5. ünite - video.eba.gov.tr

BU DERS KİTABI
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞINCA
ÜCRETSİZ OLARAK VERİLMİŞTİR
PARA İLE SATILAMAZ
ORTAOKUL
MATEMAT‹K
DERS K‹TABI
8
Yasemin ÜSTÜNDA⁄ PEKTAfi
Bu ki­tap, Mil­lî E¤i­tim Ba­kan­l›­¤› Ta­lim ve Ter­bi­ye Ku­ru­lu Bafl­kan­l›­¤›­n›n 25.05.2015
ta­rih ve 34 sa­y›­l› ka­ra­r›y­la 2016-2017 ö¤­re­tim y›­l›n­dan iti­ba­ren 5 (befl) y›l sü­rey­le ders
ki­ta­b› ola­rak ka­bul edil­mifl­tir.
1
Editör: Çiçek ÖZDEMİR
Dil uzmanı: İlknur SEVGİLİ
Görsel tasarım uzmanı: Abdüssamed BAŞER
Program geliştirme uzmanı: Nihal KARAOĞLU
Ölçme ve değerlendirme uzmanı: Nurten AK
Rehberlik uzmanı: Seval SEVEN
ISBN 978-975-592-139-6
Ankara, 2017
Baskı, Cilt:
Özgün Matbaacılık San. ve Tic. A.Ş.
Ankara Polatlı Kara Yolu 52. Km.
Özgün Grup Sitesi, Temelli - Sincan / ANKARA
Tel: 0 (312) 645 19 10 (Pbx) Belgeç: 0 (312) 645 19 19
2
Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak;
Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.
O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;
O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Bastığın yerleri toprak diyerek geçme, tanı:
Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı.
Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:
Verme, dünyaları alsan da bu cennet vatanı.
Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!
Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?
Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl.
Hakkıdır Hakk’a tapan milletimin istiklâl.
Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki feda?
Şüheda fışkıracak toprağı sıksan, şüheda!
Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda,
Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüda.
Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım.
Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!
Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.
Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.
Ruhumun senden İlâhî, şudur ancak emeli:
Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.
Bu ezanlar -ki şehadetleri dinin temeliEbedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar,
Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.
Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,
Medeniyyet dediğin tek dişi kalmış canavar?
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım,
Her cerîhamdan İlâhî, boşanıp kanlı yaşım,
Fışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden na’şım;
O zaman yükselerek arşa değer belki başım.
Arkadaş, yurduma alçakları uğratma sakın;
Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.
Doğacaktır sana va’dettiği günler Hakk’ın;
Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın.
Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!
Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.
Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl;
Hakkıdır hür yaşamış bayrağımın hürriyyet;
Hakkıdır Hakk’a tapan milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif Ersoy
3
GENÇLİĞE HİTABE
Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk Cumhuriyetini,
ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin en
kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum etmek
isteyecek dâhilî ve hâricî bedhahların olacaktır. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti
müdafaa mecburiyetine düşersen, vazifeye atılmak için, içinde bulunacağın
vaziyetin imkân ve şeraitini düşünmeyeceksin! Bu imkân ve şerait, çok
namüsait bir mahiyette tezahür edebilir. İstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek
düşmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili
olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatanın bütün kaleleri zapt edilmiş, bütün
tersanelerine girilmiş, bütün orduları dağıtılmış ve memleketin her köşesi bilfiil
işgal edilmiş olabilir. Bütün bu şeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere,
memleketin dâhilinde iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet
içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri şahsî menfaatlerini,
müstevlîlerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde
harap ve bîtap düşmüş olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi vazifen,
Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır. Muhtaç olduğun kudret,
damarlarındaki asil kanda mevcuttur.
Mustafa Kemal Atatürk
4
5
İÇİNDEKİLER
ORGANİZASYON ŞEMASI......................................................................................................................... 9
1.ÜNİTE ................................................................................................................................................... 11
1.1.ÇARPANLAR VE KATLAR ............................................................................................................ 12
1.1.1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları ......................................................................................... 12
1.1.2. İki Doğal Sayının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) .............................................................. 15
1.1.3. İki Doğal Sayının En Küçük Ortak Katı (EKOK) ................................................................. 21
1.2.ÜSLÜ SAYILAR ............................................................................................................................. 28
1.2.1. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri ..................................................................................... 28
1.2.2. Üslü İfadelerde İşlemler ...................................................................................................... 34
1.2.3. Çok Küçük ve Çok Büyük Sayıların Bilimsel Gösterimi ...................................................... 42
1.3.KAREKÖKLÜ İFADELER .............................................................................................................. 47
1.3.1. Tam Kare Doğal Sayılar ve Karekökleri .............................................................................. 47
1.3.2. Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Tahmin Edilmesi ........................................... 51
1.3.3. Gerçek Sayılar .................................................................................................................... 54
1.3.4. Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri ................................................................. 59
1.3.5. Kareköklü Bir Sayının a b şeklinde İfade Edilmesi ve a b Şeklindeki İfadenin
Katsayısının Kök İçine Alınması ................................................................................................................ 63
1.3.6. Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri ............................................................ 67
1.3.7. Ondalık İfadelerin Karekökü ................................................................................................ 70
1. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI ................................................................................................ 74
2. ÜNİTE ................................................................................................................................................... 81
2.1.OLASILIK ....................................................................................................................................... 82
2.1.1. Olası Durumlar .................................................................................................................... 82
2.1.1. Olay ve Bu Olayın Olma Olasılığı ....................................................................................... 85
2.2.ÜÇGENLER ................................................................................................................................... 89
2.2.1. Üçgende Yardımcı Elemanlar (Kenarortay, Açıortay, Yükseklik) ......................................... 89
2.2.2. Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar ............................................................................. 98
2.2.3. Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki ................................................................... 103
6
2.2.4. Üçgen Çizimleri ................................................................................................................. 107
2.2.5. Pisagor Bağıntısı ve Problemler ....................................................................................... 114
2.3.DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ ........................................................................................................... 125
2.3.1. Düzlemsel Şekillerin Dönme Altındaki Görüntüsü ............................................................ 125
2.3.2. Öteleme, Yansıma ve Dönme ........................................................................................... 128
2.3.3. Ardışık Öteleme, Yansıma ve Dönme ............................................................................... 141
2. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI ...............................................................................................147
3.ÜNİTE ................................................................................................................................................. 158
3.1.CEBİR .......................................................................................................................................... 159
3.1.1. Cebirsel İfadeler ................................................................................................................ 159
3.1.2. Özdeşlikler ......................................................................................................................... 167
3.1.3. Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma ............................................................................. 172
3.2.EŞLİK VE BENZERLİK ................................................................................................................ 179
3.2.1. Eşlik ve Benzerlik Arasındaki İlişki .................................................................................... 179
3. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI .............................................................................................. 190
4.ÜNİTE ................................................................................................................................................. 196
4.1.DOĞRUSAL DENKLEMLER ....................................................................................................... 197
4.1.1. Doğrusal Denklemler ve Günlük Yaşam ........................................................................... 197
4.1.2. Doğrusal Eğim ................................................................................................................... 204
4.1.3. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ................................................................. 216
4.2.DENKLEM SİSTEMLERİ ............................................................................................................. 222
4.2.1. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler ................................................................. 222
4.2.2. Doğrusal Denklem Sistemlerini Grafik Kullanarak Çözme ................................................ 229
4.3.EŞİTSİZLİKLER ........................................................................................................................... 236
4.3.1. Eşitsizlik ............................................................................................................................. 236
4.3.2. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ................................................................. 240
4. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI .............................................................................................. 248
7
5.ÜNİTE ................................................................................................................................................. 254
5.1.GEOMETRİK CİSİMLER ............................................................................................................. 255
5.1.1. Prizmalar ........................................................................................................................... 255
5.1.2. Dik Dairesel Silindir ........................................................................................................... 260
5.1.3. Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı .................................................................................... 264
5.1.4. Dik Dairesel Silindirin Hacmi ............................................................................................. 271
5.1.5. Dik Piramid, Temel Elemanları ve Açınımı ........................................................................ 278
5.1.6. Dik Koni, Temel Elemanları ve Açınımı ............................................................................. 283
5.2.VERİ DÜZENLEME, DEĞERLENDİRME VE YORUMLAMA ...................................................... 288
5.2.1. Histogram .......................................................................................................................... 288
5.2.2. Tablo ve Grafikler .............................................................................................................. 294
5. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI .............................................................................................. 305
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ CEVAP ANAHTARLARI ..................................................... 311
Sözlük .................................................................................................................................................. 321
Kaynakça 8
............................................................................................................................................ 323
ORGANİZASYON ŞEMASI
Ünite adı ve numarasıdır.
1. ÜNİTE
Bu bölümde, her ünitede yer alan konular sunulmuştur.
1. ÜNİTE
1.1. ÇARPANLAR VE KATLAR
1.2. ÜSLÜ İFADELER
Bu bölümde, her ünitede yer alan semboller verilmiştir.
1.3. KAREKÖKLÜ İFADELER
SEMBOLLER
TERİMLER
n
,a ,çarpmaişareti:“•”
Ünitede ele alınan terimler verilmiştir.
Ünitede neler öğrenileceği ile ilgili çalışmanın yer
aldığı bölümdür.
En büyük ortak bölen (EBOB), en küçük ortak kat (EKOK),
çokbüyükveçokküçüksayılar,tamkaresayılar,karekök,gerçeksayı,irrasyonelsayı
Bu Ünitede Neler Öğreneceğiz?
1.1. ÇARPANLAR VE KATLAR
• Verilenpozitiftamsayılarınçarpanlarınıbulma,pozitiftamsayılarıüslüifadeyadaüslü
ifadelerinçarpımışeklindeyazma,
• İkidoğalsayınınenbüyükortakbölenini(EBOB)veenküçükortakkatını(EKOK)hesaplama,ilgiliproblemleriçözme,
• Verilenikidoğalsayınınaralarındaasalolupolmadığınıbelirleme.
1.2. ÜSLÜ İFADELER
•
•
•
•
•
Tamsayılarıntamsayıkuvvetlerinihesaplama,üslüifadeşeklindeyazma,
Sayılarınondalıkgösterimlerini10’untamsayıkuvvetlerinikullanarakçözümleme,
Üslüifadelerleilgilitemelkurallarıanlama,birbirinedenkifadeleroluşturma,
Sayıları10’unfarklıtamsayıkuvvetlerinikullanarakifadeetme,
Çokbüyükveçokküçüksayılarıbilimselgösterimleifadeetmevekarşılaştırma.
1.3. KAREKÖKLÜ İFADELER
• Tamkaredoğalsayılarıtanıma,
• Tamkaredoğalsayılarlabusayılarınkarekökleriarasındakiilişkiyibelirleme,
• Tamkareolmayansayılarınkarekökdeğerlerininhangiikidoğalsayıarasındaolduğunu
belirleme,
• Gerçeksayılarıtanıma,rasyonelveirrasyonelsayılarlailişkilendirme,
• Kareköklüifadelerdeçarpmavebölmeişlemleriniyapma,
• Kareköklübirifadeyia b şeklindeyazmavea b şeklindekiifadedekatsayıyıkökiçinealma,
• Kareköklübirifadeileçarpıldığında,sonucubirdoğalsayıyapançarpanlaraörnekverme,
• Kareköklüifadelerdetoplamaveçıkarmaişlemleriniyapma,
• Ondalıkifadelerinkareköklerinibelirleme.
11
Ünitede yer alan konunun numarasını ve başlığını gösterir.
Düşünmeye yönlendirecek motivasyon amaçlı
soru ya da araştırma önerilerinin verildiği bölümdür.
1. ÜNİTE
1.3.2. Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Tahmin Edilmesi
Hesap makinelerinde bulunan “
” tuşuna daha önce hiç dikkat ettiniz mi? Bu
tuşunhangiamaçlavenasılkullanıldığınıaraştıraraköğreniniz.
Hesap makinesiyle tam kare olan ve tam kare olmayan iki sayının karekökünü
hesaplayınız.Sonuçlarıkarşılaştırınız.Tamkareolmayansayınınkarekökünühesap
makinesikullanmadanbulmanızistenirsenasıltahminederdiniz?Düşününüz.
Örnek-1
30sayısınınkarekökünütahminedelim.
Çözüm
25<30<36
>
30’danküçükve30’aenyakıntamkaresayı25’tir.
30’danbüyükve30’aenyakıntamkaresayı36’dır.
25 < 30 < 36
5< 30 <6olur.
5< 30 <6olduğundan30sayısınınkarekökü5ile6arasındadır.
Şimdide30sayısınınkarekökünüenyakınondabirliğinekadartahminedelim.Bununiçin30’un25ve
36sayılarınaolanuzaklıklarınıhesaplayalım.
36–30=6ve30–25=5olduğundan30,25sayısınadahayakındır.Bunedenle 30 ≈5,4olarak
tahminedilebilir.
Konuyu anlamaya yardımcı olacak örnekleri içerir.
Hesapmakinesiylebulunankarekökünyaklaşıkdeğeri5,47722’dir.
Örnek-2
2sayısınınkarekökünüenyakınondabirliğinekadartahminedelim.
Örneklerin çözümünün yer aldığı bölümdür.
Çözüm
2
2
1 <2<2
x2<2<22
1<
1 < 2 < 4
2 <2olduğundan 2 sayısı1ile2arasındadır.
2–1=1ve4–2=2olduğundan 2 sayısı1’edahayakındır.Bunedenle 2 ≈1,4olaraktahmin
edilebilir.Hesapmakinesiylebulunankarekökünyaklaşıkdeğeri1,4142’dir.
Görev
Alanı29br2olankareninbirkenarınınuzunluğunubulmakiçindeğişikstratejilergeliştiriniz.
51
9
Konuları keşfederek öğrenmek için bireysel ya da
grup olarak yapılacak etkinliklerin yer aldığı bölümdür.
Etkinlik
Konuyla ilgili önceden öğrenilmiş ve bilinmesi gereken konular bu bölümde sunulmuştur.
Hatırlayalım
Konuyla ilgili tanım ve bilgilerin yer aldığı bölümdür.
İlgi çekici ve bilgi dağarcığını zenginleştirici ansiklopedik bilgiler, bu bölümde sunulmuştur.
Bunu biliyor muydunuz?
Araştırma yönünüzü geliştirmek ve bilgilerinizi
günlük yaşamla ilişkilendirmek için verilmiştir.
Görev
Konuyla ilgili eğlendirici ve öğretici bilgilerin yer
aldığı bölümdür.
Oyun
Konu ve üniteyle ilgili günlük hayatta karşılaşılabilecek problemler verilmiştir.
Problem-1
Konuyla ilgili problemlerin, problem çözme aşamalarına uygun olarak çözüldüğü bölümdür.
Çözüm
Konuyu daha iyi kavrayabilmek ve öğrenilenleri
pekiştirmek amacıyla hazırlanan soruları kapsar.
ALIŞTIRMALAR
Ünite boyunca öğrenilenleri kontrol etmek için çeşitli türlerde uygulama sorularının yer aldığı bölümdür.
1. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
10
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1.1. ÇARPANLAR VE KATLAR
1.2. ÜSLÜ İFADELER
1.3. KAREKÖKLÜ İFADELER
SEMBOLLER
reti: “ • ”
, an , çarpma işa-
TERİMLER
En büyük ortak bölen (EBOB), en küçük ortak kat (EKOK),
çok büyük ve çok küçük sayılar, tam kare sayılar, karekök, gerçek sayı, irrasyonel sayı
Bu Ünitede Neler Öğreneceğiz?
1.1. ÇARPANLAR VE KATLAR
• Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulma, pozitif tam sayıları üslü ifade ya da üslü
ifadelerin çarpımı şeklinde yazma,
• İki doğal sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama, ilgili problemleri çözme,
• Verilen iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirleme.
1.2. ÜSLÜ İFADELER
•
•
•
•
•
Tam sayıların tam sayı kuvvetlerini hesaplama, üslü ifade şeklinde yazma,
Sayıların ondalık gösterimlerini 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleme,
Üslü ifadelerle ilgili temel kuralları anlama, birbirine denk ifadeler oluşturma,
Sayıları 10’un farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak ifade etme,
Çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel gösterimle ifade etme ve karşılaştırma.
1.3. KAREKÖKLÜ İFADELER
• Tam kare doğal sayıları tanıma,
• Tam kare doğal sayılarla bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi belirleme,
• Tam kare olmayan sayıların karekök değerlerinin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu
belirleme,
• Gerçek sayıları tanıma, rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilişkilendirme,
• Kareköklü ifadelerde çarpma ve bölme işlemlerini yapma,
• Kareköklü bir ifadeyi a b şeklinde yazma ve a b şeklindeki ifadede katsayıyı kök içine alma,
• Kareköklü bir ifade ile çarpıldığında, sonucu bir doğal sayı yapan çarpanlara örnek verme,
• Kareköklü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemlerini yapma,
• Ondalık ifadelerin kareköklerini belirleme.
11
1. ÜNİTE
1.1.
ÇARPANLAR VE KATLAR
1.1.1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları
Hatırlayalım
Çiftçi Mehmet Bey yetiştirdiği 60 kg cevizi torbalara eşit miktarlarda koyarak satmak istiyor. Torbaların kaçar kilogram olabileceğini bulalım.
60 doğal sayısının çarpanlarını belirleyerek torbaların kaçar kg olabileceğini buluruz.
Çarpan ağacını kullanalım:
Çarpan ağacı
60
1 x 60
2 30
2 x 30
2 2 15
4 x 15
2 • 2 • 3 • 5
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara o doğal sayının çarpanları denir.
5 x 12, 6 x 10 veya 3 x 20
60 doğal sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,
15, 20, 30, 60’tır.
Bir ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir.
Siz de 60 doğal sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
Örnek-1
72 tam sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını çarpan ağacı ve asal çarpan algoritması yardımıyla
bulalım.
Çözüm
Çarpan ağacı
Asal çarpan algoritması
72
1 x 72
2 36
2 x 36
2 2 18
4 x 18
2 2 2 9
8x9
2 2 2 3 3
24 x 3 veya 6 x 12
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
72 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24,
36, 72’dir.
72 tam sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür.
12
Asal çarpan algoritmasında bölen
sayılar, asal sayılardır.
1. ÜNİTE
Örnek-2
64 tam sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını bularak sayıyı üslü ifade şeklinde yazalım.
Çözüm
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
64 sayısının çarpanları 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64’tür.
64 sayısının asal çarpanı 2’dir.
64 tam sayısı üslü ifade olarak;
64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
64 = 26 şeklinde yazılır.
Örnek-3
108 tam sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını bularak sayıyı üslü ifade şeklinde yazalım.
Çözüm
108
54
27
9
3
1
2
2
3
3
3
108 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108’dir.
108 sayısının asal çarpanı 2 ve 3’tür.
108 = 2 • 2 • 3 • 3 • 3
108 = 22 • 33
Örnek-4
Örnek-5
288 tam sayısını üslü ifadelerin çarpımı
şeklinde yazalım.
Çözüm
288
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
2
3
3
Sayı, üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılırken sayının asal çarpanlarından yararlanılır.
60 = 22 • 3a • b olduğuna göre a + b’nin
toplamını bulalım.
Çözüm
288 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
288 = 25 • 32
60 sayısını üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazalım.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60 = 22 • 31 • 5
O hâlde a = 1 ve b = 5’tir.
a + b = 1 + 5 = 6’dır.
13
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıda verilen tam sayıların çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulunuz.
a) 126
2
14
B) 7
C) 9
d) 540
D) 12
b) 98
c) 189
ç) 385
B) 280
C) 300
D) 340
b) 32 • 72
c) 2 • 3 • 11
ç) 23 • 52
630 = 2 • x • 5 • 7 olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
7
d) 300
Aşağıda üslü ifadelerin çarpımı olarak verilen sayıları bulunuz.
a) 2 • 52
6
Aşağıdakilerden hangisi 23 • 5 • 7 şeklinde asal çarpanlarına ayrılan tam sayıdır?
A) 140
5
ç) 210
Aşağıdaki sayıları üslü ifadelerin çarpımı olarak yazınız.
a) 36
4
c) 180
Aşağıdakilerden hangisi 140 sayısının bir çarpanıdır?
A) 3
3
b) 144
B) 4
C) 5
80 ve 96 sayılarının asal çarpanlarının toplamını bulunuz.
D) 9
d) 2 • 32 • 5
1. ÜNİTE
1.1.2. İki Doğal Sayının En büyük Ortak Böleni (EBOB)
Hatırlayalım
Zehra Hanım 12 gül ve 18 laleyi vazolara eşit sayıda
ve artmayacak şekilde paylaştırmak istiyor. Her vazoda iki
çeşit çiçek olmasını isteyen Zehra Hanım’ın vazolara kaçar çiçek koyabileceğini bulalım.
12 ve 18 sayılarının önce bölenlerini daha sonra ortak bölenlerini belirleyerek vazolara kaçar çiçek
koyulabileceğini buluruz.
12
6
3
1
2
2
3
12’nin bölenleri
1, 2, 3, 4, 6, 12
18
9
3
1
2
3
3
Her iki sayının da ortak bölenleri; 1, 2, 3 ve 6’dır.
O hâlde vazolara birer, ikişer, üçer veya altışar çiçek koyulabilir.
18’in bölenleri
1, 2, 3, 6, 9, 18
Örnek-1
28 ve 42 doğal sayılarının en büyük ortak bölenini belirleyelim.
Çözüm
Dört farklı yöntem kullanarak en büyük ortak böleni bulabiliriz.
1. yöntem:
28 ve 42 sayılarının bölenlerini bulalım.
28’in bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28
42’nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
28 ve 42’nin ortak bölenleri: 1, 2, 7, 14’tür. Ortak bölenler içinde en büyük olan 14’tür.
2. yöntem:
Çarpanlar ağacı yöntemini kullanarak 28 ve 42’nin en büyük ortak bölenini bulalım.
28
42
2 14
2 21
2 2 7
2 3 7
28 ve 42’nin ortak olan çarpanlarını yuvarlak içine aldık.
Ortak çarpanlar çarpılarak en büyük ortak çarpan (ortak bölen) bulunur.
2 x 7 = 14
En büyük ortak bölen 14’tür.
15
1. ÜNİTE
3. yöntem:
Asal çarpanlar algoritmasını kullanarak 28 ve 42’nin en büyük ortak bölenini bulalım.
28
14
7
1
2
2
7
42
21
7
1
28 = 22 • 7
2
3
7
Sayılar, asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra
ortak olan asal çarpanlar belirlenir. Ortak olan
asal çarpanlarının en küçük üslü çarpanlarının
çarpımı en büyük ortak çarpanı verir.
28 = 2
2
•
7
42 = 2 • 3 • 7
En büyük ortak çarpan:
2 x 7 = 14’tür.
42 = 2 • 3 • 7
4. yöntem:
28
14
7
7
1
42
21
21
7
1
2
2
3
7
*
*
En küçük asal çarpandan başlayarak bölme işlemi yapılır. Her iki sayıyı da bölen
asal çarpanlar işaretlenir. İşaretlenen sayılar ve işaretlenen sayıların çarpımı bize
ortak bölenleri verir.
2 x 7 = 14
O hâlde, ortak bölenler 1,2,7 ve 14’tür.
Ortak bölenler içinde en büyük olan 14’tür.
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların EBOB (en büyük
ortak bölen)’u denir.
a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu sayıların en büyük ortak böleni (a,b)ebob veya EBOB(a,b)
şeklinde gösterilir.
Örnek-2
30 ve 40 sayılarını bölen en büyük sayıyı bulalım.
Çözüm
30
15
15
15
5
1
40
20
10
5
5
1
2
2
2
3
5
*
30 ve 40 sayılarını aynı anda bölen sayılar 2 ve 5’tir. Bu sayıların çarpımı bize
en büyük ortak böleni verir.
EBOB (30, 40) = 2 • 5 = 10
*
Örnek-3
8 ve 24 sayılarını bölen en büyük sayıyı bulalım.
Çözüm
Verilen sayıların EBOB’unu bulalım.
8
4
2
1
16
24
12
6
3
1
2
2
2
3
*
*
*
(8, 24)ebob = 2 • 2 • 2 = 8
Biri diğerinin katı olan iki veya daha
fazla sayma sayısının EBOB’u bu sayılardan en küçük olan sayıya eşittir.
24, 8’in katıdır. O hâlde bu sayıların
en büyük ortak böleni 8’dir.
1. ÜNİTE
Örnek-4
A, B ve C birer doğal sayı olup A x B = 80 ve A x C = 120’dir. O hâlde B + C toplamının en küçük
değerini bulalım.
Çözüm
A doğal sayısı 80 ve 120’yi bölen sayı olmalıdır. B + C toplamının en küçük değeri alması için A doğal
sayısı 80 ve 120’yi bölen en büyük sayı olmalıdır. 80 ve 120’nin EBOB’u bize A doğal sayısını verir. O hâlde;
80
40
20
10
5
5
1
120
60
30
15
15
5
1
2
2
2
2
3
5
*
*
*
(80, 120)ebob = 2 • 2 • 2 • 5 = 40
*
B + C = 2 + 3 = 5’tir.
A = 40
40 x B = 80 ise B = 2
40 x C = 120 ise C = 3
Problem-1
24 m ve 36 m uzunluğundaki iki ayrı kumaş, eşit uzunlukta ve en büyük parçalara bölünecektir. Her bir parça kumaşın uzunluğunun en fazla kaç metre olduğunu bulalım.
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
İstenen
• Kumaşların uzunluğu: 24 m ve 36 m
• Kumaşlar eşit uzunlukta parçalara bölünecek.
• En büyük ve eşit uzunlukta parçalara ayrılan kumaşların uzunluğu
Plan Yapalım
u24 ve 36 sayılarını bölen en büyük sayıyı bulmak için sayıların EBOB’unu bulmalıyız.
(24 , 36)ebob = ?
Planı Uygulayalım
24
12
6
3
1
36
18
9
9
3
1
2
2
2
3
3
EBOB(24, 36) = 2 • 2 • 3 = 12
Her bir parça kumaşın uzunluğu 12 m olmalıdır.
17
1. ÜNİTE
Kontrol Edelim
uElde edilen sonucun doğru ve anlamlı olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayalım.
24 ve 36 sayılarının 12’ye tam olarak bölünüp bölünmediğini işlem yaparak kontrol edelim.
24 : 12 = 2 , 36 : 12 = 3
Bulduğumuz sayı, her iki sayıyı da kalansız olarak bölen en büyük sayıdır. O hâlde çözüm doğrudur.
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım.
uBir bakkal 20 kg mercimek ve 16 kg pirinci birbirine karıştırmadan hiç artmayacak şekilde aynı büyüklükteki en büyük boylarda torbalara koymak istiyor. Bakkalın kullanması gereken torbanın kaç kg’lık
olması gerektiğini bulunuz.
Problem-2
Uzunluğu 200 cm ve genişliği 240 cm olan dikdörtgen şeklindeki
bir mutfağın tabanına birbirine eş kare şeklinde fayanslardan en az kaç
tane döşenebilir?
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
İstenen
• Kenar uzunlukları 200 cm ve 240 cm olan
dikdörtgen şeklindeki mutfak
• Mutfak birbirine eş kare şeklinde fayanslarla döşenecek.
• En az kaç fayans gerekir?
Plan Yapalım
uMutfağın taban alanını kaplayacak olan kare şeklindeki fayansların bir kenar uzunluğunu, 200 ve 240
sayılarının EBOB’unu hesaplayarak bulmalıyız. Dikdörtgen şeklindeki mutfağın taban alanını, kare şeklindeki bir fayansın alanına bölerek kaç fayans gerektiğini hesaplarız.
Planı Uygulayalım
200
100
50
25
25
25
5
1
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
3
5
5
*
*
*
3
(200, 240)ebob = 2
•
5 = 8 • 5 = 40
Kare şeklindeki bir fayansın kenar uzunluğu 40 cm’dir.
Bir fayansın alanı = 40 x 40 = 1600 cm2 dir.
*
Mutfağın taban alanı: 200 x 240 = 48 000 cm2 dir.
Mutfağın zeminine döşenecek fayans sayısı 48 000 : 1600 = 30’dur.
18
1. ÜNİTE
Kontrol Edelim
uElde edilen sonucun doğru ve anlamlı olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayalım.
Şema yaparak gösterelim.
Dikdörtgen şeklindeki mutfağın uzun kenarına
240 : 40 = 6, kısa kenarına 200 : 40 = 5 fayans sığmaktadır. Toplam fayans sayısı 6 x 5 = 30’dur.
200 cm
O hâlde çözüm doğrudur.
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım.
40 cm
40 cm
240 cm
uKenar uzunlukları 36 cm ve 48 cm olan bir dikdörtgen içerisine en az kaç tane kare sığdırılabilir?
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki sayıların en büyük ortak bölenlerini bulunuz.
a) 15, 45
b) 24, 72
c) 49, 21 ç) 8, 88
d) 16, 96
e) 45, 55 36
kesrini en sade biçime getirebilmek için pay ve payda hangi doğal sayı ile bölünmelidir?
120
3
Yandaki asal çarpan algoritmasında A ve B sayılarının ortak bölenlerinin
bulunuşu verilmiştir. A ve B sayılarının en büyük ortak bölenini bulunuz.
4
Aşağıdaki sayılar, hangi sayılarla sadeleştirilirse en sade biçime getirilir?
a)
5
6 15
b)
12 36
c)
48 65
ç)
39 65
A
C
D
F
H
1
d)
B
B
E
G
1
2
3
3
5
5
84
126
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) EBOB (18, 36) = 18
B) EBOB (13, 17) = 1
C) EBOB (24, 35) = 7
D) EBOB (75, 125) = 25
19
1. ÜNİTE
6
(36, 84)ebob + (26, 39)ebob işleminin sonucu kaçtır?
7
A = 22 • 33 • 5 ve B = 2 • 32 • 11 ise EBOB (A, B) kaçtır?
A) 22 • 3
8
10
C) 22 • 5
D) 5 • 11
Her birinde 36 kg ve 45 kg un olan iki torba, eşit kütlelerdeki paketlere torbadaki unlar birbirine
karıştırılmadan paylaştırılıyor. En az kaç paket gerekir?
A) 8
9
B) 2 • 32 B) 9 C) 10
D) 11
Boyu 120 m, eni 80 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin
etrafına eşit aralıklarla (köşelere de konulmak üzere) kavak ağacı
dikilecektir. Bu iş için en az kaç tane kavak ağacı gereklidir?
Esra Hanım, kilerindeki 12 kg fasulye ve 15 kg nohutu
eşit hacimli kaplara hiç artmayacak şekilde koymak istiyor.
Bunun için Esra Hanım en az kaç tane kap almalıdır?
11
44 ve 68 doğal sayıları en büyük hangi doğal sayıya bölünürse her iki sayıda da kalan 2 olur?
12
Uzunluğu 325 cm ve genişliği 400 cm olan dikdörtgen şeklinde bir banyonun tabanına birbirine eş
kare şeklinde fayanslardan en az kaç tane yerleştirilebilir?
20
1. ÜNİTE
1.1.3. İki Doğal Sayının En Küçük Ortak Katı (EKOK)
Hatırlayalım
8A sınıfı öğrencileri beden eğitimi dersinde altışar ve sekizerli gruplara hiç öğrenci artmadan ayrılabiliyor. 8A sınıfında 40’tan az öğrenci olduğuna göre sınıfta kaç öğrencinin olabileceğini bulalım.
6 ve 8’in önce katlarını, daha sonra da ortak katlarını belirleyerek 8A sınıfında kaç öğrenci olabileceğini buluruz.
6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 80, ...
8’in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...
Her iki sayının ortak katları: 24, 48, 72, ...
Sınıf mevcudu 24 olabilir.
Örnek-1
10 ve 15 doğal sayılarının ortak katlarını bularak bunlar içinde en küçük ortak katı belirleyelim.
Çözüm
İki farklı yöntem kullanarak sayıların en küçük ortak katını bulabiliriz.
1. yöntem:
10 ve 15’in katlarını yazalım. Ortak olan sayıları yuvarlak içine alalım.
10’un katları: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ..
15’in katları: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, ...
10 ve 15’in ortak katları: 30, 60, 90, ...’dır. Bu sayılar içinde en küçük kat 30’dur.
2. yöntem:
10 ve 15 sayılarının en küçük ortak katını asal çarpanlar algoritmasından yararlanarak da bulabiliriz.
10
5
5
1
15
15
5
1
2
3
5
2 • 3 • 5 = 30
10 ve 15’in en küçük ortak katı 30’dur.
21
1. ÜNİTE
İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların EKOK (en küçük ortak
kat)’u denir.
a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu sayıların en küçük ortak katı (a,b)ekok veya EKOK(a,b)
şeklinde gösterilir.
Örnek-2
18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
Çözüm
18
9
3
1
30
15
5
5
1
2
3
3
5
18 ve 30 sayılarının en küçük ortak katı; 2, 3, 3 ve 5 sayılarının çarpımıdır.
2
EKOK(18, 30) = 2 • 3 • 3 • 5 = 2 • 3
•
5 = 2 • 9 • 5 = 90
Örnek-3
12 ve 36 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
Çözüm
12
6
3
1
36
18
9
3
1
2
2
3
3
(12, 36)ekok = 2 • 2 • 3 • 3
(12, 36)ekok = 4 • 9
(12, 36)ekok = 36
Biri diğerinin katı olan iki doğal sayının en küçük ortak katı, büyük olan sayıya eşittir.
36, 12’nin katıdır. O hâlde bu sayıların en küçük ortak katı 36’dır.
Örnek-4
347 sayısına en küçük hangi doğal sayıyı eklersek elde edilen toplam, 18 ve 24 sayılarına tam olarak
bölünebilir?
Çözüm
18 ve 24’e tam olarak bölünebilen en küçük sayı yani EKOK’u bulmalıyız.
18
9
9
9
3
1
24
12
6
3
1
2
2
2
3
3
3
(18, 24)ekok = 2
•
32 = 8 • 9 = 72’dir.
72 ve 72’nin katları 18 ve 24’e kalansız olarak bölünür.
347 sayısına en yakın olan ve 72’nin katı olan sayı 360’tır.
O hâlde 360 – 347 = 13’tür. 347 sayısına 13 eklenirse elde edilen 360 sayısı hem 18’e hem de 24’e tam
olarak bölünür.
22
1. ÜNİTE
Örnek-5
EBOB ve EKOK’larının çarpımı 1350 olan iki sayıdan biri 30 ise diğer sayının kaç olduğunu bulalım.
Çözüm
Sayılardan birine 30, diğerine x diyelim.
İki sayının EBOB ve EKOK’larının
çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir.
(30, x)ekok • (30, x)ebob = 30 • x
1350 = 30 • x
x = 1350 : 30
x = 45
Verilmeyen diğer sayı 45’tir.
Problem-1
Elektronik eşyalar satan mağaza sahibi, açılışa özel olarak alışveriş yapan her 20. kişiye kulaklık ve her 35. kişiye de
bir USB bellek hediye ediyor. Alışveriş yapan kaçıncı kişinin ilk
olarak hem kulaklık hem de USB bellek kazandığını bulalım.
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
İstenen
• Kimlere hediye verildiği: 20. kişiye kulaklık, 35. kişiye USB bellek
• İlk olarak kaçıncı kişinin kulaklık ve USB
bellek kazandığı
Plan Yapalım
u20 ve 35 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
20
10
5
1
Planı Uygulayalım
35
35
35
7
1
2
2
5
7
2
(20, 35)ekok = 2 • 2 • 5 • 7 = 2
•
5•7
(20, 35)ekok = 4 • 5 • 7
(20, 35)ekok = 140
Alışveriş yapan 140. kişi, ilk olarak hem kulaklık hem de USB bellek kazanır.
23
1. ÜNİTE
Kontrol Edelim
uElde edilen sonucun doğru ve anlamlı olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayalım:
140 sayısının 20 ve 35’e tam olarak bölünüp bölünmediğini işlem yaparak kontrol edelim.
140 : 20 = 7 , 140 : 35 = 4
140 sayısı 20 ve 35’e tam olarak bölünmektedir. 140’tan daha küçük olan ve her iki sayıya bölünen
başka sayı yoktur.
O hâlde bulduğumuz sonuç doğrudur.
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım.
uBir fabrikada iki otomatik zilden biri 45 dakikada, diğeri ise 30
dakikada bir çalıyor. Her iki zil de ilk olarak birlikte kaç saat sonra
çalar?
Problem-2
8B sınıfı öğrencileri dörder ve beşer gruplandırılıyorlar. Her
defasında 1 öğrenci artıyor. 8B sınıfında en az kaç öğrenci olabileceğini bulalım.
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
Öğrenciler;
• Dörder kişi gruplandırılınca 1 kişi,
• Beşer kişi gruplandırılınca 1 kişi artıyor.
İstenen
• Sınıf en az kaç kişidir?
Plan Yapalım
uEğer hiç öğrenci artmasaydı sınıf mevcudu 4 ve 5’in EKOK’una eşit olurdu. Ancak 1 öğrenci arttığı
için bulunan EKOK sayısına 1 eklenmelidir.
24
1. ÜNİTE
Planı Uygulayalım
4
2
1
5
5
5
1
2
2
5
(4, 5)ekok = 2 • 2 • 5 = 20
Her gruplandırma sonucunda 1 kişi arttığı için sınıf mevcudu, 20 + 1 = 21 kişidir.
Kontrol Edelim
uElde edilen sonucun anlamlı olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayalım.
21 sayısının 4 ve 5’e bölümünden kalanın 1 olduğunu gösterelim.
21 4
20 5
1
21 5
20 4
1
O hâlde işlem sonucumuz doğrudur.
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım.
uBir tren istasyonundan her 6 saatte bir A kentine ve her 9 saatte bir B kentine tren kalkmaktadır.
Trenler en az kaç saat sonra birlikte hareket ederler?
Örnek-6
Aşağıdaki sayılardan hangilerinin asal sayı olduğunu bulalım.
4, 9, 19, 31, 39, 43, 62
Çözüm
1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar dendiğini hatırlayalım.
4 sayısı 1,2 ve 4’e bölünür.
9 sayısı 1,3 ve 9’a bölünür.
39 sayısı 1,3,13 ve 39’a bölünür.
Verilen sayılardan 19, 31, 43 ve 67 sayılarının 1 ve kendisinden başka böleni yoktur. O hâlde bu sayılar,
asal sayılardır.
1’den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.
25
1. ÜNİTE
Örnek-7
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangilerinin aralarında asal olduğunu bulalım.
a) (8, 9)
b) (7, 11)
c) (6, 24)
ç) (27, 44) d) (36, 55)
Çözüm
a) 8 sayısı 1, 2, 4 ve 8’e bölünür.
a) 9 sayısı 1, 3 ve 9’a bölünür.
a) Her iki sayıyı da 1’den başka bölen sayı yoktur. O hâlde 8 ve 9 aralarında asal sayılardır.
b) 7 sayısı 1 ve 7’ye bölünen asal sayıdır.
b) 11 sayısı 1 ve 11’ye bölünen asal sayıdır.
a) Her iki sayıyı da 1 dışında bölen yoktur. O hâlde
7 ve 11 aralarında asal sayılardır.
c) 6 sayısı 1, 2, 3 ve 6’ya bölünür.
c) 24 sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24’e bölünür.
c) 6 ve 24 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır.
c) 6 ve 24 sayıları aralarında asal değildir.
ç) 27 sayısı 1, 3, 9 ve 27’ye bölünür.
ç) 44 sayısı 1, 2, 4, 11, 22 ve 44’e bölünür.
ç) Her iki sayıyı da 1 dışında bölen sayı yoktur.
Aralarında asal olan sayılar, asal sayı
olmak zorunda değildir.
ç) O hâlde 27 ve 44 aralarında asal sayılardır.
d) 36 sayısı 1,2,3,4,6,9,12,18 ve 36’ya bölünür.
55 sayısı 1,5,11 ve 55’e bölünür.
Her iki sayıyı da 1 dışında bölen sayı yoktur. O hâlde 36 ve 55 aralarında asal sayılardır.
Örnek-8
4 sayısı ile iki basamaklı 1a sayısı aralarında asaldır. Buna göre “a” yerine hangi rakamların gelebileceğini bulalım.
Çözüm
4 sayısının bölenleri (çarpanları); 1, 2 ve 4’tür.
4 sayısı ve iki basamaklı 1a sayısının aralarında asal olması için 1’den başka ortak bölenlerinin olmaması gerekir. O hâlde;
“1a” sayısı 2’ye veya 4’e bölünmemelidir.
1a sayısı 11, 13, 15, 17 veya 19 olabilir. “a” yerine 1, 3, 5, 7 veya 9 gelebilir.
26
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki sayıların en küçük ortak katını bulunuz.
a) 3, 4
b) 7, 77
c) 9, 30 ç) 12, 18
d) 20, 50
e) 50, 75 Aşağıdaki sayıların 200’den küçük ortak katlarını bulunuz.
a) 12, 36
3
4
5
c) 12, 15 3 + 5
işleminin yapılabilmesi için paydaların eşitlenmesi gerekir. Buna göre bu kesirlerin
18
12
paydaları en küçük hangi sayıda eşitlenebilir?
(16, 32)ekok + (49, 23)ebob işleminin sonucu kaçtır?
B) 33
C) 49
D) 56
Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangileri aralarında asaldır?
a) (3, 12)
7
b) 24, 36
12 ve 15 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük doğal sayı kaçtır?
A) 30
6
b) (4, 5)
c) (12, 18) ç) (36, 98) d) (15, 47)
e) (53, 82)
Kenar uzunlukları 20 ve 16 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlardan en az sayıda yan yana
getirilerek bir kare yapılıyor. Yapılan karenin bir kenar uzunluğu kaç metredir?
A) 2
B) 1
C) 0,8
D) 0,4
8
15 ve 18 sayılarına tam olarak bölünebilmesi için 370 sayısından çıkarılacak en küçük doğal sayı
kaçtır?
9
12 ve 15 sayılarına tam olarak bölünebilmesi için 169 sayısına eklenmesi gereken en küçük doğal
sayı kaçtır?
27
1. ÜNİTE
1.2.
ÜSLÜ SAYILAR
1.2.1. Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri
Hatırlayalım
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti ve bu tekrarlı çarpımın sonucunu bulmaya
kuvvet alma işlemi dendiğini biliyoruz.
n
a • a • a • ... • a = a
1 44
4 2 44
43
n tane a
kuvvet (üs)
taban
2 ve (–2) sayılarının kuvvetlerini inceleyelim.
20 = 1
1
2 = 2
22 = 2 • 2 = 4
3
•
•
2 = 2 2 2 = 8
24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16
25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
(– 2)0 = 1
(– 2)1 = – 2
(– 2)2 = (– 2) • (– 2) = 4
(– 2)3 = (– 2) • (– 2) • (– 2) = – 8
(– 2)4 = (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) = 16
(– 2)5 = (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) • (– 2) = – 32
Pozitif tam sayıların tek kuvvetleri de
çift kuvvetleri de pozitif bir tam sayıdır.
Negatif tam sayıların çift kuvvetleri pozitif, pozitif tek kuvvetleri negatif bir tam
sayıdır.
–5
–5
2 veya (2) üslü sayılarını rasyonel olarak nasıl ifade edersiniz? Düşününüz.
Örnek-1
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulalım. Üslü ifadeler ile değerleri arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
34 , 33 , 32 , 31 , 30 , 3–1 , 3–2 , 3–3 , 3–4
Çözüm
3 sayısının pozitif ve negatif tam sayı
kuvvetleri verilmiştir. Üslü gösterimlerde
3 tabanında verilen sayıların kuvvetleri 1
azalmaktadır.
Üslü ifadelerin değerlerini belirten sayılar, birbirinin 3’e bölümü ile elde edilmiştir.
34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81
:3
33 = 3 • 3 • 3 = 27
:3
32 = 3 • 3 = 9
1
:3
3 =3
:3
0
3 =1
Tabanı tam sayı olan üslü ifadelerde,
kuvvetler pozitif olunca üslü ifadelerin değerleri tam sayı, negatif olunca üslü ifadelerin değerleri rasyonel sayılardır.
a ≠ 0 ve n bir doğal sayı olmak üzere a–n = 1n dir.
a
28
30 = 1
3–1 = 1
3
:3
:3
1
1
1
3 = 2 = . =
9
3 3
3
:3
–3
1
1
1
3 = 3 = . . =
27
3 3 3
3
:3
–4
1
1
1
3 = 4 = . . . =
81
3 3 3 3
3
–2
1. ÜNİTE
Örnek-2
72 , 7–2 , 53 , 5–3 ve 24 , 2–4 üslü sayılarının değerlerini bulalım.
Çözüm
72 = 7 • 7 = 49’dur.
9
2 tane 7’nin
çarpımı
7–2 = 12 = 1. = 1 ’dur.
7 7
49
7
9
2 tane 7’nin
çarpımı
53 = 5 • 5 • 5 = 125’tir.
>
3 tane 5’in
çarpımı
–3
5 = 13 = . 1 . = 1 ’tir.
125
5 5 5
5
>
3 tane 5’in
çarpımı
4
• 2 • 2 • 2 = 16’dır.
2 = 1244
2 44 3
4 tane 2’nin
çarpımı
2–4 = 14 = . 1. . = 1 ’dır.
2
12442224423 16
4 tane 2’nin
çarpımı
Örnek-3
1 , 1 , 1 , 1 , 1 ve 1 sayılarını üslü ifade olarak yazalım.
5 25 32 81 125
625
Çözüm
1 = 1 = 5–1
1
5
5
1 = 1 = 1 = 5–2
2
5.5
25
5
1 =
1
= 15 = 2–5
32
2.2.2.2.2
2
1
1 =
= 14 = 3–4
3.3.3.3
81
3
1 =
1
= 13 = 5–3
125
5.5.5
5
1 =
1
= 14 = 5–4
625
5.5.5.5
5
Bir üslü ifade, paydadan paya alındığında üssünün işareti değişir.
b ≠ 0 olmak üzere 1n = b–n dir.
b
Görev
Fonksiyonlu hesap makinesinde, xy tuşunun ya da bilgisayarınızın hesap makinesi bölümünde xy
tuşunun nasıl kullanıldığını araştırınız.
2–8 üslü sayısının değerini, hesap makinenizi ya da bilgisayarınızı kullanarak hesaplayınız.
Örnek-4
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulalım. Üslü ifadelerin kuvvetleri ile değerleri arasındaki ilişkiyi
belirleyelim.
(– 2)0 , (– 2)–1 , (– 2)–2 , (– 2)–3 , (– 2)–4
ve
50 , 5–1 , 5–2 , 5–3 , 5–4
29
1. ÜNİTE
Çözüm
(– 2)0 = 1
0
5 =1
(– 2)–1 =
1
=–1
-1
2
(– 2)
(– 2)–2 =
1
1
=
= 1
2
4
(– 2) . (– 2)
(– 2)
(– 2)–3 =
1
1
=
=–1
3
.
.
8
(–
2)
(–
2)
(–
2)
(– 2)
(– 2)–4 =
1
1
=
= 1
4
16
(– 2) . (– 2) . (– 2) . (– 2)
(– 2)
5–1 = 1
5
5–2 = 12 = 1. = 1
25
5 5
5
5–3 = 13 = . 1 . = 1
125
5 5 5
5
5–4 = 14 = . 1. . = 1
625
5 5 5 5
5
Negatif bir tam sayının tek kuvveti negatif, çift kuvveti pozitif bir sayıdır.
Pozitif bir tam sayının tek ve çift kuvvetleri pozitif bir sayıdır.
Örnek-5
(– 5)–2 , (– 4)–3 , (– 2)7 ve (– 5)4 üslü sayılarının değerlerini bulalım.
Çözüm
(– 5)–2 =
1
1
=
= 1 ’tir.
2
.
25
(–
5
)
(–
5
)
(– 5)
(– 4)–3 =
1 44 2 44 3
1 4444 2 4444 3
2 tane (– 5)’in
çarpımı
(– 2)7 = (– 2) • (– 2) • ... • (– 2) = – 128’dir.
1 4 444 2 4444 3
1
1
=
= – 1 ’tür.
3
.
.
64
(–
4
)
(–
4
)
(–
4)
(– 4)
3 tane (– 4)’ün
çarpımı
(– 5)4 = (– 5) • (– 5) • (– 5) • (– 5) = 625’tir.
7 tane (– 2)’nin
çarpımı
1 44444 2 44444 3
4 tane (– 5)’in
çarpımı
Örnek-6
1
1 , ve 1 sayılarını üslü ifade olarak yazalım.
` – 125
j, ` – 81
j
9
Çözüm
1
1
1
– 1 =
=
=
= (– 5)–3
3
– 125
125
(– 5) . (– 5) . (– 5)
(– 5)
1 = –1 =
` – 81
j
81
–1
= – 14 = – 3–4
3.3.3.3
3
1 = 1 = 1 = 3–2 veya 1 =
1
1
=
= (– 3)–2 dir.
2
2
3.3
9
9
(– 3) . (– 3)
3
(– 3)
30
1. ÜNİTE
Örnek-7
Aşağıdaki sayıların ondalık gösterimlerini 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.
a) 25,48
b) 8,253
c) 325,497
Çözüm
a) 25,48 = 2 • 10 + 5 • 1 + 4 • 1 + 8 • 1
10
100
1
0
a) 25,48 = 2 • 10 + 5 • 10 + 4 •
1 +8• 1
1
2
10
10
Çözümleme yapılırken birler basamağını belirten 1 yerine 100 ın alındığına dikkat ediniz.
a) 25,48 = 2 • 101 + 5 • 100 + 4 • 10–1 + 8 • 10–2
b) 8,253 = 8 • 1 + 2 • 1 + 5 • 1 + 3 • 1
10
100
1000
b) 8,253 = 8 • 100 + 2 •
1 +5• 1 +3• 1
1
2
3
10
10
10
b) 8,253 = 8 • 100 + 2 • 10–1 + 5 • 10–2 + 3 • 10–3
c) 325,497 = 3 • 100 + 2 • 10 + 5 • 1 + 4 • 1 + 9 • 1 + 7 • 1
10
100
1000
c) 325,497 = 3 • 102 + 2 • 101 + 5 • 100 + 4 •
1 +9• 1 +7• 1
1
2
3
10
10
10
c) 325,497 = 3 • 102 + 2 • 101 + 5 • 100 + 4 • 10–1 + 9 • 10–2 + 7 • 10–3
Örnek-8
Aşağıda 10’un tam sayı kuvvetleri kullanılarak çözümlemeleri verilen ondalık sayıları bulalım.
a) 4 • 101 + 2 • 100 + 5 • 10–1 + 8 • 10–2
b) 8 • 100 + 7 • 10–1 + 6 • 10–2 + 9 • 10–3
c) 2 • 102 + 4 • 100 + 4 • 10–1 + 8 • 10–3
Çözüm
10–1 = 1 , 10–2 = 1 2 = 1 ve 10–3 = 1 3 = 1 ’dir. O hâlde;
10
100
1000
10
10
a) 4 • 101 + 2 • 100 + 5 • 10–1 + 8 • 10–2 = 42,58
< <
Onlar b.
Birler b.
<
Onda
birler b.
<
Yüzde
birler b.
b) 8 • 100 + 7 • 10–1 + 6 • 10–2 + 9 • 10–3 = 8,769
< <
Birler b.
Onda
birler b.
<
Yüzde
birler b.
<
Binde
birler b.
c) 2 • 102 + 4 • 100 + 4 • 10–1 + 8 • 10–3 = 204,408’dir.
<
Yüzler b.
<
Birler b.
<
Onda
birler b.
<
Binde
birler b.
31
1. ÜNİTE
Etkinlik
Pozitif Tam Sayıların Negatif Kuvveti
Araç ve Gereçler
Aşağıdaki tabloda verilenleri inceleyelim.
Tab­lo­nun 4. sa­tı­rın­da ve­ri­len sa­yı­lar ara­sın­da­ki örün­tü­yü in­ce­le­yi­
niz. Bu sayılar arasında nasıl bir ilişki vardır? Tartışınız.
Üs
• renkli kalemler
4. sa­tır­da­ki sa­yı­la­rın sı­ra­la­nı­şın­dan ya­rar­la­
na­rak tab­lo­da­ki boş­luk­la­rı ta­mam­la­yı­nız.
–3
–2
–1
0
1
2
3
1
•
•
•
•
•
•
•
2
•
•
•
•
2
4
8
Tab­lo­da kuv­ve­ti ne­ga­tif olan sa­yı­la­rın de­
ğer­le­riy­le kuv­ve­ti ne­ga­tif ol­ma­yan sa­yı­la­rın de­
ğer­le­ri­ni kar­şı­laş­tı­rı­nız. Ben­zer­lik ve fark­lı­lık­la­rı
bu­lu­nuz.
3
1
27
1
9
1
3
1
3
9
27
Pozitif bir sayının negatif tam sayı kuvvetleri,
sayıyı nasıl etkiler? Tartışınız.
4
•
•
•
•
•
•
•
Taban
6–2 üslü sayısını rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
5–3 üslü sayısını rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
Etkinlik
Negatif Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri
Aşağıda verilenleri inceleyelim.
Tab­lo­nun 4. sa­tı­rın­da ve­ri­len sa­yı­lar ara­sın­da­ki örün­tü­yü in­ce­le­yi­niz.
Bu sayılar arasında nasıl bir ilişki vardır? Tartışınız.
Araç ve Gereçler
• renkli kalemler
3. sa­tır­da­ki sayıların sı­ra­la­nı­şın­dan ya­rar­la­na­rak (–2)0 ın de­ğe­ri­ni bu­lu­nuz.
Tab­lo­da boş bı­ra­kı­lan yer­le­ri ta­mam­la­yalım.
Üs
–3
–2
–1
0
1
2
3
(–1)
1
1
•
1
•
•
•
(–2)
1
–
8
1
4
1
–
2
•
–2
4
–8
(–3)
–
1
27
1
9
–
1
3
1
–3
9
–27
•
1
16
•
•
•
•
•
Taban
(–4)
(–2)–5 sayısını rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
(–3)4 sayısını rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
32
Tab­lo­da­ki ne­ga­tif tam sa­yı­la­rın çift
kuv­vet­le­ri­ni pembe ren­ge bo­ya­yalım.
Pem­be ren­ge bo­ya­dı­ğı­nız bu sa­yı­la­
rın işa­re­ti için ne söy­le­ye­bi­lirsi­niz?
Tab­lo­da­ki tam sa­yı­la­rın tek kuv­vet­
le­ri­ni ma­vi ren­ge bo­ya­ya­lım.
Ma­vi ren­ge bo­ya­dı­ğı­nız tam sa­yı­la­
rın işa­ret­le­ri için ne söy­le­ye­bi­lir­si­niz?
Ne­ga­tif bir tam sa­yı­nın tek ve çift
kuv­vet­le­ri­nin de­ğe­ri­nin işa­ret­le­ri için ne
söy­le­ne­bi­le­ce­ği­ni tab­lo­dan ya­rar­la­na­rak
bu­lu­nuz.
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz.
a. (–2)5
2
3
b. (–4)3
c. (–8)–2
ç. 7–2
Aşağıdaki rasyonel sayıları, üslü sayı olarak yazınız.
a. 1 25
b. – 1 27
c. –
1 512
–3
= 13 7
( ) (– 12)
–2
=–
( ) (– 9)–3 =
1
144
( )
1 729
1 = 5–3
225
4
(– 2)9 = – 1 eşitliğinde, n doğal sayısı kaçtır?
n
5
(– 3)–5 = – 1 eşitliğinde, a tam sayısı kaçtır?
a
d. –
1 1000
e.
1
243
( ) 28 = 1-8 2
( )
1 = 4–5
1024
b.
10-2 negatif bir sayı mıdır?
c.
(–2)2 = + 4 ve –22 = – 4
işlemlerinde sonuçların neden farklı
olduğunu açıklar mısınız?
ç.
Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti neden 1 olur?
Ne­ga­tif bir tam sa­yı­nın ne­ga­tif tek
kuv­ve­ti ne­den ne­ga­tif bir sa­yı olur?
Aşağıdaki sayıların ondalık gösterimlerini 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.
a) 8,26
8
1 625
Okan, ma­te­ma­tik­le il­gi­li bir İn­ter­net si­te­sin­de ça­lış­mak­ta­dır. Okan’ın gö­re­vi ma­te­ma­tik hak­kın­da
bi­lin­me­yen ve me­rak edi­len so­ru­la­rı araş­tı­rıp ce­vap ver­mek­tir. Okan’a ge­len e–pos­ta­lar­dan dör­dü
aşa­ğı­da ve­ril­miş­tir. Siz­ce Okan, bu so­ru­la­rı na­sıl ya­nıt­la­mış­tır?
a.
7
ç.
e. (–6)–3
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) 7
6
d. 10–1
b) 25,08
c) 14,642
ç) 203,085
Aşağıdakilerden hangisi, çözümlemesi 2 • 103 + 3 • 100 + 2 • 10–2 olan sayıdır?
a) 23,2
b) 203,2
c) 230,2
ç) 2003,02
33
1. ÜNİTE
1.2.2. Üslü İfadelerde İşlemler
Matematik, yaşamın her alanında karşımıza çıkmaktadır. Matematiğin temelini oluşturan sayıları da
birçok yerde kullanmaktayız. Bazı çoklukların sayısı çok büyük ya da çok küçük olduğu için üslü ifadeleri
kullanırız. İnsan vücudunun da bir matematiği vardır ve üslü ifadeler kullanılmaktadır. Nasıl mı? Aşağıda
verilenleri inceleyelim. Üslü ifadelerle nasıl işlem yapıldığını keşfedelim.
Bir insanın kalbi günde yaklaşık olarak 100 000 defa atmaktadır. Kalbin 100 günde kaç defa attığını üslü olarak ifade edelim.
100 000 = 105 ve 100 = 102 dir.
102 günde kalbin kaç defa attığını çarpma işlemi yaparak bulalım.
5 tane 10’un 2 tane 10’un
çarpımı
çarpımı
> 1 4444 2 4444 3
100 günde kalp, 105 • 102 = 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 105 + 2 = 107 defa atmaktadır.
1 444444 2 444444 3
7 tane 10’un
çarpımı
Örnek-1
23 • 24 ve 34 • 35 işlemlerini yapalım.
Çözüm
3 tane 2’nin 4 tane 2’nin
çarpımı
çarpımı
14
424
43 >
23 • 24 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 23 + 4 = 27 dir.
1 4444 2 4444 3
7 tane 2’nin
çarpımı
4 tane 3’ün 5 tane 3’ün
çarpımı
çarpımı
424
43
1 44
4 2 44
43 14
34 • 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 34 + 5 = 39 dur.
1 44444 2 44444 3
9 tane 3’ün
çarpımı
Tabanları aynı olan üslü iki sayı çarpılırken sayıların üsleri toplanır; elde edilen toplam, ortak tabana
üs olarak yazılır.
n ve m tam sayı, a rasyonel sayı olmak üzere an . am = an + m dir.
Örnek-2
(– 4)2 • (– 4)3 işlemini yapalım.
Çözüm
2 tane (– 4)’ün 3 tane (– 4)’ün
çarpımı
çarpımı
1 444 2 444 3 1 44 2 44 3
(– 4)2 • (– 4)3 = (– 4) • (– 4) • (– 4) • (– 4) • (– 4) = (– 4)2 + 3 = (– 4)5
1 444444
4 2 444444
43
34
5 tane (– 4)’ün
çarpımı
1. ÜNİTE
Örnek-3
62 • 72 ve 42 • 52 işlemlerini yapalım.
Çözüm
62 • 72 = 6 • 6 • 7 • 7 = 6 • 7 • 6 • 7 = 42 • 42 = 422 O hâlde 62 • 72 = (6 • 7)2 = 422 dir.
4
2
•
52 = 4 • 4 • 5 • 5 = 4 • 5 • 4 • 5 = 20 • 20 = 202 O hâlde 42 • 52 = (4 • 5)2 = 202 dir.
Örnek-4
(– 2)2 • (– 5)2 işlemini yapalım.
Çözüm
(– 2)2 • (– 5)2 = (– 2) • (– 2) • (– 5) • (– 5)
(– 2)2 • (– 5)2 = (– 2) • (– 5) • (– 2) • (– 5)
2
2
2
2
2
2
2
(– 2) • (– 5) = 10 • 10 = 10 O hâlde (–2) • (–5) = (–2 • –5) = 10 dir.
Tabanları farklı, üsleri ortak olan üslü iki sayı çarpılırken tabanlar çarpılır ve üs olarak ortak üs
alınır.
m tam sayı; a ve b rasyonel sayı ol­mak üze­re am . bm = (a . b)m dir.
Örnek-5
7–2 • 7–3 ve (– 3)3 • (– 4)3 işlemlerini yapalım.
Çözüm
7–2 • 7–3 = 7–2 + (–3) = 7–5 olur.
(– 3)3 • (– 4)3 = (– 3 • – 4)3 = 123 olur.
Örnek-6
11
İnsan beyni yaklaşık 100 milyar (10 ) hücreden oluşmaktadır. İnsan
vücudunda ise toplam 100 trilyon (1014) hücre vardır. Buna göre insan
beynindeki hücre sayısının vücuttaki toplam hücre sayısına oranını üslü
olarak ifade edelim.
Çözüm
İnsan beynindeki hücre sayısının vücuttaki hücre sayısına oranını bölme işlemi yaparak bulalım.
Beyindeki hücre sayısı
Vücuttaki hücre sayısı
11
10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10
10 =
14
.
10 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10
10
11
11
10 = 1 = 10– 3 O hâlde 10 = 10 11 – 14 = 10– 3 tür.
14
3
14
10
10
10
35
1. ÜNİTE
Örnek-7
5
3
6
5 9 : 9 ve 8 : 8 işlemlerini yapalım.
Çözüm
. . . .
95 : 93 = 9 9 . 9 . 9 9 = 92 O hâlde 95 : 93 = 9(5 – 3) = 92 dir.
9 9 9
. . . . .
6
5
1
6
5
(6 – 5)
= 81 dir.
8 : 8 = 8 8. 8. 8. 8. 8 = 8 O hâlde 8 : 8 = 8
8 8 8 8 8
Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü sayıların bölümünde, üslerin farkı alınır ve ortak tabana
üs olarak yazılır.
an : am = an – m dir.
Örnek-8
4
4
2
2 12 : 4 ve 8 : 5 işlemlerini yapalım.
Çözüm
3
3
3
3
. . 12 . 12
4
4
4
4
4
12 : 4 = 12 12
= 3 • 3 • 3 • 3 = 3 O hâlde 12 : 4 = (12 : 4) = 3 tür.
4.4.4.4
4
4
1 1
.
82 : 5 2 = 8 . 8 = 8
5 5
5
1
1
•
8 =
5
` 85 j dir.
2
Üsleri aynı, tabanları farklı üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken tabanlar bölünür ve ortak üs,
üs olarak alınır. b ! 0 olmak üzere;
an : bn = (a : b)n olur.
Örnek-9
(52)3 ve (– 22)3 üslü sayılarını xy şeklinde yazalım.
Çözüm
(52)3 = (5 • 5)3 = (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5)
(52)3 = (5 • 5)3 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5
(52)3 = (5 • 5)3 = 56
O hâlde (52)3 = 52 • 3 = 56 dır.
(– 22)3 = (– 2 • 2)3 = (– 2 • 2) • (– 2 • 2) • (– 2 • 2)
1 44444
4 2 444 44
43
2 3
(– 2 ) = – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
(– 22)3 = – 26
–•–• –=–
O hâlde (– 22)3 = – 22 • 3 = – 26 dır.
n ve m birer tam sayı ve a rasyonel sayı ol­mak üze­re (an)m = an • m dir.
36
1. ÜNİTE
Örnek-10
Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulalım.
a)
3
` 10
j
2
b)
` 25 j
2
c)
` 13 j
4
ç)
` 58 j
3
Çözüm
a)
3
3
` 10
j = 10
b)
` 25 j = 25
•
2 2
2
2 = 2 4
O hâlde ` j = 2 =
’tir.
2
5
25
5
5
5
c)
` 13 j = 13
•
1
3
•
1
3
ç)
` 58 j = 58
•
5
8
•
5
125
5 3
5 = 5 O hâlde ` j = 3 =
’dir.
3
512
8
8
8
8
2
2
4
3
•
3 = 3 3 2 = 3 = 9 = 0,09’dur.
O hâlde `
j
2
2
10
100
10
10
10
2
2
2
•
2
1
1
1 4
1 = 1 O hâlde ` j = 4 =
’dir.
4
81
3
3
3
3
4
4
3
3
a ve b (b ! 0) birer sayı n tam sayı olmak üzere;
` ab j = a n dir.
n
n
b
Örnek-11
` 25 j üslü ifadesinin değerini bulalım.
–2
Çözüm
` 25 j
–2
=
`` 25 j j = ` 52 j = 5 2 = 245
2
–1 2
2
2
a ! 0 ve b ! 0 olmak üzere;
` ab j = ` ba j dir.
–n
n
Örnek-12
Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a) 23 • (23)2 • 59
5
7
•
c) 410 4 12 2 •2
b) (32)2 • (–40)0 • (–1)5
–8
9
• 10
ç) 10
0
13
•
7 ^– 1h
37
1. ÜNİTE
Çözüm
a) 23 • (23)2 • 59 = 23 • 23 • 2 • 59 = 23 • 26 • 59 = 23 + 6 • 59
a) 23 • (23)2 • 59 = 29 • 59 = (2 • 5)9 = 109
b) (32)2 • (–40)0 • (–1)5 = 32 • 2 • 1 • (–1) = 34 • (–1) = –34 = –81
c) 1. yöntem:
2
5+ 7
12
5
7
4 = ^2 h
4 •4 = 4
=
22
22
10 + 12
10
12
2
2
2
2 •2
2. yöntem:
12
24
= 2 22 = 224 – 22 = 22 = 4
2
2
2
10
14
5
7
4 • 4 = ^ 2 h • ^2 h = 2 • 2 = 214 – 12 = 22 = 4
10
12
10
12
10
12
2 •2
21 • 2
2 •2
–8
5
7
9
– 8+ 9
1
1
• 10
ç) 10
= 10
= 10 = – 10
0
13
–1
1 • ^– 1h
7 • ^– 1h
Örnek-13
(n)4 = 16 eşitliğinin sağlayan n değerlerinin toplamını bulalım.
81
Çözüm
16 = 2 = 2 4 tür. O hâlde n = 2 ’tür.
`3j
4
81
3
3
4
16 = – 2 4 tür. O hâlde n = – 2 ’tür.
` 3j
81
3
Eşitliği sağlayan n değerlerinin toplamı, 2 + ` – 2 j = 0’dır.
3
3
Örnek-14
– 2 4 + 5 2 + ^ – 2 h4
– 5 2 + 5 3 + ^ – 5 h2
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm
– 2 4 + 5 2 + ^ – 2 h4
= – 16 + 25 + 16 = 25 = 1 = 5– 1 dir.
125
– 25 + 125 + 25
5
– 5 + 5 + ^– 5h
2
38
3
2
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
3
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a) 32 • 34
b) 5–3 • 52
c) 72 • 7
ç) 62 • 63
d) 84 • 85
e) 10–2 • 10–4
f) 100 • 105
g) 28 • 29
ğ) 112 • 114
h) 234 • 23–6
Aşağıdaki çarpma işlemlerini üslü sayı olarak yazınız.
a. ` – 1 j
2
` – 12 j • ` – 12 j
b. ` – 1 j
5
•
` – 15 j
c. ` – 1 j
4
3
(– 8)
•
x
53
•
b) 8–2 • 9–2
c) 45 • 35
ç) 63 • 33
B) x = 3
y = 1
C) x = 4
y = 1
d) 112 • 52
D) x = 4
y = 4
5
34 • 36 • 32 = 3a eşitliğini sağlayan a doğal sayısını bulunuz.
6
Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
a) 58 : 56
b) 79 : 7–6
c) 48 : 47
ç) 11–12 : 117
d) 358 : 354
c) 482 : 82
ç) 46 : 26
d) 123 : 80
Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
a) 362 : 92
8
` – 14 j • ` – 14 j • ` – 14 j
(3)y = (– 24)4 eşitliğini sağlayan x ve y sayıları, aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2
y = 2
7
•
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a) 2
4
•
b) 633 : 73
Aşağıdaki eşitliklerde verilmeyen x, y ve z değerlerini bulunuz.
a) 82 : 42 = x ise x = ?
b) 127 : 125 = y ise y = ?
c) 649 = z ise z = ?
2
39
1. ÜNİTE
9
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
3
2
2
•
•
a) 6 3 6 4 2 •
3 2 •9
10
0
•
•
b) 12 4 112 6
•
•
2 3 5
2
A) a • b = 100
B) b • c = (– 4)
C) a • c = 25
D) a • b • c = (– 100)
1
= a • 10–16 eşitliğini sağlayan a sayısını bulunuz.
15
.
4 10
12
2113 • 21x = 1 ise x yerine hangi sayı gelmelidir?
14
4
a = (– 5)2 , b = (– 2)2 , c = (– 1)3 ise aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
11
13
5
•
•
c) 83 22 22
•
:
2 4 2
x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, x2 = 16 , y4 = 81 ve z3 = – 125 ise x + y + z işleminin en
küçük değerini bulunuz.
0, 000016 0, 04 . 10 – 2
:
işleminin sonucu kaçtır?
–3
0, 0001
2 . 10
A) 16 • 10–2
B) 80 • 10–4
C) 8 • 10–2
D) 8 • 10–1
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
40
1. ÜNİTE
Oyun
Aşağıdaki işlemlerde ? yerine gelmesi gereken sayıları bulup bulmacadaki kutuların içine yazınız.
1. soru
4. soru
10. soru
12. soru
5. soru
2. soru
13. soru
6. soru
3. soru
7. soru
8. soru
11. soru
9. soru
1
` 23 j = ?8
7
1
20
2
2
108
` 1025
j =?
8
(– 21x) • (21x)4 = – 215 ?5
3
1
3
5
9
1
4
10
4
1
–4
(–6)
5
1
–9
3
6
(– 20x)5 • 25 • x4 • (5x)3 = – 10?x12
–3
0
1
2
5
•
•
•
•
1 = 1
6
?
5
5
1
–5
(–6)
•
(– 6)–3 = 6?
3–2 • 30 = 3 ?
•
•
4
1
–20
= ?20
10–2 =
1
?
10
10
(– 5)10 • 511 = 5?
11
3
` 100
j
12
1
8
9
13
(– 5)3 • (– 25)–4 • (– 125)–5 = 5–?
–4
•
•
3
` 100
j
–8
•
` 100
j
3
– 10 10 000
=
?
(– 9)5 = – 9–?
41
1. ÜNİTE
1.2.3. Çok Küçük ve Çok Büyük Sayıların Bilimsel Gösterimi
Bilimin birçok dalında; astronomide, ekonomide, mühendislikte, biyolojide çok büyük ve çok küçük sayılar kullanılmaktadır. Bu sayıları yazmak ve okumak zor olduğundan, kolaylık sağlaması amacıyla sayılar,
10’un tam sayı kuvvetlerinden yararlanılarak ifade edilir.
Aşağıdaki ifadelerde verilen sayıları 10’un farklı tam sayı kuvvetleri ile gösterelim.
• Işığın dakikadaki hızı 18 000 000 km’dir.
6
18 000 000 = 18 • 10
18 000 000 = 1,8 • 107
18 000 000 = 0,18 • 108
• Merkür’ün Güneş’e olan uzaklığı yaklaşık olarak
57 900 000 km’dir.
57 900 000 = 579 • 105
57 900 000 = 57,9 • 106
57 900 000 = 5,79 • 107
57 900 000 = 0,579 • 108
• Vücudumuzun her noktasında, küçük olmasına karşın karmaşık bir yapıya sahip
olan hücreler vardır. Tüm canlılar hücre denilen bu mikroskobik canlıların bir araya
gelmesinden oluşur.
Bir hücrenin ortalama çapı 0,001 cm’dir.
0,001 cm = 0,01 • 10–1
0,001 cm = 0,1 • 10–2
0,001 cm = 1 • 10–3
Örnek-1
Aşağıdaki sayıları 10’un farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak ifade edelim.
a) 46 000 000 000 c) 0,000000046
b) 820 000 000
ç) 0,00000802
Çözüm
a) 46 000 000 000 = 46 • 109 = 4,6 • 1010 = 0,46 • 1011
b) 820 000 000 = 82 • 107 = 8,2 • 108 = 0,82 • 109
c) 0,000000046 = 46 • 10–9 = 4,6 • 10–8 = 0,46 • 10–7
ç) 0,00000802 = 802 • 10–8 = 80,2 • 10–7
= 8,02 • 10–6
= 0,802 • 10–5
42
Bir tam sayıyı n doğal sayı olmak
üzere 10n ile çarpmak, tam sayının sağına n tane sıfır yazmaktır.
Bir tam sayıyı n doğal sayı olmak
üzere 10–n ile çarpmak, tam sayının soluna n sayısı ile sayının basamak sayısı farkı kadar sıfır ilave ederek sayıya
denk olan ondalık kesir elde etmektir.
1. ÜNİTE
a bir gerçek sayı, 1 ≤ a < 10 ve n tam sayı olmak üzere a • 10n gösterimi bilimsel gösterimdir.
Örnek-2
Venüs gezegeninin Güneş’e olan uzaklığı, 108 000 000 km’dir. Bu sayısal
değerin bilimsel gösterimini bulalım.
Çözüm
8
108 000 000 = 1,08 • 10 dir.
Örnek-3
28
Güneş’in kütlesi 200 • 10 kg’dır. Bu sayısal değerin bilimsel gösterimini yazalım.
Çözüm
28
2
28
28 + 2
= 2 • 1030 dur.
200 • 10 = 2 • 10 • 10 = 2 • 10
Örnek-4
Ay’ın Dünya’ya olan uzaklığı yaklaşık olarak 350 000 km’dir. Bu sayısal değerin bilimsel gösterimini
yazalım.
Çözüm
350 000 = 35 • 104 = 3,5 • 101 • 104 = 3,5 • 105 tir.
Örnek-5
AIDS virüsünün uzunluğu 0,00011 mm’dir. Bu sayısal değerin bilimsel gösterimini yazalım.
Çözüm
0,00011 = 1,1 • 10–4 tür.
Örnek-6
Aşağıda verilen sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
a) 17 • 1024 ; 0,35 • 1026 ; 4,6 • 1023 ; 0,0085 • 1027
b) 5,6 • 10–19 ; 0,84 • 10–18 ; 92 • 10–22 ; 100,5 • 10–20
Çözüm
Çok büyük ve çok küçük sayılarda, 10’un kuvveti olan sayıları eşitleyerek karşılaştırma yapabiliriz.
a) 10’un kuvveti olan sayıları en küçük kuvvet olan 23’te eşitleyelim.
24
23
26
23
23
23
27
23
17 • 10 = 170 • 10 ; 0,35 • 10 = 350 • 10 ; 4,6 • 10 = 4,6 • 10 ; 0,0085 • 10 = 85 • 10
Üslü ifade ile çarpım durumunda olan sayıları karşılaştırarak sıralama yapalım.
4,6 • 1023 < 85 • 1023 < 170 • 1023 < 350 • 1023 O hâlde;
4,6 • 1023 < 0,0085 • 1027 < 17 • 1024 < 0,35 • 1026 ’dır.
43
1. ÜNİTE
b) 10’un kuvveti olan sayıları en küçük kuvvet olan (–22)’de eşitleyerek karşılaştırma yapalım.
5,6 • 10
–19
= 5600 • 10–22 ; 0,84 • 10–18 = 8400 • 10–22 ; 92 • 10–22 = 92 • 10–22 ; 100,5 • 10–20 = 10 050 • 10–22
Üslü ifade ile çarpım durumunda olan sayıları karşılaştırarak sıralama yapalım.
92 • 10–22 < 5600 • 10–22 < 8400 • 10–22 < 10 050 • 10–22 O hâlde;
92 • 10–22 < 5,6 • 10–19 < 0,84 • 10–18 < 100,5 • 10–20
Örnek-7
Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini bulalım ve karşılaştıralım.
a) 0,43 • 1019 ; 430 • 1022 ; 0,043 • 1023 ; 43 • 1018
b) 18 • 10–12 ; 0,018 • 10–15 ; 0,18 • 10–18 ; 180 • 10–20
Çözüm
Sayıların bilimsel gösterimlerini bularak karşılaştıralım.
19
18
a) 0,43 • 10 = 4,3 • 10
430 • 1022 = 4,3 • 1024
0,043 • 1023 = 4,3 • 1021
43 • 1018 = 4,3 • 1019
4,3 • 1018 < 4,3 • 1019 < 4,3 • 1021 < 4,3 • 1024
O hâlde; 0,43 • 1019 < 43 • 1018 < 0,043 • 1023 < 430 • 1022 dir.
b) 18 • 10–12 = 1,8 • 10–11
0,018 • 10–15 = 1,8 • 10–17
0,18 • 10–18 = 1,8 • 10–19
180 • 10–20 = 1,8 • 10–18
1,8 • 10–19 < 1,8 • 10–18 < 1,8 • 10–17 < 1,8 • 10–11
O hâlde; 0,18 • 10–18 < 180 • 10–20 < 0,018 • 10–15 < 18 • 10–12 dir.
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
44
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
0,2 • 10–9 = 2 • 10–10
b.
c.
648 • 1025 = 6,48 • 1023
ç.
0,8 • 10
d.
10,40 • 10–5 = 1,04 • 10–6
e.
0,00043 • 10
21
= 8 • 1020
–8
= 4,3 • 1012
I. sütunda verilen sayıları, II. sütunda verilen bilimsel gösterimiyle eşleştiriniz.
I. sütun
II. sütun
185 000 000
2 • 108
401 000 000
1,85 • 1010
4,01 • 108
20 000 000
2 • 107
20 • 107
3
7 = 7 • 10–9
9
10
a.
4 • 108
185 • 108
4,01 • 1010
401 • 108
1,85 • 108
Aşağıda verilen kutulara gelmesi gereken üsleri bulunuz.
8
a. 21 • 10 = 2,1 • 10
c. 286,4 • 109 = 2,864 • 10
d. 0,4 • 1015 = 4 • 10
f. 18 • 1012 = 1,8 • 10
b. 12 • 10–6 = 1,2 • 10
ç. 138 = 1,3 • 10
10
e. 427 = 4,2 • 10
10
g. 0,05 • 1021 = 5 • 10
45
1. ÜNİTE
4
Aşağıdaki eşitliklerde verilmeyen x, y ve z değerlerini bulunuz.
a.
122 = x • 10–20
23
10
b.
144 = y • 10–19
21
10
5
32 sayısının bilimsel gösterimini bulunuz.
25
10
6
a • 1023 = 4,8 • 1018 eşitliğini sağlayan a sayısı kaçtır?
A) 480
B) 48
C) 0,0048
c.
245 = 2,45 • 10z
10 – 7
D) 0,000048
7
212 • 255 işleminin sonucunda elde edilen sayının bilimsel gösterimini bulunuz.
8
0,0000816 sayısının bilimsel gösterimini bulunuz.
9
146 000 000 000 sayısının gösterimi aşağıdakilerden hangisi değildir?
A) 146 • 10
10
9
B) 14,6 • 1010
C) 0,146 • 1012
D) 1,46 • 1010
Aşağıda verilen sayıları karşılaştırınız.
a) 243 • 1024 ; 87 • 1026 ; 4,2 • 1028
b) 0,082 • 10–15 ; 0,94 • 10–16 ; 20,2 • 10–14
11
Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimini bulunuz ve karşılaştırınız.
44 • 10–22 ; 4,4 • 10–23 ; 0,44 • 10–19 ; 440 • 10–24
46
1. ÜNİTE
1.3.
KAREKÖKLÜ İFADELER
1.3.1. Tam Kare Doğal Sayılar ve Karekökleri
1, 4, 9, 16 gibi sayılara tam kare doğal sayılar adı verilir.
Çünkü bu sayı kadar noktalardan bir kare elde edilebilir. Elde
edilen bu karelerin bir kenarının kaç noktadan oluştuğunu
bulunuz.
1
4
9
16
Siz de tam kare doğal sayılara örnekler veriniz.
Örnek-1
Aşağıdaki sayılardan hangilerinin tam kare doğal sayı olduğunu bulalım.
25, 31, 49, 56, 64, 90, 121, 144, 169
Çözüm
Verilen doğal sayıları asal çarpanlarına ayırarak sayılardan hangilerinin tam kare sayı olduğunu bulalım.
25
5
1
5
5
25 = 52
31
1
31
31 = 1 • 31
49
7
1
7
7
56
28
14
7
1
49 = 72
2
2
2
7
64
32
16
8
4
2
1
56 = 23 • 7
2
2
2
2
2
2
64 = 26
2
64 = (23)
64 = 82
90
45
15
5
1
2
3
3
5
90 = 2 • 32 • 5
121
11
1
11
11
121 = 112
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
169
13
1
13
13
169 = 132
2
144 = 24 • 32 = (22) • 32
144 = 42 • 32 = (4 • 3)2
144 = 122
31, 56 ve 90 sayıları bir sayının karesi şeklinde yazılamadıkları için bu sayılar tam kare doğal sayı değildir.
25, 49, 64, 121, 144 ve169 sayıları bir sayının karesi şeklinde yazılabildiklerinden tam kare doğal sayılardır.
Asal sayılar, tam kare doğal sayı değillerdir.
47
1. ÜNİTE
Örnek-2
2
Alanı 36 m olan kare şeklindeki salonun bir kenar uzunluğunu
hesaplayalım.
Çözüm
Alanı = 36 m2
Alanı = 36 m
Hangi sayının kendisiyle çarpımı 36 olur?
2
x • x = 36
Alanı = 36 m2
6 • 6 = 36 veya (– 6) • (– 6) = 36
Karenin kenar uzunluğu negatif olamayacağı için x = 6 m olur.
Salonun bir kenar uzunluğunu karekök alma işlemini kullanarak bulalım.
x • x = 36
x2 = 36
x • x = 36
x =
x • x = 36
x =
2
36
2
6
2
x = 6 m olur.
x • x = 36
Karesi alınmış bir doğal sayı verildiğinde bu doğal sayının karesi alınmadan önceki hâlini
bulmak için sayının karekökü alınır. Karekök “
” sembolüyle gösterilir.
Karekökleri tam sayı olan doğal sayılara tam kare sayılar denir.
Örnek-3
Bir paket lastiğiyle geometri tahtasında, alanı 16 br2 olan bir kare oluşturalım. Oluşturduğumuz karenin bir kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm
Bu kareyi oluşturmak için karenin bir kenarının uzunluğunu bulmalıyız.
“Hangi sayının kendisiyle çarpımı 16 olur?” diye düşünmeliyiz.
4 • 4 = 16 ve (– 4) • (– 4) = 16 olur.
Uzunluk ölçütleri negatif olamayacağından 16 = 4 • 4’tür.
16 =
2
4 = 4 br olur.
Örnek-4
2
Alanı 49 cm olan kare şeklindeki bir fayansın bir kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm
49 cm2
x
48
x
Alanı 49 cm2
Hangi sayının kendisiyle çarpımı 49 olur?
2
Alanı 49 cm
x • x = 49
Alanı 49 cm2
7 • 7 = 49 veya (– 7) • (– 7) = 49
Uzunluk ölçüleri negatif olamayacağından 49 = 7 • 7’dir.
49 =
2
7 = 7 ise x = 7 cm olur.
1. ÜNİTE
Örnek-5
Aşağıdaki sayıların kareköklerini bulalım.
a) 100
b) 225
c) 400
b) x • x = 225 c) 400
200
100
50
25
5
1
Çözüm
a) x • x = 100
x2 = 102
2
x =
2
10 2
x = " 10 x = "10
225 3
75 3
25 5
5
5
1
2
225 = 32 • 52 = (3 • 5)
225 = 152
x2 = 152
2
x =
15
2
x = " 15
x • x = 400
x2 = 202 2
x =
2
x = – 15 veya x = 15
2
400 = 24 • 52 = (22) • 52
2
400 = 42 • 52 = (4 • 5)
400 = 202
2
2
2
2
5
5
20
2
x = " 20
2
x = – 20 veya x = 20
Etkinlik
Tabloda Tam Kare
Kartonumuza 1’den 100’e kadar sayıların olduğu 100’lük sayı tablosunu
yazalım.
Tablomuzdaki tam kare sayıları renkli kalemimizle daire içine alalım.
Daire içine aldığımız her bir sayıyı üslü sayı olarak yazalım.
Araç ve Gereçler
• kalem
• beyaz karton
• renkli kalem
Üslü sayının tabanındaki sayıya, tam kare sayının karekökü denir. Örneğin, 9 = 3 • 3 = 32 dir. 32 sayısı
9 sayısının kareköküdür. Karekök alma işlemi “ √ ” sembolü kullanarak gösterilir. Buna göre 9 = 3’tür.
Verilen örnekten yararlanarak siz de diğer tam kare sayıların kareköklerini bulunuz.
Bunu biliyor muydunuz?
Cebir biliminin kurucusu kesin olarak bilinmemekle birlikte Arap matematikçi El
Cabir Bin Hayyam’dır. El Cabir, denklemleri çözerken karekök ve küpkök almayı
da göstermiştir.
Karekök sembolü “
” ilk olarak 16. yüzyılda kullanılmaya başlanmıştır. “Radix” kelimesi Latincede kök demektir. Kök sembolünün de “radix” kelimesinin baş
harfi olan “r” den geldiği düşünülmektedir.
49
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Alanı 225 m2 olan kare şeklindeki bir arsanın bir kenarının uzunluğunu bulunuz.
Kare şeklinde farklı büyüklüklerdeki dört havuzun
zemini kare şeklinde fayanslarla döşenecektir. Her bir
model fayans ve fayansın sayısı aşağıda verilmiştir. Bu
fayanslardan hangisi bu havuzlardan biri için kullanılamaz?
25
3
0 = 1
( )
4 = – 2
( )
9 = 3 ( )
36 = 6
b) 169
c) 121
ç) 256
d) 196
f) 81
g) 64
ğ) 400
h) 900
Aşağıdaki tam kare sayıların kareköklerini, dikdörtgen kutulardan bularak eşleştiriniz.
a)
1089 I. 75
b)
169 =
1764 II. 23
b)
c)
5625 III. 85
>
> >
Aşağıdaki işlemlerde
a)
7
1 = 1
( )
e) 100 6
256
Aşağıda verilen tam kare sayıların kareköklerini hesaplayınız.
a) 144
5
200
Aşağıda verilen eşitliklerde doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( )
4
196
ç)
529
IV. 33
yerine gelecek pozitif sayıları bulunuz.
= 25 c)
>
= 75 ç)
V. 42
576 =
>
Alanı 729 m2 olan kare şeklindeki bir tarlanın bir kenar uzunluğunu hesaplayınız.
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
50
1. ÜNİTE
1.3.2. Tam Kare Olmayan Sayıların Kareköklerinin Tahmin Edilmesi
Hesap makinelerinde bulunan “
” tuşuna daha önce hiç dikkat ettiniz mi? Bu
tuşun hangi amaçla ve nasıl kullanıldığını araştırarak öğreniniz.
Hesap makinesiyle tam kare olan ve tam kare olmayan iki sayının karekökünü
hesaplayınız. Sonuçları karşılaştırınız. Tam kare olmayan sayının karekökünü hesap
makinesi kullanmadan bulmanız istenirse nasıl tahmin ederdiniz? Düşününüz.
Örnek-1
30 sayısının karekökünü tahmin edelim.
Çözüm
25 < 30 < 36
>
30’dan küçük ve 30’a en yakın tam kare sayı 25’tir.
30’dan büyük ve 30’a en yakın tam kare sayı 36’dır.
25 <
5<
5<
30 <
36
30 < 6 olur.
30 < 6 olduğundan 30 sayısının karekökü 5 ile 6 arasındadır.
Şimdi de 30 sayısının karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin edelim. Bunun için 30’un 25 ve
36 sayılarına olan uzaklıklarını hesaplayalım.
36 – 30 = 6 ve 30 – 25 = 5 olduğundan 30, 25 sayısına daha yakındır. Bu nedenle
tahmin edilebilir.
30 ≈ 5,4 olarak
Hesap makinesiyle bulunan karekökün yaklaşık değeri 5,47722’dir.
Örnek-2
2 sayısının karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin edelim.
Çözüm
2
2
1 < 2 < 2
x2 < 2 < 22
1 <
1<
2 <
4
2 < 2 olduğundan
2 sayısı 1 ile 2 arasındadır.
2 – 1 = 1 ve 4 – 2 = 2 olduğundan 2 sayısı 1’e daha yakındır. Bu nedenle
edilebilir. Hesap makinesiyle bulunan karekökün yaklaşık değeri 1,4142’dir.
2 ≈ 1,4 olarak tahmin
Görev
Alanı 29 br2 olan karenin bir kenarının uzunluğunu bulmak için değişik stratejiler geliştiriniz.
51
1. ÜNİTE
Tam kare olmayan sayıların karekökleri tahmin edilirken bilinen tam kare sayılarının kareköklerinden yararlanılabilir. Bunun için şu adımlar izlenebilir:
• Karekökü tahmin edilecek sayıya (x) en yakın tam kare sayılar bulunur. Bunlara a ve b diyelim.
Bu sayıdan büyük ve küçük olacak şekildeki en yakın sayılar: a < x < b
• Bu üç sayı küçükten büyüğe doğru sembol kullanılarak sıralanır.
• a < x < b
• Aynı sıralama karekökleri için yapılır:
a <
x <
b
• Sonucun hangi tam sayılar arasında bir sayı olacağı tahmin edilir.
• En yakın onda birliğe kadar tahmin etmek için karekökü tahmin edilecek sayının (x’in) a ve
b sayılarına olan uzaklığı bulunur. Buna göre x hangi sayıya daha yakın ise ona göre bir tahmin
yapılır.
• Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonal sayılardır. Çünkü bu sayıların karekök
değerleri tam olarak hesaplanamaz. Yaklaşık olarak hesaplanır.
Örnek-3
31 sayısının karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin edelim.
Çözüm
31’e en yakın olan 31’den küçük ve büyük tam kare sayılar 25 ve 36’dır.
25 < 31 < 36
25 < 31 < 36
O hâlde
25 <
5<
31 <
36
31 < 6
31 sayısı 5 ile 6 arasındadır.
31 – 25 = 6 ve 36 – 31= 5 olduğundan 31 sayısı 6’ya daha yakındır. Bu nedenle
tahmin edilebilir. Hesap makinesiyle bulunan karekökün yaklaşık değeri 5,56776’dır.
Etkinlik
31 ≈ 5,6 olarak
Yaklaşık Karekök
13 sayısının karekökünü yaklaşık olarak tahmin etmeniz gerekiyor. Bunun
için aşağıdaki basamakları uygulayınız.
13 sayısına en yakın tam kare sayılar hangileridir? Bu sayıları ve 13
sayısını sembol kullanarak sıralayınız.
Sıraladığınız sayıların kareköklerini alınız.
Sıralamadan da yararlanarak
olduğunu bulunuz.
13 ün hangi iki tam sayı arasında
Araç ve Gereçler
• hesap makinesi
• kareli kâğıt
• renkli kalemler
13 bu iki tam sayıdan hangisine daha yakındır? Sayı doğrusundan ve tam sayıların karesinden
yararlanarak bulunuz.
13 ü en yakın onda birliğine kadar tahmin ediniz.
13 ün değerini hesap makinesiyle de hesaplayarak tahmininizle karşılaştırınız.
Siz de 18 sayısının karekökünü yaklaşık olarak tahmin ediniz.
52
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
27 sayısının karekökünü, en yakın onda birliğine kadar nasıl tahmin edeceğinizi açıklayıp sonucu
bulunuz.
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını tahmin ediniz.
a)
3
23 ≈ ?
35 ≈ ?
b) 13
40
132
212
80
192
6
7
3 ≈ ?
ç)
71 ≈ ? d)
111 ≈ ?
c) 68
ç) 667
d) 1938
I. sütunda verin sayıların kareköklerini, II. sütunda verilen en yakın tahminleri ile eşleştiriniz.
I. sütun
5
c)
Aşağıdaki sayıların kareköklerini en yakın onda birliğine kadar tahmin ediniz.
a) 6
4
b)
II. sütun
11,48
8,94
13,85
25,92
6,32
14,56
Aşağıdaki sayılarının kareköklerini en yakın onda birliğine kadar tahmin ediniz. Tahmin için
kullandığınız stratejileri yan taraftaki noktalı yerlere yazınız.
a.
7 ≈ .,..
...............................................................................................................................
b.
15 ≈ .,..
...............................................................................................................................
c.
68 ≈ .,..
...............................................................................................................................
ç.
145 ≈ .,.. ...............................................................................................................................
Doğduğunuz yılın karekökünü en yakın onda birliğine kadar tahmin ediniz.
Aşağıdaki boş bırakılan alanda
yerini gösteriniz.
11 in yaklaşık değerini hesaplayınız ve sayı doğrusu üzerindeki
53
1. ÜNİTE
1.3.3. Gerçek Sayılar
π sayısı bir dairenin çevresinin çapına bölümüyle elde edilen sayıdır. Çoğu insan π sayısını 3,14 ya da 22/7 olarak bilmesine rağmen π’nin gerçek değeri bunların ikisi de
değildir. π’nin tam olarak kaç olduğu sorusu bu sayıyı tam olarak hesaplamak isteyenleri 4000 yıldan beri meşgul etmektedir. Farklı uygarlıklar π sayısı için farklı sayılar kullanmıştır. Örneğin, MÖ 2000 yılında Babilliler π = 31/18, Mezopotamyalılar π = 256/81
sayı değerlerini bulmuşlardır.
r
Günümüzde π sayısının 3,1415922653589793238... şeklinde devam eden bir ondalık sayı olduğu bilinmektedir. Sizce π sayısı rasyonel bir sayı mıdır? Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar diyebilir
miyiz? Araştırınız.
Örnek-1
5, 2 devirli ondalık gösterimini rasyonel sayı olarak yazalım.
Çözüm
5, 2 devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı olarak karşılığını x olarak alalım.
x = 5,222...
10 • x = 10 • 5,222... ise 10x = 52,222... ’dir.
10x = 52,222...
– x = 5,222...
9x = 47,000... ise x = 47 ’dur. O hâlde 5, 2 = 47 ’dur.
9
9
Devirli ondalık gösterimler rasyonel sayıya çevrilirken aşağıda verilen kısa yöntem de kullanılabilir.
Devirli ondalık gösterimde, virgül yok kabul edilerek sayıdan devreden sayıya kadar olan
bölüm çıkarılır ve paya yazılır. Paydaya, virgülden sonra devreden sayının basamak sayısı
kadar “9”, devretmeyen sayının basamak sayısı kadar da “0” yazılır.
• 0, x = x ; Örnek: 0, 5 = 5
9
9
• 0, xy =
xy
34
; Örnek: 0, 34 =
99
99
• x, yz =
xyz – xy
794 – 79 = 715
; Örnek: 7, 9 4 =
90
90
90
Örnek-2
0, 7
7,13
0, 4 7
0,101001...
Yukarıda ondalık gösterimi verilen sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olarak ( a şeklinde) yazılamab
yacağını bulalım.
Çözüm
0, 7 = 7 , 7,13 = 713 , 0, 4 7 = 43
100
90
9
0,101001... sayısı
54
a
şeklinde yazılamaz.
b
1. ÜNİTE
Örnek-3
1
25
23,75
2, 36
2,32571...
Yandaki sayılardan hangilerinin rasyonel sayı olmadığını bulalım.
Çözüm
a
şeklinde yazılabildiğinden rasyonel sayıdır.”
b
2, 36 = 236 – 2 = 234 = 26 11
99
99
“2, 36 sayısı
23,75 = 2375 = 95 100
4
a
“23,75 sayısı b şeklinde yazılabildiğinden rasyonel sayıdır.”
1
2 5 = 11 5
1
a
“ 2 5 sayısı b şeklinde yazılabildiğinden rasyonel sayıdır.”
2,32571... “2,32571... sayısı
sayısı rasyonel sayı değildir. Bu sayı irrasyonel sayıdır.”
a
şeklinde yazılamaz. O hâlde 2,32571...
b
a
şeklinde yazılabilir. Her rasyonel
b
sayının ondalık gösterimi vardır. Buna karşılık her ondalık gösterim, bir rasyonel sayı olarak
Rasyonel sayılar, a ve b tam sayı ve b!0 olmak üzere
yazılamaz. Rasyonel sayı olarak yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
Örnek-4
4,
3,
5,
16 ,
41 ,
13 kareköklü sayılarından hangilerinin irrasyonel sayı olduğunu bulalım.
Çözüm
4 ve
4 =
3,
16 sayılarında, karekök içleri de tam kare sayılar olduğundan bu sayıların değerleri bulunabilir.
2
2 = 2, 16 =
5,
2
4 = 4’tür. O hâlde bu sayılar, irrasyonel sayı değildir.
41 ve
13 sayılarının, kök içleri tam kare sayılar olmadığından, bu köklü sayıların yaklaşık
a
değerleri bulunabilir. Bu sayılar
şeklinde yazılamaz. O hâlde 3 , 5 , 41 ve 13 sayıları irrasyonel
b
sayılardır.
Görev
Dünya’nın değişik yerlerinde π sayısı kutlamaları yapılmaktadır. Bu kutlamaların nerelerde, niçin ve
nasıl yapıldığını araştırınız.
Saymaya önce 1’den başladık. Daha sonra sıfırı da alarak sonsuza kadar
uzayıp giden doğal sayıları oluşturduk. Bu da yetmedi sıfırın öncesini ve negatif tam sayıları da ekleyerek tam sayıları oluşturduk. Bu da ihtiyaçlarımızı
karşılamaya yetmedi. Buçuklu, çeyrek, üçte iki derken bu sayıları da ekleyerek
a
rasyonel sayıları oluşturduk. Derken bir gün tüm sayıların
şeklinde yani
b
rasyonel sayı olarak yazılamayacağını keşfettik ve bu sayılara da irrasyonel
sayılar dedik.
5
2
31
–2
5
–14 0
—− 5
0,42
2
Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıları birleştirerek yeni sayıları oluşturduk.
31
Sizce bu sayılara ne isim verdik? Araştırınız.
−
5
−
2
3
9
3
316
−5
5
3
2
7
a
11 3
π
1325
−
5
50,6
9
−
5
b
3
75 5
2
5
0
20
11
7
6 75
2
5
3
b 9 450
12
a 0
1
16
155
21
1
+
5
59
0
25
2
20 120
+
45
75
214
8
3 + 42
0
5
7
+
4
2
5
0
45 9
1. ÜNİTE
Örnek-5
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşan gerçek sayılar, sayı doğrusunu hiçbir nokta açıkta
kalmayacak şekilde doldururur. Her gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde bir görüntüsü vardır. – 4 ile + 4
tam sayıları arasındaki bazı gerçek sayıları gösterelim.
Çözüm
–
–π
–4
– 5
–3
2
3
– 3
–
3
5
–
–2
–1
1
2
1
2
0
3
5
5
2
3
+1
6
π
3
+2
+3
+4
Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılardan meydana gelen sayılara gerçek sayılar denir. Gerçek
sayılar R ile gösterilir.
Gerçek sayılar, sayı doğrusunu tam olarak doldurur.
Etkinlik
Akla Aykırı Sayılar
Rasyonel Sayı
14
25
2
5
Araç ve Gereçler
İrrasyonel Sayı
0,56
• kalem
Yandaki tabloyu inceleyelim ve noktalı yerleri
tamamlayalım.
...
Tabloda tamamlayamadığınız bölümler oldu mu?
...
6, 72
...
2,3533555333...
...
3,141592653...
...
0,4
17
5
...
Tamamlayamadığınız bölümler hangi sütundadır?
Neden tamamlayamadığınızı açıklayınız.
Tabloda, ondalık açılım sütununun 6. satırındaki
sayıyı hatırladınız mı?
Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı var mıdır?
Tartışınız.
Her ondalık açılım, bir rasyonel sayı olarak
yazılabilir mi? Tartışınız.
Bunu biliyor muydunuz?
Günlük hayatta sıkça kullandığımız A4 kâğıt ölçüsünün irrasyonel sayılarla ilişkisini biliyor musunuz?
Nasıl mı?
A4 kâğıdının boyunu enine bölünce
56
2 sayısı elde edilir. Deneyiniz.
1. ÜNİTE
Etkinlik
Sayılar Dünyası
Sınıftaki arkadaşlarımızla gruplara ayrılalım.
Her grubun; cam bardak, su, bilye, çakıl taşı, kum ve renkli kartondan
oluşan materyalleri olmalıdır.
Cam bardağımıza önce çakıl taşı dolduralım.
Bardağınız tam olarak doldu mu?
Bardağımızı bilye ekleyerek dolduralım.
Araç ve Gereçler
• cam bardak
• su
• bilye
• çakıl taşı
• kum
• renkli karton
• kalem
Bardağınız tam olarak doldu mu?
Bardağımızı kum ekleyerek dolduralım.
Kum, bardağınızı tam olarak doldurdu mu?
En son olarak bardağımızı su ekleyerek dolduralım.
Bardağınız tam olarak doldu mu?
Cam bardağının sayı doğrusunu, çakıl taşının doğal sayıları, çakıl taşı ve bilyenin tam sayıları,
çakıl taşı, bilye ve kumun rasyonel sayıları, suyun irrasyonel sayıları temsil ettiğini ve bardağın son
hâlinin yeni bir sayı grubunu oluşturduğunu düşününüz. Yaptıklarınızı renkli kartonunuzda çizdiğiniz
sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
ALIŞTIRMALAR
1
İrrasyonel sayı nedir? Tanımlayınız.
2
Rasyonel sayı ile irrasyonel sayı arasındaki farkı söyleyiniz. Rasyonel ve irrasyonel sayılara
örnekler veriniz.
31
2
5
3
Aşağıdaki gerçek sayılardan hangileri irrasyonel sayıdır? İrrasyonel sayıları daire içine alınız.
− 5 − 3
3
5
31 31 2 2 5 5
1
9
25
11 a b
0,8 2 –5
3 − 5− 5− 3
− 3 3 3 5 5
12
450
75
200
2 2 9 9 25 25 11 11
a b
a b4
π 3, 5 71 12
2 75 10 9 5 6 7 3
4
12 12 450450 75 75 200200
144 + 25 + 16
18 + 32
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir?
2 52 10
9 95 65 67 37 3
5 10
a) 0,1
b) 3, 4 c) 2,13 108 + 48ç) 2,05247...
d) 2, 17
75 + 27
144144
+ 25
+ +25 16
+ 16
108108
+ 48
+ 48
18 +18 32
+ 32
75 +75 27
+ 27
57
1. ÜNİTE
5
6
Aşağıdaki sayılardan hangileri irrasyonel sayılardır?
a)
4
b)
3
c)
144
ç)
8
d)
10 e)
225
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
(...) Her rasyonel sayının bir ondalık açılımı vardır.
(...) Her ondalık açılım bir rasyonel sayı olarak yazılır.
a
şeklinde yazılabilir.
b
a
şeklinde yazılabilir.
(...) İrrasyonel sayılar
b
(...) Rasyonel sayılar
7
Gerçek sayılar, sayı doğrusunu tam olarak doldurur mu? Açıklayınız.
8
Aşağıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
I. Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
II. π irrasyonel bir sayıdır.
III. Her ondalık açılım bir rasyonel sayı olarak yazılamaz.
A) Hiçbiri
9
2
7
2
5
2
5
c)
4 25
ç)
7
250
b) 7,16
c) 0,028
ç) 6,42
b)
3 11
c)
25
7
Aşağıdaki sayılardan irrasyonel olanları bulunuz.
a) 0,20200200...
58
b)
Aşağıdaki rasyonel sayıların ondalık açılımlarını bulunuz.
a)
12
D) Tümü
Aşağıdaki ondalık kesirleri, rasyonel sayı olarak yazınız.
a) 0,3
11
C) 2
Aşağıdaki sayıların ondalık açılımını bulunuz.
a)
10
B) 1
b) 0, 2 45 c) 0,702
ç) 2,2360679...
1. ÜNİTE
1.3.4. Kareköklü Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri
Kenar uzunlukları 2 6 m ve 6 m olan dikdörtgensel
bölge şeklindeki banyo zemini fayansla kaplanacaktır. Fayans
kaplanacak alanın kaç m2 olduğunu bulalım.
2 6
6
Dikdörtgensel bölgenin alanı;
2
2 6 . 6 = 2 . 1. 6 . 6 = 2 6
Alan = 2 • 6 = 12 m2 dir.
Örnek-1
3
Örnek-2
6 4
3 işlemini yapalım.
•
3 =
•
5 4 işlemini yapalım.
Çözüm
Çözüm
3
•
3.3 =
6 4 . 5 4 = 6 . 5 4 . 4 = 30 4
2
9 =
3 = 3 olur.
2
6 4 . 5 4 = 30 . 4 = 120 olur.
Örnek-3
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım.
a)
5
•
7
b) 2 3
•
4 2
c) 3 3
•
5 2
ç) 5 6
•
2 5
d) 4 2
•
3 2
Çözüm
a)
5. 7=
c)
3 3 . 5 2 = 3 . 5 . 3 . 2 = 15 6
d)
5.7 =
35
4 2 .3 2 = 4.3. 2.2
4 2 . 3 2 = 12
2
4 2 . 3 2 = 12 . 2
4 2 . 3 2 = 24
2
b)
ç)
2 3 .4 2 = 2.4. 3.2
2 3 .4 2 = 8 6
5 6 . 2 5 = 5 . 2 . 6 . 5 = 10 30
Kareköklü iki sayının çarpma işleminde çarpımı bulmak için kat sayılar
birbirleriyle çarpılarak kat sayıya, kök
içindeki sayılar da aynı kök içinde birbirleriyle çarpılarak kök içine yazılır.
a b .c d = a.c b.d
59
1. ÜNİTE
Örnek-4
Alanı 450 3 m2 olan dikdörtgen şeklindeki bir okul bahçesinin uzun kenar uzunluğu 25 3 m’dir. Bahçenin kısa kenarının
uzunluğunu bulalım.
Çözüm
25 3 m
x
450 3 m
450 3 = 25 3 . x
x=
2
1
= 450 = 18 m
25
25 3
1
450 3
Bahçenin kısa kenar uzunluğu 18 m’dir.
Örnek-5
Aşağıdaki bölme işlemlerinin sonucunu bulalım.
15
a)
3
150
b)
10
c)
6 6
5 2
16 .
25
ç)
9
49
Çözüm
a) 1. yöntem:
15
3
=
3.5
3
1
3. 5
=
3
2. yöntem:
15
3
=
15 =
3
1
=
Kareköklü iki sayı bölünürken sayıların bölümü ortak kök içine yazılabildiği
gibi (payda sıfırdan farklı olmak üzere)
aynı kök içinde bulunan bir kesrin pay
ve paydası ayrı ayrı kökler şeklinde de
yazılabilir. Bu nedenle a ve b pozitif reel
sayı olmak üzere;
5
5
a
b) 1. yöntem:
1
150
15 . 10
=
=
10
10
1
2. yöntem:
150
10
=
150 =
10
b
15
1
6 6
6 2.3
6. 2 . 3
=
=
= 6
5
.
5 2
5 2
5 2
1
60
16 .
25
9 =
49
a
b şeklinde ya da
şeklinde ifade edilebilir.
15
c) 1. yöntem:
ç)
=
16 .
25
9
49
=
2. yöntem:
6 6
3
2
4 .
2
5
5 2
3
7
2
2
= 4 . 3 = 12
5 7 35
= 6
5
6 = 6
2 5
3
a
b
=
a
b
1. ÜNİTE
Örnek-6
8 . 24 . 4 6
12 2
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm
8 . 24 . 4 6
12 2
8 . 24 . 4 6
12 2
=
=
2 2 .2 6 .4 6
12 2
16 . 2 . 6
2
=
12 2
=
2.2.4 2.6.6
16 . 6 2
12 2
12 2
=
96 2
12 2
1
=8
1
Örnek-7
Çözüm
1
1
2
3 2 . 75
3 2 . 3.5
3 2 .5 3
=
=
=1
2
5 3 . 18
5 3 .3 2
5 3 . 2.3
1
1
3 2 . 75
işleminin sonucunu bulalım.
5 3 . 18
Etkinlik
Kareköklü Sayıları Bölelim
Bir kenar uzunluğu 2 br olan kare çiziniz. Makasla keserek kare modeli
elde ediniz.
Araç ve Gereçler
• kâğıt
• kalem
• cetvel
• makas
Kareyi ikiye ayırınız. Karenizi tekrar açıp diğer iki kenar çakışacak
şekilde ikiye katlayınız. Oluşan kat izlerini cetvelle çiziniz.
Karenizin iki köşegenini çiziniz. Karenizin üzerinde oluşan birbirine eş
sekiz dik üçgeni makasla keserek ayırınız. Oluşan her bir dik üçgenin dik
kenar uzunlukları 1 br ve dik olmayan kenar uzunlukları da 2 br olur
(Şekil 1).
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
(fiekil 1)
1
1
2
1
2
(fiekil 2)
Oluşan dik üçgenleri Şekil - 2’deki gibi yan yana getirerek bir dikdörtgen oluşturunuz. Oluşan
dikdörtgensel bölgenin alanıyla başlangıçtaki karesel bölgenin alanı arasındaki ilişkiyi düşününüz.
Dikdörtgensel bölgenin kareköklü sayı şeklindeki alanı kısa kenar uzunluğuna bölerek uzun
kenarın uzunluğunu hesaplayınız.
Bölme işlemini nasıl gerçekleştirdiniz? Açıklayınız.
61
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a)
10 . 10
d)
11 . 2
b)
9. 9
e)
20 . 45 – 5 . 80
2 3 . 12 + 88
7
62
25
5 4
Alanı
A)
6
ç)
2 . 14
g)
5. 6
4h
c) ^ 7 + 4 7 h + 2 28 +
28
d) ^ 4 . 9 h – ^ 8 . 2 h
Aşağıda verilen işlemleri yapınız. Bulduğunuz sonuçların irrasyonel olup olmadığını söyleyiniz.
a)
5
5 324 . 4 9
f)
b) ^3 2 + 2 2 h . 2 ç) ^ 5 . 5 5 h + ^ 2 36 +
4
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a) ^ 3 . 3 h – ^ 2 . 2 h
3
6. 6
c)
b)
3
9
c)
81
64
ç)
125
80
7
:
3
d)
7
27
12 cm2 olan dikdörtgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olamaz?
3 , 2
B)
Aşağıdaki işlemde
3,
4
C)
6 , 2
D) 1, 12
4 yerine gelecek sayıları bulunuz.
75 . 12 =
25 . 3 .
4. 3 = 5 4 . 2 4
75 . 12 =
25 . 3 .
4. 3 = ^5 . 2h 4.4 = 10 . 3 = 30
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
(...)
18 =
25
18
(...)
72 =
16
10
(...)
10 =
5
25
16
10
5
=
2 5
5
=
6 5
= 3
4
2
=
2
2
(...)
(...)
(...)
192 =
4
50
25
36
6
192 = 8 3 =
4 3
2
4
=
50 =
25
2
=
36 =
6
6
Yandaki tabloda, verilen ipucundan yararlanarak a, b, c yerine gelecek sayıları
bulunuz.
÷
30
15
3
a
b
5
c
3
1. ÜNİTE
1.3.5. Kareköklü Bir Sayının a b Şeklinde İfade Edilmesi ve a b Şeklindeki İfadenin
Katsayısının Kök İçine Alınması
Kare şeklindeki bir bahçenin alanı 48 m2 dir. Bahçenin bir
kenar uzunluğunun kaç metre olduğunu bulalım.
48 sayısı tam kare bir sayı değildir. O hâlde karesel bölge
şeklindeki bahçenin bir kenar uzunluğu 48 metredir. 48
kareköklü sayısının farklı gösterimini bularak bahçenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
48 sayısını çarpanlarına ayırarak tam kare olan çarpanlarını belirleyelim:
48
24
12
6
3
1
2
4
2
2
4
2
3
48 = 4
2
•
48 =
3 olur. O hâlde;
2
4 .3 =
2
4 . 3 = 4 3 tür.
Bahçenin bir kenar uzunluğu 4 3 metredir.
Örnek-1
Aşağıda verilen sayıların kareköklerinin a b şeklindeki farklı gösterimlerini bulalım.
a) 12 b) 27
c) 150
ç) 180
Çözüm
Asal çarpanlar ve tam kare sayılarla ilgili bilgilerimizi kullanarak verilen kareköklü sayıların a b
şeklindeki farklı gösterimlerini bulalım.
a) 12
6
3
1
2
2
3
12 = 22 • 3
c) 150
75
25
5
1
2
3
5
5
150 = 2 • 3 • 52
12 =
2
2 .3 =
2
2 . 3
12 = 2 3
150 =
2
2.3.5 = 5 2.3 = 5 6
150 = 5 6
b) 27
9
3
1
3
3
3
27 = 32
ç) 180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
180 = 22 • 32 • 5
27 =
3
3 =
2
3 .3 =
2
3 . 3
27 = 3 3
180 =
2
2
2 .3 .5 = 2.3 5
180 = 6 5
Karekök içindeki bir sayıyı a b biçimde yazmak için sayı, çarpanlarına ayrılır. Tam kare
olan çarpanlar, karekökü alınarak kök dışına çıkarılır ve kök içinde kalan sayıyla çarpım şeklinde
yazılır.
63
1. ÜNİTE
Örnek-2
2
2
Alanları 55 m ve 91 m olan karesel bölgelerin bir kenar uzunluğunun kaç metre olduğunu bulalım.
Çözüm
Alanı 55 m2 olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu
ayıralım:
55
11
1
5
11
55 = 5 • 11
55 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 55’in karekökü
linde gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu 55 metredir.
2
Alanı 91 m olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğu
ayıralım:
7
13
91
13
1
55 metredir. 55 sayısını asal çarpanlarına
55 şek-
91 metredir. 91 sayısını asal çarpanlarına
91 = 7 • 13
91 sayısının çarpanlarından hiçbiri tam kare sayı olmadığı için 91’in karekökü
linde gösterilir. Karenin bir kenar uzunluğu 91 metredir.
91 şek-
Örnek-3
Aşağıda verilen a b şeklindeki kareköklü sayıların karekök dışında bulunan sayılarının karekök içine
nasıl alındığını inceleyelim.
a) 2 3
b) 3 2 c) 5 3 ç) 6 3
Çözüm
a) 2 3 =
2
2
b) 3 2 =
3
2
c) 5 3 =
2
2 .3 =
3
2.
2=
4.3 =
9.2 =
12
a b biçimdeki bir ifadede katsayıyı
karekök içine alırken önce katsayının
18
karesi alınır. Daha sonra bu sayı, karekök
içinde bulunan sayıyla çarpılarak kök
2
5 .3 =
25 . 3 =
75
2
6 .3 =
36 . 3 =
108
içine alınır.
a b=
52
ç) 6 3 =
62
2
a .b
a2
Örnek-4
2 . 3 5 işleminin karekök dışında bulunan sayılarını karekök içine alalım.
Çözüm
2.3 5 =
64
2
2
2 .3 .5 =
4.9.5 =
180 bulunur.
1. ÜNİTE
Örnek-5
12 nin hangi sayılarla çarpımının bir doğal sayı olduğunu bulalım.
Çözüm
12 yi doğal sayı yapan çarpanlardan bazılarını bulalım:
12
6
3
1
2
12 = 2 . 3 =
2
2
3
12 =
2 3 . 3 = 2.3= 6
2
2 .3 = 2 3
2 3 . 4 3 = 2 . 4 . 3 . 3 = 2 . 4 . 3 = 24
12 . 12 = 12
3 , 4 3 ve
O hâlde
12 sayıları
12 ile çarpıldığında sonuç doğal sayı olur.
Örnek-6
4 2
5
ve
sayılarının paydalarının nasıl rasyonel yapıldığını inceleyelim.
7
3
Çözüm
5 =
7
` 7j
5 7
5 7
=
olur.
7
.
7
7
4 2
`
3
3j
=
4 2. 3
4 6
=
olur.
3
.
3
3
Paydasında kareköklü sayı bulunan bir kesrin paydasını rasyonel sayı yapmak için kesrin
paydası eşleniği ile çarpılarak genişletilir. Kareköklü sayı ile eşleniğinin çarpımı rasyonel bir
sayıdır. Buna göre;
a ≥ 0 olmak üzere,
a sayısının eşleniği kendisidir.
Örnek-7
a
2
1
+
4
7
2 9 k.
4
4 – 5 işleminin sonucunu bulalım.
7
2 9 k.
4
4 – 5 =a
Çözüm
a
a
1
24 +
1
24 +
7
2 9 k.
a
1
24 +
7
2 9 k.
a
1
24 +
7
2 9 k.
4
4 – 5 =e
9
+
4
9
+
25 .
k
9
25 .
o
9
4
5
4
4 = 3
4 – 5 d 2 + 3 n.
5
_3 i
_2 i
16
5
16
5
9 + 10
4 = 19 . 4 5 = 76 5 = 38 5
4
olur.
4– 5 = 6 .
6
5
30
15
5
` 5j
65
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
Aşağıda verilen kareköklü sayıları a b şeklinde yazınız.
1
a.
18 b.
45 c.
52 ç.
75 d.
a. 2 5 b. 3 7 c. 8 6 ç. 4 10 f. 3 2 g. 5 3 ğ. 7 2 h. 8 5
396
II. grup
363
288
11 3
4 11
15 2
432
12 3
12 2
176
81
450
Aşağıdaki sol sütunda verilen kareköklü sayıların a b şeklinde yazılmış ifadelerini, sağ sütundan
bulunuz ve önündeki harfle eşleştiriniz.
I.
63 a. 8 2
II.
75 b. 8 3
III.
128 c. 5 3
IV.
192 ç. 3 7
d. 5 7
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların yanına D, yanlış olanların yanına Y yazınız.
a.
66
f.
d. 3 . 5 7 e. 11 11
I. grup
6
176 Aşağıda, I. grupta verilen sayıların II. gruptaki eşitlerini bulunuz ve eşleştiriniz.
3
5
e.
Aşağıda verilen kareköklü sayıların katsayılarını kök içine alınız.
2
4
175 300 =
63
4
b.
750 = 6 30
4
c.
800 = 4 20
4
ç.
Alanı 98 m2 olan kare şeklindeki bahçenin bir kenarının uzunluğunu bulunuz.
920 = 4 115
4
1. ÜNİTE
1.3.6. Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Çiftçi Mehmet Bey, alanı 320 m2 olan karesel bölge şeklindeki tarlasının çevresine tel çekecektir. Mehmet Bey’in kaç metrelik tele ihtiyacı
olduğunu bulalım.
Tarlanın bir kenarının uzunluğu
320 m2
320
160
80
40
20
10
5
1
2
2 8
2
2
2 8
2
5
320 m ’dir.
320 = 82 • 5
320 =
2
8 .5 = 8 5 m
Tarlanın bir kenarının uzunluğu 8 5 m’dir.
Tarlanın çevresi; 8 5 + 8 5 + 8 5 + 8 5 = ^ 8 + 8 + 8 + 8 h 5 = 32 5 ’dir. Mehmet Bey’in 32 5 m
tele ihtiyacı vardır.
Örnek-1
5 2 + 3 2 işlemini yapalım.
Çözüm
5 2 + 3 2 = ^5 + 3 h 2 = 8 2 dir.
Örnek-2
6 3 – 2 3 işlemini yapalım.
Çözüm
Kök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanıp çıkarılırken önce katsayılar
toplanır ve çıkarılır. Sonra işlem sonucu
ortak kareköke katsayı olarak yazılır.
a n + b n = ^a + bh n
a n – b n = ^a – bh n
Kök içleri aynı olmayan sayılar toplanır
ve çıkarılırken önce kök içleri eşitlenir.
Sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
6 3 – 2 3 = ^6 – 2 h 3 = 4 3 olur.
Örnek-3
9 12 + 3 12 – 2 12 işlemini yapalım.
Çözüm
2
2
2
9 12 + 3 12 – 2 12 = 9 3 . 2 + 3 3 . 2 – 2 3 . 2
9 12 + 3 12 – 2 12 = 9 . 2 3 + 3 . 2 3 – 2 . 2 3
9 12 + 3 12 – 2 12 = 18 3 + 6 3 – 4 3
9 12 + 3 12 – 2 12 = (18 + 6 – 4) 3
9 12 + 3 12 – 2 12 = 20 3 olur.
67
1. ÜNİTE
Örnek-4
Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a)
50 +
72 b)
75 –
48
b)
75 –
48 =
50 +
72 =
50 +
72 = 5 3 – 4 3
Çözüm
a)
25 . 2 +
36 . 2
50 +
72 =
50 +
72 =
50 +
72 = 5 2 + 6 2
2
5 .2 +
2
6 .2
72 = ^ 5 + 6 h 2
50 +
50 +
72 = 11 2
50 +
50 +
25 . 3 –
2
5 .3 –
16 . 3
2
4 .3
72 = ^ 5 – 4 h 3
72 =
3
Örnek-5
Aşağıdaki işlemleri yapalım.
b) ^5 6 – 3 6 h +
150 +
54 a) 5 24 –
150 +
54 = 5 4 . 6 –
5 24 –
150 +
54 = 5 2
5 24 –
150 +
54 = 5 . 2 6 – 5 6 + 3 6
5 24 –
150 +
54 = 10 6 – 5 6 + 3 6
5 24 –
150 +
5 24 –
150 +
a) 5 24 –
2. 3
Çözüm
2.
25 . 6 +
6–
5
2.
6+
9.6
3
2.
6
b) ^ 5 6 – 3 6 h +
2 . 3 = ^5 – 3h . 6 +
^5 6 – 3 6 h + 2 . 3 = 2 6 + 6
^5 6 – 3 6 h + 2 . 3 = ^2 + 1h 6
^5 6 – 3 6 h + 2 . 3 = 3 6
54 = ^ 10 – 5 + 3 h 6
54 = 8 6
Örnek-6
Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a)
5 8 –4 2
8
b)
2 . ^ 18 –
8h
b)
2 . ^ 18 –
8h =
2
2 .^ 3 . 2 –
8h =
2 . ^3 – 2h . 2
Çözüm
a)
5 8 –4 2
8
=
5.2 2 – 4 2
2 2
68
3
5 2 –4 2
2
=
3
=
10 2 – 4 2
2 2
=
6 2
2 2
1
=3
1
2 . ^ 18 –
8h =
2 . ^ 18 –
8h =
2 . ^ 18 –
2 . ^ 18 –
8h = 2
2
2 . 2h
2 . ^3 2 – 2 2 h
2. 2
6
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
10 . 10 b.
9 . 9
c.
6 . 6
ç.
2 . 14
d.
11 . 2 e.
20 . 45 – 5 . 80
2 3 . 12 + 88
f.
5 324 . 4
9
g.
5. 6
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. ^ 3 . 3 h – ^ 2 . 2 h
ç. ^ 5 – 3 5 h + ^2 36 +
3
4 h
b. ^3 2 + 2 2 h . 2 c. ^ 7 + 4 7 h + 2 28 +
d. ^ 4 . 3 h – ^ 8 . 4 h
28 Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
32
2
b.
45
5
c.
492
7
ç.
90
10
d.
160
5
4
2 5 +3 5
işleminin sonucunu bulunuz.
2 5 . 25
5
Aşağıda verilen işlemleri yapınız. Bulduğunuz sonuçların irrasyonel olup olmadığını söyleyiniz.
a.
6
5 4
b.
3
9
c.
81
ç.
8 . 5
ç.
64
125
80
d.
7 :
3
7
27
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
7
25
36 . 9 b.
9 . 5
c.
24 . 54
45 . 5 – 20 . 80
işleminin sonucu kaçtır?
2 3 . 12
A) – 1 4
B) – 4 15
C) – 5 6
D) – 25
12
69
1. ÜNİTE
1.3.7. Ondalık İfadelerin Karekökü
Yanda, yüzlük kartta modellenen ondalık gösterimin karekökünü bulabilir
misiniz? Kareköklü sayılarla bölme işlemini ve tam kare sayılarla ilgili bilgilerinizi hatırlayınız.
Örnek-1
Alanı 1,44 m2 olan karesel bölge şeklindeki bir levhanın bir kenarının uzunluğunu bulalım.
Çözüm
144
1, 44 = 100
"
1, 44 =
144
1, 44 = 100
"
1, 44 =
144
1, 44 = 100
"
12
1, 44 = 10 = 1, 2 m’dir.
144
100
144
100
12
=
10
2
2
Örnek-2
2
Alanı 12,96 m olan karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
Çözüm
1296
12, 96 = 100
"
1296
12, 96 = 100
"
1296 =
100
1296
12, 96 = 100
1296
12, 96 = 100
"
"
1296 = 36
100
10
1296 =
3, 6 m ’dir.
100
12, 96 =
1296
100
36
10
2
2
Ondalık gösterimlerin kareköklerini belirlemek için ondalık gösterim, öncelikle kesir olarak
ifade edilir. Daha sonra pay ve paydanın karekökleri ayrı ayrı alınarak işlem tamamlanır.
a, bc =
70
abc =
100
abc
100
=
abc
10
1. ÜNİTE
Örnek-3
Aşağıdaki tabloyu inceleyelim.
Çözüm
Ondalık gösterim
Ondalık gösterimin kesir
olarak gösterimi
Karekökü
Sonuç
6, 25
625
100
625
25 =
2, 5
10
0, 64
64
100
64
8 =
0, 8
10
0, 49
49
100
49
7 =
0, 7
10
0, 09
9
100
9
3 =
0, 3
10
0, 16
16
100
16
4 =
0, 4
10
0, 81
81
100
81
9 =
0, 9
10
100
100
100
100
100
100
Etkinlik
Ondalık Gösterimlerin Karekökü
0,36 ondalık gösterimini, yandaki yüzlük
kart üzerinde renkli kalemlerimizle karesel
bölge şeklinde modelleyelim.
Oluşturduğumuz karesel bölgenin ve yüzlük kartın bir kenar uzunluklarını oranlayalım.
Bulduğumuz rasyonel sayıyı ondalık gösterim
olarak yazalım.
Araç ve Gereçler
• renkli kalemler
• yüzlük kart
0,36 ondalık gösterimini, kesir olarak ifade edelim.
Kesrin pay ve paydasındaki sayılar nasıl sayılardır? Düşününüz.
Verilen kesrin karekökünü bulalım. (Kesirlerde bölme işlemi ve tam kare sayıların karekökleriyle
ilgili bilgilerini hatırlayınız.) Bulduğumuz sayı ile etkinliğimizin ikinci basamağında bulduğumuz
ondalık gösterimi karşılaştıralım.
Ondalık gösterimlerin kareköklerini bulmayla ilgili nasıl bir strateji geliştirebilirsiniz? Arkadaşlarınızla
tartışınız.
Siz de 0,81 ondalık gösteriminin karekökünü bulunuz.
71
1. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki ondalık gösterimlerin kareköklerini hesaplayınız.
a. 0,04
b. 1,21
c. 0,36
ç. 0,16
d. 2,25
e. 2,89
f. 0,25
g. 1,44
ğ. 0,01
h. 0,81
ı. 12,96
i. 6,25
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a)
3
4
0, 09 = ...
b)
0, 49 = ...
c)
0, 64 = ...
ç)
2, 56 = ...
Alanı 1,96 m2 olan kare şeklindeki mermerin bir kenarının uzunluğunu hesaplayınız.
0, 09
0, 04
A
0, 25
Yandaki şekli inceleyiniz. Her bir kutuya üstündeki iki kutunun içindeki
sayıların çarpımını yazarak A, B ve C sayılarını bulunuz.
0, 25
=
B
C
5
0, 09
+
Yandaki şemayı inceleyiniz
B
I. A, B ve C sayılarını bulunuz.
x
II.
C
A ' B işleminin sonucunu bulunuz.
=
15
100
6
72
1
100
=
A
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
a)
7
+
0, 09 +
0, 04 +
0, 25 +
9
–
25
n b)
0, 36 =
4–
0, 49 +
1, 21 işleminin sonucunu bulunuz.
n
64 =
1. ÜNİTE
8
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
1, 21 +
a)
9
0, 04 –
2
0, 16
= ?
0, 01
50 + 4 128
2 15
8 15 –
15 – 5 15
– 3
10
0, 04 +
9
–
25
1, 21
=?
1
2 +
4
7
2 –
9
9
1 16
11
1 12
41 2
2 5
Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayı değildir?
4
9
B)
27, 3 C)
Yandaki şemada verilen işlemleri yaparak altıgenlerin içini tamamlayınız.
0, 04 D)
+
2
A) 60 2 0, 18 –
18
200
18
•
2
:
2
: 42
441
•
0, 32 +
+
• 28 3
•
:
4
5
8
48
•
12
0, 09
II. sütun
2 98 –
A)
11
0, 16 +
I. sütunda verilen işlemleri yapınız. İşlemlerle II. sütundaki doğru sonuçları eşleştiriniz.
I. sütun
10
0, 36 –
b)
6
: 84
10
12
•
12
6 2
50 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
B) 60
C)
57 2
10
D)
– 43 2
10
73
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1
Aşağıda verilen sayıların çarpanlarını bulunuz.
a) 30
2
c) 80
b) 288
c) 500
b) B
2
3
3
5
3
3
5
7
c) C
4
336 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır?
5
Aşağıdaki sayıların EBOB’larını bulunuz.
a) (20, 25)
9
2
2
3
3
5
c) (36, 104)
b) (48, 96)
c) (25, 55)
B) 8
C) 9
D) 12
15 ve 12 sayılarına bölündüğünde her defasında 5 kalanını veren en küçük sayının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangileri aralarında asaldır?
a) (5, 7)
74
ç) D
Bir bakkal 20 kg mercimek ve 16 kg pirinci birbirine karıştırmadan hiç artmayacak şekilde aynı
büyüklükteki torbalara koymak istiyor. Bakkalın en az kaç torbaya ihtiyacı vardır?
A) 6
8
b) (60, 45)
2
3
5
7
7
Aşağıdaki sayıların EKOK’larını bulunuz.
a) (7, 11)
7
ç) 850
Aşağıda asal çarpanları verilen A, B, C ve D sayılarını bulunuz.
a) A
6
ç) 156
Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarına ayırınız.
a) 240
3
b) 42
b) (28, 36)
c) (10, 27)
ç) (32, 81)
1. ÜNİTE
10
Yandaki tabloyu her satırdaki sayılar aralarında asal olacak şekilde
tamamlayınız.
1. sayı
2. sayı
8
...
...
42
...
83
100
...
11
Okan ve Gürkan aynı spor salonuna gidiyorlar. Okan 2 günde bir, Gürkan 3 günde bir salona
gidiyor. Her iki arkadaş ilk olarak 5 Temmuz’da salona birlikte gittiklerine göre 5 Ağustos’a kadar
birlikte kaç defa salona giderler?
12
Bir tepside kurabiyeler tabaklara ikişer ve beşer konulduğunda, her seferinde bir kurabiye artıyor.
Tepside en az kaç kurabiye vardır?
A) 11
13
D) 51
B) 99
C) 102
D) 108
a = (– 2)3
b = (– 3)2
c = (– 1)5 olduğuna göre aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır?
A) a • b < 0
15
C) 42
41 ile 60 arasında olan ve 21 ile aralarında asal olan en küçük ve en büyük sayının toplamı kaçtır?
A) 85
14
B) 31
B) a • b • c > 0
C) a • c > 0
D) b • c > 0
I ve II. sütunda verilen aynı sonuca sahip olan üslü ifadeleri eşleştiriniz.
I. sütun
II. sütun
50 • (– 23)
53 • – 22
(– 5)–2 • 22
–50 • 23
(– 5)3 • (– 2)2
(5–1)2 • –23
(– 5)–2 • (– 2)3
5–2 • 22
75
1. ÜNİTE
16
x negatif bir sayı ise aşağıdakilerden hangisi pozitiftir?
A) x–1
17
` 25 j 4
b) (0,4)2
B) 105 • 55
5
2
(0,4) : [(0,4)
ç) (– 0,1)3
D) 215 • 515
8
125
1
0
(0,4) ]
• 16
25
3
2
(0,2) : [(0,2) • (0,2)]
2
5
–8
–3
2
3
9 .3 .3
işleminin sonucu kaçtır?
2 . 5
3 3 :3
B) 3
C) 9
D) 12
C) 1510
D) 208
C) 2
D) 1
3
8
5 . 3 işleminin sonucu kaçtır?
–7 . –2
5 3
A) 310
B) 512
x
x = 43, y = 23 ise y ’nin değeri kaçtır?
A) 8
B) 4
a = 2 ve b = 4 ise (a–b • ba) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 0
76
C) 1000 • 5
–7
2
A) 1
23
3
8` 45 j . ` 45 j B : ` 45 j
7
22
` 16 j II. sütun
2
3
–4
` –3 12 j . ` –3 12 j . ` –3 12 j
21
c)
I. sütunda verilen işlemleri yapınız. İşlemlerle II. sütundaki doğru sonuçları eşleştiriniz.
I. sütun
20
D) x–5
10005 sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 102 • 103
19
C) (– x)–2
Aşağıdaki üslü sayıların değerlerini bulunuz.
a)
18
B) x3
B) 1
C) 8
D) 16
1. ÜNİTE
24
2x = a ve 3x = b ise 108x ifadesinin a ve b türünden eşiti, aşağıdakilerden hangisidir?
A) a2b3
25
B) ab2
C) a2b2
D) a3b3
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) 25,4 x 103 = 254 x 104
( ) 25,4 x 105 = 2,54 x 106
( ) 0,254 x 107 = 25,4 x 105
( ) 2,54 x 109 = 254 x 1011
26
Aşağıda verilen sayıların bilimsel gösterimlerini noktalı yerlere yazınız. Sayıları büyükten küçüğe
doğru sıralayınız.
a) 726 000 000 = ............................. b) 0,000007 = .............................
c) 0,000000001 = ............................. ç) 30 220 000 = .............................
d)
27
5
–9 = .............................
10
e) 645 • 1012 = .............................
Türkiye’nin nüfusu 31 Aralık 2014 tarihi itibariyle 77 695 904 kişidir. Buna göre, Türkiye’nin nüfusunun
bilimsel gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (www.tuik.gov.tr)
A) 77,695 904 x 106
B) 0,77695904 x 108
C) 7,7695 904 x 107
D) 77,695 904 x 107
28
Aşağıdaki sayılardan hangisi tam kare sayı değildir?
A) 25
29
C) 100
D) 121
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyonel sayıdır?
A)
30
B) 50
25
64
B) –
100
121
C)
91 D)
0, 49
Alanı 441 m2 olan kare şeklindeki bir tarlanın çevresinin uzunluğu kaç metredir?
A) 72
B) 80
C) 84
D) 92
77
1. ÜNİTE
31
Aşağıda verilen sayıların kareköklerini bulunuz.
a) 169
32
33
C) 1, 05 ( ) 5 2 = 50 ( ) 3 11 = 33
( )
D) 44, 004
216 = 6 6 63 = 7 3
( )
( ) 7 5 =
245
Aşağıdaki köklü ifadeleri a b biçiminde yazınız.
27 b)
125 c)
1000 ç)
1331
ç) 3
2
Aşağıdaki köklü sayıların katsayılarını kök içine alınız.
b) 2
3
3
c) 4 5 6
Aşağıdaki irrasyonel sayılardan hangilerinin yaklaşık ondalık açılımı bilinirse
laşık ondalık açılımı bulunur?
A)
78
B) 15, 7 8 = 2 2
a) 3 3 37
13 ün yaklaşık değerini hesaplayınız ve sayı doğrusu üzerinde
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
a)
36
ç) 81
Aşağıda verilen devirli ondalık gösterimleri, rasyonel sayı olarak ifade ediniz.
( )
35
c) 676
Aşağıdaki boş bırakılan yerde
gösteriniz.
A) 0, 34 34
b) 324
2
B)
3
C)
6
D)
7
363 sayısının yak-
1. ÜNİTE
38
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. I. sütundaki işlemleri yaptıktan sonra II. sütundaki sonuçlarıyla
eşleştiriniz.
I. sütun
3
•
8
12
•
•
II. sütun
5
3
2
98
2
3
3 125
3 . 75
28
6 2
108
243
39
Aşağıdaki işlemlerden hangilerinin sonucu bir tam sayıdır?
I. 5 2 –
50 III. 6 2 . 3 3
II. 4 3 +
48 IV. 8 12 : 4 3
A) I ve II
40
2+
3–
B) II ve III
B)
6–
C)
D) I ve IV
10 ifadesinin a türünden değeri nedir?
3 a
D) 2a
3–
27 = x 2 – y 3 eşitliğine göre x + y
I. İki basamaklı bir sayıdır.
III. 5 ile tam bölünür.
II. Pozitif bir tam sayıdır.
IV. x negatif, y pozitif bir tam sayıdır.
B) 1
9+
81 –
A) 7
43
2 a
4+
x ve y rasyonel sayılar olmak üzere, 50 – 4 8 +
toplamı için aşağıdaki ifadelerden kaçı doğrudur?
A) 0
42
C) I ve III
5 = a olduğuna göre
A) a
41
6 3
C) 2
D) 3
25 işleminin sonucu kaçtır?
B) 9
C) 12
D) 17
^2 3 . 2 + 4 6 h .
* işleminde * yerine aşağıdakilerden hangisi gelirse sonuç bir tam sayı olur?
4 3. 3
A)
6
B) 3 2 C) 6
D) 5 2
79
1. ÜNİTE
32 . 128
işleminin sonucu kaçtır?
27 . 48
44
45
6 10 .
 işleminde  yerine aşağıdakilerden hangisi gelirse sonucu 2 olur?
2 5
A)
46
1
3
B)
48
b) 0,49
50
C)
2
5
2
D) 5
c) 6,25
ç) 1,44
^ 0, 16 – 0, 04 + 1, 69 h . 20 işleminin sonucu kaçtır?
13 +
6+
A) 2
49
Aşağıdaki sayıların kareköklerini hesaplayınız.
a) 6,76
47
2
3
8 . 2 .x
3 2
3+
36 işleminin sonucu kaçtır?
B) 3
C) 6
D) 4
= 4 olduğuna göre x yerine hangi sayı gelmelidir?
3
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Gerçek sayılar G ile gösterilir.
( ) Gerçek sayılar sayı doğrusunu tam olarak doldurur.
( ) İrrasyonel sayılar aynı zamanda rasyonel sayıdır.
( ) π sayısı, rasyonel bir sayıdır.
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
80
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2.1. BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI
2.2. ÜÇGENLER
2.3. DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
TERİMLER
SEMBOLLER
=, //, 6AB@, AB ,
&
V
^
m A h, ABC , A', A'',
Olasılık, çıktı, olay, eş olasılık, imkânsız olay, kesin olay, hipotenüs, Pisagor bağıntısı, üçgen eşitsizliği, dik kenarlar, kenarortay,
açıortay, yükseklik, dönme, dönme merkezi, dönme açısı
Bu Ünitede Neler Öğreneceğiz?
2.1. BASİT OLAYLARIN OLMA OLASILIĞI
• Bir olaya ait olası durumları belirleme,
• “Daha fazla”, “eşit”, “daha az” olasılıklı olayları ayırt etme; örnek verme,
• Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının eş olasılıklı olduğunu ve bu değerin 1 / n
olduğunu açıklama,
• Olasılık değerinin 0 – 1 arasında olduğunu anlama ve kesin (1) ile imkânsız (0) olayları
yorumlama,
• Basit olayların olma olasılığını hesaplama.
2.2. ÜÇGENLER
• Üçgende kenarortay, açıortay ve yüksekliği inşa etme,
• Üçgenin iki kenar uzunluğunun toplamı veya farkı ile üçüncü kenarının uzunluğunu ilişkilendirme,
• Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçülerini ilişkilendirme,
• Yeterli sayıda elemanının ölçüleri verilen bir üçgeni çizme,
• Pisagor bağıntısını oluşturma, ilgili problemleri çözme.
2.3. DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
• Nokta, doğru parçası ve diğer düzlemsel şekillerin dönme altındaki görüntülerini oluşturma,
• Dönmede şekil üzerindeki her bir noktanın bir nokta etrafında belirli bir açıyla saat veya
tersi yönünde dönüşüme tabi olduğunu ve şekil ile görüntüsünün eş olduğunu keşfetme,
• Koordinat sisteminde bir çokgenin öteleme, eksenlerinden birine göre yansıma, herhangi
bir doğru boyunca öteleme ve orijin etrafında dönme altındaki görüntülerini belirleyerek çizme,
• Şekillerin en çok iki ardışık öteleme, yansıma veya dönme sonucunda ortaya çıkan görüntülerini oluşturma.
81
2. ÜNİTE
2.1.
OLASILIK
2.1.1. Olası Durumlar
Aşağıdaki olaylara ait olası durumları belirleyelim.
Madenî bir parayı havaya attığımızda paranın üst yüzü yazı veya turayı gösterir.
Bir zarı havaya attığımızda, zarın üst yüzü 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 rakamlarından
birini gösterir.
Okan, annesine bir çeşit çiçek götürmek isterse yandaki
resimde gördüğümüz çiçeklerden; papatya, lale veya gül çeşidinden birini seçebilir.
• limonata
• gazlı içecek
• çay
• kahve
• soda
• su
Yandaki listede verilen içeceklerden birini istediğinizde yapabileceğiniz seçimler:
limonata, gazlı içecek, çay, kahve, soda veya sudur.
Örnek-1
Babası Ege’den odasının boyanması için yandaki katalogda verilen renklerden birini seçmesini istedi. Ege’nin
odasının boyanması için kaç farklı seçim yapabileceğini
belirleyelim.
Çözüm
aç›k kahverengi
aç›k yeflil
sar›
koyu kahverengi
gök mavisi
koyu yeflil
Olası durumları belirleyelim;
Katalogdaki renkler; açık kahverengi, açık yeşil, sarı, koyu kahverengi, gök mavisi ve koyu yeşil olmak
üzere altı çeşittir. Ege altı farklı seçim yapabilir.
82
2. ÜNİTE
Örnek-2
Esra, hasta olan komşusunu ziyarete giderken bir çeşit meyve
götürecektir. Resimde gördüğümüz meyve çeşitleri arasından kaç
farklı meyve seçim yapabileceğini belirleyelim.
Çözüm
Olası durumları belirleyelim.
Tezgâhtaki meyveler; elma, muz, karpuz ve armut olmak üzere
dört çeşittir. Dört farklı seçim yapabilir.
Örnek-3
5A sınıfında 15 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Sınıf
listesinden rastgele seçilen bir öğrenci, başkan olarak
görev yapacaktır. Seçilecek öğrencinin kız olma olasılığı ile erkek olma olasılığını karşılaştıralım.
Çözüm
Sınıfta 15 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Erkeklerin sayısı kızların sayısından daha fazla olduğu için
seçilecek başkanın erkek olma olasılığı daha fazladır.
Örnek-4
Mehmet, 4’ü mavi, 5’i sarı, 2’si yeşil olan aynı büyüklükteki boncukları koyu renk bir torba içine koydu. Betül,
torbanın içine bakmadan bir boncuk çekti. Çekilen boncuğun hangi renkte olma olasılığının daha az olduğunu
belirleyelim.
Çözüm
Torbada 4 mavi, 5 sarı ve 2 yeşil boncuk vardır. Yeşil renkteki boncuk sayısı az olduğu için çekilen boncuğun yeşil renkte olma olasılığı daha azdır.
Örnek-5
Bir sınıftaki 28 öğrenciden 14’ü basketbol
geri kalanlar ise voleybol kursuna gitmektedir.
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kurslara
gitme olasılıklarını karşılaştıralım.
Çözüm
28 öğrenciden 14’ü basketbola gidiyorsa, 28 – 14 = 14’ü de voleybola gidiyordur. O hâlde sınıfta basketbol ve voleybol kursuna giden öğrenci sayıları eşittir. Rastgele seçilen öğrencinin basketbol veya voleybol
kursuna gidiyor olma olasılıkları eşittir.
Görev
Günlük yaşamınızda “daha fazla”, “eşit” ve “daha az” kavramlarını kullanarak belirttiğiniz olasılıklı olaylara örnekler veriniz.
83
2. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Tuğçe, proje ödevini yapmak için yandaki
resimde verilen klasörlerden birini almak istiyor.
Tuğçe’nin kaç farklı seçim yapabileceğini bulunuz.
2
Bir küpün 6 yüzüne; a, b, c, d, e, f harfleri yazılıyor. Bu küp, bir kez yuvarlanırsa üst yüze hangi
harfler gelebilir?
3
Bir torbada 5 mavi, 5 pembe bilye vardır. Torbadan çekilen bir bilyenin;
• mavi gelme olasılığını,
• pembe gelme olasılığını bulunuz. Olasılıkları karşılaştırınız.
4
Bir turist grubunda 12 erkek ve 18 kadın vardır. Gruptan bir kişiye hediye verilecektir. Erkeklerin mi yoksa kadınların mı hediyeyi alma olasılığı daha fazladır? Nedenini açıklayınız.
5
“TÜRKİYE” sözcüğünün harfleri aynı özelliklere sahip ve eş büyüklükteki kâğıtlara yazılarak bir
torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kâğıt çekiliyor. Çekilen kâğıdın üzerindeki harfin;
• sesli harf gelme,
• sessiz harf gelme olasılığını bulunuz. Olasılıkları karşılaştırınız.
6
84
Okan’ın 12 hikâye, 15 şiir kitabı vardır. Okan’ın rastgele seçtiği
kitabın hikâye kitabı mı yoksa şiir kitabı mı olma olasılığı daha fazladır? Nedenini açıklayınız.
2. ÜNİTE
2.1.2. Olay ve Bu Olayın Olma Olasılığı
İnsanlar çevrelerinde meydana gelen bazı
olayların aksamaksızın tekrarlanmasına karşın, bazı olayların gerçekleşmesinde bir kesinliğin bulunmaması karşısında; bir olayın
meydana gelmesiyle ilgili olasılık kavramını
geliştirmişlerdir. Örneğin, Güneş’in doğması
ve batması, aksamadan meydana gelen bir
olaydır. Ancak bir basketbolcunun, her maçta
aynı sayıda basket atamayışı, bazı faktörlere
bağlı olmasının yanında şans denilen faktörle
de ilgilidir. Buna benzer olaylarda olasılık, şans
etkisini sayısal olarak ifade eden bir ölçüdür.
Örnek-1
Bir madenî para havaya atıldığında yazı veya tura gelmesi olaylarının olasılıklarını inceleyelim.
Çözüm
Bir madenî para havaya atıldığında olası durumlar, paranın “yazı” veya “tura”
gelmesidir. Yani olası durum sayısı 2’dir.
Olay: Yazı gelmesi Olay: Tura gelmesi
Olayın çıktısı: Yazı Olayın çıktısı: Tura
Çıktı sayısı: 1
Çıktı sayısı: 1
Olayın olma olasılığı:
Çıktı
sayısı
çikti say›s›
1
= 2
olay›n
Olası durum say›s›
sayısı
Çıktı
sayısı
çikti say›s›
1
Olayın olma olasılığı: olay›n durum say›s› = 2
Olası durum sayısı
1
1
Madenî para havaya atıldığında yazı gelme olasılığı , tura gelme olasılıdığı da ’dir. Olasılık değer2
2
leri eşittir. Her iki olay da eşit şansa sahiptir.
1
Eşit şansa sahip olaylarda her bir çıktı eş olasılıklıdır ve bu değer
dir. Buradaki “n” olası
n ’
durum sayısını temsil etmektedir.
Örnek-2
1’den 15’e kadar olan sayıların yazılı olduğu kâğıtlar torbaya konur ve bir
çekiliş yapılırsa her bir sayının gelme olasılığını inceleyelim.
Çözüm
Torbadan bir kâğıt çekildiğinde olası durumlar 1’den 15’e kadar olan sayılardır. Yani olası durum sayısı 15’tir.
Torbadan her bir kâğıdın çekilmesi olayı eşit şansa sahip olaylardır. O hâlde her bir çıktı eş olasılıklıdır.
1
Torbadan her bir sayının çıkma olasılığı 15 ’tir.
85
2. ÜNİTE
Örnek-3
Bir oyun zarı havaya atıldığında zarın üst yüzeyine 4 gelme olasılığının kaç olduğunu bulalım.
Çözüm
Oyun zarı 6 yüze sahiptir. O hâlde zar havaya atıldığında
olası durumlar 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarından birinin gelmesidir. Olası durum sayısı 6’dır.
Zarın her bir yüzeyinin gelmesi, eşit şansa sahip olaylardır ve her bir yüzün gelmesi eş olasılıklıdır. O
1
hâlde zarın üst yüzeyine 4 gelme olasılığı 6 ’dır.
Örnek-4
Yavuz ailesinin fertleri Ankara’dan İstanbul’a hangi ulaşım aracı ile gideceklerine karar veremediler. Ulaşım aracını
belirlemek için kura çekmeye karar verdiler. Eş büyüklükteki kâğıtlardan her birine hızlı tren, otobüs, uçak ve otomobil
yazarak bir torbaya koydular. Torbadan çekilen kâğıtta “hızlı
tren” yazma olasılığını bulalım.
Çözüm
Torbadan kâğıt çekildiğinde olası durumlar: “hızlı tren, otobüs, uçak ve otomobil”dir. Olası durum sayısı 4’tür.
Torbadan her bir kâğıdın çekilmesi eşit şansa sahip olaylardır ve her bir kâğıdın çekilmesi eş olasılıklıdır.
1
O hâlde torbadan “hızlı tren” yazılı kâğıdın çekilmesi olasılığı 4 ’tür.
Örnek-5
Aşağıdaki olayları inceleyerek eşit şansa sahip olan ve olmayanları belirleyelim.
a) Torbada 5 kırmızı, 5 beyaz top vardır. Torbadan çekilen topun kırmızı veya beyaz renkte olma olayı
b) Torbada 7 kırmızı, 3 beyaz top vardır. Torbadan çekilen topun kırmızı veya beyaz renkte olma olayı
Çözüm
a) Torbadaki kırmızı ve beyaz renkteki top sayıları eşit olduğu için kırmızı renkte top çekilmesi ve beyaz
renkte top çekilmesi olayları eş olasılıklı olaylardır.
b) Torbadaki kırmızı renkteki topların sayısı, beyaz renkteki topların sayısından daha fazla olduğu için
bu olaylar eş olasılıklı olaylar değildir.
Örnek-6
Aşağıdaki renkli sayı çarkı döndürüldüğünde okun aşağıda istenen sayı ve renkte durma olasılığını bulalım.
a) Pembe renkte durma olasılığı
b) Sarı renkte durma olasılığı
4
c) Beyaz renkte durma olasılığı
ç) Tek sayıda durma olasılığı
d) Çift sayıda durma olasılığı
e) Mavi renkte durma olasılığı
f) Pembe, sarı veya beyaz renkte durma olasılığı
86
5
3
6
2
7
1
10
8
9
2. ÜNİTE
Çözüm
5
a) Okun pembe renkte durma olasılığı: 10 = 0, 5 = % 50
2 =
0, 2 = % 20
b) Okun sarı renkte durma olasılığı:
10
3 =
0, 3 = % 30
c) Okun beyaz renkte durmama olasılığı:
10
5
ç) Okun tek sayıda durma olasılığı: 10 = 0, 5 = % 50
5
d) Okun çift sayıda durma olasılığı: 10 = 0, 5 = % 50
0
e) Okun mavi renkte durma olasılığı: 10 = 0 = % 0
10
f) Okun pembe, sarı veya beyaz renkte durma olasılığı: 10 = 1 = % 100
Bir olayın olma olasılığı:
İstenilen olayın çıktı sayısı
Olayın durum sayısı
Bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 (dahil) arasında değer alır.
Bir olay her zaman gerçekleşiyorsa bu olaya kesin olay denir. Olasılık değeri 1’dir.
Bir olay hiçbir zaman gerçekleşmiyorsa bu olaya imkânsız olay denir. Olasılık değeri 0’dır.
Örnek-7
Bir zar havaya atıldığında zarın çift sayı gelme olasılığını hesaplayalım.
Çözüm
Zar havaya atıldığında 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamlarından biri gelecektir. O hâlde olası durum sayısı 6’dır.
Zar havaya atıldığında çift sayı olarak 2, 4 veya 6 gelebilir. O hâlde istenilen olayın çıktı sayısı 3’tür.
Öyleyse olayın olma olasılığı: 3 = 1 ’dir.
2
6
Örnek-8
Bir torbada 1’den 8’e kadar numaralandırılmış 8 özdeş top vardır. Torbadan bir top çekilecektir. Buna
göre aşağıdaki olayların olasılıklarını hesaplayalım.
a) 3 numaralı topun çekilme olasılığı
b) Tek numaralı top çekilme olasılığı
c) 3’ten küçük numaralı top çekilme olasılığı
ç) Top çekilme olasılığı
d) Bilye çekilme olasılığı
87
2. ÜNİTE
Çözüm
1
a) 3 numaralı topun çekilme olasılığı: 8
4
b) Tek numaralı top çekilme olasılığı: 8
2 1
c) 3’ten küçük numaralı top çekilme olasılığı: 8 = 4
8
ç) Top çekilme olasılığı: 8 = 1 (kesin olay)
0
d) Bilye çekilme olasılığı: 8 = 0 (imkânsız olay)
ALIŞTIRMALAR
1
Eşit şansa sahip olan ve olmayan olaylara örnek veriniz.
2
Bir torbada 5 yeşil, 4 sarı özdeş top vardır. Torbadan çekilen topun;
a) Yeşil renkte olma olasılığı,
b) Sarı renkte olma olasılığı,
c) Mavi renkte olma olasılığı kaçtır?
3
Bir kolide 20 yumurta vardır. Yumurtalardan 6’sı kırılmıştır. Koliden rastgele seçilen bir yumurtanın;
a) Kırık olma olasılığı,
b) Sağlam olma olasılığı kaçtır?
4
1’den 12’ye kadar numaralandırılmış özdeş kartlar bir torbaya koyuluyor. Torbadan rastgele bir kart
çekildiğinde asal sayı olma olasılığı kaçtır?
5
30 kişilik bir grupta 17 kişi İngilizce, 13 kişi Almanca biliyor. Rastgele seçilen birinin Almanca bilme
olasılığı kaçtır?
6
88
Kesin ve imkânsız olaylara örnek veriniz.
2. ÜNİTE
2.2.
ÜÇGENLER
2.2.1. Üçgende Yardımcı Elemanlar (Kenarortay, Açıortay, Yükseklik)
Yandaki trafik levhası ikizkenar üçgen biçimindedir. Trafik levhasının demir çubukta
dengede durabilmesi için nelere dikkat edilmesi gerekir? Arkadaşlarınızla tartışınız.
Örnek-1
Bir ABC üçgenine ait kenarortayları çizelim. Çizdiğimiz kenarortayların kesişim noktasını bulalım.
Çözüm
&
ABC ni çizelim.
A
BC, AC ve AB kenarlarının orta noktalarını cetvelimizle ölçerek
bulalım.
F
B
Bulduğumuz bu noktaları isimlendirelim.
E
D
C
A
A noktasını D noktası ile B noktasını E noktası ile ve C noktasını
F noktası ile birleştirerek a, b ve c kenarlarına ait kenarortayları
çizelim.
F
B
A
F
Vc
E
D
C
Kenarortayların kesim noktasını G harfiyle isimlendirelim. G noktasına ABC üçgenin ağırlık merkezi denir.
Vb
[AD] = Va
[BE] = Vb
E
[CF] = Vc
G
[BC] na ait kenarortaydır.
[AC] na ait kenarortaydır.
[AB] na ait kenarortaydır.
Va
B
D
C
89
2. ÜNİTE
Bir üçgende bir kenarın orta noktasını, karşısındaki köşeye birleştiren doğru parçasına, o kenara ait kenarortay denir. Bir üçgende üç kenarortay vardır. Kenarortaylar aynı noktada kesişir.
Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfiyle gösterilir. Üçgenin ağırlık merkezi ve
kenarortayları üçgenin iç bölgesinde kalır.
A
F
Vc
G
Vb
[AD] = Va
E [BE] = Vb
[CF] = Vc
[BC] na ait kenarortay
[AC] na ait kenarortay
[AB] na ait kenarortay
Va
B
D
C
Etkinlik
Yardımcı Eleman 1
Yağlı kâğıdımıza bir üçgen çizelim. Çizdiğimiz
üçgeni keserek kâğıttan ayıralım.
Araç ve Gereçler
• yâğlı kâğıt
• cetvel
• kalem
• makas
Üçgenimizin kenarlarının orta noktalarını cetvelimizle belirleyerek
işaretleyelim.
İşaretlediğimiz noktadan ve karşısındaki köşeden geçecek şekilde
kâğıdımızı katlayalım. Bu katlama işini her üç nokta için de yanda görüldüğü
gibi yapalım.
Cetvelimizi kullanarak kat izlerinden geçecek şekilde doğru parçalarını
çizelim.
Çizdiğiniz bu doğru parçalarının özelliklerini inceleyiniz. Ulaştığınız sonuçları
arkadaşlarınızla paylaşınız.
Üçgenin hangi yardımcı elemanını çizdiğinizi belirtiniz.
90
2. ÜNİTE
Örnek-2
&
Yanda verilen ABC nin açıortaylarını çizelim.
A
B
C
Çözüm
A
A h = 60° dir. Açıortay, A açısını
ABC üçgeninde m ^V
A
30° lik iki eş parçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak V
nın açıortayını yandaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
B
A
B
C
m ^V
B h = 40° olduğundan, B açısını, 20° lik iki eş parB nın açıortayını
çaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak V
yandaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
A
C
m ^W
C h = 80° olduğundan açıortay W
C nı 40° lik iki eş
C nın açıortayıparçaya ayırır. Açıölçerimizi kullanarak W
nı yandaki şekilde görüldüğü gibi çizeriz.
&
Böylece ABC nin açıortaylarını çizmiş oluruz.
B
C
A
B
C
91
2. ÜNİTE
Bir üçgenin bir iç açısını ortalayan ışının, iç açı karşısındaki kenarı kestiği noktayla açının
köşesi arasında kalan doğru parçasına, o açıya ait açıortay denir. Bir üçgende tüm iç açıların
açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta ve açıortaylar üçgenin iç bölgesinde kalır.
B
A
nB S
T P
nC
nA
R
[AR] = nA
[BS] = nB
A açısına ait açıortay
B açısına ait açıortay
[CT] = nC
C açısına ait açıortay
P noktası açıortayların kesişim noktasıdır.
C
A
Örnek-3
&
ABC nde [BD] açıortay,
m ^\
BAC h = 60° ,
m ^\
BDC h = 95° ise
m ^\
ACE h = α ölçüsünü hesaplayalım.
D
α
B
C
A
Çözüm
&
BDC h dış açıdır. 95° = 60° + m ^\
ABD h
ABC nde m ^\
D
m ^\
ABD h = 35° dir. [BD] açıortay olduğundan,
m ^\
DBC h = 35° dir. \
ACE , dış açı olduğundan,
A h + m ^V
Bh
α = m ^V
α
B
C
α = 60° + 70°
α = 130° dir.
Etkinlik
Yardımcı Eleman 2
A
M
B
92
E
Aydınger kâğıdımıza kenar uzunlukları &
c = 3 cm, b = 4 cm ve a = 5 cm olan bir ABC ni
S
çizelim.
C
Üçgenimizin A köşesine pergelimizin sivri
ucunu batırarak AB ve AC doğru parçalarını
kesen bir yay çizelim. Yayın, üçgenimizin
kenarlarını kesen noktalarını M ve S harfleriyle
gösterelim.
Araç ve Gereçler
• pergel
• cetvel
• renkli kalemler
• aydınger kâğıt
• açıölçer
• kalem
E
2. ÜNİTE
A
Pergelimizin sivri ucunu sırayla M ve S noktalarına batıralım ve BC
kenarının dışında birer yay çizelim. Yayların kesiştiği noktayı P harfiyle
gösterelim.
A noktası ve P noktasını birleştiren [AP]
nı çizelim. [AP] nın [BC] nı kestiği noktayı, N
harfiyle isimlendirelim.
A
N
B
P
S
M
B
P
C
[AN] nın, A açısını hangi açılara ayırdığını açıölçerimizle bulalım.
C
[AN] nın, A açısında ayırdığı açıları karşılaştırınız.
[AN] , A açısına ait üçgenin hangi yardımcı elemanı olabilir? Tartışınız. Yanıtlarınızın nedenini
açıklayınız.
[AN] , üçgenin hangi bölgesindedir?
Bir üçgenin iç bölgesinde kaç tane bu yardımcı elemandan vardır? Çizerek gösteriniz.
Örnek-4
Aşağıda kareli kâğıtta verilen üçgenlere ait yükseklikleri çizelim.
A
K
D
h1
h
h
B
h2
C
L
H
M E
H
F
&
ABC ni dik üçgendir. BC kenarına ait yükseklik [AB], AB kenarına ait yükseklik [CB] dir. [AB] ^ [BC] dır.
&
KLM ni ikizkenar üçgendir. LM kenarına ait yükseklik [KH] dır. [KH] ^ [LM] ’dır.
&
DEF ni eşkenar üçgendir. EF kenarına ait yükseklik [DH] dır. [DH] ^ [EF] ’dır.
Dik üçgende dik kenarlar aynı zamanda yüksekliktir.
93
2. ÜNİTE
Örnek-5
Geniş açılı bir üçgen çizelim ve bu üçgene ait yüksekliklerin
kesiştikleri noktayı bulalım.
Çözüm
&
ABC , geniş açılı bir üçgendir. Çizilen üçgende a ve b kenarlarına ait yükseklikler, üçgenin dışındadır. Bu nedenle yüksekliklerin kesiştiği nokta, üçgenin dışında bulunan K noktasıdır.
c D
A
b ha
hc
B
hb
a
C
H
E
K
Bir üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara çizilen dik doğru parçasına o kenara ait
yükseklik denir.
A
Yükseklik, köşenin karşı kenara olan uzaklığı olarak da ifade edilebilir.
Paralel doğruların, eş uzaklıklı doğrular olduğunu hatırlayınız. Bu durumda üçgenin bir köşesinden geçen ve karşı kenara paralel olan doğrunun
üzerindeki herhangi bir noktadan inen dikmeye ya da dikmenin uzunluğuna da yükseklik denilebileceğini unutmayınız. Ancak üçgen
A
geniş açılı ise köşelerden çizilen yüksekliklerin ikisi üçgenin
B
dışında kalır.
Bir üçgende üç yükseklik aynı noktada kesişir.
ha
ha
H
C
Üçgen, dar açılı ise üçgen kenarına ait yükseklikler, üçgenin içinde kesişir.
H
a
B
Üçgen, dik açılı üçgen ise yükseklikler, dik açının köşesinde kesişir.
C
Üçgen, geniş açılı üçgen ise yükseklikler, üçgenin dışında kesişir.
Etkinlik
Yükseklik
A
Aydınger kâğıdımıza kenar uzunlukları a = 3 cm, b = 3 cm ve a = 3 cm olan bir
&
eşkenar ABC ni çizelim.
B
D
a
E
C
Üçgenimizin A köşesine pergelimizin
&
sivri ucunu batırarak ABC nin a kenarını
iki noktada kesen bir yay çizelim. Yayın a
kenarını kestiği noktaları D ve E harfleriyle
gösterelim.
94
Araç ve Gereçler
• pergel
• cetvel
• renkli kalemler
• aydınger kâğıt
• kalem
2. ÜNİTE
Pergelimizi biraz açarak sivri ucunu önce D noktası üzerine batırıp [BC] nın altında bir yay çizelim. Sonra pergelin açıklığını bozmadan E
noktası üzerine pergelin sivri ucunu batırıp yine [BC] nın altında diğer
yayı kesen bir yay daha çizelim.
Yayların kesim noktasını F harfiyle
gösterelim. A ve F noktalarını birleştirelim.
[AF] nın [BC] nı kestiği noktayı H harfiyle
gösterelim.
A
A
B
D
H
\
AHC nın ölçüsünü açıölçerimizi kullanarak
B
F
bulalım.
C
H
C
E
“[AH], [BC] na diktir.” diyebilir miyiz? Yanıtınızın nedenini açıklayınız.
&
[AH] na, ABC nin a kenarına ait yüksekliği, diyebilir miyiz? Yanıtınızın nedenini açıklayınız.
[AH], üçgenin hangi bölgesindedir?
Bir üçgenin kaç yüksekliği vardır. Arkadaşlarınızla tartışınız. Bu yükseklikleri çizerek gösteriniz.
“Kenarortay”, “açıortay” ve “yükseklik” etkinliklerinde oluşturduğunuz üç üçgen modelini üst üste
koyarak karşılaştırınız. [AD], [AN] ve [AH] üst üste geliyor mu? Ulaştığınız sonucu arkadaşlarınızla
paylaşınız.
A
Örnek-6
Yanda verilen ABC ikizkenar üçgeninde eş açıların açıortaylarını, kenarortaylarını ve yüksekliklerini karşılaştıralım ve aradaki ilişkiyi belirleyelim.
b
a
B
Çözüm
A
E
c
A
Vb
D
G
A
F
L
nb
Vc
B
nc
C
C
B
hc
K
hb
C
B
C
ABC üçgeninde;
ABC üçgeninde;
ABC üçgeninde;
Vb = Vc’dir.
nc = nb’dir.
hc = hb’dir.
İkizkenar üçgenlerde eşit açılardan çizilen; kenarortay, açıortay ve yükseklikler kendi aralarında eşittir.
95
2. ÜNİTE
Örnek-7
A
Yanda verilen ABC ikizkenar dik üçgeninde a kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve A açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.
Çözüm
a
B
&
ABC ne ait ha yüksekliği, üçgenin aynı zamanda açıortayı ve
kenarortayıdır.
A
ha = Va = n V
A
ha
B
C
C
H
&
ABC ikizkenar üçgeninde, tepe açısına ait açıortay, tabana ait
kenarortay ve tabana ait yükseklik, çakışıktır.
İkizkenar üçgende farklı olan açıdan (tepe açısı) çizilen yükseklik ile açıortay, kenarortay
doğruları eş, uzunlukları eşittir.
D
Örnek-8
Yandaki DEF eşkenar üçgeninde her bir kenarına ait yüksekliği, kenarortayı ve her bir iç açısına ait açıortayı çizelim ve bu uzunluklar arasında nasıl bir ilişki olduğunu bulalım.
Çözüm
E
&
DEF ne ait hd yüksekliği üçgenin aynı zamanda d kenarına ait ke-
D
J
E
hf
F
D nın açıortayıdır.
narortayı ve W
hd
he
H
hd = Vd = n W
D
I
&
DEF ne ait he yüksekliği üçgenin aynı zamanda e kenarına ait ke-
E nin açıortayıdır.
narortayı ve V
F
he = Ve = n V
E
&
DEF ne ait hf yüksekliği üçgenin aynı zamanda f kenarına ait kena-
F nın açıortayıdır.
rortayı ve V
hf = Vf = n V
F
DEF eşkenar üçgeninde açıortay, yükseklik ve kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.
Eşkenar üçgende açının açıortayı ile açının karşısındaki kenarın kenarortayı ve yüksekliği
aynı doğru parçasıdır.
Eşkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin uzunlukları eşittir.
96
2. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıda verilen üçgenlerin yüksekliklerini çiziniz.
A.
B.
A
B
2
3
4
C
C.
D
E
H
F
I
Herhangi bir üçgenin kaç kenarortayı vardır? Kenarortayları çizerek gösteriniz.
A
Yandaki ABC eşkenar üçgeninde verilenlerden yararlanarak aşağıdaki ifadelerde noktalı yerlere “=” , “!” , “^” sembollerinden uygun olanını yazınız.
a. IAHI ... IECI
c. ICEI ... IACI
b. [BD] ... [AC]
ç. [EC] ... [AB]
&
Yanda verilen ABC nin açıortaylarını iletki kullanarak çiziniz.
E
B
D
C
H
A
B
5
G
C
Yandaki fotoğrafta görülen üçgen şeklindeki düzenek, kabuk
böceğini yakalamak için hazırlanmıştır. Fotoğraftaki düzenek, bir
kenarı 50 cm olan eşkenar üçgendir. Bu üçgenin kenarortaylarının
kesişim noktasını belirleyiniz.
97
2. ÜNİTE
2.2.2. Üçgenin Kenarları Arasındaki Bağıntılar
Üç kenarının uzunluğu rastgele seçilen bir üçgeni çizebilir misiniz?
Yandaki fotoğrafta, uzunlukları 11 br, 9 br, 7 br ve 3 br olan geometri şeritleri verilmiştir. Bu geometri şeritlerini kullanarak kaç farklı üçgen oluşturabilirsiniz? Hangi geometri şeritlerini kullandığınızda üçgen
oluşturamazsınız? Deneyiniz.
Örnek-1
Aşağıda verilen geometri şeritleriyle üçgen oluşturulup oluşturulamayacağını bulalım. Üçgen oluşturan
ve oluşturmayan geometri şeritlerinin uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyelim (Geometri şeritlerinde ardışık iki delik arasını 1 birim olarak alalım.).
a) b)
Çözüm
a) 3 br, 5 br ve 4br uzunluğundaki geometri şeritlerini kullanalım.
Verilen geometri şeritleri ile üçgen, yandaki gibi oluşturulabilir. İki
geometri şeridinin kenar uzunluğu ile üçüncü geometri şeridinin kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
3 + 4 2 5
3 – 4 15
3 + 5 2 4
3 – 5 14
5 + 4 2 3
5 – 4 13
İki kenar uzunluğu toplamı
üçüncü kenarın uzunluğundan
büyüktür.
İki kenar uzunluğu farkının
mutlak değeri üçüncü kenar
uzunluğundan küçüktür.
b) 2 br, 3 br ve 6br uzunluğundaki geometri şeritlerini kullanalım.
Yanda görüldüğü gibi geometri şeritlerinin uç noktaları üçgen
oluşturacak şekilde birleştirilemez.
İki geometri şeridinin kenar uzunlukları ile üçüncü geometri şeridinin kenar uzunluğu arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
*
2 + 3 1 6
2 – 3 16
2 + 6 2 3
2 – 6 23
6 + 3 2 2
6 – 3 22
İki kenar uzunluğun toplamının üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmadığı eşitsizlik vardır.
98
*
*
İki kenar uzunluğu farkının
mutlak değerinin üçüncü kenar
uzunluğundan küçük olmadığı
eşitsizlikler vardır.
2. ÜNİTE
Üçgende bir kenarın uzunluğu; diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu bağıntıya üçgen eşitsizliği denir.
a – b 1c1a + b,
a – c 1b1a + c ,
b – c 1 a 1 b + c olur.
Örnek-2
Kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm olan bir üçgen oluşturabilir. Kenar uzunluklarının üçgen
eşitsizliklerini sağladığını gösterelim.
Çözüm
(c – b < a < c + b)
13 – 12 < 5 < 13 + 12
ise
1 < 5 < 25,
(c – a < b < c + a)
13 – 5 < 12 < 13 + 5
ise
8 < 12 < 18,
(b – a < c < b + a)
12 – 5 < 13 < 12 + 5
ise
7 < 13 < 17 olur.
Örnek-3
Kenar uzunlukları a = 3 cm, b = 4 cm, c = 7 cm olacak şekilde bir üçgen oluşturulamaz. Böyle bir durumda kenar uzunluklarının arasında üçgen eşitsizliğinin sağlanmadığını gösterelim.
a = 3
için
7 – 4 < 3 < 7 + 4
ise 3 < 3 < 11 olur.
b = 4
için
7 – 3 < 4 < 7 + 3
ise 4 < 4 < 10 olur.
c = 7
için
4 – 3 < 7 < 4 + 3
ise 1 < 7 < 7
olur.
1 44 2 44 3
Çözüm
Eşitsizlikler sağlanmadığından üçgen
oluşmaz.
Örnek-4
A
3
B
&
Yandaki ABC nde BC kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin kaç tane
olduğunu bulalım.
4
a
C
Çözüm
Üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
4 – 3 < a < 4 + 3 olup 1 < a < 7 bulunur.
1 ile 7 arasındaki tam sayılar;
2, 3, 4, 5, 6 olup tam sayı değerleri 5 tanedir.
99
2. ÜNİTE
Örnek-5
Yandaki üçgene ait verilere göre KM = x ’in alabileceği tam sayı değerlerini bulalım.
K
KN = 8 cm
MN = 3 cm
5
LM = 6 cm
KL = 5 cm
Çözüm
L
8
x
6
M
3
&
KLM nde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
5 – 6 1x15+ 6
11 x 1 11 olur.
&
KMN nde üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
3 – 8 1 x 1 3 + 8 5 1 x 1 11 olur.
>
KM = x değeri her iki eşitsizliği de sağlamalıdır. O hâlde;
1 < x < 11
5 < x < 11
5 < x < 11 olur.
5 ile 11 arasındaki tam sayılar 6, 7, 8, 9, 10 olur.
Etkinlik
Üçgenler Oluşturalım
Aşağıdaki şekilleri inceleyelim. Bu şekillere uygun 6 tane geometri
şeridi bulalım. I. şekil için iki geometri şeridinin toplam uzunluğunu
üçüncü geometri şeridinin uzunluğundan az, II. şekil için iki geometri
şeridinin toplam uzunluğunu üçüncü geometri şeridinin uzunluğundan
fazla alalım.
I. şekil
Araç ve Gereçler
• geometri şeridi
• cetvel
• makas
• kâğıt
• kalem
II. şekil
I ve II. şekillere göre geometri şeritlerinden üçgen oluşturmayı
deneyelim.
Hangi durumlarda üçgen oluşturup hangi durumlarda üçgen oluşturamadığınıza dikkat ediniz.
Hangi durumlarda üçgen oluşturup hangi durumlarda üçgen oluşturamamamızın nedenlerini
düşününüz ve arkadaşlarınızla tartışınız.
I ve II. şekillere uygun olarak bulduğumuz
geometri şeritlerinin uzunluklarını ölçelim.
Arkadaşlarımızın verilerini de kullanarak
defterimize yandakine benzer bir tablo
hazırlayalım ve tabloyu tamamlayalım.
Üçgen Oluşturabilen
Parçaların Uzunlukları
Üçgen Oluşturamayan
Parçaların Uzunlukları
3 cm , 4 cm , 5 cm
2 cm , 7 cm , 9 cm
...
...
...
...
Üçgen oluşturan ve oluşturmayan parçaların uzunluklarıyla ilgili nasıl bir sonuca ulaştınız?
Düşüncelerinizi arkadaşlarınızla paylaşarak genel bir stratejiye ulaşmaya çalışınız.
100
N
2. ÜNİTE
Etkinlik
Üçgen Çizebilmek
“Üçgen Oluşturalım” etkinliğindeki verilerden ve ulaştığımız
sonuçlardan yararlanarak üçgen oluşturan ve oluşturamayan kenar
uzunluklarıyla ilgili aşağıdaki tabloyu örneğe uygun olarak dolduralım.
Kenar Uzunlukları
İki Kenar
Uzunluğunun Toplamı
İki Kenar
Uzunluğunun Farkı
a
b
c
a+b
a+c
b+c
a–b
a–c
b–c
3
4
5
7
8
9
1
2
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Araç ve Gereçler
• cetvel
• kâğıt
• kalem
Tablodaki bilgileri kullanalım ve kenar uzunluklarından birini sabit tutalım. Diğer iki kenar
uzunluklarını toplayıp çıkaralım ve sabit tuttuğumuz kenar uzunluğuyla karşılaştıralım. Bu sayısal
değerleri eşitsizlik kullanarak karşılaştıralım.
Üçgenin kenar uzunlukları arasında elde ettiğimiz ilişkiyi arkadaşlarınızla tartışınız.
Üçgende, bir kenarın uzunluğu ve diğer iki kenarın uzunlukları arasında nasıl bir ilişki vardır?
Açıklayınız.
ALIŞTIRMALAR
1
2
Üçgen eşitsizliğinin hangi durumlarda kullanıldığını açıklayınız.
Aşağıda verilen uzunluklarla üçgen çizilip çizilemeyeceğini, üçgen eşitsizliği bağıntısından yararlanarak bulunuz.
a. 3 cm, 5 cm, 7 cm ....................................................................................................................
3
b.
8 cm, 15 cm, 16 cm
...............................................................................................................
c.
9 cm, 12 cm, 13 cm
...............................................................................................................
A
c=5
&
Yanda verilen ABC nin b kenarının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.
b
B a=4
C
101
2. ÜNİTE
4
Kenar uzunlukları a = 12 cm, b = 5 cm, c = 7 cm olan üçgenin çizilip çizilemeyeceğini nedenleriyle
açıklayınız.
Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden kaç tanesi çizilebilir?
5
I. a = 8 cm
b = 15 cm
c = 17 cm
II. a = 15 cm
b = 36 cm
c = 39 cm
III. a = 7 cm
b = 8 cm
c = 17 cm
A) 1
B) 2 C) 3
A
6
B
C
10
A
7
9
3
B
8
Yandaki ABC üçgeninde; AB = 5 cm , BC = 10 cm olduğuna göre
AC = x ’in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
x
5
AB = 9 cm
AC = 12 cm
12
D
C
x
Yandaki üçgene ait verilenlere göre BC = x ’in alabileceği tam sayı değerleri kümesini bulunuz.
BD = 3 cm
4
DC = 4 cm
Aşağıdaki üçgenlerde, AK nun alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin, verilen
hangi sayı ikilileriyle eşleneceğini bulunuz.
A
11
S
7
T
19
(6,7)
A
A
x
13
5
K
x
8
T
24
S
8
6
K
II.
I.
102
D) Hiçbiri
(9,11)
S
3
x
T
5
13
III.
(12, 13)
(11, 13)
K
2. ÜNİTE
2.2.3. Üçgenin Kenarları ve Açıları Arasındaki İlişki
A h = 100°, m ^V
B h = 50°
Yanda, geometri şeritleriyle oluşturulan üçgende m ^V
C
C h = 30° dir. Bu açıların karşılarında bulunan a, b ve c kenar uzunluklave m ^W
a
b
A
c
rından hangisi en uzun hangisi en kısadır?
B
Açının büyüklüğü ile buna karşı gelen kenar uzunluğunun büyüklüğü arasında bir ilişki var mıdır? Düşününüz.
A
Örnek-1
b
=
5
c=
4c
m
&
Yandaki ABC nde, açı ölçüleri ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulalım.
Çözüm
Büyük açı ile büyük kenar arasındaki ilişkiyi bulalım:
B
cm
C
a = 6 cm
En büyük açı m ^V
A h = 85° dir. En uzun kenarın uzunluğu ise a = 6 cm’dir.
C h = 35° dir. En uzun kenarın uzunluğu ise c = 4 cm’dir.
En küçük açı m ^W
A h > m ^V
B h > m ^W
C h olup a > b > c’dir.
Buna göre olup m ^V
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar ve eş
açıların karşısında eş kenarlar bulunur. Bu kuralın tersi de doğrudur.
A
Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dik üçgen denildiğini biliyorsunuz.
Dik üçgende 90° lik açıyı oluşturan kenarlara dik kenarlar denir. 90° nin
karşısındaki kenara da hipotenüs (dik üçgende en uzun kenar) adı verilir.
c
Hipotenüs
b
B
a
C
a ve c dik ke­nar­lar­dır.
Örnek-2
Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dik üçgenin açı ölçüleriyle kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi
bulalım.
A
Çözüm
c = 4 cm
B
cm
A h < m ^W
C h’dür.
a < c ise m ^V
5
BC = 3 cm , AB = 4 cm olup BC < AB (a < c)’dir.
=
kenar vardır.
b
ABC dik üçgeninde en uzun kenar hipotenüstür. Hipotenüsün karşısındaki
&
dik açı, ABC ndeki en büyük açıdır. Bu nedenle büyük açı karşısında uzun
a = 3 cm
C
Dik üçgende en büyük açı dik açıdır. Dik açının karşısında bulunan hipotenüs de en uzun
kenardır.
103
2. ÜNİTE
B
Örnek-3
Yandaki şekilde verilen açı ölçülerinden yararlanarak şeklin en uzun
kenarını bulalım.
c
b
e
A
a
Çözüm
d
D
&
BAD h + m ^\
ABD h + m ^\
ADB h = 180°
ABD nde m ^\
&
BAD h + 35° + 45° = 180° m ^V
A h = 100° bulunur.
ABC nde m ^\
&
a < b < e’dir.
ABD h < m ^\
ADB h < m ^\
BAD h
ABD nde m ^\
&
CBD h + m ^\
BCD h + m ^\
BDC h = 180°
BCD nde m ^\
&
CBD h + 40° + 85° = 180° BCD nde m ^\
m ^\
CBD h = 55° olur.
&
e < d < c’dir.
BCD h < m ^\
CBD h < m ^\
BDC h
BCD nde m ^\
C
B
c
b
e
A
a
Her iki eşitsizlikte; a < b < e ve e < d < c olduğundan en uzun kenar c’dir.
C
d
D
Etkinlik
Kürdandan Üçgen
Noktalı çembersel kâğıda [AO] ve
[OB] kenar uzunlukları 5 cm (bir kürdan
&
boyu) olan geniş açılı ikizkenar bir AOB
ni çizelim. [AB] kenar uzunluğunu ölçerek
not edelim.
Araç ve Gereçler
• kürdan
• noktalı çembersel
kâğıt
• iletki
• gönye
• cetvel
Daha sonra [AO] ve [OB] üzerine kürdan yerleştirerek [AO] kenarındaki kürdanı [OB] ye dik olacak şekilde ([AO] ^ [OB]) kaydıralım.
&
Yeni durumdaki A´OB nin de [A´B] kenar uzunluğunu ölçerek not edelim.
• kâğıt
• kalem
Tekrar [OA´] kenarını oluşturan kürdanı, dar açılı üçgen oluşturacak şekilde [OB] kenarına doğru
&
yaklaştırarak A´´OB nini elde edelim. [A´´B] uzunluğunu ölçerek not edelim.
[AB], [A´B] ve [A´´B] kenar uzunluklarını karşılaştıralım.
m ^\
AOB hnin ölçüsü küçüldükçe bu açıya karşılık gelen [AO], [A´B], [A´´B] kenar uzunlukları nasıl
bir değişiklik gösterdi?
Üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında nasıl bir ilişki
vardır? Tartışınız.
Görev
Çeşitkenar üçgenlerin açıları ve kenar uzunlukları arasında da yukarıdaki etkinlikte bulduğunuz ilişki
var mıdır? Arkadaşlarınızla tartışınız.
104
2. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
Bir üçgende büyük açı karşısında ........... kenar, küçük açı karşısında ........... kenar bulunur.
1
Yukarıdaki ifadede noktalı yere gelebilecek sözcük ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
A) Büyük – küçük
B) Küçük – büyük
C) Kısa – uzun
D) Kısa – küçük
A
2
Yandaki üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
b
c
B
C
a
A
3
37º
25º
B
4
Yanda verilen üçgenin iki açısının ölçüsünden yararlanarak üçgenin kenarlarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
A
2
c=
B
b=
C
Yandaki üçgende verilenlerden yararlanarak üçgenin iç
açılarının ölçüleri arasındaki sıralamayı, küçükten büyüğe
doğru yapınız.
3
C
a
A
5
&
Yandaki ABC nin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe
doğru sıralayınız.
75º
c
B
b
55º
C
a
A
6
d
B
e
D
Yandaki şekilde verilenlerden yararlanarak en uzun
kenarı bulunuz.
b
a
c
C
105
2. ÜNİTE
A
4
3c
m
7
x
B
Yandaki şekilde verilen bütün kenarların uzunlukları tam sayı
olduğuna göre BCD üçgeninin çevre uzunluğunun en fazla kaç cm
olabileceğini bulunuz ve BCD üçgeninin açılarını, büyükten küçüğe
doğru sıralayınız.
cm
D
6c
m
y
C
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
8
(...) Bir üçgende, büyük açının karşısında her zaman büyük kenar bulunur.
(...) Bir üçgende, eşit kenarların karşısında eşit açılar bulunur.
(...) Dik üçgende, en küçük açı dik açıdır.
(...) Dik açının karşısında bulunan kenar, uzun kenardır ve bu kenara hipotenüs denir.
9
A
Yanda verilen üçgen şeklindeki bir tarlanın kenarlarına 1 m
aralıklarla ağaç dikilecektir. AB kenarına (köşeler hariç) 4, BC kenarına 3, AC kenarına 6 tane ağaç dikilebildiğine göre tarlanın üç
köşesinin açılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
C
B
Aşağıdaki şekilde verilenlerden yararlanarak en kısa kenarı bulunuz (B, D, E doğrusaldır.).
10
B
D
A
C
E
106
2. ÜNİTE
2.2.4. Üçgen Çizimleri
Trafikte güvenliği sağlamak için üzerinde tehlike ve uyarı işaretlerinin bulunduğu üçgen şeklinde levhalar kullanılır. Bu levhaların ortak
özellikleri aynı büyüklükte olmalarıdır.
Yanda verilen trafik levhalarının anlamlarını biliyor musunuz? Üçgen şeklindeki bu levhaları çizmek için üçgenin hangi ölçülerini bilmemiz gerekir?
Örnek-1
B h = 50° , m ^W
C h = 60° olan ABC üçgeni çizelim.
a = BC = 3,5 cm , m ^V
Çözüm
Taslak üçgen çizelim ve verilenleri taslak üçgen üzerinde gösterelim. Daha sonra 1, 2 ve 3. adımları
takip ederek ABC üçgenimizi çizelim.
1 m ^V
UBV açısı çizelim.
B h = 50° olacak şekilde \
2
Y
A
BC = a = 3,5 cm olacak şekilde [BV üzerinde
c
C noktasını işaretleyelim.
3 m ^\
BCY h = W
C sı çizelim. [BU ile [CY nın kesiş- B
C
a = 3,5 cm
tiği noktayı A ile gösterelim.
Taslak üçgen
&
Böylece verilen ölçülere uygun ABC ni elde ederiz.
B
A
U
b
a = 3,5 cm
C
V
Bir kenar uzunluğu ile bu kenarın uçlarındaki iki iç açısının ölçüsü verilen bir üçgen her zaman
çizilebilir.
Etkinlik
Üçgen Çizelim 1
Bir kenar uzunluğu 5 cm ve bu kenara bitişik iki açısının ölçüsü 40º ve 70º olan üçgeni çizelim.
5 cm uzunluğunda [BC] çizelim.
B
•
C
•
Açıölçerimizi kullanarak sırayla B ve C noktalarından 40º ve 70º lik
açılar oluşuracak şekilde ışınlar çizelim.
Işınların kesiştiği noktayı A ile isimlendirelim.
Araç ve Gereçler
• cetvel
• açıölçer
• kâğıt
• kalem
A
&
Oluşan ABC nin açılarının ölçülerini açıölçerimizle kontrol edelim.
Çizdiğiniz üçgeni, arkadaşlarınızın üçgenleri ile karşılaştırınız.
Çizim yaparken nelere dikkat ettiğinizi açıklayınız.
B
C
107
2. ÜNİTE
Örnek-2
&
Kenar uzunlukları a = 3,5 cm, b = 3 cm ve c = 4 cm olan ABC ni çizelim.
Çözüm
Önce taslak üçgeni çizelim ve verilenleri taslak üçgen üzerinde gösterelim. Daha sonra 1, 2, 3 ve 4.
adımları takip ederek ABC üçgenini çizelim.
A
B
=
4
a = 3,5 cm
b = 3 cm
c
cm
1
BC = a = 3,5 cm’lik BC doğru parçasını çizelim.
2 B merkezli ve BA = c = 4 cm yarıçaplı çember yayını çizelim.
3 C merkezli ve CA = b = 3 cm yarıçaplı çember yayını çizelim. Çizdiğimiz yayların kesim noktası, üçgenin A köşesidir.
C
Taslak üçgen
4 A noktasını C noktasıyla birleştirerek b kenarını çizelim.
Böylece verilen ölçülere uygun ABC üçgenini elde ederiz.
B
cm
3 cm
4
A
3,5 cm
C
Üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgenin çizilebilmesi için iki kenarın uzunlukları toplamı,
üçüncü kenarın uzunluğundan büyük ve iki kenarının uzunluklarının mutlak değeri farkı, üçüncü
kenarın uzunluğundan küçük olmalıdır (üçgen eşitsizliği). Bu koşullara uygun olarak üç kenarının uzunluğu verilen bir üçgen, her zaman çizilebilir.
Etkinlik
Üçgen Çizelim 2
&
Üç kenarının uzunluğu a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm olan ABC ni
çizelim.
A
• cetvel
• açıölçer
• kâğıt
ABC taslak üçgenini çizelim.
8 cm
B
BC = 5 cm’lik [BC] nı çizelim.
B
•
Araç ve Gereçler
7 cm
5 cm
• kalem
• pergel
C
C
•
Pergelimizi 8 cm açalım. Pergelimizin sivri ucunu B
noktasına koyalım ve bir çember yayı çizelim.
B
108
5 cm
C
2. ÜNİTE
Pergelimizi 7 cm açalım ve pergelimizin sivri ucunu C
noktasına koyalım ve bir çember yayı çizelim.
B
5 cm
Çizdiğimiz yayların kesim noktasını belirleyelim ve kesim
noktasını A noktası olarak isimlendirelim.
C
A
&
A noktasını B ve C noktaları ile birleştirerek ABC ni çizelim.
Çizdiğimiz üçgenin kenar uzunluklarını cetvelle ölçerek
kontrol edelim.
B
C
Çizdiğiniz üçgeni, arkadaşlarınızın üçgenleriyle karşılaştırınız.
Çizim yaparken nelere dikkat ettiğinizi açıklayınız.
Örnek-3
&
m ^V
B h = 70º , a = 3 cm c = 3,5 cm olan ABC ni çizelim.
Çözüm
x
cm
3,5
3,5
c=
?
c=
1 m ^V
B h = 70º olan x V
B y açısını çizelim.
b=
?
B
Önce yardımcı bir taslak üçgen çizelim.
Verilenleri taslak üçgen üzerinde gösterelim.
Daha sonra 1, 2, 3 ve 4. adımları takip ederek
ABC üçgenimizi çizelim.
A
b=
cm
A
a = 3 cm
Taslak üçgen
C
B
a = 3 cm
C
2 Pergelemizi 3 cm açıp sivri ucunu B
noktasına koyalım ve [BY nı kesecek şekilde
bir yay çizelim. Işının, yayı kestiği noktayı C
y ile gösterelim.
3 Pergelimizi 3,5 cm açalım ve sivri ucunu B noktasına koyalım. Daha sonra [BX nı kesecek şekilde
bir yay çizelim. Yayın ışını kestiği noktayı A ile gösterelim.
4 Cetvel kullanarak A ve C noktalarını birleştirelim ve ABC üçgenini oluşturalım.
İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısının ölçüsü verilen üçgen, her zaman çizilebilir.
109
2. ÜNİTE
Etkinlik
Üçgen Çizelim 3
Kenar uzunlukları a = 6 cm, b = 7 cm ve bu iki kenar arasındaki açı
ölçüsü 50º olan üçgeni çizelim.
A
Araç ve Gereçler
• pergel
• cetvel
ABC taslak üçgenini çizelim.
• açıölçer
7 cm
• kalem
• kâğıt
B
6 cm
C
BC = 6 cm’lik [BC] nı çizelim.
B
•
C
•
6 cm
Açıölçerimizi kullanarak C noktasında 50º lik açı oluşturacak
şekilde ışın çizelim.
B
Pergelimizi 7 cm açalım. Pergelimizin sivri ucunu C noktası
üzerine koyarak bir çember yayı çizelim. Yayın, ışını kestiği
noktayı A harfi ile isimlendirelim.
A ve B noktalarını birleştirerek AB kenarını çizelim.
A
C
6 cm
7 cm
B
6 cm
C
7 cm
B
6 cm
C
Çizdiğimiz üçgenin açı ve kenar uzunluklarını kontrol edelim.
Çizim yaparken nelere dikkat ettiğinizi açıklayınız.
Görev
Aşağıda ilgili elemanları verilen üçgenlerin nasıl çizilebileceğini araştırınız. Sonuçları sınıfta tartışınız.
a. Bir kenarının uzunluğu verilen eşkenar üçgen
b. İki dik kenarının uzunluğu verilen dik üçgen
c. Bir kenar uzunluğu ile bir dar açısının ölçüsü verilen dik üçgen
110
2. ÜNİTE
Örnek-4
A h = 40° ve AB = 3 cm olan ABC ikizkenar üçgeni çizelim.
Tepe açısı m ^V
A
BA = 3 cm çizelim.
m ^V
A h = 40° olacak biçimde [AC çizelim.
c=
3 cm
Bu nedenle ABC ikizkenar üçgeninde;
A
b=
İkizkenar üçgende yan kenarların uzunlukları eşit
olacağından b = 3 cm olur.
3 cm
Çözüm
B
C
B
C
Taslak üçgen
A merkezli, b = 3 cm yarıçaplı yay ile [AC nın kesim noktası olan C noktasını bulduk.
B köşesiyle C noktasını birleştirince çizim tamamlanmış oldu.
Siz de taban uzunluğu a = 2,5 cm ve yan kenarlarının uzunluğu 3,8 cm olan ikizkenar üçgen çiziniz.
Yapılan çizimin aşamalarını sırasıyla açıklayınız.
Bunu biliyor muydunuz?
Herhangi bir üçgenin üç açısının her biri üç eş parçaya ayrıldığında,
üçgenin ortasındaki bölgede her zaman bir eşkenar üçgenin oluştuğunu
biliyor muydunuz?
Deneyiniz.
111
2. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıda elemanları verilen bir üçgenin çizim aşamaları karışık olarak verilmiştir. Doğru sıralamanın hangi seçenekte verildiğini bulunuz.
I. Önce uygun bir taslak üçgen çizilir.
II. Çizim, taslakta belirtilen sıraya uygun olarak yapılır.
III. Verilenler, taslak üçgen üzerinde yerlerine yazılır.
IV. Üçgenin çizimi için gerekli koşulların var olup olmadığı araştırılır.
V. Taslak üçgen üzerinde üçgenin çizimi açıklanır.
A) IV – III – V – I – II B) I – III – V – IV – II
2
C) I – II – III – IV – V
D) V – IV – III – I – II
Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgenin en az kaç elemanının bilinmesi gereklidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
3
Bir açısı 120º ve bu açıyı oluşturan kenar uzunlukları 4 ve 6 cm olan üçgeni, aşağıda boş bırakılan
yere çiziniz.
4
Aşağıda verilen elemanlara göre hangi üçgenler çizilebilir, hangi üçgenler çizilemez? Nedenini
açıklayınız.
I. m ^V
A h = 110°
C h = 80°
II. m ^W
B h = 70°
III. m ^V
5
112
m ^V
A h = 110°
m ^W
C h = 80°
b = 6 cm
b = 6 cm
a = 5 cm
Aşağıda kenar uzunlukları verilen eşkenar üçgenleri defterinize çiziniz.
I. a = 5 cm
6
m ^W
C h = 30°
II. a = 7 cm
III. a = 4 cm
b = c = 4 cm ve a = 9 cm kenar uzunluklarına sahip ikizkenar üçgen çizilebilir mi? Nedenini açıklayınız.
2. ÜNİTE
7
Aşağıda elemanları verilen dik üçgenleri, boş bırakılan yerlere çiziniz.
a. m ^V
A h = 90°
b = 5 cm
c = 3 cm
A h = 90°
b. m ^V
C h = 40°
m ^W
a = 4 cm
8
&
B açısı dik olan ABC lerini, aşağıda verilen elemanlarına uygun olarak boş bırakılan yerlere çiziniz.
a. m ^V
A h = 40°
a = 6 cm
C h = 30°
b. m ^W
c = 4 cm
113
2. ÜNİTE
2.2.5. Pisagor Bağıntısı ve Problemler
Pisagor (Pythagoras) bağıntısı, matematikteki en önemli bağıntılardan biridir. Bağıntıyı ispat eden eski Yunanlı matematikçi ve filozof Pisagor, MÖ 580 – 500 yılları
arasında yaşamıştır. Pisagor, Dünya’nın Güneş çevresinde döndüğünü söyleyen ilk
bilim insanlarından biridir.
Pisagor, evrenin en küçük ögelerinin sayılar olduğunu ve evrenin de bu sayılar
arasındaki bağıntılardan oluştuğunu ileri sürmüştür.
Pisagor bağıntısı, dik üçgende hipotenüsün ve dik kenarların uzunlukları arasında bulunan bir bağıntıdır. Bu bağıntıyı araştırınız.
Örnek-1
Kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 br olan dik üçgenin kenarları arasındaki bağıntıyı inceleyelim.
Çözüm
Kenar uzunlukları 5, 12 ve 13 br olan ve kareli kâğıttan oluşturulmuş kareleri aşağıda görüldüğü gibi dik
üçgen oluşturacak şekilde bir araya getirelim.
Üçgenin dik kenarları üzerinde bulunan karelerin alanlarını hesaplayalım:
a kenarı üzerinde a2 = 122 = 144 br2 dir.
b kenarı üzerinde b2 = 52 = 25 br2 dir.
Üçgenin dik kenarı üzerinde bulunan iki karenin alanlarının toplamı;
a2 + b2 = 144 + 25 = 169 br2 dir.
Üçgenin dik açısı karşısında bulunan karenin alanını hesaplayalım:
c kenarı üzerinde, c2 = 132 = 169 br2 dir.
Bu alan, daha önce bulduğumuz iki karenin alanlarının toplamına eşittir.
Bu durumda a2 + b2 = c2 dir.
A
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntıya Pisagor bağıntısı denir.
a
B
c
b
a2 + b2 = c2
114
C
2. ÜNİTE
Etkinlik
Kareler Arasında Üçgen
Araç ve Gereçler
Kareli kâğıda kenar uzunlukları 3,
4 ve 5 br olan kareler çizelim ve bu
kareleri keselim.
• kareli kâğıt
• mavi ve pembe
renkte kalemler
Elde ettiğimiz karesel bölgelerden,
kenar uzunluğu 3 br ve 4 br olanları
pembeyle, 5 br olanı maviyle boyayalım.
• makas
• iletki
Kestiğimiz 3 kareyi, aralarında bir
üçgen oluşturacak şekilde bir araya
getirelim.
Karesel bölgelerin arasında oluşan üçgenin açı ölçülerini,
açıölçerimiz yardımıyla bulalım.
Karelerin arasında hangi çeşit üçgen oluşmuştur?
Dik açıyı oluşturan kenarların uzunluklarını b ve c harfleriyle gösterelim.
Dik açı karşısındaki kenarın uzunluğunu a harfiyle gösterelim.
Pembe renkteki karelerin alanları toplamı ile mavi renkteki karenin alanı arasında nasıl bir ilişki
vardır? Aradaki ilişkiyi, matematiksel olarak ifade ediniz.
Örnek-2
Çözüm
Aşağıdaki ABC üçgeninde verilenler
yardımıyla AC nu hesaplayalım.
&
ABC nde Pisagor bağıntısına göre,
AC
A
AC
AC
3 cm
AC
2
2
2
2
= AB
4 cm
2
dir.
=3 +4
2
= 9 + 16
= 25 (Her iki tarafın karekökünü alırsak)
25 ise AC = 5 cm’dir.
C
Örnek-3
Çözüm
Aşağıdaki ABC üçgeninde verilenler
yardımıyla AB nu hesaplayalım.
A
25 cm
&
ABC nde Pisagor bağıntısına göre,
AC
2
+ AB
7 + AB
2
2
49 + AB
2
7 cm
B
+ BC
2
AC =
B
2
AB
C
2
2
= BC
2
dir.
= 25
2
2
= 625
= 625 – 49 ise AB
2
= 576’dır. Her iki tara-
fın karekökünü alırsak,
AB =
576
AB = 24 cm’dir.
115
2. ÜNİTE
Örnek-4
Yandaki resimde verilen merdivenin uzunluğunu bulalım.
Çözüm
5m
Merdivenin uzunluğunu Pisagor bağıntısından yararlanarak
bulalım.
3m
x2 = 52 + 32
x2 = 25 + 9
x
5m
x2 = 34
x=
34 m’dir.
3m
Örnek-5
Yanda, açılıp kapanabilir bir sandıklı yatağın açık durumdaki
görünümü verilmiştir. Verilen bilgilere göre sandık açık olduğunda
kapağının yerden yüksekliğinin kaç cm olduğunu bulalım.
20
Ka 0 cm
pa
k
40 cm
50 cm
Çözüm
Sandık kapağı açıldığında dik üçgen oluşmaktadır. Oluşan dik
üçgende hipotenüs uzunluğu verilmiştir. Dik kenarlardan biri de x
ile belirtilen uzunluktur.
x = 200 – 40 = 160 cm
Ka
pa
y
Dik üçgendeki diğer dik kenarı, Pisagor bağıntısından yararlanarak bulalım.
40 cm
y2 = 14 400
y=
14 400
y = 120 cm’dir.
y
200 cm
200 cm
160 cm
Kapağın yerden yüksekliğini bulmak için sandığın yüksekliğini de dikkate almalıyız.
120 + 50 = 170 cm’dir.
116
20
0
cm
x
y2 + 1602 = 2002
y2 = 40 000 – 25 600
k:
50 cm
2. ÜNİTE
Örnek-6
Çözüm
Aşağıdaki koordinat düzlemi üzerinde verilen
A ve B noktaları arasındaki uzaklığın kaç br olduğunu bulalım.
y
y
B
4
2
B(8, 4)
A
2
0
A(2, 2)
C
8
x
x
0
Pisagor bağıntısından;
AB
2
= AC
2
+ BC
2
dir.
AC = 8 – 2 = 6 br
BC = 4 – 2 = 2 br
AB
2
= 62 + 22 = 36 + 4 = 40
40 = 2 10 br bulunur.
AB =
Örnek-7
Koordinat düzleminde A(0, 5), B(6, 3) ve C(0, –5) noktalarının yerlerini belirleyerek A ile B ve B ile C
noktaları arasındaki uzaklıkları bulalım.
Çözüm
Koordinat düzleminde verilen noktaları ve bu noktalar arasındaki uzaklıkları gösterelim.
y
B noktasından y eksenine dikme inerek iki dik üçgen
oluşturalım.
A(0, 5)
ADB dik üçgeninde A ile B noktası arasındaki uzaklığı
bulalım.
B(6, 3)
D(0, 3)
AB
2
= AD
2
+ BD
2
AD = 5 – 3 = 2
0
6
x
BD = 6 – 0 = 6
AB
2
= 22 + 62 = 4 + 36 = 40
AB =
C(0, –5)
40 = 2 10 br
BDC dik üçgeninde B ile C noktası arasındaki uzaklığı bulalım.
BC
2
= BD
2
+ DC
2
DC = DO + OC = 3 + 5 = 8
BC
BC
2
2
= 62 + 82 = 36 + 64 = 100
= 100
BC = 10 br
117
2. ÜNİTE
Örnek-8
Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangilerinin dik üçgen olduğunu bulalım.
a) 10 cm, 24 cm, 26 cm
b) 4 cm, 5 cm, 7 cm
Çözüm
>
Pisagor bağıntısını kullanarak üçgenlerin dik üçgen olup olmadığına karar veririz.
102 + 242 = 262
262 = 676
O hâlde verilen üçgen, dik üçgendir.
>
a) 102 + 242 = 100 + 576 = 676
b) 42 + 52 = 16 + 25 = 31
42 + 52 ! 132
72 = 49
O hâlde verilen üçgen, dik üçgen değildir.
Problem-1
Üçgen Sargı Bezi
1m
1m
1m
1m
Acil durumdaki hastalara ya da kazaya uğrayan
kimselere anında yapılan geçici tıbbi müdahaleye
ilk yardım denir. İlk yardım çantasında bulunması
gereken en önemli malzemelerden biri de üçgen
sargı bezidir. Üçgen sargı bezi, kenar uzunluğu
1 m olan bir karenin köşegen uzunluğu boyunca
kesilmesiyle elde edilir. Üçgen sargı bezinin
hipotenüs uzunluğunu bulalım.
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
• Köşegeni bulunacak olan geometrik şekil
karedir.
• Karenin kenarının uzunluğu:1 m
İstenen
• Üçgen sargı bezinin hipotenüs uzunluğu
Plan Yapalım
u Kenar uzunluğu 1 m olan bir karenin köşegen uzunluğunu çizmeliyiz. Kare içinde oluşan dik üçgenlerden birini ve Pisagor bağıntısını kullanarak köşegen uzunluğunu bulmalıyız.
118
2. ÜNİTE
Planı Uygulayalım
D
C
e2 = a2 + a2
e
a=1m
ABD dik üçgeninde, Pisagor bağıntısını uygulayalım:
2
2
2
BD = AB + AD
e2 = 2a2
2a
e=
A
a=1m
B
2
e = a 2 olur.
a = 1 m ise e =
2 m’dir.
Herhangi bir karenin köşegen uzunluğu, kenar uzunluğunun
2 katıdır.
Kontrol Edelim
u Kenar uzunluğu 5 cm olan bir kare alalım ve karenin köşegen uzunluğunu bulalım.
D
C
DB
2
= AB
2
+ AD
e2 = 52 + 52
e2 = 50
e
a = 5 cm
A
a = 5 cm
e=
5
2
•
2
2
Karenin köşegen uzunluğu, kenar uzunluğunun 2 katı çıkmıştır. Bu nedenle yapılan
işlem doğrudur.
B
Problemi bir de kendi stratejinizi kullanarak çözünüz.
Görev
Üçgen sargı bezinin nasıl kullanıldığını araştırınız.
Problem-2
Bir tekne ustası sipariş üzerine, yelkenli tekne yapmak istemektedir. Yanda
2
verilenlere göre ustanın kaç m lik yelken bezine ihtiyacı olduğunu bulalım.
45º
Çözüm
2 6
Problemi Anlayalım
Verilenler
İstenen
• Yelken bezi ikizkenar dik üçgen şeklindedir.
• Üçgenin hipotenüsü 2 6 dır.
• Kaç m2 lik yelken bezine ihtiyaç olduğu
u Problemin şemasını yapalım.
x
45º
2 6 m
x
45º
119
2. ÜNİTE
Plan Yapalım
u Pisagor bağıntısından yararlanarak üçgenin dik kenar uzunluklarını buluruz. Dik kenar uzunluklarından yararlanarak üçgenin alanını yani gerekli yelken bezinin alanını buluruz.
Sonucu Tahmin Edelim
Dik üçgende en uzun kenar hipotenüstür. Hipotenüs uzunluğu 2 6 ise dik kenar uzunluğunu yaklaşık
2 4 = 2 2 = 4 olarak alabiliriz.
•
Üçgenin alanı:
4 4 = 16 = 8 m2 dir. O hâlde yaklaşık 8 m2 lik yelken bezine ihtiyaç vardır.
2
2
•
Planı Uygulayalım
Dik kenar uzunluklarına x diyelim.
45º
x
Pisagor bağıntısından;
2 6m
x
2
2
2
x + x = (2 6 )
2x2 = 4 • 6 = 24
45º
x2 = 12
x = 12 = 2 3 m
2 3 2 3
= 4 3 = 2 3 = 6 m2
Üçgenin alanı;
2
2
•
•
•
Gerekli yelken bezi 6 m2 dir.
Kontrol Edelim
u Tahminimiz, işlem sonucumuza yakındır. Aradaki fark yuvarlamadan kaynaklanmıştır.
u Elde edilen sonucun doğru ve anlamlı olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayalım.
A
x
İkizkenar dik üçgende dik kenarları x olarak alalım ve dik kenar ile hipotenüs
arasındaki bağıntıyı bulalım.
45º
B
Pisagor bağıntısından;
2
2
2
x + x = 2x
x
45º
C
AC
2
= 2x2 ise AC = x 2 dir.
O hâlde ikizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenar uzunluğunun
kenar uzunluğu x ve hipotenüs 2 6 ise,
x 2 =2 6
2 x = 2 6 = 2 12
2
2
` 2j
=
12 = 2 3 m’dir.
O hâlde problemin çözümü doğrudur.
120
2 katına eşittir. Üçgenimizde dik
2. ÜNİTE
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım. Siz de kurulan problemi çözünüz ve benzer bir problem kurunuz. Kurduğunuz problemi çözünüz.
u Yanda verilenlere göre kaydırağın yüksekliği kaç m’dir?
2 5m
?
4m
Etkinlik
Dört Dik Üçgen, Bir Kare
Renkli kartona dik kenarlarını a ve b, hipotenüsünü c olarak
adlandırdığımız dört dik üçgen çizelim (b > a).
Her bir üçgeni makasla keserek kartondan ayıralım.
Renkli kartona kenar uzunluğu (ba) olan kare çizelim ve kareyi
makasla keserek kartondan ayıralım.
Araç ve Gereçler
• renkli karton
• makas
• cetvel
• kalem
Dört dik üçgen ve kareyi kullanarak büyük bir kare oluşturalım.
c
Dört dik üçgenin ve karenin alanını toplayarak büyük karenin alanını
bulunuz.
a
b
Büyük karenin alanını kenar uzunluğundan yararlanarak bulunuz.
b–a
Her iki yoldan hesapladığınız alan bağıntıları birbirine eşit midir?
Dik üçgendeki dik kenar uzunlukları ile hipotenüs uzunluğu arasında
nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.
b–a
c
a
a
b–
c
b
c
Bunu biliyor muydunuz?
• Teknolojinin bize sunduğu olanaklardan biri de şüphesiz televizyondur. Televizyonun boyutu köşegenine göre belirlenmektedir. Bu
amaçla Pisagor teoremi kullanılmaktadır.
• Ulaşımda da Pisagor teoremi iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamada kullanılır.
• İnşaat sektöründe de Pisagor bağıntısı kullanılmaktadır.
• Siz de Pisagor bağıntısının kullanıldığı alanlara örnekler veriniz.
121
2. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
b
1
Yanda verilen şekli, geometri tahtanızda oluşturarak Pisagor bağıntısını bulunuz. Bulduğunuz bağıntıyı, aşağıda boş bırakılan yere yazınız.
a
c
c
b
a
2
Herhangi bir dikdörtgenin köşegen uzunluğuyla kenar uzunlukları arasındaki bağıntıyı bulunuz.
A
B
a
D
b
C
Yanda verilen şekle göre;
3
• Her üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesaplayınız.
• Birbirini takip eden dik üçgenlerdeki hipotenüs uzunlukları arasındaki örüntüyü belirleyiniz.
• Aynı renkte olan üçgenlerin hipotenüs uzunlukları arasındaki örüntüyü belirleyiniz.
4
D
12 cm
C
Yandaki ABCD yamuğunda;
[AC] ^ [BC] , m ^W
D h = 900,
AD = 16 cm, DC = 12 cm,
16 cm
5
Köşegen uzunlukları e = 10 cm, f = 24 cm olan eşkenar dörtgenin bir kenarının uzunluğu kaç
santimetredir?
A
122
AB = 25 cm olduğuna göre;
a. AC = ?
25 cm
B
b. BC = ?
2. ÜNİTE
D
6
Yandaki ABC eşkenar üçgen;
C
[BC] ^ [CD] , BC = CD dur.
&
BCD nin alanı 8 cm2 ise ABC eşkenar üçgeninin çevresinin
uzunluğu kaç santimetredir?
A
B
C
7
Yandaki şekilde verilen eşkenar üçgenin yüksekliği
ise bir kenar uzunluğu kaç birimdir?
h
A
3 br
B
H
8
Yandaki küpün a harfi ile belirtilen kenar uzunluğu ile e harfi ile belirtilen
uzunluğu arasındaki bağıntıyı bulunuz.
e
a
a
a
9
10
İkizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun bulunabilmesi için hangi bilginin verilmesi gerekir?
Örnek vererek açıklayınız.
A
3 cm
x
B
3 cm
y
Yandaki şekilde verilenlere göre x + y + z kaç santimetredir?
z
C 1 cm D
2 cm
E
123
2. ÜNİTE
D
11
2x
E
h
H
Şekilde DEF bir eşkenar üçgendir. DEF üçgeninin bir kenarının uzunluğu 2x olduğuna göre üçgenin yüksekliği “x” cinsinden
neye eşittir?
2x
F
12
Koordinat düzleminde A(0, 6), B(8, 2) ve C(0, – 4) noktalarının yerlerini belirleyerek A ile B ve B
ile C noktaları arasındaki uzaklıkları bulunuz.
13
Bir bayrak üreticisi köşegen uzunluğu 10 3 cm olan
Türk bayrağından 100 adet sipariş almıştır. Üreticinin
bayrak yapımı için kaç m2 lik kumaşa ihtiyacı vardır?
(Bayrak Kanunu’na göre Türk bayrağının uzunluğu genişliğinin 1,5 katıdır.)

Oyun
Aşağıdaki şekli A4 kâğıdına çiziniz.
İki kişiyle oynanan bu oyunda, her oyuncunun iki oyun taşı olur. Oyuncuların taşları birbirine
karışmayacak şekilde seçilmelidir. Örneğin, farklı renklerde pullar ya da farklı büyüklüklerde madenî
paralar olabilir.
15 cm
Oyuncular taşlarını sırasıyla köşelere birer birer (çizdikleri
şekilde daire içine alınan bölgelere) koyar. 4 taşı yerleştirdikten
sonra üçgenlerin kenarları boyunca kaydırarak yanındaki boşluğa koyar. Oyunun amacı, rakip oyuncunun taşlarının ilerlemesini engellemektir.
15 cm
Oyunun kuralı
15 cm
124
2. ÜNİTE
2.3.
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
2.3.1. Düzlemsel Şekillerin Dönme Altındaki Görüntüsü
Saatteki akrep veya yelkovanın hareketi, dönme dolabın hareketi, yel değirmeninin hareketi, rüzgâr gülünün
hareketi arasındaki benzerlikler ve farklılıklar nelerdir?
Örnek-1
Güneş sisteminde gezegenler Güneş’in etrafında
belirli bir yörüngede dönmektedir. Dönme hareketi
eliptiktir. Dönme hareketinde gezegenlerin biçim ve
boyutları değişmez.
Dünya’yı ve Güneş’i birer nokta olarak alalım ve noktalı kâğıtta dönme altında, Dünya’nın Güneş’e göre konumunu belirleyelim.
Çözüm
Dünya
D
dönme
D
D
G
Güneş
D
D
D
Dünya’nın, Güneş etrafında eliptik bir hareket yaptığını biliyoruz. O hâlde bu hareketin merkezi Güneş’tir.
125
2. ÜNİTE
Örnek-2
Saatimizdeki akrep ve yelkovan, saat piminin etrafında dönme hareketi yapar.
Yelkovanı bir doğru parçası olarak alalım ve yelkovanın 12’den 4’e giderken nasıl
bir dönme hareketi yaptığını inceleyelim.
Çözüm
Yelkovan 12’den 4’e giderken saat piminin etrafında belli bir açıyla ( \ açısı) ve
saat yönünde dönme hareketi yapar. Dönme hareketinde yelkovanın biçimi ve boyutu
değişmez.
Örnek-3
Değirmenlerin kolları dönme hareketi gerçekleştirir.
Değirmenin kolları düzlemsel bir şekil olan dikdörtgene model olarak düşünüldüğünde dönme sırasında kollar, biçim ve boyut olarak
hiçbir değişikliğe uğramamaktadır. Ancak değirmenin kolu üzerinde
alınan her bir nokta, dönme sırasında belirli bir açıyla yer değiştirmektedir.
Örnek-4
Eş dört parçaya bölünmüş renk çarkında, okun mavi renkteki kırmızı çizgi üzerinde olması için renk çarkının kaç derece döndürülmesi gerektiğini bulalım.
Çözüm
Eş dört parçaya bölünmüş renk çarkı daire şeklindedir. Dairenin merkezi dönme merkezidir. Renk çarkındaki her bir parça 90º lik daire dilimlerine sahiptir.
Dönme hareketi iki şekilde gerçekleşebilir;
Renk çarkı sağa doğru (saat yönünde) 90º döndürülürse ok, mavi renkteki bölgede verilen çizgi üzerinde
olur. Bu durumda dönme açısı 90º dir.
Renk çarkı sola doğru (saat yönünün tersi) 270º döndürülürse ok, mavi renkteki bölgede verilen çizgi
üzerinde olur. Bu durumda dönme açısı 270º dir.
Şekil hangi nokta etrafında döndürülüyorsa o noktaya dönme merkezi denir.
Dönme hareketi yapan cismin hangi yönde döndüğünü belirtmek için “saat yönü” veya “saat yönünün tersi” şeklinde ifadeler kullanılır.
Döndürülen şeklin ilk ve son görünümü arasında oluşan açıya dönme açısı denir.
126
2. ÜNİTE
Örnek-5
Yanda verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde 90º döndürüp
şeklin görüntüsünü çizelim.
Çözüm
Verilen şekli A noktası etrafında saat yönünde döndürdüğümüzde yeni konumu yandaki gibidir. Şekil ve dönmeden sonra oluşan
görüntüsü eştir. Dönme dönüşümünde şeklin üzerinde bulunan her
bir nokta da aynı dönme açısı ile yer değiştirmektedir.
Örnek-6
Yanda verilen BCDE dikdörtgenini A noktası etrafında saat yönünde 90º döndürüp BCDE dikdörtgeninin yeni konumunu belirleyelim.
Çözüm
Başlangıç noktası A olan ve dörtgenin köşe noktalarından geçen AB, AC, AD
ve AE ışınlarını çizelim. Her bir ışını saat yönünde 90º döndürerek B, C, D ve E
noktalarının yeni konumlarını belirleyelim.
E
B
A
D
E
D
C
B
C
B’
A
B’
C’
B noktasının yeni
konumu B´ noktasıdır.
AB = AB´
C noktasının yeni
konumu C´ noktasıdır.
AC = AC´
E
A
C
A
B’
C’
D’
D noktasının yeni
konumu D´ noktasıdır.
AD = AD´
D
B
C
E
D
B
C
A
D
B
E
B’
E’
C’
D’
E noktasının yeni
konumu E´ noktasıdır.
AE = AE´
127
2. ÜNİTE
E
D
B´, C´, D´ ve E´ noktalarını birleştirelim.
B
A
BCDE dikdörtgeninin A noktası etrafında saat yönünde 90º döndürülmesi altındaki görüntüsü B´C´D´E´ dikdörtgenidir.
C
B’
E’
C’
D’
Dönmede şekil üzerindeki her bir nokta A noktası etrafında saat yönünde 90º
lik dönme gerçekleştirmiştir. BCDE şekli ile B´C´D´E´ şekilleri eştir.
2.3.2. Öteleme, Yansıma ve Dönme
Müziksel (ritmik) zekâ ile matematiksel zekâ arasında paralellik olduğunu biliyor muydunuz?
Müzikte birçok matematiksel bilgi kullanılmaktadır. Örneğin, yukarıda “Hayat Bayram Olsa” şarkısına ait
notaların bir bölümü iki ayrı yazılışta verilmiştir. 2. yazılış, şarkının ilk hâlinin birer nota aşağıya ötelenmesi
ile oluşturulmuştur.
Buna kural bozulmadan ince seslerden şarkı söyleme denilebilir. Örneğin, Türk Sanat Müziğinde sanatçılar, parçalarını bitirirken daha çok ilgi topladığı için normal bitirişi değil de son cümleyi ince bitirmeyi tercih
ederler. Böylece daha etkili bir bitiriş sunmuş olurlar.
Görev
Siz de hoşunuza giden bir parçanın notalarını aşağıya ya da yukarıya öteleyerek yeni durumlar
oluşturunuz.
Örnek-1
Yanda verilen ABCD dörtgenini d doğrusu boyunca sağa doğru 9 birim öteleyerek görüntüsünü çizelim.
D
C
A
B
128
d
2. ÜNİTE
Çözüm
Dörtgenin her bir köşesini 9 birim sağa
öteleyerek görüntüsünü çizelim.
ABCD dörtgeninin 9 birim sağa ötelenmesiyle oluşan görüntüsü A'B'C'D' dörtgenidir.
D'
D
C'
C A'
A
B'
B
d
Şekil ve öteleme sonucunda oluşan görüntüsü eştir.
Ötelemede şeklin yeri değişir.
Örnek-2
A
Yanda verilen ABC üçgenini k doğrusu boyunca sola doğru
5 birim öteleyerek çizelim.
B
C
k
C
k
Çözüm
ABC üçgeninin her bir köşe noktasını k doğrusu boyunca 5
birim sola öteleyerek görüntüsünü çizelim.
ABC üçgeninin 5 birim sola ötelenmesi ile oluşan görüntüsü
A'B'C' üçgenidir.
A'
A
B'
B
C'
Herhangi bir doğru boyunca ötelemede şeklin ve görüntüsünün doğruya
uzaklığı eşittir.
y
Örnek-3
7
A'
5
B'
4
3
)
,3
0
A(
B(6, 3)
2
C'
Çözüm
1
D'
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
B''
A''
2. adım
Yandaki şekilde görüldüğü gibi 1. adımda ABCD yamuğu x ekseninde 7 birim
sola ötelenmiş ve A'B'C'D' yamuğu elde
edilmiştir. 2. adımda A'B'C'D' yamuğu y
ekseninde 5 birim aşağıya ötelenmiş ve
A''B''C''D'' yamuğu elde edilmiştir.
6
1. adım
Koordinatları A(0, 3), B(6, 3), C(2, 0) ve
D(5, 0) olan bir yamuğu, x ekseninde 7 birim sola, y ekseninde 5 birim aşağıya öteleme yaparak görüntülerini belirleyelim ve
yamuğu çizelim.
–1
1
2
3
)
,0
C(2, 0)
4
5
5
D(
6
7
x
–2
–3
–4
C''
D''
–5
–6
–7
129
2. ÜNİTE
ABCD yamuğunun koordinatları ile 1. adım
sonunda oluşan A'B'C'D' yamuğunun koordinatlarını karşılaştıralım ve koordinatların değişimini inceleyelim.
A'B'C'D' yamuğunun koordinatları ile 2. adım
sonunda oluşan A''B''C''D'' yamuğunun koordinatlarını karşılaştıralım ve koordinatların değişimini inceleyelim.
1. adım
–7
2. adım
–5
A(0, 3)
B(6, 3)
C(2, 0)
D(5, 0)
A'(– 7, 3)
B' (– 1, 3)
C' (– 5, 0)
D' (– 2, 0)
>
A'(– 7, – 3)
B' (– 1, 3)
C' (– 5, 0)
D' (– 2, 0)
A''(– 7, – 2)
B''(– 1, – 2)
C''(– 5, – 5)
D''(– 2, – 5)
14 24 3
14 24 3
(x + a, y)
a=–7
(x, y)
(x – 7, y)
1 44 2 44 3
(x, y + b)
b=–5
(x, y)
(x, y – 5)
(x, y)
(x, y)
ABCD yamuğuna 1 ve 2. adımlarda uygulanan ötemeler sonucunda A''B''C''D'' yamuğu elde edilmiştir.
Koordinatlardaki değişim (x • y)
(x – 7, y – 5 ) şeklindedir.
Örnek-4
Koordinatları A(1, 0), B(7, 0) ve C(4, 3)
olan bir üçgeni x ekseninde 3 birim sağa, y
ekseninde 4 birim aşağıya öteleme yapalım
ve görüntüleri belirleyerek çizelim.
A(1, 0)
B(7, 0)
C(4, 3)
(x, y)
4
C
3
2
Çözüm
(x, y)
a=+3
b=–4
y
1
(x + a, y + b)
–4 –3 –2 –1 0
A
–1
1
2
3
4
–2
5
6
C'
7
B
8
9
10
–3
+3
–4
A'(4, – 4)
B' (10, – 4)
C' (7, – 1)
A'
B'
–4
(x + 3, y – 4)
A(x , y) noktasının x ekseninde a birim, y ekseninde b birim öteleme sonucundaki görüntüsünün
koordinatları A''(x + a, y + b) olur.
Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen birim
kadar bütün noktalar paralel ötelenir.
130
x
2. ÜNİTE
Etkinlik
Ötelenen Şekiller
Koordinatları A(2, 0), B(5, 2), C(3, 5) ve D(1, 3) olan dörtgeni çizelim.
ABCD dörtgenini, x ekseninde 2 birim sağa, y ekseninde 5 birim
aşağıya öteleyerek A'B'C'D' dörtgenini çizelim.
Araç ve Gereçler
• kalem
• cetvel
ABCD ve A'B'C'D' dörtgeninin köşelerinin koordinatlarını karşılaştırınız. Aralarında nasıl bir bağıntı vardır? Açıklayınız.
?
y
6
4
3
D
B
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
A(2, 0)
B(5, 2)
C(3, 5)
D(1, 3)
C
5
A
–1
–2
–3
1
2
3
4
C'
5
6
D'
–6
x
B'
–4
–5
7
A'(?, ?)
B' (?, ?)
C' (?, ?)
D' (?, ?)
A'
Siz de ABCD dörtgenini x ekseninde 6 birim sola, y ekseninde 1 birim yukarıya öteleyerek
A''B''C''D'' dörtgenini çiziniz.
A''B''C''D'' dörtgeninin koordinatlarını bulunuz.
ABCD ve A''B''C''D'' dörtgenlerinin köşelerinin koordinatlarını karşılaştırınız. Aralarında nasıl bir
bağıntı vardır? Açıklayınız.
ABCD ve A''B''C''D'' dörtgenlerinin eş ve benzerlik durumlarını açıklayınız.
131
2. ÜNİTE
Örnek-5
Koordinatları A(1, 1), B(5, 1), C(6, 4) ve D(2, 4) olan bir paralelkenarın y eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çizelim. Koordinatlar arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
Çözüm
C'
y
D'
D
C
(– 1) • x
A(1, 1)
B(5, 1)
C(6, 4)
D(2, 4)
A'(– 1, 1)
B' (– 5, 1)
C' (– 6, 4)
D' (– 2, 4)
B'
A'
0
A
B
x
Siz de ABCD paralelkenarının x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz.
Örnek-6
Koordinat düzleminde, koordinatları A(– 6, – 1),
B(– 1, – 1), C(– 1, – 3), D(– 3, – 3), E(– 3, – 5),
F(– 4 – 5), G(– 4 – 3), K(– 6, – 3) olarak verilen
çokgenin x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çizelim. Koordinatlar arasındaki ilişkiyi
belirleyelim.
A(– 6, – 1)
B(– 1, – 1)
C(– 1, – 3)
D(– 3, – 3)
E(– 3, – 5)
F(– 4, – 5)
G(– 4, – 3)
K(– 6, – 3)
A'(– 6, 1)
B' (– 1, 1)
C' (– 1, 3)
D' (– 3, 3)
E' (– 3, 5)
F' (– 4, 5)
G' (– 4, 3)
K' (– 6, 3)
K'
A'
–6
A
K
F'
E'
G'
D'
y
C'
B'
x
–1 0
–1
–4 –3
B
G
D C
F
E
–3
–5
(– 1) • y
A(x , y) noktasının x ekseninde yansıması A'(x, – y) olur. x eksenine göre yansıma alınırken x
değişmez, y’nin ise işareti değişir.
A(x, y) noktasının y eksenine göre yansıması A''(– x, y) olur. y eksenine göre yansıma alınırken
y değişmez, x’in ise işareti değişir.
132
2. ÜNİTE
Etkinlik
Yansıma Oluşturalım
Koordinat düzleminde koordinatları A(3, 3), B(4, 1) ve C(6, 2) olan bir
ABC üçgeni çizelim.
Araç ve Gereçler
Üçgenimizin x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsü olan
A'B'C' üçgenini çizelim.
• kareli kâğıt
• cetvel
• kalem
ABC üçgenin x eksenine göre yansıması olan A'B'C' üçgeninin koordinatlarını bulunuz.
y
ABC ve A'B'C' üçgenlerinin köşelerinin koordinatlarını karşılaştırınız. Aralarında nasıl bir
bağıntı vardır? Açıklayınız.
A
C
?
A(3, 3)
B(4, 1)
C(6, 2)
A'(•, •)
B' (•, •)
C' (•, •)
B
0
B'
A'
x
C'
Siz de ABC üçgeninin y eksenine göre yansıması olan A''B''C'' üçgenini çizerek koordinatlarını
bulunuz.
ABC ve A''B''C'' üçgenlerinin köşelerinin koordinatlarını karşılaştırınız. Aralarında nasıl bir bağıntı
vardır? Açıklayınız. Koordinatlardaki farklılık ve benzerlikleri belirleyiniz.
Aşağıda uçakların kontrol kulelerindeki radar görüntülerini simgeleyen bir resim verilmiştir. Resmi inceleyiniz. Uçağın A, B, C, D noktalarına ilerlemesiyle orijin etrafında dönmesi arasındaki ilişkiyi görmeye çalışınız. Orijin etrafında dönmeyle ilgili günlük yaşamdan örnekler düşününüz. Düşüncelerinizi arkadaşlarınızla
paylaşınız.
B
A
O 1 2 3 4 5 C
D
133
2. ÜNİTE
Örnek-7
Koordinatı A(3, 2) olan noktanın orijin etrafında:
a) Saat yönünde 90° lik dönmede görüntüsünü,
b) Saat yönünde 180° lik dönmede görüntüsünü,
c) Saat yönünde 270° lik dönmede görüntüsünü,
ç) Saat yönünde 360° lik dönmede görüntüsünü bulalım. Oluşan noktaların koordinatları arasındaki
ilişkiyi belirleyelim.
Çözüm
a) Saat yönünde 90° lik dönmede görüntüsü:
y
A''' ^ – 2, 3 h
A ^ 3, 2 h
2
1
–4 –3 –2 –1 0
A'' ^ – 3, – 2 h
A noktamızın koordinatları yer değiştirdi ve saatin yönünde döndüğü için noktamız 4. bölgeye geldi. 4. bölgede
y koordinatı eksi işareti aldı. O hâlde;
90°
A' ^ y, – x h oldu.
A(x, y)
4
3
1
–1
–2
–3
–4
2
3
x
4
A' ^ 2, – 3 h
A(3, 2)
A' ^ 2, – 3 h
b) Saat yönünde 1800 lik dönmede görüntüsü:
A' ^ 2, – 3 h 90°
A'' ^ – 3, – 2 h
A(3, 2) 90°
180°
180° lik dönme iki defa 90° lik dönme demektir. Bu yüzden koordinatlar eski yerine gelir. Ancak işaret
değiştirir. 180° lik dönme aynı zamanda noktanın orijine göre yansımasını almak demektir. Orijine göre
yansıma alınırken koordinatlar işaret değiştirir. O hâlde;
A(x, y)
180°
A'' ^ – x, – y h oldu.
c) Saat yönünde 270° lik dönmede görüntüsü:
A(3, 2)
A' ^ 2, – 3 h
270°
A'' ^ – 3, – 2 h
A''' ^ – 2, 3 h
270° lik dönme üç defa 90° lik dönme demektir. Noktamız saat yönünde döndüğü için 2. bölgeye geldi.
Noktamızın koordinatları yer değiştirdi ve 2. bölgede x koordinatı eksi işareti aldı. O hâlde;
A(x, y)
270°
A ^ – y, x h oldu.
ç) Saat yönünde 360° lik dönmede nokta ilk konumuna gelir.
A(3, 2)
A(x, y)
134
360°
360°
A(3, 2)
A(x, y)
2. ÜNİTE
Örnek-8
Yandaki AB doğru parçasının orijin etrafında;
y
a) Saat yönünde 90° lik dönmede görüntüsünü,
7
6
b) Saatin tersi yönünde 90° lik dönmede
görüntüsünü,
B(7, 6)
5
4
c) Saat yönünde 180° lik dönmede görüntüsünü,
3
2
ç) Saatin tersi yönünde 270° lik dönmede
görüntüsünü,
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
d) Saat yönünde 270° lik dönmede görüntüsünü bulalım.
A(2, 1)
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
–5
–6
–7
Çözüm
AB doğru parçasının orijin etrafında verilen yönde ve açılarda dönme altında görüntüsünü alırken doğru
parçasının uç noktaları olan A ve B noktalarından yararlanılır.
a) Saat yönünde 90° lik dönmede görüntüsü:
y
7
F(–6, 7)
6
B(7, 6)
5
4
3
E(–3, 2)
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
G(–2, –3)
–1
–2
1
2
3
4
5
6
C(3, –2)
–3
–4
–5
H(–7, –6)
–6
–7
A(2, 3)
B(7, 6)
90°
90°
C(3, – 2)
D(6, – 7)
AB doğru parçasını orijin etrafında 90° döndürdüğümüzde 4. bölgede CD doğru parçası
oluşur.
A(2, 3)
2
D(6, –7)
7
x
b) Saatin tersi yönünde 90° lik dönmede
görüntüsü:
A(2, 3)
E(– 3, 2)
B(7, 6)
F(– 6, 7)
AB doğru parçasını orijin etrafında saatin
tersi yönde 90° döndürdüğümüzde 2. bölgede
EF doğru parçası oluşur.
135
2. ÜNİTE
c) Saat yönünde 180° lik dönmede görüntüsü,
A(2, 3)
G(– 2 , – 3)
B(7, 6)
H(– 7, – 6)
AB doğru parçasını orijin etrafında saat yönünde 180° döndürdüğümüzde 3. bölgede GH doğru parçası
oluşur.
ç) Saatin tersi yönünde 270° lik dönmede görüntüsü,
A(2, 3)
C(3 , – 2)
B(7, 6)
D(6, – 7)
Saatin tersi yönde 270° lik dönme
ile saat yönünde 90° lik dönme aynı
harekettir. Bunun sebebi her iki açının
toplamının 360° ye tamamlanmasıdır.
AB doğru parçasını orijin etrafında saatin tersi yönünde 270° döndürdüğümüzde 4. bölgede CD doğru
parçası oluşur.
d) Saat yönünde 270° lik dönmede görüntüsü,
A(2, 3)
E(– 3 , 2)
B(7, 6)
F(– 6, 7)
Saat yönünde 270° lik dönme ile saatin
tersi yönde 90° lik dönme aynı harekettir.
AB doğru parçasını orijin etrafında saat yönünde 270° döndürdüğümüzde 2. bölgede EF doğru parçası
oluşur.
Örnek-9
Koordinatları O(0, 0), A(– 1, 3), B(– 3, 0) olan üçgenin
orijin etrafında iki defa saat yönünde 90° lik dönme altındaki görüntülerini bulalım. Oluşan şekillerin koordinatları
arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
Çözüm
3
B'
A'
1
–1
2
)
,0
O(0, 0)
A'' ^ 1, – 3 h
B'' ^ 3, 0 h
(– x, – y)
1
B
–5 –4 –3 –2 –1 0
(0
136
A
O
O(0, 0)
A' ^ 3,1 h
B' ^ 0, 3 h
(y, – x)
İkinci dönmede (180° lik dönmede) koordinatlar:
O(0, 0)
A(– 1, 3)
B(– 3, 0)
(x, y)
5
4
2
ilk dönmede (90° lik dönmede) koordinatlar:
O(0, 0)
A(– 1, 3)
B(– 3, 0)
(x, y)
y
–2
–3
–4
–5
A''
3
B''
4
5
x
2. ÜNİTE
Örnek-10
y
5
Koordinatları O(0, 0), P(3, 0), R(5, 4), S(2, 4) olan paralelkenarın orijin etrafında saat yönünün tersinde 270° lik
dönme altındaki görüntüsü olan OP'R'S' paralelkenarını
çizelim ve koordinatları arasındaki ilişkiyi bulalım.
Çözüm
O(0, 0)
P(3, 0)
R(5, 4)
S(2, 4)
(x, y)
S
4
R
3
2
2700
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
O(0, 0)
P' ^ 0, – 3 h
R' ^4, – 5 h
S' ^ 4, – 2 h
(y, – x)
–1
1
2
3
P
4
S'
–2
P'
x
5
–3
–4
R'
–5
Koordinatlarından biri (x, y) olan bir şekil, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde
koordinatı (y, –x), 180° döndürüldüğünde koordinatı (– x, – y), 270° döndürüldüğünde koordinatı
(–y, x) olur. 360° döndürüldüğünde ise (x, y) koordinatı değişmez.
Etkinlik
Üçgeni Döndürelim
Araç ve Gereçler
Koordinat düzleminde koordinatları O(0, 0), B(4, 0) ve C(4, 4) olan
bir üçgen çizelim.
• cetvel
• kareli kâğıt
Üçgenimizin orijin etrafında saat yönünün tersinde 180º dönme
altındaki görüntüsü olan üçgeni çizelim ve üçgeni OB'C' olarak
adlandıralım.
• kalem
OBC üçgeninin orijin etrafında 180º dönme altındaki görüntüsü olan OB'C' üçgeninin koordinatlarını bulunuz.
OBC ve OB'C' üçgenlerinin köşelerinin koordinatlarını karşılaştırınız. Aralarında nasıl bir bağıntı
vardır? Açıklayınız.
?
O(0, 0)
B(4, 0)
C(4, 4)
y
5
O' (?, ?)
B' (?, ?)
C' (?, ?)
Siz de OBC üçgeninin orijin etrafında saat
yönünün tersinde 90º dönme altındaki görüntüsü olan OB''C'' üçgenini çizerek koordinatlarını bulunuz.
OBC ve OB''C'' üçgenlerinin köşelerinin
koordinatlarını karşılaştırınız. Aralarında nasıl
bir bağıntı vardır? Açıklayınız.
C
4
3
0
B'
180
–5 –4 –3 –2 –1
2
1
0 1
–1
2
3
4
B
5
x
–2
–3
C'
–4
–5
137
2. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Koordinatları A(1, 0), B(5, 0), C(4, 2) ve D(2, 2) olan bir yamuğu x ekseninde 2 birim sağa, y ekseninde 3 birim aşağıya öteleyiniz. Yamuğun görüntüsünü çiziniz.
2
Bir ABCD dörtgeni x ekseninde 3 birim sola, y ekseninde 5 birim aşağıya ötelendiğinde koordinatları A' (1, – 4), B' (8, – 4), C' (7, – 2) ve D' (3, – 2) olan A'B'C'D' dörtgeni olur. ABCD dörtgeninin
koordinatlarını bularak çiziniz.
3
Koordinatları A(1, 2), B(3, 4), C(5, 3) ve D(3, 0) olan dörtgeni y ekseninde sıra ile 1 birim, 2 birim, 3
birim ve 4 birim aşağıya doğru öteleyerek görüntülerini aynı koordinat düzleminde çiziniz. Dörtgenin
ilk durumuyla 4 birim aşağıya ötelenmiş durumunu karşılaştırarak yansımayla ilişkilendiriniz.
4
Yandaki koordinat sisteminde verilen çokgeni x ekseninde 7 birim sağa
ve y ekseninde 2 birim aşağıya öteleyiniz. Çokgenin görüntüsünü çiziniz.
y
7
B
A
6
5
4
H
FE
G
C
D
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
–5
–6
–7
5
138
Koordinatları A(2, 1), B(3, 2), C(2, 3) ve D(1, 2) olan bir dörtgenin x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz.
2. ÜNİTE
6
Yandaki koordinat sisteminde verilen çokgenin;
a. y eksenine göre yansıma altındaki görünütüsünü çiziniz.
b. x eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz.
y
7
6
B
A
5
C
4
3
A
G
H
D
E
F
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
2
1
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
–5
–6
–7
7
Koordinatları A(2, 3), B(3, 2) ve C(1, 1) olan bir üçgenin y eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz. Çizdiğiniz üçgen, ABC üçgeni ile eş bir üçgen midir? Yanıtınızın nedenini açıklayınız.
8
Koordinatları A(1, – 1), B(4, – 1), C(2, – 3) ve D(3, – 3) olan bir yamuğun x eksenine göre yansıma
görüntüsünün y eksenine göre yansıma altındaki görüntüsünü çiziniz.
y
7
6
9
5
Koordinatları A(– 5, – 5), B(– 3, – 5),
C(– 1, – 3), D(– 1, – 1), E(– 3, – 1), F(– 5, – 3) olarak verilen altıgenin, orijin
çevresinde 90º lik dönme altındaki görüntüsünü çiziniz.
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
–1
E
D
–2
F
–3
C
–4
A
B
2
3
4
5
6
7
x
–5
–6
–7
139
2. ÜNİTE
10
y
Yandaki koordinat sisteminde verilen
ABCDEFG çokgeninin orijin etrafında
180º lik dönme altındaki görüntüsünün y
eksenine göre yansımasını çiziniz.
6
G
4
3
2
C
A
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
E
F
5
D
B
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
–5
–6
11
y
Yandaki koordinat sisteminde verilen
şekil, orijin etrafında saat yönünde 270º
döndürülerek oluşturulmuştur. Başlangıçtaki görüntüyü çiziniz.
G
F
H
I
D
i
A
E
C
B
6
5
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
12
Koordinatları O(0, 0), A(5, 0), B(4, 2) ve C(0, 2) olan bir yamuğun orijin çevresinde 180º dönmesi
altındaki görüntüsü olan OA'B'C' yamuğunu çiziniz.
13
Koordinatları O(0, 0), A(3, 3), B(2, 5) olan bir üçgenin orijin çevresinde 270º dönmesi altındaki
görüntüsü olan OA'B' üçgenini çiziniz.
14
Yanda verilen ABCDE şeklini d doğrusu boyunca 5 birim sağa öteleyiniz.
d
140
2. ÜNİTE
2.3.3. Ardışık Öteleme, Yansıma ve Dönme
d
Yanda verilen fotoğrafı ve yürüyen kalp resmini inceleyiniz. Bu kalplere neden
yürüyen denildiğini düşününüz. Bu resim ve fotoğraftaki öteleme ve yansıma özelliklerini görmeye çalışınız.
Örnek-1
Yandaki şekilde, üçgenin doğru boyunca yansımasından
sonra ötelenmesi çizilmiştir.
Yandaki şekilde, üçgenin doğru boyunca ötelenmesinden
sonra yansıması çizilmiştir.
Yandaki şekilde, yukarıdaki şekillerde verilen üçgenin
yansımasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra
yansımasının aynı olduğu görülmektedir.
Ötelemeli yansımada nokta ve yansıma doğrusundan başka hiçbir doğru sabit kalmaz.
Bir şeklin bir doğru boyunca yansımasından sonra ötelenmesiyle ötelenmesinden sonra yansıması aynıdır.
Örnek-2
Yandaki şekilde ötelemeli yansımayla süsleme yapılmıştır. Süslemeyi inceleyiniz.
Siz de ötelemeli yansıma yaparak bir süsleme hazırlayınız.
141
2. ÜNİTE
Örnek-3
Yanda verilen şeklin sırasıyla önce yansıma sonra da dönme altındaki görüntüsünü oluşturalım.
Çözüm
,
A
Şeklin önce , doğrusuna göre
yansımasını aldığımızda yukarıdaki görüntüyü elde ederiz.
Elde ettiğimiz şeklin A noktası etrafında saat yönünde 180º
lik dönme altındaki görüntüsünü
çizelim.
Örnek-4
Yanda verilen şeklin önce yansımasını sonra da ötelemesini alarak
görüntüsünü oluşturalım.
142
Yansıma ve dönme hareketlerinden sonra şeklimizin görüntüsü yukarıdaki gibi oluşur.
2. ÜNİTE
Çözüm
d
,
Şeklin önce d doğrusuna göre
yansımasını aldığımızda yukarıdaki görüntüyü elde ederiz.
Şeklimizi , doğrusuna göre 3
birim aşağıya doğru öteleyelim.
Örnek-5
Yansıma ve öteleme hareketinden sonra şeklimizin görüntüsü yukarıdaki gibi olur.
y
Yandaki koordinat sisteminde I numaralı
şekle, çeşitli öteleme ve yansımalar uygulanarak II, III ve IV. şekiller elde edilmiştir. Bu şekillerin I. şekilden nasıl elde edildiğini bulunuz.
6
5
4
Çözüm
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
II nolu şekil, y eksenine göre 5 birim aşağıya ötelenerek III nolu şekil elde edilmiştir.
A
–1
–2
– III –
III nolu şekil, orijin etrafında 270º döndürülerek IV nolu şekil elde edilmiştir.
G
D
3
– II –
I nolu şeklin y eksenine göre yansıması alınarak II nolu şekil elde edilmiştir.
H
1
F
E
–I–
2
3
4
C
B
5
6
x
7
– IV –
–3
–4
–5
–6
Etkinlik
Ötelemeli Yansıma Yapalım
Örüntü bloklarımızdan ya da tangram parçalarımızdan herhangi
bir çokgeni alalım.
Araç ve Gereçler
• kalem
Bu çokgeni, noktalı kâğıda çizerek yerini belirleyelim. Çizdiğimiz
çokgen modelimizin altına 1. şekilde olduğu gibi bir doğru çizelim.
• noktalı kâğıt
Modelimizi 6 birim sağa öteleyelim sonra doğruya göre yansımasını
alalım ve çizelim.
tangram parçası
• örüntü blokları ya da
• cetvel
143
2. ÜNİTE
Bu işlemi 2 adım daha devam ettirelim.
1. Şekil
Ortaya çıkan 2. şekli inceleyiniz. Şeklinizde sabit kalan
noktalar ve doğrular var mıdır? Tartışınız.
2. Şekil
1. şekildeki modelimizi kullanarak önce doğruya göre
yansıma ve sonra 6 birim sağa doğru öteleme yapalım ve
çizelim.
Bu işlemi 2 adım daha devam ettirelim.
3. Şekil
Ortayı çıkan 3. şekli inceleyiniz. Şeklinizde sabit kalan
noktalar ve doğrular var mıdır? Tartışınız.
2 ve 3. şekil arasında farklılıklar var mı? Varsa nedenini
açıklayınız.
Görev
Kartondan bir kutu hazırlayınız. Patatesten oluşturacağınız geometrik şekilleri ve sulu boyanızı kullanarak bu kutu üzerinde ötelemeli yansımayla süslemeler oluşturunuz. Daha sonra kutuyu vernikleyerek
kurutunuz.
ALIŞTIRMALAR
1
144
Yandaki izometrik bölümdeki üçgenin, verilen doğruya göre ötelemeli yansımasını alınız. Bunu en az 4 adım
devam ettiriniz.
d
2. ÜNİTE
2
3
Aşağıdaki noktalı bölüme şeklin doğruya göre ötelemeli yansımasını çiziniz. Oluşan şekli renklendirerek süsleme yapınız.
Yanda verilen şekli kullanarak,
a) Yansıma ve dönme,
b) Öteleme ve yansıma,
c) Yansıma, dönme ve öteleme hareketleriyle süsleme yapınız.
4
Yanda koordinat sisteminde verilen A
şeklinde hangi dönüşümler uygulanarak
B, C ve D görüntüleri elde edilmiştir?
D
C
y
A
B
x
145
2. ÜNİTE
5
Aşağıdaki izometrik kâğıtta yapılan işlemi belirleyiniz. Daha sonra belirlediğiniz bu işlemi 3 adım
daha devam ettirerek boyayınız.
6
Yanda 8 x 8 boyutlarıyla verilen kareli kâğıdı, ötelemeli yansımayı
kullanacak şekilde boyayarak satranç tahtası elde ediniz.
7
146
Aşağıdaki altıgensel kâğıdı, ötelemeli yansımayı kullanacak şekilde boyayarak süsleyiniz.
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1
2
Esra arkadaşına hediye etmek için yandaki listede isimleri verilen kitaplardan birini seçecektir. Esra’nın kaç farklı seçim yapabileceğini bulunuz.
Kitap Listesi
• Sinekli Bakkal
• Çalıkuşu
• Yaban
• Türkçe’nin Sırları
• Çile
Elif, bir külah dondurma almak için girdiği pastanede yandaki
dondurma çeşitlerinin olduğunu gördü. Elif bir çeşit dondurma
seçeceğine göre, bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
3
Bir torbada 10 sarı, 12 mavi bilye vardır. Torbadan çekilen bir bilyenin
sarı veya mavi gelme olasılıklarını karşılaştırınız.
4
Sekiz basamaklı 13 345 453 sayısının basamaklarındaki rakamlarından biri rastgele seçilecektir.
Buna göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Seçilen rakamın 3 olma olasılığı en fazladır.
( ) Seçilen rakamın 4 olma olasılığı en azdır.
( ) 3 ve 5 rakamlarının seçilme olasılıkları eşittir.
( ) Seçimde 4 farklı rakamdan biri gelir.
5
Bir kuş kafesinde 4 dişi, 3 erkek kuş vardır. Kafesten rastgele seçilen
bir kuşun dişi olma olasılığı ile erkek olma olasılıklarını karşılaştırınız.
147
2. ÜNİTE
6
Bir sınıfta 12 kız, 13 erkek öğrenci vardır. Sınıftan rastgele seçilecek bir öğrenci olayında olası
durum sayısı kaçtır?
7
“İSTANBUL” sözcüğünün harfleri aynı özelliklere sahip ve eş büyüklükteki kâğıtlara yazılarak bir
torbaya atılıyor. Torbadan rastgele bir kâğıt çekiliyor. Çekilen kâğıdın üzerindeki harfin sesli harf olma
olasılığı kaçtır?
A) 2 8
B) 3 8
C) 5 8
D) 8
8
8
Bir kutuda bulunan 24 ampulden 3 tanesi bozuktur. Kutudan rastgele alınan bir ampulün sağlam
çıkma olasılığı kaçtır?
9
Bir küpün 6 yüzüne; a, b, c, ç, d, e harfleri yazılıyor. Buna göre aşağıdaki olayların olma olasılıklarını bularak noktalı yerleri tamamlayınız.
• Bu küp bir kez yuvarlanırsa üste gelen harfin “a” olma olasılığı ....... dır.
• Bu küp bir kez yuvarlanırsa üste gelen harfin sessiz harf olma olasılığı ....... dır.
• Bu küp bir kez yuvarlanırsa üste gelen harfin “h” olma olasılığı ....... dır.
• Bu küp bir kez yuvarlanırsa üste gelen harfin “a, b, c, ç, d, e” harflerinden biri olma olasılığı ....... dır.
10
Aşağıda noktalı yerleri tamamlayınız.
• Bir olay her zaman gerçekleşiyorsa bu olaya .............. olay denir.
• Bir olay hiçbir zaman gerçekleşmiyorsa bu olaya .............. olay denir. Olasılık değeri ....... dır.
• Olasılık değerleri .............. ile .............. arasında değer alır.
11
12
Bir kutuda 1’den 5’e kadar numaralandırılmış 5 özdeş kart vardır. Kutudan rastgele çekilen bir
kartın 1 veya 4 numaralı kart olma olasılığı kaçtır?
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Bir üçgenin bir köşesi ile karşı kenarının orta noktasını birleştiren doğru parçasına kenarortay
denir.
( ) Bir üçgende bir açıyı iki eş açıya bölen doğrunun, karşı kenarı kestiği nokta ile köşe arasında
kalan parçasına o açıya ait açıortay denir.
( ) Bir üçgenin köşesinden, karşısındaki kenara indirilen dikmeye o kenara ait yükseklik denir.
( ) Bir üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik üçgenin yardımcı elemanlarıdır.
148
2. ÜNİTE
A
13
Yandaki ABC üçgeninin a kenarına ait kenarortayını, yüksekliğini ve A açısının açıortayını çiziniz. Cetvelinizle bu uzunlukları ölçünüz. Bu üç uzunluğu,
küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
B
C
A
İsmail, kenar uzunlukları verilen üçgen şeklindeki bir resmi, kenarortaylarının kesiştiği noktadan çivileyerek duvara
asmak istiyor. Bu resmin asılacağı noktayı bularak İsmail’e
yardım eder misiniz?
8c
m
6c
m
14
B
15
Yanda, taşıtlarda bulunması zorunlu üçgen reflektör verilmiştir. Bu
reflektörün kenarları 30 cm, 30 cm ve 25 cm’dir. Reflektör, tepe noktasından bağlanan bir ip parçası ile asıldığında dengede kalır mı? Nedenini açıklayınız.
10 cm
30 cm
C
30 cm
25 cm
16
17
İkizkenar dik üçgen şeklindeki şalda, eşit uzunlukta olmayan kenarın uzunluğu 50 cm’dir. Bu şal,
dik açılı köşesinin açıortayı üzerinde ikiye katlanıyor.
Yeni oluşan dik üçgenin yüksekliği kaç cm’dir?
Bir üçgenin yüksekliğiyle ilgili aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur?
I. Üçgen dar açılı ise üçgenin üç kenarına ait yükseklik, üçgenin içinde kesişir.
II. Üçgen dik açılı üçgen ise yükseklikler dik açının köşesinde kesişir.
III. Üçgen geniş açılı üçgen ise yükseklikler üçgenin dışında kesişir.
A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) I, II ve III
149
2. ÜNİTE
A
18
&
Yandaki ABC nde A köşesine ait açıortayı, a kenarına ait kenarortayı
ve yüksekliği çizerek gösteriniz.
B
19
20
21
150
C
Aşağıda I. sütunda iki kenar uzunluğu verilen şekillerin üçgen oluşturabilmesi için II. sütunda
verilen uygun kenar uzunlukları ile eşleştiriniz.
I. sütun
II. sütun
10 cm, 18 cm
6 cm
19 cm, 36 cm
20 cm
5 cm, 7 cm
29 cm
15 cm, 22 cm
37 cm
Aşağıdaki seçeneklerde verilen kenar uzunluklarının hangileriyle üçgen çizilebilir?
a. 3 cm, 4 cm, 5 cm
b. 1 cm, 3 cm, 4 cm
c. 8 cm, 8 cm, 9 cm
ç. 5 cm, 12 cm, 13 cm
d. 4 cm, 5 cm, 9 cm
e. 11 cm, 12 cm, 15 cm
Yandaki şekilde;
AB = 3 cm,
AD = 6 cm,
BC = 2 cm,
CD = 4 cm ise BD = x’in alabileceği tam sayı
değerleri kaç tanedir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A
6 cm
3 cm
x
B
2 cm
C
D
4 cm
2. ÜNİTE
22
A
Açılarının ölçüleri verilen yandaki üçgenin, kenar uzunluklarının büyükten küçüğe doğru sıralanışını yazınız.
75º
b
c
B
23
60º
Yandaki üçgen için aşağıda verilen bilgilerden hangisi
ya da hangileri doğrudur?
A) I ve II
C) III ve IV
24
80º
b
II. En kısa kenar a’dır.
IV. c > a > b
C
C
I. En uzun kenar c’dir.
III. Üçgende en küçük açı ölçüsü 40º dir.
45º
a
A
a
40º
c
B
B) II ve IV
D) I, III ve IV
Yandaki şekilde verilenlere göre en uzun kenar aşağıdakilerden hangisidir?
A) c
B) e
C) b
D) a
A
65º
a
B
d
80º
60º
c
e
70º
D
b
C
25
Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Bir dik kenarı 3 cm olan ikizkenar dik üçgen çizilebilir.
A h = 50° olan ikizkenar üçgen çizilemez.
( ) Tepe açısı m ^V
( ) Kenar uzunlukları a = 5 cm, b = 6 cm, c = 10 cm olan üçgen çizilebilir.
B h = 45° , m ^W
C h = 100° , c = 7 cm elemanlarıyla verilen üçgen çizilemez.
( ) m ^V
151
2. ÜNİTE
A
8 cm
Yandaki şekilde verilenlere göre ABDE dikdörtgeninin
alanını bulunuz.
C
5
5
26
B
6 cm
E
27
D
N
Şekildeki KLM dik üçgeninde MK = 10 cm,
R
KL = 26 cm ve 6KM@ = 6ML@ dir. NRLM dik-
8 cm
dörtgeninde RL = 8 cm ise NRLM dikdörtgeninin çevre uzunluğu kaç cm’dir?
A) 56
B) 64
C) 72
D) 76
M
L
10 cm
26 cm
K
28
Aşağıda I. sütunda iki kenar uzunluğu verilen üçgenlerin dik üçgen oluşturabilmesi için II. sütunda
verilen uygun kenar uzunluğu ile eşleştiriniz.
I. sütun
II. sütun
6 cm ve 10 cm
7 cm
24 cm ve 25 cm
12 cm
8 cm ve 15 cm
8 cm
5 cm ve 13 cm
17 cm
A
29
152
Yandaki ABC ikizkenar üçgeninde;
6AH@ = 6BC@,
AB = AC = 13 cm ve
BH = HC = 5 cm ise AH kaç santimetredir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
13 cm
B
5 cm
13 cm
H
5 cm
C
2. ÜNİTE
30
Yandaki ABC dik üçgeninde;
AB = 4 cm,
AD = CD = 5 cm ise
AC = x kaç santimetredir?
A
4 cm
B
31
x
5 cm
C
5 cm
D
T
Yandaki şekli inceleyiniz. Şekildeki;
a. Her üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesaplayınız.
b. Birbirini takip eden dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki örüntüyü belirleyiniz.
1
c. Örüntüyü iki adım daha devam ettirerek çiziniz.
32
33
Yandaki şekilde 6RP@ = 6PT@ ve 6PS@ = 6RT@ dir.
PR = 2 5 cm, PS = 4 cm, PT = 4 5 cm,
RS = x, ST = y olduğuna göre aşağıdaki
ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. x + y = 13
III. x – y = 10
II. x = 2
IV. y = 8
A) I ve II
B) II ve IV
C) I, II ve III
D) I, III ve IV
1
A
2
B
C
D
3
P
2 5 cm
R
4 cm
x
S
4 5 cm
y
T
Mehmet Bey kenar uzunlukları 40 m ve 30 m olan dikdörtgen şeklindeki tarlasını köşegeninden iki
eş parçaya telle ayırmak istiyor. Telin uzunluğu kaç metre olmalıdır?
153
2. ÜNİTE
34
Yanda çizimleri verilen yamuk modellerini inceleyiniz.
a) ABCD yamuğuna hangi dönüşüm
yapılırsa A'B'C'D' yamuğu elde edilir?
Bu dönüşümün x ve y eksenlerinde kaç
birim ve hangi yönde olacağını belirleyiniz.
b) ABCD yamuğuna hangi dönüşüm
yapılırsa A''B''C''D'' yamuğu elde edilir?
Bu dönüşümün nasıl yapılması gerektiğini açıklayınız.
c) A'B'C'D' yamuğuna hangi dönüşüm yapılırsa A'''B'''C'''D''' yamuğu elde
edilir? Açıklayınız.
35
y
C''
B''
D''
D
A''
A
C
B
x
0
D'''
A'''
C'''
B'''
D'
A'
C'
B'
Aşağıda verilen şeklin, d doğrusu boyunca ötelemeli yansımasını, kareli kâğıdınıza 2 adım çiziniz.
d
36
Aşağıda verilen şeklin ötelemeli yansımasını, d doğrusu boyunca kâreli kağıdınıza 2 adım çiziniz.
Çizimi renkli kalemlerinizle boyayınız.
d
154
2. ÜNİTE
37
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Şekil hangi nokta etrafında dönüyorsa o noktaya dönme merkezi denir.
( ) Döndürülen şeklin ilk ve son görünümü arasında oluşan açıya hareket etme açısı denir.
( ) Herhangi bir doğru boyunca ötelemede şeklin ve görüntüsünün doğruya uzaklığı eşittir.
( ) Saat yönünde 90º dönme ile saatin tersi yönde 90º dönme aynı harekettir.
38
Köşelerinin koordinatları A(– 3, 3), B(– 4, 2), C(– 1, 1) olan üçgenin x eksenine göre yansıması
olan üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulunuz. Her iki üçgeni de koordinat düzleminde çizerek
gösteriniz.
39
Köşelerinin koordinatları A(– 5, – 1), B(– 1, 2), C(– 7, 3), D(– 3, 4) olan dörtgenin y eksenine
paralel 2 birim yukarıya ve x eksenine paralel 3 birim sağa ötelenmiş şeklinin koordinatları, aşağıdakilerden hangisidir?
A) A'(– 2, 1)
B' (2, 4)
C' (– 4, 5)
D' (0, 7)
40
B) A'(– 2, – 1)
B' (2, 2)
C' (– 4, 3)
D' (0, – 4)
C) A'(– 2, 1)
B' (2, 4)
C' (– 4, 5)
D' (0, 6)
D) A'(– 5, – 1)
B' (– 1, – 4)
C' (– 7, – 5)
D' (– 3, + 2)
Aşağıdaki koordinat düzleminde verilmiş çokgeni x eksenine paralel 3 birim sağa ve y eksenine
paralel 2 birim aşağıya öteleyiniz ve çokgenin görüntüsünü çiziniz.
A
y
D
G
4
3
2
B
C
1
–4 –3 –2 –1 0
E
F
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
155
2. ÜNİTE
41
Aşağıdaki dörtgenlerin y eksenlerine göre yansımalarının koordinatlarını bulunuz ve aşağıdaki
koordinatlarla eşleştiriniz.
y
4
3
2
3
D
A
–1
–2
–3
2
4
x
A
D
1
2
3
4
B
C
2. A'(– 1, 2)
B' (– 2, – 2)
C' (– 4, 3)
D' (– 3, 3)
C
–2
1
C
B
–5 –4 –3 –2 –1 0
–1
–4
3. A'(3, – 2)
B' (3, – 4)
C' (1, – 4)
D' (1, – 2)
1
2
3
x
–2
–3
4. A'(4, – 2)
B' (3, – 3)
C' (1, – 1)
D' (3, – 3)
&
Yandaki koordinat düzleminde verilen ABO nin orijin
çevresinde 180º dönme altındaki görüntüsü olan A'B'O'
üçgenini çiziniz. A'B'O' üçgeninin koordinatlarını bularak
aşağıdaki ifadede noktalı yerleri tamamlayınız.
A' (. , .) , B' (. , .) , C' (. , .)
3
2
x
–3
B
1. A'(4, 3)
B' (5, 1)
C' (2, 1)
D' (1, 3)
42
3
–1
4
D
A
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
1
5
2
1
–3 –2 –1 0
y
y
y
7
6
A
5
4
3
B
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0 1
–1
2
3
4
5
6
7
x
–2
–3
–4
–5
–6
–7
43
Aşağıdaki kareli kâğıt üzerinde verilen şekli, 2 birim sağa öteleyerek yansımasını alınız ve en az
4 adım devam ettirerek çiziniz. Oluşan şekli renklendirerek süsleme yapınız.
d
156
2. ÜNİTE
2
44
Yandaki koordinat sisteminde 2. bölgede çizilmiş şekil, hangi
bölge üzerindeki şeklin 180º lik dönme altındaki görüntüsüdür?
1
y
x
0
4
3
45
Aşağıdaki seçeneklerden hangisi, koordinatları A(3, 2), B(1, 0), C(4, 0) olan üçgenin y eksenine
göre yansıma altındaki görüntüsünün koordinatlarıdır?
A) A'(3, – 2)
B' (1, 0)
C' (4, 0)
46
B) A'(– 3, 2)
B' (– 1, 0)
C' (– 4, 0)
C) A'(– 3, – 2)
B' (– 1, 0)
C' (– 4, 0)
D) A'(2, 3)
B' (0, 1)
C' (0, 4)
Doğruya göre öteleme yapılırken x ve y eksenleri boyunca belirtilen yönde ve belirtilen kadar
............................. paralel ötelenir.
Yukarıdaki cümlede noktalı yere aşağıdaki seçeneklerden hangisi gelmelidir?
A) Köşe noktaları B) Bütün noktalar C) Kenarlar
D) Ayrıtlar
47
Koordinatları A(3, – 2), B(8, – 1), C(5, 2) olan bir ABC üçgeninin x ekseninde 3 birim sola ve y
ekseninde 1 birim yukarı ötelendiğinde oluşan A'B'C' üçgeninin koordinatlarını bulunuz.
48
Yandaki koordinat düzleminde verilen ABCD dikdörtgeni orijine
göre saatin tersi yönünde 180º döndürülerek A'B'C'D' dikdörtgeni oluşturulmuştur. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) D' (– 3, – 1)
C) C' (– 3, – 4)
D) B' (–1, – 4)
D
C
A
B
x
Aşağıdaki şeklin hareketini belirtiniz.
49
50
A) A'(– 1, 1)
y
y
Yandaki şekli 4 birim sağa ve doğruya göre 2 birim yukarıya doğru
D
öteleyerek beş adım ilerleterek çiziniz.
C
y
D
C
A
B
x
A
B
x
157
2.
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE
3.1. CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER
3.2. EŞLİK VE BENZERLİK
SEMBOLLER
,, ., +
TERİMLER
Özdeşlik, çarpanlara ayırma, benzerlik oranı
Bu Ünitede Neler Öğreneceğiz?
3.1. CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER
•
•
•
•
Basit cebirsel ifadeleri anlama ve farklı biçimlerde yazma,
Cebirsel ifadelerin çarpımını yapma,
Özdeşlikleri modellerle açıklama,
Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırma.
3.2. EŞLİK VE BENZERLİK
• Eşlik ve benzerliği ilişkilendirme, eş ve benzer şekillerin kenar ve açı özelliklerini belirleme,
• Benzer çokgenlerin benzerlik oranını belirleme, bir çokgene eş ve benzer çokgenler oluşturma.
158
3. ÜNİTE
3.1.
CEBİR
3.1.1. Cebirsel İfadeler
Hatırlayalım
Aşağıda verilen tabloyu inceleyiniz. Tabloda noktalı yerleri tamamlayınız.
Cebirsel İfade
Terimler
Terim
Sayısı
Katsayılar
Sabit
Terim
3x + 15
3x , 15
2
3, 15
15
2x + 3y – 2
2x, 3y, – 2
3
2, 3, – 2
–2
– x – 2y + 8
– x, – 2y, 8
3
– 1, – 2, 8
8
4x – 2y – 1
..................
...
..................
...
x + 3y – 4z – 5
..................
...
..................
...
– x – 3y – 7
..................
...
..................
...
En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Cebirsel ifadelerde bir
veya birden fazla sayıyı temsil eden harflere değişken ya da bilinmeyen denir.
Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımına terim denir.
Bir terimin çarpım durumunda bulunduğu sayıya katsayı denir.
Bir cebirsel ifadede değişkeni olmayan terime sabit terim denir. Sabit terim de bir katsayıdır.
Örneğin,
terim
cebirsel ifade
2a + 7
kat sayı
değişken
sabit terim
Terimler birbirlerinden “+” ve “–” sembolleriyle ayrılırlar.
Örnek-1
Aşağıda verilen düzlemsel şekillerin alanlarını bulalım.
3x
3
x
x
x
2x
2x
4x
x
x •y
Çözüm
3x
3
x
x
Alan: x • x = x2
2x
Alan: 2x • 3x = 2 • 3 • x • x
= 6 • x2
2x
Alan: 2x • 3 = 2 • 3 • x
= 6x
159
3. ÜNİTE
x
x
4x
x •y
2
Alan: x • x • y = x2 • y
Alan: 4x • x = 4x
Örnek-2
Nisa’nın yaşı 4x, kardeşinin yaşı 3x’dir. Babasının yaşı Nisa’nın
yaşı ile kardeşinin yaşlarının çarpımına eşittir. Nisa’nın babasının
yaşını bulalım.
Çözüm
Nisa’nın yaşını kardeşinin yaşı ile çarparsak babalarının yaşını buluruz. O hâlde;
9 9
2
2
Babanın yaşı: 4x • 3x = 4 • 3 • x • x = 12 • x dir.
12
x
Örnek-3
Aşağıda verilen cebirsel ifadeleri farklı biçimlerde yazalım.
a) – 7 • x • y
b) x2 • y2
c) 13 • x2 • y
ç) x3 • y2
Çözüm
Aşağıda verilen cebirsel ifadeleri farklı biçimlerde yazalım.
a) – 7 • x • y = – 7x • y b) x2 • y2 = x • x • y • y = x • y • x • y
c) 13 • x2 • y = 13 • x • x • y
ç) x3 • y2 = x • x • x • y • y = x • x • y • x • y
Örnek-4
Aşağıda verilen cebirsel ifadelerin terim, katsayı, değişkenlerini ve sabit terimini bulalım.
a) 2x • 3y
b) 5 • 3x – 2 • 2
c) – 2x • x + 3y + 5y
ç) x • x + y • y – z + 1
Çözüm
a) 2x • 3y = 6xy
terim: 6xy
katsayı: 6
değişkenler: x ve y
sabit terim: 0
b) 5 • 3x – 2 • 2 = 15x – 4
terimler: 15x ve (– 4)
katsayılar: 15 ve (– 4)
değişken: x
sabit terim: – 4
c) – 2x • x + 3y + 5y = – 2x2 + 8y
terimler: – 2x2, 8y
katsayılar: – 2, 8
değişkenler: x ve y
sabit terim: 0 ç) x • x + y • y – z + 1 = x2 + y2 – z + 1
terimler: x2, y2, – z ve 1
katsayılar: 1, 1, – 1, 1
değişkenler: x, y ve z
sabit terim: 1
160
3. ÜNİTE
Örnek-5
Aşağıda verilen çarpma işlemlerini yapalım.
a) 2 • (x + 2)
b) x • (x + 3)
c) 2x • (x + 1) ç) 3x • (x – 2)
Çözüm
Modellemelerde aşağıdaki cebir karolarını kullanabiliriz.
1
x
x2
x
x
–1
x
x
x
1
a) 1. yöntem:
1
1
1
–1
–1
2. yöntem:
2 • (x + 2) işlemini modellemeden yararlanarak
yapalım.
Çarpma işleminin toplam işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım.
2 • (x + 2) = 2 • x + 2 • 2
= 2x + 4
14 24 3 14 24 3
x+2
x+2
1 4 4 44 2 4444 3
2x + 4
b) 1. yöntem:
x • (x + 3) işlemini modellemeden yararlanarak yapalım.
Kenar uzunlukları x ve x + 3 olan bir dikdörtgensel bölge oluşturalım.
x
1 1 1
Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarını kullanarak yazalım.
Alan = x • (x + 3)
x
x2
x x x
Dikdörtgensel bölgenin alanını modellemede kullandığımız parçaların
alanlarının toplamı şeklinde yazalım.
Alan = x2 + 3x
1 4 4 4 4 44 2 444444 3
x+3
O hâlde her iki alanın eşitliğinden;
x • (x + 3) = x2 + 3x’tir.
161
3. ÜNİTE
2. yöntem:
Çarpma işlemini toplam işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak yapalım.
x • (x + 3) = x • x + 3 • x
= x2 + 3x
c) 1. yöntem:
2x • (x + 1) işlemini modellemeden yararlanarak yapalım.
Kenar uzunlukları 2x ve x + 1 olan bir dikdörtgensel bölge oluşturalım.
x+1
1 4444 2 4 4 44 3
1 4444444 2 4444444 3
x
x
1
2
x
x
Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarını kullanarak yazalım.
Alan = 2x • (x + 1)
Dikdörtgensel bölgenin alanını modellemede kullandığımız parçaların
alanlarının toplamı şeklinde yazalım:
Alan = 2x2 + 2x
2x
O hâlde her iki alanın eşitliğinden;
2
x
x
x
2x • (x + 1) = 2x2 + 2x’tir.
2. yöntem:
Çarpma işlemini toplam işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak yapalım.
2x • (x + 1) = 2x • x + 2x • 1 = 2x2 + 2x
ç) 1. yöntem:
3x • (x – 2) işlemini modellemeden yararlanarak yapalım.
Kenar uzunlukları 3x ve x – 2 olan bir dikdörtgensel bölge oluşturalım.
x–2
1 44444 2 44 4 44 3
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3
x
3x
x
x
162
x
–1 –1
2
–x –x
x
Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarını kullanarak yazalım.
Alan = 3x • (x – 2)
Dikdörtgensel bölgenin alanını modellemede kullandığımız parçaların
alanlarının toplamı şeklinde yazalım:
Alan = 3x2 + (– 6x) = 3x2 – 6x
O hâlde her iki alanın eşitliğinden;
x2
–x –x
3x • (x – 2) = 3x2 – 6x’dir.
2. yöntem:
x2
–x –x
Çarpma işlemini çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım.
2
3x • (x – 2) = 3x • x – 3x • 2 = 3x – 6x
3. ÜNİTE
Örnek-6
Aşağıda verilen çarpma işlemlerini yapalım.
a) (x + 2) • (x + 3)
b) (2x + 1) • (x – 2)
c) (x – 3) • (2x – 1)
Çözüm
a) 1. yöntem:
(x + 2) • (x + 3) işlemini modellemeden yararlanarak yapalım.
x+3
1 444444 2 4444 44 3
1 44444 2 44444 3
x+2
x
1
1
x
1 1 1
x2
x x x
x
x
1 1 1
1 1 1
Kenar uzunlukları x + 2 ve x + 3 olan dikdörtgensel bölge oluşturalım.
Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarını kullanarak
yazalım.
Alan = (x + 2) • (x + 3)
Dikdörtgensel bölgenin alanını modellemede kullandığımız parçaların alanlarının toplamı şeklinde yazalım.
2
Alan = x + 5x + 6
O hâlde her iki alanın eşitliğinden;
(x + 2) • (x + 3) = x2 + 5x + 6’dır.
2. yöntem:
Dağılma özelliğinden yararlanarak yapalım.
(x + 2) • (x + 3) = x • x + 3 • x + 2 • x + 2 • 3
1 44 2 44 3
5x
= x + 5x + 6
2
b) 1. yöntem:
(2x + 1) • (x – 2) işlemini modellemeden yararlanarak yapalım.
x
x
–1 –1
x2
–x –x
Kenar uzunlukları 2x + 1 ve x – 2 olan dikdörtgensel bir bölge oluşturalım.
Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarını kullanarak bulalım.
Alan = (2x + 1) • (x – 2)
Dikdörtgensel bölgenin alanını modellemede kullandığımız parçaların alanlarının toplamı şeklinde yazalım.
Alan = 2x2 – 4x + x – 2 = 2x2 – 3x – 2
x
1
x2
x
–x –x
–1 –1
>
– 3x
O hâlde her iki alanın eşitliğinden;
(2x + 1) • (x – 2) = 2x2 – 3x – 2’dir.
2. yöntem:
Dağılma özelliğini kullanarak yapalım.
(2x + 1) • (x – 2) = 2x • x + 2x • (– 2) + 1 • x + 1 • (– 2)
>
= 2x2 – 4x + x – 2
– 3x
= 2x2 – 3x – 2
163
3. ÜNİTE
c) 1. yöntem:
(x – 3) • (2x – 1) işlemini modellemeden yararlanarak yapalım.
x–3
1 444444 2 444444 3
1 44444444 2 44444444 3
x
x
–1 –1 –1
x2
–x –x –x
Kenar uzunlukları (x – 3) ve (2x – 1) olan dikdörtgensel bölge
oluşturalım.
Dikdörtgensel bölgenin alanını kenar uzunluklarını kullanarak
yazalım.
Alan = (x – 3) • (2x – 1)
2x – 1
x
x2
–x –x –x
Dikdörtgensel bölgenin alanını modellemede kullandığımız parçaların alanlarının toplamı şeklinde yazalım:
Alan = 2x2 + (– 7x) + 3 = 2x2 – 7x + 3
O hâlde her iki alanın eşitliğinden;
–1
–x
(x – 3) • (2x – 1) = 2x2 – 7x + 3 bulunur.
1 1 1
2. yöntem:
Dağılma özelliğini kullanarak yapalım.
(x – 3) • (2x – 1) = x • 2x + x • (– 1) + (– 3) • (2x) + (– 3) • (– 1)
= 2x2 – x – 6x + 3 = 2x2 – 7x + 3
>
– 7x
2x + 6
Örnek-7
Yandaki dikdörtgenin uzun kenarını 3 birim, kısa kenarını 2 birim
azaltınca oluşan yeni dikdörtgenin alanını cebirsel olarak ifade edelim.
x+4
Çözüm
Dikdörtgenin uzun kenarı x + 6 , yeni oluşan dikdörtgenin uzun kenarı;
2x + 6 – 3 = 2x + 3 birimdir.
Dikdörtgenin kısa kenarı x + 4, yeni oluşan dikdörtgenin kısa kenarı;
x + 4 – 2 = x + 2 birimdir.
Dikdörtgenin alanı: (2x + 3) • (x + 2) = 2x • x + 2x • 2 + 3 • x + 3 • 2
= 2x2 + 4x + 3x + 6
>
7x
= 2x2 + 7x + 6’ dır.
Bunu biliyor muydunuz?
Cebirde bilinmeyeni gösterme için genellikle “x” harfi kullanılır. Bu harfin kökeni Arapça “şey”
kelimesinden gelmektedir. İspanyolcaya çevrilen cebir kitaplarında “xay” olarak verilen “bilinmeyen”
daha sonra kısaca “x” olarak gösterilmiştir.
164
3. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıda verilen cümlelerin cebirsel ifadelerini yazınız.
a) Bir sayının 2 katının 5 fazlası
......................................................................................................
b) Bir sayının 2 eksiğinin 3 katı
......................................................................................................
c) Ali’nin yaşının 2 fazlası ile Bahar’ın yaşının 3 eksiğinin çarpımı
......................................................................................................
ç) Bir sayının – 2 katı ile aynı sayının 3 eksiğinin çarpımı
......................................................................................................
d) Bir sayının 3 fazlası ile aynı sayının 2 katının 4 eksiğinin çarpımı
......................................................................................................
2
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri verilen farklı biçimleri ile eşleştiriniz.
7x2
3 • x •x •y
– 3 • 8x
– 8x2
7x • x
– 24x
– 2x • 4x
3x2y
3
– 3x • 2x
Aşağıdaki tabloda noktalı yerleri tamamlayınız.
Cebirsel İfade
Değişkenler
Terimler
Katsayılar
Sabit Terim
3x
...
...
...
...
4x2y
...
...
...
...
3x2 + 2y
...
...
...
...
– 5x2 – 3y
...
...
...
...
– x2 – 2y + 3z2
...
...
...
...
2
165
3. ÜNİTE
x
4
Uzun kenarı x cm, kısa kenarı y cm olan dikdörtgen
şeklindeki bir kartondan, kenar uzunlukları 8 cm ve 6 cm
olan dikdörtgen şeklindeki bir parça kesilerek çıkarılıyor.
Kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz.
8 cm
y
6 cm
Aşağıdaki çarpma işlemlerini cebir karoları ile modellemeden yararlanarak yapınız.
5
A) x • (2x + 3)
6
A
B) x • (x – 3)
3x + 2
C) (x – 1) • (x + 4)
B
ABCD dikdörtgeninin alanını veren cebirsel
ifade aşağıdakilerden hangisidir?
2x – 5
D
D) (2x + 1) • (x + 4)
I. (3x + 2) • 2x – 5
2
II. 6x – 11x – 10
C
2
III. 5x – 3x
IV. (3x + 2) • (2x – 5)
B) II ve III
A) I ve II
1
x
7
C) II ve IV
x2
x
x
D) I ve III
–1
x
x
x
1
1
–1
1
–1
1
Yandaki modellemede yukarıda verilen cebir karoları kullanılmıştır.
Yanda modellemesi verilen cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x + 2) • (2x – 3)
B) (x – 2) • (2x + 3)
C) (x + 2) • (x + 3)
D) (2x + 2) • (x – 3)
A
8
ABC üçgeninin alanını cebirsel olarak ifade ediniz.
2x
B
166
3x + 1
C
3. ÜNİTE
3.1.2. Özdeşlikler
8A sınıf öğretmeni Şükrü Bey, öğrencilerinin proje notlarını cebirsel
ifadelerle vermiştir. Şükrü Bey, öğrencilerine “bilinmeyen” yerine 9 rakamını koyarak proje notlarını hesaplayabileceklerini söylemiştir. Öğrencilerin
notlarını hesaplayarak aynı notu alan öğrencileri belirleyiniz.
Aynı notu alan öğrencilerin puanlarını veren cebirsel ifadeler arasında
nasıl bir ilişki vardır? Düşününüz.
8A Proje Notları
Ali
: x2 – 4
Duygu : (x – 3) • (x + 3)
Okan : (x + 1)2
Ahmet : (x – 3)2
Yeşim : x2 – 9
Zeynep : x2 + 2x + 1
Umut : (x – 2) • (x + 2)
Mehmet : x2 – 6x + 9
Örnek-1
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitliği inceleyelim. Eşitlikte bilinmeyen değerler yerine farklı sayılar vererek eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
Çözüm
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikte, bilinmeyen yerine (x yerine) farklı değerler
vererek eşitliği sağlayan değerleri bulalım.
x = 2 için, (2 + 1)2 = 22 + 2 • 2 + 1
32 = 4 + 4 + 1
9 = 9 olur.
x = 1 için, (1 + 1)2 = 12 + 2 • 1 + 1
22 = 1 + 2 + 1
4 = 4 olur.
x = 0 için, (0 + 1)2 = 02 + 2 • 0 + 1
12 = 0 + 0 + 1
1=1
x = – 1 için, (– 1 + 1)2 = (– 1)2 + 2 • (– 1) + 1
02 = 1 – 2 + 1
0=0
x = – 2 için, (– 2 + 1)2 = (– 2)2 + 2 • (– 2) + 1
(– 1)2 = 4 – 4 + 1
1 = 1 olur.
2
2
(x + 1) = x + 2x + 1 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitlikte, x yerine hangi değeri alırsak alalım eşitlik
her zaman sağlanır.
Bilinmeyenin her değeri için doğru olan cebirsel ifadelere özdeşlik denir.
2
2
Siz de (x – 3) = x – 6x + 9 cebirsel ifadelerinden oluşan eşitliği inceleyiniz. Bu eşitlik bir özdeşlik midir?
Nedenleriyle açıklayınız.
167
3. ÜNİTE
Örnek-2
a
2
2
2
(a + b) = a + 2ab + b özdeşliğini modelleyerek gösterelim.
b
Çözüm
Bir kenar uzunluğu a + b olan bir kare alalım.
2
a
a
a•b a
b
a•b
b
a
b
Kareyi yanda görüldüğü gibi parçalara ayıralım.
Karenin alanını hem karenin alan formülünden hem de içindeki parçaların
alanları toplamından bulalım.
Karenin alanı: (a + b)2
2
b
Karenin içindeki parçaların alanları toplamı: a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 dir.
2
2
2
O hâlde, (a + b) = a + 2ab + b dir.
İki terimin toplamının karesi özdeşliği; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 dir.
İki terimin toplamının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci terimin çarpımlarının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.
Örnek-3
Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki terimin toplamının karesi özdeşliğinden yararlanarak
bulalım.
a) (x + 3)2
b) (4 + y)2
c) (2x + 3y)2
ç) (x + 4y)2
Çözüm
a) (x + 3)2 = x2 + 2 • x • 3 + 32 = x2 + 6x + 9
b) (4 + y)2= 42 + 2 • 4 • y + y2 = 16 + 8y + y2
c) (2x + 3y)2= (2x)2 + 2 • (2x) • (3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
ç) (x + 4y)2= x2 + 2 • x • 4y + (4y)2 = x2 + 8xy + 16y2
Örnek-4
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 özdeşliğini modelleyerek gösterelim
a
Çözüm
168
•
b
(a – b) • b
b2
b
a–b
a
•A
a–b
b
a–b
(a – b) • b
1 4444
4 2 4444
43
Kenar uzunluğu a birim olan büyük karenin alanından ABCD karesinin
alanı dışında kalan bölgelerin alanlarının toplamını çıkarırsak ABCD
karesinin alanını buluruz.
14444 24444 3
Bir kenar uzunluğu a birim olan bir karede ABCD karesinin alanını
a ve b cinsinden yazalım. Kareyi yanda görüldüğü gibi parçalara ayıralım.
B•
(a – b)2
C
a–b
D
•
b
3. ÜNİTE
^a – b h2 = a 2 – 6^a – b h • b + ^a – b h • b + b 2@
>
1 444444 2 444444 3
ABCD karesinin
alanı
ABCD karesinin dışında kalan
parçaların alanlarının toplamı
İki terimin farkının karesi özdeşliği,
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 dir.
Büyük karenin
alanı
^a – b h2 = a 2 – 6ab – b 2 + ab – b 2 + b 2@
İki terimin farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, birinci terimle ikinci
terimin çarpımlarının eksi iki katı ve ikinci
terimin karesi toplanır.
^a – b h = a – ^2ab – b h
2
2
2
^a – b h2 = a 2 – 2ab + b 2
Örnek-5
Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki terimin farkının karesi özdeşliğinden yararlanarak
bulalım.
a) (x – 4)2
b) (5 – y)2
c) (2x – 4y)2
Çözüm
a) (x – 4)2 = x2 – 2 • x • 4 + (– 4)2 = x2 – 8x + 16
b) (5 – y)2 = 52 – 2 • 5 • y + y2 = 25 – 10y + y2
c) (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2 • (2x) • (3y) + (– 3y)2
= 4x2 – 12yx + 9y2
Örnek-6
a2 – b2 =(a – b) • (a + b) özdeşliğini modelleyerek gösterelim.
Çözüm
b
İnce kartona bir kenar uzunluğu a birim olan bir kare çizelim.
Karenin bir köşesine kenar uzunluğu b birim olan başka bir kare çizelim ve kareyi keselim (a > b’dir.).
a
b
a–b
a
2
2
Geriye kalan parçanın alanı a – b dir.
Kalan parçayı, yandaki şekilde görüldüğü gibi iki eş dik yamuk oluşacak şekilde keselim.
b
a
a–b
a–b
b
a
Elde ettiğimiz iki yamuğu, ikinci şekilde olduğu gibi birleştirerek kenar uzunlukları (a – b) ve (a + b) olan
bir dikdörtgen oluşturalım.
Dikdörtgenin alanı, (a – b) • (a + b)’dir.
Bu dikdörtgen, alanı a2 olan büyük kareden, alanı b2 olan küçük karenin çıkarılmasıyla oluştu. Bu nedenle her iki alan gösterimi birbirine eşittir ve a2 – b2 = (a – b) • (a + b)’dir.
İki kare farkı özdeşliği; a2 – b2 = (a – b) • (a + b)
İki terimin kareleri farkı, iki terimin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
169
3. ÜNİTE
Örnek-7
Aşağıdaki cebirsel ifadelere eşit cebirsel ifadeleri iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak bulalım.
a) x2 – 16
b) 25 – y2
c) (x – 6) • (x + 6)
ç) 25x2 – 9y2
Çözüm
a) x2 – 16 = x2 – 42 = (x – 4) • (x + 4)
b) 25 – y2 = 52 – y2 = (5 – y) • (5 + y)
c) (x – 6) • (x + 6) = x2 – 62 = x2 – 36
ç) 25x2 – 9y2 = (5x)2 – (3y)2 = (5x – 3y) • (5x + 3y)
Örnek-8
Aşağıda verilen işlemleri iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak yapalım.
2
2
a) 105 – 5 b) 852 – 152
Çözüm
2
2
İki kare farkı özdeşliği a – b = (a – b) • (a + b)’dir. O hâlde;
a) 1052 – 52 = (105 – 5) • (105 + 5) = 100 • 110 = 11 000
b) 852 – 152 = (85 – 15) • (85 + 15) = 70 • 100 = 7 000’dir.
Etkinlik
İki Terimin Toplanması
Kareli kâğıda kenar uzunlukları a birim ve b birim olan iki kare çizelim.
Çizdiğimiz kareleri keselim (a > b olarak alalım.).
Kareli kâğıda kenar uzunlukları a birim ve b birim olan iki dikdörtgen
çizelim. Çizdiğimiz dikdörtgenleri keselim.
Elimizdeki dört parçanın her birini, farklı renkte boyayalım.
Araç ve Gereçler
• kareli kâğıt
• makas
• ince karton
• yapıştırıcı
• renkli kalemler
Elde ettiğimiz dört parçanın alanlarını bulalım ve bulduğumuz alanların
ölçüsünü parçaların üzerlerine yazalım.
Dört parçayı birleştirerek büyük bir kare oluşturalım ve kartonumuza yapıştıralım.
Büyük karenin alanını, küçük şekillerin alanları toplamı cinsinden ve kenar uzunluklarının çarpımı
cinsinden yazınız.
Büyük karenin iki farklı yolla bulduğunuz alan gösterimleri birbirine eşit midir?
Büyük karenin iki farklı yolla bulduğunuz alan gösteriminden yararlanarak bir özdeşlik elde ediniz.
Özdeşliği nasıl elde ettiğinizi açıklayınız.
170
3. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıda tabloda verilen harfli ifadelerden özdeş olanları örnekteki gibi “ √ ” işaretini kullanarak
gösteriniz.
4x2 – 12x + 9
x2 – 121
x2 + 4x + 4
2
(x + 2)
(x – 5y)2
(x – 9) • (x + 9)
√
x2 – 81
(2x – 3)2
(x – 11) • (x + 11)
x2 – 10xy + 25y2
2
Aşağıdakilerden hangisi özdeşlik değildir?
A) (x – 7) • (x + 7) = x2 – 49
B) 4x2 – 24x + 36 = (2x – 6)2
C) 1 – 144a2 = (1 – 12a) • (1 + 12a)
D) (3x – 9y)2= 9x2 + 54x + 81y2
3
4
(a2 + 1)2 = a4 +
yerine ne gelmelidir?
x sayısının karesine 14 katı ve 49 sayısı ekleniyor. Elde edilen sayı aşağıdakilerden hangisinin
karesine eşittir?
A) x + 14
5
+ 1 ifadesinin özdeşlik olabilmesi için
B) x + 49
C) x + 7
D) 2x – 14
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir özdeşlik değildir?
A) p2 – k2 = (p – k) • (p + k)
B) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
C) (x + 3)2 = x2 + 3x
D) 2(x + 3) = 2x + 6
171
3. ÜNİTE
3.1.3. Cebirsel İfadeleri Çarpanlarına Ayırma
Cebir karoları, matematikte modelleme yapılırken kullanılan
malzemelerdir.
Cebir karolarınızda,
1
x
2
x
x
x
–1
x
x
1
–x
1
–1
1
–1
1
olduğunu kabul ederek ve bu cebir karolarını kullanarak 6x + 3 ifadesini bir dikdörtgen oluşturacak şekilde
modelleyebilir misiniz? Deneyiniz.
Örnek-1
4x + 8 cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.
Çözüm
1. yöntem:
4x + 8 cebirsel ifadesinin çarpanlarını modelleme yaparak bulalım:
Önce 4x + 8 cebirsel ifadesini cebir karolarımızla modelleyelim.
4x + 8
4x + 8 cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım:
x+2
1 44444 2 44 4 44 3
144 244 3
4
1
1
1
1
x
1 1
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 4x + 8 cebirsel ifadesinin
çarpanlarıdır. Çünkü dikdörtgenin kenar uzunlukları çarpımı ve parçalarının alanlarının toplamı dikdörtgensel bölgenin alanına eşittir. O hâlde,
4x + 8 = 4 • (x + 2)’dir.
2. yöntem:
4x + 8 cebirsel ifadesindeki terimlerin katsayıları olan 4 ve 8’in en büyük ortak böleni 4’tür. Buna göre;
4x + 8 = 4 • x + 4 • 2
= 4 • (x + 2)’dir.
Ortak çarpan parantezine alma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırdık.
Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak, çarpanları o cebirsel ifadeyi veren çarpanların çarpımı
olarak yazmaktır.
172
3. ÜNİTE
Örnek-2
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) 3a + 3b
b)18x + 12
Çözüm
a) 3a + 3b cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım:
3a + 3b = 3 • (a + b) Ortak çarpan parantezine alma özelliğinden yararlanarak çarpanlarına ayırma
işlemi yaptık.
b)18x + 12 cebirsel ifadesinin terimlerinin katsayıları olan 18 ve 12’nin en büyük ortak böleni 6’dır. Buna
göre;
18x + 12 = 6 • 3x + 6 • 2 = 6 • (3x + 2)’dir.
Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmaya ortak çarpan parantezine alma yöntemi denir.
Örnek-3
2
3x + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.
Çözüm
1. yöntem:
2
3x + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarını modelleme yaparak bulalım.
Önce 3x2 + 2x cebirsel ifadesini cebir karolarımızı kullanarak modelleyelim.
3x2 + 2x
3x2 + 2x cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım:
3x + 2
1 4444444444444 2 44444444 4 4 4 44 3
1 4 44 2 4 44 3
x
x
x
x
1 1
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukla2
rı 3x + 2x cebirsel ifadesinin çarpanlarıdır.
Çünkü dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarının çarpımı ve parçalarının alanlarının toplamı dikdörtgensel bölgenin alanına
eşittir. O hâlde,
3x2 + 2x = x • (3x + 2)’dir.
173
3. ÜNİTE
2. yöntem:
3x2 + 2x cebirsel ifadesinin terimlerin en büyük ortak böleni x’tir. Buna göre;
3x2 + 2x = x • 3x + x • 2
= x • (3x + 2)
Ortak çarpan parantezine alma özelliğinden yararlanarak cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırdık.
Örnek-4
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) 15x2 – 21x + 36
b) 9a2b – 6ab2
c) 2ab – 6a2b + 4ab2
Çözüm
Cebirsel ifadeleri ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak çarpanlarına ayıralım.
a) 15x2 – 21x + 36 = 3 • 5x2 – 3 • 7 • x + 3 • 12
= 3 • (5x2 –7x + 12)
b) 9a2b – 6ab2 = 3ab • 3a – 3ab • 2b = 3ab • (3a – 2b)
c) 2ab – 6a2b + 4ab2 = 2ab • 1 – 2ab • 3a + 2ab • 2b
= 2ab • (1 – 3a + 2b)
Örnek-5
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) ax + bx + ay + by
b) 3x + 3y – ax – ay
Çözüm
a) Cebirsel ifadenin 1 ve 2. terimlerini x ortak parantezine, 3 ve 4. terimleri y ortak parantezine alalım.
ax + bx + ay + by = x • (a + b) + y • (a + b)
= (a + b) • (x + y)
Ortak çarpan olan (a + b)’yi ortak eleman olarak alalım.
b) Cebirsel ifadede, 1 ve 2. terimleri 3, 3 ve 4. terimleri (– a) ortak parantezine alalım.
3x + 3y – ax – ay = 3 • (x + y) – a • (x + y)
= (x + y) • (3 – a)
Ortak çarpan olan (x + y)’yi ortak eleman olarak alalım.
Örnek-6
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) a2 + ab + ac + bc
b) mn + 5m + 4n + 20
Çözüm
2
2
a) a + ab + ac + bc = (a + ab) + (ac + bc)
> >
1. grup
2. grup
= a • (a + b) + c • (a + b)
= (a + b) • (a + c)
174
c) x4 – 8x3 + x2 – 8x
3. ÜNİTE
b) mn + 5m + 4n + 20 = (mn + 5m) + (4n + 4 • 5)
14 24 3
1. grup
1 44 2 44 3
2. grup
= m • (n + 5) + 4 • (n + 5)
= (n + 5) • (m + 4)
c) x4 – 8x3 + x2 – 8x = (x4 + x2) – (8x3 + 8x)
> 14 24 3
1. grup
2
= (x
•
2. grup
2
2
x +x
•
1) – (8x • x2 + 8x •1)
= x2 • (x2 + 1) – 8x • (x2 + 1) = (x2 + 1) • (x2 – 8x)
= (x2 + 1) • (x • x – 8 • x)
= (x2 + 1) • x • (x – 8)
Örnek-7
x2 + 6x + 9 cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.
Çözüm
1. yöntem:
Önce x2 + 6x + 9 cebirsel ifadesini cebir karolarını kullanarak modelleyelim ve çarpanlarını bulalım.
1
x
x2
x
x
x
1
1
1
olarak kabul edelim.
x2 + 6x + 9
x2 + 6x + 9 cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım.
x+3
x
1 1 1
Oluşturduğumuz dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarını,
küçük parçaların kenar uzunlukları cinsinden yazalım:
x2
x x x
Dikdörtgensel bölgenin alanını, kenar uzunlukları cinsinden
yazalım:
1 444444 2 4444 44 3
1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3
x
x+3
1
1
1
(x + 3) ve (x + 3)
Alan: (x + 3) • (x + 3)’tür.
x
x
x
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Dikdörtgensel bölgeyi oluşturan x2 + 6x + 9 cebirsel ifadesini
ve modellediğimiz parçaları kullandık. Bu nedenle;
x2 + 6x + 9 = (x + 3) • (x + 3) = (x + 3)2 dir.
2
Böylece x + 6x + 9 cebirsel ifadesini iki cebirsel ifadenin çarpımı olarak yazdık ve çarpanlarına ayırdık.
175
3. ÜNİTE
2. yöntem:
Üç terimli ifadelerde, birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının iki katı ortanca terimine eşit olan cebirsel ifadeler;
birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün toplamının karesine eşittir.
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
6 6 6
x
3
2•3•x
Örnek-8
x2 – 8x + 16 cebirsel ifadesinin çarpanlarını iki farklı yöntemle bulalım.
Çözüm
1. yöntem:
2
x – 8x + 16 cebirsel ifadesini cebir karolarını kullanarak modelleyelim.
2
x – 8x + 16
x2 – 8x + 16 cebirsel ifadesini modellediğimiz parçaları kullanarak bir dikdörtgensel bölge oluşturalım.
x–4
1 444444
4 2 444444 3
1 444444
4 2 4 4 4 4 44 3
x–4
x
–1 –1 –1 –1
Oluşturduğumuz dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları
x – 8x + 16 cebirsel ifadesinin çarpanlarıdır. Çünkü dikdörtgenin kenar uzunlukları çarpımı ve parçalarının alanları toplamı
dikdörtgensel bölgenin alanına eşittir. O halde;
2
x
–1
–1
–1
–1
2. yöntem:
x2 – 8x + 16 = (x – 4)2
6 6 6
x
4
–2•4•x
x2 – 8x + 16 = (x – 4) • (x – 4)’tür.
Üç terimli ifadelerde, birinci terimin karekökü ile üçüncü terimin karekökünün çarpımının eksi iki katı ortanca terimine eşit olan cebirsel
ifadeler; birinci terimin karekökü ile ikinci terimin karekökünün farkının
karesine eşittir.
Örnek-9
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a) x2 + 14x + 49
176
b) x2 – 12x + 36
3. ÜNİTE
Çözüm
a) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
6 8 6
x
7
2•7•x
b) x2 – 12x + 36 = (x – 6)2
6 8 6
x
6
–2•6•x
Örnek-10
x2 + ax + 81 üç terimli cebirsel ifadesinin bir tam kare ifade belirtmesi için a doğal sayısını bulalım.
Çözüm
2
2
x + ax + 81 = (x + 9)
6 86
x
9
>
2•9•x
18x
ax = 18x ise a = 18’dir.
x br
Örnek-11
7 br
Yanda verilen boyalı bölgenin alanını ve bu alanın çarpanlarına ayrılmış ifadesini bulalım.
x br
Çözüm
7 br
Kenar uzunluğu x br olan karenin alanından kenar uzunluğu 7 br olan
karenin alanını çıkarırsak istenilen boyalı bölgeyi buluruz. O hâlde;
2
2
boyalı bölgenin alanı: x – 7 dir.
Alanı veren cebirsel ifadeyi iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak çarpanlarına ayıralım;
2
2
x – 7 = (x – 7) • (x + 7)’dir.
Örnek-12
Aşağıdaki cebirsel ifadelerin çarpanlarını iki kare farkı özdeşliğinden yararlanarak bulalım.
a) x2 – 100
b) x2 – 144
c) 4x2 – 121
ç) 9x2 – 36y2
d) 16x2 – 25y2
Çözüm
a) x2 – 100 = x2 – 102 = (x – 10) • (x + 10)
b) x2 – 144 = x2 – 122 = (x – 12) • (x + 12)
c) 4x2 – 121 = (2x)2 – 112 = (2x – 11) • (2x + 11)
ç) 9x2 – 36y2 = (3x)2 – (6y)2 = (3x – 6y) • (3x + 6y)
d) 16x2 – 25y2 = (4x)2 – (5y)2 = (4x – 5y) • (4x + 5y)
177
3. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
x
Yandaki modellerden yararlanarak aşağıda
verilen cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
2
a) 3x + 6x
2
c) x + 2x + 1
ç) x – 2x + 1
2
3
x2
a) ax + ay
b) 5x2y – 10x
ç) a2bc – ab2c – abc2
d) 3xyz2 – 6xy2z – 9x2yz
b) 6m2 + 12mn + 6n2
178
1
1
8
–1
c) 11m2n2 – 33mn
c) 2c2 – 4cd + 2d2
ç) 18x2 + 24x + 8
b) 50 – 2a2
c) 36y2 – 49x2
Aşağıdakilerden hangisi 48 + xy – 4x – 12y cebirsel ifadesinin çarpanlarından biridir?
3
50a + 25a = 25a
gelmelidir?
A) a2 + 1
7
–x
8
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
A) (x + 12)
6
1
–1
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 3x2 – 3y2
5
x
8
1
Aşağıdaki cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 4x2 – 12x + 9
4
8
1 444 2 444 3
2
x
x
x
2
b) 2x – 4x
–1
1
B) (y + 4)
•
C) (12 – x)
ifadesinin verilmeyen çarpanı olan
B) 2a2 + 1
C) 5a2 + 5
D) (x + 8)
yerine aşağıdakilerden hangisi
D) 5a2 – 5
2
x + ax + 484 üç terimli cebirsel ifadenin bir tam kare ifade belirtmesi için a doğal sayısı kaç
olmalıdır?
3. ÜNİTE
3.2.
EŞLİK VE BENZERLİK
3.2.1. Eşlik ve Benzerlik Arasındaki İlişki
Hatırlayalım
Yandaki karesel bölge çokgenlere ayrılmıştır.
Aşağıdaki şekillerden hangileri bu çokgenlerin eşleridir?
Sayıları şekildeki uygun yerlere yazınız.
Etkinlik
Eşlik ve Benzerlik
Aşağıda verilen düzlemsel şekilleri inceleyiniz. Düzlemsel şekilleri yanlarında verilen kareli
kâğıtlara kenar uzunluklarının birimleri değişmeyecek şekilde çiziniz.
179
3. ÜNİTE
Verilen düzlemsel şekillerin ve çizdiğiniz düzlemsel şekillerin kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini
karşılaştırınız.
Çizdiğiniz her bir düzlemsel şekil çifti arasındaki benzerlik ve farklılıkları açıklayınız.
Şekil çiftlerinin eşlik ve benzerliği için ne söylenebilir? Açıklayınız.
Eş şekillerde, karşılık gelen kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşittir. Eş şekiller “,” sembolü
ile gösterilir.
Benzer şekillerde karşılık gelen açı ölçüleri eşit fakat kenar uzunlukları orantılıdır.
Benzer şekiller “.” veya “+” sembolü ile gösterilir.
Örnek-1
Yandaki geometri tahtasında oluşturulmuş şekilleri inceleyelim. Şekiller eş mi yoksa benzer mi belirleyelim.
Çözüm
Her iki şekil de karedir. Karelerin açı ölçüleri eşit ve aynı zamanda kenar uzunluklarının biri diğerinin
belirli bir katı olduğundan bu şekiller benzerdir.
180
3. ÜNİTE
Örnek-2
Yandaki geometri tahtasında oluşturulmuş şekilleri inceleyelim. Şekiller eş mi yoksa benzer mi belirleyelim.
Çözüm
Her iki şekil de paralelkenardır. Paralelkenarların açı ölçüleri ve kenar uzunlukları eşittir. Bu iki şekil eştir.
Bu iki şekil eş olduğundan aynı zamanda benzer şekillerdir.
Eş şekiller aynı zamanda benzer şekillerdir. Ancak benzer şekiller eş olmak zorunda değildir.
Örnek-3
Yandaki geometri tahtasında oluşturulmuş şekilleri inceleyelim. Şekiller eş mi yoksa benzer mi belirleyelim.
Çözüm
Her iki şekil de üçgendir. Üçgenlerin açı ölçüleri eşit olmadığından biçimleri farklıdır. Ayrıca kenar uzunluklarının biri diğerinin belirli bir katı değildir. Üçgenler benzer veya eş değildir.
Örnek-4
Yanda kareli kâğıtta verilen çokgenlerden eş veya benzer olanları
belirleyelim.
Çözüm
Eş olan çokgenlerde açı ölçüleri ve kenar uzunlukları eşittir. O hâlde;
a ile e, b ile f eş çokgenlerdir.
Benzer olan çokgenlerin açı ölçüleri eşit, kenar uzunlukları orantılıdır. O hâlde;
b ile ı, c ile j, f ile ı, d ile g, f ile h’dir. Aynı zamanda eş olan a ile e ve b ile f de benzer çokgenlerdir.
181
3. ÜNİTE
1 br
D
Örnek-5
1 br
1 br
A
G ABC üçgenine
Yanda ABC üçgeni verilmiştir. Aşağıdaki üçgenlerden hangisinin verilen
eş, hangisinin benzer olduğunu
bulalım.
D
1 br
D
a)
1 br
b)
E
1 br
1 br
H
G 1 br
F
G
E
E
H
1 br
A
B
C
A
F
F
K
H
K
K
B
B
C
C
Çözüm
a) ABC ve DEF eşkenar üçgenlerdir. Bu durumda;
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin her bir iç açısının ölçüsü 60º dir.
ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
m( V
A ) = m( W
D ) = 60º
m( V
B ) = m( V
E ) = 60º
m( W
C ) = m( V
F ) = 60º
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
1 44 2 44 3
AB = 2 br, DE = 4 br
BC = 2 br, EF = 4 br
AC = 2 br, DF = 4 br
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinden kenar uzunlukları arasında 2 kat
ilişkisi vardır.
&
&
ABC üçgeni DEF üçgenine benzerdir. Bu durum ABC + DEF şeklinde gösterilir.
b) ABC ve GHK eşkenar üçgenlerdir. Bu durumda;
ABC ve DEF eşkenar üçgenlerinin her bir iç açısının ölçüsü 60º dir.
ABC ve DEF üçgenlerinin karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
m( V
A ) = m( W
G ) = 60º
m( V
B ) = m( W
H ) = 60º
m( W
K ) = 60º
C ) = m( W
AB = GH = 1 br
BC = HK = 1 br
AC = GK = 1 br
1 44 2 44 3
ABC ve GHK eşkenar üçgenlerinin karşılıklı kenar uzunlukları ikişer birimdir. Bu durumda,
ABC ve GHK eşkenar üçgenlerinde kenar uzunlukları eşittir.
&
&
ABC üçgeni GHK üçgeni ile eştir. Bu durum ABC , GHK şeklinde gösterilir.
&
&
ABC üçgeni GHK üçgeni ile eş ise aynı zamanda benzerdir. O halde, ABC + GHK ’dir.
182
3. ÜNİTE
Etkinlik
Üçgensel kâğıdımıza yandaki gibi
&
iki üçgen çizelim. Üçgenleri ABC ve
&
ADE olarak isimlendirelim.
Araç ve Gereçler
• üçgensel kâğıt
• renkli kalemler
• açıölçer
• cetvel
• kalem
&
&
ABC ile ADE ni karşılıklı eşleştirelim.
&
&
Açıölçer yardımıyla ABC ile ADE
nin açılarını ölçelim.
&
ABC
&
ADE eşleştirmesi sonucunda hangi açılar eştir?
Bu iki üçgene benzer üçgenler diyebilir miyiz? Açıklayınız.
Üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarını ölçerek oranlayalım. Bu oranları karşılaştıralım.
AB
AC
BC
= ?,
= ?,
=?
AD
AE
DE
Benzerlik oranının değerini bulunuz.
Benzer şekillerde karşılıklı kenar uzunlukları oranı birbirine eşittir. Bu orana benzerlik oranı
denir. Eş şekillerde benzerlik oranı 1’dir.
Örnek-6
A
Yanda verilen karelerin benzerlik oranını bulalım.
B
Çözüm
ABCD karesi + EFGH karesi
Karelerin karşılıkla kenarları arasındaki oran;
D
AB
AD
BC
CD
4
=
=
=
=
= 2’dir.
2
EF
EH
FG
GH
C
1 br
1b
Örnek-7
F
H
G
r
İki şeklin benzerlik oranı 2’dir.
E
Yanda üçgensel kâğıtta (eşkenar üçgenlerden oluşan kâğıt) verilen üçgenler
benzerdir. Üçgenlerin benzerlik oranını
bulalım.
A
K
B
C
L
M
183
3. ÜNİTE
Çözüm
ABC üçgeni ve KLM üçgeni eşkenar üçgenlerdir. ABC üçgeninin kenar uzunlukları üçer birim, KLM üçgeninin kenar uzunlukları ikişer birimdir.
&
&
ABC + KLM olduğuna göre;
AC
AB
BC
=
=
yazılabilir.
KM
KL
LM
İki üçgenin benzerlik oranı
AC
3
=
’dir.
2
KM
Örnek-8
A
D
60º
120º
120º
B
E
60º
120º
60º 120º
H
F
G
Yanda verilen yamuklar benzerdir. Benzerlik oranını bulalım.
60º
C
Çözüm
ABCD yamuğu ile HGFE yamuğu benzerdir. O hâlde;
ABCD + EFGH olduğundan,
CD
AB
BC
AD
=
=
=
dir.
FE
HG
GF
HE
İki şeklin benzerlik oranı
Çokgenlerin eşliğini veya benzerliğini yazarken ortak açıyı gösteren harfler
ve orantılı kenarlar aynı sırayla yazılmalıdır.
AB
2
=
= 2’dir.
1
HG
A
D
Örnek-9
3 br
2 br
Yanda verilen üçgenler benzerdir ve üçgenlerde aynı renkte verilen açı ölçüleri eşittir. Buna
göre, üçgenlerin benzerlik oranını bulalım.
B
4 br
C
Çözüm
&
&
ABC + EFD ’dir. Çünkü benzerlikte ortak
açıyı gösteren harfler ve orantılı kenarlar aynı
sırayla yazılmalıdır.
&
&
ABC + EFD ise m( V
A ) = m( V
E)
V
V
m( B ) = m( F )
m( W
C ) = m( W
D)
ve
AB
BC
AC
=
=
dir.
EF
FD
ED
O hâlde benzerlik oranı
184
12 br
9 br
AC
3
1
=
=
’tür.
9
3
ED
E
6 br
F
3. ÜNİTE
Örnek-10
A
2
ben3
zerlik oranına sahip olan EFGH paralelkenarını oluşturalım.
B
Yanda izometrik kâğıtta verilen ABCD paralelkenarı ile
D
Çözüm
1 br
ABCD + EFGH olduğundan
O hâlde
C
BC
AB
CD
AD
2
=
=
=
=
’tür.
3
FG
EF
GH
EH
4
2
4
2
2
=
=
=
=
’tür.
3
EF
FG
GH
EH
2
2
=
ise FG = 3 br
3
FG
1 44
4 2 44
43
4
2
•
=
ise EF = 4 3 = 6 br
3
2
EF
Paralelkenarımızın uzunlukları
6 br ve 3 br’dir.
E
F
Kenar uzunlukları 6 br ve 3 br olan paralelkenarımızı çizelim.
H
G
Örnek-11
Fotokopi kelimesinin Türk Dil Kurumu sözlüğündeki anlamı “tıpkıçekim”dir.
Günlük yaşamımızda işimizi oldukça kolaylaştıran fotokopi makineleri bir belgeyi bire bir aynı şekilde kopyaladığı gibi istenilen oranda büyüterek ve küçülterek de çoğaltabilir.
Boyutları 12 cm ve 16 cm olan bir resmi, fotokopi makinasında %50 oranında büyüterek çoğalttığımızda, resmin yeni boyutlarını ve benzerlik oranını
bulalım.
Çözüm
Resmin bulunduğu kâğıdın boyutlarını kareli kâğıdımızda çizerek
modelleyelim.
Resmin %50 oranında büyütülmesi her bir kenar uzunluğunun %50
oranında artırılması demektir. O hâlde kısa kenar uzunluğundaki artış;
12 •
50
= 6 cm
100
uzun kenar uzunluğundaki artış;
16 •
50
= 8 cm olur.
100
Resmin %50 büyümesinden sonraki boyutları:
kısa kenar, 12 + 6 = 18 cm ve uzun kenar 16 + 8 = 24 cm’dir.
185
3. ÜNİTE
Resmi yeni boyutlarına göre kareli kâğıdımıza çizerek mo-
delleyelim.
Benzerlik oranını bulalım.
Karşılıklı kenarlar arasındaki oran;
16
2
=
24
3
12
2
kısa kenarlar arasındaki oran:
=
’tür.
18
3
2
Öyleyse benzerlik oranı
’tür.
3
uzun kenarlar arasındaki oran:
Siz de resmin fotokopi makinesinde %50 oranında küçültülerek çoğaltılması durumunda yeni boyutlarını ve benzerlik
oranını bulunuz.
Etkinlik
Araç ve Gereçler
• kareli kâğıt
• cetvel
Kareli kâğıdımıza kenar uzunlukları 18 cm ve 24 cm olan bir
dikdörtgen çizelim.
Dikdörtgensel bölgeyi keserek çıkaralım.
Keserek çıkardığımız dikdörtgensel bölgeyi enine ve boyuna
ikiye katlayalım.
Kat izlerinden keselim.
Kaç parça elde ettiniz?
Elde ettiğiniz düzlemsel şekil nedir?
Elde ettiğiniz parçaları üst üste koyarak büyüklüklerini
karşılaştırınız.
Bu parçalara eş şekiller diyebilir miyiz? Nedenini açıklayınız.
Birinci adımda çizdiğimiz dikdörtgen ile keserek elde ettiğimiz
parçalardan birini, karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçülerine
göre karşılaştırınız. Bu iki şekle benzer şekiller diyebilir miyiz?
Nedenini açıklayınız.
Benzerlik oranını bulunuz.
186
18 cm
24 cm
3. ÜNİTE
Etkinlik
Pantograf Yapımı
Pantograf, şekilleri istenilen oranda büyütmek veya küçültmek için
kullanılan kollu, eklemli bir tür cetveldir.
Araç ve gereçleri kullanarak aşağıdaki pantografı oluşturalım.
O ucu, sabitlendikten sonra A ucuna bir pim, B ucuna da bir kalem
yerleştirelim.
Geometri şeritlerindeki delikleri ve pimi kullanarak
oranını istenilen şekilde hazırlayalım.
OA
OB
benzerlik
Araç ve Gereçler
• dört tane
299 mm’lik
geometri şeridi
• dört tane pim
• oyun hamuru
• vantuz
A ucunun altına büyütülecek çokgen şeklini yerleştirelim. A ucundaki pimi çokgen üzerinde
gezdirdiğimizde, B ucundaki kalem, bu şeklin ayarlanan orandaki büyütülmüşünü çizecektir.
Bir şekli küçültmek için pim ile kalemin yerleri değiştirelim. Pantografın B ucuna küçülecek şekli
yerleştirelim. A ucundaki kalem ise şeklin belli orandaki küçültülmüşünü çizecektir.
O
A
Herhangi bir altıgenin
B
2
oranında küçültülmüş benzerini çiziniz.
10
Bir dörtgen ve dörtgenin
2
oranında büyütülmüş benzerini çiziniz.
5
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıdaki ifadelerinden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
(...) Tüm eşkenar üçgenler eştir.
(...) Taban açıları eş, eşkenar üçgenler eştir.
(...) Tüm ikizkenar dik üçgenler eştir.
(...) Bir kenarı 5 cm uzunluğunda olan tüm eşkenar üçgenler eştir.
(...) Üç kenar uzunluğu eş olan üçgenler eştir.
187
3. ÜNİTE
2
3
Bir ABCD dikdörtgeni çiziniz. Dikdörtgenin köşegenlerini
çizerek kesişim noktasını K olarak adlandırınız. Oluşan
üçgenlerin birbirine eş olan üçgen çiftlerini yazınız.
Aşağıdaki ifadede noktalı yeri, bilgi doğru olacak şekilde tamamlayacak seçenek hangisidir?
“Benzer üçgenlerde karşılıklı iki kenar arasındaki orana .......................... denir.”
A) Eşlik oranı
C) Temel oran
D) Eşlik
Tangram, geometrik şekillerin birleşmesiyle oluşan bir Çin oyunudur.
Yandaki resimde tangram parçaları, yumurta şeklinde birleştirilimiş
olarak verilmiştir. Resmi inceleyiniz. Tangramda hangi parçaların eş
olduğunu ve nedenlerini açıklayınız.
4
5
B) Benzerlik oranı
Aşağıdaki ifadede noktalı yere gelmesi gereken uygun sözcük, hangi seçenekte verilmiştir?
“Bir eşkenar üçgenin yüksekliği çizildiğinde, oluşan üçgenler birbirleriyle .......................... ”
A) Benzer
6
B) Eş
C) Komşu
D) Dik
Aşağıda verilen bilgilerden kaçı yanlıştır?
I. Eş üçgenler benzer üçgenlerdir.
II. Benzer üçgenler eş üçgenler değildir.
III. Benzer üçgenlerde benzerlik oranı “1” ise bu üçgenler eştir.
IV. İki üçgen arasında verilen bir eşlemede, karşılıklı kenarlar orantılı ve açı ölçüleri eşit ise bu
üçgenler eştir.
A) 1
188
B) 2
C) 3
D) 4
3. ÜNİTE
7
&
&
ABC + MNP olduğuna göre bu iki üçgende birbirine eş açıları ve orantılı kenarları aşağıda boş
bırakılan yere yazarak gösteriniz.
8
Eski bir Çin oyunu olan tangramı kullanarak tangram parçalarındaki
benzer üçgenleri bulunuz.
9
Aşağıdakilerden hangisinde iç içe çizilmiş çokgenler benzer değildir?
A) B)
C) D)
A
10
&
&
Yanda verilen ABC ve DEF benzerdir.
Üçgenlerde verilmeyen kenar uzunluklarını
bulunuz.
D
6
3
B
8
C
E
F
189
3. ÜNİTE
3. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1
Aşağıda verilen cebirsel ifadelerin farklı gösterimlerini yazınız.
b) 2 • x3 • y
a) – 2x • 5x
2
ç) – 2x • y • x
Aşağıda verilen cebirsel ifadelerin terim, katsayı, değişkenlerini ve sabit terimini bulunuz.
a) – 3x • 2x – 3
3
c) x • y • y
b) 5 + x • y + 3
c) – 7x • x + 2 • 3
ç) 3 • (– 1) + x • (– y) • 2
Aşağıdaki çarpma işlemlerinin sonucunu modelleyerek gösteriniz.
a) 2 • (4x – 2)
b) (x + 1) • (2x + 1)
–1
4
x2
x
–x
olmak üzere aşağıda
1
verilen modellemelerin cebirsel ifadelerini yazınız.
a)
5
b)
c)
x
Aşağıdakilerden hangisi yanda modellemesi verilen cebirsel ifadedir?
A) (x + 2) • (x – 3)
B) (x – 2) • (x + 3)
D) (x + 2) • (x + 3)
C) (x – 2) • (x – 3)
x
–1
–1
–1
190
–1 –1
3. ÜNİTE
6
Aşağıda verilen özdeşliklerde
a) (– x + y)2 =
– 2xy + y2
b) (2x – 7)2 = 4x2 –
)2 = 16y2 – 8xy + x2
ç) (x –
8
+ 49
+ y)2 = 9x2 – 6xy + y2
c) (
7
yerine gelmesi gereken sayıları ve cebirsel ifadeleri bulunuz.
Aşağıda verilen cebirsel ifadelerle çarpanlarını eşleştiriniz.
I. sütun
II. sütun
2x2 – 6x
(x – 7) • (x – 7)
x2 – 36
(x + 6) • (x + 6)
x2 – 14x + 49
2x • (x – 3)
x2 + 12x + 36
(x – 6) • (x + 6)
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) x2 + 3x – 2 cebirsel ifadesi 2 terimlidir.
( ) 4x + 3y + 5 cebirsel ifadesinde 2 değişken vardır.
( ) x2 + 3x – 4 cebirsel ifadesinde sabit terim 4’tür.
( ) x2 + y2 + z – 3 cebirsel ifadesinde 4 terim vardır.
9
Aşağıdaki dikdörtgenlerden hangilerinin alanları eşittir?
I
x+1
II
8x + 24
III
A) I-II
2x + 2
2x + 6
4x + 8
4x + 12
IV
B) II-III ve IV
C) I-IV
x+3
8x + 8
D) I-III ve IV
191
3. ÜNİTE
10
11
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir özdeşlik değildir?
A) (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
B) (x – 5)2 = x2 – 10x + 25
C) – 3x (x – 2) = – 3x + 6
D) x2 – 22 = (x – 2) (x + 2)
2
2
497 – 503 işleminin sonucu, aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6000
B) 3600
C) – 6000
D) – 3600
12
2
x – 2x + 1 ifadesini, cebir karolarından yararlanarak çarpanlarına ayırınız.
13
2
Aşağıdakilerden hangisi, x + 12x + 36 cebirsel ifadesinin çarpanlarından biridir?
A) (x – 2)
14
B) (x + 5)
2
2x + 4x + 2
x2
7
x
7
–x
7
1
Aşağıda verilen cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 100x2 – 1
b) x2 – 6x + 9
c) y2 – 4y + 4
16
192
D) (x + 6)
Aşağıdaki cebir karolarından yararlanarak verilen cebirsel ifadeyi modelleme yapıp çarpanlarına
ayırınız.
1 4444 2 4444 3
15
C) (x + 3)
x3 + x2 – 9x – 9 ifadesinin tüm çarpanlarını bulunuz.
7
–1
3. ÜNİTE
(x + y)2 + (x – y)2 = 42 ise x2 + y2 nin değeri kaçtır?
17
A) 15
B) 21
C) 25
D) 32
Aşağıdaki karelerde verilen taralı bölgelerden hangisinin alanı, iki kare farkı kullanılarak bulunabilir?
18
y br
A
A) T
B
B)
x br
K
L
V
y br
x br
Z
x br
Y
D
C
x br
E
C) N
F
D)
M
R
y br
P
x br
y br
y br
H
19
T
G
S
x br
“İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede ................ ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise
bu üçgenlere benzer üçgenler denir.”
Yukarıdaki ifadede noktalı yere gelmesi gereken uygun ifade, aşağıdakilerden hangisidir?
A) Karşılıklı açılar orantılı
B) Açılar eş
C) Karşılıklı açılar eş
D) Açılar orantılı
A
20
D
3
B
7
5
3
7
C
E
5
F
Aşağıda verilen bire bir eşlemeden hangisine göre yukarıdaki üçgenler eştir?
&
&
A) ABC , EDF &
&
B) CAB , FDE
&
&
C) BAC , FDE &
&
D) BAC , EDF
193
3. ÜNİTE
Yandaki üçgenlerde 6BC@ ' 6DE@ ise;
21
A
6
x=? y=?
9
4
B
C
y
x
D
E
16
&
&
22
Yanda verilen ABC + EDC dir. Verilenlere göre eş açıları
ve orantılı kenarları yazarak verilmeyen AB uzunluğunu
bulunuz.
5
cm
D
A
m
3c
C
6 cm
4 cm
E
2 cm
B
A
Yanda verilen ABC üçgeni ile aşağıdaki üçgenlerden hangileri benzerdir?
23
8
4
B
D
I)
•
E
8
L
•
III)
6
H
M
S
194
B) II-III ve IV
K
3
P
6
N
•
IV)
12
A) I ve II
4
2
F
3
6
G
II)
5
2
•
8
•
C) II ve II
4
R
D) II-III ve IV
C
3. ÜNİTE
24
25
&
&
DEF + PRT olduğuna göre bu iki üçgende birbirine eş açıları ve orantılı kenarları aşağıda boş
bırakılan yere yazarak gösteriniz.
Yanda şekilde 6AB@ // 6DE@ dir. Verilenlere göre verilmeyen
DE kaç cm’dir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 27
5
A
3
C
12
D
26
B
E
Aşağıda verilen çokgenlere eş ve benzer çokgenler çiziniz.
A
B
D
C
K
L
P
M
T
R
S
A
B
F
C
E
D
195
3.
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4.1. DOĞRUSAL DENKLEMLER
4.2. DENKLEM SİSTEMLERİ
4.3. EŞİTSİZLİKLER
SEMBOLLER
1, 2, #, $, ^ x, y h
TERİMLER
Eğim, bağımlı değişken, bağımsız değişken, iki bilinmeyenli
doğrusal denklem sistemi, eşitsizlik
Bu Ünitede Neler Öğreneceğiz?
4.1. DOĞRUSAL DENKLEMLER
• Doğrusal ilişki içeren gerçek yaşam durumlarına ait tablo, grafik ve denklemi oluşturma ve
yorumlama,
• Doğrunun eğimini modellerle açıklama; doğrusal denklemleri, grafiklerini ve ilgili tabloları
eğimle ilişkilendirme,
• Doğrusal denklemlerde bir değişkeni diğeri cinsinden düzenleyerek ifade etme,
• Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözme.
4.2. DENKLEM SİSTEMLERİ
• İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerini çözme,
• Doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri ile bu denklemlere karşılık gelen doğruların grafikleri arasında ilişki kurma.
4.3. EŞİTSİZLİKLER
• Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren günlük yaşam durumlarına uygun matematik cümleleri yazma,
• Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösterme,
• Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikleri çözme.
196
4. ÜNİTE
4.1.
DOĞRUSAL DENKLEMLER
4.1.1. Doğrusal Denklemler ve Günlük Yaşam
Hatırlayalım
y = 2x – 1 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim.
Denklemin belirttiği grafiği çizmek için önce bir tablo oluşturalım. Tabloda x değişkenine farklı değerler
vererek y değişkeninin alacağı değerleri bulalım. Bulduğumuz noktaları koordinat sisteminde gösterelim ve
bu noktalardan geçen doğru grafiğini çizelim. (Doğrusal
denklemlerin grafiğini çizerken en az iki nokta bulunması yeterlidir. Çünkü iki noktadan yalnız bir doğru geçer.
Aşağıda, grafik çiziminin daha iyi anlaşılması için ikiden
fazla nokta bulunacak şekilde değerler verildi.).
x
2x – 1
y
(x, y)
–2
2 • (– 2) – 1
–5
(– 2, – 5)
–1
2 • (– 1) – 1
–3
(– 1, – 3)
0
2•0–1
–1
(0, – 1)
1
2•1–1
1
(1, 1)
2
2•2–1
3
(2, 3)
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
–5
x
Doğrusal denklemlerin grafikleri bir
doğru belirtir.
Siz de y = 3x + 2 doğrusal denkleminin grafiğini çiziniz.
Örnek-1
Ahmet her gün düzenli olarak 30 soru çözerek sınava hazırlanmaktadır. Ahmet’in çözdüğü soru sayısı
ve gün sayısı arasındaki ilişkiyi tablo, grafik ve denklem oluşturarak gösterelim ve yorumlayalım.
Çözüm
Çözülen soru sayısı ve gün sayısı arasındaki ilişkiyi
gösteren bir tablo oluşturalım.
Tablo: Geçen Süre ve Çözülen Soru Sayısı
Geçen Süre
(Gün)
İlişki
Çözülen Soru Sayısı
1
30 • 1
30
2
30 • 2
60
3
30 • 3
90
4
..
.
30 • 4
..
.
120
..
.
x
30’un x katı
30 • x
Tablodaki örüntüyü incelediğimizde çözülen soru
sayısını y ile gösterirsek bu sayı ile geçen süre olan
x arasındaki ilişkinin y = 30 • x şeklinde olduğunu
kavrarız. Bu da doğrusal bir denklem grafiğidir.
y
180
150
120
90
60
30
0
1 2 3 4 5 6
x
x değişkenine bağlı olarak y’nin değiştiğini
söyleyebiliriz. Buna göre x bağımsız, y ise bağımlı
değişkendir. Grafik orijinden geçmektedir. Çünkü
0 günde 0 soru çözülmüştür.
197
4. ÜNİTE
Örnek-2
Basketbol kursuna kaydolan Cihan, kayıt ücreti olarak 120 TL ve her ay
için 40 TL ücret ödeyecektir. Cihan’ın kursa ödeyeceği ücretle geçen zaman arasındaki ilişkiyi tablo, grafik ve denklem oluşturarak gösterelim ve
yorumlayalım.
Çözüm
Kursa ödenecek ücretle geçen zaman arasındaki
ilişkiyi gösteren bir tablo oluşturalım.
Tablo: Aylara Göre Kurs Ücreti
Süre (ay)
İlişki
Ödenen Ücret (TL)
0
120 + 0 • 40
120
1
120 + 1 • 40
160
2
120 + 2 • 40
200
3
..
.
120 + 3 • 40
..
.
240
..
.
x
120 + x • 40
y = 120 + x • 40
Ödenen Ücret (TL)
y
240
200
160
120
80
40
0
Tablodaki örüntüyü incelediğimizde ödenen ücreti y
ile gösterirsek bu sayı ile geçen süre olan x arasındaki
ilişkinin y = 120 + x • 40 olduğunu görürüz. Bu da
doğrusal bir denklem grafiği belirtir.
Örnek-3
1 2 3 4
x
Süre (Ay)
Değerler pozitif olduğu için grafiğimiz 1.
bölgededir.
x değişkenine (süreye) göre y’nin (ödenecek
ücretin) değiştiğini söyleyebiliriz. O hâlde x bağımsız, y bağımlı değişkendir.
Mehmet Bey bilgisayar malzemeleri satmak için bir mağaza açmıştır. Mehmet Bey ilk üç ay sırası ile 12 000,
8000 ve 4000 TL zarar etmiştir. Dördüncü ayda ne kâr ne de zarar etmiştir. Beşinci aydan itibaren sıra ile 4000,
8 000 ve 16 000 TL kâr etmiştir. Mağazanın kâr-zarar durumunu aylara göre gösteren bir tablo düzenleyelim.
Tablodan yararlanarak grafik ve denklemi oluşturalım ve yorumlayalım.
Çözüm
Tablo: Aylara Göre Kâr-Zarar Durumu
Süre (Ay)
İlişki
Kâr-Zarar Durumu (1000)
1
1’in 4 katının 16 eksiği
– 12
2
2’nin 4 katının 16 eksiği
–8
3
3’ün 4 katının 16 eksiği
–4
4
4’ün 4 katının 16 eksiği
0
5
5’in 4 katının 16 eksiği
4
6
6’nın 4 katının 16 eksiği
8
7
..
.
7’nin 4 katının 16 eksiği
..
.
12
..
.
x
x’in 4 katının 16 eksiği
y = 4x – 16
198
Tablodaki örüntüyü incelediğimizde
kâr-zarar durumunu y ile gösterirsek bu
sayı ile geçen süre olan x arasındaki
ilişkinin y = 4x – 16 şeklinde olduğunu
görürüz.
4. ÜNİTE
Pozitif ve negatif değerlerimiz olduğu için grafik, 1 ve
4. bölgede çizilmiştir.
Kâr - Zarar (1000 TL)
y
x değişkenine (süreye bağlı olarak) y’nin değeri (kârzarar durumu) değişmektedir. Buna göre x bağımsız, y
bağımlı değişkendir.
12
8
4
Grafiğin x eksenini kestiği nokta olan (4, 0) da mağaza
ne kâr ne de zarar etmektedir. 1. bölgede mağaza kârda,
2. bölgede ise zarardadır. Grafiğe göre mağaza her ay
x Süre (Ay) bir önceki aya göre 4000 TL daha fazla kazanmaktadır.
Grafik y eksenini kesmemektedir. Çünkü 0. ayda mağaza
açılmadığı için mağazanın ne kâr ne de zarar durumu
söz konusudur.
1 2 3 4 5 6 7
–4
–8
–12
Örnek-4
Belgin Hanım ve kızı Zeynep arasındaki yaş farkı 24’tür. Zeynep’in
yaşına göre anne ve kızı arasındaki yaş farkını gösteren tabloyu, grafiği
ve denklemi oluşturarak yorumlayalım.
Çözüm
Tablo: Yaş Farkı
Zeynep’in Yaşı
İlişki
Yaş Farkı
0
24 – 0
24
1
25 – 1
24
2
26 – 2
24
3
27 – 3
24
4
..
.
28 – 4
..
.
24
..
.
x
Annenin yaşı – kızının yaşı
y = 24
Yaş Farkı
0
y = 24
1 2 3 4 5
x değişkeni hangi değeri alırsa alsın
y’nin değeri değişmez.
Pozitif değerler olduğu için grafik, 1. bölgede çizilmiştir.
y
24
Tablodaki örüntüyü incelediğimizde
Zeynep’in yaşını x ile gösterirsek bu sayı
ile yaş farkını gösteren y arasındaki ilişki
y = 24 şeklinde olur.
x Zeynep’in Yaşı
Grafiğin y eksenini kestiği nokta, Zeynep doğduğunda annesinin 24 yaşında olduğunu göstermektedir. Aynı zamanda bu değer, anne ile kız arasındaki
yaş farkıdır. Zeynep’in yaşındaki değişim yaş farkını
değiştirmediği için grafik, x eksenine paraleldir. Zeynep kaç yaşında olursa olsun Belgin Hanım ile yaş
farkları hep 24 olacaktır.
199
4. ÜNİTE
Örnek-5
Aşağıda verilen denklemlerin grafiklerini çizelim ve yorumlayalım.
a) y = 3x
b) x = – 2y
Çözüm
Denklemlerin grafikleri doğru belirtir. Bu doğruları çizelim.
a) y = 3x denkleminde x’in alacağı farklı değerler için y’nin alacağı değerleri bulalım. Yani x’i bağımsız,
y’yi bağımlı değişken olarak alalım.
x
y = 3x
(x, y)
–2
y = 3 • (– 2) = – 6
(– 2, – 6)
–1
y = 3 • (– 1) = – 3
0
y=3•0=0
(– 1, – 3)
1
y=3•1=3
(1, 3)
2
y=3•2=6
(2, 6)
(0, 0)
6
5
4
3
2
1
–3 –2 –1 0
y = 3x
x
1 2 3
–1
–2
–3
–4
–5
–6
b) x = – 2y denkleminde y’nin alacağı farklı değerler için x’in alacağı değerleri bulalım. Yani y’yi bağımsız,
x’i bağımlı değişken olarak alalım.
y
x = – 2y
(x, y)
–2
x = – 2 • (– 2) = 4
(4, – 2)
–1
x = – 2 • (– 1) = 2
(2, – 1)
0
x=–2•0=0
(0, 0)
1
x=–2•1=–2
(– 2, 1)
2
x=–2•2=–4
(– 4, 2)
– 2y = x doğrusu orijinden geçmektedir.
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
x
1 2 3 4
– 2y = x
(0, 0) noktası denklemi sağlıyorsa yani x = 0 için y = 0 oluyorsa bu doğru orijinden geçer. Orijinden geçen doğru denklemlerinde sabit terim yoktur.
200
4. ÜNİTE
Örnek-6
Aşağıda verilen denklemlerin grafiklerini çizelim ve yorumlayalım.
a) x = 4 ve x = – 2 b) y = 3 ve y = – 4
Çözüm
Verilen denklemler birer doğru belirtir.
a) x = 4 ve x = – 2 doğrularında x sabit bir değerdir. Doğrular y eksenine paraleldir.
x = 4 doğrusu x eksenini (4, 0) noktasında keser.
x = – 2 doğrusu x eksenini (– 2, 0) noktasında keser.
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
1 2 3 4
x
x = a biçimindeki doğrular, y eksenine paraleldir. Bu doğrular, x eksenini
(a, 0) noktasında keser.
b) y = 3 ve y = – 4 doğrularında y sabit bir değerdir. Doğrular x eksenine paraleldir.
y = 3 doğrusu x eksenini (0, 3) noktasında keser.
y = – 4 doğrusu x eksenini (0, – 4) noktasında keser.
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
–3
1 2 3 4
x
y = a biçimindeki doğrular, x eksenine paraleldir. Bu doğrular, y eksenini
(0, a) noktasında keser.
–4
Örnek-7
y = x – 2 denkleminin grafiğini çizelim ve yorumlayalım.
Çözüm
y = ax + b şeklindeki denklemlerde yani sabit terimin bulunduğu denklemlerde, grafiğin eksenleri kestiği
nokta bulunur.
x ekseni üzerinde bulunan bir noktanın y değeri sıfırdır. y ekseni üzerinde bulunan bir noktanın x değeri
sıfırdır. O hâlde grafiğin eksenleri kestiği noktaları bulmak için denklemde x = 0 için y eksenini kestiği nokta,
y = 0 için x eksenini kestiği nokta bulunur.
y = x – 2 denkleminde;
y = x – 2 denkleminde;
(0, – 2)
y = 0 için 0 = x – 2
x=2
;
;
x = 0 için y = 0 – 2
y=–2
(2, 0)’dır.
201
4. ÜNİTE
Grafiğin eksenleri kestiği noktalardan yararlanarak çizim yapalım.
2
1
–2 –1 0
–1
x
1 2
y = ax + b biçiminde sabit terimi olan
doğrusal denklemlerin grafikleri x ve y
eksenlerini keser.
–2
Örnek-8
y = 2x + 4 denkleminin grafiğini çizelim ve yorumlayalım.
Çözüm
y = 2x + 4 denkleminde sabit terim vardır. O hâlde grafiğin x ve y eksenini kestiği noktaları belirleyerek
çizim yapılabilir. Bunun için x ve y yerine 0 yazılır. Doğrunun eksenleri kestiği noktalar dışında diğer noktaları da tabloda vererek grafiğimizi çizelim.
x
y
(x, y)
0
4
–2
0
(– 2, 0)
–1
2
(– 1, 2)
1
6
(1, 6)
6
(0, 4)
4
2
–2 –1 0
ALIŞTIRMALAR
1
Ormanların en önemli faydası şüphesiz oksijen kaynağı olmalarıdır. 1 hektar alandaki iğne yapraklı ağaçlar, yılda 30 ton oksijen üretir. İğne yapraklı ağaç sayısı
ile ürettikleri oksijen miktarı arasındaki ilişkiyi tablo, grafik ve denklem oluşturarak gösteriniz ve yorumlayınız.
2
Ayşe Hanım reçel yapıp satmaktadır. Ayşe Hanım masraflar
için 270 TL harcamıştır. Bir kavanoz reçeli 15 TL’ye satan Ayşe
Hanım’ın kaç kavanoz reçel sattıktan sonra kâra geçeceğini tablo, grafik ve denklem oluşturarak gösteriniz. Grafiği yorumlayınız.
202
1 2
x
4. ÜNİTE
3
Yandaki grafikte Özge’nin haftalara göre ezberlediği İngilizce kelime sayısı gösterilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
y
90
80
70
60
50
A) Grafik, x eksenini (50, 0) noktasında kesmektedir.
B) Özge, 8. haftada 110 kelime ezberlemiştir.
C) Grafik, y eksenini kesmez.
D) Doğrunun denklemi y = 50 + x • 10’dur.
0
4
C)
Zaman
1
2
Yol (km)
50
90
Zaman
1
2
Yol (km)
70
90
7
8
Haftalar
3
B)
4
140 200 3
4
120 150
D)
Zaman
1
Yol (km)
70
Zaman
1
Yol (km)
75
2
3
4
120 170 220
2
3
4
150 220 290
Aşağıdaki doğru denklemlerinden hangisinin grafiği orijinden geçer?
A) 2x + 3y = 4
6
x
Aşağıdaki tabloların hangisinde değişkenler arasında doğrusal bir ilişki vardır?
A)
5
1 2 3 4
B) 2x = 8
C) 4x = 8y
D) y – 2x – 8 = 0
Grafiği eksenleri kesen bir doğru denklemi yazınız ve grafiğini çiziniz.
Yandaki tabloda x değerlerine karşılıklı gelen y değerleri verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi bu değerler arasındaki ilişkinin doğrusal denklemidir?
A) 2x + 3y – 6 = 0
B) 2x – 3y + 6 = 0
C) 2x – y + 4 = 0
D) 2x – y – 6 = 0
Yanda grafiği verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x + 2y = 1
B) 2x + y = 4
C) 2y + x = 4
D) 2x – y – 2 = 0
x
y
1
–4
–1
–8
3
0
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4
–1
–2
–3
x
203
4. ÜNİTE
4.1.2. Doğrusal Eğim
Aşağıda verilen soruları arkadaşlarınızla tartışarak yanıtlayınız.
• Kışın kayak yapanların ne tür bir zemine ihtiyaçları
vardır?
• Toprak erozyonu en çok hangi bölgemizde olmaktadır? Erozyonun oluş nedenini açıklayınız.
• Sel ve çığ hangi bölgelerde daha çok oluşur?
• Kuzey ülkelerinde, yerleşim yerlerinin çatıları neden
diktir?
• Rafting yapılırken ne tür nehirler tercih edilir? Nedenini açıklayınız.
• Kaldırımlar, yürüme engelliler için nasıl düzenlenmelidir?
Siz de günlük yaşamınızdan eğimle ilgili örnekler veriniz.
Örnek-1
Yandaki resimde verilen merdivenin eğimini hesaplayalım.
Çözüm
Merdivenin eğimi =
Dikey uzunluk
= 225
300
Yatay uzunluk
Dikey uzunluk
= 75 = %75
100
Yatay uzunluk
Dikey uzunluk
= 0,75
Yatay uzunluk
Bir yüzey ya da doğru üzerinde, birim uzaklıktaki iki nokta arasındaki yükselme ya da alçalma
değerine eğim denir.
Eğim m harfiyle gösterilir.
m=
Dikey uzunluk
Yatay uzunluk
Örnek-2
Yandaki fotoğrafta bulunan yolun eğimini hesaplayalım.
Çözüm
Yolun eğimi =
Dikey uzunluk
=
Yatay uzunluk
dikey uzunluk
yatay uzunluk
12 = %12
100
12
100 = 0,12 bulunur.
eğim % 12
0
10
m
204
12 m
4. ÜNİTE
Örnek-3
Bir tren önce 1. demiryolunda bir süre devam etmiş daha sonra 2. demiryoluna geçmiştir. Tren 1. demiryolundan 2. demiryoluna geçtiğinde eğimde nasıl bir değişiklik olduğunu bulalım.
1. demiryolu
2. demiryolu
Çözüm
1. demiryolundaki eğim:
m=
Dikey uzunluk
Yatay uzunluk
2. demiryolundaki eğim:
m=
Dikey uzunluk
Yatay uzunluk
m = 5 = 40 . 40 = %40
96
100
12
_8i
m = 3 = 75 = %75
4
100
3m
5m
4m
12 m
Birinci yoldaki eğim %75, ikinci yoldaki eğim %40’tır. O hâlde eğim, birinci yoldan ikinci yola geçerken
azalmıştır.
Etkinlik
Dağların Eğimini İnceleyelim
Yanda verilen fotoğrafı inceleyiniz.
Dağcının tırmandığı dağın eğimi, verilen doğru parçalarından
hangisidir? Bu doğru parçasının uzunluğunu nasıl hesaplanabilir?
Düşününüz.
Dağın eğimini, yüzde cinsinden ya da ondalık kesirle gösterebilir
misiniz? Açıklayınız.
40 m
Dağın eğimini bulurken verilen yatay ve dikey uzunluklardan nasıl
yararlanabilirsiniz? Tartışınız.
100 m
205
4. ÜNİTE
Örnek-4
y = 3x doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım.
Çözüm
3
2
1
y = 3x denkleminde x değişkenine verilen değerlere bağlı olarak y değişkeninin aldığı değerleri bir tabloya sıralı ikililer hâlinde yazalım:
x
y
–1
–3
0
0
(0, 0)
+1
3
(1, 3)
m=
(– 1, – 3)
Dikey uzunluk
Yatay uzunluk
y = 3x doğrusu sağa doğru eğimli olduğu için pozitif değer
alır.
m = 3 = 3’tür.
1
y = 3x doğrusunun eğimini grafik çizmeden bulalım:
y = 3x
1
3
3 br
–3 –2 –1 0 1 br 1 2 3
–1
–2
–3
(x, y)
Doğru
x’in Kat- y’nin KatDenklemi sayısı
Sayısı
y = 3x
m= 3
1
x’in katsayısı
y’nin katsayısı
m = 3’tür.
x
Doğrunun eğimi pozitif veya negatif
olabilir. Eğimi pozitif olan doğrular, sağa
doğru; eğimi negatif olan doğrular, sola
doğru eğimlidirler.
y = mx + b biçimindeki bir denklemde x’in katsayısı olan m sayısına, doğrunun eğimi denir.
Örnek-5
y = x + 2 doğrusunun grafiğini çizerek eğimini bulalım.
Çözüm
y = x + 2 denkleminde, x değişkenine verilen değerlere
bağlı olarak y değişkeninin aldığı değerleri bir tabloya sıralı
ikililer hâlinde yazalım:
x
y
(x, y)
–2
0
–1
1
(– 1, 1)
0
2
(0, 2)
1
3
(1, 3)
(– 2, 0)
3
2
1
–3 –2 –1 0 3 br1 2 3
–1
y=x+2
–2
–3
y = x + 2 doğrusu sağa doğru eğimli olduğu için eğimi pozitif değer alır.
m=
Dikey uzunluk
Yatay uzunluk
m = 3 = 1’tür.
3
206
3 br
x
4. ÜNİTE
y = x + 2 doğrusunun eğimini grafik çizmeden bulalım.
Doğru Denklemi
x’in Katsayısı
y’nin Katsayısı
y=x+2
1
1
x’in katsayısı
y’nin katsayısı
m= 1
1
m = 1’dir.
Örnek-6
y=
2
x + 5 doğrusunun eğimini bulalım.
3
Çözüm
y=
2
2
x + 5 doğrusunun eğimi x’in katsayısıdır. O hâlde; m =
tür.
3
3 ’
x’in katsayısı
Örnek-7
Denklemi y = mx – 2 olan doğrunun B(1, 4) noktasından geçmesi için eğimin ne olması gerektiğini bulalım.
y = mx – 2 denkleminde m’nin değeri bize eğimi verir.
Çözüm
y = mx – 2 denkleminde B noktasının x değerini ve x’e karşılık gelen y değerini yerine
koyalım.
B(1, 4)
4 = (m • 1) – 2
x y
4=m–2
m = 6’dır.
Örnek-8
2x + 3y – 6 = 0 doğrusunun eğimini grafik çizerek bulalım.
Çözüm
2x + 3y – 6 = 0 denkleminde x değişkenine verilen değerlere bağlı olarak y değişkeninin aldığı değerleri bir tabloyla
sıralı ikililer hâlinde yazalım.
x
y
(x, y)
–3
4
0
2
(0, 2)
3
0
(3, 0)
(– 3, 4)
2x + 3y – 6 = 0 doğrusu sola doğru eğimli olduğu için eğimi
negatif değer alır.
2x + 3y – 6 = 0
4
3
2
1
–3 –2 –1 0
2 br
3 br
1 2 3
–1
–2
x
Dikey uzunluk
= 2 ’tür. Ancak eğim m = – 2 ’tür.
3
3
Yatay uzunluk
207
4. ÜNİTE
2x + 3y – 6 = 0 doğrusunun eğimini grafik çizmeden bulalım. Öncelikle doğru denkleminde y değişkenini
x değişkeni cinsinden yazalım.
2x + 3y – 6 = 0
3y = 6 – 2x
y = 6 – 2x = 6 – 2x = 2 – 2 x
3
3
3
3
2
O hâlde y = 2 – x ise m = – 2 ’tür.
3
3
x’in katsayısı
Örnek-9
y = 3 doğrusunun eğimini bulalım.
Çözüm
y = 3 doğrusunun grafiğini çizelim.
Görüldüğü gibi y = 3 doğrusunun eğimi
sıfırdır.
3
2
1
–3 –2 –1 0
–1
–2
–3
y=3
1 2 3
x eksenine paralel olan doğruların
eğimi sıfırdır.
x
Örnek-10
x = 2 doğrusunun eğimini bulalım.
Çözüm
x = 2 doğrusunun grafiğini çizelim.
x = 2 doğrusunun eğimi sonsuzdur.
3
2
1
–3 –2 –1 0
–1
–2
–3
y eksenine paralel olan doğruların
eğimi sonsuzdur.
1 2 3
x=2
208
x
4. ÜNİTE
d2
Örnek-11
d1
Yanda koordinat sisteminde verilen d1: y = x ve d2: y = – 3x
doğruların eğimlerini bularak karşılaştıralım.
Çözüm
d1: y = x doğrusunun eğimi x’in katsayısı olan 1’dir.
m1 = 1
d2: y = – 3x doğrusunun eğimi x’in katsayısı olan – 3’tür.
m2 = – 3
d2 doğrusunun eğimi d1 doğrusunun eğiminden daha büyüktür.
Doğruların eğimlerini karşılaştırırken eğimi veren değerlerin mutlak değeri alınarak karşılaştırma yapılır.
Örnek-12
x – 3y + 6 = 0 doğrusunun eğimini bulalım.
Çözüm
x – 3y + 6 = 0 doğrusal denkleminde y değişkenini x değişkeni cinsinden düzenleyelim.
3y = x + 6
+
y= x 6 = x + 6 = 1x+2
3
3
3
3
O hâlde y = 1 x + 2 ise m = 1 ’tür.
3
3
x’in katsayısı
Örnek-13
x + y – 1 = 0 doğrusunun eğimini bulalım.
3
2
Çözüm
x + y – 1 = 0 doğrusal denkleminde y değişkenini x değişkeni cinsinden düzenleyelim.
3
2
x + y = 1 (Payda eşitleyelim.)
3
2
_3i
_2i
2x + 3y
= 1 (İçler dışlar çarpımı yapalım.)
6
2x + 3y = 6 ise 3y = 6 – 2x
y = 6 – 2x = 6 – 2 x ise m = – 2 ’tür.
3
3
3
3
x’in katsayısı
209
4. ÜNİTE
Örnek-14
– 3y + 4x + 5 = 0 doğrusal denkleminde x değişkenini y değişkeni cinsinden yazalım.
Çözüm
– 3y – 4x + 5 = 0
4x = 3y – 5
–
x = 3y 5
4
x= 3 y– 5
4
4
Bunu biliyor muydunuz?
Antik Mısırlılar, tepelerin eğimlerini göstermek için tabelalar
kullanıyorlardı. Örneğin tabelalara 1:6 gibi sayısal oranlar yazıyorlardı.
Bunun anlamı, ufuk çizgisinden dikeye doğru olan açının, altı eş
parçaya bölündüğünü ve eğimin bu parçalardan biri kadar olduğudur.
Etkinlik
Doğruyla Dağın Eğimi
y
5y – 3x = 0
30
20
30 m
10
50 m
O
10
20
30
40
50
x
Dağın eğimini bulunuz.
Dağın eğimiyle l doğrusunun eğimi arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.
l doğrusunun denklemi ile eğimi arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.
210
4. ÜNİTE
Etkinlik
Tabloda Tam Kare
Elektronik tablolama yazılımını kullanarak y = 3x + 2 doğrusunun
grafiğini çiziniz.
Araç ve Gereçler
• bilgisayar
Doğrunun denklemi ile doğrunun grafiği arasında nasıl bir ilişki olduğunu
açıklayınız.
y = 3x + 2 denkleminde x’in katsayısını değiştirerek oluşan grafiklerin eğimlerindeki değişmeyi
gözlemleyiniz.
y = 3x + 2 denkleminde x’in ve y’nin katsayılarını sabit tutup diğer sayısal değeri değiştirerek
oluşan grafiklerin eğimlerindeki değişmeyi gözlemleyiniz.
y = ax + b biçimindeki denklemlerde x’in katsayısının değişmesi ile eğimdeki değişim arasında
nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.
ALIŞTIRMALAR
1
Yandaki resimde verilen dağın eğimini bulunuz.
•
2
Yandaki resimde verilen merdivenin eğimini bulunuz. Eğimi yüzde ve ondalık kesir cinsinden yazınız.
5m
3m
3
Aşağıda denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
b) y = – 1 x
3
a) y = x
4
c) y = 2 x
3
ç) y = 3
d) x = – 5
Aşağıda denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
a) y = 2x + 3
b) y = – x + 4
c) y = 1 x + 3
2
ç) y = – 3 x – 2
4
211
4. ÜNİTE
5
Aşağıda verilen doğru denklemlerini, y = mx + n şeklinde yazıp eğimlerini bulunuz.
a) x – y + 5 = 0
b) 2x – y – 6 = 0
c) 2x + y – 4 = 0
ç) x + 2y – 2 = 0
d) 3x + 6y – 6 = 0
6
Denklemi y = mx + 3 olan doğrunun A(– 1, + 2) noktasından geçmesi için eğim (m) ne olmalıdır?
7
Aşağıda grafikleri verilen doğrulardan hangisinin eğimi negatiftir?
A) B)
3
0
–1
x
1
–2
C) 0
x
D)
3
1
0
8
0
x
y = – 4x denklemine sahip olan doğrunun eğimi, aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
212
2
B) – 4
1
C) 2 D)
–1
4
x
4. ÜNİTE
9
Denklemi y = 2x – 4 olan doğrunun grafiğini, yandaki kareli kâğıda çizerek eğimini bulunuz. Eğimi “%”
sembolüyle ifade ediniz.
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
10
1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
x
y = ax + b biçimindeki bir denklemle ilgili olarak aşağıda verilenlerden hangisi yanlıştır?
A) Bir doğru denklemidir. A(0, b) bu denkleme ait bir noktadır.
B) B(–
b
, 0) bu denkleme ait bir noktadır.
a
C) Bu denklemin grafiğini çizmek için koordinat düzleminde iki nokta belirlenmelidir.
D) Eğimi, m =
11
a
’dir.
b
Yanda grafiği verilen d doğrusu için aşağıda istenilenleri bulunuz.
y
a) Yanda verilen d doğrusunun eğimini bulunuz.
4
3
2
b) Eğimi yüzde ve ondalık kesirle ifade ediniz.
M(–4, 0)
1
–4 –3 –2 –1 0
N(0, 2)
1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
x
213
4. ÜNİTE
12
Aşağıda verilen doğru denklemleriyle eğimlerini eşleştiriniz.
I. y =
A. – 2
–4
x+1
5
5
B. 2
II. 2x + y = – 2
III.
–4
C. 5
2
D. 3
3y
2x
–
=1
3
2
4
E. 9
IV. – 5x + 2y = 0
13
–3
F. 2
Aşağıdaki cümlede noktalı yerleri tamamlayınız.
Bir yüzey ya da doğru üzerinde, birim uzaklıktaki iki nokta arasındaki yükselme, alçalma değerine
........................ denir ve “m” ile gösterilir. m =
14
............. .............
şeklide ifade edilir.
............. .............
y
Yanda grafiği verilen d doğrusunun eğimi, aşağıda verilenlerden hangisidir?
4
A) 3 B)
–4
3
3
C) 4 D)
–3
4
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
15
1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
x
2
A(3, 2) noktası,
x + 2y – 6 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre doğrunun eğimi, aşağıdakilera
den hangisidir?
A) 6
214
d
B) 3
1
C) 3 D)
–1
3
4. ÜNİTE
16
B) – 2
A) 2
17
a
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
b
–1
1
C)
D) 2
2
ax + by + 2 = 0 doğrusunun eğimi 2 ise
Aşağıda denklemi verilen doğrulardan eğimi en küçük olan doğru hangisidir?
B) y = 2x + 2
A) y = x
C) y – 2x + 1 = 0
D) – x – y = 1
18
Denklemi 2x + 3y – 12 = 0 olan doğrunun grafiğini çizerek eğimini bulunuz.
19
Aşağıda grafiği çizilmiş olan doğrulardan hangisinin eğimi 1’den farklıdır?
A) B)
1
1
–1 0
0
x
C) 1
x
D)
2
–2
0
0
x
2
x
–2
20
Aşağıda denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
a) y =
3x
2
b)
2y
x
= 4
3
c) y =
1
x + 4
2
ç) – 5 + 4y –3 = 0
215
4. ÜNİTE
4.1.3. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Cengiz Usta, elindeki ahşap malzemenin üçte biriyle sandalye ve geriye
2
kalan kısmın beşte biriyle çerçeve yaptı. Cengiz Usta, çerçeve için 2 m
lik ahşap malzeme kullandı. Cengiz Usta’nın başlangıçta kaç m2 ahşap
malzemesi olduğunu hesaplayabilmek için denklemlerden nasıl yararlanabiliriz? Denklem kurarken nelere dikkat ettiğinizi açıklayınız.
Örnek-1
x + 1 = 5 denkleminde bilinmeyen x’i bulalım.
2
3
6
Çözüm
Beyaz şeffaf kesir kartına x diyelim.
Şeffaf kesir kartına x diyelim.
2
x
2
+
1
3
=
5
6
x ’yi gösteren şeffaf kartın hangi rasyonel sayıya eşit olduğunu bulmak için eşitliğin her iki yanını 1 ün
2
3
toplama işlemine göre tersi olan (– 1 ) ile toplayalım.
3
x + 1 + –1 = 5
1
–
2
3 ( 3) 6 +( 3)
1 44 2 44 3
0
x
5
–1
=
2
6 +( 3)
_2i
(Rasyonel iki ifadeyi toplamak için paydaları eşitleyelim.)
5 + ^– 2h
x
=
2
6
x
3
=
2
6
2•
1
x
3 • 1
=
2
2
6
3
1
x = 1 olur.
1
’nin çarpma işlemine göre tersi olan 2
(Eşitliğin her iki yanını
2
sayısıyla çarpalım.)
Yaptığımız işlemi kontrol edelim.
Bunun için denklemimizde x yerine 1 yazalım.
1 + 1 = 5
1 + 1 = 5
ise
’dır.
2
3
3
6
6
2
_3i
_2i
1
2
1
3
5
6
1
2
1
3
5
6
216
3 + 2 = 5 dır.
6 ’
6
Bir denklemde eşitliğin her iki tarafını aynı sayıyla toplamak, çıkarmak,
çarpmak ya da bölmek denklemdeki
eşitliği bozmaz.
5 = 5
(Eşitlik sağlandığı için çözüm doğrudur.)
6
6
4. ÜNİTE
Örnek-2
Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 18’dir. Ali kaç yaşındadır?
Çözüm
Ali’nin yaşına x dersek,
Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 2 x olur.
3
Ali’nin yaşının iki katının üçte biri 18’e eşit ise 2 x = 18’dir.
3
Denklemi çözelim:
3
2
2
x = 18
3
13 2 1
9
•
x = 18 • 3
2
12 3 1
x=9•3
2
(Bilinmeyeni yalnız bırakmak için eşitliğin her iki yanını
sayısının çarpmaya
3
3
işlemine göre tersi olan 2 sayısıyla çarpalım.)
x = 27 olur.
Ali’nin yaşı 27’dir.
Yaptığımız işlemi kontrol edelim. Bunun için denklemimizde x yerine 27 sayısı yazalım:
3
2
3
2
3
2
2
x = 18’dir.
3
2 • 9
27 = 18’dir.
3
2
18 = 18 (Eşitlik sağlandığı için yaptığımız işlem doğrudur.)
3
Örnek-3
5x – 10 = 1 denklemini sağlayan x değerlerini bulalım.
5 ^x – 2h
Çözüm
5x – 10 = 1 (Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanalım.)
5 ^x – 2h
5x – 10 = 1 olur.
5x – 10
(1 = 1 eşitliği çıktığından çözüm kümemiz paydamızı “0” yapan değer hariç gerçek sayılardır.)
Paydayı “0” yapan değeri bulalım: 5(x – 2) = 0 ise x – 2 = 0
x = 2’dir.
Bu nedenle x’in değeri 2 sayısı hariç tüm gerçek sayılardır.
Paydayı “0” yapan değerler, bilinmeyen değer olarak alınmaz.
217
4. ÜNİTE
Örnek-4
2x – x – 2
= x denklemini sağlayan x değerinin;
5
3
a) Tam sayı mı?
b) Doğal sayı mı?
c) Rasyonel sayı mı?
ç) Gerçek sayı mı olduğunu araştıralım.
Çözüm
Önce denklemi çözelim.
2x – x – 2
= x (Rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim.)
5
3
_5i
_3i
6x – 5x – 10
=x
15
15
15 • 6x – 5x + 10 = x • 15
15
1
(Eşitliğin her iki yanını
kesrinin çarpma işlemine göre tersi olan
15
15 sayısıyla çarpalım.)
x + 10 = 15x
>
(–x) + x + 10 = 15x + (–x)
0
a)
1
14
10 = 14x
•
10 = 14x •
1
14
10
14
5
x=
olur.
7
x=
(Eşitliğin her iki yanına x’in toplama işlemine göre tersi olan “–x” i
ekleyelim.)
(Eşitliğin her iki yanını 14 sayısının çarpma işlemine göre tersi olan
1
kesriyle çarpalım.)
14
5
7 tam sayı olmadığından denklemin tam sayı değeri yoktur.
b)
5
7 doğal sayı olmadığından denklemin doğal sayı değeri yoktur.
c)
5
7 rasyonel sayı olduğundan denklemin rasyonel sayı değeri vardır.
ç)
5
7 gerçek sayı olduğundan denklemin gerçek sayı değeri vardır.
Etkinlik
Şeffaf Kesir Kartlarında İşlem
Bilinmeyeni temsil
etmektedir.
x + 1 = 3 denklemini,
2
4
yandaki şekilde olduğu
gibi şeffaf kesir kartlarını
kullanarak modelleyelim.
Araç ve Gereçler
• şeffaf kesir kartları
• kalem
• kâğıt
Bilinmeyene karşılık gelen rasyonel sayıyı nasıl
bulursunuz? Tartışınız.
x
218
+
1
2
=
3
4
Bilinmeyene karşılık gelen sayıyı bulmak
için eşitliğin her iki tarafına hangi rasyonel sayı
eklenmelidir? Yanıtınızın nedenini açıklayınız.
4. ÜNİTE
Denklemimizde eşitliğin sağ tarafına eklenmesi gereken sayıyı ekleyerek işlemi yapınız. Yaptığınız
işlemi şeffaf kesir kartı üzerinde modelleyerek gösteriniz. İşlem sonucunda hangi rasyonel sayıyı
bulduğunuzu açıklayınız.
Bilinmeyene karşılık gelen rasyonel sayı kaçtır?
Siz de x + 2 = 5 denklemini şeffaf kesir kartlarıyla modelleyerek x’in değerini bulunuz. Çözümünü
3
6
yaptığınız denklemin doğruluğunu nasıl gösterirsiniz? Açıklayınız.
ALIŞTIRMALAR
1
2
Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini bulunuz.
a)
1
x = 5
2
b)
x
2
= 7
9
x
5
c) –
=
6
6
ç)
1
3
x= 2
4
d)
3x
1
= 4
4
e)
5x
1
=1
6
6
Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini bulunuz.
a) 3 x – 1 = 2 5
5 5
b)
– 2x + 1= 1
3
3
c)
2
= 1
2x – 10 10
3x + 1 = 2
4
3
d)
3x – 2x = 11
2
5
10 e)
x – 4 = 2x + 2
2
5
ç)
3
(3x + 1 ) • 1 = (2x + 1 ) • 1 denklemini sağlayan x değerini bulunuz.
6
6
4
4
4
2(x + 1 ) = 1 + 2x denklemini sağlayan x değerini bulunuz.
3
4
5
6
7
32 cevizi iki kardeş paylaştı. Bu paylaşımda; küçük kardeş, büyük kardeşin aldığı ceviz sayısının
yarısından 5 fazla ceviz aldı. Paylaşıma göre büyük kardeş kaç tane ceviz aldı?
1
Bir bahçedeki elma ve armut ağaçlarının sayısı 45’tir. Bahçedeki elma ağaçlarının sayısının ’i,
5
1
armut ağaçlarının sayısının ’üne eşittir. Bu duruma göre bahçedeki elma ve armut ağaçlarının sayı4
sını bulunuz.
Aşağıdaki denklemlere uygun problemler kurunuz.
1 7
a) x – = 2 8
b)
3x = 9
8
c)
1
2x
•
(x + 4) = 1
219
4. ÜNİTE
8
Aşağıda verilen denklemleri kutulardaki boş bırakılan yerlerde çözünüz. Şifre bölümündeki kutulara denklem sonucuna karşılık gelen harfi yazınız ve şifreyi bulunuz.
A
5 = 4
x +1 x – 2
6x – 6 =
0
1– x x – 1
4 ^ x – 7 h + 11
=–5
6
B
x – x+3 =
2
2
3
R
1
^ + h = 1 – 3x
2 x 4
2
S
3 ^x – 6h
= 18
6
G
x – x – x =
4
2 6 8
Y
x –
4 ^ x – 2 h = – 11
3
L
Şifre
– 13
4
9
–1
57
11
42
–1
–3
7
14
96
5
14
18
10x – 4 – 4x + 5 =
3x – 6 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
2
3
A) 5
220
İ
B) 3 4
C) – 2
D) – 7
2
4. ÜNİTE
Aşağıdaki problemlerin denklemlerini kurunuz ve denklemlerin çözümlerini yapınız.
10
a.
b.
PROBLEM
DENKLEM
DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ
Yarısının 3 katının 10 fazlası
40 olan sayı kaçtır?
...........................................
...........................................
...........................................
1
Sanem, parasının önce 5 ’ini
2
sonra 7 ’sini harcadı ve cebinde
36 TL’si kaldı. Sanem’in alışverişten önce kaç TL’si vardı?
c.
ç.
2
2
3 ’ü ile 6 ’sı arasındaki fark,
12 olan sayı kaçtır?
3
Mert, parasının 5 ’ini harcadıktan sonra geri kalan paranın
1
7 ’sinin 4 TL olduğunu gördü.
Mert’in parasının tamamı kaç
TL’dir?
11
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
DENKLEM
ÇÖZÜM
x 4
a. x + 3 = 5 – 2x
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
3
x
b. ` x + 4 j + 15 = 8
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
a + a =
16
5 3
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
1
ç. x • ^ x + 15 h = 5
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
c.
221
4. ÜNİTE
4.2.
DENKLEM SİSTEMLERİ
4.2.1. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
İçinde tavuk ve tavşanların olduğu bir kümeste 14 baş ve 40 ayak
vardır. Bu kümeste kaç tavuk kaç tavşan olduğunu bulabilir misiniz?
Yukarıdaki soruyu çözerken denklemlerden nasıl yararlanabileceğinizi düşününüz.
Nicelikler arasındaki ilişkilerden yararlanarak bilinmeyen değerlere denklemler yardımıyla ulaşabiliriz. Verilen soruda hayvanların baş
ve ayak sayıları arasındaki ilişkiden yararlanarak bilinmeyen tavuk ve
tavşan sayılarını bulabiliriz.
Tavşan sayısına x, tavuk sayısına y diyelim.
Kümeste 14 baş olduğuna göre tavuk ve tavşanların
sayılarının toplamı 14’tür.
O hâlde; x + y = 14’tür.
Kümeste 40 ayak vardır. Tavukların 2, tavşanların 4
ayağı vardır.
O hâlde; 2x + 4y = 40’tır.
Bu iki denklemi alt alta yazarak iki bilinmeyenli denklem sistemimizi oluşturalım.
İki bilinmeyenli denklem sistemimizi
sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulursak tavuk ve tavşan sayısını bulmuş oluruz.
=
x + y = 14
2x + 4y = 40
a, b, c ! R, a ! 0, b ! 0 olmak üzere
ax + by = c eşitliği bir denklemdir. x ve y
bilinmeyenlerinin her ikisinin üssü de 1
olduğundan bu denklem birinci derecedendir. Ayrıca denklemde, x ve y gibi iki
bilinmeyen bulunduğundan denklem iki
bilinmeyenlidir. Bu tür denklemlere birinci
dereceden iki bilinmeyenli denklemler
denir. İki bilinmeyenli denklemde bilinmeyen değerleri bulabilmek için iki denkleme
ihtiyaç vardır. Bu iki denkleme iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri yok etme metodudur.
Yok etme metodu, bilinmeyenlerin, bilinmeyenlerden birinin yok edilmesiyle bulunmasıdır.
1. Bir eşitliğin iki yanı aynı gerçek sayıyla çarpılırsa ya da bölünürse eşitlik bozulmaz.
2. İki eşitlik taraf tarafa toplanırsa yeni bir eşitlik elde edilir.
Yukarıdaki düzenlemeler bilinmeyenlerden biri yok edilecek şekilde yapılmalıdır.
Bu iki özellikten yararlanılarak birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin ortak çözümü
bulunur.
x + y = 14
(1)
2x + 4y = 40
(2)
(– 2) • x + y = 14 • (– 2)
+
2x + 4y = 40
(2)
– 2x – 2y = – 28
(1)
2x + 4y = 40
(2)
2y = 12
y=6
222
(1)
Birinci denklemde eşitliğin her iki yarısını (– 2) ile çarpalım.
Birinci ve ikinci denklemi taraf tarafa toplayalım ve bir bilinmeyenli denklem elde edelim.
4. ÜNİTE
y’nin değerini (1) ya da (2.) denklemde yerine yazalım.
x + y = 14 ............. (1)
x + 6 = 14
x=8
Çözümün doğru olup olmadığını kontrol etmek için x’in ve y’nin bulunan değerlerini denklem sistemini
oluşturan denklemlerde yerine yazarak denklemleri sağlayıp sağlamadığını araştıralım.
x + y = 14
2x + 4y = 40
8 + 6 = 14
2 • 8 + 4 • 6 = 40
16 + 24 = 40
40 = 40
Denklemlerin ikisi de sağladığından çözüm doğrudur. O hâlde kümeste 8 tavuk, 6 tavşan vardır.
Örnek-1
=
2x + y = 2
x–y=4
Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulalım.
Çözüm
Denklemleri taraf tarafa toplarsak x’e göre bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
2x + y = 2
+
x–y=4
(2x + y) + (x – y) = 2 + 4
3x + 0 = 6
3x = 6
x’in değerini, verilen denklemlerden birinde yerine yazarsak
diğer bilinmeyeni de bulabiliriz.
x = 2 değerini 2x + y = 2 denkleminde yerine yazalım:
2•2+y=2
4+y=2
y = – 2 olur.
x=2
Çözümün doğru yapılıp yapılmadığını kontrol etmek için x’in ve y’nin bulunan değerlerini verilen
denklemlerde yerine yazarak denklemleri sağlayıp sağlamadığını araştıralım.
2x + y = 2
x–y=4
2 • 2 + (– 2) = 2
4 + (– 2) = 2
2=2
2 – (– 2) = 4
2+2=4
4=4
Denklemlerin ikisi de sağlandığından çözüm doğrudur. Sistemi sağlayan sıralı ikili (2, – 2)’dir.
Örnek-2
Efe ile Tuğçe’nin yaşlarının toplamı 35’tir. 5 yıl sonra Efe’nin yaşı Tuğçe’nin yaşının iki katı olacaktır. Efe
ve Tuğçe’nin şimdiki yaşlarını bulalım.
Çözüm
Efe’nin şimdiki yaşına x dersek 5 yıl sonraki yaşı x + 5,
Tuğçe’nin şimdiki yaşına y dersek 5 yıl sonraki yaşı y + 5 olur.
223
4. ÜNİTE
Denklemleri yazalım:
(1)
x + y = 35
(x + 5) = 2 (y + 5) (2)
x + y = 35
(1)
x – 2y = 5
(2)
x + y = 35
(1)
(– 1) • x – 2y = 5 • (– 1)
+
İkinci denklemde bilinmeyenleri eşitliğin sol tarafında toplayarak yazalım.
(2)
x + y = 35
(1)
– x + 2y = – 5
(2)
İkinci eşitliğin her iki yarısını (– 1) ile çarpalım ve ikinci denklemi taraf tarafa toplayıp bir bilinmeyenli denklem elde edelim.
3y = 30
y = 10
y’nin değerini (1) ya da (2) denkleminde yerine yazalım.
x + y = 35
x + 10 = 35
x = 25
Denklem sisteminin sağlamasını yapınız.
Siz de;
=
5x + 3y = 10
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yok etme metoduyla bulunuz.
3x + 2y = 6
Örnek-3
=
– 3x + y = – 4
– 2x + y = 1
denklem sisteminin sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulalım.
Çözüm
– 3x + y = – 4
(1)
– 2x + y = 1
(2)
(– 1) • – 3x + y = – 4 • (– 1)
+
(1)
– 2x + y = 1
(2)
3x – y = 4
(1)
– 2x + y = 1
(2)
Birinci denklemde eşitliğin her iki yarısını (– 1) ile çarpalım.
Birinci ve ikinci denklemi taraf tarafa toplayalım ve bir bilinmeyenli denklem elde edelim.
x=5
x’in değerini (1) ya da (2.) denklemde yerine yazalım.
– 2x + y = 1
(1)
–2•5+y=1
– 10 + y = 1
y = 11
O hâlde denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (5, 11)’dir.
Siz de denklem sisteminin sağlamasını yapınız.
224
4. ÜNİTE
x + y =7
2
4
1 44 2 44 3
Örnek-4
x – y =–2
5
2
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulalım.
Çözüm
Denklemlerin paydalarını eşitleyelim.
x + y =7
2
4
^1h
^2h
x – y =–2
5
2
^5h
^2h
2x + y
= 7 ise 2x + y = 28 dir.
4
2x – 5y
= – 2 ise 2x – 5y = – 20 dir.
10
Şimdi bu denklem sistemini yok etme metodu ile çözelim.
– 2x – y = – 28
2x – 5y = – 20
+ 2x – 5y = – 20
– 6y = – 48
y=8
=
(– 1) • 2x + y = 28 • (– 1)
y değerini denklem sistemindeki herhangi bir denklemde yerine yazalım.
2x – 5y = – 20
2x – 5 • 8 = – 20 ise 2x = 20
x = 10’dur.
Denklem sistemini sağlayan sıralı ikili (10, 8) dir.
Yerine Koyma Metodu
Bir ikizkenar üçgende tepe açısının ölçüsü taban açılarının ölçüleri toplamına eşittir. Üçgenin tepe açısının ve taban açılarının ölçülerini bulalım.
A
İkizkenar üçgenin tepe açısına y, taban açılarına x diyelim.
y
Denklemlerimizi yazalım.
y = 2x
B
x
x
(1)
2x + y = 180º (2)
C
(2) denkleminde y yerine eşiti olan 2x değerini yazalım.
2x + y = 180º
2x + 2x = 180º
4x = 180º
x = 45º
(1) denkleminde x değerini yazarak y değerini bulalım.
y=2•x
y = 2 • 45º
y = 90º dur.
Üçgenimizde tepe açısının yani y’nin değeri 90º, taban açısı yani x’in değeri 45º dir.
Çözümü kontrol etmek için üçgende bulduğumuz açıların ölçülerini yerlerine yazalım.
225
4. ÜNİTE
A
90º
B
Üçgenin iç açılar ölçülerinin toplamı 180º dir.
45º
45º + 45º + 90º = 180º dir. O hâlde denklemin çözüm kümesi doğru
bulunmuştur.
45º
C
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için kullanılan yollardan biri de yerine koyma metodudur. Bu metotta önce bilinmeyenlerden biri, diğeri cinsiden bulunur ve diğer denklemde
yerine koyularak birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Bu denklem çözülür
sonra diğer bilinmeyen bulunur.
Örnek-5
=
2x + y = 16
– 3x + y = – 9
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini yerine koyma metodundan yararlanarak bulalım.
Çözüm
2x + y = 16 denkleminde y’yi çekelim, 2. denklemde yerine yazalım.
2x + y = 16
ise
y = 16 – 2x’dir.
– 3x + y = – 9 (ikinci denklem)
– 3x + (16 – 2x) = – 9
– 5x + 16 = – 9
ise
– 5x = – 25 ve x = 5’tir.
Birinci denklemde x değerini yerine yazarak y değerini bulalım.
2x + y = 16
2 • 5 + y = 16 ise y = 6’dır. Denklem sistemini (5, 6) sıralı ikilisi sağlar.
Etkinlik
İpucu Oluşturma
Bir sepette elma ve armut vardır. Her bir elmada x tane, her
bir armutta y tane kurtçuk vardır. Sepetteki meyvelerden 2 elma
ve 3 armutta 17 tane, 1 elma ve 5 armutta 19 tane kurtçuk vardır. Bu duruma göre bir elma ve bir armutta kaç tane kurtçuk
olduğunu bulabilir misiniz?
Araç ve Gereçler
• kâğıt
• kalem
Bu soruyu çözerken denklemlerden nasıl yararlanabileceğinizi düşününüz.
Yukarıdaki probleme karşılık gelen denklemlerin, sepette bulunan elmadaki kurtçuk sayısını x,
armuttaki kurtçuk sayısını y kabul ederek nasıl yazılabileceğini bulalım.
Bulduğumuz denklemleri arkadaşlarımızın denklemleriyle karşılaştıralım. Doğru yazıp yazmadığımızı kontrol edelim.
Denklemle verilmeyen değerleri, deneme ve yanılma yöntemiyle ya da başka bir yöntemle
bulmaya çalışınız. Bulduğunuz değerler, her iki denklemi de sağlıyorsa bilinmeyenlerin değerini
söylemeyiniz.
Bilinmeyenlerin değerlerini söylemek yerine, bir ipucu oluşturalım (yeni bir denklem) ve bunu
tahtaya yazalım.
226
4. ÜNİTE
Sınıftaki arkadaşlarınız, bilinmeyen değerleri bulana kadar bilinmeyen değerleri bulanlar, bu
şekilde ipucu vermeye devam ediniz.
Bilinmeyen değerleri bulmak için nasıl bir yol izlediniz? Açıklayınız.
Bilinmeyen değerleri bulmak için genel bir yöntem kullanılabilir mi? Düşününüz. Ulaştığınız
sonuçları arkadaşlarınızla paylaşarak tartışınız.
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıdaki denklem sistemlerini “yok etme metodu” ile çözünüz.
a) 3x + y = 5
2x – y = 15
b) 4x – y = 4
3x – y = – 1
c) 6x + 2y = 1
2x + y = – 1
ç) 5x + 2y = 7
d) x + 3y = 5
e) 3x + 5y = – 1
3x + 2y = 9
2
–x+y= 4
ç)
x=–2 3x + y = 1
b)
d)
y=5
5x + 3y = 20
y=–x c) 2x + 1 = y
5x + y = 8
e)
5x + 3y = 20
x–y=1
2x + y =2
ç) 3x + 4y = 14 3x + 2y = 10
5
y=x
3x + y = 1
y = – 3x
7x + y = 12
Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.
a)
4
2x + 3y = 4
Aşağıdaki denklem sistemlerini “yerine koyma metodu” metodu ile çözünüz.
a)
3
b)
–2x + y = 3 2x + 3y = 5
d)
3x + 2y = 8 4x – y = 7
c)
3x – y = 4
2x – y = –1
e) 5x + 3y = 10
3x + 2y = 6
Toplamları 525, farkları 115 olan sayıları bulunuz.
3 yıl önce Oya’nın yaşı, Suna’nın yaşının 4 katıydı. 5 yıl sonra Oya’nın yaşı, Suna’nın yaşının 3
katı olacaktır. Bu duruma göre Oya’nın ve Suna’nın şimdiki yaşlarını bulunuz.
227
4. ÜNİTE
6
7
İki tam sayıdan büyüğünün küçüğüne bölümünde bölüm 8, kalan 1’dir. Küçüğün büyüğüne bölümünde bölüm 0,12 ve kalan 0 olduğuna göre iki tam sayıyı bulunuz.
Aşağıdaki problemleri, iki bilinmeyenli denklemler kurarak çözünüz.
a) İki sayının farkı 64’tür. Büyük sayının yarısı, küçük sayıdan 5 fazladır. Bu sayıları bulunuz.
1
1
’si, diğerinin ’una eşittir. Bu sayıları bulunuz.
9
7
c) Baba ile oğlunun yaşlarının toplamı 60’tır. Babanın yaşı oğlunun yaşına ölünürse bölüm 3, kalan 4 oluyor. Baba ile oğlunun yaşlarını bulunuz.
b) Toplamları 80 olan iki sayıdan birinin
ç) Bir çiftlikteki tavuk ve koyunların toplam sayısı 35, ayaklarının toplam sayısı 110’dur. Buna göre
çiftlikteki tavuk ve koyunların sayısını bulunuz.
2(x + 3) + 3y = 3(x + 2)
=
8
–(2x – y) + 2 = x + y
3
A) ` – j 2
ax – 2by = 16
ax + by = 10
2
9
D)
3
2
B)
2
3
C) 2 D)
12
7
Aşağıdaki denklemlere uygun problemler kurunuz. Kurduğunuz problemleri boş bırakılan yerlere
yazarak çözünüz.
DENKLEM
4x + 3y = 8
8x + 5y = 14
y – 3x = 1
y – 2x = 3
228
C)
denklem sisteminin çözümü olan (x, y) sıralı ikilisi (4, 1) ise a + b kaçtır?
A) 1
10
1
B) ` – j 2
=
9
sistemini sağlayan y değeri, aşağıdakilerden hangisidir?
PROBLEM
4. ÜNİTE
4.2.2. Doğrusal Denklem Sistemlerini Grafik Kullanarak Çözme
Arda ve Ezgi kırtasiyeden aynı kalemlerden ve silgilerden
aldılar.
Arda 3 kalem, 1 silgi alarak 7 TL; Ezgi 2 kalem, 2 silgi alarak
6 TL ödedi.
Arda ve Ezgi’nin satın aldığı her bir ürünün fiyatını grafik kullanarak bulabilir misiniz?
Etkinlik
İki Grafik Kesişiyor
Yukarıdaki problemi, grafik kullanarak çözebilir misiniz? Düşüncelerinizi
arkadaşlarınızla paylaşınız.
Problemi çözerken kullandığımız denklemlerin belirttiği doğruları, aynı
koordinat düzleminde çizelim.
Araç ve Gereçler
• renkli kalemler
• cetvel
• kareli kâğıt
Grafik üzerinde bulduğumuz iki doğrunun kesim noktasını belirleyelim.
Bu kesim noktasının koordinatlarını bulalım.
Problemimizi cebirsel yöntemle çözelim.
Doğrularınızın kesim noktasının koordinatlarıyla problemin cebirsel yöntemlerle elde ettiğiniz
çözümünü karşılaştırınız.
Doğrusal denklem sistemlerinin grafik kullanarak çözümüyle ilgili nasıl bir sonuç elde ettiniz?
Tartışınız.
Örnek-1
Esra Hanım marketten 2 kg un ve 1 kg şeker alarak 8 TL
ödüyor. Fatma Hanım marketten 1 kg un ve 2 kg şeker alarak
10 TL ödüyor. Un ve şekerin kilogramının kaç lira olduğunu
cebirsel yöntemle ve grafik kullanarak bulalım.
Çözüm
1 kg un fiyatına x, 1 kg şekerin fiyatına y diyelim.
2 kg un ve 1 kg şeker 8 TL ise 2x + y = 8
1 kg un ve 2 kg şeker 10 TL ise x + 2y = 10’dur.
Cebirsel yöntem:
=
2x + y = 8
x + 2y = 10
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi bize un ve şeker fiyatını verir.
2x + y = 8
=
Denklem sisteminin çözümünü yok etme metodu ile bulalım:
(– 2) • x + 2y = 10 • (– 2)
Un 2 TL ve şeker 4 TL’dir.
2x + y = 8
+– 2x – 4y = – 20
– 3y = – 12 ise y = 4
2x + y = 8
2•x+4=8
2x = 4
x=2
229
4. ÜNİTE
Grafik çizme yöntemi:
Denklemleri verilen doğruları aynı koordinat sisteminde çizelim. Doğruların eksenleri kestiği noktaları
bularak grafikleri çizelim.
2x + y = 8 denkleminde,
x + 2y = 10 denkleminde,
x = 0 için y = 8
x = 0 için y = 5
y = 0 için x = 4 olur.
y = 0 için x = 10 olur.
Denklemlerin grafiklerinin kesim noktası olan A
noktasından koordinat eksenlerine dikmeler inerek A
noktasının apsisinin 2, ordinatının 4 olduğunu buluruz.
8
O hâlde A noktasının x değeri bize unun fiyatını, A
noktasının y değeri ise bize şekerin fiyatını verir.
5
4
0
10
4
2
2x + y = 8
Doğrusal denklem sistemini oluşturan
doğruların grafiklerinin kesim noktası,
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı
ikilisini yani denklemin çözümünü verir.
x
x + 2y = 10
Örnek-2
=
x–y=5
x+y=1
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemle ve grafik kullanarak bulalım.
Çözüm
(x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemlerden yok etme metodu ile bulalım;
+
x–y=5
(1)
x+y=1
(2)
2x = 6
x değerini (1) denkleminde yerine yazarsak;
3–y=5
y=3–5
x=3
y = – 2 bulunur.
Sistemi sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (3, –2)’dir.
Denklemleri verilen doğruları, aynı koordinat sisteminde çizelim:
(1) x – y = 5 denkleminde,
(2) x + y = 1 denkleminde,
x = 0 için y = – 5
x = 0 için y = 1
y = 0 için x = 5 olur.
y = 0 için x = 1 olur.
230
4. ÜNİTE
x+y=1
(1) ve (2) denklemleriyle verilen doğruların kesim noktası
olan A’dan koordinat eksenlerine dikmeler inerek A noktasının
apsisinin 3 ve ordinatının – 2 olduğunu buluruz.
4
3
2
1
A(3, – 2) olur.
x–y=5
–4 –3 –2 –1 0
1 2 3 4 5 x
–1
A (31, –2)
–2
–3
–4
–5
Verilen iki bilinmeyenli denklem sistemini sağlayan x ve
y değerleri x = 3 ve y = – 2’dir.
Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (3, – 2)’dir.
Örnek-3
Bir gruptaki erkeklerin sayısı kızların sayısından 1 fazla iken gruba 2 erkek katılıp 1 kız ayrılınca
erkeklerin sayısı kızların sayısının 3 katı olmuştur. Bu grupta başlangıçta kaç erkek vardır?
Çözüm
Gruptaki kız sayısı x, erkek sayısı y olsun. Probleme uygun denklem sistemini kuralım:
y = x +1 (1)
ve
y + 2 = 3(x – 1) denklemini düzenleyelim.
y + 2 = 3x – 3
3x – y = 5 (2)
Denklemlerin belirtiği doğruları aynı koordinat sisteminde çizelim:
(1) y = x + 1 denkleminde,
(2) 3x – y = 5 denkleminde,
x = 0 için y = 1
x = 0 için y = – 5
y = 0 için x = – 1 olur.
y = 0 için x = 5 olur.
3
(1) ve (2) denklemleriyle verilen doğrular A noktasında kesişmektedir. A noktasının apsisi 3, ordinatı 4’tür. Denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi (3, 4)’tür. O hâlde kızların
sayısı 3, erkeklerin sayısı 4’tür.
Siz de denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemlerle çözerek bulunuz. Grafik kullanılarak bulunan (x, y) sıralı ikilisinin doğruluğunu kontrol ediniz.
3x – y = 5
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
y=x+1
A(3, 4)
1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
–5
x
231
4. ÜNİTE
Etkinlik
İki Grafik Kesişiyor
Elektronik tablolama yazılımlarını (Excel, Open Office vb.) kullanarak
aşağıdaki denklem sistemini oluşturan denklemlerin grafiklerini aynı koordinat
düzlemi üzerinde oluşturunuz.
Araç ve Gereçler
• bilgisayar
2x + 3y = 18
– 4x + 2y = – 4
Grafik üzerinde bulunan iki doğrunun kesim noktasını inceleyiniz.
Denklem sistemini cebirsel yöntemlerle çözünüz.
Doğruların kesim noktasının koordinatıyla cebirsel yöntemlerle elde edilen çözümü karşılaştırınız.
Doğrusal denklem sistemlerinin, grafiklerin kullanılarak çözülmesiyle ilgili ulaştığınız sonuçları
sınıfta arkadaşlarınızla paylaşınız.
Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözümünü bilgisayarda elektronik tablolama yazılımlarını
kullanarak bulunuz.
a. 3x – 2y = 18
x + 3y = – 7
2
b. 4x + 3y = 1
–3x + 2y = 12
ALIŞTIRMALAR
Aşağıda boş bırakılan yerde,
1
=
y = 3x – 5
y=–x+3
232
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini cebirsel yöntemle ve grafik kullanarak bulunuz. Sonuçları karşılaştırınız.
4. ÜNİTE
2
Aşağıda boş bırakılan yerde,
=
y – 2x = – 5
y–x=3
doğruların kesiştikleri noktanın koordinatını, doğruların grafiklerini çizerek bulunuz.
3
y ekseninin, y = 6 doğrusunun ve y = 2x doğrusunun sınırladığı üçgensel bölgenin alanını bulunuz.
4
x ekseni, y ekseni, y = 3 doğrusu ve x + y = 4 doğrusunun sınırladığı yamuksal bölgenin alanını
hesaplayınız.
233
4. ÜNİTE
5
Aşağıda boş bırakılan yere;
=
2x – y + 8 = 0
4x + y – 5 = 0
6
denklem sistemini grafik kullanarak çözünüz. Bu denklemlerle ilişkilendireceğiniz
bir problem kurunuz ve problemi çözünüz.
Yandaki şekilde, taralı bölgenin alanını bulunuz.
6
5
4
3
2
1
–2 –1 0
–1
–2
–3
–4
7
234
–3x + 2y = –6
x
1 2 3 4 5 6
6x + 5y = 30
Kenar uzunlukları x ve y olan bir dikdörtgenin çevresinin uzunluğu 30 cm’dir. Kenar uzunluklarının
çarpma işlemine göre terslerinin toplamı 5 ’dir. Dikdörtgenin alanının kaç cm2 olduğunu bulunuz
18
(Grafikleri kullanarak çözünüz.).
4. ÜNİTE
8
y
Dik koordinat sisteminde x +
= 1 doğrusu, y = x doğrusu ve x ekseni arasında kalan bölgenin
3
4
alanı, aşağıdakilerden hangisidir?
A) 72 br2
7
9
B) 36 br2 7
C) 18 br2 7
D) 12 br2
7
Ahmet, kırtasiyeden 2 kalem 1 silgi almış ve 5 TL ödemiştir. Başak, kırtasiyeden 1 kalem ve 3 silgi
almış ve 5 TL ödemiştir. Kırtasiyedeki kalem ve silgi fiyatlarını grafik kullanarak bulunuz.
235
4. ÜNİTE
4.3.
EŞİTSİZLİKLER
4.3.1. Eşitsizlik
Birbiriyle aynı görüntüye sahip 12 kolyeden
11’inin kütlesi aynı, birinin kütlesi farklıdır. Kolyeleri birbirleriyle tartarak ve üç kez denge terazisini
kullanarak hangi kolyenin ağır olduğunu bulabilir
misiniz?
Örnek-1
Aşağıdaki modellemeleri inceleyelim. Eşitlik ve eşitsizlik durumlarını yorumlayalım.
1
kg
1
kg
2
kg
1
kg
1
kg
1
kg
1
kg
1
kg
2
kg
1+1+1=2+1
1+1+1!2+2
3=3
Terazi dengededir. Çünkü eşitlik vardır.
2
kg
3!4
3<4
Terazi dengede değildir. Çünkü eşitlik yoktur. Bu durum eşitsizlik olarak ifade edilir.
Dengede olma durumu eşitlik olarak ifade edilir. Eşitlik “=” sembolü kullanılarak gösterilir.
Dengede olmama durumu eşitsizlik olarak ifade edilir. Eşitsizlik “1, 2, #, $” sembollerinden
biri kullanılarak gösterilir.
Örnek-2
3 = 2 + 1 olduğundan 3 ! 2’dir. Bunu 2 < 3 şeklinde de ifade
edebiliriz.
1
kg
1 1 1
kg kg kg
a < b (a küçüktür b), a#b (a küçüktür ya da eşittir b)
a > b (a büyüktür b), a$b (a büyüktür ya da eşittir b)
şeklinde yazılan bağıntılara eşitsizlik denir.
Örnek-3
“3 fazlası 5’ten büyük olan doğal sayılar” ifadesine uygun eşitsizliği yazalım.
Çözüm
3 + 3 > 5 , 4 + 3 > 5 , 5 + 3 > 5 ... olup x + 3 > 5 ve x bir doğal sayıdır.
236
1
kg
4. ÜNİTE
Örnek-4
“Esra 15 yaşındadır. Fatma, Esra’dan küçüktür.” ifadesine uygun
eşitsizliği yazalım.
Çözüm
Fatma’nın yaşını “x” ile gösterelim. O hâlde ifadeye uygun eşitsizlik,
x < 15’tir.
Örnek-5
“Ahmet her gün düzenli olarak 50 soru çözmektedir. Betül, Ahmet’ten daha fazla soru çözmektedir.”
ifadesine uygun eşitsizliği yazalım.
Çözüm
Betül’ün çözdüğü soru sayısını “y” ile gösterelim. O hâlde ifadeye uygun eşitsizlik, y > 50’dir.
Örnek-6
“Ülkemizde yaşı 18 ve 18’den büyük kişiler ehliyet alabilir.” ifadesine
uygun eşitsizliği yazalım.
Çözüm
Kişilerin yaşını “x” ile gösterelim. O hâlde ifadeye uygun eşitsizlik,
x $ 18’dir.
Örnek-7
“İlkokul 1. sınıfa en az 66 aylık çocuklar kabul ediliyor.” ifadesine uygun
eşitsizliği yazalım.
Çözüm
Çocukların yaşını “y” ile gösterelim. O hâlde ifadeye uygun eşitsizlik,
y $ 66 olur.
Örnek-8
“Şehir içinde hız sınırı 82 km’dir.” ifadesine uygun eşitsizliği yazalım.
Çözüm
Araç hızını “x” km ile gösterelim. O hâlde ifadeye uygun eşitsizlik, x # 82’dir.
237
4. ÜNİTE
Örnek-9
Uçaklarda yolculara, uçağın kargo bölümünde ücretsiz taşınabilecek
belli bir bagaj hakkı verilmektedir. Yolcunun, bagaj hakkı üzerinde bagajı
varsa ayrıca bir ücret ödenmektedir. Ücretsiz bagaj hakkı yaklaşık olarak kişi
başına en fazla 20 kg’dır. Uçaklarda yolculuk yapan bir kişinin fazla bagaj
ücreti ödememesi için kargo bölümüne vermesi gereken bagaj ağırlığını
gösteren eşitsizliği yazalım.
Çözüm
Yolcunun bagaj ağırlığını “x” ile gösterelim. O hâlde ifadeye uygun eşitsizlik, x # 20’dir.
Örnek-10
Aşağıdaki ifadelere uygun eşitsizlikleri yazalım.
a) “4 fazlası 13’ten küçük ya da eşit olan gerçek sayılar”
b) “Yarısının 2 eksiği 6’dan büyük ya da eşit olan gerçek sayılar”
Çözüm
a) x + 4 # 13
b)
y
–2$6
2
Oyun
10
...
2
...
2
1
238
“Ülkemizde oy kullanma yaşı 18 ve üzeridir.” ifadesine uygun eşitsizliği yazınız.
“Elektronik tartıların tartabileceği en fazla ağırlık 180 kg’dır.” ifadesine uygun eşitsizliği yazınız.
1
...
16
1
...
1
13
1
2
ALIŞTIRMALAR
1
...
1
1
14
1
1
2
1
1
1
...
7
1
1
1
...
2
1
...
1
1
1
1’den 16’ya kadar olan 16 sayıyı 16 kare içine öyle yerleştiriniz
ki verilen eşitsizlikler doğru olsun. Kullanılan sayılar ve ipucu olarak
verilen sayılar bir daha kullanılmayacaktır.
5
1
Kutulardaki Eşitsizlik
2
3
4. ÜNİTE
3
4
“Ses, saniyede ortalama 340 m yol alır. Bir uçağın, sesin hızını
geçebilmesi için saniyedeki hızını belirten eşitsizliği yazınız.
Aşağıdaki ifadelere uygun eşitsizlikleri yazınız.
a) 3 fazlası 12’den küçük olan doğal sayılar
..................................................................................................................................................
b) 2 fazlasının yarısı 10’dan büyük olan doğal sayılar
..................................................................................................................................................
c) 4 eksiğinin 2 katı 16’dan küçük olan tam sayılar
..................................................................................................................................................
ç) 3 katının 3 fazlasının yarısı 12’den büyük olan doğal sayılar
..................................................................................................................................................
d) Karesinin 3 katı 48’den küçük olan tam sayılar
..................................................................................................................................................
e) 5 katının 3 eksiği, 3 katının 4 fazlasından küçük olan tam sayılar
..................................................................................................................................................
5
6
Aşağıdaki eşitsizliklerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız. Yanlış
olan eşitsizliklerin yerine doğrularını yazınız.
( ) 6,5 – 4 < 12
( ) 58 + 3 > 21
2
2
( ) 3 – 2 > 2
( )
9. 4 <8
Aşağıda sembolle verilen eşitsizliklerin okunuşlarını yanlarındaki noktalı yerlere yazınız.
a) 2x + 8 < 26
(................................................................................)
y
+ 3 < 15
2
(................................................................................)
3x + 5
< 52
2
(................................................................................)
b)
c) (z – 3)2 – 1 < 24 (................................................................................)
ç)
7
Aşağıdaki cümlelerde noktalı yerleri “eşit, büyük, küçük” ifadelerinden uygun olanı yazarak tamamlayınız.
Bir çıkarma işleminde fark negatif ise eksilen, çıkandan ...................................
Bir çıkarma işleminde fark pozitif ise eksilen, çıkandan ...................................
Bir çıkarma işleminde fark sıfır ise eksilen, çıkana ...................................
8
3 katının 9 eksiği 12’den büyük olan tam sayılar kümesi ifadesine uygun eşitsizliği yazınız.
9
5 katının 3 eksiğinin yarısı 1’den küçük olan doğal sayılar ifadesine uygun eşitsizliği yazınız.
239
4. ÜNİTE
4.3.2. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Okan, annesi, babası ve iki kardeşiyle birlikte doğum gününü kutladı.
Üç kardeşten biri olan Ebru, 8 yaşında ve kardeşlerin en küçüğüdür. Erhan ise 12 yaşında ve Okan’dan
büyüktür. Okan’ın yaşını, eşitsizlik kullanarak ifade edebilir misiniz? Sizce Okan kaç yaşında olabilir?
Örnek-1
x < 3 ve x # 3 eşitsizliklerini sayı doğrusunda kırmızı renkle gösterelim.
Çözüm
x<3
x#3
3’ten küçük gerçek sayılar
3’e eşit veya 3’ten küçük gerçek sayılar
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
3 noktası, eşitsizliğe dahil olmadığından
içi boş olarak verilmiştir.
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
3 noktası, eşitsizliğe dahil olduğundan içi dolu
olarak verilmiştir.
Örnek-2
x > 2 ve x $ 2 eşitsizliklerini sayı doğrusunda kırmızı renkle gösterelim.
Çözüm
x>2
x$2
2’den büyük gerçek sayılar
2’ye eşit veya 2’den büyük gerçek sayılar
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
–3 –2 –1
Örnek-3
– 2 < x # 3 eşitsizliklerini sayı doğrusunda kırmızı renkle gösterelim.
240
0
1
2
3
4
4. ÜNİTE
Çözüm
–2<x#3
– 2’den büyük, 3 ve 3’ten küçük sayılar
–4 –3 –2 –1
0
x>–2
Eşitlik olmadığından
2’yi belirten nokta
alınmamıştır.
1
2
3
4
x#3
Eşitlik olduğundan
3’ü belirten nokta
alınmıştır.
Örnek-4
5 > t $ – 3 eşitsizliklerini sayı doğrusunda kırmızı renkle gösterelim.
Çözüm
5>t$–3
5’ten küçük, – 3 ve –3’ten büyük sayılar
–4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
Etkinlik
Sayı Doğrusunda Eşitsizlik
x + 2 = 5 denkleminin çözüm kümesini bularak aşağıda verilen sayı doğrusu üzerinde gösteriniz. Denklemini sağlayan kaç x değeri vardır?
Araç ve Gereçler
• kalem
• kâğıt
–3 –2 –1 0 1 2 3
x < 3 eşitsizliğini sayı doğrusunda gösterelim. Bunun için önce x = 3 noktasını sayı doğrusunda
bulalım.
x = 3 noktası, sayı doğrusunu iki bölüme ayırır. x < 3 eşitsizliğinin belirttiği bölge, x = 3 noktasının
sağında mı yoksa solunda mıdır? x = 3 noktası eşitsizliğe dahil midir? Tartışınız.
Ulaştığınız sonuca göre x < 3 eşitsizliğinin belirttiği bölgeyi çizerek gösteriniz.
Siz de aşağıdaki tablonun 1. sütununda verilen eşitsizlikleri sağlayan değerleri bulunuz ve 2.
sütunda verilen sayı doğruları üzerinde gösteriniz.
Eşitsizlik
Sayı Doğrusu
x<2
–3 –2 –1
0
1
2
3
x#2
–3 –2 –1
0
1
2
3
x>–1
–3 –2 –1
0
1
2
3
x$–1
–3 –2 –1
0
1
2
3
Her bir eşitsizliği sağlayan kaç farklı tam sayı değer vardır? Tartışınız.
241
4. ÜNİTE
Örnek-5
9 < 12 eşitsizliğinde;
• Eşitsizliğin her iki tarafına 2 ekleyelim.
• Eşitsizliğin her iki tarafını 2 ile çarpalım.
9 + 2 < 12 + 2
9 • 2 < 12 • 2
11 < 14 eşitsizliği doğrudur.
18 < 24 eşitsizliği doğrudur.
• Eşitsizliğin her iki tarafını – 2 ile çarpalım.
• Eşitsizliğin her iki tarafını – 3 ile bölelim.
9 • (– 2) < 12 • (– 2)
9 : (– 3) < 12 : (– 3)
– 18 < – 24 eşitsizliği doğru değildir. Eşitsizlik
yön değiştirmelidir. Bu nedenle, – 18 > – 24’tür.
– 3 < – 4 eşitsizliği doğru değildir. Eşitsizlik
yön değiştirmelidir. Bu nedenle, – 3 > – 4’tür.
Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitsizlik değişmez.
Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılırsa ya da pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlik
yön değiştirmez.
Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır ya da negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlik
yön değiştirir.
Örnek-6
– 5x < 25 eşitsizliklerinin çözümünü bularak sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm
– 5x < 25
– 5x 2 25
–5
–5
–6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
– 5’ten büyük gerçek sayılar
x > – 5 olur.
Siz de – 4x $ – 12 eşitsizliğinin çözümünü bularak sayı doğrusunda gösteriniz.
Örnek-7
3x + 2 < 11 eşitsizliğinin çözümünü bularak sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm
3x + 2 < 11
3x + 2 – 2 < 11 – 2
3x + 0 < 9
3x 1 9
3
3
–3 –2 –1
0
1
2
3
3’ten küçük gerçek sayılar
x < 3 olur.
Siz de x + 1 > 4 eşitsizliğinin çözümünü bularak sayı doğrusunda gösteriniz.
242
4. ÜNİTE
Örnek-8
x # 8 ve – y # 8 eşitsizliklerinin çözümünü bulalım.
2
2
Çözüm
–y
#8
2
x #8
2
2• x #8•2
2
(– 2) •
x # 16 olur.
y $ – 16 olur.
16’ya eşit ya da 16’dan küçük gerçek sayılar
–y
# 8 • (– 2)
2
– 16’ya eşit ya da – 16’dan büyük gerçek sayılar
Siz de x 2 – 27 eşitsizliğinin çözümünü bularak sayı doğrusunda gösteriniz.
2
Örnek-9
8A Sınıfı Öğrencilerinin Matematik Notları
Yandaki tabloda, 8A sınıfındaki bazı öğrencilerinin matematik dersinden aldıkları 1. sınav notları
verilmiştir. 8A sınıfı matematik öğretmeni Meltem
Hanım, öğrencilerine, derste başarılı sayılabilmeleri için 1 ve 2. sınav notlarının toplamlarının 89
olması gerektiğini söylemiştir. Buna göre öğrencilerin 2. sınavdan almaları gereken notları eşitsizliklerle ifade edelim ve çözümünü bulalım.
Ad-Soyad
Yeliz, Okan ve Gürkan’ın alması gereken notları belirten eşitsizliği sayı doğrusunda gösterelim.
Çözüm
1. Sınav
Aysun Dalgıç
30
Yeliz Uzun
55
Mehmet Göl
70
Nilgün Kara
45
Okan Uslu
60
Gürkan Efe
80
2. Sınav
8A sınıfı öğrencilerinin ikinci sınavdan almaları gereken notları hesaplarken eşitsizliklerden yararlanabiliriz. Bunun için her bir öğrencinin 2. sınav notunu bilinmeyenlerle ifade edelim, eşitsizliği yazalım ve
çözelim.
Ad-Soyad
1. Sınav
2. Sınav
Eşitsizlik
Çözüm
Aysun Dalgıç
30
a
30 + a $ 89
a $ 59
Yeliz Uzun
55
b
55 + b $ 89
b $ 34
Mehmet Göl
70
c
70 + c $ 89
c $ 19
Nilgün Kara
45
d
45 + d $ 89
d $ 44
Okan Uslu
60
e
60 + e $ 89
e $ 29
Gürkan Efe
80
f
80 + f $ 89
f$9
243
4. ÜNİTE
Yeliz;
b $ 34
25
30
34
40
Okan;
e $ 29
25
30
35
Gürkan;
f$9
0
3
6
9
12
15
Etkinlik
Eşitsizliklerde Dört İşlem
6 < 8 eşitsizliğinin her iki tarafına 3 ekleyelim.
Yeni durumda eşitsizlik yön değiştirdi mi? Açıklayınız.
6 < 8 eşitsizliğinin her iki tarafından 2 çıkaralım.
Yeni durumda eşitsizlik yön değiştirdi mi? Açıklayınız.
6 < 8 eşitsizliğinin her iki tarafını 2 ile çarpalım.
Yeni durumda eşitsizlik yön değiştirdi mi? Açıklayınız.
6 < 8 eşitsizliğinin her iki tarafını – 2 ile çarpalım.
Yeni durumda eşitsizlik yön değiştirdi mi? Açıklayınız.
6 < 8 eşitsizliğinin her iki tarafını 2’ye bölelim.
Yeni durumda eşitsizlik yön değiştirdi mi? Açıklayınız.
6 < 8 eşitsizliğinin her iki tarafını – 2’ye bölelim.
Yeni durumda eşitsizlik yön değiştirdi mi? Açıklayınız.
244
Araç ve Gereçler
• kalem
• kâğıt
4. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıdaki eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösteriniz.
a) x < 4
b) x # – 2 c) x > – 3 d) x $ 0
e) – 1 < z < 6
2
2x – 1 $ 3 eşitsizliğinin çözümünü bulunuz ve çözümünü sayı doğrusunda gösteriniz.
3
2x – 7 < x + 3 eşitsizliğinin çözümünü bulunuz ve çözümünü sayı doğrusunda gösteriniz.
4
x + 1 – 3 eşitsizliğinin toplama ve çarpma işleminin ters eleman özelliklerinden yararlanarak
1
–2
çözümünü bulunuz ve çözümü sayı doğrusunda gösteriniz.
245
4. ÜNİTE
5
2 eksiğinin 5 katı, 1’den büyük olan gerçek sayıları bulup bu sayıları sayı doğrusunda gösteriniz.
6
Aşağıdaki çemberin üzerinde bulunan eşitsizliklerle çözümlerini, doğru parçaları çizerek eşleştiriniz. Ortaya çıkan geometrik şeklin ne olduğunu söyleyiniz.
x<1
5x # – 10
2x – 1 < – 15
x>2
x + 1 11
2
x#–2
4x – 3 > 5
7
x<–7
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.
( ) Eşitsizliğin her iki tarafı, negatif sayıyla çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir.
( ) Eşitsizliğin her iki tarafı, negatif sayıyla bölünürse eşitsizlik yön değiştirmez.
( ) Eşitsizliğin her iki tarafı, pozitif bir sayıyla çarpılırsa eşitsizlik değişmez.
8
Aşağıda verilenlerden hangisi – 3x + 6 > 10 eşitsizliğin çözümü olabilir?
3
A) x 2 4
9
–4
C) x 1
3 3
D) x 1
4
2x – 1 < –x + 5 eşitsizliğini sağlayan kaç doğal sayı vardır?
A) 3
246
–4
B) x 2
3 B) 2 C) 1 D) 0
4. ÜNİTE
10
– 2x + 11 $ 13 eşitsizliğini aşağıdakilerden hangisi sağlamaz?
A) 0
11
B) – 1 C) – 3 D) – 5
2x + 1 $ 3 ve x < 5 eşitsizliklerini aynı zamanda sağlayan x değerleri, aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 < x # 5
B) 2 # x < 5 C) 3 # x < 5 D) 1 # x < 5
Günlük Yaşam
Günlük yaşamda eşitsizliklerle ilgili birçok durumla karşılaşıyoruz. Örneğin;
Bir öğrenci, derste başarılı olarak kabul edilebilmesi için alması gereken
notu hesaplarken,
Telefonumuzda tarifemiz doğrultusunda ne kadar konuşmamız kaldığını
hesaplarken,
Hastalanınca almamız gereken ilaç dozlarını doktorumuz söylerken,
Sağlıklı bir yaşam için günde en az ne kadar su içmemiz gerektiğini
hesaplarken,
Satın almak istediğimiz bir şey için aile bütçemizden en fazla ne kadar ayırabileceğimizi
hesaplarken eşitsizlikleri kullanırız.
Siz günlük yaşamda nerelerde eşitsizlikleri kullanıyorsunuz?
247
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1
Bir litre gül suyu elde etmek için yaklaşık 6000 gül kullanılmaktadır. Buna göre kullanılan gül miktarı ile elde edilen gül
suyu arasındaki ilişkiyi gösteren tablo, grafik ve denklemi oluşturunuz ve yorumlayınız.
2
Ankara’da taksiye binen bir kişi gideceği mesafeye göre
ödeyeceği paranın taksimetre tarafından nasıl hesaplandığını
taksiciye soruyor. Taksici, açılış ücreti olarak 3,10 TL, kilometre de ise 2,70 TL ödeyeceğini belirtiyor. Buna göre taksi ile
gidilen mesafe ve ödenecek ücret arasındaki ilişkiyi gösteren
tablo, grafik ve denklemi oluşturunuz ve yorumlayınız.
3
Yandaki grafikte bir aracın saatlere göre aldığı yol km olarak
verilmiştir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D,
yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Grafik x eksenini (1, 0) noktasında kesmektedir.
Yol (km)
y
300
225
150
( ) Araç 7 saatte 525 km yol alır.
75
( ) Doğrunun denklemi y = 75x’tir.
0
1
2
3
4
( ) Grafik y eksenini kesmez.
4
5
Yandaki 2x + 3y – 2 = 0 denklemine ait tabloda noktalı
yerleri tamamlayınız.
248
x
y
(x, y)
–2
...
...
...
0
...
...
–1
...
2
...
...
Aşağıda verilen denklemlerin grafiğini çiziniz ve yorumlayınız.
A) x = – 2
B) y = 4 C) 2x = 4y
x
Saat
D) y + 2x = 12
4. ÜNİTE
6
d
Yandaki koordinat sisteminde çizilen d ve l doğruları
için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
3
2
1
I. d doğrusu x eksenine paraleldir.
II. l doğrusu y eksenine diktir.
–3 –2 –1 0
–1
–2
III. d doğrusunun denklemi y – 3 = 0 şeklindedir.
IV. l doğrusunun denklemi y + 1 = 0 şeklindedir.
x
l
1 2 3 4
V. Her iki doğru da orijinden geçer.
A) 2
7
9
D) 5
B) 3
C) 4
D) 5
6x – 12y + 12 = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
3
4
’üdür. Bu sınıftaki kız öğrencilerin sayısını bulmak için aşağıdaki denklemlerden hangisi kullanılabilir?
Bir sınıftaki öğrenci sayısı 21’dir. Bu sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerin sayısının
3
A) x + x = 21
4
10
C) 4
A(x, 5) noktası y – 2x + 1 = 0 doğrusu üzerindedir. A noktasının x değeri kaçtır?
A) 2
8
B) 3
x = 21
B) 4x +
3
3
C) x – x = 21
4
D)
x + x = 21
3
4
Yanda verilen kaydırağın yüksekliği 3 m ve AC = 2 m ’dir.
Kaydırağın eğimini bulunuz.
C
11
2m
A
Yanda verilen yolun eğimini bulunuz.
249
4. ÜNİTE
12
Aşağıda denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
A) 3x + 2y – 4 = 0
13
B) 2x +
y
5
=
12
3
C) y =
3x
+ 2
4
D) y = –
x
–6
5
Aşağıda 1. sütunda verilen doğruları, 2. sütunda verilen eğimleriyle eşleştiriniz.
I. sütun
y=
II. sütun
5
2
1
x+5
2
4
y = – 4x
x
–3
3
1
2
y = 4x + 3
1
3
y=
–4
14
2y
3x
= 1 doğrusunun eğimi, aşağıdakilerden hangisidir?
–
2
3
3
A) 2 –2
B) 3 –3
D) 2
9
C) 4 A
15
Yandaki şekilde verilen eşkenar üçgenin çevresi kaç cm’dir?
A) 15
B) 25
C) 30
(2x + 6) cm
D) 40
B
16
(3x + 4) cm
C
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Bir denklemde eşitliği her iki tarafını aynı sayıya bölmek denklemdeki eşitliği bozmaz.
–
( ) 5x 15 = 1 denkleminin sağlayan x değerleri arasında 3 de vardır.
5 ^x – 3h
–
( ) 2x – x 1 = x denklemini sağlayan x değeri bir tam sayıdır.
3
2
( ) Bir denklemde eşitliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpmak denklemdeki eşitliği bozmaz.
250
4. ÜNİTE
17
2x + 6 + x = x + 4
denklemini sağlayan x değerini bulunuz.
3
2
6
18
x + 2x = 15 denklemini çözünüz.
3
19
2
1–
2
x
= 3 denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 7
x = 2y
3
5
2(x – y) = 5
denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini bulunuz.
a • x – b • y = 12
2
b•x+a•y= –
3
A) –1
22
Yanda verilen denklem sisteminin sağlayan (x, y) sıralı ikilisi
Buna göre a – b değeri kaçtır?
B) 0
C) 1
` 43 , – 2 j ’dir.
D) 2
Elif ile Tuğçe’nin yaşlarının toplamı 35’tir. 5 yıl sonra Elif’in yaşı, Tuğçe’nin yaşının iki katı olacaktır. Elif’in şimdiki yaşı kaçtır?
A) 30
23
D) 0
>
21
C) 3
1 44 2 44 3
20
B) 6 B) 25 C) 20
D) 19
1
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı, erkek öğrencilerin sayısının 2 katıdır. Erkek öğrenci sayısı 6
azaltılır, kız öğrenci sayısı 8 artırılırsa erkek öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısına eşit oluyor. Sınıfta
kaç erkek öğrenci vardır?
A) 14
x – y = 12
C) 28
D) 32
>
24
B) 20 2x + y = 3
A) (– 4, 7)
sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
B) (– 3, 9) C) (5, – 7)
D) (– 1, 6)
251
4. ÜNİTE
y
y
25
Toplamları 375, farkları 207 olan iki sayıyı bulunuz.
1
26
2
1
0
1
x ile inek bulunmaktadır. Bu hayvanların
x
Bir çiftlikte
toplam
22 tane tavuk
ayak –2
sayılarının
–1
0
0 toplamı
68’dir. Bu çiftlikte kaç tane inek vardır?
A) 10
27
y
C) 14
B) 12
x
D) 15
Aşağıdakilerden hangisi 4x + y + 1 = 0 doğrusuyla 3x + y – 2 = 0 doğrusunun kesiştiği noktanın
apsisidir? Aşağıda verilen koordinat düzlemini kullanarak bulunuz.
y
y
y
A) – 1
B) 2
C) – 3
D)
x
0
2
3
x
2
0
1
–1 0
–1
y–x =1
>
28
y
y+x=2
1
0
29
y
y
doğrusal denklem sistemini sağlayan (x, y) sıralı ikilisini grafikler kullanarak bulunuz.
1
x
Aşağıdaki ifadelere uygun eşitsizlikleri yazınız.
x
1
0
x
0
a) Kreşe en az 3 yaşındaki çocuklar kabul ediliyor.
b) Bir insan günde en az 2 litre su içmelidir.
c) 3 fazlasının yarısı 12’den küçük olan sayılar
ç) 2 katının 4 eksiği 16’dan büyük olan sayılar
y
30
y
3
Yanda sayı doğrusunda
çözümü
belirtilen eşitsizlik
y=3
aşağıdakilerden hangisidir?
A) x > 2
0
C) x > – 2
D) x ≥ – 2
y=–x
252
0
B) x ≤ – 2x
y
–3 –2 –1
x
y=–3
y = –x
0
1
2
3
0
y=x
y=3
x
4. ÜNİTE
31
x+5
2 3 eşitsizliğini sağlayan x’in tüm değerleri için aşağıdaki seçeneklerden hangisi doğrudur?
3
A) x # 1
32
33
B) x # 2 C) x # 3
D) x > 4
Ankara’da hava sıcaklığı cuma günü 34 ºC’dir. Cumartesi
günü sıcaklığın 2 katının 30 eksiği ise cuma günkü sıcaklıktan
daha fazladır. Ankara’da cumartesi günü hava sıcaklığı en
az kaç derecedir?
A) 33
B) 34
C) 35
D) 36
5x – 3 < – 8 eşitsizliğinin çözümü aşağıdakilerden hangisidir?
A) x > 1
B) x < 1
C) x < –1
D) x > –1
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
253
4.
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE
5.1. GEOMETRİK CİSİMLER
5.2. VERİ DÜZENLEME, DEĞERLENDİRME VE YORUMLAMA
SEMBOLLER
6A'B'@, r, r, h, cm ,
m2, cm3, m3
2
TERİMLER
Taban, yükseklik, yüzey alanı, piramit, silindir, prizma, histogram,
grup sayısı, grup genişliği
Bu Ünitede Neler Öğreneceğiz?
5.1. GEOMETRİK CİSİMLER
• Dik prizmaları tanıma ve temel özelliklerini, elemanlarını belirleme, inşa etme ve açınımını
çizme,
• Dik dairesel silindirin temel elemanlarını belirleme, inşa etme ve açınımını çizme,
• Dik dairesel silindirin yüzey alanı bağıntısını oluşturma; ilgili problemleri çözme,
• Dik dairesel silindirin hacim bağıntısını oluşturma; ilgili problemleri çözme,
• Dik piramidi tanıma, temel elemanlarını belirleme, inşa etme ve açınımını çizme,
• Dik koniyi tanıma, temel elemanlarını belirleme, inşa etme ve açınımını çizme.
5.2. VERİ DÜZENLEME, DEĞERLENDİRME VE YORUMLAMA
• Bir veri grubuna ilişkin histogram oluşturma ve yorumlama,
• Araştırma sorularına ilişkin verileri uygunluğuna göre daire grafiği, sıklık tablosu, sütun
grafiği, çizgi grafiği veya histogramla gösterme ve bu gösterimler arasında dönüşümler yapma.
254
5. ÜNİTE
5.1.
GEOMETRİK CİSİMLER
5.1.1. Prizmalar
Arıların, ballarını kovanlarındaki tabanı düzgün altıgen olan dik prizmalar
şeklindeki odacıklara yaptıklarını biliyor muydunuz?
Yandaki bal peteği fotoğrafını inceleyiniz. Bal peteği neden dik düzgün
altıgen prizma şeklindedir?
Örnek-1
A
D
B
C
A’
D’
Yandaki dikdörtgen dik prizma modelinin temel elemanlarını belirleyelim ve
dikdörtgen dik prizmanın yüzey açınımı çizelim.
B’
C’
Çözüm
Dikdörtgen dik prizmanın temel elemanları; taban, yan yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.
ABCD ve A’B’C’D’ dikdörtgensel bölgeleri prizmanın tabanlarıdır.
AA’D’D, BB’C’C, ABB’A’ ve DCC’D’ dikdörtgensel bölgeleri prizmanın yan yüzleridir.
[AD], [AB], [BC], [DC], [A’B’], [B’C’], [C’D’], [A’D’], [AA’],
[BB’], [CC’] ve [DD’] prizmanın ayrıtlarıdır.
A, B, C, D, A’, B’, C’ ve D’ prizmanın köşeleridir.
[AA’], [BB’], [CC’] ve [DD’] ayrıtları da dik prizmanın yüksekliğidir.
A
D
B
C
Dikdörtgen dik prizmanın açınımı yandaki gibidir.
D’
C’
A’
B’
Prizma tabanları, karşılıklı iki yüzü paralel ve eş olan çokgenlerdir.
Dik prizmada, tabanlarının karşılıklı köşelerini birleştiren ayrıtlar tabana diktir.
Dik prizmalar karşılıklı paralel yüz çiftlerine (tabanlarına) göre isimlendirilirler. Örneğin, prizma dik ve tabanları düzgün altıgen ise prizma, düzgün altıgen dik prizma olarak adlandırılır.
Üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgenlerden oluşuyorsa prizma, eşkenar üçgen prizma
adını alır.
Prizmaların yüksekliği, tabanla arasındaki uzaklıktır. Yükseklik, tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikme şeklinde de ifade edilir.
255
5. ÜNİTE
B’
Örnek-2
Yandaki üçgen dik prizma modelinin temel elemanlarını belirleyelim ve
üçgen dik prizmanın yüzey açınımını çizelim.
A’
A
Çözüm
Üçgen dik prizmanın temel elemanları; taban, yan yüz, ayrıt, köşe ve yüksekliktir.
ABC ve A’B’C’ üçgensel bölgeleri prizmamızın tabanlarıdır.
A’ACC’, B’BCC’ ve A’ABB’ dikdörtgensel bölgeleri prizmamızın yan yüzleridir.
[AA’], [AB], [AC], [BC], [BB’], [CC’], [C’B’], [C’A’] ve [B’A’] prizmamızın ayrıtlarıdır.
A, B, C, A’, B’ ve C’ prizmamızın köşeleridir.
[AA’], [CC’] ve [BB’] ayrıtları da dik prizmamızın yüksekliğidir.
Üçgen prizmanın açınımı, aşağıdaki gibidir.
A’
B’
c’
a’
h
A
C’
b’
h
B
a
C
a
A’
c’
h
b
c
B’
a’
h
B
c
A
Örnek-3
Aşağıda düzgün altıgen dik prizma ve açınımı verilmiştir. İnceleyelim.
A
Çözüm
A
F
B
F
C
E
D
C
E A’ B’ D
F’
A’ B’
C’
E’
D’
Düzgün altıgen dik prizma
256
B
F’
C’
E’
D’
Düzgün altıgen dik prizmanın açınımı
C’
c
B
b
a
C
5. ÜNİTE
C’
Örnek-4
Yandaki prizmanın verilmeyen taban ayrıtını bularak açınımını çizelim.
A’
Çözüm
2
2
8
2
c = 100 ise c = 10 cm’dir.
Prizmanın yüksekliği 12 cm, taban ayrıtları
6 cm, 8 cm ve 10 cm’dir.
cm
A’
cm
c = 6 + 8 = 36 + 64 = 100
A
C’
10 cm
12 cm
B’ 6 cm
12 cm
10 cm
A
6 cm
12 cm
12 cm
8 cm
cm
cm
B
8 cm
6
8
B
c
6
2
cm
cm
c2 = a2 + b2 (Pisagor bağıntısı)
8
C
6
&
C h = 90º olduğundan bu üçgen dik üçgendir.
(ABC) nde m ^W
12 cm
B’
C
Etkinlik
Sünger Üçgen Prizma
Renkli süngerlerimizi (eş büyüklükte) üçgen şeklinde keselim. Kestiğimiz
üçgenleri üst üste koyarak üçgen prizma modeli oluşturalım.
Prizma modelini inceleyiniz. Prizma modelinin kaç yüzü, köşesi, ayrıtı,
tabanı ve yüksekliği olduğunu söyleyiniz. Bu elemanlara, üçgen prizmanın
temel elemanları diyebilir misiniz?
Prizmanın, sıranızın üzerinde duran yüzü ve buna paralel olan yüzü
arasındaki uzaklığa, ne ad verilebilir?
Araç ve Gereçler
• en az üç tane
renkli sünger
• maket bıçağı
• makas
• cetvel
• kâğıt
• kalem
Üçgen dik prizmanın ayrıtlarını ölçerek bulalım.
Prizmamızı ve açınımını kareli kâğıda çizelim.
Çizdiğimiz prizma modeli üzerinde prizmanın yüzlerini, köşelerini, ayrıtlarını, tabanlarını ve yüksekliğini
gösterelim.
257
5. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
2
Prizma nedir? Prizmalara örnekler veriniz. Prizmaların nasıl adlandırıldığını açıklayınız.
Aşağıdaki prizmaları inceleyiniz. Prizmaların adlarını söyleyiniz ve tabanlarını, yanal yüzlerini ve
ayrıtlarını belirleyiniz.
3
A’
B’
C’
Yandaki kareli kâğıtta, bir üçgen prizmanın köşeleri verilmiştir.
Köşeleri birleştirerek prizmayı çiziniz ve çizdiğiniz prizmayı renkli
kalemle boyayınız.
A
B
4
258
C
Aşağıda kareli kâğıtlarda verilen şekilleri, dikdörtgen dik prizma oluşturacak şekilde tamamlayınız. Çizdiğiniz dikdörtgen dik prizmaların özelliklerini belirtiniz ve dikdörtgen dik prizmaların temel
elemanlarını söyleyiniz.
5. ÜNİTE
5
Kare dik prizmanın açınımını aşağıda boş bırakılan yere çiziniz.
6
Üçgen dik prizma ile dik üçgen prizmaların aynı olup olmadığını araştırınız.
7
Düzgün altıgen dik prizmanın kaç ayrıtı vardır? Bu ayrıtlardan kaç tanesi yüksekliği gösterir?
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
259
5. ÜNİTE
5.1.2. Dik Dairesel Silindir
Aşağıdaki fotoğraflarda verilen cisimleri inceleyiniz. Bu cisimler hangi geometrik cisme model olabilir? Çevrenizde bu geometrik cisme benzeyen nesnelere örnek veriniz.
Örnek-1
Yanda verilen dik dairesel silindirin temel elemanlarını belirleyelim.
Çözüm
Taban
r
r
Yan yüz
Taban
Eksen
r
r
Dik dairesel silindirde birbirine eş ve
paralel iki daireden oluşan tabanlar ve
yan yüz vardır. Taban yarıçapı silindirin
yarıçapıdır.
Ana doğrular
Dik dairesel silindirde tabanların
karşılıklı iki noktasını birleştiren tabanlara dik ve eksene paralel olan doğrulara ana doğrular denir. Eksen de bir
ana doğrudur.
260
Dik dairesel silindirde, tabanları oluşturan dairelerin merkezlerini birleştiren
doğru parçasına eksen denir.
h
Yükseklik
Tabanlardan birinin bir noktasından
diğer tabana inilen dikmeye silindirin
yüksekliği denir. Yükseklik de bir ana
doğrudur.
5. ÜNİTE
Örnek-2
Yanda verilen dik dairesel silindirin yüzey açınımını çizerek silindiri oluşturan
geometrik şekilleri belirleyelim.
M
r
h
Çözüm
Bir silindirin açık şekli, açınımı olarak adlandırılır. Dik dairesel silindirin açınımını çizelim.
M
r
r
M
1 4 4 4 4 4 4 444444 2 44444444 4444 3
2rr
Dik dairesel silindir, tabanları oluşturan paralel
ve birbirine eş iki daire ve bir dikdörtgensel bölgeden oluşmaktadır.
Dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları, tabanı
oluşturan dairenin çevre uzunluğu ve silindirin yüksekliğine eşittir.
h
M
r
Örnek-3
Yarıçap uzunluğu 2 cm, yüksekliği 3 cm olan dik dairesel silindiri ve yüzey açınımını çizerek temel elemanlarını belirleyelim.
Çözüm
Dik dairesel silindirin yarıçapı 2 cm, yüksekliği (ekseni veya ana doğrusu)
3 cm’dir.
r = 2 cm
h = 3 cm
r = 2 cm
Dik dairesel silindiri oluşturan dikdörtgensel
1 4 4 4 4 444444 2 4444444444 3
2rr = 2r • 2 = 4r
bölgenin
kenar uzunlukları;
h = 3 cm
• Tabanı oluşturan dairenin çevre uzunluğuna, 2rr = 2r • 2 = 4r ve
r = 2 cm
• Silindirin yüksekliği (ana doğru, eksen)
olan 3 cm’ye eşittir.
261
5. ÜNİTE
Örnek-4
Yanda tabanını oluşturan dairelerden biri verilen dairesel dik silindirin yüksekliği 5 birimdir. Silindirin açınımını çizelim ( r = 3 alalım.).
Çözüm
Dik dairesel silindirin tabanını oluşturan dairenin yarıçapı 2 birimdir. O hâlde silindirin yan yüzünü
oluşturan dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları;
2rr = 2 • 3 • 2 = 12 birim ve h = 5 birimdir.
2 br
1 44444444
4 2 44444444
43
12 br
h = 5 br
2 br
Örnek-5
Yanda yan yüzü verilen dik dairesel
silindirin tabanını oluşturan dairelerden
birini çizelim ( r = 3 alalım.).
Çözüm
Dik dairesel silindirde yan yüzü oluşturan dikdörtgensel bölgenin kenar
uzunlukları; 18 br ve 4 br’dir. O hâlde dik dairesel silindirin yüksekliği; h = 4 br
ve tabanı oluşturan dairenin çevresi 18 br’dir.
18 = 2 • r • r
18 = 2 • 3 • r ise r = 3 br'dir.
262
M
3 br
5. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Aşağıdaki noktalı yerleri tamamlayınız.
Dik dairesel silindirde;
Tabanların merkezlerini birleştiren doğru parçasına .................... denir.
Tabanların karşılıklı noktalarını birleştiren ve eksene paralel olan doğru parçalarına ....................
denir.
Eksen, .................... ve .................... oluşturan doğru parçalarının uzunlukları birbirine eşittir.
2
Yanda verilen dik dairesel silindirin temel elemanlarını şekil üzerinde gösteriniz.
3
Yanda açınımı verilen dik dairesel silindiri çiziniz.
4
Yarıçapı 2 cm ve yüksekliği 5 cm
olan dik dairesel silindirin açınımını
çiziniz ( r = 3 alınız.).
5
Yan yüzünü oluşturan dikdörtgensel bölgenin kenar uzunlukları 12 cm ve 6 cm olan kaç farklı dik
dairesel silindir oluşturulur? Bu dik dairesel silindirleri ve açınımlarını çiziniz ( r = 3 alınız.).
263
5. ÜNİTE
5.1.3. Dik Dairesel Silindirin Yüzey Alanı
Mehmet Bey, kartondan dik dairesel silindir şeklinde hediye kutuları yaparak
satmaktadır. Bu hediye kutusunun taban yarıçapı 7 cm ve yüksekliği 20 cm’dir.
2
Bir hediye kutusu için kullanılan karton kaç cm olmalıdır ( r = 3 alınız.)?
Yukarıdaki problemi çözmek için dik dairesel silindirin yüzey alanını hesaplamak gerekmektedir. Dik dairesel silindirin yüzey alanını hesaplayabilmek için
hangi bilgiler gereklidir? Düşününüz.
Çözüm
Dik dairesel silindirin yüzey açınımını çizelim ve verilen uzunlukları açınımın üzerinde gösterelim.
1 444444444 2 444444444 3
2•r•7
h = 20 cm
7 cm
Dik dairesel silindirin açınımını oluşturan dairelerin ve dikdörtgensel bölgenin alanlarının toplamı bize
silindirin yüzey alanını verir. O hâlde;
Tabanı oluşturan iki dairenin toplam alanı: 2 • r • r2 = 2 • 3 • 72 = 6 • 49 = 294 cm2 dir.
Yan yüzü oluşturan dikdörtgensel bölgenin alanı: 2rr • h = 2 • 3 • 7 • 20 = 840 cm2 dir.
Silindirin yüzey alanı: 294 + 840 = 1134 cm2 dir.
Dik dairesel silindirin alanı, alt ve üst tabanların alanları ve yan yüz alanı
toplamına eşittir.
Yüzey alanı: Alt ve üst taban alanları toplamı + yan yüz alanı
Alan: 2rr2 + 2rr • h
264
5. ÜNİTE
Örnek-1
Yanda verilen dik dairesel silindirin yüzey alanını bulalım ( r = 3 ).
Çözüm
Dik dairesel silindirin yüzey alanı: Taban alanları toplamı + Yan yüz alanı
Alan = 2rr2 + 2rr • h
= 2 • 3 • 102 + 2 • 3 • 10 • 6
= 6 • 100 + 6 • 60 • 6 = 600 + 360
= 960 cm2 olur.
Örnek-2
Yüzey alanı 1884 cm2 olan dik dairesel silindirin yarıçapı 10 cm’dir.
Silindirin yüksekliği kaç cm’dir ( r = 3 ,14 alınız.)?
Çözüm
Yüzey alanı: Taban alanları toplamı + Yan yüz alanı
1 4444
4 2 4444
4 3 1 44
4 2 44
43
2rr2
+
2rr • h
2
1884 = 2 • (3,14) • 10 + 2 • (3,14) • 10 • h
1884 = 2 • (3,14) • 100 + 62,8 • h
1884 = 628 + 62,8 • h
1884 – 628 = 62,8 • h
1256 = 62,8 • h
h = 20 cm olur.
Örnek-3
Yanda verilen dik dairesel silindirin tabanlarını, merkezinden geçecek şekilde
iki eş parçaya ayıralım. İki eş parça arasında meydana gelen dikdörtgensel bölgenin alanını bulalım.
h = 15 cm
Çözüm
İki eş parçadan birini çizerek aradaki dikdörtgensel bölgeyi gösterelim.
r = 6 cm
Aradaki dikdörtgensel bölge:
Alan = 12 • 15 = 180 cm2 dir.
265
5. ÜNİTE
Problem-1
Çapı 20 cm ve yüksekliği 24 cm olan dik dairesel silindir
2
şeklindeki rulo ile badana yapılacaktır. Alanı 5,04 m olan duvarın boyanması için silindir şeklindeki rulonun kaç tam tur
dönüş yapması gerekir ( r = 3 )?
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
İstenen
• Silindir şeklindeki rulonun;
çapı: 20 cm,
yüksekliği: 24 cm
• Boyanacak yüzeyin alanı: 5,04 m2
• Duvar boyanırken rulo kaç tam dönüş yapar?
u Problemin şemasını yapalım.
Plan Yapalım
Planı Uygulayalım
2r = 20 cm
h = 24 cm
u Rulo silindir şeklindedir.
u Silindirin yarıçapını buluruz.
u Silindirin yan yüz alanını hesaplarız.
u Duvarın alanını cm2 ye çeviririz.
u Duvarın alanını silindirin yan yüz alanına bölerek rulonun kaç tam dönüş yaptığını hesaplarız.
u Çap 2r = 20 cm ise yarıçap r = 10 cm’dir.
u Silindirin yan yüzü dikdörtgensel bölge şeklindedir. Bu bölgenin alanı;
2rr
Alan: 2rr • h = 2 • 3 • 10 • 24
h
r
2
= 1440 cm dir.
2
2
u Duvarın alanı: 5,04 m = 50 400 cm
u Rulonun dönüş sayısı:
Duvar›n
üzeyalanı
alan›
Duvarın yüzey
50 400
=
= 35’tir.
Rulonun
yan
yüz
alanı
1440
Rulonun
yan
yüzü
Kontrol Edelim
35 x 1140 = 50 400 cm
Problemin çözümü doğrudur.
u Rulonun tam dönüş sayısı ile yan yüz alanını çarparak duvarın alanını bulmalıyız.
266
2
50 400 cm2 = 5,04 m2 dir.
5. ÜNİTE
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım. Siz de kurulan problemi çözünüz ve benzer bir problem kurunuz. Kurduğunuz problemi çözünüz.
u Yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki salça kutusunun yan yüh = 16 cm
zünün etrafına firmanın etiketi yapıştırılacaktır. Etiketin yüksekliği salça ku1
tusunun yüksekliğinin
’ü kadardır. Salça kutusunun etiket dışında kalan
4
2
alanı kaç cm dir? (Etiketin yapıştırılacağı yer, “DOMATES SALÇASI” yazan
bölümdür.)
r = 4 cm
Problem-2
14 cm
Elif yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki konserve
kutusunun etrafını renkli kartonla kaplayarak kendisine bir
2
kalemlik yapmak istiyor. Elif’in kaç cm lik renkli kartona ihtiyacı vardır ( r = 3 )?
8 cm
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
İstenen
2
• Elif’in kaç cm lik renkli kartona ihtiyacı olduğu
• Silindir şeklindeki konservenin;
çapı: 8 cm,
yüksekliği: 14 cm
u Problemin şemasını yapalım.
1 444444
4 2 444444
43
2rr
h = 14 cm
h = 14 cm
R = 8 cm
R = 8 cm
Plan Yapalım
u Konserve kutusu silindir şeklindedir.
u Silindirin yarıçapını hesaplarız.
u Silindirin yan yüz alanını ve bir tabanının alanını hesaplarız.
u Silindirin yan yüz ve bir taban alanını toplayarak gerekli renkli karton miktarını buluruz.
267
5. ÜNİTE
Planı Uygulayalım
u Silindirin yarıçapı,
R 8
r = r = 2 = 4 cm'dir.
u Silindirin yan yüz alanı: 2rr • h = 2 • 3 • 4 • 14 = 336 cm2
Silindirin taban alanı: rr2 = 3 • 42 = 3 • 16 = 48 cm2
u Gerekli karton miktarı: 336 + 48 = 384 cm2 dir.
Kontrol Edelim
u Silindirin alanını bulup bir taban alanını çıkarınca gerekli karton miktarını bulmalıyız.
2
Silindirin alanı: 2rr • h + 2 • rr
h = 14 cm
: 2 • 3 • 4 • 14 + 2 • 3 • 42 = 336 + 96 = 434 cm2
Bir taban alanı: rr2 = 3 • 42 = 48 cm2
434 - 48 = 384 cm2
R = 8 cm
O hâlde problemin çözümü doğrudur.
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım. Siz de kurulan problemi çözünüz ve benzer bir problem kurunuz. Kurduğunuz problemi çözünüz.
u Taban yarıçapı 50 cm ve yüksekliği 75 cm olan iki silindir üst üste tabanları çakışacak
şekilde yerleştirildiğinde oluşan cismin yüzey alanını hesaplayınız.
Bunu biliyor muydunuz?
Yeryüzünün tamamının veya bir kısmının kuş bakışı
olarak, belli bir ölçek kullanılarak küçültülüp bir düzlem
üzerine aktarılmasıyla oluşturulan şekillere harita denir.
Küre şeklinde olan Dünya, bir düzlem üzerine aktarılırken
bazı yöntemler kullanılır. Bu yöntemlere projeksiyon
denir. Harita çiziminde kullanılan projeksiyonlardan biri
de silindir projeksiyondur. Silindir projeksiyon, bir kürenin
çevresine silindir şeklinde bir kâğıt sarılmasıyla oluşturulur.
Bu yöntem daha çok deniz ve hava ulaşımında kullanılır.
268
5. ÜNİTE
Etkinlik
Dik Dairesel Silindir Yapıyorum
Kutunun yan yüzünü sarı renkli kâğıtla kaplayalım
(Kâğıdın, yan yüzü tam olarak kaplanmasına dikkat
edelim.).
Araç ve Gereçler
• dairesel silindir
şeklinde kutu
• beyaz ve sarı
renkli kâğıt
• makas
• cetvel
Kutunun tabanlarını beyaz kâğıt üzerine koyarak çevresi boyunca çizelim.
Çizdiğimiz daireleri keserek kâğıttan ayıralım.
Yan yüzü kapladığımız sarı kâğıdı ve beyaz kâğıttan kestiğimiz daireleri kullanarak silindirin
açınımını elde edelim.
Silindirin açınımından yararlanarak dik dairesel silindirin yüzey alanını veren bağıntıyı oluşturunuz.
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
269
5. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Yanda verilen dik dairesel silindirin açınımını çizerek bu açınımı oluşturan
düzlemsel şekillerin alanlarını bulunuz ( r = 3 ).
h = 40 cm
r = 12 cm
2
Taban alanı 616 cm2 ve yüksekliği 32 cm olan silindirin yüzey alanını kaç cm2 dir ( r =
22
)?
3
Yarıçapı 27 cm olan dik dairesel silindirin taban alanları toplamı yan yüz alanına eşittir. Bu silindirin yüksekliği kaç cm’dir ( r = 3 )?
4
Taban yarıçapı 30 cm ve yüksekliği 50 cm olan dik dairesel silindir şeklindeki tahta kütük, taban merkezlerinden geçecek şekilde iki eş parçaya
ayrılıyor. Her bir parçanın yüzey alanını hesaplayınız ( r = 3 ).
5
Yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki su tankı boyanacaktır. Boyanacak yüzey kaç m2 dir ( r = 3 )?
r=3m
h=5m
3
•
Bir dik dairesel silindirin yüzey alanı 924 cm2 ve yüksekliği 15 cm’dir. Silindirin taban çevresi kaç
cm’dir ( r = 3 )?
7
Yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki mumun yüzey alanını hesaplayınız
( r = 3 ).
•r
h = 10 cm
6
r = 1,5 cm
270
5. ÜNİTE
5.1.4. Dik Dairesel Silindirin Hacmi
r•= 20 cm
h = 25 cm
Yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki akvaryumun hacmini nasıl hesaplayabiliriz? Tabanı dairesel bölge olan dik prizmaya dik dairesel
silindir denildiğini biliyoruz. Buna göre dik prizmaların hacminin nasıl hesaplandığını hatırlayınız. Aynı hesaplama yöntemini dik dairesel silindirlerin hacmini hesaplarken de kullanabilir miyiz? Düşününüz.
r = 2 br
Örnek-1
Yanda verilen dairesel dik silindirin hacmini tahmin edelim. Tahminimizi işlem
yaparak kontrol edelim ( r = 3 alalım.).
h = 6 br
Çözüm
Silindirin taban alanını tahmin edelim. Silindirin tabanında 4 tam ve 12 tane tam olmayan kare vardır.
Tahminen tabanda 11 tam kare vardır. Bir karenin alanı 1 br2 ise taban alanı 11 br2 dir. Silindirin de bir
prizma olduğunu biliyoruz. O hâlde prizmaların hacminden yararlanarak silindirin hacmi, taban alanı ve
yüksekliğin çarpımına eşittir, diyebiliriz.
Silindirin hacmi tahminen, 11 br2 x 6 br = 66 br3 tür.
: 8
taban alanı yükseklik
Tahmininizi işlem yaparak kontrol edelim;
Dik dairesel silindirin taban alanı: rr2 = 3 • 22 = 3 • 4 = 12 br2 dir.
Dik dairesel silindirin hacmi: Taban alanı x yükseklik = 12 br2 • 6 br = 72 br3 tür.
Tahminimiz 66 br3, işlem sonucumuz 72 br3 tür. Tahminde yapılan hata, tabanı oluşturan kare sayısının
tam olarak alınmamasından kaynaklanmıştır.
Yarıçapı r, yüksekliği h olan dik dairesel silindirin hacmi, silindirin taban alanı ile yüksekliğinin
çarpımına eşittir. O hâlde,
V = rr2 • h’dir.
Örnek-2
Yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki CD kutusunun yarıçapı 6 cm ve
yüksekliği 9 cm’dir. CD kutusunun hacmini hesaplayalım.
271
5. ÜNİTE
Çözüm
CD kutusunun yarıçapı r = 6 cm ve yüksekliği h = 9 cm’dir.
Hacim: Taban alanı x Yükseklik
V = rr2 • h
V = 3 • (6)2 • 9
V = 972 cm3
Örnek-3
3
Yanda verilen dik dairesel silindir şeklindeki su tankının hacmi 4,62 m
22
).
ve yüksekliği 3 m’dir. Su tankının taban yarıçapını hesaplayalım (r =
7
Çözüm
Hacim: Taban alanı x Yükseklik
V = rr2 • h
22 2
• r • 3
7
66 2
• r
4,62 =
7
7
r2 = 4,62 •
66
r2 = 0,49
4,62 =
r = 0,7 m’dir.
Problem-1
İstanbul’un Fethi’nden 1 yıl önce yapılan Rumeli Hisarı’ndaki
3 kule, yapımında görev alan paşaların adıyla anılır. Bunlardan,
denizden bakıldığında sol tarafta bulunan kule, Zağnos Paşa
Kulesi’dir. Zağnos Paşa Kulesi, zeminler birlikte sekiz kat olarak
inşa edilmiştir. Bu kulenin çapı 26,70 m, duvar kalınlığı 5,70 m,
yüksekliği 21 m’dir. Zağnos Paşa Kulesi’nin duvar hacmini tahmin edelim. Daha sonra da tahminimizle karşılaştırmak üzere
işlem yapalım (Duvar kalınlığı yaklaşık 6 m, r = 3 alalım.).
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
•
•
•
272
Kule, dik dairesel silindir şeklindedir.
Silindirin çapı: 2r = 26,70 m,
Yükseklik: h = 21 m,
Kule duvarının kalınlığı 5,70 m’dir.
İstenen
• Kulenin duvarının hacmi
5. ÜNİTE
• Problemin şemasını yapalım.
r2
h = 21 m
r1
Plan Yapalım
Planı Uygulayalım
u Kulenin yarıçapını buluruz.
u Kulenin hacmini buluruz.
u Kulenin iç bölgesinde oluşan silindirin hacmini buluruz.
u Kulenin hacminden kulenin iç bölgesinin hacmini çıkararak kule duvarının hacmini buluruz.
u Sonucu tahmin edelim.
r1
Kule, silindir şeklinde olup taban yarıçapının uzunluğu (r2) yaklaşık 14 m’dir.
Duvara kadar olan taban yarıçapının uzunluğu (r1 = r2 – duvar kalınlığı);
r1 = 14 – 6 = 8 m’dir.
r değerini yaklaşık 3 alalım. Yüksekliği yaklaşık 20 m alalım.
r2
Vkale duvarı = Ta • h
2
2
= (rr2 – rr1 ) • 20
2
2
= 3(r2 – r1 ) • 20
= 60 • (142 – 82) (iki kare farkı)
= 60 • (14 – 8) • (14 + 8)
= 60 • 6 • 22 = 7920 m3 olarak tahmin edelim.
Şimdi işlem yaparak sonucu bulalım.
Kulenin çapının uzunluğu 26,70 m,
Yarıçapının uzunluğu = r2 = 13,35 m’dir. r = 3,14 alalım.
Vkule = Ta • h
r2
2
= r • r2
h = 21 m
r1
Viç bölge = Ta • h
•
2
h
= 3,14 • (13,35)2 • 21
= r • r1
•
h
= 3,14 • (13,35 – 5,70)2 • 21
= 3,14 • 178,22 • 21
= 3,14 • (7,65)2 • 21
= 559,61 • 21
= 3,14 • 58,52 • 21
= 11 751,99 m
3
≈ 11 751,99 m3 olur.
= 3858,97
≈ 3859 m3 olur.
273
5. ÜNİTE
Vkale duvarı = Vkule – Viç bölge
= 11 752 – 3859
= 7893 m3 bulunur.
Tahminimiz 7920 m3 iken sonuç 7893 m3 tür.
Kontrol Edelim
26, 70
= 13,35 m’dir.
2
u Duvara kadar olan taban yarıçapının uzunluğu; r1 = r2 – duvar kalınlığı
u Kulenin taban yarıçapı r2 =
r1 = 13,35 – 5,70
r1 = 7,65 m’dir.
Vkale duvarı = Ta • h
2
2
= (rr2 – rr1 ) • 21
2
2
= r(r2 – r1 ) • 21
2
2
= 3,14(r2 – r1 ) • 21
= 65,94((13,35)2 – (7,65)2) (iki kare farkı)
= 65,94(13,35 – 7,65) • (13,35 + 7,65)
= 65,94 • 5,7 • 21
≈ 7893 m3 olur.
O hâlde problemin çözümü doğrudur.
Problem Kuralım
u Bir silindirin taban alanının, kare prizmanın taban ala3
’tür. Silindir ile kare prizmanın yükseklikleri eşit
nına oranı
4
olduğuna göre, silindirin hacminin kare prizmanın hacmine
oranını bulunuz ( r = 3 alınız.).
A ve B tencereleri dik dairesel silindir şeklinde eşit hacimli iki tenceredir. A tenceresinin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 25 cm’dir. B tenceresinin yarıçapı 10 cm ise yüksekliği kaç cm’dir?
25 cm
Problem-2
A
Çözüm
Problemi Anlayalım
Verilenler
•
•
•
274
h=?
Silindir şeklinde iki tencere
A tenceresinin yarıçapı: r = 8 cm,
Yükseklik: h = 25 m,
B tenceresinin yarıçapı: r = 10 cm
İstenen
• B tenceresinin yüksekliği
B
5. ÜNİTE
u Problemin şemasını yapalım.
Plan Yapalım
Planı Uygulayalım
A tenceresinin yarıçapını yuvarlama yaparak 10 cm ve yüksekliğini 25 cm olarak alalım.
A tenceresinin hacmi VA = r • 102 • 25 • r
u A tenceresinin hacmini buluruz.
u B tenceresinin hacmini cebirsel ifade şeklide buluruz.
u A ve B tencerelerinin hacimlerinin eşit olmasından yararlanarak B tenceresinin yüksekliğini bulunuz.
u Sonucu tahmin edelim.
VA = 2500r
B tenceresinin yarıçapı 10’dur. Yüksekliğine h diyelim.
B tenceresinin hacmi VB = 102 • hr = 100rh
Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için 2500r= 100rh
Her iki tencerenin hacmi eşit olduğu için h = 25 cm’dir.
u İşlem yaparak sonucu bulalım:
A tenceresinin hacmi: VA = r • r2 • h = r • 82 • 25 = 1600r
B tenceresinin hacmi: VA = r • r2 • h = r • 102 • h = 100rh
Her iki tencerenin hacimlerinin eşitliğinden;
VA = VB
1600r = 100rh
h = 16 cm’dir.
u Tahminimiz 25 cm iken sonuç 16 cm’dir.
Kontrol Edelim
u Her iki tencerenin de hacimleri bulduğumuz yüksekliğe göre eşitse çözüm doğrudur.
=
VA = r • r2 • h = r • 82 • 25 = 1600r
VB = r • r2 • h = r • 102 • 16 = 1600r
hacimleri eşittir. O hâlde problemin çözümü doğrudur.
275
5. ÜNİTE
Problem Kuralım
Problemin çözüm sürecini ve çözümü genelleyerek problem kuralım. Siz de kurulan problemi çözünüz ve benzer bir problem kurunuz. Kurduğunuz problemi çözünüz.
u Taban yarıçapı 15 cm olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kaba
14,7 litre su konuyor. Suyun yüksekliği kaç cm olur ( r = 3 )?
r = 15 cm
Bunu biliyor muydunuz?
Dünya’nın en büyük akvaryumlarından biri, Almanya’da bir otelin
tam ortasında bulunan dik dairesel silindir şeklindeki akvaryumdur. Bu
akvaryum 25 metre yüksekliğindedir. Akvaryumda 1 milyon litre su, 1500
balık ve 50 çeşit tür barınmaktadır. Bu akvaryumda en ilginç olan ise
şüphesiz içinde asansör bulunmasıdır.
Etkinlik
Silindirin Hacmi
Madeni paralarımızı üst üste koyarak dik dairesel
silindir modeli oluşturalım.
Silindir modelimizin hacmi nasıl bulunabilir? Arkadaşlarınızla tartışınız.
Araç ve Gereçler
• 8 tane madeni 1 TL
• cetvel
Dik dairesel silindirin yarıçapı ve yüksekliğini cetvelle ölçerek bulalım.
Silindirin taban alanını bulunuz ( r = 3 alınız.).
Dik dairesel silindirin, tabanı daire olan bir prizma türü olduğunu biliyoruz. Buna göre dik
prizmaların hacim bağıntısını dikkate alarak dik dairesel silindir modelimizin hacmini hesaplayalım.
Hesaplama yaparken nasıl bir bağıntı kullandığımızı açıklayalım.
276
5. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
1
Yanda açınımı verilen dik dairesel silindirin hacmini bu22
lunuz ( r =
).
7
2
Taban yarıçapı 15 cm, yüksekliği 10 cm olan dik dairesel silindir
şeklindeki bir pastanın hacmi kaç cm3 tür?
3
Taban yarıçapı 12 cm olan silindir şeklindeki bir
kapta bir miktar su vardır. Kabın içine suya tamamen batacak şekilde bir ayrıtı 4 cm olan küp şeklinde demir bir blok atılıyor. İlk hâle göre kaptaki su
kaç cm yükselir ( r = 3, 14 alınız.)?
r = 12 cm
4 cm
4
Yarıçapı 80 cm, yüksekliği 1 m olan dik dairesel silindir şeklindeki bidon içindeki su, yarıçapı 10
cm, yüksekliği 40 cm olan silindir şeklindeki kaplara doldurulacaktır. En az kaç kap gereklidir ( r = 3
alınız.)?
5
Yandaki verileri ve görseli kullanarak bir problem kurunuz. Kurduğunuz problemi çözünüz.
r=2m
h = 1,5 m
277
5. ÜNİTE
5.1.5. Dik Piramid, Temel Elemanları ve Açınımı
Ünlü matematikçi, filozof ve gök bilimci olan Thales
(Tales), MÖ 6. yüzyılda Milet’te (Aydın) yaşamıştır. Deney ve gözleme dayalı bilgiyi ortaya koyan ilk kişilerdendir.
Çubuk
Çubuğun
gölgesi
Thales’in Mısır Piramitleri’nin yüksekliğini ölçme
yöntemi, onun pratik zekâsını gösteren iyi bir örnektir.
Thales, Güneş’in konumuna göre, bir çubuğun boyunun
gölgesine eşit olduğu bir anda, piramidin boyunun da
gölgesine eşit olacağını düşünerek piramidin gölgesini
ölçüp yüksekliğini bulmuştur.
Siz de Mısır Piramitleri ile ilgili bir araştırma yapınız
ve sonucu arkadaşlarınızla paylaşınız. Piramidin yüzey
açınımında hangi geometrik şekiller bulunur? Piramidin
temel elemanları neler olabilir? Araştırınız.
Piramidin gölgesinin
uzunluğu
P
Örnek-1
Yandaki kare dik piramidin yüzey açınımı çizelim.
P
Çözüm
A
D
a
A
a
C
a
B
a
a
y
a
D
A
aK
B
a
A
h
y
C
K
H
B
a
T
Örnek-2
C
Yandaki eşkenar üçgen dik piramidin yüzey açınımını çizelim.
Çözüm
C
T
A
278
T
B
T
A
B
5. ÜNİTE
Görev
Tüm ayrıtları birbirine eş olan düzgün üçgen piramidin açınımını çiziniz. Bu cisme ne ad verildiğini
araştırınız ve arkadaşlarınızla paylaşınız.
Örnek-3
Aşağıdaki şekil üzerinde, kare piramidin tepe, ayrıt, köşe, cisim yüksekliği ve yan yüz yüksekliğini inceleyelim.
T
Tepe
Yanal
ayrıtlar
Yan yüz yüksekliği
C
D
A
K
E
a
Taban
a
B
Cismin yüksekliği
Taban köşesi
Taban ayrıtı
Çözüm
Kare dik piramidimizin elemanlarını gösterelim.
• ABCD karesi, piramidin tabanı;
• TE , piramidin cisim yüksekliği;
& & &
&
• ABT , BCT , CDT ve ADT piramidin yan yüzleri;
• 6TA@, 6TB@, 6TC@, 6TD@, 6AB@, 6BC@, 6CD@ ve 6DA@ piramidin ayrıtları;
• Yan yüzlerini oluşturan herhangi bir üçgenin yüksekliği 6TK@, piramidin yan yüz yüksekliğidir.
Bir çokgensel bölgenin her noktasını, bu çokgenden geçen düzlemin dışındaki T noktasına
birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme piramit denir.
Piramidin temel elemanları, tepe noktası, tabanı, yan yüzleri, ayrıtları ve yüksekliğidir.
Çokgensel bölgeye piramidin tabanı, dışındaki noktaya piramidin tepesi denir.
Tepe noktasından taban düzlemine inen dikmeye (ya da dikmenin uzunluğuna) piramidin yüksekliği denir. Piramitte yükseklik, aynı zamanda tepenin taban düzlemine olan uzaklığıdır.
• Bir köşesi piramidin tepesi olan üçgensel bölgelere, dik piramidin yanal yüzleri denir. Yanal
yüzler, ortak bir tepe noktası olan ikizkenar üçgenlerdir. Yanal ayrıt uzunlukları birbirine eşittir.
• Yanal yüzlerden birine ait yükseklik, piramidin yan yüksekliğidir.
279
5. ÜNİTE
Örnek-4
Aşağıdaki piramit çeşitlerini inceleyelim.
Çözüm
Üçgen
piramit
Dörtgen
piramit
Beşgen
piramit
Eşkenar üçgen
düzgün piramit
Düzgün kare
piramit
Düzgün altıgen
piramit
Piramitler, taban çokgenlere göre adlandırılır. Tabanı üçgen olan piramide üçgen piramit, tabanı dörtgen olan piramide dörtgen piramit, tabanı beşgen olan piramide beşgen piramit denir.
Tabanı düzgün çokgen, yan ayrıtları eş olan ve cisim yükseklikleri tabanın merkezinden geçen
piramitlere düzgün piramit denir. Tabanı eşkenar üçgen olan düzgün piramide eşkenar üçgen
düzgün piramit denir. Tabanı kare olan düzgün piramide düzgün kare piramit denir.
Bunu biliyor muydunuz?
Louvre (Luvr) Piramidi, Paris’teki Louvre Müzesi’nin
avlusunda bulunan cam piramittir. Bu piramit, 1989 yılında
müzenin yenilenmesi sırasında inşa edilmiştir. Müzenin yeni
giriş kısmının bir parçası olan piramidin yüksekliği 20,6 m,
kare şeklindeki tabanının kenarları ise otuz beşer metredir.
Etkinlik
Elma Piramit
Bir elmayı enine ortasından keselim. Kestiğimiz elmanın yarısını
sıramızın üzerine koyalım.
Elmanın yarısını, en üst noktasından aşağıya doğru, eğik bir doğrultuda
keselim.
Elmayı aynı noktadan başka bir doğrultuda yine aşağıya doğru keselim.
Araç ve Gereçler
• elma
• kürdan
• cetvel
• bıçak
• karton
Bu işlemi iki kez daha tekrarlayarak elmadan piramit modeli oluşturalım.
Piramidi belirlemek için hangi elemanlara ihtiyaç duyarız? Arkadaşlarınızla tartışınız.
280
5. ÜNİTE
Piramit modelinin en üst noktasından tabanına dik olacak şekilde bir kürdan
batıralım.
Kürdanın, piramidin tepe noktasıyla tabanı arasındaki uzunluğu, piramidin
hangi elemanını oluşturur? Tartışınız.
Kartondan bir eşkenar üçgen modeli hazırlayalım.
Eşkenar üçgen modelimizin üç kenarının da kenar orta noktalarını bulalım ve şekildeki gibi
cetvelle çizerek birleştirelim.
Eşkenar üçgen modelimiz üzerinde çizgiler üzerinden kat izleri yaparak üçgenin üç köşesini
birleştirelim. Kenarları bantla tutturarak bir piramit modeli hazırlayalım.
Üçgenin köşelerinin birleştiği nokta piramidinizin hangi elemanını oluşturdu? Tartışınız.
ALIŞTIRMALAR
1
2
Yakın çevrenizdeki cisimlerden piramide benzer örnekler bulunuz ve söyleyiniz.
Yandaki şekil bir kare piramit olduğuna göre;
a. Kare piramidin tabanını,
b. Kare piramidin yanal yüzlerini,
c. Kare piramidin yanal ayrıtlarını,
ç. Kare piramidin yanal yüz yüksekliğini,
d. Kare piramidin cisim yüksekliğini gösteriniz ve yazınız.
3
Taban ayrıtı 4 cm, yanal ayrıtlarının uzunlukları altışar cm olan kare dik piramidin açınımını çiziniz.
4
Kare piramidin kaç köşesi, kaç ayrıtı ve kaç yüzü vardır?
281
5. ÜNİTE
Aşağıda verilen piramit şekillerini inceleyiniz ve altlarındaki noktalı yerlere isimlerini yazınız.
5
.........................
.........................
6
.........................
.........................
.........................
.........................
.........................
.........................
Aşağıdaki cümlede noktalı yerlere gelecek sözcük grubu hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
Tepe noktasından taban düzlemine inen dikmeye ya da dikmenin uzunluğuna piramidin ..................
....................... denir.
7
A) Yan yüz yüksekliği
B) Cisim yüksekliği
D) Dikme ayağı
D) Taban köşesi
Aşağıdakilerden hangisi, eşkenar üçgen dik piramidin açınımıdır?
A)
8
B)
C)
D)
Üçgen piramidin kaç köşesi, kaç ayrıtı ve kaç yüzü vardır?
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
282
5. ÜNİTE
5.1.6. Dik Koni, Temel Elemanları ve Açınımı
Aşağıdaki fotoğrafları inceleyiniz. Bu fotoğraflarda gördüğünüz nesnelerin ortak özellikleri nelerdir?
Fotoğraflarda gördüğünüz her bir nesne hangi geometrik cisme benzemektedir?
Siz de çevrenizden bu geometrik cisme örnekler gösteriniz.
Örnek-1
Dik koni modeli ve açınımını çizelim. Model üzerinde koninin temel elemanlarını gösterelim.
Çözüm
Tepe
noktası
Ana doğru
Yükseklik
a
Yanal alan
a
Taban çevresi
Taban
O
a
Yanal
alan
Merkezi “O” olan bir daireyle daire düzlemine
“O” noktasında dik olan doğru
a
üzerinde ve daire dışında bir T noktası veriliyor. Dairenin her noktasını, T noktasıTaban
çevresi
na birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu cisme dik koni
denir.
O
Taban
O
a
O
Ana
do¤ru
a
Taban
Yanal
yüzey
283
a
Taban çevresi
O
5. ÜNİTE
Taban
O
a
O
Taban
Yanal
yüzey
a
Ana
do¤ru
Koninin temel elemanları, taban, tepe noktası, eksen, yanal yüzey ve ana doğru (doğuran)dır.
Yanda verilen dik dairesel konide;
• “O” merkezli daire, koninin tabanıdır.
• TO doğru parçası, koninin cisim yüksekliğidir.
• T, koninin tepe noktasıdır.
• Taban dairesinin çemberi üzerindeki noktaları tepe noktasına birleştiren TA ve TC gibi doğru parçalarına koninin ana
doğruları denir.
• Tepe noktası ve taban merkezinden geçen doğruya koninin ekseni denir. Koninin yüksekliği koni ekseni üzerindedir.
• Tepeden geçen ve tabanının kenarı olan çembere dayanan doğrunun süpürdüğü yüzeye yanal yüzey denir.
Ekseni tabana dik olan koniye dik koni ya da dönel koni denir.
Dik koniler eksen etrafındaki dönmelerde dönme simetrisine sahiptirler. Eksen etrafındaki
dönmelerde koni değişmez.
A
Örnek-2
O
r
B
O
Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 4 cm olan koni ve açınımını çizelim ( r = 3 alalım.).
Çözüm
Verilenlerden yararlanarak konimizi çizelim.
h = 4 cm
M
Konimizin açınımını çizebilmek için ana
doğru ve taban çevresini bulalım.
a
a
h = 4 cm
r = 3 cm
r = 3 cm
5 cm
2
2
2
a =4 + 3
a2 = 16 + 9
a2 = 25
a = 5 cm
18 cm
r = 3 cm
284
Ana doğru 5 cm’dir.
Taban çevresi: 2rr = 2 • 3 • 3 = 18 cm'dir.
5. ÜNİTE
Etkinlik
Sünger Üçgen Prizma
Çembersel kâğıdımızda bir daire dilimi belirleyelim ve daire dilimimizi
keselim (Şekil 1’de bulunan AOB).
A
Daire dilimimizin köşe noktalarını
A, O, B olarak isimlendirelim.
B
O
Araç ve Gereçler
• 2 tane çembersel
kâğıt
• makas
• yapıştırıcı
AO ve OB doğru parçalarını üst üste gelecek şekilde
(külah şeklinde) birleştirerek yapıştıralım.
Yapıştırdığınız OA ya da OB doğru parçası koninin hangi
elemanı olabilir?
Diğer çembersel kâğıdımızın üzerine hazırladığımız
külah şeklini yerleştirip uygun taban dairesini belirleyerek
keselim.
Şekil – 1
Kestiğimiz daireyi külah modelinin tabanına yapıştıralım.
Elde ettiğiniz koni modelinin yüksekliği neresidir?
Koninin temel elemanları nelerdir? Düşününüz.
Koniyi hazırlama basamaklarınızı açıklayınız. Bundan yararlanarak koninin yüzey açınımını
çiziniz.
Bunu biliyor muydunuz?
Gün­lük ha­yat­ta sık­ça ye­di­ği­miz don­dur­ma­nın için­de kal­si­yum, fos­for,
sod­yum, po­tas­yum gi­bi mi­na­rel­ler ve A, B, C, D, E vi­ta­min­le­ri bu­lu­nur. Yük­
sek mik­tar­da süt içer­me­sin­den do­la­yı don­dur­ma, be­sin de­ğe­ri açı­sın­dan
ol­duk­ça zen­gin­dir.
Don­dur­ma ilk ola­rak 3000 yıl ka­dar ön­ce Çin­li­ler ta­ra­fın­dan üre­til­miş­tir.
1777 yı­lın­da ABD’de üre­ti­mi­ne baş­la­nan don­dur­ma, za­man­la hız­la ge­li­şen
bir sek­tör hâ­li­ne gel­miş ve yanda görüldüğü gibi genellikle koni şeklinde
satışa sunulmuştur.
Görev
Bulabildiğiniz ve yapabildiğiniz koni modellerini ya da fotoğraflarını sınıfa getirerek sınıfınızda bir
sergi düzenleyiniz.
285
5. ÜNİTE
ALIŞTIRMALAR
Aşağıdakilerden kaç tanesi dik koni (dönel koni)nin temel elemanlarından değildir?
1
I.
II.
III.
IV.
V.
Tepe noktası
Taban
Eksen
Yanal yüzey
Köşe noktası
A) Hiçbiri
2
B) 1 C) 2
D) 3
Aşağıdaki noktalı yerlere gelecek uygun sözcük grubu, hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
“Merkezi ‘O’ olan bir daire ile daire düzlemine ‘O’ noktasında dik olan doğru üzerinde ve daire dışıda bir T noktası verilsin. Dairenin her noktasını T noktasına birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu
cisme ......................... denir.”
B) Eğik koni A) Konik
3
C) Koni kesmesi
D) Dik koni
Aşağıdaki bilgilerden hangileri doğrudur?
I. Dik koniler, eksen etrafındaki dönmelerde dönme simetrisine sahiptir.
II. Ekseni tabana dik olan koniye, dik koni denir.
III. Taban dairesinin çemberi üzerindeki noktaları, tepe noktasına birleştiren doğru parçalarına
koninin ana doğruları denir.
B) Yalnız II A) Yalnız I
4
5
O 3 cm
A) 2 cm
AC) 4 cm
B
O
A
286
B
B) 3 cm
D) 5 cm
4. soruda verilen dik koninin açınımını, aşağıda boş bırakılan yere çiziniz.
M
1
D) I, II ve III
Yandaki dik koninin cisim yüksekliği, aşağıdakilerden hangisidir?
5 cm
A
C) II ve III
B
5. ÜNİTE
6
Aşağıdaki geometrik şekillerden hangisi, dönel koninin yanal alanıdır?
A) Üçgen
7
B) Daire C) Daire dilimi
D) Dikdörtgen
Yanda verilen dik dairesel koninin temel elemanlarını, aşağıdaki noktalı yerlere yazınız.
a. ...........................................
5 cm
b. ...........................................
c. ...........................................
A
O 3 cm
B
A
O
B
ç. ...........................................
d. ...........................................
A
Notlarım
M
1
B
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
287
5. ÜNİTE
5.2.
VERİ DÜZENLEME, DEĞERLENDİRME VE YORUMLAMA
5.2.1. Histogram
Dijital fotoğraf makinelerinde fotoğrafın renklerindeki ton dağılımını gösteren grafikler vardır.
Yandaki fotoğraf ve grafikte neler dikkatinizi çekiyor?
Örnek-1
Aşağıda, Atatürk Ortaokulu 8A sınıfı öğrencilerinin matematik testinden aldıkları puanlar verilmiştir:
56, 47, 55, 58, 62, 76, 84, 92, 52, 61, 70, 84, 58, 80, 65, 76, 52, 53, 78, 66, 78, 53, 92, 95, 69, 90, 84,
84, 68, 72, 65, 96, 98, 61, 95, 54, 74, 82, 54, 57, 64, 54, 65, 100, 55, 63, 65, 62, 85
Verileri tablo ve grafikte gösterelim.
Çözüm
Tablo ve grafik oluştururken öncelikle verileri sınıflandırmak için grup sayısını seçelim ve grup genişliğini
belirleyelim.
Grup sayısını 9 olarak seçtikten sonra açıklığı grup sayısına bölerek grup genişliğini bulalım.
Açıklık
aç›kl›k
100 – 47
53
=
= 5, 8
Grup genişliği = Grup sayısı =
9
9
grup say›s›
Bulduğumuz sayıya yakın en küçük doğal sayı 6 olduğu için veri grubumuzun genişliğini 6 alalım.
Verileri grup genişliğine göre gruplandırarak çetele ve sıklık tablosu oluşturalım.
Tablo: Matematik Testinden Alınan Puanlara
Göre Kişi Sayıları
Puanlar
Kişi Sayısı
Kişi Sayısı
Histogram oluşturulurken verilerin kaç gruba ayrılacağı belirlenir. Veri grubunun açıklığı,
seçilen grup sayısına bölünür ve aşağıdaki
eşitsizlik dikkate alınarak grup genişliği için en
küçük doğal sayı değeri belirlenir.
aç›kl›k
Açıklık
< Grup genişliği
Grupsay›s›
sayısı
grup
47 – 52
3
53 – 58
11
59 – 64
6
65 – 70
8
71 – 76
4
77 – 82
4
Veriler grup genişliğine göre gruplara ayrılır.
83 – 88
5
89 – 94
3
95 – 100
5
Gruplar ve gruplardaki veri sayıları tablo
hâlinde düzenlenir. Tablodan yararlanılarak
histogram çizilir.
288
5. ÜNİTE
Tablodaki verileri kullanarak ve grup genişliğini dikkate alarak grafiği oluşturalım.
Kişi sayısı
Grafik: Matematik Testinden Alınan Puanlar
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Grafik oluştururken sütun genişliklerinin aynı olduğuna
ve sütunlar arasında boşluk kalmamasına dikkat etmeliyiz.
47 – 52
53 – 58
59 – 64
65 – 70
71 – 76
77 – 82
83 – 88
89 – 94
95 – 100
Bir veri dizisindeki değişikliklerin sınıflandırılması
ve bunların dağılımının çubuklar ile gösterilmesine
histogram denir.
Puanlar
Histogram, sayısal tabloda gözlenemeyen gruplaşmaların daha kolay anlaşılmasını sağlar.
Grafiğe göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.
• Yatay eksende neden “zikzak” kullanılmıştır?
0 – 47 aralığında hiç veri olmadığı için grafikte yatay eksende zikzak kullanılmıştır.
• En yüksek puan aralığında kaç kişi vardır?
En yüksek puan aralığında 5 kişi vardır.
• En düşük puan aralığında kaç kişi vardır?
En düşük puan aralığında 3 kişi vardır.
• Hangi grup aralığında kişi sayısı fazladır?
53 – 58 grup aralığında kişi sayısı fazladır.
• 65 – 70 grup aralığında kaç kişi vardır?
65 – 70 grup aralığında 8 kişi vardır.
Örnek-2
Aşağıda hızlı okuma kurslarına katılan katılımcıların 1 dakikada okudukları sözcük sayıları verilmiştir:
220, 220, 222, 224, 225, 253, 254, 255, 229, 230, 231, 236, 244, 244, 246, 247, 247, 247, 237, 237,
237, 239, 240, 241, 241, 241, 241, 248, 248, 228, 248, 248, 249, 249, 250, 251, 252, 252, 252, 256, 257,
258, 258, 259, 232, 234, 235, 235, 235,260, 260, 260, 264, 266, 269, 226, 227, 227, 227, 233
Çözüm
Verileri sınıflandırmak için grup sayısını 10 olarak belirledikten sonra veri grubunun açıklığını grup
sayısına bölelim:
aç›kl›k
Açıklık
269 – 220
=
= 4, 9
Grup
sayısı
10
grup say›s›
Aşağıdaki eşitsizliği göz önüne alarak bölümü takip eden bir sonraki doğal sayıyı grup genişliği olarak
alalım:
aç›kl›k
Açıklık
< Grup genişliği
Grup
sayısı
grup say›s›
4,9 < 5
289
5. ÜNİTE
Bulduğumuz sayıya yakın en küçük doğal sayı 5 olduğu için veri grubunun genişliğini 5 alalım.
Verileri grup genişliğine göre gruplandırarak çetele ve
sıklık tablosu oluşturalım.
Tablomuzdan yararlanarak grafiğimizi çizelim.
Kişi sayısı
Grafik: Okunan Sözcük Sayısı
220 – 224
225 – 229
230 – 234
235 – 239
240 – 244
245 – 249
250 – 254
255 – 259
260 – 264
265 – 269
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Tablo: Sözcük Sayısına Göre Kişi Sayıları
Puanlar
Kişi Sayısı
Kişi Sayısı
220 – 224
4
225 – 229
7
230 – 234
5
235 – 239
8
240 – 244
7
245 – 249
10
250 – 254
7
255 – 259
6
260 – 264
4
265 – 269
2
Sözcük
sayısı
Grafiğe göre aşağıdaki soruları cevaplayalım.
• Yatay eksende neden “zikzak” kullanılmıştır?
0 – 220 aralığında hiç veri olmadığı için grafikte yatay eksende zikzak kullanılmıştır.
• Bir dakikada en çok sözcüğü kaç kişi okumuştur?
Bir dakikada en çok sözcüğü 2 kişi okumuştur.
• Bir dakikada en az sözcüğü kaç kişi okumuştur?
Bir dakikada en az sözcüğü 4 kişi okumuştur.
• Hangi grup aralığındaki kişi sayısı fazladır?
245-249 grup aralığındaki kişi sayısı fazladır.
* Tablodaki verileri, sütun ya da çizgi grafiği ile göstermek uygun olur mu? Yanıtınızın nedenini açıklayınız.
* Siz de grup genişliğini farklı yöntemler kullanarak bulup tablo ve grafiği yeniden oluşturunuz.
Etkinlik
Okula Gidiş Dönüş
Aşağıda, öğrencilerin okula gidiş – dönüşte harcadıkları süreler dakika
olarak verilmiştir.
5, 12, 18, 40, 55, 6, 8, 23, 46, 85, 13, 18, 44, 87, 31, 35, 24, 28, 32, 56, 52,
75, 68, 70, 74, 15, 30, 42, 18, 33, 51, 58, 64, 60, 72, 80, 84, 95, 98, 99, 100,
16, 28, 21, 45, 56, 20, 19, 48, 80, 84
Araç ve Gereçler
• kâğıt
• cetvel
• kalem
Verileri tabloda ve grafikte gösterebilmek için ilk olarak grup sayısı ve grup genişliğini belirleyelim
(Grup genişliğini 10 alınız.).
290
5. ÜNİTE
Gruplandırılmış verilerin çetele ve sıklık tablosunu yapalım. Tablonuza isim verelim.
Grafiğimizi, yatay ve dikey eksenleri isimlendirerek ve grup genişliğine dikkat ederek çizelim. (0-5
aralığında hiç veri olmadığından yanlış yorumlamaya yol açmamak için zikzak çizelim.).
Grafiğin çizimini yaparken grup genişliğinden nasıl yararlandığınızı açıklayınız.
Grafiğimizi isimlendirelim.
Aşağıdaki soruları yanıtlandırarak grafiği yorumlayınız.
Kaç kişinin okula gidiş – dönüş süreleri verilmiştir?
En uzak mesafede oturan kaç kişi vardır? En yakın mesafede oturan kaç kişi vardır?
Siz de yukarıdaki sorulara benzer soruları arkadaşlarınıza sorunuz.
ALIŞTIRMALAR
1
Hastanelerde; çalışan hemşire sayısına göre hastane sayısını
gösteren bilgiler, yandaki tabloda verilmiştir. Bu dağılıma uygun
histogramı oluşturunuz ve yorumlayınız.
Hastane Sayısı
Tablo: Hemşire Sayısına
Göre Hastane Sayısı
Çalışan
Hemşire Sayısı
Hastane
Sayısı
0 – 19
1120
20 – 39
1070
40 – 59
1150
60 – 79
840
80 – 99
500
100 – 119
270
120 – 139
185
140 – 159
189
Hemşire Sayısı
291
5. ÜNİTE
2
Bir gazeteye abone olan 25 kişinin yaşları aşağıda verilmiştir.
20, 42, 65, 72, 74, 41, 36, 52, 65, 15, 28, 42, 65, 74, 78, 75, 82, 91, 65, 70, 46, 72, 75, 54, 46.
a) Bu verileri gruplamak için uygun grup genişliğini belirleyiniz.
b) Bu verileri grup genişliği 7 olmak üzere sıklık tablosu şeklinde düzenleyiniz.
c) b seçeneğindeki tablodan yararlanarak aşağıda boş bırakılan yere histogram oluşturunuz.
3
Yeni doğmuş 30 bebeğin kütleleri, gram olarak aşağıda verilmiştir.
3400, 3400, 3800, 3200, 3200, 2800, 2950, 4100, 3800, 3650
3650, 3050, 3100, 3250, 3900, 4200, 3200, 3400, 3050, 3000
3950, 3650, 3650, 3950, 3400, 3450, 2850, 3850, 2650, 4400
a) Grup sayısı 10 olmak üzere grup genişliğini belirleyiniz.
b) Grup genişliği 5 olmak üzere sıklık tablosu oluşturunuz.
c) Tablodan yararlanarak aşağıda boş bırakılan yere histogram çiziniz.
292
5. ÜNİTE
Yandaki histogramda bir ortaokuldaki öğrenci velilerinin gelir düzeyleriyle ilgili yapılan araştırma sonuçları verilmiştir. Histogramı yorumlayınız.
Kişi Sayısı
Grafik: Öğrenci Velilerinin Gelir Düzeyi
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Gelir
Düzeyi
(TL)
450 – 499
500 – 549
550 – 599
600 – 649
650 – 699
700 – 749
750 – 799
800 – 849
850 – 899
900 – 949
4
5
Bir iş yerinde, çalışanların işe geliş saatleri aşağıdaki listede verilmiştir. Listedeki verilerle histogram oluşturunuz. Oluşturduğunuz histogramı yorumlayınız.
07.32
08.01
07.42
07.15
07.45
08.10
08.00
07.00
07.11
07.48
07.26
07.32
07.05
07.19
08.00
08.02
07.40
07.35
08.10
08.03
07.18
07.51
07.09
07.44
07.12
07.19
08.03
08.08
08.05
08.02
07.50
07.10
07.52
07.58
08.09
07.41
07.19
07.59
07.03
07.33
07.58
08.06
İş yerinde, saat 07.30’da iş başı yapılmaktadır. Buna göre zamanında iş başı yapmayan kaç kişi
vardır?
6
Sınıf arkadaşlarınızın bir günde kaç dakika kitap okuduğunu anket düzenleyerek belirleyiniz. Elde
ettiğiniz verileri kullanarak histogram oluşturunuz ve yorumlayınız.
7
Yandaki tabloda bir bakkalın 60 gün boyunca süt
satışlarından elde ettiği günlük kâr, TL olarak verilmiştir.
• Histogramı çizmek için uygun açıklık belirleyiniz.
• Çetele ve sıklık tablosu oluşturunuz.
• Histogram çiziniz ve yorumlayınız.
18 15 23 12 17 10
8
21 16
23 12 14 20 26 17 30 15
19 19 13 18 21
30 27 11
9
6
9
5
11
10 12 13 28
20 15 18 32 36 30
7
12 26 39 30 11 18 26 40 45
13
9
41 36 40 17 43 48 15 50
293
5. ÜNİTE
5.2.2. Tablo ve Grafikler
Hatırlayalım
Aşağıda verilen tablo ve grafikleri inceleyiniz. Verilerin gösterildiği bu tablo ve grafiklerin çeşitlerini
belirtiniz. Bu tablo ve grafikler arasındaki benzerlik ve farklılıkları belirtiniz.
2010 - 2014 Yılları Arasında Okula Kaydedilen
Kız ve Erkek Öğrenci Sayısı
Öğrenci Sayısı
Kız
Aylık Harcamaların Dağılımı
110º
60º
Yiyecek
40º
Giyim
Kira
150º
Diğer
Erkek
110
100
90
80
70
60
2010
2013 - 2014 Yılları Arasında Okunan Kitapların
Türlerine Göre Dağılımı
Kitap Türü
2013
2014
Şiir
Okunan Kitap Sayısı
12
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
10
8
6
4
3–5
6–8
9 – 11
12 – 14
15 – 17
18 – 20
21 – 23
24 – 26
27 – 29
30 – 32
2
294
Yıllar
100
90
80
70
60
50
40
30
20
Roman
0
2014
Çözülen Soru Sayısı
Hikâye
Kişi Sayısı
2012
Günlere Göre Çözülen Soru Sayısı
Yıllar
2013
2011
Kitap
sayısı
Günler
5. ÜNİTE
Örnek-1
Bir ortaokulda 8. sınıf öğrencileri arasında yapılan anket sonucuna göre öğrencilerin en çok izledikleri televizyon
programları yanda verilmiştir. Verileri, uygun istatiksel temsil
biçimlerinden biriyle gösterelim ve yorumlayalım.
Anket sonuçlarını göstermek için en uygun istatiksel temsil
biçimlerinden biri sütun grafiğidir.
Anket Sonuçları
Haberler:
Müzik programı:
Diziler:
Sinema:
Belgesel:
Çizgi film:
20
30
80
70
10
90
Çözüm
Kişi Sayısı
Yandaki grafiği inceleyelim.
Grafiğe göre en çok izlenilen televizyon programı
çizgi film, en az izlenilen televizyon programı ise belgeseldir.
• Siz de 8. sınıflar arasında en çok tercih edilen
televizyon programını belirlemek için bir anket düzenleyiniz. Veri sonuçlarını uygun istatiksel temsil biçimlerinden biriyle gösteriniz ve yorumlayınız.
Haberler
Müzik programı
Diziler
Sinema
Belgesel
Çizgi film
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Grafik: En Çok İzlenen Programlar
Programlar
Örnek-2
Emel, Sosyal Bilgiler dersinde Türkiye’de kadınların milletvekili seçilme hakkını 5 Aralık 1934 yılında kazandıklarını öğreniyor. Bunun üzerine Türkiye’deki kadın ve erkek milletvekili
sayılarını araştırmaya karar veriyor. TÜİK resmî internet sitesinden aşağıda verilen tablodaki bilgilere ulaşıyor. Emel’in ulaştığı
bilgilerin sütun grafiğini çizelim ve grafiği inceleyelim.
Tablo: 1995-2011 Yılları Arasında Milletvekili Sayısı
Cinsiyet
Kadın
Erkek
1995
13
537
1999
23
527
2002
24
526
2007
50
500
2011
79
471
Seçim Yılı
295
5. ÜNİTE
Çözüm
Farklı cinsten verileri karşılaştırırken
sütun grafiğini tercih ederiz.
Tablodaki verileri sütun grafiğinde gösterelim.
Grafik: 1995-2011 Yılları Arasında Milletvekili Sayısı
Milletvekili Sayısı
Kadın
Erkek
550
500
450
400
350
Grafiği incelediğimizde kadın milletvekili sayısının her geçen yıl arttığını
görüyoruz.
300
250
200
150
100
50
0
1995
1999
2002
2007
2011
Yıllar
Örnek-3
Türkiye’de çıkan orman yangınlarının %92’sinin insan kaynaklı
olduğunu öğrenen Bahadır, bunun üzerine orman yangınlarının çıkış
nedenlerini araştırmaya karar veriyor. Orman Genel Müdürlüğünün
resmî internet sitesinden aşağıdaki tabloya ulaşıyor.
Aşağıdaki tabloyu inceleyelim. Tablodaki verilerin daire grafiğini
çizelim.
Tablo: 2009 Yılında Orman Yangınlarının Çıkış Nedenleri
Orman Yangınlarının
Çıkış Nedenleri
Orman Yangını Sayısı
Kasıt
100
İhmal ve Dikkatsizlik
1000
Yıldırımlar
300
Nedeni Bilinmeyen
400
296
(Tablodaki veriler, yüzler basamağında yuvarlanarak yazılmış yaklaşık değerlerdir.)
5. ÜNİTE
Çözüm
2009 yılında meydana gelen orman yangınlarının sayısını bulalım.
100 + 1000 + 300 + 400 = 1800
2009 yılında toplam 1800 orman yangını meydana gelmiştir.
Orman yangınlarının çıkış nedenlerinin her birinin daire diliminde kaç derecelik açılara karşılık geldiğini
bulalım.
Bunun için 360º yi 1800’e böleriz.
360º : 1800 = 0,2º (her bir yangın için)
Kasıt: 100 • 0,2º = 20º
İhmal ve Dikkatsizlik: 1000 • 0,2º = 200º
Yıldırımlar: 300 • 0,2º = 60º
Nedeni Bilinmeyen: 400 • 0,2º = 80º
Daire çizerek her bir yangın nedeni için belirlediğimiz derece kadar yer belirleyelim.
Grafik: 2009 Yılında Orman Yangınlarının Çıkış Nedenleri
Kasıt
İhmal ve Dikkatsizlik
Yıldırımlar
Nedeni Bilinmeyen
60º
80º
20º
Bir bütünün parçalarını en iyi şekilde
gösteren grafik, daire grafiğidir.
200º
Bunu biliyor muydunuz?
• 100 yaşındaki bir kayın ağacı, saatte 400 kişinin solunum
yoluyla dışarı vereceği 2,35 kg karbondioksidi yok eder.
• 1 hektar alandaki iğne yapraklı ağaçlar yılda 30 ton, geniş
yapraklı ağaçlar ise yılda 16 ton oksijen üretir.
• Ormanlar, kenarından geçen 50 m genişliğindeki bir otobanın trafik gürültüsünü 20-30 desibel azaltır.
297
5. ÜNİTE
Örnek-4
Yandaki tabloda bir ilde nisan ayında bir hafta içinde gözlemlenen günlük ortalama sıcaklık değerleri verilmiştir. Tabloya
göre grafiği oluşturalım.
Tablo: Bir İlin Nisan Ayında Bir Hafta İçinde
Günlük Ortalama Sıcaklık Değerleri
Sıcaklık
Değeri (ºC)
Günler
Pazartesi
18
Salı
22
Çarşamba
26
Grafik: Bir İlin Nisan Ayında Bir Hafta İçinde
Günlük Ortalama Sıcaklık Değeri
Perşembe
20
Cuma
16
Sıcaklık (ºC)
Cumartesi
26
Pazar
24
Çözüm
Havadaki sıcaklık artış ve azalışını göstermek için en uygun
grafik, çizgi grafiğidir.
26
24
22
20
18
16
14
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
Cumartesi
Pazar
Çizgi grafiği artış ve düşüşleri vurgulamada en güçlü temsil yöntemidir.
Günler
Tablo: Kahvaltı İçin Ayrılan Süre
Örnek-5
Bir günde kahvaltı için kaç dakika ayrıldığını belirlemek amacıyla yapılan anket sonucunda oluşturulan tablo yanda verilmiştir. Tabloya göre
grafik çizelim.
Çözüm
Bir günde kahvaltı için kaç dakika ayrıldığını histogram çizerek gösterelim.
26
24
22
20
18
16
14
12
10
0
298
Grafik: Kahvaltı İçin Ayrılan Süre
5–8
9 – 12
13 – 16
17 – 20
21 – 24
25 – 28
29 – 32
33 – 36
37 – 40
Kişi sayısı
Dakika
Kişi Sayısı
Dakika
5–8
18
9 – 12
12
13 – 16
15
17 – 20
18
21 – 24
20
25 – 28
10
29 – 32
16
33 – 36
22
37 – 40
15
Veri sayısı fazlaysa ve tekrarlı sayılardan oluşuyorsa gruplandırılmış bir veri dağılımının grafikle gösterilmesi için histogram
kullanmak diğer grafiklere göre daha iyi bir
yöntemdir.
5. ÜNİTE
Bunu biliyor muydunuz?
Günün en önemli öğünü kahvaltıdır. Akşam yemeği ile sabah kahvaltısı arasında uzun bir süre geçmektedir. Bu sürede vücut, besinlerin tümünü kullanır. Bedenimizin düzenli çalışması için kan şekerimizin belirli bir düzeyde olması gereklidir. Kahvaltı yapılmadığında kan şekeri düşer. Buna bağlı olarak
yorgunluk, dikkat ve algılama azlığı görülür. Kahvaltı yapmayan gençlerin derse olan ilgileri azalmakta ve
öğrendikleri bilgileri sonradan hatırlamaları güçleşmektedir. Kahvaltı beyin hücrelerine enerji sağlamakta
ve öğrenmeyi olumlu yönde etkilemektedir.
Örnek-6
Aşağıdaki tablo ve sütun grafiğinde bazı hayvan türlerinin dinlenme anındaki
solunum sayıları verilmiştir. Verilen sütun grafiğinden yararlanarak daire grafiğini
çizelim. Her iki grafiğin birbirine göre üstün ve zayıf yönlerini belirleyelim.
Tablo: Bazı Hayvan Türlerinin Dinlenme Anındaki Solunum Sayısı
Solunum Sayısı (dakikada)
Hayvan Türleri
Minimum
Maksimum
Koyun
16
34
At
10
15
Süt ineği
25
50
Köpek
18
34
Kedi
16
40
Sütun grafiğinde solunum sayısının ölçeğini 5 birim alalım.
Grafik: Bazı Hayvan Türlerinin Dinlenme
Anındaki Solunum Sayısı
Solunum Sayısı
Minimum
Maksimum
50
45
40
35
30
25
20
15
10
Kedi
Köpek
Süt İneği
At
Koyun
5
Hayvan Türleri
299
5. ÜNİTE
Çözüm
Sütun grafiğinde hayvan türlerinin maksimum ve minimum solunum sayıları aynı grafikte verilmiştir.
Ancak daire grafiği çizerken aynı grafikte maksimum ve minimum solunum sayıları verilemez. Bu nedenle
maksimum ve minimum solunum sayılarını ayrı grafiklerde vermeliyiz.
Minimum solunum sayısı için daire grafiği;
Grafik: Hayvanların Minimum
Solunum Sayısı
Solunum sayılarını toplayalım: 16 + 18 + 25 + 10 + 16 = 85
360º : 85 ≈ 4,2º (Her bir solunum için)
Kedi: 16 x 4,2 = 67,2º
Köpek: 18 x 4,2 = 75,6º
42º
Süt ineği: 25 x 4,2 = 105º
Koyun: 16 x 4,2 = 67,2º
Maksimum solunum sayısı için daire grafiği;
Solunum sayılarını toplayalım: 40 + 34 + 50 + 15 + 34 = 173
Kedi: 40 x 2,08 = 83,2º
Köpek: 34 x 2,08 = 70,72º
Süt ineği: 50 x 2,08 = 104º
At: 15 x 2,08 = 31,2º
Koyun: 34 x 2,08 = 70,72º
67,2º
75,6º
105º
67,2º
67,2º
42º
At: 10 x 4,2 = 42º
360º : 173 ≈ 2,08º (Her bir solunum için)
67,2º
Kedi
105º
31,2º
104º
Süt ineği
Koyun
At
75,6º
Grafik: Hayvanların Maksimum
Solunum Sayısı
70,72º 83,2º
31,2º
104º
70,72º
Köpek
70,72º
83,2º
70,72º
Kedi
Köpek
Süt ineği
Koyun
At
Her iki grafikte de her bir solunumun kaç dereceye karşılık geldiğini yuvarlama yaparak bulduk. Bu da her bir hayvan için daire dilimindeki bölümünün tam olarak gösterilememesine neden oldu. Daire grafiklerimizde kırmızı renkle
verilen daire dilimleri boş kaldı. Grafik tam olarak çizilemedi.
Ayrıca sütun grafiğinde bir hayvanın minimum ve maksimum değerleri yan yana verildiği için karşılaştırma
yapmak daha kolaydı. O hâlde böyle bir araştırma sonucunda elde edilen verilerin sütun grafiğinde gösterilmesi daha avantajlıdır.
Örnek-7
Yıl içindeki su ihtiyacımızı barajlardan karşıladığımız için
barajların doluluk oranlarının çok önemli oluğunu bilen Nermin,
İzmir’deki barajların doluluk oranlarını merak ediyor. “www.
izsu.gov.tr” internet adresinden Mayıs 2014 resmî verilerine
ulaşıyor. Bu verileri aşağıdaki sütun grafiğinde gösteriyor. Sütun grafiğinden yararlanarak çizgi grafiğini çizelim. Her iki grafiğin birbirine göre üstün ve zayıf yönlerini belirleyelim.
Tahtalı Barajı
300
5. ÜNİTE
Grafik: 2014 Yılındaki İzmir’deki Barajların Doluluk Oranı (%)
(Barajlardaki doluluk oranı yuvarlanarak verilmiştir.)
Doluluk Oranı (%)
90
81
69
60
Tahtalı
Balçova
Ürkmez
Güzel Hisar
Gördes
37
30
Baraj Adı
Çözüm
Grafik: 2014 Yılındaki İzmir’deki Barajların Doluluk Oranı (%)
(Barajlardaki doluluk oranı yuvarlanarak verilmiştir.)
Doluluk Oranı (%)
Çizgi grafiğimizde barajlar farklı olmasına rağmen doluluk
oranları birbiri ile bağlantılı olarak görülmektedir. Barajların doluluk oranları arasında artış ve düşüş varmış gibi algılanmaktadır. Bu da yanlış yorumlara yol açabilir. O hâlde çizgi grafiğinin
süreklilik arz eden olaylarda kullanılması daha doğrudur.
90
81
69
60
Baraj Adı
Yandaki çizgi grafiğinde bir yetişkinin hastalığı sırasında zamana göre vücut sıcaklığındaki değişim görülmektedir. Çizgi
grafiğinden yararlanarak sütun grafiğini çizelim. Her iki grafiğin
birbirine göre üstün ve zayıf yönünü belirleyelim.
Sıcaklık (ºC)
40
39
38
37
36
09.00
10.00
11.00
12.00
Örnek-8
Grafik: Hastanın Vücut Sıcaklığındaki
Değişim
08.00
Tahtalı
Balçova
Ürkmez
Güzel Hisar
Gördes
37
30
Zaman
301
5. ÜNİTE
Çözüm
Çizgi grafiğindeki verilerden yararlanarak sütun grafiği çizelim.
Sıcaklık (ºC)
Hastanın vücut sıcaklığındaki artış ve azalışı görmek için çizgi
grafiği daha uygundur. Vücut sıcaklığı sürekliliği olan bir olaydır.
Sütun grafiğinde bu süreklilik görülmemekte sanki saatler arasında
hastanın vücut sıcaklığı yokmuş gibi algılanmaktadır.
40
39
38
37
08.00
09.00
10.00
11.00
12.00
36
Zaman
ALIŞTIRMALAR
1
Her canlının üretebildiği ses frekans aralığı farklıdır. Aşağıdaki tabloda
insan ve bazı hayvanların üretebildikleri minimum ve maksimum ses frekansları verilmiştir. Tablodaki verilerin sütun grafiğini aşağıda boş bırakılan
yere çiziniz ve grafiği inceleyiniz.
Tablo: Bazı Canlıların Üretebildiği Ses Frekans Aralığı
Canlı Türü
302
Ses Üretme Frekansı (Hz)
Minimum
Maksimum
İnsan
85
1100
Köpek
450
1080
Kedi
760
1520
5. ÜNİTE
2
Yaşamınızı sağlıklı sürdürebilmeniz için günlük tüketmeniz gereken besin gruplarını ve miktarlarını yaş
gruplarına göre araştırınız.
Sınıf arkadaşlarınızla beşerli gruplara ayrılınız.
1. grup 4 – 6 yaş, 2 grup 7 – 9 yaş, 3. grup 10 – 18
yaş, 4. grup 19 – 65 yaş ve 5. grup 66 – 75 yaş grubundaki kişilerin günlük tüketmesi gereken besin gruplarını
ve miktarlarını araştıracaktır (Araştırmanızda İnternetten yararlanabilirsiniz.).
Elde ettiğiniz bilgilerle aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
Uygun grafik yöntemi seçerek çiziniz. Neden bu grafik çeşidini seçtiğinizi açıklayınız.
..........................................................................................................................................................
Yaş Gruplarına
66 - 75 yaş
4 - 6 yaş
7 - 9 yaş
10 - 18 yaş
19 - 65 yaş
Göre Tüketilmesi grubundakilerin
grubundakilerin grubundakilerin grubundakilerin grubundakilerin
günlük tüketGereken günlük tüketgünlük tüketgünlük tüketgünlük tüketmesi gereken
mesi
gereken
mesi
gereken
mesi
gereken
mesi
gereken
Miktar
miktar
miktar
(g)
miktar
(g)
Süt grubu
13
537
Et, yumurta grubu
23
527
Taze sebze ve meyve grubu
24
526
Tahıllar grubu
50
500
Besin Türleri
3
Yandaki sütun grafiğinde, yıllara göre ülkemizdeki Kültür ve Turizm Bakanlığına bağlı müze sayısı verilmiştir (Kaynak:www.tuik.
gov.tr). Grafikten yararlanarak daire grafiğini
çiziniz. Her iki grafiğin birbirine göre üstün ve
zayıf yönlerini belirtiniz.
miktar
(g)
miktar
(g)
(g)
Grafik: Ülkemizdeki Müze Sayıları
Müze Sayısı
189
185
183
175
165
159
2006 2007 2008 2009 2010 2011
Yıllar
303
5. ÜNİTE
4
Aşağıdaki daire grafiğinde bir ailenin aylık harcamaları gösterilmiştir. Daire grafiğinden yararlanarak
verileri çizgi grafiğinde gösteriniz. Her iki grafiğin de birbirine göre üstün ve zayıf yönlerini belirtiniz.
Grafik: Bir Ailenin Aylık Harcamaları
44º
108º
100º
36º
72º
Sağlık
Kira
Gıda
Diğer
Eğitim
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
304
5. ÜNİTE
5. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
1
Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi yanlıştır?
I. Üçgen dik prizmada tabanlar paraleldir.
II. Üçgen dik prizmada yanal ayrıtlar tabana diktir.
III. Yükseklik, üçgen prizmanın temel elemanıdır.
A) 0
2
3
B) 1
C) 2
D) 3
Yanda verilen dikdörtgen dik prizmanın temel elemanlarını göstererek
açınımını çiziniz.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Prizmalar, tabanlarındaki şekle göre isimlendirilirler.
( ) Üçgen dik prizmanın 6 yüzü vardır.
( ) Kare, bir dik prizmanın yüzeylerinden biri olabilir.
( ) Eşkenar dörtgen, bir dik prizmanın yüzeylerinden biri olamaz.
2 br
4
Yanda açınımı verilen düzgün sekizgen dik prizmayı
çiziniz. Prizmanın temel elemanlarını gösteriniz.
6 br
5
Aşağıdaki noktalı yerleri tamamlayınız.
a) Dik dairesel silindirde birbirine eş ve paralel iki daireden oluşan ............... vardır.
b) Dik dairesel silindirin açınımında ....................... bölge ve ............... bölge vardır.
c) Dik dairesel silindirde eksen ve yükseklik aynı zamanda bir ............... doğrudur.
ç) Tabanlardan birinin bir noktasından diğer tabana inilen dikmeye silindirin .................. denir.
305
5. ÜNİTE
3 br
6
7
Yanda verilen dik dairesel silindirin temel elemanlarını göstererek açınımını
çiziniz ( r = 3 alınız.).
Taban yarıçapı 12 cm ve yüksekliği 20 cm olan dik dairesel silindirin yüzey alanı kaç cm2 dir ( r = 3
alınız.)?
A) 2296
8
11
C) 30
D) 35
B) 10
C) 11
D) 12
II. Tabanı
III. Ayrıtları
B) 1 tanesi
IV. Yan yüzleri
C) 3 tanesi
V. Yüksekliği
D) Hiçbiri
Tabanı düzgün altıgen olan bir piramidin tabanları hariç kaç tane eş yüzü vardır?
A) 5
306
B) 20
Aşağıdaklerden kaç tanesi, piramidin temel elemanlarındandır?
A) Tümü
13
D) 2310
Bir dik dairesel silindirin yarıçapı 2 katına, yüksekliği 3 katına çıkarılıyor. Oluşan dik dairesel silindirin
hacminin ilk dik dairesel silindirin hacmine oranının bulunuz.
I. Tepe noktası
12
C) 2304
Taban alanı 42 cm2 ve hacmi 504 cm3 olan silindirin yüksekliği kac cm’dir?
A) 9
10
B) 2300
Yüksekliği 4 cm ve hacmi 4,8 dm3 olan dik dairesel silindirin taban yarıçapı kaç cm’dir ( r = 3 alınız.)?
A) 10
9
5 br
B) 6
C) 7
D) 8
Tabanının bir kenar uzunluğu 12 cm ve yan yüz yüksekliği 10 cm olan kare dik piramidin yüzey
açınımını çiziniz. Yanal ayrıtları ve yan yüzleri gösteriniz.
5. ÜNİTE
14
Aşağıdaki noktalı yerleri tamamlayınız.
a) Ekseni tabana dik olan koniye ....... koni denir.
b) Konide ....... tane tepe noktası vardır.
c) Koninin açınımında bir ........... dilimi ve bir ........... vardır.
ç) Dik koni, eksen etrafındaki dönmelerde ................................ sahiptir.
15
Taban dairesinin yarıçapı 6 cm ve ana doğrusu 10 cm olan bir dik koninin yüzey açınımını çiziniz
ve verilen boyutlara uygun koni oluşturunuz ( r = 3 alınız.).
T
16
Yanda verilen koninin açınımını çiziniz ( r = 3 alınız.).
h = 12 cm
r = 5 cm
17
T
Taban yarıçapı 8 cm ve ana doğrusu 12 cm olan yandaki dik koninin
yüksekliği kaç cm’dir?
A) 5
B) 4 5 C) 5 3 D) 6 2
12 cm
h
r = 8 cm
18
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına D, yanlış olanların başına Y yazınız.
( ) Bir koninin bir tabanı vardır.
( ) Tabanı beşgen şeklinde olan piramidin 5 tane yüzü vardır.
( ) Bir altıgen dik prizmanın 12 köşesi vardır.
( ) Bir üçgen piramit inşa etmek için 4 tane üçgensel bölgeye ihtiyaç vardır.
307
5. ÜNİTE
19
Bir günde kaç dakika kitap okunduğunu belirlemek amacıyla yapılan anket sorucunda oluşturulan
histogram aşağıda verilmiştir.
Histogramı inceleyerek aşağıdaki ifadelerde noktalı yerleri tamamlayınız.
Kişi sayısı Grafik: Günlük Kitap Okuma Süresine Göre Kişi Sayısı
14
• Veri grubunun genişliği ......dır.
12
• Veri gruplarının sayısı ......dur.
• Yatay eksende ...... ile ...... aralığında veri
olmadığı için zikzak kullanılmıştır.
10
8
• Ankete ...... kişi katılmıştır.
6
4
2
10 – 15
16 – 21
22 – 27
28 – 33
34 – 39
40 – 45
46 – 51
52 – 57
58 – 63
64 – 69
0
20
21
Süre
(dakika)
Yanda 1A sınıfındaki öğrencilerin
velilerinin yaşlarına ait çetele ve sıklık
tablosu verilmiştir. Tabloyu inceleyerek
histogram oluşturunuz ve oluşturduğunuz histogramı yorumlayınız.
Tablo: Velilerin Yaşlarına Göre Sayıları
Velilerin Yaşları
Kişi Sayısı
Kişi Sayısı
23 – 25
////
5
26 – 28
//// ///
8
29 – 31
//// /
6
32 – 34
////
5
35 – 37
//// //
7
38 – 40
////
4
41 – 43
////
5
44 – 46
///
3
47 – 49
//
2
50 – 52
/
1
Bir günde kaç dakika spor yapıldığını belirlemek için anket düzenlenmiştir. Veriler, aşağıdaki şekilde elde edilmiştir:
10, 15, 14, 15, 13, 25, 30, 34, 35, 45, 28, 20, 22, 34, 35, 40, 44, 50, 31, 32, 35, 41, 42, 43, 51, 52,
54, 58, 59, 48, 49, 56, 57, 21, 25, 26, 29, 33, 37, 38
Verilere göre;
a) Uygun açıklığı belirleyiniz.
b) Çetele ve sıklık tablosu oluşturunuz.
c) Histogram oluşturunuz.
308
5. ÜNİTE
22
Aşağıda, öğrencilerin okula gidiş dönüşte harcadıkları süreleri gösteren bir tablo verilmiştir. Histogramı, bu tabloya uygun olacak şekilde boş bırakılan yere çiziniz (Not: Grafikteki yatay eksende,
0-5 aralığında veri bulunmadığından “zikzak” kullanılmıştır.).
Grafik: Okula Gidiş Dönüş Süresine Göre Öğrenci Sayısı
Tablo: Okula Gidiş Dönüş
Süresi
23
Öğrenci
Sayısı
Süre
(dk.)
Öğrenci
sayısı
300
115 – 15
25
250
116 – 26
50
225
127 – 37
60
138 – 48
75
150
149 – 59
90
125
160 – 70
100
171 – 81
200
182 – 92
250
193 – 103
80
104 – 114
5
275
200
175
100
75
50
104 – 114
82 – 92
93 – 103
71 – 81
60 – 70
49 – 59
38 – 48
27 – 37
5 – 15
0
16 – 26
25
Süre
(dk.)
Tablo: Sınıflara Göre Kız ve Erkek Öğrencilerin
Başarı Yüzdeleri
Sınıflar
Başarı Yüzdeleri
Kızlar
Erkekler
6-A
16
18
6-B
20
13
6-C
15
16
6-D
17
17
Yandaki tabloda 6. sınıflar arasındaki kız ve erkek öğrencilerin başarı yüzdeleri verilmiştir. Tablodaki verilerin sütun ve daire grafiklerini çiziniz. Her
iki grafiğin birbirine göre üstün ve zayıf yönlerini
belirleyiniz.
309
5. ÜNİTE
24
İçecekler
Müşteri Sayısı
Kadın
Erkek
Çay
Kahve
Limonata
Ayran
Meyve Suyu
Yukarıdaki tabloda bir kafede bir günde kadın ve erkek müşterilerin tükettiği içecek sayıları verilmiştir.
Aşağıda boş bırakılan yere sıklık tablosunu yapınız ve sütun grafiğini çiziniz.
Notlarım
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
310
5. ÜNİTE
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ CEVAP ANAHTARLARI
1. ÜNİTE DEĞERLENDİRME
14) D
1) a) 30,’un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
15)
b) 42’nin çarpanları: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
I. sütun
II. sütun
50 • (– 23)
53 • – 22
(– 5)–2 • 22
–50 • 23
(– 5)3 • (– 2)2
(5–1)2 • –23
(– 5)–2 • (– 2)3
5–2 • 22
c) 80’in çarpanları: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20,
40, 80
ç) 156’nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13,
26, 39, 52, 78, 156
2) a) 240’ın asal çarpanları: 2, 3 ve 5
b) 288’in asal çarpanları: 2 ve 3
c) 500’ün asal çarpanları: 2 ve 5
ç) 850’nin asal çarpanları: 2, 5 ve 17
3) a) A = 90 c) C = 1470
b) B = 315
ç) D = 180
16) C
4) 3 tane (2, 3 ve 7)
17) a)
5) a) (20,25)ebob = 5
18) D
b) (60,45)ebob = 15
c) (36,104)ebob = 4
6) a) (7,11)ekok = 77
b) (48,96)ekok = 96
c) (25,55)ekok = 275
7) C
8) 5
9) a, c ve ç seçeneklerinde verilen sayılar
aralarında asaldır.
10) Öğrenci yorumlayacaktır.
11) 5
12) A
13) C
19)
16
625
b) 0,16
c)
I. sütun
2
(0,4) : [(0,4)
ç) –0,001
II. sütun
2
3
–4
` –3 12 j . ` –3 12 j . ` –3 12 j
5
1
216
•
0
(0,4) ]
8
125
1
16
25
8` 45 j . ` 45 j B : ` 45 j
–7
2
3
2
(0,2) : [(0,2) • (0,2)]
2
5
7
–8
–3
20) C
21) C
22) A
23) B
24) A
311
5. ÜNİTE
25) Y, D, D, Y
37) B
26) a) 726 000 000 = 7,26 • 108
38)
b) 0,000007 = 7 • 10–6
c) 0,000000001 = 1 • 10
I. sütun
–9
3
ç) 30 220 000 = 3,022 • 107
d)
5 = 5 • 109
–9
10
e) 645 • 10
12
= 6,45 • 10
8
14
6,45 • 1014 > 5 • 109 > 7,26 • 108 > 3,022 • 107 >
–6
7 • 10 > 1 • 10
•
2
3
28
108
243
29) C
39) D
30) C
40) B
31) a)
169 = 13 b)
324 = 18
c)
676 = 26 ç)
81 = 9
34
99
34) D, Y, Y,
Y, D, D
35) a) 3 3
b) 5 5
B)
142
9
C)
95
90
42) A
43) A
D)
43 564
990
44)
16
9
45) B
46) a) 2,6
48) D
ç) 11 11
49)
b)
192
c)
80
ç)
486
b) 0,7
47) 30
c) 10 10
27
6 3
41) B
32) Öğrenci yorumlayacaktır.
312
98
6 2
28) B
36) a)
•
5
3
2
•
3 125
3 . 75
–9
27) C
33) A)
12
II. sütun
2
50) Y, D, Y, Y
c) 2,5
ç) 1,2
5. ÜNİTE
2. ÜNİTE DEĞERLENDİRME
18) Öğrenci yorumlayacaktır.
1) 5
19)
I. sütun
II. sütun
10 cm, 18 cm
6 cm
19 cm, 36 cm
20 cm
5 cm, 7 cm
29 cm
15 cm, 22 cm
37 cm
2) D
3) Sayılar fazla olduğu için mavi bilyelerin
gelme olasılığı, sarı bilyelerin gelme olasılığından fazladır.
4) D, Y, Y, D
5) Dişi kuşların sayısı erkek kuşların sayısından fazla olduğu için dişi kuş seçilme olasılığı
fazladır.
6) 25
7) B
8)
21
24
9) •
1
6
10) • kesin
11)
20) a,c,ç,e seçeneklerinde kenar uzunlukları
verilen üçgenler çizilebilir.
•
21) A
4
6
•0
•1
22) a > b > c’dir.
• imkânsız / sıfır
2
5
• 0 ile 1
23) D
24) A
A
12) D, Y, D, D
25) D, Y, D, D
13) ha < nA < VA
26) 50
B
6c
m
3c
m
A
Vc
3c
m
14) İsmail, duvara
resmi üçgenin ağırlık
merkezinden
asmalıdır.
B
27) B
C
DEH
5 cm
4c
m
V
G b
Va
10 cm
28)
8c
m
4c
m
5 cm
C
15) Reflektör, ikizkenar üçgen olduğu için ağırlık merkezi, tepe noktasından inilen dikme yani
yükseklik üzerindedir ve dengede kalır.
16) 25
17) D
I. sütun
II. sütun
6 cm ve 10 cm
7 cm
24 cm ve 25 cm
12 cm
8 cm ve 15 cm
8 cm
5 cm ve 13 cm
17 cm
313
5. ÜNİTE
29) B
34) a) ABCD yamuğu y ekseninde 8 br aşağıya ötelenmelidir.
30) x = 4 5
31) a) TB =
2
TC =
3
b) ABCD yamuğunun y eksenine göre yansıma altındaki görüntüsü çizilmiştir.
c) A'B'C'D' yamuğu x ekseninde 6 br
sola, y ekseninde 1 br yukarıya ötelenirse
A'''B'''C'''D''' yamuğu elde edilir.
TD = 2
b)
2,
3,
4 = 2, 5 ,
35) Öğrenci yorumlayacaktır.
6 , ...
36) Öğrenci yorumlayacaktır.
T
c)
37) D, Y, D, Y
1
38) A'(– 3, – 3), B' (– 4, – 2), C' (– 1, – 1)
1
A
B
2
3
C
4 =2
D
E
F
39) C
40)
5
y
A
32) B
A) I ve II
C) I, II ve III
B) II ve IV
1
C
B
D) I, III ve IV
G
4
D 3
A' 2
–4 –3 –2 –1 0
B'
33) 50 m
D'
F
–1
–2
1
C'
2
G'
E
3
4
5
6
E'
F'
–3
–4
41)
y
4
3
2
3
D
A
–1
–2
–3
2
4
x
A
D
–1
1
2
–2
–3
B
1. A'(4, 3)
B' (5, 1)
C' (2, 1)
D' (1, 3)
314
3
C
B
2. A'(– 1, 2)
B' (– 2, – 2)
C' (– 4, 3)
D' (– 3, 3)
C
D
A
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
1
5
2
1
–3 –2 –1 0
y
y
3
4
x
3
2
B
C
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
–4
3. A'(3, – 2)
B' (3, – 4)
C' (1, – 4)
D' (1, – 2)
4
–1
–2
–3
4. A'(4, – 2)
B' (3, – 3)
C' (1, – 1)
D' (3, – 3)
1
2
3
x
7
x
b)
42) A'(2, – 4), B' (4, – 2), O' (0, 0)
43) Öğrenci yorumlayacaktır.
x
44) 4.
x
x
x
1
(x + 1)
b) (x + 3) • (x – 1) = x2 + 2x – 3
c) (x + 2) • (x + 1) = x2 + 3x + 2
50) Öğrenci yorumlayacaktır.
5) C
6) a)
c)
3. ÜNİTE DEĞERLENDİRME
– 3x • 2x – 3
2
= – 6x – 3
5 + x •y + 3
= xy + 8
– 7x • x + 2 • 3
2
= – 7x + 6
3(–1) + x(–y) • 2
= – 3 – 2xy
Terim
Katsayı
Değişken
– 6x , – 3
2
6, – 3
x
xy, 8
1, 8
xy
– 7x , 6
– 7, 6
x
– 3, – 2xy
– 3, – 2
xy
2
b)
28x
– 3x
ç)
4y
I. sütun
II. sütun
2x2 – 6x
(x – 7) • (x – 7)
x2 – 36
(x + 6) • (x + 6)
x2 – 14x + 49
2x • (x – 3)
x2 + 12x + 36
(x – 6) • (x + 6)
2)
Cebirsel İfade
x2
7)
1) Öğrenci yorumlayacaktır.
2
2
3) a)
1
x
2
4) a) 2x • (x – 2) = 2x2 – 4x
49) Şekil doğruya göre yansıtılıp 2 br sağa
ötelenmiştir.
ç
x
2x + 1
48) A
c
2
(x + 1) • (2x + 1) = 2x2 + 3x + 1
47) A'(0, – 1), B' (5, 0), C' (2, 3)
b
1
1 44444444
4 2 44444444
43
46) B
a
x
x
1
45) B
x
1 4444 2 4444 3
5. ÜNİTE
8) Y, D, Y, D
x
9) D
–1
1
1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3
–1
4x – 2
1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3
4x – 2
10) C
11) C
1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 44 44 3
8x – 4
12) Öğrenci yorumlayacaktır.
13) D
315
5. ÜNİTE
4. ÜNİTE DEĞERLENDİRME
x
x
1 1
x
x
2
x
2
x x
1
x
x
1 1
1 4444 2 4444 3
14)
1) Öğrenci yorumlayacaktır.
(x + 1)
1 44444444
4 2 44444444
43
2x + 2
2)
Gidilen mesafe
(km)
İlişki
Ücret (TL)
0
3,10
3,10
1
3,10 + 2,70 • 1
5,80
2
3,10 + 2,70 • 2
8,50
3
3,10 + 2,70 • 3
11,20
...
...
...
15) a) 100x2 – 1 = (10x + 1) • (10x – 1)
2
2
b) x – 6x + 9 = (x – 3)
c) y2 – 4y + 4 = (y – 2)2
16) x3 + x2 – 9x – 9 ifadesinin tüm çarpanları:
(x – 3), (x + 3), (x + 1), (x2 – 9),
2
2
(x – 2x – 3), (x + 4x + 3),
(x3 + x2 – 9x – 9), 1
17) B
18) A
Ücret (TL)
y
19) C
15
13,90
20) C
21) x = 18 ve y = 27’dir.
22) m ^V
A h = m ^V
Eh
m ^V
B h = m ^W
Dh
AB
AC
BC
=
=
ED
EC
DC
AB = 12
23) D
24) Öğrenci yorumlayacaktır.
25) B
26) Öğrenci yorumlayacaktır.
316
2,70’in x katının
3,10 + x • 2,70
3,10 fazlası
x
11,20
10
8,50
5,80
5
3,10
0
1
2
3
4
x
Mesafe (km)
y = 3,10 + 2,70x
x bağımsız, y bağımlı değişkendir. Grafik orijinden geçmez. Çünkü ücret 0 km’de 3,10 TL’dir.
3) Y, D, D, Y
5. ÜNİTE
4)
x
y
(x, y)
–2
2
(– 2, 2)
1
0
(1, 0)
5
2
–1
5
, – 1)
2
2
(2, – )
3
(
–2
3
2
5) A)
B)
y
y
1
–2 –1 0
y=4
4
3
2
1
x
1 2
–1
–3 –2 –1 0
1 2 3
–1
–2
–3
–4
x
x=–2
C)
D)
y
2x = 4y
–2
–1
1
0
1 2
–1
x
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
2x = 4y
1
0
1 2 3 4 5 6
x
y + 2x = 12
317
5. ÜNİTE
6) A
14) C
7) B
15) C
8) (0,1) ve (– 2, 0)
16) D, Y, Y, D
9) A
17) x = – 4
3
10) m = 3
2
18) Öğrenci yorumlayacaktır.
11) m = 3 = 60 = % 60
5
100
19) B
12) A) m = – 3
2
C) m = 3
4
21) A
20) ` 15, 25 j
2
B) m = – 6
D) m = – 1
5
22) B
13)
I. sütun
y=
1
x+5
2
II. sütun
23) C
5
2
24) C
y = – 4x
4
x
y=
–3
3
1
2
y = 4x + 3
1
3
25) 84 ve 291’dir.
26) B
27) C
28)
y–x=1
–4
–1
3
2
0
2
1
1
2
29) a) a ≥ 3
c) x + 3 1 12 2
318
A`
1, 3
j
2 2
1 2
x
y+x=2
b) x ≥ 2
ç) 2y – 4 > 16
5. ÜNİTE
30) C
7) C
31) D
8) B
32) A
9) D
33) C
10) 12
5. ÜNİTE DEĞERLENDİRME
11) A
12) B
1) A
13)
2)
2 34
14) a) dik c) daire / daire 3) D, Y, D, D
4)
b) bir
ç) dönme simetrisine
15)
6 br
10 cm
2 br
5) a) tabanları b) dikdörtgensel / dairesel
c) ana
d) yüksekliği
36 cm
6)
r = 6 cm
319
5. ÜNİTE
16)
23) Öğrenci yorumlayacaktır.
24)
Tablo: Bir Günde Kadın Ve Erkek
Müşterilerin Tükettiği İçecek Sayısı
13 cm
İçecekler
Kadın
Erkek
Çay
11
14
Kahve
9
10
Limonata
7
12
Ayran
12
7
Meyve Suyu
7
11
30 cm
r = 5 cm
17) B
Müşteri Sayısı
Grafik: Bir Günde Kadın Ve Erkek Müşterilerin
Tükettiği İçecek Sayısı
18) D, Y, D, D
Müşteri sayısı
19) • 6 • 10 • 0 / 10 • 100
Kadın
14
20) Öğrenci yorumlayacaktır.
Erkek
12
21) Öğrenci yorumlayacaktır.
10
22)
8
Grafik: Okula Gidiş Dönüş Süresine Göre Öğrenci Sayısı
Öğrenci
Sayısı
6
4
300
2
275
250
0
225
200
175
150
125
100
75
50
320
104 – 114
82 – 92
93 – 103
71 – 81
60 – 70
49 – 59
38 – 48
27 – 37
5 – 15
0
16 – 26
25
Süre
(dk.)
Çay
Kahve
Limonata
Ayran
İçecekler
Meyve Suyu
5. ÜNİTE
Sözlük
A
açı: Bir­bi­ri­ni ke­sen iki yü­zey ve­ya ay­nı nok­ta­dan çı­kan iki ya­rım doğ­ru­nun oluş­tur­du­ğu geo­met­rik bi­çim.
açı­or­tay: Bir açı­yı, öl­çü­le­ri bir­bi­ri­ne eşit olan iki açı­sal böl­ge­ye ayı­ran doğ­ru parçası.
açı­nım: Bir cis­min yü­zey­le­ri­nin açı­lıp bir düz­lem üze­ri­ne ya­yıl­ma­sı.
asal sayı: 1 ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 1’den büyük doğal sayılar.
ay­rıt: İki düz­le­min ara ke­si­ti.
B
ba­ğım­sız olay: Ger­çek­leş­me­le­ri bir­bi­ri­ne bağ­lı ol­ma­yan olay­lar.
C
ce­bir: Ar­tı ve ek­si ger­çek sa­yı­lar­la, bun­la­rın ye­ri­ni tu­tan harf­ler yar­dı­mıy­la ni­ce­lik­ler ara­sın­da ge­nel bağ­lan­
tı­lar ku­ran ma­te­ma­tik ko­lu.
Ç
çap: Uç nok­ta­la­rı da­ire­nin çev­re­si üze­rin­de bu­lu­nan ve çem­be­rin mer­ke­zin­den ge­çen doğ­ru par­ça­sı.
çar­pan­la­rı­na ayır­ma: Bir harf­li ifa­de­yi, en az iki ifa­de­nin çar­pı­mı şek­lin­de yaz­ma.
çem­ber: Bir düz­lem­de, bir nok­ta­dan eşit uzak­lık­ta bu­lu­nan nok­ta­lar kü­me­si.
çokgen: En az üç doğru parçasının oluşturduğu kapalı şekil.
D
dar açı: Öl­çü­sü 90 de­re­ce­den kü­çük olan açı.
denk­lem: İçin­de yer alan ba­zı ni­ce­lik­le­re an­cak uy­gun bir de­ğer ve­ril­di­ği za­man sağ­la­na­bi­len eşit­lik.
dik açı: Ortak başlangıç noktalarında dik olarak birleşen ışınlardan oluşan açılar. Dik açının ölçüsü doksan
derecedir.
dik üç­gen: Bir iç açı­sı­nın öl­çü­sü 90º olan üç­gen.
doğ­ru: Aynı doğrultuda olan ve her iki yönden de sonsuza kadar giden noktalar kümesidir.
düz­gün çok­gen: Bütün kenarları ve açıları eş olan çokgenler.
E
eğim: Bir yü­ze­yin ya­tay düz­le­me doğ­ru eğil­me­si.
eğik doğ­ru: Ya­tay ya da di­key ol­ma­yan doğ­ru çe­şi­di.
G
ge­niş açı: Bir dik açı­dan da­ha bü­yük olan açı.
gra­fik: Bir ola­yın, ni­ce­li­ğin çe­şit­li du­rum­la­rı­nı gös­ter­me­ye ve­ya bir­kaç şey ara­sın­da kar­şı­laş­tır­ma yap­ma­ya
ya­ra­yan çiz­gi­ler­den oluş­muş şe­kil.
H
ha­cim: Bir cis­min uzay­da kap­la­dı­ğı yer mik­ta­rı.
harf­li ifa­de: Bi­lin­me­yen­le­ri harf ile gös­te­ri­len ifa­de.
hi­po­te­nüs: Dik üç­gen­de, dik açı­nın kar­şı­sın­da bu­lu­nan ke­nar.
İ
irrasyonel sayılar: İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde yazılamayan sayılar.
K
ka­re­kök: Ka­re­si ve­ri­len bir sa­yı­ya eşit olan sa­yı.
katsayı: Cebirsel ifadelerde terimin önünde bulunan sayı.
ke­na­ror­tay: Bir üç­gen­de her bir kö­şe nok­ta­sı­nı kar­şı ke­na­rın or­ta nok­ta­sı­na bir­leş­ti­ren doğ­ru par­ça­sı.
koni: Çembersel bölge üzerindeki her noktanın çember düzlemi dışındaki bir nokta ile birleşiminden oluşan
geometrik cisim.
köşe: İki veya daha fazla doğrunun kesişme noktası.
kö­şe­gen: Bir çok­gen­de ar­dı­şık ol­ma­yan ve­ya birçok yüz­lüde ay­nı düz­lem üze­rin­de bu­lun­ma­yan iki kö­şe­
arasına çekilen çizgi.
321
5. ÜNİTE
M
ma­te­ma­tik cüm­le­si: Bir iş­le­min sem­bol­ler­le ifa­de edil­miş hâ­li.
N
nes­ne: Belli bir ağırlığı ve hacmi, rengi olan her türlü cansız varlık.
nok­ta: Hiç­bir bo­yu­tu ol­ma­yan.
O
olasılık: Bir olayın olabilme şansını belirten sayı.
Ö
öl­çüm: Öl­çe­rek el­de edi­len so­nuç.
örün­tü: Olay veya nesnelerin düzenli bir biçimde birbirini takip ederek gelişmesi.
örneklem: Bir araştırmada bütünü anlamak için bütünden seçilen araştırma tekniklerinin uygulanacağı grup.
öteleme: Bir cismin bütün noktalarının eşit, paralel ve yöndeş yollar çizilmesiyle beliren hareketi.
P
pay: Bir bü­tü­nün bö­lün­müş eş par­ça­la­rın­dan ay­rıl­mış kıs­mı.
pay­da: Bir bü­tü­nün bö­lün­müş eş par­ça­la­rı­nın ta­ma­mı.
R
rasyonel sayı: Tam ya da kesirli sayıların ortak adı.
S
si­met­rik: Si­met­ri­si olan.
silindir: Alt ve üst tabanları birbirine eşit dairelerden oluşan bir nesnenin eksenini dikey olarak kesen,
birbirine paralel iki yüzeyin sınırladığı cisim.
Ü
üç­gen: Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir.
Y
ya­tay doğ­ru: Dur­gun bir su yü­ze­yi­ne pa­ra­lel olan doğ­ru çe­şi­di.
yü­zey: Bir cismi uzaydan ayıran dış bölüm.
322
5. ÜNİTE
Kaynakça
Dönmez, A., Matematiğin Öyküsü ve Serüveni, Dünya Matematik Ansiklopedisi, Cilt I-II, Toplumsal
Dönüşüm Yayınları, İstanbul, 2002.
Hacısalihoğlu, H.; Hacıyev, A.; Sabuncuoğlu, A., Matematik Terimleri Sözlüğü, Türk Dil Kurumu Yayınları,
İstanbul, 2009.
Julius, E., Sihirli Matematik Oyunları, (Çev: Karadağ, G.), Güncel Yayıncılık, İstanbul, 2008.
Karice, M., Common Core Math Workouts, Grade 8, Carson-Dellosa Publishing, 2014.
Malloy, E., Mathematics For Every Student: Responding To Diversity In Grade 6-8, NCTM, 2008.
MEB Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, Ortaokul Matematik Dersi (5, 6, 7 ve 8. Sınıflar) Öğretim Programı,
Ankara, 2013.
Muschla, A., Teaching The Common Core Math Standards With Hands-On Activities, Grades 6-8, JosseyBass, San Fransisco, 2012.
Özel, E.; Talat, S., Gökyüzünü Tanıyalım, TÜBİTAK, Ankara, 2011.
Pappas, T., Yaşayan Matematik, Sarmal Yayınevi, İstanbul, 1993.
Rachel, F., Minik Ansiklopedi ve Bilim, TÜBİTAK, Ankara, 2011.
Richards, T., Spectrum Math: Grade 8 Workbook, Carson-Dellosa Publishing, 2014.
Sertöz, S., Matematiğin Aydınlık Dünyası, Tübitak Yayınları, Ankara, 2003.
Türkçe Sözlük, Türk Dil Kurumu Yayınları, Ankara, 2011.
Van de W.; Karen A., İlkokul ve Ortaokul Matematiği (Çev: Durmuş, S.), Nobel Akademik Yayıncılık,
Ankara, 2013.
Vural, M., Ev ve Sınıf Etkinlikleri Antolojisi; Yakudiye Yayıncılık, İstanbul, 2001.
Yazım Kılavuzu, Türk Dil Kurumu Yayınları, Ankara, 2012.
İnternet Kaynakçası
http://arsiv.ntv.com.tr/news/434459.asp
Erişim Tarihi:10.08.2014
http://www.biyolojiegitim.yyu.edu.tr/bmk/beynimiz08.pdf
Erişim Tarihi:10.08.2014
http://www.cografya.gen.tr/diger/uzay/merkur.htm
Erişim Tarihi:10.08.2014
http://www.mgm.gov.tr/FILES/arastirma/ozonuv/gunes.pdf
Erişim Tarihi:10.08.2014
.http://www.biyolojiegitim.yyu.edu.tr/kf/sgayindunyau/sgayindunyau.swf
Erişim Tarihi:22.08.2014
http://www.avert.org/hiv-structure-and-life-cycle.htm
Erişim Tarihi:22.08.2014
http://fen.ege.edu.tr/~math/staff/pinardundar/Matematikciler.html
Erişim Tarihi:10.08.2014
http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/sayilar.htm
Erişim Tarihi:04.09.2014
http://www.matder.org.tr/index.php?option=com_content&view=article&id=22:pisagor&catid=7:unlumatematikciler&Itemid=171
Erişim Tarihi:07.09.2014
http://www.ilkyardim.org.tr/indexCntnt.php?sf=cntnt&id=104
Erişim Tarihi:12.09.2014
http://www.uchicago.edu/features/combining_math_and_music/
Erişim Tarihi:12.09.2014
323
5. ÜNİTE
http://www.storyofmathematics.com/egyptian.html
Erişim Tarihi:12.09.2014
http://www.biltek.tubitak.gov.tr/tekno_tezgah/teknoyazi/haziran2008.pdf
Erişim Tarihi:05.10.2014
http://www.acsu.buffalo.edu/~dbertuca/maps/cat/map-projections.html
Erişim Tarihi:05.10.2014
http://www.sabah.com.tr/rumeli-hisari
Erişim Tarihi:27.10.2014
http://www.conservationinstitute.org/10-largest-biggest-best-aquariums-in-the-world/
Erişim Tarihi:27.10.2014
http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/thales.htm
Erişim Tarihi:27.10.2014
http://www.matder.org/index.php?option...thales...thales...
Erişim Tarihi:05.06.2015
http://www.gorselsanatlar.org/muzeler-ve-muze-egitimi/louvre-muzesi-paris/
Erişim Tarihi:02.11.2014
http://www.tuik.gov.tr/IcerikGetir.do?istab_id=152
Erişim Tarihi:02.11.2014
www.ogm.gov.tr/ekutuphane/Sayfalar/Istatistikler.aspx
Erişim Tarihi:02.11.2014
http://cevre.bilkent.edu.tr/mart_05.html
Erişim Tarihi:02.11.2014
http://beslenme.gov.tr/index.php?lang=tr&page=151
Erişim Tarihi:02.11.2014
http://www.veteriner.cc/yazar/bazi_rakamsal_fizyolojik_degerler.asp
Erişim Tarihi:07.11.2014
http://www.izsu.gov.tr/Pages/DamStatusCategory.aspx?b=5
Erişim Tarihi:07.11.2014
http://global.britannica.com/EB cheched/topic/555365/sound.production
Erişim Tarihi:07.11.2014
http://beslenme.gov.tr/index.php?lang=tr&page=188
Erişim Tarihi:09.11.2014
www.tuik.gov.tr/IcerikGetir.do?istab_id=42
Erişim Tarihi:02.11.2014
http://www.idfa.org/news-views/media-kits/ice-cream/the-history-of-ice-cream
Erişim Tarihi:02.11.2014
324
5. ÜNİTE
Görsel Kaynakça
http://www.snipview.com/q/Ankara%20Central%20Station (sayfa 25)
http://aktuelresim.com/Word/fayans/Page/3 (sayfa 59)
http://bahceduzenlemesi.net/bahce-peyzaj-kt/bahce-duzenlemesi---peyzaj-ornekleri (sayfa 63)
http://amarillo.com/sports/pro-sports/2012-12-26/nba-roundup-harden-rallies-rockets-victory-spurstopple-raptors (sayfa 85-1)
http://haber.stargazete.com/ekonomi/turizmin-merkezine-de-hizli-tren/haber-989202 (sayfa 86-3)
http://www.fotografturk.com/yel-degirmeni-p168050 (sayfa 126)
http://www.hurriyet.com.tr/index/hiz_siniri (sayfa 237-1)
http://www.ankarapostakodu.gen.tr/ankara-posta-kodu.html (sayfa 253)
http://cografya.sitesi.web.tr/projeksiyon-tipleri.html (sayfa 268)
http://www.milliyet.com.tr/fotogaleri/50504-yasam-almanlar- (sayfa 276)
http://blog.sanartsal.com/louvre-museum/ (sayfa 280)
http://tr.fotolia.com: Fotoğraflar, bedeli ödenerek satın alınmıştır.
ön kapak
(sayfa 18) 1
(sayfa 20) 1,2,3
(sayfa 23) 1
(sayfa 24) 1
(sayfa 48) 1
(sayfa 50) 1,2,3,4,5
(sayfa 82) 2
(sayfa 86) 1,2,4
(sayfa 121) 1
(sayfa 125) 1,2,3,4,5
(sayfa 147) 1
(sayfa 160) 1
(sayfa 185) 1
(sayfa 238) 1,2
(sayfa 239) 1
(sayfa 248) 1
(sayfa 260) 1,2,3,4
(sayfa 271) 1
(sayfa 277) 1,2
(sayfa 299) 1,2,3
(sayfa 302) 1,2
Yayınevi fotoğraf arşivi: (sayfa 34), (sayfa 35), (sayfa 42) 1,2, (sayfa 43), (sayfa 48) 2, (sayfa 51),
(sayfa 57) 1,2,3, (sayfa 60), (sayfa 85) 2, (sayfa 89), (sayfa 90) 1,2,3, (sayfa 97), (sayfa 98), (sayfa 103),
(sayfa 107), (sayfa 114), (sayfa 124), (sayfa 128), (sayfa 141), (sayfa 149), (sayfa 172), (sayfa 180) 1,2,
(sayfa 181) 1,2,3,4, (sayfa 187), (sayfa 202), (sayfa 204) 1,2,3,4,5, (sayfa 205) 1, (sayfa 210) 1,2,
(sayfa 229) 1,2, (sayfa 248) 2, (sayfa 255), (sayfa 272) 1, (sayfa 276) 2, (sayfa 281), (sayfa 283)
1,2,3,4,5, (sayfa 285), (sayfa 288), (sayfa 295), (sayfa 296), (sayfa 297), (sayfa 300)
Fotoğraflarla ilgili gerekli izinler alınmıştır. Diğer tüm resimler yayınevi tarafından üretilmiştir.
325