1. sürekli rassal değişkenler

İstatistik
Doç. Dr. Şakir GÖRMÜŞ
SAÜ| e-FEK
Bu konuyu çalıştıktan sonra:
-
Sürekli Rassal değişken kavramını açıklayabilir.
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Merkezi Limit Teoremini açıklayabilir.
2
1.
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
2.
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI
1. Birikimli Olasılık Fonksiyonu
2. Aralık Olasılığı ve Birikimli Olasılık Fonksiyonu
3. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
3.
NORMAL DAĞILIM
1. Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
2. Normal Dağılımın Özellikleri
3. Normal Rassal Değişkenlerin Aralık Olasılıkları
4. Standart Normal Dağılım
4.
MERKEZİ LİMİT TEOREMİ
-
Sürekli Rassal değişken kavramını açıklayabilir.
1. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
Bu bölümde belli bir sayı çizgisi aralığında bütün değerleri alabilen değişkenler
incelenecektir ki bu değişkenlere “Sürekli Rassal Değişkenler” denir. Zaman, uzaklık,
sıcaklık, boy, kilo vb. ölçüler sürekli rassal değişkene örnek olarak verilebilir. Genellikle
sürekli rassal değişkenlerin belli bir aralıkta olma olasılığı bu bölümde ilgi alanımızdır.
Örneğin;
Rassal olarak seçilen bir öğrencinin not ortalamasının 85-90 arasında olma olasılığı
Rassal olarak seçilen bir ailenin yıllık gelirinin 15000-20000 TL arasında olma olasılığı
Rassal olarak seçilen bir öğrencinin not ortalamasının 50’den düşük olma olasılığı
Rassal olarak seçilen bir ailenin yıllık gelirinin 20000 TL’den yüksek olma olasılığı gibi
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
2. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMLARI
2.1. Birikimli Olasılık Fonksiyonu
X sürekli bir rassal değişkeni ve x ise bu değişkenin alabileceği belli bir değeri
göstermektedir. X’in Birikimli Olasılık Fonksiyonu, X sürekli rassal değişkeninin
belli bir x değerini aşmama olasılığını x’in bir fonksiyonu olarak verir.
X’in Birikimli Olasılık Fonksiyonu:
F (x) = P (X ≤ x ) =
𝑥
ƒ
−∞
𝑡 𝑑𝑡
2.2. Aralık Olasılığı ve Birikimli Olasılık Fonksiyonu
X sürekli rassal değişkeni a ve b gibi iki değer alabiliyorsa, rassal değişkenin bu iki aralık
arasında bir değer alma olasılığı,
P (a < X < b) = F (b) – F (a) =
𝑏
ƒ
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
2.3. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Uygulamada kolaylık sağladığı için “Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu” daha yaygın
kullanılmaktadır.
X sürekli rassal değişkeninin belli bir aralıkta olma olasılığı “Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu” ile hesaplanabilir. Sürekli rassal bir değişkenin Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu ƒ(x) ile gösterilir.
2. x’in bütün değerleri için ƒ(x) ≥ 0 (eğri yatay ekseni kesmez)
3. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu eğrisi altında kalan alan 1’e eşittir.
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
X rassal değişkeninin a ve b değerleri arasında bir değer olma olasılığı, Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu altında bu iki değer arasında kalan alandır. (a<b)
P(a<X<b)=
𝑏
ƒ
𝑎
𝑥 𝑑𝑥
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
ÖRNEK:
𝑐𝑥 2 ,
0≤𝑥≤3
𝑓 𝑥 =
0,
𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑖ç𝑖𝑛
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için c hangi değeri almalıdır?
𝑓 𝑥 =
x3
=c
3
𝑐=
|30
33
=c
3
𝑥
𝑓
−∞
𝑥 𝑑𝑥 =
03
−c
3
=
3
2
𝑐𝑥
𝑑𝑥
0
=1
27
27
𝑐=
𝑐 = 1′𝑑𝑒𝑛
3
3
3
bulunur.
27
3 2
𝑥 ,
27
𝑓 𝑥 =
0,
b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu gösteriniz?
0≤𝑥≤3
𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑖ç𝑖𝑛
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
c) F (x) kümülatif olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz?
𝑥
𝐹 𝑥 =
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑥 =
−∞
0
3 2
3 t3 x
3 x3
𝑡 𝑑𝑥 = =
| =
27
27 3 0 27 3
d) F (2) ‘yi hesaplayınız?
𝑥3
=
27
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
e) P ( x ≥ 1) ‘in olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayınız?
3
𝑝 𝑥 ≥1 =
1
3 2
3 x3
𝑥 𝑑𝑥 =
27
27 3
27
1
|13
3 33
=
27 3
26
3 13
−
27 3
= 27 − 27 = 27 = 0.96
X rassal değişkeninin 1’den büyük olma olasılığı yüzde 96’dır.
=
-
Sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını hesaplayabilir.
f) P ( 1 ≤ X ≤ 2) ‘in olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayınız?
2
𝑝 1 ≤𝑥 ≤2 =
1
3 2
3 x3
𝑥 𝑑𝑥 =
27
27 3
|12
3 23
3 13
8
1
7
=
−
=
−
=
= 0.26
27 3
27 3
27 27
27
X rassal değişkeninin 1ile 2 arasında olma olasılığı yüzde 26’dır.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
3. NORMAL DAĞILIM
Günlük hayatta karşılaşılan birçok olayın olasılık yoğunluk fonksiyonu aritmetik
ortalama etrafında yüksek ve uçlara doğru ise azalan bir seyir göstermektedir.
Bu tür dağılımlara “Normal Dağılım” denir ve istatistik analizlerinde en çok
kullanılandır.
Normal olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde görüldüğü üzere
aritmetik ortalama etrafında simetrik bir dağılıma sahiptir. Normal olasılık
yoğunluk fonksiyonu çana benzediğinden “Çan Eğrisi” olarak ta adlandırılır.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
3.1. Normal Dağılım Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
X rassal değişkeninin Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu
aşağıda verilmiştir.
𝑓 𝑥 =
1
𝑒
𝜎 2𝜋
(𝑥− µ)2
−
2𝜎2
,
- ∞ < x < ∞ için
Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunda yer alan sembollerin
açıklanmaya ihtiyacı vardır.
x = olasılığı hesaplanacak tesadüfi değişken
e = 2.718 (tabii logaritmanın tabanı)
π = 3.141 (pi sayısı)
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
µ ve σ2, eksi sonsuz ile artı sonsuz arasında bir değer alabilir. Bundan dolayı tek
bir normal dağılım yoktur µ ve σ2 alacağı değerlere göre farklı olabilirler.
X rassal değişkeninin ortalaması µ ve varyansı σ2 olan normal dağılıma sahip
ise bu aşağıdaki şekilde gösterilir.
X N (μ ,σ2 )
X rassal değişkeninin istenilen bir aralıkta olma olasılığı aşağıdaki şekilde
hesaplanabilir.
𝑏
𝑓 𝑥 =𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =
𝑎
1
𝜎 2𝜋
(𝑥− µ)2
−
𝑒 2𝜎2
𝑑𝑥
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
X rassal değişkeninin ortalaması µ ve varyansı σ2 olan normal dağılıma uyduğu
düşünülürse aşağıdaki özelliklere sahip olacaktır.
1. X rassal değişkeninin ortalaması E (X) = µ
2. X rassal değişkeninin varyansı Var (X) = E [ ( X- µ )2 ] = σ2
3. Skewness = 0 (Basıklık katsayısı)
X rassal değişkeninin dağılımın ortalaması ve varyansı bu değişkenin olasılık
fonksiyonunun şeklini belirler. Dağılımın iki parametresi olan ortalama ve
varyansı değiştikçe normal dağılım grafiğinin şeklide aşağıdaki örneklerde
görüldüğü üzere değişecektir.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Şekil A’da normal dağılıma sahip ortalamaları aynı varyansları farklı iki
tane olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmektedir. Şekilden de görüldüğü
üzere varyans azaldıkça olasılık yoğunluk fonksiyonu sivrileşmektedir
(Basıklığı azalmaktadır).
Şekil B’de normal dağılıma sahip varyansları aynı ortalamaları farklı iki
tane olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmektedir. Şekilden de görüldüğü
üzere ortalama artıkça yoğunluk fonksiyonu yana kayarken biçiminde
herhangi bir değişme söz konusu değildir.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
3.3. Normal Rassal Değişkenlerin Kümülatif (Birikimli) Olasılık Fonksiyonu
Ortalaması µ ve varyansı σ2 olan normal dağılıma sahip bir X rassal değişkeninin
Kümülatif olasılık fonksiyonu F (x) = P ( X ≤ x0 ) olarak gösterilir.
X rassal değişkeninin belli bir x0 değerinde küçük olma olasılığını gösterir.
Yukarıdaki şekilde gri taralı alan, normal dağılıma sahip X rassal değişkeninin herhangi
bir x0 değerinden küçük olma olasılığını vermektedir. Bu alan aşağıdaki genel formül
yardımıyla bulunabilir.
𝑥0
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤
𝑥0
=
−∞
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
(𝑥− µ)2
2𝜎2
𝑑𝑥
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Ortalaması µ ve varyansı σ2 olan normal dağılıma sahip bir X rassal değişkeninin aralıklı
olasılık fonksiyonu F (a) – F (b) = P ( a < X < b ) olarak gösterilir.
X rassal değişkeninin a ve b gibi iki değer arasında olma olasılığını gösterir (a < b
koşuluyla).
Yukarıdaki şekilde gri taralı alan, normal dağılıma sahip X rassal değişkeninin a ve b gibi
iki değer arasında olma olasılığını vermektedir. Bu alan aşağıdaki genel formül
yardımıyla bulunabilir.
𝑏
𝑓 𝑥 =𝑃 𝑎<𝑋<𝑏 =
𝑎
1
𝜎 2𝜋
(𝑥− µ)2
−
𝑒 2𝜎2
𝑑𝑥
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
3.5. Standart Normal Dağılım
Normal olasılık fonksiyonlarını hesaplamak bazı güçlükler içerdiğinden
her seferinde bilgisayar yardımıyla sayısal yöntemler kullanılarak
hesaplamamız gerekir. Bu işlemi yapmak yerine standart normal
dağılım (Z) tablosu kullanılabilir. Bu tablolarda her bir normal olasılık
dağılımının olasılıkları çizelgeleştirilmiş ve tek bir normal dağılım
olasılıklarıyla ifade edilmiştir.
X ortalaması 0 ve varyansı 1 olan normal rassal değişken ise Standart
normal dağılıma (Z) sahip demektir ve aşağıdaki şekilde gösterilir.
Z N (μ=0 ,σ2 =1)
X rassal değişkeninin Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu
aşağıda verilmiştir.
2
𝑓 𝑧 =
𝑍
1
− 2
𝑒
2𝜋
,
- ∞ < x < ∞ için
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Standart Normal Dağılımın Özellikleri
1. X rassal değişkeninin ortalaması E (X) = µ
2. X rassal değişkeninin varyansı Var (X) = E [ ( X- µ )2 ] = σ2
3. Skewness = 0 (Basıklık katsayısı)
4. Kurtosis = 3 (Çarpıklık Katsayısı)
Standart normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunda yer alan sembollerin
açıklanmaya ihtiyacı vardır.
Z=
𝑋− µ
𝜎
E (Z) = µ = 0
Var (Z) = σ = 1
Z değeri belirli bir değerin aritmetik ortalamadan kaç standart sapma aşağıda ya da
yukarıda olduğunu belirlemek için kullanılır.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Yukarıdaki şekilde standart normal dağılıma sahiptir.
1. Dağılım ortalamaya göre simetriktir. %50'si sağda, %50'si soldadır.
2.Normal dağılım eğrisinin altında kalan alan 1’e eşittir.
3. Normal dağılımı gösteren değişkenlerin aldıkları değerlerin;
Gözlemlerin %68 ‘ i ortalama ile  1 standart sapma aralığına,
Gözlemlerin %95‘ i ortalama ile  2 standart sapma aralığına, ve
Gözlemlerin %99 ‘ i ortalama ile  3 standart sapma aralığına düşer.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Normal Dağılımın Standart Normal Dağılıma Çevrilmesi
Normal dağılımları standart normal dağılımlara kolaylıkla çevirebiliriz. Bu
çevirme işleminden sonrada olasılıkları standart normal dağılım (Z) tablosu
yardımıyla bulabiliriz.
ÖRNEK 1:
Sakarya Üniversitesi öğrencilerinin gelirleri normal dağılıma sahiptir.
Ortalamasının (μ) 400 ve standart sapmanın (σ) 50 olduğu bilindiğine göre
tesadüfü seçilen bir öğrencinin geliri 500 (X) olsun. Bu normal dağılımı standart
normal dağılıma çeviriniz.
Z=
𝑋− µ
𝜎
=
500−400
50
=2
Bu durumda seçilen öğrencinin geliri, ortalamadan 2 standart sapma daha
yüksektir.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
ÖRNEK 2:
Sakarya Üniversitesi öğrencilerinin gelirleri normal dağılıma sahiptir.
Ortalamasının (μ) 400 ve standart sapmanın (σ) 50 olduğu bilindiğine göre
tesadüfü seçilen bir öğrencinin geliri 350 (X) olsun. Bu normal dağılımı standart
normal dağılıma çeviriniz.
Z=
𝑋− µ
𝜎
=
350−400
50
= −1
Bu durumda seçilen öğrencinin geliri, ortalamadan 1 standart sapma
düşüktür.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
Standart normal dağılım tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir. Bu
tabloyu okumayı bilmemiz gerekir.
Z tablosu
•Artı eksi 3.49 arasında değişiyor.
•Bu, teorik evrenin %99.98’ine karşılık geliyor.
•Z tablosu 1/10’luk aralarla standart sapmayı gösteriyor
•Araştırmacılar z tablosundaki birkaç değerle ilgilenir. Çünkü çoğu
hipotez testlerinde %95 ve %99’luk alanlarla ilgileniyor.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
ÖRNEK 1.
Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z<0.68) olduğunu
varsayalım. Bunun için ilk önce mavi dikey ve mavi yatay sütunlara bakmalıyız.
0.68 bu sütunlarda .6 ve .08 noktalarının (.6 + .08 = .68) kesiştiği yerde aranır. Böylece
P(Z<0.68) = .7517 deriz.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
ÖRNEK 2.
Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(Z>2.18) olduğunu
varsayalım. Bu olasılığı tabloda arayabilmenin tek koşulu P(Z<Z0) şeklinde
yazılabilmesidir. P(Z>2.18) = 1 - P(Z<2.18) = 1- 0.9854 = 0.0146 şeklinde bulunur.
-
Normal dağılımı açıklayabilir ve hesaplayabilir.
ÖRNEK 3.
Standart normal dağılıma dönüştürülen bir normal dağılımın P(1.36<Z<1.96) olduğunu
varsayalım. Bu aralıklardaki olasılık P(Z<1.96) - P(Z<1.36) = 0.9750- 0.9131 =0.0619
şeklinde bulunur.