır.
Teorem 1.2.
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M
x→c
ise
lim f (x) ± g (x) = lim f (x) ± lim g (x) = L ± M
x→c
x→c
x→c
(1.9)
olur.
Teorem 1.3.
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M
x→c
ise
lim f (x).g (x) = (lim f (x).(lim g (x)) = L.M
x→c
olur.
Teorem 1.4.
x→c
x→c
(1.10)
BÖLÜM 1. LİMİT
8
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M ̸= 0
x→c
ise
lim
x→c
f (x) limx→c f (x)
L
=
=
g (x) limx→c g (x) M
(1.11)
olur.
Teorem 1.5.
lim f (x) = L
x→c
ve λ bir sabit ise
lim λ f (x) = λ(lim f (x)) = λL
x→c
x→c
olur.
Teorem 1.6.
n ∈ N ve
lim f (x) = L
x→c
ise
(
lim
√
2n+1
x→c
)
f (x) =
√
2n+1
lim f (x)
x→c
ve a nın bir komşuluğunda a ≥ 0 ise
(√
lim
2n
x→c
olur.
Teorem 1.7.
) √
f (x) = 2n lim f (x)
x→c
(1.12)
1.5. LİMİT KURALLARI
9
n ∈ N ve
lim f (x) = L
x→c
ve ise
(
)n
lim [ f (x)]n = lim f (x) = L n
x→c
x→c
(1.13)
olur.
Teorem 1.8.
λ ∈ R ve
lim f (x) = L
x→c
ve ise
lim [λ f (x) ] = λ(limx→c f (x)) = λL
x→c
olur.
Özetlersek, limit için şu eşitlikleri yazabiliriz:
lim λ = λ
x→c
lim f (x) ± g (x) = L ± M
x→c
lim f (x).g (x) = L.M
x→c
lim
x→c
f (x)
L
=
(M ̸= 0)
g (x) M
lim λ f (x) = λL
x→c
Teorem 1.9.
sin(x)
x→0
x
1 − cos(x)
lim
x→0
x
sin(x)
lim
x→∞
x
cos(x)
lim
x→∞
x
lim
Alıştırmalar 1.1.
=1
=0
=0
=0
(1.14)
BÖLÜM 1. LİMİT
10
Polinom:
1. (1.6) kuralı gereğince, her n ∈ (N ) için
lim λx n = λa n
x→a
olur.
2. Gene (1.6) kuralına göre,
lim (5x 3 − 7x + 3) = 1
x→1
olur.
Çarpanlara Ayırma
1. Bazen 00 belirsizliği oluştuğunda, mümkünse pay ve payda çarpanlara ayrılır. Varsa kısaltmalar yapılarak belirizlik yokedilebilir.
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim
= lim x + 1 = 2
x→1 x − 1
x→1
x→1
x −1
lim
2.
x 2 + 2x − 3
(x − 1)(x + 2)
= lim
= lim x + 2 = 4
x→1
x→1
x→1
x −1
x −1
lim
3.
p
p
3− x
3− x
lim
= lim
p
p
x→9 9 − x
x→9 (3 − x)(3 + x)
(
)
1
= lim
p
x→9 (3 + x
1
=
6
4.
lim
x→3
1
x
− 13
x −3
= lim
3−x
3x
(x − 3 )
1
= lim −
x→3
3x
1
=−
9
x→3
1.5. LİMİT KURALLARI
11
5.
1
1
=
=0
4
x→1 (x − 1)
∞
lim
6.
2x 2 + 5x − 3
(x + 3)(2x − 1)
2x − 1 −3 3
= lim
= lim
=
=
2
x→−1 (x + 2x − 3)
x→−1 (x + 3)(x − 1)
x→−1 x − 1
−2 2
lim
7.
x 4 [(2 + x32 + x14 ] 2 1
2x 4 − 3x 2 + 1
= lim
lim
= =
x→∞ x 4 [6 + 1 + −3 ]
x→∞ (6x 4 + x 3 − 3x)
6 3
3
x
x
Rasyonelleştirme:
1. Bazen köklü ifadelerde pay ve payda uygun çarpanlarla çarpılarak belirsizlik yok edilebilir.
p
lim
h→0
p
p
p p
p
4+h − 4
4+h − 4 4+h + 4
= lim
.p
p
h→0
h
h
4+h + 4
(p
)2 (p )2
4+h − 4
(p
= lim
p )
h→0 h
4+h + 4
(4 + h) − 4
(p
p )
h→0 h
4+h + 4
= lim
h
(p
p )
h→0 h
4+h + 4
= lim
1
= p
2 4
2. Yukarıdaki ifadeyi daha genel olarak düzenleyebiliriz:
=
1
4
BÖLÜM 1. LİMİT
12
p
lim
h→0
p
p
p p
p
a +h − a
a +h − a a +h + a
= lim
.p
p
h→0
h
h
a +h + a
(p
)2 (p )
2
a +h − a
(p
= lim
p )
h→0 h
a +h + a
(a + h) − a
(p
p )
h→0 h
a +h + a
= lim
= lim
h→0 h
(p
h
p )
a +h + a
1
= p
2 a
3.
(p
lim
x→3
p )
3x − 3 x
= lim
x→3
x −3
( p p p
)
p
3 x( x − 3)
= p
p p
p
( x − 3)( x + 3)
3
= p
2 3
p
3
=
2
4.
p
3
lim
h→0
8+h −2
= x 3 = 8 + h değişken değiştirimi yapılırsa
h
x −2
= lim 3
x→2 x − 23
x −2
= lim
h→2 (x − 2)(x 2 + 2x + 4)
1
= lim 2
h→2 (x + 2x + 4)
1
=
(4 + 4 + 4)
1
=
12
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
13
Sonsuzdaki Limit
x bağımsız değişkeni x → −∞ ya da x → +∞ iken f (x), f (x)−g (x) ya da
fonksiyonlarının yaklaştığı değerdir. Bu türlerde,
f (x)
g (x) ,
f (x)g (x)
a
∞
0 ∞
,
, , λδ , ,
, ∞ − ∞, 0∞ , ∞0 , 1∞
∞ a
0 ∞
durumları oluşabilir. İlk üç durmda ifade belirli sayılır: Birinci durum da limit
0, ikinci durumda ∞, üçüncü durumda λδ olur. Sonraki durumlar belirsiz ifadeler diye adlandırılır. Bu tür ifadelerin limitlerini bulmak için genel geçerliği
olan yöntem yoktur. Her probem için uygun çözüm yolları aranır. Çoğunlukla
kullanılan yöntemler şunlardır:
1. Rasyonel ifadelerde limit:

n
n−1

+ . . . + a1 x + a0

p(x) = a n x + a n−1 x
n
m−1
q(x) = b m x + b m−1 x
+ . . . + b1 x + b0


 f (x) = p(x)
q(x)
verilmiş ise,
p(x) p(0) a 0
=
=
x→0 q(x)
q(0) b 0
lim
ve



∞,
n > m,
p(x)
an
lim
= b , n =m
m
x→∞ q(x)


0,
n <m
1.6 Rasynel Fonksiyonlarda Limit
1. Örneğin,
lim
x→±∞
olur.
1
1
1
=
=
=0
x (limx→±∞ x ±∞
BÖLÜM 1. LİMİT
14
Şekil 1.4: Sonsuzda Limit
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
15
2.
4x 3 −2x 2 +1
x3
3x 3 −5
x3
2
4x 3
− 2x
+ x13
x3
x3
= lim
3x 3
x→±∞
− x53
x3
4 − x2 + x13
= lim
x→±∞ 3 − 5
x3
4x 3 − 2x 2 + 1
lim
= lim
x→±∞
x→±∞
3x 3 − 5
4−0+0
3−0
4
=
3
=
olur.
3.
1+2+3+...+n
= lim
x→∞
x→∞
n2
lim
= lim
x→∞
= lim
x→∞
n(n+1)
2
n2
n(n + 1)
2n 2
1 + n1
2
1
=
2
olur.
4.
(
lim
x→−∞
(
)
)
3x
2x
x(3 − 2
−
= lim
x→−∞ x(1 − 1 )(1 + 1
x −1 x +1
x
x
olur.
5.
(
)
x +1
x 1
lim
= lim
+
x→∞ x
x→∞ x
x
= lim 1 + lim
x→∞
x→∞
= 1+0 = 1
olur.
1
x
BÖLÜM 1. LİMİT
16
Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum
1.
2x 2 +x−1
x2
2x+5
x2
x2
+ xx2 − x12
x2
= lim
2x
x→±∞
+ x52
x2
1 − x1 + x12
= lim
x→±∞ 2 − 5
x
x2
x2 + x − 1
lim
= lim
x→±∞ 2x + 5
x→±∞
1+0−0
0+0
1
=
0
=∞
=
olur.
Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti
1.
p
lim
x→±∞
p
x2 + 1
x +1
= lim
x→±∞
= lim
x→±∞
= lim
x 2 +1
x
x+1
x
√
x 2 +1
x2
x+1
x
√
1 + x12
1 + x1
1+0−0
=
0+0
= ±∞
x→±∞
olur.
2.
lim (x 3 + 3x − 2) = 23 + 3.2 − 2 = 12
x→2
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
Şekil 1.5: Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti
17
BÖLÜM 1. LİMİT
18
3.
1
1
= = ±∞
x→3 2x − 6
0
lim
4.
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
= lim
= lim (x + 2) = 4
x→2 x − 2
x→2
x→2
(x − 2)
lim
5. Aşağıdaki problemde 00 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım:
(p
) (p
)
x −2
x +2
x −2
(p
)
lim
= lim
x→4 4 − x
x→2 (4 − x)
x +2
)
(p
= lim (4 − x) x + 2
p
x→4
=
6. Aşağıdaki problemde ∞
∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım:
2 + x1
2x + 1
= lim
x→∞ x − 3
x→2 1 − 3
x
lim
2+0
1−0
=2
=
7. Aşağıdaki problemde
mit −∞ olur.
lim−
x→0
5
0
tanımsızlığı vardır. Tanımsızlık yokedilemez, li-
5 − 2x
= −∞
3x
8.
(
)
1
1
1
lim
−p
p
h→0 h
x
x +h
Alıştırmalar 1.2.
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
19
1.
lim
x3 − 8
x→2 x − 2
2.
3.
2x 2 + 7x − 4
x→2
4x − 2
4.
5.
7.
9.
lim
x 3 − 4x
x→2 x 3 − 2x 2
|x|
lim+
x→0 x
lim
lim+ (1 − e 1/x )
x→0
6.
8.
10.
x3 + 1
x→2 x + 1
lim
lim
x→2
3x + 15
x 2 − 25
x 3 − 4x
x→2 x 3 − 2x 2
|x|
lim
x→0− x
lim
lim (10−x )
x→∞
Grafiği Şekil 1.6 gibi olan f fonksiyonu
1. x = −4 noktasında tanımlı değildir.
2. limx→−4− f (x) = 2 = limx→−4+ f (x) olduğundan limit var ve değri 2 dir.
3. Fonksiyon değeri olmadığında x = −4 noktasında fonksiyon süreksizdir.
4. x = 1 noktasında limx→1− f (x) = −2 ve lim x → 1+ f (x) = 4 olduğundan
limit sol ve sağ limitler birbirlerinden farklıdır. Dolayısıyla limit yoktur ve
fonksiyon x = 1 noktasında süreksizdir.
5. x = 6 noktasında fonksiyon tanımlıdır ve f (6) = 2 dir. Oysa bu noktada
limx→6− f (x) = 5 = limx→6+ f (x) olduğundan, sağ ve sol limitler var ve
birbirlerine eşittir. Fonksiyonun limiti 5 ortak değeridir. Ama bu noktada
f (6) ̸= 5 olduğundan fonksiyon süreksizdir.
1. Grafiği Şekil 1.7 gibi olan f fonksiyonu,
(a) x = −1 noktasında sol ve sağ limitleri var ve farklı olduğu için, fonksiyon sıçrayan bir süreksizliğe sahiptir. Sol limit 1, sağ limit 2 dir.
(b) x = 1 noktasında sğ ve sol limitler eşittir ve ortak değerleri olan 2
fonksiyonun limitidir. Bu noktada fonksiyon değeri f (1) = 3 olarak tanımlanmıştır. Limit değeri fonksiyon değerinden farklı olduğu
için fonksiyon x = 1 noktasında süreksizdir.
(c) x = 2 noktasında sol limit 3, sağ limit −i n f t y olmaktadır. Bu noktada sağ limit yok sayılır. Dolayısıyla fonksiyonun limiti yoktur, fonksiyon süreksizdir.
BÖLÜM 1. LİMİT
20
Şekil 1.6: Limit
2. Grafiği Şekil 1.8 gibi olan f fonksiyonu için,
(a) x = −2 noktasında sol ve sağ limitler var, birbirlerinden farklıdır,
Fonksiyonun x = −2 noktasında limiti yoktur.
(b) f (−2) = 2 tanımlıdır.
(c) Limit olmadığı için fonksiyon x = −2 noktasında süreksizdir.
3. Grafiği Şekil 1.9 gibi olan f fonksiyonu için,
(a) x = 2 noktasında fonksiyon tanımsızdır.
(b) x = 2 noktasında sol ve sağ limitler var ve birbirleine eşittir. Dolayısıyla limit var.
(c) x = 2 noktasında fonksiyon tanımsız olduğu için süreksizdir.
4. Grafiği Şekil 1.10 gibi olan f (x) =
1
x
fonksiyonu için,
(a) f (0) tanımlı değildir. [Analiz sonsuz değerleri incelemez.]
(b) limx→0− x1 = −∞ ve limx→0+ x1 = +∞ olduğundan sol ve sağ limitler
yoktur. Dolayısıyla fonksiyonun limiti yoktur.
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
Şekil 1.7: Limit
Şekil 1.8: Limit
21
BÖLÜM 1. LİMİT
22
Şekil 1.9: Limit
(c) Limiti olmadığı için fonksiyon süreksizdir.
5. Grafiği Şekil 1.11 gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) f (a tanımsızdır.
(b) sol ve sağ limitler var ve ortak değerleri A ya eşittir.
(c) Fonksiyon tanımsız olduğu için x = a noktasında süreksizdir.
6.
7. Grafiği Şekil 1.13 gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = 3 noktasında sol limiti l 1 sağ limiti l 2 dir. Bu değerler farklı olduğu için limit yoktur.
(b) Limiti olmadığı için x = 3 noktasında fonksiyon süreksizdir.
8. Grafiği Şekil 1.14 gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu değerler eşittir.
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
Şekil 1.10: Limit
Şekil 1.11: Limit
23
BÖLÜM 1. LİMİT
24
Şekil 1.12: Limit
Şekil 1.13: Limit
1.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT
25
(b) Limiti var ve için f (a) = L noktasında fonksiyon süreklidir.
Şekil 1.14: Limit
9. Grafiği Şekil 1.15 gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu değerler eşittir.
(b) Limiti var ama için f (a) = m değerinden farklı olduğu için fonksiyon süreksizdir.
Şekil 1.15: Limit
BÖLÜM 1. LİMİT
26
10. Grafiği Şekil 1.16 gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu değerler eşittir.
(b) Limiti var ama için f (a) = L eşitliği olduğu için fonksiyon süreklidir.
Şekil 1.16: Limit
11. Grafiği Şekil 1.17 gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti −∞ sağ limiti +∞ dir.sol ve
sağ limitler yoktur
(b) Fonksiyon bu noktada süreksizdir.
1.7 Belisiz Şekiller
0
∞
0
Aşağıdaki örneklerde 00 , ∞
∞ , ∞ − ∞, 0.∞, 0 , 1 , ∞ belirsiz şekilleri için
limit bulma yöntemleri açıklanmıştır.
Bu tür problemlerin çözümü için izlenen genel yöntem, verilen fonksiyon üzerinde, fonksiyon değerini değiştirmeyen uygun işlemler yaparak belirsizliği yoketmektir.
1. Aşağıdaki problemde 00 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için x 3 =
8 + h değişken değiştirimini yapalım: h → 0 iken x → 2 olduğunu düşü-
1.7. BELİSİZ ŞEKİLLER
27
Şekil 1.17: Limit
nünüz.
p
3
lim
x→∞
p
3
8+h −2
x3 − 2
= lim 3
x→2 x − 8
h
x −2
= lim 3
x→2 x − 8
x −2
= lim
x→2 (x − 2)(x 2 + 2x + 4
1
= lim 2
x→2 (x + 2x + 4
1
=
(4 + 4 + 4)
1
=
12
2. Aşağıdaki problemde 00 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için paydanın eşleniği ile çarpalım:
BÖLÜM 1. LİMİT
28
p
p
t( 4+ t + 4− t)
lim p
= lim p
p
p
p
p
t →0 4 + t − 4 − t
t →0 ( 4 + t − 4 − t )(( 4 + t + 4 − t )
p
p
t( 4+ t + 4− t)
= lim
x→0 (4 + t ) − (4 − t )
p
p
t( 4+ t + 4− t)
= lim
x→0
2t
4
=
2
=2
t
3. Aşağıdaki problemde ∞
∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için pay
ve paydayı en yüksek dereceli x’in parantezine alarak mümkün kısaltmaları yapıyoruz:
(
)
x 4 − x7
4x − 7
= lim
lim
(
)
x→∞ x 2 3 + 4 − 3
x→∞ 3x 2 + 4x − 3
2
x
x
= lim
x→∞
4 − x7
(
)
x 3 + x4 − x32
4
∞
=0
=
4. Aşağıdaki problemde 0.∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifa-
1.7. BELİSİZ ŞEKİLLER
29
deyi düzenleyip köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım:
p
1
1− 1+x
lim p
− 1 . = lim p
x→0
x x→0 x 1 + x
1+x
p
p
(1 − 1 + x)(1 + 1 + x)
= lim
p
p
x→0 x 1 + x(1 + 1 + x)
1 − (1 + x)
= lim p
p
x→0 x 1 + x(1 + 1 + x)
−1
= lim p
p
x→0 1 + x(1 + 1 + x)
−1
=
1(1 + 1)
1
=−
2
(
1
)
5. Aşağıdaki problemde 1∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem 1.7’yi uygulanabilir hale getirelim:
(
)
( x )2x
x + 1 −2x
= lim
x→∞ 1 + x
x→∞
x
[(
) ]
1 x −2
= lim 1 +
x→∞
x
lim
= e2
1
= 2
e
−∞
=∞
6. Aşağıdaki problemde −∞
∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim:
BÖLÜM 1. LİMİT
30
lim p
x→−∞
x
x2 + 1
x
= lim √
x→−∞
x 2 (1 + x12 )
x
= lim p √
x→−∞
x 2 1 + x12
x
= lim
√
x→−∞
|x| 1 + x12
x
|x|
= lim √
x→−∞
1 + x12
−1
= lim √
, (x < 0)
x→−∞
1 + x12
= −1
∞
7. Aşağıdaki problemde ∞
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim:
lim p
x→+∞
x
x2 + 1
x
= lim √
x→−∞
x 2 (1 + x12 )
x
= lim p √
x→+∞
x 2 1 + x12
x
= lim
√
x→+∞
|x| 1 + x12
x
|x|
= lim √
x→+∞
1 + x12
+1
= lim √
, (x > 0)
x→+∞
1 + x12
= +1
8. Aşağıdaki problemde 1∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem 1.7’yi uygulanabilir hale getirelim:
1.7. BELİSİZ ŞEKİLLER
31
(
)
( x )2x
x + 1 −2x
= lim
x→∞ 1 + x
x→∞
x
[(
) ]
1 x −2
= lim 1 +
x→∞
x
lim
= e2
1
= 2
e
9. Aşağıdaki problemde ∞ − ∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:
L = lim f (x)
x→∞
√
= lim x 2 + 8x − 3 − (x + 2)
x→∞
(p
) (p
)
x 2 + 8x − 3 − (x + 2)
x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
= lim
p
x→∞
x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
2
2
x + 8x − 3 − x − 4x − 4
= lim p
x→∞
x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
4x − 7
= lim p
x→∞ x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
x(4 + x7 )
= (√
)
x
1 + x8 − x32 + 1 + x2
4
2
=2
=
10. Aşağıdaki problemde 00 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:
BÖLÜM 1. LİMİT
32
(
1
L = lim
x→∞ x − 2
1
)1
x
1
= lim e x l n x−2
x→∞
=e
=e
=e
limx→∞
1
l n x−2
1
x
limx→∞
1
x−2
−1
x2
(L’hospital kuralı)
−∞
=0
11. Aşağıdaki problemde ∞0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:
1
L = lim (x) x
x→∞
1
= lim e x l nx
x→∞
= e limx→∞
= e limx→∞
=e
l nx
x
1
x
1
(L’hospital kuralı)
0
=1
12.
x 2 + 5x + 6
(x + 2)(x + 3)
= lim
x→2
x→2
x +2
x +2
= lim (x + 3)
lim
x→2
=5
1.8 Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerin limitlerini alırken, bazen uygun değişken değiştirimi ya da trigonometrik fonksiyonların yerine denk
ifadeleri koyma çözüme götürebilir.
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
33
sin x
=1
x→0 x
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
ÙA ise 0 < x < π iken sin x < x < tan x olduğunu
x açısı radyan cinsinden M
2
şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz:
x
tan x
sin x
<
<
sin x sin x sin x
x
sin x
1
⇒1<
<
=
sin x sin x. cos x cos x
sin x < x < tan x ⇒
Son eşits,zliklerde limx→0 iken cendere kuralını uygularsak,
x
1
= 1 ⇒ lim
=1
x→0 sin x
x→0 cos x
sin x
⇒ lim
=1
x→0 x
lim
çıkar.
2.
sin 5x
=5
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(
lim
x→0
(
)
)
sin 5x
sin 5x
= lim 5
x→0
x
5x
(
)
sin 5x
= 5 lim
= 5.1
x→0
5x
=5
3.
lim
x→0
sin(ax) a
=
bx
b
BÖLÜM 1. LİMİT
34
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(
)(
)
sin(ax)
ax
sin(ax)
a
= lim
lim
= .1
x→0
x→0 bx
x→0
bx
ax
b
a
=
b
lim
4.
lim
x→0
tan(ax)
=1
ax
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(
)
sin(ax)
tan(ax)
1
= lim
= 1.1
x→0
x→0
ax
ax cos(ax)
lim
=1
5.
tan(ax) a
=
x→0 tan(bx)
b
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(
) (
tan(ax)
ax
lim
= lim
. lim
x→0 tan(bx)
x→0 bx
x→0
a
=
b
tan(ax)
ax
tan(bx)
bx
)
6.
lim
t sin(t )
x→0 cos(t ) − 1
= −2
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede
nürse,
0
0
belirsizliği vardır. Paydanın eşleniği ile çarpılıp bölü-
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
35
t sin(t )
t sin t (cos t + 1)
=
cos(t ) − 1 (cos t − 1)(cos t + 1)
t sin t (cos t + 1)
=
− sin2 (t )
t
=−
(cos t + 1)
sin t
olur. Buradan limit alınırsa,
[
(
)] [
]
t sin(t )
t
= lim −
. lim (cos(t ) + 1) = (−1).2
x→0
x→0
cos(t ) − 1
sin(t )
= −2
çıkar.
7.
cos ax − cos bx) b 2 − a 2
=
x→0
x2
2
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa,
( )
cos ax − cos bx) 1 2
1
1 4 6
x (b − a 6 ) + O x 6
= (b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
2
x
2
24
720
olur. Buradan limit alınırsa,
lim
x→0
cos ax − cos bx)
x2
[
( )
1 2
1
1 4 6
(b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
x→0 2
24
720
2
2
b −a
=
2
= lim
çıkar.
8.
e x − 1)
=1
x→0
x
lim
]
BÖLÜM 1. LİMİT
36
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa,
( )
e x − 1)
x x2 x3
x4
x5
= 1+ +
+
+
+
+ +O x 6
x
2
6 24 120 720
olur. Buradan limit alınırsa,
e x − 1)
x→0
x
lim
[
]
( 6)
x x2 x3
x4
x5
= lim 1 + +
+
+
+
+ +O x
x→0
2
6 24 120 720
=1
çıkar.
9.
e −ax − e −bx
= a +b
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa,
1
1
1
e −ax − e −bx
= (a + b) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3 + x 3 (a 4 − b 4 )
x
2
6
24
( )
1 4 5
1
+
x (a + b 5 ) +
x 5 (a 6 − b 6 ) + O x 6
120
720
olur. Buradan limit alınırsa,
e −ax − e −bx
=
x→0
x
[
]
1
1
lim (a + b) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3
x→0
2
6
[
]
( )
1 3 4
1
1
+ lim
x (a − b 4 ) +
x 4 (a 5 + b 5 ) +
x 5 (a 6 − b 6 ) + O x 6
x→0 24
120
720
lim
=b−a
çıkar.
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
10.
p
p
x −3
( x − 3)( x + 3)
lim
= lim
p
x→9 |x − 9|
x→9 |x − 9|( x + 9)
x −9
= lim
p
x→9 |x − 9|( x + 9)

x−9

p
x >9
(x−9)( x+9)
= lim
x−9
x→9 −
p
x <9
(x−9)( x+9)
p
=±
1
6
limit yok, ama sol ve sağ limitler var.
11.
6x 2 − x + 5
x→∞ −2x 2 + 3x
lim
= lim
5
x 2 (6 + −1
x + x2 )
x 2 (−2 + x3 )
x→∞
=
6
= −3
−2
çıkar.
12.
lim
2x − 5
x→∞ 3x 2 + 2x − 4
= lim
x→∞
=
x(2 − x5 )
x 2 (3 + x2 − x42 )
2
=0
∞
çıkar.
13.
−x 3 + 5x 2 − 2
x→∞ 2x 2 − x + 4
lim
= lim
x→∞
=
çıkar.
x 3 (−1 + x5 − x23 )
x 2 (2 − x1 + x42 )
∞
=∞
2
37
BÖLÜM 1. LİMİT
38
14.
lim
x→∞
√
x 2 + 4x − 2 − (x − 1)
x 2 + 4x − 2 − (x − 1)2
= lim p
x→∞ x 2 + 4x − 2 + (x − 1)
6x − 3
= lim p
x→∞ x 2 + 4x − 2 + (x − 1)
x(6 − x3 )
= lim √
x→∞
x( 1 + x4 − x22 )
=
6
=6
1
çıkar.
15.
(
)
1
1
lim p
−1 .
x→0
x
1+x
(
)
p
1− 1+x 1
= lim
.
p
x→0
x
1+x
(
)
p
1− 1+x
1
= lim
.p
x→0
x
1+x
(
)
1−1−x
1
= lim
.p
x→0
x
1+x
(
)
) (
−x
1
= lim
. lim p
x→0 x
x→0 1 + x
1
= −1 + p
2
çıkar.
16.
x 2 + 2x − 3
x→0
x −1
lim
= lim
x→0
=4
çıkar.
(x − 1)(x + 3)
(x − 1)
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
39
17.
lim (3x − 1) ln(
x→∞
x +4
)
x +1
= lim
x+4
ln( x+1
)
x→∞
1
(3x−1)
−3(3x − 1)2
x→∞ −3(x + 4)(x + 1)
=9
= lim
çıkar.
18.
(
x +4
L = lim (3x − 1) ln
x→∞
x +1
)(3x−1)
(
x +4
= lim ln
x→∞
x +1
u(x) =
x+4
x+1
)
ve v(x) = 3x − 1 diyelim.
lim u(x).v(x) = λ =⇒ lim (1 + u(x))v(x) = e λ
x→∞
sonucunu kullanarak
x→∞
(
x +4
L = lim (3x − 1) ln
x→∞
x +1
(
)(3x−1)
x +4
= lim ln
x→∞
x +1
)
=9
çıkar.
19.
2x 3 + 16
x→−2 x 2 − 4x − 12
2(x 3 + 23 )
= lim
x→−2 (x + 2)(x − 6)
2(x + 2)(x 2 − 2x + 4)
= lim
x→−2
(x + 2)(x − 6)
2(x 2 − 2x + 4)
= lim
x→−2
(x − 6)
24
=
−8
= −3
L = lim
BÖLÜM 1. LİMİT
40
çıkar.
20.
p
2 − 6x−
x→1 x 2 − 1
lim
p
p
(2 − 6x − 2)(2 + 6x − 2)
= lim
p
x→1
(x 2 − 1)(2 + 6x − 2)
(4 − (6x − 2))
= lim
p
x→1 (x − 1)(x + 1)(2 + 6x − 2)
−6
=
(8)
3
=−
4
çıkar.
21. Aşağıdaki limit bulunurken
1
L = lim u(x) = 0 =⇒ lim u(x) u(x) = e
x→0
= lim u(x)
x→0
x→0
v(x)
= lim u(x)limx→0 v(x)
x→0
eşitlikleri kullanılmıştır.
(
)1
L = lim e x + x x
x→0
1
(
x )x
= lim e x (1 + x )
x→0
e
1
(
x )x
= lim e 1 + x
x→0
e
[
] 1x
ex
(
x )x e
= e lim 1 + x
x→0
e
[
]limx→0 1x
ex
e
(
x )x
= e lim 1 + x
x→0
e
= e.e 1
= e2
çıkar.
22. u = u(x) ile v = v(x) fonksiyonları sürekli türetilebilir ve limx→∞ u(x).v(x) =
λ ise
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
41
lim (1 + u(x))v(x) = e λ
x→∞
bağıntısı vardır.
Kanıt: Limiti alınacak ifadenin doğal logaritmasını alırsak,
ln f (x) = v(x) ln (1 + u(x))
=
ln(1 + u(x)
1
v(x)
olur. x → ∞ iken yukarıdaki ifade 00 belirsiz biçimini alır. O halde l’Hospital
Kuralı uygulanabilir:
lim ln f (x) = lim ln [1 + u(x)]v(x)
x→∞
x→∞
= lim v(x). ln [1 + u(x)]
x→∞
= lim
ln[1 + u(x)]
1
v(x)
u ′ (x)
[1+u(x)]
= lim −v ′ (x)
x→∞
v 2 (x)
x→∞
p
p
x −3
( x − 3)( x + 3)
= lim
p
|x − 9| x→9 |x − 9|( x + 9)
x −9
= lim
p
x→9 |x − 9|( x + 9)

x−9

p
x >9
x+9)
= lim (x−9)( x−9
x→9 −
p
x <9
(x−9)( x+9)
p
lim
x→9
=±
1
6
limit yok, ama sol ve sağ limitler var.
23.
25x 2 − 64
(5x − 8)(5x + 8
= lim
x→1.6 5x − 8
x→1.6
5x − 8
= lim (5x + 8) = 16
lim
x→1.6
BÖLÜM 1. LİMİT
42
24.
x 2 − 2x + 1
3
= lim
= lim (−3) = −3
x→0 x 2 + 2x − 1
x→0 −1
x→0
lim
25.
x 3 + 64
(x + 4)(x 2 − 4x + 16)
= lim
x→−4 x + 4
x→−4
x +4
= lim (x 2 − 4x + 16) = 48
lim
x→−4
26.
x 3 − 2x 2 − 4x + 8
(x + 4)(x 2 − 4)
=
lim
x→2 x 4 − 8x 2 + 16
x→2
(x 2 − 4)2
1
1
= lim
=
x→2 x + 2
4
lim
27.
(1 + x)5 − (1 + 5x)
x→0
x2 + x5
5
⇒ (1 + x) − (1 + 5x) = 1 + 5x + 10x 2 + 10x 3 + 5x 4 + x 5 − 1 − 5x
L = lim
⇒ 10x 2 + 10x 3 + 5x 4 + x 5
x 2 (10 + 10x + 5x 2 + x 3 )
x→0
x 2 (1 + x 3 )
(10 + 10x + 5x 2 + x 3 )
= lim
x→0
(1 + x 3 )
(10 + 0 + 0 + 0)
= lim
x→0
(1 + 0)
= 10
= lim
28.
x −2
x2 − 4
(x − 2))
= lim
x→2 (x − 2)(x + 2)
= lim (x + 2)
L = lim
x→2
x→2
=4
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
29.
sin2 x
x→0
( x
)
sin x
sin x
= lim
x→0
x
)
(
)(
sin x
lim sin x
= lim
x→0
x→0 x
L = lim
= (1).(0) = 0
30.
sin2 x
x→0 x 2
(
)
sin x sin x
= lim
x→0
x
x
(
)(
)
sin x
sin x
= lim
lim
x→0 x
x→0 x
L = lim
= (1).(1) = 1
31.
(
)
1
x→ 6 1 + t an 2 x
(
)
1
= limπ
2
x→ 6 1 + sin x
cos2 x
(
)
cos2 x
= limπ
x→ 6 cos2 x + sin2 x
( p )2
3
=
2
L = limπ
=
3
4
43
BÖLÜM 1. LİMİT
44
32.
(
)
L = limπ 2 sec2 x − 1
x→ 4
(
2
−1
x→ 4 cos2 x
)
(
2 − 12
= limπ
1
)
= limπ
x→ 4
(
3/2
=
1/2
)
2
=3
33.
L = limπ (cot x + csc x)
x→ 3
(
cos x
1
= limπ
+
sin x
x→ 3 sin x
(
)
cos x + 1
= limπ
sin x
x→ 3
(
)
3/2
= p 2
3
p
= 3
34.
)
(
( ))
1
L = lim x sin
x→0
x
¯
( )¯
¯
¯
1
¯
≤ lim ¯¯x sin
x→0
x ¯
≤ lim (|x|)
x→0
=0
35. L = limn→∞
p
n
x = 1 olduğunu gösretiniz.
(p )
L = lim n x
n→∞
( 1)
= lim x n
x→∞
(
)
1
= x limx→∞ n
= x0
=1
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
45
36. L = limn→0 sinx x = 1 olduğunu gösretiniz.
Çözüm: Trigoometrik oran ve uzunluklarla çözüm yapılabilir. Ama L’Hospital
kuralı en kolayıdır:
sin x
x
cos x
= lim
n→0 1
= lim cos x
L = lim
n→0
n→0
=1
olur.
x
37. L = limn→0 1−cos
= 0 olduğunu gösretiniz.
x
Çözüm: Trigoometride yarım açı formülleri ile doğrudan çözüm yapılabilir. Ama L’Hospital kuralı en kolayıdır:
1 − cos x
n→0
x
sin x
= lim
n→0 1
= lim sin x
L = lim
n→0
=0
olur.
38. L = limn→0 e
−1
x
x
= 1 olduğunu gösretiniz.
x
Çözüm: e seriye açılarak çözüm yapılabilir. Ama L’Hospital kuralı en kolayıdır:
ex − 1
n→0
x
ex
= lim
n→0 1
= lim e x
L = lim
n→0
0
=e
=1
olur.
39. L = limn→1
( x−1 )
ln x
= 1 olduğunu gösretiniz.
BÖLÜM 1. LİMİT
46
Çözüm: Ama L’Hospital kuralı en kolayıdır:
(
)
x −1
L = lim
n→1 ln x
( )
1
= lim 1
n→1
x
= lim x
n→1
=1
olur.
40. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
x2 − 4
n→2 x − 2
(x − 2)(x + 2)
= lim
n→2
x −2
= lim x + 2
L = lim
n→2
=4
olur.
41. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
p
x −2
L = lim
n→4 4 − x
p
x −2
= lim
p
p
n→4 (2 − x)(2 + x)
p
= lim [−(2 + x)]
n→4
= −4
olur.
42. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
sin 3x
(x
)
cos 3x
= lim 3
n→0
1
L = lim
n→0
= lim (3 cos 3x)
n→0
=3
1.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
olur.
43. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
1 − cos x
2
n→0
)
(x
− sin x
= lim 3
n→0
2x
( − cos x )
= lim 3
n→0
2
1
=
2
L = lim
olur.
(
44. limx→0
e −ax −e −bx
x
)
= b − a olduğunu gösterinz.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
)
(
e −ax − e −bx
L = lim
x→0
x
(
)
−ae −ax − (−b)e −bx
= lim
x→0
1
(
)
−ae 0 − (−b)e −0
= lim
x→0
1
=b−a
olur.
45. limx→0
(
a x −b x
x
)
= ln ab olduğunu gösterinz.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
( x
)
a − bx
L = lim
x→0
x
(
)
x ln a
e
− e x ln b
= lim
x→0
x
(
)
ln ae x ln a − ln be x ln b
= lim
x→0
1
= lim (ln ae 0 − ln be 0 )
x→0
= ln a − ln b
a
= ln
b
47
BÖLÜM 1. LİMİT
48
olur.