8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler

8.Konu
Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.1. Düzlemde vektörler
Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan
Buna P noktanın koordinatları denir.
ikilisini eşleştirebiliriz.
𝑃 𝑥𝑦
y-ekseni
x-ekseni
O’ dan P’ye çizilen yönlü doğru parçası ⃗⃗⃗⃗⃗ ile gösterilir ve O: başlangıç noktası, P:
bitim noktası olarak adlandırılır. Diğer yandan, ⃗⃗⃗⃗⃗ yönlü doğru parçasıyla bir [ ]
matrisini eşleştirebileriz.
8.1.Tanım: Düzlemde bir vektör; 2x1 boyutlu bir
[ ]
matrisidir. Burada
reel sayılardır ve ’in bileşenleri olarak adlandırılır.
Bir vektör bir matris olduğundan eğer
ve
ise
[ ]
[ ]
vektörlerine eşittir denir.
Fiziksel uygulamalarda,
noktasından
noktasına bir yönlü doğru
parçasına düzlemde bir vektör denir.
noktası başlangıç ve
bitim
noktasıdır. ⃗⃗⃗⃗⃗ vektörü aynı zamanda
[
]
vektörüyle de gösterilebilir.
Her
[ ]
vektörüyle bir
yalnız bir
noktasını eşleştirebiliriz. Tersine her
noktasıyla bir ve
[ ]
vektörünü eşleştirebiliriz.
8.2.Tanım:
[
]
[
[ ] düzlemde iki vektör olsun.
]
olur.
1
ve
vektörlerin toplamı
8.3.Tanım:
[
] bir vektör ve c bir skalar ise, ’nun c ile
[
]
vektörüdür. Eğer c>0 ise
aynı yöndedir, diğer yandan, d<0 ise
[ ] vektörüne sıfır vektörü denir ve 0 ile gösterilir. Eğer
ters yöndedir.
herhangi bir vektör ise
olduğu açıktır. Aynı zamanda
olduğunu gösterebiliriz ve
vektörünü – olarak yazarız ve u’nun negatifi deriz. Ayrıca
ifadesini
olarak yazarız ve u ile v arasındaki fark olarak adlandırırız.
8.2. Uzayda vektörler
Uzaydaki her bir P noktasını, reel sayılardan oluşan ve o noktanın koordinatları
olarak adlandırılan bir
sıralı üçlüsüyle eşleştirebiliriz. Tersine reel
sayılardan oluşan her bir üçlüyü uzayda bir noktaya eşleştirebiliriz.
koordinatalarına sahip P noktası
yada kısaca
ile gösterilir.
Uzaydaki bu tüm noktaların kümesi 3-uzay olarak adlandırılır ve
şeklinde
gösterilir.
Uzayda bir vektör yada kısaca vektör
[ ]
şeklinde 3x1 tipinde bir matristir. Burada
reel sayılardır ve ’in bileşenleri
olarak adlandırılır. Eğer karşılıklı bileşenleri eşitse uzayda iki vektöre eşittir denir.
noktasından
noktasına yönlendirilmiş bir doğru parçası vektör
olarak adlandırılır.
noktası başlangıç ve
noktası bitim noktasıdır.
Böyle bir vektörün bileşenleri
ve
dir.
[
Eğer
] ve
[
]
de vektörler ve c bir skalar ise
toplamı ve
skalar çarpımı sırasıyla
[
] ve
[
]
şeklinde tanımlanır.
[ ] dır ve 0 şeklinde gösterilir. 0 vektörü,
de sıfır vektörü
vektörü için
[
özelliğini sağlar.
] vektörün negatifi
8.1. Teorem:
deki bir
ve
,
veya ,
[
] olur ve
dır.
de tanımlı vektörler, c ve d reel sabitler ise
2
i. u+v=v+u
ii. u+(v+ w)=(u+v)+w
iii. u+0=0+u=u
iv. u+(-u)=0
v. c(u+v)=cu+cv
vi. (c+d)u=cu+du
vii. c(du)=(cd)u
viii. 1u=u
ifadeleri geçerlidir.
8.3. Vektör uzayları
8.4.Tanım: Bir vektör uzayı, V üzerinde tanımlı ve işlemler ile birlikte
aşağıdaki özellikleri sağlayan elemanların kümesidir:
1.Eğer ve , ’nin herhangi iki elemanı ise
de ’nin elemanıdır.
i. V’ deki her ve için
.
ii. V’ deki her
ve için
.
iii. V’ deki her için
olacak bir elemanı bulunur.
iv. V’ deki her için
olacak bir
elemanı bulunur.
2. c reel sayı ve u, V’nin herhangi bir elemanı ise
da ’nin elemanıdır.
v. Herhangi bir c reel sayısı ve V’deki her u ve v için
.
vi. Herhangi iki c ve d reel sayıları ve V’deki her u için
vii.
Herhangi iki c ve d reel sayıları ve V’deki her u için
viii.
V’deki her u için
iii. özellikteki 0 vektörüne sıfır vektör denir. iv. özellikteki –
’nun negatifi denir.
1.Ö.: nx1 tipindeki reel elemanlı [
vektörüne
] şeklindeki tüm matrislerin kümesi olan
yi düşünelim. Şimdi
işlemi matris toplamını ve
işlemi de matrisin bir
reel sayıyla çarpımını göstersin.
Matrisin işlemlerinin özelliklerine göre
bir vektör uzayıdır. Onun
elemenlarına vektör denir.
2.Ö.: mxn tipindeki bir matrisin bir reel sayı ile çarpımı
alındığında, tüm
mxn matrislerin kümesi bir vektör uzayı olur. Bu vektör uzayını
ile
gösteririz.
3.Ö.:
işlemini reel sayıların bilinen toplamı ve
işlemini de reel sayıların
bilinen çarpımı olarak kabul edersek, tüm reel sayıların kümesi bir vektör
uzayıdır.
3
4.Ö.: Polinomlar. Bir polinom (t cinsinden)
şeklinde ifade edilen bir fonksiyondur. Burada
reel sayılardır ve n
negatif olmayan bir tamsayıdır. Eğer
ise p(t)’ye n dereceye sahiptir
deriz. 0 ile gösterilen sıfır polinomunun bir derecesi yoktur. Şimdi
sıfır
polinomunu içeren ve derecesi
olan tüm polinomların kümesi olsun. Eğer
p(t) ve q(t), de iseler
ve
şeklinde yazabiliriz.
’yi şöyle tanımlarız:
Eğer c bir skalar ise, .
’yi şöyle tanımlarız:
bu işlemlere göre bir vektör uzayıdır.
5.Ö.: V, R üzerinde tanımlı reel-değerli ve sürekli fonksiyonların kümesi olsun. Eğer f
ve g, V’nin elemanı ise,
işlemi
şeklinde tanımlanır.
Eğer f ve g, V’nin elemanı ve reel sayı ise,
şeklinde tanımlanır.
V bir vektör uzayıdır ve
şeklinde gösterilir.
6.Ö.: V, üzerinde
( bilinen çıkarma),
( bilinen
çarpma) tanımlı tüm reel sayılar kümesi olsun. Bu bir vektör uzayı mıdır?
8.2. Teorem: Eğer V bir vektör uzayı ise bu taktirde,
i. V’deki herhangi bir u vektörü için
ii. Herhangi bir c skaları için
iii. Eğer
ise c=0 veya u=0 dır.
iv. V’deki herhangi bir u vektörü için
dır.
8.4 Alt uzaylar
8.5.Tanım: V vektör uzayı ve W, V’nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer W.
V’deki işlemlere göre bir vektör uzayı ise, o zaman W, V’nin bir alt uzayı olarak
adlandırılır.
7.Ö.: Her vektör uzayı, kendisi ve sadece sıfır vektöründen oluşan {0} alt uzayı olmak
üzere en az iki alt vektör uzayına sahiptir. {0} alt uzayı sıfır alt uzayı olarak
adlandırılır.
8.Ö.: derecesi
olan tüm polinomlar ve sıfır polinomunun oluşturduğu bir küme
olsun.
tüm polinomlarin vektör uzayı olan P’nin bir altkümesidir.
P’nin bir
altuzayıdır.
9.Ö.: derecesi olan tüm polinomlar bir küme olsun. P’nin bir altkümesidir.
Ancak
ve
polinomların toplamı birici dereceden bir
polinom olduğu için V de olmadığından, V, P’nin bir altuzayı değildir.
8.3. Teorem: V,
ve
işlemleriyle birlikte bir vektör uzay ve W, N’nin boş
olmayan bir alt kümesi olsun. O zaman, W’nin V’ye ait bir alt uzay olması için
gerek ve yeter şart aşağıdakilerin sağlanmasıdır:
i.
Eğer u,v, W’de herhangi vektörler ise
ii.
Eğer c herhangi bir reel sayı ve u, W’de herhangi bir vektör ise
4
10.Ö.:
herhangi reel sayılar olmak üzere
te [
] şekilindeki vektörlerin
kümesi W olsun. W,
nin bir alt uzayıdır.
11.Ö.: Bir V vektör uzayında ve sabit iki vektör ve
olmak üzere W, V’deki
keyfi reel sayılar
formündeki vektörlerin kümesi olsun. W, V’nin bir alt uzayıdır.
8.6.Tanım: V de k tane vektör
,
olsun. Bazı ,
için
ise
vektörüne
12.Ö.:
te
,
[ ]
reel sayılar
vektörlerin lineer birleşimidir denir.
[ ]
[ ] olsun.
[ ] vektörü
olacak şekilde ,
reel sayılar bulunabilirse
vektörlerinin lineer birleşimidir. Cev:
,
8.7.Tanım:
bir V vektör uzayında vektörlerin bir kümesi ise S
deki vektörlerin bütün lineer birleşiminden oluşan V’deki vektörlerin kümesi
{
}
Sp S veya
ise gösterilir.
13.Ö.: 2x3 matrislerin
{[
] [
] [
] [
]}
şeklinde verilen S kümesi gözönüne alalım. Bu durumda
olmak üzere
[
formundaki matrislerin tamamının
8.4. Teorem:
zaman SpS, V’nin bir alt uzayıdır.
14.Ö.: de
vektörünün
reel sayılar
]
kümesidir.
V deki vektörlerin bir kümesi olsun. O
olsun.
} ‘e ait olup olmadığını karar veriniz.
{
Ç.:
5
Elementer satır işemleriyle ilaveli matris eşelon forma getirilir ve çözümünün olmadığı
görülür.
8.5.
sıfırdan
te
te doğrular
farklı
bir
[ ] ise orijinden geçen ve v vektörüne paralel olan bir
[ ] olan ve
vektörü
uzayıdır.
doğrusu, konum
denklemi sağlayan
oluşur.
noktalarından
vektörü
v
doğrusu
[ ]
te bir nokta ve
in
bir
ın yer vektörü ise
alt
dan
geçen ve v ye paralel olan doğrusu
[ ] olan
denklemi ile verilen ve yer vektörü
noktalarından oluşur.
Bu denklem herhangi bir reel sayıyı temsil eden t parametresini içerdiğinden
buna nin parametrik denklemi adı verilir. Denklem, bileşenler cinsinden
şeklinde yazılabilir.
15.Ö.:
[
noktasından geçen
] vektörüne paralel olan doğrunun
parametrik denklemler
olur.
16. Ö.:
ve
denklemlerini bulunuz.
Ç.: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[
]
noktalarından geçen doğrusunun parametrik
[
]
6
8.KONU: Ödevler
[ ],
1.
[
]
[ ]
[
] olsun.
i.
ii.
iii.
olacak şekilde r ve s’yi bulunuz.
[
2.
],
[
],
[
],
[ ] olsun.
i.
ii.
iii.
olacak şekilde r , s ve t’yi bulunuz.
3. Eğer p(t) ve q(t), de iseler, yanı
ve
için
Eğer c bir skalar ise,
olduğuna göre
nin bu işlemlere göre bir vektör uzayıdığını
gösteriniz.
4. V, R üzerinde tanımlı reel-değerli ve sürekli fonksiyonların kümesi olsun. Eğer f ve
g, V’nin elemanı ise,
işlemi
şeklinde tanımlanır.
Eğer f ve g, V’nin elemanı ve reel sayı ise,
şeklinde tanımlanır.
V’nin bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
5. Vektör uzayının sadece bir tane sıfır vektörü olduğunu ispatlayınız.
6. Aşağıdaki verilen vektörlerden hangileri
[
]
i. [ ] ii. [
[
] iii. [
]
] iv. [
[
] vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade edilir:
]
7. Vektor uzayının her bir v vektörü için
olduğunu ispatlayınız.
8.
V deki vektörlerin bir kümesi olsun. O zaman SpS, V’nin bir alt
uzayı olduğunu gösteriniz.
9. Verilen ’in alt kümelerinden hangileri alt uzaydır?
]
i.
olmak üzere, [
]
ii.
ve
olmak üzere, [
]
iii.
ve
olmak üzere, [
]
iv.
ve
olmak üzere, [
10. Aşağıdaki verilen noktalardan geçen doğrunun parametrik denklemlerini bulunuz
i. (2,-3,1), (4,2,5)
ii. (-3,-2,-2), (5,5,4)
7