ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ

ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ
DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNE BAĞLI
SINIFLANDIRILMASI
Fatıma KÜLÜK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2014
ANKARA
Fatıma KÜLÜK tarafından hazırlanan ‘‘ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK
DÜZLEMLERDEKİ
DÖRTGENLERİN
GRAM
MATRİSLERİNE
BAĞLI
SINIFLANDIRILMASI’’ adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu
onaylarım.
Prof. Dr. Baki KARLIĞA
……….……………………….
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Mustafa ÇALIŞKAN
……….……………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Prof. Dr. Baki KARLIĞA
……….……………………….
Matematik Anabilim Dalı, G.Ü.
Prof. Dr. Yusuf YAYLI
……….……………………….
Matematik Anabilim Dalı, A.Ü.
Tez Savunma Tarihi: 24/02/2014
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……….……………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Fatıma KÜLÜK
iv
ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ
DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSLERİNE BAĞLI SINIFLANDIRILMASI
(Yüksek Lisans Tezi)
Fatıma KÜLÜK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Şubat 2014
ÖZET
Bu
çalışmada
bir
dörtgenin
gram
matrisinin
karakteristik
değerleri
bulunmuştur. Öklidyen düzlemdeki bazı özel dörtgenlerin, küresel karenin,
hiperbolik Saccheri ve Lambert dörtgenlerinin gram matrislerinin karakteristik
değerleri elde edilmiştir. Ayrıca bu değerler arasındaki bağıntılar incelenmiştir.
Bilim Kodu
Anahtar Kelimeler
Sayfa Adedi
Tez Yöneticisi
: 204.1.049
: Dörtgen, Gram
: 55
: Prof. Dr. Baki KARLIĞA
v
CLASSIFICATIONS WITH RELATED TO GRAM MATRICES OF
QUADRILATERALS IN EUCLIDEAN, SPHERICAL AND HYPERBOLIC
PLANES
(M.Sc. Thesis)
Fatıma KÜLÜK
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
February 2014
ABSTRACT
In this study characteristic values of gram matrix of a quadrilateral are found.
Characteristic values of gram matrices of some special quadrilaterals in
Euclidean plane, spherical square, hyperbolic Sachheri and Lambert
quadrilaterals are obtained. Then correlations of these values are studied.
Science Code
Keywords
Page Number
Supervisor
: 204.1.049
: Quadrilateral, Gram
: 55
: Prof. Dr. Baki KARLIĞA
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla tecrübelerinden faydalandığım
hocam Prof. Dr. Baki KARLIĞA’ya teşekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET………………………………………………………………………………...iv
ABSTRACT…………………………………………………………………………..v
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….vi
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………………...vii
ŞEKİLLERİN LİSTESİ……………………………………………………………...ix
1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1
2. TEMEL KAVRAMLAR…………………………………………………………..2
2.1. Öklid Uzayı...………………………………………………………………….2
2.2. Küresel Uzay…………………………………………………………………..5
2.3. Minkowski Uzayı...……………………………………………………………8
2.4. Hiperbolik Uzay……………………………………………………………...12
2.5. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Uzaylarda Tanımlar………………………14
3. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ
ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİ VE ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ
ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…..16
3.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Çokgenlerin Gram Matrisi………………..16
3.2. Ökldyen Düzlemdeki Çokgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..17
4. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ
DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK
DEĞERLERİ……………………………………………………………………..26
4.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram
Matrisi………………………………………………………………………..26
4.2. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram
Matrisinin Karakteristik Polinomu…………………………………………...27
viii
4.3. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin
Karakteristik Değerleri………………………..................................................28
5. ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM
MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…....................................31
5.1. Öklidyen Düzlemdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..31
5.2. Öklidyen Düzlemdeki Paralelkenarın Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..32
5.3. Öklidyen Düzlemdeki Yamuğun Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..34
5.3.1. Öklidyen düzlemdeki ikizkenar yamuğun gram matrisinin
karakteristik değerleri………………………………………………...36
5.3.2. Öklidyen düzlemdeki dik yamuğun gram matrisinin karakteristik
değerleri……………………………………………………………….37
5.4. Öklidyen Düzlemdeki Deltoidin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..40
5.5. Öklidyen Düzlemdeki Dikdörtgenin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..42
6. KÜRESEL DÜZLEMDEKİ KARENİN GRAM MATRİSİNİN
KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…………………………………….................45
7. HİPERBOLİK DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM
MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ…....................................48
7.1. Hiperbolik Saccheri Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..48
7.2. Hiperbolik Lambert Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri……………………………………………………………………..50
8. SONUÇ…………………………………………………………………………...53
KAYNAKLAR……………………………………………………………………...54
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………55
ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
Şekil 3.1. Çokgen……………………………………………………………………16
Şekil 4.1. Dörtgen…………………………………………………………………...26
Şekil 5.1. Öklidyen paralelkenar……………………………………………………32
Şekil 5.2 Öklidyen yamuk…………………………………………………………...34
Şekil 5.3. Öklidyen ikizkenar yamuk………………………………………………..36
Şekil 5.4 Öklidyen dik yamuk………………………………………………………38
Şekil 5.5 Öklidyen deltoid…………………………………………………………..40
Şekil 5.6. Öklidyen dikdörtgen……………………………………………………...43
Şekil 6.1. Küresel kare………………………………………………………………45
Şekil 7.1. Hiperbolik Saccheri dörtgeni……………………………………………..48
Şekil 7.2. Hiperbolik Lambert dörtgeni……………………………………………..50
1
1. GİRİŞ
Ren Guo ve Ying Wang Öklidyen, küresel ve hiperbolik üçgenlerin gram
matrislerinin karakteristik değerlerini bularak bunlar arasındaki ilişkileri inceledi [1].
Bu çalışmada Öklidyen, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki dörtgenlerin gram
matrislerinin karakteristik değerlerini elde ettik. Ayrıca Öklidyen, küresel ve
hiperbolik düzlemlerdeki bazı özel dörtgenlerin gram matrislerinin karakteristik
değerlerini bularak, bu karakteristik değerler arasındaki bağıntıları inceledik.
2
2.TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Öklid Uzayı
n
⟨, ⟩ : IR n × IR n → IR , ⟨ x, y⟩ = ∑ x i yi şeklindeki iç çarpım ile donatılmış IRn vektör
i =1
uzayı ile eşleşen IRn uzayına n-boyutlu Öklid uzayı denir. Bu uzaydaki iç çarpımdan
doğan norm fonksiyonu
. : IR n → IR + ∪ {0} , x = ⟨ x, x ⟩
şeklinde tanımlanır [2].
2.1. Tanım
x, y ∈ IRn olmak üzere iki vektör arasındaki Öklidyen uzaklık
d E (x, y) = x − y
şeklinde tanımlanır [2,3].
2.2. Tanım
IRn üzerinde tanımlanan dE metriğine Öklid metriği denir [3].
3
2.3. Tanım
[a, b ] ,
IR de kapalı bir aralık ve a < b olmak üzere γ : [ a, b ] → X sürekli
fonksiyonuna X metrik uzayında bir eğri denir. Eğer X=En ise γ eğrisinin lineer
olması için gerek ve yeter şart ∀t ∈ [ a, b ] için
γ (a + t(b − a)) = γ (a) + t( γ (b) − γ (a))
olmasıdır [2].
2.4. Tanım
En nin x, y, z gibi üç noktası için y = x + t(z − x) olacak şekilde bir t ∈ [ 0,1] reel
sayısı varsa bu üç noktaya Öklidyen doğrusaldır denir [2].
2.5. Tanım
[a, b ] , IR de kapalı bir aralık ve a < b olmak üzere α : [ a, b ] → X dönüşümü uzunluk
koruyan sürekli fonksiyon ise α ya X metrik uzayında bir jeodezik yay
denir [2].
2.6. Tanım
Bir X metrik uzayında x, y ∈ X için α : [ a, b ] → X jeodezik yayının görüntüsüne
başlangıç noktası x, bitiş noktası y olan jeodezik doğru parçası denir [2].
4
2.7. Tanım
X bir metrik uzay olsun, x, y ∈ X ayrık çifti için x ve y yi içeren bir tek jeodezik
parça varsa X metrik uzayına jeodezik olarak konvekstir denir [2].
2.8. Tanım
λ : IR → X jeodezik yayına X metrik uzayında jeodezik doğru denir [2].
2.1. Sonuç
En nin jeodezikleri kendisinin doğrularıdır [2].
2.9. Tanım
P,Q ∈ IR 2 için
α : IR → IR 2 , α(t) = (1 − t)P + tQ
dönüşümüne P ve Q noktalarından geçen doğru denir [4].
2.10. Tanım
α : [0,1] → IR 2 dönüşümüne P ve Q ile sınırlı doğru parçası denir [4].
5
2.11. Tanım
H(A, N) = {x ∈ IR n +1 : ⟨ AX, N ⟩ = 0} kümesine IRn+1 in A noktasından geçen ve
normali N olan hiperdüzlemi denir [4].
2.12. Tanım
En Öklidyen uzayda bir koordinat sistemi {x1 , x 2 ,..., x n } olmak üzere
n
∑a x
i
i
+b=0
i =1
ile tanımlanan hiperdüzlem H olsun. En de
n


H1 =  P : ∑ a i x i (P) + b > 0(< 0), P ∈ E n 
 i =1

şeklinde tanımlanan kümeye yarı uzay denir [3]. H ∪ H1 kümesine kapalı yarı uzay
denir [2].
2.2. Küresel Uzay
n-boyutlu küresel geometri için standart model
{
}
Sn = x ∈ IR n : x = 1
ile tanımlanan IRn+1 in Sn birim küresidir. Sn üzerindeki Öklidyen metrik
6
d E (x, y) = x − y
ile verilir. Fakat bu metrik IRn+1 in vektör yapısına dayanılarak verildiğinden Sn ye
özgü bir metrik değildir [2].
2.13. Tanım
x, y ∈ Sn iki vektör ve bu iki vektör arasındaki Öklidyen açı θ(x, y) olsun. x ve y
arasındaki küresel uzunluk
dS (x, y) = θ(x, y)
şeklinde bir reel sayıdır. Burada 0 ≤ dS (x, y) ≤ π ve dS (x, y) = π olması için gerek ve
yeter şart y = − x olmasıdır. Eğer y = − x ise x ve y vektörleri antipodaldir denir
[2,5].
2.1. Teorem
dS küresel uzunluk fonksiyonu Sn üzerinde bir metriktir [2,5].
İspat
[5] den görülür.
2.14. Tanım
dS metriği ile birlikte Sn kümesine n-boyutlu küresel uzay denir [2,5].
7
2.15. Tanım
IRn+1 in iki boyutlu alt vektör uzayı ile Sn nin arakesitine Sn nin büyük çemberi denir.
x, y ∈ Sn lineer bağımsız iki farklı nokta iken V(x, y) = Sp{x, y} olmak üzere
S(x, y) = Sn ∩ V(x, y) kümesine, x ve y noktaları tarafından belirlenen Sn nin büyük
çemberi denir [2].
Sn nin jeodezikleri onun büyük çemberleridir [2].
2.16. Tanım
P, Q ∈ Sn için
α : IR → Sn , α (t) = cos tP + sin t
(Q − ⟨ P, Q⟩ P)
Q − ⟨ P, Q⟩ P
dönüşümüne P ve Q noktalarından geçen küresel doğru denir [4].
2.17. Tanım
α : [0, a] → Sn , α (t) = cos tP +
sin t
(Q − ⟨ P, Q⟩ P) dönüşümüne P ve Q ile sınırlı
sin a
doğru parçası denir[4].
2.18. Tanım
H(A, N) = {x ∈ IR n +1 : ⟨ AX, N⟩ = 0} ∩ Sn
hiperdüzlemi denir [4].
kümesine
Sn
nin
(n-1)-boyutlu
8
2.3. Minkowski Uzayı
V reel vektör uzayı
⟨, ⟩ L : V × V → IR
simetrik, bilineer ve non-dejenere dönüşüme V üzerinde bir Lorentz iç çarpım denir.
(V, ⟨, ⟩ L ) ikilisine de Lorentz uzayı denir [6].
Özel olarak;
⟨, ⟩ L : IR n × IR n → IR , ⟨ x, y⟩ L = −x1 y1 + ... + x n −1 yn −1 + x n yn
şeklindeki iç çarpım ile donatılmış IRn uzayına Minkowski uzayı denir ve IR 1n ile
gösterilir.
Bundan sonra bu tezde Minkowski uzayı yerine Lorentz uzayı kullanılacaktır.
1
. : IR n → IR + ∪ {0} , x = ⟨ x, x ⟩ 2
şeklinde tanımlı fonksiyona Lorentz norm denir.
2.19. Tanım
d L : IR 1n × IR 1n → IR + ∪ {0} , d L (x, y) = x − y
şeklinde tanımlı dL fonksiyonuna Lorentz metriği denir [2].
9
2.20. Tanım
⟨ x, x⟩ > 0 ise uzay benzeri (spacelike), ⟨ x, x⟩ < 0 ise zaman benzeri (timelike) ve
⟨ x, x⟩ = 0 ise ışık benzeri (lightlike veya null) vektörler denir [2].
2.21. Tanım
C n −1 = {x ∈ IR 1n : ⟨ x, x ⟩ = 0 } kümesine ışık konisi denir. {x ∈ IR 1n : ⟨ x, x ⟩ > 0} ve
{x ∈ IR 1n : ⟨ x, x ⟩ < 0} kümelerine de sırasıyla Cn-1 in içi ve dışı denir [2,7,8]
2.22. Tanım
x zaman benzeri vektörü x1 > 0 özelliğini sağlıyorsa pozitif zaman benzeri
(timelike), x1 < 0 özelliğini sağlıyorsa negatif zaman benzeri (timelike) vektör denir
[2,7,8]
2.23. Tanım
∀x, y ∈ IR 1n , x ≠ 0 ve y ≠ 0 için ⟨ x, y⟩ L = 0 oluyorsa x, y vektörlerine Lorentz
ortogonaldir denir [6].
2.2. Teorem
x, y vektörleri, IR 1n de sıfırdan farklı Lorentz ortogonal iki vektör olsun. Eğer x
vektörü zaman benzeri ise y vektörü uzay benzeridir [2].
10
İspat
[2] sayfa 60-61 den görülebilir.
2.1. Önerme
IR 1n nin bir V alt vektör uzayının;
(i) Zaman benzeri olması için gerek ve yeter şart V nin en az bir zaman benzeri
vektöre sahip olmasıdır.
(ii) Uzay benzeri olması için gerek ve yeter şart V deki sıfırdan farklı her vektörün
uzay benzeri olmasıdır.
(iii) Işık benzeri olması için gerek ve yeter şart V deki sıfırdan farklı her vektör için
⟨ x, x⟩ L = 0 olmasıdır [2,8].
İspat
[2] sayfa 61 den görülebilir.
2.24. Tanım
x ve y, IR 1n de pozitif (negatif ) zaman benzeri iki vektör iken
⟨ x, y⟩ L = − x
y cosh η(x, y)
olacak şekilde negatif olmayan bir tek η(x, y) reel sayısı vardır. η(x, y) reel sayısına
Lorentz zaman benzeri (timelike) açı denir [2,7].
11
2.25. Tanım (Timelike vektörler arasındaki timelike açı)
x ve y Rn nin pozitif (negatif) timelike vektörleri olsun. η(x, y) negatif olmayan bir
reel sayı olmak üzere
⟨ x, y⟩ L = x
y cosh η(x, y)
dir. Buna göre x ve y arasındaki Lorentz timelike açı η(x, y) dir. Eğer η(x, y) = 0
ise x ve y birbirlerinin pozitif skalar çarpımıdır [2].
2.26. Tanım (Spacelike vektörler arasındaki spacelike açı)
x ve y , IR n +1 in spacelike vektörleri olsun. Böylece 0 ve π arasında bir tek η(x, y)
reel sayısı vardır ki
⟨ x, y⟩ L = x
y cosh η(x, y)
dir. η(x, y) x ve y arasındaki Lorentz spacelike açı olarak tanımlanır [2].
2.27. Tanım (Spacelike vektörler arasındaki timelike açı)
x ve y, timelike alt vektör uzayı tarafından gerilen IR n +1 in spacelike vektörleri
olsunlar. Bir tek η(x, y) reel sayısı vardır ki
⟨ x, y⟩ L = x
y cosh η(x, y)
dir. η(x, y) reel sayısına x ve y arasındaki Lorentz timelike açı denir [2].
12
2.28. Tanım (Timelike ve spacelike vektörler arasındaki açı)
IR n +1 de x spacelike vektör ve y pozitif timelike vektör olsun. Böylece bir tek negatif
olmayan η(x, y) reel sayısı vardır ki
⟨ x, y⟩ L = x
y sinh η(x, y)
dir. x ve y arasındaki Lorentz timelike açı η(x, y) ile tanımlanır [2].
2.4. Hiperbolik Uzay
{
}
H 0n = x ∈ IR 1n +1 : ⟨ x, x ⟩ = −1 uzayının iki bağlantılı bileşeni H 0,n + ve H 0,n − olmak
üzere, bu bileşenlerin her biri n-boyutlu hiperbolik uzayın modeli olarak alınabilir.
Biz literatüre bağlı kalarak hiperbolik uzayın modeli olarak pozitif bileşeni göz
önüne alacağız, yani H 0,n + = H n ⊂ IR 1n +1 olarak alacağız [2].
2.29. Tanım
x, y ∈ H n ⊂ IR 1n +1 ve x ile y arasındaki Lorentz zaman benzeri açı η(x, y) olsun. x ve
y arasındaki hiperbolik uzunluk
d H (x, y) = η(x, y)
şeklinde tanımlı bir reel sayıdır.
⟨ x, y⟩ L = − x
y cosh η(x, y) olduğundan
13
cosh dH (x, y) = −⟨ x, y⟩ L
olur [2,8].
2.3. Teorem
d H hiperbolik uzunluk fonksiyonu H n üzerinde bir metriktir [2].
İspat
[2] den görülebilir.
2.30. Tanım
d H metriği ile birlikte H n uzayı hiperbolik n-uzay olarak adlandırılır [2].
2.31. Tanım
H n nin bir doğrusu IR 1n +1 in iki boyutlu zaman benzeri alt vektör uzayı ile H n nin
arakesitidir. x, y ∈ Hn vektörleri IR n +1 in V(x,y) ile gösterilen iki boyutlu bir zaman
benzeri alt uzayını gererler. Böylece L(x, y) = Hn ∩ V(x, y) , x den geçen y yi içeren
H n nin doğrusudur [2].
Buna göre Hn nin jeodezikleri onun doğrularıdır.
14
2.32. Tanım
P,Q ∈ Hn için
α : IR → Hn , α (t) = cosh tP + sinh t
(Q + ⟨ P, Q⟩ P)
Q + ⟨ P, Q⟩ P
dönüşümüne P ve Q noktalarından geçen hiperbolik doğru denir [4].
2.33. Tanım
α :[0,a] → Hn , α (t) = cosh tP +
sinh t
(Q + ⟨ P, Q⟩ P) dönüşümüne P ve Q ile sınırlı
sinh a
hiperbolik doğru parçası denir [4].
2.34. Tanım
H(A, N) = {x ∈ IR n +1 : ⟨ AX, N⟩ = 0} ∩ H n
kümesine
Hn
nin
(n-1)-boyutlu
hiperdüzlemi denir [4].
2.35. Tanım
H n nin bir hiperbolik 1-düzlemi onun hiperbolik doğruları, hiperbolik (n-1)-düzlemi
onun hiperdüzlemi olarak adlandırılır [2].
2.5. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Uzaylarda Tanımlar
Aşağıda vereceğimiz tanımlarda X = En, Sn, Hn olarak alınacaktır.
15
2.36. Tanım
X in bir alt kümesi C olsun. Her x, y ∈ C ayrık çifti için x ve y yi içeren doğru
parçası C de kalıyorsa ( X = Sn için y ≠ x ), C kümesine konveks küme denir [2].
2.37. Tanım
X de bir konveks alt küme C olsun. ∂C nin boştan farklı en büyük konveks alt
kümesine C nin bir kenarı denir [2].
2.38. Tanım
X de bir konveks polihedron, boştan farklı sonlu sayıda Hi kapalı yarı uzaylarının
arakesitinden oluşur ve
k
P = ∩ Hi
i =1
şeklinde ifade edilir [8].
16
3. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ
ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİ VE ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ
ÇOKGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ
3.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Çokgenlerin Gram Matrisi
N1
Nn
P1
P2
N2
l1
Nn - 1
ln - 1
l2
P3
Pn
ln
l3
N3
Pn - 1
P4
Şekil 3.1. Çokgen
P1P2 … Pn Öklidyen ise N1, N2, … Nn ler [P1P2], [P2P3], … [PkP1] larının dış birim
normalleri, küresel veya hiperbolik ise Ni ler ayrıtların bulunduğu düzlemlerin dış
birim normalleri olmak üzere;
<Ni, Ni> = 1
<Ni, Ni + 1> = –cosθi
<Ni, Nj> = 0, i ≠ j ≠ i + 1
 1 , j=i

<Ni, Nj> = gij =  − cos θi , j = i + 1
 0 , i ≠ j ≠ i +1

17
3.1. Tanım
Gn = [gij]nxn matrisine n–genin gram matrisi denir [1].
 1
 − cos θ
1

Gn =  0

 0
 − cos θn
− cos θ1
1
0
0
− cos θ2
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
⋮ ⋮ ⋮
0
0
0
0 0 0
1
0 0 0 − cos θn −1





− cos θn −1 

1
− cos θn
0
0
(3.1)
i = 1,2,…,n için cosθi = ci olmak üzere Eş. 3.1 de verilen Gn matrisi aşağıdaki gibi
yazılabilir.
 1
 −c
 1
Gn =  0

 0
 −cn
−c1
1
0
0
−c 2
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
⋮ ⋮ ⋮
0
0
0
0 0 0
1
0 0 0 −c n −1





−c n −1 
1 
−c n
0
0
(3.2)
3.2. Öklidyen Düzlemdeki Çokgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri
3.1. Lemma
n ≥ 4 için µ1, …, µn Gn gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere;
n n 2
µ
µ
=
ci
∑ i j 2 − ∑
1≤i< j≤ n
  i=1
(3.3)
18
n
n
µ
µ
µ
=
−
(n
−
2)
ci 2
∑
∑
i j k
3 
1≤i< j< k ≤ n
i =1
 
(3.4)
dir [1].
İspat
Eş. 3.2 de verilen Gn gram matrisinin karakteristik polinomu
det(Gn – µI) = (–1)n (µ – µ1) (µ – µ2) (µ – µ3)…(µ – µn)
= (–1)n (µn – σ1µn – 1 + σ2µn – 2 – σ3µn – 3 + …)
şeklindedir. Burada
σ2 =
∑
µi µ j
1≤i < j≤ n
σ3 =
∑
µi µ jµ k
µi µ j =
∑
0 ≤i < j< k ≤ n
dir.
∑
1≤i < j≤ n
1≤i < j≤ n
g ii
g ji
gij
g jj
Gn nin bütün ikinci sıra köşegen minörlerinin toplamı ve
(3.5)
19
∑
µi µ jµ k =
0 ≤i < j< k ≤ n
∑
1≤i < j< k ≤ n
g ii
g ji
g ij
g jj
g ik
g jk
g ki
g kj
g kk
(3.6)
Gn nin bütün üçüncü sıra köşegen minörlerinin toplamı olduğundan Eş. 3.3 ve Eş. 3.4
ü göstermek için Eş. 3.5 ve Eş. 3.6 hesaplanmalıdır.
Gn nin 2x2 tipindeki asli alt matrisleri aşağıdaki şekildedir.
PSij =
gii
g ji
gij
g jj
Eğer iki satır yan yana yani j = i + 1 ise
PSij =
1
−ci
−ci
1
şeklindedir. Buradan
det (PSij) = 1 – ci2
dir ve bu şekilde n-tane (i, j) ikilisi vardır. Eğer iki satır yan yana değilse
PSij =
1 0
0 1
şeklindedir. Buradan
20
det (PSij) = 1
n
dir ve bu şekilde   – n tane (i, j) ikilisi vardır. Bu değerleri Eş. 3.5 te yerine
2
yazarak;
∑
µi µ j =
1≤i < j≤ n
∑ (1 − c
2
i
1≤i≤ n
n
n n
) +   − n =   − ∑ ci 2
2
 2  i=1
elde edilir.
Eş. 3.4 ü göstermek için Gn nin
ijk
PS
g ii
= g ji
g ij
g jj
g ik
g jk
g ki
g kj
g kk
3 × 3 tipindeki asli alt matrisleri incelenir. Bu şekildeki matrislerin determinantlarını
hesaplamak için üç farklı duruma bakılır. İlk olarak üç satırın yan yana olması yani
k = j + 1 = i + 2 durumunda
ijk
PS
−1
= −ci
0
−ci
1
0
−c j
−c j
1
şeklindedir. Buradan
det(PSijk) = 1 – ci2 – cj2 = 1 – ci2 – ci + 12
21
dir ve bu durumu sağlayan n-tane (i, j, k) üçlüsü vardır. İkinci olarak iki satır yan
yana ve üçüncünün her ikisinin de yanında olmaması yani j = i + 1, k ≠ i – 1, k ≠ j+ 1
durumunda
ijk
PS
−1
= −ci
0
−ci
1
0
0
0
1
şeklindedir. Buradan
det(PSijk) = 1 – ci2
dir ve i–inci satırı seçmek için n farklı yol ve her bir i–inci satır için (n – 4) tane olası
k vardır. Üçüncü olarak herhangi iki satırın yan yana olmaması yani birinci durumun
da ikinci durumun da olmaması durumunda
ijk
PS
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1
şeklindedir. Buradan
det(PSijk) = 1
n
dir ve bu durumu sağlayan   − n − n(n − 4) tane (i, j, k) üçlüsü vardır. Bu değerleri
3 
Eş. 3.6 da yerine yazarak;
22
∑
1≤i < j< k ≤ n
µi µ jµk = (n − 2) ∑ ci 2 +
1≤i ≤ n
∑ (n − 4)(1 − c
i
1≤i ≤ n
2
n
) +   − n − n(n − 4)
3 
n
n
=   − (n − 2)∑ ci 2
i =1
3 
elde edilir [1].
3.1. Teorem
n ≥ 4 için µ1 ≤ µ2 ≤ … ≤ µn Gn matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere;
n
n
(i) n – çift iken   − n ≤ ∑ µi µ j ≤   ve
i< j
2
2
n
n
 3  − (n − 2)n ≤ ∑ µi µ jµk ≤  3  .
i < j< k
 
 
∑µ µ
i
j
ve
i< j
∑µµµ
i
j
k
değerlerinin her ikisinin
i < j< k
de minimum olması için gerek ve yeter şart n–genin bir doğru parçasına
dönüşmesidir. Maksimum olması için gerek ve yeter şart n–genin açılarının;
π
π 3π
3π
,..., ,
,...,
şeklinde olmasıdır.
2
2 2
2
n
+2
2
n
−2
2
n
n
(ii) n tek ve n ≥ 7 iken,   − n ≤ ∑ µi µ j ≤   − 1 ve
i< j
2
2
n
n
  − (n − 2)n ≤ ∑ µi µ jµk ≤   − (n − 2).
i < j< k
3 
3 
∑µ µ
i
i< j
j
ve
∑µµµ
i
j
k
değerlerinin her
i < j< k
ikisinin de minimum olması için gerek ve yeter şart n–genin bir doğru parçasına
dönüşmesidir. Maksimum olması için gerek ve yeter şart n–genin açılarının;
0<a <
(2k − 1)π
, k = 1, 2, 3, 4 için
2
23
a,
(2k − 1)π
π
π 3π
3π
π
π 3π
3π
− a, ,..., , ,...,
veya 0, ,..., , ,...,
2
2
2 2
2
2
2 2
2
n + 2k −3
2
n − 2k −1
2
n +1
2
n −3
2
şeklinde olmasıdır.
(iii) n = 5 iken
∑µ µ
i
j
ve
i< j
∑µµµ
i
j
k
değerlerinin üst sınırları sırasıyla
i < j< k
n
n
3π
2 2π
2 2π
ve   − (n − 2) 5cos
tir ve bu θ1 = …= θ5 =
olduğunda
  5cos
5
5
5
3 
 2
gerçekleşir.
∑µ µ
i
j
ve
i< j
∑µµµ
i
j
k
değerlerinin alt sınırları ise (ii) deki ile aynıdır
i < j< k
[1].
İspat
Lemma 3.1 e göre, Teorem 3.1 i ispatlamak için
n


Ω En = ( θ1 , θ 2 ,..., θ n ) ∑ θi = (n − 2) π, 0 ≤ θi ≤ 2 π, i = 1,..., n 
i =1


n
kompakt kümesi üzerinde tanımlı f = ∑ ci 2 fonksiyonunun ekstremum değerleri
i =1
bulunmalıdır.
n
0 ≤ ∑ ci 2 ≤ n
i =1
olduğu açıktır. n–gen (0, 0, π, …, π) açıları ile bir doğru parçasına dönüştüğünde üst
n
sınır yani
∑c
i =1
2
i
= n olur.
24
π
3π
veya
iken alt sınır yani
2
2
1 ≤ i ≤ n için θi =
n
∑c
2
i
= 0 olur. n1 ve n2 sırasıyla
i =1
π
3π
ve
ölçülü açıların sayılarını göstermek üzere
2
2
n1 + n2 = n
π
3π
n1 . + n 2 . = (n − 2)π
2
2
Buradan
n1 =
n
+ 2 ve
2
n2 =
n
−2
2
bulunur. n1 ve n2 tam sayı olduğundan n nin çift olması gerekir. n=4 iken bu açılar
bir dikdörtgene ait olur. n=6 iken bu açılar büyük bir dikdörtgenin köşesinden küçük
bir dikdörtgen çıkarılarak elde edilen çokgene aittir. Bu çıkarma işlemine devam
ederek bu açıları sağlayan (n çift) n–gen oluşturulabilir. Bu şekildeki bir n–gen tek
değildir.
n
n tek iken
∑c
2
i
nin minimumunu incelemek için ΩEn kompakt kümesinde
i =1
n
f = ∑ ci 2 fonksiyonu tanımlansın. Lagrange çarpım metoduyla bir kritik nokta için
i =1
aşağıdaki durumlar elde edilir.
25
Herhangi i, j ve θi ∈ ΩEn için sin2θi=sin2θj yani θi=θj veya
θi+θj=
π 3π 5π
7π
,
,
veya
2 2 2
2
Her i, j için θi=θj ise f=ncos2
(n − 2)π
2π
2π
= n cos2
> 1 , fakat n ≥ 7 ise 5cos2
<1
n
n
5
k = 1, 2, 3 veya 4 için θi + θj =
(2k − 1)π
eşitliğini sağlayan en az bir çift θi ve θj
2
varsa ci2 + cj2 = 1 olacağından f ≥ 1 dir.
ΩEn sınırındaki f değerlerini alarak, örneğin bir yüzü olarak θi = 0 yani ci = 1, f ≥ 1
elde edilir.
Özetle n = 5 iken fmin = 5cos2
2π
3π
< 1 değeri, i = 1,…,5 için θi =
olduğunda
5
5
sağlanır. n ≥ 7 ve tek iken fmin = 1 ve bunu sağlayan pek çok durum vardır.
Bunlardan bir örnek 0 < a <
a,
(2k − 1)π
, k = 1, 2, 3, 4 için
2
(2k − 1)π
π
π 3π
3π
− a, ,..., , ,...,
2
2
2 2
2
n + 2k −3
2
açılı
n–gendir.
n − 2k −1
2
π
π 3π
3π
0, ,..., , ,...,
açılarına sahip n–gendir [1].
2
2 2
2
n +1
2
n −3
2
Bir
diğer
örnek
ise
26
4. ÖKLİDYEN, KÜRESEL VE HİPERBOLİK DÜZLEMLERDEKİ
DÖRTGENLERİN GRAM MATRİSİNİN KARAKTERİSTİK
DEĞERLERİ
4.1. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram Matrisi
N4
P4
θ3
l4
P1
θ4
l3
N3
l1
N1
θ1
l2
P2
θ2
P3
N2
Şekil 4.1. Dörtgen
Eş. 3.2 de özel olarak n = 4 alındığında bir dörtgenin gram matrisi ci ler cinsinden
aşağıdaki gibi elde edilir.
 1
 −c
G4 =  1
 0

 −c 4
−c1
0
1
−c 2
−c 2
1
0
−c3
−c 4 
0 
−c3 

1 
(4.1)
27
4.2. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram
Matrisinin Karakteristik Polinomu
Eş. 4.1 de verilen G4 matrisinin karakteristik polinomu ci ler cinsinden aşağıdaki gibi
yazılabilir.
PG 4 (µ ) = det(G4 –µI)
=µ4 – 4µ3 + (6 – c12 – c22 – c32 – c42) µ2 + (2c12 + 2c22 + 2c32 + 2c42 – 4) µ
+ 1 – c12 – c22 – c32 – c42 + c12c22 + c22c32 – 2c1c2c3c4
(4.2)
Diğer yandan G4 matrisinin µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri cinsinden
karakteristik polinomu aşağıdaki şekildedir.
PG 4 (µ) = (µ – µ1) (µ – µ2) (µ – µ3) (µ – µ4)
=µ4 – (µ1 + µ2 + µ3 + µ4)µ3 + (µ1µ2 + µ1µ3 + µ1µ4 + µ2µ3 + µ2µ4 + µ3µ4)µ2
– (µ1µ2µ3 + µ1µ2µ4 + µ1µ3µ4 + µ2µ3µ4)µ – µ1µ2µ3µ4
(4.3)
Eş. 4.2 ve Eş. 4.3 ten µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri aşağıda eşitlikleri sağlar.
µ1 + µ2 + µ3 + µ4 = 4
µ1µ2 + µ1µ3 + µ1µ4 + µ2µ3 + µ2µ4 + µ3µ4 = 6 – c12 – c22 – c32 – c42
(4.4)
µ1µ2µ3 + µ1µ2µ4 + µ1µ3µ4 + µ2µ3µ4 = 4 – 2c12 – 2c22 – 2c32 – 2c42
(4.5)
µ1µ2µ3µ4 = 1 – c12 – c22 – c32 – c42 + c12c32 + c22c42 – 2c1c2c3c4
(4.6)
28
4.3. Öklidyen, Küresel ve Hiperbolik Düzlemlerdeki Dörtgenlerin Gram
Matrislerinin Karakteristik Değerleri
f = c12 + c22 + c32 + c42, g = c12c32 + c22c42 – 2c1c2c3c4 = (c1c3 – c2c4)2
(4.7)
alarak Eş. 4.2 de yerine yazılırsa
PG 4 (µ) = µ4 – 4µ3 + (6 – f) µ2 + (2f – 4)µ + 1 – f + g
(4.8)
bulunur.
Eş. 4.8 de µ = λ + 1 dönüşümü uygulanarak
λ4 – fλ2 + g = 0
(4.9)
elde edilir. Eş. 4.9 un λ1, λ2, λ3, λ4 kökleri
λ1 = −
λ2 = −
λ3 =
f + f 2 − 4g
2
f − f 2 − 4g
2
f − f 2 − 4g
2
,
,
,
29
λ4 =
f + f 2 − 4g
2
şeklinde bulunur. Bunları µ = λ + 1 dönüşümünde kullanarak G4 ün µ1, µ2, µ3, µ4
karakteristik değerleri
µ1 = 1 −
µ2 = 1 −
µ3 = 1 +
µ4 = 1 +
f + f 2 − 4g
2
f − f 2 − 4g
2
f − f 2 − 4g
2
,
,
,
f + f 2 − 4g
(4.10)
2
şeklinde elde edilir. f ve g nin Eş. 4.7 deki değerleri Eş. 4.10 da yerine yazılarak G4
ün karakteristik değerleri aşağıdaki gibi bulunur.
µ1 = 1 −
µ2 = 1 −
cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 + (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 )
2
,
cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 − (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 )
2
,
30
µ3 = 1 +
µ4 = 1 +
cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 − (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 )
2
cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 + (cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ3 + cos 2 θ4 ) 2 − 4(cos θ1 cos θ3 − cos θ2 cos θ4 )
2
Bu karakteristik değerler sıralanmak istenirse
µ1 ≤ µ2 ≤ µ3 ≤ µ4
olur.
,
.
31
5. ÖKLİDYEN DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM
MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ
5.1. Öklidyen Düzlemdeki Dörtgenlerin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri
Öklidyen düzlemdeki bir dörtgenin µ1, µ2, µ3, µ4 karakteristik değerleri için
h(µ1 , µ 2 , µ3 , µ4 ) =
∑ µ µ , t(µ1 , µ2 , µ3 , µ4 ) = ∑ µ µ µ
i
j
i< j
i
j
k
, s(µ1 , µ2 , µ3 , µ4 ) = µ1µ2 µ3µ4
i < j< k
olmak üzere;
Eş. 4.4 ve Eş. 4.7 den h (µ1,µ2,µ3,µ4) = 6 – f
(5.1)
Eş. 4.5 ve Eş. 4.7 den t(µ1,µ2,µ3,µ4) = 4 – 2f
(5.2)
Eş. 4.6 ve Eş. 4.7 den s(µ1,µ2,µ3,µ4) = 1 – f + g
(5.3)
dir.
Teorem 3.1 den n = 4 özel hali için aşağıdaki teorem verilebilir.
5.1. Teorem
2 ≤ h ≤ 6 ve –5 ≤ t ≤ 4 tür. h ve t fonksiyonlarının minimum değerini alması için
gerek ve yeter şart dörtgenin bir doğru parçasına dönüşmesidir ve maksimum
değerini alması için gerek ve yeter şart dörtgenin açılarının θ1 = θ2 = θ3 = θ4 =
şeklinde olmasıdır.
π
2
32
5.2. Öklidyen Düzlemdeki Paralelkenarın Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri
5.1. Tanım
Öklidyen düzlemde karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene Öklidyen paralelkenar
denir [9].
N
P1
l4 = l2
θ4
N1
θ3
l3 = l1
θ1
l2
P2
P4
N3
θ2
P3
N2
Şekil 5.1. Öklidyen paralelkenar
Öklidyen paralelkenarın açıları 0 < θ < π için θ1 = θ, θ2 = π – θ, θ3 = θ, θ4 = π – θ
şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = 4cos2θ, g = 0
(5.4)
bulunur. Eş. 5.4 teki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
µ1 = 1 – 2cosθ,
µ2 = µ3 = 1,
µ4 = 1 + 2cosθ
(5.5)
33
elde edilir.
Eş. 5.5 ten aşağıdaki sonuç verilebilir.
5.1. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen paralelkenarın gram matrisinin karakteristik değerleri
olmak üzere;
(i) –1 < µ1, µ4 < 3,
(ii) µ2 = µ3 = 1
dir.
Eş. 5.4 teki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
h = 6 – 4cos2θ,
t = 4 – 8cos2θ = –4cos2θ,
s = 1 – 4cos2θ
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
5.2. Sonuç
Öklidyen paralelkenarın gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak
üzere;
(i) 2 < h < 6,
(ii) –4 < t< 4,
34
(iii) –3 < s < 1.
5.3. Öklidyen Düzlemdeki Yamuğun Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri
5.2. Tanım
Öklidyen düzlemde yalnız iki kenarı paralel olan dörtgene Öklidyen yamuk denir.
Paralel olan kenarlar yamuğun tabanları, diğer kenarlar ise yamuğun yan kenarları ya
da kollarıdır [9].
N4
P1
θ4
N1
l4
l1
θ1
θ3
P4
l3
l2
N3
θ2
P2
P3
N2
Şekil 5.2. Öklidyen yamuk
Öklidyen yamuğun açıları θ1 = θ1, θ2 = θ2, θ3 = π – θ2 ve θ4 = π – θ1 şeklindedir. Bu
değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak;
f = 2(cos2θ1 + cos2θ2) = 2 + cos2θ1 + cos2θ2, g = 0
bulunur. Eş. 5.6 daki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
(5.6)
35
µ1 = 1 − 2(cos 2 θ1 + cos 2 θ2 ) = 1 − 2 + cos 2θ1 + cos 2θ2 ,
µ2 = µ3 = 1,
µ4 = 1 + 2(cos 2 θ1 + cos 2 θ2 ) = 1 + 2 + cos 2θ1 + cos 2θ2
(5.7)
elde edilir.
Eş. 5.7 den aşağıdaki sonuç verilebilir.
5.3. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri olmak
üzere;
(i) –1 < µ1 < 1,
(ii) µ2 = µ3 = 1,
(iii) 1 < µ4 < 3
tür.
Eş. 5.6 daki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
h = 4 – cos2θ1 – cos2θ2,
t = –2(cos2θ1 + cos2θ2),
s = –1 + cos2θ1 + cos2θ2
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
36
5.4. Sonuç
Öklidyen yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere;
(i) 2 < h < 6,
(ii) –4 < t < 4,
(iii) –3 < s < 1.
5.3.1. Öklidyen düzlemdeki ikizkenar yamuğun gram matrisinin karakteristik
değerleri
5.3. Tanım
Yan kenarlarının uzunlukları eşit olan Öklidyen yamuğa Öklidyen ikizkenar yamuk
denir [9].
N4
P1
θ4
N1
l4
l1
θ1
θ3
P4
N3
l3 = l1
l2
P2
θ2
P3
N2
Şekil 5.3. Öklidyen ikizkenar yamuk
37
Öklidyen ikizkenar yamuğun açıları θ1 = θ, θ2 = θ, θ3 = π – θ, θ4 = π – θ şeklindedir.
Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = 4cos2θ, g = 0
(5.8)
bulunur.
Eş. 5.8 ve Eş. 5.4 aynı olduğundan aşağıdaki sonuç verilebilir.
5.5. Sonuç
Öklidyen paralelkenar ve Öklidyen ikizkenar yamuğun herhangi bir açıları θ olmak
üzere; gram matrislerinin karakteristik değerleri aynıdır.
5.3.2. Öklidyen düzlemdeki dik yamuğun gram matrisinin karakteristik
değerleri
5.4. Tanım
Yan kenarlarından biri tabanlarına dik olan Öklidyen yamuğa Öklidyen dik yamuk
denir [9].
38
N4
P1
θ4
l4
θ3
N3
l3
l1
N1
P4
θ1
l2
P2
θ2
P3
N2
Şekil 5.4. Öklidyen dik yamuk
Öklidyen dik yamuğun açıları θ1 =
π
π
, θ2 = θ, θ3 = π – θ, θ4 =
şeklindedir. Bu
2
2
değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak;
f = 2cos2θ, g = 0
(5.9)
bulunur. Eş. 5.9 daki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
µ1 = 1 –
2 cosθ,
µ2 = µ3 = 1,
µ4 = 1 +
2 cosθ
elde edilir.
Eş. 5.10 dan aşağıdaki sonuç verilebilir.
(5.10)
39
5.6. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen dik yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri
olmak üzere;
(i) 1 –
2 < µ1,µ4 < 1 +
2,
(ii) µ2 = µ3 = 1.
dir.
Eş. 5.9 daki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
h = 6 – 2cos2θ,
t = 4 – 4cos2θ = 4sin2θ,
s = 1 – 2cos2θ = –cos2θ
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
5.7. Sonuç
Öklidyen dik yamuğun gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak
üzere;
(i) 4 < h < 6,
(ii) 0 < t < 4,
(iii) –1 < s < 1.
40
5.4. Öklidyen Düzlemdeki Deltoidin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri
5.5. Tanım
Öklidyen düzlemde köşegenlerinden biri iki ikizkenar üçgenin tabanı olan dörtgene
“Öklidyen deltoid” denir [9].
P1
N1
θ4
l4 = l1
l1
P2
N4
θ3 P 4
θ1
l3 = l2
l2
N2
θ2
N3
P3
Şekil 5.5. Öklidyen deltoid
Öklidyen deltoidin açıları θ1 = θ1, θ2 = θ2, θ3 = θ1 ve θ4 = θ4 şeklindedir. Bu değerler
Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = 2cos2θ1 + cos2θ2 + cos2θ4, g = (2cos2θ1 – cosθ2cosθ4)2
(5.11)
bulunur. Eş. 5.11 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
µ1 = 1 −
2 cos 2 θ1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ 4 +
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ 2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2
2
,
41
µ2 = 1 −
1
4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2
2
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2 + cos 2θ4 ,
µ3 = 1 +
1
4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2
2
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 )2 + cos 2θ4 ,
µ4 = 1 +
2 cos 2 θ1 + cos 2 θ 2 + cos 2 θ 4 +
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2
2
2 θ1 + θ 2 + θ 4 = 2 π ⇒ θ1 = π −
.
(5.12)
θ2 + θ4
θ + θ4
⇒ cos θ1 = − cos 2
2
2
eşitliği Eş. 5.12 de yerine yazılarak
1 + cos 2 θ2 + cos 2 θ4 +
( cos
µ1 = 1 −
2
2
 θ + θ4
θ2 + cos 2 θ4 ) + 4(cos θ2 + cos θ4 )2 cos 2  2
 2

 + cos(θ2 + θ4 )

2
µ2 = 1 −
1
4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2
2
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 ) 2 + cos 2θ4 ,
µ3 = 1 +
1
4 + 2 cos 2θ1 + cos 2θ2 − 2
2
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ4 )2 + cos 2θ4 ,
µ4 = 1 +
2 cos 2 θ1 + cos 2 θ 2 + cos 2 θ4 +
( 4 cos
2
θ1 + (cos θ2 − cos θ4 ) 2 ) (cos θ2 + cos θ 4 ) 2
2
elde edilir.
Eş. 5.11 deki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
,
42
h = 6 – 2cos2θ1 – cos2θ2 + cos2θ4,
t = 4 – 4cos2θ1 – 2cos2θ2 – 2cos2θ4,
s = 1 – (2cos2θ1 + cos2θ2 + cos2θ4) + (2cos2θ1 – cosθ2cosθ4)2
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
5.8. Sonuç
Öklidyen deltoidin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere;
(i) 2 < h < 6,
(ii) –4 < t < 4.
5.5. Öklidyen Düzlemdeki Dikdörtgenin Gram Matrisinin Karakteristik
Değerleri
5.6. Tanım
Açıları dik açı olan Öklidyen paralelkenara Öklidyen dikdörtgen denir [9].
43
N4
P1
θ4
N1
l4 = l2
l3 = l1
l1
θ1
P2
P4
θ3
l2
N3
θ2
P3
N2
Şekil 5.6. Öklidyen dikdörtgen
Öklidyen dikdörtgenin iç açıları θ1 = θ2 = θ3 = θ4 =
π
şeklindedir. Bu değerler
2
Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = 0, g = 0
(5.13)
bulunur. Eş. 5.13 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = 1
elde edilir.
Eş. 5.14 ten aşağıdaki sonuç verilebilir.
5.9. Sonuç
Öklidyen dikdörtgenin gram matrisinin karakteristik değerleri
(5.14)
44
µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = 1 dir.
Eş. 5.13, Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Teorem 5.1 den
h = 6,
t=4
bulunur.
Eş. 5.13 ve Eş. 5.3 ten aşağıdaki sonuç elde edilir.
5.10. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir Öklidyen dikdörtgenin gram matrisinin karakteristik değerleri olmak
üzere;
s =1.
45
6. KÜRESEL DÜZLEMDEKİ KARENİN GRAM MATRİSİNİN
KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ
6.1. Tanım
Bütün açıları ve kenar uzunlukları eş olan küresel dörtgene Küresel kare denir [10].
N4
P1
N1
θ4
l4 = l1
θ3
P4
l3 = l1
l1
θ1
P2
l2 = l1
N3
θ2
P3
N2
Şekil 6.1. Küresel kare
Küresel karenin açıları
π
< θ < π için θ1 = θ2 = θ3 = θ4 = θ şeklindedir. Bu değerler
2
Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = 4cos2θ, g = 0
bulunur. Eş. 6.1 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
(6.1)
46
µ1 = 1 – 2cosθ,
µ2 = µ3 = 1,
µ4 = 1 + 2cosθ
(6.2)
elde edilir. Eş. 6.2 den aşağıdaki sonuç verilebilir.
6.1. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir küresel karenin gram matrisinin karakteristik değerleri olmak üzere;
(i) 1 < µ1 < 3,
(ii) µ2 = µ3 = 1,
(iii) –1 < µ4 < 1
dir.
Eş. 6.1 deki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
h = 6 – 4cos2θ,
t = 4 – 8cos2θ = –4cos2θ,
s = 1 – 4cos2θ
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
6.2. Sonuç
Küresel karenin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4 olmak üzere;
47
(i) 2 < h < 6,
(ii) –4 < t < 4,
(iii) –3 < s < 1.
48
7. HİPERBOLİK DÜZLEMDEKİ BAZI ÖZEL DÖRTGENLERİN GRAM
MATRİSLERİNİN KARAKTERİSTİK DEĞERLERİ
7.1. Hiperbolik Saccheri Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri
7.1. Tanım
Bir P1P2P3P4 dörtgeni için P1P2 ve P3P4 kenarları eşit uzunlukta ve P2P3 tabanına dik
olsun. P1P4 kenarı üst taban veya tepe olmak üzere; P1 ve P4 tepe açıları eş ve dar
açılar ise bu dörtgene Hiperbolik Saccheri dörtgeni denir [2].
N4
P1
θ4
P2
θ3
l4
θ1
N3
l3 = l1
l1
N1
P4
l2
θ2
P3
N2
Şekil 7.1. Hiperbolik Saccheri dörtgeni
Hiperbolik Saccheri dörtgeninin açıları 0 < θ <
π
π
için θ1 = θ2 =
,
2
2
θ3 = θ4 = θ şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = 2cos2θ, g = 0
bulunur. Eş. 7.1 deki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
(7.1)
49
2 cosθ,
µ1 = 1 –
µ2 = µ3 = 1,
2 cosθ
µ4 = 1 +
(7.2)
elde edilir. Eş. 7.2 den aşağıdaki sonuç verilebilir.
7.1. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir hiperbolik Saccheri dörtgeninin gram matrisinin karakteristik
değerleri olmak üzere;
(i) 1 –
2 < µ1 < 1,
(ii) µ2 = µ3 = 1,
(iii) 1 < µ4 < 1 +
2
dir.
Eş. 7.1 deki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
h = 6 − 2cos 2 θ,
t = 4 − 4cos 2 θ = 4sin 2 θ,
s = 1 − 2cos2 θ = − cos 2θ
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
50
7.2. Sonuç
Hiperbolik Saccheri dörtgeninin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4
olmak üzere;
(i) 4 < h < 6,
(ii) 0 < t < 4,
(iii) –1 < s < 1.
7.2. Hiperbolik Lambert Dörtgeninin Gram Matrisinin Karakteristik Değerleri
7.2. Tanım
Herhangi üç açısı dik açı ve dördüncü açısı dar açı olan dörtgene Hiperbolik Lambert
dörtgeni denir [2].
P1
N4
P4
θ4
l4
l3
l1
N1
θ1
P2
θ3
l2
N2
Şekil 7.2. Hiperbolik Lambert dörtgeni
N3
θ2
P3
51
Hiperbolik Lambert dörtgeninin açıları 0 < θ <
π
π
için θ1 = θ2 = θ3 = , θ4 = θ
2
2
şeklindedir. Bu değerler Eş. 4.7 de yerine yazılarak
f = cos2θ, g = 0
(7.3)
bulunur. Eş. 7.3 teki f ve g değerleri Eş. 4.10 da kullanılarak
µ1 = 1 – cosθ,
µ2 = µ3 = 1,
µ4 = 1 + cosθ
(7.4)
elde edilir. Eş. 7.4 ten aşağıdaki sonuç verilebilir.
7.3. Sonuç
µ1, µ2, µ3, µ4 bir hiperbolik Lambert dörtgeninin gram matrisinin karakteristik
değerleri olmak üzere;
(i) 0 < µ1 < 1,
(ii) µ2 = µ3 = 1,
(iii) 1 < µ4 < 2
dir.
Eş. 7.3 teki değerler Eş. 5.1, Eş. 5.2 ve Eş. 5.3 te yerine konularak
h = 6 – cos2θ,
t = 4 – 2cos2θ,
52
s = 1 – cos2θ = sin2θ
bulunur. Bu eşitliklerden aşağıdaki sonuç yazılabilir.
7.4. Sonuç
Hiperbolik Lambert dörtgeninin gram matrisinin karakteristik değerleri µ1, µ2, µ3, µ4
olmak üzere;
(i) 5 < h < 6,
(ii) 2 < t < 4,
(iii) 0 < s < 1.
53
8. SONUÇ
Bu tezde Öklidyen, küresel ve hiperbolik düzlemlerdeki dörtgenlerin gram
matrislerinin karakteristik değerlerinin ifadesi verildi. Ayrıca Öklidyen, küresel ve
hiperbolik düzlemlerdeki bazı özel dörtgenlerin gram matrislerinin karakteristik
değerleri elde edildi. Karakteristik değerler Öklidyen düzlemdeki ortogonal, küresel
ve
hiperbolik
düzlemlerdeki
semi-ortogonal
dönüşümler
altında
invaryant
kaldığından bulduğumuz değerlerin bu alanlardaki çalışmalarda kullanılarak yeni
bulgular elde edilebileceği inancındayız.
54
KAYNAKLAR
1. İnternet: Oregan State University ‘‘Eigenvalues of Gram Matrices’’
htpp://www.math.oreganstate.edu/…/GramMatrix.pdf .
2. Ratcliffe, J.G., ‘‘Foundations of Hyperbolic Manifolds’’, Springer-Verlag, Berlin,
36 (1994).
3. Hacısalihoğlu, H.H., ‘‘İki ve Üç Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler’’,
A.Ü.Fen Fakültesi, Ankara, 18-43 (1998).
4. Tokeşer, Ü., ‘‘Küresel, Hiperbolik ve De-Sitter Düzleminde Üçgenler’’, Doktora
Tezi, Gazi Üni., 2-115 (2013).
5. Bluemental, L., ‘‘Theory and Applications of Distance Geometry’’, Chelsea
Publishing Company, New York, 97-101 (1970).
6. Euler, L., ‘‘De linea brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta
iungente’’, Comment. Acad. Sci. Petrop, 3:110-124 (1732).
7. 0’neil, B., ‘‘Semi-Riemannian Geometry’’, Academic Press., London, 46-49, 5457, 108-114, 143-144 (1983).
8. Vinberg, E.B., ‘‘Geometry II, Encyclopedia of Mathematical Sciences’’,
Springer, Verlag, 4-79 (1993).
9. ‘‘Ortaöğretim Geometri Dersi 11. Sınıf Öğretim Programı’’, TC MEB Talim
Terbiye Kurulu Başkanlığı, Ankara, 35, 41, 44, 45 (2010).
10. Zwillinger, D., ‘‘CRC Standart Mathematical Tables and Formulae, 31st Edition
(Discrete Mathematics and Its Applications), Chapmann&Hall CRC, Florida,
297-383 (2003).
55
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: KÜLÜK, Fatıma
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 11.12.1982, Ankara
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 543 9586630
e-mail
: ftmklk@gmail.com.
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet Tarihi
Yüksek Lisans
Gazi Üniversitesi/Matematik Bölümü
2014
Lisans
Ankara Üniversitesi/Matematik Bölümü
2005
Lise
Haydar Öztaş Anadolu Lisesi
2001
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2006-2008
Seviye Dershanesi
Matematik Öğretmeni
2008-
MEB
Matematik Öğretmeni
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Kitap okuma, Yürüyüş yapma