tc pamukkale üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim

T.C.
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI
ÜZERİNE
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MUSTAFA YILMAZ
DENİZLİ, TEMMUZ - 2017
T.C.
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI
ÜZERİNE
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MUSTAFA YILMAZ
DENİZLİ, TEMMUZ - 2017
Bu tez çalışması PAUBAP tarafından 2016FEBE027 nolu proje ile
desteklenmiştir.
ÖZET
GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MUSTAFA YILMAZ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
(TEZ DANIŞMANI: DOÇ.DR. MUSTAFA AŞCI)
DENİZLİ, TEMMUZ - 2017
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde Fibonacci ve Lucas sayılarının
tanımları ve bu sayıları içeren temel teoremler verilmiştir. Bu sayıların Binet
formülleri, Cassini özdeşliği ve üreteç fonksiyonları verilmiştir.
İkinci bölümde Gauss Fibonacci ve Gauss Lucas sayıları incelenmiş ve bu sayılarla
ilgili teoremler verilmiştir. Bu sayıların özel Q matrisleri incelenmiş ve bu matrisler
yardımıyla teoremlerin ispatları verilmiştir.
Üçüncü bölümde Balans ve Kobalans sayılarının tanımları verilmiş ve bu sayılar
yardımıyla Lucas Balans ve Lucas Kobalans sayıları tanmlanarak incelenmiştir. Bu
sayıların da indirgeme bağıntıları tanımlanarak Binet formülleri çalışılmıştır.
Dördüncü bölümde ise Gauss Balans ve Gauss Kobalans sayılarının tanımları
yapılmıştır. Bu sayılar yardımıyla Gauss Lucas Balans ve Gauss Lucas Kobalans
sayılarının indirgeme bağıntıları verilmiştir. Daha sonra ise bu sayı türlerinin birbiri
ile olan ilişkileri verilmiş ve özdeşlikler elde edilmiştir. Yine bu sayıların Q
matrisleri son olarak verilmiştir.
ANAHTAR KELİMELER: Gauss Fibonacci, Gauss Lucas, Balans sayıları,
Kobalans sayıları
i
ABSTRACT
ON GAUSS BALANCING AND GAUSS COBALANCING NUMBERS
MSC THESIS
MUSTAFA YILMAZ
PAMUKKALE UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE
MATHEMATİCS
(SUPERVISOR:ASSOC. PROF. MUSTAFA AŞCI)
DENİZLİ, JULY 2017
This thesis has mainly four sections. In the first section the definitions and basic
theorems of Fibonacci and Lucas numbers are given. The Binet Formula, Cassini
Identity and generating functions of these numbers are given.
In the second section The Gauss Fibonacci and Gauss Lucas numbers are studied and
the theorems about these numbers are given. The special Q matrices are examained
and by the help of these matrices the theorems are proved.
In the third section the definitions of Balancing and Cobalancing numbers are given,
by the help of these numbers the Lucas Balancing and Lucas Cobalancing numbers
are defined and studied. The recurrence relations of these numbers are given and the
Binet formulas are examined.
Finally in the fourth section Gauss Balancing and Gauss Cobalancing numbers are
defined. By these numbers the recurrence relations of Gauss Lucas Balancing and
Gauss Lucas Cobalancing numbers are given. After that the relations betweeen these
numbers are given and some important identities are obtained. Finally the Q matrices
of these numbers are given.
KEYWORDS: Gauss Fibonacci, Gauss Lucas, Balancing numbers, Cobalancing
numbers.
ii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET................................................................................................................... i
ABSTRACT ....................................................................................................... ii
İÇİNDEKİLER ................................................................................................iii
SEMBOL LİSTESİ .......................................................................................... iv
ÖNSÖZ ............................................................................................................... v
1. GİRİŞ ............................................................................................................. 1
2. GAUSS FİBONACCI ve GAUSS LUCAS SAYILARI ............................ 7
3. BALANS VE KOBALANS SAYILARI ................................................... 16
3.1
Balans Sayıları .................................................................................... 16
3.2
Kobalans Sayıları ............................................................................... 25
4. GAUSS BALANS ve GAUSS KOBALANS SAYILARI ........................ 35
4.1 Gauss Balans Sayıları ......................................................................... 35
4.2 Gauss Lucas Balans Sayıları .............................................................. 41
4.3 Gauss Kobalans Sayıları ..................................................................... 43
4.4 Gauss Lucas Kobalans Sayıları .......................................................... 44
5. SONUÇ VE ÖNERİLER ........................................................................... 46
6. KAYNAKLAR ............................................................................................ 47
7. ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................ 49
iii
SEMBOL LİSTESİ
Fn
Ln
:
:
:
:
:
Doğal Sayılar Kümesi  1, 2,3,...
Tam Sayılar Kümesi
Reel Sayılar Kümesi
n. Fibobacci Sayısı
n. Lucas Sayısı
g  x
:
Fibonacci Sayı Dizisinin Üreteç Fonksiyonu
Bn
Cn
bn
cn
:
n. Balans Sayısı
:
n. Lucas Balans Sayısı
:
n. Kobalans Sayısı
:
n. Lucas Kobalans Sayısı
 x 
 x 
:
x’in taban fonksiyonu
:
x’in tavan fonksiyonu
:
n. Üçgensel sayı
:
Genel terimi an olan sayı dizisi



Tn

n n=1
a 
iv
ÖNSÖZ
Tez çalışmamın her aşamasında bilgi ve tecrübeleriyle beni yönlendiren, sabrı
ve güler yüzüyle destek olup cesaretlendiren saygıdeğer danışman hocam Sayın Doç.
Dr. Mustafa AŞCI’ya en içten teşekkürlerimi sunarım. Hayatımın her aşamasında
sevgi ve şefkatini üzerimden eksik etmeyen desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen
bu noktalara gelmemde büyük pay sahibi aileme sonsuz teşekkürler ederim.
Mustafa YILMAZ
v
1. GİRİŞ
Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir.
Tanım 1.1: a0 , a1, a2 , a3 ,..., an ,... sonsuz bir dizi k   sabit ve f :   k   bir
fonksiyon olsun. Başlangıç değerleri: a0 , a1, a2 ,..., ak 1 ve n  k için;
an  f  n, an 1 , an 2 , an3 ,..., ank 
(1.1)
fonksiyonuna k . mertebeden indirgeme bağıntısı denir. Dizinin bütün elemanları
(1.1) denklemi ve a0 , a1 ,..., ak 1 değerleri ile belirlenir.
Tanım 1.2:  an  sonsuz bir dizi, k   sabit, f0 , f1 , f 2 ,..., f k ,  ’den  ’ye tanımlı
fonksiyonlar ve f k  n   0 olmak üzere n  k için;
an  f1  n  an1  f 2  n  an2  ...  f k  n  ank  f 0  n 
(1.2)
biçimindeki indirgeme bağıntısına k . mertebeden lineer indirgeme bağıntısı denir.
Eğer (1.2) deki
f1, f2 ,..., f k fonksiyonları; fi  n   bi ; 1  i  k  biçiminde sabit
fonksiyonlar ise
an  b1an1  b2an2  ...  bk ank  f 0  n 
(1.3)
indirgeme bağıntısına sabit katsayılı indirgeme bağıntısı denir.
Eğer (1.2) deki her n   için f0  n   0 ise;
an  f1  n  an1  f 2  n  an2  ...  f k  n  ank
indirgeme bağıntısına homojen indirgeme bağıntısı denir.
1
(1.4)
Teorem 1.1: an  c1an1  c2 an2 indirgeme bağıntısı olsun. Bu durumda indirgeme
bağıntısının karakteristik denklemi;
r 2  c1r  c2  0
ve kökleri  ,  olmak üzere genel çözümü
an  c. n  d . n
dir.
Burada c ve d sabit sayılardır.
Tanım 1.3: Fibanacci sayıları dizisi  Fn  , F0  0, F1  1 koşulları ve n  0 olmak
üzere; Fn2  Fn1  Fn indirgeme bağıntısıyla tanımlıdır.
Fibonacci Sayıları: 0,1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89,144,...
Tanım 1.4: Lucas sayıları dizisi
 Ln  , L0  2, L1  1
başlangıç koşulları ve n  0
olmak üzere; Ln2  Ln1  Ln indirgeme bağıntısıyla tanımlıdır.
Lucas sayıları: 2,1,3, 4,7,11,18, 29, 47,76,123... dür.
Teorem 1.2: Fn2  Fn1  Fn
indirgeme
bağıntısının
x 2  x  1  0 ve çözüm kümesi
1 5 

2  olmak üzere

1 5 

2 

n . Fibonacci sayısının Binet Formülü
n  n
Fn 
dir.
 
n . Lucas sayısının Binet Formülü
Ln   n   n dir.
2
karakteristik
denklemi
İspat: Fibonacci rekürans bağıntısının karakteristik denklemi x 2  x  1  0 dır. Bu
denklemin kökleri

1 5
1 5
ve  
dir.
2
2
O halde genel çözüm
n
n
 1 5 
 1 5 
an  c. 
  d . 
 dir.
2
2




Buradan
 1 5 
 1 5 
a1  c.
  d .
  1
2
2




2
2
 1 5 
 1 5 
a2  c. 
  d . 
  1
 2 
 2 
1
1
ve d  
olur.
5
5
bu iki eşitlikten c ve d değerlerini bulduğumuzda c 
Genel çözümü düzenlersek,
n
1  1 5 
1 1 5 
an 

 


5 2 
5  2 
n
olur.
Burada  
1 5
1 5
ve     5 dir. O halde genel çözümü şu
, 
2
2
şekilde yazabiliriz.
an  Fn 
n  n
dır.
 
Bu ifade Fibonacci sayılarının Binet formülüdür.
3
Tanım 1.5: a0 , a1, a2 ,... bir reel sayı dizisi olsun.
g  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n ... ifadesine an dizisinin üreteç fonksiyonu
denir.
Teorem 1.3:
(i)
Fibonacci sayı dizisinin üreteç fonksiyonu
g  x 
(ii)
x
dir.
1  x  x2
Lucas sayı dizisinin üreteç fonksiyonu
h x 
2x
dir.
1  x  x2
İspat:
(i) Bu rekürans bağıntısının üreteç fonksiyonu g  x  olsun.

g  x    Fn x n
n 1

 F1 x  F2 x 2   Fn x n
n 3

 x  x 2    Fn1  Fn2 x n
n 3


 x  x 2   Fn1 x n   Fn2 x n
n 3
n 3


 x  x 2  x. Fn1 x n1  x 2 . Fn2 x n2
n 3
n 3


 x  x 2  x. Fn x n  x 2 . Fn x n
n2
n 1


n 1
n 1
 x  x 2  x.  Fn x n  x   x 2 . Fn x n
4
 x  x 2  x.  g  x   x   x 2 .g  x 
 x  x 2  x.g  x   x 2  x 2 .g  x 
iki taraflı düzenlersek,
1  x  x  .g  x   x olup
2
g  x 
(ii)
x
elde ederiz.
1  x  x2
Benzer şekilde yapılır.
Teorem 1.4: (Binom Teoremi)
x ve y reel sayılar, n pozitif tam sayı olmak üzere;
 x  y
n
n
n
    x nk y k dır.
k 0  k 
Tanım 1.6: Bir x reel sayısını x den büyük olmayan en büyük tam sayıya
dönüştüren fonksiyona taban (floor) fonksiyonu denir ve  x  ile gösterilir.
Tanım 1.7: Bir x reel sayısını x den küçük olmayan en küçük tam sayıya
dönüştüren fonksiyona tavan (ceeling) fonksiyonu denir ve  x  ile gösterilir.
Teorem 1.5: x herhangi bir reel sayı ve n herhangi bir tam sayı olmak üzere;
i)  n   n   n 
ii)  x  n    x   n
 n  n 1
iii) n tek tam sayı olmak üzere   
dir.
2
2
iv)  x    x   1, x   için
5
v)  x  n    x   n
 n  n 1
vi) n tek tam sayı olmak üzere   
dir.
2
2
Teorem 1.6: Fibonacci ve Lucas sayılarının kapalı formülü;
n
2
 
ni
Fn1   

i 0  i

ve
n
2
 
Ln  
i 0
n ni


n  i  i 
dir.
6
2. GAUSS FİBONACCİ VE GAUSS LUCAS SAYILARI
Bu bölümde Gauss Fibonacci ve Gauss Lucas sayılarının çalışıldığı Asci ve Gürel
2013, Asci ve Lee 2017, Horadam 1961, Horadam 1963, Jordan 1965 makaleleri
incelenmiş ve çalışılmıştır.
Tanım 2.1: Gauss Fibonacci sayıları GF0  i, GF1  1 başlangıç koşulları olmak
üzere n  1 için;
GFn  GFn1  GFn2
indirgeme bağıntısıyla tanımlanır.
Ayrıca; n . Fibonacci sayısı Fn olmak üzere;
GFn  Fn  i.Fn1
olduğu hemen görülür.
GFn dizisinin bazı elemanları,
GF0  i
GF1  1
GF2  1  i
GF3  2  i
GF4  3  2i
GF5  5  3i
…
Tanım 2.2:
Gauss Lucas sayıları GLo  2  i ve GL1  1  2i başlangıç koşulları
olmak üzere; n  1 için;
7
GLn  GLn1  GLn2
indirgeme bağıntısıyla tanımlanmıştır.
Ayrıca, n. Lucas sayısı Ln olmak üzere, GLn  Ln  i.Ln1 olduğu hemen
görülür.
GLn dizisinin bazı elemanları
GL0  2  i
GL1  1  2i
GL2  3  i
GL3  4  3i
GL4  7  4i
…
Teorem 2.1: (Binet Formülü)
GF0  i, GF1  1 başlangıç koşulları ve n  1 için;
GFn  GFn1  GFn2
indirgeme
bağıntısıyla
tanımlı
Gauss
Fibonacci
sayılarının Binet Formülü; GFn , n . Gauss Fibonacci sayısı;

1 i
1   i
1 5
1 5
, 
ve c 
,d
olmak üzere;
 
 
2
2
GFn  c. n  d . n dir.
İspat:
GFn  x n olsun. Bu durumda GFn 1  x n 1 ve GFn  2  x n  2 dir.
x n  x n1  x n2
(2.1.1)
8
olur. (2.1.1) eşitliğini
1
x n2
ile çarpalım;
x2  x  1  x2  x  1  0
 x1   
1 5
2
 x2   
1 5
2
GFn  c. n  d . n
(2.1.2)
olsun.
GF0  c  d  i

 ise buradan,
GF1  c  d   1
c
1 i
1   i
1 5
1 5
ve d 
bulunur  
, 
,     5 dir.
 
 
2
2
c, d , ve  değerleri (2.1.2) de yerine yazılırsa;
GFn  c. n  d . n
Binet formülü elde edilir.
Tanım 2.3: ( Q Matrisi)
1 1 
1 i 
Gauss Fibonacci sayıları için; A  
ve B  

 olmak üzere
1 0 
i 1  i 
Q matrisi;
1 1  1 i 
Q


1 0  i 1  i 
dir.
9
1 1 
1 i 
Teorem 2.2: Gauss Fibonacci sayıları için; A  
ve B  

 olmak
1 0 
i 1  i 
üzere
n
1 1  1 i  GFn 1 GFn 
A B

 

1 0  i 1  i  GFn GFn 1 
n
dir.
Teorem 2.3: (Üreteç Fonksiyonu)
Gauss Fibonacci Sayıları;
GFn  GFn1  GFn2 rekürans bağıntısıyla tanımlıdır. Ayrıca Fn , n Fibonacci
sayısı olmak üzere;
GFn  Fn  i.Fn1
dir. Bu sayılar için üreteç fonksiyonu
g  x 
x  1  x  .i
1  x  x2
dir.
İspat:

g  x    GFn x n biçiminde olsun.
n0
g  x   i  x  1  i  x 2   2  i  x3   3  2i  x 4  ...
(2.1.3)
(2.1.3) eşitliğini sırasıyla x ve x2 ile çarpalım.
x.g  x   ix  x 2  1  i  x3   2  i  x 4   3  2i  x5  ...
(2.1.4)
x 2 .g  x   ix 2  x3  1  i  x 4   2  i  x5   3  2i  x6  ... (2.1.5)
(2.1.3)’den, (2.1.4) ve (2.1.5) eşitliklerini çıkarırsak;
10
g  x  1  x  x 2   i  x  ix
 x  i.1  x 
Bu durumda;
g  x 
x  1  x  .i
1  x  x2
elde edilir.
Teorem 2.4: n  2 için, Gauss Fibonacci sayılarının toplamı;
n
 GF
j
 GFn 2  1
j 0
dir.
İspat:
GF0  i, GF1  1 ve n  1 için;
GFn  GFn1  GFn2 dir.
Burada;
GFn1  GFn  GFn2
dir.
GF0  i
GF1  GF2  GF0
GF2  GF3  GF1
GF3  GF4  GF2
GF4  GF5  GF3
11

GFn  GFn1  GFn1
eşitliklerini taraf tarafa toplarsak;
n
 GF
j
 GFn 2  1
j 0
elde edilir.
Teorem 2.5:
n  2 için
n
 GF
2 j 1
 GF2 n  i
j 1
n
 GF
2j
 GF2 n 1  1
j 1
dir.
Tanım 2.4: Gauss Lucas sayıları; GL0  2  i , GL1  1  2i başlangıç koşulları olmak
üzere; n  1 için;
GLn  GLn1  GLn2 indirgeme bağıntısıyla tanımlıdır.
Ayrıca; n. Lucas
sayısı Ln olmak üzere;
GLn  Ln  i.Ln1
olduğu hemen görülür.
n
0
1
2
3
4
5
………
GLn
2i
1  2i
3i
4  3i
7  4i
11  7i
………
12
Teorem 2.6: (Binet Formülü)
Gauss
Lucas
Sayıları;
GL0  2  i ,
GL1  1  2i ,
GLn  GLn1  GLn2 indirgeme bağıntısıyla tanımlıdır.

1 5
1 5
, 
2
2
c
1  2   i.   2  ,
 
d
 2  1  i   2 
 
olmak üzere Binet formülü; n. Gauss Lucas GLn olmak üzere
GLn  c. n  d . n
ile tanımlıdır.
Tanım 2.5: ( Q Matrisi)
Gauss Lucas sayıları için Q matrisi
1 1  3  i 1  2i 
Q
.

1 0  1  2i 2  i 
şeklindedir. Yani
n
1 1  3  i 1  2i  GLn 1 GLn 
1 0  . 1  2i 2  i   GL GL 

 
  n
n 1 
dir.
Teorem 2.7: (Cassini Özdeşliği)
n  1 için
GLn 1.GLn 1  GL2n  5.  1
dir.
13
n 1
. 2  i 
n 1
için
İspat:
1 1 
Q

1 0 
n 1
3  i 1  2i 
1  2i 2  i  matrisinin determinantını alırsak;


1 1
1 0
n 1
.
3  i 1  2i
n 1
 5.  1  2  i 
1  2i 2  i
elde edilir ki;
n  1 için
GLn 1.GLn 1  GL2n  5.  1
n 1
. 2  i 
yazılır.
Teorem 2.8:
Gauss Lucas sayıları:
GL0  2  i, GL1  1  2i, n  1
için;
GLn  GLn1  GLn2
dir.
Gauss Lucas sayılarının üreteç fonksiyonu;

g  x    GLn x n olsun. Bu durumda
n 0
g  x 
 2  i    1  3i  x
1  x  x2
Gauss Lucas sayılarının üreteç fonksiyonudur.
14
ifadesi;
Teorem 2.9:
n
i)
 GL
 GLn 2  1  2i 
j
j 0
n
ii)
 GL
2j
 GL2 n 1  1  2i 
j 1
n
iii)
 GL
2 j 1
 GL2 n   2  i 
j 1
15
3. BALANS VE KOBALANS SAYILARI
Bu bölümde Balans ve Kobalans sayılarının çalışıldığı Panda 2007, Panda 2006,
Behera ve Panda 1999, Rout 2015, Ray 2009 çalışmaları incelenmiştir.
3.1 Balans Sayıları
Balans sayıları ilk kez Behera ve Panda tarafından 1999 yılında Diophantine
denklemleri çalışılırken bulunmuştur.
Tanım 3.1.1: Herhangi bir n   doğal sayısı için;
1  2  ...   n  1   n  1  (n  2)  ...   n  r 
(3.1.1)
eşitliğinde n doğal sayısına balans sayısı ve buna karşılık gelen r doğal sayısına da
balansır denir.
Balans Sayıları 1, 6, 35, 204, 1189,...
Örneğin; B2  6 balans sayısına karşılık gelen balansır 2 ’dir.
B3  35 balans sayısına karşılık gelen balansır 14 ’dür.
n üçgensel sayı Tn 
n  n  1
olmak üzere;
2
(3.1.1) eşitliğinde
Tn1  Tn  Tnr
ilişkisi mevcuttur. Yani; ardışık iki üçgensel sayının toplamı yine bir üçgensel
sayıdır.
Örneğin; n  6 için; T5  T6 
5.6 6.7

2
2
16
 15  21
 36
 T8 dir.
Bu örnekte; n  6 bir balans sayısı iken buna karşılık gelen balansır ise 2 ’dir.
Ardışık iki üçgensel sayının toplamı bir tam kare sayı olduğundan
(3.1.1) eşitliğinde;
 n  r  n  r  1  n2
(3.1.2)
2
dir. Burada eğer “ n ” bilinirse; “ r ” de elde edilebilir.
1  2  ........   n  1   n  1   n  2   .....   n  r 
 n  1 .n  n.r  r  r  1  2nr  r 2  r
2
2
2
n2  n  2nr  r 2  r  r 2  2nr  n  r  n2  0
 r 2   2n  1 r   n  n 2   0
eşitliğinde;
2
   2n  1  4.1 n  n 2   8n 2  1
  2n  1  8n 2  1
r1,2 
olup; r  0 olduğundan
2
  2n  1  8n 2  1
r
bulunur.
2
(3.1.3)
Teorem 3.1.1: n ’nin balans sayısı olması için gerek ve yeter şart “ 8n 2  1 ” in tam
kare bir doğal sayı olmasıdır.
17
Örneğin; İkinci balans sayısı B2  6 ve buna karşılık gelen balansır 2 ’dir. yani;
r
  2.6  1  8.62  1
2
r
13  289
2
r2
burada 289, tam karesel sayıdır.
Teorem 3.1.2: m. üçgensel sayı bir tam karesel doğal sayı ise; n bir balans sayısı
olmak üzere; bu durumda n. balans sayısına karşılık gelen balansır  m  n  dir.
Örnek 3.1.1:
m  8 olsun. Yani 8. üçgensel sayıyı ele alalılm
m  m  1
 n2
2
8.9
 62 , burada n  6 balans sayısı ve buna karşılık gelen
2
balansır sayısı m  n  8  6  2 ’dir.
Teorem 3.1.3:
Behera ve Panda ilk olarak; Balans sayıları için rekürans bağıntısını
tanımladı.
Başlangıç koşulları; B1  1, B2  6 olmak üzere; n  2 için;
Bn1  6Bn  Bn1
Bu rekürans bağıntısı 2 . dereceden, lineer ve homojen bir rekürans bağıntısıdır.
18
Teorem 3.1.4:
B1  1, B2  6, n  2 için
Bn1  6Bn  Bn1 rekürans bağıntısının karakteristik denklemi r 2  6r  1  0 ve
  1 2
olmak üzere
  1 2
n. balans sayısının Binet Formülü
Bn 
 2n   2n
dir.
4 2
İspat:
Karakteristik denklem r 2  6r  1  0 dır.
bu denklemin kökleri
r1  3  8
olmak üzere
r2  3  8

Bn  c. 3  8

n
n



 


 d. 3  8
dir.
(3.1.4)

B1  c. 3  8  d . 3  8  1
B2  c. 3  8
bu iki eşitlikten c 
cd 
2

 d. 3  8

2
 6 olup;
2
 2
ve
, d
8
8
2
’dir. Genel çözümü düzenlersek;
4
1  2 
(3.1.4) eşitliğinde;
1  2 
2
2
 3  8 
 olduğundan;
 3 8

19
Bn 
 2n   2n
elde edilir.
4 2
Teorem 3.1.5: (Rekürans Bağıntısı)
Balans sayıları için Binet formülü;
Bn 
Bn1  Bn1 

 2n   2n
4 2
,   1  2 ve   1  2; olmak üzere;
 2 n 2   2 n  2  2 n  2   2 n  2

4 2
4 2
 2 n  2   2    2 n  2   2 
  2   2  .
4 2
 2n   2n
4 2
 6.Bn , n  2
Balans sayıları için; rekürans bağıntısı;
B1  1, B2  6 ve n  2 için
Bn1  6Bn  Bn1 dir.
Teorem 3.1.6: Balans sayıları, lineer olmayan 2. Mertebeden aşağıdaki rekürans
bağıntısını sağlar.
Bn 1.Bn 1  Bn 2  1, n  2
Sonuç 3.1.1:
Her n pozitif tamsayısı için, Bn n. balans sayısı olmak üzere;
i) B2 n1  Bn2  Bn21
20
ii) B2 n  Bn  Bn1  Bn1 
iii) B1  B3  ...........  B2 n1  Bn2
iv) B2  B4  ....  B2n  Bn .Bn1
Teorem 3.1.7: (Balans Sayılarını Üreten Fonksiyonlar)
x herhangi bir balans sayısı olmak üzere;
f  x   2 x 8x2  1
g  x   3x  8 x 2  1
h  x   17 x  6 8 x 2  1
p  x   6 x 8 x 2  1  16 x 2  1
f  x  , g  x  , h  x  ve p  x  de birer balans sayısıdır.
İspat: x, bir balans sayısı olduğundan 8 x 2  1 bir tam karesel doğal sayıdır ve
8 x 2  8 x 2  1
2
 4 x 2  8 x 2  1
ifadesi tam karesel ve üçgensel bir sayıdır.
f  x   2 x 8 x 2  1 bir balans sayısıdır ki
2

8  g  x    1  8 x  3 8 x 2  1

2
ifadesi de
g  x  ’in bir balans sayısı
olduğunu gösterir.
g  g  x    h  x  ve g  f  x    p  x  olup; h  x  ve p  x  de birer balans
sayısıdır.
21
Teorem 3.1.8: Her x balans sayısı için;
x ’ten sonraki balans sayısı g  x   3x  8 x 2  1
x ’ten önceki balans sayısı g '  x   3x  8 x 2  1 dir.
Tanım 3.1.2: (Lucas – Balans Sayıları)
B, bir balans sayısı ise 8B 2  1 bir tam karesel doğal sayıdır,
C  8 B 2  1 olmak üzere;
Bn1  3Bn  8Bn2  1
(3.1.5)
Bn 1  3Bn  8Bn2  1
(3.1.6)
(3.1.5) ve (3.1.6) dan
Bn2  17 Bn  6 8Bn2  1 bulunur.
Cn  8Bn2  1 sayısına n. Lucas balans sayısı denir.
Teorem 3.1.9: Lucas-balans sayıları için rekürans bağıntısı; başlangıç koşulları
C1  3, C2  17 olmak üzere,
Cn1  6Cn  Cn1 ile tanımlıdır.
Teorem 3.1.10: (Binet formülü) Lucas Balans sayıları için Binet formülü
Cn 
 2n   2n
2
dir.
22
Teorem 3.1.11:
i) m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere;
Bmn  BmCn  Cm Bn
ii) m ve n iki doğal sayı olmak üzere;
Cmn  CmCn  8Bm Bn
iii) n pozitif tamsayı olmak üzere;
B2n  2BnCn ve C2 n  Cn2  8 Bn2
iv) m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere,
mn
Bmn  BmCn  Cm Bn
Cmn  CmCn  8Bm Bn
v) n ve r doğal sayılar, n  r olmak üzere;
Bnr Bnr   Bn  Br  Bn  Br  dir.
Teorem 3.1 12: (Üreteç Fonksiyonu)
Balans sayılarının rekürans bağıntısı; başlangıç koşulları B1  1, B2  6
olmak üzere;
Bn1  6Bn  Bn1, n  1 dir.
Balans sayıları için üreteç fonksiyonu g ( x) olsun,
g  x 
x
1  6 x  x2
dir.
23
İspat:

g  x    Bn x n  B0  B1 x  B2 x 2  ....  Bn x n ...
(3.1.7)
n 0
(3.1.7) eşitliğini 6x ile çarpalım.

6 x.g  x   6 Bn x n 1  6 xB0  6 x 2 B1  6 x3 B2  ....  6 Bn x n 1...
(3.1.8)
n0
(3.1.7) eşitliğini x2 ile çarpalım.

x 2 g  x    Bn x n  2  B0 x 2  B1 x 3  B2 x 4  ....  Bn x n  2  ...
(3.1.9)
n 0
(3.1.7) ile (3.1.9) eşitliklerini toplayıp, (3.1.8) eşitliğini çıkaralım;






g  x   6 xg  x   x 2 g  x   x.  B1  6 B0   x 2  B2  6 B1  B0   x3  B3  6 B2  B1   ...







 
 
1
0
0






g  x  1  6 x  x 2   x
g  x 
x
bulunur.
1  6 x  x2
24
3.2 Kobalans Sayıları:
Tanım 3.2.1:
1  2  ...  n   n  1   n  2   ...   n  r 
(3.2.1)
eşitliğinde; n doğal sayısına Kobalans sayısı ve bu n   doğal sayısına karşılık
gelen r   doğal sayısına kobalansır denir.
İlk üç kobalans sayısı 2,14 ve 84; bu kobalans sayılarına karşılık gelen
kobalansırlar sırasıyla 1,6 ve 35 tir.
Örneğin;
i) 1  2  2  1 olup burada 2   kobalans sayısı iken, 1  kobalansırdır.

 
 


ii) 1  2  3  ...  14  14 1  14 2  14 3  ...  14 6

Burada; 14   kobalans sayısı ve bu kobalans sayısına karşılık gelen
kobalansır ise 6   ’dir.
(3.2.1) eşitliğinde;
n  n  1 
 n  r  n  r  1
2
olsun. Bu durumda;
  2n  1  8n 2  8n  1
r
elde edilir.
2
Teorem 3.2.1: n nin bir kobalans sayısı olması için gerek ve yeter şart 8n2  8n  1
in tam karesel bir doğal sayı olmasıdır.
Teorem 3.2.2: (Kobalans Sayıları İçin Rekürans Bağıntısı)
n  1, 2,3,... için; bn , n. kobalans sayısı olsun.
bn 1  3bn  8bn2  8bn 1  1  1 ,
25
ve
bn 1  3bn  8bn2  8bn  1  1
olduğundan bu iki eşitlik taraf tarafa toplanırsa;
bn1  6bn  bn1  2, n  2
elde edilir. Bu bağıntıda
b1  0, b2  2, dir.
Teorem 3.2.3: (Kobalans Sayılarını Üreten Fonksiyonlar)
x bir kobalans sayısı olmak üzere;
f  x   3x  8 x 2  8 x  1  1
g  x   17 x  6 8 x 2  8 x  1  8
h  x   8 x 2  8 x  1   2 x  1 8 x 2  8 x  1  1
fonksiyonları da bir kobalans sayısı üretirler.
Teorem 3.2.4: (Binet Formülü)
Kobalans sayı dizisi, başlangıç koşulları;
b1  0, b2  2 olmak üzere;
bn1  6.bn  bn1  2, n  2 rekürans bağıntısı ile tanımlıdır.
Kobalans sayı dizisi için binet formülü; bn , n. kobalans sayısı olmak üzere;
bn 
 2 n1   2 n1 1
 ; n  1, 2,... için;
1  2
2
1   2 ve 2   2 ,   1  2 ve   1  2 dir.
26
İspat: bn1  6.bn  bn1  2; n  2 için;
d n  bn 
1
2

olsun 

bn  d n 
1
2
dir
bn 1  d n 1 
d n1 
1
2



dir 

1
1 
1

 6.  d n     d n1    2; buradan;
2
2 
2

dn1  6dn  dn1 homojen bir rekürans bağıntısı elde edilir.
dn1  6.dn  dn1 rekürans bağıntısının karakteristik denklemi
r 2  6r  1  0 dır. kökleri;
1,2  3  8 dır.
d n  A.1n  B2n formundadır.
1

 A.1  B.2 
1  3  8   2

2
 olup; Burada;
5
2
2
2  3  8   2
n  2 için  A.1  B.2

2
n  1 için;
A
1
1
ve B 
  1  2 
  1  2 
olup;
 2 n1   2 n1
dn 
dir.
1  2
d n  bn 
1
idi;
2
27
bn 
 2 n1   2 n1 1
 , n  1, 2,... elde edilir.
1  2
2
Teorem 3.2.5: (Üreteç Fonksiyonu)
Kobalans sayı dizisi: başlangıç koşulları, b1  0, b2  2 olmak üzere;
bn1  6bn  bn1  2, n  2 için tanımlıdır.
Kobalans sayılarının üreteç fonksiyonu;
g  x 
2x2
1  x  1  6 x  x 2 
dir.
İspat:

g ( x )   bn x n olsun.
n0

g  x    bn x n  b0  b1 x  b2 x 2  b3 x 3  ...  bn x n  ....
(3.2.2)
n 0
(3.2.2) eşitliğini sırasıyla “ 6x ” ve “ x2 ” ile çarpalım;

6 xg  x    6bn x n1  6b0 x  6b1 x 2  6b2 x3  6b3 x 4  ...
(3.2.3)
n 0

x 2 g  x    bn x n2  b0 x 2  b1 x3  b2 x 4  b3 x5  b4 x 6  ...
(3.2.4)
n0
(3.2.2) eşitliğinden (3.2.3) yi çıkaralım ve (3.2.4) ile toplayalım;






g  x  1  6 x  x 2   b0  x  b1  6b0   x 2  b2  6b1  b0   x 3  b3  6b2  b1   ...



  
  

0
2
2




 0 
g  x  1  6 x  x 2   2 x 2 1  x  x 2  ... x  1 için
2x2
 1 
elde edilir.
g  x  1  6 x  x 2   2 x 2 

g
x



1  x  1  6 x  x 2 
1  x 
28
Tanım 3.2.2: b bir kobalans sayısı ise 8b2  8b  1 bir tam karesel sayı olduğundan;
c  8b 2  8b  1 sayısına n. Lucas kobalans sayısı denir.
Teorem 3.2.6: Lucas kobalans sayı dizisi; başlangıç koşulları c1  1, c2  7 için
cn1  6cn  cn1 , n  2
dir.
İspat:
cn21  8bn21  8bn 1  1


2
 8. 3bn  8bn2  8bn  1  1  8bn1  1

 3 8bn2  8bn  1  8bn  4
  3cn  8bn  4 

2
2
cn1  3cn  8bn  4
(3.2.5)
cn21  8bn21  8bn1  4 olduğundan benzer şekilde;
cn1  3cn  8bn  4
(3.2.6)
(3.2.5) ve (3.2.6) eşitlikleri toplanırsa;
cn1  cn1  6cn elde edilir ki;
cn1  6cn  cn1, n  2 yazılır.
29
Teorem 3.2.7: (Binet Formülü)
Başlangıç koşulları; c1  1, c2  7 olmak üzere;
ve
cn1  6cn  cn1, n  2 rekürans bağıntısının kökleri için
cn 
12 n1   2 2 n 1
2
, n  1, 2...
dir.
Teorem 3.2.8:
i) Her balansır bir kobalans sayısıdır.
ii) Her kobalansır bir balans sayısıdır.
İspat: Rn , n . balansır
bn , n . kobalans sayısı
rn1,  n  1 . kobalansır
Bn , n . balans sayısı olmak üzere;
  2 B  1  8B 2  1
R
2
(3.2.7)
Rn 1 
  2 Bn 1  1  8 Bn21  1
2
(3.2.8)
Rn1 
  2 Bn1  1  8 Bn21  1
2
(3.2.9)
Bn 1  3Bn  8Bn2  1

Bn 1  3Bn  8Bn2  1 
(3.2.10)
(3.2.10) u ve (3.2.8) ve (3.2.9) da yerine yazıp; (3.2.8) ve (3.2.9) u toplayalım;
30
Rn1 
2 Bn  8 Bn2  1  1
2
Rn 1 
14 Bn  5 8Bn2  1  1
2
12 Bn  6 8 Bn2  1  2
Rn 1  Rn 1 
2
  2 Bn  1  8 Bn2  1
 6.
2
2
 6.Rn  2 dolayısıyla
Rn1  6Rn  Rn1  2 elde edilir.
Burada
R1  b1  0 
 dir. Yani Rn  bn dir.
R2  b2  2 
Teorem 3.2.9: Her kobalans sayısı çifttir.
İspat: Tümevarımla yapalım; ilk iki kobalans sayısı b1  0 ve b2  2 olup çifttirler.
Varsayalım ki bn çift olsun, bu
durumda; n  k için; bn1  6.bn  bn1  2
olduğundan; bk 1 de çifttir.
Teorem 3.2.10: Kobalans sayıları, ikinci mertebeden lineer olmayan aşağıdaki
bağıntıyı bağlar.
 bn 1 
2
 1  bn 1.bn 1 , n  2 dir.
İspat:
bn1  6bn  bn1  2 olduğundan;
bn1  bn1  2
 6 dır. Burada;
bn
" n " yerine " n  1 " yazarsak;
(3.2.11)
bn  bn2  2
 6 elde edilir.
bn1
31
(3.2.12)
(3.2.11) ve (3.2.12) eşit olduğundan;
bn1  bn1  2 bn  bn2  2

bn
bn1
 bn  1
2
buradaki
2
ifadeler
düzenlenirse
2
 bn 1.bn 1   bn 1  1  bn  2bn buradan da  bn  1  bn 1.bn 1  1 elde edilir.
Teorem 3.2.11: x bir kobalas sayısı ise; x ten sonraki kobalans sayısı:
3x  8 x 2  8 x  1  1 x ten önceki kobalans sayısı: 3x  8 x 2  8 x  1  1 dir.
 0 1
Teorem 3.2.12: A  
 olsun. Bu durumda;
 1 6 
  Bn1
An  
  Bn
dir.
İspat: ispatı tümevarımla yapalım.
n  1 için
  B0 B1   0 1 
A
 dir.

  B1 B2   1 6
1  n  k için
  Bn1 Bn 
An  
 olsun.

B
B
n 1 
 n
 0 1    Bk 1
Ak 1  A. Ak  

 1 6   Bk
Bk 

Bk 1 
 B

Bk 1
 k

 6 Bk  Bk 1 6 Bk 1  Bk 
32
Bn 

Bn1 
B
 k
  Bk 1
Bk 1 

Bk 2 
dir.
 0 1
 0 1
Teorem 3.2.13: A  
 ve B  
 olsun. Bu durumda;
 1 6 
 1 5
  Bn 2bn1  1 
An .B  

  Bn1 2bn2  1
dir.
İspat:
  Bn1 Bn 
An  

  Bn Bn1 
idi
  Bn1 Bn   0 1
An .B  


  Bn Bn1   1 5
  Bn Bn1  Bn 


  Bn1 Bn2  Bn1 
Bn1  3Bn  8Bn2  1 ve
  2 Bn  1  8Bn2  1
Rn 
2
olduğundan;
Bn  Bn1  2 Bn  8 Bn2  1
 2Rn  1
dir.
33
Rn  bn ve Bn  Bn1  2bn  1 olduğundan;
  Bn 2bn1  1 
An .B  

  Bn1 2bn2  1
elde edilir.
 0 1
3 1
Teorem 3.2.14: A  
, C  
 olsun. Bu durumda;
1
3

1
6




Cn1 Cn 
An .C  

 Cn Cn1 
dir.
 0 1
 1 1 
Teorem 3.2.15: A  
, D  
 olsun. Bu durumda;
 1 6 
 1 7
cn cn1 
An D  

cn1 cn 2 
dir.
34
4. GAUSS BALANS ve GAUSS KOBALANS SAYILARI
Bu bölümde Gauss Balans ve Gauss Kobalans sayılarının tanımları verilerek daha
önceki çalışmalarda elde edilen sonuçlar bu sayılara taşınmış ve ilgili teoremler
ispatlanmıştır.
4.1 Gauss Balans Sayıları
Tanım 4.1.1: Gauss balans sayıları dizisi; başlangıç koşulları,
GB0  i, GB1  1 ve n  1 olmak üzere
GBn 1  6.GBn  GBn 1 ile tanımlıdır.
Ayrıca; GBn  Bn  iBn 1 ilişkisi mevcuttur.
GBn dizisinin bazı elemanları;
n
0
1
2
3
4
…
GBn
i
1
6i
35  6i
204  35i
…
biçimindedir.
6 1
6  i 1
Teorem 4.1.1: A  
 ve B  
 olsun. Bu durumda;
1
0
1

i




GBn  2 GBn1 
An .B  

GBn 1 GBn 
dir.
35
İspat
İspatı tümevarımla yapalım.
n  1 için,
6 1 6  i 1
A.B  


1 0   1  i 
35  6i   6  i  


 1 
 6  i
GB3

GB2
GB2 
GB1 
GBn 2 GBn1 


GBn1 GBn 
elde edilir.
GBk  2 GBk 1 
1  n  k için; Ak .B  
 olsun.
GBk 1 GBk 
n  k  1 için
6 1 GBk  2
Ak 1B  A  Ak .B   
.
1
0

 GBk 1
GBk 1 

 GBk 
6.GBk 2  GBk 1 6GBk 1  GBk 


 GBk 1
G Bk  2

GBk 3 GBk 2 


GBk  2  GBk 1 
36
Teorem 4.1.2: GBn2  GBn 1.GBn 1  6i
n
6 1 6  i 1 
İspat: 
 
  Q matrisi olsun.
1
0
1

i

 

Q matrisinin determinantını alalım.
n
6 1 6  i 1
1
i
0 1
  6  i  .  i   1  6i
elde edilir.
Teorem 4.1.3: Gauss Balans Sayı dizisi için, Binet formülü; GBn , n Gauss Balans
sayısı;   3  8 ve   3  8 olmak üzere;
GBn 
n  n
 n 1   n 1
 i.
 
 
dir.
İspat: Gauss Balans Sayıları;
GB0  i, GB1  1 başlangıç koşulları
GBn 1  6.GBn  GBn 1 rekürans bağıntısıyla tanımlıdır. Ayrıca; Bn , n Balans
sayısı olmak üzere;
GBn  Bn  i.Bn 1 ilişkisi mevcuttur.
n
1) Bn 
n
 
,
 
  3 8

    4 2

  3  8
ve
olmak üzere
2)
Bn1 
 n1   n1   3  8
,
, 1 ve 2 ifadeleri
 
  3 8
eşitliğinde yerine yazılırsa;
37
GBn  Bn  i.Bn 1
n  n
 n 1   n 1
GBn 
 i.
 
 
elde edilir.
Teorem 4.1.4: GBn n . Gauss Balans sayısı ve Bn n . Balans sayısı olmak üzere;
GB2  GB4  ...  GB2 n  Bn .GBn 1
dir.
İspat: GBn  Bn  iBn 1 olduğundan;
GB2  B2  i.B1
GB4  B4  i.B3
GB6  B6  iB5

GB2 n  B2 n  i.B2 n 1
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa;
GB2  GB4  ...  GB2 n  B2  B4  ...  B2 n  i.  B1  B3  ...  B2 n1 
elde edilir. Burada;
B2  B4  ...  B2n  Bn .Bn1
ve
B1  B3  ...  B2 n 1  Bn2
olduğundan;
GB2  GB4  ...  GB2 n  Bn .Bn 1  i.Bn2
 Bn  Bn1  i.Bn 
38
elde edilir.
Burada; Bn1  i.Bn  GBn1 olduğundan;
GB2  GB4  ...  GB2 n  Bn .GBn 1
elde edilir.
Teorem 4.1.5:
GBn , n. Gauss Balans Sayısı ve Bn , n. balans sayısı olmak üzere;
GB1  GB3  ...  GB2 n 1  Bn .GBn
dir.
İspat: GBn  Bn  i.Bn 1 olduğundan;
GB1  B1  i.B0
GB3  B3  i.B2
GB5  B5  i.B4

GB2 n 1  B2 n 1  i.B2 n  2
eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
GB1  GB3  ...  GB2 n 1  B1  B3  ...  B2 n 1  i.  B0  B2  ...  B2 n 2 
elde edilir.
B1  B3  ...  B2 n1  Bn2 , B0  B2  ...  B2 n  Bn .Bn1
ve
B2n  Bn .Bn1  Bn .Bn1
olduğundan
39
GB1  GB3  ...  GB2 n1  B1  B3  ...  B2n 1  i.  B0  B2  ...  B2n 2  B2 n  B2 n 
 Bn2  i.  Bn .Bn1  B2 n 
 Bn2  i.  Bn .Bn1  Bn .Bn1  Bn .Bn1 
 Bn2  i.Bn .Bn1
 Bn  Bn  i.Bn1 
elde edilir.
Bn  i.Bn 1  GBn
olduğundan
GB1  GB3  ...  GB2 n 1  Bn .GBn
elde edilir.
Teorem 4.1.6: (Gauss Balans Sayıları İçin Üreteç Fonksiyonu)
Gauss Balans Sayı dizisi;
GB0  i, GB1  1 başlangıç koşulları olmak üzere;
GBn  6.GBn 1  GBn  2 rekürans bağıntısıyla tanımlıdır.
Gauss Balans Sayı dizisi için;
Üreteç fonksiyon g  x  olsun;
g  x 
x  i 1  6 x 
1  6 x  x2
dir.
40
İspat: Gauss Balans sayı dizisi için;

Üreteç fonksiyon g  x    GBn x n olsun.
n 0

g  x    GBn x n  i  x   6  i  x 2   35  6i  x3   204  35i  x 4  ...
(4.1.1)
n0
(4.1.1) eşitliğini sırasıyla 6x ve x 2 olarak çarpalım.
6 x.g  x   6 xi  6 x 2   6  i  6 x 3   210  36i  x 4  1224  210i  x 5  ... (4.1.2)
x 2 .g  x   x 2 .i  x 3   6  i  x 4   35  6i  x 5   204  35i  x 6  ...
(4.1.3)
(4.1.1) eşitliği ile (4.1.3) eşitliğini taraf tarafa toplayıp, (4.1.2) eşitliğini
çıkaralım;
g  x  1  6 x  x 2   x  i. 1  6 x   x 2 .  6  i  6  i   x 3  35  6i  36  6i  1  ...
g  x 
x  i. 1  6 x 
1  6 x  x2
elde edilir.
4.2 Gauss Lucas Balans Sayıları
Tanım 4.2.1: Gauss Lucas Balans sayıları dizisi, başlangıç koşulları
= 3 − olmak üzere
=6
−
indirgeme bağıntısı ile tanımlıdır. Ayrıca
=
ilişkisi mevcuttur.
−
dizisinin bazı elemanları
41
= 1−3 ,
n
0
1
2
3
…
1−3
3−
17 − 3
99 − 17
…
, . Gauss Lucas Balans sayısı olmak üzere
Teorem 4.2.1: (Binet Formülü)
−
2
=
= 3 + √8 ve
dir. Bu denklemde
Teorem 4.2.2:
ve
=
3
1
−
2
−
= 3 − √8 dir.
, . Gauss Lucas Balans sayısı,
=
6
1
1
olmak üzere
3
=
dir.
İspat:
İspat için tümevarım yöntemini kullanalım:
= 1 için
=(
) = 6
1
=
−1 6 −
0
1
99 − 17
17 − 3
−1 3 1
− 1 3
17 − 3
3−
=
=
için
=
+ 1 için
=(
) =
olsun.
) = 6 −1
1
0
= (
=
42
−1
,
0
=
6−
1
−1
−
Teorem 4.2.3: (Cassini Özdeşliği)
−
= −48
dir.
,
İspat:
=
. Gauss Lucas Balans sayısı,
=
6 −1
,
1
0
=
6−
1
−1
ve
−
3 1
olmak üzere
1 3
=
olduğundan eşitliğin her iki tarafının determinantı alınırsa
−
= −48
elde edilir.
Teorem 4.2.4 (Üreteç Fonksiyonu)
, . Gauss Lucas Balans sayısı olsun. Bu sayılar için ( ) üreteç fonksiyonu
( )=
1 − 3 + (−3 + 17 )
1−6 +
dir.
4.3 Gauss Kobalans Sayıları
Tanım 4.3.1: Gauss Kobalans sayıları dizisi, başlangıç koşulları
= 0 olmak üzere
=6
−
+2−2
indirgeme bağıntısı ile tanımlıdır. Ayrıca
=
ilişkisi mevcuttur.
−
dizisinin bazı elemanları
43
= −2 ,
n
0
1
2
3
4
…
−2
0
2
14 − 2
84 − 14
…
Teorem 4.3.1: (Binet Formülü)
−
=
dir. Bu denklemde
4√2
= 1 + √2 ve
, . Gauss Cobalans sayısı olmak üzere
−
1
−
2
−
4√2
−
1
2
= 1 − √2 dir.
Teorem 4.3.2 (Üreteç Fonksiyonu)
, . Gauss Kobalans sayısı olsun. Bu sayılar için ( ) üreteç fonksiyonu
( )=
−2 + 12
+ (2 − 2 ) 1 −
1−6 +
dir.
4.4 Gauss Lucas Kobalans Sayıları
Tanım 4.4.1: Gauss Lucas Kobalans sayıları dizisi, başlangıç koşulları
7
= 1 + olmak üzere
=6
−
indirgeme bağıntısı ile tanımlıdır. Ayrıca
=
ilişkisi mevcuttur.
−
dizisinin bazı elemanları
44
= −1 +
n
0
1
2
3
4
…
−1 + 7
1+
7−
41 − 7
239 − 41
…
, . Gauss Lucas Kobalans sayısı olmak üzere
Teorem 4.4.1: (Binet Formülü)
=
dir. Bu denklemde
+
2
= 1 + √2 ve
−
+
2
= 1 − √2 dir.
Teorem 4.4.2: (Üreteç Fonksiyonu)
, . Gauss Lucas Kobalans sayısı olsun. Bu sayılar için ( ) üreteç fonksiyonu
( )=
−1 + 7 + (7 − 41 )
1−6 +
dir.
6 1
6  i 1
 1 7
Teorem 4.4.3: A  
, B  
 ve D  
 olsun. Bu durumda;
1
0
1

i

1
1






Gcn  2 Gcn3 
An .B.D  

Gcn 1 Gcn 2 
dir.
45
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada Fibonacci ve Lucas sayı dizileri temel alınarak ilgili sayıların rekürans
bağıntıları, Binet formülleri, Cassini Özdeşliği, üreteç fonksiyonları, Q matrisleri ve
daha birçok özellikleri incelenmiş ve çalışılmıştır. Sonraki bölümde Gauss Fibonacci
ve Gauss Lucas sayılarının Fibonacci ve Lucas sayıları ile olan ilişkileri çalışılmıştır.
Bu sayıların temel özellikleri incelenmiştir. Daha sonra bu sayılar için verilen
özdeşlikler Balans ve Kobalans sayılarında da incelenmiştir. Son bölümde ise Gauss
Balans, Gauss Kobalans, Gauss Lucas Balans ve Gauss Lucas Kobalans Sayıları
tanımlanmış ve bu sayıların rekürans bağıntıları, Balans ve Kobalans sayıları ile olan
ilişkileri, Binet formülleri ve ispatlarda çok sık kullanılan Q matrisleri bulunmuş ve
çalışılmıştır.
Öneri olarak Gauss Balans sayılarının Gauss Pell sayıları ile olan ilişkileri
incelenebilir. Balans ve Kobalans sayılarının tanımlanmış birçok genelleştirmeleri
Gauss Balans ve Gauss Kobalans sayıları için uygulanabilirdir.
46
6. KAYNAKLAR
Asci, M., Gurel, E., "Bivariate Gaussian Fibonacci and Lucas Polynomials",
Ars Combin.,109, 461-472,(2013).
Asci, M., Gurel, E., “Gaussian Jacobsthal and Gaussian Jacobsthal Lucas
Numbers” Ars Combin. 111, (2013), 53-63.
Asci, M, Lee, G. Y. “Generalized Gaussian Fibonacci numbers and Sums by
Matrix Methods” Util. Math. 102, (2017), 349-357.
Asci, M., Gurel, E., “Gaussian Fibonacci and Gaussian Lucas p-Numbers”
Ars Combin. 132, (2017), 389-402.
A.Behera and G. K. Panda., “On the square root of triangular numbers”, The
Fibonacci Quart, 37(2):98-105, (1999).
BARBEAU, E. J., “Pell’s Equation”, Problem Books in Mathematics,
Springer-Verlag, New York, (2003).
Gurel, E., Asci, M., "Some Properties of k–order Gaussian Fibonacci and
Lucas Numbers", (in press).
Gurel, E., Asci, M “Some Properties of Bivariate Gaussian Fibonacci and
Lucas p-Polynomials” (in press).
G.K. Panda., “Sequence balancing and cobalancing numbers”, The Fibonacci
Quart., (p265-271) , (2007).
G.K Panda., “Some fascinating properties of balancing numbers”,
Applications of Fibonacci Numbers” Vol.10, Kluwer Academic Pub. (2006)
Horadam, A. F., "A Generalized Fibonacci Sequence",American Math.
Monthly, 68, 455-459,(1961).
Horadam, A. F., "Complex Fibonacci Numbers and Fibonacci Quaternions",
American Math. Monthly, 70,289-291,(1963).
47
Jordan, J. H., "Gaussian Fibonacci and Lucas numbers", Fibonacci Quart.,
3,315-318,(1965).
Koshy, T. "Fibonacci and Lucas Numbers with Applications", A WileyInterscience Publication, (2001).
Michel, W.,
Pell’s
equation”,
(01.06.2017),
https://webusers.imj-
prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/BamakoPell2010.pdf , (2016).
NAGELL, T., “Introduction to Number Theory”, Chelsea Publishing
Company, New York, (1981).
PEKASİL, M., “Sürekli Kesirler ve Pell Denklemleri”, Sakarya Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, Yüksek Lisans Tezi, Sakarya (2006).
Rout, S. S., “Some Generalizations and Properties of Balancing Numbers”,
Ph.D Thesis, Department of Mathematics National Institute of Technology
Rourkela, Rourkela, India (2015).
Ray P. K., “Balancing and Cobalancing Numbers”, Ph. D Thesis, Department
of Mathematics National Institute of Technology Rourkela, Rourkela, India
(2009).
ROSEN, H. K., “Elementary Number Theory And Its Application, 3d
Edition”, Addison –Wesley, (1993).
STARK, H., M., “An Introduction To Number Theory”, Markham Pub. Co.,
Chicago, (1997).
V.E Hoggatt Jr., “Fibonacci and Lucas Numbers”, Houghton Mifflin
Company, (1969).
48
7. ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: MUSTAFA YILMAZ
Doğum Yeri ve Tarihi
: DENİZLİ, 01.05.1982
Lisans Üniversite
:ATATÜRK
KARABEKİR
ÜNİVERSİTESİ,
EĞİTİM
KAZIM
FAKÜLTESİ,
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ
Elektronik posta
: yilmaz_709@hotmail.com
İletişim Adresi
: Selin Yapı Koop. A Blok No: 6 DENİZLİ
Konferans listesi
:
•Mustafa AŞCI, Mustafa YILMAZ "International Conference on Recent
Advances in Pure and Applied Mathematics" 11-15 May 2017, Kuşadası,
TURKEY.
49