ĠÇ KUVVETLER Amaçlar: • Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması • Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler Bir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı, dıĢ yükleri dengelemede gerekli olan, eleman içine etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir. BaĢka bir deyiĢle, sözkonusu elemanın yapıldığı malzemenin, uygulanan kuvvetlere karĢı dayanımını koruyup koruyamayacağının ortaya konması gerekir. Kesit yöntemi bu amaç için kullanılabilir. ġekildeki P1 ve P2 kuvvetlerine maruz konsol kiriĢi ele alalım. Eğer B noktasında oluĢan iç kuvvetleri bulmak istiyorsak kiriĢ eksenine dik hayali bir a-a kesiti geçirmek gerekir, bu kesit ile kiriĢ iki parçaya ayrılır. KiriĢi B noktasından kestiğimizde, iç kuvvetler her bir parçanın serbest cisim diyagramında dıĢ kuvvet olarak gösterilir. Bu kuvvetler kesitin her iki tarafında büyüklükçe eĢit ve zıt yönlü olmalıdır (Newton’un üçüncü kanunu). Bu kuvvetler, parçaların birbirine göre relatif hareketini engellemektedir. NB= kesite dik olarak etkiyen NORMAL KUVVET (eksenel kuvvet) VB= kesite teğet olarak etkiyen KESME KUVVETĠ MB= kesite etkiyen EĞĠLME MOMENTĠ B kesitindeki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir. Sağ parçanın serbest cisim diyagramını kullanalım: NB VB MB Fx 0 Fy 0 M 0 B Ġki boyutlu problemlerde, kesitte üç adet iç kuvvet oluĢmaktadır. Üç boyutta ise kesitte, genel bileĢke iç kuvvet ve kuvvet çifti momenti etki edecektir. Bu kuvvetlerin x, y, z bileĢenleri Ģekilde gösterilmektedir. 3 boyutlu 2 boyutlu Bir çok uygulamada, bu bileĢke kuvvetler kesitin enkesit alanının geometrik merkezi veya ağırlık merkezinde etki edecektir. Her bir kuvvetin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeĢitli noktalarda farklı olacaktır. Bu nedenle, kesit yöntemi bir elemana birden fazla kez uygulanacaktır. İŞARET KABULLERİ Mühendislerin genellikle kullandığı N,V, M kuvvetlerinin pozitif yönleri aĢağıda gösterilmiĢtir : Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment Pozitif normal kuvvet - Normal kuvvet elemanda çekme etkisi yaratıyorsa, yönü pozitiftir. - Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir. - Moment, elemanı yukarı doğru konkav Ģekle sokuyorsa, yönü pozitiftir. Bu yönlerin tersi yönünde etki eden kuvvetler negatif olarak ele alınacaktır. ANALİZDE İZLENECEK YOL Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç kuvvetleri belirlemek için kesit yönteminin uygulanması aĢağıdaki prosedür izlenerek yapılabilir. Mesnet Tepkileri: eleman parçalara ayrıldığı zaman, denge denklemlerinin sadece iç kuvvetleri bulmak için kullanılabilmesi için, kesilmeden önce mesnet tepkilerini belirlemek gerekebilir. Serbest Cisim Diyagramı: eleman üzerine etkiyen bütün dıĢ kuvvetler (mesnet tepkileri dahil) eleman üzerinde etkidikleri yerler değiĢtirilmeden gösterilir. Ġç kuvvetlerin belirleneceği noktada eksene dik hayali bir kesit geçirilir. Parçalardan üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç kuvvetler pozitif yönleriyle serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilir. Denge Denklemleri: bilinmeyen iç kuvvetlerin bulunması için denge denklemleri uygulanır. Normal ve Kesme kuvvetlerini elimine etmek için, Moment denge denklemi kesite göre alınmalıdır. Denge denklemlerinin çözümü negatif bir sayı verirse, seçilmiĢ olan yön yanlıĢtır, kuvvetin yönü serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilene terstir. ÖRNEK 59 6 kN’luk kuvvetin hemen solundaki B noktası ve hemen sağındaki C noktasında oluĢan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz. ÇÖZÜM Mesnet kuvvetleri, tüm kiriĢin serbest cisim diyagramı kullanılarak bulunur. KiriĢ B noktasından ve C noktasından kesilir, serbest cisim diyagramı çizilir. AB parçası AB parçası AC parçası AC parçası ÖRNEK 60 C noktasında oluĢan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz. ÇÖZÜM Kestikten sonra sağ parçayı kullanacağımız için A noktasındaki mesnet tepkilerini bulmaya gerek yoktur. Yayılı yükün C noktasındaki değeri üçgen benzerliğinden bulunabilir. Yayılı yüke eĢdeğer tekil kuvvet (450 N) Denge denklemleri : Ödev 19 B noktasında oluĢan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz. Sol parça Ödev 20 C noktasında oluĢan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz. VC 9 kN/m MC NC 23.25 kN Kesme Kuvveti ve Moment Diyagramları Ekonomik ve yapısal açıdan efektif bir tasarım yapılabilmesi için Ģekilde görülen kiriĢler açıklık boyunca farklı kesitlerde üretilmiĢtir. Çünkü kiriĢin ortasına kıyasla mesnetlerinde oluĢan moment değeri daha büyük olacaktır. KiriĢler, eksenlerine dik uygulanan yükleri taĢımak için tasarlanan elemanlardır. Genelde, kiriĢler sabit enkesit alanına sahip uzun, doğrusal çubuklardır. Mesnetlenme durumlarına göre sınıflandırılırlar. Örn: basit mesnetli kiriĢ ( bir ucunda pimli diğerine kayar mesnet), ankastre kiriĢ (bir ucundan ankastre mesnetle sabitlenmiĢ, diğer ucu serbest) vb. Bir kiriĢin tasarımı, kiriĢin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvvetinin (V) ve eğilme momentinin (M) değiĢiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir. Normal kuvvetin değiĢimi kiriĢlerin tasarımında dikkate alınmaz. Çünkü, genelde kuvvetler kiriĢ eksenlerine dik doğrultuda etkir ve bu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve moment oluĢturur. Ve tasarım açısından kiriĢlerin kesmeye ve eğilmeye karĢı dayanımları eksenel yüke dayanımından çok daha önemlidir. Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kiriĢin gerekli enkesit alanını belirlemek için malzeme mekaniği teorisi ve uygun bir mühendislik tasarım standardı kullanılabilir. KiriĢin ekseni boyunca x konumunun fonksiyonu olarak V ve M’nin değiĢimleri kesit yöntemi kullanılarak ele edilebilir. Bununla birlikte, kiriĢi belirli bir noktadan kesmek yerine bir uçtan keyfi bir uzaklıktan (x1, x2, x3 gibi) kesmek gerekir. x’in fonksiyonu olarak V ve M’nin değiĢimlerini gösteren grafiklere, kesme kuvveti diyagramı ve eğilme momenti diyagramı denir. Genelde, yayılı yüklerin değiĢtiği ya da tekil kuvvet veya momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları veya bunların eğimleri süreksizdir. Bu nedenle, bu fonksiyonlar kiriĢin herhangi iki yükleme süreksizliği arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir. Örn: Ģekildeki (Oa), (ab), (bL) parçaları için V ve M fonksiyonları için ayrı ayrı hesaplanmalıdır. V(x1) M(x1) V(x2) M(x2) V(x3) M(x3) 0 x1 a a x2 b b x3 L ÖRNEK 61 ġekildeki basit mesnetli kiriĢin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz. Tüm kiriĢin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım: 5kN Ax=0 Ay=2.5 kN Cy=2.5 kN Kesme kuvveti ve Moment diyagramları B noktasına uygulanan tekil kuvvetin hemen sağından ve hemen solundan kesit alınır. 1.parça 2.parça + - + Pozitif yön kabulüne göre kesme kuvveti ve moment diyagramının çizimi yapılmıĢ ve iĢaretlenmiĢtir. ÖRNEK 62 ġekildeki kiriĢin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz. ÖRNEK 63 ġekildeki kiriĢin normal kuvvet, kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.