PowerPoint Sunusu

TÜREV KAVRAMI
TÜREV ALMA KURALLARI
TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU
BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ
ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
DİFERANSİYEL KAVRAMI
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
L’’HOSPİTAL KURALI
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
TÜREV KAVRAMI
TANIM: f : A
olmak üzere
lim
x a
R , y=f(x) fonksiyonu ve a  A da sürekli
f ( x)  f ( a )
xa
limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun
x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya
gösterilir.
df
(a)
dx
sembolleri ile
x  a  ( x  a)  0
h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.
 h 0
lim
x a
f ( x)  f (a )
xa
lim
=
h0
f (a  h)  f (a)
h
olur.
ÖRNEK: f: R
R
türevini bulalım.
, f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki
ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir
f (2)  lim x2
f ( x)  f (2)
x2
f (2)  lim x2
x2  4
( x  2)( x  2)
 lim x2
4
x2
x2
SOLDAN SAĞDAN TÜREV
TANIM:
A  R, a  A
1. lim x  a _ f ( x )  f ( a ) Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa
xa
bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve
f’(a-) şeklinde gösterilir.
2.
lim x  a

f ( x)  f (a)
xa
Limitinin bir reel sayı değeri
varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir
ve f’(a+) şeklinde gösterilir.
f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-)
= f’(a+) = f’(a) dır.

f’(a-)
f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.
ÖRNEK: f: R
R , f(x)=
4 x  2, x  2ise 
 2

 x  2, x < 2ise 
a)f’(2-)=?
b)f’(2+)=?
ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=22de süreklidir.
a)
lim x 2
b) lim
x2


4
f ( x )  f ( 2)
 x
= lim x  2
= lim
x2
x2
f ( x )  f ( 2)
= lim
x2
x 2

4x  8
x2 =
x2
( x  2)= 4
lim 4  4
TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ
Teorem:
A  R, a  A
olmak üzere;
f : A R
fonksiyonu a
noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.
1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.
2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki
olsun
f(x) , x =a da türevli
3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu
noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan
türevlerini eşitliğine bakılır.
x 2
f ( x)  2
x 22
2
Örnek:
hangi noktalarda türevsizdir?
Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla
süreksizdir.
x2  2
f ( x)  2
x 22
x=-1 ve x=2 noktalarında
süreksiz dolayısıyla türevsizdir.
BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME
TANIM: a,b olmak üzere
f : ( a, b)  R
fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında
A  Rtürev varsa f
fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir.
olmak üzere
f : A R
fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli
ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.
TÜREV ALMA KURALLARI
1) f(x)= c
f’(x) = 0
2) f(x) = xn
f’(x) = n . xn-1
3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)
4)
5)
 f ( x)  g ( x) 

 f ( x).g ( x)

f ( x)  g ( x)
 f ( x).g ( x)  g ( x). f ( x)
6)  f ( x)   f ( x).g ( x)  g ( x). f ( x)
 g ( x) 
2


g
(
x
)


TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU
Y=f(x)
F(a+h)
F(a)

a
kesen
teğet
a+h
mAB=tan  =
f ( a  h)  f ( a ) f ( a  h)  f ( a )
BC


AC
( a  h)  a
h
AB kirişinin eğimi h
mAT =
lim h0

0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından
f ( a  h)  f ( a ) f ' ( a )

( a  h)  a
O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin
eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası,
B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.
TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ
y
f(a)
t
Y=f(x)
.
n
a
x
A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denklemini
bulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bu
noktadaki türevi eğimi vereceğinden
y-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.
m t .mn  1
A noktasındaki
normal denklemi ise
şöyle olur:
1
1
mn  

mt
f ' (a )
1
y  f (a )  
f ' (a )
. (x-a)
Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki
teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.
Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan
teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4
1
1
1


normalin eğimi : mn = 
mt
f ' (3) 4
teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6
normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
f(x) =sinx , f'(u)=cosu . (u')
f(x) =cosx , f'(u) = -sinu . (u')
f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2u = u' . Sec 2u =u ' . (tan 2u +1)
f(x) =cot u , f'(u)= -u’ / sin 2u = -u' . Cosec 2u = -u ' . (cot 2u +1)
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ
g(x), g(x)>0
y=|g(x)|=
0 , g(x)=0
-g(x) , g(x)<0
{
y'=
{
g'(x)
araştırılır
-g'(x)
, g(x)>0
, g(x)=0
, g(x)<0
ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir?
ÇÖZÜM:
türevi
-3
+ |
x2-9 |
2x |
9-x2
-2x
+3
| +
| x2 -9
| 2x
x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6
türevsiz.
Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit
olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.
TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ
f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;
sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır.
Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.
ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.
ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak
çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur.
Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan
türevleri birbirine eşit olmazdı.
İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİ
f: A  R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler
türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda
tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.
ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu
değerleri bulun.
ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu
için, içinin kökleri bulunur.
(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.
KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen
bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?
2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'=
F ' x ( x, y)
dy
II.YÖNTEM: y'=

dx
F ' y ( x, y)
dy
2x  2 1  x
bulunur.


dx
2y
y
förmülü ile soınuca gidilir.
ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?
F ' x ( x, y)
dy
1  3y
ÇÖZÜM:


dx
F ' y ( x, y)
3x  1
RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ
R ve n  N
TEOREM: x
+
olmak üzere y=
x
1
n
1
fonksiyonunun türevi
1 n 1
y'  x
n
PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
y=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t
parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa
y=g(t)
bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.
dy dy dt g ' (t )
 . 
dx dt dx h' (t )
ÖRNEK: x=t-2
y=t2 -t +3
ÇÖZÜM
}
parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=?
dy
dy dt 2t  1
y' 


 2t  1
dx dx
1
dt
x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.
TERS FONKSİYONUN TÜREVİ
KURAL:f’(x)

0 ise
ÖRNEK: f(x)=x3-1
1
1

f ' ( x) f ' ( f 1 ( y ))
, (f-1)’(-9)=?
ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2
1
1
1
 2 
f ' (2) 3x
12
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ
1.(arcsinu)'=
2.(arccosu)'=
u'
1 u
 u'
2
1 u
u'
3.(arctanu)'=
2
1 u
2
u'
4.(arccotu)'= 
2
1 u
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ
1.f(u)=logau
2.f(u)=ınu
, f’(u)
, f’(u)
u'

u
u'

u
logae
ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ
1.f(x)=au
, f’(x)=au . u’ . lna
2.f(x)=eu
, f’(x)=eu . u’
LOGARİTMİK TÜREV ALMA
y=xx
ıny=ınxx
ıny= x . Inx
y'
1
 ln x  .x
y
x
y’= (lnx+1).y
y’= (lnx+1).xx
YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER
y
(n)
n
n
d
y
d
f
(n)
 f ( x)  n  n
dx
dx
y=x -x+4
y'=2x-1
y''=2
y'''=0
Fonksiyonunun n.
Mertebeden türevi
(1.Mertebeden türev)
(2.Mertebeden türev)
(3.Mertebeden türev)
DİFERANSİYEL KAVRAMI

TEOREM: A
R , f: A
R , y=f(x) fonksiyonu A da
türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi
x buna
karşılık gelen y deki değişimi
y ile gösterelim. X in
diferansiyeli dx=
x olmak üzere y nin diferansiyeli

dy= f’(x).dx


ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
a
azalan
f(a,b)
b
a

b
artan
a
b
sabit
fonksiyonu sürekli ve türevli ise
f’(x)>0  f(x) , (a,b) aralığında artandır.
f’(x)<0  f(x) , (a,b) aralığında azalandır.
f’(x)=0  f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.
ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup
olmadığını inceleyelim.
ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x1=2 x2=4
x
f’(x)
-

2
+
f(x)
-
f(2)
artan
4


+
f(4)
azalan
artan
EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER
Mutlak Extremum Noktası ve Değeri
TANIM(a,b) aralığında f(b)
büyük değerdir.
(a,b) aralığında f(b)
değerdir.
lim x1
a
 f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en
 f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük
1
x.ınx  x.  1
0
ınx
f ( x)
f ' ( x)
x
  lim x1
 lim xa
 lim xa
1
ınx  1 
g ( x)
g ' ( x)
ınx  ( x  1) 0
x
c
b
a,c mutlak min
b, mutlak max
YEREL EXT NOKTASI VE DEĞERİ
Yerel max
Yerel max
Yerel min
Mutlak max
Yerel min
Şekilde görüldüğü gibi
artandan azalana geçen
noktalar yerel max veya
min dir
Yerel min
Mutlak min
EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİ
TANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her
nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaret
değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin
0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel
ext değerleri k.n.ların içindedir.
X
f’(x)
f(x)

-
0

1
-

+
Yerel min
TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ
İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI
KONVEKS
KONKAV
(DIŞBÜKEY)
(İÇBÜKEY)
f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için
Konveks
Geçiş
konkav
Max (f’)
d.n
min (f’)
MAX MİN PROBLEMLERİ
Problemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de
yerine konulur. İstenilen değer bulunur.
Örnek:
3X +6
MAX ALAN?
6-X
ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x)
A(x)=18x+36-3x2-6x
A(2)=48
A’(x)=12-6x
x=2
L’ HOSPİTAL KURALI
lim xa
0

f ( x)
f ' ( x)
f ( x).g ( x)  0.  veya   lim xa
 lim xa
0

g ( x)
g ' ( x)
0.  Veya
 -
belirsizlikleri 0 veya
0
Örnek :
lim x2
2x
4
1
lim x2


2x
4
1
a çevrilir.
0.
 BELİRSİZLİĞİ
lim xa f ( x).g ( x)  0.
Örnek :


veya


veya
0
0
a çevrilir.
5
sin 5 / 2 x 5
lim x x. sin( )  lim x

2x
1/ x
2
0
0

-

BELİRSİZLİĞİ
a çevrilir.
 x.ınx  x  1 0
1 
 x
Örnek : lim x1  x  1  ınx   lim x 1  ( x  1)ınx   0




1
x.ınx  x.  1
0
ınx
0
1/ x
1
x
lim x1
  lim x1
  lim x1

2
1
1 0
0
1
/
x

1
/
x
2
ınx  ( x  1)
ınx  1 
x
x
FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun
grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat
düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz
çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın
koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle
eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini
bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde
çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği
noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn
karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması,
çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da eğriye
asimptot olmasıdır.
Düşey Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan
limitlerinde en az biri + ya da -  ise , x=a doğrusuna, y=f(x)
fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.
y
P
H
x
y=f(x)
Örnek:
olduğunu
gösterelim.
Çözüm: f ( x)  3 x  4
x2
a
fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu
3x  4 2
lim x2
   
x2 0
Yatay Asimptot
Tanım: y=f(x) fonksiyonu için lim x f ( x)  b veya lim x f ( x)  b ise
y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.
y
b
H
P
x
y=f(x)
Örnek:
Çözüm:
y
3 x  2 fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu
x 1
gösterelim.
lim x 
3x  2
 3 veya
x 1
lim x 
3x  2
 3 olduğundan,
x 1
y=3 doğrusu yatay asimptottur.
Eğik ve Eğri Asimptot
Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. lim x  f ( x)  g x   0 Veya
lim x  f ( x)  g x   0 ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.
y  f (x)
y  f (x)
y  g (x)
y  g (x)
Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.
y  f ( x) 
P( x)
Q( x)
biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom
fonksiyonudur.)
1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+
C
Q (x )
biçiminde yazılabilir. Bu durumda, lim x  f ( x)  mx  n   lim x
olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur.
C
0
Q( x )
2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise; f x   ax 2  bx  c  K ( x)
Q( x)
der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.



lim x f x   ax 2  bx  c  lim x
K ( x)
 0Olacağından, y=ax 2 + bx+c
Q( x )
fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.
O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm
asimptot denklemi olarak alınır.
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
1. f(x)=x3-12x
‘i inceleyelim.
2. Tanm kümesi: R
3.
4.x=0, y=0
2 3
y=0, x1= 2 3
lim x f ( x)  
x 2= - 2 3
5.f’’(x)=6x, (0,0) d.n
x
-
 - 2 3 -2
0
2
Pol. Fonk.
Larda
asimptot
yoktur.per
iyodik
değildir.

2 3
f’(x)
+
+
-
-
+
+
+
f’’(x)
-
-
-
+
+
+
+
f(x)
2
-1
 3
2x  4
1
b
y' 
 0)vey2   a  ( x  )
2
2a
2 x  4x  3

0
-2
3
RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
DÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT
OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.
1.
f(x)= x  1
x2
2. T . K. =R- (-2)
3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2
4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük
eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için
YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda
ise YA=0 olur.
5.(0,-1/2) , (-1,0)
x
-1
0
f’(x) -
f(x) 1
2
0
-1/2
-

1
-1
-1/2
2
İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
f(x)=
a<0, asimptot yok
ax 2  bx  c
a>0 , asimptot var ve eğik
b
b
y1  a  ( x  )vey2   a  ( x  )
2a
2a
1.y=
x2  4x  3
2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)
1
3x2-4x +3 0
+
3.(0, 3) , (1,0) .
4,
y' 
-
T=R-(1,3)
+
(3, 0)
2x  4
2 x  4x  3
2
3
0
x=2 tanım kümesinin
elemanı olmadığı için
bu noktada ext yoktur.
X
Y’
Y
1
-
2
+
0
3
-
+
0
1
2
3
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ
1.y=sinx+3
2.T . R. = R
3.periyodu(T)=2  olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim.
4. Asimptot yok.
5.f’(x)=cosx =0 için (x 1=  , y1=4 ) (x2= 3
2
2
6.f(0)=3 , f( 2  )=3
7. F’’(x)=-sinx=0 için
DN ları
(0,3) , (  ,3)
,y2=2)
X
f’(x)
0
+
/2
+
3/2 2

-
-
+
+
f’’(x)
f(x)
3
4
3
2
DN
yer
DN
yerel
max
min
3
DN