Ders notlari

FIRAT ÜNĐVERSĐTESĐ
MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ
ĐNŞAAT MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ
ĐMÜ 413
BĐLGĐSAYAR DESTEKLĐ BOYUTLANDIRMA
DERS NOTLARI (TEORĐK)
Yrd. Doç. Dr. Fatih CETĐŞLĐ
(Prof. Dr. Mehmet ÜLKER’in önceki yıllarda hazırlamış olduğu ders
notları düzenlenmiştir)
2008-2009 Güz
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
1
ĐÇĐNDEKĐLER
ĐÇĐNDEKĐLER ________________________________________________________2
A.
Notasyon ve Đşaret Kuralı___________________________________________3
B.
Eleman Kuvvet ve Deplasmanları ____________________________________3
I.
II.
Kafes sistemler için bağıntılar ___________________________________________ 4
Düğüm noktaları rijit sistemler -ÇERÇEVELER- için bağıntılar ____________ 7
C.
Düğüm Noktası Deplasman ve Koordinatları ___________________________8
D.
Deplasmanların Geometrik Uygunluk Şartı ___________________________11
I.
Deplasman dönüşüm matrisinin kurulması________________________________ 11
II.
Kafes sistemler için deplasman dönüşüm matrisi_________________________ 12
III.
Düğüm noktası rijit (Çerçeve) Sistemler ________________________________ 15
E.
Analizin Sonuçlandırılması ________________________________________19
F.
Çubuk Kuvvetlerinin ve Rijitlik Matrisinin Doğrudan Elde Edilmesi _______25
I.
II.
Rijitlik matrisinin doğrudan elde edilmesi ________________________________ 25
Çubuk Kuvvetlerinin Doğrudan Elde Edilmesi __________________________ 30
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
2
MATRĐSLERĐN YAPI SĐSTEMLERĐNE UYGULANMASI
MATRĐS DEPLASMAN YÖNTEMĐ
A.
NOTASYON VE ĐŞARET KURALI
Pozitif deplasmanlar ve dönmeler
θ saat yönünün tersinde, X ekseninden Y eksenine doğru alınır.
Y
θ
X
Pozitif kuvvetler ve momentler
M P’den Q’ya doğru alınır.
P
M
Q
Aşağıda bir kirişin uçlarındaki eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momentleri
pozitif yönleriyle görülmektedir.
Q
M
P
M
P
Q
B.
ELEMAN KUVVET VE DEPLASMANLARI
Elemanlarda iç kuvvetler ve iç deplasmanlar arasındaki bağıntıyı incelemek için basit
bir yay göz önüne alınabilir.
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
3
k
Yüklenmemiş hal
Yüklenmiş hal
x
Lineer elastik yay için, uygulanan dış kuvvet – P ile deplasman – x arasındaki bağıntı
ise grafik olarak aşağıda verildiği şekildedir.
P
k
1
x
P = k.x olarak yazılabilir.
k = yaya bağlı, sertlikle ilgili bir faktör, = rijitlik
f = 1/k olmak üzere x= f.P olarak da yazilabilir. Bu durumda,
f = fleksibilite, yayın yumuşaklığı ile ilgili bir katsayı
I.
Kafes sistemler için bağıntılar
Yay haline en yakın olan durumdur.
y
L+e
Pi
Pj
Koordinat sisteminde
kafes çubuğun
deforme olmuş ve
L
i
j
deforme olmamış hali
x
e = uzama
çekme →
(+)
basınç →
(-)
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
4
Hooke Kanunu' ndan
σ = E ⋅ε
P
e
( L + e) − L
= E⋅
= E⋅
A
L
L
E⋅A
P=
⋅e
L
P = k ⋅ x ise
E⋅A
k=
L
x=e
Herbir çubuk için elde edilen
Pg=kg*ug
eşitliği (kg=EA/L olmak üzere)sistem için elde edilen
P=K*Z
matrisinde yerine yazılır.
 P1   k1
P   0
 2 
 =0
  
  0
 Pn   0
0
k2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0   u1 
0  u 2 
0 × 
  
0  
k n  u n 
Örnek:
Şekildeki kafes sistemin P=K*Z denkleminin genel formu
1
2
3
4
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
5
 P1  k1
P   0
 2 = 
 P3   0
  
 P4   0
0
k2
0
0
0
0
k3
0
0   u1 
0  u 2 
×
0  u 3 
  
k 4  u 4 
Örnek:
Şekildeki kafes sistemin P=K*Z denklemini kurunuz.
α = 45°, A = 5000 mm2, E = 200 kN/mm2.
5
α
1
α
2
α
6
3
α
α
4 m.
4
7
α
4 m.
L5 = L6 = L7 = 4000mm
L1 = L2 = L3 = L4 = 4000 ⋅ cos(45) = 2828mm
kg = (
EA
)g
L
200 ⋅ 5000
= 250 ⋅ 1.414
2828
200 ⋅ 5000
k5 = k6 = k7 =
= 250
4000
k1 = k 2 = k 3 = k 4 =
olarak elde edilir. Matris formunda sistemin denklemi yazılırsa,
0
0
0
0
0
0   u1 
 P1 
1.414
P 
 0
1.414
0
0
0
0
0  u 2 
 2

 P3 
 0
0
1.414
0
0
0
0  u 3 
 

  
0
0
1.414 0
0
0  × u 4 
 P4  = 250 ×  0
P 
 0
0
0
0
1 .0 0
0  u 5 
 5

  
0
0
0
0
0
1
.
0
0
 P6 

 u 6 
P 
 
 0
0
0
0
0
0 1.0 u 7 

 7
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
6
II.
Düğüm noktaları rijit sistemler -ÇERÇEVELER- için bağıntılar
Q
MB
A
P
B
MA
P
Q
θB
φB
φA
y
VB
θA
L
Çerçeve sistemde çubuk
elemanın
deforme olmuş ve
deforme olmamış hali
VA
A
V
B
x
V
+ φA
L
V
θ B = + φB
L
V = VB − V A
θA =
Bu şekil için sınır şartları kullanılarak (veya yapı statiği bilgileriyle)
L
⋅ (2 ⋅ M A − M B )
6 EI
L
⋅ (2 ⋅ M B − M A )
φB =
6 EI
olarak veya matris formunda
φA =
φ A 
L  2 − 1 M A 
×

 =
×
φ B  6 EI − 1 2  M B 
bu denklemden
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
7
M A  EI 4 2 φ A 
×

=
× 
M B  L 2 4 φ B 
elde edilir.
Bir çerçeve çubuk için en genel haldeki bağıntı,
 EA
 L
 P  
Q   0

 

=
M A   0
M B  

 0

0
EI
L3
EI
−6 2
L
EI
−6 2
L
12
0
EI
L2
EI
4
L
EI
2
L
−6


EI   u 
−6 2   v 
L × 
EI  φ A 
 
2
L  φ 
EI   B 
4

L 
0
Herbir çubuk için Pg = Kg*Zg üstteki matris formunda elde edilir.
C.
DÜĞÜM NOKTASI DEPLASMAN VE KOORDĐNATLARI
Y
(0,3)
(4,3)
(8,3)
(0,0)
(4,0)
(8,0)
3 m.
4 m.
Y
X
4 m.
y2
θ2
x2
y1
θ1
x1
X
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
8
Deplasman bileşenleri x, y, ve θ ile gösterilir. Bunlar düğüm noktasınınserbestlik
derecesi olarak adlandırılır. x-y düzlemindeki mesnet türleri için serbestlik dereceleri aşağıda
belirtilmiştir.
Serbestlik Derecesi
Mesnet Türü
x
y
θ
Ankastre
0
0
0
Sabit
0
0
1
Kayıcı
1
0
1
Örnek: Çerçeve Sistem (x-y düzleminde)
Serbestlik Derecesi
Düğüm
Noktası
x
y
θ
1
0
0
0
2
1
1
1
3
1
1
1
4
1
1
1
5
0
0
1
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
9
 x2 
y 
 2
θ 2 
 
 x3 
 y 
X =  3
θ 3 
 x4 
 
 y4 
θ 
 4
θ 5 
(deplasman vektörü) sistemin serbestlik derecesi = 10
Örnek: Kafes Sistem (x-y düzleminde)
Serbestlik Derecesi
x
y
1
0
0
2
1
1
3
1
1
4
1
0
5
1
1
6
1
1
7
1
1
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
θ
Kafes sistemlerde dönme
yok
Düğüm
Noktası
10
 x2 
y 
 2
 x3 
 
 y3 
 x4 
 
X =  x5 
y 
 5
 x6 
 
 y6 
 x7 
 
 y7 
D.
(deplasman vektörü) sistemin serbestlik derecesi = 11
DEPLASMANLARIN GEOMETRĐK UYGUNLUK ŞARTI
Matris deplasman yönteminde kuvvetler deplasmanlara bağlanır. Đşlemler neticesinde
elde edilen matris rijitlik matrisidir.
K*X=L
K=rijitlik matrisi
X=deplasman vektörü
L=dış kuvvetler vektörü
Dış deplasmanlar X ↔ L Dış yükler
Bir yapı analizi probleminde şu şartlara bakılır;
•
Denge şartları
•
Geometrik uygunluk şartları
•
Konstitütif bağıntılar (gerilme-şekil değiştirme, malzeme öellikleri)
Amaç: Đç deplasmanlar (Z) ile dış deplasmanlar (X) arasında bir bağıntı – geometrik
uygunluk şartı – kurmak.
Z=A*X
A= iç deplasmanlarla dış deplasmanları birbirine
bağıntılayan “deplasman dönüşüm matrisi”.
I.
Deplasman dönüşüm matrisinin kurulması
Deplasman dönüşüm matrisi kurulurken, aşagıda gösterilen eksenler arasındaki açıların
bağıntısı kabul edilir.
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
11
Y
Y
u
β
β
β
α
X
u
α
α
u
X
X
Y
α açısı u vektörünün X ekseni ile yapmış olduğu açı, β açısı u vektörünün Y ekseni ile
yapmış olduğu açı.
Örnek: Şekildeki kafes sistemin elemanları için α ve β açılarını belirleyiniz.
1
4
β=135°
1
2
1
α=135°
15°
2
3
30°
β=60°
X
α=30°
2
α=180°
3
3
β=90°
Y
Eleman
II.
Noktalar
Açılar
i
j
α
β
1
3
4
135
135
2
2
3
30
60
3
3
1
180
90
Kafes sistemler için deplasman dönüşüm matrisi
Çubuk deformasyonları arasındaki bağıntı en genel haliyle 3 boyutlu sistemde aşağıda
şeildedir
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
12
u i = − cos α
− cos β
− cos γ cos α
 xi 
y 
 i
 z i 
cos γ  
x j 
y j 
 
 z j 
cos β
ui çubuk iç deplasman vetörüne
i ucunun katkısı ⇒ − xi ⋅ cos α − y i ⋅ cos β − z i ⋅ cos γ
j ucunun katkısı ⇒ x j ⋅ cos α + y j ⋅ cos β + z j ⋅ cos γ
cos α , cos β , ve cos γ doğrultu kosinüsleri olup, (L çubuk boyu olmak üzere)
cos α =
x j − xi
L
, cos β =
y j − yi
L
, cos γ =
z j − zi
L
şeklinde tanımlanır.
X-Y düzlemindeki bir çubuk eleman için,
u i = − xi ⋅ cos α − yi ⋅ cos β + x j ⋅ cos α + y j ⋅ cos β
ile elde edilir
Örnek:
α=90°, β=0°
1
2
1
2
3
30°
3
2
X
α=30°
4
β=60°
4
Y
3
1 ve 4
α=0°, β=90°
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
13
Eleman
α
β
cosα
cosβ
i
j
1
0
90
1
0
1
2
2
90
0
0
1
2
4
3
30
60
0.87
0.5
1
4
4
0
90
1
0
3
4
u1 = − x1 ⋅ cos α 1 − y1 ⋅ cos β 1 + x 2 ⋅ cos α 1 + y 2 ⋅ cos β 1
1 nolu çubuk iç deplasman vektörü
u 2 = − x 2 ⋅ cos α 2 − y 2 ⋅ cos β 2 + x 4 ⋅ cos α 2 + y 4 ⋅ cos β 2
2 nolu çubuk iç deplasman vektörü
u 3 = − x1 ⋅ cos α 3 − y1 ⋅ cos β 3 + x 4 ⋅ cos α 3 + y 4 ⋅ cos β 3
3 nolu çubuk iç deplasman vektörü
u 4 = − x3 ⋅ cos α 4 − y 3 ⋅ cos β 4 + x 4 ⋅ cos α 4 + y 4 ⋅ cos β 4
4 nolu çubuk iç deplasman vektörü
Bu denklemlerin matris formu;
u1   − cos α 1
u   0
 2 
 =
u 3  − cos α 3
u 4   0
− cos β 1
0
− cos β 3
0
cos α 1
− cos α 2
0
0
cos β 1
− cos β 2
0
0
0
0
0
− cos α 4
0
0
0
− cos β 4
0
cos α 2
cos α 3
cos α 4
 x1 
y 
 1
0   x2 
 
cos β 2   y 2 
× 
cos β 3   x3 

cos β 4   y 3 
 
 x4 
y 
 4
Bu matris formu genel formdur. Her noktanın serbeste hareket edeceği durumu ifade. Örnekte
verilen sistemde 1 ve 3 nolu düğüm noktalarında sabit mesnet vardır. Yani 1 ve 3 nolu
mesnette x ve y yönünde ötelenmeler engellenmiştirç Başka bir deyişle,
x1 = y1 = x 3 = y 3 = 0 olur ve bunlara A dönüşüm matrisinde bunlara karşı gelen değerler
elimine edilir
Bu örnek için yukarıdaki matrisin sadeleştirilmiş hali
u1   cos α 1
u  − cos α
 2 
2
 =
u 3   0
u 4   0
cos β 1
0
− cos β 2
0
0
cos α 2
cos α 3
cos α 4
  x2 
cos β 2   y 2 
× 
cos β 3   x 4 

cos β 4   y 4 
0
Değerler yerine yazılırsa, A dönüşüm matrisi
0
0   x2 
 u1   1 0
u  0 − 1 0
1   y 2 
 2 
×   olacak şekilde elde edilir Z = A ⋅ X .
 =
u 3  0 0 0.87 0.5  x 4 

u 4  0 0
1
0   y 4 
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
14
III.
Düğüm noktası rijit (Çerçeve) Sistemler
Çerçeveler için çubuk deformasyonları ile dış deplasmanları birbirine bağlayan ifade
aşağıdaki gibidir.
Y
v
λ
u
λ=α+β+µ=90°+α
µ=α
µ β
α
X
u = u j − u i = − xi ⋅ cos α − y i ⋅ cos β + x j ⋅ cos α + y j ⋅ cos β
olarak kafes sistemlerde çubuk elemanlar için elde edilmişti. Benzer şekilde
v = v j − vi = − xi ⋅ cos λ − y i ⋅ cos µ + x j ⋅ cos λ + y j ⋅ cos µ
olarak elde edilir. Burada geometriden
cos λ = cos(90 + α ) = − cos β
değerleri elde edilir ve formülde yerine yazılırsa,
ve
cos µ = cos α
v = v j − vi = xi ⋅ cos β − y i ⋅ cos α − x j ⋅ cos β + y j ⋅ cos α olarak α ve β cinsinden elde
edilmiş olur.
Bu durumda düğüm noktaları rijit bir eleman için en genel haliyle iç deplasmanlar ile
dış deplasmanlar arasındaki bağıntı;
 u  − cos α
 v   − cos λ
  
 =
θ A   0
θ B   0
− cos β
− cos µ
0
0
0 cos α
0 cos λ
1
0
0
0
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
cos β
cos µ
0
0
 xi 
 
0  y i 
0  θ i 
×   olarak veya
0  x j 

1  y j 
 
θ j 
15
 u  − cos α
 v   cos β
  
 =
θ A   0
θ B   0
− cos β
− cos α
0
0
0 cos α
0 − cos β
1
0
0
0
cos β
cos α
0
0
 xi 
 
0  yi 
0  θ i 
×   olarak yazılır. Z = A ⋅ X
0  x j 

1  y j 
 
θ j 
θB
V
θA
y
VB
Çerçeve sistemde çubuk
elemanın
deforme olmuş ve
deforme olmamış hali
VA
A
B
L
x
Örnek: Şekildeki çerçevenin “A” deplasman dönüşüm matrisini kurunuz.
2
3
2
1
45°
X
3
1
4
Y
Sistemin dış deplasman vektörü
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
16
 x2 
y 
 2
θ 2 
 
X =  x3 
y 
 3
θ 3 
θ 
 4
olarak elde edilir. (1 nolu düğüm noktasında ankastre mesnet, 4 nolu d.n.da da sabit mesnet
olduğu için)
1
2
α=45°, β=45°
α=0°, β=90°
α=90°, β=180°
3
Eleman
α
β
cosα
cosβ
cosλ
cosµ
1
90
180
0
-1
1
2
0
90
1
0
3
45
45
0.71
0.71
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
D.N.
i
j
0
1
2
0
1
2
3
-0.71
0.71
3
4
17
 u1  − cos α 1
 v   cos β
1
 1  
θ A1   0
  
θ B1   0
 u2   0
  
 v2   0
 =
θ A 2   0
θ B 2   0
  
 u3   0
v   0
 3  
θ A3   0
θ   0
 B3  
− cos β 1
− cos α 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 cos α 1
0 − cos β 1
1
0
0
0
0 − cos α 2
0 cos β 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
cos β 1
cos α 1
0
0
− cos β 2
− cos α 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos α 2
0 − cos β 2
1
0
0
0
0 − cos α 3
0 cos β 3
0
0
0
0
0
0
0
0
cos β 2
cos α 2
0
0
− cos β 3
− cos α 3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0 cos α 3
0 − cos β 3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos β 3
cos α 3
0
0
0  x1 
0  y1 
0  θ 1 
  
0  x 2 
0  y 2 
  
0 θ 2 
× 
0  x 3 

0  y 3 
 
0 θ 3 

0  x 4 
  
0  y 4 
1 θ 4 
18
mesnet koşullarından ötürü A dönüşüm ve X dış deplasman vektörü güncellenir ve kosinüs
değerleri yerine yazılırsa. (A dönüşüm matrisinde 1, 2, 3, 10, ve 11. kolonlar elimine edilir,
karşı çarpımları x1 = y1 = θ1 = x4 = y4 = 0 olduğu için) ( Z = A ⋅ X )
0
0
 u1   0 − 1 0
v  1
0 0
0
0
 1  
θ A1   0
0 0
0
0
  
0 1
0
0
θ B1   0
 u 2  − 1 0 0
1
0
  
0
1
 v2   0 − 1 0
 =
0 1
0
0
θ A 2   0
θ B 2   0
0 0
0
0
  
0 0 − 0.71 − 0.71
 u3   0
v  0
0 0 0.71 − 0.71
 3 
0 0
0
0
θ A3   0
θ   0
0 0
0
0
 B3  
E.
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
  x2 
0  
y2
0  
 θ 2 
0  
×  x3  olarak elde edilmiş olur.
0  
 y3
0  
θ 3 
0  
 θ4
0  

0
1
ANALĐZĐN SONUÇLANDIRILMASI
Analizin sonuç durumunda, düğüm noktası deplasmanları
L=S*X
denkleminin çözülmesiyle elde edilir. Bu denklemde L= dış yükler vektörü, S= sistem
rijitlik matrisi, ve X= sistem düğüm noktaları deplasman vektörüdür.
L=S*X denkleminin kurulumu
Dış yükler tarafından yapılan toplam iş, sistemin çubuk elemanları tarafından absorbe
edilen (karşılanan) işe eşittir. Yani
LT ⋅ X = P T ⋅ Z olacaktır. Z = A ⋅ X eşitliği yerine yazılırsa
LT ⋅ X = P T ⋅ A ⋅ X eşitliği elde edilir. Buradan LT = P T ⋅ A elde edilir. Bu eşitliğin
transpozu alınırsa,
L = AT ⋅ P elde edilir. Bununla birlikte P = K ⋅ Z ve Z = A ⋅ X eşitlikleri yerine
yazılırsa
L = AT ⋅ K ⋅ A ⋅ X denklemi elde edilir. Bu denklemi yukarıda yazmış olduğumuz
L = S ⋅ X formatında dusunursek,
S sistem rijitlik matrisi S = AT ⋅ K ⋅ A denklemi ile elde edilir.
L = S ⋅ X denklemi ile çözülen X dış deplasman vektörü P = K ⋅ A ⋅ X denkleminde
yerine yazılarak çubuk iç kuvvetleri elde edilir.
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
19
Örnek: Şekildeki sistemin X ve L vektörlerini oluşturunuz
V
W
3
4
H
60°
X
M
1
2
Y
θ 2 
x 
 3
 y3 
 
X = θ 3 
x 
 4
 y4 
θ 
 4
0




H




V


M
=L

− W ⋅ cos 60


 W ⋅ sin 60 


0


Örnek: Şekildeki sistemin X ve L vektörlerini oluşturunuz
Y
2
3
1
4
L3
50°
L2
X
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
20
 − L2



0


 L3 ⋅ sin 40  = L
− L ⋅ sin 50
 3



0
 x2 
y 
 2 
X =  x3 
y 
 3
 y 4 
Örnek: Şekildeki sistemi çözünüz
3m
3m
2
3
4
X
1
Y
2
3
4m
2.88 kN
1
7.56 kN
A1 = A3 = 50mm 2
A2 = 100mm 2
E = 200 ⋅ 10 3 N / mm 2
ADIM – 1
P = K ⋅Z
k1 =
E1 ⋅ A1 200 ⋅ 50
=2
=
5000
L1
Çubuk rijitlikleri k 3 = k1
k2 =
kN/mm olarak elde edilir.
E 2 ⋅ A2 200 ⋅ 100
=
=5
4000
L2
P = K ⋅Z
 P1   2
  
 P2  =  0
 P  0
 3 
0
5
0
0   u1 
 
0  ×  u 2  elde edilir.
2   u 3 
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
21
ADIM – 2
Z = A⋅ X
1
2
3
α=90°, β=0°
α=53°, β=37°
Çubuk
α
β
cosα
cosβ
1
53
37
0,6
2
90
0
3
127
37
α=127°,β=37°
D.N.
i
j
0,8
2
1
0
1
3
1
-0,6
0,8
4
1
En genel haliyle Z = A × X eşitliği
u1   cos α 1
  
u 2  = cos α 2
u  cos α
3
 3 
cos β1
− cos α 1
− cos β 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− cos α 2
0
− cos β 2
0
0
− cos α 3
 x1 
y 
 1
x 
0   2
y 
0  ×  2 
x
− cos β 3   3 
 y3 
 
 x4 
y 
 4
2, 3, ve 4 nolu D.N. sabit mesnetlerden ötürü
x 2 = y 2 = x3 = x3 = x 4 = y 4 = 0
sadeleştirilmiş hali.
değerini alır. O halde
Z = A× X
eşitliğinin
 u1   cos α 1
  
u 2  = cos α 2
u  cos α
3
 3 
cos β 1 
x 
cos β 2  ×  1 
y
cos β 3   1 
 u1   0,6 0,8
x 
  
1  ×  1 
u 2  =  0
u  − 0,6 0,8  y1 
 3 

ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
22
ADIM – 3
S = AT ⋅ K ⋅ A
2 0 0  0,6 0,8  1,2 1,6
K × A = 0 5 0 ×  0
1  =  0 5,0
0 0 2 − 0,6 0,8 −1,2 1,6
 1,2 1,6
0,6 0 − 0,6 
1,44 0 
T
S = A ×K × A = 
×  0 5,0 = 


0,8 1 0,8  
 0 7,56

1
,
2
1
,
6
−


S matrisinin özellikleri
1. Yapının serbestlik dercesi “n” ise, S matrisinin boyutu “nxn” olacaktır. Bu örnekte
serbestlik dercesi 2 dir (x1, y1). Bu nedenle S nin boyutu 2x2 olarak elde edilmiştir.
2. S rijitlik matrisi daima simetrikdir.
3. S-1 çıkmadığı takdirde yapı stabil değildir.
ADIM – 4
L=S⋅X
X = S −1 ⋅ L
0 
0,694
S −1 = 
0,132
 0
0  2,88 2
x 
0,694
X =  1  = S −1 ⋅ L = 

 =  mm
0,132 7,56 1 
 0
 y1 
ADIM – 5
P = K ⋅ A⋅ X
 1,2 1,6 
 4 
2  



P= 0
5,0 ×   =  5 kN
1
− 1,2 1,6    − 0,8
olarak çubuk kuvvetleri elde edilir.
Sonucun sağlaması için
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
23
L = AT ⋅ P
 4 
0,6 0 − 0,6 
 2,88
5
L=

=
kN

0,8 1 0,8  − 0,8 7,56


ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
yükleme değerleri elde edilmesi gerekir.
24
F.
ÇUBUK KUVVETLERĐNĐN VE RĐJĐTLĐK MATRĐSĐNĐN DOĞRUDAN ELDE EDĐLMESĐ
I.
Rijitlik matrisinin doğrudan elde edilmesi
Bir çerçeve çubuk elaman için S = AT ⋅ K ⋅ A sistem rijitlik matrisi
S = AT ⋅ K ⋅ A

0 0  EA
0
0
0 

− cos α 0 0  L
EI
EI
EI  − cos α

  sin α
−
−
0
12
6
6
3
2
2
0
1 0
L
L
L

×
×
EI
EI   0
− sin α 0 0  0 − 6 EI
4
2

L
L   0
L2
cos α 0 0 
 
EI
EI
EI

−
0
6
2
4


0
0 1
L
L 

L2
B − C − A − B − C
 A
 B
F − T − B − F − T 

− C − T
e
C
T
f   S ii S ij 
S=
=

A
B
C   S ji S jj 
− A − B C
− B − F T
B
F
T 


f
C
T
e 
− C − T
− cos α
 − sin α

 0
=
 cos α
 sin α

 0
sin α
EA
L
EI
b = 12 3
L
EI
d = −6 2
L
EI
e=4
L
EI
f =2
L
− sin α
− cos α
0 cos α
0 − sin α
sin α
cos α
0
1
0
0
0
0
0
0
a=
A = a ⋅ cos 2 α + b ⋅ sin 2 α
B = (a − b) cos α ⋅ sin α
C = −d ⋅ sin α
F = b ⋅ cos 2 α + a ⋅ sin 2 α
T = d ⋅ cos α
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
25
0
0
0

1
B − C
 A

S ii =  B
F − T 
− C − T
e 
− A − B − C 
S ij = − B − F − T 
 C
T
f 
− A − B C 
S ji =  − B − F T 
− C − T f 
 A B C
S jj =  B F T 
C T e 
Örnek: Şekildeki çerçevenin sistem rijitlik matrisini oluşturulması
2
3
2
3
4
1
1
4
 x1 
 
X 1 =  y1 
θ 
 1
Eleman
 x2 
 
X 2 =  y2 
θ 
 2
 x3 
 
X 3 =  y3 
θ 
 3
 x4 
 
X 4 =  y4 
θ 
 4
Düğüm Noktası
i
j
1
1
3
2
2
3
3
2
1
4
3
4
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
26
1nci Elemanın katkı matrisi
 ( S ii )1
 0

( S ji )1

 0
0 ( S ij )1
0
0
0 ( S jj )1
0
0
2nci Elemanın katkı matrisi
0  X 1 
0  X 2 
× 
0  X 3 

0  X 4 
0
0
0 ( S )
ii 2

0 ( S ii ) 2

0
0
3ncü Elemanın katkı matrisi
( S jj ) 3
 (S )
 ij 3
 0

 0
( S ji ) 3
( S ii ) 3
0
0
( S ii )1 + ( S jj ) 3

( S ij ) 3


( S ji )1

0

0
0
0
0
( S ii ) 2
( S jj ) 2
0
0  X 1 
0  X 2 
× 
0  X 3 

0  X 4 
4ncü Elemanın katkı matrisi
0
0

0

0
0  X 1 
0  X 2 
× 
0  X 3 

0  X 4 
( S ji ) 3
( S ii ) 2 + ( S ii ) 3
( S ji ) 2
0
0
0
0
0
0
0 ( S ii ) 4
0 ( S ji ) 4
( S ij )1
( S ij ) 2
( S jj )1 + ( S jj ) 2 + ( S ii ) 4
( S ji ) 4
0   X1 
0   X 2 
× 
( S ij ) 4   X 3 

( S jj ) 4   X 4 
0   X1 
0   X 2 
× 
( S ij ) 4   X 3 

( S jj ) 4   X 4 
Örnek: Aşağıda verilen çerçevenin rijitlik matrisini kurunuz
30°
EA=100,000 br
100 br
2
EI=10,000 br
X
2
L=10 br
3
1
1
Y
Çubuk
α
β
cosα
cosβ
cosλ
cosµ
i
j
1
90
0
0
1
-1
0
2
1
2
0
90
1
0
0
1
2
3
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
27
( S jj )1

SX =  ( S ij )1
 0

( S ji )1
( S ii )1 + ( S ii ) 2
( S ji ) 2
0   X1 
  
( S ij ) 2  ×  X 2 
( S jj ) 2   X 3 
1 nolu eleman için
2 nolu eleman için
a1 =
EA
= 10000
L
EI
b1 = 12 3 = 120
L
EI
d1 = −6 2 = −600
L
EI
e1 = 4 = 4000
L
EI
f1 = 2 = 2000
L
A1 = a1 ⋅ cos2 (α1 ) + b1 ⋅ sin 2 (α1 ) = 120
EA
= 10000
L
EI
b2 = 12 3 = 120
L
EI
d 2 = −6 2 = −600
L
EI
e2 = 4
= 4000
L
EI
f2 = 2
= 2000
L
A2 = a 2 ⋅ cos 2 (α 2 ) + b2 ⋅ sin 2 (α 2 ) = 10000
B1 = (a1 − b1 ) ⋅ cosα1 ⋅ sin α1 = 0
B2 = (a 2 − b2 ) ⋅ cos α 2 ⋅ sin α 2 = 0
C1 = −d1 ⋅ sin α1 = 600
C 2 = −d 2 ⋅ sin α 2 = 0
F1 = a1 ⋅ sin 2 (α1 ) + b1 ⋅ cos2 (α1 ) = 10000
F2 = a 2 ⋅ sin 2 (α 2 ) + b2 ⋅ cos 2 (α 2 ) = 120
T1 = d1 ⋅ cosα1 = 0
T2 = d 2 ⋅ cos α 2 = −600
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
a2 =
28
− 120
0
600
0
600
0
0
0   x1 
 120
 600
− 10000
10000
0
0
0
0
0
0   y1 

 600
− 600
0
4000
0
2000
0
0
0  θ 1 

  
− 600 120 + 10000
− 600 + 0
− 10000
0
0+0
0
0   x2 
− 120
 
SX =  0
− 10000
− 120 600  ×  y 2 
0
0+0
10000 + 120
0 + 600
0


− 600 + 0
− 600 2000  θ 2 
0
2000
0 + 600
4000 + 4000
0
 600
 
 0
− 10000
0
0
0
0
10000
0
0   x3 

  
− 120
− 600
0
0
0
0
120 − 600  y 3 
 0
 0
− 600 4000  θ 3 
0
0
0
600
2000
0

− 600
0
2000
0
0  θ1 
 0   4000
 50  − 600 10120
− 600 − 10000
0
0   x 2 

 
86.6  0
0
10120 600
0
600   y 2 

=
× 
−
0
2000
600
600
8000
0
2000

 
 θ 2 
 0   0
− 10000
0
0
10000
0   x3 

 
  
 0   0
0
600
2000
0
4000 θ 3 
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
29
II.
Çubuk kuvvetlerinin doğrudan elde edilmesi
Çubuk kuvvetleri P = K ⋅ A ⋅ X
denklemi ile elde edilir.
Z = A⋅ X
 u  − cos α
 v   sin α
  
 =
θ A   0
θ B   0
− sin α
− cos α
0
0
− a ⋅ cos α
 b ⋅ sin α
K⋅A=
 d ⋅ sin α

 d ⋅ sin α
0 cos α
0 − sin α
1
0
0
0
sin α
cos α
0
0
 xi 
 
0  y i 
0 θ i 
× 
0  x j 

1  y j 
 
θ j 
− a ⋅ sin α
0
a ⋅ cos α
a ⋅ sin α
− b ⋅ cos α
d
− b ⋅ sin α
b ⋅ cos α
− d ⋅ cos α
e
− d ⋅ sin α
d ⋅ cos α
− d ⋅ cos α
f
− d ⋅ sin α
d ⋅ cos α
0
d 
f

e
E⋅A
L
E⋅I
b = 12 3
L
E⋅I
d = −6 2
L
E⋅I
e=4
L
E⋅I
f =2
L
a=
ĐMÜ 413 Bilgisayar Destekli Boyutlandırma
Yrd.Doç.Dr. Fatih Cetişli
30