tekin,m.,özdemir,b., manyetik alan altındaki iki boyutlu elektron

Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
MANYETİK ALAN ALTINDAKİ İKİ BOYUTLU ELEKTRON GAZININ KİMYASAL
POTANSİYELİ, ISI SIĞASI VE MANYETİZASYONU
Oscillations of Chemical Potential, Magnetizations and Head Capacity Under
Magnetic Field of Two-Dimensional Gas
Mehtap TEKİN
Fizik Anabilim Dalı
Berrin ÖZDEMİR
Fizik Anabilim Dalı
ÖZET
Bu çalışmada delta katkılı GaAlAs/GaAs/GaAlAs ve AlGaN/GaN/AlGaN
kuyularında oluşan iki boyutlu elektron gazı (2BEG) ele alındı. Bu sistemlere
büyütme yönünde ve elektronun serbestçe hareket edebildiği düzleme dik olarak
manyetik alan uygulandığı durum çalışıldı. Bu yön, bizim çalışmamızda z yönü ve
elektronların serbestçe hareket edebildiği düzlem, x-y düzlemidir. Manyetik alanın
etkileri çalışılırken, ilk olarak durum yoğunluğu gözönüne alındı. 2BEG'de sabit
olan durum yoğunluğu manyetik alanın varlığında tekil hale dönüşür ve bu tekillik
sistemin kusurlarından dolayı değişir. Başka bir deyişle her Landau seviyesi kendi
etrafında genişleme gösterir. Bu çalışmada bu genişleme Gaussian tipi olarak ele
alınıp durum yoğunluğunun sayısal hesabı yapıldı. Durum yoğunluğunun manyetik
alana göre değişiminin sistemin tüm özelliklerinde etkili olduğu görüldü. İlk olarak
Fermi enerjisi ele alındı ve değişik elektron yoğunluklarında manyetik alana göre
değişimi incelendi. Çalışmamızın devamında manyetizasyon (mıknatıslanma), iç
enerjinin manyetik alana göre değişimi olarak ele alındı ve manyetik alana göre
değişimi gösterildi. Aynı zamanda iki boyutlu elektron gazının ısı sığası, sistemin iç
enerjisinin sıcaklığa göre değişimi olarak ele alındı.
Anahtar Kelimeler: 2BEG, Fermi enerjisi, Isı sığası, Mıknatıslanma.
ABSTRACT
In this study, we have worked out on Two-dimesional electron gas which is formed
in delta-doped GaAlAs/GaAs/GaAlAs and AlGaN/GaN/AlGaN quantum well. We
assumed that magnetic field is applied on 2DEG in the growth direction (in this
study, it is z-direction) which is perpendicular to 2DEG where they move freely in xy plane. When it is studying the effect of the magnetic field, first of all, density of
states (DOS) of the systems is considered. In the absence of magnetic field, 2DEG
has a constant DOS but in the presence of magnetic field DOS show delta like
singularities (These are Landau levels). Scattering and defects of the system result
in expansion of levels. In this study, we consider this expension is Gaussian like.
Then we have performed the numerical calculations of DOS for Gaussian type
expansion of Landau levels. It is seen that DOS is most important for all properties
of 2DEG. At beginning, the behaviour of Fermi energy is examined and calculated

Aynı başlıklı Yüksek Lisans tezinden üretilmiştir.
- 53 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
for different electron concentrations. In the next step, magnetization is obtained as
a change in internal energy with respect to magnetic field B. And also heat capacity
of 2DEG is studied as a temperature rate of change of internal energy.
KeyWords: 2DEG, Fermi energy, Heat capacity, Magnetization.
Giriş
Bu çalışmada iki boyutlu elektron gazı (2BEG) ele alınmış ve manyetik alan etkileri
araştırılmıştır. 2BEG'de elektron sadece iki yönde serbest bir şekilde hareket
ederken, diğer yönde kesikli enerji seviyelerine sahiptir ve bu yönde elektronun
hareketi kısıtlanmıştır. İdeal iki boyutlu sistemler normalde teorik bir kavramdır.
Çünkü hareketi kısıtlanan parçacığın dalga fonksiyonu üçüncü boyutta
genişleyebilir. Eğer elektron tek yönde sonsuz bir kuyu içinde hapsedilmiş ise
kuyunun dışında dalga fonksiyonu sıfırdır. Sonsuz kuyu temel bir kavram olmakla
birlikte, gerçekte sonsuz bir kuyu yoktur. Sonsuz kuyu tam anlamıyla mümkün
değildir, fakat parçacığın hareketi bir potansiyel tarafından kısıtlandığı için sistem
iki boyutludur. İki boyutlu sistemler; genelde doğada kendiliğinden var olmayan,
fakat teknolojik olarak elde edilen sistemlerdir ve büyütme teknikleri ile elde
edilirler. Sadece Grafen büyütme tekniği kullanılmadan Grafitin tek katmanının
ayrıştırılması ile elde edilmiş iki boyutlu sistemdir. Bu sistem, band yapısı olarak
bizim elde ettiğimiz sistemlerden farklılık gösterir. Biz genel olarak
heterosistemlerde oluşan elektron gazı ile çalıştık. Bu çalışmada delta katkılı (J.J.
Harris, 1993; E.F. Schubert, 1990) GaAs kuyusu ve polar malzeme olan GaN
kuyusunda oluşan elektron gazı ile uğraşacağız. Delta katkılaması, çok dar bir
bölge katkılanarak elde edilir. İdeal bir büyütme tekniğinde katkılanan bölgenin
kalınlığı, katkılanan malzemenin örgü sabiti ile karşılaştırılabilir mertebededir. Yine
ideal bir durum için katkılanan bölgenin kalınlığı serbest elektronun de Broglie
dalga boyundan (John R. Taylor, 1996) daha küçük olmalıdır. Elektronun bir
potansiyel kuyusunda hareketinin kısıtlanabilmesi için potansiyel kuyusunun
genişliği, elektronun dalga boyu mertebesinde veya bu mertebeden daha küçük
olmalıdır.
Manyetik alanın, 2BEG üzerindeki etkisi ile ilgili en önemli çalışma Klaus
Von Klitzing (K. v. Klitzing, G. Dorda ve M. Pepper, 1980) tarafından yapılmıştır ve
bu çalışma 1985 yılında Nobel Fizik Ödülü'nü almıştır. Hall etkisi (R. A. Serway,
2008); manyetik alana maruz kalan elektronların, manyetik kuvvetin etkisi ile
bulundukları yerden hareket etmesi sonucu bir voltaj farkının oluşmasıdır. Bu
çalışmada manyetik alanın varlığında durum yoğunluğu, Fermi enerjisi, ısı
sığasının salınımları ele alındı. Bütün salınımların asıl kaynağının durum
yoğunluğu olduğu görüldü. İki boyutlu sistemlerin durum yoğunluğu, manyetik
alanın yokluğunda sabittir. Fakat 2BEG'e manyetik alan uygulandığında durum
yoğunluğu tekillik gösterir (J. P. Eisenstein, 1986). Tekillik sistemin kusurlarından
dolayı genişlemeye uğrar, yani her Landau seviyesi kendi etrafında genişleme
gösterir. Bu genişleme, bizim çalışmamızda Gaussian tipi olarak ele alınmıştır (G.
Bastard, 1990). İki boyutlu elektron gazının tüm özelliklerini durum yoğunluğundaki
- 54 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
bu durum belirler. Örneğin Fermi enerjisi, iki Landau seviyesinin tam ortasına denk
geldiğinde sistem yalıtkan gibi davranırken, genişlemiş olan Landau seviyesinin
tam ortasında olduğunda sistem iletkendir. Bu çalışmada 2BEG’na dik olarak
manyetik alan uygulandığında sistemin durum yoğunluğu, Fermi enerjisi, ısı sığası
ve manyetizasyonu sayısal olarak hesabı yapıldı.
Manyetik Alanın Varlığında Serbest Elektronun Davranışı
a)Bir elektronun manyetik alan içerisindeki klasik davranışı
Yüklü bir parçacık, düzgün bir manyetik alan içerisine V hızı ile girdiğinde üzerinde
oluşan Lorentz kuvvetinden dolayı merkezi bir kuvvete tabi olur. Bunun sonucunda
yüklü parçacık bir yörünge üzerinde hareket etmeye başlar. Yörüngenin biçimi
yüklü parçacığın alan içine nasıl girdiğine ve başka alanların olup olmamasına
bağlı olarak değişir. Burada önemli olan yüklü parçacığın hareketinin kısıtlanmış
olmasıdır.
B manyetik alanı içindeki q yüklü bir parçacığa etki eden Lorentz kuvveti
𝐅 = 𝑞(𝐕 × 𝐁)
ile verilir. Manyetik alana dik olarak giren bir parçacık için dairesel yörüngenin
yarıçapı R, q𝑣B=(m𝑣 2 )/R denkleminden
𝑅=
𝑚𝑣
𝑞𝐵
olacağı bulunabilir. Bu yarıçap üzerinde dairesel yörüngede dönen yüklü
parçacığın açısal frekansı (siklotron frekansı olarak bilinir) da aşağıdaki şekilde
elde edilir.
𝜔=
𝑞𝐵
𝑚
b) Elektronun manyetik alan içerisindeki kauntum mekaniksel davranışı
Yüklü parçacıkların manyetik alan içerisindeki hareketini kuantum mekaniksel
olarak açıklamaya kalktığımızda sistemin Schrödinger denkleminin çözülmesi
gerekir (Karaoğlu, B., 1998).
Manyetik alanın varlığında tek bir elektron için Hamiltonyen aşağıdaki şekildedir:
İki boyutlu elektron gazında elektronlar (x,y) düzleminde serbestçe hareket
ederken, z-yönünde hareketleri kısıtlanmıştır. Bu sisteme z yönünde sabit bir
manyetik alan uygulandığını kabul edelim. Manyetik alan
𝑩 = 𝐵𝑧̂
şeklinde yazılabilir. Bu alana karşılık gelen vektör potansiyeli ise şöyledir:
𝐀 = −𝐵𝑥𝑗̂
- 55 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Vektör potansiyeli varlığında yüklü bir parçacığın momentumu aşağıda verildiği
şekilde değişir.
𝐏 → 𝐏 − q𝐀
Ele aldığımız problemde manyetik alan sadece z yönündedir ve seçtiğimiz vektör
potansiyel için momentumun y bileşeni, (-eBx) teriminin momentumun y bileşenine
eklenmesiyle elde edilir ve sistemin Hamiltonyeni
𝑃𝑥2
1
𝑃𝑧2
𝐻=
+
+ 𝑉(𝑧)
(𝑃 + 𝑒𝐵𝑥) +
2𝑚 2𝑚 𝑦
2𝑚
olur. Bu Hamiltonyen kullanılarak Schrödinger denklemi
𝑃𝑥2
1
𝑃𝑧2
2
[ ∗+
+
𝑒𝐵𝑥)
+
+ 𝑉(𝑧)] Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(𝑃
𝑦
2𝑚
2𝑚∗
2𝑚∗
şeklinde yazılır. Bu denklemin çözümü olarak
𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
1 𝑖𝑘 𝑦
𝑒 𝑦 𝜑(𝑥)𝜒(𝑧)
𝐿𝑦
ile verilen dalga fonksiyonu önerilebilir.
Önerdiğimiz dalga fonksiyonunu
Shrödinger denkleminde yerine koyduğumuzda x ve z değişkenlerine bağlı kısımlar
birbirinden
rahatlıkla
ayrılır.
χ(z)
fonksiyonu
yukarıda
bahsedilen
Schrödinger/Poisson denklemlerinin kendi içinde uyumlu hesabından sayısal
olarak bulunan z değişkenine bağlı fonksiyondur. Bu denklemin x değişkenine
bağlı kısmı aşağıdaki şekilde verilir.
𝑃𝑧2
1
2
[ ∗+
(ℏ𝑘𝑦 + 𝑒𝐵𝑥) ] 𝜑(𝑥) = (𝐸 + 𝐸𝑖 )𝜑(𝑥)
∗
2𝑚
2𝑚
Ve bu denklemin çözümünden Landau enerji seviyeleri elde edilir.
1
𝜀𝑛 = (𝑛 + ) ℏ𝜔
2
Böylece kuyu içinde herhangi bir 𝑖 enerji seviyesi 𝐸𝑖 ’ye karşılık gelen Landau
seviyeleri
1
𝐸𝑛 = 𝐸𝑖 + (𝑛 + ) ℏ𝜔
2
şeklinde olacaktır. Burada 𝑖 indisi kuyu içindeki seviyeleri, n indisi Landau
seviyelerini göstermektedir. Dolu olan alt bant sayısı kuyunun derinliğine ve
- 56 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
elektron yoğunluğuna bağlı olarak değişecektir. Manyetik alanın varlığında durum
yoğunluğu, her bir alt banda karşılık gelen durum yoğunluklarının toplamı olarak
𝑀
𝐷(𝐸) = ∑ 𝐷𝑖 (𝐸)
𝑖
şeklinde yazılabilir. Burada 𝑀 sistemdeki alt enerji bandı sayısıdır ve 𝐷𝑖 (𝐸) her alt
enerji bandına ilişen Landau seviyelerine karşılık gelen durum yoğunluklarının
toplamıdır ve
𝐷𝑖 (𝐸) =
1
∑ 𝛿(𝐸 − 𝐸𝑛 )
2𝜋𝜆2
𝑛
ile verilir. Burada 𝝀 manyetik uzunluktur. Sistemdeki kusurlardan ve fonon
saçılmalarından dolayı durum yoğunluğu tekillikten ziyade Gaussian tipi genişleme
gösterir. Böylece durumu yoğunluğu 𝐷𝑖 (𝐸),
𝐷𝑖 (𝐸) =
1
1
2
2
∑
𝑒 −(𝐸−𝐸𝑛 ) ⁄2Γ
2
2𝜋𝜆
√2𝜋Γ
𝑛
şeklinde ifade edilebilir (Bastard, G., 1990).
Isı Sığası ve Manyetizasyon
Bir sistemin genel olarak herhangi bir sıcaklıktaki toplam iç enerjisi sıcaklıkla
değişir ve bu değişimin oranı sabit hacim altındaki ısı sığası olarak tanımlanır. Bu
çalışmada gözönüne alınan iki boyutlu elektron gazı için ısı sığası (Li ve ark., 1989)
Elektron gazının manyetizasyonu ise
𝑀 = 𝑘𝐵 𝑇 ∑ ∫
𝑛
𝑑𝐷𝑖 (𝐸)
log(1 + 𝑒 (𝐸−𝜇⁄𝑘𝐵 𝑇) )𝑑𝐸
𝑑𝐵
İfadesinden sayısal olarak hesaplanabilir. (Eisenstein, J.P., 1985)
Araştırma Bulguları
Çalışmamızda iki farklı sistemde oluşan elektron gazını incelendi. Bunlardan bir
tanesi AlGaN/GaN/AlGaN kuyusunda polarizasyon yükleri sonucu oluşan kuantum
kuyusu, diğeri GaAs'ın delta katkılaması sonucu oluşan potansiyel kuyusudur.
Burada 2BEG için tek fark elektronun kendisi ile ilgili parametrelerdir. Bu
parametreler: Elektronun etkin kütlesi, sistemin dielektrik sabitleri, kuyu genişliği ve
derinliğidir. Bu sistemlere dik olarak manyetik alan uyguladığında ilk olarak ortaya
çıkan durum, durum yoğunluğundaki değişikliktir. Durum yoğunluğu: Birim enerjiye
- 57 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
düşen durum sayısıdır. Manyetik alanın yokluğunda, iki boyutlu sistemler için
durum yoğunluğu sabittir. Bu sabit değer 𝑚∗ ⁄𝜋 ℏ2 ’dir. Manyetik alanın varlığında
durum yoğunluğu tekil hale gelir ve sadece Landau enerji seviyeleri etrafında pik
yapar. Bu durum sitemin bütün değerlerinin salınımına neden olur. Çünkü Landau
seviyeleri arasında durum yoğunluğu genel olarak sıfırdır. Landau seviyelerinin
tekilliği, zamanla Landau seviyelerinin genişlemesinden dolayı bozulur. Fonon
saçılmaları, safsızlıklar ve sistemin kusurları Landau seviyelerinin kendi etrafında
genişlemesine sebep olur. Bu genişleme Gaussian tipi genişlemedir. Şekil.1.'de
x=0.10 için Fermi enerjisinin salınımı görülmektedir. Manyetik alanın düşük
değerlerinde salınım hızlı ve salınımın genliği düşüktür. Çünkü düşük manyetik
alan değerlerinde dolu Landau seviyesi daha fazladır. Her Landau seviyesinin ne
kadar dejenere olduğu (kaç durum içerebileceği) manyetik alanla doğru orantılı
olduğundan düşük manyetik alan değerlerinde bir Landau seviyesinin alabileceği
durum sayısı yüksek manyetik alanlara göre daha azdır. Manyetik alan arttıkça
salınımın genliği artarken salınım sayısı azalır. Yüksek manyetik alan değerlerinde
sistemdeki tüm elektronlar sadece bir Landau seviyesine sığabileceğinden, böyle
bir durumda genlik yüksek olur. Her Landau seviyesi kendi içinde dejenere olduğu
için alan arttıkça Landau seviyelerinin dejenerasyonu ve alabilecekleri durum
sayısı artmaktadır. Böylece üst seviyelerdeki elektronlar bir alt seviyedeki Landau
seviyesi dolana kadar alt seviyelere taşınmaktadır. Eğer alt seviyede yeterince yer
var ise üst seviyedeki Landau seviyesi tamamen boşalmaktadır. Böylece manyetik
alanın değişimi ile birlikte Fermi enerjisi değişecek ve salınımlar ortaya çıkacaktır.
İki boyutlu elektron gazının elektron yoğunluğu arttığında Fermi enerjisi salınımı
için periyodik yapı bozulmaya başlamıştır. Bu durum Şekil.2.’te verilmiştir.
Elektronun orbital hareketi sonucu oluşan manyetik momentlerinin, iki boyutlu
sistemler için birim alan, üç boyutlu sistemler için birim hacim başına düşen
sayısına manyetizasyon denir. Bir sistemde mıknatıslanma fiziksel olarak iç
enerjinin birim alana düşen değişim oranıdır. Manyetizasyonun değerinin
uygulanan manyetik alana göre değişimi Landau seviyeleri ile bağlantılıdır ve bu
değişim Şekil.3’ te gösterilmiştir.
Manyetik alan arttığında, elektronların orbital hareketinin yarıçapı küçülür. Buna
bağlı olarak elektronlar bir alt seviyedeki Landau seviyelerine geçebilirler. Her
Landau seviyesi sistemin dejenerasyon mertebesi kadar enerji seviyesi içerir.
Manyetik alan arttıkça bu dejenerasyon seviyesi artacağından bir Landau
seviyesinin alabileceği elektron sayısı da artacaktır. Böylece, elektron sayısına
bağlı olarak manyetizasyonun değeri değişecektir. Şekil.3 ve Şekil.4'de
manyetizasyonun manyetik alan ve doluluk oranına göre değişimi gösterilmiştir.
Doluluk oranı, dolu olan Landau seviyelerinin sayısıdır.
Isı sığasının manyetik alana göre değişimi Şekil.6’de verilmiştir. Görüldüğü gibi, ısı
sığası manyetik alanla birlikte değişmekte ve periyodik bir davranış göstermektedir.
Elektron yoğunluğu çok çok arttığında bu periyodik davranış bozulmaktadır.
- 58 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Şekil.1. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik
alana göre Fermi enerjisi salınımı ve n=1,2,3… için Landau enerji
seviyeleri. Alüminyum katkı oranı x=0.10’dur.
Şekil.2. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik
alana göre Fermi enerjisi salınımı ve n=1,2,3… için Landau enerji
seviyeleri. Alüminyum katkı oranı x=0.50’dir.
- 59 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Şekil.3. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik
alana göre mıknatıslanmanın salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.10’dur.
Şekil.4. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının doluluk
oranına göre mıknatıslanmanın salınımı. Alüminyum katkı oranı
x=0.10’dur.
- 60 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Şekil.5 . AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik
alana göre ısı sığasının salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.10’dur.
Şekil.6. AlGaN/GaN/AlGaN kuantum kuyusunda oluşan elektron gazının manyetik
alana göre ısı sığasının salınımı. Alüminyum katkı oranı x=0.40’dur.
- 61 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Tartışma ve Sonuçlar
Manyetik alanın varlığında düşük boyutlu ve üç boyutlu sistemlerde yüklü
parçacıkların hareketi kısıtlanır ve Landau seviyeleri ortaya çıkar. Özellikle iki
boyutlu sistemlerde manyetik alanın varlığında sistemin elektronik özellikleri
salınım yapmaya başlar. Düşük manyetik alanlarda Landau seviyeleri arası enerji
farkı az olduğundan salınım periyotları pek belli değildir. Yüksek alanlarda Landau
enerji seviyeleri arasındaki fark çok arttığından salınım periyotları net hale gelir.
Fakat elektron yoğunluğu çok çok arttığında manyetizasyon ve ısı sığasının
manyetik alan ile birlikte salınım periyotları bozulur. Bu durumun asıl belirleyicisi
manyetik alanla birlikte değişim gösteren durum yoğunluğudur.
Kaynaklar
EISENTEIN, J. P., STORMER, H. L., NARAYANAMURTI, V., CHO, A. Y.,
GROSSARD, A. C., Tu, C. W., 1985. Density of States and de Haas-van Alphen
Effect in Two-Dimensional Electron Systems. Physical Review Letters. 55, 8, (875878)
HARRIS, J. J., 1993. Delta-doping Of Semiconductors. Journal of Materials
Science: Materials in Elektronics, (4), (93-105).
KARAOĞLU,B., 1998. Kuantum Mekaniğine Giriş. Güven Yayın, İstanbul, 245s.
KLITZING, K. V., DORDA, G., PEPPER, M., 1980. New method for high-accuracy
Determination of the Fine-Structure Constant Based On Quantized Hall
Resistance. Physical Review Letters. Volume 45, No 3, (494-497).
SCHUBERT, E. F., STARK, J. B., ULLIRCH, B., 1985. Spatial Localization Of
Impurities in $\delta$-doped GaAs. Appl. Phys Lett. 52, 1508.
SERWAY, R. A., BEICHNER, R. J., 2008. Fen ve Mühendislik İçin Fizik (K.
ÇOLAKOĞLU editör). Palme Yayıncılık, Ankara, 802s
TAYLOR, J. R., ZAFARRITOS, C. D., 1996. Fizik ve Mühendislikte Modern Fizik.
Arte Güven Yayıncılık, 109s.
- 62 -