İç Kuvvetler

Mühendislik Mekaniği
Statik
Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 7
İç Kuvvetler
Kaynak: ‘Mühendislik Mekaniği: Statik’, R. C. Hibbeler, S. C. Fan,
Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
7. İç Kuvvetler
Bu bölümde, bir yapı elemanının belli noktalarındaki iç kuvvetleri
bulmak amacıyla bir teknik geliştireceğiz.
Daha sonra bu yöntemi, yüklemenin elemanın ekseni boyunca
noktadan noktaya değişimini bulmak için genelleştireceğiz.
İç yüklemenin bu değişimini gösteren bir grafik, maksimum iç
yüklerin ortaya çıktığı kritik noktaları bulmamızı sağlayacaktır.
Kabloların analizi bölümün son kısmında ele alınacaktır.
7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler
Bir yapı elemanının tasarımı, dış yükleri dengelemede gerekli olan,
eleman içinde etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir.
Kesim yöntemi bu amaç için kullanılabilir. B noktasında kesit alınırsa,
iç yüklemeler her bir parçanın SCD’sinde dış yükleme olarak «ortaya
çıkar».
7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler
Eğilme momenti
bileşenleri
Normal kuvvet
Burulma momenti
Normal kuvvet
Kesme kuvveti
Eğilme momenti
Kesme kuvveti bileşenleri
Her bir yüklemenin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli
noktalarda genellikle farklı olacaktır. Kesim yöntemi bu yüklemelerin
değerlerini belirlemek için daima kullanılabilir.
7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler
İşaret Uylaşımı.
Pozitif Normal Kuvvet
Pozitif Kesme Kuvveti
Pozitif Eğilme Momenti
- Pozitif normal kuvvet, elemanda çekme meydana getirir.
- Pozitif kesme kuvveti, elemanı saat yönünde döndürmeye çalışır.
- Pozitif eğilme momenti, elemanı yukarı doğru konkav olacak şekilde
eğmeye çalışır.
Bunun tersi durumlar negatiftir.
7.1 Yapı Elemanlarında Ortaya Çıkan İç Kuvvetler
Analizde İzlenecek Yol.
Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç yüklemeleri belirlemek için
kesim yönteminin uygulanması için aşağıdaki adımlar izlenmelidir.
Mesnet Tepkileri.
Serbest Cisim Diyagramı.
Denge Denklemleri.
Örnek 7-3
Kiriş, şekilde gösterilen yükü taşımaktadır.
6 kN’luk kuvvetin hemen solundaki B
noktası ve hemen sağındaki C noktasında
etkiyen iç normal kuvveti, kesme kuvvetini
ve eğilme momentini belirleyiniz.
Örnek 7-3
Mesnet Tepkileri.
Örnek 7-3
Serbest Cisim Diyagramları.
Denge Denklemleri.
Örnek
Kiriş, şekilde gösterilen yükü taşımaktadır.
C noktasında etkiyen iç normal kuvveti,
kesme kuvvetini ve eğilme momentini
belirleyiniz.
Örnek
Örnek 7-4
Şekilde gösterilen iki elemanlı çerçevenin B
noktasında etkiyen iç normal kuvveti,
kesme kuvvetini ve eğilme momentini
belirleyiniz.
Örnek 7-4
Örnek 7-4
Örnek 7-5
Şekildeki gibi yüklenen çerçevenin E noktasında
etkiyen iç normal kuvveti, kesme kuvvetini ve
eğilme momentini belirleyiniz.
Örnek 7-5
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
Kirişler, eksenlerine dik uygulanan yüklemeleri taşımak için dizayn
edilen yapısal elemanlardır. Genelde, sabit kesit alanına sahip, uzun,
doğrusal çubuklardır.
Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç V
kesme kuvvetinin ve M eğilme momentinin değişiminin detaylı olarak
bilinmesini gerektirir.
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
x’in fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimlerini gösteren grafiklere,
sırasıyla, kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramları denir.
Genelde, yayılı yüklerin değiştiği, ya da tekil kuvvetlerin veya
momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme
momenti fonksiyonları ve bunların eğimleri süreksiz olur.
Bu nedenle, bu fonksiyonlar, kirişin herhangi iki yükleme süreksizliği
arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir.
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
İki sebeple iç normal kuvvet hesaba katılmaz:
Birçok durumda kirişe uygulanan yükler, kiriş eksenine dik etkir ve bu
suretle sadece iç kesme kuvveti ve eğilme momenti üretir.
Tasarım amaçları için, kirişin kesmeye ve özellikle eğilmeye direnci,
normal kuvvete karşı koyma yeteneğinden daha önemlidir.
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
İşaret Uylaşımı.
Pozitif Kesme Kuvveti
Pozitif Eğilme Momenti
- Pozitif kesme kuvveti, elemanı saat yönünde döndürmeye çalışır.
- Pozitif eğilme momenti, elemanı yukarı doğru konkav olacak şekilde
eğmeye çalışır.
Bunun tersi durumlar negatiftir.
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
Analizde İzlenecek Yol.
Bir kirişin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının çizilmesi
için aşağıdaki adımlar izlenmelidir.
Mesnet Tepkileri.
Kiriş üzerine etkiyen tüm tepki kuvvetleri ve kuvvet çifti momentleri
belirlenir. Kuvvetlerin hepsi kiriş eksenine dik ve paralel etkiyen
bileşenlerine ayrılır.
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
Analizde İzlenecek Yol.
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Fonksiyonları.
Orijini kirişin sol ucunda olan ve tekil kuvvetler ve/veya momentler
arasındaki veya yayılı yüklerde hiçbir süreksizliğin olmadığı bölgelere
uzanan ayrı x koordinatları belirtilir.
Kiriş, her bir x uzaklığında eksene dik olarak kesilir. Serbest cisim
diyagramı üzerinde V ve M, işaret uylaşımına uygun olarak, pozitif
yönlerde gösterilmelidir.
V, kirişin eksenine dik kuvvetler toplamından, M ise parçanın kesim
yapılan ucuna göre momentler toplamından belirlenir.
*7.2 Kesme ve Moment Denklemleri ve Diyagramları
Analizde İzlenecek Yol.
Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti Diyagramları.
Kesme kuvveti diyagramı (x’e göre V) ve eğilme momenti diyagramı
(x’e göre M) çizilir.
Belirlenen V ve M fonksiyonlarının hesaplanan değerleri pozitifse,
değerler x ekseni üzerinde, negatifse x ekseninin altında çizilir.
Genellikle, kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını
doğrudan kirişin serbest cisim diyagramı altına çizmek uygun olur.
Örnek 7-7
Şekilde gösterilen şaft için kesme kuvveti ve
eğilme momenti diyagramlarını çiziniz. A’daki
mesnet itme yatak, B’deki kayma yataktır.
Örnek 7-7
Örnek 7-7
Örnek 7-8
Şekilde gösterilen kirişin kesme kuvveti ve
eğilme momenti diyagramlarını çiziniz.
Örnek 7-8
w/x = 6/9  w = 2x/3
Örnek 7-8
*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar
Kirişin birkaç tekil kuvvet, moment ve yayılı yüke maruz kaldığı
durumlarda, daha önce incelenen kesme kuvveti ve eğilme momenti
diyagramlarını oluşturma yöntemi zahmetli hale gelebilir.
Bu kesimde, bu diyagramları oluşturmak için, yük, kesme kuvveti ve
eğilme momenti arasında var olan diferansiyel bağıntılar üzerinden
daha basit bir yöntem oluşturulacaktır.
*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar
Yayılı Yük.
Kesme kuvveti
diyagramının eğimi
Yayılı yük
şiddeti
Kesme
kuvvetindeki
değişim
Yükleme eğrisi
altındaki eğrinin
alanı
SCD parçası tekil kuvvet veya momente maruz
kalmayan bir noktadan seçildiği için, elde edilen
ifadeler tekil yükleme noktalarında kullanılamaz.
*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar
Yayılı Yük.
Moment
diyagramının eğimi
Kesme
Kuvveti
Momentteki
değişme
Kesme kuvveti
diyagramı
altındaki alan
Kesme kuvvetinin sıfıra eşit olduğu bir
noktada dM/dx = 0 ve dolayısıyla eğilme
momenti maksimum olur.
*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar
Yayılı Yük.
Kesme
kuvvetindeki
değişim
Yükleme eğrisi
altındaki eğrinin
alanı
Momentteki
değişme
Kesme kuvveti
diyagramı
altındaki alan
w=w(x) yükleme eğrisi n’inci dereceden bir
polinomsa, V=V(x)(n+1)’inci dereceden,
M=M(x)(n+2)’nci dereceden bir eğri
olacaktır.
*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar
Kuvvet.
F kiriş üzerinde yukarı doğru etkidiği zaman
kesme kuvvetindeki değişim pozitiftir. Yani,
kesme kuvveti diyagramı üzerinde kesme
kuvveti yukarı doğru «atlar». Benzer
şekilde, F aşağı doğru etkidiğinde kesme
kuvvetindeki atlama (ΔV) aşağı doğrudur.
*7.3 Yayılı Yük, Kesme Kuvveti ve Moment Arasındaki Bağıntılar
Moment.
M0 saat yönünde ise, momentteki değişme
pozitiftir veya moment diyagramı yukarıya
doğru «atlar».
Örnek
Şekilde gösterilen kirişin kesme kuvveti
ve eğilme momenti diyagramlarını
çiziniz.
Örnek
A ucundaki kesme kuvveti -2 kN’dur ve x=0
noktasında çizilmiştir. Kesme diyagramı, w yükü
ile tanımlanan eğimler ile oluşturulur. Kesme
kuvveti x=4’te -5 kN’dur. Bu değer, yayılı yük
altındaki alandan da hesaplanabilir:
Moment diyagramı, her noktadaki eğimin kesme
kuvvetine eşit olduğu bilgisiyle çizilir. x=0’dan
x=2’ye kadar moment değişimi, kesme diyagramı
altındaki alandan hesaplanır:
w=0
Veğim = 0
w = negatif sabit
Veğim = negatif sabit
V = negatif sabit
Meğim = negatif sabit
V = negatif artan
Meğim = negatif artan
Örnek
Şekilde gösterilen çıkmalı kirişin
kesme kuvveti ve eğilme momenti
diyagramlarını çiziniz.
Örnek
A ucundaki kesme kuvveti -2 kN’dur ve x=0
noktasında çizilmiştir. Kesme diyagramı, w yükü
ile tanımlanan eğimler ile oluşturulur. x=4 m’de
By’den kaynaklanan 10 kN’luk pozitif atlamaya
dikkat ediniz.
Moment diyagramı, her noktadaki eğimin kesme
kuvvetine eşit olduğu bilgisiyle çizilir. x=4 m’deki
moment, kesme diyagramı altındaki alandan
bulunur:
w=0
Veğim = 0
w = negatif sabit
Veğim = negatif sabit
V = negatif azalan
Meğim = negatif azalan
V = negatif sabit
Meğim = negatif sabit
*7.4 Kablolar
Bükülebilir kablolar ve zincirler, mühendislik yapılarında yükleri
taşımak ve bir elemandan diğerine aktarmak amacıyla sıklıkla
kullanılır.
Analizde üç hal ortaya çıkar:
(1) Tekil yüklemeye maruz kablo,
(2) Yayılı yüke maruz kablo,
(3) Kendi ağırlığına maruz kablo.
*7.4 Kablolar
Kablodaki kuvvet ve kuvvetin eğimi arasındaki gerekli bağıntılar
çıkarılırken, kablonun tam bükülebilir ve uzamaz olduğu varsayımları
yapılır.
Bükülebilirlik, kablonun eğilmeye karşı direncinin olmadığı anlamına
gelir ve dolayısıyla kablodaki çekme kuvveti, kablo uzunluğu boyunca
her noktada daima kabloya teğettir.
Uzamazlıktan dolayı, yük uygulandıktan sonra da kablo uzunluğu ve
geometrisi sabit kalır. Dolayısıyla, kablo veya bir parçası rijit cisim
olarak düşünülebilir.
*7.4 Kablolar
Tekil Yüklere Maruz Kablo.
Ağırlığı ihmal edilebilir bir kablo birçok tekil yük taşıyorsa, kablo, her biri
sabit çekme kuvvetine maruz birçok doğru parçasının oluşturduğu formu
alır.
Üç parçanın her birindeki çekme kuvveti, A ve B mesnetlerindeki ikişer
tepki ile C ve D noktalarındaki sarkmalar olmak üzere dokuz bilinmeyen
bulunmaktadır.
A, B, C ve D noktalarından toplam sekiz denge
denklemi elde edilir.
Sarkmalardan birisi veya kablonun toplam
uzunluğu
verilirse,
bütün
bilinmeyenler
geometriden belirlenebilir.
Örnek 7-13
Şekilde gösterilen kablonun her
parçasındaki çekme kuvvetini belirleyiniz.
bir
Örnek 7-13
Örnek 7-13
Örnek 7-13
Örnek 7-13
*7.4 Kablolar
Yayılı Yüke Maruz Kablo.
*7.4 Kablolar
Yayılı Yüke Maruz Kablo.
Örnek 7-14
Asma köprünün kablosu şekilde gösterildiği gibi, A ve B sütunları
arasındaki düzgün yüzeyinin yarısını taşımaktadır. Yayılı yük w0
olduğuna göre, kabloda oluşacak maksimum kuvveti ve kablonun
uzunluğunu belirleyiniz.
Örnek 7-14
*7.4 Kablolar
Kendi Ağırlığına Maruz Kablo.
Örnek 7-15
Şekilde gösterilen çökme eğrisini, eğrinin uzunluğunu ve düzgün
kablodaki maksimum çekme kuvvetini belirleyiniz. Kablonun ağırlığı
w0 = 5 N/m’dir.
Örnek 7-15
Örnek 7-15
Örnek 7-15