Olasılık Uzayları ∑ ∪ = ∑ ∪

2.Ders
Olasılık Uzayları
Tanım: Ω bir küme ve U , Ω üzerinde bir σ-cebir olmak üzere, ( Ω, U ) ikilisine
ölçülebilir uzay denir.
Tanım: ( Ω, U ) ölçülebilir bir uzay olmak üzere,
µ : U → R ∪ {∞}
A → µ ( A)
fonksiyonu için,
a) µ ( A) ≥ 0
b) µ (∅) = 0
∞
 ∞
c) ( An ) , U da ayrık kümelerin dizisi ⇒ µ  ∪ An  = ∑ µ ( An )
 n =1  n =1
özellikleri sağlandığında, µ fonksiyonuna ölçü denir. µ ( A) sayısına A ‘nın
ölcüsü denir.
Tanım: ( Ω, U, µ ) üçlüsüne ölçü uzayı denir.
Tanım: U , Ω ’da bir σ -cebir olsun. Bir
P :U → R
A → Ρ( A)
fonksiyonu,
i) ∀A ∈ U için P( A) ≥ 0
ii) P(Ω) = 1
∞
∞
n =1
n =1
iii) A1 , A2 ,..., An ,... 'ler U 'da ayrık olaylar ⇒ P(∪ An ) = ∑ P( An )
özelliklerine sahip olduğunda, P fonksiyonuna olasılık ölçüsü denir.
P ( A) değerine A olayının olasılık ölçüsü ya da kısaca A’nın olasılığı denir.
Tanım:
U , Ω ’da bir σ -cebir ve P , U ’da bir olasılık ölçüsü olmak üzere
(Ω, U , P ) üçlüsüne olasılık uzayı denir.
Teorem: (Ω, U , P ) bir olasılık uzayı olsun:
a) Ρ(∅) = 0
b)
A1 , A2 ,…, An , U ‘da ayrık kümeler ⇒ Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = Ρ( A1 ) + ... + Ρ( An )
c)
P ( A) = 1 − P ( A)
d)
A ⊂ B ⇒ P ( A) ≤ P ( B )
e)
0 ≤ P ( A) ≤ 1
f)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
n
Ρ ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =
∑ Ρ( A ) − ∑
Ρ ( Ai ∩ Aj ) +
i
1≤ i < j ≤ n
i =1
∑
n −1
Ρ ( Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − ... + ( −1) Ρ ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An )
1≤ i < j < k ≤ n
n
 n

P
(
A
)
≤
 ∪ i ∑ P ( Ai ) 
i =1
 i =1

∞
∞


Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ...) ≤ Ρ( A1 ) + Ρ( A2 ) + ... + Ρ( An ) + ...  P (∪ Ai ) ≤ ∑ P ( Ai ) 
i =1
 i =1

g) Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) ≤ Ρ( A1 ) + Ρ( A2 ) + ... + Ρ( An )
∞
h) A1 ⊂ A2 ⊂ ⋯ ⊂ An ⊂ ⋯ ⇒ nlim
P ( An ) = P (∪ An )
→∞
n =1
∞
A1 ⊃ A2 ⊃ ⋯ ⊃ An ⊃ ⋯
⇒ lim P ( An ) = P (∩ An )
n →∞
n =1
dır.
Đspat:
a)
An = ∅ , n = 1, 2,… olsun. Bu durumda, An ‘ler ayrık ve
∞
∪A
n
=∅
n =1
dır. Ölasılık ölçüsü tanımındaki (iii) şıkkından,
∞
∞
n =1
n =1
Ρ(∪ An ) = ∑ Ρ( An )
∞
Ρ(∅) = ∑ Ρ(∅) ⇒ Ρ(∅) = 0
n =1
dır.
b) A1, A2 ,…, An ∈ U kümeleri ayrık olsun. An +1 = An+ 2 = ⋯ = ∅ olmak üzere ( An )
dizisindeki kümeler ayrıktır.
Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ... ∪ ∅ ∪ ...)
= Ρ( A1 ) + Ρ( A2 ) + ... + Ρ( An ) + Ρ(∅) + Ρ(∅) + ...
= Ρ( A1 ) + Ρ( A2 ) + ... + Ρ( An )
(iii)
(a)
dir.
c)
A ∪ A = Ω ve P (Ω) = 1 ⇒ P ( A ∪ A) = 1 ⇒ P ( A) + P ( A) = 1 ⇒ P ( A) = 1 − P ( A)
d)
A⊂ B ⇒
B = A ∪ ( A ∩ B)
P ( B ) = P ( A) + P ( A ∩ B )
⇒
⇒ P ( A) ≤ P ( B ) , ( P ( A ∩ B ) ≥ 0)
e)
∀ A ∈ U için ∅ ⊂ A ⊂ Ω ⇒ 0 ≤ P ( A) ≤ 1 dır.
A ∪ B = A ∪ ( A ∩ B ) ⇒ P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( A ∩ B )
f)
ve
B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ⇒ P( B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B)
olmak üzere,
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
elde edilir.
Ω
B
A
A∩ B
n
Ρ ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =
∑ Ρ( A ) − ∑
i
i =1
Ρ ( Ai ∩ Aj ) +
1≤ i < j ≤ n
eşitliğini ödev olarak ispatlayınız.
A∩ B
∑
1≤ i < j < k ≤ n
A∩B
n −1
Ρ ( Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − ... + ( −1) Ρ ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An )
g)
Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) ≤ Ρ ( A1 ∪ ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) ∪ ... ∪ ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ∩ An ) )
= Ρ( A1 ) + P( A1 ∩ A2 ) + P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + ... + P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ∩ An )
≤ Ρ( A1 ) + Ρ( A2 ) + P ( A3 ) + ... + Ρ( An )
h) A1 ⊂ A2 ⊂ ⋯ ⊂ An ⊂ ⋯ olsun.
∞
Ρ(∪ An ) =Ρ( A1 ) + P ( A1 ∩ A2 ) + P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + ... + P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ∩ An ) + ... (seri)
n=1
= lim (Ρ( A1 ) + P ( A1 ∩ A2 ) + P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + ... + P ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ∩ An ))
n→∞
(kısmi toplamlar dizisinin limiti)
= lim Ρ ( A1 ∪ ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) ∪ ... ∪ ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1 ∩ An ))
n→∞
= lim Ρ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An )
n→∞
= lim Ρ( An )
n→∞
dır.
A1 ⊃ A2 ⊃ ⋯ ⊃ An ⊃ ⋯ olsun. Bu durumda,
Şimdi
A1 ⊂ A2 ⊂ ⋯ ⊂ An ⊂ ⋯
olmak üzere,
∞
lim P ( An ) = P (∪ An )
n→∞
n=1
∞
lim (1− P ( An )) = 1− P (∪ An )
n→∞
n=1
∞
lim P ( An ) = P (∩ An )
n→∞
n=1
dır.
Tanım: (Ω, U , P) olasılık uzayında, A,B ∈ U olayları için
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B )
oluyorsa, A ile B olaylarına bağımsız olaylar denir.
*Ayrık olaylar: A ∩ B = ∅
*Bağımsız olaylar: P( A ∩ B) = P( A).P( B)
* ∅ ve Ω olayları her olaydan bağımsızdır.
Teorem: (Ω, U , Ρ) olasılık uzayında P( A) ≠ 0 ve P( B) ≠ 0 olsun.
A ile B ayrık ⇒ A ile B bağımsız değil
dir.
Đspat: Varsayalım ki A ile B bağımsız olsun. O zaman P( A ∩ B) = P( A).P( B)
olmalıdır. A ile B ayrık olduğundan Ρ( A ∩ B) = P(∅) = 0 dır. Ancak Ρ( A).Ρ( B) ≠ 0
dır. Çelişki. Bu çelişki varsayımdandır. Varsayım doğru değildir, yani Aile B
bağımsız değildir.
Sonuç: A ile B bağımsız ⇒ A ile B ayrık değil.
Teorem: Bir (Ω, U , P) olasılık uzayında A ile B bağımsız ise
a) A ile B bağımsız
b) A ile B bağımsız
c) A ile B bağımsız
dır.
Đspat: a) (Ω, U , P) de A ile B bağımsız, yani
Ρ( A ∩ B ) = Ρ( A).Ρ( B )
olsun. O zaman,
P( A ∩ B) = P( B) − P ( A ∩ B)
= P( B) − P ( A).P ( B)
=(1- P( A) ). P( B)
= P( A) . P( B)
olup, A ile B bağımsızdır.
(b) ve (c) şıkları (a) şıkkının bir sonucudur.
Tanım: (Ω, U , P) bir olasılık uzayı ve A1 , A2 ,..., An ∈ U olsun.
* Ρ( Ai ∩ Aj ) = Ρ( Ai ).Ρ( Aj ) ( 1 ≤ i < j ≤ n ) olduğunda A1 , A2 ,..., An olaylarına ikili bağımsız
** Ρ( Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = Ρ( Ai ).Ρ( Aj ).Ρ( Ak ) (1 ≤ i < j < k ≤ n ) olduğunda A1 , A2 ,..., An olaylarına
üçlü bağımsız
...
*** Ρ( A1 ∩ A2 ∩ ... An ) = Ρ( A1 ).Ρ( A2 )...Ρ( An ) olduğunda A1 , A2 ,..., An olaylarına n-li bağımsız
denir. A1 , A2 ,..., An olayları ikili, üçlü, ... , n-li bağımsız olduklarında bu olaylara
tam bağımsız denir.
Olaylar için k-li bağımsızlık m-li bağımsızlığı gerektirmez.
Teorem: (Ω, U , P) bir olasılık uzayı ve P( B) ≥ 0 olmak üzere,
PB : U → R
A → PB ( A) =
P( A ∩ B)
P( B)
fonksiyonu U da bir olasılık ölçüsüdür.
Đspat: i) ∀A ∈ U için PB ( A) =
ii) PB (Ω) =
P( A ∩ B)
≥0
P( B)
P (Ω ∩ B ) P ( B )
=
=1
P( B)
p( B)
iii) A1 , A2 ,..., An ,... ler U ’da ayrık olaylar olduğunda,
∞
PB (∪ An ) = PB ( A1 ∪ A2 ∪ ...)
n =1
Ρ[( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ...) ∩ B ]
Ρ( B)
Ρ[( A1 ∩ B ) ∪ ( A2 ∩ B ) ∪ ... ∪ ( An ∩ B ) ∪ ...]
=
Ρ( B )
Ρ( A ∩ B ) + Ρ( A2 ∩ B ) + ...
= 1
= Ρ B ( A1 ) + Ρ B ( A2 ) + ...
Ρ( B)
=
∞
= ∑ PB ( An ) .
n=1
Teorem: (Ω, U , P ) bir olasılık uzayı ve B ∈ U , P( B) > 0 olsun.
UB = { A : A = B ∩ C , C ∈ U }
sınıfının Ω da bir σ -cebir olduğunu ve
PB : UB
A
→ R
→
PB ( A) =
P( A)
P( B)
fonksiyonunun UB de bir olasılık ölçüsü olduğunu ispatlayınız.
Not: UB σ -cebiri U ‘nun B kümesine indirgemesi ve bu teoremdeki PB
fonksiyonu bir önceki teoremdekinin UB ‘ye kısıtlamasıdır.
Đspat: (Ödev)
(Ω, U , P ) olasılık uzayında B ∈ U ve P( B) > 0 olmak üzere P( A ∩ B) /P( B)
değerine A nın B ye göre koşullu olasılığı denir. Koşullu olasılık genellikle
P( A / B) biçiminde gösterilir.
Teorem: (Ω, U , P) ’de P( A) ≠ 0 , P( B) ≠ 0 olsun.
A ile B bağımsız ⇔ P( A) = Ρ( A / B) ⇔ Ρ( B) = Ρ( B / A)
dır.
Đspat: (Ödev)
Bazı Formüller:
P( A1 ∩ A2 ) = P( A1 ) P( A2 / A1 ) = P( A2 ) P( A1 / A2 )
P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 /( A1 ∩ A2 ))
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 /( A1 ∩ A2 ))...P( An /( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ))
(Ω, U , Ρ) bir olasılık uzayı ve A1 , A2 ,..., An ∈ U olsun.
a) P( Ai ) ≠ 0, i = 1, 2,..., n
b) Ai ∩ Aj = ∅,1 ≤ i < j ≤ n ( A1 , A2 ,..., An ler ayrık)
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω
olmak üzere A1 , A2 ,..., An olaylarına Ω nın bir parçalanması (sonlu parçalanma)
denir.
A1 , A2 ,..., An ,... ∈ U olmak üzere,
a) P( Ai ) ≠ 0, i = 1, 2,...
b) Ai ∩ Aj = ∅ , i < j = 1, 2, 3,... ( A1 , A2 ,..., An ,... ler ayrık)
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ∪ ... = Ω
olmak üzere A1 , A2 ,..., An ,... olaylarına Ω nın bir parçalanması (sonsuz
parçalanma) denir.
Ω
A2
A1
B
A3
n
An
n
B = B ∩Ω = B ∩ (∪ Ai ) = ∪ ( B ∩ Ai ) = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ An )
i =1
i =1
∞
∞
i =1
i =1
B = B ∩Ω = B ∩ (∪ Ai ) = ∪ ( B ∩ Ai ) = ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ An ) ∪ ...
n
n
n

P( B) = P ∪ ( B ∩ Ai ) = ∑ P( B ∩ Ai ) =∑ P( Ai ) P( B / Ai )
 i=1
 i=1
i =1
∞
∞
 ∞

P( B) = P ∪ ( B ∩ Ai ) = ∑ P( B ∩ Ai ) =∑ P( Ai ) P( B / Ai )
 i=1
 i=1
i =1
Toparlanırsa, aşağıdaki teorem elde edilir.
Bayes Teoremi:
(Ω, U , P) bir olasılık uzayı olsun.
A1 , A2 ,..., An olayları Ω nın bir sonlu parçalanması ve B ∈ U ,
P( B) ≠ 0 olmak üzere,
P( Aj / B) =
P( Aj ∩ B)
P( B)
=
P( Aj ) P( B / Aj )
n
∑ P( A ) P( B / A )
i =1
i
, j = 1, 2,..., n
i
A1 , A2 ,..., An ,... olayları Ω nın bir sonsuz parçalanması olmak üzere,
P( Aj / B) =
P( Aj ∩ B)
P( B)
=
P ( Aj ) P( B / Aj )
∞
∑ P( A ) P( B / A )
i =1
i
, j = 1, 2,...
i
dır.
Bonferroni Eşitsizliği:
(Ω, U , P) bir olasılık uzayı olsun.
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) ≥ 1 − P( A1 ) − P( A2 ) − ... − P( An )
dır.
Đspat: (Ödev)
(n ≥ 2)