Olasılık Çalışma Soruları FİNAL(Matematik Müh. Bölümü

Olasılık Çalışma Soruları FİNAL(Matematik Müh.
Bölümü-2014)
𝜋
S-1) 𝜉𝜖[0, 2 ] düzgün dağılıma sahip bir rastgele değişkendir.
ζ = sin4 (ξ), olduğuna göre E(ζ), E(ζ2 ), ve var(ζ)′ yi
hesaplayınız.
S-2) 𝜉𝜖𝐵𝑒𝑙𝑙𝑖 𝑏𝑖𝑟 dağılıma sahip bir rastgele değişkendir.
ζ = ρ(ξ) olduğuna göre E(ζ), E(ζ2 ), ve var(ζ)′ yi
hesaplayınız.
S-3) 𝜉 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
𝑐
𝑓𝜉 (𝑥 ) =
2 , 𝑥𝜖𝑅, 𝑐 =?
4+𝑥
S-4) 𝜉𝜖𝑁(0,1) sahip ise, başlangıç momentlerini bulunuz.
S-5) 𝜉 rastgele değişkeninin geometrik dağılıma sahipse, n.
mertebeden başlangıç momentlerini bulunuz.
S-6) 𝜉 rastgele değişkeninin 𝜆 > 0 parametreli üstel dağılıma
sahip olsun. Bu durumda 𝛼𝑛 = 𝐸 (𝜉 𝑛 ) =?
S-7) 𝜉 rastgele değişkeni, 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 dağılımına sahip olsun.
Bu durumda 𝛼𝑛 = 𝐸 (𝜉 𝑛 ) =?
S-8) 𝜉 rastgele değişkeni, [𝑎, 𝑏] aralığında düzgün dağılıma
sahip olsun. Bu durumda 𝛼𝑛 = 𝐸 (𝜉 𝑛 ) =?(momentlerini
bulunuz,n=1,2,3,…)
S-9) 𝜉𝜖[0, 𝜋] düzgün dağılıma sahip bir rastgele değişkendir.
1
ζ = sin2 (ξ), olduğuna göre E(ζ), E(ζ2 ), ve var(ζ)′ yi
hesaplayınız.
S-10) 𝜉 rastgele değişkeni, 𝜉 ∈ 𝑁(1,1) aralığında genel
normal dağılıma sahip olsun. Bu durumda 𝛼𝑛 = 𝐸 (𝜉 𝑛 ) =
?(momentlerini bulunuz,n=1,2,3,…)
S-11) 𝜉 rastgele değişkeni, 𝜉 ∈ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚(𝑝, 𝑛) Binom dağılıma
sahip olsun. Bu durumda 𝑓𝑘 =?(faktöryel momentlerini
bulunuz,k=1,2,3,…)
S-12) 𝜉 ∈ 𝑁(0,1), ζ = ξ4 , ise olasılık yoğunluk fonksiyonu
𝑓ζ (𝑥 ) =?
2
S-13) 𝜉 rastgele değişkeni, 𝜉 ∈ 𝐺𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑘(𝑝 = 3), Bu
durumda 𝑓8 , 𝑓𝑛 =?(faktöryel momentlerini bulunuz)
S-14) 𝜉 rastgele değişkeni, 𝜉 ∈ Ü𝑠𝑡𝑒𝑙(𝜆 = 2) olsun.
ζ = ξcos(2ξ). Bu durumda var(ζ) =?
S-15) 𝜉 rastgele değişkeni 𝜆 = 1 parametreli üstel dağılıma
sahip olsun. ζ = sin(ξ). r.d’nin B.d.’ini bulunuz.
S-16) 𝜉𝜖[0, 𝜋] düzgün dağılıma sahip bir rastgele değişkendir.
ζ = cos n (ξ) , olduğuna göre E(ζ)′ yi hesaplayınız.
S-17) 𝜉 rastgele değişkeni 𝜆 = 1 parametreli üstel dağılıma
sahip olsun. ζ = 5ξ + 3 r.d’nin o.y.f.’unu bulunuz.
S-18) 𝜉 ∈ 𝑁(0,1), ζ = ξ2 , ise olasılık yoğunluk fonksiyonu
𝑓ζ (𝑥 ) =?
2
S-19) 𝜉 rastgele değişkeninin o.y.f 𝑓𝜉 (𝑥 ) =
𝑥3
4
,𝑜 < 𝑥 < 2
olarak verildiğinde E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
S-20) 𝜉 rastgele değişkeninin o.y.f 𝑓𝜉 (𝑥 ) = 𝑐(𝑥 2 − 1)
, 𝑜 < 𝑥 < 4 olarak verildiğinde, c’nin değerini
hesaplayarak E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), ve var(𝜉 )′ yi bulunuz.
S-21) 𝜉 rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
𝑥
𝑓𝜉 (𝑥 ) = {
9
, 𝑥 = 1,3,5
olarak verildiğinde. Bu
0, 𝑎𝑘𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑘𝑑𝑖𝑟𝑑𝑒
durumdaE(𝜉 ), E(3𝜉 )E(𝜉 2 ), var(3𝜉 )′ ve var(𝜉 )′ yi
hesaplayınız.
S-22) 𝜉 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
1 + 𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑓𝜉 (𝑥 ) = { 1 − 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 olarak verildiğinde. Bu
0, 𝑎𝑘𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑘𝑑𝑖𝑟𝑑𝑒
durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
S-23) 𝜉 sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu 𝑓𝜉 (𝑥 ) = 3(1 − 2𝑥 ), 0 < 𝑥 < 1 olarak
verildiğinde. Bu durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
S-24) 𝜉 rastgele değişkeninin E(𝜉 ) = 2, ve E(𝜉 2 ) = 7 olsun.
ζ = 5ζ − 2 olarak verildiğinde, E(ζ), ve var(ζ)′ yi
hesaplayınız.
3
S-25) 𝜉 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
1
𝑓𝜉 (𝑥 ) = {
𝑥
+ 4 , −2 ≤ 𝑥 ≤ 0
2
1
𝑥
−
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 olarak verildiğinde. Bu
2
4
0, 𝑎𝑘𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑘𝑑𝑖𝑟𝑑𝑒
durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
S-26) 𝜉 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
𝑥
,
2
𝑓𝜉 (𝑥) =
0<𝑥≤1
1
4
,
1<𝑥≤2
3−𝑥
2 , 2<𝑥<3
{0, 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 ′ 𝑙𝑒𝑟𝑖ç𝑖𝑛
olarak verildiğinde. Bu durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi
hesaplayınız.
S-27) Düzgün bir zarın iki kez atılması deneyinde üste gelen
yüzlerdeki sayılar toplamının beklenen değer ve
varyansını bulunuz.
S-28) 𝜉 sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu 𝑓𝜉 (𝑥 ) = 3𝑥 2 , 0 < 𝑥 < 1 olarak verildiğinde.
Bu durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
S-29) 𝜉 sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk
fonksiyonu 𝑓𝜉 (𝑥 ) = 4𝑥 3 , 0 < 𝑥 < 1 olarak verildiğinde.
Bu durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
S-30) 𝜉 sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk
1
fonksiyonu 𝑓𝜉 (𝑥 ) = 𝜋(1+𝑥 2 ) , −∞ < 𝑥 < ∞ olarak
verildiğinde. Bu durumda E(𝜉 ), ve var(𝜉 )′ yi hesaplayınız.
4
𝜋
S-31) 𝜉 rastgele değişkeninin o.y.f 𝑓𝜉 (𝑥 ) = 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝑥 , − 2 < 𝑥 <
𝜋
2
olarak verildiğinde, c’nin değerini hesaplayarak
E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), ve var(𝜉 )′ yi bulunuz.
2
S-32) 𝜉 rastgele değişkeni 𝑝 = 3 parametreli geometrik
dağılıma sahip ise bu takdirde 𝑃(𝜉 = 3), 𝑃(𝜉 <
3) 𝑣𝑒 𝑃(5 ≤ 𝜉 ≤ 7) olasılıklarını hesaplayınız.
S-33) 2000 aracın bulunduğu bir şehirde her bir aracın bir yıl
içerisinde kaza yapma olasılığı 𝑝 = 0.0003 olduğu
varsayımı altında bu şehirde bir yılda
i)
ii)
Hiçbir aracın kaza yapmama olasılığı
Beş yada daha fazla aracın kaza yapması olasılığı
S-34) Kesikli bir ξ r.d için aşağıdaki tablo verilmiştir.
ξ=x
-2
fξ (x) = P(ξ
0,1
= x)
0
1
2
4
e
0,2
0,3
0,1
a) e değerini bulunuz?
b) 𝜉 hangi değeri en büyük olasılıkla alır?
c) 𝑃(𝜉 ≤ 0) olasılığını bulunuz?
d) 𝜉 = −4 olması olasılığını bulunuz?
e) 𝜉’nin dağılım fonksiyonunu bulunuz?
f) 𝐹𝜉 (𝑥)’i tablo olarak gösteriniz?
g) 𝑓𝜉 (𝑥 ) ve 𝐹𝜉 (𝑥)’in grafiklerini gösteriniz?
5
S-35) Kesikli bir ξ r.d için olasılık fonksiyonu
x
, x = 1,2,3, … ,9
fξ (x) = { 45
0,
diğer x ′ leriçin
verilmiş olsun
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Fξ (x)’dan yararlanarak olasılıkları hesaplayınız.
P(ξ ≤ 4), P(ξ > 2), P(4 ≤ ξ < 6), P(4 < ξ ≤ 8), P(ξ ≤ 0)
P(3 < ξ ≤ 7) hesaplayınız.
S-36) Kesikli bir ξ r.d için aşağıdaki tablo verilmiştir.
ξ=x
fξ (x) = P(ξ
= x)
0
1
1
9
2
2
9
3
3
9
4
2
9
ξ’nin dağılım fonksiyonunu bulunuz?
Fξ (x)’in grafiklerini gösteriniz?
S-37) Kesikli bir ξ r.d için olasılık fonksiyonu
2x + 1
, x = 0,1
8
fξ (x) = 7 − 2x
, x = 2,3
8
{0, diğer x ′ leriçin
verilmiş olsun
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
6
1
9
Fξ (x)’dan yararlanarak P(ξ ≤ 3), P(ξ > 2), P(1 ≤ ξ < 2),
P(1 < ξ ≤ 3),
S-38) Sürekli bir ξ r.d için olasılık yoğunluk fonksiyonu
2
(3 − x),
0<x<3
fξ (x) = {9
0,
diğer x ′ leriçin
verilmiş olsun
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Fξ (x)’dan yararlanarak P(ξ ≤ 2), P(ξ > 1), P(1 ≤ ξ < 2),
P(1 < ξ ≤ 3),
S-39) Sürekli bir ξ r.d için olasılık yoğunluk fonksiyonu
2x(4 − x)
,0 < x ≤ 3
45
2x
fξ (x) =
, 3<x≤6
45
diğer x ′ leriçin
{ 0,
verilmiş olsun
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Fξ (x)’dan yararlanarak P(ξ ≤ 4), P(ξ > 3), P(2 ≤ ξ < 5),
P(1 < ξ ≤ 3),
7
S-40) Sürekli bir ξ r.d için olasılık yoğunluk fonksiyonu
2x + 1
,0 < x ≤ 2
18
fξ (x) = 7 − x
, 2<x≤6
18
diğer x ′ leriçin
{0,
verilmiş olsun
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Fξ (x)’dan yararlanarak P(ξ ≤ 3), P(ξ > 1), P(2 ≤ ξ < 4),
P(1 < ξ ≤ 2),
S-41) Sürekli bir ξ r.d için olasılık yoğunluk fonksiyonu
x
,
2
fξ (x) =
0<x≤1
1
2
,
1<x≤2
3−x
2 , 2<x<3
{0, diğer x ′ leriçin
verilmiş olsun
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
fξ (x) ve Fξ (x)’in grafiklerini gösteriniz?
S-42) Aşağıdaki fonksiyon verilsin
x + 1, −1 < x < 0
f(x) = { 2x − 6, 3 < x ≤ c
0,
diğer x ′ leriçin
8
verilmiş olsun
fξ (x) olasılık yoğunluk fonksiyonunu olması için c ne olmalıdır
Fξ (x) dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Fξ (x)’dan yararlanarak P(ξ ≤ 3), P(ξ > 1), P(2 ≤ ξ < 4),
P(1 < ξ ≤ 2),
S-43) Bayes teoremini ifade ve ispat ediniz.
S-44) Kesikli dağılımları ifade ederek, bu dağılımların olasılık
fonksiyonlarını ve dağılım fonksiyonlarını bulunuz.
S-45) Sürekli dağılımları ifade ederek, bu dağılımların olasılık
fonksiyonlarını ve dağılım fonksiyonlarını bulunuz.
S-46) 𝜉 Poisson dağılımına sahip rastgele değişken ise,
E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), var(𝜉 ) 𝑣𝑒 Ψ𝜉 (𝑡) ′ yi bulunuz.
S-47) 𝜉 Üstel dağılımına sahip rastgele değişken ise,
E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), var(𝜉 ) 𝑣𝑒 Ψ𝜉 (𝑡) ′ yi bulunuz.
S-48) 𝜉 Binom dağılımına sahip rastgele değişken ise,
E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), var(𝜉 ) 𝑣𝑒 Ψ𝜉 (𝑡) ′ yi bulunuz.
S-49) 𝜉 Erlang dağılımına sahip rastgele değişken ise,
E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), var(𝜉 ) 𝑣𝑒 Ψ𝜉 (𝑡) ′ yi bulunuz.
S-50) 𝜉 Ki-Kare dağılımına sahip rastgele değişken ise,
E(𝜉 ), E(𝜉 2 ), var(𝜉 ) 𝑣𝑒 Ψ𝜉 (𝑡) ′ yi bulunuz.
S-51) Standart normal dağılıma sahip 𝑍 değişkeni için aşağıda
istenilen olasılıkları hesaplayınız.
9
S-52) Bir hastanede belli bir hastalıkla ilgili bulunan hastaların
tansiyonlarının ortalaması 15 ve varyansı 9 olan normal
dağılıma sahip oldukları bilinmektedir. Bu hastalar içinden
rasgele seçilen bir hastanın tansiyonunun,
a) 11 den küçük
b) 12 den büyük
c) 9 ile 16 arasında
olması olasılıklarını hesaplayınız.
S-53) Bir doğumevinde doğan bebeklerin ağırlıklarının
ortalamasının 3.2 kg ve standart sapmasının ise 0.3 kg olan bir
normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. Buna göre;
a) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg ile 3.9 kg
arasında olması olasılığı nedir?
b) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg'dan daha hafif
olması olasılığı nedir?
10
c) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 2.8 kg ile 3.6 kg
arasında olması olasılığı nedir?
d) Bir günde ortalama 200 bebeğin doğduğu kabul edilirse bu
bebeklerden kaç tanesinin ağırlığı 4 kg’ dan daha fazladır?
e) Bebeklerden en ağır %2.5’ i hangi ağırlığın üzerindedir?
f) Bebeklerden en hafif %5’ i hangi ağırlıktan daha düşüktür?
54) Örnek olarak alınan suda organik kirlilik olma olasılığı
%10’dur. 50 adet alınan örnekte iki veya daha az örneğin
kirlilik içerme olasılığı kaçtır?
55) 𝑋 ~ 𝑁 (𝜇 = 10, 𝜎 2 = 4) dağılımında 𝑃(9 < 𝑋 < 11)
olasılığı kaçtır.
56) Belli bir tür pil için dayanma süresinin
N (  35(saat ),  2  16) dağılımına sahip olduğu bilinmektedir.
Rasgele seçilen bir pilin dayanma süresinin 45 saatten çok
olması olasılığı nedir?
11
Yrd.Doç.Dr. Mehmet MERDAN
Matematik Mühendisliği Bölümü
12
13