Gauss Yasası
advertisement
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği anlatılmaya çalışılacaktır. Bunun için ilk olarak elektrik akısının tanımı yapılacaktır. Elektrik Akısı Şekilde gösterildiği gibi doğrultusu ve büyüklüğü düzgün olan bir elektrik alanına ait alan çizgilerinin A gibi bir yüzölçümüne sahip bir dikdörtgen yüzeyden dik olarak geçtiği düşünelim. Birim yüzeyden geçen alan çizgilerinin sayısının, elektrik alanının büyüklüğü ile orantılı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, A yüzölçümünden geçen alan çizgilerinin sayısı E*A çarpımıyla orantılı olup elektrik alan büyüklüğü E ile alana dik A yüzölçümünün çarpımına elektrik akısı (φ-fi-) adı verilmektedir. Matematiksel olarak bu ifade aşağıdaki tanımlanır. Bir başka ifadeyle elektrik akısı bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısı ile orantılı olup birimi Coulomb başına Newton metrekare (𝑁. 𝑚2 /𝐶) dir. Örnek Bir Küreden Geçen Akı Merkezinde +1,00μC’ luk bir yük bulunduran 1,00m yarıçaplı bir küreden geçen elektrik akısı ne kadardır? Elektrik alanın geçtiği yüzey alanı alan çizgilerine dik değilse yüzeyden geçen elektrik akısında bir azalma olacaktır. Düzgün elektrik alanıyla θ açısı yapan A yüzölçümlü yüzeyin normali aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Elektrik alanına dik A’ yüzeyiyle A yüzeyi arasındaki ilişki 𝐴′ = 𝐴 ∗ cos(𝜃) ifadesiyle tanımlanır. Bu durumda A yüzölçümlü yüzeyden geçen elektrik akısının değeri aşağıdaki ifadeyle hesaplanır. Bu durumda belli yüzölçümlü bir yüzeyden geçen akı için iki uç durum söz konusudur. Birincisi yüzeyin elektrik alanına dik olması durumda (başka bir değişle, yüzey normalinin elektrik alanına paralel olması durumu θ=0) akı en büyük değerini alır. İkinci durumda ise yüzeyin elektrik alanına paralel olması (yani yüzey normalinin elektrik alanına dik olması θ=90) durumunda ise akının değeri sıfırdır. Belirli ve düzgün bir yüzölçümlü yüzeyden geçen akının değeri ∅𝐸 = 𝐸𝐴′ = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃) ifadesiyle hesaplanabilmektedir. Ancak düzgün olmayan bir yüzölçümlü yüzeyden geçen akının değerini hesaplanabilmesi için aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi yüzeyin çok . sayıda ∆𝐴 𝑖 yüzölçümlü küçük yüzey öğelerine bölündüğü düşünülmektedir. Bu küçük yüzey öğesinden geçen elektrik akısını belirleyebilmek için şekilde gösterildiği gibi büyüklüğü i inci yüzey öğesinin yüzölçümünü göstermek üzere doğrultusu yüzeye dik alınan bir ∆𝑨𝒊 vektörü tanımlayalım. Bu durumda bu küçük yüzeyden geçen elektrik akısının değeri ise aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır. Bir 𝐴 vektörü ile bir 𝐵 vektörünün skaler çarpımı 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜃) olduğundan denklemdeki 𝐸𝑖 ∆𝐴𝑖 cos(𝜃) ifadesi; şeklinde yazılabilmektedir. Bütün cisimden geçen toplam elektrik akısı, bütün öğelerin katkısı toplanarak belirlenebilmektedir. Yüzey öğelerinin yüzölçümleri sıfıra yaklaştığında sayıları sonsuza ulaşacağında, toplam yerine integral alınabilir. Bu göre elektrik akısının genel tanımı aşağıda yazıldığı gibidir. Bu eşitlik söz konusu yüzey üzerinden alınması gereken bir yüzey integralidir. Dolasıyla elektrik akısının değeri (ϕ𝐸 ) hem elektrik alanının desenine (𝑬) hem de ilgilenilen yüzey (𝑑𝑨) bağlıdır. Çoğu elektrik akısı hesaplamalarında kapalı bir yüzeyden geçen akıyla ilgilenilir. Kapalı yüzeyden kasıt üç boyutlu uzayı iç ve dış bölgelere ayıran bir yüzey olarak tanımlanır. Örneğin küre yüzeyi kapalı bir yüzeydir. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi kapalı bir yüzey göz önüne alalım. Şekilde görüldüğü gibi farklı yüzey öğelerinin ∆𝑨𝒊 vektörleri çeşitli doğrultulara yönelmişlerdir. Her noktada bu vektörlerin yüzeye dik olduğu ve dışarı doğru yöneldiğini düşünelim. Buna göre birinci durumda; Elektrik alanı (𝑬) dışarı doğrudur ve 𝜃 < 90° dir. Bu durumda bu yüzey öğesinden geçen elektrik akısı ∆ϕ𝐸 = 𝑬 ∙ ∆𝑨 pozitiftir. İkinci durumda; Elektrik alan çizgileri yüzeye tam paralel olup (yani ∆𝐴𝑖 vektörüne dik) 𝜃 = 90° dir ve durumda bu yüzey öğesinden geçen elektrik akısı sıfırdır. Son olarak üçüncü durumda; Elektrik alan çizgileri söz konusu yüzeyi dışarıdan içeri doğru geçmekte olup açı değeri 180° > 𝜃 > 90° aralığındadır. Bu durumda bu yüze öğesinden geçen elektrik akısı ∆ϕ𝐸 = 𝑬 ∙ ∆𝑨 negatiftir. Bütün cisim yüzeyinden geçen net akı, yüzeyden ayrılan alan çizgileri ile yüzeye giren alan çizgilerinin net sayısıyla orantılıdır denir. Burada net sayı, yüzeyden çıkanların sayısından, girenlerin sayısının çıkarılması elde edilir. Eğer yüzeye girenlerden çok çıkan alan çizgileri varsa, net akı pozitiftir. Tam tersi çıkandan daha çok alan çizgisi yüzeye giriyorsa net akı negatiftir. Sonuç olarak; , kapalı bir yüzey üzerinden alınan integrali göstermek üzere, kapalı bir yüzeyden geçen ϕ𝐸 net akısı, şeklinde yazılabilir. Burada 𝐸𝑛 , elektrik alanının yüzeye dik olan bileşenidir. Örnek Bir Küpten Geçen Akı 𝑥 doğrultusunda yönelmiş düzgün bir E elektrik alanı göz önüne alınsın. Şekildeki gibi 𝑙 kenar uzunluklu bir küpün yüzeyinden geçen net elektrik akısını bulunuz. GAUSS KANUNU Bu bölümde kapalı bir yüzeyden (Gauss yüzeyi) geçen net elektrik akısıyla, yüzey tarafından sarılan yük arasındaki genel bağıntının varlığı anlatılmaya çalışılacaktır. Aşağıdaki şekilde 𝑟 yarıçaplı bir küre ve bu kürenin merkezinde ise artı bir noktasal yük bulunmaktadır. Bu kürenin her yüzeyindeki elektrik alanın büyüklüğü 𝐸 = 𝑘𝑒 𝑞/𝑟 2 dir. Elektrik alan çizgileri ise yarıçap doğrultusunda olup yüzeye her noktada diktir. Dolayısıyla elektrik alanını 𝑬 her yüzey noktasında o noktayı saran ∆𝑨𝒊 yüzölçümlü yüzey öğesini temsil eden ∆𝐴𝑖 vektörüne paraleldir. Bu nedenle skaler çarpım eşitliği aşağıdaki gibi yazılabilir. Gauss yüzeyinden geçen net akının değeri ise; ifadesiyle tanımlanabilir. Burada elektrik alanı 𝐸 = 𝑘𝑒 𝑞/𝑟 2 eşitliğinden dolayı sabittir ve integral dışına alınmıştır. Yüzey ise küresel olduğundan 𝑑𝐴 = 𝐴 = 4𝜋𝑟 2 yüzeyinden geçen net akı; dir. Bu nedenle gauss Burada 𝑘𝑒 Coulomb sabiti olup ifadesi; olduğundan gauss yüzeyinden geçen net akı; biçiminde yazılabilir. (𝜖0 boş uzayın elektriksel geçirgenliği) Bu eşitliğe göre küresel yüzeyden geçen net akı için aşağıdaki yorumlar yapılabilir. 1. Küresel yüzeyden geçen net akı, yüzey içindeki yükle orantılıdır. 2. Elektrik alanı 1/𝑟 2 ile, küre yüzeyinin alanı 𝑟 2 ile orantılı olduğundan, akı 𝑟 yarıçapından bağımsızdır. 3. Şekilde bir 𝑞 yükünü saran çeşitli kapalı yüzeyler bulunmaktadır. Bu kapalı yüzeylerden 𝑆1 düzgün bir kapalı küresel yüzeyken, 𝑆2 ve 𝑆3 yüzeyleri kapalı ancak küresel bir yüzey değildirler. 𝑆1 yüzeyinden geçen akı 𝑞/𝜖0 değerindedir. Hatırlanacağı gibi elektrik akısının değeri o yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla orantılıdır. Yukarıdaki şekil incelendiğinde, 𝑆1 küresel yüzeyinden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısı, 𝑆2 ve 𝑆3 küresel olmayan yüzeylerden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısına eşittir. İşte bu nedenden dolayı, herhangi kapalı bir yüzeyden geçen net akının, yüzey biçiminden bağımsız olduğu sonucu çıkarılır ve dolasıyla bir nokta yükünü saran herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net akı 𝑞/𝜖0 dır denir. 4. Şekilde rastgele biçimli kapalı bir yüzey dışında bulunan bir noktasal yükü göz önüne alalım. Şekilde görüldüğü gibi bu cisme giren elektrik alan çizgilerinin sayısı çıkanların sayısına eşittir. Bundan dolayı yükü sarmayan kapalı bir yüzeyden geçen net elektrik akısı sıfır denir. Dolayısıyla hiç hesaplama yapmadan küp içerisinde yük olmadığından dolayı küpten geçen net akının değeri sıfırdır. Sonuç olarak; Herhangi kapalı bir yüzeyden geçen net elektrik akısı yalnızca o yüzey içindeki yüke bağlıdır. Aşağıdaki şekiller için 𝑆 yüzeyinden geçen elektrik akısı 𝑞1 /𝜖0 iken 𝑆 ′ yüzeyinden geçen elektrik akısı (𝑞2 + 𝑞3 )/𝜖0 dir. 𝑆 ′′ yüzeyi içinde herhangi bir yük bulunmadığından bu yüzeyden geçen elektrik akısının değeri sıfırdır. Bir genelleme yapılarak Gauss yasasına göre, herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net akı; GAUSS YASASININ KULLANILARAK ELEKTRİK ALANLARININ BELİRLENMESİ Örnek Bir Noktasal Yükün Elektrik Alanı Gauss yasasından başlayarak, yalıtılmış bir q nokta yükünün elektrik alanını hesaplayınız. Örnek Küresel Simetrili Bir Yük Dağılımı 𝑎 yarıçaplı, dolu bir kürenin düzgün yük yoğunluğu ρ ve toplam pozitif yükü Q dur. (a)Kürenin dışındaki bir noktada elektrik alan büyüklüğünü hesaplayınız. (b)Kürenin içindeki bir noktada, elektrik alan büyüklüğünü bulunuz. Örnek 24.8. İnce Küresel Bir Tabakanın Elektrik Alanı 𝑎 yarıçaplı, ince bir tabakanın yüzeyinde düzgün olarak dağılmış toplam Q yükü bulunmaktadır (Şekil a). Tabakanın içinde ve dışındaki noktalarda elektrik alanını bulunuz. Örnek 24.7 Silindirik Simetrili Bir Yük Dağılımı λ sabit doğrusal yük yoğunluklu, sonsuz uzunlukta, doğrusal artı bir yükten 𝑟 uzaklığında elektrik alanını bulunuz Şekil (a). Örnek 24.8 Yalıtkan Düzlem Bir Yük Tabakası σ (sigma) düzgün yüzey yük yoğunluklu, yalıtkan, sonsuz artı yüklü bir düzlemin elektrik alanını bulunuz. Kaynaklar • Fen ve Mühendislik İçin FİZİK-2 Serway.Beichner Palme Yayıncılık
