A. TÜREV 1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir

DERS:
ÜNİTE:
KONU:
MATEMATİK I
TÜREV ve UYGULAMALARI
MAT101(09)
A. TÜREV
1. GİRİŞ
Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s
(metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak s = s (t ) = 10t + t 2 ile verilsin.
a) Bu cisim ilk 2 sn’de kaç m yol alır?
b) Bu cisim ilk 6 sn’de kaç m yol alır?
c) Bu cisim 2. sn ile 6. sn arasında kaç m yol alır?
d) Bu cisimin 2. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m / sn dir?
e) Bu hareketlinin 3. sn deki anlık hızı kaç m / sn dir?
Bir f fonksiyonunun x apsisli noktasındaki
y
değişim oranı:
f(x+∆x)
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
=
∆x
∆x
∆y
f(x)
x+∆x
x
x
ya da ∆x sembolü yerine h kullanılırsa
∆y f ( x + h) − f ( x)
=
h
∆x
∆x
ile verilir.
Örnek: f : R → R , f ( x) = 2 x + 1
fonksiyonu veriliyor.
a) x = 2 için tabloyu tamamlayınız.
∆y
limitini hesaplayınız.
Sonra lim
∆x → 0 ∆x
b) Herhangi bir x için lim
∆x → 0
hesaplayınız.
∆y
limitini
∆x
∆x
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y
∆x
0,2
0,1
0,01
0,001
0,0001
-0,0001
-0,001
-0,01
-0,1
-0,2
Örnek: Yukarıdaki örneği bu kez g : R → R , g ( x) = x 2 fonksiyonu ve x = 1 için çözünüz.
2. TÜREVİN TANIMI
Tanım: A ⊂ R , a ∈ A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer
lim
x→a
f ( x) − f (a)
x−a
limiti veya x = a + h koymakla elde edilen
lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
h
limiti varsa*; f fonksiyonu, a noktasında türevlenebilirdir veya diferensiyellenebilirdir
denir. Bu limitin değerine f fonksiyonunun x = a daki 1 mertebeden türevi adı verilir ve
f / (a ) ,
df
dx
,
Df (a )
x=a
sembollerinden birisi ile gösterilir.
* Tanımda sözedilen limitin varlığı için
lim−
f ( x) − f (a )
f ( a + h) − f ( a )
= lim−
h →0
x−a
h
sol taraflı türev
lim+
f ( x) − f (a )
f ( a + h) − f ( a )
= lim+
h →0
x−a
h
sağ taraflı türev
x→a
x→a
adı verilen limitlerin araştırılması gerekir.
Teorem: f in x = a da türevli olması için gerek ve yeter şart sağ ve sol türevlerin var ve
birbirine eşit olmasıdır.
Örnek: f : R → R, f ( x) = x fonksiyonu veriliyor.
a) Türevin tanımından f in x = 0 daki sol ve sağ taraflı türevlerini hesaplayınız.
b) f fonksiyonunun x = 0 da türevli midir?
c) f fonksiyonu x = 0 da sürekli midir?
Örnek: g : R → R, g ( x) = x 3 fonksiyonu verilsin. Türevin tanımından hareketle g / (2) ,
değerini hesaplayınız. g / ( x) fonksiyonunu bulunuz.
2
Teorem: A ⊂ R , a ∈ A ve f , A üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu
x = a da türevli ise süreklidir.
Sonuç: Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse türevli de değildir. O zaman bir f
fonksiyonunun x = a da türevli olması için f in x = a da sürekli olması gerek şarttır.
Örnek: Grafikten yararlanarak
a) f fonksiyonunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz.
b) f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
c) f fonksiyonu hangi noktalarda türevli değildir?
d) f fonksiyonunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır?
e) lim f ( x) = ? , f (a3 ) = ? , f ′(a3 ) = ?
x → a3
y = f ( x)
a1
c5
c4
c3
c2
a2
a3
c1
a4
a5
Örnek: v0 = 98 m/sn başlangıç hızı ile yerden havaya fırlatılan bir topun ulaşabileceği
maksimum yüksekliği bulunuz.
(Yol Gösterme: Bir cisim t = 0 sn anında y 0 m yükseklikten v 0 m/sn ilk hızı ile
yukarı doğru (dikey) fırlatılırsa herhangi bir
t
anında yerden yüksekliği
y (t ) = − 12 gt 2 + v0 t + y 0 ile verilir. Temel Fizikten hatırlayınız.)
3
3. TÜREV ALMADA GENEL KURALLAR
1) c ∈ R bir sabit olmak üzere c / = 0 .
2) n ∈ Q olmak üzere ( x n ) / = nx n −1 .
3) (cf ( x)) / = cf / ( x)
4)
f ve g , x noktasında türevlenebilen fonksiyonlar ve a, b ∈ R sabitler olmak üzere
af + bg , fg , f / g ( g ( x) ≠ 0 şartıyla) fonksiyonları da x de türevlenebilirdir ve
(af ( x) + bg ( x) )/ = af / ( x) + bg / ( x)
( f ( x ) g ( x ) )/ = f / ( x ) g ( x ) + f ( x ) g / ( x )
/
⎛ f ( x) ⎞
f / ( x) g ( x) − f ( x) g / ( x)
⎜⎜
⎟⎟ =
, ( g(x) ≠ 0 )
( g ( x ) )2
⎝ g ( x) ⎠
Teorem: f : A → B fonksiyonu x apsisli noktasında ve g : B → C fonksiyonu f (x) apsisli
noktasında türevli ise g o f : A → C fonksiyonu da x apsisli noktasında türevli olup
(g o f )/ ( x) = [ g ( f ( x) ) ]/
= g ′( f ( x) ) f ′( x) .
Örnek: Küre şeklinde bir balon hava ile şişirilmektedir. r = 10 cm olduğu anda balonun
yarıçapı (r ) ; zamana bağlı olarak 0,3 cm / sn hızla artmaktadır. Bu anda balonun hacmi hangi
hızla artar?
Örnek: Uygun koşullar altında
u = y2 − y +1⎫
⎪
x
⎪
y= 2
⎬
x +1
⎪
x = 3t + 1
⎪⎭
ile tanımlanan u fonksiyonu için
du
dt
=?
t =1
4
Teorem: A, B ⊂ R , f : A → B fonksiyonu 1-1 ve örten olsun. f , x0 ∈ A da türevlenebilir
ve f ′( x0 ) ≠ 0 ise f
−1
: B → A fonksiyonu da y 0 = f ( x0 ) da türevlenebilirdir ve
( f )′ ( y ) =
−1
0
1
.
f ′( x0 )
( )′ (2) = ?
Örnek: f ( x) = x 5 + x eşitliği ile tanımlanan f : R → R fonksiyonu veriliyor. f
−1
ÖDEVLER
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I
Sayfa 124-125 problemler
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I
Sayfa 104-110 Değişim Oranları başlıklı konuyu okuyunuz.
Sayfa 111-113 problemler 1-29, 36-52.
Sayfa 113-114 3.1. Proje: Bir Şehrin Nüfus Artışı
Sayfa 122-124 problemler 1-40, 51-53
Sayfa 125
3.2. Proje: Bir Litre Soğuk Su
Sayfa 125-131 ZİNCİR KURALI başlıklı konuyu okuyunuz.
Sayfa 132-133 problemler 1-64.
Sayfa 138-140 problemler 1-56.
5
4. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
sin : R → [−1, 1 ] ,
cos : R → [−1, 1 ] ,
tan : R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z } → R ,
cot : R − {kπ : k ∈ Z } → R ,
sec : R − {(2k + 1) π2 : k ∈ Z } → R − (−1, 1) ,
cosec : R − {kπ : k ∈ Z } → R − (−1, 1)
trigonometrik fonksiyonları tanım kümelerindeki her x de türevlenebilirler ve açık olarak
(sin x )′ = cos x ,
(cos x )′ = − sin x ,
(tan x )′ = 1 + tan 2 x = sec 2 x =
1 ,
cos 2 x
(cot x )′ = −(1 + cot 2 x) = − cos ec 2 x = −
1 ,
sin 2 x
(sec x )′ = sec x tan x ,
(cos ecx)′ = −cosecx cot x
formülleri verilebilir.
Örnek: y = sin 3 (πx) + cos 4 ( x 2 + 1) ⇒ y ′ = ?
5. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
⎡ π π ⎤
Arc sin : [−1, 1] → ⎢− , ⎥ ,
⎣ 2 2 ⎦
Arccos : [−1, 1] → [0, π ] ,
⎛ π π⎞
Arctan : R → ⎜ − , ⎟ ,
⎝ 2 2⎠
Arccot : R → (0, π ) ,
ters trigonometrik fonksiyonları tanım kümelerindeki her x de türevlenebilirler ve açık olarak
6
′
⎛
⎞
1
1
1
1
⎜ arcsin x ⎟ =
;
=
=
=
424
3⎟
⎜1
2
2
′
cos
y
1 − sin y
1− x
y
(sin y )
⎝
⎠
(arccos x )′ = −
(arctan x )′ =
( x < 1)
; ( x < 1)
1
1− x2
1
; (x ∈ R )
1+ x2
(arc cot x )′ = −
1
; (x ∈ R )
1+ x2
dir. Ayrıca x > 1 koşulunu sağlayan her x için
(arcsecx )′ =
1
x x −1
Örnek: f ( x) = arctan
(arccosecx )′ = −
ve
2
1
⇒
x
1
x x2 −1
.
f ′(1) = ?
1
Örnek: f ( x) = 1 − x 2 − arcsin x ⇒ f ′( ) = ?
2
6. LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Logaritmik fonksiyonlar tanım kümelerinde türevlenebilirdir, açıkça x ∈ R + için
(log a x )′ = 1 log a e
ve
x
(ln x )′ = 1 .
x
Ayrıca uygun koşullar altında u = u (x) olmak üzere
′
log a e .
u
(log a u )′ = u
π
Örnek: f ( x) = ln(sin x) için f ′( ) = ?
6
Üstel fonksiyonlar her x ∈ R için türevlenebilirdir ve
(e )′ = e
x
x
′
ve (a x ) = a x ln a .
Ayrıca uygun koşullar altında u = u ( x) olmak üzere
(a )′ = a
u
Örnek: f ( x) = 3sin( e
x
)
u
u ′ ln a .
ise f ′( x) = ?
7
Logaritmik Türev Alma
Şimdiye kadar ya u (x) fonksiyonunun sabit olması ya da v(x) fonksiyonunun sabit
olması durumunda; uygun koşullar altında tanımlanan y = u ( x) v ( x ) in türevini hesaplamıştık.
Şimdi, hem u (x) hem de v(x) in değişken olması durumunda y = u ( x) v ( x ) fonksiyonunun
türevini hesaplayacağız.
Bunun için önce y = u ( x) v ( x ) ifadesinin her iki tarafına ln fonksiyonunu uygulayın,
sonra her iki tarafın türevini alın.
(
Örnek: y = 1 + x 2
)
⇒ y′ = ?
x
π
Örnek: f ( x) = x sin x ise f ′( ) = ?
2
7. HİPERBOLİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Hiperbolik fonksiyonlar ve tersleri de tanım kümelerinde türevli olup bu
fonksiyonların türevleri için aşağıdakiler verilebilir.
(cosh x )′ = sinh x ,
(sinh x )′ = cosh x ,
(tanh x )′ = sec h 2 x ,
(coth x )′ = −cosech
(sechx )′ = −sechx tanh x ,
(cschx )′ = −cschx coth x ,
(arccoshx )′ =
(arctanhx )′ =
2
1
x −1
2
1
x −1
(arcsechx )′ = −
(
2
1
x 1− x
2
(x > 1) ,
(arcsinhx )′ =
x < 1 ),
(arccothx )′ =
( 0 < x <1 )
,
2
x,
1
(x ∈ R ) ,
x2 +1
1
1− x2
(arccschx )′ = −
(x > 1) ,
1
x 1+ x
2
(x > 0) ,
Örnek: y = arcsinh(tan x) ⇒ y ′ = ?
8
8. PARAMETRİK DENKLEMLERİ VERİLEN FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ
Genelde fonksiyonları f : A → B , y = f ( x) biçiminde tanımlarız. Burada adı üzerinde
y bağımlı değişkeni; x bağımsız değişkenine bağlıdır. Ancak birbirlerine bağlı değişkenleri
her zaman bu şekilde ifade edemeyebiliriz.
Örneğin şekildeki 2 br yarıçaplı çember Ox − ekseni boyunca yuvarlanıyor. Çember
üzerinde seçilen bir P ( x, y ) noktasının düzlemde çizdiği eğri; hangi fonksiyonun grafiğidir.
Bu fonksiyonu bulalım.
y
P(x,y)
M
r = 2 br
O
x
6π
A
Başlangıçta çemberi, x 2 + ( y − 2) 2 = 4 denklemli çember ve P ( x, y ) noktasını da orijin
olarak seçelim. Bu eğrinin denklemi
x = 2(t − sin t ) ⎫
⎬
y = 2(1 − cos t )⎭
olarak bulunur. Şimdi bu fonksiyon için y nin x bağımsız değişkenine göre birinci
mertebeden türevini hesaplayalım, yani
dy
=?
dx
dy
2 sin t
dy
sin t
= dt =
=
dx
dx
2 (1 − cos t ) 1 − cos t
dt
olarak hesaplanır.
Genel olarak bir f : A → R ,
y = f ( x) fonksiyonu t ∈ I ⊂ R parametresine bağlı
olarak
x = u (t )⎫
⎬
y = v(t )⎭
ile verilebilir. Bu durumda y nin x bağımsız değişkenine göre birinci mertebeden türevi:
dy
dy dt y&
=
= .
dx dx x&
dt
9
9. KAPALI BİÇİMDE TANIMLANAN FONKSİYONUN TÜREVLERİ
F ( x, y ) = 0 denklemi; bir ya da birden fazla sayıda
f : A → R,
y = f ( x)
fonksiyonunu ifade edebilir. Hatta bu fonksiyonları F ( x, y ) = 0 denkleminden y = f ( x)
tarzında elde etmek mümkün olmayabilir. Bu durumda; söz konusu f fonksiyonlarının
türevini bulmak için ( y nin x bağımsız değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu akılda tutarak)
F ( x, y ) = 0 denkleminin her iki tarafının x bağımsız değişkenine göre türevini alırız.
Örnek: x 2 + y 2 − 3xy + 2 x − 4 y − 5 = 0 denklemleriyle tanımlanan fonksiyonun (ya da
fonksiyonların) x = 0 daki türevinin değerini hesaplayınız.
d 2
d
(
x + y 2 − 3xy + 2 x − 4 y − 5) = (0) ,
dx
dx
2 x + 2 yy′ − 3 y − 3xy′ + 2 − 4 y′ = 0 ⇒ y′ =
3y − 2x − 2
.
2 y − 3x − 4
Ayrıca x = 0 için y 2 − 4 y − 5 = 0 denklemi elde edilir ki buradan y1 = −1 , y 2 = 5 bulunur.
Gerçekten bu denklem iki farklı fonksiyonu içerir ve bu fonksiyonlara f ve g denirse
f (0) = −1 ve g (0) = 5 dir. Sonuç olarak f fonksiyonunun x = 0 daki birinci mertebeden
türevinin değeri;
y′
x = 0 , y = −1
=
5
6
ve g fonksiyonunun x = 0 daki birinci mertebeden türevinin değeri;
y′
x = 0, y =5
=
13
6
olarak bulunur.
Ayrıca F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 3xy + 2 x − 4 y − 5 iki değişkenli fonksiyonu ele alınarak
istenen türevler kısmi türevlerden yararlanarak da hesaplanabilir. Gerçekten
y′ = −
2x − 3y + 2 3y − 2x − 2
Fx
=−
=
2 y − 3x − 4 2 y − 3x − 4
Fy
elde edilir ki burada Fx , x değişkenine göre kısmi türevi ve Fy , y değişkenine göre kısmi
türevi gösterir.
10
10. YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
Bir f : A → R , y = f ( x) fonksiyonunun birinci mertebeden türevi bir g fonksiyonu
olsun, yani g ( x) = f ′( x) diyelim. Eğer türevlenebilir ise g fonksiyonunun birinci metebeden
türevine f fonksiyonunun ikinci mertebeden türevi denir ve f ′′( x) ile gösterilir.
f fonksiyonunun 1., 2., ... , n. mertebelerden türevlerini alternatif semboller ile gösterebiliriz.
y = f ( x) fonksiyonunun
1. mertebeden türevi: y ′ =
dy
= f ′( x) = D x f ,
dx
2. mertebeden türevi: y ′′ =
d2y
= f ′′( x) = D x2 f ,
2
dx
3. mertebeden türevi: y ′′′ =
d3y
= f ′′′( x) = D x3 f ,
3
dx
4. mertebeden türevi: y ( 4 ) =
d4y
= f ( 4) ( x) = D x4 f ,
4
dx
...
n. mertebeden türevi: y ( n ) =
dny
= f ( n ) ( x) = D xn f
n
dx
sembolleri ile gösterilir.
Örnek: f : R → R , f ( x) = x 6 − 5 x 4 + 3x 3 + x 2 − x + 5 ise f ( 4 ) ( x) = ? ve f ( 4 ) (1) = ?
Örnek:
1
, sin x, cos x fonksiyonlarının n. mertebeden türevlerini, n doğal sayısına bağlı
x
olarak veren formüller bulunuz.
Gerçekten f ( x) =
1
n!
için bu formül f ( n ) ( x) = (−1) n n +1 dir.
x
x
Örnek: x 2 + y 2 − 3 xy + 2 x − 4 y + 5 = 0 denklemi ile verilen fonksiyon (ya da fonksiyonların)
ikici mertebeden türevlerini bulunuz..
11
Bir t ∈ I ⊂ R parametresine bağlı olarak
x = u (t )⎫
⎬
y = v(t )⎭
ile verilen fonksiyonun ikinci mertebeden türevi
d ⎛ y& ⎞ &y&x& − &x&y&
dy ′
⎜ ⎟
2
&y&x& − &x&y&
d y d ⎛ dy ⎞ d
(
x& )
dt ⎝ x& ⎠
dt
′
(y ) =
=
= ⎜ ⎟=
=
=
2
dx
dx ⎝ dx ⎠ dx
x&
x&
dx
(x& )3
dt
2
biçiminde hesaplanabilir.
Örnek: t ∈ [0, 2π ] parametresine bağlı olarak
x = 4 cos t ⎫
⎬
y = 3 sin t ⎭
ile verilen fonksiyon için
d2y
dx 2
t=
π
=?
4
ÖDEVLER
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I
Sayfa 147-149 problemler
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I
Sayfa 168-169 Örnek 7-12 inceleyiniz.
Sayfa 170-173 problemler 1-60, 71-72, 74-77, 87-88
Sayfa 179-182 problemler 1-14, 36-68.
Sayfa 195-198 problemler 1-35.
KAYNAKLAR
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003.
C.H. EDWARDS, D.E. PENNY, Matematik Analiz ve Geometri Cilt I, (çev.ed. Ömer AKIN), Palme Y., Ankara, 2001.
12