kesirli mertebeden değişken katsayılı diferansiyel denklem ve
advertisement
KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL
DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE
COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ
Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM
DOKTORA TEZĠ
MATEMATĠK
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
OCAK 2014
ANKARA
Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM tarafından hazırlanan KESĠRLĠ MERTEBEDEN
DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM
SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK
ÇÖZÜMLERĠ adlı bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Fatma AYAZ
Tez DanıĢmanı, Matematik Anabilim Dalı
…………………...
Bu çalıĢma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora
tezi olarak kabul edilmiĢtir.
Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU
Matematik A.D. Ankara Üniversitesi
………………………...
Prof. Dr. Ogün DOĞRU
Matematik A.D. Gazi Üniversitesi
………………………...
Doç. Dr. Fatma AYAZ
Matematik A.D. Gazi Üniversitesi
………………………..
Doç. Dr. Adil MISIR
Matematik A.D. Gazi Üniversitesi
………………………..
Doç. Dr. Fahd JARAD
Lojistik Yönetimi, Türk Hava Kurumu Üniversitesi
………………………..
Tez Savunma Tarihi: 10.01.2014
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini
onamıĢtır.
Prof. Dr. ġeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
………………………
TEZ BĠLDĠRĠMĠ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıĢ ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalıĢmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Nilay Akgönüllü Pirim
iv
KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL
DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION
YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ
(Doktora Tezi)
Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
Ocak 2014
ÖZET
Bu tezde, kesir mertebeli lineer diferensiyel denklem ve denklem sistemlerinin
yaklaĢık çözümleri için Hermite Collocation Metodu (HCM) geliĢtirilmiĢtir.
Metot, bahsedilen diferensiyel denklem veya denklem sistemini, sıralama
(collocation) noktalarını kullanarak, bilinmeyenleri Hermite katsayıları olan
lineer cebirsel denklem sistemine dönüĢtürmektedir. Bu cebirsel sistem ise
matrislerle ifade edilebilmekte ve matris cebri kullanarak sistemin kolayca
çözülmesiyle de kesirli mertebeden lineer denklem ve sistemlerinin kesilmiĢ seri
cinsinden yaklaĢık çözümlerine ulaĢılabilmektedir.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler : Kesirli Analiz, Kesirli Diferensiyel Denklem, Kesirli
Diferensiyel Denklem Sistemleri, Hermite Polinomları,
Sıralama Noktaları
Sayfa Adedi
: 84
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Fatma AYAZ
v
APPROXIMATE SOLUTIONS FOR FRACTIONAL ORDER VARIABLE
COEFFICIENTS DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THE SYSTEM OF
SUCH EQUATIONS BY HERMITE COLLOCATION METHOD
(Ph.D. Thesis)
Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM
GAZĠ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE
January 2014
ABSTRACT
In this thesis, the Hermite Collocation method (HCM) has been developed for
the approximate solution for the fractional order linear differential equations
and the system of such equations. The method, by using collocation points,
converts the mentioned equations or the system of such equations to the linear
algebraic systems of which unknowns are Hermite coefficients. Since expressing
this algebraic systems by matrices and using matrix algebra solution of the
algebraic system can be obtained easily. As a result, the solutions of the
fractional order linear equations and the system of such equations are obtained
in terms of truncated Hermite series.
Sciance Code
: 204.1.138
Key Words
: Fractional Analysis, Fractional Differantial Equations,
System of Fractional Differantial Equations, Hermite
Polynomials, Collocation Points
Number of Pages : 84
Supervisor
: Assoc. Prof. Dr. Fatma AYAZ
vi
TEġEKKÜR
Gazi Üniversitesi’ ni tercih ettiğim 2008 yılından itibaren, gerek ders aĢamasında
gerekse tez aĢamasında desteğini hep hissettiğim, fikirlerinden yararlandığım doktora
tez danıĢmanım Doç. Dr. Fatma Ayaz’ a teĢekkür ediyorum.
Tezimin oluĢum aĢamasında yardımlarını ve fikirlerini esirgemeyen tez izleme
komitesi değerli jüri üyeleri Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU ve Prof. Dr. Ogün
DOĞRU’ a teĢekkür ediyorum.
Tez çalıĢmalarım sırasında bütün nazımı ve stresimi çeken, her zaman her konuda
yanımda olan eĢim Ferhat PĠRĠM’ e çok teĢekkür ediyorum.
Sağladıkları yurt içi doktora bursu ile maddi desteği için TÜBĠTAK’ a teĢekkür
ediyorum.
vii
ĠÇĠNDEKĠLER
Sayfa
ÖZET........................................................................................................................... iv
ABSTRACT ................................................................................................................. v
TEġEKKÜR ................................................................................................................ vi
ĠÇĠNDEKĠLER .......................................................................................................... vii
ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ .......................................................................................... x
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ .............................................................................................. xi
SĠMGELER VE KISALTMALAR ............................................................................ xii
1.GĠRĠġ ........................................................................................................................ 1
2. TEMEL KAVRAMLAR.......................................................................................... 3
2.1 Kesirli Analiz ..................................................................................................... 3
2.1.1. Gama fonksiyonu ..................................................................................... 4
2.1.2. Lebesgue uzayı ......................................................................................... 6
2.1.3. Riemann-Liouville kesirli integral operatörü ........................................... 6
2.1.4. Riemann-Liouville kesirli türev operatörü .............................................. 7
2.1.5. (t - a) Kuvvet fonksiyonunun kesirli integrali ve kesirli türevi ........... 7
2.1.6. Caputo kesirli türev operatörü ................................................................. 8
2.1.7. ( x - a) Kuvvet fonksiyonunun Caputo kesirli türevi ......................... 10
2.2. Charles Hermite ............................................................................................... 10
2.2.1. Hermite diferensiyel denklemi ............................................................... 10
2.2.2. Hermite polinomları ............................................................................... 11
2.3. Diferensiyel Denklemler ve Sistemleri ........................................................... 13
2.3.1. Tamsayi mertebeli diferensiyel denklemler .......................................... 13
viii
Sayfa
2.3.2. Kesir mertebeli diferensiyel denklemler ................................................ 13
2.3.3. DeğiĢken katsayılı kesir mertebeli lineer diferensiyel denklemler ........ 13
2.3.4. Kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin çözüm yöntemleri ............... 14
2.3.5. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemleri............................... 15
2.3.6. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm
yöntemleri.. ............................................................................................ 16
2.3.7. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemleri .................................... 17
2.3.8. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm
yöntemleri.. ............................................................................................ 18
3. KESĠR MERTEBELĠ LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN
ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU ……………………...19
3.1. Temel Matris Bağıntıları …………………………………………………….19
3.2. Çözümün Kontrolü ve Hata hesabı . ………………………………………...27
3.3. Uygulamalar …………………………………………………………………27
4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN
ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU ..………………...…. 34
4.1. Temel Matris Bağıntıları …………………………………………………….35
4.2. Çözümün Kontrolü ve Hata Hesabı ………………………………………...43
4.3. Uygulamalar ................................................................................................... 44
5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN
ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU ..…………………….53
5.1. Temel Matris Bağıntıları …………………………………………………… 54
5.2. Uygulamalar …………………………………………………………………62
6. SONUÇ VE ÖNERĠLER …………………….......................................................55
KAYNAKLAR……………………………………………………….......................74
ix
Sayfa
EKLER…………………..……………………………………………......................77
EK-1 EĢ. 3.26 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları .....……78
EK-2 EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları ...……..80
EK-3 EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları ...…..…82
ÖZGEÇMĠġ ………………………………………………………...........................84
x
ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ
Çizelge
Sayfa
Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonunun bazı sayısal değerleri……………………….....5
Çizelge 4.1. Örnek 4.2’nin y1 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması.......51
Çizelge 4.2. Örnek 4.2.’nin y2 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması….52
xi
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ
ġekil
Sayfa
ġekil 3.1. Örnek 3.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile yaklaĢık
çözümün karĢılaĢtırılması …………………………….…………..…......33
ġekil 4.1. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y1 ( x) yaklaĢık
çözümün karĢılaĢtırılması ....………………...………………..…….…...52
ġekil 4.2. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y2 ( x) yaklaĢık
çözümün karĢılaĢtırılması ……...…………...…………………….….......52
ġekil 5.1. DTM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri (a) ………….…...…....67
ġekil 5.2. ADM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri (b) ……...…................67
ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri …………...……….......68
ġekil 5.4. Örnek 5.2’ nin y1 ( x) çözüm sonucunun karĢılaĢtırılması ………….........71
ġekil 5.5. Örnek 5.2’ nin y2 ( x) çözüm sonucunun karĢılaĢtırılması ………….…...71
ġekil 5.6. Örnek 5.2’ nin y3 ( x) çözüm sonucunun karĢılaĢtırılması ………....….....72
xii
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aĢağıda sunulmuĢtur.
Simgeler
( )
L p [ a, b]
Açıklama
Gama fonksiyonu
Lebesgue uzayı
Riemann-Liouville kesirli integrali
Riemann-Liouville kesirli türevi
Caputo kesirli türevi
( )
Hermite polinomları
Kısaltmalar
Açıklama
ADM
Adomian ayırma metodu
BCM
Bessel collocation metodu
CCM
Chebyshev collocation metodu
DCM
Diferensiyel dönüĢüm metodu
HCM
Hermite collocation metodu
h.h.h.y.
Hemen hemen her yerde
1
1.GĠRĠġ
Türev ve integral operatörleri genel olarak matematiksel modellerin temelini
oluĢturmakta ve aynı zamanda doğal ve yapay sistemlerin çalıĢma prensiplerini
anlamada araç olarak kullanılmaktadır. Dolayısıyla diferensiyel ve integral
denklemler teorik ve pratik bakımdan büyük önem taĢımaktadır. Bu tip denklemler
fen ve mühendislik gibi bilim dallarında olduğu gibi sosyal bilimleri de içermek
üzere çok geniĢ uygulama alanlarına sahiptir. Diferensiyel denklemler gibi
diferensiyel denklem sistemleri de elastikiyet teorisi, dinamik, akıĢkanlar mekaniği,
devre problemleri, salınım problemleri, kuantum dinamiği gibi konularda sıklıkla
karĢımıza çıkmaktadır.
Türev ve integral operatörlerine olan ilgi, konunun daha da derinlemesine
incelenerek, tamsayı mertebeli hallerinin genelleĢtirilmiĢ hali olan kesirli türev ve
kesirli integral operatörlerinin bulunmasını sağlamıĢtır. Bu operatörlere olan merak
1695’te L’Hospital’in Leibniz’e sorduğu bir soru ile baĢlar ve böylece kesirli analizin
temelleri atılmıĢ olur [24]. Günümüzde fen ve mühendislik alanlarında önemli
uygulamalar
kesirli
türev
ve
integral
operatörleri
aracılığıyla
daha
iyi
modellenebilmektedir. Örneğin, sönümleme yasası, difüzyon süreçleri ve fraktallar
gibi konular kesirli analiz yardımı ile daha iyi tanımlanabilmektedir ve bu durum
günümüzde kesirli analize ve kesirli mertebeden diferensiyel denklemlere olan ilgiyi
artırmıĢtır.
Kesirli türev operatörünü içeren, kesir mertebeli diferensiyel denklemleri ve
sistemleri analitik olarak çözmek zordur. Bunun için çeĢitli sayısal veya yarı sayısal
yöntemler geliĢtirilmiĢtir. Bunlardan bazıları Adomian Ayırma metodu, Diferensiyel
DönüĢüm metodu, Sonlu Farklar YaklaĢım metodu, Varyasyonel Ġterasyon metodu
vb.’dir.
Bu yöntemler kullanılarak yapılan çalıĢmaların çoğu tek veya az terimli denklem ve
denklem sistemlerine dayanmaktadır. Bu alanda eksikliklerin giderilmesi daha
karmaĢık tipte ve çözülemeyen problemlerin çözülebilmesi isteği, bizi yeni ve daha
2
güçlü yöntemlerin geliĢtirilmesi çalıĢmasına yöneltmiĢtir. Yaptığımız araĢtırmalar
sonucunda, [2]’ de sunulan yöntem ile kesirli analiz birleĢtirilmiĢ ve Hermite
Collocation (sıralama) metodu (HCM) ile bu tip denklemler ve sistemlerin yaklaĢık
çözümleri
aranmıĢtır.
Metodun
temeli
ortoganal
polinom
olan
Hermite
polinomlarının kesilmiĢ seri haline ve matrislere dayanmaktadır.
Tez altı bölümden oluĢmaktadır. Bu tezin üç, dört ve beĢinci bölümleri orjinalliğe
sahiptir. Her bir bölümde incelenen konular sırasıyla Ģöyledir. Tezin ilk bölümünde,
son zamanlarda kesirli analize olan ilginin nedenine ve çalıĢma motivasyonuna yer
verilmektedir. Ġkinci bölümde, yöntemin geliĢmesi ve anlaĢılması için gerekli olan
kesirli analiz bilgileri ve Hermite polinomları hakkında gerekli ön bilgiler verilmiĢ,
ayrıca tamsayı ve kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin ve sistemlerin tanımları
ile çözüm yöntemleri ile ilgili literatür çalıĢması yapılmıĢtır.
Tezin orijinal olan üçüncü, dördüncü ve beĢinci bölümlerinde ise sırasıyla, kesir
mertebeli diferensiyel denklemlerin, tamsayı mertebeli diferensiyel denklem
sistemlerinin,
çözümlerini
kesir
mertebeli
bulmak
uygulanabilirliği,
hata
için
denklem
diferensiyel
geliĢtirilen
hesapları,
HCM
gerekli
yöntemi
sonuçlar
sistemlerinin
yaklaĢık
anlatılmıĢ,
yöntemin
Ģekil
ve
çizelgelerle
desteklenmiĢtir.
Son olarak altıncı bölümde, kullanılan metodun uygulanabilirliği, hesaplamaların
yapıldığı programlara yer verilmiĢtir, ayrıca ilerisi için yapılabilecek çalıĢmalardan
da bahsedilmiĢtir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1. Kesirli Analiz
Tarihte klasik analiz kadar eskiye dayanan kesirli analiz, katlı integral ve tamsayı
mertebeli türev kavramlarının geniĢletilmesi ve birleĢtirilmesiyle oluĢan herhangi bir
reel veya kompleks mertebeli türev ve integralin incelenmesidir. 1695’te
L’Hospital’in (1643-1704) Leibniz’e (1646-1716) sorduğu “Bir f fonksiyonun n
tamsayılı mertebeden türevini tanımladın peki n
1
dn f
olduğunda
kavramının bir
2
dx n
anlamı var mı? ” sorusu kesirli analizin baĢlangıcı olarak kabul edilir. Günümüzde
kesirli mertebeli türev, integral ve bunları içeren denklemler fizik, kimya, elektrik ve
elektronik, termodinamik, kontrol teorisi gibi pek çok alanda kullanılmaktadır.
Konunun çeĢitli alanlara uygulanabilme potansiyeli ile son kırk yıldır popülerliği ve
önemi artmıĢtır [9, 16, 19-21, 25-26].
D d / dx diferensiyel operatörü ve n bir pozitif tamsayı olmak üzere Dn f ( x) ’ in
anlamının
f ( x) fonksiyonunun n ’inci türevi olduğu iyi bilinmektedir. Fakat
n
pozitif bir tamsayı değilse Re ( ) 0 için D sembolünün veya Re ( ) 0 için
D sembolünün anlamını yorumlaması zordur. Bu kısımda bu sembollerin anlamları
açıklanacaktır.
Farklı tipte kesirli türev ve integral tanımı ve özellikleri çeĢitli kaynaklarda yer
almaktadır. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanlar Riemann-Liouville ve Caputo ’
nun tanımlarıdır. Kesirli analizin operatörlerin en genel gösterimleri sırasıyla,
( Da f )( x)
Ģeklindedir [16]. Bu gösterim
olmak üzere keyfi değerli kesirli türev
gösterimidir a ise kesirli türev iĢleminin sınır değeridir. Kesirli mertebeden integral
anlamına gelen kesirli integral ’in gösterimi ise, Re ( ) 0 için
4
( I a f )( x)
Ģeklindedir.
Tez için gerekli olan kesirli hesabın tanımlarını ve kullanımlarını anlamak için bazı
matematiksel tanımları iyi bilmek gerekir, bu tanım ve teoremlerden bazıları aĢağıda
verilmiĢtir.
2.1.1. Gamma fonksiyonu
Gamma fonksiyonu faktöriyel fonksiyonun genelleĢtirilmiĢ halidir diyebiliriz.
Faktöriyel iĢlemi negatif olmayan bir n tamsayısından baĢlayıp 1’ e kadar azalan
tamsayıların çarpımından oluĢur. Matematiksel analiz, cebir gibi önemli alanlarda
kullanılan bir tanımdır. Aynı gereksinim karmaĢık sayılar ve tamsayı olmayan reel
sayılar
için
duyulunca
Euler
Gamma
fonksiyonu
n0
için,
aĢağıdaki
genelleĢtirilmiĢ integral yardımıyla tanımlanmıĢtır.
(n) e u u n 1du
0
Bu ismi almasının nedeni integralin ikinci tip Euler integrali olmasından
kaynaklıdır[16].
Faktöriyel fonksiyonun üstel fonksiyon ile ilgili aĢağıdaki eĢitliği kullanılarak
n ! e u u n du
0
e u u ( n 1) 1du
0
(n 1)
gamma fonksiyonu ile faktöriyel fonksiyonu arasındaki iliĢki özelleĢtirilir [4,19].
5
Gamma fonksiyonu kesirli integral ve kesirli türev ile doğrudan iliĢkilidir. Bu
iliĢkiler Gamma fonksiyonunun aĢağıda verilen özelliklerinden faydalanılarak
bulunabilir.
1. (n) fonksiyonuna karĢılık gelen
e
u
u n 1du integrali n 0 için yakınsak
0
olup, c 0 olmak üzere bu integral her [c, d ] sonlu aralığında düzgün
yakınsaktır.
2. Tanım kümesi n : n 0 dır.
3. Gamma fonksiyonu n 0 için süreklidir.
4. Özellik (1) den dolayı n değiĢkenine göre integral iĢareti altında türev alarak
(n) in türevi elde edilebilir.
5. (n 1) n(n), n 0
6. 0<n<1 için
( ) (
ve n 1 için 1
2
2
)
Çizelge 2.1. Gamma fonksiyonunun bazı sayısal değerleri
3
2
4
3
2
1
1
2
2
5
2
3
4
0
Tanımsız
3
2
1
2
7
2
15
8
1
1
4
6
3
2
2
6
2.1.2. Lp [a, b] , Lebesgue uzayı
p 1 olsun,
Lp a, b : f : a, b R; f ,[a, b] üzerinde ölçülebilirdir ve
b
f ( x) p dx
a
ifadesi 1 p için alıĢılmıĢ Lebesgue uzayıdır 19 . L p a, b uzayında norm:
1 p , f Lp [a, b] ise
1
f
L p a ,b
f
p
b
p
p
f ( x) dx
a
Ģeklindedir. Eğer f fonksiyonu sürekli ise : lim f
p
f
p
f
olur. Burada
sup f ( x)
a x b
ile ifade edilmektedir.
2.1.3. Riemann-Liouville kesirli integral operatörü
Riemann-liouville kesirli integrali’ nin x [a, b] için L1[a, b] de
mertebesi
için tanımı
x
1
( I a f )( x) :
( x t ) 1 f (t )dt , ( x a ; 0)
( ) a
Ģeklinde verilir. Burada ( ) gamma fonksiyonudur.
(2.1)
7
Kesirli integral operatörü EĢ. 2.1’ in önemli bir özelliği, 0 için I a0 : I özdeĢlik
operatörü olmasıdır [10].
2.1.4. Riemann - Liouville kesirli türev operatörü
olsun. n , ’ ya en yakın ve en küçük tamsayı
f sürekli bir fonksiyon ve
mertebeli kesirli türevini hesaplamak
olsun. Bu durumda f fonsiyonunun
için önce v (n ) 0
mertebeden kesirli integrali hesaplanmalı sonrada n
tamsayılı mertebeden türevi alınmalıdır. Yani Riemann-Liouville kesirli türevinin
⟦ ⟧
ifadesi (
),
n
d
( Da f )( x) : ( I av f )( x)
dx
1
d
(n ) dx
n x
(x t)
v 1
f (t )dt
(2.2)
a
Ģeklindedir.
Burada 0 için Da0 : I özdeĢlik operatörüdür [16].
2.1.5. (t - a) Kuvvet fonksiyonunun kesirli integrali ve kesirli türevi
f (t ) (t a) , 1 olsun. Bu durumda f (t ) fonksiyonunun 0 mertebeli
Riemann-Liouville kesirli integrali,
I a f (t )
( 1)
(t a)
( 1)
ve kesirli türevi
(2.3)
8
Da f (t )
( 1)
(t a)
( 1)
(2.4)
olmaktadır. Burada a keyfi bir sabit sayıdır. Özel olarak 1 ve 0 olursa, o
zaman EĢ. 2.4 ifadesinden de anlaĢılacağı gibi bir sabitin Riemann-Liouville kesirli
türevi genelde sıfır olmaz, yani
Da 1
1
(t a) 0
(1 )
olmaktadır.
2.1.6. Caputo kesirli türev operatörü
BaĢlangıç değer problemleri için Riemann-Liouville kesirli türev operatörünün
tanımı uygun olmadığı için, baĢlangıç koĢullarını fiziksel durumlara en uygun Ģekilde
verebilen Caputo kesirli türev tanımı kullanılmaktadır [16]. Bu tanım
ve
c
⟦ ⟧
Da f ( x) I an D n f ( x)
olsun. a x b için
x
1
( x t )n 1 f ( n ) (t )dt
( n ) a
(2.5)
Ģeklindedir ve c Da operatörüne, mertebeli Caputo diferensiyel operatörü denir.
Burada
ve f ( x) AC n [a, b] Ģeklindedir.
Caputo kesirli türev operatörünün bazı özellikleri ve ilgili teoremler aĢağıda sunuldu.
Teorem 2.1.
Her , R için
c
Da c Da f ( x) c Da f ( x)
(2.6)
9
özelliğine sahiptir [26].
Lemma 2.1.
Bir fonksiyonun ardıĢık kesirli Caputo türevi, 1 2 3
c
D f (t ) c D1 2 3
n
f (t ) c D1 c D2 c D3
c
n olmak üzere
Dn f (t )
olarak elde edilmektedir [25].
Lemma 2.2.
[a, b] üzerinde sürekli olan
f
fonksiyonlarının uzayı AC[a, b] olmak üzere
AC m [a, b] uzayı;
[
]
{
[
]
(
)( )
[
](
)}
Ģeklinde tanımlıdır. Özel olarak AC1[a, b] AC[a, b] alınır ve burada
x
f ( x) AC[a, b] f ( x) c (t )dt ,
( (t ) L(a, b))
a
olarak yazılır.
2.1.7. ( x - a) Kuvvet fonksiyonunun Caputo kesirli türevi
f ( x) ( x a) , 0 ve
için
⟦ ⟧
için
durumda f ( x) fonksiyonunun 0 mertebeli Caputo kesirli türevi,
olsun. Bu
10
c
0
Da f ( x) ( 1)
( 1 ) ( x a )
, 0,1, 2,..., n 1 ve n ise
, ve
n veya
ve n 1 ise
olarak tanımlanır ve C bir sabit olmak üzere,
c
Da C 0
olmaktadır [16].
2.2. Charles Hermite
Diferensiyel denklemlerin çözümü için geliĢtirilen bir çok sayısal yöntemin
temelinde ortogonal polinomlar yer almaktadır. Nedeni ise ortogonal polinomların
kolay kullanımıdır, çünkü iyi yakınsama özellikleri vardır ve bir fonksiyonun ağırlık
dağılımını kesin bir ağ üzerinde, iyi bir Ģekilde temsil ederler. Ortogonal polinomlar
analizin, fiziğin ve mekaniğin çeĢitli dallarında kullanılan önemli fonksiyonlardır. Bu
fonksiyonların matematiksel modelleri diferensiyel veya integro-diferensiyel
denklemlerin çözümü için kullanılmaktadır. Bahsedilen tip denklemler elemanter
metodlarla çözülebilir; fakat çoğu zaman tam çözümü bulmak zor olduğundan
genellikle seri çözümlerine baĢvurulur. ĠĢte bunlardan biri de Hermite diferensiyel
denkleminin kökleri olan Hermite polinomlarına dayalı seri çözümlerdir.
Klasik ortogonal polinomlardan biri olarak bilinen Hermite polinomlarını bulan
Fransız matematikçisi Charles Hermite (1822-1901)’ dir.
2.2.1. Hermite diferensiyel denklemi
Matematiğin ve fiziğin önemli denklemlerinden olan,
y( x) 2 xy( x) 2ny( x) 0
, n 0,1, 2,...
denklemine Hermite diferensiyel denklemi adı verilir.
(2.6)
11
2.2.2. Hermite polinomları
- x aralığında skaler çarpım
( p, q) w( x) p( x) q( x) dx
yazıldığında bu skaler çarpımı ıraksak olmaktan koruyacak en doğal ağırlık
fonksiyonu w( x) e
x 2
x olduğunda üstel fonksiyon her x
olur.
kuvvetinden daha hızlı sıfıra gider ve ıraksaklığı önler. (, ) aralığında ve
m
( )
ağırlık fonksiyonuyla tanımlı skaler çarpıma göre ortoganal olan polinomlar Hermite
polinomları adını alırlar ve H n ( x) ile gösterilirler.
EĢ. 2.6 ile verilen Hermite diferensiyel denkleminin kuvvet serisi yöntemi ile
çözülmesiyle elde edilen Hermite polinomları,
n çift ise
⁄
( )
∑
(
( ) ⁄
) ( ⁄
)
(
)
n tek ise
(
( )
)⁄
∑
(
(
)(
) ((
)⁄
)⁄
)
(
)
yukarıdaki seri formunda tanımlanmıĢtır. n’ in tam değeri kullanılarak yukarıdaki iki
denklem birleĢtirilirse, Hermite polinomları kısaca
12
( )
∑⟦
⁄ ⟧
(
)
(
)
(
)
(2.7)
Ģeklinde yazılabilir.
H n ( x) , n. dereceden Hermite polinomunu ifade etmektedir. Ġlk birkaç Hermite
polinomunu açık Ģekilde yazılırsa,
H 0 ( x) 1
H1 ( x) 2 x
H 2 ( x) 4 x 2 2
H 3 ( x) 8x3 12 x
H 4 ( x) 16 x 4 48 x 2 12
H5 ( x) 32 x5 160 x3 120 x
H 6 ( x) 64 x6 480 x 4 720 x 2 120
H 7 ( x) 128x7 1344 x5 3360 x3 1680 x
H8 ( x) 256 x8 3584 x6 13440 x 4 13440 x 2 1680
H9 ( x) 512 x9 9216 x7 48384 x5 80640 x3 30240 x
H10 ( x) 1024 x10 23040 x8 161280 x6 493200 x 4 302400 x 2 30240
ve genellenirse
n
H 2 n ( x) (1)n (1) m
m0
n
n!
(2 x) 2 m
(n m)!(2m)!
H 2 n 1 ( x) (1)n (1) m
m0
(2n 1)!
(2 x) 2 m1
(n m)!(2m 1)!
elde edilirler [1].
2.3. Diferensiyel Denklemler ve Sistemleri
13
2.3.1. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklemler
n ve f : R R bir fonksiyon olsun. Bu durumda,
2
Dn y( x) f ( x, y( x))
(2.8)
ifadesine n . mertebeden adi diferensiyel denklem denir. Eğer, EĢ. 2.8 diferensiyel
denklemine
Dk y( x0 ) y0( k ) , k 0,1,..., n 1
(2.9)
Ģeklindeki baĢlangıç koĢullarını eklersek, EĢ 2.8 diferensiyel denklemi, EĢ. 2.9
baĢlangıç koĢullarını içeren bir başlangıç değer problemi olarak tanımlanır [32].
2.3.2. Kesirli mertebeden diferensiyel denklemler
Bir bağımlı değiĢkenin, bir bağımsız değiĢkene göre kesirli türevlerini içeren
diferensiyel denklemlere kesirli mertebeden adi diferensiyel denklemler denir [18].
1
D 2 y ( x) 2 y 3 ( x) 5
2
5
1
2
3D y(t ) Dy (t ) t
(2.10)
denklemleri birer kesirli diferensiyel denklemdir.
2.3.3. DeğiĢken katsayılı kesir mertebeli lineer diferensiyel denklemler
x bağımsız değiĢken ve y bağımlı değiĢken olmak üzere
an ( x) D n y( x) an1 ( x) D n1 y( x) ... a1 ( x) D1 y( x) a0 ( x) D0 y( x) f ( x)
(2.11)
14
Ģeklinde yazılabilen diferensiyel denklemlere değişken katsayılı kesir mertebeli
lineer diferensiyel denklem denir.
Bu denklemin lineerliği kesirli türev operatörünün lineer olma özelliğinden
kaynaklanmaktadır [18]. Örneğin,
3
x 2 D 2 y ( x) y ( x) e x
c
D2 y( x) c D3/ 2 y( x) y( x) x 1
(2.12)
denklemleri lineerdir.
2.3.4. Kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerin çözüm yöntemleri
Kesirli diferensiyel denklemler uygulamalı matematik, fizik, kimya ve mühendislik
alanlarında oldukça sık ortaya çıkmaktadır. Bunun nedeni; kesirli türevlerin gerçek
sistemleri ve süreçleri tamsayı mertebeli türevlerden daha tam ve gerçeğe yakın
olarak modellenmeleridir. Kesirli diferensiyel denklemlerin analitik çözümleri için
uygulanan yöntemlerden bazıları Volterra Ġntegral denklemlere indirgeme metodu,
Mittag-Leffler ve Bessel özel fonksiyonlarıyla kesirli türev, kesirli integral
operatörlerinin bileĢimi metodu [16], Laplace dönüĢüm metodu, Mellin dönüĢüm
metodu, Kesirli Green fonksiyonu metodudur [25].
Bu metotların var olmasıyla birlikte, çözümü aranan diferensiyel denklemlerdeki
kesirli türevlerin her zaman analitik hesaplaması kolay ya da mümkün olmayabilir.
Bu yüzden çeĢitli nümerik metotlar kullanılarak bu kesirli türevlerin analitiğe yakın
ve kolay hesaplanabilmesi sağlanmıĢtır. Bu metotlardan bazıları Adomian ayırma
metodu (ADM), kesirli diferensiyel dönüĢüm metodu, kesirli fark metodu ve çeĢitli
iterasyon metotlarıdır, [11-15, 17,29, 32]. Çözümü aranan problemin türüne göre bu
metotlardan en uygun olanı seçilerek çözüme ulaĢılabilmektedir. Bu çalıĢmada ele
alınan kesirli diferensiyel denklem problemlerinin çözümünde Hermite collocation
15
metodu ile yaklaĢık ve kapalı çözümler elde edilmiĢtir ve ilerleyen bölümlerde bu
çözümlere yer verilecektir.
2.3.5. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemleri
AĢağıdaki gibi x bağımsız değiĢken ve y bağımlı değiĢken olmak üzere
y1 p11 ( x) y1 p12 ( x) y2
p1k ( x) yk g1 ( x)
y2 p21 ( x) y1 p22 ( x ) y2
p2 k ( x ) y k g 2 ( x )
yk pk 1 ( x) y1 pk 2 ( x) y2
pkk ( x) yk g k ( x)
(2.13)
Ģeklindeki bir veya daha fazla sayıda bağımlı değiĢkenin tek bir bağımsız değiĢkene
göre türevlerini içeren denklem sistemine lineer diferensiyel denklem sistemi denir,
i, j 1,2,..., k olmak üzere gi ( x) ve pij ( x) bilinen fonksiyonlarının [a, b] aralığında
tanımlı oldukları kabul edilmiĢtir. Eğer gi ( x) 0 ise EĢ. 2.13 sistemine homojen
sistem, gi ( x) 0 ise EĢ. 2.13 sistemine homojen olmayan sistem denir. Sistemlerin
lineerliği ise diferensiyel denklemlerin lineerliğinden kaynaklanmaktadır, yani tüm
denklemler lineer ise sisteme lineer sistemi denir. Ayrıca pij ( x) fonksiyonları
sabitlerden oluĢuyor ise EĢ. 2.13 sistemine sabit katsayılı sistem, en az biri bağımsız
değiĢken x ’i içeriyor ise değişken katsayılı sistem denir. Örneğin,
1
y1 y1
2
1
1
y2 y1 y2
2
4
1
1
y3 y2 y3
4
6
(2.14)
sistemi birinci mertebeden, sabit katsayılı, homojen, lineer diferensiyel denklem
sistemidir. En genel haliyle n. mertebeden k bilinmeyenli sistem
16
m
k
p ( x) y
n 0 j 1
n
ij
(n)
j
( x) gi ( x),
i 1,..., k , a x b
toplamları ile ifade edilebilir. Örneğin,
3
2
y1 ( x) xy2 ( x) 2 xy1 ( x) 2 x 2 x 46 x 2
2
y2 ( x) 2 xy1 ( x) y2 ( x) 5 x 1
(2.15)
sistemi ikinci mertebeden, homojen olmayan, değiĢken katsayılı, lineer bir
diferensiyel denklem sistemi tanımlamaktadır.
2.3.6. Tamsayı mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri
Diferensiyel denklem sistemleri elastikiyet teorisi, dinamik, akıĢkanlar mekaniği,
devre problemleri, salınım problemleri gibi pek çok konuda karĢımıza çıkan
sistemlerdir. Yüksek mertebeden sistemlerin çözümüne iliĢkin zorluklar konuya olan
ilgiyi artırmıĢtır.
Birinci mertebeden (normal formdaki) sistemlerin analitik çözümleri yok etme
metodu, operatör metodu gibi standart yöntemlerle yapılabilir ama iki veya daha
yüksek mertebeden diferensiyel denklem sistemlerini analitik olarak çözmek zordur.
Bu yüzden yaklaĢık çözümlere gerek duyulmuĢtur. Yüksek mertebeli sistemler,
normal formdaki sistemlere indirgenerek çözülmeye çalıĢılmıĢtır. Bunların
çözümünde de Runge-Kutta, Euler gibi yöntemler kullanılmaktadır.
Son yıllarda diferensiyel denklem sistemlerini çözmek için diferensiyel dönüĢüm
metodu [28], varyasyonel iterasyon metodu [23], Taylor [27], Chebyshev [3] ve
Bessel [30] collocation metodu gibi yaklaĢık çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.
17
Bu
çalıĢmada
ise
Hermite
polinomlarından
ve
collocation
yönteminden
faydalanılarak geliĢtirilen HCM yöntemi ile tamsayı mertebeli diferensiyel denklem
sistemleri için çözümler yapılmıĢ ve bu çözümlere dördüncü bölümde yer verilmiĢtir.
2.3.7. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemleri
Kesir mertebeli sistemler, tamsayı mertebeli sistemlerin genelleĢtirilmiĢ hali olarak
düĢünülmektedir. Bu nedenle kesir mertebeli diferensiyel denklem sisteminin tanımı
C
D1 y1 ( x) g1 ( x, y1 , y2 ,
C
D 2 y2 ( x) g 2 ( x, y1 , y2 ,
, yn )
, yn )
(2.16)
C
D n yn ( x) g1 ( x, y1 , y2 ,
ifadesi ile verilebilir. Burada
, yn )
C
Di her yi fonksiyonunun Caputo anlamında i
mertebeli kesirli türevidir ve 0 i 1 dir [12]. Örneğin,
C
D0,7 y1 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0
C
D0.7 y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0
(2.17)
ve
C
D1 y1 ( x)
F13
F
F
y3 ( x) g ( x) 31 y1 ( x) 21 y1 ( x)
V3
V1
V1
C
D 2 y2 ( x )
F21
F
y1 ( x) 32 y2 ( x)
V1
V2
C
D3 y3 ( x)
F31
F
F
y1 ( x) 32 y2 ( x) 13 y3 ( x)
V1
V2
V3
sistemleri kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemleridir.
(2.18)
18
2.3.8. Kesir mertebeli diferensiyel denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri
Fiziksel süreçlerin matematiksel modellenmesinde kesir mertebeli sistemler sıklıkla
karĢımıza çıkmaktadır. Bu tür süreçlerin matematiksel modellerine olan ilgi son
yıllarda daha da artıĢ göstermiĢ ve çok çeĢitli alanlarda örneğin fizik, kimya,
mühendislik ve biyoloji gibi alanlarda uygulamalarına literatürde geniĢ olarak yer
verilmiĢtir.
Bu tip sistemleri analitik olarak çözmek zordur. Bu yüzden sayısal teknikler
geliĢtirilmiĢtir. ġimdiye kadar olan çalıĢmaların çoğu kesir mertebeli lineer veya
lineer olmayan diferensiyel denklemler üzerinedir. Çok az sayıda çalıĢma sistemler
üzerine yapılmıĢtır, bunlardan bazıları S. Momani’ nin kullandığı Adomian Ayırma
metodu [22] ve V.S. Ertürk’ ün kullandığı Diferensiyel DönüĢüm metodu [12] ile
yapılan çözüm teknikleridir.
Bu çalıĢmada Hermite Colocation metodu ile kesir mertebeli sistemlere çözüm
aranmıĢ ve yöntem beĢinci bölümde tanımlanmıĢtır. Adı geçen yöntem kesilmiĢ
Hermite serisi formundaki yarı analitik çözümlerdir ve teknik matrislere
dayanmaktadır.
19
3. KESĠRLĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN
ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION (SIRALAMA) METODU
Bu bölümde kesirli mertebeden lineer diferensiyel denklemlerin, verilen baĢlangıç
koĢulları altındaki yaklaĢık çözümlerini elde etmek için [1, 2, 15]’ den faydalanılarak
yeni bir metot geliĢtirilmiĢtir. Hermite Collocation (Sıralama) Metot (HCM) adı
verilen bu metot da Hermite polinomları ve kuvvet fonksiyonunun Caputo kesirli
türevi kullanılarak, sıralama noktaları için kesirli mertebeden diferensiyel denklemler
matris denklemlere dönüĢtürülmektedir. Matrislerde cebir iĢlemleri kolay olduğu için
uygulanan metodun herhangi bir zorluğu yoktur. Üstelik bilgisayarlardan
faydalanarak hazır paket programlarına gerekli kodlar girilerek hesaplamalar kolayca
yapılabilmektedir. Böylece Hermite Collocation Metodu’nun kesirli diferensiyel
denklemlerin analitik veya yaklaĢık çözümlerini elde etmek için kullanılabilecek
alternatif ve etkili bir metot olduğu söylenebilir. Bu bölümün ilk kısmında metodun
oluĢumu, ikinci kısmında kullanılan metot ile bulunan çözümlerin hata hesaplarının
nasıl yapılacağından bahsedilmiĢ ve son kısımda ise yöntemin uygulaması örneklerle
desteklenmiĢtir.
3.1. Temel Matris Bağıntıları
⟦
Burada
⟧
ϵ Nₒ ve a x b olmak üzere sabit veya değiĢken
katsayılı kesirli mertebeden lineer
m
P ( x)
k 0
k
C
D k y ( x) g ( x)
(3.1)
diferensiyel denkleminin,
t 1
[ a
k 0
c
jk
D k y (a) b jk c D k y (b)] j ,
koĢulları altında
j 0,1,2,..., t 1
(3.2)
20
N
y ( x) an H n ( x )
(3.3)
n 0
kesilmiĢ (sonlu) Hermite serisi formunda bir yaklaĢık çözümünün var olduğu kabul
edilmektedir. Burada N seçilen keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki
kabul
edilmiĢtir.
Bu durumda EĢ. 3.3’ü aĢağıdaki
[ y( x)] H ( x ) A
(3.4)
matris formuna dönüĢtürebiliriz; burada H ( x ) ve A matrisleri
H ( x ) [ H 0 ( x ) H1 ( x ) ... H N ( x )]
A [ a0 a1 ... aN ]T
olarak tanımlanır. Böylece EĢ. 3.3 ifadesinin matris formu
xi a (
ba
)i , i 0,1, 2,..., N , x0 a, xN b
N
collocation (sıralama) noktalarında
[ y( xi )] H ( xi ) A
i 0,1, 2,..., N
haline gelir. EĢ. 2.7’ de verilen hermite polinomlarının
( )
∑⟦
⁄ ⟧
(
(
)
)
(
)
, x , n 0,1, 2,...
21
özelliği kullanılarak Hermite polinomları N’ in tek ve çift değerlerine göre x yerine
x yazılarak aĢağıdaki gibi matris formuna dönüĢtürülebilmektedir [1].
N tek ise
20
0
0
21
H 0 ( x )
H
(
x
)
N-5
0
1
(
) 2 (N-1)!
(-1) 2
0
0! ( N-1 )!
H N 1 ( x )
2
N-1
1
(
) 2
N!
H N ( x )
0
(-1) 2
N-1
1!
(
)!
2
0
0
2 N-1
0
0
0
1
x
0
x ( N 1)
N
x
2N
(3.5)
N=çift ise
H0 (x )
H1 ( x )
H N 1 ( x )
H N ( x )
⏟
20
0
0
21
N-2
1
(
) 2 (N-1)!
2
0
(-1)
1! ( N-2 )!
2
N-4
0
(
) 2
N!
0
(-1) 2
N
0! ( )!
2
⏟
H T ( x )
F
0
0
2 N-1
0
0
0 1
x
0
( N 1)
x
N
x
⏟
2N
(3.6)
X T ( x )
Yukarıdaki matris formu kısaca
H T ( x ) F X T ( x )
ya da
H ( x ) X ( x ) F T
Ģeklinde ifade edilir. Burada
(3.7)
22
X ( x ) ( x c)0 ( x c)1
( x c)( N 1) ( x c) N
olarak yazılabilir ve c sayısı verilen aralık içinde herhangi bir keyfi değer olabilir.
Elde ettiğimiz EĢ. 3.7 ifadesini EĢ. 3.4 denkleminde yerine yazarsak
y( x) X ( x ) F T A
(3.8)
olur. ġimdi ise EĢ. 3.8 denkleminin her iki yanının da k . Caputo kesirli türevini
alırsak
C
Dk y( x) C Dk X ( x ) F T A
(3.9)
bulunur, fakat iĢleme devam etmek için
C
Dk X ( x ) C Dk ( x c)0
C
C
Dk X ( x ) hesaplanmalıdır, bunun için
Dk ( x c)1
C
D k ( x c)( N 1) C D k ( x c) N
belirlenmelidir. EĢ. 2.9 denkleminden yararlanarak önce k 1 için aĢağıdaki matris
formunu yazalım.
C D ( x c ) 0
C
1
D ( x c)
C D ( x c)2
C
( N 1)
D ( x c)
C D ( x c ) N
⏟
C
0
0
0
( +1) 0
0
(2 +1)
0
0
( +1)
0
0
0
⏟
D X T ( x )
Kısaca yukarıdaki matris eĢitliği
B
0
0
0
0
0
0
0
(N +1)
((N-1) +1)
0 ( x c)0
1
0
( x c)
2
0
( x c)
( N 1)
(
x
c
)
( x c) N
0 ⏟
X ( x )
23
C
D X ( x ) X ( x ) BT
Ģeklinde ifade edilir. Buradan k mertebeden Caputo kesirli türevlere geçilirse
teorem 2.1 kullanılarak
C
D C D X ( x ) C D X ( x ) B T
X ( x ) BT
C
C
D 2 X ( x ) X ( x )( BT ) 2
Dk X ( x ) X ( x )( BT )k
(3.10)
eĢitlik elde edilir. Böylece EĢ. 3.10 ifadesi EĢ. 3.9 ifadesinde yerine yazılırsa
C
Dk y( x) X ( x )( BT )k F T A
(3.11)
bulunur.
Sıralama (collocation) noktaları olan x xi ,
için EĢ. 3.1 diferensiyel
denklemi
m
P (x )
k 0
k
i
C
D k y ( xi ) g ( xi ) , i 0,1, 2,..., N
Ģeklinde düzenlenir. Burada
Pk ( x0 ) 0
0
Pk ( x1 )
0
0
⏟
0
Pk ( xN )
0
C D k y ( x0 )
C k
D y ( x1 )
C
k
D
y
(
x
)
N
⏟
g ( x0 )
g(x )
1
g
(
x
)
N
⏟
(3.12)
24
Y k
Pk
G
yazılabileceğinden EĢ. 3.12 ifadesi
m
P Y G
k
k 0
(3.13)
k
matris sistemine dönüĢtürülmüĢ olur. ġimdi ise Y k matrisini elde etmek için EĢ.
3.11 denkleminde x xi yazarsak
C
Dk y( xi ) X ( xi )( BT )k F T A
(3.14)
olur ve bu ifadeyi yine matris sistemine dönüĢtürmek istersek
C D k y ( x0 )
C k
D y ( x1 )
C
k
D
y
(
x
)
N
⏟
Y k
X ( x0 )
X ( x1 ) ( BT )k F T A
X ( xN )
⏟
X
haline gelir. Buradaki “ X ” matrisi
X ( x0 )
X ( x1 )
X =
X ( xN )
1 ( x0 c)1
1
1 ( x1 c)
1
1 ( xN c)
( x0 c)( N 1) ( x0 c) N
( x1 c)( N 1) ( x1 c) N
( xN c) ( N 1) ( xN c) N
Ģeklinde yazılır. Bu durumda EĢ. 3.14’ ün matris formu
Y k X ( BT )k F T A
(3.15)
25
olarak tanımlanır.
Böylece EĢ. 3.15 ifadesini EĢ. 3.13 ifadesinde yerine yazabiliriz. Sonuç olarak
m
P X (B
k 0
k
) FT A G
T k
(3.16)
temel matris denklemi elde edilir ve
W [ wpq ]
m
P X (B
k 0
T k
k
) FT
p, q 0,1, 2,..., N
olarak isimlendirilirse EĢ. 3.16 denklemi kısaca
W A G
(3.17)
Ģeklinde yazılabilir ve burada sistem (N+1) satır (N+1) sütundan oluĢan bir cebirsel
sisteme dönüĢtürülebilir. EĢ. 3.17 denkleminin artırılmıĢ matrisi aĢağıdaki gibidir;
w00
w
10
[W ; G ]
w( N 1)0
wN 0
w01
w11
w( N 1)1
wN 1
w0 N
w1N
w( N 1) N
wNN
; g ( x0 )
; g ( x1 )
;
; g ( xN 1 )
; g ( xN ) ( N 1)( N 1)
ġimdi ise koĢul denkleminin artırılmıĢ matrisini elde edelim, bunun için
C
D j y (a) j , j= 0,1,2,...,t-1
EĢ. 3.2 koĢul denkleminde EĢ. 3.14 denklemini kullanarak
(3.18)
26
X (a)( BT ) j F T A j
(3.19)
bulunabilir. Ayrıca
U j X (a)( BT ) j F T [u j 0
u j1 u j 2
u jN ]
için EĢ. 3.19 matris formu
U j A j [U j ; j ], j 0,1,2,..., t 1
haline dönüĢür. O halde koĢullar için artırılmıĢ matrisimiz
u01
u00
u
u11
10
[U j ; j ] =
u(t 1)1 u(t 1)2
u0 N
u1N
u(t 1) N
; 0
; 1
;
; t 1
olarak tanımlanır. EĢ 3.18 matris formunun son m satırı silinerek koĢullar için
artırılmıĢ matrisimiz silinen satırlarda yerine yazılırsa
w01
w00
w
w11
10
w( N t 1)0 w( N t 1)1
w( N t )1
[W ; G ] = w( N t )0
u01
u00
u
u11
10
u(t 1)1
u(t 1)0
matrisi oluĢur. Bu artırılmıĢ matris
w0 N
w1N
w( N t 1) N
w( N t ) N
u0 N
u1N
u(t 1) N
;
g ( x0 )
;
g ( x1 )
;
; g ( xN t 1 )
; g ( xN t )
;
0
;
1
;
;
t 1
27
W AG
(3.20)
Ģeklinde kısaca gösterilebilir.
Teorem 3.1.
Eğer rank W rank [W ; G] N 1 ise yani
det(W ) 0 ise EĢ. 3.20 matris
denkleminin çözümü
A (W )1 G
(3.21)
olur. Bu teoremin ispatı cebirden de bilindiği gibi gayet açıktır. Bu sayede EĢ. 3.21
denkleminden, bilinmeyen A [a0
a1
aN ]T
sütun matrisi verilen Ģartlar
altında kolayca bulunabilir. Böylece verilen koĢullara göre EĢ. 3.1 diferensiyel
denklemi tek çözüme sahip olur ve bu çözüm,
[ y( x)] H ( x ) A
ya da
N
y ( x) an H n ( x )
(3.22)
n 0
Ģeklinde Hermite serisel çözümüdür.
3.2. Çözümün Kontrolü ve Hata Hesabı
Elde edilen EĢ. 3.22 denklemindeki kesilmiĢ Hermite serileri, EĢ. 3.1 denkleminin
yaklaĢık çözümü olduğundan, bulunan sonuç fonksiyonu y( x) , EĢ. 3.1 denkleminde
yerine yazıldığında denklemi yaklaĢık olarak sağlamalıdır. Bu durumda her x xi
28
( a x b ) , i 0,1,..., N için
m
E ( xi ) Pk ( xi ) C D k y ( xi ) g ( xi ) 0
k 0
veya
E ( xi ) 10 ki ( ki herhangi bir pozitif tamsayı)
olmalıdır. Eğer maksimum ( 10 ki ) = 10 k (k herhangi bir pozitif tamsayı) önceden
belirlenirse, o zaman N kesme sınırı
xi nokralarının her birindeki E ( xi ) değeri
alınan 10 k ’dan daha küçük oluncaya kadar arttırılır.
Diğer yandan hata fonksiyonun grafiği
m
E ( x) Pk ( x) C D k y ( x) g ( x)
k 0
fonksiyonu ile elde edilir. Eğer bu fonksiyonun grafiği N kesme sınırı artarken x
eksenine yaklaĢıyorsa çözümün hatası asimtotik olarak sıfıra yaklaĢıyor demektir.
Ayrıca hata hesabının bir diğer yolu ise HCM yöntemi kullanılarak bulunan çözüm
ile tam çözüm arasındaki farkın mutlak değerinin, verilen aralıktaki keyfi değerler
için hesaplanmasıdır. Yani mutlak hata hesabı yapılabilir. Hatanın sıfıra yakınlığı
yöntemin iyi çalıĢtığını gösterir.
3.3. Uygulamalar
Bu bölümde, “Hermite Collocation” metodunun kullanılabilirliğini göstermek için
aĢağıdaki kesirli mertebeden değiĢken katsayılı lineer diferensiyel denklem örnekleri
incelenmiĢtir. Örneklerdeki denklemler için matlab v7.5 ile gereken programlar
oluĢturulmuĢ, bu programlar kullanılarak yeterince farklı N değeri için tam çözüme
yaklaĢılmaya çalıĢılmıĢtır. Elde edilen sonuçların karĢılaĢtırılması ayrıca grafiklerle
29
gösterilmiĢtir. Bulunan yaklaĢık çözümler ile eğer varsa tam çözüm arasındaki
farklar hata hesabı yapılarak tablolarla verilmiĢtir.
Örnek 3.1.
Ġlk olarak
D2 y( x) D3/ 2 y( x) y( x) x 1
(3.23)
Bagley-Torvik denklemini [8], N 2 alarak
2
y ( x) an H n ( x )
(3.24)
n 0
sonlu Hermite serisi biçiminde çözümünü araĢtıralım.
Burada
m 4,
1/ 2
alınarak
P0 ( x) P3 ( x) P4 ( x) 1,
g ( x) x 1 ve N 2 için sıralama noktaları
P1 ( x) P2 ( x) 0 ,
x0 0, x1 1/ 2, x2 1 olduğuna
göre, temel matris denklemi EĢ. 3.16 ifadesinden
P X
0
P3 X ( BT )3 P4 X ( BT )4 F T A G
olur ve burada hesaplanan
1 0 2
1 0 0
0 0 0
T
P0 P3 P4 0 1 0 , P1 P2 0 0 0 , F 0 2 0 ,
0 0 4
0 0 1
0 0 0
(3.25)
30
x00
0
0 148/167
BT 0
0
167 /148 , X x10
x20
0
0
0
x01/ 2
x11/ 2
x1/2 2
x01 1
0
0
1
x1 1 985/1393 1/ 2
x12 1
1
1
g ( x0 ) 1
G g ( x1 ) 3/ 2
g ( x2 ) 2
matrisleri EĢ. 3.25 ifadesinde yerine yazılırsa
1 0 2 ; 1
W A G [W ; G ]= 1 1,4 0 ; 1,5
1 2 2 ; 2
artırılmıĢ matrisi elde edilir. det(W ) 0 olduğundan,
a0 1,5
A a1 0
a2 0,25
katsayıları bulunur. Böylece bu katsayılar EĢ. 3.24 denkleminde yerine yazılarak
EĢ. 3.23 probleminin Hermite polinomları cinsinden çözümü
y( x) a0 H 0 ( x ) a1H1 ( x ) a2 H 2 ( x )
3
1
y( x) (1) (4 x 2 2)
2
4
olur ve 1/ 2 değeri çözümde yazılırsa
y ( x) x 1
31
elde edilir. Bu sonuç EĢ. 3.23 ile verilen kesirli diferensiyel denkleminin tam
çözümüdür.
Örnek 3.2.
0 x 1 , (0,1) , 0 ve g fonksiyonu [0,1] üzerinde tanımlı fonksiyon olmak
üzere
D y( x) y( x) g ( x)
(3.26)
kesirli diferensiyel denkleminin 1 ve g ( x) x 2
2 x 2
için y(0) 0
(3 )
baĢlangıç koĢulu altında analitik çözümünün y( x) x 2 olduğu [7] belirtilmiĢtir.
Bu problemde, EĢ. 3.26 denklemine
P2 ( x) 0 P0 ( x) P1 ( x) 1 g ( x) x 2
1
, N 4 ve
2
için HCM uygulanırsa
2 x1,5
bulunur ve EĢ. 3.26 ifadesinin temel
(2,5)
matris bağıntısı EĢ. 3.16 kullanılarak
P X
0
1/ 2
P1 X 1/ 2 BT P2 X
1/ 2
( BT ) 2 F T A G
(3.27)
olarak yazılmaktadır. Sıralama noktaları x0 1, x1 1/ 4, x2 2/ 4, x3 3/ 4, x4 1 için
EĢ. 3.27 denkleminde kullanılan matrisler
1
0
P0 P1 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0 0
0 0
0
0 , P2 0 0
0
0 0
0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
1 0 2 0
0
0 2 0 12 0
0
T
F
0 0 4
0 48
0
8
0
0
0 0 0
0 0 0
0
16
0
32
0
0
0
0 0,8862
g ( x0 ) 0
0
g ( x ) 0, 2506
0
1,1284
0
0
1
BT 0
0
0
1,3293
0 , G g ( x2 ) 0,7819
0
0
0
1,5045
0
g ( x3 ) 1,5397
0
g ( x4 ) 0
0
0
0
0
X 1/ 2
x00
0
x1
x20
0
x3
x0
4
x01/ 2
x11/ 2
x1/2 2
x31/ 2
x1/4 2
x01
x11
x12
x31
x14
x3 / 2
x13 / 2
x23 / 2
x33 / 2
x43 / 2
x02
x12
x22
x32
x42
1
0
0
0
0
1
0,5
0, 25 0,125 0,0625
1 0,7071 0,5 0,3536 0, 25
1 0,866 0,75 0,6495 0,5625
1
1
1
1
1
Ģeklinde bulunmaktadır. Bu matrisleri kullanarak EĢ. 3.27 hesaplandığında
[W ; G ]
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,7725
2,7725
3,1867
3,5045
3,7725
- 2,0000 -10,6347 12,0000 ; 0
1,2568 -12,9760 - 23,0721 ; 0,2506
3,1915 -10,9742 - 37,7877 ; 0,7819
4, 9088 - 7,8548 - 46,2706 ; 1,5397
6,5135 - 4,0000 - 50,0901 ; 0
(3.28)
olarak bulunur.
KoĢul matrisi
için EĢ. 3.19 kullanılarak
y ( x0 ) X ( x0 ) F T A 0
y (0) 1 0 0 0 0 F T A 0
U 0 ; 0 1
0
-2
0 12 ; 0
(3.29)
elde edilir. EĢ. 3.28 matrisinin son satırı silinerek EĢ. 3.29 koĢul matrisi yazılırsa EĢ.
3.26 denkleminin artırılmıĢ matrisi
33
W A = G [W ; G ]
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1
1,7725
2,7725
3,1867
3,5045
0
olarak elde edilir, det(W ) 0 , böylece
[
- 2,0000 -10,6347 12,0000 ; 0
1,2568 -12,9760 - 23,0721 ; 0,2506
3,1915 -10,9742 - 37,7877 ; 0,7819
4,9088 - 7,8548 - 46,2706 ; 1,5397
-2
0
12
; 0
için katsayı matrisi
]
bulunur. Bu katsayı matrisinin elemanları EĢ. 3.22 denkleminde yerine yazılırsa
( )
( ⁄ )
( ⁄ )
yaklaĢık çözümü bulunur.
ġekil 3.1. Örnek 3.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile yaklaĢık çözümün
karĢılaĢtırılması
34
4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN
ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU
Bu bölümde, daha önceki bölümde kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerde
kullandığımız Hermite sıralama yöntemi
m
k
p ( x) y
n 0 j 1
n
ij
(n)
j
( x) gi ( x),
i 1,..., k , a x b
(4.1)
Ģeklinde tanımlanan yüksek mertebeden değiĢken katsayılı sistemlerin
m 1
a
n0
j
in
y (jn ) (a) binj y (jn ) (b) ji ,
i 0,..., m 1 , j 1,..., k
(4.2)
aĢağıda verilen koĢullar altında
N
y j ( x) a js H s ( x) ,
j 1,..., k
(4.3)
s 0
sonlu Hermite serisi formunda yaklaĢık çözümleri için geliĢtirilmiĢ ve uygulanmıĢtır.
Yöntem sıralama noktaları ile sistemin bir matris denklemine dönüĢtürülmesine
dayanır. Bu matris denklemi bilinmeyen Hermite katsayılarını içeren cebirsel sisteme
karĢılık gelir. Böylece cebirsel sistemin çözdürülmesiyle elde edilen Hermite
katsayıları kullanılarak, verilen diferensiyel denklem sisteminin sonlu Hermite seri
formunda yaklaĢık çözümü bulunmuĢ olur. . Burada y (0)
j ( x) y j ( x) bilinmeyen ve
( )
( ),
aralığında tanımlı fonksiyonlardır. Ayrıca, ainj , binj ve ji
uygun sabitler ve N seçilen keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki burada N m
kabul edilmiĢtir.
35
4.1. Temel Matris Bağıntıları
EĢ. 4.1 sisteminin temel matris bağıntısını elde etmek için ilk olarak EĢ. 4.3
denkleminin matris bağıntısını elde etmeliyiz, bunun için
[ y j ( x)] H ( x) Aj , j 1,..., k
(4.4)
Aj [ a j0 a j1 ... a jN ]T , H ( x) H 0 ( x) H1 ( x)
olarak yazalım. Burada
H N ( x)
Ģeklindedir. Üçüncü bölümdeki EĢ. 5.6 ve EĢ. 5.7 matris bağıntıları bu bölümde de
geçerlidir ancak
olarak alınmıĢtır, yani
H T ( x) F X T ( x) H ( x) X ( x) F T
(4.5)
biçiminde ifade edilebilir. Burada
X ( x) 1 x x 2
x N
Ģeklindedir. Bu durumda EĢ. 4.5 ifadesini, EĢ 4.4 ifadesinde yerine yazarsak
y j ( x) X ( x) F T Aj , j 1, 2,..., k
(4.6)
olur. EĢ. 4.6 aranan fonksiyonların sıfırıncı mertebeden matris gösterimleridir ancak
bu fonksiyonların i. mertebeden matris formları da bulunmalıdır. Bunun için gerekli
adımlar aĢağıda verilmiĢtir.
Öncelikle X ( x) ile
( )
( ) arasındaki iliĢkiyi açıklayalım ve X ( n ) ( x) türevinin
matris formu elde edilmelidir; X ( n ) ( x) matrisi
X ( n ) ( x) ( x0 )( n) ( x1 )( n)
( x N 1 )( n) ( x N )( n)
(4.7)
36
olarak tanımlanır.
n 1 için;
X (1) ( x) ( x0 )(1) ( x1 )(1)
( x N 1 )(1) ( x N )(1)
elde edilir ve
( x 0 )(1)
1 (1)
(x )
( x 2 )(1)
N 1 (1)
(x )
( x N ) (1)
⏟
(X
(1)
( x ))
0
1
0
0
0
⏟
0 0
0 0
2 0
0
0
0
0
T
0 0
0 0
0 0
( N 1) 0 0
0
N 0
0
0
0
B
x0
1
x
x2
N 1
x
xN
⏟
( X ( x))T
matris formunda yazılabilir [2]. Böylece birinci mertebeden türev:
( X (1) ( x))T = B ( X ( x))T
(4.8)
Ģeklinde ifade edilir. Buradan
X (1) ( x) X ( x) BT
X (2) ( x) X (1) ( x) BT
X ( x ) BT BT
X ( x)( BT ) 2
X ( n ) ( x) X ( x)( BT )n
(4.9)
bulunur. O halde EĢ. 4.6 ifadesindeki matris formunun n. mertebeden türevi alırsak;
37
y (jn ) ( x) X ( n ) ( x) F T Aj
(4.10)
olur, EĢ. 4.9 ifadesini EĢ. 4.10 denkleminde yerine yazarsak
y (jn ) ( x) X ( x)( BT )n F T Aj , n 0,..., m , j 1,..., k
(4.11)
bulunur. Burada ( BT )0 ( N 1)( N 1) boyutunda birim matristir. j 1,..., k için
EĢ. 4.11 denkleminin matris formu
Y ( n ) ( x) X ( x) B n F A,
n 0,..., m
(4.12)
Ģeklinde elde edilir ve bu matrisler aĢağıdaki gibi tanımlanır.
y1( n ) ( x)
X ( x) 0
(n)
0
X ( x)
y ( x)
Y ( n ) ( x) 2
X
(
x
)
,
(n)
0
yk ( x)
0
FT
0
F
0
0
FT
0
BT
0
0
0
, B
X ( x)
0
0
B
T
0
0
0
BT
A1
0
A
2
0
, A
Ak
F T
ġimdi sıralama noktaları
xs a (
ba
) s , s 0,1, 2,..., N , x0 a, xN b
N
EĢ. 4.12 denkleminde yazılırsa,
Y ( n ) ( xs ) X ( xs ) B n F A,
n 0,..., m ,
(4.13)
38
bulunur. Böylece
Y ( n ) ( x0 ) X ( x0 ) B n F A
Y ( n ) ( x1 ) X ( x1 ) B n F A
Y ( n ) ( xN ) X ( xN ) B n F A
olur, EĢ. 4.3 için matris bağıntısı ise son olarak
Y ( n ) X ( B )n F A,
(4.14)
ile elde edilir ve burada bahsedilen X matrisinin açık hali aĢağıdaki gibidir,
( )
[
]
0
X ( xs ) 0
0 X (x )
0
s
X ( xs )
0
X ( xs )
0
X ( x0 )
X ( x1 )
X
X ( xN )
Ġkinci olarak EĢ. 4.1 sisteminin matris formunu elde etmek için aĢağıdaki gibi sistem
tanımlayabiliriz.
m
P
n
( x) Y ( n ) ( x) G ( x)
(4.15)
n0
Burada
( )
( )
( ) ve ( ) matrisleri
p11n ( x) p12n ( x)
n
n
p ( x) p22
( x)
n
P ( x) 21
pkn1 ( x) pkn2 ( x)
p1nk ( x)
p2nk ( x)
,
pkkn ( x)
y1( n ) ( x)
g1 ( x)
(n)
g ( x)
y2 ( x )
(n)
G ( x) 2
Y ( x)
,
g k ( x)
yk ( n ) ( x)
39
Ģeklindedir. EĢ. 4.13 ifadesinde tanımlanan sıralama noktaları EĢ. 4.15 sisteminde
yerine yazılırsa
m
P
n
n0
( xs ) Y ( n ) ( xs ) G( xs )
(4.16)
elde edilir. Bunu da kısaca
m
P
n
Y (n) G
(4.17)
n0
Ģeklinde gösterebiliriz. Burada
P n ( x0 ) 0
0
0 P n ( x1 )
0
P n
0
0
P n ( xN )
( )
ve
matrisleri aĢağıdaki gibi tanımlanır.
Y ( n ) ( x0 )
G ( x0 )
(n)
, Y ( n ) Y ( x1 ) , G G ( x1 )
G ( xN )
Y ( n ) ( xN )
Böylece EĢ. 4.14 ifadesini, EĢ. 4.17 denkleminde yerine yazılırsa, EĢ. 4.1 sisteminin
matris formunun son hali
m
P
n
X ( B )n F A G
(4.18)
n 0
m
olur. W P n X ( B )n F A olmak üzere EĢ. 4.18 ifadesi
n0
WA G veya W ; G A
(4.19)
artırılmıĢ matrisi olarak yazılır. KoĢulların matris formlarına geçmeden önce son
olarak Pn , X , B, F , A, G matrislerinin boyutlarını hatırlatalım,
40
Pi k ( N 1) k ( N 1)
X k ( N 1) k ( N 1)
B k ( N 1) k ( N 1)
F k ( N 1) k ( N 1)
A k ( N 1) 1
G k ( N 1) 1
m
buna göre W P n X ( B )n F A [wp , q ]k ( N 1)k ( N 1) boyutludur.
n 0
ġimdi ise sistemimize ait EĢ. 4.2 koĢul denkleminin matris bağıntısını elde edelim.
m 1
a
n0
j
in
y (jn ) (a) binj y (jn ) (b) ji ,
i 0,..., m 1 , j 1,..., k
ifadesini j 1,..., k için açalım
m 1
a
y1( n ) (a ) bin1 y1( n ) (b) 1i
m 1
a
y2( n ) (a ) bin2 y2( n ) (b) 2i
m 1
yk( n ) (a ) bink yk( n ) (b) ki
n0
n0
1
in
2
in
a
n0
k
in
(4.20)
olur ve i 0,..., m 1 için EĢ. 4.20 ifadesinin ilk toplamını açarsak y1 çözümü için
m-tane koĢul gelir,
1
a00
y1(0) (a )
1
b00
y1(0) (b)
10
1
a10
y1(0) (a)
b101 y1(0) (b)
11
a(1m 1)0 y1(0) (a) b(1m 1)0 y1(0) (b)
1( m 1)
41
Benzer Ģekilde son toplam ifadesini açarsak yk çözümü için de aĢağıdaki gibi
m- tane koĢul gelir,
1
a00
yk(0) (a)
1
b00
yk(0) (b)
k 0
1
a10
yk(0) (a)
b101 yk(0) (b)
k1
a(1m 1)0 yk(0) (a) b(1m 1)0 yk(0) (b)
k ( m 1)
Böylece, j 1,2,..., k ve n 0,..., m 1 için
a0jn
j
a1n
j
an ,
a(jm 1) n
m1
b0jn
j
b1n
j
bn ,
b(jm 1) n
m1
j 0
j1
j
j ( m 1) m1
(4.21)
ifadeleri doğrultusunda koĢul denkleminin matris formunu
m 1
a Y
n0
n
(n)
(a) bn Y ( n ) (b)
Ģeklinde yazabiliriz. Burada
a1n
0
an
0
0
an2
0
bn1
0
0
0
, bn
0
ank km k
(4.22)
ve
0
bn2
0
matrisleri
0
1
0
, 2
bnk km k
k km1
Ģeklindedir. Buradan EĢ. 4.12 ifadesi, EĢ. 4.22 denkleminde yerine yazılırsa
42
m 1
a
n0
n
X (a) B n F A bn X (b) B n F A
(4.23)
elde edilir ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
m 1
a
n 0
n
X (a) B n bn X (b) B n FA
(4.24)
m 1
elde edilir. U an X (a) B n bn X (b) B n F olmak üzere EĢ. 4.24 denkleminin
n0
matris gösterimi ise
UA veya U ; A
(4.25)
olarak yazılabilir. Daha sonra EĢ. 4.19 matrisinin koĢul sayısı kadar satırı silinip
onun yerine EĢ. 4.25 matrisi yazılarak aĢağıdaki [W;G] artırılmıĢ matrisi elde edilir,
w1,1
w
2,1
wk ,1
wk 1,1
w
W ; G k ( N m 1),1
u1,1
u
2,1
uk ,1
uk 1,1
u
mk ,1
w1,2
w2,1
w1, k ( N 1)
w2, k ( N 1)
wk ,2
wk 1,2
wk , k ( N 1)
wk 1, k ( N 1)
wk ( N m 1),2
u1,2
u2,2
wk ( N m 1), k ( N 1)
u1, k ( N 1)
u2, k ( N 1)
uk ,2
uk 1,2
uk , k ( N 1)
uk 1, k ( N 1)
umk ,2
umk , k ( N 1)
;
g1 ( x0 )
; g 2 ( x0 )
;
; g k ( x0 )
;
g1 ( x1 )
;
; g k ( xN m )
;
1,0
;
1,1
;
;
1, m 1
;
2,0
;
;
k , m 1
k ( N 1) xk ( N 1)
(4.26)
43
Teorem 3.1 den, det(W) 0 ise EĢ. 4.26 matris denkleminin çözümü
A (W )1 G
(4.27)
ifadesinden bulunur. Bu sayede EĢ. 4.27 denkleminden bilinmeyen Hermite
katsayılarının oluĢturduğu sütun matrisi Aj [ a j0 a j1 ... a jN ]T elde edilmiĢ olur. O
halde verilen koĢullara göre EĢ. 4.1 diferensiyel denklem sistemi tek çözüme sahiptir
ve bu çözüm,
[ y j ( x)] H ( x) Aj , j 1,..., k
N
ya da
y j ( x) a js H s ( x) ,
j 1,..., k
s 0
Ģeklindedir.
4.2. Çözümün Kontrolü ve Hata Hesabı
y j ( x) ve ̅ ( ) (
) EĢ. 4.1 sisteminin sırasıyla gerçek ve yaklaĢık
çözümleri olsun. YaklaĢık çözümler HCM çözümleri olup EĢ. 4.27 ifadesinden elde
edilen çözümlerdir. Bu çözümler EĢ. 4.1 denkleminde yerine yazıldığında yaklaĢık
olarak denklemi sağlamalıdır. Bu durumda her x xc ( a xc b ) ,
c 0,1,... için
( )
|∑ ∑
( )̅
( )
( )
( )|
veya
E j ( xc ) 10 kc ( kc herhangi bir pozitif tamsayı)
44
olmalıdır. Eğer maksimum ( 10 kc ) = 10 k (k herhangi bir pozitif tamsayı) önceden
belirlenirse, bu durumda N kesme sınırı E j ( xc ) değerlerinin 10 k dan daha küçük
kalmasıyla belirlenir. Ayrıca bu bölümde de mutlak hata hesabı kullanılabilir.
4.3. Uygulamalar
Örnek 4.1.
y ( x) xy ( x) 2 xy ( x) 2 x3 2 x 2 46 x 2
1
2
1
y2 ( x) 2 xy1 ( x) y2 ( x) 5 x 2 1
(4.28)
değiĢken katsayılı lineer diferensiyel denklem sisteminin 0 x 1 için
( )
( )
( )
,
( )
,
,
koĢulları
altındaki
gerçek
,
çözümleri
y1 ( x) x 2 3, y2 ( x) x 2 1 olarak [27] verilmiĢtir. Bu problemin çözümünü
N 2 için Hermite Collocation metodunu uygulayarak bulalım. Aranan y j ( x)
yaklaĢık çözümleri Hermite polinomları cinsinden
2
y j ( x) a js H s ( x) ,
j 1,2
(4.29)
s 0
Ģeklindedir. Burada k 2, m 2, g1 ( x) 2 x3 2 x 2 6 x 2, g2 ( x) 5 x 2 1
olduğu açıktır.
2
Sistemimiz;
2
p ( x) y
n 0 j 1
n
ij
(n)
j
( x) gi ( x),
i 1,2 için
0
1
2
0
1
2
p11
( x) 2 x, p11
( x) 0, p11
( x) 1, p12
( x) 0, p12
( x) x, p12
( x) 0 ,
0
2
0
2
p21
( x) 0, p121 ( x) 2 x, p21
( x) 0 , p22
( x) 1, p122 ( x) 0, p22
( x) 1 olmaktadır.
N 2 için sıralama noktalarımız x0 0, x1 1/ 2, x2 1 . ġimdi ise EĢ. 4.18
denklemini kullanarak EĢ. 4.28 sisteminin matris formunu yazalım;
45
2
P
n
X ( B )n F A G , yani
n 0
P X P XB P X (B) F A G
0
1
2
2
(4.30)
elde edilir. Burada
2 x 0
0 x
1 0
P 0 ( x)
, P1 ( x)
, P 2 ( x)
,
0 1
2 x 0
0 1
P 0 (0) 0
0
0
0
P 0 P (1/ 2) 0
0
0 P 0 (1)
P1 (0) 0
0
1
1
, P 0 P (1/ 2) 0
0
0 P1 (1)
6 6
P 2 (0) 0
0
2
2
, P 0 P (1/ 2) 0
0
0 P 2 (1)
6 6
X (0) 1 0 013 , X (1/ 2) 1 1/ 2 1/ 413 , X (1) 1 1 113 ,
X (0)
0
0
X (0)
X (1/ 2)
X X (1/ 2) , X (0)
, X (1/ 2)
,
X (0) 26
X (1/ 2) 26
0
0
X (1)
66
X (1)
X (1)
0
BT
B
0
a10
a20
A1
0
, A , A1 a11 , A2 a21
X (1) 26
A2 61
a22 31
a12 31
0 1 0
T
0
0 0 2 , F F
T
B
,
BT 66
0
0 0 0 33
1 0 2
0
, F T 0 2 0 ,
T
F 66
0 0 4 33
6 6
46
G (0)
g1 (1/ 2)
g1 (1)
g1 (0)
G G (1/ 2) , G (0)
, G (1/ 2)
, G (1)
,
g 2 (1/ 2) 21
g 2 (1) 21
g 2 (0) 21
G (1) 61
Bu değerleri EĢ. 4.30 denkleminde yerine yazarsak temel matrisimiz
[W;G]=
0
0
1
0
2
0
0
0
1
-2
4
-4
8
0
7
-4
12
-16
0
1
0
1
0
1
0
0
-1
1
-2
2
0
6
-2
7
-8
10
;
;
;
;
;
;
2
-1
23/4
-9/4
12
-6
(4.31)
olarak elde edilir. Benzer Ģekilde sınır koĢullarının matris denklemi EĢ. 4.25
ifadesinden
a
1
n0
n
X (0) B n bn X (1) B n FA
U a0 X (0) b0 X (1) F a1 X (0) b1 X (1) BF UA
yazılır, burada
a1
a0 0
0
1
2
a0,0
a0,0
0
1
1
1
2
,
,
a
a
0
0
0 ,
1
2
a
0
a
a02 44
1,0 21
1,0 21
1
2
a1 0
a0,1
a0,1
0
0
1
2
,
,
a1 1
a
a
1
2 ,
1
1
2
0 a1 44
a1,1 21 0
a1,1 21 0
1
2
b01 0
b0,0
b0,0
0
0
1
2
b0
, b0 1 , b0 2 ,
2
0 b0 44
b1,0 21 1
b1,0 21 1
(4.32)
47
1
2
b1 0
b0,1
b0,1
0
0
1
2
,
,
b1 1
b
b
1
2 ,
1
1
2
0 b1 44
b1,1 21 0
b1,1 21 0
3
1
1 , 1 1,0 , 2 2,0
2 41
1,1 21 4
2,1 21 0
olmaktadır, bu değerleri EĢ. 4.32 ifadesinde yerine yazarsak [U ; ] artırılmıĢ matrisi
1
1
[U ; ]
0
0
0
2
0
0
-2
2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
2
0
0
-2
2
; 3
; 4
; 1
; 0
(4.33)
bulunur. EĢ. 4.32 matrisinin son dört satırı silinip onun yerine EĢ. 4.33 matrisi
yazılırsa
0
0
1
[W ; G ]
1
0
0
elde edilir.
0
0
0
2
0
0
8
0
-2
2
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
2
0
6
0
0
-2
2
;
;
;
;
;
;
2
-1
3
4
1
0
(4.44)
det(W) 0 olduğundan, A (W )1 G iĢleminden katsayı matrisi
A 7/2 ; 0 ; 1/4 ; 1/2 ; 0 ; -1/4
2
y j ( x) a js H s ( x) ,
T
bulunur. Bu katsayı matrisinin elemanlarını
j 1,2 , ifadesinde yerine yazılırsa aradığımız çözümler
s 0
y1 ( x) x 2 3
y2 ( x) x 2 1
olarak elde edilir, bu çözümler ise EĢ. 4.28 sisteminin tam çözümleridir [27].
48
Örnek 4.2.
y1 ( x) y2 ( x) y2 ( x) x e x
, 0 x 1
y1 ( x) 4 y2 ( x) y1 ( x) 1 2e x
(4.45)
Lineer diferensiyel denklem sistemini ele alalım. y1 (0) 1, y2 (0) 0, baĢlangıç
koĢulları için EĢ. 4.45 sisteminin gerçek çözümleri:
x
y1 ( x) e 3e
x
3
1 x 3 3x
3, y2 ( x) e e 1 x
2
2
Ģeklinde bulunmuĢtur [30]. Burada N 4 alınarak HCM ile yapılan sayısal
hesaplamalar daha önce uygulanan Chebyshev metodu [3], Bessel metodu [30] ile
karĢılaĢtırılmıĢtır. Sırasıyla sonuçlar Çizelge 5.2, Çizelge 5.3 ve Çizelge 5.4’ de
verilmiĢtir.
1
EĢ. 4.45 sistemi,
için kısaca
2
p ( x) y
n 0 j 1
n
ij
(n)
j
( x) gi ( x),
i 1,2
Ģeklinde yazılabilir. EĢ. 4.18 denkleminden EĢ 4.45 sisteminin temel matris bağıntısı
aĢağıdaki gibidir,
P X P XB F A G
0
1
(4.46)
EĢ. 4.46 için HCM metodundaki gerekli olan matrisler bir önceki örnekteki gibi
sıralama
noktaları
hesaplanmıĢtır.
x0 0, x1 1/ 4, x2 1/ 2, x3 3/ 4, x4 1
için
aĢağıda
49
0
1
0
0
0
P0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1 1 0 0 0
1 4 0 0 0
0
0 0 1 1 0
0
0
0 0 1 4 0
0 , 1 0 0 0 0 1
P
0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0
0
1
0
0
0
0
F
0
0
0
0
0
0 2
0
12
2 0 12
0
0 4
0
48
0 0
8
0
0 0
0
16
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0 2
0
12
2 0 12
0
0 4
0
48
0 0
8
0
0 0
0
16
0
0
0
0
0
B
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
4
50
0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
1 1/ 4 1/16 1/ 64
1/ 256
0
1
0
0 0
1 1/ 2 1/ 4
1/ 8
1/16
X 0 0
0
0
0
1 3/ 4 9 /16 27 / 64 81/ 256
0
0
0
0 0
1 1
1
1
1
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
1 0
0
0
0
0 0
0
0
0
1 1/ 4 1/16 1/ 64
1/ 256
0 0
0
0
0
1 1/ 2 1/ 4
1/ 8
1/16
0 0
0
0
0
1 3/ 4 9 /16 27 / 64 81/ 256
0 0
0
0
0
1 1
1
1
1
BaĢlangıç koĢullarının matrisi de hesaplanarak EĢ. 4.45 sisteminin [ ̃ ̃ ] artırılmıĢ
matrisinden, katsayı matrisi aĢağıdaki gibi bulunur.
A
851/628
-400/353
365/1933
-47/2118
1/532
-813/8723
110/199
-199/3847
123/13987
-71/83079
4
Bu katsayı matrisinin elemanlarını y j ( x) a js H s ( x) ,
j 1,2 , ifadesinde yerine
s 0
yazılırsa aranan çözümler
y1 ( x) 1- 2 x 0,7 x 2 - 0, 2 x3 0,03x 4 , y2 ( x) -5.10-15 x - 0,2 x 2 0,07 x3 - 0,01x 4
olarak elde edilir.
51
Çizelge 4.1. Örnek 4.2’ nin y1 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması
HCM ile
xi
Tam Çözüm
HCM ,
N=4 için
( )
N=4
Mutlak Hata
( )
CCM,
N=5
Mutlak hata
( )
BCM,
N=5
Mutlak hata
( )
( )
0,1
0,8064857194
0,8064762517
9,4677e-006
4,510522e-005
5,9187e-007
0,2
0,6252517081
0,6252309932
2,0715e-005
7,985043e-005
1,0110e-006
0,5
0,1459758343
0,1459582037
1,7631e-005
9,719089e-005
1,0978e-006
0,8
-0,2528860207
-0,2529252295
3,9209e-005
8,006002e-005
9,0094e-005
Çizelge 4.2. Örnek 4.2’ nin y2 ( x) çözümünün diğer metotlarla karĢılaĢtırılması
HCM ile
xi
Tam Çözüm
( )
N=4 için
( )
0,1
0,9840544170
0,0984100521
0,2
0,1938951010
0,1939020406
0,5
0,4664457257
0,4664655981
0,8
0,7242280254
0,7242473481
HCM ,
N=4
Mutlak Hata
( )
CCM,
N=5
Mutlak hata
( )
BCM,
N=5
Mutlak hata
( )
4,6104e-006
2,247723e-005
2,9327e-007
1,0103e-005
3,984701e-005
5,0134e-007
8,7244e-006
4,890662e-005
5,4596e-007
1,9323e-005
4,064222e-005
4,5116e-006
52
ġekil 4.1. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y1 ( x) yaklaĢık
çözümün karĢılaĢtırılması
ġekil 4.2. Örnek 4.2 için N=4 kesme sınırında tam çözüm ile y2 ( x) yaklaĢık
çözümün karĢılaĢtırılması
53
5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN
ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU
Bir önceki bölümde adi mertebeden türevleri içeren diferensiyel denklem sistemlerin
yaklaĢık çözümleri Hermite collacation metodu uygulanarak elde edilmiĢtir. Bu
bölümde ise bu yöntemi kesirli mertebeden diferensiyel denklem (FDE) sistemleri
üzerine uygulayacağız.
,⟦
Bu bölümde,
m
k
p ( x)
n
ij
n 0 j 1
c
⟧=t ϵ Nₒ ve a x b , olmak üzere aĢağıda belirtilen
D n y j ( x) gi ( x),
i 1,..., k ,
(5.1)
formundaki değiĢken katsayılı lineer FDE sisteminin
t 1
a
n0
j c
in
D n y j (a) binj c D n y j (b) ji ,
i 0,..., t 1 , j 1,..., k
(5.2)
koĢullarına göre
N
y j ( x) a js H s ( x ) ,
j 1,..., k
sonlu
formunda
(5.3)
s 0
c
Hermite
serisi
yaklaĢık
çözümlerini
arayacağız.
Burada
D0 y j ( x) y j ( x) bilinmeyen fonksiyon ve pijn ( x) ve gi ( x) fonksiyonları a x b
üzerinde tanımlı bilinen fonksiyonlardır. Ayrıca ain , bin , ji uygun sabitlerdir. EĢ. 5.3
ile verilen denklemdeki bilinmeyen a js ’ler ise çözüm için aradığımız katsayılardır.
Keyfi olarak N pozitif bir tam sayıdır ve N t dir.
54
FDE sistemlerinin çözümünün varlığı ve tekliğine, temel matris denkleminin elde
edilmesinin ardından kolayca karar verilebilir. Eğer elde edilen temel matrisin
determinantı sıfırdan farklı ise sistemin çözümü var ve tektir.
5.1. Temel Matris Bağıntıları
EĢ. 5.1 sisteminin temel matris bağıntısını elde ediliĢini daha iyi anlamak için
sistemin açık halini aĢağıdaki gibi yazabiliriz.
pi1 ( x) y1 ( x) pi11 ( x) c D y1 ( x) pi21 ( x) c D 2 y1 ( x)
pim1 ( x) c D m y1 ( x)
pi 2 ( x) y2 ( x) pi12 ( x) c D y2 ( x) pi22 ( x) c D 2 y2 ( x)
pim2 ( x) c D m y2 ( x)
pik ( x) yk ( x) pik1 ( x) c D yk ( x) pik2 ( x) c D 2 yk ( x)
pikm ( x) c D m yk ( x) g i ( x), (i 1,2,..., k )
Her i için yukarıdaki ifade tekrar düzenlenirse
i=1 için
p11 ( x) y1 ( x) p111 ( x) c D y1 ( x) p112 ( x) c D 2 y1 ( x)
p11m ( x) c D m y1 ( x)
p12 ( x) y2 ( x) p121 ( x) c D y2 ( x) p122 ( x) c D 2 y2 ( x)
p12m ( x) c D m y2 ( x)
p1k ( x) yk ( x) p11k ( x) c D yk ( x) p12k ( x) c D 2 yk ( x)
p1mk ( x) c D m yk ( x) g1 ( x)
i=2 için
p21 ( x) y1 ( x) p121 ( x) c D y1 ( x) p212 ( x) c D 2 y1 ( x) p21m ( x) c D m y1 ( x)
p22 ( x) y2 ( x) p122 ( x) c D y2 ( x) p222 ( x) c D 2 y2 ( x) p22m ( x) c D m y2 ( x)
p2 k ( x) yk ( x) p12 k ( x) c D yk ( x) p22k ( x) c D 2 yk ( x) p2mk ( x) c D m yk ( x) g 2 ( x)
55
i=k için
pk1 ( x) y1 ( x) p1k1 ( x) c D y1 ( x) pk21 ( x) c D 2 y1 ( x)
pkm1 ( x) c D m y1 ( x)
pk 2 ( x) y2 ( x) p1k 2 ( x) c D y2 ( x) pk22 ( x) c D 2 y2 ( x)
pkm2 ( x) c D m y2 ( x)
pkk ( x) yk ( x) p1kk ( x) c D yk ( x) pkk2 ( x) c D 2 yk ( x)
pkkm ( x) c D m yk ( x) g k ( x)
bulunur. Buradan aĢağıdaki genellemeye gidilebilir
P0 ( x) c D0 Y ( x) P1 ( x) c D1Y ( x) P2 ( x) c D2 Y ( x)
Pm ( x) c DmY ( x) = G( x)
ve bu durumda EĢ. 5.1 sisteminin matris formu
m
P n ( x) c D n Y ( x) G ( x)
(5.4)
n0
olur. Burada
( ) , c Dn Y ( x) ve G( x) matrisleri aşağıdaki formdadır
p11n ( x) p12n ( x)
n
n
p ( x) p22
( x)
n
P ( x) 21
pkn1 ( x) pkn2 ( x)
c D n y1 ( x)
g1 ( x)
p1nk ( x)
g ( x)
c
n
D y2 ( x )
p2nk ( x) c n
2
, D Y ( x)
,
G
(
x
)
g k ( x) kx1
c D n yk ( x) kx1
pkkn ( x) kxk
ġimdi ise EĢ. 5.4 denkleminde gerekli olan y j ( x) ’ lerin Caputo anlamında kesirli
türevlerini hesaplamak için EĢ. 5.3 ifadesini kullanalım. EĢ. 5.3 denkleminin matris
formunun [ y j ( x)] H ( x ) Aj olduğunu EĢ. 4.4 ifadesinden biliyoruz. Burada
Aj a j 0 a j1 a j 2
a jN
T
aranan katsayı matrisidir ve EĢ. 3.7 denkleminden Hermite
polinomlarının matris formu H ( x ) [ H 0 ( x ) H1 ( x ) ... H N ( x )] Ģeklindedir.
ġimdi EĢ. 3.7 ifadesi EĢ. 4.4 denkleminde yerine yazılırsa,
56
y j ( x) X ( x ) F T Aj
j 1,..., k
(5.5)
olur. Burada X ( x ) x0 x1
x( N 1) x N
1x N
Ģeklindedir. Buradan, EĢ. 5.5
ifadesinin her iki yanının n . Caputo kesirli türevini alırsak
C
Dn y j ( x) C Dn X ( x ) F T Aj
elde edilir. Burada
C
(5.6)
Dn X ( x ) X ( x )( BT )n olduğunu EĢ. 3.10 dan biliyoruz.
T 0
Ayrıca ( B ) I ( N 1) x ( N 1) olmaktadır ve
0
0
( +1) 0
(2 +1)
0
( +1)
B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(N +1)
((N-1) +1)
0
0
0
0
Ģeklindedir. EĢ. 3.10 ifadesi EĢ. 5.6 da yerine yazılırsa,
C
Dn y j ( x) X ( x )( BT )n F T Aj
n 0,..., m
(5.7)
elde edilir. (5.7) nin matris formu j 1,..., k için
C D n y1 ( x) X ( x ) 0
0
C n
0
D y2 ( x ) 0 X ( x )
C D n yk ( x) 0
0
X ( x )
BT
0
0
0
BT
0
0
0
BT
i
FT
0
0
0
FT
0
0 A1
0 A2
F T Ak
57
olur ve bunu da kısaca
c
DnY ( x) X ( x ) B n F A,
n 0,..., m
biçiminde yazabiliriz. Burada X ( x ) matrisi
(
)
(
(5.8)
(
) , BT , F T matrisleri ise
) satır ve sütundan oluĢmaktadır. Sıralama noktaları EĢ. 4.13, EĢ.
5.8 denkleminde yerine yazılırsa
c
DnY ( xs ) X ( xs ) B n F A,
n 0,..., m
(5.9)
olur.
Her bir collocation noktası için EĢ.5.9
c
D n Y ( x0 ) X ( x0 ) B n F A
c
D n Y ( x1 ) X ( x1 ) B n F A
(5.10)
c
D n Y ( xN ) X ( xN ) B n F A
Ģeklindedir ve burada
Y n
c D n Y ( x0 )
c n
D Y ( x1 )
c D n Y ( xN )
ve
matrisleri aĢağıdaki formda olmak üzere
X ( x0 )
X ( x1 )
X
X ( xN )
kısaca bu ifade
Y n X B n F A
(5.11)
58
Ģeklinde yazabilir. Burada ̅ (
X ( xs ) 0
0
0 X ( xs )
0
X ( xs )
0
0
X ( xs )
) matrisinin
olduğu hatırlanmalıdır.
EĢ. 5.1 ile verilen sistemin matris formu olan EĢ. 5.4 denkleminde sıralama noktaları
yerine yazılırsa
m
n0
P n ( xs ) c D n Y ( xs ) G( xs )
(5.12)
elde edilir. Yukarıdaki matrisler sırasıyla s 0,1, 2,..., N için yazılırsa
P n ( x0 ) 0
0
0 P n ( x1 )
0
n
P
0
0
P n ( xN )
c D n Y ( x0 )
G ( x0 )
c n
, G G ( x1 ) ve Y n D Y ( x1 )
c D n Y ( xN )
G ( xN )
olur. Bu durumda EĢ. 5.4 ’ün kısa ifadesi
m
P
n
Y n G
(5.13)
n0
Ģeklindedir. EĢ 5.11 ifadesini EĢ. 5.73 de yerine yazdığımızda EĢ. 5.1 sisteminin
temel matris bağıntısının son hali,
59
m
P
n
X ( B )n F A G
(5.14)
n 0
m
olarak elde edilir. W P n X ( B )n F olmak üzere
n0
WA G veya W ; G A
(5.15)
yazılabilir. Burada W , P n , X , B, F matrisleri k ( N 1) k ( N 1) , A ve G matrisleri
k ( N 1) 1 satır ve sütundan oluĢmaktadır. EĢ. 5.15 denkleminin artırılmıĢ matrisi
w1,1
w
2,1
w
W ; G k ,1
wk 1,1
wk ( N 1),1
w1,2
w2,2
w1,k ( N 1)
w2, k ( N 1)
wk ,2
wk ,k ( N 1)
wk 1,2
wk 1,k ( N 1)
wk ( N 1),2
wk ( N 1),k ( N 1)
g1 ( x0 )
g 2 ( x0 )
; g k ( x0 )
; g1 ( xN )
; g k ( xN )
;
;
kullanılarak Hermite katsayılar matrisi A j elde edilir. Bu sonuç EĢ. 5.3 denkleminde
yerine yazılırsa y j ( x) bilinmeyen fonksiyonları bulunur. Eğer det(W) 0 ise
y j ( x) lerin tek çözümü vardır.
Genellikle diferensiyel denklem sistemlerinin belli koĢullar altında çözümleri aranır.
Bu koĢulları sağlayan bir çözüm takımı bulmamız istenir. Böyle bir durumda EĢ.
5.15 denkleminden faydalanarak bulunan çözüm takımı bu koĢulları sağlamaz.
Bunun için verilen koĢulların matris formu bulunarak EĢ. 5.15 ile birleĢtirilir, oluĢan
yeni sistemden istenilen çözüm takımı elde edilir. Bu durumda EĢ. 5.2 koĢul
denkleminin matris formunu elde edelim.
60
t 1
a
n0
j c
in
D n y j (a) binj c D n y j (b) ji ,
i 0,..., t 1 , j 1,..., k
ifadesini j 1,..., k için açarsak
t 1
a
n0
1 c
in
D n y1 (a ) bin1 c D n y1 (b) 1i
t 1
a
n0
2 c
in
D n y2 (a ) bin2 c D n y2 (b) 2i
t 1
a
n0
k c
in
D n yk (a ) bin2 c D n yk (b) ki
olur, i 0,..., t 1 için yukarıdaki ilk toplam ifadesini açarsak y1 çözümü için t - tane
koĢul gelir,
1 c 0
a00
D y1 (a )
1 c 0
b00
D y1 (b)
10
1 c 0
a10
D y1 (a )
b101 c D 0 y1 (b)
11
a(1t 1)0 c D 0 y1 (a ) b(1t 1)0 c D 0 y1 (b)
1( t 1)
Benzer Ģekilde son toplam ifadesini de açarsak yk çözümü için de t- tane koĢul gelir,
k c 0
a00
D yk ( a )
b00k c D 0 yk (b)
k 0
a10k c D 0 yk (a )
b10k c D 0 yk (b)
k1
a(kt 1)0 c D 0 yk (a ) b(kt 1)0 c D 0 yk (b)
k (t 1)
bu durumda j 1,2,..., k ve n 0,..., t 1için
61
a0jn
j
a1n
j
an ,
a(jt 1) n
t 1
j 0
j1
j
j (t 1) t 1
b0jn
j
b1n
j
bn ,
b(jt 1) n
t 1
ile kısaltırsak EĢ. 5.2 denkleminin matris formu
t 1
a
n 0
n
c
D n Y (a) bn c D n Y (b)
(5.16)
olur. Burada,
a1n
0
an
0
0
an2
0
bn1
0
0
0
,
b
n
0
ank kt k
0
bn2
0
0
1
0
2
,
k kt 1
bnk kt k
Ģeklindedir, Ģimdi ise EĢ. 5.8 ifadesini EĢ. 5.16 denkleminde yerine yazalım
t 1
a
n0
n
X (a ) B n F A bn X (b ) B n F A
(5.17)
t 1
ve U an X (a ) B n bn X (b ) B n F ise EĢ. 5.17 denkleminin matris formu
n0
UA veya U ; A
(5.18)
bulunur. Yani koĢulların denklem sisteminin matris formu elde edilmiĢtir. Burada U
matrisi (kt ) xk ( N 1) satır ve sütundan oluĢmaktadır. Son olarak EĢ.5.15 matrisinin
kt tane satırı silinip onun yerine EĢ. 5.18 matrisi yazılarak aĢağıdaki [W ; G]
artırılmıĢ matrisi elde edilir.
62
w1,2
w1,1
w
w2,1
2,1
wk ,2
wk ,1
wk 1,1
wk 1,2
w
wk ( N t 1),2
W ; G k ( N t 1),1
u1,2
u1,1
u
u2,2
2,1
uk ,2
uk ,1
uk 1,1
uk 1,2
u
ukt ,2
kt ,1
w1, k ( N 1)
w2, k ( N 1)
wk , k ( N 1)
wk 1, k ( N 1)
wk ( N t 1), k ( N 1)
u1, k ( N 1)
u2, k ( N 1)
uk , k ( N 1)
uk 1, k ( N 1)
ukt , k ( N 1)
; g1 ( x0 )
; g 2 ( x0 )
;
; g k ( x0 )
; g1 ( x1 )
;
; g k ( xN t )
;
1,0
;
1,1
;
;
1,t 1
;
2,0
;
;
k ,t 1
(5.19)
k ( N 1) x k ( N 1)
EĢ. 5.19 matrisinin çözümünden bulunacak A matrisinin, EĢ. 5.1 denkleminin EĢ.
5.2 koĢullarındaki yaklaĢık çözümlerini verecek katsayı matrisi olduğu açıktır.
Böylece A matrisinin elemanları EĢ. 5.3 denkleminde yerine yazıldığında bulunan
y j ( x) çözümlerinin varlığını ve tekliğini
rank W rank [W ; G] k ( N 1)
(5.20)
olması, garanti eder. Çünkü EĢ. 5.20 sağlanırsa det(W ) 0 olur ve A (W )1 G
ile kolayca hesaplanır.
5.2. Uygulamalar
Bu bölümde Hermite sıralama (collocation) yönteminin kesirli diferensiyel denklem
sistemleri üzerinde uygulanabilir olduğunu göstermek için bazı örnekler verilmiĢtir.
Yöntem uygulanırken iĢlemler MatlabR2007b programı yardımıyla kolayca Ģekilde
hesaplanmıĢtır.
63
Örnek 5.1.
AĢağıdaki lineer sabit katsayılı kesirli diferensiyel denklem sistemini 0 x 1
aralığındaki çözümünü verilen baĢlangıç koĢulları altında HCM yöntemi ile çözelim.
C
D1 y1 ( x) y1 ( x) y2 ( x)
C
D2 y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x)
(5.21)
sisteminin baĢlangıç koĢulları
y1 (0) 0 ve y2 (0) 1
(5.22)
altındaki yaklaĢık çözüm takımını 1 0,7 , 2 0,9 alarak, S.Momani ve Z. Obidat,
Adomian Decomposition Method ile 2007 de [ 22], V.S. Ertürk ve S. Momani,
Differential Transform Method ile 2008 de [12] elde etmiĢlerdir. Aynı problemi
1 0,7 , 2 0,7 için Ģimdi Hermite Collocation Method ile çözelim. Aranan
y j ( x) yaklaĢık çözümleri Hermite polinomları cinsinden;
2
y j ( x) a j , s H s ( x ) ,
j 1, 2
s 0
Ģeklindedir. Burada =7/10 , m 2 alınarak [|mα|]=1 için t=1 olur ve k 2 dir.
Ayrıca keyfi N değerini N t olacağından N 2 alabiliriz. Bu değerleri (5.61)
ifadesinde yerine yazarsak
2
2
p
n 0 j 1
olur.
n
ij
( x) c D n y j ( x) gi ( x),
i 1,2
(5.23)
64
EĢ. 5.21 sistemi
C
D0,7 y1 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0
C
D0.7 y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x) 0
(5.24)
Ģeklinde düzenlenirse EĢ. 5.24 sisteminin matris formu EĢ. 5.4 ve EĢ 5.14
kullanılarak
2
n0
2
P n ( x) c D n Y ( x) G ( x) P n X ( B )n F A G
(5.25)
n0
Ģeklinde elde edilebilir. Bu ifadenin açılmıĢ hali, EĢ. 5.24 ile eĢleĢtirildiğinde
0
0
0
0
p11
( x) 1, p12
( x) 1, p21
( x) 1, p22
( x) 1, p121 ( x) 1, p122 ( x) 1 ve
g1 ( x) 0, g2 ( x) 0 olmaktadır. Diğer pijn ( x) 0 çıkmaktadır. Yani pij2 0 olduğu
için P 2 0 olmaktadır. Bu durumda problemimizin temel matris bağıntısı
P X
0
P1 X B F A G
(5.26)
olur. Ayrıca N 2 için sıralama noktaları x0 0, x1 1/ 2, x2 1 alındığında, EĢ.
5.26 ifadesindeki matrisler aĢağıdaki gibi elde edilir.
p0 ( x )
P 0 ( xs ) 110 s
p21 ( xs )
1
p11
p120 ( xs ) 1 1
( xs )
1
P
(
x
)
,
1
s
0
p22 ( xs ) 1 1
p21 ( xs )
P 0 (0) 0
0
0
0
P 0 P (1/ 2) 0
0
0 P 0 (1)
P1 (0) 0
0
1
1
, P 0 P (1/ 2) 0
0
0 P1 (1)
6 6
X (07 /10 ) 1 0 013 , X (0.5
7 /10
1
p12
( xs ) 1 0
1
p22 ( xs ) 0 1
6 6
) 1 0,57 /10 0,514 /10 , X (1) 1 1 113 ,
13
65
X (07 /10 )
X (07 /10 )
0
X (17 /10 )
7 /10
X (1 )
0
0 ( +1)
BT 0
0
0
0
X (0,57 /10 )
0
0
7 /10
,
,
X
(0,5
)
7 /10
X (07 /10 ) 26
0
X
(0,5
)
2 6
X (07 /10 )
0
, X X 1/10 X (0,57 /10 )
7 /10
X (1 ) 26
X (17 /10 )
6 6
T
(2 +1) , B B
( +1)
0
0
33
0
1 0 2
FT
F 0 2 0 , F
0
0 0 4 33
T
0
,
BT 66
0
F T 66
g1 (1/ 2)
g (0)
g1 (1)
G (0) 1 , G (1/ 2)
, G (1)
g 2 (1/ 2) 21
g 2 (0) 21
g 2 (1) 21
G (0)
G G (1/ 2)
G (1) 61
a10
a20
A1
A1 a11 , A2 a21 , A
A2 61
a12 31
a22 31
EĢ. 5.84 denkleminin ara iĢlemleri Matlab programı ile hesaplandığında
W P0 X P1 X B F
olmak üzere WA G veya W ; G için artırılmıĢ matris
(5.27)
66
W ; G
-1.00
1.00
-1.00
1.00
-1.00
1.00
1.82
0
0.59
1.23
-0.18
2.00
2.00
-2.00
3.85
-0.48
3.47
2.00
-1.00
-1.00
-1.00
-1.00
-1.00
-1.00
0
1.82
-1.23
0.59
-2.00
-0.18
2.00
2.00
0.48
3.85
-2.00
3.47
;
;
;
;
;
;
0
0
0
0
0
0
(5.28)
elde edilir. Benzer Ģekilde EĢ. 5.22 koĢul denkleminin matris formu EĢ. 5.17
ifadesinden
t 1
a
n0
n
X (0 ) B n F A
(5.29)
U a0 X (0 ) B F a0 X (0 ) F UA
0
bulunur. y1 (0) 0 ve y2 (0) 1 koĢulları için
1
2
1 , a02 a0,0
1 ,
a01 a0,0
11
11
a1
a0 0
0
0
1 0
2
a0 2 x 2 0 1
1
0
1 1,0 11 0 , 2 2,0 11 1 ,
2 21 1
X (0 )
X (0 )
0
0
1 0 0 0 0 0
X (0 ) 26 0 0 0 1 0 0
Ģeklindedir, bu değerleri EĢ. 5.87 ifadesinde yerine yazarsak [U ; ] artırılmıĢ matrisi
1 0 2 0 0 0 ; 0
[U ; ]
0 0 0 1 0 2 ; 1
(5.30)
bulunur, EĢ. 5.28 matrisinin son iki satırı silinir ve onun yerine EĢ. 5.30 matrisi
yazılırsa
67
-1.00
1.00
-1.00
W ; G
1.00
1
0
1.82
0
0.59
1.23
0
0
2.00
-2.00
3.85
-0.48
-2
0
-1.00
-1.00
-1.00
-1.00
0
1
0
1.82
-1.23
0.59
0
0
2.00
2.00
0.48
3.85
0
-2
;
;
;
;
;
;
0
0
0
0
0
1
(5.31)
elde edilir. det(W) 0 olduğundan, A (W )1 G iĢleminden katsayı matrisi
A
0.88
0.55
0.44
0.28
0.55
-0.36
bulunur.
Bu
katsayı
matrisinin
elemanlarını
2
y j ( x) a j , s H s ( x ) , j 1, 2
s 0
ifadesinde yerine yazınca aradığımız çözümler
y1 ( x) 1.10 x(7 /10) 1.75x(7 / 5) ,
y2 ( x) 1.00 1.10 x(7 /10) -1.44 x(7 / 5)
olarak elde edilir.
ġekil 5.1. DTM ile EĢ 5.21 sisteminin
yaklaĢık çözümleri (a)
ġekil 5.2. ADM ile EĢ. 5.21 sisteminin
yaklaĢık çözümleri (b)
68
ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5.21 sisteminin yaklaĢık çözümleri
Örnek 5.2.
Kanallarla birbirine bağlı üç gölün kirlilik sorunu için matematiksel bir model,
1 2 3 1 ve 0 x b için, problem aĢağıdaki gibi modellemiĢtir [5].
C
D1 y1 ( x)
F13
F
F
y3 ( x) g ( x) 31 y1 ( x) 21 y1 ( x)
V3
V1
V1
C
D 2 y2 ( x )
F21
F
y1 ( x) 32 y2 ( x)
V1
V2
C
D3 y3 ( x)
F31
F
F
y1 ( x) 32 y2 ( x) 13 y3 ( x)
V1
V2
V3
(5.32)
69
Burada koĢullar y1 (0) 1 , y2 (0) 2 , y3 (0) 3 olarak verilmiĢtir. ġ. YüzbaĢı
aĢağıdaki değerler için
38
20
18
y3 ( x) (1 sin x)
y1 ( x)
y1 ( x)
1180
2900
2900
18
18
y2 '( x)
y1 ( x)
y2 ( x )
2900
850
20
18
38
y3 '( x)
y1 ( x)
y2 ( x )
y3 ( x)
2900
850
1180
y1 '( x)
(5.33)
y1 (0) 0, y2 (0) 0, y3 (0) 0 , 0 x 1 ve N 3 alarak Bessel Polinomları
aracılığıyla BCM ile yaklaĢık çözümleri elde etmiĢtir [31]. ġimdi ise EĢ. 5.32
sisteminin 1 2 3 0,9 , 0 x 1 ve N 3, m 2, k 3, t 1 için HCM
çözümlerini arayalım.
3
Yeni sistemin, y j ( x) a j , s H s ( x ) , s 1, 2,3 yaklaĢık çözümlerini bulalım. EĢ.
s 0
5.32 sisteminin temel matris formu EĢ. 5.4 ve EĢ 5.14 denklemlerinden
2
n0
2
P n ( x) c D9 n /10Y ( x) G( x) P n X ( B ) n F A G
n0
P X
0
P1 X B P 2 X B 2 F A G
olur. Burada P ( xs )
0
19/1450
-9/1450
-1/145
0
9/425
-9/425
(5.34)
-19/590
1
1
0
, P ( xs ) 0
0
19/590
0
1
0
0
0
1
( ) ise sıfır matrisi olmaktadır, Örnek 5.1’ in ara iĢlemlerindeki gibi N 3 için
sıralama noktaları, x0 0, x1 1/ 3, x2 2/ 3, x3 1 , diğer matrislerde yerine yazılarak
ve koĢul matrisi de oluĢturularak EĢ. 5.32 sisteminin artırılmıĢ matrisi
bulunur, det(W) 0 olduğundan, A (W )1 G
[ ̃ ̃]
iĢleminden katsayı matrisi elde
70
edilir ve bu katsayı matrisinin elemanları
3
y j ( x) a j , s H s ( x ) , j 1, 2,3
s 0
ifadesinde yerine yazılırsa aradığımız yaklaĢık çözümler
y1 ( x) 1,04 x9 /10 0,489 x9 / 5 0.0114 x 27 /10
y2 ( x) (-0,325e -18) x9 /10 0,0037 x9 / 5 0,00121x 27 /10
y3 ( x) (0,651e -18) x9 /10 0,0041x9 / 5 0,00136 x 27 /10
(5.35)
olarak bulunur. Bahsedilen [ ̃ ̃ ] matrisi, bulunan çözümlerin farklı metotlarla elde
edilen çözümlerle karĢılaĢtırılması ve sonuçlar aĢağıda verilmiĢtir. [ ̃ ̃ ] matrisi
0,013
-0,0062
-0,0069
0,013
-0,0062
-0,0069
0,013
-0,0062
-0,0069
1
0
0
1,9
-0,026
0
0,012
0
0,014
1,9
2,6
-0,0046 0,009
-0,0051 0,01
1,9
4,8
-0,0086 0,00045
-0,0096 0,0005
0
-2
0
0
0
0
-12
0
0
-8,8
0,025
0,028
-2
0,035
0,039
0
0
0
0
0
0
0 -0,032
0
0,021
1,9 -0,042
-12
0
0
-0,021
0
0,042
0 0,032
1,9
0
0
0
0 -0,032 -0,024
0,021
1,9
2,6
-8,9
0
0
-0,021 -0,016 0,031
0,086 0,032 1,9
0
0
0
0 -0,032 -0,045
0,021
2
4,8
-2,1
0
0
-0,021 -0,029 0,0015 0,12 0,032
2
0
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0,064
0 ;
0
0 ;
-0,064 -12 ;
0,047 0,13 ;
0
0 ;
2,5
-8,9 ;
0,0023 0,18 ;
0
0 ;
4,8
-2,1 ;
0
0 ;
0
0 ;
-2
0 ;
1
0
0
1,3
0
0
1,6
0
0
0
0
0
71
ġekil 5.4. Örnek 5.2’ nin y1 ( x) çözümünün sonuçlarının karĢılaĢtırılması
ġekil 5.5. Örnek 5.2’ nin y2 ( x) çözümünün sonuçlarının karĢılaĢtırılması
72
ġekil 5.6. Örnek 5.2’ nin y3 ( x) çözümünün sonuçlarının karĢılaĢtırılması
73
6. SONUÇ VE ÖNERĠLER
Genellikle yüksek mertebeden tamsayı mertebeli diferensiyel denklemler ve denklem
sistemlerinin tam çözümlerini bulmak zordur, bu nedenle de çoğu zaman yaklaĢık
çözümlere ihtiyaç vardır. Bu durum kesir mertebeli diferensiyel denklemler ve
denklem sistemlerinde ise daha karmaĢık ve zordur. Kesir mertebeli diferensiyel
denklemler ve denklem sistemlerinin çözümünü bulmak için bu tez çalıĢmasının
üçüncü, dördüncü ve beĢinci bölümlerinde Hermite sıralama yöntemi tanımlanmıĢtır.
Bu yöntem ile bahsedilen özellikteki denklemlerin bazen tam çözümleri de
bulunabilmektedir.
(, ) aralığında tanımlı Hermite polinomlarına dayalı bu yöntem; bu aralığın
içinden keyfi bir kapalı [ a, b ] aralık seçilerek istenilen herhangi bir tamsayı veya
kesir mertebeli lineer diferensiyel denkleme veya sistemine uygulanabilir. Yani,
yöntemin diğer bir özelliği, çalıĢılan aralık konusunda herhangi bir kısıtlama veya
dönüĢüm olmadığından, diğer yöntemlere göre bizlere daha geniĢ bir çalıĢma alanı
sunmasıdır. Sadece aralık değil denklemlerin kesirli türev operatörünü içeren terim
sayıları konusunda da bir kısıtlama getirmediği için diğer yöntemlerden (Adomian
Ayırma metodu, Diferensiyel DönüĢüm metodu, Sonlu Farklar YaklaĢım metodu,
Varyasyonel Ġterasyon metodu) çok daha etkili bir yöntem olduğu söylenebilir.
Yukarıdakilere ek olarak çalıĢılan yöntemin diğer bir avantajı ise diğer metodlardan
(Taylor Collacation metodu [15], Jacobi matris metodu [11], Muntz Collocation
metodu[13] vb.) daha kolay algoritmalanabilirliği sayesinde, farklı N değerleri için
kodlar hazırlanarak, çözümlerinin kolay bir Ģekilde bulunabilmesidir.
Bu tezde sunulan yöntem bir sonraki adım olarak, yine mühendislik ve fen
alanlarında önemli uygulamaların daha iyi formülleĢtirilmesini sağlayan, en az
diferensiyel denklem ve sistemi kadar önem taĢıyan, kesir mertebeli integral
denklemlere [14], kesir mertebeli integral denklemlerin sistemlerine, kesir mertebeli
integro-diferensiyel denklemlere uygulanabilir.
74
KAYNAKLAR
1. Akgönüllü, N., “Lineer diferensiyel, integral ve integro-diferensiyel denklemlerin
hermite polinom çözümleri”, Yükseklisans tezi, Muğla Universitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü, Muğla (2008).
2. Akgönüllü, N., ġahin, N., Sezer, M., “Hermite collocation method for the
approximate solutions of high-order linear Fredholm integro-differential
equations”, Numerical Methods for Partial Differential Equations, 27(6),
(2010).
3. Akyüz, A., Sezer, M.,“Chebyshev polynomial solutions of systems of high-order
linear differential equations with variable coefficients”, Applied Mathematics
and Computations, 144; 237-247, (2003).
4. Baltacı, Ġ., “Kesirli Diferensiyel Denklemler Ġçin Monoton Yöntemler”, Yüksek
Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara (2009).
5. Biazar, J., Shahbala, M., Ebrahimi, H., “VIM for Solving thePollution Problem
of a System of Lakes”, Journal of Control Science and Engineering, Article ID
829152; 6, (2010).
6. ÇavuĢ, M. S., “Kesirli (fractional) diferensiyel denklemler teorisi ve dielektrik
durulmanın kesirli master denklemi yöntemiyle analizi”, Doktora Tezi,
Çukurova Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 29-30 (2006).
7. Diethelm, K., “An algorithm for the numerical solution of differential equations
of fractional order”, Electronic Transactions on Numerical Analysis, 5; 1- 6,
March (1997).
8. Diethelm, K., Ford N. J., “ Numerical Solution of the Bagley-Torvik Equation”,
BIT, 42(3); 490–507, (2002).
9. Diethelm, K., “The Analysis of Fractional Differential Equations”, Germany,
(2004).
10. Diethelm, K., “The Analysis of Fractional Differential Equations”, ISBN 978-3642-14573-5. Lecture Notes In Mathematics, Verlag Berlin Heidelberg, 7-14,
21-42, 49-54, 93-101,109-120, 195-207 (2010).
11. Doha, E.H., Bhrawy, A.H., Ezz-Eldien, S.S., “A new Jacobi operational matrix:
An application for solving fractional differential equations”, Applied
Mathematical Modelling, (2012).
12. Ertürk, V.S., Momani, S., “Solving systems of fractional differential equations
using differential transform method”, Journal of Computational and Applied
Mathematics, 215; 142 – 151, (2008).
75
13. Esmaeili, S., Shamsi, M., Luchko, Y., “ Numerical solution of fractional
differential equations with a collocation method based on Müntz polynomials”,
Computers and Mathematics with Applications, 62; 918-929,(2011).
14. Gorenflo, R., Mainardi, F., “Fractional calculus: Integral and differential
equations of fractional order”, ISBN 3-221-82913-X. Vol. 378 of the series
CISM Lecture Notes, International Centre For the Mechanical Sciens Palazzo
Del Torso, Piazza Garibaldi, Udine, Italy, (2008).
15. Keskin, Y., Karaoglu, O., Servi. S., Oturanç G., “The approximate solution of
high-order linear fractional differential equation with variable coefficients in
terms of generalized taylor polynomials”, Mathematical and Computational
Applications, 16 ( 3); 617-629, (2011).
16. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., Trujillo, J. J., “Theory and applications of
Fractional Differential Equations ”, Amsterdam, The Netherlands, (2006).
17. Kumar, P., Agrawal, O.P., “ Numerical schemes for the solution differential
equations of order greather than one”, Comput Nonlinear Dyn, 1, 178-185,
(2006).
18. Kurulay, M., “Zaman-kesirli mertebeli non-lineer kısmi türevli denklemlerin
nümerik çözümleri”, Doktora Tezi, Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü, Ġstanbul, (2009).
19. Mathai, A. M. ve ark., “The H function : Theory and Applications”, LLC (2010).
20. Miller, K. S., Ross, B., “An Introduction to the Fractional Calculus and
Fractional Differential Equations”, Wiley , New York, (1993).
21. Miller, K. S., The Weyl fractinal calculus. In: Ross B. editor,”Fractinal Calculus
and its Applications”, Lecture Notes in Mathematics No. 457, Springer-Verlag,
New York, (1975).
22. Momani, S., Obidat Z., “Numerical approach to differential equations of
fractional order”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207; 96110, (2007).
23. Obidat, Z. M., Momani, S., “ Application of Variational Itertional method to
nonlinear differential equations of fractional order ”, Int. J. of Nonlinear
Sciences and Numerical Simulation, 7 (1); 27-34, (2006).
24. Oldham, K. B, Spanier, J., “The Fractional Calculus”, Academic Press, New
York, (1974).
76
25. Poblubny, I., “Fractional differential equations”, Academic Press, San Diego,
(1999).
26. Samko, S. G., Kilbas, A. A., Marichev, O. I., “Fractional Ġntegrals and
Derivatives-Theory and
Applications”, Gordon and Breach, Longhorne
Pennsylvania, (1994).
27. Sezer, M., Karamete, A., Gülsu, M., “Taylor polynomial solution of systems of
linear differantial equations with variable coefficent”, Int. J. Comput. Math., 82;
755-764, (2005).
28. SoytaĢ, C., “Kesirli Diferensiyel Denklemlerin Çözüm Yöntemleri”, Yüksek
Lisans Tezi, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya (2006).
29. YalçınbaĢ, S., Konuralp, A., Demir, D. D., Sorkun, H. H., “the solution of the
fractional differential equations with the generalized Taylor Collocation method”,
IJRRAS, (2010).
30. YüzbaĢı, ġ., ġahin, N., Sezer, M., “Numerical solutions of systems of linear
Fredholm integro-differential equations with Bessel polynomial bases”, Applied
Mathematics and Computations, 61; 3079-3096, (2011).
31. YüzbaĢı, ġ., ġahin, N., Sezer, M., “A collocation approach to solving the model
of pollution for a system of lakes”, Mathematical and Computer Modelling, 55;
330–341, (2012).
32. Weilbeer, M., “Efficient Numerical Methods for Fractional Differential
Equations and Their Analytical Background”, US Army Medical Research and
Material
Command, Carl-Friedrich-GauB Mathematik und Informatik,
Technischen Universtät Braunschweig, 21-28, 45-59, 150-153 (2005).
77
EKLER
78
EK-1 EĢ. 3.26 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
clear all
format short
N=4;
a=0;b=1;
% a ve b çalıĢılan aralığın sınır değerleridir
i=0:N;
col=a+(b-a)*i/N;
alfa=1/2;
p0=eye(5);
p1=eye(5);
bt=zeros(N+1,N+1);
for i=1:N
bt(i,i+1)=gamma(i*alfa+1)/gamma((i-1)*alfa+1);
end
bt;
ft=[1 0 (-2) 0 12;0 2 0 (-12) 0 ;0 0 4 0 (-48);0 0 0 8 0; 0 0 0 0 16];
for i=1:N+1
for j=1:N+1
P=zeros(1,j);
P(1,1)=1;
xc(i,j)=polyval(P,col(i).^alfa);
end
end
xc;
g=zeros(N+1,1);
for i=1:N+1
g(i,1)=col(i)^2+(2/gamma(5/2))*col(i)^(3/2);
end
g;
w=(p0*xc+p1*xc*bt)*ft;
gc=[g(1,:);g(2,:);g(3,:);g(4,:); 0];
yx0=[1 0 0 0 0 ]*ft;
% yx0 koĢul matrisidir
wc=[w(1,:);w(2,:);w(3,:);w(4,:);yx0(1,:)];
A=wc\gc;
a0=A(1,1)
a1=A(2,1)
a2=A(3,1)
a3=A(4,1)
a4=A(5,1)
syms x;
a=1/2;
h0=1;
h1=2*(x^a);
h2=4*x^(2*a)-2;
79
EK-1 (Devam) EĢ. 3.26 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
h3=8*x^(3*a)-12*x^a;
h4=16*x^(4*a)-48*x^(2*a)+12;
y1=a0*h0+a1*h1+a2*h2+a3*h3+a4*h4;
y=vpa(y1,6)
80
EK-2 EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
clear all
format short
N=4;
k=2;
a=0;b=1;
% a ve b çalıĢılan aralığın sınır değerleridir
i=0:N;
col=a+(b-a)*i/N;
B=zeros(N+1,N+1);
for i=1:N
B(i+1,i)=i;
end
B;
Bc=kron(eye(k),B');
ft=[1 0 (-2) 0 12 ;0 2 0 (-12) 0 ;0 0 4 0 (-48);0 0 0 8 0; 0 0 0 0 16];
Fc=kron(eye(k),ft);
syms x
for i=1:(N+1);
xx(i)=x^(i-1);
end
xx;
xxc=kron(eye(k),xx);
for j=1:(N+1);
for i=j*k-(k-1):j*k;
X(i,:)=subs(xxc(i-(j-1)*k,:),col(j));
end
end
X;
p0x=[0 1;1 0];
P0=kron(eye(N+1),p0x);
p1x=[1 1;1 4];
P1=kron(eye(N+1),p1x);
W=(P0*X+P1*X*Bc)*Fc;
syms x
gx=[x-exp(-x);1+2*exp(-x)];
for j=1:(N+1);
for i=j*k-(k-1):j*k;
G(i,1)=subs(gx(i-(j-1)*k,1),col(j));
end
end
%koĢul matrisi için
a0=[1 0;0 1];
b0=[0 0;0 0];
m=subs(Xxc,0);
n=subs(Xxc,1);
81
EK-2 (Devam) EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
U=(a0*m+b0*n)*Fc;
WC=[W(1,:);W(2,:);W(3,:);W(4,:);W(5,:);W(6,:);W(7,:);W(8,:);U(1,:);U(2,:)];
GC=[G(1,:);G(2,:);G(3,:);G(4,:);G(5,:);G(6,:);G(7,:);G(8,:);1;0];
EK-2 (Devam) EĢ. 4.45 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
A=WC\GC
a10=A(1,1);
a11=A(2,1);
a12=A(3,1);
a13=A(4,1);
a14=A(5,1);
a20=A(6,1);
a21=A(7,1);
a22=A(8,1);
a23=A(9,1);
a24=A(10,1);
syms x;
h0=1;
h1=2*(x);
h2=4*x^2-2;
h3=8*x^3-12*x;
h4=16*x^4-48*x^2+12;
y1=a10*h0+a11*h1+a12*h2+a13*h3+a14*h4;
y2=a20*h0+a21*h1+a22*h2+a23*h3+a24*h4;
yy1=vpa(y1,1)
yy2=vpa(y2,1)
82
EK-3 EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
clc
clear all
format rat
N=3;
k=3;
alfa=9/10;
a=0;b=1;
i=0:N;
col=a+(b-a)*i/N;
B=zeros(N+1,N+1);
for i=1:N
B(i+1,i)=gamma(i*alfa+1)/gamma((i-1)*alfa+1);
end
B;
Bc=kron(eye(k),B');
ft=[1 0 (-2) 0 ;0 2 0 (-12) ;0 0 4 0 ;0 0 0 8];
Fc=kron(eye(k),ft);
syms x
for i=1:(N+1);
Xx(i)=x^(alfa*(i-1));
end
Xx;
Xxc=kron(eye(k),Xx);
for j=1:(N+1);
EK-3 (Devam) EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
for i=j*k-(k-1):j*k;
Xa(i,:)=subs(Xxc(i-(j-1)*k,:),col(j));
end
end
Xa;
p0x=[38/2900 0 -38/1180;-18/2900 18/850 0;-20/2900 -18/850 +38/1180];
P0=kron(eye(N+1),p0x);
p1x=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];
P1=kron(eye(N+1),p1x);
G=[1 0 0 937/706 0 0 1251/773 0 0 2904/1577 0 0]';
W=(P0*Xa+P1*Xa*(Bc))*Fc;
a0=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];
m=subs(Xxc,0);
U=a0*m*Fc;
WC=[W(1,:);W(2,:);W(3,:);W(4,:);W(5,:);W(6,:);W(7,:);W(8,:);W(9,:);U];
GC=[1 0 0 937/706 0 0 1251/773 0 0 0 0 0]';
A=WC\GC;
a10=A(1,1);
a11=A(2,1);
a12=A(3,1);
83
EK-3 (Devam) EĢ. 5.32 Denkleminin HCM Çözümü için MatlabR2007b Komutları
a13=A(4,1);
a20=A(5,1);
a21=A(6,1);
a22=A(7,1);
a23=A(8,1);
a30=A(9,1);
a31=A(10,1);
a32=A(11,1);
a33=A(12,1);
syms x;
t=9/10;
h0=1;
h1=2*x^t;
h2=4*x^(2*t)-2;,
h3=8*x^(3*t)-12*x^(t);
y1=a10*h0+a11*h1+a12*h2+a13*h3;
y2=a20*h0+a21*h1+a22*h2+a23*h3;
y3=a30*h0+a31*h1+a32*h2+a33*h3;
y1frac=vpa(y1,3)
y2frac=vpa(y2,3)
y3frac=vpa(y3,3)
84
ÖZGEÇMĠġ
KiĢisel Bilgiler
Soyadı, adı
Uyruğu
Doğum tarihi ve yeri
Medeni hali
Telefon
e-mail
: AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM, Nilay
: T.C.
: 23.06.1984, Ankara
: Evli
: 0 (506) 3845383
: nilay_27@hotmail.com
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Yüksek Lisans
Lisans
Lise
Sıtkı Koçman Üniversitesi/ Matematik bölümü
Sıtkı Koçman Üniversitesi/ Matematik Bölümü
Keçiören Kalaba Lisesi
Mezuniyet tarihi
2008
2005
2001
Yabancı Dil
Ġngilizce
Yayınları
Akgönüllü, N., ġahin, N., Sezer, M., “A Hermite collocation method for the
approximate solutions of high-order linear Fredholm integro-differential equations”,
Numerical Methods for Partial Differential Equations, Vol. 27, Issue 6, (2010).
Bildiriler
Akgönüllü, N., Hermite Collocation Metodu ile DeğiĢken Katsayılı Kesirli
Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemlerin YaklaĢık Çözümleri, Metamatik
Sempozyumu (Matematik Günleri), Bilkent Üniversitesi, 2012.
Akgönüllü, N., Yüksek Mertebeden Lineer Fractional Diferensiyel Denklem
Sistemlerinin Hermite Polinomları ile YaklaĢık Çözümleri, Matematik sempozyumu
(Matematik Günleri), Çankaya Üniversites, 2013.
Hobiler
Matematik Dünyası, Bilgisayar Programları, Ġnternet, Yüzmek, Badminton
