DERS: ÜNİTE: KONU: MATEMATİK II BELİRLİ İNTEGRALLER MAT II (04) 1. ARALIKLARIN PARÇALANMASI 2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. ∑ sembolü ve temel toplam formülleri 2. Limitin temel özellikleri 3. Belirsiz integral KONU ANLATIMI 1. ARALIKLARIN PARÇALANMASI Tanım: [a, b] aralığı; a = x0 < x1 < x2 < K < xn −1 < b = xn olmak üzere x1 , x2 ,K, xn −1 noktaları ile n tane alt aralığa bölünsün. P = {x0 , x1 , x2 ,K, xn−1 , xn } kümesine [a, b] aralığının bir parçalanması (veya bölüntüsü) ve ∆xk = xk − xk −1 sayısına [ xk −1 , xk ] aralığının boyu veya ölçüsü denir. Alt aralıkların boylarının en büyüğüne, P parçalanmasının normu veya maksimal çapı denir ve P = maks {∆x1 , ∆x2 ,K, ∆xn } ile gösterilir. Bir parçalanmada, alt aralıkların boyları birbirlerine eşit ise bu parçalanmaya, düzgün parçalanma denir. Tanım: f : [a, b] → R sürekli fonksiyonu ve [a, b] aralığının bir P parçalanması için M k = maks{ f ( x) : xk −1 ≤ x ≤ xk } mk = min{ f ( x) : xk −1 ≤ x ≤ xk } olsun. ck , [ xk −1 , xk ] alt aralığında alınan herhangi bir nokta olmak üzere n n n k =1 k =1 k =1 A( f , P) = ∑ mk ∆xk , U ( f , P) = ∑ M k ∆xk , R( f , P) = ∑ f (ck ) ∆xk toplamlarına; sırasıyla, f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen alt toplamı, üst toplamı ve Riemann toplamı denir. Bu tanımda, her bir k için [ xk −1 , xk ] aralığında f fonksiyonun aldığı en küçük değerini mk ve en büyük değerini de M k olarak gösteririz. Dolayısıyla; f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen alt toplam, eğrinin altında kalan dikdörtgenlerin alanlarının toplamı; yani bir kenarı ∆xk = xk − xk −1 ve diğer kenarı mk olan dikdörtgenlerin alanlarının toplamı olacaktır. Üst toplamı da benzer düşünce ile hesaplarız. Örneğin, (bkz Belirli İntegrale Hazırlık, Şekil 3) [1,2] aralığının P = {1, 54 , 64 , 74 ,2} parçalanması için her bir alt aralığın boyu 1 4 olup, P parçalanması düzgündür. y = x 2 ile tanımlanan fonksiyon artan olduğundan her bir [ xk −1 , xk ] alt aralığında mk = f ( xk −1 ) ve M k = f ( xk ) olarak bulunur. A( f , P) alt toplamı; bu dört alt aralık üzerine y = x 2 eğrisinin altında kalacak biçimde çizilen dikdörtgenlerin alanlarının toplamıdır. Şekil 4 de çizilen dikdörtgenlerin alanlarının toplamı da U ( f , P) üst toplamını vermektedir. Bu dört alt aralıkta sırasıyla seçeceğiniz c1 , c2 , c3 , c4 noktaları için çizilen dikdörtgenlerin alanlarının toplamı da R ( f , P) Riemann toplamını verir. Parçalanma nasıl alınırsa alınsın, A( f , P) ≤ R( f , P) ≤ U ( f , P) olduğuna dikkat ediniz. n = 2, 4, 8, 16 için hazırladığınız tabloda; alt aralık sayısı n arttıkça; buna bağlı olarak A( f , P) alt toplamların arttığını ve U ( f , P) üst toplamının azaldığını görünüz. P düzgün bir parçalanma olduğuna göre n → ∞ için A( f , P) ve U ( f , P) toplamlarının limitinin aynı reel sayıya yakınsadığına özellikle dikkat ediniz. Sizce n → ∞ için R ( f , P) Riemann toplamının limiti hangi reel sayıya yakınsar? 2 2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ Tanım: [a, b] üzerinde tanımlı ve sınırlı f fonksiyonu için lim R( f , P) P →0 limiti varsa, bu limite f fonksiyonunun a dan b ye kadar integrali denir ve b ∫ f ( x) dx a ile gösterilir. Bu durumda f integrallenebilirdir denir. Not: P parçalanması düzgün ise P → 0 ve n → ∞ aynı anlamdadırlar. 1 Örnek: ∫x 2 dx integralini yukarıdaki tanımdan hareketle hesaplayınız. 0 Teorem: f fonksiyonu [a, b] aralığı üzerinde sınırlı bir fonksiyon olsun. a) f sürekli ise integrallenebilirdir. b) f parçalı sürekli ise integrallenebilirdir. c) f monoton ise (ya da iki monoton fonksiyonun farkı şeklinde yazılabiliyorsa) integrallenebilirdir. Teorem: f , [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Her x ∈ (a, b) için F ′( x) = f ( x) olacak biçimde sürekli bir F : [a, b] → R fonksiyonu varsa, b ∫ f ( x) dx = F (b) − F (a) . a 1 Örnek: ∫x 2 dx integralini hesaplayınız. 0 1 Örnek: ∫ (2 x + 1)3 dx integralini hesaplayınız. 0 1 Örnek: ∫ arctan x dx integralini hesaplayınız. 0 3 Özellikler: İntegrallenebilen f : [a, b] → R fonksiyonu için a 1) ∫ f ( x) dx = 0 . a 2) a b b a ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx . b 3) ∫ a b b a a f ( x) dx = ∫ f (t ) dt = K = ∫ f ( z ) dz . b 4) c ∈ (a, b) için ∫ a b 5) ∫ c b a c f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx . g (b) f ( g ( x)) g ′( x) dx = ∫ f (u ) du . g (a) a b b 6) ∫ u ( x) d (v( x) ) = u ( x) v( x) a − ∫ v( x) d (u ( x) ) . b a a b 7) Her x ∈ [a, b] için f ( x) ≥ 0 ise, ∫ f ( x) dx ≥ 0 . a 8) b b a a ∫ f ( x) dx ≤ ∫ f ( x) dx . 9) f : [−a, a ] → R fonksiyonu sürekli olsun. a a) f tek fonksiyon ise ∫ f ( x) dx = 0 . −a a b) f çift fonksiyon ise ∫ −a 10) d dx a f ( x) dx = 2 ∫ f ( x) dx . 0 u ( x) ∫ f (t ) dt = f (u( x)) u′( x) − f (v( x)) v′( x) . v( x) π Örnek: x 5 cos x ∫ 1 + sin 6 x dx integralini hesaplayınız. −π x Örnek: F ( x) = ∫ et dt olduğuna göre y = F (x) eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki teğetinin 2 0 denklemini bulunuz. x3 Örnek: F ( x) = ∫ cos( z 3 ) dz olduğuna göre F ′( x) = ? x2 4 Teorem: f , [a, b] aralığı üzerinde sürekli ise [a, b] aralığında 1 f (x) = b−a b ∫ f ( x) dx a olacak şekilde en az bir x sayısı vardır. Örnek: f : [π6 , π3 ] → [−1, 1] , f ( x) = cos x fonksiyonunun ortalama değerini bulunuz. Örnek: g ( x) = x 3 fonksiyonunun, [0, 4] aralığındaki ortalama değerini bulunuz. Örnek: P noktası; y = x + 1 (1 ≤ x ≤ 3) eğri parçası üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere, A(1, 1) noktası ile P noktası arasındaki uzaklığın ortalama değerini hesaplayınız. Örnek: Tabanının yarıçapı 4 cm, yüksekliği 9 cm olan bir dairesel dik koni tepesinden x cm uzaklıkta, tabanına paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen dairesel kesitin alanının ortalama değerini hesaplayınız. 3 2 3 −1 −1 −1 Örnek: ∫ | x | dx = ? , ∫ | −2 x + 1 | dx = ? , ∫ | x 2 − 4 | dx = ? 4 2 0 −1 2 Örnek: ∫ [| x |] dx = ? , ∫ [| −2 x |] dx = ? , ∫ [| x |] | x | dx = ? −1 2 3 −1 0 Örnek: ∫ sgn( x) dx = ? , ∫ sgn( x − 1) dx = ? , 2 ∫ | x | sgn( x − 1) dx = ? −2 ÖDEVLER Genel Matematik Cilt I ( Prof. Dr. M. BALCI) kitabından Sayfa 286-289 Problemler Sayfa 290-291 Bölüm Problemleri KAYNAKLAR M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003. H. HALİLOV, A. HASANOĞLU, M. CAN, Yüksek Matematik, Literatür Yayınları, İstanbul, 2002. R.A. SILVERMAN, Calculus ve Analitik Geometri, (çeviren, B. Simav, D. Simav), Alkım Kitapçılık, 1992. 5