z` r` - Etkinlik Sitem

KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK
DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
A)Sanal Sayı Kavramı
Sıfırdan farklı her reel sayının karesi pozitiftir, negatif olamaz. Sıfırın karesi sıfırdır.
Biz sanal olarak karesi negatif olan bir sayı düşünelim.
Örneğin karesi -1 olan bir sayı alırsak bu sayı bir sanal sayıdır. Bu sayıyı 'i' harfi ile gösterirler.
O halde
dir.
Buna göre i sanal sayısı karesi -1 olan bir sayıdır.(
)
Bu gösterimde
Dikkat edilirse i'nin kuvvetleri daima {i,-1,-i,1}dir.
değerinin hangi eleman olduğunu şöyle buluruz: i nin üssü olan n sayısını 4'e böleriz.
Eğer:
kalan 0 ise sonuç 1
kalan 1 ise sonuç i
kalan 2 ise sonuç -1
kalan 3 ise sonuç -i dir.
Sanal Sayılarla İşlemler
Toplama, çıkarma ve çarpmada (i)'yi bir harf gibi alır, sonuçta (i)'nin bir kuvveti varsa değerini yazarak işlemi
yaparız.
Örneğin:
a)2i+3i-5i+6i=6i
b)3i-5i+i=-i
c)
Örnek=
olduğuna göre
Cevap= 127 yi 4 e bölersek 3, 445 i bölersek 1, 1997 yi bölersek 1 kalır yani:
bulunur.
B)Karmaşık Sayılar
olmak üzere a+bi=z sayısına karmaşık sayı denir.
ifadesinde katsayılar reel sayı, üsler doğal sayı
olduğu zaman P(x) bir polinom olur.
Her P(x) polinomu için
alındığında P(i) nin daima a+bi olacağını görürüz.
Karmaşık sayılar kümesi C harfi ile gösterilir.
Bir karmaşık sayı iki kısımdan oluşur. Bunlar reel kısım ve sanal kısımlardır.
z=a+bi karmaşık sayısında (bilgi yelpazesi.net) a reel kısım, b ise sanal kısımdır.
Reel kısım Re(z)=a, sanal kısım İm(z)=b biçiminde yazılarak gösterilir.
Karmaşık Sayıların Eşitliği
yani a+bi=x+yi ise a=x,b=y dir.
Eşit karmaşık sayılarda reel kısımlar bir birine, sanal kısımlar birbirine eşittir.
Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın işareti değiştirilerek elde edilen karmaşık sayıdır. Eşlenik sayı,
esas karmaşık sayının üstüne bir çizgi çekilerek belirlenir.
z=a+bi ise eşleniği
3+2i nin eşleniği 3-2i dir.
dir.
KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
Karmaşık sayılarla, toplama çıkarma ve çarpma işlemleri polinomlarda olduğu gibi yapılır.
Toplama İşlemi
Toplamada, reel kısımlar toplanıp reel kısım; sanal kısımlar toplanıp sanal kısım bulunur.
Karmaşık sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı reel ve sanal kısımları 0(sıfır) olan karmaşık sayıdır.
Bir z karmaşık sayısının toplamaya göre tersi -z dir.
Örnek=
z'=3-2i , z^=5+7i , z^^=-6+3i olduğuna göre z'+z^+z^^ toplamı nedir?
Cevap=
(3-2i)+(5+7i)+(-6+3i)ise
3+5-6=2 ve -2i+7i+3i=8i dir.
=2+8i
Çıkarma İşlemi
İki karmaşık sayının farkı, için çıkan sayının toplamaya göre tersi ile toplamı yapılır, yani çıkan sayının
işaretleri değiştirilerek toplama yapılır.
Örnek=
z=5+2i ve z'=4-3i ise z-z'=?
Cevap=
z-z'=(5+2i)-(4-3i)
=5+2i-4+3i
=1+5i bulunur.
Çarpma İşlemi
Polinomlarda olduğu gibi yapılır. i nin kuvvetleri i türünden hesaplanarak çarpma işlemi yapılır.
Örnek=
z=3+4i ve z'=2-3i ise
z.z'=(3+4i).(2-3i)
=6-9i+8i+12
=6-9i+8i+12
=18-i bulunur.
Bölme İşlemi
Pay ve payda, paydanın (bilgi yelpazesi.net) eşleniği ile çarpılarak yapılır.
Örnek=
olduğuna göre 3+2i işleminin sonucu nedir?
Cevap=
3+2i = (3+2i).(5+3i) = 15+9i+10i+6
5-3i (5-3i).(5+3i)
25-9i
=15+9i10i-6 = 9+19i bulunur.
25+9
34
Eşlenik İfadelerde Özellikler
MUTLAK DEĞER
KARMAŞIK DÜZLEM
z=a+bi karmaşık sayısında a ve b gerçek sayılardır. Karmaşık sayılarda daima Reel kısım önce, sanal kısım
sonra yazılır.
Bu tür yazma biçimi, karmaşık sayıları reel sayı ikilileri ile gösterme kolaylığı sağlar.
z=a+bi karmaşık sayısı z=(a,b) şeklinde yazılabilir.
Örneğin
z=(3,-2) karmaşık sayısı z=3-2i dir.
Bunu analitik düzlemde düşünebiliriz. Bu durumda ilk sayı reel kısmı, ikinci sayı sanal kısım olarak alınınca
bir nokta belirler.
Bu gösterimde yatay eksen reel ekseni, düşey eksen de sanal ekseni belirtir.
Karmaşık sayının karmaşık düzlemde nokta olarak gösterilmesine, karmaşık sayının karmaşık düzlemdeki
görüntüsü denir.
Bir karmaşık düzlemde her nokta bir karmaşık sayı, her karmaşık sayı da bir noktayı gösterir. Yani karmaşık
düzlemdeki noktalar ile bütün karmaşık sayılar bire bir eşlenebilirler.
Aşağıda bazı karmaşık sayıların (bilgi yelpazesi.net) karmaşık düzlemde görüntülerini görebiliriz:
z = 3-6i
z' = -4+6i
z'' = -4-5i
z^' = 5+i
z'^ = 3i
z^^ = 1
Karmaşık düzlemde eşlenik sayı: Sayının görüntüsünün X eksenine göre simetriği o sayının eşleniğidir.
Orijine göre simetriği ise sayının negatifidir.
KARMAŞIK DÜZLEMDE MUTLAK DEĞER
Karmaşık düzlemde bir sayının orijine uzaklığına, o noktaya karşılık gelen karmaşık sayının mutlak
değeridenir.
dir.
[z]=5 eşitliği z noktalarının orjine olan uzaklığını sabit ve 5 birim olduğunu gösterir. O halde bu z noktaları,
merkezi orijin ve yarıçapı 5 olan bir çember üzerindedir.
Tanım olarak
denklemini gösterir.
ise
gösterir.
[z]=r eşitliği merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki
nin anlamı merkezi orijinde ve yarıçapı r olan bir çember ve bu çemberin iç bölgesini
ise çemberin sınırladığı iç bölgeyi gösterir. Çember dahil olmadığı için nokta
nokta çizilir.
ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesini gösterir.
ise merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çember ve içi hariç dış bölgenin tümünü gösterir.
Örnek=
z=x+yi ve z'=-1+4i ise [z]=[z'] olduğuna göre z noktalarının geometrik yeri nedir?
a)Merkezi orijinde yarıçapı 5 olan çember.
b)Merkezi orijinde yarıçapı 3 olan çember.
c)Merkezi orijinde yarıçapı 4 olan çember.
d)(-3,5)
e)0
Cevap=
[z]=[-3+4i] ise
olan çemberdir.
bu da [z]= 5 eşitliğidir. Yani (bilgi yelpazesi.net) merkezi orijinde yarıçapı 5
Yanıt A şıkkı.
Örnek=
eşitsizliğini sağlayan noktalar karmaşık düzlemde bir bölge oluşturur. Bu
bölgenin alanı kaç br karedir?
Cevap
Bu bölge merkezleri orijinde ve yarıçapları 2 ve 4 birim olan iki çemberin sınırladığı bölgedir, alanı:
BİR KARMAŞIK SAYININ SANAL SAYI İLE ÇARPIMI
ve z=x+yi olsun.
i.z=i(x+yi) bu da iz=-y+xi olur.
iz=-y+xi olduğu için (-y,x) olur ve z noktası etrafında pozitif yönde 90 derece dönünce iz noktasının
bulunacağı görülür.
Örnek=
a=(5,2) noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürülürse hangi nokta bulunur?
Cevap=
Negatif yönde 90 derece döndürmek için -i ile çarpılır.
(5,2)=5+2i dir.
-i(5+2i)=-5i-2
= 2-5i
O halde A'=(2,-5) bulunur.
KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASI UZAKLIĞIN BULUNMASI
Karmaşık düzlemde iki nokta arası uzaklığın bunların farkının mutlak değeridir.
Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri düzlemde bir çemberdir.
Buna göre merkezi z'=a+bi ve yarıçapı r olan bir çemberin karmaşık düzlemdeki denklemi [z-z']=r biçiminde
olur.
A={z:[z+2i]
2 } gibi ifadelerde A=(0,-2) şeklindedir ve yarıçapı 2 dir.
B={z:[z+2]
3 } ise B=(-2,0) şeklindedir ve yarıçapı 3 dür.
Örnek=
z=4-7i ve z'=1-3i sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüleri arası uzaklık nedir?
Cevap=
d=[z-z']=[(4-7i)-(1-3i)]
=[(4-1)+(-7+3)i]=[3-4i]
=
= 5 birim
Örneğin\Merkezi z'=2+3i ve yarıçapı 4 olan bir çember denklemi:
[z-(2+3i)]=4 biçimindedir.
KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL KORDİNATLARLA GÖSTERİMİ
z=a+bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijine birleştiren doğru parçasının [Oz]=r=[z] olur. Oz
doğrusunun reel eksenle yaptığı yönlü açı da Q olsun. Karmaşık düzlemde bir r uzunluğu ve Q açısı
verildiğinde z noktasının yeri bulunur.
Karşıt olarak
bir z noktası verildiğinde r sayısı ve en az bir Q açısı bulunabilir. Q açısı
açılarından biri olabilir. Yani bu açılardan her biri z nin üzerinde bulunduğu ışını belirtir. Bu ışın üzerinde r
kadar alınarak z noktası bulunmuş olur.
z=0 sayısı için Q belirsizdir. Bundan (bilgi yelpazesi.net) dolayı r=0 almakla karmaşık düzlemde z=0(orijin)
notasını göstermiş olur.
ARGÜMENT
Bir karmaşık sayı için reel eksenin pozitif yönü ile yaptığı Q açısına o karmaşık sayının argümenti denir ve
Arg z=Q biçiminde gösterilir.0
ve Arg z=Q ile gösterilir.
Q <360 arasında alınırsa buna z karmaşık sayısının esas argümenti denir
Eğer z nin argümentini genel argüment
ile gösterilir.
Esas argümente kısaca argüment denir.
BİR KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL KORDİNATLARDA YAZILMASI
z karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarda yazılışı z=r(cosQ+i sinQ) şeklindedir.
r ise
dir.
z=r(cosQ+i sinQ) da aradaki işaret daima + olacağına göre bu yazılışı cos den (C), sin den (S) harfi alınarak
kısaca r(cosQ+i sinQ)=r cisQ biçiminde yazılır.
KUTUPSAL KORDİNATLARDA İŞLEMLER
Çarpma İşlemi
z=r(cosQ+i sinQ)
z'=r'(cos@+i sin@) olduğuna göre
z.z'=r.r'(cosQ+i sinQ).(cos@+i sin@) buradan da
z.z'=r.r'(cos(Q+@)+i sin(Q+@)) bulunur.
İki karmaşık sayının çarpımında mutlak değerler çarpılır, argümentler toplanır.
Bölme İşlemi
z=r(cosQ+i sinQ)
z'=r'(cos@+i sin@) ise
z = r =(cos(Q-@)+i sin(Q-@)) olarak bulunur.
z' r'
[z] =r ve Arg(z)=Q
[z']=r' ve Arg(z)=@ olduğuna göre
z = r Arg(z ) = Q-@ olur.
z' r'
(z')
KARE VE KAREKÖK
z nin kare ve kareköklerini bulmak için De Moivre formülü kullanılır.
bulunur.
n=p içinde geçerlidir.
q
Dikkat edilmesi gereken nokta n=p olduğu zaman argüment, genel
q
argüment alınmalıdır. Çünkü k değeri değiştikçe başka sayılar da bulunur.
KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (2) (MATEMATİK
DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)
GİRİŞ
Karmaşık sayılar alternatif akım devrelerinin çözümünde çok kullanılırlar. Bu sayıların alternatif akım
devrelerce kullanılması ile vektörel işlemler cebirsel işlem halin dönüşür.
Bu bölümde karmaşık sayılar tanıtılacak ve çeşitli işlemlerin nasıl yapılacağı gösterilecektir. Vektörleri bilinen
karmaşık büyüklükleri cebirsel veya skaler büklüklerden ayırmak için sembol harfi üzerinde bir vektör işareti,
ya bir çizgi yada bir nokta kullanılır. Örneğin bir A karmaşık sayısı,
şeklinde gösterilir
A-SAYILARIN TANIMI
1-Gerçel sayılar
Gerçel (reel) sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan meydana gelir. Yatay eksen üzerinde alınan gerçel
sayılar ekseninin her noktasında bir gerçel sayı vardır.(Şekil 7-1). 1; 2; 3,5; ;-3; -27 gibi sayılar gerçel
sayılardır.
Şekil 7 -1 Gerçel sayılar ekseni
2-Sanal sayılar
Negatif gerçel sayıların kökleri sanal (imajiner , hayali) sayılardır.
Dersek ,
olur. Şu halde sanal sayılar J sembolü ile birlikte
bulunurlar. Sanal sayılar düşey eksen üzerinde gösterilir. ( (Şekil 7-2).
Şekil 7 -2: Sanal sayılar ekseni
Matematikte “i” ile gösterilen sanal sayılar, elektrikte akım ile karışmaması için “j” ile gösterilir. “j” nin
kuvvetlerinin aşağıdaki gibi olacağını kolaylıkla çıkarabiliriz.
B- KARMAŞIK SAYILAR
Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.Yani bir karmaşık sayının içinde hem
gerçel sayı ve hem de sanal sayı vardır.Karmaşık sayılara örnek olarak, 2+j3 ; 3-j4 ; -5+j2 ; -3-j3 sayılarını
gösterebiliriz. Bu karmaşık sayılar, gerçel ve eksenin birlikte bulunduğu Şekil 7 -3 de gösterilmiştir.
Sanal sayılar ekseni
Şekil 7-3 Karmaşık sayılar
Bir sayının başlangıç noktası ile birleşmesiyle o sayı temsil ettiği vektör elde edilir. Şekil 7-4 de A gerçel
sayısının, B sayısının ve C ile D karmaşık sayısının temsil ettikleri vektörler gösterilmiştir. A gerçel sayısının,
sanal kısmı olmayan bir (bilgi yelpazesi.net) karmaşık sayı gibi düşünebiliriz. Aynı şekilde B sanal sayısını da
gerçel kısmı olmayan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. A,B,C ve D karmaşık sayılarına A,B,C,D vektörleri
de denir.
Sanal sayılar ekseni
Şekil 7 –4 : Sayılar temsil ettikleri vektörler
KARMAŞIK SAYILARIN GÖSTERİLİŞ ŞEKİLLERİ
Karmaşık sayılar veya vektörler üç şekilde gösterilir. Bular aşağıda incelenmiştir.
1-
Dik bileşenler şeklinde gösterilişi:
Bu gösteriliş şeklinde karmaşık sayı veya vektör yatay ve düşey eksen üzerindeki izdüşümleri ile gösterilir.
Bu izdüşümleri vektörün birbirine dik olan birleşenidir.
Şekil 7-5 Bir vektörün dik bileşenler şeklinde gösterilmesi
Şekil 7-5 deki A vektörünün yatay eksen üzerindeki bileşeni a ve düşey eksen üzerindeki bileşeni b
olduğuna göre A vektörü,
A=a+jb
Şeklinde gösterilir. a bileşeni gerçel sayılar ekseni üzerinde olduğundan gerçel bir sayıdır. b bileşeni ise
sanal ekseni üzerinde bulunduğundan, sanal bir sayıdır. Bunun için b bileşeni j ile birlikte gösterilir.
Şekil 7 –4 deki vektörlerde dik bileşenler şeklinde gösterilmiştir
Dik bileşeninden vektörün büklüğünü(mutlak değerini) ve yatayla yaptığı açıyı bulabiliriz. Şekil 7 –5 deki A
vektörün büyüklüğü,
veya yatay yaptığı açı ise
Diğer taraftan Cos
a=A. cos
=(a/A) ve sin
=(b/A) olduğundan, a ve b birleşeni için,
b=A. sin
yazılır.
Bu ifadeler, Formül 7 –1 de yerine yazılırsa, A vektörü için,
A=a+jb=A. Cos
+j. A. Sin
veya A=A(Cos
+j sin )
Elde edilir. Burada A, vektörün büyüklüğü ya da vektörün yatay yaptığı açıdır.
2 – Kutupsal gösteriş
Bu gösteriş şeklinde vektör, büyüklüğü ve pozitif yatay eksenle yaptığı açı ile gösterilir. Şekil 7-6 da A
vektörün büyüklüğü (mutlak değeri ) A veya pozitif yatay eksenle yaptığı açı - olduğuna göre kutupsal
gösterişi,
Bu gösterişte A ve açı işareti içindeki “-“ birbiri ile çarpma şeklinde düşünülmelidir. Formül 7-6 sadece bir
gösteriş şeklidir.
Şekil 7- 6: Bir vektörün kutupsa şeklinde gösterilmesi
Şekil 7-7 de A, B, C, ve D vektörleri kutupsa şekilde gösterilmiştir. Bu vektörlerin açılarının pozitif yatay
eksenden itibaren alındığına dikkat ediniz.
Şekil 7- 7
Bundan dolayı pozitif yatay eksene “başlangıç ekseni” denir. Ayrıca saat ibresi hareketinin ters yönünde
oluşan açılar pozitif, saat ibresi hareketi yönünde oluşan açılarda negatif işareti gösterilir.
Vektörün yatay ve düşey eksenler üzerindeki bileşenleri (gerçel ve sanal bileşenleri) yine Formül 7-4 den
bulunur.
3-Üstel gösteriliş:
Bu gösteriliş şeklinde yine vektörün büyüklüğü açısı belirtilir. Şekil 7-8 deki A vektörünün üstel şeklinde
gösterilişi,
Burada (bilgi yelpazesi.net) e=2,718 olup, tabii (veya neper) logaritma tabanıdır.
Şekil 7-8:Bir vektörün üstel şeklinde gösterilmesi
Üstel gösteriliş şeklinin basitleştirilmiş hali kutupsal gösteriliştir. Bunun için biz karmaşık sayıların veya
vektörlerin üstel gösteriliş şeklini kullanmayacağız.
C-“-1” VE “j” ÇARPANLARI
Şekil 7-9 daki A vektörü pozitif yatay eksen (başlangıç ekseni) üzerindedir. Eğer bu A vektörünü -1 ile
çarparsak, -A elde edilir ki bu vektör negatif yatay eksen üzerindedir.
Şu halde -1 ile çarpılan vektörler 180
döndürülmüştür. Şimdi de A vektörünün j ile çarpalım. Vektör, jA
olacaktır. Bu vektörde pozitif düşey eksen üzerinde bulunacağından, A vektörüne göre saat ibresi hareketini
ters yönünde 90
döndürülmüştür. Eğer A vektörü –j ile çarpılırsa, -jA vektörü elde edilir ki bu vektörde
negatif düşey eksen üzerindedir. Buradan da –j ile çarpılan bir vektörün saat ibresi hareketi yönünde 90
döndürüleceği anlaşılır.
Burada -1 ve j’nin bir yönlendirici olarak yaptıkları görevi gösterdik
D –KRMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti değiştirilerek elde
edilir. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A sayının sırsıyla,
A=a+ jb
A
=a+ jb dır.
A=2-j3 ise, eşleniği A
=2+j3 dür. B=-4+j2 ise eşleniği B
=-4-j2 dır.
Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek bulunur. A sayısı ve
bunun eşleniği olan A
sayısı sırasıyla,
E-DİK BİLEŞEN VE KUTUPSAL GÖSTERİLİŞLERİN BİRBİRİNE CEVRİLMESİ
Dik bileşenler bir vektör kutupsa şekille ve kutupsal şekildeki bir vektör de dik bileşenler şekline çevrilebilir.
Dik bileşenler şeklindeki A=a+jb vektörünün, kutupsal A=A /
vektörüne çevrilmesi için A büyüklüğü ve
açının a ve b cinsinden bulunması gerekir. A büyüklüğü Formül 7-2 de ve yatayla yaptığı
açısında
Formül 7-3 de verilmişti.
Buradan,
Bu formül dik bileşenler şeklinin kutupsal şekle çevrilmesinde kullanılır.
Kutupsal şekildeki A=A /
vektörü, dik bileşenler şeklindeki A=a+jb
Vektörüne çevirmek için, a ve b bileşenleri A ve
bileşenleri A ve
cinsinden verilmiştir. Buradan;
cinsinden bulunmalıdır. Formül 7-4 de a ve b
yazılır. Bu formül kutupsal şeklin dik bileşenler şekline çevrilmesinde
kullanılır.
Örnek 7-1: Z=3-j4 vektörünü kutupsal şekle çeviriniz.
Çözüm: formül 7-8 kullanarak,
bulunur. Burada negatif açıların tanjantının da negatif olacağı unutulmamalıdır.
Örnek 7-2:
vektörünün dik bileşenler şekline çeviriniz.
Çözüm: formül 7-9 kullanarak,
ve
bulunur. Burada negatif açıların kosinüslerin pozitif, sinüslerin ise negatif olduğu unutulmamalıdır.
F – KARMAŞIK SAYILARIN DÖRT İŞLEMİ
1- Toplama Ve Çıkarma:
Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklinde gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal şekilde toplama ve
çıkarma işlemi yapılmaz. Kutupsal şekil ancak dik bileşen şekline çevrilerek toplanabilir veya çıkarılabilir.
Dik bileşenle şeklindeki vektörlerin toplama işleminde, gerçel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar kendi
aralarında toplanır. A=a+jb ve B=c-jd ise, bunların toplamı
A+B=(a+c)+j( b-d)
olur. Çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer. Yukarıdaki A ve B vektörlerinin farkı,
A-B=(a+jb)-( c-jd)=(a-c)+j(b+d)
Örnek 7-3: A=2+j5 ve B=4-j2 vektörlerin toplamını bulunuz.
Çözüm: A+B=(2+j5)+(4-j2)=(2+4)+j(5-2) =6+j3 olur.
Şekil 7-10 da A ve B vektörleri ile bunların toplamları gösterilmiştir. A ve B vektörler paralel kenar yöntemi ile
toplanınca yine (bilgi yelpazesi.net) aynı toplamın bulunacağına dikkat ediniz.
şekil 7-10
Örnek 7-4:
Çözüm: çıkarma işleminin yapıla bilmesi için önce her birini dik bileşen şekline çevirelim.
Şimdi çıkarma işlemi,
U
-U
=(35,35+j35,35)-(15+j25,98)
=35,35+j35,35-15-j25,98
=20,35+j9,37 olarak elde edilir.
2- Çarpma:
Dik bileşen şeklindeki gösterişe çarpma cebir kuralına göre yapılır.
A=a+jb ve B=c-jd İse A ile B nin çarpımı
A.B=(a+jb).(c-jd)=ac-jad+jbc-j bd
Ve j=-1olduğunden,
A.B=(ac+bd)+j(bc-ad) olur.
Kutupsal gösterişte çarpma işlemi, büyüklüklerin çarpımı ve açıların toplamı ile gerçekleştirilir.
Örnek 7-5: I=2+j3 ve Z=4+j2 dır. I.Z yi bulunuz.
Çözüm: I.Z=(2+j3).(4+j2)=8+j4+j12+j
6
=2+j16
3- Bölme:
Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir. Bunun için
paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. A=a+jb ve B=c-jd ise A nın B ye
bölümü,
Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Büklükleri bölünür ve paydanın açısı,
payın açısından (bilgi yelpazesi.net) çıkarılır.
Örnek 7-7: U=36+j12 ve Z=8-j4 dür. U/Z i bulunuz.
Çözüm:
Örnek 7-8:
K/L değerini bulunuz.
Çözüm:
KARMAŞIK SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI
Sinüsel alternatif büyüklükleri vektörle gösterilmiştir. Bunların işlemlerinde vektörel işlemlerin olduğunu
biliyoruz. Karmaşık sayıların kullanılması ile vektörel işlemler, cebirsel işlemler şeklinde düşünülür.
Bundan dolayı karmaşık sayılar, alternatif akım devrelerinde büyük kolaylık sağlar. Doğru akım devrelerine
uygulanan bütün kural ve kanunlar aynı şekilde alternatif akım devrelerine uygulanabilir.