19 1 İtme ve Çizgisel Momentum 3. Test 1’in Çözümleri 1. kuzey momentum A bat doğu 45° 45° v1 = v m I II III m v2 = v zaman 0 güney Bir cisme sabit bir kuvvet uygulanırsa cismin hızı düzgün olarak artar. I. bölgede hız parabolik olarak arttığına göre, uygulanan kuvvet artmaktadır. Cismin hızındaki değişme şekilde gösterildiği gibi 2 v dir. v1 = v Dv = 2v A II. bölgede hız düzgün olarak arttığına göre, kuvvet sabittir. İtme = m · ∆v olduğundan İtme = m · III. bölgede hız parabolik olarak azaldığına göre, harekete zıt yönde olan kuvvet artmaktadır. Hız değişimi güney yönünde olduğundan itme de güneye doğrudur. 2 v olur. Cevap B dir. v2 = v Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap B dir. 2. Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum değişimine eşittir. 4. net kuvvet v = 8 m/s F 2F·t F·t 2 m = 3 kg 3t 4t 5t 0 t 2t –F·t 2 zaman Cisme uygulanan itme, hareketine ters yönlü olduğundan işareti (–) alınır. İtme = m · ∆v İtme = m · (v2 – v1) – 36 = 3 (v2 – 8) v2 = –4 m/s –F·t –F Ft Ft - Ft D P = 2 Ft + 2 2 D P = Ft bulunur . yer (yatay) Cevap A dır. Cevap D dir. 2 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5. 7. T (+) vx K v0 (–) v hmax h vy yatay v L m m1 = 3m yer (yatay) Cisim K dan L ye gelirken yatayda vx hızıyla düzgün doğrusal hareket yapar. Düşeyde ise mg kuvvetinin etkisinde düzgün hızlanır. İtme = F · ∆t İtme = mg · ∆t dir. Cismin K dan L ye gelme süresi ∆t, h yüksekliği ile vy hızından etkilenir. Fakat vx hızından etkilenmez. Bu nedenle itme, vx hızına bağlı değildir. m2 = 2m Momentumun korunumunu sisteme uygularsak; m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ortak v 3m·v + 2m·v2 = ( 3m + 2m ) 3 5 3 mv + 2 mv 2 = m · v 3 4 2 mv 2 = - mv 3 2 v 2 = - v bulunur . 3 Cevap C dir. 6. Şekil I deki grafiğe göre P ve R cisimlerinin çarpışmadan önceki hızları ve hareket yönleri Şekil II deki gibidir. Cisimler t anında çarpışıp yapıştıklarında ortak hızları sıfır olmuştur. Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap A dır. hz 4v P P+R t 0 zaman –v R 8. (–) (+) 5v 2 Şekil I 2v 3 yatay m1 = 2m P m2 = 3m R 4v v çarpşmadan önce Momentumun korunumundan; m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ort Şekil II Çarpışmadan sonra cisimlerin ortak hızları sıfır olduğundan momentumları da sıfırdır. Buna göre, cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları eşit ve zıt yönlü olmalıdır. 2m· Cevap B dir. 5 2 v - 3 m v = ( 2 m + 3 m ) · v ort 2 3 3 m · v = 5 m · v ort v ort = 3 v olur . 5 Cevap E dir. 3 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 9. 11. P1 2m 3m P3 m1 m3 yatay v1=15 m/s m2 v0=30 m/s P2 5m yer (yatay) Başlangıçta cisim durduğuna göre patlamadan sonraki momentumların vektörel toplamı sıfır olmalıdır. Bir başka ifadeyle; P1 P2 P3 Düşey yukarı yönde atılan cismin tepe noktasındaki hızı sıfırdır. Bu nedenle tepe noktasında momentum sıfır olur. Patlamadan sonra da toplam momentumun sıfır olabilmesi için sağ yöndeki momentum sol yöndeki momentuma eşit olmalıdır. P1 + P2 + P3 = 0 dır. O hâlde III. yargı doğrudur. m1v1 = m2v2 Hızlar ve kütleler hakkında karar veremeyiz. 2m · 15 = 3m · v2 Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap C dir. v2 = 10 m/s bulunur. 30 = g·t t=3s olur. Yere çarpan cisimler arasındaki uzaklık; x1 + x2 = v1t + v2t x1 + x2 = 15 · 3 + 10 · 3 x1 + x2 = 45 + 30 = 75 m bulunur. Cevap A dır. 10. A B yer (yatay) m v1 = v 12. v0 m3 = 3m 1 · 10 · 5 = ∆P m ∆P = 50 kg s Cevap D dir. m1 = m Esnek çarpışmalarda kütleler eşitse cisimler hızlarını birbirine aktarır. Yani m2 kütleli cismin hızı v olur ve m1 kütleli cisim durur. Bundan sonra m2 kütleli cisim m3 kütleli cisim ile esnek olmayan çarpışma yaparak, iki kütle yapışık hareket etmeye başlıyor. Buradan; m2v2 + m3v3 = (m2 + m3) · vort m · v + 3m · 0 = (m + 3m) · vort mv = 4m · vort v vort = bulunur. 4 Bir cisme verilen itme ile o cismin momentumundaki değişme birbirine eşittir. Eğik atış hareketinde sadece düşey bileşende momentum değişimi vardır. Buradan; İtme = mg · ∆t = ∆P m2 = m Cevap B dir. 4 13. İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 15. Patlamadan önceki momentum patlamadan sonraki momentuma eşittir. Patlamadan sonraki momentum vektörleri şekildeki gibidir. Şekil incelenirse X Z m1 = m Y m2 = m yer (yatay) m1 kütleli cisim m2 kütleli cisme hangi hızla çarptıysa, m2 kütleli cisim aynı hızla harekete geçer. Böylece cisim aynı yüksekliğe yani Z noktasına kadar çıkar ve oradan geri döner. 6mv 60° 6mv 60° P3 P3 = 6m·v olduğu görülür. m3v3 = 6m·v 2m·v3 = 6m·v ⇒ v3 = 3v bulunur. Cevap D dir. Cevap C dir. Nihat Bilgin Yayıncılık© 16. M v yatay m2=m M v m1=m M yatay 14. v yatay m3=m 1 4 3 1 numaralı bilye 2 numara- lı bilyeye çarpınca 4 numaralı bilye aynı hızla harekete geçer. Diğer bilyeler sabit kalır. İşlem bu şekilde devam eder. 2 Momentumun korumundan her üç sistemin çarpışmadan sonraki hızları eşit olmalıdır. Kinetik enerjileri potansiyel enerjiye dönüşünceye kadar takozlar yükselir. 1 m · v 2 = m gh 2 v 2 = 2 mgh 4 3 2 1 Cevap E dir. Takozların hızları eşit olduğundan çıkacakları yükseklikler de eşittir. Cevap A dır. İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 3. Test 2’nin Çözümleri X Y h1 1. su v1 v2 h2 m 2m yatay 3 2 1 Cisimlerin patlamadan önceki momentumları sıfır olduğundan patlamadan sonraki momentumları da sıfır olmalıdır. Bu nedenle cisimler patlamadan hemen sonra v1 = 2v, v2 = v hızlarıyla hareket eder. Cisimlerin başlangıç kinetik enerjileri; Ek1 = yatay 2 numaralı tıpadan akan su vagonun hareket doğrultusuna dik olduğu için vagonun hızını değiştirmez. 5 Cevap B dir. 1 m(2v)2 = 2mv2 2 1 2mv2 = mv2 2 olup, büyüklükleri farklı olduğundan X ve Y noktalarındaki potansiyel enerjileri de farklıdır. Ek2 = Cevap E dir. 2. / / m 2m I h m II h III Enerjinin korunumundan h yüksekliklerinden serbest bırakılan üç cismin de çarpışmadan önceki hızları eşit olur. Cisimlerin çarpışmadan önceki hızları v olsun. Çarpışmadan sonraki ortak hızları şekilde verildiği gibidir. v m v m v 2 2m 2m h max = v 20 2g v m v 3 2m m h m / / Nihat Bilgin Yayıncılık© / / m 2m 2v 3 3m 3m bağıntısıntan; 4. 3v v 2 h1 = v 4 h2 = v2 9 h3 = 4v2 9 m bulunur. Buna göre h3 > h1 > h2 olur. Cevap D dir. 3m Cisimler K ve L noktalarında yalnızca potansiyel enerjiye sahiptir. Bu enerjiler kinetik enerjiye dönüştüğünde m kütleli cismin hızı, 3m kütleli cismin hızının 3 katı olur. Cisimler çarpışıp yapıştığında hızları sıfır olur. Çünkü çarpışmadan önceki toplam momentum sıfırdır. Çarpışmadan sonraki momentum da sıfır olmak zorundadır. Cevap A dır. 6 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 5. m1 K m1 m 2 = 3 bulunur. Cevap D dir. 7. Y h1 h2 m2 4h θ L yatay X K noktasındaki m1 kütleli cisim başlangıçta m1gh1 potansiyel enerjisine sahiptir. Cisim serbest bırakıldığında tüm enerjisi L noktasında kinetik enerjiye dönüşür. Bu enerjiyi kullanan ortak kütle h2 yüksekliğine kadar çıkabiliyor. h2 nin büyütülmesi için ortak hızın artması gerekir. Bunun için de tek çare h1 yüksekliğini artırmaktır. 5h Z 6. m2 K L Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap A dır. Cisim X noktasından Y noktasına çıkarken 3h ve h yollarını 2t sürede alarak çıkar. Cisim Y noktasından serbest düşme yaparak h, 3h, 5h yollarını 3t sürede alır. Bir cisme verilen itme o cisimdeki momentum değişimine eşittir. D P1 = F · D t 1 D P1 = mg ·2 t D P2 = m g ·3 t D P1 DP2 = 2 3 bulunur . Cevap B dir. m1 9h h yatay A Cisimlerin sahip olduğu potansiyel enerjiler kinetik enerjiye dönüşerek yatay düzleme varırlar. Buna göre, cisimlerin çarpışmadan önceki hızları; v1 = v ise v2 = 3v olur. Esnek çarpışmalarda çarpışan iki cismin ilk momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan sonra cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler. Bu durumun oluşabilmesi için; 8. Hız-zaman grafiğine göre, m1 kütleli cisim v1= 3 m/s lik hızla durmakta olan m2 kütleli cisme çarpmıştır. Çarpışmadan sonra ortak kütle 1 m/s lik hızla hareket etmiştir. v m2=m 3v çarpşmadan önce v v2=0 m1 m1 = 3m , m2 = m olmalıdır. m1=3m v1=3 m/s m2 çarpşmadan önce m1 m2 3v çarpşmadan sonra P önce = P sonra m1v1 + m2v2 = (m1+m2) · vort 3m1 = m1+m2 2m1 = m2 vort=1 m/s m1 m2 çarpşmadan sonra 7 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM m1 1 m2 = 2 Cevap C dir. bulunur . Cevap D dir. 9. 11. Yerden, 2mv momentumu ile atılan 2mv cisim, düzgün yavaşlayarak h yükmv sekliğinden geçerken iç patlama sonucu iki parçaya ayrılıyor. Patlamadan sonra parçaların mv momentum vektörleri şekildeki gibidir. Yani patlamadan sonra bileşke momentum, yukarı doğru mv kadardır. Patlamadan hemen önceki momentum da yukarı doğru mv olmalıdır. Cismin kütlesi 2m olduğuna göre, h yüksekliğine v büyüklüğündeki hızla varmış demektir. 2 v 2 = v 20 – 2 gh v ( ) 2 = v 2 – 2 gh 2 yazabiliriz. v ile g bilindiğine göre buradan h bulunur. 1 h = vt – gt 2 2 v0 m1 a m2 vort x Cismin atılış hızının yatay bileşeni ortak kütlenin hareketini sağlar. Momentumun korunumundan; P önce = P sonra m1·v0x = (m1+m2)·vort m1·v0cosα = (m1+m2)·vort yazabiliriz. Dikkat edilirse ortak hızın büyüklüğünü bulmak için x uzaklığı gerekli değildir. Cevap E dir. Nihat Bilgin Yayıncılık© bağıntısındaki h, g, v bilindiğine göre t bulunur. 1 Kinetik enerjiyi veren bağıntı, E k = mv 2 dir. 2 Bağıntıdaki v biliniyor ancak m, sayısal değer olarak bilinmiyor. Bu nedenle h yüksekliğindeki kinetik enerji bulunmaz. Cevap D dir. 12. m1 m2 A 10. Şekil I P1 3m Port m1, m2 kütleli cisimler t süre sonra A noktasında çarpışıyorlar. m1 kütlesi cismin A noktasına uzaklığı 3 birim, m2 kütleli cismin A noktasına uzaklığı 1 birimdir. Buna göre; v1 = 3v, v2 = v dir. Merkezi esnek çarpışma yapan cisimlerin kütleleri eşit ise, cisimler hızlarını birbirine aktarırlar. Yani çarpışmadan sonra; v1ʹ = v, v2ʹ = 3v olur. Çarpışmadan t süre sonra m1 kütleli cisim 1 birim yol alarak K noktasından, m2 kütleli cismin ise aynı anda 3 birim yol alarak Z den geçer. m 2m P2 m kütleli cismin v 1 hız vektörü ile (m+2m) ortak kütlenin v ort hız vektörleri Şekil I de verilmiştir. Çarpışma sonrası v ort hızının büyüklüğü 1 birim olarak verilmiştir. Bu hızı 3m ile çarptığımızda çarpışma sonrası ortak kütlenin momentumu bulunur. P 2 vektöründen yararlanarak 2m kütleli cismin çarpışma öncesi hız vektörünün (4) numaralı vektör olduğunu buluruz. m1 L K m2 A Şekil II X Y Z T 8 İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM Cevap C dir. 3. 1. v I iskele Test 3’ün Çözümleri v II 3v 53° m2 5v 4v 2v III m1 v1=v 53° Cismin hız bileşenleri şekildeki gibidir. Düşey bileşenin harekete katkısı yoktur. Momentumun korunumundan; P önce = P sonra Kayık içinde hareket eden adamlar, kayıklara hareket yönüne ters yönde bir itme uygularlar. I ve III numaralı kayıktaki adamlar iskele yönünde koştuklarından kayıklar iskeleden uzaklaşır. v3 > v1 olduğundan x3 > x1 dir. m1v1 – m2v2x = (m1 + m2)vort 4m·v – m.3v = (5m)·vort mv = 5m·vort vort = 1 v 5 II numaralı kayıktaki adam iskeleye ters yönde hareket ettiğinden kayık iskeleye yaklaşır. O hâlde kayıkların iskeleden uzaklıkları arasında x3 > x1 > x2 bağıntısı vardır. bulunur. Yanıt B dir. Nihat Bilgin Yayıncılık© Cevap C dir. F 4. 2. Yatay atış yapan bir cismin yatay eksenindeki hızı sabit kalır. Düşey eksende ise cisim serbest düşme yapar. m 3m v v 2m çarpşmadan önce 1v 3 çarpşmadan sonra Yatay eksende çarpışmadan önceki ve çarpışmadan sonraki momentum vektörleri şekildeki gibidir. Cisimler K noktasında çarpıştıklarında bir de aşağı doğru düşey hızlarının etkisindedir. Bu nedenle ortak kütle (2) yönünde pike atışı yapar. Cevap A dır. m θ Fx yatay Dx • İtme I = F · Δt olup ∆t bilinmediğinden cisme verilen itme bulunmaz. • ΔEk = W = F . Δx olduğundan cismin kazandığı kinetik enerjiyi bulabiliriz. W bağıntısı ile bulunur. Bağıntıdaki t t bilinmediğinden cisme aktarılan güç bulunmaz. • Güç P = Yanıt B dir. İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM 6. X K m P Y m L tavan / R 3θ θ X yatay / Y O Esnek çarpışmalarda cisimlerin kütleleri eşitse çarpışma sırasında cisimler hızlarını birbirine aktarırlar. Bu durumda X cismi L noktasına kadar yükselirken, Y cismi P noktasına kadar yükselir. O Eşit kütleli cisimler esnek çarpışma yaptıklarında hızlarını birbirine aktarır. Bu durumda X cismi düşeyle i açısı, Y cismi de düşeyle 3i açısı yapacak şekilde yükselir. Yanıt C dir. Yanıt A dır. Nihat Bilgin Yayıncılık© 5. 9